MAKALAH

FONON I : GETARAN KRISTAL

Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Pendahuluan Fisika Zat Padat

Disusun Oleh:

Nisa Isma Khaerani ( 3215096525 )

Dio Sudiarto ( 3215096529 )

Arif Setiyanto ( 3215096537 )

Eka Syita Purnamadewi ( 3215096538 )

Muhamad Ihsan ( 3215096543 )

JURUSAN FISIKA

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS NEGERI JAKARTA

2012

1 | F O N O N I : G e t a r a n K r i s t a l

GETARAN KRISTAL YANG BERBASIS MONOATOMIK

Kasus paling sederhana adalah kasus yang melibatkan getaran kristal akibat

adanya gelombang elastis yang merambat dalam arah [100], [110], dan [111],

yamg terdapat pada kristal kubik. Ini adalah arah dari tepi kubus, diagonal

permukaan, dan tubuh diagonal. Ketika sebuah gelombang merambat sepanjang

salah satu dari arah-arah itu, seluruh bidang atom bergerak dalam fase dengan

perpindahan baik paralel atau tegak lurus terhadap arah vektor gelombang

tersebut. Gambarkan dengan satu koordinat us perpindahan bidang s dari posisi

keseimbangannya. Masalahnya adalah dari satu dimensi. Untuk setiap vektor

gelombang terdapat 3 model getaran, yaitu 1 polarisasi longitudinal dan 2

polarisasi transversal.

Asumsikan bahwa respon elastis kristal adalah fungsi linier dari gaya. Hal

itu setara dengan asumsi bahwa energi elastis adalah fungsi kuadrat dari

perpindahan relatif dua titik dalam kristal. Istilah energi itu adalah linier akan

lenyap dalam keseimbangan. Kubik dan bangun lainnya yang lebih rumit dapat

diabaikan untuk deformasi elastis yang cukup kecil, tetapi berperan sama pada

suhu tinggi.

Asumsikan bahwa gaya pada bidang s disebabkan oleh perpindahan dari

bidang s + p yang sebanding dengan perbedaan us+p - us dari perpindahannya.

Yang dipertimbangkan hanya interaksi tetangga terdekat, sehingga p = ±1. Gaya

total pada s berasal dari bidang s ± 1.

( ) ( )

(1)

Formulasi ini linear pada perpindahan dan merupakan bentuk hukum Hooke.

Konstanta C adalah konstanta gaya antara bidang tetangga terdekat dan akan

berbeda untuk gelombang longitudinal dan transversal. Hal ini mudah untuk

menyimpulkan bahwa C didefinisikan untuk satu bidang atom, sehingga Fs adalah

gaya dari satu atom pada bidang s.

2 | F O N O N I : G e t a r a n K r i s t a l

Persamaan gerak dari bidang s adalah

( )

(2)

dimana M adalah massa atom. Cari solusi dengan semua perpindahan

memiliki waktu ketergantungan exp(-iωt). Kemudian , dan

persamaan (2) menjadi

( )

(3)

Ini adalah persamaan berbeda dalam perpindahan u dan mempunyai solusi

gelombang berjalan dalam bentuk:

( ) ( )

(4)

dimana a adalah jarak antara bidang dan K yang merupakan vektor gelombang

tersebut. Nilai yang digunakan untuk a akan tergantung pada arah K.

Dengan persamaan (4), persamaan (3) menjadi

( ) { [ ( ) ] [ ( ) ] ( )}

(5)

Dengan menghilangkan ( ) dari kedua sisi, yang tersisa adalah

[ ( ) ( ) ]

(6)

3 | F O N O N I : G e t a r a n K r i s t a l

Dengan hasil ( ) ( ), dispersi yang

menghubungkan dan adalah

( ⁄ )( )

(7)

Batas dari zona Brillouin pertama terletak di K = ± π/a. Dari persamaan (7)

kemiringan ω terhadap K adalah nol pada batas zona.

⁄ ( )

(8)

Pada K = ± π/a, nilai ( ) . Signifikansi khusus vektor

gelombang fonon yang terletak pada batas zona dikembangkan pada persamaan

(12) di bawah ini.

Dengan identitas trigonometri, persamaan (7) dapat ditulis sebagai

( ⁄ )

( ⁄ ) |

|

(9)

Titik terhadap diberikan pada Gambar 4.

4 | F O N O N I : G e t a r a n K r i s t a l

Zona Brillouin Pertama

Kisaran K hanya berlaku untuk gelombang elastis yang ada di zona

Brillouin pertama. Dari persamaan (4) rasio perpindahan dua bidang berurutan

diberikan oleh

[ ( ) ]

( ) ( )

(10)

Kisaran dari – ke untuk fase mencakup semua nilai independen

dari eksponensial.

Fase relatif 1,2π secara fisik identik dengan fase relatif -0,8π, dan fase relatif

dari 4,2π identik dengan 0,2π . Nilai-nilai positif dan negatif K diperlukan karena

gelombang dapat merambat ke kanan atau kiri.

Kisaran nilai independen K ditentukan oleh

Kisaran ini adalah zona Brillouin pertama dari kisi linear. Nilai-nilai

ekstrimnya adalah Kmax = ± π/α.

Ada perbedaan nyata di sini dari sebuah kontinum elastis: dalam

batas kontinum a→0 dan Kmaks →±∞. Nilai K di luar zona Brillouin pertama

(Gambar 5) hanya menghasilkan gerakan kisi yang dijelaskan oleh nilai-nilai

dalam batas ±π/α.

5 | F O N O N I : G e t a r a n K r i s t a l

Nilai K di luar batas-batas ini dapat diberikan dengan mengurangi beberapa

integral dari 2π/a yang akan memberikan vektor gelombang didalam batas-batas

ini. Misalkan K terletak di luar zona pertama, tapi vektor gelombang terkait K'

didefinisikan oleh K' ≡ K - 2πn/a yang terletak dalam zona pertama,

dimana n adalah integer. Kemudian rentang perpindahan pada persamaan (10)

menjadi

⁄ ( ) ( ) [ ( )] ( )

(11)

karena exp(i2πn) = 1. Maka perpindahan dapat dijelaskan oleh sebuah vektor

gelombang dalam zona pertama. 2πn/a adalah vektor kisi resiprokal. Jadi dengan

pengurangan vektor kisi yang sesuai timbal balik dari K, selalu didapatkan vektor

gelombang yang setara dalam zona pertama.

Pada batas-batas Kmax = ±π/α dari zona Brillouin solusi us = u exp

(isKa) tidak mewakili suatu gelombang berjalan, tetapi gelombang berdiri. Pada

batas-batas zona sKmaxa = ±sπ, dimana

( ) ( )

(12)

6 | F O N O N I : G e t a r a n K r i s t a l

Ini adalah gelombang berdiri: atom alternatif berosilasi dalam fase yang

berlawanan, karena menurut perkiraan s adalah bilangan bulat genap

atau bilangan bulat ganjil. Gelombang itu bergerak tidak ke kanan atau ke kiri.

Situasi ini sama dengan refleksi Bragg dari sinar x: ketika kondisi Bragg

terpenuhi, gelombang bejalan tidak dapat merambat di kisi, tetapi melalui refleksi

berturut-turut bolak-balik, gelombang berdiri sudah diatur.

Nilai kritis Kmax = ± π/α disini memenuhi kondisi Bragg :

dengan

⁄ , jadi . Dengan sinar x

memungkinkan untuk memiliki n sama dengan bilangan bulat lain selain dari

persamaan karena amplitudo dari gelombang elektromagnetik memiliki arti dalam

ruang antara atom-atom, tapi perpindahan amplitudo dari gelombang elastis

biasanya memiliki arti hanya atom pada diri mereka sendiri.

Kecepatan Kelompok

Kecepatan transmisi paket gelombang adalah kecepatan kelompok,

diberikan sebagai berikut.

⁄ ( )

(13)

gradien frekuensi sehubungan dengan K. Ini adalah kecepatan rambat energi

dalam medium.

Dengan hubungan dispersi tertentu pada persamaan (9), kecepatan

kelompok (Gambar 6) adalah

( ⁄ ) ⁄

(14)

7 | F O N O N I : G e t a r a n K r i s t a l

Ini adalah nol di tepi zona di mana K = π/a. Gelombang disini adalah

gelombang berdiri, seperti pada persamaan (12), dengan harapan nol adalah

kecepatan transmisi bersih untuk gelombang berdiri.

Batas Panjang Gelombang

Ketika ,

( ) diperluas, sehingga hubungan

dispersi pada persamaan (7) menjadi

( ⁄ )

(15)

Hasilnya menunjukkan bahwa frekuensi berbanding lurus dengan vektor

gelombang dalam batas gelombang panjang setara dengan pernyataan bahwa

kecepatan suara tidak tergantung frekuensi dalam batas ini. Jadi ⁄ , persis

seperti dalam teori kontinum gelombang elastis―dalam kontinum batas

sehingga .

8 | F O N O N I : G e t a r a n K r i s t a l

Penurunan Konstanta Gaya Dari Percobaan

Dalam logam gaya efektif mungkin cukup memiliki rentang yang panjang,

dibawa dari ion ke ion melalui konduksi kumpulan elektron. Interaksi antara

bidang atom dipisahkan oleh 20 bidang. Generalisasi hubungan dispersi pada

persamaan (7) untuk p bidang terdekat dengan mudah ditemukan

⁄ ∑ ( )

(16a)

Pecahkan konstanta gaya interplanar Cp dengan mengalikan kedua sisi

dengan , dimana r adalah integer, dan mengintegrasikan lebih dari

kisaran nilai K independen.

∫

⁄

⁄

∑ ∫ ( ) ⁄

⁄

(16b)

Integral hilang kecuali untuk p = r. Dengan demikian

∫

⁄

⁄

(17)

memberikan gaya konstan pada rentang , untuk struktur dengan dasar

monoatomik.

9 | F O N O N I : G e t a r a n K r i s t a l

DUA ATOM DALAM BASIS PRIMITIF

Penyebaran fonon untuk kristal sederhana diatomik atau lebih akan

memberikan arah penyebaran yang berbeda dibanding kristal monoatomik. Tiap

polarisasi akan memberikan arah hubungan penyebaran ω terhadap k dengan pola

dua cabang : akustik dan optikal. Sehingga akan diperoleh LA dan TA

(longitudinal acoustic dan transversal acoustic),serta LO dan TO (longitudinal

optik dan tranversal optik)

Sel sederhana dengan P atom mempunyai 3P cabang dengan 3 cabang

acoustic 3P-3 cabang optikal, jumlah cabang selanjutnya disebut derajat

kebebasan. Untuk kristal kubus diatomik dengan masa M1 dan M2 yang berbeda.

Persamaan gerak dengan anggapan tiap bidang berinteraksi hanya dengan atom

tetangga terdekat dan konstanta gaya sama, diperoleh:

( )

( )

(18)

10 | F O N O N I : G e t a r a n K r i s t a l

Persamaan di atas dapat diselesaikan dalam bentuk gelombang berjalan

yang amplitudo keduanya berskala u dan v :

( ) ( ) ( ) ( )

(19)

Dengan substitusi akan diperoleh :

[ ( )]

[ ( )]

(20)

Persamaan di atas diselesaikan jika koefisien determinan yang tidak

diketahui u dan v direduksi sehingga akan diperoleh:

( )

( )

(21)

Jika Ka << 1 dan Ka = ±π pada daerah batas, sehingga cos Ka ≈ 1 - 1/2 K2a

2

akan diperoleh persamaan :

(

) ( )

( )

(22)

11 | F O N O N I : G e t a r a n K r i s t a l

KUANTISASI GELOMBANG ELASTIK

Energi dari getaran kisi terkuantisasi. Kuantum energi disebut fonon dalam

analogi dengan foton dari gelombang elektromagnetic. gelombang elastis dalam

kristal terdiri dari fonon. getaran termal dalam kristal termal fonon bersemangat,

seperti foton termal bersemangat-tubuh hitam radiasi elektromagnetik dalam

sebuah rongga.

Frekuensi sudut ω dari energi mode elastis adalah

(

)

(23)

ketika mode sangat tertarik untuk bilangan kuantum n, yaitu ketika mode

ditempati oleh fonon n. 1/2 ħω panjang adalah energi titik nol dari mode. Hal ini

terjadi untuk kedua fonon dan foton sebagai konsekuensi dari kesetaraan mereka

untuk frekuensi osilator harmonik kuantum, dimana nilai eigen energi juga

sebesar (n +1/2) ħω.

Kita dapat dengan mudah menghitung rata – rata amplitudo Fonon.

Dengan mempertimbangkan modus gelombang berdiri dari amplitudo.

(24)

di sini u adalah jarak dari elemen volume dari posisi kesetimbangan pada x dalam

kristal.

Energi dalam mode ini, seperti halnya dalam osilator harmonik, adalah

setengah energi kinetik dan energi potensial setengah, ketika dirata – ratakan dari

waktu ke waktu . Kepadatan energi kinetik adalah

( ⁄ ) , di mana ρ adalah

massa jenis. Dalam sebuah kristal volume V, volume integral dari energi kinetik

adalah

.

12 | F O N O N I : G e t a r a n K r i s t a l

Energi kinetik rata-rata waktu

(

)

(25)

dan kuadrat amplitudo adalah

(

)

(26)

Apa tanda ω? persamaan gerak seperti persamaan (2) adalah persamaan

untuk ω2, dan jika ini adalah benar maka ω dapat memiliki tanda, + atau -. Tapi

energi Fonon harus positif, sehingga sangat konvensional dan cocok untuk

melihat ω sebagai positif. (Untuk gelombang polarisasi sirkuler tanda keduanya

sering digunakan, untuk membedakan satu rasa rotasi dari yang lain). Jika struktur

kristal tidak stabil, atau menjadi tidak stabil melalui ketergantungan suhu yang

tidak biasa dan gayanya konstan, maka ω2 akan negatif dan ω akan imajiner.

Sebuah mode dengan imajiner ω akan menjadi tidak stabil, setidaknya jika

bagian nyata dari ω adalah negatif. Kristal ini akan mengubah secara spontan

untuk struktur yang lebih stabil. Sebuah modus optik dengan ω dekat ke nol

disebut mode lembut, dan ini sering terlibat dalam fase transisi, seperti pada

kristal feroelektrik.

13 | F O N O N I : G e t a r a n K r i s t a l

MOMENTUM FONON

Sebuah fonon dari vektor gelombang K akan berinteraksi dengan toton

neutron, dan seolah-olah memiliki . Bagaimanapun, fonon tidak membawa

momentum fisik.

Alasan bahwa fonon dalam satu kisi tidak membawa momentum adalah

bahwa koordinat fonon melibatkan koordinat relatif dari atom. Sehingga dalam

molekul H2 koordinat getaran molekul terletak di r1 - r2, yang merupakan

koordinat relatif dan tidak membawa momentum linier, koordinat pusat massa ½

(r1 + r2) sesuai dengan mode K = 0 dan dapat membawa momentum linier.

Momentum fisik dari kristal adalah

(

)

(27)

ketika kristal membawa Fonon K,

(

)∑ ( )

(

) [ ( )]

[ ( )]

(28)

dimana s berjalan di atas N atom. Digunakanlah seri

∑

( )

( )

(29)

Telah ditemukan bahwa nilai

, dimana r adalah integer. Sehingga

( ) ( ) dan momentum kristal bernilai nol.

(

)∑ ( )

14 | F O N O N I : G e t a r a n K r i s t a l

(30)

Semua sama, untuk tujuan praktik fonon bertindak seolah-olah momentum

adalah , dimana hal ini disebut momentum kristal. Dalam kristal terdapat

aturan seleksi vektor gelombang untuk memperbolehkan transisi antara keadaan

kuantum. Hamburan elastis dari foton sinar x oleh kristal diatur oleh aturan

seleksi vektor gelombang.

(31)

Dimana G adalah vektor dalam kisi timbal balik, k adalah vektor gelombang dari

foton yang diamati, dan k’ adalah vektor gelombang dari foton tersebar. Dalam

proses refleksi kristal semua akan mengalami momentum , tetapi ini jarang

dianggap secara eksplisit.

Gelombang vektor total yang merupakan interaksi gelombang bersifat kekal

dalam kisi periodik, dengan penambahan yang mungkin dari vektor kisi resiprokal

G. Momentum keseluruhan selalu dijaga.

Jika hamburan foton bersifat inelastis, dengan membuat fonon dari vektor

gelombang K, maka aturan seleksi vektor gelombang menjadi

(32)

Jika foton K yang diserap dalam proses, didapatkan persamaan

(33)

15 | F O N O N I : G e t a r a n K r i s t a l

PENGHAMBURAN FONON TAK-ELASTIK

Hubungan dispersi fonon sering dijelaskan dengan hamburan tak elastik dari

neutron dengan emisi atau absorpsi proton. Lebar sudut dari berkas neutron yang

tersebar memberi informasi tentang waktu hidup fonon.

Sebuah neutron berada pada kisi kristal akibat interaksi inti atom. Hamburan

kinematik neutron pada kisi kristal menggambarkan aturan seleksi vektor

gelombang secara umum.

(34)

Dengan persyaratan konservasi energi. K merupakan vektor gelombang dari foton

yang dilepas (+) atau diserap (-) dalam suatu proses, dan G adalah vektor kisi

resiprokal. Untuk fonon, G sama seperti k, berada di zona Brillouin pertama.

Energi kinetik interaksi neutron adalah

, dimana adalah massa

neutron. Momentum p diberikan oleh , dimana k adalah vektor gelombang dari

neutron. Energi kinetik dari interaksi neutron adalah . Jika k’ adalah

vektor gelombang dari hasil interaksi neutron, maka energinya adalah

. Persamaan konservasi energi adalah

(35)

dimana adalah energi fonon yang dilepaskan (+) atau diserap (-) selama proses

berlangsung.

Baru-baru ini konsep simetri cermin diperkenalkan dalam studi dinamika

ion alkali-halida. Intinya, untuk mempertimbangkan bahwa kristal akan terbentuk

jika tanda ion pada A+

B- terbalik.