makalah termodinamika

48
program studi : pendidikan fisika fakultas keguruan dan ilmu pendidikan 1. TYAS AMELIA (06121411018) 2. SRIYANA (06121411020) 3. RATNA INAYAH (06121411028) 4. Sellie aspita (06121411026)

Upload: yana-gatrasyah

Post on 26-Nov-2015

181 views

Category:

Documents


11 download

TRANSCRIPT

Ruang Lingkup Termodinamika Dan Diferensial Integral Eksak Dan Non Eksak

program studi : pendidikan fisikafakultas keguruan dan ilmu pendidikan 014Ruang Lingkup Termodinamika Dan Diferensial Integral Eksak Dan Non EksakUNIVERSITAS SRIWIJAYA

TYAS AMELIA (06121411018) SRIYANA (06121411020)RATNA INAYAH (06121411028) Sellie aspita (06121411026)

Tujuan : 1. Mengetahui pengertian termodinamika 2. Menjelaskan tentang ruang lingkup termodinamika 3. Menjelaskan termodinamika matematika 4. Menjelaskan tentang variable keadaan matematika5. Mengetahui pengertian diferensial total 6. Mengetahui pengertian diferensial parsial7. Mengetahui integral diferensial eksak8. Mengetahui integral diferensial non eksak9. Mengetahui syarat eulier10. Mengetahui tentang dalil rantai 11. Mengetahui tentang integrasi diferensial 12. Mengetahui tentang integrasi eksak tertentu

Rumusan masalah :

1. Apa saja yang termasuk kedalam ruang lingkup termodinamika?2. Apa saja syarat- syarat eulier3. Bagaimana integral diferensial itu sendiri4. Bagaimana terjadinya integral eksak non eksak.

Indikator pembelajaran :Mampu menerapkan syarat Euler untuk menentukan diferensial total suatu besaran termodinamis itu diferensial eksak atau tak eksak, mampu mendiferensialkan dan mengintegralkan, serta mampu menggambar grafik fungsi hubungan antar besaran termodinamika

I. PENDAHULUAN

A. HAKEKAT TERMODINAMIKA

Termodinamika adalah ilmu yang mempelajari tentang dinamika termal. Dinamika termal tersebut ditandai dengan adanya perubahan sifat-sifat materi. Materi dapat berphasa cair, padat dan gas ataupun campuran. Cara kerja berbagai sistim perubah energi dapat dijelaskan dengan termodinamika, misalnya : motor bakar, roket turbin gas pembangkit tenaga listrik pendingin udara dan lain-lain.Dalam ilmu termodinamika dikenal adanya konsep, model dan hukum. Konsep adalah berbagai gagasan yang ditungkan dalam sebuah definisi. Kondisi fisika alam semesta ini sungguh sangat kompleks sehingga sebuah definisi tidak mungkin dapat menjelaskan seluruh penomena yang ada. Oleh karena itu diperlukan model untuk mempersempit permasalahan. Jadi model adalah penyederhanaan suatu permasalahan sehingga dapat dijelaskan secara matematik yang dapat diterima. Kemudian faham dan pengertian yang terkandung dalam model harus dituangkan kedalam istilah matematik yang tepat dalam persaman dasar atau hukum.

B. RUANG LINGKUPBeberapa contoh ruang lingkup penerapan ilmu termodinamika adalah sebagai berikut:

a. Pembangkit listrik Tenaga UapUap dihasilkan pada unit penghasil uap lalu diekspansi pad turbin uap. Tenaga yang dihasilkan turbin digunakan untuk menggerakkan generator listrik.

b. Motor bakarTermasuk dalam motor bakar ini mesin bensin dan mesin disel. Bahan bakar dibakar dalam ruang bakar mesin menghasilkan tekanan tinggi, lalu tekanan tersebut mendorong torak sehingga menghasilkan tenaga.

c. Turbin GasUdara dinaikkan tekanannya dengan kompresor lalu masuk ruang bakar. Dalam ruang bakar disemprotkan bahan bakar dan sekaligus dinyalakan sehingga terjadi pembakaran yang menghasilkan tekanan tinggi. Kemudian gas pembakaran bertekanan dan bertemperatur tinggi tersebut diekspansi pada turbin gas untuk menghasilkan tenaga.

Sebuah junction yang dibuat dari material semikonduktor tipe N dan P diberikan kalor. Karena kedua logam tersebut tidak sama akan ada aliran elektron , disebabkan oleh beda potensial dari dua logam berbeda tipe yang bertemperatur sama tersebut.

d. Mesin PendinginMedia pendingin (Freon) menyerap kalor sehingga berubah phasa menjadi uap lalu dikompresi dengan kompresor supaya tekanan dan temperaturnya tinggi. Hal ini bertujuan supaya Kalor yang diserap Freon tadi mudah dibuang ke atmosfer sehingga Freon terkondensasi menjadi cair lagi. Selanjutnya Freon cair diturunkan tekanannya dan temperaturnya dengan cara diekspansi pada katup ekspansi. Hasilnya Freon kembali menjadi dingin dan siap menyerap kalor lagi.

II. PEMBAHASAN

A. TERMODINAMIKA MATEMATIKA

1. Variabel Keadaan Sistem

Termodinamika memusatkan perhatiannya pada delapan besaran termodinamis atau koordinat sistem yang terangkum dalam kalimat: Good Physicists Have Study Under Very Fine Teachers. Good dengan huruf awal G, adalah lambang dari energi bebas Gibbs. Physicists dengan huruf awal p, adalah lambang dari tekanan. Have dengan huruf awal H, adalah lambang dari entalpi sistem. Study dengan huruf awal S, adalah lambang dari entropi sistem. Under dengan huruf awal U, adalah lambang dari energi-dalam sistem. Very dengan huruf awal V, adalah lambang volume sistem. Fine dengan huruf awal F, adalah lambang dari energi bebas Helmholtz. Terakhir kata Teachers dengan huruf awal T, adalah lambang dari temperatur sistem. Delapan koordinat sistem ini merupakan besaran-besaran makroskopis yang melukiskan keadaan kesetimbangan sistem. Oleh karena itu, koordinat sistem sering disebut sebagai variabel keadaan sistem. Sebagai teladan. Suatu sistem termodinamis terdiri atas N partikel gas. Dalam Termodinamika besaran makroskopis yang menggambarkan sistem ini adalah tekanan gas (p), volume gas (V), dan temperatur gas (T). Ketiga besaran ini dapat diamati dan diukur secara langsung. Misalnya, tekanan gas diukur dengan menggunakan barometer atau manometer. Volume gas diukur dengan menggunakan piknometer, dan temperatur gas dapat diukur dengan termometer.

Eksperimen menunjukkan, bahwa tekanan gas (p), volume gas (V), dan temperatur gas (T) mempunyai kaitan tertentu. Artinya, gas dapat diberi harga volume tertentu, misalnya 2 liter. Kemudian gas dipanaskan sampai temperatur tertentu, misalnya 750C, ternyata tekanan gas sudah mempunyai harga yang pasti. Secara matematis, antara p, V, dan T mempunyai hubungan fungsional: f (p, V, T) = 0. Dari hubungan empiris ini dapat dibuat ramalan- ramalan tertentu. Misalnya mengenai: koefisien muai gas, kapasitas kalor gas, energi-dalam gas, dan koordinat sistem lainnya.

Perlu diketahui, bahwa semua eksperimen menunjukkan: 1. apabila suatu sistem ada dalam keadaan setimbang termodinamis, maka setiap koordinat dapat dinyatakan sebagai fungsi dua koordinat lainnya. 2. hanya ada dua diantara kedelapan koordinat sistem yang merupakan variabel bebas sistem. 3. dalam keadaan setimbang termodinamis berlaku hubungan f (x, y, z) = 0.

Sebagai teladan. Gas dengan jumlah parrtikel sebesar N ada dalam bejana yang tidak bocor. Selama komposisi gas tidak berubah, dalam arti tidak terjadi reaksi kimiawi yang dapat mengubah jumlah partikel gas dan tidak terjadi peristiwa difusi; maka dalam eksperimen, volume dan tekanan gas dapat diubah-ubah sesuai dengan kebutuhan. Ini berarti, pada volume tertentu (V), gas dapat diberi temperatur (T) berapa saja. Dapat pula, pada temperatur (T) tertentu, gas dapat diberi harga volume (V) berapa saja.

Hal ini mungkin, karena terdapat koordinat ketiga yang menyesuaikan diri, yaitu: tekanan gas (p). Jadi, variabel keadaan gas dapat dilukiskan dalam bentuk: implisit, f (p, V, T) = 0 eksplisit, a. p = p (V, T). b. V = V (p, T), c. T = T (p, V).

Bentuk implisit f (p, V, T) = 0 menyatakan, bahwa antara variabel p, V, dan T ada hubungan tertentu. Oleh karena itu, hanya dua variabel di antara ketiga variabel bersifat bebas, sedangkan variabel yang ketiga merupakan variabel tak bebas atau terikat. Bentuk eksplisit p = p (V, T) menyatakan, bahwa variabel V dan T merupakan variabel bebas dan variabel p merupakan variabel terikat. Bentuk eksplisit V = V (p, T) menyatakan, bahwa variabel p dan T merupakan variabel bebas dan variabel V merupakan variabel terikat. Demikian pula bentuk eksplisit T = T (p, V) menyatakan, bahwa variabel p dan V merupakan variabel bebas dan variabel T merupakan variabel terikat. Hubungan ketiga besaran ini ditunjukkan dalam persamaan diferensial.

2. Diferensial Total, Parsial, Eksak, dan Tak Eksak

Perhatikan fungsi x = x (y, z). Andaikan fungsi ini benar-benar ada, artinya x is an existing function of y and z, maka nilai x dapat berubah karena y berubah tetapi z tidak, atau z berubah tetapi y tidak, atau y dan z keduanya berubah. Perubahan-perubahan ini secara matematis dapat dinyatakan dalam bentuk diferensial total, diferensial parsial, diferensial eksak, dan atau diferensial tak eksak.

Diferensial total dari x adalah dx yang nilainya sama dengan perubahan x karena y berubah ditambah dengan perubahan x karena z berubah. Secara matematis dapat dinyatakan:

Diferensial total x adalah dx yang menggambarkan perubahan total x. Karena dx merupakan perubahan infinit suatu fungsi yang benar-benar ada, maka dx disebut diferensial eksak. Jika dx merupakan diferensial total dari fungsi x = x (y, z) yang benar-benar tidak ada, maka dx disebut diferensial tak eksak.

Dalam hal ini merupakan perubahan x karena y berubah, sedangkan z tidak berubah dan merupakan perubahan x karena z berubah, sedangkan y tidak berubah. Sedangkan dinamai diferensial parsial x ke y dengan z tetap yang biasa ditulis sebagai M (yz) dan dinamai diferensial parsial x ke z dengan y tetap yang biasa ditulis sebagai N (yz). Dalam persamaan tersebut dy disebut sebagai perubahan y dan dz disebut sebagai perubahan z.

3. Syarat Euler dan Dalil Rantai

Telah dijelaskan di atas, bahwa ada fungsi yang benar-benar ada (existing) dan ada fungsi yang benar-benar tidak ada. Jika fungsi x = x (y, z) merupakan fungsi yang benar-benar ada dan dapat didiferensialkan dengan baik (differensiable), maka urutan pendiferensialan (diferensiasi) tidak menjadi masalah.

Artinya,

Persamaan diatas dikenal sebagai syarat Euler. Jadi, syarat Euler merupakan syarat yang diperlukan untuk membuktikan bahwa fungsi x = x (y, z) merupakan fungsi yang benar- benar ada. Dapat pula dinyatakan, diferensial total suatu fungsi yang benar-benar ada (yang memenuhi syarat Euler) adalah diferensial eksak.

Jika fungsi x = x (y, z), maka dx = Fungsi ini dapat dilihat sebagai fungsi y = y (x, z) dengan Jika dy disubstitusikan ke dx di atas diperoleh:

yang berlaku untuk setiap dx dan dz. Hal ini terpenuhi jika

atau

Persamaan diatas dikenal sebagai dalil rantai atau aturan rantai atau chine rule. Dalam Termodinamika konsep diferensial total, diferensial parsial, diferensial eksak, dan diferensial tak eksak sangat diperlukan. Pemaknaan dari keempat bentuk diferensial ini sangat bergantung pada keaadaan sistem, koordinat sistem, atau variabel sistem termodinamis. Oleh karena itu, Mahasiswa harus faham benar mengenai pengertian- pengertian dan pemaknaan diferensial dalam Termodinamika.

4. Diferensial Total

Jika F adalah suatu fungsi dua peubah yang mempunyai derivative parsial tingkat satu yang kontinyu dalam suatu domain D, maka diferensial total fungsi F yaitu dF didefinisikan oleh

dF(x) = dx + dy,(x, y)D

Misal penyelesain umum PD (i) adalah F(x, y) = C dengan C adalah konstanta sebarang, maka

dF(x, y) = 0, sedemikian sehingga

dx + dy = 0 (ii)

dari PD (i) dan pers (ii), diperoleh

= M(x, y)

= N(x, y)

Sehingga solusi PD Eksak berbentuk F(x, y) = C. Berdasarkan hal tersebut, dapat dicari solusi PD sebagai berikut :

= M(x, y)

F(x, y) = M(x, y) dx + g(y)

bentukadalah integral terhadap x, dimana y dipandang sebagai konstanta dan g(y) konstanta integral yang harus dicari.

=[ M(x, y) dx] + g(y)

Karena= N(x, y) maka

=[M(x, y) dx] + g(y) = N(x, y)

g(y) = N(x, y) [M(x, y) dx]

karena g(y) merupakan fungsi dengan peubah y saja maka setelah disederhanakan merupakan fungsi dari y atau konstanta. Dengan kata lain g(y) dapat dicari

= N(x, y)

Integralkan kedua ruas terhadap variabel y, diperoleh

F(x, y) =N(x, y) dy + f(x)

turunkan kedua ruas dengan turunan parsial terhadap x

=[N(x, y) dy] + f(x)

karena= M(x, y) maka

=[N(x, y) dy] + f(x) = M(x, y)

f(x) = M(x, y) [N(x, y) dy]

Contoh: 1. Hitunglah diferensial total fungsi Penyelesaian :

dan Sehingga turunan totalnya :

5. Aturan Rantai

Aturan Rantai untuk fungsi-fungsi komposisi satu peubah sekarang sudah dikenal oleh semua pembaca. Jika y = f(x(t)), dengan f dan x keduanya fungsi yang dapat didiferensialkan, maka

dan (x)

, composite fungsi

fungsi :

fungsi :

Rumus 1

(Aturan Rantai). Andaikan dan dapat didiferensialkan di t dan andaikan

dapat didiferensialkan di Makadapat didiferensialkan di t, maka :

Rumus 2

(Aturan Rantai). Misalkan

dan mempunyai turunan peetama di dan misalkan dapat didiferensialkan di . Maka mempunyai turunan parsial pertama yang diberikan oleh,

Jika, , maka

Rumus3

Jika, maka

6. Differensial Eksak

Persamaan diferensial eksak adalah suatu persamaan diferensial tingkat satu dan berpangkat satu yang berbentuk :

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 (i) Serta jika memenuhi

=

Contoh :

1. y dx + x dy = 0

misal : M(x, y) = y= 1

N(x, y) = x= 1

karena=, maka PD diatas merupakan PD eksak.

(2xy + ln x) dx + x2dy = 0

misal : M(x, y) = 2xy + ln x = 2x

N(x, y) = x2= 2x

karena = , maka PD diatas merupakan PD eksak.

7. GAS

Misalnya: Gas dalam Bejana yang Dilengkapi dengan Piston

f (p, V, T) = 0

Bentuk eksplisitnya ada tiga, yaitu:

a. p = p (V, T). b. V = V (p, T). c. T = T (p, V).

Bentuk diferensialnya ada tiga, yaitu :

a. dp = T dV + V dT

b. dV = T dp + p dT

c. dT = V dp + p dV

Makna fisis dari persamaan diatas dapat dijelaskan sebagai berikut:

a. dp = perubahan total dari tekanan gas dalam bejana = perubahan parsial tekanan gas karena adanya perubahan volume gas pada proses isotermis + perubahan parsial tekanan gas karena adanya perubahan temperatur pada proses isokhoris.

b. dV = perubahan volume gas dan dT = perubahan temperatur gas.

c. T = perubahan parsial tekanan gas karena adanya perubahan volume gas pada proses isotermis.

d. V = perubahan parsial tekanan gas karena adanya perubahan temperatur pada proses isokhoris.

Makna fisis dari persamaan diatas adalah (b) dan (c) dapat dijelaskan dengan cara yang sama. Indeks pada diferensial parsial menunjukkan prosesnya. Misalkan ada indeks p, maka perubahan parsial terjadi pada proses isobaris (proses tekanan tetap).

8. Integrasi Diferensial

a. Rumus Umum Faktor Integral

Secara umum Faktor Integral terdiri dari tiga kasus yaitu

1. FI u sebagai fungsi x saja

karena u sebagai fungsi x saja, maka

= dan= 0

Oleh karena itu, Rumus Umum Faktor Integral diatas dapat ditulis

u(x) =

dx = Q

dx = dx =

dx = ln u

u(x) =

u(x) =

dengan h(x) =

2. FI u sebagai fungsi y saja

karena u sebagai fungsi y saja, maka

= 0 dan=

Oleh karena itu, Rumus Umum Faktor Integral diatas dapat ditulis

u(y) =

dy = -M

dy =

dy =

dy = ln u

u(y) =

u(y) =

dengan h(y) =

3. FI u sebagai fungsi x dan y

andaikan FI : u = u(x, y)

misal bentuk peubah x, y = v

maka FI : u = u(v)

= = (iii)

= (iv) =

= (v)

Jika pers (iii), (iv) dan (v) disubstitusikan keRUMUS UMUM FAKTOR INTEGRAL, maka

u(v) =

=

= =ln u =

Jadi, FI : u(v) =

9. Integrasi Diferensial Eksak Tertentu

Jika z = z (x, y) merupakan fungsi yang benar-benar ada, maka dz merupakan diferensial eksak. Harga dari

dz =

Hasil integrasi diferensial eksak tertentu dz ditunjukkan oleh persamaan

dz =

dz = dz (x, y) = z (xf, yf) z (xi, yi) = zf zi = zif

Indeks i berarti initial (awal) dan indeks f berarti final (akhir). Jadi, hasil akhir dari integrasi diferensial eksak tertentu berwujud bilangan atau nilai tertentu ( zif). Dapat dibuktikan, bahwa integrasi diferensial eksak tertentu tidak bergantung pada jalan integrasi dan hanya bergantung pada kondisi awal (i) dan kondisi akhir (f).

Persamaan Diferensial Tidak Eksak adalah suatu PD tingkat satu dan berpangkat satu yang berbentuk

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 (i)

dan memenuhi syarat

Penyelesaian PD tidak eksak dapat diperoleh dengan dengan mengalikan PD (i) dengan suatu fungsi u yang disebutFaktor Integral (FI), sehingga diperoleh PD eksak yaitu

u M(x, y) dx + u N(x, y) dy = 0 (ii)

karena PD sudah berbentuk eksak, maka memenuhi

=

u+ M= u+ N

u () = (M N)

Contoh :

1. Cari solusi dari PD (x + y) dx + (x y) dy = 0

Penyelesaian :

Cek terlebih dahulu apakah PD diatas adalah PD eksak.

misal : M(x , y) = x + y= 1

N(x , y) = x y= 1

karena=, maka PD tesebut adalah PD eksak.

Untuk mencari solusinya, kita akan menggunakan

F(x, y) =M(x, y) dx + g(y)

=(x + y) dx + g(y)

=x2+ xy + g(y)

cari g(y)

=[M(x, y) dx] + g(y)

=[x2+ xy] + g(y)

= x + g(y)

karena= N(x, y), maka

x + g(y) = N(x, y)

x + g(y) = x y

g(y) = -y

g(y) =-y

g(y) =y2

jadi solusi umumnya :x2+ xy y2= c1

x2+ 2xy y2= C, dengan C = 2c1

PD : xy + y + 4 = 0

Penyelesaian :

x+ y + 4 = 0

x dy + (y + 4) dx = 0

misal : M(x , y) = y + 4= 1

N(x , y) = x= 1

karena=, maka PD tesebut adalah PD eksak.

Untuk mencari solusinya, kita akan menggunakan

F(x, y) =N(x, y) dy + g(x)

=x dy + g(x)

= xy + g(x)

cari g(x)=[N(x, y) dy] + g(x)

=[xy] + g(x)

= y + g(x)

karena= N(x, y), maka

y + g(x) = M(x, y)

y + g(x) = y + 4

g(x) = 4

g(x) =4 g(x) = 4x

jadi solusi umumnya : xy + 4x = C

10. Integrasi Diferensial Eksak Tak Tentu Jika z = z (x, y) merupakan fungsi yang benar-benar ada, maka dz merupakan diferensial eksak. Harga dari dz = (z / x)y dx + (z / y)x dy. Hasil integrasi diferensial eksak tak tentu dz ditunjukkan oleh persamaan berikut.

dz = dz (x, y) = z (x, y) + C.

Hasil integrasi diferensial eksak tak tentu adalah fungsi aslinya ditambah dengan tetapan integrasi .Integrasi Diferensial Tak Eksak Tertentu Jika A = A (x, y) merupakan fungsi yang benar-benar tidak ada, maka dA merupakan diferensial tak eksak. Harga dari . Hasil integrasi diferensial tak eksak tertentu dz ditunjukkan oleh persamaan berikut: dA = dA (x, y) = A (xf, yf) A (xi, yi) = Af Ai = Aif . Indeks i berarti initial (awal) dan indeks f berarti final (akhir). Jadi, hasil akhir dari integrasi diferensial tak eksak tertentu berwujud bilangan atau nilai tertentu ( Aif). Dapat dibuktikan, bahwa integrasi diferensial tak eksak tertentu bergantung pada jalan integrasinya. Integrasi Diferensial Tak Eksak Tak Tentu Jika A = A (x, y) merupakan fungsi yang benar-benar tidak ada, maka dA merupakan diferensial tak eksak. Harga dari . Hasil integrasi diferensial tak eksak tak tentu dz ditunjukkan oleh persamaan berikut. dA = dA (x, y) = A (x, y) + C. Hasil integrasi diferensial tak eksak tak tentu adalah fungsi aslinya ditambah dengan tetapan integrasi C. Namun, karena fungsi asli A = A (x, y) benar-benar tidak ada, maka hasil integrasi ini tidak mungkin.

Persamaan Diferensial Dengan Faktor IntegralJika terdapat suatu persamaanPx,y+Qx,ydydx=0yang bukan eksak dimanaPyQx. Kita dapat mengubah persamaan diferensial tersebut menjadi suatu persamaan eksak dengan cara mengalikan dengan suatu fungsix,y,yang juga disebut sebagai faktorpengitegrasi.Dengan demikian kita akan memperoleh suatu persamaan:(x,y)Px,y+(x,y)Qx,ydydx=0Persamaan tersebut akan menjadi suatu persamaan diferensial eksak jika memenuhi:(P)y=(Q)xKesulitan yang dihadapi adalah terkadang sulit untuk memperoleh. Oleh sebab itu perhatikan bahwax,y=(x). Dengan demikian kita akan memperoleh suatu persamaan diferensial dalamyaitu:ddx=Py-QxQud=Py-QxQdxerlu diperhatikan bahwaPy-QxQumerupakan suatu fungsi dalamx. Jika hal tersebut telah terpenuhi maka dengan mudah kita dapa memperoleh faktor integraldan kita memperoleh persamaan diferensial yang eksak.

Contoh :

1. Tentukan Faktor Integral dan penyelesain PD dibawah ini :

(4 xy + 3y2 x) dx + x(x + 2y) dy = 0

Penyelesaian :

misal : M(x, y) = 4 xy + 3y2 x

N(x, y) = x(x + 2y)

= 4x + 6y

= 2x + 2y

Jadi,

=

=[fungsi dari x saja]

maka FI adalah== x2

sehingga diperoleh PD eksak adalah

x2(4 xy + 3y2 x) dx + x3(x + 2y) dy = 0

dx +dy = 0

Karena PD diatas sudah berbentuk PD eksak, sehingga untuk mencari solusinya digunakanPenyelesaian PD Eksak.

ambil= x2(4 xy + 3y2 x)

= 4x3y + 3x2y2 x3

F(x, y) =(4x3y + 3x2y2 x3) dx + g(y)

= x4y + x3y2x4+ g(y)

= x4+ 2x3y + g(y)

karena= G(x, y), sehingga

x4+ 2x3y + g(y) = x3(x + 2y)

x4+ 2x3y + g(y) = x4+ 2x3y

g(y) = 0

g(y) = C

solusi PD : x4y + x3y2x4+ C

2. y(x + y + 1) dx + x(x + 3y + 2) dy = 0

Penyelesaian :

misal : M(x, y) = xy + y2+ y

N(x, y) = x2+ 3xy + 2x

= x + 2y + 1

= 2x + 3y + 2

Jadi,

=

=[fungsi dari y saja]

maka FI adalah== y

sehingga diperoleh PD eksak adalah

y2(x + y + 1) dx + xy(x + 3y + 2) dy = 0

dx +dy = 0

Karena PD diatas sudah berbentuk PD eksak, sehingga untuk mencari solusinya digunakanPenyelesaian PD Eksak.

ambil= y2(x + y + 1)

= xy2+ y3+ y2

F(x, y) =(xy2+ y3+ y2) dx + g(y)

=x2y2+ xy3+ xy2+ g(y)

= x2y + 3xy2+ 2xy + g(y)

karena= G(x, y), sehingga

x2y + 3xy2+ 2xy + g(y) = xy(x + 3y + 2)

x2y + 3xy2+ 2xy + g(y) = x2y + 3xy2+ 2xy

g(y) = 0

g(y) = C

solusi PD :x2y2+ xy3+ xy2+ C

(2x3y2 y) dx + (2x2y3 x) dy = 0

Penyelesaian :

misal : M(x, y) = 2x3y2 y

N(x, y) = 2x2y3 x

= 4x3y 1

= 4xy3 1

Jadi,

= (4x3y 1) (4xy3 1)

= 4xy(x2 y2)

ambil :

v = xy= y dan= x

M= x(2x3y2 y)

N= y(2x2y3 x)

Maka

M N

= (2x4y2 xy) (2x2y4 xy)

= 2x2y2(x2 y2)

=dv

=dv [fungsi x dan y]

maka FI adalah u(x, y) =

=

=

sehingga diperoleh PD eksak adalah(2x3y2 y) dx +(2x2y3 x) dy = 0

dx +dy = 0

Karena PD diatas sudah berbentuk PD eksak, sehingga untuk mencari solusinya digunakanPenyelesaian PD Eksak.

ambil=(2x3y2 y)

= 2x

F(x, y) =(2x ) dx + g(y)

= x2++ g(y)

=+ g(y)

karena= G(x, y), sehingga

+ g(y) =(2x2y3 x)

+ g(y) = 2y

g(y) = 2y

g(y) = y2

solusi PD : x2++ y2= 0

11. Penyelesaian Persamaan Linier Orde 1 : Metode FaktorIntegral

A(x) + B(x) = C(x) disebut PD linier orde 1 jika tiap-tiap suku PD diatas apabila dibagi dengan A(x) maka diperoleh bentuk

+ y = .

misal P(x) = dan Q(x) = maka

+ P(x) y = Q(x) (i)

untuk menyelesaiakn PD ini, disini pertama kita akan membahas dengan metode Faktor Integral.misal faktor integral nya adalah , kalikan kedua ruas PD (i) dengan faktor integralnya, diperoleh :

+ P(x) y = Q(x) (ii)

jika diambil y dan diturunkan kedua ruas [Turunan Aturan Perkalian], maka diperoleh turunan pertamanya

(y ) = + P(x) y

sehingga apabila disubstitusikan ke pers (ii), diperoleh

(y ) = Q(x) kemudian integralkan kedua ruas, diperoleh

SOLUSI UMUM : y = Q(x) dx + Csolusi umum diatas dapat digunakan langsung untuk PD Linier dengan koefesian = 1

Contoh :

1. Selesaikan persamaan diferensial dibawah ini :

+ 2xy = 4x

Penyelesaian :Perhatikan bentuk PD (i), maka ambilP(x) = 2x dan Q(x) = 4xFaktor Integral : = Kemudian substitusi ke SOLUSI UMUM, diperolehy = Q(x) dx + Cy = 4x dx + Cy = 4x + Cy = 2 d(x2) + Cy = 2 + cy = 2 + c

2. x = y + x3 + 3x2 2x

Penyelesaian :

x y = x3 + 3x2 2x [bagi dengan x]

y = x2 + 3x 2

ambil P(x) = dan Q(x) = x2 + 3x 2

Faktor Integral :

= e-ln x =

sehingga penyelesaiannya

y = Q(x) dx + C

y = (x2 + 3x 2) dx + C

y = (x + 3 2 ) dx + C

y = x3 + 3x2 2x ln x + cx

y = x3 + 3x2 ln x2x + cx

3. xy 2y = x3 ex

Penyelesaian :

x 2y = x3 ex [bagi dengan x]

y = x2 exambil P(x) = dan Q(x) = x2 ex

Faktor Integral :

= e-2 ln x =

sehingga penyelesaiannya

y = Q(x) dx + C

y = (x2 ex) dx + C

y = ex dx + C

y = ex + c

y = x2 ex + c x2

Latihan Soal

1. Tentukan persamaan berikut eksak atau tidakdan tentukan solusinya:2ydx+xdy=0

Jawab:2ydx+xdy=0vP=2yPy=2vQ=xdyQx=1d=2- 1xdxd=1xdx

Dari persamaan di atas diperoleh=xx2ydx+x(x)dy=02xydx+x2dy=0

Buktikan bahwa:(P)y=(Q)xP=2xyPy=2xQ=x2(Q)x=2x

Terbukti(P)y=(Q)x(Eksak)

Dengan demikian,dfdx=2xydf=2xydxdf=2xydxf=x2y+cyf'=x2+c'yx2+c'y=x2c'y=0cy=cJadi solusinya adalah:f=x2y+c

2. Tentukan solusi dari persamaan berikut dengan faktor pengintegrasi:

3xy+y2+x2+xydydx=0

Jawab:

3xy+y2+x2+xydydx=0

3xy+y2+x2+xydydx=0

vP = 3xy + y2Py=3x+2y

vQ =x2+xy Qx=2x+y

Karena PYQX(non eksak), maka tentukan(x,y). Sehingga3xy+y2+x2+xydydx =0

Misalkan

=xhanya fungsi dalam x, makad=Py-QxQdxd=3x+2y-(2x+y)x2+xydxd=3x-2y+2y-yx2+xydxd=x+yx2+xydxd=(x+y)x(x+y)dxd=1xdxDari persamaan di atas diperoleh=x

x3xy+y2+x(x2+xy)dydx=0Buktikan bahwa(P)y=(Q)xP=3x2y+xy2Py=3x2+ 2xyQ=x3+x2y(Q)x=3x2+ 2xy

Terbukti(P)y=(Q)x(Eksak)

Dengan demikian,x3xy+y2+x(x2+xy)dydx=03x2y+xy2+x3+x2ydydx= 0

x3+x2ydydx= -3x2y+xy2x3+x2ydy= -3x2y+xy2dx3x2y+xy2dx+x3+x2ydy= 0

Selesaikandengan menggunakanpersamaan diferensial eksak,Plih P untuk di integralkan terhadap x

P= 3x2y+xy2dx= x3y+12x2y2+c(y)Dimanac(y) adalah suatu konstanta sebarang terhadap variabelxyang dapat tergantung pada variable y(fungsi dari variabely).TurunkanP terhadapy dan samakan dengan Q

x3+x2y+c'(y)=x3+x2yc'y=0 cy=cSolusinya adalah:

f=x3y+12x2y2+c

3. Tentukan solusi umum dari persamaan diferensial:ydx+x2y-xdy=0

Jawab:Dengan langkah yang sama seperti contoh sebelumya PDydx+x2y-

Xdy =0memiliki faktor pengintegrasi =1x2.

Dengan demikian,

ydx+x2y-xdy=0

yx2dx+1x2x2y-xdy =0

Dengan cara yang sama tebukti bahwa(P)y=(Q)x(Eksak)

Solusi dari persamaan tersebutadalah:

yx2dx+1x2x2y-xdy=0

yx2dx+(x2yx2-xx2)dy=0

y-1xdy= -yx2dx

yx2dx+y-1xdy= 0

Selesaikandengan menggunakanpersamaan diferensial eksak,Plih P untuk di integralkan terhadap x

P =yx2dx = -yx+c(y)

Dimanac(y) adalah suatu konstanta sebarang terhadap variabelxyang dapat tergantung pada variable y(fungsi dari variabely).

TurunkanP terhadapy dan samakan dengan Q

-1x+c'(y)=(y-1x)c'y=ycy=12y2+c

Solusinya adalah:

F =-yx+cyf =-yx+y22+c

4. Tentukan solusi dari persamaan diferensialcosxdydx+ysinx= -2cos3x

Jawab:

cosxdydx+ysinx= -2cos3x

cosxdy=-(2cos3x+ysinx)dx

(2cos3x+ysinx)dx+cosxdy =0

vP= 2cos3x+ysinxPy=sinx

vQ =cosxQx = -sinx(Non Eksak)

Karena PD tersebut Non Eksak maka kita perlu mencari fungsi,sehingga PD tersebut menjadi eksakyaitu:

(2cos3x+ysinx)dx+cosxdy=0Dengan demikian:d=sinx(-sinx)cosxdxd=2sinxcosxdxd=2sinxcosxdxln= -2lncosxln=ln1cos2x=1cos2x=sec2x

Dengan mengalikanfungsimaka diperoleh persamaan diferensial yang eksak yaitu:

1cos2x(2cos3x+ysinx)dx+1cos2xcosxdy=0

(2cosx+ytanx.secx)dx+secxdy=0

vP=(2cosx+ytanx.secx) Py=(tanx.secx)

vQ=secxQx=(tanx.secx)(Eksak)

Selesaikan dengan menggunakan persamaan diferensial eksak:

dfdx=2cosx+ytanx.secx

df=2cosx+ytanx.secxdx

df=2cosx+ytanx.secxdx

f= 2sinx+ysecx+c(y)f'=secx+c'y

secx+c'y=secx

c'x= 0

cx=c

Jadi solusinya adalah:

F= 2sinx+ysecx+c=2sinx+y1cosx+cY=ccosx-2sinx.cosx=ccosx-sin2x

5. Tentukan solusi dari persamaan diferensialcosxdydx+ysinx=1

Jawab:cosxdydx+ysinx=1-(1-ysinx)dx+cosxdy=0vP= -1-ysinxPy=sinxvQ=cosxQx= -sinx( Non Eksak)

Sama seperti sebelumnya,kita cari faktor pengintegral PD tersebut sehingga menjadi eksak.-(1-ysinx)dx+cosxdy=0

Dengan demikian:

D=2sinxcosxdxD=2sinxcosxdxln= -2lncosx=1cos2x=sec2x

Jadi.

-1cos2x(1-ysinx)dx+1cos2xcosxdy=0

(-1cos2x+ytanxsecx)dx+1cosxdy=0

dfdx= (-1cos2x+ytanxsecx)df = (-1cos2x+ytanxsecx)dxdf =(-1cos2x+ytanxsecx)dxf =-tanx+ysecx+c(y)f' =secx+c'(y)

Q =f'=secx+c'y=secx

c'y=0 cy=c

Jadi solusinya adalah:f =ysecx-tanx+c

6. Tentukan solusi dari PDxdy+2y-xexdx=0Jawab:

xdy+2y-xexdx=0vP=2y-xexPy=2vQ=xQx=1(Non Eksak)

Sama seperti sebelumnya,kita cari faktor pengintegral PD tersebut sehingga menjadi eksak:

xdy+2y-xexdx=0

Jadi,d=1xdx=x

Sehingga,

x2dy+x2y-xexdx=0

vP=2xy-x2exPy=2x

vQ=x2Qx=2x(Eksak)

dfdx =2xy-x2exdf =(2xy-x2ex)dxf =x2y-(x2ex-2xex+2ex-cy)f =x2y-x2ex+2xex-2ex+cyf' =x2+c'(y)f' =Q=x2+c'y=x2

c'y=0 cy=c

Jadi solusinya adalah:

f =x2y-x2ex+2xex-2ex+cy

f=x2y-x2ex+2xex-2ex+c

III. KESIMPULAN :

Termodinamika adalah ilmu yang mempelajari tentang dinamika termal. Dinamika termal tersebut ditandai dengan adanya perubahan sifat-sifat materi. Materi dapat berphasa cair, padat dan gas ataupun campuran.

Diferensial total dari x adalah dx yang nilainya sama dengan perubahan x karena y berubah ditambah dengan perubahan x karena z berubah. Secara matematis dapat dinyatakan:

Diferensial total x adalah dx yang menggambarkan perubahan total x. Karena dx merupakan perubahan infinit suatu fungsi yang benar-benar ada, maka dx disebut diferensial eksak. Jika dx merupakan diferensial total dari fungsi x = x (y, z) yang benar-benar tidak ada, maka dx disebut diferensial tak eksak.

DAFTAR PUSTAKA

Aini Khuriati riza sulistiati 2010. Termodinamika. Yogyakarta : Graha IlmuBaisuni, Hasim. 2005.Kalkulus. Jakarta: Universitas Indonesia Prees.Bronson, Richard dan Gabriel Costa. 2007.Persamaan Diferensial Edisi Ketiga. Jakarta: Erlangga.Dimiski Hadi . Diktat TermodinamikaMarwan, dan Said Munzir. 2009.Persamaan Diferensial. Yogyakarta: Graha Ilmu.Merle c. potter ,craigh w. Somerton . 2008. Termodinamika teknik . jakarta : erlangga.