BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Hampir dalam tiap bidang baik pemerintahan, pendidikan, perekonomian, perindustrian, atau lainnya akan menghadapi persoalan yang diantaranya dinyatakan dengan angka-angka. Kumpulan angka-angka ini biasanya disusun dalam tabel atau daftar disertai diagram atau grafik. Kumpulan angka-angka mengenai suatu masalah yang dapat memberi gambaran mengenai masalah tersebut dinamakan statistik, seperti statistik penduduk, statistik kelahiran, statistik pendidikan dan lain-lain. Statistik juga diartikan sebagai ukuran yang dihitung dari sekumpulan data dan merupakan wakil dari data itu.

Statistika sering disebut studi tentang variasi karena membahas dan menyediakan cara-cara untuk menyelidiki variasi gejala alam sosial serta membuat kesimpulan tentang hal-hal yang melatar belakangi terjadinya variasi (Ferguson & Takane, 1989). Para ahli statistika telah mengusulkan sejumlah ukuran yang dapat membantu memahami variasi suatu perangkat data. Ukuran penyimpangan atau ukuran dispersi adalah suatu ukuran yang menunjukkan tinggi rendahnya perbedaan data yang diperoleh dari rata-ratanya. Dengan ukuran penyimpangan bisa diketahui derajat perbedaan data yang satu dengan data yang lainnya. Adapun yang akan kami sajikan dalam makalah ini adalah: simpangan baku, distribusi normal dan skor baku.BAB IIPEMBAHASAN

A. Simpangan Baku

1. Pengertian Simpangan Baku

Simpangan baku atau juga yang sering kita kenal dengan nama deviasi standard (standard deviation) adalah ukuran persebaran data. Istilah simpangan baku sendiri pertama kali dikeluarkan oleh Karl Pearson pada tahun 1984. Ia merupakan pendiri institute of Statistika University College London. Simpangan ini bisa diartikan jarak rata-rata penyimpangan antara nilai hasil pengukuran dengan nilai rata-rata . Simpangan baku juga dapat diartikan sebagai satuan ukuran penyebaran frekuensi dari tendensi sentralnya. Setiap frekuensi mempunyai deviasi dari tendensi sentralnya, dan juga merupakan ukuran penyebaran bagi variabel kontinum, bukan variabel diskrit. Kegunaan Simpangan baku adalah memberikan ukuran variabelitas dan homogenitas dari serangkain data. Semakin besar nilai simpangan suatu data semakin tinggi pula variabelitas dan semakin kurang homogenitas dari data tersebut. Sebaliknya, bila simpangan baku kecil, maka data tersebut semakin dekat kepada sifat homogenitasnya. 2. Rumus Simpangan Baku untuk Data TunggalJika kita mempunyai sekumpulan data kuantitatif tunggal (tidak berkelompok) yang dinyatakan oleh x1,x2,x3,.,xn maka dapat dicari simpangan bakunya dengan rumus

untuk data sample menggunakan rumus

untuk data populasi menggunkan rumus

Dengan :

S2 = ragam atau varians

n = banyaknya data

xi = data ke-I

x= rataan hitungcontoh soal 1:Selama 10 kali ulangan semester ini Andi mendapat nilai 91, 79, 86, 80, 75, 100, 87, 93, 90,dan 88. Berapa simpangan baku dari nilai ulangan Andi?

JawabSoal di atas menanyakan simpangan baku dari data populasi jadi menggunakan rumus simpangan baku untuk populasi.Kita cari dulu rata ratanyarata-rata = (91+79+86+80+75+100+87+93+90+88)/10 = 869/10 = 85,9

Kita masukkan ke rumus

=

Jika dalam soal menyebutkan sample (bukan populasi) misalnya dari 500 penduduk diambil 150 sample untuk diukur berat badannya dst, maka menggunakan rumus untuk sample (n-1)

3. Rumus Simpangan Baku Untuk Data KelompokMisal data kelompok yang dinyatakan dengan x1,x2,x3,,xn dan masing-masing mempunyai frekuensi fi,f2,f3,,fn maka simpangan bakunya dapat dicari dengan rumus untuk sample menggunakan rumus

untuk populasi menggunakan rumus

denga:

: data ke-i

( : rata-rata populasi

: rata-rata sampel

( : simpangan baku populasi s :simpangan baku sampel

N : ukuran populasi

n :ukuran sampel

Jika data kelompok tersebut terdiri dari kelas-kelas maka kita harus mencari nilai tengah dari masing-masing kelas untuk kemudian dicari rata-ratanya dengan cara mecari rata-rata data berkelompok. Untuk lebih jelasnya mari simak contoh di bawah ini

Contoh SoalDiketahui data tinggi badan 50 siswa samapta kelas c adalah sebagai berikut:

hitunglah berapa simpangan bakunya

1. Kita cari dulu rata-rata data kelompok tersebut

2. Setelah ketemu rata-rata dari data kelompok tersebut kita bikin tabel untuk memasukkannya ke rumus simpangan baku

B. DISTRIBUSI NORMAL

1. Pengertian Distribusi Normal

Pada distribusi frekuensi, data yang dikelompokkan dapat membuat histogram, poligon, ogif dan menentukan keofisien kemiringan suatu data sehingga dari poligon kita dapat melukis kurva yang halus dan kontinu dan menentukan kemiringan dari suatu distribusi data. Gambar dibawah menunjukkan perbandingan letak modus, median & rata-rata dalam tiga macam bentuk distribusi:a. Data yang distribusinya simetris

Mo= Me= X

b. data yang distribusinya juling ke negatif

X < Me < Mo

c. data yang distribusinya juling ke positif

Mo< Me < X

Gambar 2.1

Pada gambar 2.1 yang bagian a, nilai rata-rata sama atau mendekati nilai median dan modus, kurva simetri dengan puncak distribusi ada dibagian tengah. Distribusi data sepertti ini disebut distribusi normal. Distribusi normal sering disebut distribusi Gauss, sesuai nama pengembangnya,yaitu Karl Gauss pada abad ke- 18, seorang ahli matematika dan astronomi.

Boediono, (2008:345) Distribusi normal adalah mendefinisikan frekuensi relatif skor x tertentu pada suatu distribusi bergantung kepada dua parameter ( dan ) dan dua konstanta ( =3,1416) dan bilangan dasar sistem logaritma asli , e = 2,7183) . Distribusi normal dirumuskan sebagai berikut:

2. Karakteristik Distribusi Normal Distribusi normal berbentuk sebuah lonceng (bell-shape) oleh karena itu distribusi normal sering disebut sebagai bell shape distribution. Sebagai model teoritik distribusi normal memiliki empat karakteristik yang bersifat komulatif yaitu unimodal, simetrik, identik dan asimtotik.

Gambar 2.2

a. Unimodal, terdiri dari dua kata yaitu Uni = satu dan modal = modus, distribusi normal memiliki hanya satu modus.

b. Simetrik, yaitu jika data dibagi menjadi dua pada bagian median, maka distribusi frekuensi skor yang berada di atas median sama dengan distribusi frekuensi skor di bawah median.

c. Identik, yaitu nilai modus, median dan rata-rata pada distribusi normal adalah sama. ( modus = median = rata rata)

e. Asimtotik, yaitu kurva distribusi normal tidak akan pernah menyentuh absisnya, yaitu distribusi normal terbentuk dari perangkat dari skor yang bersifat kontinu dari mulai data yang tak hingga sampai dengan nilai yang tak hingga pula. Model Distribusi normal dapat berbeda-beda, hal tersebut tergantung pada nilai simpangan baku dan rata-rata data.

3. Bentuk Kurva Normal

Ada tiga bentuk kurva distribusi normal yaitu: Mesokurtic,Playcurtic dan leptokurtic.

C. Angka Baku (Standard Score)

1. Pengertian Angka Baku

Angka baku biasa dikatakan pula sebagai standar skor atau nilai standar, dan disimbolkan dengan huruf z. Oleh karena diberi simbol z maka banyak pula yang menyebut z score atau z skor atau angka z. Angka baku (z skor) adalah suatu nilai atau suatu angka yang menunjukkan seberapa jauh atau seberapa banyak suatu angka atau nilai yang dimiliki individu menyimpang dari nilai rata-ratanya, dengan satuan simpangan bakunya.

Seandainya terdapat dua orang yaitu si Abu dan si Bento dari kelas yang berbeda mendapat nilai Matematika 65 dan 70, maka kurang bijaksanalah apabila segera diambil kesimpulan bahwa nilai Bento lebih baik daripada nilai Abu, tanpa melihat nilai rata-rata dan simpangan baku dari masing-masing kelasnya. Seandainya nilai rata-rata kelas adalah sama, yaitu 55, itupun belum dapat disimpulkan nilai si Bento lebih baik daripada si Abu tanpa melihat simpangan bakunya. Hal tersebut dapat terjadi karena simpangan baku menentukan seberapa lebar sebaran nilai dari masing-masing kelas. Apabila simpangan baku dari kelas Abu adalah 5, sedangkan simpangan baku dari kelas Bento adalah 15, maka tampaklah bahwa Abu lebih baik daripada Bento, karena Untuk mendapatkan distribusi normal baku maka perlu untuk mengubah skor X ke dalam skor baku z. Persamaan untuk mengubah adalah :

Dimana:

Z = skor baku

Xi = data ke i

= rata-rata

= simpangan baku

sehingga nilai Abu dan Bento masing-masing menyimpang dari nilai ratarata dengan ukuran simpangan baku sebesar :

Dari hasil perhitungan tersebut di atas dapat diyakinkan bahwa nilai Abu lebih baik daripada nilai Bento ketika dibandingkan dengan masing-masing kelompoknya. Kelompok Bento lebih besar variasinya dari pada kelompok Abu, karena kelompok Bento memiliki simpangan baku sebesar 15. Jika dilihat dalam presentase, maka Abu menyimpang dari nilai rataratanya sejauh 2 s atau 47,72 % sedangkan Bento 1 s atau 34,13%.

Adapun transformasi nilai x ke z adalah:

Gambar 3.2. Transformasi nilai X ke Z2. Cara mencari luas distribusi normal bakuCara mencari luas distribusi normal bakua. Hitung z hingga dua desimal

b. Gambarkan kurvanya

c. Letakkan harga z pada sumbu datar. Lalu tarik garis vertikal hingga memotong kurva

d. Luas yang tertera dalam daftar adalah luas daerah antara garis dengan garis tegak titik nol

e. Dalam daftar normal standar, cari tempat harga z pada kolom paling kiri hanya hingga satu desimal dan desimal keduanya dicari pada baris paling atas

f. Bilangan yang didapat merupakan luas yang dicari dan harus ditulis dalam 4 desimal.3. Daerah di Bawah Kurva Normal Distribusi normal dimanfaatkan sebagai rujukan dalam menafsirkan data apabila distribusi data itu dapat dihampiri oleh model distribusi normal. Daerah di bawah kurva normal, luasan daerah itu menunjukan peluang munculnya nilai perubah acak yang memiliki distribusi normal baku pada interval 0 sampai dengan z untuk z = 0,0; 0,01; 0,02.....009 dst. Oleh karena distribusi normal bersifat simetrik terhadap rata-ratanya, maka kita tidak perlu menghitung luas daerah dari 0 ke skor z yang bertanda negatif.

Luas daerah dibawah kurva normal dai 0 s/d z dapat diperoleh dengan mengintegrasikan persamaan 0 ke z pada persamaan 3.1. Distribusi normal baku mempunyai rata-rata = 0 dan simpangan baku = 1, maka persamaan menjadi :

Luas daerah dibawah kurva normal dai 0 s/d z dapat diketahui dengan menggunakan tabel z (terlampir), tabel luas dibawah lengkungan normal standar dari 0 ke z, bilangan dalam daftar menyatakan desimal. Untuk menentukan luas daerah di bawah kurva normal standar, telah dibuat daftar distribusi normal standar,yaitu tabel luas kurva normal standar dengan nilai-nilai Z tertentu. Dengan daftar tersebut, bagian-bagian luas dari distribusi normal standar dapat dicari.

Karena seluruh luas kurva adalah1dan kurva simetris terhadap =0 maka luas dari garis tegakpada titik nol ke kiriat aupun ke kanan adalah 0,5 dan diartikan: P(Z>0)=0,5. Luas daerah dibawah kurva normal pada interval tertentu dapat dituliskan:P(0