MAKALAH

GEOMETRI TRANSFORMASI

“TRANSFORMASI”

KELOMPOK 1

1. ARIN TRIFANDINI (08320093)

2. LUKMAN HAKIM (08320100)

3. NUR INDAH PERMATASARI (08320128)

4. DWI RETNO WIDAHARDANI (08320129)

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN KOMPUTASI

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG

2011

KATA PENGANTAR

Syukur alhamdulillah penulis ucapkan kehadirat Allah SWT, yang

telah memberikan rahmat dan hidayah-Nya berupa kesehatan dan

kesempatan untuk mengikuti dan menyelesaikan Makalah ini yang

berjudul : Transformasi.

Makalah ini merupakan salah satu syarat bagi mahasiswa untuk

mata kuliah geometri transformasi pada program studi pendidikan

matematika di Universitas Muhammadiyah Malang

Selesainya penulisan Makalah ini tidak lepas dari bantuan dan

bimbingan dosen pengajar serta semua pihak yang telah banyak membantu

dalam menyelesaikan makalah ini baik bantuan moril maupun bantuan

materil.

Penulis menyadari akan keterbatasan kemampuan, fasilitas dan

waktu yang penulis miliki, penulis merasa Makalah ini disusun masih

banyak kekurangan sehingga belum sempurna. Maka dari itu dengan

segala kerendahan hati penulis akan menerima dengan senang hati bila ada

yang memberikan saran dan kritik yang sifatnya membangun untuk

perbaikan dimasa yang akan datang, semoga hasil makalah ini bermanfaat

bagi pembaca pada umumnya dan bagi mahasiswa Program Studi

Pendidikan Matematika pada khususnya.

Malang,8 Oktober 2011

Penulis

A. Transformasi

Pengertian :

Transformasi digunakan untuk untuk memindahkan suatu titik atau bangun

pada suatu bidang.

Definisi :

Suatu trnsformasi bidang adalah fungsi satu-satu dari bidang onto bidang.

Contoh :

Pilihlah pada bidang euclides V suatu sistem Ortogonal. T adalah padanan

yang mengaitkan setiap titikP dengan P' yang letaknya satu satuan dari P

dengan arah sumbu X yang positif. Selidiki apakah T suatu transformasi !!

Jawab : Y

P P'

0 X

Kalau P = (x,y) maka T (P) = P' dan P' = (x = 1,y)

Jelas aerah asal T adalah seluruh bidang V.

Kita harus menyelidiki lagi dua hal, yaitu :

1). Apakah T surjektif ?

2). Apakah T injektif ?

Jika A (x,y), pertanyaannya yang harus dijawab ialah apakah A memiliki

prepeta oleh T ?

Andaikan B = (x', y')

1). Kalau B ini prapeta titik A (x,y) maka haruslah berlaku T (B) = (x' + 1,

y') Jadi x' + 1 = x, y' = y

x' = x - 1

Atau

y' = y

jelas T (x-1, y) = ((x-1) + 1, y) = (x,y)

oleh karena x', y' selalu ada, untuk segala nilai x, y maka B selalu ada

sehingga

T(B) = A

Karena A sembarang, maka setiap titik di V memiiki prapeta yang berarti

bahwa T surjektif.

2). Andaikan P (x1, y1) dan Q (x2, y2) dengan P ≠ Q

Apakah T (P) ≠ T (Q)?

Di sini T (P) = (x1 + 1, y1) dan T (Q) = (x2 + 1, y2)

Kalau T (P) = T (Q), maka (x1 + 1, y1) = (x2 + 1, y2)

Jadi x1 + 1 = x2 + 1 dan y1 = y2 , ini berarti x1 = x2 dan y1 = y2. Jadi P = Q.

Ini berlawanan dengan yang diketahui bahwa P ≠ Q. Jadi haruslah T (P) ≠

T (Q).

Dengan demikian, ternyata bahwa T injektif dan T adalah padanan yang

bijektif. Jadi T suatu transformasi dari V ke V.

B. Hasil kali transformasi (Komposisi Transformasi)

Definisi :

Misalkan ada dua transformasi T 1dan T 2 maka komposisi dari T 1dan

T 2 merupakan suatu transformasi, ditulis dengan notasi T 1 o T 2 ditetapkan

sebagai :

(T 1o T 2) (R) = T 1 [T 2 (R)], " R∈n .

Untuk membuktikan transformasi ini yang harus ditunjukkan adalah :

1. T 1o T 2fungsi dari n ke n

Karena T 2suatu transformasi maka T 2merupakan fungsi dari n ke n ,

sehingga prapeta dari T 1 o T 2 = prapeta dari T 2.

Ambil x ∈n sebarang, karena T 2transformasi berarti ada y ∈n sehingga

T 2 (x)= y dan T 1 juga merupakan transformasi berarti ada z ∈n sehingga

T 1 (y) = z.\ z =T 1 (y), y =T 2 (x)

z =T 1 [T 2 (x)]=(T 1 o T 2)(x)

Jadi " x∈n nilai dari (T 1 o T 2)(x) adalah z ∈n . Akibatnya transformasi ini

dikatakan sebagai fungsi dari n ke n

2. T 1 o T 2fungsi bijektif :

a) T 1 o T 2fungsi kepada

ambil z ∈n karena T 1 transformasi maka T 1 fungsi kepada,

akibatnya ada y ∈n sehingga T 1 (y)= z dan karena T 2juga

transformasi maka T 2juga fungsi kepada, akibatnya y ∈n sehingga

T 2 (x)= y . Jadi, untuk z ∈n sebarang ada x ∈n sehingga

z= T 1 (y)= T 1 [T 2 (x)] =(T 1 o T 2)(x). \" ∈n mempunyai prapeta oleh T 1o T 2

akibatnya T 1o T 2suatu fungsi kepada.

b) T 1 o T 2fungsi satu – satu

ambil x,y ∈n sehingga (T 1o T 2)(x)=(T 1o T 2)(y) maka

T 1 [T 2 (x)]=T 1 [T 2 (y)] dari hubungan ini didapat T 2 (x)=T 2 (y)® x = y.

karena T 1 o T 2fungsi satu – satu dan kepada

Maka T 1o T 2suatu fungsi bijektif.

Kesimpulan : dari uraian di atas maka T 1o T 2suatu transformasi.

C. Kolineasi

Definisi : Sebuah transformasi T yang bersifat bahwa sebuah garis petanya

juga garis dinamakan kolineasi.

Oleh karena suatu refleksi adalah suatu kolineasi maka setengah putaran

juga suatu kolineasi. Ini tidak mengherankan sebab setiap isometri adalah

suatu kolineasi.

Suatu transformasi disebut kolineasi jika hasil transformasi sebuah garis

(lurus) akan berupa garis lagi.

Jadi, jika g adalah garis maka T adalah kolineasi jika T(g) berupa garis,

yaitu himpunan titik P’ = T(P) dengan P terletak pada g.

Contoh :

1. f(x) = x2 dengan x> 0

Fungsi di atas dapat dipandang sebagai transformasi dengan domain

sumbu X positif yang berupa garis lurus, dan hasil transformasinya berupa

kurva y = x2.

X

Y

y = x2

O

X

Y

O

y = x + 1

1

-1

f(x) bisa dituliskan sebagai transformasi

T : (x,0)→(x,x2)

Rumus transformasinya :

( x ' ¿ )¿¿

¿¿

Gambar disamping memperlihatkan

bahwa hasil transformasi garis lurus

(sumbuX positif) adalah kurva y = x2

yang tidakberupa garis lurus.

Maka dapat disimpulkan bahwa T (x,0) = (x,x2) bukan kolineasi. Atau

ungsi f(x) = x2 bukan transformasi kolineasi.

2. f(x) = x + 1

Fungsi itu dapat dinyatakan sebagai

transformasi T : (x,0)→(x,x + 1), yaitu

mentransformasikan garis lurus (sumbuX)

menjadi garis y = x + 1.Rumus

transformasinya

( x ' ¿ )¿¿

¿¿.

Gambar di samping memperlihatkan bahwa hasil transformasi garis lurus

(sumbuX) juga berupa garis lurus (y = x + 1). Maka fungsi f(x) = x + 1

merupakan transformasi kolineasi.

3. f(x,y) = x + 2y

Bisa dianggap sebagai transformasi T : (x,y,0) → (x,y, x + 2y), yaitu yang

mentransformasikan bidang XOY menjadi bidang z = x + 2y.

X

Y

O

Z

z = x + 2y

Rumus transformasinya

( x ' ¿ ) ( y ' ¿ ) ¿¿

¿¿

Gambar di samping memperlihatkan

bahwa hasil transformasi bidang X O Y

juga berupa bidang datar (z = x + 2y).

Bisa dikatakan, setiap garis pada bidang XOY ditransformasikan menjadi

garis yang menyusun bidang z = x + 2y. Maka, f(x,y) = x + 2y merupakan

transformasi kolineasi.

Diantara kolineasi-kolineasi ini ada yang disebut dilatasi.

Definisi : suatu kolineasi dinamakan suatu dilatasi apabila untuk setiap

garis g berlaku sifat (g) // g. Salah satu contoh adalah setengah putaran

D. Involusi

Teorema :

Invers dari setiap refleksi garis adalah refleksi garis itu sendiri.

Suatu transformasi yang inversnya adalah transformasi itu sendiri

dinamakan involusi. Berdasarkan penjelasan di atas, jelas bahwa refleksi

garis adalah suatu involusi.

Bukti :

Terdapat dua transformasi T dan I serta komposisi TL. Berdasarkan

pengetahuan yag lalu maka dapat dinyatakan

(TL)-1 = L-1 T-1

Maka (TL) = (L-1 T-1) = [(TL)L-1] T-1

= [T(LI-1)] T-1

= [TI] T-1

= TT-1

= I

Dengan cara yang sama diperoleh

(L-1T-1) (TL) = I

E. Macam – macam fungsi

1. Fungsi injektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan

hanya jika untuk sebarang a1 dan a2 dengan a1 tidak sama dengan a2

berlaku f(a1) tidak sama dengan f(a2). Dengan kata lain, bila a1 = a2 maka

f(a1) sama dengan f(a2).

2. Fungsi surjektif

Fungsi f: A → B disebut fungsi kepada atau fungsi surjektif jika dan

hanya jika untuk sebarang b dalam kodomain B terdapat paling tidak satu

a dalam domain A sehingga berlaku f(a) = b.

3. Fungsi bijektif

Fungsi f: A → B disebut disebut fungsi bijektif jika dan hanya jika untuk

sebarang b dalam kodomain B terdapat tepat satu a dalam domain A

sehingga f(a) = b, dan tidak ada anggota A yang tidak terpetakan dalam B.

Dengan kata lain, fungsi bijektif adalah sekaligus injektif dan surjektif.

F. Sifat-sifat Grup

semigrup yaitu suatu struktur aljabar dengan satu operasi biner

(grupoid terhadap penjumlahan atau perkalian) yang memiliki prasyarat

tertutup dan assosiatif. Sedangkan monoid adalah suatu struktur aljabar

dengan satu operasi biner (semigrup terhadap penjumlahan atau perkalian)

yang setiap anggotanya memiliki unsur satuan atau identitas.

Dalam sub pokok bahasan ini, akan dipelajari definisi atau syarat-

syarat dasar dari suatu Grup dan mengaplikasikannya kedalam contoh-

contoh soal sederhana, baik itu terhadap penjumlahan maupun terhadap

perkalian. Adapun definisi mengenai Grup adalah :

Definisi Grup :

Suatu monoid (G,*) dikatakan suatu Grup jika setiap anggotanya memliki

unsur balikan atau invers, yaitu :

Dengan kata lain, dari definisi tersebut dapat kita ketahui syarat-

syarat dari suatu Grup yaitu memenuhi sifat monoid dan setiap anggotanya

memiliki unsur balikan atau invers. Adapun untuk lebih

Jelasnya mengenai syarat-syarat suatu Grup akan dijabarkan dalam

definisi berikut ini :

Grupoid (G,*) dikatakan suatu Grup jika memenuhi syarat-syarat :

1. Tertutup

Misalkan a dan b adalah anggota G, maka a dan b tertutup bila a * b ∈G

2. Assosiatif

Misalkan a,b,c ∈ G maka (a * b) * c = a * (b * c)

3. Adanya unsur satuan atau identitas

Misalkan a∈G maka a * e = e * a = a

4. Adanya unsur balikan atau invers

Misalkan a∈G maka a * a−1 = a−1 * a = e

Contoh :

Misalkan G = {-1, 1} adalah suatu himpunan.

Tunjukan bahwa G adalah suatu Grup terhadap perkalian (G, .).

Penyelesaian :

Tabel

Daftar Cayley G = {-1, 1} terhadap (G, .)

Dari tabel 3.1. akan ditunjukan bahwa G = {-1, 1} merupakan suatu Grup

terhadap perkalian (G, .), yaitu :

a. Tertutup

Ambil sebarang nilai dari G

misalkan -1 dan 1 ∈ G

-1 . 1 = -1 karena hasilnya -1 ∈ G, maka tertutup terhadap G

b. Assosiatif

Ambil sebarang nilai dari G

misalkan a = -1, b = -1 dan c = 1∈G

(a . b) . c = (-1 . -1) . 1 = 1 . 1 = 1

a . (b . c) = 1 . (-1. -1) = 1 . 1 = 1

Sehingga (a . b) . c = a . (b . c) = 1 maka G assosiatif

c. Adanya unsur satuan atau identitas (e = 1, terhadap perkalian)

Ambil sebarang nilai dari G

misalkan -1∈G

-1 . e = e . (-1) = -1

misalkan 1 ∈ G

1 . e = e . 1 = 1

maka G ada unsur satuan atau identitas

d. Adanya unsur balikan atau invers

Ambil sebarang nilai dari G, misalkan -1 ∈G, pilih -1 ∈ G,

sehingga -1. (-1) = 1 = e, maka (−1 )−1 = -1

Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 1∈G, pilih 1 ∈ G,

sehingga 1. 1 = 1 = e, maka (−1 )−1 = 1

maka G ada unsur balikan atau invers

Jadi, G = {-1, 1} merupakan Grup terhadap perkalian (G, .).

Bila suatu Grup memenuhi sifat komutatif, dimana a * b = b * a, maka Grup

tersebut dinamakan Grup Komutatif atau Grup Abelian. Adapun

definisinya adalah sebagai berikut :

Definisi:

Suatu grupoid (G,*) dikatakan Grup Komutatif (Grup Abelian), jika

memenuhi syarat-syarat :

1. Tertutup

Misalkan a dan b adalah anggota G, maka a dan b tertutup bila a * b ∈G

2. Assosiatif

Misalkan a,b,c ∈G maka (a * b) * c = a * (b * c)

3. Adanya unsur satuan atau identitas

Misalkan a ∈ G maka a * e = e * a = a

4. Adanya unsur balikan atau invers

Misalkan a ∈ G maka a * a−1= a−1 * a = e

5. Komutatif

Misalkan a,b ∈ G maka a * b = b * a

Contoh :

Dari contoh yang pertama tentang grup, tunjukan bahwa G = {-1, 1} adalah

suatu Grup Komutatif / Grup Abelian terhadap perkalian (G, .).

Penyelesaian :

Pada contoh yang pertama mengenai grup telah ditunjukan bahwa G = {-1,

1} adalah suatu Grup terhadap perkalian (G, .).

Sekarang akan ditunjukan sifat komutatif dari Grup tersebut.

Ambil sebarang nilai dari G :

misalkan -1 dan 1 ∈ G

-1 . 1 = -1

1 . (-1) = -1

sehingga -1 . 1 = 1 . (-1) = -1

Karena Grup tersebut memenuhi sifat komutatif, maka Grup tersebut

adalah Grup Komutatif atau Grup Abelian terhadap perkalian (G, .).

Contoh :

tunjukan bahwa G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah suatu Grup

Komutatif / Grup Abelian terhadap penjumlahan (G, +).

Penyelesaian :

Dari contoh 3.3, telah ditunjukan bahwa G = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah

suatu Grup terhadap penjumlahan (G, +).

Sekarang akan ditunjukan sifat komutatif dari Grup tersebut.

Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 1 dan 5 ∈ G (pada tabel 4.3.)

1 + 5 = 0

5 + 1 = 0

sehingga 1 + 5 = 5 + 1 = 0

Karena Grup tersebut memenuhi sifat komutatif, maka Grup tersebut

adalah Grup Komutatif atau Grup Abelian terhadap penjumlahan (G, +).

Ada beberapa sifat dari suatu Grup, yang akan dijelaskan dalam

teorema berikut ini :

Teorema 1 :

Misalkan (G, .) adalah suatu Grup, maka :

a. Jika a Î G, maka¿ = a

b. Jika a, b Î G, maka (ab¿−1 = b−1 a−1

Bukti :

a. Dari sifat unsur satuan atau identitas, diketahui a−1. a = e = a . a−1,

maka dapat dikatakan bahwa a unsur balikan dari a−1.

Dengan sifat ketunggalan balikan, di dapat ¿ = a.

b. (ab) (b−1 a−1) = ((ab) b−1 ¿a−1= (a (bb−1)) a−1= (ae) a−1= aa−1= e

Dengan cara yang sama didapat :

(b−1 a−1) (ab) = b−1¿ a−1 (ab)) = b−1 ((a−1 a) b) = b−1 (eb) = b−1b = e

Sehingga dengan sifat ketunggalan balikan, didapat (ab¿−1 = b−1 a−1

Dalam operasi penjumlahan (+), teorema tersebut dapat ditulis sebagai

berikut :

Teorema 2 :

Misalkan (G, +) adalah suatu Grup, maka :

a. Jika a ∈ G, maka -(-a) = a

b. Jika a, b Î G, maka -(a + b) = (-b) + (-a)

Teorema 3 : (Hukum Penghapusan)

Misalkan (G, .) adalah suatu Grup dan a, b, x ∈G, maka :

a. Jika xa = xb, maka a = b (penghapusan kiri)

b. Jika ax = bx, maka a = b (penghapusan kanan)

Bukti :

a. Misalkan xa = xb

maka :

x−1 (xa )=x−1 ( xb )

( x−1 x ) a=( x−1 x ) b

ea = eb

sehingga :

a = b (penghapusan kiri)

b. Misalkan ax = bx

maka :

(ax)x−1 = (bx) x−1

a (x−1x) = b (x−1x)

ae = be

sehingga :

a = b (penghapusan kanan)

Dalam operasi penjumlahan (+), teorema 4.3, dapat ditulis sebagai

berikut :

Teorema 3.4 : (Hukum Penghapusan)

Misalkan (G, +) adalah suatu Grup dan a, b, x ∈ G, maka :

1. Jika x + a = x + b, maka a = b (penghapusan kiri)

2. Jika a + x = b + x, maka a = b (penghapusan kanan)

G. Subgrup

Pada sub pokok bahasan ini akan diperkenalkan Subgrup yang

merupakan bagian dari Grup. Secara harfiah Subgrup dapat diartikan

sebagai grup bagian yang mempunyai sifat-sifat dari Grup. Adapun

definisinya adalah sebagai berikut :

Definisi :

Misalkan (G,*) adalah suatu Grup dan H ∈ G. (H,*) dikatakan Subgrup dari

(G,*), jika (H,*) adalah suatu Grup terhadap operasi yang ada dalam

(G,*).Dari definisi tersebut dapat diartikan bahwa untuk membuktikan

bahwa (H,*) adalah Subgrup dari Grup (G,*), harus melalui langkah-

langkah sebagai berikut :

1. Harus ditunjukan bahwa H ∈ G

2. Harus ditunjukan bahwa (H,*) merupakan suatu Grup

Contoh :

Dari contoh 3.1, tunjukan bahwa H = {1} adalah merupakan Subgrup dari

G = {-1, 1} terhadap perkalian (G, .).

Penyelesaian :

H = {1} merupakan himpunan bagian dari G = {-1, 1}, sehingga H∈G.

Dari tabel 3.1. akan ditunjukan H = {1} memenuhi syarat-syarat suatu

Grup :

a. Tertutup

misalkan 1 ∈ H dan 1 . 1 = 1

karena hasilnya 1 ∈ H, maka tertutup terhadap H

b. Assosiatif

misalkan a = 1, b = 1 dan c = 1∈H

(a . b) . c = (1 . 1) . 1 = 1 . 1 = 1

a . (b . c) = 1 . (1. 1) = 1 . 1 = 1

Sehingga (a . b) . c = a . (b . c) = 1, maka H assosiatif

c. Adanya unsur satuan atau identitas (e = 1, terhadap perkalian)

Ambil sebarang nilai dari G

misalkan 1 ∈ G

1 . e = e . 1 = 1

maka G ada unsur satuan atau identitas

d. Adanya unsur balikan atau invers

· Ambil sebarang nilai dari G, misalkan 1 ∈ G, pilih 1 ∈ G,

sehingga 1. 1 = 1 = e, maka (1)-1 = 1

maka G ada unsur balikan atau invers

Jadi, H = {1} memenuhi syarat-syarat suatu Grup, sehingga (H, .)

merupakan Subgrup dari (G, .).

H. Orde Suatu Grup

Misalkan G adalah suatu Grup dan a ∈ G, a merupakan unsur atau

anggota atau elemen dari Grup. Unsur dari grup ini dapat membentuk atau

membangun suatu Subgrup, jumlah dari unsur suatu Grup atau Subgrup

tersebut disebut orde.

Definisi1:

Misalkan (G,*) adalah suatu Grup. Banyaknya unsur-unsur dari Grup (G,*)

disebut orde dari Grup (G,*), dilambangkan dengan |G|. (G,*) disebut Grup

hingga bila |G| terhingga (finite) dan disebut Grup tak hingga bila |G| tak

hingga.

Definisi 2:

Orde dari suatu unsur a dalam suatu Grup (G,*) adalah bilangan bulat positif

terkecil n, sedemikian hingga an = e (e = 1, untuk perkalian) dan na = e (e =

0, untuk penjumlahan). Bila tidak ada bilangan seperti n tersebut, maka orde

dari unsur tersebut tak hingga

Contoh :

Tentukan Subgrup dari Grup (Z4,+) dan tentukan orde dari masing-masing

Subgrup.

Penyelesaian :

Grup Z4 = {0, 1, 2, 3}, orde dari Grup |Z4| = 4.

Subgrup dari unsur-unsur Z4 adalah :

Misal n = 0, 1, 2, 3 dan H a = {na, n∈Z4)

a = 0

H 0 = {0}

sehingga |H 0| = 1

a = 1,

H 1 = {1, 2, 3, 0}

sehingga |H 1| = 4

a = 2,

H 2 = {2, 0}

sehingga |H 2| = 2

a = 3,

H 3 = {3, 2, 1, 0}

sehingga |H 3| = 4