BAB I

PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Prinsip Ketidakpastian Heisenberg menyatakan bahwa (hampir) tidak

mungkin untuk mengukur dua besaran secara bersamaan, misalnya posisi dan

momentum suatu partikel. Artinya, ketika kedua hal itu dilakukan secara bersamaan

kita tidak akan mendapatkan nilai dari kedua besaran tersebut, dan apabila pada saat

yang bersamaan kita tidak melakukan pengukuran jelas otomatis kita juga tidak

menemukan kedua besaran tersebut.

Jika kita kaitkan dengan aktivitas, maka prinsip dari hukum itu berarti bahwa

jika dalam suatu waktu kita mengerjakan dua atau lebih pekerjaan maka kita tidak

akan mendapatkan hasil yang optimal. Misalnya seorang dosen yang mengajar mata

kuliah di kelas, pada saat mengajar tersebut dosen mengerjakan laporan penelitian.

Maka kedua pekerjaan itu tidak akan meraih hasil yang optimal.

Hubungan deBroglie E =

( )

( )v

dapat dituliskan sebagai E = h . Jadi, = / ћ, sehingga hubungan ketidakpastian

menjadi.

Persamaan ini dikenal sebagai hubungan ketidakpastian Heisenberg, yang

adalah pernyataan matematis dari asas ketidakpastian Heisenberg. Hubungan-

hubungan ini memberikan pengaruh yang sangat jauh pada pandangan kita terhadap

alam. Dapat diterima bila dikatakan bahwa terdapat ketidakpastian dalam

menentukan letak sebuah gelombang air.Namun permasalahannya menjadi lain bila

pernyatan yang sama diterapkan pada gelombang deBroglie, karena akan tersirat

bahwa terdapat pula ketidakpastian dalam menentukan letak partikel. Pada persamaan

mengatakaan bahwa alam menetapkan suatu batas ketelitian yang dapat kita gunakan

untuk melakukan sebuah percobaan, tidak perduli sebaik apapun peralatan ukur kita

dirancang, kita tidak dapat melakukan pengukuran yang lebih teliti dari pada yang

disyaratkan oleh persamaan tersebut.

1.2 RUMUSAN MASALAH

● Prinsip Ketidaktentuan Heisenberg.

● Hubungan Observabel Komutator.

1.3 TUJUAN

1. Untuk menjelaskan bagaimana Prinsip ketidaktentuan Heisenberg.

2. Untuk menjelaskan bagaimana hubungan umum dari observabel komutator.

3. Untuk menjelaskan fungsi dari Operator Observabel.

1.4 MANFAAT

1. Untuk mengetahui ketidaktentuan Heisenberg.

2. Untuk mengetahui hubungan umum dari Observabel Komutator.

3. Untuk mengetahui fungsi dari Operator Observabel.

BAB II

PEMBAHASAN

A. Prinsip Ketidaktentuan hesenberg.

Werner Heisenberg lahir pada tanggal 5 Desember 1901 di Wurzburg. Ayahnya

adalah seorang profesor dibidang kebudayaan Yunani pertengahan dan modern di

Universitas Munich. Meskipun masa sekolahnya terganggu oleh Perang Dunia I, pada

umur 16 tahun Heisenberg muda sudah bisa mengajari temannya yang belajar

kalkulus di universitas. Pada umur 17 tahun, Heisenberg menjadi sukarelawan yang

bekerja di daerah pertanian Bavaria. Dia kembali ke Munich setelah perang,

kemudian menjadi seorang pengirim pesan untuk partai demokratik sosialis yang

berseteru dengan partai komunis sebagai penguasa Jerman saat itu. Heisenberg

mengawali kuliahnya di Universitas Munich mengambil jurusan matematika. Beliau

diperkenalkan oleh ayahnya–yang baru saja pensiun–kepada Ferdinand von

Lindermann. Namun setelah diwawancara oleh Lindermann, Heisenberg dinyatakan

gagal. Padahal subjek paling favoritnya adalah matematika.

Wawancara selanjutnya dengan Sommerfeld membuka jalan baru baginya.

Heisenberg diterima di jurusan fisika teori di Universitas itu. Bersama Pauli, mereka

memulai kuliahnya pada tahun 1920. Beliau langsung jatuh cinta dengan subjek

barunya. Kemudian beliau berencana mengambil penelitian mengenai relativitas–

topik yang sedang hangat-hangatnya saat itu. Rencana ini ternyata sudah keduluan

oleh Pauli. Temannya itu menyarankan agar Heisenberg mengambil penelitian

mengenai struktur atom. Menurut Pauli, penelitian mengenai struktur atom lebih

membutuhkan pengembangan oleh orang seperti Heisenberg. Hal ini didasarkan

pemikiran bahwa saat itu hasil penelitian dan pemikiran teori tentang subjek itu masih

belum sesuai.

Subjek penelitian tentang struktur atomlah yang kemudian mempertemukan

Heisenberg dengan Bohr. Pada tahun 1922, Heisenberg menghadiri kuliah Bohr di

Universitas Gottingen. Saat kuliah itulah Heisenberg mengemukan pendapatnya yang

membuat Bohr kebakaran jenggot. Menurutnya, karena elektron itu tidak akan pernah

dapat dilihat oleh manusia maka kepastian dari keadaan elektron tersebut (posisi dan

momentumnya) tidak akan pernah dapat dipastikan. Menurutnya lagi, “Kita tidak bisa

menentukan apa yang akan terjadi karena kita tidak tahu sepenuhnya tentang masa

kini!” Inilah cikal bakal dari prinsip ketidakpastian Heisenberg. Namun, karena

pendapatnya itulah, Bohr memanggilnya. Bohr memang merasa ada kelemahan dari

teorinya, salah satunya adalah tidak bisa menjelaskan dengan benar spektrum atom

poli-elektron. Kemudian Heisenberg diajak berjalan-jalan di alam Jerman sambil

menikmati pemandangan dan membicarakan tentang pendapatnya. Disitulah Bohr

tahu bahwa anak muda ini bukan orang sembarangan. Bohr mengajaknya ke

Copenhagen, Denmark. Saat itu Copenhagen memang menjadi salah satu pusat

penelitian fisika teori terkemuka, terlebih karena Bohr adalah orang Denmark. Di

sana, Heisenberg bekerja bersama Max Born, Franck dan Hilbert mengkaji tentang

model atom Bohr yang saat itu diterima sebagai model atom paling canggih.

Heisenberg menyelesaikan disertasinya tentang turbulensi fluida pada tahun 1923,

artinya beliau menyelesaikan studi S3-nya saat masih berumur 22 tahun!.

Pada tahun 1925 Heisenberg kembali ke Gottingen. Tahun itu pula beliau

menemukan matriks mekanik, versi pertama dari pengembangan mekanika kuantum.

Beliau tidak menemukannya sebagai matriks aljabar, tapi memfokuskannya pada

kuantisasi probabilitas amplitudo yang dibangun oleh aljabar non-komutatif. Max

Born dan Pascual Jordan menkonversikannya ke bentuk matriks aljabar. Tahun 1926,

Max Born menafsirkan fungsi gelombang dalam suku probabilitas. Ketika seseorang

melakukan pengukuran lokasi elektron, probabilitas mendapatkannya di setiap posisi

bergantung pada fungsi gelombang di sana. Interpretasi ini mengusulkan bahwa

keacakan merupakan karakteristik atau sifat fundamental alam.

Pada tahun 1927 Heisenberg kembali ke Jerman dengan predikat profesor paling

muda di negara itu. Dengan memanfaatkan temuan sebelumnya (yang sudah

dikonversikan oleh Max Born), akhirnya pada tahun yang sama Heisenberg

mengemukakan prinsipnya. Prinsip ketidakpastian mengemukakan bahwa posisi dan

momentum suatu elektron tidak bisa ditentukan dalam waktu yang bersamaan.

Prinsip ini bukan merupakan akibat dari keterbatasan ketelitian instrumen manusia,

akan tetapi merupakan sifat yang inheren (melekat) di dunia subatomik. Heisenberg

mengajukan suatu prinsip yang menjungkirbalikkan determinisme fisika klasik!

Pengukuran pertama dilakukan dengan mengukur posisi dari elektron,

kemudian mengukur momentumnya. Posisi dilambangkan dengan x dan momentum

dilambangkan dengan p. Jika dilakukan pengukuran beberapa kali maka setiap

pengukuran akan memberikan hasil yang berbeda baik dari segi posisi ataupun

momentumnya. Dengan kata lain, ada suatu ketidakpastian dalam pengukuran.

Hubungan ketidakpastian muncul antara dua kuantitas yang bisa diteliti yang dapat

diartikan sebagai operator non-komutatif. Prinsip ketidakpastian dalam mekanika

kuantum dijelaskan bahwa pengukuran posisi elektron akan mengganggu momentum

elektron tersebut. Penggangguan dalam prinsip ketidakpastian ini dapat dilihat dari

asumsi berikut: elektron disiapkan dalam keadaan mantap dan mengukur posisi lalu

momentum, tapi tidak keduanya. Setelah percobaan diulangi berkali-kali, maka akan

didapatkan distribusi probabilitas dari harga posisi-momentum, dan hubungan

ketidakpastiannya akan tetap berkesesuaian untuk harga p, x. Hubungan

ketidakpastian Heisenberg ini merupakan pengukuran yang sifatnya teoritis, oleh

karena itu disebut juga pengukuran yang berada dalam keadaan ideal.

Berbeda dengan teori mekanika klasik yang menyebutkan bahwa momentum

dan posisi elektron bisa ditentukan pada saat bersamaan sekalipun. Prinsip

ketidakpastian menimbulkan efek yang aneh. Dengan prinsip ini, posisi dan

momentum elektron tidak bisa ditentukan dengan teliti atau 100%. Jika benar-benar

yakin, posisi elektron bisa ditentukan hanya dengan keboleh jadian sebanyak 99%

berada di tempat tertentu, dan 1% berada di tempat lain. Bahkan meskipun

kemungkinannya hanya 1%, posisi elektron itu bisa saja berada di seberang alam

semesta. Ketidakpastian juga tidak hanya berlaku untuk pasangan posisi - momentum

tapi juga pasangan besaran lainnya, seperti energi-waktu, waktu-frekuensi, dan dua

komponen ortogonal dari momentum angular. Dengan ini teori-teori yang

menjelaskan subjek-subjek tadi harus dikaji ulang semuanya.

Tentu saja hal ini menimbulkan pro dan kontra. Bohr termasuk orang yang pro karena

bersamanyalah Heisenberg membangun prinsipnya itu. Einstein, sang penemu

relativitas, adalah salah satu yang tidak setuju dengan prinsip ketidakpastian tersebut.

Kemudian prinsip ini menjadi perdebatan dikalangan ilmuwan saat itu.

Prinsip Ketidakpastian Heisenberg dalam Beraktivitas.

Prinsip Ketidakpastian Heisenberg menyatakan bahwa (hampir) tidak

mungkin untuk mengukur dua besaran secara bersamaan, misalnya posisi dan

momentum suatu partikel. Artinya, ketika kedua hal itu dilakukan secara bersamaan

kita tidak akan mendapatkan nilai dari kedua besaran tersebut, dan apabila pada saat

yang bersamaan kita tidak melakukan pengukuran jelas otomatis kita juga tidak

menemukan kedua besaran tersebut.

Jika kita kaitkan dengan aktivitas, maka prinsip dari hukum itu berarti bahwa jika

dalam suatu waktu kita mengerjakan dua atau lebih pekerjaan maka kita tidak akan

mendapatkan hasil yang optimal. Misalnya seorang dosen yang mengajar mata kuliah

di kelas, pada saat mengajar tersebut dosen mengerjakan laporan penelitian. Maka

kedua pekerjaan itu tidak akan meraih hasil yang optimal.

Contoh lainnya adalah seorang mahasiswa yang dalam suatu semester, dia mengambil

mata kuliah yang banyak (24 SKS) pada saat yang bersamaan dia juga aktif di

berbagai organisasi kampus yang cukup padat baik ekstra kampus maupun intra

kampus. Maka yang akan terjadi dengan mahasiswa tersebut adalah hasil yang diraih

dalam aktivitasnya tidak mencapai titik optimum. Sehingga sering terjadi kegagalan

akademik bagi sebagian aktivis kampus.

Melakukan sebuah aktivitas itu membutuhkan perencanaan yang matang, pemikiran

yang jernih dan kecerdasan dalam mengatur waktu. Hal yang dapat dilakukan adalah

kita tidak menumpuk beberapa pekerjaan dalam satu waktu. Lebih baik kita menolak

daripada menerima karena alasan tidak enak. Menolak di sini karena memang kita

telah memiliki suatu agenda dan ketika kita menerima pekerjaan itu justru kita malah

tidak optimal dan menzalimi orang yang memberikan pekerjaan.

Prinsip Ketidakpastian Heisenberg merupakan salah satu konsep dasar dari

Quantum Fisika, dan merupakan dasar untuk realisasi awal ketidakpastian

mendasar dalam kemampuan suatu percobaan untuk mengukur lebih dari satu

variabel kuantum pada suatu waktu. Mencoba untuk mengukur posisi suatu partikel

dasar untuk tingkat akurasi tertinggi, misalnya, mengarah ke meningkatnya

ketidakpastian untuk dapat mengukur momentum partikel ke tingkat yang sama

akurasi yang tinggi.

Dalam sistem klasik kacau, ketidakpastian tereduksi diperlukan oleh prinsip

Heisenberg diperkuat secara eksponensial ke tingkat makroskopik di kali

pendek” Di satu sisi, “pada tingkat makroskopik ketidakpastian minimum dalam

kondisi awal yang diperlukan oleh prinsip ketidakpastian biasanya tidak

menimbulkan efek signifikan pada nilai-nilai numerik dari variabel dinamis dalam

interval waktu yang menarik.” Tapi dalam “interval waktu yang jauh lebih

singkat” ini belum tentu demikian. Hal ini tampaknya berasal dari kenyataan bahwa

solusi dari persamaan diferensial Newton adalah eksponensial sensitif terhadap

variasi kondisi awal.

Barone, dkk [1] juga menunjukkan dalam perilaku kacau solusi persamaan

diferensial nonlinier, beberapa sistem mungkin “deterministik” (yaitu memiliki solusi

unik ditentukan oleh persamaan diferensial dan kondisi awal), tetapi masih “tak

terduga” . Menurut Barone: “. Solusi kacau persamaan diferensial nonlinier sangat

sensitif terhadap nilai-nilai numerik dari kondisi awal” “mewakili Setiap set

persamaan diferensial model suatu sistem yang menggabungkan beberapa wawasan

ke dalam fenomena yang sedang dipelajari dan di bagian paling setidaknya

mengabaikan gangguan banyak. Para gangguan diabaikan fisik kecil yang mungkin

dimodelkan, misalnya, dengan tambahan ‘kekuatan’ dalam persamaan diferensial

benar-benar dapat mengubah perilaku sistem dalam interval waktu yang

menarik. Dalam situasi ini perilaku sistem adalah ‘tak terduga’ dalam arti bahwa

tidak praktis untuk mencakup semua gangguan yang memiliki dampak yang

signifikan terhadap perilaku sistem. “[Penekanan ditambahkan] Ini tidak hanya

membawa prinsip ketidakpastian ke dalam bidang mekanika klasik, tetapi juga

menunjukkan “tambahan ‘kekuatan’” dari yang Fisika ikat dan gaya inersia yang

terkait mungkin juga memenuhi syarat.

Hubungan Ketidakpastian Heisenberg.

Hubungan deBroglie E =

( )

( )v dapat

dituliskan sebagai E = h . Jadi, = / ћ, sehingga hubungan ketidakpastian

menjadi.

Persamaan ini dikenal sebagai hubungan ketidakpastian Heisenberg, yang

adalah pernyataan matematis dari asas ketidakpastian Heisenberg. Asas ini

mengatakan , bahwa tidak ada satupun percobaan yang dapat dilakukan sedemikian

rupa sehingga memberikan ketidakpastian di bawah batas-batas yang diungkapkan

dalam persamaan tersebut.hubungan-hubungan ini memberikan suatu taksiran

ketidakpastian minimum yang dapat diperoleh dari beraneka percobaan ; pengukuran

kedudukan dan momentum sebuah partikel akan memberikan sebaran nilai sebesar

kita mungkin saja dapat melakukan pengukuran yang ketelitiannya

menyimpang jauh dari pada yang diberikan, tetapi yang lebih baik dari pada itu tidak

dapat kita capai. (atau mungkin seringkali kita jumpai bahwa hubungan-hubungan ini

dapat ditulis dengan h /2 atau ћ, ketimbang h , pada ruas kanan atau juga dengan >

ketimbang dengan yang memperlihatkan kesamaan. Perbedaan ini tidak terlalu

penting, karena hanya memberikan taksiran. Ketidakpastian dan yang

sebenarnya bergantung pada distribusi bilangan gelombangnya (panjang

gelombangnya) yang kita gunakan untuk membatasi gelombang pada daerah (selang)

; distribusi yang lebih rapi memberikan sedangkan

distribusi lainnya akan memberikan h/2 dengan demikian, cukup aman

bagi kita untuk menggunakan ћ sebagai suatu taksiran ).

Hubungan-hubungan ini memberikan pengaruh yang sangat jauh pada

pandangan kita terhadap alam. Dapat diterima bila dikatakan bahwa terdapat

ketidakpastian dalam menentukan letak sebuah gelombang air.Namun

permasalahannya menjadi lain bila pernyatan yang sama diterapkan pada gelombang

deBroglie, karena akan tersirat bahwa terdapat pula ketidakpastian dalam menentukan

letak partikel. Pada persamaan mengatakaan bahwa alam menetapkan suatu batas

ketelitian yang dapat kita gunakan untuk melakukan sebuah percobaan, tidak perduli

sebaik apapun peralatan ukur kita dirancang, kita tidak dapat melakukan pengukuran

yang lebih teliti dari pada yang disyaratkan oleh persamaan tersebut. Untuk

menentukan momentum secara teliti, kita harus melakukan pengukuran sepanjang

jarak ; jija kita bermaksud membatasi sebuah partikel pada suatu bagian ruang

(selang) yang kecil, maka kita akaan kehilangan kemampuan untuk mengukur

momentumnya secara teliti. Untuk mengukur suatu energi dengan ketidaakpastian

yang kecil, diperlukan selang waktu pengukuran t yang lama; jika sebuah partikel

yang tercipta hadir ( hidup) dalam selang waktu yang singkat, maka ketidakpastian

energi yang singkat energinya akan semakin besar.

Prinsip Ketidakpastian Heisenberg menyatakan bahwa adalah (hampir)

tidak mungkin untuk mengukur dua besaran secara bersamaan, misalnya posisi dan

momentum suatu partikel. Prinsip ini dicetuskan oleh ilmuwan Jerman bernama

Werner Heisenberg pada tahun 1927.Prinsip Ketidakpastian Heisenberg. Semua

fisika kuantum didasarkan pada prinsip tunggal yang disebut prinsip ketidakpastian

Heisenberg.

Prinsip ketidakpastian Heisenberg menyatakan bahwa tidak mungkin untuk

mengetahui momentum dan posisi partikel pada saat yang sama dengan presisi yang

mutlak.Semakin akurat kita mengetahui posisi, semakin tidak akurat hasil

pengukuran momentum.Oleh karena itu, partikel tidak dapat dianggap memiliki

posisi tepat pada satu titik. Yang bisa ditentukan hanyalah probabilitas dalam

menemukan sebuah elektron di sekitar inti atom.

Awan elektron.

Model awan muncul dari implikasi atas prinsip ketidakpastian.Ide-ide kita

tentang struktur utama sebuah atom yang terdiri dari inti, dikelilingi oleh elektron

yang berputar di lintasan kecil yang rapi (seperti planet-planet yang mengorbit

mengelilingi matahari) tidak akan menemukan relevansinya dalam kacamata

mekanika kuantum.Prinsip ketidakpastian memaksa kita untuk meninggalkan konsep

lintasan atom tetap. Sebaliknya, konsep awan elektron harus diadopsi sebagai

gantinya.

Konsep ini menyatakan adanya semacam awan imajiner di sekitar inti atom,

dimana terdapat probabilitas untuk menemukan elektron.Untuk menghitung

probabilitas elektron pada berbagai tingkat energi di berbagai kulit atom, lazim

digunakan persamaan Schrodinger mekanika kuantum.

B. Operator Observabel

Pengukuran besaran fisis (observabel) dalam mekanika klasik dapat dilakukan

dengan cara dan hasil yang pasti dan tanpa mengganggu sistem yang diukur

observabelnya, serta dapat dilakukan pengukuran besaran observabel secara serentak

(pada saat yang sama). Menurut mekanika kuantum, pengukuran suatu observabel

akan mempengaruhi dan mengubah keadaan sistem: pengukuran beberapa besaran

(misalnya posisi dan kecepatan atau momentum) tidak dapat dilakukan secara

serentak denga hasil ukur yang pasti / eksak (ketakpastiannya terbatasi oleh prinsip

ketakpastian Heisenberg).

Gangguan terhadap sistem saat pengukuran sangat terasa / penting pada

obyek-obyek mikroskopik (partikelpartikel elementer, atomistik), sehingga pada

sistem-sistem seperti itu mutlak diberlakukan mekanika kuantum dalam pembicaraan

yang lebih tepat. Mekanika kuantum merupakan teori kebolehjadian yang bersifat

abstrak,

seperti konsep panjang gelombang, rapat kebolehjadian, operator, dan lain-lain.

Mekanika kuantum disusun di atas postulat-postulat. Ada dua pendekatan formulasi

mekanika kuantum, yakni dengan Mekanika Gelombang yang dikembangkan oleh

Schrodinger, dan Mekanika Matriks yang dikembangkan oleh Heisenberg. Dalam

modul ini disajikan dengan mengunakan pendekatan mekanika gelombang, yang

lebih terasa logis dan menggunakan dasar-dasar metode matematika yang familiar.

Untuk mengawali pembicaraan mekanika kuantum, disajkan postulat-postulat dasar

mekanika kuantum:

Postulat I:

Setiap sistem fisis dinyatakan dengan fungsi gelombang atau fungsi keadaan,

ψ(r ,t) , yang secara implisit memuat informasi lengkap mengenai observabel-

observabel yang dapat diketahui pada system tersebut.

Soal :

1) Selidiki linearitas operator A yang didefinisikan sebagai berikut :

a) A (x) =

(x) + a, dengan a konstanta

b) A (x) = x

(x)

Penyelesaian :

a) Operator A didefinisikan menurut

A (x) =

(x) + a

Maka untuk c, c1, C2, konstanta berlaku

A( (x)) =

(x) + a

=

( (x)) + a

=

( x ) + a

҂ c {

( x ) + a }

Atau

A ( c (x) ) ҂ c (A ( x ))

Jadi operator a bukan linear karena ada satu sifat atau definisi operator linear

yang tidak dipenuhi.

Maka untuk c, c1, c2, konstanta berlaku :

i) A ( (x)) = x

( (x))

Fungsi Gelombang

Fungsi gelombang suatu sistem, ψ(r ,t) , merupakan fungsi kebolehjadian

menemukan sistem di posisi r pada saat t, yang secara langsung memberikan rapat

kebolehjadian, sebagai:

dengan tanda * menyatakan konjugat kompleks fungsi yang disertainya.

Kebolehjadian menemukan sistem di posisi dalam elemen volume dt pada saat t

adalah :

Pengertian ini analog dengan massa dalam elemen volume sebagai hasil kali

antara rapat massa dengan elemen volume tersebut :

Kebolehjadian dalam mekanika kuantum ini memenuhi hukum kontinuitas :

sebagaimana dalam arus muatan (arus listrik)

Vektor S pada persamaan yang menyatakan rapat arus partikel, biasa disebut

sebagai rapat arus kebolehjadian, yang menggunakan persamaan Schrodinger

(dibahas pada bab III) dapat diturunkan sebagai :

dengan i adalah bilangan imajiner, dan m adalah massa sistem. Sebagaimana

disebutkan pada postulat 1 dimuka, fungsi gelombang memuat informasi

mengenai semua observabel pada sistem. Ini berarti observable - observabel pada

sistem tersebut dapat diturunkan dari fungsi gelombangnya. Sebelum membicarakan

hal ini, akan dibicarakan terlebih dahulu postulat 2 yang berkenaan dengan operator

observabel.

Postulat II:

Setiap observabel dinyatakan atau diwakili oleh suatu operator

linear hermitan.

Operator

Operator adalah suatu instruksi matematis yang bila dikenakan atau

dioperasikan pada suatu fungsi maka akan mengubah fungsi tersebut menjadi

fungsi lain. Untuk operator dapat ditulis sebagai :

[Tanda aksen ‘ bukan berarti diferensial atau turunan, tapi hanya untuk

membedakan dengan fungsi asalnya].

Contoh:

Maka diperoleh :

Operator dalam mekanika kuantum sebagai representasi suatu observabel

bersifat linear, yakni memenuhi hubungan-hubungan :

dan

Fungsi hasil operasi suatu operator bisa merupakan kelipatan konstan dari

fungsi asalnya, yakni :

dalam hal ini d isebut swafungsi (eigen-function, fungsi diri), dan l disebut

swanilai (eigen-value, nilai diri) operator .

Di sini, b adalah swanilai operator d dx yang berhubungan dengan swafungsi

( ) bx aexp . Secara umum b bisa bernilai real maupun imajiner atau kompleks. Bila

suatu operator mekanika kuantum (observabel), maka l pasti real. Suatu operator

dapat mempunyai beberapa swafungsi (set eigen-function) dengan swanilainya

masing-masing :

Komutator

Operasi perkalian antara dua operator sering dilakukan (seperti halnya

perkalian antara dua observabel). Pengoperasian perkalian operator pada suatu

fungsi dilakukan berturut-turut dari yang paling depan (paling dekat dengan fungsi

yang dikenai). Perkalian antara dua operator mekanika kuantum yang sering

muncul, karena sifat kedua operator tersebut adalah komutator. Komutator antara

dua operator didefinisikan sebagai

Dari defenisi di atas maka dapat diturunkan identitas-identitas berikut:

Apabila maka dikatakan bahwa Aˆ dan Bˆ bersifat komut.

Nilai observabelnya dapat diukur secara serentak dan pasti serta mempunyai

swafungsi simultan (klasik). Sedangkan apabila dikatakan dan

tidak komut, dan pengukuran observabelnya tidak bisa dilakukan secara serentar dan

pasti (terikat pada prinsip ketakpastian Heisenberg,

Dikaitkan dengan sifat hermitannya, dapat dibuktikan bahwa komutator dari

dua operator hermitan bersifat anti-hermitan, yakni memenuhi hubungan :

Notasi Dirac

Untuk menuliskan suatu fungsi (vektor dalam ruang Hilbert), operasi integral

dan sebagainya dapat digunakan notasi tertentu yang disebut notasi Dirac. Berikut

beberapa contoh penulisan notasi Dirac:

Postulat III:

Pengukuran observabel A pada sistem dengan fungsi gelombang

yang merupakan swafungsi ternormalisir

operator dengan swanilai

akan menghasilkan nilai ukur yang pasti dan tanpa mengubah

keadaan atau fungsi gelombangnya.

Apabila bukan swafungsi operator maka swafungsi tersebut dapat

diuraikan atas basis yang merupakan swafungsi operator :

sehingga kebolehjadian bahwa

pengukuran observabel A memperoleh hasil ukur an

Adalah

Pada pengukuran observabel q secara klasik yang dilakukan n kali diperoleh

kebolehjadian memperoleh suatu harga qk adalah

dan nilai rata-rata pengukurannya adalah

Soal :

2) Akan diperlihatkan bahwa kedua operator 2 dan x = -iћ bersifat tidak

komut dan juga operator dan = bersifat komut.

Jawab :

2 dan x = -iћ [ 2, x] = { 2 x - x 2}

= -xiћ

= iћ

Jadi didapatkan bahwa [ 2, x] = iћ 0, sehingga kedua operatur tersebut

dikatakan bersifat tidak komut.

dan = [ ] = { - }

- iћ

- iћ

- iћ

- iћ

Jadi didapatkan bahwa [ ] = 0, sehingga kedua operatur tersebut dikatakan

bersifat komut.

BAB III

PENUTUP

3.1 KESIMPULAN

Prinsip Ketidakpastian Heisenberg menyatakan bahwa (hampir) tidak

mungkin untuk mengukur dua besaran secara bersamaan, misalnya posisi dan

momentum suatu partikel.

Komutator merupakan operasi perkalian antara dua operator sering dilakukan

(seperti halnya perkalian antara dua observabel).

Fungsi hasil operasi suatu operator bisa merupakan kelipatan konstan dari

fungsi asalnya, yakni :

DAFTAR PUSTAKA

Gasiorowiez, S, 1974, Quantum Physics john wiley & Sons, New York, USA.

http://eprints.undip.ac.id/32175/7/F96_Asep_Yoyo_Wardaya_chapter_II.pdf

http://staff.uny.ac.id/sites/default/files/pengabdian/r-yosi-aprian-sari-msi/mgmp-

fisika-bantul.pdf