Logika Matematika "Kalimat Berkuantor"Kuantor Universal (Universal Quantifier).Kuantor universal menunjukkan bahwa setiap objek dalam semestanya mempunyai sifat kalimat yang menyatakannya. Kita dapat meletakkan kata-kata “Untuk semua/setiap x” di depan kalimat terbuka yang mengandung variabel x untuk menghasilkan kalimat yang mempunyai suatu nilai kebenaran. Nilai x ditentukan berdasarkan semesta pembicaraannya. Kuantor universal disimbolkan dengan “∀”. Kuantor universal mengindikasikan bahwa sesuatu bernilai benar untuk semua individual-individualnya. Perhatikan kalimat berikut ini :“Semua gajah mempunyai belalai”Maka jika predikat “mempunyai belalai” diganti dengan simbol B maka dapat ditulis :G(x) ⇒ B(x), dapat dibaca “Jika x adalah gajah, maka x mempunyai belalai”. Tetapi kalimat di atas belum berupa kalimat berkuantor karena kalimat diatas belum memuat kata “semua”. Untuk itu perlu ditambahkan simbul kuantor universal sehingga menjadi(∀x)(G(x) ⇒ B(x)), jadi sekarang dapat dibaca ” Untuk semua x, jika x adalah gajah, maka x mempunyai belalai”.Pernyataan-pernyataan yang berisi kata ”semua”, ”setiap”, atau kata lain yang sama artinya, mengindikasikan adanya pengkuantifikasian secara universal, maka dipakai kuantor universal. Dalam bahasa inggris, misalnya untuk orang ada kata ”every people”, ”all people”, ”anybody”, “each people”, dan lain-lainnya.Misalnya jika diketahui pernyataan logika, ”Setiap mahasiswa harus belajar dari buku teks”, jika ingin ditulis dalam logika predikat, maka ditentukan misal B untuk “ harus belajar dari buku teks”, sehingga jika ditulis B(x), berarti “x harus belajar dari buku teks”. Kata “Setiap mahasiswa” mengindikasikan bernilai benar untuk setiap x, maka penulisan yang lengkap adalah:(∀x) Bx, dibaca “Untuk setiap x, x harus belajar dari buku teks”.Akan tetapi notasi diatas belum sempurna karena x belum menunjuk mahasiswa, maka harus lebih ditegaskan dan sebaiknya ditulis :(∀x)(M(x) ⇒ B(x)), dibaca “Untuk setiap x, jika x mahasiswa, maka x harus belajar dari buku teks”.Langkah untuk melakukan pengkuantoran universal:Perhatikan pernyataan berikut ini :“Semua mahasiswa harus rajin belajar”Untuk melakukan pengkuantoran universal pada pernyataan tersebut maka dilakukan langkah-langkah seperti berikut :Carilah lingkup (scope) dari kuantor universalnya, yaitu “Jika x adalah mahasiswa, maka x harus rajin belajar”. Selanjutnya akan ditulis: mahasiswa(x) ⇒ harus rajin belajar(x)Berilah kuantor universal di depannya (∀x)(mahasiswa(x) ⇒ harus rajin belajar(x))Ubahlah menjadi suatu fungsi (Ax)(M(x) ⇒ B(x))Contoh”Semua tanaman hijau membutuhkan air untuk tumbuh ”.Jika x adalah tanaman hijau, maka x membutuhkan air untuk tumbuh Tanaman hijau(x) ⇒ membutuhkan air untuk tumbuh(x)(∀x) (Tanaman hijau(x) ⇒ membutuhkan air untuk tumbuh(x))(∀x)(T(x) ⇒ A(x))”Semua artis adalah cantik”.Jika x adalah artis, maka x cantik, Artis(x) ⇒ cantik(x).(∀x)( Artis(x) ⇒ cantik(x))(∀x)(A(x) ⇒ C(x))

Jika diketahui persamaan x+3>10, dengan x adalah himpunan bilangan bulat positif A > 5 . Tentukan nilai kebenaran (∀x∈A) x+3>10. Untuk menentukan nilai kebenarannya, maka harus dicek satu persatu.A={1,2,3,4}. Jika kuantor universal, maka untuk semua nilai A yang dimasukkan harus memenuhi persamaan yaitu x+3>10Untuk A=1, maka 1+3>10 ≡ 4>10 MemenuhiA=2, maka 2+3>10 ≡ 5>10 MemenuhiA=3, maka 3+3>10 ≡ 6>10 MemenuhiA=4, maka 4+3>10 ≡ 7>10 MemenuhiKarena semua himpunan A memenuhi, maka (∀x) x+3>10 bernilai benar. Tapi jika ada satu saja nilai A yang tidak memenuhi, misalnya dimasukkan A=8, sehingga 8+3>10 ≡ 11>10, dimana hasilnya salah maka (∀x) x+3>10 bernilai salah. Nilai x yang menyebabkan suatu kuantor bernilai salah disebut dengan contoh penyangkal atau counter example.

Kuantor Eksistensial (Existensial Quantifier)Kuantor eksistensial menunjukkan bahwa diantara objek-objek (term–term) dalam semestanya, paling sedikit ada ada satu term/objek yang memenuhi sifat kalimat yang menyatakannya. Kita dapat meletakkan kata-kata : “Terdapat…..”, “Beberapa x bersifat…..”, “Ada……”, “Paling sedikit ada satu x………” di depan kalimat terbuka yang mengandung variabel x. Kuantor eksistensial disimbolkan dengan ”∃”. Kuantor eksistensial mengindikasikan bahwa sesuatu kadang-kadang bernilai benar untuk individu-individualnya. Dalam bahasa inggris, penggunaan kuantor eksistensial dapat ditunjukkan dengan penggunaan kata kata: ”some”,” there is”, ”at least one”, dan kata-kata lain yang sama artinya.Perhatikan kalimat berikut ini :” Ada pelajar yang memperoleh beasiswa berprestasi ”Untuk melakukan pengkuantoran eksistensial pada pernyataan tersebut, dilakukan langkkah-langkah sebagai berikut :Carilah scope dari kuantor-kuantor eksistensialnya, yaitu:“Ada x yang adalah pelajar, dan x memperoleh beasiswa berprestasi “.Selanjutnya akan ditulis :Pelajar(x) ∧ memperoleh beasiswa berprestasi (x)Berilah kuantor eksisitensial di depannya.(∃x) (Pelajar(x)∧ memperoleh beasiswa berprestasi(x))Ubahlah menjadi suatu fungsi.(∃x)(P(x) ∧ B(x))Contoh“Beberapa orang rajin beribadah”.Jika ditulis dengan menggunakan logika predikat, maka:”Ada x yang adalah orang, dan x rajin beribadah”.(∃x)(Orang(x) ∧ rajin beribadah(x))(∃x)(O(x) ∧ I(x))“Ada binatang yang tidak mempunyai kaki”.“Terdapat x yang adalah binatang, dan x tidak mempunyai kaki”.(∃x)(binatang(x) ∧ tidak mempunyai kaki(x))(∃x)(B(x) ∧ ￢K(x))Misalkan B adalah himpunan bilangan bulat. Tentukan nilai kebenaran (∃x ∈ B)(x2=x).

(∃x ∈ B)(x2=x) dapat dibaca “Terdapat x yang adalah bilangan bulat dan x memenuhi x^2=x”. (∃x ∈ B)(x^2=x) akan bernilai benar jika dapat ditunjukkan paling sedikit ada satu bilangan bulat yang memenuhi x^2=x.Misal x= -1, maka 〖-1〗^21 Tidak memenuhix= 1, maka 〖(1)〗^2=1 MemenuhiKarena ada satu nilai yang memenuhi, yaitu x=1, maka pernyataan di atas bernilai benar.

Kuantor GandaDomain atau semesta pembicaraan penafsiran kuantor sangat penting untuk menentukan jenis kuantor yang akan digunakan serta mempengaruhi penulisan simbolnya. Lihat contoh berikut:“Setiap orang mencintai Jogjakarta”Selanjutnya, dapat ditulis simbolnya dengan logika predikat (∀x)C(x,j)Simbol tersebut dapat dibaca “Untuk semua y, y mencintai Jogjakarta”. Persoalan yang terjadi adalah domain penafsirab seseorang untuk y bias berbeda-beda. Ada orang yang menganggap y hádala manusia, tetapi mungkin orang lain menganggap y bisa mahluk hidup apa saja, missal ayam, bebek, bahkan mungkin y bisa menjadi benda apa saja. Tentu saja domain penafsiran semacam ini kacau karena yang dimaksudkan pasti hanya orang atau manusia. Oleh karena itu, untuk memastikan bahwa domain penafsiran hanya orang, penulisan simbol harus diperbaiki seperti berikut :(∀y)(O(y)⇒ C(y,j) )Sekarang simbol tersebut dapat dibaca ”Untuk semua y jika y adalah orang, maka y mencintai Jogjakarta”.Untuk menulis simbol yang tepat, memang harus menempatkan terlebih dahulu domain penafsiran karena domain penafsiran Sangat mempengaruhi penulisan dan sekaligus menghindari terjadinya ambiguitas. Contoh domain penafsiran yang bersifat umum antara lain manusia, binatang, tumbuh-tumbuhan, bilangan prima, bilangan asli, dan sebagainya, yang nantinya akan menggunakan kuantor universal. Akan tetapi jira tertentu saja atau tidak semuanya, misalnya beberapa manusia, atau satu manusia saja, akan memakai kuantor yang berbeda yaitu kuantor eksisitensial.Persoalan selanjutnya adalah bagaimana jira memakai dua kuntor yang berbeda pada satu penulisan simbol yang berasal dari satu pernyataan. Apakah domain penafsiran juga akan berbeda atau sama?. Perhatikan contoh berikut ini :“Setiap orang dicintai oleh seseorang”Dengan notasi simbol logika predikat, akan ditullis seperti berikut(∀x)(∃y)C(y,x)Yang dapat dibaca ”Untuk semua x, terdapat y dimana y mencintai x”X dan Y sebenarnya menunjuk domain penafsiran yang sama yaitu orang, dan pada simbol tersebut ternyata dibedakan. Penulisan tersebut lebih baik lagi jika bisa memakai variable yang sama. Maka pernyataan diatas secara lengkap dapat ditulis :(∀x)(O(x)⇒ (∃x)(O(y)∧ C(y,x) ) )Sekarang perhatikan contoh penulisan pernyataan berikut jika menggunakan angka atau bilangan.(∀x∈real)(∀y∈real)S(x,y), misalkan S(x,y)=x+y=y+x dan dapat dibaca “ Untuk semua bilangan real x dan semua bilangan real y, adalah benar x+y=y+x”Sekarang perhatikan jika pengkuantoran ternyata melibatkan lebih dari satu jenis kuantor dengan contoh pernyataan berikut :“Terdapat bilangan positif x sedemikian sehingga untuk semua bilangan positif y berlaku y<x”>Pernyataan di atas dapat ditulis: 

(∃x)(∀y)(ySebelumnya telah dijelaskan bahwa kuantor universal (∀) dan kuantor eksistensial (∃) diperlakukan sebagai perangkai unary dan kuantor juga memiliki urutan lebih tinggi dibandingkan dengan perangkai binary. Contoh H(x)∶ x hidupM(x)∶ x mati(∀x)(H(x) ∨ M(x)) dibaca “Untuk semua x, x hidup atau x mati” Akan tetapi jika ditulisnya (∀x)(H(x)) ∨ M(x) maka dibaca “Untuk semua x hidup, atau x mati”. Pada “x mati”, x tidak terhubing dengan kuantor universal, yang terhubung hanya”x hidup”. Sekali lagi, perhatikan penulisan serta peletakan tanda kurungnya. Secara umum, hubungan antara penempatan kuantor ganda adalah sebagai berikut :(∀x)(∀y) P(x,y) ≡ (∀y)(∀x) P(x,y)(∃x)(∃y) P(x,y) ≡ (∃y)(∃x) P(x,y)(∃x)(∀y) P(x,y) ≡ (∀y)(∃x) P(x,y)Ingkaran kalimat berkuantor ganda dilakukan dengan cara yang sama seperti ingkaran pada kalimat berkuantor tunggal.￢[(∃x)(∀y) P(x,y)] ≡ (∀x)(∃y) ￢P(x,y)￢[(∀x)(∃y) P(x,y)] ≡ (∃x)(∀y) ￢P(x,y)Contoh:Tentukan negasi dari logika predikat berikut ini :(∀x)(∃y) x=2y dengan domainnya adalah bilangan bulat(∀x)(∃y) x=2y dibaca “Untuk semua bilangan bulat x, terdapat bilangan bulat y yang memenuhi x=2y. Maka negasinya :￢[(∀x)(∃y) x=2y] ≡ (∃x)(∀y) x≠2yAda toko buah yang menjual segala jenis buah. Dapat ditulis (∃x)(∀y) x menjual y. Maka negasinya ￢[(∃x)(∀y) x menjual y] ≡ (∀x)(∃y) x tidak menjual y Dibaca “Semua toko buah tidak menjual paling sedikit satu jenis buah”.Mengubah pernyataan ke dalam logika predikat yang memiliki kuantor gandaMisal : “Ada seseorang yang mengenal setiap orang”Langkah-langkahnya :Jadikan potongan pernyataan ”x kenal y”, maka akan menjadi K(x,y).K(x,y)∶ x kenal yJadikan potongan pernyataan ”x kenal semua y”, sehingga menjadi (∀y) K(x,y)Jadikan pernyataan “ada x, yang x kenal semua y”, sehingga menjadi (∃x)(∀y) K(x,y)</x”>Diposkan oleh Rofiana Nurul Afni di 19.15 

PENGERTIAN KUANTORSuatu Kuantor adalah suatu ucapan yang apabila dibubuhkan pada suatu kalimat terbuka akan mengubah kalimat terbuka tersebut menjadi suatu kalimat tertutup atau pernyataan.Kuantor dibedakan atas:1. Kuantor Universal/ Umum ( Universal Quantifier ), notasinya : “ ”2. Kuantor Khusus ( Kuantor ( Eksistensial Quantifier ), notasinya : “ “

Contoh:Jika p(x) kalimat terbuka: x + 3 > 5Apabila pada kalimat terbuka di atas dibubuhi kuantor, maka: x, x + 3 > 5 ( S )atau x, x + 3 > 5 ( B )

bilangan bulat, maka tentukan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan di bawah ini!Jika x 1. ( x) ( y ) ( x + 2y = 7 )2. ( x) ( y) (x + 2y = x)3. ( x) ( y) ( x > y )4. ( x) ( y) ( x.y = 1 )

PERNYATAAN BERKUANTORContoh pernyataan berkuantor: 1. Semua manusia fana2. Semua mahasiswa mempunyai kartu mahasiswa3. Ada bunga mawar yang berwarna merah4. Tidak ada manusia yang tingginya 3 meter F(x)Untuk memberikan notasi pada pernyataan berkuantor maka harus dibuat fungsi proposisinya terlebih dahulu, misalnya untuk pernyataan “Semua manusia fana” maka kita buat fungsi proposisi untuk manusia M(x) dan fana F(x), sehingga notasi dari semua manusia fana adalah x, M(x)

Buatlah notasi untuk pernyataan berkuantor di bawah ini!1. Semua pedagang asongan adalah pejalan kaki ( A(x), K(x) )2. Ada mahasiswa yang tidak mengerjakan tugas ( M(x), T(x) )3. Beberapa murid ikut lomba Porseni ( M(x), L(x) )4. Semua guru diharuskan berpakaian seragam ( G(x), S(x) )

NEGASI PERNYATAAN BERKUANTORNegasi pernyataan berkuantor adalah lawan/ kebalikan dari pernyataan berkuantor tersebut.Contoh:Negasi dari pernyataan: “ Semua mahasiswa tidak mengerjakan tugas “ adalah“ Ada mahasiswa yang mengerjakan tugas “

Jika diberikan notasi, maka pernyataan di atas menjadi: T(x) , negasinya x, M(x) x, M(x)

Kuantor Definisi : Suatu fungsi pernyataan adalah suatu kalimat terbuka di dalam semesta pembicaraan (semesta pembicaraan diberikan secara eksplisit atau implisit).Perhatikan dua pernyataan berikut:

1.    Semua planet dalam sistem tata surya mengelilingi matahari.2.    Ada ikan di laut yang menyusui.

Pernyataan yang mengandung kata semua atau setiap seperti pada pernyataan (1) disebut pernyataan berkuantor universal (kuantor umum). Ungkapan untuk semua atau untuk setiap, disebut kuantor universal atau kuantor umum. Sedangkan pernyataan yang mengandung kata ada atau beberapa seperti pada pernyataan (2) disebut pernyataan berkuantor eksistensial (kuantor khusus). Ungkapan beberapa atau ada disebut kuantor eksistensial atau kuantor khusus.

Kuantor UniversalSimbol  yang dibaca “untuk semua” atau “untuk setiap” disebut kuantor umum. Jika p(x) adalah fungsi proposi si pada suatu himpunan A (himpunan A  xadalah semesta pembicaraannya) maka (   A) p(x)

atau  x, p(x) atau  x p(x) adalah suatu pernyataan yang dapat dibaca sebagai “Untuk setiap x elemen A, p(x) merupakan pernyataan “Untuk semua x, berlaku p(x)”.

Contoh :1. p(x) = x tidak kekal p(manusia) = Manusia tidak kekal ,maka  x, p(x) =  x {manusia}, p(x) = semua manusia tidak kekal (Benar). Perhatikan bahwa p(x) merupakan kalimat terbuka (tidak mempunyai nilai kebenaran). Tetapi  x p(x) merupakan pernyataan (mempunyai nilai benar atau salah tetapi tidak kedua-duanya).2.  x r(x) =  x (x + 3 > 1) pada A = {bilangan asli} bernilai benar.3.  x q(x) =  x (x + 3 < 1) pada A = {bilangan asli} bernilai salah.Lambang ∀ (dibaca: untuk semua atau untuk setiap) adalah lambang kuantor universal. Notasi ∀x, p(x) (dibaca: untuk setiap x, berlaku p(x)) merupakan notasi dari pernyataan berkuantor.

Kuantor EksistensialSimbol  dibaca “ada” atau “untuk beberapa” atau “untuk paling sedikit satu” disebut kuantor khusus. Jika p(x) adalah fungsi pernyataan pada  xhimpunana tertentu A (himpunana A adalah semesta pembicaraan) maka (   A) p(x) atau  x! p(x) atau  x p(x) adalah suatu pernyataan yang dibaca “Ada x elemen A, sedemikian hingga p(x) merupakan pernyataan” atau “Untuk beberapa x, p(x)”. ada yang menggunakan simbol  ! Untuk menyatakan “Ada hanya satu”.Contoh :1. p(x) = x adalah wanita p(perwira ABRI) = Perwira ABRI adalah wanita  x p(x) =  x! p(x) =  x  {perwira ABRI}, p(x) = ada perwira ABRI adalah wanita (Benar)2.  x p(x) =  x (x + 1 < 5) pada A = {bilangan asli} maka pernyataan itu bernilai salah.3.  x r(x) =  x (3 + x > 1) pada A = {bilangan asli} maka pernyataan itu bernilai salah.Notasi ∃x, p(x) (dibaca: Ada paling sedikit satu x, sedemikian sehingga berlaku p(x)) merupakan notasi dari pernyataan eksistensial.

Negasi Pernyataan BerkuantorBayangkan Anda sedang berada di pinggir kolam yang tenang, banyak binatang berada di sekitar Anda. Ada tupai meloncat, serangga berbunyi, dan burung beterbangan. Lalu perhatian Anda tertuju ke sekelompok angsa. Dalam benak Anda terpikir, "semua angsa berwarna putih". Pernyataan Anda bisa disangkal kalau ternyata ada satu saja angsa yang tidak berwarna putih. Ketika ternyata ada satu saja angsa yang tidak berwarna putih, pernyataan Anda mengenai "semua angsa berwarna putih" akan disangkal dengan "ada angsa yang tidak berwarna putih". Dan itulah contoh negasi dari sebuah pernyataan berkuantor.

Negasi dari pernyataan kuantor universal:~[∀x, p(x)] ≡ ∃x, ~p(x)

Contoh:Negasi dari pernyataan"Semua planet dalam sistem tata surya mengelilingi matahari."adalah "Ada planet dalam sistem tata surya yang tidak mengelilingi matahari."

Negasi dari pernyataan kuantor eksistensial:~[∃x, p(x)] ≡ ∀x, ~p(x)

Contoh:Negasi dari pernyataan:"Ada ikan di laut yang menyusui."adalah "Semua ikan di laut menyusui."

Fungsi Pernyataan yang Mengandung Lebih dari Satu Variabel 

Didefinisikan himpunan A1, A2, A3, . . ., An, suatu fungsi pernyataan yang mengandung variabel pada himpunan A1 x A2 x A3 x . . . x An merupakan kalimat terbuka p(x1, x2, x3, . . ., xn) yang mempunyai sifat p(a1, a2, a3, . . ., an) bernilai benar atau salah (tidak keduanya) untuk (a1, a2, a3, . . ., an) anggota semesta A1 x A2 x A3 x . . . x An.Contoh :1. Diketahui P = {pria}, W = {wanita}. “x menikah dengan y”  M(x,y) adalah fungsi pernyataan pada P x W.2. Diketahu A = {bilangan asli}. “2x – y – 5z < 10”  K(x,y,z) adalah fungsi pernyataan pada A x A x A.Suatu fungsi pernyataan yang bagian depannya dibubuhi dengan kuantor untuk setiap variabelnya, seperti contoh berikut ini : x  y p(x,y) atau  x  y  z p(x,y,z) merupakan suatu pernyataan dan mempunyai nilai kebenaran.Contoh :1. P = {Nyoman, Agus, Darman} dan W = {Rita, Farida}, serta p(x,y) = x adalah kakak y. Maka  x  P,  y  W, p(x,y) dibaca “Untuk setiap x di P ada y di W sedemikian hingga x adalah kakak y” berarrti bahwa setiap anggota P adalah kakak dari Rita atau Farida. Jika pernyataan itu ditulis sebagai  y  W  x  P p(x,y) dibaca “Ada y di W untuk setiap x di P sedemikian hingga x adalah kakak y” berarti bahwa ada (paling sedikit satu) wanita di W mempunyai kakak semua anggota P. 

KUANTORKuantor adalah suatu istilah yang menyatakan “berapa banyak” dari suatu objek

dalam suatu sistem. Suatu kesimpulan dalam logika sering digambarkan menggunakan kuantor-kuantor sebagai berikut.

1.      Kuantor Universal (Kuantor Umum)Pernyataan “Semua manusia adalah fana” dapat dinyatakan dengan “Untuk setiap

obyek, obyek itu fana”.Kata “obyek itu” adalah sebagai ganti “obyek” sebelumnya. Kata ini dinamakan

variabel individual, yang dapat kita ganti dengan lambang “x”, sehingga kita peroleh :“Untuk setiap x, x adalah fana”.

Lebih singkat lagi, sesuai dengan cara pemberian symbol pada pernyataan tunggal, kita peroleh :“Untuk setiap x, Mx”.

Ungkapan “Untuk setiap (semua) x” disebut Kuantor Universal atau Kuantor Umum (Universal Quintifier), dan diberisimbol dengan “(∀)”. Dengan symbol batu ini kita dapat melengkapi simbolasi (pemberian symbol) pernyataan umum pertama tadi dengan notasi (∀x) Mx.

Tanda ∀ dibaca “untuk setiap” atau “untuk semua”. Notasi lain daripada ∀ adalah A. bahkan ada pula para ahli yang tidak mencantumkan kedua simbol ini dalam menyatakan Kuantor Umum, sehingga notasinya cukup dengan : (x) Mx.

Notasi (∀x) Mx, seperti diatas, dibaca “untuk setiap x, x mempunyai sifat “M”, atau “untuk setiap x, berlaku Mx”. Akibat adanya kuantor ∀x, maka Mx menjadi kalimat tertutup (pernyataan).

Contoh :1)      Misalkan Mx : x + 2 > 0. Maka M (-1/2)  = -1/2 + 2 > 0 ada lah pernyataan yang B (benar).2)      Misalkan x adalah bilangan real, maka (∀x) [x2 + 2 > 0] mempunyai nilai kebenaran B

(benar).3)       Misalkan x adalah bilangan real, maka(∀x) [x2 + 1 = 0] nilai kebenarannya S (salah).

2.      Kuantor Eksistensial (Kuantor Khusus)Seperti halnya dalam menyusun ungkapan pernyataan umum pada Kuantor Umum di

atas, kita pun dapat melakukan hal yang serupa untuk pernyataan “Sesuatu adalah fana”, dengan:

Ada paling sedikit satu yang fana.Ada sekuran-kurangnya satu yang fana.Ada paling sedikit satu obyek, sedemikian rupa sehingga obyek itu adalah fana.Ada paling sedikit satu x, sedemikian rupa sehingga x adalah fana.

Lebih singkat lagi dapat kita tulis :Ada paling sedikit satu x, sedemikian rupa sehingga Mx.

Pernyataan “Ada paling sedikit satu x, sedemikian rupa sehingga”, atau “Ada sekurang-kurangnya satu x, sedemikian rupa sehingga” dinamakan “Kuantor Khusus” atau “Kuantor Eksistensial” (Exitential Quantifier), dan diberi simbol “(Ǝx)”. Dengan menggunakan symbol baru ini, kita dapat melengkapi penyimbolan terhadap pernyataan umum kedua di atas dengan : (Ǝx) Mx.

Pernyataan (Ǝx) Mx dibaca : Ada paling sedikit satu x, sedemikian rupa sehingga Mx, atau beberapa x, sehingga berlaku Mx.Contoh :

1)      (Ǝx) [x2 + 1 = 0], dibaca “ada paling sedikit satu x, sehingga x2 + 1 = 0”. Nilai kebenaran pernyataan ini adalah salah (S).

2)      (Ǝx) [2x + 5 ≠ 2 + 2x], dibaca “ ada paling sedikt satu x, sehingga 2x + 5 ≠ 2 + 2x”. nilai kebenarannya adalah benar (B).

Kuantifikasi Eksistensial dalam fungsi proposisi adalah benar jika dan hanya jika sekurang-kurangnya satu substitution instansenya benar. Demikian pula, jika Kuantifikasi Universal sebuah proposisi benar, maka Kuantifikasi Eksistensialnya tentu benar pula. Ini berarti, jika (∀x) Mx benar, maka (Ǝx) Mx benar pula.

NEGASI PERNYATAAN BERKUANTOR

Perhatikan 2 pernyataan dibawah ini :(1) Beberapa mahasiswa menganggap Kalkulus sukar.(2) Tak ada mahasiswa yang suka menyontek.

Pernyataan (1) merupakan negasi dari “Semua mahasiswa tak menganggap Kalkulus sukar”, sedangkan pernyataan (2) merupakan negasi dari “Beberapa mahasiswa suka menyontek”.

Pada pernyataan-pernyataan di atas, pernyataan (2), yakni “Tak ada mahasiswa yang suka menyontek” sama dengan “Semua mahasiswa tak suka menyontek”. Ini berarti pernyataan (2) sebenarnya masih mempunyai bentuk kuantor (∀x) Mx.

Dari uraian di atas, kita dapat menarik kesimpulan bahwa negasi Kuantor mempunyai sifat-sifat berikut :

1)      Negasi dari Kuantor Universal sebuah fungsi proposisi adalah logically equivalent dengan Kuantor Eksistensial dari negasi fungsi proposisinya.

2)      Negasi dari Kuantor Eksistensial dari sebuah fungsi proposisi adalah logically equivalent dengan Kuantor Universal dari negasi fungsi proposisinya.

Dalam bentuk lambing dapat kita nyatakan dengan :(a) ~ (∀x) Mx ≡ (Ǝx) ~ Mx(b) ~ (Ǝx) Mx ≡ (∀x) ~ Mx

Contoh :Tentukan negasi dari pernyataan berikut :

1.      Semua bilangan cacah adalah bilangan real.2.      Beberapa bilangan asli adalah bilangan rasional.3.      Tak ada bilangan prima yang genap.4.      Semua mahasiswa tak suka menganggur.5.      Tak ada guru yang senag jaipingan.

Jawab :1.      Beberapa bilangan cacah adalah bukan bilangan real.2.      Semua bilangan asli adalah bukan bilangan rasional.3.      Beberapa bilangan prima ada yang genap.4.      Ada paling sedikit satu mahasiswa (seorang mahasiswa) yang suka menganggur.5.      Beberapa guru ada yang senang jaipongan.