logika matematika

PendahuluanPernyataan

Penarikan Keputusan / Kesimpulan

Logika Matematika

ILFA STEPHANE, M.Si

September 2012

Teknik Sipil dan GeodesiInstitut Teknologi Padang

ILFA STEPHANE, M.Si. Logika Matematika



Definisi 1

Logika adalah usaha dalam memutuskan ya atau tidaknya(whether or not) suatu keputusan yang sah.

Oleh karena itu, memutuskan ya atau tidaknya suatukeputusan (kesimpulan) tertentu adalah konsekuensi daribeberapa hipotesis (asumsi) tertentu.Contoh:Berikut adalah sebuah kemungkinan keputusan :Hipotesis (premis):

1 Hujan turun sangat deras.2 Jika kamu tidak membawa payung, kamu akan sakit.

Kesimpulan : Kamu sebaiknya membawa payung.




Definisi 2Pernyataan/statement/proposition adalah suatu kalimat yangbermakna benar atau salah.

Definisi 3Keputusan merupakan suatu rangkaian hipotesis yang diikutioleh kesimpulan.

Ctt. Kesimpulan dan setiap hipotesis harus sebuah pernyataan




Penggunaan Huruf Kapital sebagai Simbol PernyataanPenggunaan Kata Sambung

Contoh:A : Ada sebuah apel di atas meja.B : Jika ada apel di atas meja, maka Jenny akan memakannya.C : Jenny akan memakan apel itu.Dengan menggunakan simbol, kemungkinan keputusan dapatdinyatakan sebagai berikut:

Hipotesis : AB

Kesimpulan : CHipotesis : A

Jika A, maka CKesimpulan : C





1. Negasi/Ingkaran/Sangkalan Pernyataan TunggalLambang : ∼ (” tidak ... ”)Contoh:

P : Hari ini adalah hari Senin.∼P : Tidak benar hari ini adalah hari Senin

atau Hari ini bukan hari Senin.

2. Pernyataan KonjungsiLambang : ∧ ( ” ... dan ...” )Contoh :

P : Adam adalah seorang atlet. (bernilai benar)Q : Barbara adalah seorang atlet. (bernilai benar)

P∧Q : Adam dan Barbara adalah seorang atlet.





3. Pernyataan DisjungsiLambang : ∨ ( ”... atau ...” )Contoh :

P :√

36 = 5. (bernilai salah)Q : 72 − 5 = 44. (bernilai benar)

P∨Q :√

36 = 5 atau 72 − 5 = 44 (bernilai benar)

4. Pernyataan ImplikasiLambang : ⇒ ( ” jika ... maka ... ” )Contoh :

P : Ikan hidup di air. (bernilai benar)Q : Kuda bertelur. (bernilai salah)

P⇒ Q : Jika ikan hidup air maka kuda bertelur(bernilai salah)





Tabel Nilai Kebenaran NegasiP ∼PB SS B

Tabel Nilai Kebenaran KonjungsiP Q P ∧ QB B BB S SS B SS S S

Tabel Nilai Kebenaran DisjungsiP Q P ∨ QB B BB S BS B BS S S





Tabel Nilai Kebenaran ImplikasiP Q P⇒ QB B BB S SS B BS S B

Tabel Nilai Kebenaran BiimplikasiP Q P⇔ QB B BB S SS B SS S B





Contoh

Diasumsikan P bernilai benar, Q bernilai salah dan R bernilaibenar. Apa nilai kebenaran dari

(P ∨ R)⇒∼ (P ⇒ Q)?





Jawab :

Perhatikan bahwa

(P ∨ R)⇒∼ (P ⇒ Q) = (B ∼ B)⇒∼ (B ⇒ S)

= B ⇒∼ S= B ⇒ B= B




1. Tautologi

Definisi 4Suatu pernyataan disebut tautologi jika pernyataan tersebutselalu bernilai benar, tidak tergantung dari nilai pernyataan -pernyataan yang membangunnya.




Contoh :

Tabel Nilai Kebenaran ( P⇒ Q) ∨ PP Q P⇒ Q (P⇒ Q) ∨ PB B B BB S S BS B B BS S B B

∴ ternyata tabel nilai kebenaran ( P⇒ Q) ∨ P menghasilkannilai B semua, tidak bergantung dari masing - masingpernyataan tunggalnya P dan Q.




2. Kontradiksi

Definisi 5Suatu pernyataan majemuk disebut kontradiksi jika pernyataantersebut selalu bernilai salah, tidak bergantung dari nilaipernyataan - pernyataan yang membangunnya.

Contoh:Perhatikan pernyataan majemuk berikut:” Hari ini hujan dan hari ini tidak hujan ”merupakan pernyataan yang kontradiksi.

Apabila P : Hari ini hujan∼ P : Hari ini tidak hujan

maka P ∧ ∼ P ?




Tabel Kebenaran P ∧ ∼ P

P ∼ P P ∧ ∼ PB S SS B S




3. Argumen Sah (Valid)Dalam pendahuluan telah disinggung bahwa penarikan

kesimpulan melibatkan beberapa pernyataan. Sebagianpernyataan merupakan premis (alasan) dan sebagiannya lagimerupakan kesimpulan (konklusi). Proses penarikankesimpulan disebut argumen.

Argumen disebut sah apabila premisnya benar dankesimpulannya juga benar. Penarikan kesimpulan di siniberupa pernyataan majemuk yang berbentuk implikasi.Keabsahan argumen dibuktikan lewat tabel nilai kebenaranimplikasinya. Jika tabel nilai kebenaran implikasinya berupatautologi maka argumen sah.




Contoh:Diketahui pernyataan (P ∨ Q) dan Q.Buktikan bahwa argumen yang berupa implikasi berikut adalahsah

[(P ∨Q) ∧Q]⇒ Q

Bukti.Tabel Nilai Kebenaran [(P ∨ Q) ∧ Q ]⇒ Q

P Q P ∨ Q (P ∨ Q) ∧ Q [(P ∨ Q) ∧ Q ]⇒ QB B B B BB S B S BS B B B BS S S S B

∴ Implikasi [(P ∨ Q) ∧ Q ]⇒ Q berupa tautologi.∴ Argumen sah.




4. Modus PonensMisalkanP⇒ Q : Jika sakelar tersambung maka bohlam hidup. (premis)P : Sakelar tersambung. (premis)Q : Bohlam hidup. (Kesimpulan)Argumen : Jika sakelar tersambung maka bohlam hidup dan

sakelar tersambung, maka bohlam hidup.: [(P⇒ Q) ∧ P]⇒ Q (implikasi)

Argumen P⇒ Q bernilai benar dan P benar membmberikankesimpulan Q benar disebut modus ponens.




5. Modus TollensMisalkanP⇒ Q : Jika sakelar tersambung maka bohlam hidup.∼ Q : Bohlam tidak hidup.∼ P : Sakelar tidak tersambung.

Argumen : [( P⇒ Q) ∧ ∼ Q ]⇒∼ P.

Argumen P⇒ Q benar dan ∼ Q benar memberikankesimpulan ∼ P benar disebut modus tollens.




6. SilogismeMisalkanP⇒ Q : Jika liburan maka saya akan ke pantai.Q⇒ R : Jika ke pantai maka saya akan berenang.P⇒ R : Jika liburan maka saya akan berenang.Argumen : [( P⇒ Q ) ∧ ( Q⇒ R)]⇒ ( P⇒ Q ).

Apabila premis P⇒ Q benar,premis Q⇒ R benar,kesimpulan P⇒ R benar,

maka argumen sah dan disebut silogisme.




7. KontrapositifMisalkanP⇒ Q : Jika saya sakit maka saya pergi ke dokter.∼ Q⇒∼ P : Jika saya tidak ke dokter maka saya tidak sakit.Argumen : ( P⇒ Q)⇒ ( ∼ Q⇒∼ P)

Apabila premis benar, memberikan kesimpulan benar, makaagumen ini sah dan disebut kontrapositif.




8. Kebermaknaan dan Keabsahan Argumen

Kadang - kadang keabsahan suatu argumen tidak diikutidengan kebermaknaan argumen tersebut, atau sebaliknyaargumen yang (seolah - olah) bermakna tidak selalu sah.

Yang dimaksud kebermaknaan di sini adalah suatu kondisiatau norma yang dianggap sudah menjadi kebenaran dalammasyarakat.

Note.Harus diingat bahwa penekanan pada bahasan logika adalahsah atau tidak sah suatu argumen / penarikan kesimpulanbukan pada kebermaknaan argumen tersebut. Sehingga kitaharus berhati - hati apabila ingin menggunakan logika secaraverbal.


logika matematika

Documents