logika matematika

2010/2011

Logika Matematika Matematika SMK Bisnis dan Manajemen

Muhammad Irfan,S.Si

Email: [email protected]

Logika Matematika 2010/2011

2

LOGIKA MATEMATIKA

Logika matematika meliputi: logika pernyataan atau proposisi (propositional logic) suatu

yang menelaah manipulasi antar pernyataan dan logika penghubung atau predikat

(predicate logic) yang menelaah manipulasi hubungan relasioanal antara pernyataan pertama

dengan pernyataan kedua. Oleh karena itu logika matematika adalah ilmu yang menelaah

manipulasi antar pernyataan matematik (mathematical Statement). Namun sebelum

melangkah lebih jauh, kita perlu memahami terlebih dahulu pengertian pernyataan dan

pengertian penghubung. Berikut ini diberikan definisi suatu pernyataan :

A. Pengertian

Logika matematika adalah pola berpikir berdasarkan penalaran dan dapat di uji kebenarannya

secara matematika.

1. Kalimat terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat di tentukan nilai kebenarannya. Atau

dengan kata lain kalimat yang masih bervariabel.

Contoh

a. 2x + 5 = 7

b. x2 + 1 = 10

c. Jarak kota A dan kota B 200 km

d. Usia A lebih muda dari B, dll.

2. Pernyataan

Jika variabel pada kalimat terbuka diganti maka akan menjadi pernyataan. Dan pernyataan

tersebut dapat bernilai salah atau benar.

Contoh pernyataan

a. 2 x 5 = 10

b. 20 : 2 = 6

c. Toni lebih muda dari Susi

Pernyataan a bernilai benar

Pernyataan b bernilai salah

Sebuah pernyataan atau proposisi adalah sebuah kalimat deklaratif yang mempunyai tepat satu nilai kebenaran, yaitu: ” Benar ” (B) saja atau” Salah ” (S) saja, tetapi tidak sekaligus keduanya.


3

Pernyataan c bisa benar atau salah

Latihan

1. Diantara kalimat-kalimat berikut ini tentukan manakah yang merupakan pernyataan

dan manakah yang merupakan kalimat terbuka. Jika pernyataan tentukan nilai

kebenarannya.

a. x + 5 > 0.

b. x2 + 5 ≥ 0.

c. Satu windu sama dengan n tahun.

d. Bilangan asli merupakan himpunan bagian bilangan bulat.

e. 2k + 1 merupakan bilangan ganjil, untuk k bilangan cacah.

f. 2k merupakan bilangan genap, untuk k bilangan real.

g. Itu adalah benda cair.

h. Dua kali bilangan asli adalah bilangan genap

2. Diberikan kalimat terbuka berikut : x2 - 1 = 0 , x bilangan real. Tentukan Himpunan x

agar kalimat itu menjadi suatu pernyataan.

B. Penghubung / Konektif (Connective)

Dalam logika matematika dikenal sebanyak 5 operator logika (penghubung), yaitu: Negasi

(Negation), Konjungsi (Conjunction), Disjungsi (Disjunction), Implikasi (Implication) ,

Biimplikasi, atau Ekuivalensi (Equivalence).

1. NEGASI

Negasi disebut juga ingkaran atau pengingkaran . Ingkaran dari suatu pernyataan

diperoleh dengan menambahkan” tidak benar” di awal kalimat, atau dengan cara

menyisipkan kata ” tidak” atau ” bukan” pada pernyataan tersebut.

Misalkan p adalah adalah pernyataan Negasi p adalah: Untuk sembarang pernyataan p, negasi dari p dilambangkan dengan ̂ dan dibaca “ bukan p” Suatu pernyataan yang bernilai salah (S ) jika p benar (B), dan bernilai benar (B ) jika p salah (S)


4

Berikut adalah tabel kebenaran pernyataan negasi

p

B S

S B

Contoh

Pernyataan : p Negasi (ingkaran) :

Tiga puluh sembilan adalah

bilangan prima

(S)

Tiga puluh sembilan bukan

bilangan prima

(B)

Semua binatang adalah

mahluk hidup

(B)

Tidak semua binatang

adalah mahluk hidup

(S)

2. KONJUNGSI

Pada bagian sebelumnya telah dipelajari suatu pernyataan tunggal. Namun selanjutnya

akan dipelajari dua atau lebih pernyataan tunggal yang digabung dan disebut

denganpernyataan majemuk. Konjungsi merupakan kata penyambung antar beberapa

pernyataan yang biasanya berupa kata “dan”. Kata penghubung “dan” pada perkataan

majemuk dilambangkan dengan “ ” yang disebut Konjungsi. Konjungsi didefinisikan

sebagai berikut :

Tabel Kebenaran Konjungsi

p q

B B B

B S S

S B S

S S S

Konjungsi Pernyataan majemuk p dan q disebut Konjungsi dari p dan q dinyatakan dengan:

adalah sebuah pernyataan bernilai benar jika pernyataan p dan q keduanya bernilai benar, dan bernilai salah jika salah satu p atau q (keduanya) salah


5

Contoh

Pernyataan : p Pernyataan : q

SMK 1 Sragen berada di

Kabupaten Sragen (B)

Sragen termasuk ke dalam

wilayah Jawa Tengah (B)

B

Jumlah sudut dalam suatu segi

tiga selalu 180o (B)

Besar sudut segitiga sama sisi

adalah 90o (S)

S

Dua adalah bilangan ganjil (S) Dua adalah bilangan prima (B) S

2 + 6 = 7 (S) 6 = 7 – 2 (S) S

3. DISJUNGSI

Disjungsi merupakan kata penghubung berupa kata “atau” dalam menghubungkan dua

pernyataan menjadi kalimat majemuk. Kata penghubung “atau” pada pernyataan

majemuk dilambangkan dengan “ ” yang disebut Disjungsi. Disjungsi didefinisikan

sebagai berikut :

Tabel Kebenaran Disjungsi

p q

B B B

B S B

S B B

S S S

Contoh






B




adalah 90o (S)

B

Disjungsi : Pernyataan majemuk p dan q disebut Disjungsi dari p dan q dinyatakan dengan:

” p V q ” adalah sebuah pernyataan bernilai benar jika pernyataan p dan q salah satu atau keduanya bernila benar, dan bernilai salah hanya jika keduanya bernilai salah


6

Dua adalah bilangan ganjil (S) Dua adalah bilangan prima (B) B

2 + 6 = 7 (S) 6 = 7 – 2 (S) S

4. IMPLIKASI (Proporsi Bersyarat)

Untuk memahami implikasi, perhatikan uraian berikut ini. Misalkan Boby berjanji pada

Togar “Jika saya dapat medali olimpiade sains-matematika nasional tahun ini maka aku

akan membelikan kamu sepatu bola”. Janji Boby ini hanya berlaku jika Boby

mendapatkan medali olimpiade sains-matematika. Kalimat yang diucapkan Boby pada

Togar dalam bahasa logika matematika dapat ditulis sebagai berikut :

Jika p : dapat medali olimpiade sains-matematika nasional.

Maka q : membelikan sepatu bola

Sehingga dapat dinyatakan sebagai “ Jika p maka q ” atau dilambangkan dengan “

” suatu pernyataan majemuk yang disebut dengan Implikasi. Implikasi dari pernyataan p

ke pernyataan q dinyatakan dengan , ” ”, ialah sebuah pernyataan yang bernilai

salah jika dan hanya jika p bernilai benar dan q bernilai salah. Pernyataan p disebut

hipotesa (premis) dan pernyataan q disebut kesimpulan (konklusi). Selanjutnya

Implikasi didefinisikan sebagai berikut :

Tabel Kebenaran Implikasi

p q

B B B

B S S

S B B

S S B

Contoh






B

Implikasi: Pernyataan majemuk p dan q disebut implikasi (pernyataan bersyarat) adalah sebuah pernyataan majemuk yang dilambangkan :

” p → q ” bernilai salah hanya jika hipotesa p bernilai benar dan konklusi q bernilai salah. Untuk kasus lainnya bernilai benar.


7




adalah 90o (S)

S

Dua adalah bilangan ganjil (S) Dua adalah bilangan prima (B) B

2 + 6 = 7 (S) 6 = 7 – 2 (S) B

5. BIIMPLIKASI (EKUIVALENSI)

Pernyataan p dan q apabila dirangkai dengan menggunakan hubungan “Jika dan hanya

jika“ Sehingga menjadi suatu kalimat yang dapat dinyatakan sebagai “p Jika dan hanya

jika q ” atau dilambangkan dengan :

“ p ⇔ q ”

suatu pernyataan majemuk disebut dengan biimplikasi. Pernyataan majemuk biimplikasi

menyiratkan suatu gabungan dari:

p ⇔q dan q⇔p

Oleh karena itu nilai kebenaran biimplikasi p ⇔q dikatakan bernilai benar jika p dan q

mempunyai nilai kebenaran yang sama seperti yang diungkapkan pada definisi berikut ini

:

Tabel Kebenaran Biimplikasi

p q

B B B

B S S

S B S

S S B

Contoh

Nilai

kebenaran

ABCD adalah persegi ABCD segi empat yang sisinya sama B

n adalah bilangan prima n habis dibagi 7 S

Biimplikasi: Pernyataan majemuk p dan q disebut biimplikasi (pernyataan bersyarat dua arah) adalah sebuah pernyataan majemuk yang dilambangkan :

” p ⇔ q ” bernilai benar jika p dan q mempunyai nilai kebenaran yang sama.


8

SMK 1 Sragen terletak di Jawa Tengah Sragen adalah Kota yang ada di Yogyakarta S

Grafik bukan garis lurus adalah fungsi yang tidak linier B

Contoh

Nyatakan pernyataan berikut dengan symbol dan tentukan kebenarannya.

“ Irfan Bachdim adalah pemain Timnas dan tidak benar bahwa Jakarta adalah ibukota

Indonesia atau SMK N 1 Sragen terletak di Kabupaten Sragen”

Penyelesaian:

Setiap pernyataan kita misalkan dengan symbol:

p : Irfan Bachdim adalah pemain Timnas (B)

q : Jakarta adalah ibukota Indonesia (B)

r : SMK N 1 Sragen terletak di Kabupaten Karanganyar (S)

Secara simbolik, pernyataan tersebut dapat dinyatakan sebagai berikut:

Kemudian, untuk mencari nilai kebenaran dari pernyataan di atas yaitu:

(p ∧ q ) ∨ r ⇔ (B ∧ B ) ∨ S

⇔ (B ∧ S ) ∨ S

⇔ S∨ S

⇔ S

Jadi, pernyataan di atas bernilai salah.

C. TABEL KEBENARAN (Truth Table)

Untuk mengevaluasi apakah sebuah pernyataan majemuk benar atau salah kita perlu table

kebenaran dari kalimat penghubung yang ada dalam pernyataan tersebut. Untuk

sembarang pernyataan p dan q, rangkuman tabel kebenaran dari semua penghubung

adalah sebagai berikut:

p q

B B S S B S B B

B S S B S S S S

S B B S S S B S

S S B B S B B B


9

Contoh

Berikut ini beberapa contoh fungsi pernyataan dan himpunan daerah asal :

1. n 2 + 2n adalah bilangan ganjil, dengan daerah asal himpunan bilangan bulat.

2. x 2 - x - 6 = 0 , dengan daerah asal himpunan bilangan real.

3. Seorang pemain bisbol memukul bola melampaui 300 ft pada tahun 1974, dengan

daerah asal himpunan pemain bisbol.

Soal Latihan

1. Tentukan ingkaran atau negasi dari setiap kalimat berikut:

a. Dua ratus tujuh belas adalah bilangan prima.

b. Diagonal ruang pada suatu kubuas ada 4 buah

c. Pulau Madura termasuk wilayah propinsi Jawa Timur.

d. 49 adalah bilangan kuadrat.

2. Diberikan pernyataan sebagai berikut:

p : Dua garis sejajar mempunyai titik potong

q : Nilai maksimal sinus suatu sudut adalah 1

r : Syamsir Alam bukan pemain Tenis

Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan – pernyataan berikut:

a.

b.

c.

d.

3. Periksalah nilai kebenaran dari Implikasi berikut, jika salah berikan contoh

kesalahannya.

a. Jika x=2 maka 2 5 2 0

b. Jika x = 90 maka sin cos 0

DEFINISI Misalkan P(x) merupakan sebuah pernyataan yang mengandung variabel x dan D adalah sebuah himpunan. Kita sebut P sebuah fungsi pernyataan (dalam D) jika untuk setiap x di D, P(x) adalah pernyataan. Kita sebut D daerah asal pembicaraan (domain of discourse) dari P.


10

D. KUANTOR

1. Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial

Jadi pernyataan yang menggunakan kata “ semua” atau “setiap” disebut pernyataan

kuantor universal (umum) , sedangkan pernyataan yang menggunakan kata

“Beberapa” atau “ada” kuantor eksistensial (khusus). Pernyataan untuk setiap x, P(x)

bernilai benar jika untuk setiap x D, maka P(x) bernilai benar. Pernyataan untuk

beberapa x, P(x) bernilai benar jika terdapat sekurang kurangnya satu x D sehingga

P(x) bernilai benar.

Jadi untuk mengevaluasi sebuah pernyataan dalam bentuk simbulik dan memuat

penghubung, kita harus menetapkan daerah asal dari setiap variabelnya dan

memberikan interpretasi (makna) terhadap fungsi dan penghubung yang ada

didalamnya.

2. Negasi dari Pernyataan berkuantor

Seperti yang telah diuraikan sebelumnya bahwa negasi adalah ingkaran dari suatu

pernyataan p yang dilambangkan dengan p . Selanjutnya dapat dengan mudah dapat

dirumuskan bahwa:

- Negasi dari sebuah kuantor universal pastilah kuantor eksistesial.

- Negasi dari kuantor eksistensial adalah kuantor universal.

Contoh:

Tentukan negasi dari kalimat yang berkuantor berikut:

a. , 1 0

b. , 1 0

Jawab:

a. , 1 0 adalah pernyataan yang benar

DEFINISI Misalkan P(x) adalah fungsi pernyataan dengan daerah asal D.

1. Pernyataan ”untuk setiap x, P(x)” dikatakan sebagai pernyataan kuantor universal dan secara simbulik ditulis sebagai berikut " x; P(x) " Simbul ” ” disebut kuantor universal (universal quantifier).

2. Pernyataan ”untuk beberapa x, P(x)” dikatakan sebagai pernyataan kuantor eksistensial dan secara simbulik ditulis sebagai berikut " x; P(x) " Simbul ” ” disebut kuantor eksistensial (existensial quantifier).


11

Negasi dari pernyataan tersebut adalah:

, 1 0 , 1 0 bernilai salah

b. , 1 0 adalah pernyataan yang salah

Negasi dari pernyataan tersebut adalah:

, 1 0 , 1 0 bernilai benar

3. Hubungan Invers, Konvers, dan Kontraposisi

Untuk melihat hubungan antara implikasi dengan konvers, invers dan kontraposisi

perhatikan pernyataan implikasi berikut ini :

i. Jika Nena seorang mahasiswa maka Nena lulus SMA

Dari pernyataan implikasi ini, dapat dibuat pernyataan baru:

ii. Jika Nena lulus SMA, maka Nena seorang mahasiswa

iii. Jika Nena bukan seorang mahasiswa, maka Nena tidak lulus SMA

iv. Jika Nena tidak lulus SMA, maka Nena bukan seorang mahasiswa

Pernyataan – pernyataan i, ii, iii, dan iv dapat ditulis sebagai berikut:

i. : disebut implikasi

ii. : disebut konvers dari implikasi

iii. : disebut invers dari implikasi

iv. : disebut kontraposisi dari implikasi

Berikut adalah table kebenaran dari Konvers, Invers, dan Kontraposisi.

Komponen Implikasi Konvers Invers Kontraposisi

p q

B B S S B B B B

B S S B S B B S

S B B S B S S B

S S B B B B B B

Berdasarkan table kebenaran di atas, dapat disimpulkan bahwa:

- Implikasi ekuivalen dengan kontraposisi

- Konvers ekuivalen dengan Invers


12

4. Dua Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen

Perhatikan contoh kalimat berikut:

p : Markus tidak malas

q : Markus giat berlatih

Dari pernyataan di atas, akan dibuat kalimat majemuk sebagai berikut:

a: Markus tidak malas maka Markus giat berlatih : bernilai B

b: Markus malas atau Markus giat berlatih : bernilai B

Dari pernyataan a dan b dapat dibentuk biimplikasinya:

Contoh

Dengan menggunakan tabel kebenaran, tunjukkanlah bahwa pernyataan

ekuivalen dengan pernyataan

Jawab:

p q

B B S B B B

B S S S S B

S B B B B B

S S B B B B

Dari tabel dapat disimpulkan bahwa

Coba kita perhatikan kolom ke-6 pada table tersebut. Pada kolom tersebut selalu

bernilai benar untuk setiap kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan komponen

yang ada. Pernyataan majemuk tersebut disebut Tautologi (benar logis). Tautologi

yang berbentuk

disebut Ekuivalen Logis ditulis dengan lambang dibaca (a ekuivalen

b)

Sedangkan untuk setiap kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan komponen

yang bernilai salah pernyataan majemuk tersebut disebut Kontradiksi.

DEFINISI Tautologi: Sebuah pernyataan dikatakan bernilai Tautologi (valid), jika pernyataan tersebut bernilai benar terhadap setiap pemberian nilai kebenaran bagi setiap variabelnya. Kontradiksi: Sebuah pernyataan dikatakan bernilai Kontradiksi, jika pernyataan tersebut bernilai salah terhadap setiap pemberian nilai kebenaran bagi setiap variabelnya.


13

Contoh

Tunjukkan bahwa adalah tautology dan adalah kontradiksi

Jawab

B S B S

S B B S

Dari table tersebut dapat kita simpulkan bahwa adalah Tautologi dan

adalah Kontradiksi.

Contoh

Tunjukkan bahwa pernyataan adalah tautology

Jawab:

B B B S S B

B S S B B B

S B B S B B

S S B S B B

Dapat disimpulkan bahwa pernyataan adalah tautology

Latihan

1. Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan berikut:

a. Jika Timnas juara AFF Cup, maka Timnas punya piala.

b. Jika Ryan seorang mahasiswa, maka Ryan lulus SMA.

c. Jika bilangan ganjil, maka 1 adalah bilangan genap.

2. Tentukan negasi dari setiap pernyataan berkuantor berikut ini:

a. Setiap bilangan bulat adalah bilangan real.

b. Terdapat bilangan real sehingga 4 0

c. Ada siswa di kelas ini yang suka bercanda.

d. Semua segitiga sama sisi mempunyai sudut 60 .

3. Tunjukkan bahwa pernyataan berikut adalah tautology:

a.

b.

c.


14

5. Silogisme, Modus Tollens, dan Modus Ponens

Silogisme Modus Ponens dan Modus Tollens adalah metode atau cara yang digunakan

dalam menarik kesimpulan. Proses penarikan kesimpulan terbagi atas beberapa

hipotesa yang diketahui nilai kebenarannya yang kemudian dengan menggunakan

prinsip-prinsip logika diturunkan suatu kesimpulan (konklusi). Penarikan kesimpulan

ini disebut dengan argumentasi.

Prinsip-prinsip logika yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan adalah sebagai

berikut :

i. Argumen dikatakan berlaku atau sah:

Jika konjungsi dari hipotesa-hipotesanya berimplikasi dengan kesimpulan

ii. Misalkan hipotesa yang diketahui adalah a dan b sedangkan kesimpulannya

adalah c, Argumen yang berlaku atau sah:

iii. Argumen dikatakan berlaku atau syah:

Jika hipotesa-hipotesanya benar maka kesimpulannya juga benar.

iv. Argumen disusun dengan cara menuliskan hipotesa - hipotesanya barus demi

baris kemudian dibuat garis mendatar dan kesimpulan diletakkan baris paling

bawah sebagai berikut :

a hipotesa 1

b hipotesa 2

kesimpulan

Tanda “ “ dibaca “Jadi c” atau “Oleh karena itu…”.

1. Silogisme

Proses penarikan kesimpulan yang menggunakan sifat menghantar dari pernyataan

implikasi, yaitu dilakukan dengan cara menyusun baris – baris:

hipotesa 1

hipotesa 2

kesimpulan

Dalam bentuk implikasi, silogisme dapat ditulis menjadi:

Silogisme dikatakan sah jika nilai dari bentuk implikasi tersebut merupakan

tautologi


15

Berikut ini adalah table kebenarannya.

B B B B B B B B

B B S B S S S B

B S B S B B S B

B S S S B S S B

S B B B B B B B

S B S B S B S B

S S B B B B B B

S S S B B B B B

Contoh

Tentukan kesimpulan dari argument berikut:

Hipotesa 1 : Jika n bilangan ganjil maka n2 ganjil.

Hipotesa 2 : Jika n2 ganjil maka n2+1 genap.

Jawab:

Hipotesa 1 : Jika n bilangan ganjil maka n2 ganjil. p q Hipotesa 2 : Jika n2 ganjil maka n2+1 genap. q r Kesimpulan: .

Jadi, kesimpulannya adalah: Jika n bilangan ganjil maka n2+1 genap

2. Modus Ponens



hipotesa 1

hipotesa 2

kesimpulan

Dalam bentuk implikasi, modus ponens dapat ditulis menjadi:

Modus Ponens dikatakan sah jika nilai dari bentuk implikasi tersebut merupakan

tautologi


16


B B B B B

B S S S B

S B B S B

S S B S B

Contoh



Hipotesa 2 : n bilangan ganjil.

Jawab:

Hipotesa 1 : Jika n bilangan ganjil maka n2 ganjil. p q Hipotesa 2 : n bilangan ganjil. p Kesimpulan: .

Jadi, kesimpulannya adalah: n2 ganjil

3. Modus Tollens



hipotesa 1

hipotesa 2

kesimpulan

Dalam bentuk implikasi, modus tollens dapat ditulis menjadi:

Modus Tollens dikatakan sah jika nilai dari bentuk implikasi tersebut merupakan

tautologi


B B S B S S B

B S B S S S B

S B S B S B B

S S B B B B B


17

Cara lain untuk menunjukkan sah atau tidaknya sebuah Modus Tollens adalah

dengan mengambil kontaposisi dari argument sebagai berikut:

Kontraposisi:

Contoh



Hipotesa 2 : n2 tidak ganjil.

Jawab:

Hipotesa 1 : Jika n bilangan ganjil maka n2 ganjil. p q Hipotesa 2 : n2 tidak ganjil. Kesimpulan: .

Jadi, kesimpulannya adalah: n bilangan tidak ganjil

Latihan

1. Tentukan kesimpulan dari argument berikut ini:

a. Hipotesa 1 : Jika kena hujan aku basah.

Hipotesa 2 : Aku basah

b. Hipotesa 1 : Jika Yongki mencetak gol maka Yongki akan melakukan selebrasi.

Hipotesa 2 : Yongki tidak mencetak gol.

c. Hipotesa 1 : Jika 0 maka 0 .

Hipotesa 2 : Jika 0 maka . 0

d. Hipotesa 1 : Jika √ . √ √ maka √ . √ √ .

Hipotesa 2 : Jika √ . √ √ .maka 0

e. Hipotesa 1 : Jika 4 0 maka 0.

Hipotesa 2 : 0

2. Periksalah keabsahan dari setiap argument berikut:

a. hipotesa 1 c. hipotesa 1

b. hipotesa 2 hipotesa 2


18

kesimpulan hipotesa 3

kesimpulan

c. hipotesa 1

hipotesa 2

kesimpulan

Referensi:

Bandung Ary S.,dkk.2008. Matematika SMK Bisnis dan Manajemen. Jakarta:Departemen

Pendidikan Nasional

Drs. Sukirman,M.Pd.2006.Logika dan Himpunan.Yogyakarta:Hanggar Kreator

DEPDIKNAS.2003.Panduan Materi Matematika SMK.Jakarta.Departemen Pendidikan

Nasional

Drs. Markaban,M.Si.2004.Logika Matematika-Diklat Instruktur/Pengembang Matematika

SMA Jenjang Dasar.Yogyakarta:PPPG Matematika

logika matematika

Documents