livro calculo 1 - swokowski 1º parte.pdf

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'(h)!J~rp~ ibD-uoQ,~' JL&i~CG - UFC6- ((ea..; 0 2017 -1 d 3'-t 6 fill If 'eQUro.- I , 'it 'r~'· ~<:L~~' )~~ 1 : _,-I, ,.... . ~-- CALCULO, . Com Geometria Analitica 'Volume 1 2~ Edic;ao EariW. SWOKOWSKI Trad,ll;iio AJfredoAlves de Farias Professor adjunto (aposentado) da UFMG Com a colabora~iio dos professores Vera Regina L. F. Flores e Marcio QlIintiio Moreno da UFMG MAKRON Books do Brasil Editora Llda. Rua Tabapua. 1.348. Itaim-Bibi CEP 04533-004 - Sao Paulo (OIl) 829 c 8604 e (OIl) 820-6622 Revisiio TecTlica Antonio PERTENCE Junior ProfessoreEngenheiro Tecnico Membroefelivoda SociedadeBrasileira de Matematica Licenciado em Matematica . . I "fad'd' Mexico'New York' "l/IWII/r/ S"" Rio de Janeiro' Lisboa 'Bogotr/ ' Buenos Aires' Guatema a '.J" rr Juan'Santiago . Auckland' Hamburg· KualaLumpur' Lendon Milan' ~ontreal •New Delhi: Pari, Singar orc Sydncy Tokyo'Toronto

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Page 1: Livro Calculo 1 - swokowski 1º parte.pdf

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JL&i~CG - UFC6-

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CALCULO, .Com Geometria Analitica

'Volume 12~ Edic;ao

EariW. SWOKOWSKI

Trad,ll;iioAJfredo Alves de Farias

Professor adjunto (aposentado) da UFMG

Com a colabora~iio dos professoresVera Regina L. F. Flores e

Marcio QlIintiio Morenoda UFMG

MAKRON Books do Brasil Editora Llda.Rua Tabapua. 1.348. Itaim-BibiCEP 04533-004 - Sao Paulo(OIl) 829c8604 e (OIl) 820-6622

Revisiio TecTlica

Antonio PERTENCE JuniorProfessor e Engenheiro Tecnico

Membro efelivo da Sociedade Brasileira de MatematicaLicenciado em Matematica

. . I "fad'd' Mexico' New York' "l/IWII/r/ • S""Rio de Janeiro' Lisboa ' Bogotr/ ' Buenos Aires' Guatema a '.J" rrJuan'Santiago .

Auckland' Hamburg· Kuala Lumpur' Lendon • Milan ' ~ontreal • New Delhi: Pari, • Singarorc • Sydncy •Tokyo'Toronto

Page 2: Livro Calculo 1 - swokowski 1º parte.pdf

~._--------_ ..

Do originalCalculus - Fifth Edition

Copyrighl © 1991, by PWS-Kenl, uma divisao da Wadsworth, Inc.Copyrighl © 1995, da Makron Books do Brasil Editora Uda.Copyright © 1983, da Editora McGraw-Hili do Brasil, Uda.

Nenhuma parte desla publica<;ao podera ser reproduzida, guardada pelo sistema "retrieval" ou lransmitida dequalquer modo ou por qualquer oulro meio, seja este eIetr6nico, meciinico, de fotoc6pia, de grava<;ao, ou oulros,sem previa autoriza<;fio, por eserito, da Editora.

Gereme Editorial: Daisy Pereira DanielProdll/ora Editoriol: Monica Franco JacinlhoProdutor Grafteo: Jose Rodrigues'Capa: Layout: Jose Roberto Petroni

;,Editorar;iio Eletrolliea e F%li/os: ERJ lnf;~;\lica Llda.

Dados Internaclonais de Catalogal<ao oa Publlc3l<aO (CIP)(Camara Brasllelra do Livro, SP, Brasil)

Swokowski, Earl William, 1926-. Calculo com geometria analitiea / Earl W.Swokowski : tradu<;ao Alfredo Alves de Faria, com acolabora<;!o dos professores Vera Regina L.F. Florese Marciq Quintao Moreno ; revisao tecnica AntonioPertence Junior. -- 2. ed. -- Sao Paulo: Makron

···Books,1994.·--··-:··-,-·····

Publicado vol. 1.1. Calculo 2. Geometria analitica I. Titulo.

<·~i.f,.; ~ ~'-.:'~';',,;·:7!(,··'~':·;i{)~{';;:',-'" ;-

1. CaIculo,e .geom'~ti-fa·an'aiitic-~ sis·.ls../:d f;! .:V~~..f)~~;:··~··::(?·r:.:.:t':~~.r~ :~' , .;

min/w miie 'meu I'll I

Sop/lia e John SwOkOW.I'kl,

BIBLIOTECA DO DivlEIUFCG. ""1"f-jDil~ZELE O~~ r••P;? n'\,.";.,J

EV\TE MUlTl\SENTREGANDO-QS EM D\A

Page 3: Livro Calculo 1 - swokowski 1º parte.pdf

F6RMULAS DE DERIVADAS -.

2D.(u+v)~D.u+D.v

3 D. (uv) ~ uD. v + v D. u

4 Dx

(!!.) ~ v Dx u- u Dx vV v2.

7 D. e" ~ e"D. u

8 D.d'~d'lnaD.u

10 D log lul~_I_D ux a U In a x

11 D.senu~eosuD.1l

12 D.eosu~-senuD.u

13 D. tg u ~ see2 U Dx u

14 D.cotu~-CSC2UDxu

15D. see u ~ see u tg it D. u

16 Dx ese u ~ -csc u cot u D. u

17 Dxsen-lu=_~D uvl-rl'"" .r

18 D.eos-lu~~D uvI - U" •

19D.tg-lu~_I_D u1 + u2 x

20 D,scc-t u= _~D u- u vu· - 1 •

F6RMULAS DE INTEGRAlS

12Iundu---un+1+C n;<-1n+l '

1 .3 f;; du - In III I+ C

15 Ian dll =--a" + CIn a

7 Icos u du = sen u + C

8 Iscc2 Udu - tg u + C

12 Ilgudll--1nlcosu!+C

13 Icot u du = In Isen u I+ C

14 Iscc u du = In I see u + tg ul + C

15 Icsc II du ~ In lese u - cot u I + C

16 r~ du =sen-1!i + Cva- -II"" a

17I 1 1 u-,--, du ~ - tg-t - + Ca- + u· a a

18 III u-~r-r--rdll ~ - sect - + CUVU--(( a a

19 I-,-L, dll ~ 2-ln I!!.:!:.E.I + Clr-U- 2a II-a

20 I__~ du -In III + ~ I+ Cvu .. - G'"

Page 4: Livro Calculo 1 - swokowski 1º parte.pdf

Area A; circunfercncia C; volume V; area de umasuperficie curva S; altura h; raio T.

~b

A~!(a+b)h2

CiRCULO

o

Dw/} )

b

P!USMA

,,'3~-t~{)' :. it

/t· / i\'rI.~ ~J

Page 5: Livro Calculo 1 - swokowski 1º parte.pdf

I 1'01'1'111' 1',ll Ill( 'AtS

/I"'". H"' I M ,,1,./ .. _ V;;m •. (~/a)m

1" ) lj~!·j Vnl-Vn'VTJ

1,,1,)' 11"/1'1 ~."fJ(;:r 0" "vV;; ~ n"v;I,ll

If"j"

III'" a-II"",-

n'· a"

"01( AIJSOl.UTO (d> 0)

III ,I

I, I tI

I" IIII

I,,'1111I IIJ I (desigualdade do triangulo)

""'1"1

ALGEBRA

Se 0 " 0, as raizes de ax2 + bx + C = 0 sao

-b ± ,fliC4iiCx = 20

y = log. x significa a'I • x

log. xy = log. x + log. Y

log! = log x -Iog.y'y •

log. 1 = 0

10g.0= 1

TEOREMA BINOMIAL

(x + y)" _ x" + ( ~ ) x" -1 Y + ( ~ ) x" - ~y2 +

... + (nX"-k yk + ... + yO,

onde (~) = k!(nn~ k)!

GEOMETRIA ANALITICAFORMUlA DA DISTA.NClA

d(P" P2) = "{x2 -xlF + (Y2- yyY

EQUA<;Ao DE UM CIRCULO

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

y

y,-y,m=-_X2-XI

FORMA COEFICIENTEANGULAR-INTERCEPTO

Page 6: Livro Calculo 1 - swokowski 1º parte.pdf

FUN<;OES TRIGONOMETRICASIll' ANGULOS AGUDOS

~

,;pop

oadj

ese 8 _!JiQoph"

see ()-~

eOI8-~op

senO=~hip

eos8=~hip

Ig8=~ad)

liE ANGULOS ARBITRARIOS

~

sen 8 = ~ rr eseO-/;

eos 0 =!:'. see (}_l:,. r ab eol8 =!:'.x IgO =-;; b

Ill~ NUMEROS REAISy 1

sen I = Y ese I --Y1

eos I = X see I =-x

19l=l'.. xx colI--x Y

vv1, 2~1

/~~V3

II1IWflOADES TRIGONOMETRICAS

Il~'f---

scn t

1M'l,;f_N •• -

CDS I

I('1111·-

I~t

sen(-I) ~ -sen I

COS(-I)= COSI

tg(-I) = -tg I

I Ig2 ( _ scc2 (

I COl2,_csc2t

I (11+1')= IgII+lgvg I -tg IIIg v .

sen (II - v) = sen II cas v - CDSIIsen v·

eos (II - v) = cos IICDSV + sen u sen v

I (11-1')= 19l1-lgvg 1+ tg II 19 v

~19211- 2I -Ig II

I "1~sen2 - --2- I "1~eos2 = --2-

II I - cas II sen IItg2-~= l+eoslI

21-eos211sen 11=--2--,1+eos211

cos- II "'"--2--

sen IIeos v = i[sen (II+ v) + sen (II- v))

CDSII sen v = i[sen (II+ v) - sen (II- v))

CDSIIcas v = ~ [eos (II+ v) + eos (II- v))

sen IIsen v =i [eos (u - v) - cas (II+ v))

VALORES ESPECIAISDE FUN<;OESTRIGONOMETRICAS

8. 8~~?:.~~.i:s1·~s~n~efCri'5"'a:~'(gt. cot 8' see 8 csc 8

O· 0 0 0 I

30· .!! .1 V3 V3 V3 2V3 26 2 2 3 3

45· .!! V2 V2 {f V24 2 2

60· .!! V3 1 V3 V3 2 2V33 2 2 3 3

90· .!! 0 02

SUMARIO

Page 7: Livro Calculo 1 - swokowski 1º parte.pdf

INDICE

Capitulo 1 - Revisiio prc-ciilculo .•..••..•..•.......•.•......•..••......••......

1,1 Algebra, , , . , , , .. , , . , . , , , , . , , , .. , . , . , , , . , , .. , .. , . , , , , , ,

1.2 Func;6es , , , . , . , , ... , .. , , .. , , , , . , .... , , . , , , . , ... , . , , , , , .. , , , , .

Capitulo 2 - Limites de func;oes ...•..••.••..•..........•.................••....•

Introdu~ao ao conceito de limite. , , . , , . , , . , ... , . , , , . , .... , . , , .... , , . , .. ,',,----

Definic;ao de limite, , , .. , .. , . , , . , , , , , , , , .. , . , .

2.12,22,32.42,5",2.6

Tecnicas para a delerminac;ao de limites .. , " .... ,.,., .. " .. "."",.

Limiles que envolvem infinite ."., ,.,." :, , , .. , ., , , . , , , , , , , , , .

Func;6es continuas "', ... " ... ,.", , "., .. ""., ..... , ,.

3,1 Retas langentes e laxas de variac;ao "', .. ,.,",.".,.,.",.""".",."

3.2 Definic;ao de derivada ,.,., .. " ", .. " ,., , "",.,

XXV

12

1733

495064738698 0.;..-

110

113

114124138

xv

Page 8: Livro Calculo 1 - swokowski 1º parte.pdf

16l

174

. 186

A regra da cadeia .

Diferencia~ao implfcita

CapItulo 4 - Aplica~oes da derivada . . . . . . . • • . . . . . . . . . . . . • . • . . . •. . . . •. •. . •. •. . •. . 211

Extremos das fun«oes 212

o teorema do valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

4.1

4.2

4.3

.' 4.4j

4.5

X4.6

4.7

4.8

4.9

o teste da derivada primeira ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 233

Concavidade e 0 teste da derivada segunda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 243

Resumo dos metodos graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 254

Problemas de otimiza«iio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 264

Movimento retilineo e outras aplica«oes 279

Metodo de Newton 294

CapItulo 5 - Integrais ..•.•••.....•.••••.•......•....•....•.....•...............

A 5.1 Antiderivadas e integra~ao indefinida .

5.4 A integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 339

\,5.5 Propriedades da integral definida 350

A~.6 0 teorema fundamental do calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 361

5.7 Integra~iio numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .. . . . .. . . . . . . . . . .. . .. 375

5.8 Exerclcios de revisiio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 385

~ Capitulo 6 - Aplica~oes da integral definida •...••.........•....•.....•.•.•.....•.~~f,'.1 Area. (, / ~: .. '.. ' ' ~ .

• 6.2 S61idos de revolu«iio ; .~" j"'. .' - -, .

'6.3 Volumes por aneis cilindricos ..............................•...........

:::(436445

7.1

'/...7.2

><>,3/.7.4

X7.57.6

7.7

A fun«iio logaritmica natural .

A fun«iio exponencial natural .

Integra~ao .

Fun~oes exponenciais e logarftmica gerais .

Leis de crescimento e decaimento .

Exerdcios de revisao : : .. : .. : .

Capitulo 8 - Fun~Oes trigonometricas inversas e hiperb6licas ..••..•...........•....

18.1 Fun«6es trigonometricas inversas

Capitulo 9 - Tecnicas de integra~ao ••........•.••...•••...•..•..................~ ..J.l Integra«iio por partes : .

f 9.2 Integrais trigonometricas .

A9.3~.4

9.5387388

400

411

;(8.2

8.3

Derivadas e integrais

Fun«6es hiperb6licas

Substituic;6es diversas ; .. ; : .................• ,

. Tabuas de integrais ...............................................••••\ ;. . - .. .

Exerclclos de reVlsao , , , • , • ,

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, 1111Illu 1Il

1111

III

III \

III ,

III

" 1Il11i.

IIIIII11 111"1111~ IlIdclcrminadas ..... 0 ••• 00 •• 0 0 ••••• 0000 ••••••• 0 0 0 • 0.00 •• 0

1111111111'\'111 lill1iles de inlegra<;ao infinitos ..... 0.000 ••••••••• 0 •• 0.0 ••• 00

1111'111' II t:1l111 Irllcgrandos descontinuos 0 ••••••••• 0 00.00 •• o' •• 0 • 000 •• o •• 0 o'

IllIh.\ ""li1lcm{,lica 0 ••••••• 0 ••• 00' ••• 0 0 •• 0 00' 0 •• 0 •

II 1'('(lIloI1II1S sohre limitcs, derivadas e integrais ..... 0.0 •••••• : ••• 0 ••••••• 00.

PREFAclO

A revisao da cdi<;ao original deslc livro foi empreendida comtres objetivos em mente. a primeiro e tomar 0 Iivro mais voltadopara 0 estudanle, ampliando discussiies e proporcionando maiorDllmero de cxemplos e i1ustra<;iies para melhor esclarecer osconceitos. Para auxiliar ainda mais 0 Icitor, foram acrescentadas,em muitas se<;iiesdo texto, sugestiies para a resolu<;ao deproblemas. 0 segundo objelivo e enfalizar a utilidade do calculopor meio de aplica<;iies atualizadas de derivadas c integrais. aterceiro objetivo - tomar 0 livro tao livre de erros quanto possivcl- foi alcan<;ado por meio de um exame cuidadoso do texloexplicativo, aliado a uma verifica<;ao minuciosa de cada exemploe exercicio.~.

/

I MODIFICAC;6ES PARA ESTA EDIC;Ao

SugeSliies diversas, oferecidas por professores e revisores, rcsul-taram na ncccssidadc de recscrcvcr c rcorganizar a obra. Indi-camos a seguir as principais modifica<;iies.·

CAPITULO 1 a niimero de se<;iicsde revisao foi reduzidode seis para tres, e demonstra<;iies de resultados do pre-calculoforam SubSliluidas por exemplos sobre desigualdades, equa<;iicse graficos.

CAPITULO 2 Ha maior enfase na significa<;ao griifica doslimitcs. Utilizam-se uma aplica<;ao ffsica e afirrna<;iies niio muilorigorosas para motivar a dcfini<;ao f.-o. Na Se<;iio 2.4 saoestudados os limites que envolvem infinito (co).

N.P. Para facililar 0 IfabaJho do aluno, 0 livro original [oi dividido em dais volumes. 0 primeiro volume conh~mas cOIpftulos1 a 10 e 0 seguodo, 11 a 19. Ambos coolem Prefacio. Apendices e Indice Analitico.

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CAPiTULO 3 As interpretaltoes da derivada como coefi-ciente angular da tangente e como taxa de variac;ao de umafunc;ao foram consideradas simultaneamente, e nao em sec;oesseparadas. Na Sec;ao 3.2 foram introduzidos a regIa da potenciapara numeros racionais e 0 conceito de derivada de ordemsuperior. Deu-se maior eiJfase ao uso de diferenciais comoaproxima<;oes lineares de valores de func;oes.

CAPiTULO 4 A definiC;ao de concavidade foi modificadade modo a to mar mais facH estabelecer a relaltao entre 0 sinalde uma derivada e a forma de urn grafico. Vma nova sec;ao,intitulada Resumo dos Me/ados Grtificos, indui uma !ista depassos, ou estagios, para esboc;ar 0 gnlfico de uma fun<;ao.

CAPiTULO 5 Antiderivadas e inlegrais indefinidas sacestudadas nas duas primeiras sec;oes, em lugar de em capitulosdiferenles. Ha quinze novos exemplos relativos a integraisdefinidas. .

CAPiTULO 6 Quase todos os exemplos sobre aplicac;oesde integrais definidas foram refeitos, de modo a substituir limitesformais de norm as por urn metoda mais intuitivo utilizandodiferenciais. Dao-se sugestoes sobre estrategia para determina-c;ao de areas e volumes.

CAPiTULO 7 A demonstrac;ao da f6rmula da derivada deuma func;ao inversa e dada na primeira sec;ao e nao na ultima.As integrais da tangente, da co-tangente, da secante e dacos-secante sao estudadas na Seltao 7.4 (e nao no Capitulo 8).

CAPiTULO 8 Os t6picos considerados restringem-se asfun¢es lrigonometricas e hiperb61icas inversas.

CAPiTULO 9 Foram melhoradas as explicac;oes e as su-gestoes referentes aos metodos de inlegrac;ao.

CAPiTULO 10 Para facilitar a referenda, as defmiltoes enotac;oes para form as indeterminadas sac apresentadas em tabelas.o estudo da formula de Tayler foi transferido para 0 Capitulo 11.

CAPiTULO 11 Deu-se maior enfase as diferenltas entreseqiiencias, somas parciais, somas de series infinitas e ao fatode que os testes de convergencia nao determinam a soma deuma sene. Foi completamente reorganizado 0 material sobre arepresenla'tiio de funlt0es por series de potencia e series de Taylor.

CAPiTULO 12 Incluem-se aplicac;oes adicionais do calcu-10 envolvendo se<;oes c6nicas, de modo que 0 estude nao selimite simplesmenle a uma revisao de 16picos de pre-calculo.

CAPITULO 13 Foi acrescentado e incorporado a exem-pIos e exercicios 0 conceito de oriell/a~ao de uma curva.

CAPiTULO 14 Para faci!itar a visualizac;ao eo esbo<;o desuperficies, muitos exemplos ilustram 0 trac;o da superficie emcada plano coordenado. 0 estudo das coordenadas ciHndricas eesfericas passa para 0 Capitulo 17.

CAPiTULO 15 A introduc;ao as func;6es com valores ve-toriais foi reescrita e integrada a noc;ao de curva no espa<;o.Deu-se proeminencia a utilizac;ao do comprimento do arco comoparametro.

CAPiTULO 16 Dezesseis novas figuras contribuem paradar maior enfase aos graficos e a interpretac;ao geometrica dasfun<;6es de diversas variaveis. Na Seltao 16.4 explica-se 0 metodade Newlon para urn sistema de duas equa<;oes nao-lineares.Ampliou-se 0 estudo sobre os multiplicadores de Lagrange.

CAPiTULO 17 A definic;ao de integral dupla e metodosde calculo eslao englobados em uma sec;ao, em lugar de duas.o estudo da integral trip!ice em coordenadas ciHndricas eesfericas e feito em duas sec;6es separadas.

CAPiTULO 18 Ha uma exposlc;ao mais detalhada doscampos vetoriais conservativos e da tecnica de determinaC;ao deuma func;ao potencial a partir do gradiente. Em dois novosexemplos aplicam-se 0 teorema de Stokes e 0 conceito decirculac;ao a analise dos ventos no interior de urn tornado.

CAPiTULO 19 A Ultima seC;ao e dedicada as solu<;6es deequa<;6es diferenciais por meio de series.

, IIII CARACTERISTICAS DO TEXTO

APLlCAC;OES A edi<;ao original continha exemplos d'aplicaC;ao abrangendo areas como engenharia, ffsica, qufmicll,biologia, economia, fisiologia, sociologia, psicologia, ecologill,oceimografia, meteorologia, radioterapia, astronaulica e transpol'-te. Esta. lista, ja por sI bastante extensa, foi acrescida d'

". exemplos e exercicios que incluem aplicac;oes modern as docalculo ao planejamento de computadores, analise de graus dlempe~~tura e medida da' espessura da camada de ozonio, efcilO

Page 11: Livro Calculo 1 - swokowski 1º parte.pdf

estufa, circulao;;ao dos'ventos dentro de urn tornado, energialiberada pelos terremotos, densidade da atmosfera, movimentodos brao;;osde urn robo e efeitos do gas radon sobre a saude.

EXEMPLOS' Exemplos bem estruturados apresentam so-luo;;oes de problemas analogos aos que constituem as Iistas deexercfcios, Muitos exemplos contem gra£icos, quadros ou tabclasque auxiliam 0 estudante a compreender os processos e assoluo;;oes, Ha tambCm illistrar;6es legendadas, que constituembreves dernonstrao;;oes do usa de definio;;oes, leis ou teoremas,Sempre que viavel, incluem-se aplicao;;oes que indicam a utili-dade de urn topico,

EXERCiclOS As list as de exerdcios comeo;;am com pro-blemas de rotina e progridem gradativamente ate exercicios maiscomplexos, Muilos exercicios con tendo gra£icos foram acrescen-tados a esta edio;;ao,as problemas aplicados geralmente vem nofim das listas, para permitir ao estudante ganhar confiano;;a emmanipulao;;oes e ideias novas antes de tentar questoes que exijamanalise de situao;;oes praticas. Uma caracterfstica desta edio;;ao ea inclusao de mais de 300 exercicios marcados com 0 simbolo(9 ,destinados especificamenle para serem resolvidos com 0

auxilio de uma calculadora cientifica ou urn computador. Exi-'gem-se recursos gra£icos para alguns desses exercicios (vejaobservao;;oes contidas no t6pico Calculadoras),

RESPOSTAS A seo;;aode respostas na parte final do livrocontem as respostas da maioria dos exercicios de numero impar.Consideravel esforo;;ofoi desenvolvido para tomar esta seo;;aourninstrumento de aprendizagem e nao urn simples reposit6rio dedados para conferir resposlas, Para ilustrar, se uma resposta e aarea de uma superficie ou 0 volume de urn s61ido, da-se umaintegral definida adequada juntamente com seu valor. Paramuitos exercicios numericos, as respostas sac dadas tanto naforma exata como em forma aproximada, Incluem-se gnlficos,provas e sugestoes sernpre que forem convenientes,

CALCULADORAS Como os estudantes podem ter acessoa diversos tipos de calculadoras ou computadores, nao procura-mos categorizar os exercicios marcados com (9, a enunciado deurn problema deve proporcionar informao;;ao suficiente paraindicar ou sugerir 0 tipo de calculadora ou computador disponi-vel para obter uma soluo;;ao numerica, Por exemplo, se urnexercicio indica que se deve aplicar a regra trapezoidal comn = 4, qualquer calculadora e adequada, desde que a funo;;ao naoseja muito complicada. Ja para n = 20, e recomendavel umacalculadora programavel ou urn computador. Se a soluo;;aode urnexercicio envolve urn grMico, pode ser adequada uma calcula-

dora que imprima grMicos; todavia, funo;;oes ou superficiescomplicadas podem exigir um equipamento computacional so-fisticado. Como a precisao numerica depende tambem do tipode disposilivo computacional utilizado, algumas respos(as apa-recem arrcdondadas para dm\s casas decimais; em oulros casos,a precisao pode chegar a oito casas decimais.

PLANEJAMENTO DO TEXTO E DAS AGURAS 0 textofoi completamente reestruturado de modo a tomar as discussoesmais faceis de seguir e a enfatizar conceitos importantes, Todosos gra£icos foram refeitos. as graficos de funo;;oes de uma ouduas variaveis foram gerados em computador e desenhados comalto grau de precisao, utilizando a mais modern a tecnologia.

FLEXIBILIDADE As instituio;;oes de ensino que utilizaramas edio;;oes anteriores do livro atestam a flexibilidade do texto.Seo;;oes e capitulos podem ser reordenados de diferentes manei-ras, dependendo dos objetivos e da durao;;ao do curso.

Earl W. Swokowski

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A derivada lambem e utilizada na resoluc;ao de problcl1llllque envolvem valores maximos ou minim os, tais como Cub,car uma caixa retangular de volume dado e pete menor Cnsh),calcular a distancia maxima a ser percorrida por urn [ogn II I

obler 0 f1uxo maximo de trafego atraves de uma POIlIt I

determinar 0 numero de po«os a perfurar num campo petrol(fero de modo a obter a produc;ao mais eficienle, delcrrnillil Iponlo enlre duas ConIes luminosas no qual a iluminat;fiv )11

..,AO ESTUDANTE

o calculo Coi descoberto no seculo XVII como instrumento parainvestigar problemas que envolvem movimento. Para estudarobjelos que se movem a velocidades conslanles e ao longo delrajel6rias retiHneas ou circulares, a algebra e a trigonomelriapodem ser suficienles; mas, se a velocidade varia ou se II

Irajel6ria e irregular, 0 calculo torna-se necessario. Uma descri-«ao cuidadosa de movimenlo exige defini<;6es precisas develocidade (espa«o percorrido na unidade de tempo) e acelera-fao (taxa de variae;ao da velocidade). Estas definie;ties podemser oblidas utilizando-se urn dos conceilos fundamenlais docalculo - a derivada.

Embora 0 calculo lenba se desenvolvido para resolverproblemas de fisica; sua potencia e versatilidade levaram ao~mais diversos campos de estudo. As aplicae;5es aluais till

derivada incluem a investigae;ao da taxa de crescimenlo dbaclerias em uma cultura, a predic;ao de resultados de uma rcae;. ()qufmica, a mensura«ao de variae;ties instanl1ineas na COrrcnleletrica, a descrie;ao do comportamento de particulas atomiclIR,a eslimaliva da evolu«ao de urn tumor na terapia radioativa, I

previsao de resultados economicos e a analise de vibra«ties Illllnsistema medinico.

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\ \ II I ,fl, III" "l/', 1/"11111",111 ""~/::.II;;:IC:,:," --,:,,...~.,...._

maxima e maximizar 0 lucro na fabricac;ao de certo produ't~: asmale maticos freqtientemente utilizam derivadas para dete~lnarlangentes a curvas e para auxiliar na analise de graficosdefunc;6es complexas.

. . Outre>""conceito fundamental do calculo - a inlegral'deji;,ida - e motivado pelo problema da determina<;ao de areasde regi6es com fronteiras curvas. Tanto quanta as derivadas, asinlegrais definidas sac tambem utilizadas nos mais diversoscampos. Veja algumas aplica<;6es: determinar 0 centro de massaou 0 momenta de inercia de urn solido, determinar 0 trabalhonecessario para mandar uma sonda espacial a outro planeta,calcular 0 fluxo sangtiineo at raves de uma arteria, esti~ar adepreciac;ao do equipamento de uma fabrica, determinar aqllantidade de diluic;ao de urn corante em certos testes fisiologi-coso Utilizamos tambem integrais definidas para investigarconceitos tais como area de uma superficie curva, volume de urnsolido geometrico ou comprimento 'de uma curva.

Ambo~ os cOIic~ito~' de derivada e integral sac definidospor process os de limites. A noc;ao de limile e a ideia inicial quesepara 0 calculo da matematica clemen tar. Sir Isaac Newton(1642-1727) e Goltfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) descobri-ram independentemerite a conexao entre derivadas e integrais, ea inven<;ao do calculo e atribuida a ambos. Muitos outrosmatematicos deram importantes contribui<;6es ao desenvolvi-men to do calculo nos ultimos 300 anos.

As aplica<;6es do calculo aqui mencionadas sac apenasalgumas dentre as muitas que serao estudadas neste livro.Certamente nao poderemos disclItir todas as aplica<;6es docalculo, inclusive porqlle sempre novas aplica<;6es vem sendodesenvolvidas 11 medida que a tecnica avan<;a. Qualquer que sejao campo de interesse do esludante, 0 calcuJo qllase que certa-menle sera utilizado em alguma investigac;ao pura ou aplicada.Talvez 0 proprio estudanle venha a desenvolver mais umaaplica<;ao para este ramo da ciencia.

Capitulo 1. .. - ..

·REVISAo PRE-cALCULO

INTRODUCAo

Nest~ '~apit~lo serao revistos t<Spicosda ma-tematica pre-calculo, essenciais ao estudo docalculo. Apos rapida discussao de desigual-dades, equac;6es, valores absolutos e graticos,voltamos nossa atenc;ao para as fum;iies. Di-zer que 0 conceito de func;ao e importanle namalematica e simplesmente minimiza-lo. Talconceito e 0 fundamento do calculo e 0 esteiode todo 0 assunto. 0 leitor encontranl a

'palavrajim~ao e 0 simbolo / ou f(x) utilizadoem quase todas as paginas deste livro.

Nos cursos pre-calculo, estudamospropriedades de func;6es utilizando a algebrae metodos graficos que incluem a marca<;iiode pontos, a detemlinac;ao de' simetrias e astranslac;6es horizontais ou verticais. Eslastecnicas sao adequadas para se obter urnrapido esboc;o de urn grafico; todavia, 0calculo torna-se necessario para determinarprecisamenle onde os graficos de fun<;6escrescem ou decrescem, as coordenadas exalasde pontos maximos e minimos, coeficienlesangulares de tangentes, e muitos oulros dadosuteis. Problemas de aplicac;ao que nao podemser resolvidos com auxflio da algebra e dageometria ou trigonometria, em geral podemser abordados represenlando-se quantidadesffsicas em termos de fun<;6es e aplicando-seenlao os recursos desenvolvidos no caJculo.

Levando em conta as observa<;iies pre-cedentes, 0 estudante deve ler cuidadosamen-te a Sec;ao 1.2. A boa compreensao dosassuntos ali tratados e essencial antes deiniciar a leitura do proximo capitulo.

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1.1 ALGEBRA

Esta SeliaOcontem t6picos de revisao de algebra que conslituempre-requisitos para 0 calculo. Enunciarernos falos importanles eresolveremos exemplos sem justificar delalhadamenle nossolrabalho. Uma abordagem mais ampla desles assuntos pode serenconlrada em textos de matematica pre-calc;ulo.

Todos os conceilos do calculo baseiam-se em propriedadesdo conjunto ~ dos numeros reais. Ha uma correspondenciabiunivoca entre ~ e os pontos de uma reta real (reta coordenada)

·1conforme ilustrado na Figura 1.1, onde a e a origem. 0 numeroo (zero) nao e nem positivo nem negativo.

0 B A. . . . .. II •• .. . .. i> .-3 -2 1-1 I? 112

1 I4 n5 as, I

-1.5 -I I Vi 2.331t

NUMEROS REA1S I NI,h.tEROS REA1S

...- f'O'EGATlVQS _\111 I'OSITIVOS

Se a e b sac reais, ent.ao a> b (a e maior que b) se a-b'e positivo. Uma afirmativa equivalente e b< a (b e menor quea). Referindo-nos ii reta coordenada da Figura 1.1, vernos que a> b se e somente se 0 ponto A correspondente a a esla a direitado pontoB correspondente a b. Outros tipos de desigualdade saca s b, que significa a < b ou a ,; b, e a < b s c, que significaa < be b's c:

ILUSTRA~Ao

5>3(-3f > 0

Demonstra~-se as s~guintes propriedacles:

Propriedades dasdeslgualdades (1.1)

'Proprledades do valor''absoYuto (b > 0) (1.2)

Valem propriedades analogas invertendo-se' os sinais dedesigualdade. Assim, se a < b e b < c, enlao a < c; se a < b,entao a + c < b + c elc.

lal = { a se a " 0-asea<O

Se a e a coordenada do ponto A na reta coordenada daFigura 1.1, entao lal e 0 numero de unidades (iSIO e, a distancia)entre A e a origem O.

131 = 3

101 = 0

1-31 = -(-3) = 3

13- n/= -(3 - Jt~ = Jt - 3

Uma equaliiio (em x) e uma afirma<;ao tal como

x2 = 3x - 4 OU 5x3 + 2 sell x - vx = 0

Uma solUliiio (ou raiz) e urn numero a que transfomla 1IequlIl,; \I

em urna identidade quando x e substituido por a. Resolv 'r 1/1/1/1

equa~iio e achar todas as suas solu<;6es.

(a) Fatorando 0 membro esquerdo vem:

x(J..2 + 3x - 10) = 0, ou x(x - 2)(x + 5) • 0

19ualando cada falor a zero, oblemos as sohl<; rs 0.' t 'I

(b) Usando a f6rmula quadratica

-b ± flY - /Ie

x= 2/1

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:"'5± ·./25 - 4 . 2. (-6)x= 2.2

Uma desigualdade (em x) e uma afinnaC;ao que contemao menos urn dos simbolos <, >, :s, ou ~, lal como

As noc;6es de soluc;ao de uma desigualdade, e resolver umadesigualdade, SaD an~logas aos conceitos correspondentes paraequac;6es.

Freqiientemente referir-nos-emos a illlervalos. Nas defini-c;6esque seguem utilizamos a notac;ao de conjuntos {x: }, ondeo es'pac;o ap6s os'dois pontos e usado para especificar restric;6essobre a variavel x. Em (1.3) designamos (a, b) urn intervaloaberto, [a, b] urn intervalo fechado, [a, b) e (a, b] intervalossemi·abertos, e intervalos definidos em terrnos de 00 ou _ce,

intervalos infinitos.

NOTAc:;AO DEt1Nlc:;AO GllAFJco

(a,b) {x:a<x<b} --( _._---_.- ........ ~, b

[a,b] {x:asxsb} -_.,. I---~· b I

[a, b) {x:asx<b} --( - - ... 0" 'I---~ I· b I

(a,b] {x: a < xsb} --( )--~ I· b '

(a,oo) {x:x> a} ( ~·[a ,00) {x:x~a} I ~·(-oo,b) {x:xsb}

l •b

( -oo,b] {x:xsb} t ..-"

( -00,00) If! •

-5 s 4 - 3x,< 12

I (I.,t'''':!:,']I·o -} 1-

4- 3x-5 s2---< 1

(multiplicando por 2)

(subtraindo 4)

Logo, as soluc;6es SaD os numeros no intervalo semi-aberto

(~,¥]. 0 grafico esta esboc;ado na Figura 1.2.

(b) r -10> 3x

roo 3x-IO > b

(x - 5)(x + 2) > 0

(subtraindo 3x)

(fatorando)

Sinal do Fatorx+ 2: - - - + +

x .. 5: - - - - -I I I I I I-2 0 5

I I ) I I I (-2 0 5

Figura 1.3

Examinamos em seguida os sinais dos Catores x - 5 ex + 2,conforme Figura 1.3, Como (x-5)(x-2) > 0 se ambos os fatorestern 0 mesmo sinal, as soluc;6es SaD os numeros reais na uniao(-00, -2) U (5, (0), conforrne ilustrado na Figura 1.3.

Ocorrem com freqiiencia no calculo desigualdades queenvolvem valores absolutos.

(a) [t - 31 < 0,5

SOLu(:Ao(a) [" - 31 < 0,5

("--...

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.------ •.•.•......- _••..__ ....._---... -----.,.------

I (I) Io 2 3 4

) I I ( I23456

-D,S < x - 3 < D,S

2,5 < x < 3,5

(propriedade do valor absoluto)

(somando 3)

As solu~6es sao numeros reais do intervalo aberto (2,5; 3,5),conforme se ve na Figura 1.4.

2x> 10 (somando 7)

x> 5 (dividindo por 2)

As solu~6es sao dad as por (-00, 2) U (5, 00). Veja 0 grafico naFigura 1.5.

Urn sistema de coordenadas retangulares e urna corres-pondencia entre pares orden ados [a, b] e pontos de urn plano,conforme ilustrado na Figura 1.6. 0 plano e charnado plano

- coordenado ou plano-xy. Note que, neste contexto, (a, b) nao eurn intervalo aberto. Deve-se sempre ·deixar claro se (a, b)representa urn ponto ou urn intervalo.

b ----~(a,IIIIII

a

b)

• (5,2)

•(-5, -3) (0, -3) (5:-3)

Formula dadistfmcla (1.4)

Formula doponto medio (1.5)

Demonstra-se que:

A distiincia entre PI e P2 ed(P!, P0 = V(x2 - XI)! + (y! - y1J2

o ponto medio do segmentado PI p! e

M(X':X2, Y':Yl)!y

(n) d(A, lJ)

SOLUC;AO

( S POIIIllS 'SI II IlIl1f '1Ilns .11. 111'"111 I, I, \I ","10 1\ Ii 111111111

,'II' (I,ll) I) (I" ), 01\(1)1111\ :

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'11'1.11' (I):::lll':lllllli~;'io de xpili X conduz aIllll llllt! cql1a~50

(b) M(-2 + 4 3 + (-2») =M(l 1)2 '2, ','2

Uma equa~ao em x eye uma igualdade como

2x + 3y = 5, Y =,r - 5x + 2 ou T + sen x = 8.

Uma solu~ao e urn par ordenado (a,b) tal que toma a equa~aouma identidade quando substituimos x por a e y por b.O gnitIcoda equa~ao consiste em todos os ponlos (a, b) em urn plano quecorrespondem a solu<;ao. Admitiremos que 0 \eitor ja tenhaexperiencia em esbo~ar graficos de equa<;6es basicas·em x e y.Certos graficos apresentam simelrias, conforrne se ve em (1.6),onde sao indicados testes que podem ser aplicados a umaequa~ao em x e y para determinar uma simetria.

(ii) eixo - xy

(iii) Origem

AY

(.>;y)

/L;

Teste (ii):Substitui~ao de xpOl' -x conduz amesma equa~iio

Teste (iii):Substitui~ao de x por-x e y por -y conduza mesma equa~ao

Os testes de simetria saG uteis no proximo exemplo, porquepermitem esbo<;ar apenas a metade de urn grafico, refletindo-aem lomo de urn eixo ou da origem, conforme ilustrado em (1.6).Marcaremos varios pontos em cada grafico para ilustrar solu~6esda equa~ao; todavia, 0 principal objetivo ao fazermos 11mgnificoe obter !Ill! esbo~o preciso sem necessitar marcar mllitos (011qllaisqller) pontos.

1(a)y=-,r2

sOLUC;Ao(a) Pelo teste de simetria (i), 0 grafico de y = !,r e simetrico

... .2

em relac;ao ao eixo-y. Damos a seguir alguns pontos dogriifico:

0 1 2 3 4

0 1 2 9 8y 2 2

r (4,2)

A Y(2, 2)

(4, 8)(9, 3)

(1, 1

A marcac;ao de pontos, 0 trac;ado de uma curva suave pelospontos e a utilizac;ao da simetria nos perrnitem fazer 0 esboc;oda Figura 1.8. 0 grafico e uma parabola com vertice (0, 0) eeixo ao longo do eixo-y. As parabolas sao estudadas em detalheno Capitulo 12.

(b) Pelo teste de simetria (ii), 0 grafico de y2 = X e simetricoem relac;ao ao eixo-x. Os ponlos acima do eixo-x sao dadospor y =.fi. Alguns desses pontos sao (0, 0), (1, 1), (4, 2)e (9, 3). Grafando e usando a simetria obtemos a Figura1.9. 0 grafico e uma parabola com vertice (0, 0) e eixo aolongo do eixo-x.

Pelo teste de simetria (iii), 0 grafico de 4y = x' e simetricoem rel~c;aQ a origem. Alguns pont os do graficlniio (0, 0).(1, ~) e (2, 2). Marcando os pontos e usanclo a sil1lclrill

obtemos 0 grafico da Figura 1.10.

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A Figura 1.11 ilustra urn circulo de centro CCh, k) e raior. Se P(x, y) e urn ponto arbitrario do circulo, entao, pela f6rmulada distancia (1.4), d(P, C) = r, au [d(P,C)]2 = r 2. Isto conduz 11equa«ao

EquagBo de urn circulo (1.7) \"(X':':h)2+(Y-k)2=,i'

Se 0 raio do circulo e 1, 0 circulo e charnado circulounitario. A equa«ao do drculo unitario de centro na origem e

Determinar a equa«ao do circulo de centro CC-2, 3) e que passapelo ponto D(4, 5).

o circulo est a ilustrado na Figura 1.12. Como De urn dos pontosdo drculo, 0 raio r e d(C, D), ou seja,

r=-I(_2_4)2+(3_5)2 =-136+4 =V40

Usando a equa«ao do drculo com h = -2, k = 3 e r = V40 ternos

(x + 2)2 + (y - 3)2 = 40,

No calculo, costurnamos considerar retas em urn planocoordenado. Suas equa«6es SaD dadas pel as seguintes f6rmulas.

(II) Forma Ponto--Coeficienle angular

(ill) Forma Coeficienle angular--Inlerceplo

(1.9) da alguns tipos especiais de retas com seus coeficientesangulares.

(i) Vertical: m nao-definido (i1) Paralelas: m I

Horizontal: m = 0

._."Esbo~e_ a.reia definida para cad a par de pontos e determine sell(C. epef\ciente angular. .

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(c) A(4,3) e B(-2,3) (d) A(4,-I)eB(4,4)

SOLUC;Ao

x B~~2:~)"'-l-+:+~+~'+-13!-J:)IHI+1 .~ -H-++r1' . r:'~. t(4' -1)

I

I, 'I)

IIII I

2-4 -2 13-(-1) =4""=-2

5-(-1) 6 32-(-2) -4"="2

3-3 04- (-2) =(; =0

(d) 4 - (-1) 5 -, d fi 'd N 'm= 4-4 =O,quenaoe eml o. otequearetae

vertical.

Urna equa~ao linear em x eye uma equa~ao da formam: + by = C (ou ax + by + d = 0), com a e b nao simultaneamentenul os, 0 grafico de urna equa"ao linear e uma reta.

7-21 - (-3)

Podernos usar as coordenadas deA ou deB para (xl' Yt) na forma"ponto-coef.angular'~. (1.8)(ii). Usando A(I, 7) temos:

y-7 =~ (x-I),

(a) Determine 0 coeficiente angular da reta 21: - 5y = 9.

(b) Determine as equa,,6es das retas por P(3, --4), paralela eperpendicular 11 reta (a).

SOLuC;Ao

(a) Escrevendo a equa"ao como 5y = 2x - 9 e dividindo ambosos rnernbros por 5, obternos

2 9y=sx-sCornparando esta equa"ao com a equa"ao geral y = mx + b,vernos que 0 coeficiente angular e m = ~

(b) Por (ii) e (iii) de (1.9), a reta por P(3, --4) paralela 11 reta

(a) tern coeficiente angular ~ e a perpendicular, _~. As2

equa,,6es correspondentes san

y + 4 = ~ (x - 3), ou 2r - 5y = 26

e y + 4 = -% (x - 3), ou 5x + Zy = 7.

Esboce os gnificos de 4x + 3y = 5 e 3x--Zy = 8, e ache 'sell puntude intersec"ao.

As duas equa,,6es sao lineares, logo, os gr('ficos s;,o rclas, I'aratra"ar os graficos podernos usar os ioterccplos-x e us ;ntercep-tos-y, obtidos fazendo-sc x = 0 e y m 0 respcctivalll 'lite.

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As coordenadas do ponto P de intersec<;ao sao obtidas comosolu<;ao do sistema:

{4x+ 3y =53x- 2y = 8

Para eliminar y do sistema, multiplicamos a primeira equa<;aopor 2 e a segunda por 3:

{8x+ 6y = 109x- 6y = 24

Somando membra a membra, obtemos:

Esta e a coord enad a x do ponto de intersec<;ao. Para determinara coordenada y de P, fazemos x = 2 em 4x + 3y = 5, obtendo

Exeres. 1-8: Reesereva, sem usar 0 simbolo de valor,ab~oluto.

1 ' (a) (-5)13 - 61

2 (a) (4)16- 71

3 (a) 14 -It I

(b) I--6V(-2)

(b) 5/1-21

(b)ln-41

(e) 1-71+141(e) HI+I--91(e) IY2 - 1,51

4 (a)1v'3 -1,71 (b)II,7-v'3f (c) 11-~15 13+x1 se x < -3 6 15- xl se x > 5

7 12- xl se x < 2 8 17+ xl se x >:-7

Exeres. 9-12: Res:olva por faloramento.

9 15x2 - 12 = -ax 10 15x2 - 14 = 29x

11 2x(4x + IS) = 27 12 x(3x + 10) = 77

Exeres. 13-16: Resolva a equa~ao ulilizando a f6r-mula quadnitiea.

13 x2 + 4x + 2 = 0

15 2x2 - 3x - 4 = 0

14 x2 - 6x ~ 3 = 0

16 3x2 + Sx + 1 = 0

Exeres. 17·38: Resolva a desigualdade e exprima asolu<;aoem termos de intervalos, quando possive!.

17 2x + 5 < 3x-7 18 x- 8> Sx + 3

2x-3 20 -2 < 4x + 1 ,,0193"-S-<73

21 x2 -x - 6 < 0 22x2+4x+3>:0

23x2-2x-S>3 24 x2 - 4x - 17" 4

25 x(2x + 3) >:S 26 x(3x-I)" 4

27~>2 28 x-2 ,,42x-3 3x+S

29 _1_>:_3_ 2 2, x-2 x+l 30 2x+3" x-5

31 ~ + 31< 0,01 32 ~ - 41" 0,03

33 ~ + 21>: 0,001 34 ~ - 31> 0,002'...'

35 12x+ 51 < 4 36 13x - 71>:S

3716 - Sxl" 3 381-11-7xl > 6

Exercs. 39·40: Descreva 6 conjunto de poniosf(x, y) que satisfazem a condi<;aoindicada.I

~9 (a) x = -2 (b) y = 3 (c) x >: 0 (d)xy > 0

(e) y < 0 (I) ~I" 2 e 1>'1" 1

40 (a) y = -2 (b) x = - 4 (e) x/y < 0 (d) xy = 0

.. (e) y > 1 (I) Ixl >:2 e 1>'1>: 3

Exeres. 41·4: Determine (a) dCA, B) e (b) 0 ponto~edio de AB. '

43 Mostre que 0 triangulo com vertices A(8, S),B(I, -2) e C(-3,2) e retiinguto, ~ calcule sua area.

44 Mostre que os pontos A ('-4, 2), B(I, 4), C(3, -I)., e D(-2, -3) sao vertices de um,quadrado.

, .' ";~ "I

49 y = x3 - 8

51 y=Yx-4

53 (x + 3)2 + (y - 2)2 = 9

55 Y = - v"f6:XT

50 y = _x3 + 1

52 y = Yx- 4

54 x2 + (y - 2)2 = 2S

56 y=¥4=XTExeres. 57-60: Determine a equa~ao do cueulo quesatisfaz as condi~6es indieadas.

57 Centro C(2, -3), raio S.

58 Centro C(-4, 6), passando por P(I, 2).

59 Tangente a ambos os eixos, centro no segundoquadrante, raio 4.

60 Extremos de um diiimetroA(4, -3) e B(-2, 7).

Exeres. 61-66: Ache a equa<;aoda rela que salisfazas eondi¢es indicadas.

61 Passa por A(5, -3), coeficiente angular -4.

62. Passa por A(-I, 4), coeficiente angular i.63 Intercepto-x 4, interceplo-y -3.

64 Passa por A(S, 2) e B(-I, 4).

65 Passa por A(2, - 4) e e paralela 11rela Sx - 2y " 'I.

66 Passa por A(7, -3) e e perpendicular 11 reta2x - Sy = 8,

iExercs. 67-68:\Determine a equa<;ao da bisseclt rllperpendicular de ~:-., . -----:-

Exeres. 69·72: Trace os graficos das relas e d Ic,mine seu ponto de intersec<;ao.'

.70 4x + Sy = 13; 3x + Y =-4

71 2x + Sy = 16; 3x - 7y = 24

72 7x - By = 9; 4x + 3y = -10

1£J73Aproxime as coordenadas do pOlliO do 1111 Irl (<;aodas retas .

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- 0.1 )x + (0.1l)\''Y = 1/,[5

(2,51)\"x + (6,27 - ..[f)y = V2

174 I\proxime a menor raiz da seguinte equa~ao:x2 _ (6,7 x 106)x + 1,08 = O. Para evitar caleularliln zero dessa raiz, escreva a formula quadnl.tieaomo

2cx~ -b±~

75 A radIo na qual urn comprimido de vitamina Come~a a dissolver-se:depeilde da area da super-

ffcie do comprimido. Urna marca de comprimidoI '111forma ciHndr';ca, cornprimento 2 cm, com11'misferios de diametro 0,5 em cad a extremidade(veja a figura). Uma segunda marca de compri-Illi lu vai ser fabricada em forma cililldric~, comH,~ cm de altura.

III) Del'lmine 0 djametro do segundo comprimi-,Ill de modo que a area de sua superficie seja111'11111\do primeiro comprimido.

(10) Ill'lennine 0 volume de cada comprimido.

/I, \1111Iltlll i ""lle <Je latas deseja fabricar uma lataI "' 111111111lle cilindro circular reto com 20 cm de111111111cO I,HOO ellf de capacidade (veja a figura).I I, 1I'IIIIIne u raio interior r.

II /I Ilil"'" 11\(,,111''"11 vidro de aumento simples,IHIP '11ndu "'11 1I111:lIcntc cOllvcxa. 0 objeto a ser

11\111\nilltill "!ll~ Ill'alizadu de maneira que sua

distancia p da lente e menor que a distiineia focalf. A amplia~ao linear Mea razao do tamanho daimagem para 0 tamanho do objelo. Mostra-se emfisiea que M = f /(f-p). Se f = 6 .cm, a quedistancia dalentedeve ser coloeado 0 objeio demodo que sua imagem seja nominimo Ires vezeso objeto?

,•••• r-~~"~---"----C_-_"'~j~..~....'.' ,l Objel~"'" ','.'---_.~ ;

; l..-p_:" .>--/----1

78 A medida que a altitude de uma nave espacialaumenta, 0 peso do astronauta diminui ate atingirurn est ado de imponderabilidade. 0 peso de urnastronaut a de 60 k, a uma altitude de x quilome-tros acima do mar, e dado por

W=60(~)26400+x

A que altitude 0 peso do astronauta sera inferiora 2k?

79 A distancia de frenagem d (em melros) de urncarro correndo a v km/b e dada aproximadamente pord = v + (1'2120). Delennine veloeidades que resultemem distiincias de frenagem inferiores a 25 m.

80 Para que um remedio produza 0 efeito desejado,sua coneentra~ao na corrente sanguinea deveestar acima de urn certo valor, 0 /Iivelteropellticominima. Suponhamos que a concentra~ao de urnremedio t horas apos ser ingerido seja dada porc ;: 2011(12+ 4) mgfL. Se 0 nive! terapeuticominimo e 4 mg/L, determine quando este nlvel eexeedido.

81 A resislcneia eletrica R (em ohms) para'um fiode metal puro est a relaeionada com sua tempera-tura T (em "C) pela formula R. = Ro (1 + 01').para constantes positivas a e Ro.

(a) Para que temperatura se. tem R = RO?

(b) Supondo que a resistencia seja O. ,(zero) seT = -27~. "C (zero absoluto), determine o.

(c) Urn fio de praia tern uma resistenda de1,25 ohms a O_°c. i..' que temperatura aresi~tencia c igual a 2 ohms?

112Os produtos famaceutieos devem especificar asdosagens recomendadas para adultos e crian~as.Duas formulas para modifica~iio da dosagem deadulto para uso por crian~as san: .

on de a de nota a dose de "ciullO (elll lIlillgrllnll"l)eta idadc da crian~a (em anos).

(a) se a = 100, fa~a 0 gnifieo das dllas c<Jua~<I'slineares no mesmo sistema de eixos paraOs t s 12.

(b) Para que idacle as duas formulas especificama mesma dosagem?

A oo<;ao de funr;'ii~ 6 fundamental para todo nosso trabalho emcalculo. Definimos urna fun<;ao como segue:

-;,; ·:'j.l·' :. ;1/' ".'·i_~··,. J I it \ •..• ;

"'Uiria'ruii~ao- fdeum conjun1o D em. urn ·conj un to E e uma;~ !:brr6spOlidenCiaAue .assoCi'a· a cadi elementox de D

ex~tamentei.imelemCtito y de E.

o elemento y de E e 0 valor de f em x e se denota pOI f(t)(le-se "f de x"). 0 conjunto D e 0 domfnio da fun<;ao. 0

!.<. : ;/' -'./. < contradominio f e 0 subconjunto de E que consiste em todos, J' 'L os valores possiveis f(x) para x em D. .

Em geral ilustramos fum;oes como na Figura 1.15, onde oscoojuntos DeE sao representados por pontos dentro de regiaesdo plano. As setas curvas indicam que os elementos f(x), f(lV) ,fez) e f(a) de E correspondem aos elementos x, IV, z e a-de D.

E importante notar que a cada x em D esta associrido exOjomellte .um valor f(x) em E; todavia, diferentes elementos de I/, taiscomo w e z na Figura 1.15, podem originar 0 mesmo valor dafun<;ao em E. Nos Capitulos 1-14, a expressao "f Ii umoftlllr;iio"indica que 0 dominio e 0 contradominio de f san conjuntos denumeros rea is.

Usualmen(e definimos lima 'fun<;ao f enunciando umafonnula o~ ~egra para a:h.ar f(x),· tal. como f(x) = {x - ~.Supae-se entao que.o dommlO seJa 0 'conJunto de todos os realstais que f(x) seja real. Assim, para f(x) ~~, 0 dominio eo intervalo infinito [2, 00). Se x esta no dominio, dizemos que fe defioida em x, ou que f(x) existe. Se oS c urn subconjunto dodominio, entao f e definida em S. A expressao f oao e definidaem x significa que x nao esta no dominio'Qe f.

Page 22: Livro Calculo 1 - swokowski 1º parte.pdf

lr- 1-, X

~ ') =( , ) )

1())

I - 1,0,)

,.......,_1::: ') ':

J , - 'J,)

l I -,~ 'j~

f(x) = ';4 +xI-x

Determine 0 dominie de f.Determine f(5), f(-2), f(-a) e - f(a),

SOLUI;Ao(a) Note-se que f e real se e somente se 0 radicando 4 + x e

nao-negativo e 0 denominador 1 - x e diferente de zero.Assim, f(x) existe se e somente se

ou, equivalentemente, x ;,;-4 ex;" 1.

Logo, 0 dominio e [--4, 1) U (1, 00).

(b) Para achar valores de f, substitufmos x pelos valoresdados:

f(5) = ';4 + 5 = ..f9 =_11-5 -4 4

fG]=2Y ..fIf(-2)= 1-(-2) 3

f( -a) = v'4+""(-iiI _ ';4 - a1-(-a) l+a

-f(a)=- ';4+a = ';4+aI-a a-I

Muitas formulas que ocorrem na matematica e nas cienciasdetemiina'm func,;oes. Porexemplo, a formula A = nl da area Ade urn drculo'de raio r associa a cada real positivo r exatam~nteurn valor de A. A letra r, que represenia urn numero arbitniriodo. dominio, e uma varhivel independente. A letra A, querepresenta '0 contradomfnio, e uma variavel dependente, poisseu valor depellde do valor atribuido a r. Quando duas variaveisreA estao relacionadas desta maneira dizemos que A e fWI~iiode r. Outro exemplo: se urn automovel viaja a uma velocidadeuniforme de 50 km/h, entao a distilncia d (em quil6metros)percorrida no tempo t (em horas) e dada por d = SOt; logo, adistiincia d e uma fun~ao do tempo t.

~1f.~~}1P~~!~m~sf::·~~~~~.----~~. ~-.--3m --~ ----,-..~,

ty y = f(x)r--'--------

Co"n~om'o,,1 P( a. f( a)) 1

"1'_ J_ -"1 :I I !fta) 1I I ' I'-----t_~I I a I xi I I. ~- Domlnio de f - ~

Deve-se construir urn tanque de ac,;o,para armazenagem de gaspropano, na forma de urn cilindro circular reto de 3m de alturacom urn hemisferio em cada extremidade. 0 raio r deve ser aind~determinado. Expresse 0 volume V do tanque como func,;ao de r.

A Figura 1.16 ilustra 0 tanque. 0 volume da parte cilindrica edado por 'o?

~ "'?'.@(nl.2) ~~nrOs dois hemisferios das extremidades, considerados em conjuntotern como volume

v = _43n,-3 + 3nr = ~ nr (2r + 15)3 •

Esta formula exprime V como func,;ao de r.

$e f e uma func,;ao, utilizamos urn graftco para ilustrar avariac,;ao do valor funcional f(x) quando x varia no dominio def. Por deftnic,;ao, 0 grafico de uma func,;iio e 0 graftco da

equac,;iioy = f(x) para x no dominio de f. Conforme a Figura1.17, costurI)a-se rotular f(x) 0 graftco de uma func,;ao. Note-seque se pea, b) esta no graftco, entao a coordenada-y b e 0 valorfuncional f(a). A figura exibe 0 dominio de f (conjunto devalores possiveis de x) e 0 contradominio de f (val ores corres-pondentes de y). Conquanto tenhamos considerado 0 dominie eo conlradominio intervalos fechados, eles podem ser intervalosinfinitos ou quaisquer conjuntos de reais.

E importante notar que, como hi! exatamente urn valor f(a)para cada a no dominio, somente urn ponto no grafico terncoordenada-x a, Assim, cada vertical intercepta 0 grafico de umafunc,;iiono maximo em urn ponto. Conseqiientemente, 0 gn\ficode uma func,;ao nao pode ser uma figura tal como urn drculo,que pode ser cortado par uma vertical em mais de urn ponto.

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Os inlerceplos-x do gnifico de uma funltao f sao as solultoesdaequaltao f(x) c 0. Tais niimeros sao os zeros da funltao. 0inlerceplo-y do gnifico e f(O), se existir.

Se f e uma fun~iio par - isto e, se f(-x) c f(x) para lodox no dominio de f -entao 0 grafico de f e simetrico em relaltaoao eixo-y, pelo teste de simetria (i) de (1.6). Se f e uma fun~aoimpar - isto e, se f(-x) c -f(x) para to do x no dominio de f- entao 0 grafico de f e simetrico em rela<;ao 11 origem, pelotesle de simetria (iii). Grande parte das funlt0es no ciilculo naosao nem pares nem imp ares.

'A ilustraltao que segue contem esbo<;os de griificos dealgumas funlt0es comuns. 0 leitor deve verificar em cada casoa simelria, 0 dominio e 0 contradominio indicados.

GRAFICOf;'-f-~__._U_~(! x

D = ( -00, 00)

R = ( -00, 00)

D = [0,00)R, = [0, 00)

eixo-y(fun~iio par)

D = ( _00, 00)

R = [0, 00)

origem(fun~iio imparl

CIIJ!. J Ucvisllo jJ,.~.(,tltellllJ 1.1

FUN<;:Ao f GRAFf CO Sl!v!ETRIA DOMiNIO D, CONTRADOMfNIO II

,IJ -+ D= ( .00, ee). f(x) = x eixo • y R = [0, 00)

f(x)=IIJ + origem D= ( -00, ee)

X ([un~iio imparl R = ( .00, (0)

'\

~;f(x) = I xl eixo • y

D = ( _00, ee)

C([un~iio par)

R = [0, (0)

. f(x) =.! + origemx

,x([un~iio imparl D = ( _00, 0) U (0, (0)

R = ( _00, 0) U (0, 00)

t·J··~_ .•••••• _~ ._. ~'_' .•. ' :. •• _._ .0 •.• _ ••••••

••• •

Hii funlt0es que sao definidas por mais de uma expressao,como no exemplo a seguir.

\

2x+3f(x)= ~2

se x < °seOsx<2se x 2: 2

Se x < 0, enlao f(x) = 2x + 3, e 0 griifico de f e parte da relay c 2x + 3 (Figura 1.18). 0 pequeno circulo indica que 0 ponto(0, 3) nao eslii no griifico.

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Se ° s x s 2, f(x) =x2, e 0 grafico e parte da parabola

y = i.Note que (2, 4) nao est a no gnlfico.

Se x •• 2, os valores funcionais sao sempre I, e 0 graficoe uma semi-reta horizontal com extremidade (2, 1).

Se x e urn numero real, definimos [[xl] como segue:

[[x)) = n, oode II e 0 maior inteiro tal que liS X.

Se identificames IR com pont os numa reta coordenada,entao II e 0 primeifo inteiro 11 esquerda de x, ou igual a x.

[[0,5]] = 0

[[3]] = 3

[[- v'3 ]] = - 2

• [[V5]]=2

• [[-2,7]] = -3

• [[1,8]] = 1

• [[-3]] = -3

• [[-D,S]] = -1

-2sx<-1-1 sx < 0Osx<lIsx<22sx<3

,Sempre que x estiver entre inteiros sucessivos, a parte corres-pondente do grafico sera urn segmento de reta horizontal., Partedo grafico est a esbo<;ada na Figura 1.19. 0 grafico continuaindefinidamente 11 dire ita e 11 esquerda.

Os graficos da Figura 1.20 ilustram transla<;oes verticaisdo grafico de y = f(x) resultantes da adi<;ao de uma constante

c >X

a - c a a + c x

Figura 1.20 Figura 1.21

:.~

i. A} A y.:.l. - ,

4". Y = x +7-

Y = (x + 2)' y= x' Y = (x - 4)'Y = x'

Y =,

-2x

x x

Figura 1.22 Figura 1.23 "

Transla<;joVertical, c > 0

c (positiva au negativa) a cada valor funcional. A Figura 1.21ilustra transla<;oes horizontais.

As vezes podemos obter 0 grafico de uma fun<;ao aplicandouma transla<;ao a urn grafico conhecido, conforme mostram asFiguras 1.22 e 1.23 para f(x) = x2•

o grafico de y = c f(x) pode ser obtido multiplicando-sepor c a coordenada-y de cada ponto do grafico de y = f(x). Sec < 0, os graficos de y = cf(x) e y = Ic If(x) sao chamadosretlexiies de cad a urn deles em rela<;ao ao eixo-x. As Figuras1.24 e 1.25 ilustram alguns casos especiais com f(x), = x2•

Transla<;aoHorizontal, c > 0

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(',1/(',,10 com Gcome/ria Analf/ica Cap. 1

y = 4x'y = ~x'

Se f e g saG fun<;6es, definimos a soma f + g, a diferen<;af - g, 0 produto fg e 0 quocicntc fig como segue:

(f + g)(x) = fix) + g(x)

(f - g)(x) = fix) - g(x)

(fg)(x) = f(x)g(x)

(~)iX) =~~

o dominio de f + g, f - g e fg e a illiersecr;iio dos dominiosde f e g - isto e, os numeros comuns a ambos os dominios. 0dominio de fig consiste de todos os numeros x na intersec<;aotais que g(x) " O.

Sejam fix) = v'4=7 e g(x) = 3x + 1. Determine a soma, a di-feren<;a, 0 produto e 0 quociente de f e g e indique 0 dominiode cada urn.

o dominio de f e 0 intervalo fechado [-2, 2] e 0 dominio de g eR Conseqiientemente, a inlersec<;ao de seus dominios e [-2,2] eobtemos:

(f + g)(x) =";4 - x2 + (3x + 1),

(f - g)(x) = ~ - (3x + 1),

(fg)(x) =";4 - x2 (3x+ 1),

(1) «:7g (x).: (3x+ 1) ,

Uma fun<;ao f e uma fun<;ao polinoniial se fix) c urnpolinomio, isto e, se

, fix) = onX' + 0".!X"'+ ... + 0IX + 00'

onde os coeficientes 00' a" ... , an saD numerus reais e osexpoentes saG ,inteiros nao-negativos. Se an " 0 entao f e de graun. Veja alguns casos' especiais (onde ° " 0):

grau 0:

grau 1:

grau 2: .,

fix) ,; °fix) = ax + b

fix) = a.r2 + bx + c

fun<;ao constante

fun<;ao linear

fun<;ao quadratica

Vma fun<;ao racional e 0 quociente de duas fun<;6espolinomiais. Mais adiante utilizaremos metodos para invesligargraficos de fun<;6es polinomiais e racionais.

Uma fi.lli<;aoalgebrica e uma fun<;ao que pode ser expressaem terrnos de som'as, diferen<;as, produtos, quocientes ou poten-cias racionais de polinomios. Por exemplo, se

f() 5 4 2 Vi x(r + 5)x = x - x + ..fX'+7X

entao f e uma fun<;ao algebrica. As fun<;6es que nao SaDalgebricas SaGditas transcendcntes. As fun<;6es trigonomelricas,exponenciais e logaritmicas, estudadas mais adiante, SaD exem-pIos de fun<;6es transcendentes.

No restante desta se<;ao veremos como, a parlir de duasfun<;6es f e g, poderemos obter fun<;6es composlas fog egof. A fun<;ao fog e definida como segue:

A fun~'o 'compo'slaj;" g e definida como'

"·i:·}I:;~:'.I{{;:;,~/,Cf.,0 g)(x) = f(g(x»;~. ·-:';;".,f:! n;'~:'i!";:'::\ : ;;;):''':~q. '. .",0 dorn!nio,de;/ 0 g.e p;cohjunlo de lodos os x do domimo, cie'g'iai 'q~!~'glx)'est~'no dorninio de f

A Figura] ,26 ilustra rela<;6es entre f, g e fog. Note que,para x no dominio de g, primeiro determinomos g(x) (que deveestar no dominio de 1) e entao, em segulldo lugar, determillamo.l'f(g(x»,

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Para a fum;ao composta g 0 I, invertemos a ordem,determinando primeiro I(x) e, em seguida g(f(x». 0 dominiede g 0 I e 0 conjunto de lodos os x no dominio de I tais que,I(x) esta no dominio de g.

Se f(x) = r-1 e g(x) = 3x + 5, determine

(a) (I 0 g)(x) e 0 dominio de log.

(b) (g 0 f)(x) e 0 dominie de g 0 f.

SOLUc;Ao(a) (f 0 g)(x) = f(g(x»

= f(3x + 5)

=(3x +5f-1

=9r + 30x+ 24

definil$ao de log

definil$ao de g

definil$ao de f

o dominio tanto de I como de g e R Como para cada xem ~ (0 dominio de g) 0 valor g(x) esla em ~ (dominio de I),o dominio de log e tambem R

(b) (g 0 f)(x) = g(f(x» defini<;ao de g 0 I

=g(r-1) definil$ao de I

=3(~.2-1)+5 defini<;ao de g

=3r}2 simplificando

Como para cada x em ~ (dominio de f) a fun<;ao f(x) estiiem ~ (dominio de g), 0 dominio de go I e ~.

Pelo Exemplo fi. ve-se que I(g(x» e g(f(x» nem sempresac a mesma~ f.r ::, ~ ~ 0 I. ,,'. ,,,'

Se duas fun~oc' I <: g tern ambas dominio ~, 0 dominio delog ego I e tambem R Este fato e ilustrado pelo ExempIo 6. 0proximo exemplo mostra que 0 dominie de uma fun<;aocomposta.pode ser diferente dos dominios das duas fun<;6es dadas.

EXEMPLO 7

Se f(x) = r-16 e g(x) = Vi, d~termine.. \.

(a) (f o'g)(;) e 0 do~nio de log

(b) (g 0 f)(x) e 0 dominio de g 0 I

Primeiramente note que 0 dominio de I e ~ e que 0 dominie deg e 0 conjunto de todos os reais nao-negativos - isto e, 0

intervalo [0, oc). Procedernos como segue:. .

(a) (f og)(x) = I(g(x))

= I(Vi)

= (Vi)2 - 16

= x -16

defini<;ao de log

defini<;ao de g

defini<;ao de Isimplificando

Se consideriissemos apenas a expressao final x - 16,poderiamos ser Ievados a crer que 0 dominie de log fosse ~,pois x -16 e definirla para todo real x. Todavia, tal nao e 0 caso.Por defini<;ao, 0 dominie de log e 0 conjunto de todos os x em[0, <Xl) (dominio de g) tal que g(x) est a em ~ (dominio de f).Como g(x) = Vi estii em ~ para todo x em [0,00), segue-se queo dominio de log e [0, x).

(b) (g 0 f)(x) = g(f(x»

=g(r-16)

=YXCI6

defini<;ao de g 0 I

defini<;ao de I

Por defmi<;ao, 0 dominio de g 0 I e 0 conjunto de todos osx em ~ (dominio de f) tal que I(x) = x2

- 16 estii em [0, 00)(dominio de g). A afirma<;aoi -16 estii em [0,00) e equivalentea cad a uma das desigualdades

-\.2 _ 16" 0, r" 16, e Ixl" 4

Assim, 0 dominio de g 0 I e a uniao (-00, -4] U [4, 00). Noteque e diferen'le dos 'do'minios de leg.-..•

Para certos problemas no ciilcuIo, coslumamos Inverter estcprocedimento, ou seja, dado y = hex) para alguma fun<;ao ".determinamosuma forma funcionalcompostay= I(lI) e 1I = g(x)tal que hex) = I(g(x» .

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Suponha que, para urn numero real x, queiramos ca1cular (2x + 5)8usando uma ca1culadora. Primeiro calculariamos 2x + 5 e emseguida elevariamos 0 resultado a potencia 8. Isto sugere fazer

o metoda usado no exemplo precedente pode ser aplicadoa outras fun~6es. Em geral, suponha y = h(x). Para escolher aexpressao interior It = g(x) em uma forma funcional compost a,fa~a a seguinte pergunta: se estivesse us ando uma calculadora,que parte da expressao h(r) seria calculada primeiro? Isto conduzem geral a escolha adequada de It = g(x). Ap6s escolher u, recorraa h(x) para determinar y = f(u). A ilustra~ao que segue contemproblemas tipicos.

ILUSTRAC;Ao

EscolllU de II = g(x)

1I=.~-5x+l

Valor do FIlIlfrIO

• y = (x3 - 5x + It

• y=,h.2_4

2• y= 3x+7

2y=-II

A forma funcional composla nunca e iinica. Considere, porexempl~, a primeira expressao da ilustra<;ao precedente:

Sendo n urn inteiro arbitrario nao-nulo, poderiamos escolher

II = (x3 -5x + 1)" ey = 1/4/••

Assim, ha urn niimero ilimitado de formas funcionais compostas.Geralmente, nosso objetivo e escolher uma forma tal que aexpressao resullante para y seja simples, como fizemos nailustra<;ao.

I

1 Se f(x) = -.Ix- 4 - 3x, ca1cule f( 4), f(8) e f(13).

x '..2 Se f(x) = x _ 3' ca1cule f( -2),f(0) e f(3,01).

Exeres. 3·6: Se a e Iz sao reais, determine e simpli-fique (a) f(a), (b) fe-a), (c) -f(a), (d) f(a + h), (e)

f(a + It),- f(a) ,f(a) + f(It), e (I) It' desde que It '" 0.

f'.(\..!J f(x) = 5x - 2 4 f(x) = 3 - 4x

. @)f(x) = x2 - X + 3 6 f(x) = 2x2 + 3x - 7

Exercs. 7·10: Determine 0 dorninio de f7 f(x) = ...!.±.lj x3-4x

4x '. 8 f(x) = 6x2 + 13x _ 5

10 f(x) = -.l4x-3x2-4

Exeres. 11-12: Determine se f e par, impar ou nempar nem impar.

11 (a) f(x) = 5x3 + 2x

(b) f(x) = ~rl-3(c) f(x) = (8x3 - 3X2)3

12 (a) f(x) = -.l3X4 + 2rl - 5

(b) f(x) = 6x5 - 4x3 + 2x

(c) f(x) = x(x - 5)

Exercs. 13-22: Esboce, no mesmo phino coordena-do, os graficos de f para os valores dados de e.(Utilize simetrias, transla~oes verticais, transla~oeshorizontais, alongamento ou reflexao.)

13 f(x) = ~rl+ e;

14 f(x) = Ix - cl;15 f(x) = 2vx + e;

16 f(x) = .;g.::xr + e;

17 f(x)= 2-.1x-e;

18 f(x) = -2(x - e)2;

19 f(x) = d4 _Xl;

20 I(x) = (x + c)3;

e = 0, 1,-3

e = 0, 1,-2

e = 0, 1,-2

e = 1,3,-2

e = 0,1,-2

21 I(x) = (x - efJ3 + 2; e = 0, 4, :-3

22 f(x) = ~r- Ij1/3 - e; c = 0, 2, -1

Exercs. 23-24: 0 grafico de uma fun~ao f comdominio 0 ,; x ,; 4 e exibido pela figura. Esbocc 0

grafico da equa~ao dada.

(a) y = I(x + 3)(b) y = f(x - 3)

(e) y = I(x) + 3(d) y = f(x) - 3(e) y = -3f(x)(I) Y = -31(x)(g) y = . fix + 2) - 3(h) y = f(x - 2) + 3

(a) Y = f(x- 2)(b) Y = f(x+ 2)(e) y = f(x) - 3(d) Y = f(x) + 3

(e) y = -2f(x)(I) Y = -1f(x)(g)y= -f(x+ 4)-2(h)y= f(x-4) + 3

{

X+2 sex,;-I25 f(x) = x3 se Ixl < 1

-x+3 sex>: 1

{

X 1 sex,;-226 I(x) = _;2 se -2 < x < 1

-x + 4 se X" 1

Page 28: Livro Calculo 1 - swokowski 1º parte.pdf

{

X2 - I--sex ••-l27 I(x) ~ x + 1

2 se x --1

{

x2 - 428 I(x) = 2 -x se x •• 2

1 se x - 2

29 (a) f(x) = [[x - 3]]

(e) f(x) = 2[[x]]

30 (a) f(x) = [[x + 2]]

(e) f(x) = ~[[x]]

(b) f(x) = [[x]] - 3

(d) f(x) = [[2x]1

(b) f(x) = [[x]] + 2

(d) f(x) = [[~x]]

48 = 1 .~!'-y (x2 + 3x - 5j3

W50 Y= 1 + Tx"

x3-x+l .@ 51 Se I(x) = ~ e g(x) =~, aproxlme

vx.if a g)(2,4) e (g 01)(2,4).

@ 52 Se f(x) =R+1 -I, aproxime f(O,OOOI). Paraevilar ealcular urn valor zero para f(O,OOOI),reescreva a formula de f como

Xlf{x)- R+T + 1Exercs. 31-34: (a) Determine if + g)(x), if - gK~),

ifg)(x) e if Ig)(x). (b) Determine 0 dominie de f + g,1- g,fg e fIg.

31 f(x) = VX+ 5;

32 f(x) = ~3 - 2x;

Exercs. 35-42: (a) Determine if a g)(x) e 0 domfniode fog. (b) Determine (g a I)(x) e 0 dominio de g of.

35 f(x) = x2 - 3x; g(x) = vx + 2

36 f(x) = vx - 15; g(x) = x2 + 2x

37 f(x) = vx - 2; g(x) = VX+ 5

38 f(x) = v3 -x; g(x) = vx+ 2

39 f(x) = v25 -xl; g(x) = vx-3

40 f(x) = v3 -x; g(x) = VXC16

41 f(x) = _x_. g(x)= -x23x+2'

2x33 f(x) =-;

x-4

\\\

g(x) = vx + 5

g(x) = vx + 4

3xg(x) = X + 4

3g(x) = ~

53 Deve-se construir uma caixa aberta com urnpeda~o retanguJar de cartoJina de 50 x 76 em,cortando-se uma area x em cada canto e dabran-do-se as lados (veja a figural. Expresse a volumeV da caixa como fun~lio de x. ,

/1x} ./

.' .. " .:./__________ ? ,.., /1'~"-""''''''''

Exercs. 43-50: Determine uma forma funcional com-posta para y.

54 Urn aquario aberto em ci!Jla, de.15 em de altura;deve ter Urn volume de rio It: Sejam x 0

comprimento e y a largura (veja'a figural.

(a) Expriinir y como fun~o de x. '.

(b) Exprimir em fun~lio de x·a area total de vidronecessario.

43 Y = (x2 + 3x)1f3

145 Y= (X-3)4

f45cm

~

55 Urn baliio de ar quente e Jiberado 3 Ih da tarde esobe verlicalmenle 11 razlio de 2 m/s. Urn pontode observa~lio est a situado a 100m do ponto dochlio direlamenle debaixo do ballio (veja a figural.Sendo t 0 tempo em segundos, apos 1 da tarde,exprima a distancia d do ballio ao ponto deobserva~lio em .fun~lio de t.

56 Deve-se construir urn lanque de a~o em forma deurn ciJindro circular relOde 3m de altura com doishemisferios nos extremos. 0 raio r ainda eSla pardeterminar. Expresse a area S da superficie dotanque em fun~lio de r.

57 De urn ponto exterior P que esta a It unidades deurn cfrculo de raio r, tra~a-se uma tangente aocfrculo (veja a figural. Seja y a distancia do pontoP ao ponto de tangericia T.

(a) Expresse y como fun~o de It. (Sugest5es: Se Ce 0 centro do circulo,PT e perpendicular a CT.)

(b) Se reo raio da terra e It e. a altura de urnfoguete, entao podemos deduzir uma formulapara a distancia maxima (3 terra) que urnastronauta pode ver da nave. Em particular,se It = 321.800m e r = 6.436.000m, de umaaproxima~lio para y.

58 0 trianguloABC esta inscrito em urn semicfrculode diametro 15 (veja a figural.

(a) Se x e 0 comprimento do lade AC, expresseo comprimenlo y do lado BC como fun~ao dex, e indique seu dominio. (Sugestiio: 0 anguloACB e reto.)

(b) Expresse a area do triangulo ABC comofun~iio de x.

~A 15 B

59 As posigaes relativas de uma pista de aeroportoe de uma torre de controle de 6,1m de altura saoiJustradas na proxima figura. A cabeceira da piSlllesta a uma distiincia perpendicular de 100 metrosda base da torre. Se x e a distancia percorrida nilpista par urn avilio, expresse a distancia d enll'o aviiio e a torre de controle como fun~lio de x .

:1\ , \'\ "2 .)' ) •• "C -:: >'

" . r,-;, "J':

Page 29: Livro Calculo 1 - swokowski 1º parte.pdf

If Wllslru;r urn abrigo retangular aberto11111 I II<1U ern 2 lados verticais 'de 1,20m dehilI \1111 f 11111I '10 plano, anexo a urn armazem jaI ,IHII 1111'. Ido plano deve ser de lala· queIII III "II ",,:.Iro quadrado, e as dais ladosIII Villi ,,'I de c,)mpcnsado, que custa $ 2 por111111111111111""<10.

II ) '" 11I/11'1I111O de $ 400 para a conslru\Vao,I KI'"\/I/10 0 comprimento y em fun\Vao da11111111' \,

III 1\ 1'1 1111 III 1I/lIlOlIavedo programa Apolo tinha a11111111\ II 11111 1I'll"';0 de cone circular relo. NaIII 11111, II III liS <IllSbases a c /) ja foram delermi-11111111

<a) Utilize a semeJhan~ de trianguJos para ex-pressar y como fun~ao de h.

(b) Expresse a volume do lionco em fun~o de h.

<c) Se a = 2m e b = 1m, para ~ue valor de h avolume do tronco e de 20m ? '

62 Urn cilindro circular reto de raio r e altura h estainserito num cone de altura 12 e raio da base 4,eonforme a figura.

<a) Expresse h como fun\Vaode r.

(b) Expresse 0 volume V do cilindro em fun~aode r.

/, /,

~o

I. xLadoInicial

Na geometria, urn angulo fica determinado por duas semi-retascom mesma origem 0, 0 vertice do angulo. Sc A e B sao pontosdas retas I. e 12na Figura 1.27, temos 0 anguloAGB ou L AGB.Costumarnos de no tar urn anguJo por uma letra grega n, f3 ou e.Na Irigonometria tambem pod cmos interpretar L AGB comouma rotac;ao do raio II (lado inicial do angulo) em tomo de 0ate uma posiC;ao especificada por 12 (0 lado terminal). Aquantidade e a direc;ao de rotac;ao sao arbitHlrias; podemos fazerII darvarias vollas em qualquer das duas direc;6es ein tomo deo antes de parar em 12, Assim, infinitos angulos podem ter osrnesmos lados inicial e terminal.

lntroduzindo urn sistema retangular de coordenadas, aposiC;iio padriio de urn angulo 8 e obtida tomando a origemcomo vertice e 0 lado inicial ao longo do eixo-x positivo (vejaa Figura 1.28). 0 angulo 8 e positivo para uma rotac;aoanti-horaria, e negativo para uma rotac;ao horaria.

A magnitude de urn angulo pode ser express a seja em grausou em radianos. Urn angulo de medida em grallS, I" correspondea ~ de uma revoluc;ao completa na direc;ao anti-horaria. Urn

minllto (1') e cl; de urn grau, e urn segundo (I") e cl; de urn

minuto. No calculo, a unidade de medida angular lIlais impor-tante e 0 radiallo. Para definir urn radiano, consideremos 0

drculo ullitario U com centro na origem de urn sistemaretangular de coordenadas, e seja 8 urn angulo na posiC;ao padrao(veja a Figura 1.29). Fazendo 0 eixo-x rodar ate coincidir como Iado terminal de 8, seu ponto de intersecc;ao com U percorreuma certa distancia tate chegar a sua posiC;ao final P(x; y). Set e considerado positivo para uma rota~ao anti-horaria e negativopara uma rotac;aQ horaria, entao 8 e urn angulo de 1 radianos, eescrcvemos 8 = I. Na Figura 1.29, t e 0 comprimento do areaAP. Se 8 = 1 (isto e, se 8 e urn angulo de 1 radiano), entao 0

comprimento do arco AP em U e 1 (veja a Figura 1.30).

Como a circunferencia do circulo unitariohn,·segue-se

Page 30: Livro Calculo 1 - swokowski 1º parte.pdf

(180).1 radiano = ~

Quando se dd a medida em radian os, nao se indicuunidade. Assirn, se urn lingulo tern rnedida em radianos 5,escrevernos 6 = 5 em lugar de 6 = 5 radianos. Quando se tratade rnedida em graus,escrevernos 6 = 5'.

Radianos 0 ~ ~ ~ ~ 2rc 3rc 5rc 7rc 5rc 4rc 3rc 5rc 7rc llrc6 4 3 2 3 4 6 rc 6 4 3 2 3 4 6

2J1:

Graus O' 30' 45' 60' 90' 120' 135' 150' 180' 210' 225" 240' 270' 300' 315' 330' 360'

A tabua acirna exibe a rela<;ao entre rnedidas em radianose em graus, para varios lingulos usuais. Os valores podern serverificados utilizando-se 0 Teorerna (1.13).

Urn angulo central de urn circulo e urn iingulo 6 cujovertice coincide com 0 centro do circulo (Figura 1.31). Dizernosentao que 0 arcoAB subtende 0 lingulo 0 ou que 6 e sub ten didopor AB. Da-se a seguir a rela<;ao entre 0 cornprirnento s deAB, a rnedida em radianos de 0 e 0 raio do circulo r.

Se urn areo de comprirnento s nurn circulo de raio r subtendeurn angulocentra1de rnegida 6 em radian os, entao

Se Sl e 0 cornprirnento de qualquer outro arco do circulo, e Sc61 e a rnedida em radianos do lingulo central correspondentc,entao, pela geornetria plana, a razao dos arcos e a rnesma que II

razao das rnedidas angulares; isto e, S/Sl = 6/61' donde S = S,

0/61, Se considerarrnos 0 caso especial em que 6,= 2n:, enlnoSI = 2Jtr, e obternos S = 2Jtr6/(2n:) = r 6.

Utilizarernos rnais adiante 0 pr6xirno result ado.

Se 6 e amedida em radianos de urn iingulo central de "'11

circl!l~ derai6'rAseA e~~rea do setor circular dcfinido po,'~~.~~J~<};\:.~:~;:i~>:~~};~t·~)d~'j, ~

.<;,~\~;.~\~b .::~>':~;:.--\';;;)"; ':-J,"~:i;:~;";:.;;.!';- :,:,':~:. j "; >:~' . .:4.::.!. rie

2

A Figura 1.31 exibe urn lingulo tfpico e 0 corresponLlcl11 . r, 'io,circular. Se 6 e qualquer outro iingulo central eA I a arCH<1\1 '1\lilll

correspondente; entao, pel a geornetria plana, A/A, •• 0/01 1111

A = AI6/61• Considerando 0 caso especial 6, = 2Jt cntUuA I 1I11

e A = nr6/(2Jt) = ,!/26.2 .

As seis fu~<;oes trigonometricas sao 0 SCIIIl, 0 1''''Nllllll, II

tangente, a co-secante, a secante e a co-tanI,:Cllfl', I I pllll VIImente .. PodernosdefiniT as fun<;oes trigonol11ctri liS 1111111111 I

de urn iingulo 60ude urn nurnero realx. H:\ dois m~IO"llrll'lIdl

,que utilizarn linguI9s:, .

1. Se 6 e agudo (0 < 6 < n/2), poclemos ut illl.lIl' '"11 II 11111111

retlingulo.

Page 31: Livro Calculo 1 - swokowski 1º parte.pdf

ft I ,II, Ifill '.'111 (Irln"t1I,I" A",,'_"_(i_cn__ C~ap~,_l _

filII

I111111t1111 IrlCBS (1.16)

TlIdosposilivQSt'c~,\();O--~'ee 0> 0

2: ,Se f) e qua/quer angulo (em posi<;ao padrao), podernosutilizar 0 ponlo pea, b) em que 0 lado lerminal de f)intercepta 0 eir~ulo xl + y2 = r.

., .. , '."1,' .\ ff!

,Nas defini<;oe,S'que seguern, as abreviaturas adj, op e hipsac usadas para d~;;ignar os cornprirnenlos do lado adjacente, dolado oposto e da hipotenusa de urn triangulo retangulo tendo f)como angulo.

I 6, 'cos6 =-.'sec6 =_(~~.\fV;'i';~";{~li'}ht";"".:'a :;t..

'C', tg' 6 = ~ ,;'cot 6 = 1'~,; ·:~:!:~.:~i:,';.t:~,lY,;:r,(;"(iii) De urn nurnero 'real X:t

o valor de lima filllfiio' Irigonomelrica para 11mmlmeroreal x e ~eu valor em urn anguli> de x radianos ..

Note, por (iii), que nao ha diferen<;a entre fun<;oes trigono-rnelricas de angulos medidos em radianos e fun<;iies trigonome-tricas de um nurnero real. Por exernplo, podernos inlerpretarsen2 como 0 'Seno de urn angulo de 2 radianos ou como sendoo seno do numero real 2.

Os val ores das fun<;oes trigonornetricas de angulos agudosem (i) sao razoes de lados de urn lriangulo retangulo, logo, saonumeros reais positivos. Para 0 caso geral (ii), 0 sinal do valorda fun<;ao depende do quadrante que contern 0 lado terminal de0, Por exemplo, se 0 esta no quadrante II, entao a < 0, b > 0 edai sen f) = blr > 0 e csc e = rib> O. As oulras quatro fun<;oessao negativas. A Figura 1.32 indica esquernaticamente estesfalos. 0 leitor deve verificar os sinais nos quadrantes reslantes.

Ideqtidadesfundamentais (1.17)

Observa-se a partir de (ii) da Defini<;ao 1.16 que 0 dominiode sen e eos cons isle em todos os angulos e. Como tan e e sece nao sac definidos se a = 0 (isto e, se 0 lado terminal de 0 est ano eixo-y), 0 dorninio de tan e see consiste em todos os angu)osexceto os de medida em radianos (r/2) + nil, onde t! e um numerointeiro. 0 dominio de cot e csc consiste em todos os iingulosexceto os de medida em radianos 1ft!, pois cot 0 e csc e nao saoo,,finidos se b = O.

De (ii), nola-se que

Isen 01 :s 1, Icos 01 :s 1, Icsc 01 ",Ie Isee 01 "' 1

para todo 0 no dominie destas fun<;oes.

Indicamos a seguir algumas rela<;oes importantes 'entre asfun<;oes lrigonometricas, Lembremos que uma expressao talcomo sen2 0 significa (sen e)(sen 8).

·.''''.r:' J.f' ...,...fl.····"B 'cosOsee e = cos f) cot = sen f)

1,. - &:> .' 1 + eot2 e = csc2 f)))~ , ,

Cad a identidade fundamental pode ser demonslrada recor-rendo ao item (ii) da Defini<;ao (1.16). Por exemplo:

r 1 1cscf)=-=--=--b (blr) sell e

I e = !!. = 1!?ld = sell eg a (air) cos 0

As identidades fundamentais sao uteis para mudar a formade uma expressao que envolva fun<;iies trigonometricas, Parailuslrar, como cos1 e = 1 - sen1 e,

sell 0 sell eIg e = cas 0 = ± "II - sell" e

'No Capitulo 9 utilizaremos substilrtifoes trigOIlOllllftriclI.I'do tipo ilustrado no proximo exemplo.

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Se a > 0, expre sse ~ ell! termos de uma fun<;ao lrigono-metrica de 0 sem radicais, fazendo a substitui<;ao trigonometrica

x = a sen 0 para _!:!. '" 0", !:!.2 2

Fa<;amos x = a sen 0:

.,ja2- xl = .,ja" - (a sen OJ!

= .,ja"_ (a2 sen" 0)

= .,ja" (1 - sen" 0)

= .,ja" cos" 0

= a cos 0

A ultima igualdade e verdadeira porque, primeiro, yar = a se a > 0,e segundo, se -n12 '" 0 '" n/2, entao cos 0 '" 0 e daiVCQS2ll = cos O.

Ha varios metodos para achar valores de fun<;6es trigono-metricas. Para certos casos especiais podemos referir -nos a6strHingulos retangulos da Figura 1.33. Aplicando (i) da Defini<;ao(1.16) obtemos:

Va/ores especiais das fum;6es trigonometricas (1.18)

Graus sen 8 CDS 8 tg 8 cot 8 see 8 csc e

~I

~ .l Vf Vf Vf 2Vf 26 30' 2 2 3 3

~ Vf Vf1 Vf Vf30° 4

45' 2 2V3

Vf Vf 2Vf~ .lVf 2

360' 2 2 3 32J1 Duas raz6es para enfatizarmos esses valores especiais saD

45° (1) que eles saD exatos e (2) que eles ocorrem com freqiiencia1 na trigonometria. Em vista de sua importilncia, e conveniente,

Figura 1.33 se nao memorizar a tabua, pelo menos ser capaz de determina-Iosrapidamente com auxilio dos triangulos da Figura 1.33.

Angulos dereferencia

E possivel aproximar, com qualquer grau de precisao, osvalores das fun<;6es trigonometricas para qualquer angulo. ATabua A do Apendice III da aproxima<;6es de alguns valorescom quatro decimais.

As calculadoras cientificas tern teclas SIN, COS e TANque pod em ser usadas para obler essas aproxima<;6es. Os valoresde csc, see e cot pod em ser obtidos utilizando a tecla de inverso1/x. A lites de usar a ca/cu/adora para achar va/ores de ftlllf;oesqlle correspolldem em radiallos, certifiqlle-se de qlle a ca/cll/a-dora esta IlOmodo radiallo. Para va/ores de fum;oes elll graltS,a ca/cll/adora deve estar IlOmodo grall.

Como ilustra<;ao, para achar sen 3D' numa calculadoralipica, coloque-a no modo grau, entre 0 numero 30 e aperte atecla SIN. Obtera sen 3D' = 0,5, que e 0 valor exato. Utilizandoo mesmo processo para 60' obtemos uma aproxima<;ao decimalde ..[3/2, como, por exemplo, sen 60' = 0,8660254. Do mesmomodo, para achar urn valor tal como cos 1,3, onde 1,3 e urnnumero real ou a medida em radianos de urn angulo, colocamosa calculadora no modo radiano, entramos 1,3 e apertamos a teclaCOS obtendo cos 1,3 = 0,2674988.

Para determinar valores exatos de fun<;6es trigonometricaspara urn angulo 0 em (ii) da Defini<;ao (1.16), as vezes utilizamoso angulo de referenda de e - isto e, 0 ilngulo agudo OR queo lado terminal de e faz com 0 eixo-x. A Figura 1.34 ilustra 0

angulo de referencia OR para urn angulo em cad a quadrante.

Mostra-se que, para achar 0 valor de uma fun<;ao trigono-'metrica em 0, podemos determinar seu valor para 0 angulo dereferencia OR de 0 e entao prefixar 0 sinal adequado referindo-a

.•. ao quadrante que contem 0 (veja a Figura 1.32).

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II II)

1/

e = 5lt6

A Figura 1.35 ilustra 0 angulo e seus angulos de referencia.Utilizando vaiores funcionais de angulos especiais (1.18), ob-temos:

5lt It V3cos (; = -cos "6= -2

5lt It V3Ig (; = -lg"6 = -3

(b) sell 315· = -sell 45· = _Y22

cos 315" = cos 45" = Y22

Se usarmos uma calculadora para aproximar val ores defllnc;oes, os angulos de referenda tornar-se-ao desnecessarios.Como ilustrac;ao, para achar sen 210·, colocamos a calculadorano modo grau, inserimos 0 numero 210 e apertamos a tecla SIN,obtendo sen 210· = --0,5, que e 0 valor exato. Usando 0 mesmoprocesso para 240·, obtemos a aproximac;ao decimal

Para achar 0 valor exato de sen 240·, nao se deve usar umacalculadora. Neste caso, achamos 0 angulo de referencia 60· de240· e usamos 0 teorema sobre angulos de referencia juntamentecom resultados conhecidos sobre angulos especiais, obten~o

sell 240· = -sell 60· = _V32

Para trac;ar 0 griifico do seno e do co-seno, podemos estudara variac;ao de sen e e cas e quando e varia, usando urn cfrculounit,hio U em (ii) da Definic;ao (1.16). Fazendo r = 1, as formulascos e = aIr e sen e = blr tomam as formas mais simples cos e = ae sen e = b. Logo, 0 ponto pea, b) em U pode se denotar porP( cos e, sen ll), conforme ilustrado na Figura 1.36. Fazendo eaumentar de 0 a 21t, 0 ponto P(cos e, sen e) percorre 0 cfrculo

unitario uma vez no senlido anti-horario. Observando a coorde-nada-y, sen e, de P, obtemos os seguintes fatos nos quais as setassao usadas para indicar as variac;oes de e e sen e. (Por exemplo,o ....,.lt/2 indica que e aumenta de 0 a lt/2, e 0....,. 1 significa quesen e aumenta de 0 a 1).

o ....,.~ ....,.It ....,.3lt ~ 2lt2 2

":.~''lI1!,'

~~:\.~..

Se P continua a percorrer U, 0 mesmo padrao se repete aintervalos [m, 4lt] e [4lt, 6ltJ. Em geral, os valores de sen e serepctem em todos os intcrvalos sucessivos de amplitude 2lt. Umafunc;ao f com dominio D e periodica se existe urn. numeropositivo real k tal quc x + k esla em D e f(x+k) = f(x) para todox em D. Isto implica que 0 griifico de f se rcpete a interval ossucessivos de amplitude k. Se existe urn menor numero realposilivo k, e chamado 0 periodo de f. Segue-se que a func;aoseno e peri6dica com periodo 2lt. Utilizando este fato e grafandodiversos pontos, lomando val ores especiais de e tais como lt/6,lt/4 e m/3, oblemos 0 graft co da Figura 1.37(i), em queutilizamos l:J = x como variavel indcpendente (medida emradianos ou numeros reais).

o gr:\fico de y = cos e pode ser obtido 'de modo ana logo,estudando a variac;ao da coordenada-x, cos e, de P na Figura1.36 a mcdida que e cresce. 0 lei tor deve verificar os griificosrestantcs da Figura 1.37. Note que 0 periodo das func;oes tan-gente e co-tangente e It.

Uma equa ••iio trigonometrica e uma equac;ao que contemexpressoes trigonometricas. Cada identidade fundamental e umexemplo de equac;ao trigonometrica, onde cad a numero (ouallgulo) no dominio da variavel e uma soluc;ao da equac;ao. Seuma equac;ao trigonometrica nao e uma identidade, em geraloblemos soluc;oes utilizando tecnicas analogas as usadas paraequac;oes algebricas. A principal diferenc;a e que primeiroresolvemos a equac;ao trigonometrica em relac;ao a sen x, cos eelc., e em seguida achamos os valores de x ou e que salisfac;ama equac;ao. Se nao se especifica a medida em grollS, entao assoilll;oes de lima eqlla~ao Irigollometrica devem ser expressasem radianos (011;llimeros reais).

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u

(ii) Y = cosxY

(iii) Y = tgxY

SOLu<;Ao(a) Se sen = t, .entad 0 angulo de referencia para 8 e rt/6. Se

considerarmos 8 como urn angulo na posi~ao padrao, entao,como sen 8 > 0, 0 Iado terminal de e estii no quadrante Iou no quadrante II (veja a Figura 1.38). Assim, hii duassolu~6es para 0 s 8 < 2rt:

(b) Como a fun~ao seno tein periodo 2rt, podemos obler todasas solu~6es adicionando multipJos de 2rt a rt/6 e 5rt/6. Oafvem

8rt285rt2 ..= 6 + rtll e = (5 + nil para todo mteno 11

'y I1ti y = sen B y = 2"--m-__~n~~ hnv

~'Irt_7x\:;i1 :DJ3~"1;;;J6 6 6 6 6 6

Uma solu~ao griifica alternativa envolve a determinar;ao doponto em que 0 griifico de y = sen e intercepta a reta horizontaly = 1, con forme ilustra a Figura 1.39.

Dada uma equa<;ao trigol1ometrica tal como sen 8= 0,6635,podemos aproximar e usando uma calculadora ou uma liibua.Cerlas calculadoras tern uma tecla SI~l ou ASIN para este fim.Com outras, e preciso apertar INV e entao SIN. Essas nota<;6esbaseiam-se nas" fWII;oes Irigollol/lI!lricas illversas, que serfioestudadas na Se~ao 8.2. Como veremos, hii uma fun<;iio denotatlapor sen -I, ou arcsen, tal que

rt rtsen-I (sen e) = 8 se -"2 s e s"2 (ou -90· s e s 90")

Note que "esta formula indica que, aplicando sen-I a sell II,obtemos 8, desde que 8 satisfa<;a as restri~6es indicadas.

"0 proximo exemplo ilustra 0 uso de uma calculadorll Ill!- ies?lu~ao deuma equa<;iio trigonometrica.

EXEMPLO 4

Se sen 8 = 0,5 e 8 e um angulo agudo, use Ul11l1'alcllladlll'lI iJllIllapr.oximar a. medida de 8

.sOLu<;Ao• •• " ••0£

(a) Coloque a calculadora no lI1odo grllll:

(vllillf d ' ~~II II)

(11ll"1lillll"'II 11.1111'1II II

/""(b) Coloquc a calculadora 110l11odo IlIdlllll":

"'" -,,:'''"'"" fnsira 0,5: 11,5 (vld'lI 11\ iI'li 0

Page 35: Livro Calculo 1 - swokowski 1º parte.pdf

o ultimo numero e uma aproxima«ao decimal para urn angulode medida n/6 radian os.

E imporlanle nolar que ha muitos va)ores de 0 tais quesen 0 = 0,5, todavia, uma calculadora dii apenas 0 valor entre 0e n/2 (ou entre O· e 90·). Da mesma forma se sen B = _ 0 5 acalculadora darii uma aproxima«ao do v~lor 0 = -n/6' (~uo = -30·) entre -n/2 e 0 (ou entre -90· cO·).

Na Se«ao S.2 dcfiniremos tambem fun«6es denotadas porcos-

I, ou arcos, e tan-I, ou arctg, com as seguintes propriedadcs:

cos-I (cas B) = B se O:s 0 :s lt (ou O·:s 0 :s ISO·)

Ig-I (Ig 0) = e se -~ < B < ~ (ou -90· < B < 90·)

Estas fun«6es podem ser cmpregadas da mesma forma queS)N""I (islo e, INV SIN) usada no Exemplo 4. Ao utilizar umacalculadora para achar 0, devem-se observar as restri«6es quantoa B. Por exemplo, hii muilos (infinilos) valores de 0 tais que tgo = -1; todavia, uma calculadora dii apenas 0 valor que estii 'entre -n/2 e 0 (ou entre -90· eO·). Se se desejam outros valores,pode-se proceder como no excmplo seguinte.

Se 19 0 = -0,4623 e O· :s 0 < 360·, delermine 0 a menos de 0,1".

SOLU<;A.OSe estamos utilizando uma calculaclora (modo grau) para acharo quando tg 0 e negativa, enlao a medida em graus est<\ nointervalo (-90·, 0·). Em particular, temos:

Insira -0,4623: -0,4623

Aperte INV TAN: -24,S11101

(valor de 19 0)

(um valor de 0)

Assim, a aproxima«ao em graus e = -24,S·.

Como desejamiJs ohler valores de Bentre O· e 360·, us·amoso angulo de referencia (aproximado) OR~ 24,S·. Hii dois valorcsposslveis de 0 tais que tg 0 e negativa - urn no quadrante II,outro no quadrantc IV. Se 0 cslii no quadrante II e O· :s 0 < 360·,temos a silua<;:ao da Figura 1.40, e

0= 180· - OR = ISO· - 24,S·, ou 0 = 155,2·

Se 0 estii no quadranle IV e O· :s 0 < 360·, entao, conformeFigura 1.41,

o = 360· -.oR - 360· --:24,S·, ou 0 - 335,2·

Urn metodo ·de resolu«ao que nao envolve angulos dereferenda consiste em usar 0 fato de que a fun<;:aotangenle temperfodo n, ou ISO·. Assim, ap6s obter B - -24,S·, podemos acharangulos apropriados entre O· e 360· somando ISO· e 360·, C0l110

segue:

-24,S· + ISO· = 155,2·

-24,S· + 360· = 335,2·

Existem muitas rela<;:6es importantes entre as fun<;:6estrigonometricas. As formulas para as negalivas sao

sen (-ll) = -sen u eos (-u) = cos u tan (-II) = -tan II

csc (-II) = -CSCII see (-u) = see u cot (-u) = -cot Ii

Essas f6rmulas moslram que 0 seno, a tangente, a co-secanle ea co-tangente sao fun<;:6es impares, e 0 co-seno e a secanlefun<;:6es pares, conforrne tamhem indicado pelas simetrias deseus griificos na Figura 1.37.

As formulas de adi(;iio e SUblra(;iio para 0 seno e 0 co-seno

As formulas do lingulo melode sao

sen2 u = l=..~os2u2

? 1 + cos 2ucos- u = 2

Estas e outras f6rmulas uleis no calculo estao relacionadas Illl

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Exercs. 1-2: Ache a medida exala do aogulo emradianos:

1 (a) 150' (b) 120' (c) 450' (d) ....QO·

2 (a) 225" (b) 210' (c) 630' (d) -135'

Exercs. 3-4: Ache a medida exala do angulo emgraus:

3 (a) 2Jt3

(b) 5lt6

(b) 4lt3

(d) _ 7lt2

(d) _ 5lt2

(c) 3lt4

(c) lIlt4

4 (a) lIlt6

Exercs. 5-6: Ache 0 comprimenlo do arco quesubtende urn lingulo cenlral e em urn drculo de diamelrod.

. 5 e = 50';

(; e = 2,2;

d = 16

d = 120

Exercs. 9-12: Ache as valores das fun~6es trigono-metricas se e e urn angulo agudo.

11 tg e =.1-.,. 12

Exercs. 13-14: Se e esta ria posi~ao padrao. e Q estano lado terminal de e, ache os valores das fun~6estrigon~melricas de e.

Exercs. 15-16: Seja e na posi<;ao padrao, com ladoterminal no quadrante especificado e satisfazendo acondi~ao dada. Determine os valores das fun<;6estrigonometricas de 8.

15 Ill; paralela 11 reta 2y - 7x + 2 = 0

16 IV; perpendicular 11 reta por A(5. 12) e B(-3. -3)

Exercs. 17-20: Se e e urn angulo agudo, use identi-dades fundamentais para escrever a primeira expres.-san em termos da segunda.

17 (a) cot 8. sen 8

18 (a) tg 8. cos 8

19 (a) tg 8, sec 8

20 (a) cot 8, csc e

(b) sec 8. sen 8

(b) csc 8, cos 8

(b) sen 8. see 8

(b) cos 8. cot eExercs. 21-26: Volte ao Exemplo 1. Fa<;a a substi-tui<;ao trigonometrica indicada e use identidadesfundamentais para obler uma expressao trigonome-trica simplificada que nao contenha radicais.

. It Itx = 4 sen e, para - 2" s e s 2"

X2

22 ';9 _x2 ;

23 __ x_';25 +x2

24 ';x2 + 4 .x2 J

25 ,;xZ - 9 .x •

27 (a) sen (2ltl3) (b) sen (-,-5"'4)

28 (a) cos 150' (b) cas (....QO·)

29 (a) tg (5lt/6) (b) tg (-lt/3)

30 (a) cot 120' (b) cot (-ISO')

31 (a) see (2lt/3) (b) see (-"'6)

32 (a) ese 240' (b) ese (-330')

Exercs. 33-38: Fa~a 0 grMico de f. utilizando alon-gamento, reflexao ou lransla~ao.

33 (a) f(x) = ~ sen x

34 (a) fix) = sen (x - lt/2) (b) fix) = sen x - :ll2

35 (a) f(x) = 2 cas (x + It) (b) fix) = 2 cas x + ;(

36 (a) f(~) = ~ cas x (b) fix) = -3 cos x

(b) fix) = tg (x - 1t'-l)

(b) f(x) = tg (x + 3:(/4)

37 (a) fix) = 4 tg x

38 (a) fix) = ~ tgx

Exercs. 39-42: Escreva y em forma de fun~aocomposta.

39 y = ';Ig! x + 4 40 y = cot3 (2x)

41 Y = see (x + lt/4) 42 y = esc ';x - It

43 Se fix) = cos x. mostre que

[(x+ il) - [(x) (COS h - 1) (sen h)h = cosx --,-, - - sen x -h-

44 Se j{x)=sen x. mostre que

[(x + h) - [(x). (COS h - 1) (sen h)h = sen x --'-I - + cas x -it-

Exercs. 45-54: Verifique a identidade.

4S (1 - sen! 1)(1 + tg! I) = 1

46 see ~ - cas ~ = tg 13 sen ~

47 cse2 e = cot2 8

1 + tg28

l+ese(?49 ,,- cot (? = cas (?

see p

52 2 sen! 2/ + cos 4/ = 1

53 cos4 (8/2)·= -83+ ~ cas 8 + 1. cos 20_ 8

54 sen' 2x = 1 -' 1. cos 4x + ! cos 8x8 2 8

Exercs. 55-56: Ache todas as solu~6es da cqlla~ o.

55 2 eos 28 - {3 = 0 56 2 sen 38 + V2 - 0

Exercs. 57-64: Ache as soluC;6es da equa~iio 'm[O.2lt).

57 2 sen! u = 1 - sea u 58 eos 0 - sea 8 = I

59 2 tg 1 - see! 1 = 0

[gExercs. 65-70: Aproxime. a menos de 10'. as snlll<;6es da equa<;ao que estao em l0'. 360').

65 sea e = --D,5640

67 tg 8 = 2.798

69 see 8 = -1.116

66 eos e = 0,7/190

68 cot 8 = --D.960J

70 cse 0 = 1.485

[g 71 Grafe y = (sea x - eos nx)/eos x para -.Ie estime os intereeptos-x.

[g 72 Aproxime a soluc;ao da equac;iio x - ~ens III I

zaado 0 processo abaixo:

(1) Grafar y = x e y = i eos x nos mcsmo ·1 (1/

coordenados.

(2) Usar as graticos em (1) para obler 11Il1h

primeira aproxima~ao x. da solu~ o.

(3) Determiaar aproximac;6es sllccssivllS I'

x3 •••.• empregaado as f6rmulns Xl - I ''lIt1 • I'

x3 = ~cos x2 ••..• ale abler lImll I' c i~ ') ii,sex!a decimal.