Listrik MagnetPOTENSIAL VEKTOR DAN HUKUM AMPERE

A. Potensial VektorPerhitungan medan magnet menjadi jauh lebih sederhana dengan diperkenalkan potensial listrik statik. Kemungkinan untuk membuat penyedehanaan ini merupakan akibat menjadi nolnya curl medan listrik. Curl dari imbas magnet tidak menjadi nol; namun divergensinya adalah nol. 1.

Divergen

Untuk , dapat dibuktikan sebagai berikut:Dari persamaan:

(1)

Maka didapatkan tegak lurus dengan arah dan arah melingkar jika dicari pada setiap titik dengan jarak sama dari .

Jika dimisalkan: dan , maka persamaan (1) dapat dituliskan sebagai berikut:

(2)

Fungsi vektor arahnya radial tergantung arah dan besarnya berbanding terbalik dengan r2. Hal ini sebentuk dengan fungsi vektor yang arahnya radial dan besarnya berbanding terbalik dengan r2. Dalam hal ini . Karena vektor sebentuk dengan , maka dapat dituliskan:

(3)

Dengan mensubstitusi persamaan (y) dan (z) ke persamaan , maka didapatkan:

Jadi, terbukti bahwa: (4)2 Potensial Vektor

Dalam elektrostatika, akibat , maka pengertian potensial skalar menghasilkan bentuk persamaan . Sekarang sebagai akibat , dalam magnetostatika diperkenalkan potensial vektor , dimana sesuai dengan hukum Ampere, berlaku:

(5)

(6)

yxzrPdBdssdimana adalah vektor induksi magnet dan adalah potensial vektor (vektor potensial dari B).

Gambar 11.

Pada titik P dimana B ditimbulkan sirkuit arus S maka dapat ditentukan sebagai berikut.Komponen ds pada sumbu x, y, dan z adalah dsx, dsy, dsy. sedangkan komponen r pada sumbu x, y, dan z adalah x, y, z, berarti:

(7)

Dari ketentuan di atas, maka:

(8)Berdasarkan persamaan (7) maka persamaan (8) dapat dituliskan sebagai berikut:

Menurut hukum Biot-Savart, yaitu:

Maka berdasarkan persamaan (9), persamaan di atas dapat dituliskan sebagai berikut:

(10)

Substitusikan persamaan (10) ke persamaan sehingga diperoleh:

Didapatkan bahwa:

Sehingga (11)Jika J adalah rapat arus I,

dan , dengan A adalah luas J arah I, V = volume dimana q berada.Maka persamaan (23) menjadi:

(12.a)

Jika dV dinyatakan dengan , dimana menyatakan volume, maka persamaan (24.a) menjadi:

(12.b)Selain persamaan (24) potensial vektor juga dapat dinyatakan sebagai berikut.

dimana v adalah kecepatan muatan q

(13)

B. HUKUM AMPERE UNTUK H (INTENSITAS MAGNET) 1. Konsep DasarPenemuan bahwa arus menghasilkan efek-efek magnet dibuat oleh Hans Christian Oersted di dalam Tahun 1820. Oersted membuat penemuannya sehubungan dengan demonstrasi di dalam kelas. Di dalam kertas kerjanya yang berjudul Aksi Arus pada Magnet (The Action of Currents on Magnets), Oersted menuliskan yang diterjemahkan dari bahasa latin. Karena pentinya penemuan Oersted (sebuah hubungan fundamental di antara listrik dan kemagnetan) dan khusunya karena konteksnya (hubungannya) di dalam situasi mengajar, maka mendali dihadiahkan setiap tahun oleh himpunan guru Fisika Amerika kepada seorang guru fisika yang telah mendapat perhatian khusus karena pengajarannya di bidang sains.

Gambar 1Susunan jarum-jarum kompas di dekat sebuah kawat sentral yang mengangku arus.

Gambar 1, memperlihatkan sebuah kawat yang dikelilingi oleh sejumlah magnet kecil, merupakan sebuah modifikasi eksperimen Oersted. Jika tidak ada arus di dalam kawat maka, semua magnet disejajarkan dalam arah horizontal medan magnet bumi. Jika di dalam kawat terdapat arus yang kuat, maka magnet-magnet mengarah sedemikian rupa yang menggambarkan bahwa medan magnet membentuk lingkaran-lingkaran tertutup di sekeliling kawat tersebut. Pandangan ini dikuatkan oleh eksperimen yang memperlihatkan serbuk besi pada sebuah plat gelas horizontal, melalui pusat dari mana lewat sebuah penghantar yang mengangkut arus. Sekarang kita menulis hubungan kuantitatif di antara arus i dan medan magnet B sebagai; yang dikenal sebagai hukum Ampere, Ampere sebagai seorang penganjur pandangan aksi-pada-suatu-jarak (action-at-adistance), tidak merumuskan hasilnya dengan menyatakannya di dalam medan, hal ini pertama kali dilakukan oleh Maxwell. Hukum Ampere, termasuk sebuah perluasannya yang penting yang dibuat kenudian oleh Maxwell, adalah merupakan salah satu dari persamaan dasar mengenai keelektromagnetan.Kita dapat menghargai cara dikembangkannya hukum Ampere secara historis dengan meninjau sebuah eksperimen hipotetik yang dalam kanyataannya mempunyai banyak persamaan dengan eksperimen-eksperimen yang sesungguhnya dilakukan oleh Ampere. Eksperimen tersebut terdiri dari pengukuran B pada jarak r dari sebuah kawat lurus panjang yang berbentuk lingkaran dan mengangkut sebuah arus i.Jika arah arus di dalam kawat dari gambar 1 dibalik, maka semua jarum kompas akan membalik kedudukan ujung-ujungnya. Hasil eksperimen ini memberikan kaidah tangan kanan (right hand rule) untuk menentukan arah B di dekat sebuah kawat yang mengangkut sebuah arus i: Genggamlah kawat tersebut dengan tangan kanan, dengan ibu jari yang menunjukkan arah arus dan jari yang lainnya menunukkan arah B. Jika kita putar dipole tersebut melalui sebuah sudut dari kedudukan kesetimbangannya. Untuk melakukan ini, maka kita harus mengerahkan sebuah momen kakas luar (external torque) yang persis cukup besar untuk mengatasi momen kakas pembalik (restoring torque) yang akan bekerja pada dipole tersebut. , , dan B dihubungkan oleh persamaan = x B yang dapat kita tuliskan di dalam besarnya sebagai = B sin ..(14)di dalam mana adalah besarnya momen magnet dipole dan adalah sudut di antara vektor-vektor dan B. Walaupun kita tidak dapat mengetahui nilai untuk jarum kompas tersebut, namun kita dapat mengambilnya sebagai sebuah konstanta yang tak bergantung pada kedudukan atau arah jarum. Jadi dengan mengukur dan maka kita mendapatkan hasil pengukuran relatip (relative measure) dari B utuk berbagai jarak r dan untuk berbagai arus i di dalam kawat tersebut dengan kesebandingan .(15)Kita dapat mengubah kesebandingan ini menjadi sebuah kesamaan dengan menyisipkan sebuah konstanta kesebandingan. Seperti halnya di dalam kasus hukum Coulomb, dan karena alasan-alasan yang sama, maka kita tidak menuliskan konstanta ini sekedar sebagai katakanlah k tetapi di dalam bentuk yang lebih kompleks yakni o/2, dimana o dinamakan konstanta permeabilitas maka persamaan 15 menjadi,.(16)

Yang dapat pula ditulis dalam betuk.(B)(2r) = oi..(17)Ruas kiri dari persamaan 17 adalah untuk setiap lintasan yang terdiri dari sebuah lingkaran yang jari-jarinya r dan berpusat pada kawat tersebut. Untuk semua titik pada lingkaran ini B mempunyai besar yang sama (konstanta) B dan dl yang selalu menyinggung lintasan integrasi (path of integration) menunjuk di dalam arah yang sama seperti B seperti yang digambarakan oleh gambar 2. jadi..(18)Dengan adalah tak lain dari keliling lingkaran. Maka, di dalam kasus khusus ini, kita dapat menuliskan hubungan yang diamati secara eksperimental di antara medan dan arus sebagai...(19)Yang merupakan hukum ampere. Sejumlah eksperimen lain menganjurkan bahwa persamaan 2.7 umumnya benar untuk setiap konfigurasi medan magnet, untuk setiap kumpulan arus, dan untuk setiap lintasan integrasi.

rBPdl

Gambar 2. Sebuah lintasan integrasi berbentuk lingkaran yang mengelilingi sebuah kawat. Titik sentral (pusat) menunjukkan sebuah arus i di dalam kawat yang muncul keluar dari halaman gambar. Perhatikan bagwa sudut antara B dan dl nol sehingga B.dl = B dl

Di dalam mamakaikan hukum Ampere untuk kasus umum, maka kita membentuk sebuah lintasan linier tertutup (closed linier path) di dalam medan magnet tersebut seperti diperlihatkan di dalam gambar 2. Lintasan ini dibagi-bagi menjadi elemn-elemen yang panjangnya dl dan untuk setiap elemen dihitung B.dl. ingat kembali bahwa B.dl mempunyai besar B dl cos dan dapat ditafsirkan sebagai hasil perkalian dari dl dan komponen B(=B cos ) yang sejajar dengan dl. Integral tersebut adalah jumlah dari kuantitas-kuantitas B.dl untuk semua elemen lintasan di dalam simpal (loop) lengkap, integral tersebut adalah sebuah integral garis (line integral) yang mengelilingi sebuah lintasan tertutup. Suku i di ruas kanan dari persamaan 19 adalah arus netto yang lewat melalui luas yang dibatasi oleh lintasan tertutup tersebut.

2. Analisis Vektor

Sebelumnya sudah diketahui bahwa di dalam bahan dielektrik ada medan . Demikian juga di dalam medan megnet terdapat medan alternatif , yang sering disebut dengan intensitas medan magnet. Kita telah melihat bahwa persamaan dasar magnet arus steady adalah : = 0 dan =o. Kita nyatakan persamaan ini dalam bentuk yang berbeda dengan memperlakukan vektor dan sebagai representasi medan makroskopis. Kita nyatakan rapat arus menjadi rapat arus bebas dan rapat arus magnetisasi :

............................................. (20)

Dengan menggunakan hukum Ampere : , maka diperoleh :

Atau

Seperti halnya di dalam bahan dielektrik ada medan , di dalam bahan magnet, kita definisikan vektor intensitas medan magnetik : ..(21)Kemudian kita dapatkan persamaan magnetic makroskopis :

..................................(22)Dalam bentuk integral persamaan (22), dapat dinyatakan : = 0 dan ..............................................(23)Dengan If adalah arus yang melalui kurva tertutup C. Keuntungan menggunakan medan adalah bahwa yang diperhatikan adalah arus bebas yang dicakup di dalam permukaan tertutup S. Arus dapat diukur dengan mudah. Satuan SI untuk adalah ampere per meter (A/m). Jika di dalam suatu daerah =0, maka =0, akan mengijinkan kita mendefinisikan fungsi potensial skalar untuk . Kita dapat nyatakan :

...(24)Secara umum, bila rapat arus ada di dalam bahan magnetik, medan total dapat ditulis sebagai berikut.

(25)

DAFTAR PUSTAKA

Halliday, D dan Resnick. 1978. Fisika.Erlangga: Jakarta Loeksmanto, Waloejo. 1993. Medan Elektromagnetik. Bandung. FMIPA ITBNgurah, A. 2006. Bahan Kuliah Listrik Magnet. Tidak diterbitkan.Reits, R.J dkk. 1993. Dasar Teori Listrik Magnet. ITB : BandungSuyoso. 2003. Common Textbook Listrik Magnet. Yogyakarta: Jurusan Pendidikan Fisika Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta.

10