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LIBRO PARA EL PROFESOR Secundaria 1 Aprendizajes Clave para la Educación Integral Ap re nd izaj es Cla ve para la Edu ca ción I nt egra l MATEMÁTICAS © SANTILLANA Prohibida su distribución

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Page 1: LIBRO PARA EL PROFESOR MATEMÁTICAS 1 Aprendizajes Clave ... · SANTILLANA Prohibida su distribuci n. siicación 200 días de clase Trimestre 1 Semana Aprendizajes esperados Contenidos

L I B R O PA R A E L P R O F E S O R

Secu

ndaria

1A p r e n d i z a j e s C l a v e p a r a l a E d u c a c i ó n I n t e g r a lA p r e n d i z a j e s C l a v e p a r a l a E d u c a c i ó n I n t e g r a l

MATEMÁTICAS

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A p r e n d i z a j e s C l a v e p a r a l a E d u c a c i ó n I n t e g r a l

L I B R O PA R A E L P R O F E S O R

1MATEMÁTICAS

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1MATEMÁTICAS

La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 1. Libro para el pro-fesor de la serie Fortaleza Académica son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el foto-copiado, sin autorización escrita del editor.

Autores del libro del alumno: María Trigueros Gaisman, María Dolores Lozano Suárez, Ivonne Twiggy Sandoval Cáceres, Mercedes Cortés Lascurain, Emanuel Jinich Charney, Mónica Inés SchulmaisterAutor del libro para el profesor: Vianey Calderón Ramírez

D. R. © 2018 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. de C. V.Avenida Río Mixcoac 274, piso 4, colonia Acacias, C. P. 03240, delegación Benito Juárez, Ciudad de México.

ISBN: 978-607-01-3893-5Primera edición: mayo de 2018

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana.Reg. núm. 802

Impreso en México/Printed in Mexico

Este libro fue elaborado en Editorial Santillana por el equipo de la Dirección General de Contenidos

IlustraciónJosé Enrique Márquez Flores

FotografíaShutterstock Gettyimages

Fotografía de portadaShutterstock

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Presentación

Estimado profesor:

Bienvenido a Matemáticas 1. Libro para el profesor, obra creada con base en los princi-pios pedagógicos del Modelo Educativo 2017 y cuyo objetivo es apoyarlo en su trabajo con el libro del alumno de la serie Fortaleza Académica. Para ello, este material le ofrece los siguientes recursos:

• Modelo Educativo. Se describen el plantea-miento curricular, los principios pedagógicos y el mapa curricular.

• Dosificación trimestral. Se incluyen propues-tas de dosificación trimestral para los dos calendarios escolares (200 y 185 días) y un for-mato para la planeación didáctica.

• Evaluación diagnóstica. Se proporciona un instrumento para identificar las áreas de opor-tunidad de los alumnos y para planear estrate-gias didácticas oportunas.

• Evaluaciones trimestrales. Se proponen re-activos adicionales a los del libro del alumno que se pueden emplear en la evaluación del trimestre.

• Formato de planeación didáctica. Para orga-nizar el trabajo de las secuencias didácticas en el aula.

Para facilitarle la tarea de calificación, esta obra cuenta con los siguientes apartados:

• Respuestas de las evaluaciones. Contiene las respuestas a los reactivos de la evalua-ción diagnóstica y de las evaluaciones trimestrales.

• Solucionario del libro. Contiene las respuestas extensas de algunas de las actividades del libro del alumno.

• Reproducción del libro del alumno. Se muestra un reproducción fiel de cada una de las páginas del libro del alumno con las respuestas de las actividades.

Deseamos que este libro represente una experiencia satisfactoria y sea un complemento valioso para el primer curso de Matemáticas.

La figura del profesor es fundamental para gestionar la clase, proporcionar información, validar respuestas y para orientar a los alumnos en todo momento, en particular cuando, con base en lo observado en las evaluaciones, identifica que los alumnos requieren apoyo.

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Modelo EducativoLa educación básica es el pilar social de nuestro país y esta debe beneficiar a los mexica-nos desde muchas áreas y con un mismo fin: educación equitativa y de calidad.

Con este objetivo, la Secretaría de Educación Pública elaboró el Modelo Educativo para la educación obligatoria, en el que se proyecta el desarrollo potencial de los niños, las ni-ñas y los jóvenes con el fin de formar ciudadanos libres, responsables e informados. No es una tarea fácil; sin embargo, se pretende alcanzar la meta gracias a una reorganización del sistema educativo en cinco ejes indispensables, que se describen a continuación.

• Planteamiento curricular. Este eje, de enfoque humanista, ensambla todos los niveles de la educación básica, desde preescolar hasta bachillerato, para un desarrollo inte-gral de los aprendizajes clave. Con esto se espera que los estudiantes aprendan he-rramientas para adquirir conocimientos a lo largo de la vida; es decir, que aprendan a aprender.

Además de lo anterior, este eje hace un énfasis especial en el desarrollo de las habilida-des socioemocionales, importantes también en el crecimiento y desarrollo personal, no solo de la vida académica, sino de la vida familiar, social y laboral.

Aunado a lo anterior, y con conocimiento de que nuestro país es rico en diversidad, tam-bién se deja un margen de autonomía curricular, así cada comunidad escolar pondrá énfasis en las áreas de oportunidad que deben abordarse y concretar con éxito el desa-rrollo de los aprendizajes clave en los alumnos.

• La escuela al centro del sistema educativo. La escuela, como unidad básica de organi-zación del sistema educativo, es primordial en este eje, pues esta debe enfocarse en al-canzar el máximo desarrollo de todos los estudiantes. Se plantea también una escuela que deja de lado la organización vertical para convertirse en un centro de desarrollo horizontal en el que toda la comunidad escolar tiene cabida.

• Formación y desarrollo profesional docente. El Modelo Educativo describe al docen-te como un profesional centrado en el aprendizaje de los alumnos, capaz de generar y mantener ambientes de aprendizaje incluyentes, comprometido a la mejora constante de su práctica y preparado para adaptar el currículo a las necesidades de su contexto.

• Inclusión y equidad. Estos principios son básicos para eliminar del sistema educativo las barreras para el acceso, la participación, la permanencia, el egreso y el aprendizaje de todos los estudiantes, y para que estos cuenten con oportunidades efectivas para el aprendizaje sin importar su contexto social y cultural.

Estos principios deben verse reflejados en la adaptación del espacio físico para facilitar la movilidad de todos los miembros de la comunidad educativa; en la adecuación curricular que los profesores deben realizar para atender las necesidades educativas de todos sus alumnos y en la transformación del aula en un espacio de convivencia armónica que abo-ne a la cultura de la diversidad.

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Modelo Educativo • La gobernanza del sistema educativo. En este último eje se definen los mecanismos

institucionales para una gobernanza efectiva y la participación de los actores y los sec-tores de la sociedad que intervienen en el proceso educativo, así como la coordinación que existe entre ellos: el gobierno federal, las autoridades educativas locales, el Insti-tuto Nacional para la Evaluación de la Educación (INEE), el sindicato, las escuelas, los docentes, los padres de familia, la sociedad civil y el Poder Legislativo.

Los fines de la educación que se persiguen con los ejes anteriores dejan ver la meta clara de que todos los alumnos reciban una educación flexible a sus necesidades, de calidad, integral e inclusiva que los prepare para vivir en la sociedad del siglo XXI.

Principios pedagógicos

En el Modelo Educativo 2017 se reconoce que los docentes tienen una función esencial en el aprendizaje de los niños y los adolescentes, y que su papel en el aula es la de un me-diador que contribuye a la construcción de ambientes que favorezcan que sus alumnos convivan de manera armónica y alcancen los aprendizajes esperados para cada asigna-tura, área o ámbito.

Con el propósito de que los profesores puedan cumplir plenamente con su papel en las aulas al implementar los nuevos programas, en el documento Aprendizajes clave para la educación integral. Plan y programas de estudio para la educación básica se proponen ca-torce principios pedagógicos que se enumeran a continuación:

1. Poner al estudiante y su aprendizaje en el centro del proceso educativo

2. Tener en cuenta los saberes previos del estudiante

3. Ofrecer acompañamiento al aprendizaje4. Conocer los intereses de los estudiantes5. Estimular la motivación intrínseca del

alumno6. Reconocer la naturaleza social del

conocimiento7. Propiciar el aprendizaje situado8. Entender la evaluación como un pro-

ceso relacionado con la planeación del aprendizaje

9. Modelar el aprendizaje10. Valorar el aprendizaje informal11. Promover la interdisciplinariedad12. Favorecer la cultura del aprendizaje13. Apreciar la diversidad como fuente de riqueza para el aprendizaje14. Usar la disciplina como apoyo al aprendizaje

El salón de clases debe convertirse en un ambiente en el que se propicie el aprendizaje de los estudiantes, y se fomente la convivencia armónica entre todos los miembros de la comunidad escolar.

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Modelo Educativo

educación básica

Mapa curricular

Aprendizajes clave para el desarrollo integral

Los aprendizajes clave planteados en este Modelo Educativo son los pilares para el desa-rrollo integral de los estudiantes pues, en conjunto, serán las herramientas para un ple-no desarrollo de vida.

En el plan de estudios se sugiere la organización de los contenidos programáticos en tres componentes curriculares de la educación básica: campos de Formación académi-ca, áreas de Desarrollo personal y social, y ámbitos de la Autonomía curricular. Los tres componentes tienen la misma importancia en el plan de estudios.

1. Campos de Formación académica. Lenguaje y Comunicación, Pensamiento Mate-mático y Exploración y Comprensión del Mundo Natural y Social.

2. Áreas de Desarrollo personal y social. Que incluyen específicamente Artes, Educa-ción Socioemocional y Educación Física.

3. Ámbitos de Autonomía curricular. Estos ámbitos buscan ampliar la formación aca-démica, potenciar el desarrollo personal y social, desarrollar nuevos contenidos re-levantes y conocimientos regionales, y generar proyectos de impacto social.

“Componentes curriculares de la educación básica”, tomado del documento Modelo

educativo para la educación obligatoria, Secretaría de Educación Pública, México, 2017.

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Modelo Educativo

Componente curricular

Nivel educativo

Secundaria

Grado escolar

1º 2º 3º

Formación académica

Cam

pos y

asi

gnat

uras

Lengua Materna (Español)

Lengua Extranjera (Inglés)

Matemáticas

Ciencias y Tecnología:

Biología Física Química

Historia

Geografía

Formación Cívica y Ética

Desarrollo personal y

social Área

s

Artes

Tutoría y Educación Socioemocional

Educación Física

Autonomía curricular

Ámbi

tos

Ampliar la formación académica

Potenciar el desarrollo personal y social

Nuevos contenidos relevantes

Conocimientos regionales

Proyectos de impacto social

Lo anterior propiciará que los alumnos conozcan, valoren y respeten su identidad, y que sean aptos para identificar sus debilidades y fortalezas, confíen en sus capacidades, sean determinados y perseverantes, y reconozcan como iguales en dignidad y en derechos a todos los seres humanos.

A continuación se muestra la organización curricular para la educación secundaria.

La asignatura de Matemáticas se encuentra en el campo de formación Pensamiento Ma-temático y pertenece al componente Formación académica.

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Dosificación200 días de clase

T r i m e s t r e 1

Semana Aprendizajes esperados

Contenidos/ Secuencias didácticas Lecciones

Páginas del libro

del alumno

1 Evaluación diagnóstica

2

Convierte fracciones decimales a notación decimal y viceversa.

Aproxima algunas fracciones no decimales usando la notación decimal.

Ordena fracciones y números decimales.

1. Compara y ordena números fraccionarios y decimales, y los ubica en la recta numérica. Distingue entre fracciones decimales y no decimales.

1. La recta numérica 18

2. Ubicación de números decimales 20

3. De fracción a decimal 22

3

2. Expresa con notación decimal fracciones decimales y no decimales. Convierte fracciones decimales a notación decimal y viceversa. Clasifica números decimales en exactos y periódicos.

1. Fracciones y el tiempo 24

2. Conversión a fracciones 26

3. De número decimal a fracción 28

Resuelvo con tecnología 30

4

3. Explora la noción de densidad. Aproxima fracciones no decimales usando la notación decimal y analiza la pertinencia del uso de fracciones en lugar de decimales.

1. Fracciones de tiempo 32

2. Aplicando la propiedad de densidad 34

3. ¿Fracciones o decimales? 36

Resuelve problemas de multiplicación con fracciones y decimales y de división con decimales.

4. Resuelve problemas que impliquen multiplicar fracciones.

1. Fracciones y áreas 38

2. Producto de fracciones mixtas 40

5

5. Resuelve problemas que implican la multiplicación de números decimales.

1. Natural por decimal 42

2. Decimal por decimal 44

Reviso mi trayecto 47

6. Resuelve problemas que implican divisiones con números decimales.

1. Reparto equitativo 48

2. Decimales en el divisor y el dividendo 50

6

Calcula valores faltantes en problemas de proporcionalidad directa, con constante natural, fracción o decimal (incluyendo tablas de variación).

7. Identifica situaciones proporcionales y no proporcionales. Usa constantes de proporcionalidad fraccionarias o decimales (con fracciones o decimales mayores, menores e iguales a uno).

1. Relaciones de proporcionalidad 52

2. Valor unitario 54

3. Proporcionalidad y multiplicación de fracciones 56

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Dosificación

7

8. Resuelve problemas de proporcionalidad en los que se calcula el valor unitario y del tipo valor faltante, a través de las propiedades de la proporcionalidad (razones externas e internas). Usa tablas y gráficas de proporcionalidad directa.

1. Propiedades de la proporcionalidad 58

2. Uso del valor unitario para resolver problemas 60

3. Tablas y gráficas de proporcionalidad 62

9. Comprende y usa la regla de tres en problemas diversos.

1. Proporcionalidad y valor unitario 64

2. La regla de tres y el valor unitario 66

8

Resuelve problemas de cálculo de porcentajes, del tanto por ciento y de la cantidad base.

10. Identifica el porcentaje como un caso particular de la proporcionalidad.

1. Significado de porcentaje 68

2. Propiedades de proporcionalidad y porcentaje 70

11. Resuelve problemas que implican calcular el porcentaje, el tanto por ciento o la cantidad base.

1. Distintas representaciones de un porcentaje 72

2. Cantidad base 74

3. Cálculo de cantidad base 76

9

Calcula el perímetro de polígonos y del círculo, y áreas de triángulos ycuadriláteros desarrollando y aplicando fórmulas.

12. Deduce, compara y aplica fórmulas para calcular perímetros de polígonos (triángulos y cuadriláteros) usando literales.

1. ¿Cuántos lados tiene una figura? 78

2. Perímetros y literales 80

Resuelvo con tecnología 83

Reviso mi trayecto 85

10

13. Deduce, compara y aplica fórmulas para calcular el perímetro del círculo.

1. Círculo y circunferencia 86

2. Diámetro del círculo 88

14. Deduce, compara y aplica fórmulas para calcular el área de triángulos y cuadriláteros, usando literales. Calcula cualesquiera de las dimensiones involucradas en la fórmula.

1. Área de rectángulos y cuadrados 90

2. El romboide 92

3. El área del trapecio 94

4. Obtención de datos faltantes 96

11Recolecta, registra y lee datos en gráficas circulares.

15. Lee e interpreta datos en gráficas circulares. Construye gráficas circulares.

1. Hacer un pastel diferente 98

2. Guía para construir una gráfica circular 100

3. Construcción de gráficas 102

12Punto de encuentro 104

Reviso mi trayecto 106

13Valoro mis fortalezas 107 a 109

Evaluación del trimestre 1

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T r i m e s t r e 2

Semana Aprendizajes esperados

Contenidos/ Secuencias didácticas Lecciones

Páginas del libro

del alumno

14

Resuelve problemas de suma y resta con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.

16. Compara y ordena números enteros.

1. Profundidad 112

2. Comparación de números enteros 114

1517. Resuelve problemas que

implican la suma y resta de números enteros.

1. El juego de los dados 116

2. Sumas en la recta numérica 118

3. Resta de enteros con fichas 120

16

18. Resuelve problemas que impliquen suma y resta de fracciones y decimales positivos y negativos.

1. Temperaturas sobre cero y bajo cero 122

2. Suma y resta de fracciones 124

3. Valor absoluto y puntaje 126

17

Determina y usa la jerarquía de operaciones y los paréntesis en operaciones con números naturales, enteros y decimales (para multiplicación y división, solo números positivos).

19. Determina y utiliza la jerarquía de operaciones y los paréntesis en operaciones con números naturales, enteros y decimales.

1. Orden de las operaciones 128

2. El uso de paréntesis 130

3. Resolución de operaciones 132

Reviso mi trayecto 135

18

Formula expresiones algebraicas de primer grado a partir de sucesiones y las utiliza para analizar propiedades de las sucesiones que representan.

20. Usa distintas representaciones: verbal, en dibujos, tabular y algebraica para representar problemas y sucesiones. Formula expresiones algebraicas.

1. Descripción de patrones 136

2. Sucesiones y expresiones algebraicas 138

3. Sucesiones numéricas 140

19Analiza y compara situaciones de variación lineal a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica. Interpreta y resuelve problemas que se modelan con estos tipos de variación.

21. Resuelve situaciones que impliquen la ubicación de puntos en el plano cartesiano.

1. Ubicación de puntos en el plano cartesiano 142

2. Utilidad del plano cartesiano 144

20

22. Interpreta situaciones de variación a partir de su representación tabular, gráfica y verbal. Compara diversos tipos de variación usando diferentes representaciones.

1. Interpretación de la variación 146

2. Variación directa 148

3. Diferentes tipos de variación 150

Resuelvo con tecnología 153

Reviso mi trayecto 155

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Dosificación 200 días de clase

21

Analiza la existencia y unicidad en la construcción de triángulos y cuadriláteros, y determina los criterios de congruencia de triángulos.

23. Deduce y utiliza las propiedades de los ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal.

1. Posiciones relativas entre rectas 156

2. Ángulos entre rectas 158

3. Otros ángulos entre rectas II 160

2224. Deduce las propiedades de

los ángulos interiores de triángulos.

1. ¿Cuánto suman los ángulos de cualquier triángulo? 162

2. Triángulos y propiedades de rectas paralelas 164

23

25. Deduce las propiedades de los ángulos interiores de cuadriláteros y las utiliza en diversos contextos.

1. Cuadriláteros en la Naturaleza 166

2. Problemas con otros cuadriláteros 168

Resuelvo con tecnología 170

24

Recolecta, registra y lee datos en gráficas circulares.

26. Usa las gráficas circulares en proyectos estadísticos.

1. ¿Cómo son mis compañeros? 172

2. Planeación de un proyecto estadístico 174

3. Construcción de la gráfica y presentación de resultados 176

Realiza experimentos aleatorios y registra los resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial.

27. Realiza experimentos aleatorios y registra los resultados como una introducción a la probabilidad frecuencial.

1. De las frecuencias a la probabilidad 178

2. De la probabilidad frecuencial a la certeza 180

25

Utiliza e interpreta las medidas de tendencia central (moda, media aritmética y mediana) y el rango de un conjunto de datos, y decide cuál de ellas conviene más en el análisis de los datos en cuestión.

28. Usa e interpreta las medidas de tendencia central (moda, media aritmética y mediana), el rango y la dispersión de un conjunto de datos. Decide cuál de ellas conviene más en el análisis de los datos en cuestión.

1. Media aritmética 182

2. ¿Cómo se agrupan los datos? 184

3. ¿Hacia el centro o hacia los costados? 186

Punto de encuentro 188

Reviso mi trayecto 190

26Valoro mis fortalezas 191

Evaluación del trimestre 2

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Semana Aprendizajes esperados

Contenidos/ Secuencias didácticas Lecciones

Páginas del libro

del alumno

27 Formula expresiones algebraicas de primer grado a partir de sucesiones y las utiliza para analizar propiedades de las sucesiones que representan.

29. Analiza sucesiones simples y a partir de ellas formula expresiones algebraicas.

1. Descripción de sucesiones 196

2. Análisis de sucesiones de figuras 198

28

30. Usa diferentes expresiones algebraicas para analizar propiedades de las sucesiones. Analiza la equivalencia de expresiones aplicando reglas de transformación.

1. Expresiones algebraicas y sucesiones 200

2. Equivalencia de expresiones algebraicas 202

29

Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones lineales.

31. Analiza, modela y resuelve ecuaciones lineales del tipo Ax 1 B 5 C y Ax 1 B 5 Cx 5 D. Aplica el significado de igualdad para encontrar equivalencia entre expresiones algebraicas o numéricas.

1. Expresiones algebraicas y ecuaciones 204

2. El juego de la balanza 206

3. El juego de la balanza II 208

4. Las ecuaciones y su solución 210

30

Analiza y compara situaciones de variación lineal a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica. Interpreta y resuelve problemas que se modelan con estos tipos de variación.

32. Distingue entre funciones lineales y no lineales utilizando distintas representaciones. Analiza en qué intervalos las funciones son negativas o positivas, crecientes o decrecientes.

1. Comparación de funciones 212

2. Función lineal 214

Reviso mi trayecto 217

31

Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones lineales.

33. Resuelve ecuaciones lineales que involucren el uso de paréntesis. Soluciona problemas que requieren varios pasos utilizando ecuaciones lineales.

1. Más ecuaciones lineales 218

2. Comparación de métodos de solución 220

3. Ecuaciones lineales equivalentes 222

32Analiza y compara situaciones de variación lineal a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica. Interpreta y resuelve problemas que se modelan con estos tipos de variación.

34. Analiza la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal.

1. Situaciones de cambio 224

2. Variación lineal y no lineal 226

3. Razón de cambio en la variación lineal 228

33

35. Deduce la expresión algebraica de una función a partir de su tabla o gráfica y soluciona problemas que se describen por medio de funciones lineales.

1. Tablas, gráficas y expresiones algebraicas 230

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Dosificación 200 días de clase

2. Resolución de problemas con ecuaciones de la forma y 5 mx 1 b

232

Resuelvo con tecnología 234

34

Analiza la existencia y unicidad en la construcción de triángulos y cuadriláteros, y determina los criterios de congruencia de triángulos.

36. Construye triángulos y cuadriláteros.

1. Construcción de triángulos 236

2. Otras construcciones 238

35

37. Construye triángulos congruentes y desarrolla los criterios de congruencia.

1. Datos para construir un triángulo congruente 240

2. Datos para reproducir un triángulo 242

3. Criterio de congruencia de triángulos 244

Resuelvo con tecnología 247

Reviso mi trayecto 249

38. Usa los criterios de congruencia de triángulos para justificar algunas propiedades de los paralelogramos.

1. ¿Cuáles cuadriláteros son paralelogramos? 250

2. Ángulos opuestos de los paralelogramos 252

36Calcula el volumen de prismas rectos cuya base sea un triángulo o un cuadrilátero, desarrollando y aplicando fórmulas.

39. Deduce y aplica fórmulas para calcular el volumen de prismas rectos cuya base sea un cuadrilátero o un triángulo. Resuelve problemas que impliquen el cálculo del volumen.

1. Volumen de prismas rectangulares 254

2. Volumen de un prisma cuadrangular 256

3. El volumen de los prismas y datos faltantes 258

37

40. Explora la relación entre el decímetro cúbico y el litro, y de la relación de capacidad y volumen. Resuelve problemas que implican calcular volumen y capacidad.

1. Envases de un litro 260

2. El volumen de una cisterna 262

Punto de encuentro 264

Reviso mi trayecto 266

38

Valoro mis fortalezas 267

Evaluación del trimestre 3

Evaluación final

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Dosificación185 días de clase

T r i m e s t r e 1

Semana Aprendizajes esperados

Contenidos/ Secuencias didácticas Lecciones

Páginas del libro

del alumno

1 Evaluación diagnóstica

2

Convierte fracciones decimales a notación decimal y viceversa.

Aproxima algunas fracciones no decimales usando la notación decimal.

Ordena fracciones y números decimales.

1. Compara y ordena números fraccionarios y decimales, y los ubica en la recta numérica. Distingue entre fracciones decimales y no decimales.

1. La recta numérica 18

2. Ubicación de números decimales 20

3. De fracción a decimal 22

3

2. Expresa con notación decimal fracciones decimales y no decimales. Convierte fracciones decimales a notación decimal y viceversa. Clasifica números decimales en exactos y periódicos.

1. Fracciones y el tiempo 24

2. Conversión a fracciones 26

3. De número decimal a fracción 28

Resuelvo con tecnología 30

4

3. Explora la noción de densidad. Aproxima fracciones no decimales usando la notación decimal y analiza la pertinencia del uso de fracciones en lugar de decimales.

1. Fracciones de tiempo 32

2. Aplicando la propiedad de densidad 34

3. ¿Fracciones o decimales? 36

Resuelve problemas de multiplicación con fracciones y decimales y de división con decimales.

4. Resuelve problemas que impliquen multiplicar fracciones.

1. Fracciones y áreas 38

2. Producto de fracciones mixtas 40

5

5. Resuelve problemas que implican la multiplicación de números decimales.

1. Natural por decimal 42

2. Decimal por decimal 44

Reviso mi trayecto 47

6. Resuelve problemas que implican divisiones con números decimales.

1. Reparto equitativo 48

2. Decimales en el divisor y el dividendo 50

6

Calcula valores faltantes en problemas de proporcionalidad directa, con constante natural, fracción o decimal (incluyendo tablas de variación).

7. Identifica situaciones proporcionales y no proporcionales. Usa constantes de proporcionalidad fraccionarias o decimales (con fracciones o decimales mayores, menores e iguales a uno).

1. Relaciones de proporcionalidad 52

2. Valor unitario 54

3. Proporcionalidad y multiplicación de fracciones 56

XIV

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Dosificación

7

8. Resuelve problemas de proporcionalidad en los que se calcula el valor unitario y del tipo valor faltante, a través de las propiedades de la proporcionalidad (razones externas e internas). Usa tablas y gráficas de proporcionalidad directa.

1. Propiedades de la proporcionalidad 58

2. Uso del valor unitario para resolver problemas 60

3. Tablas y gráficas de proporcionalidad 62

9. Comprende y usa la regla de tres en problemas diversos.

1. Proporcionalidad y valor unitario 64

2. La regla de tres y el valor unitario 66

8

Resuelve problemas de cálculo de porcentajes, del tanto por ciento y de la cantidad base.

10. Identifica el porcentaje como un caso particular de la proporcionalidad.

1. Significado de porcentaje 68

2. Propiedades de proporcionalidad y porcentaje 70

11. Resuelve problemas que implican calcular el porcentaje, el tanto por ciento o la cantidad base.

1. Distintas representaciones de un porcentaje 72

2. Cantidad base 74

3. Cálculo de cantidad base 76

9

Calcula el perímetro de polígonos y del círculo, y áreas de triángulos ycuadriláteros desarrollando y aplicando fórmulas.

12. Deduce, compara y aplica fórmulas para calcular perímetros de polígonos (triángulos y cuadriláteros) usando literales.

1. ¿Cuántos lados tiene una figura? 78

2. Perímetros y literales 80

Resuelvo con tecnología 83

Reviso mi trayecto 85

10

13. Deduce, compara y aplica fórmulas para calcular el perímetro del círculo.

1. Círculo y circunferencia 86

2. Diámetro del círculo 88

14. Deduce, compara y aplica fórmulas para calcular el área de triángulos y cuadriláteros, usando literales. Calcula cualesquiera de las dimensiones involucradas en la fórmula.

1. Área de rectángulos y cuadrados 90

2. El romboide 92

3. El área del trapecio 94

4. Obtención de datos faltantes 96

11Recolecta, registra y lee datos en gráficas circulares.

15. Lee e interpreta datos en gráficas circulares. Construye gráficas circulares.

1. Hacer un pastel diferente 98

2. Guía para construir una gráfica circular 100

3. Construcción de gráficas 102

12

Punto de encuentro 104

Reviso mi trayecto 106

Valoro mis fortalezas 107 a 109

Evaluación del trimestre 1

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T r i m e s t r e 2

Semana Aprendizajes esperados

Contenidos/ Secuencias didácticas Lecciones

Páginas del libro

del alumno

13

Resuelve problemas de suma y resta con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.

16. Compara y ordena números enteros.

1. Profundidad 112

2. Comparación de números enteros 114

1417. Resuelve problemas que

implican la suma y resta de números enteros.

1. El juego de los dados 116

2. Sumas en la recta numérica 118

3. Resta de enteros con fichas 120

15

18. Resuelve problemas que impliquen suma y resta de fracciones y decimales positivos y negativos.

1. Temperaturas sobre cero y bajo cero 122

2. Suma y resta de fracciones 124

3. Valor absoluto y puntaje 126

16

Determina y usa la jerarquía de operaciones y los paréntesis en operaciones con números naturales, enteros y decimales (para multiplicación y división, solo números positivos).

19. Determina y utiliza la jerarquía de operaciones y los paréntesis en operaciones con números naturales, enteros y decimales.

1. Orden de las operaciones 128

2. El uso de paréntesis 130

3. Resolución de operaciones 132

Reviso mi trayecto 135

17

Formula expresiones algebraicas de primer grado a partir de sucesiones y las utiliza para analizar propiedades de las sucesiones que representan.

20. Usa distintas representaciones: verbal, en dibujos, tabular y algebraica para representar problemas y sucesiones. Formula expresiones algebraicas.

1. Descripción de patrones 136

2. Sucesiones y expresiones algebraicas 138

3. Sucesiones numéricas 140

18

Analiza y compara situaciones de variación lineal a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica. Interpreta y resuelve problemas que se modelan con estos tipos de variación.

21. Resuelve situaciones que impliquen la ubicación de puntos en el plano cartesiano.

1. Ubicación de puntos en el plano cartesiano 142

2. Utilidad del plano cartesiano 144

19

22. Interpreta situaciones de variación a partir de su representación tabular, gráfica y verbal. Compara diversos tipos de variación usando diferentes representaciones.

1. Interpretación de la variación 146

2. Variación directa 148

3. Diferentes tipos de variación 150

Resuelvo con tecnología 153

Reviso mi trayecto 155

XVI

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Dosificación 185 días de clase

20

Analiza la existencia y unicidad en la construcción de triángulos y cuadriláteros, y determina los criterios de congruencia de triángulos.

23. Deduce y utiliza las propiedades de los ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal.

1. Posiciones relativas entre rectas 156

2. Ángulos entre rectas 158

3. Otros ángulos entre rectas II 160

21

24. Deduce las propiedades de los ángulos interiores de triángulos.

1. ¿Cuánto suman los ángulos de cualquier triángulo? 162

2. Triángulos y propiedades de rectas paralelas 164

25. Deduce las propiedades de los ángulos interiores de cuadriláteros y las utiliza en diversos contextos.

1. Cuadriláteros en la Naturaleza 166

2. Problemas con otros cuadriláteros 168

Resuelvo con tecnología 170

22

Recolecta, registra y lee datos en gráficas circulares.

26. Usa las gráficas circulares en proyectos estadísticos.

1. ¿Cómo son mis compañeros? 172

2. Planeación de un proyecto estadístico 174

3. Construcción de la gráfica y presentación de resultados 176

Realiza experimentos aleatorios y registra los resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial.

27. Realiza experimentos aleatorios y registra los resultados como una introducción a la probabilidad frecuencial.

1. De las frecuencias a la probabilidad 178

2. De la probabilidad frecuencial a la certeza 180

23

Utiliza e interpreta las medidas de tendencia central (moda, media aritmética y mediana) y el rango de un conjunto de datos, y decide cuál de ellas conviene más en el análisis de los datos en cuestión.

28. Usa e interpreta las medidas de tendencia central (moda, media aritmética y mediana), el rango y la dispersión de un conjunto de datos. Decide cuál de ellas conviene más en el análisis de los datos en cuestión.

1. Media aritmética 182

2. ¿Cómo se agrupan los datos? 184

3. ¿Hacia el centro o hacia los costados? 186

Punto de encuentro 188

Reviso mi trayecto 190

24Valoro mis fortalezas 191

Evaluación del trimestre 2

XVII

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T r i m e s t r e 3

Semana Aprendizajes esperados

Contenidos/ Secuencias didácticas Lecciones

Páginas del libro

del alumno

25 Formula expresiones algebraicas de primer grado a partir de sucesiones y las utiliza para analizar propiedades de las sucesiones que representan.

29. Analiza sucesiones simples y a partir de ellas formula expresiones algebraicas.

1. Descripción de sucesiones 196

2. Análisis de sucesiones de figuras 198

26

30. Usa diferentes expresiones algebraicas para analizar propiedades de las sucesiones. Analiza la equivalencia de expresiones aplicando reglas de transformación.

1. Expresiones algebraicas y sucesiones 200

2. Equivalencia de expresiones algebraicas 202

27

Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones lineales.

31. Analiza, modela y resuelve ecuaciones lineales del tipo Ax 1 B 5 C y Ax 1 B 5 Cx 5 D. Aplica el significado de igualdad para encontrar equivalencia entre expresiones algebraicas o numéricas.

1. Expresiones algebraicas y ecuaciones 204

2. El juego de la balanza 206

3. El juego de la balanza II 208

4. Las ecuaciones y su solución 210

28

Analiza y compara situaciones de variación lineal a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica. Interpreta y resuelve problemas que se modelan con estos tipos de variación.

32. Distingue entre funciones lineales y no lineales utilizando distintas representaciones. Analiza en qué intervalos las funciones son negativas o positivas, crecientes o decrecientes.

1. Comparación de funciones 212

2. Función lineal 214

Reviso mi trayecto 217

29

Resuelve problemas mediante la formulación y solución algebraica de ecuaciones lineales.

33. Resuelve ecuaciones lineales que involucren el uso de paréntesis. Soluciona problemas que requieren varios pasos utilizando ecuaciones lineales.

1. Más ecuaciones lineales 218

2. Comparación de métodos de solución 220

3. Ecuaciones lineales equivalentes 222

30Analiza y compara situaciones de variación lineal a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica. Interpreta y resuelve problemas que se modelan con estos tipos de variación.

34. Analiza la razón de cambio de un proceso o fenómeno que se modela con una función lineal.

1. Situaciones de cambio 224

2. Variación lineal y no lineal 226

3. Razón de cambio en la variación lineal 228

31

35. Deduce la expresión algebraica de una función a partir de su tabla o gráfica y soluciona problemas que se describen por medio de funciones lineales.

1. Tablas, gráficas y expresiones algebraicas 230

XVIII

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Dosificación 185 días de clase

2. Resolución de problemas con ecuaciones de la forma y 5 mx 1 b

232

Resuelvo con tecnología 234

32

Analiza la existencia y unicidad en la construcción de triángulos y cuadriláteros, y determina los criterios de congruencia de triángulos.

36. Construye triángulos y cuadriláteros.

1. Construcción de triángulos 236

2. Otras construcciones 238

33

37. Construye triángulos congruentes y desarrolla los criterios de congruencia.

1. Datos para construir un triángulo congruente 240

2. Datos para reproducir un triángulo 242

3. Criterio de congruencia de triángulos 244

Resuelvo con tecnología 247

Reviso mi trayecto 249

38. Usa los criterios de congruencia de triángulos para justificar algunas propiedades de los paralelogramos.

1. ¿Cuáles cuadriláteros son paralelogramos? 250

2. Ángulos opuestos de los paralelogramos 252

34

Calcula el volumen de prismas rectos cuya base sea un triángulo o un cuadrilátero, desarrollando y aplicando fórmulas.

39. Deduce y aplica fórmulas para calcular el volumen de prismas rectos cuya base sea un cuadrilátero o un triángulo. Resuelve problemas que impliquen el cálculo del volumen.

1. Volumen de prismas rectangulares 254

2. Volumen de un prisma cuadrangular 256

3. El volumen de los prismas y datos faltantes 258

40. Explora la relación entre el decímetro cúbico y el litro, y de la relación de capacidad y volumen. Resuelve problemas que implican calcular volumen y capacidad.

1. Envases de un litro 260

2. El volumen de una cisterna 262

Punto de encuentro 264

Reviso mi trayecto 266

35

Valoro mis fortalezas 267

Evaluación del trimestre 3

Evaluación final

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Evaluación diagnósticaNombre

Grupo: Número de lista:

Resuelve los problemas y revisa las respuestas con ayuda del profesor. Con base en los resultados que obtengas, retoma los contenidos que se te dificultaron.

1. Ubica los números en las rectas y ordénalos de mayor a menor.

a. 35 , 5

4 , 711 , 15

11 , 53 , 1

4

b. 1 23 , 13

11 , 45 , 7

4 , 711 , 4

3

2. La cisterna de una purificadora de agua inició el día con 700 litros. Después del primer corte de venta se han utilizado 245.7 litros. Si una pipa abastece 500 litros y la capacidad de la cisterna es de 1 100 litros, ¿cuántos litros faltan o sobran para llenar la cisterna a toda su capacidad?

3. Para hacer una gelatina arcoíris, se utilizan 34 de litro de agua para cada sabor. Si se prepara-

ron 5 sabores y al verterlos en el molde quedó un espacio vacío de 14 de litro, ¿cuál es la capa-

cidad del molde?

0

0

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4. En un recipiente se vierten 5.750 litros de agua y 0.300 litros de esencia floral. Después de ex-traer 3.250 litros de la mezcla, ¿cuántos litros quedan en el recipiente?

5. En una hora, en una carnicería se despacharon pedidos de 34 , 2

3 , 12 y 3

2 de kilogramo de carne. ¿Cuál fue la cantidad total de carne que se vendió?

6. Dibuja en los círculos, debajo de cada operación, una si el procedimiento de solución mos-trado es el correcto o un si no lo es.

a. d.

b. e.

c. f.

12.020 4.830 16.850

487.120 32 974240 1461360 2435.600

487.120 32 974240 1461360 15587.840

600.001 499.999 110.102

600.001 499.999 100.002

12.02 4.830 6.032

314 .3 942 04 12 0

3140 .3 9420 04 12 0

38 5

4 3 58 4 15

12

38 5

4 38 10

8 138

7 45 7 4

7 5 2835

7 45 7 4

5 285

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7. Martín y dos de sus amigos fueron a comer tacos. Las tablas muestran la lista de precios de ta-cos y refrescos.

a. Completa las tablas de precios.b. ¿Cuál es el precio de un taco? c. Martín comió 6 tacos. ¿Cuánto pagó? d. Entre sus dos amigos comieron 14 tacos. ¿Cuánto pagaron si también tomó un refresco cada

quien? e. En una mesa contigua, una familia pagó $810 incluyendo 6 refrescos. ¿Cuántos tacos comie-

ron en total? f. Si la familia era de seis integrantes y cada uno comió el mismo número de tacos, ¿cuántos se

comió cada uno?

8. Relaciona las columnas correctamente.

Tacos Precio ($)

5 6010

18020 240

300360

35

Refrescos Precio ($)

1 1530

34

756 90

105

a. De 1 800 piezas de pan que preparan en una panificadora, 25% llevan fruta. ¿Cuántos panes llevan fruta?

b. En un grupo de 50 personas, 10% escuchan música pop. ¿Cuántas personas del grupo oyen ese género musical?

c. Eloísa compró un pantalón cuyo precio original era de $200 y tenía descuento de 20%. ¿Cuánto pagó?

d. Un envase de crema para manos tiene capacidad de 120 mL. Si se ha utilizado 50%, ¿cuántos mL quedan?

e. Para hacer un pan, se utiliza 1% de cremor tártaro. Si el peso del pan es 1 200 gramos, ¿cuántos gramos se utlizaron de ese ingrediente?

f. En un invernadero se vendieron 48 rosas, que equivalen a 16% del total de las plantas que se tenían. ¿Cuántas plantas había originalmente?

( ) 12

( ) 160

( ) 450

( ) 60

( ) 300

( ) 5

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Evaluación diagnóstica

9. Completa las sucesiones y responde.

a. 3, , 11, 15, , 23… d. 1, 2, 4, , , 32 …b. 2, 6, , 54, 162, … e. 2.54, 5.08, , , 12.7 …c. 1, 3, 5, , , 11 … f. 0.03, , , , 7.63, 9.53…

• ¿Cómo encontraste los valores faltantes para la sucesión del inciso a?

• ¿Y los del inciso e?

• ¿50 es un valor de las secuencias d y c? ¿Por qué?

10. Dibuja las figuras faltantes de cada sucesión y responde.

a.

b.

c.

• ¿Cuántos círculos rojos tendrá la figura 8 de la sucesión del inciso a? Justifica tu respuesta.

• Qué figura estará en el lugar 15 si se sigue la sucesión del inciso c? Justifica tu respuesta.

Figura 1

Figura 1

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 Figura 6 Figura 7 Figura 8

Figura 2

Figura 2

Figura 3

Figura 3

Figura 4

Figura 4

Figura 5

Figura 5

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11. Completa la tabla con la ubicación de cada punto.

12. Construye con regla y compás los triángulos que se indican. Traza con rojo una altura de cada uno.

a. Triángulo 1: 3 cm, 5 cm, 4 cm b. Triángulo 2: 4 cm, 4 cm y 2 cm

13. Calcula el área de las figuras.

Área: Área:

A

B

C

D

E

5 cm

5 cm

2.5

cm

2.5 cm2.7 cm

x

y

1

4

2

5

3

6

6

4

2

5

3

1

14 25 36 1 3 52 4 60

A

B

CE

D

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Evaluación diagnóstica

14. La tabla muestra las ventas que se registraron en una concesionaria automotriz durante un trimestre.

a. ¿Cuántas unidades se vendieron en total en el trimestre? b. ¿Qué unidades se vendieron más en el trimestre: automóviles, camionetas de carga o camio-

netas familiares? c. ¿Cuál es el color que menos se vende? d. Selecciona la gráfica que describe la información de la tabla.

15. Escribe todos los eventos posibles en cada experimento.

a. Lanzar un dado y una moneda:

b. Lanzar un dado y extraer una bola de una urna con una bola blanca y una negra:

Gráfica 1 Gráfica 2

Tipo de automóvil Descripción Frecuencia

1 Automóvil rojo 42 Automóvil negro 33 Automóvil azul 34 Automóvil amarillo 25 Camioneta familiar blanca 16 Camioneta familiar azul 17 Camioneta familiar roja 28 Camioneta familiar negra 19 Camioneta de carga roja 1

10 Camioneta de carga negra 111 Camioneta de carga azul 312 Camioneta de carga verde 3

Ventas del trimestre

Frec

uenc

ia

0 1

1

2

3

4

5

6

2 3 54 6 7 8 9 10 11 12Tipo de automóvil

y

x

Frec

uenc

ia

0 1

1

2

3

4

5

2 3 54 6 7 8 9 10 11 12Tipo de automóvil

y

x

Ventas del trimestre

6

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Evaluación del trimestreNombre

Grupo: Número de lista: 1Resuelve los problemas y revisa las respuestas con ayuda del profesor. Con base en los resultados que obtengas, retoma los contenidos que se te dificultaron.

1. Coloca una E si el número decimal es exacto, M si es periódico mixto o P si es periódico puro.

a. 3.8356 b. 8. 45 c. 2.388 d. 4.005 e. 0. 01

f. 1.324 g. 73.345 h. 384.64 i. 89.001 j. 845.7

k. 890.309 l. 48.9103 m. 527.256 n. 2674. 13 o. 87.121

2. Marca con una los números que se encuentren entre el par de números dado en cada inciso.

a. Entre 35 y 57 ( ) 2035 ( ) 22

35 ( ) 2335 ( ) 25

35

b. Entre 2.84 y 2.92 ( ) 28510 ( ) 287

100 ( ) 2891000 ( ) 291

100

c. Entre 29 y 13 ( ) 727 ( ) 9

27 ( ) 1127 ( ) 13

27

d. Entre 2.001 y 2.100 ( ) 2.01 ( ) 2.17 ( ) 2.011 ( ) 2.104

e. Entre 211 y 89 ( ) 8

99 ( ) 1899 ( ) 53

99 ( ) 8799

f. Entre 4.031 y 4.0100 ( ) 4.0315 ( ) 4.0205 ( ) 4.030 ( ) 4.01

3. Analiza las situaciones. Escribe proporcional o no proporcional según corresponda en cada caso.

Situación Proporcional o no proporcional

Colocar 42 nochebuenas de dos en dos en cada maceta.

El recorrido de un automóvil que viaja a 5 km/h, después se detiene 30 min y sigue su recorrido a la misma velocidad.Para una ensalada, Karen usa medio pepino. Al preparar 6 ensaladas usó tres pepinos.En una tienda, Sandra vio una oferta de 35% de descuento en todos los vestidos. Compró uno que originalmente costaba $700 y pagó $455.

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4. Calcula el área de las figuras. Anota tus operaciones en los recuadros.

5. Alejandra comprará cierres para vestidos. El precio de mayoreo por pieza es de $1.98.

a. ¿Cuántos cierres puede comprar con $400? Explica tu respuesta.

b. Después de varias compras, Alejandro cuenta con $689.50. ¿Cuántos cierres para vestido pue-de comprar con esa cantidad?

6. Al inicio del día, los trabajadores de una confitería llenaron diferentes recipientes plásticos con 1 kg de cada producto. Al final del día sobraron las siguientes cantidades: 0.160 kg de chocola-tes, 0.250 kg de gomitas, 0.200 kg de pepitas. También sobró la quinta parte del recipiente de cacahuates enchilados y la tercera parte del recipiente de cacahuates salados.

Completa la tabla con base en la información dada.

a. ¿De qué producto quedó menos? b. ¿De qué producto quedó más? c. ¿De qué productos quedó la misma cantidad?

ProductoCantidad de producto que sobró

En fracción En número decimal

Cacahuates enchilados Chocolates 0.160Gomitas 0.250Cacahuates salados Pepitas 0.2

5.2 u

4.5 u1.2 u

0.6 u

1 26 u

57 u

34 u

15

13

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7. Joaquín, Heriberto, Efraín y Marcos corren diariamente. Cada uno recorre la misma distancia cada día y anota el total de kilómetros que ha recorrido hasta el momento. La tabla muestra el registro de la semana 6 de cada uno.

a. Explica cómo puedes determinar la cantidad de kilómetros que cada uno corre diariamente y completa la tabla.

b. Determina la cantidad de kilómetros que cada uno habrá corrido el cuarto día de la novena semana.

c. Grafica la relación entre los kilómetros recorridos y los días transcurridos para cada corredor.

Día Días recorridosDistancia recorrida (km)

Joaquín Heriberto Efraín Marcos

Domingo 36 107.28 108.72 106.56 108Lunes 37 110.26 111.74 109.52 111Martes 38Miércoles 39Jueves 40Viernes 41Sábado 42

8. Para hacer 40 camisas se utilizaron 480 botones. ¿Qué porcentaje del total de botones se utilizó si la bolsa contiene 1 152?

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Evaluación del trimestre 1

9. Una mercería ofrece un descuento en la compra de 100 o más botones metálicos.

a. Si se pagaron $1 344 por 480 botones metálicos y el precio por unidad era de $3.20, ¿qué des-cuento se aplicó?

b. ¿Cuánto se debe pagar por 600 botones?

10. Carla hará una ventana redonda con el marco de madera, como se ve en la figura de la derecha. Si cada eje de la ventana mide 45 cm, ¿cuál es la longitud del marco?

Ficción

Clásicos

Texto

Romance

Terror

Infantiles

11. El encargado de una librería presentó la relación de ventas del mes mediante una gráfica circular.

a. Completa la tabla. Considera que en el mes se vendieron 2 000 libros.b. ¿Cuál es la diferencia entre el número de los libros de ficción vendidos y los de romance?

c. ¿Cuál es la diferencia entre el número de los libros clásicos vendidos y los de terror?

LibrosFrecuencia

Absoluta RelativaFicciónClásicos TextoRomanceTerror Infantiles Total 100%

45 cm

29%

27%12%

13%

10%

9%

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Evaluación del trimestreNombre

Grupo: Número de lista: 2Resuelve los problemas y revisa las respuestas con ayuda del profesor. Con base en los resultados que obtengas, retoma los contenidos que se te dificultaron.

1. Elige, de cada lista, la opción donde los números se encuentran ordenados de mayor a menor.

• 69, 73, 84, 96, 74

a) 96, 84, 74, 73, 69 b) 84, 73, 69, 74, 96

• 112, 35, 47, 57, 91

a) 112, 57, 47, 35, 91 b) 112, 91, 57, 47, 35

• 321, 333, 457, 999, 891

a) 891, 457, 321, 333, 999 b) 999, 891, 457, 333, 321

2. Relaciona cada operación con su resultado.

a. 8 7 6 5 4 3 ( ) 45b. 65 43 23 87 90 ( ) 3c. 16 89 40 87 15 ( ) 50

d. 34 67 80 90 87 ( ) 4e. 187 91 57 98 274 ( ) 105

f. 13 5

4 69 ( ) 2

7g. 4.7 2.9 3.2 ( ) 2 1

12h. 8

16 12 5

7 ( ) 5.4

i. 6.3 4.8 7.6 ( ) 3 1588

j. 9.8 8.8 − 9.3 ( ) 1.4

k. 5 12 14

16 3222 ( ) 11

12l. 14.7 22.1 − 31.4 ( ) 9.3

m. 39 13

4 56 ( ) 6.1

( ) 5.4

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3. Escribe el resultado de cada operación.

a. 3 (5.3 2 1) 3

b. 25 1

3 1 69 7

8 2

c. [4 (6 9 3) 2] 5.8

d. 6.7 10.9 (23 8) 2 4

e. 12 [9 1 76 5

4 2 1 12 3

4 2]

4. Analiza cada sucesión y responde.

• Sucesión 1

a. Completa la tabla.b. ¿Cuál término ocupa el lugar 8? c. ¿Cuál término ocupa el lugar 100? d. Escribe la expresión algebraica que representa a la sucesión.

• Sucesión 2

a. Dibuja la figura 4.b. Describe la sucesión. c. ¿Cuántos cerillos tiene la figura 4? d. ¿Cuántos cerillos tiene la figura 97? e. Escribe la expresión algebraica que describe la sucesión.

Lugar del término n 1 2 3 4 5 6 7 8

Término 1.5 2.25 3 3.75

Figura 1 Figura 3Figura 2 Figura 4

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5. Varios insectos cayeron en una telaraña y se encuentran en la posición que se indica en la tabla. Considera el origen del plano cartesiano como el centro de la telaraña y ubica a los insectos.

a. Si la avispa hubiera quedado atrapada 5 hilos más arriba, ¿cuáles serían sus coor-denadas?

b. Escribe las coordenadas del mosquito si se hubiera atorado 3 hilos hacia la dere-cha.

c. ¿En qué coordenadas estaría colocada la araña si estuviera 8 hilos a la izquier-da de la mosca y 4 hilos arriba de la mari-quita?

6. En una oficina se usan dos marcas de tintas para imprimir. En la tabla se muestra la cantidad de hojas y tinta usada con cada marca.

a. Traza la gráfica que muestra el rendimiento de cada marca de tinta. b. ¿Qué forma tiene cada gráfica? c. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad para cada marca de tinta? d. ¿Cuántos mililitros de tinta, aproximadamente, se utilizarían de cada marca para imprimir 1

732 hojas?

Insectos Posición

Mosca (7, 9)Avispa (5, 2)

Mosquito (2, 3)Mariquita (4, 3)Mariposa (8,5)Libélula (8, 8)

Tinta (mL)Hojas impresas

Marca A Marca B

4 90 1208 180 240

12 270 36016 360 48020 450 60024 540 72028 630 840

x

y

01 126 48910 37 5 2 4 6 8 103 5 7 91

1

2

3

5

7

9

4

6

8

10

3

5

7

9

2

4

6

8

10

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Evaluación del trimestre 2

7. Encuentra el valor de cada ángulo. Considera que (CD) y (FG) son rectas paralelas.

AHJ JHC CHB AEF FEB BEG FIK KIG 50º GIJ KHC DHA 46º AEG FIJ KHB

8. La cantidad de helados por sabor que se vendieron en una nevería en un día es la que se indica:

chocolate, chicle, nuez, pistache, galleta, coco, fresa, chocolate, guanábana, vainilla, vainilla, chocolate, pistache, nuez, moca, coco, galleta, moca, fresa, vainilla, pistache, chicle, fresa, moca, coco, vainilla, fresa, pistache, moca, guanábana, chicle, nuez, chocolate, fresa, coco, moca, fresa, fresa, pistache, vainilla.

a. Completa la tabla y realiza la gráfica que la representa.

b. ¿Con qué medida de tendencia central se puede saber cuál sabor se prefiere más?

c. ¿Cuál es el sabor preferido? d. ¿Qué sabores tienen 7.5% de preferencia? e. ¿Qué sabor se encuentra en la mediana?

A

45°

50°B

C

D

EF

G

H

I

J

K

Sabor Cantidad Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Fresa

Chocolate

Vainilla

Pistache

Coco

Nuez

Guanábana

Chicle

Moca

Galleta

Total

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Evaluación del trimestreNombre

Grupo: Número de lista: 3Resuelve los problemas y revisa las respuestas con ayuda del profesor. Con base en los resultados que obtengas, retoma los contenidos que se te dificultaron.

1. Escribe los primeros 5 términos de la sucesión, o bien, la expresión algebraica que permite en-contrar el término n en cada caso.

a. an = 9n7

b. an = 5n + 3c. an = 2n

3d. 3, –3, –9, –15, –21… an = e. –1, 6, 13, 20, 27… an =

2. Observa las expresiones y haz lo que se pide.

• 3x 2 • 5x 3 • 4 2x • 3.5 x

a. Escribe la suma de todas las expresiones. b. Escribe dos expresiones equivalentes a la suma de las expresiones.

3. Subraya la solución de cada ecuación que se presenta.

a. 21x 77 43x 11 A) x 4 B) x 22

88 C) x 2288 D) x 4

b. 117 25x 26x - 30 A) x 87 B) x 51

87 C) x 147 D) x 5187

c. 0.68 1.8x 7.3x 2.13 A) x 8.31 B) x 0.5109 C) x 2.69 D) x 2.48

4. Indica con una las tablas que describen funciones lineales.

Boletos 2 4 6 8Costo 150 300 450 600

Lado del cuadrado 4 5 6 7Área 16 25 36 49

Paquetes de papel 3 6 9 12Monto por pagar 45 90 135 180

Aseo personal 1 2 3 4Agua consumida 45 88 129 168

( )

( ) ( )

( )

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Días 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Huevos recolectados 13

Días 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Huevos para la venta 13 31

5. Resuelve las ecuaciones y anota tus procedimientos en los recuadros.

a. 4(x 2.5) 7(12.2 0.5x)

b. 0.2(8.3 0.7x) 4.1(1.2x + 1.6) 3.2

6. En una granja se recogen 13 huevos cada 24 horas. ¿Cuántos huevos se habrán recolectado en 15 días?

a. Completa la tabla.

b. De los 13 huevos, la familia de la granja consume 8 cada tercer día y pone a la venta los de-más. ¿Cuántos huevos tendrán para la venta en el día 8? Completa la tabla.

c. Traza las gráficas de cada situación con los datos de las tablas.

d. ¿En cuál gráfica se muestra una variación lineal?

e. ¿Cuál es la razón de cambio en dicha gráfica?

f. ¿Cuántos huevos se habrán recolectado en 15 días?

Huevos recolectados

Núm

ero

de h

uevo

s

Días

y

x

Huevos para la venta

Núm

ero

de h

uevo

s

Días

y

x

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7. Grafica las rectas que representan las ecuaciones.

8. En cada caso, construye en el recuadro de la derecha un triángulo congruente.

a.

b.b.

y

x

y

x

y 14 x 2 y 1.3x 2.1

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Evaluación del trimestre 3

9. Elige la opción que relaciona correctamente las columnas.

a. Dos triángulos son 1. ALA I.congruentes si tienen dos lados iguales y el ángulo entre ellos mide lo mismo.

b. Dos triángulos son 2. LLL II.congruentes si tienen dos ángulos que miden lo mismoy el lado entre ellos es igual.

c. Dos triángulos son 3. LAL III.congruentes si sus treslados son iguales.

A) a. 3. III. B) a. 3. II. C) a. 3. II. D) a. 3. III. b. 2. II. b. 1. I. b. 1. III. b. 2. II. c. 1. I. c. 2. III. c. 2. I. c. 1. I.

10. En un centro comercial hay dos tipos de macetas. El grosor del material con el que están hechas es de 10 cm. Calcula:

a. El área de la base exterior de la maceta chica.

b. El área de la base interior de la maceta grande.

c. El volumen exterior de la maceta chica.

d. El volumen exterior de la maceta grande.

e. La capacidad de la maceta chica.

f. La capacidad de la maceta grande.

A

C

G

EF

B

A

C

FE

G

B

A

C

E

F

G

B

80 cm

75 cm75 cm 75 cm

120 cm

80 cm

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Respuestasde las evaluaciones

Evaluación diagnóstica

1. a.

b.

2. Faltan 145.7 litros para llenar la cisterna.

3. De 4 litros.

4 Quedan 2.8 litros en el recipiente.

5. 2 1712 kg de carne.

6. a. d.

b. e.

c. f.

7. a.

b. $12 c. $72 d. $183

e. 60 tacos f . 10 tacos cada uno.

8. ( e ) 12 ( c ) 160 ( a ) 450 ( d ) 60 ( f ) 300 ( b ) 5

9. a. 7, 19 b. 18, 486 c. 5, 7 d. 4, 16 e. 7.62, 10.16 f. 1.93, 3.83, 5.73

• R. M. Restando del 15 el 11 y verificando que cumpla para los demás términos de la sucesión.

• R. M. Encontrando el factor que genera todos los términos de la sucesión, en esta es el 2.

• No pertenece, en la secuencia d, el doble de 32 es 64 y en la secuencia c los números más cercanos son 49 y 51.

10. a.

b.

c.

174

43

45

23

1311

711

53

54

35

1511

711

14

Tacos Precio ($)5 60

10 12015 18020 24025 30030 36035 420

Refrescos Precio ($)1 152 303 454 605 756 907 105

0 14

35

54

53

711

1511

1 2

0 45

74

711

711

1 22314

3

...

...

Figura 2

Figura 4

Figura 1 Figura 2 Figura 5

Figura 3

Figura 5 Figura 8

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Respuestas • 17 círculos. R. M. Se observó la diferencia en-

tre la cantidad de círculos de una figura y otra. • R. M. Se obtuvo siguiendo la secuencia de

las figuras.

11.

12. a. b.

13. Área: 6.25 cm2 Área: 12.5 cm2

14. a. 25 unidades b. Automóviles c. Blanco d. Gráfica 1

15. a. 1, águila; 1, sol; 2, águila; 2, sol; 3, águila; 3, sol; 4, águila; 4, sol; 5, águila; 5, sol; 6, águila; 6, sol.

b. 1, blanca; 1, negra; 2, blanca; 2, negra; 3, blanca; 3, negra; 4, blanca; 4, negra; 5, blanca; 5, negra; 6, blanca; 6, negra.

Evaluación. Trimestre 1

1. a. E f. E k. E b. P g. M l. M c. M h. E m. E d. M i. P n. P e. P j. P o. M

2. a. ( ) 2235 ( ) 23

35

b. ( ) 287100 ( ) 291

100

c. ( ) 727

d. ( ) 2.17 ( ) 2.011

e. ( ) 5399 ( ) 87

99

f. ( ) 4.0315

3.

4.

5. a. 202 cierres. R. M. Se dividió 400 entre 1.98 para obtener el número de cierres que se pueden comprar.

b. 348 cierres

6.

a. Chocolates b. Cacahuates salados c. Cacahuate enchilado y pepitas

7.

A (4,5)B (3,3)C (4,5)D (3,1)E (4,5)

3

5 4

2

4 4

Proporcional o no proporcionalProporcional

No proporcionalProporcionalProporcional

2549 u2 1 u2

11.7 u2 0.36 u2

En fracción En número decimal1/5 0.2

4/25 0.1601/4 0.2501/3 0.331/5 0.2

Joaquín Heriberto Efraín Marcos107.28 108.72 106.56 108110.26 111.74 109.52 111113.24 114.76 112.48 114116.22 117.78 115.44 117119.2 120.80 118.4 120

122.18 123.82 121.36 123125.16 126.84 124.32 126

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Respuestas de las evaluaciones

a. R. M. Tomando dos valores consecutivos y restándolos o bien tomando la cantidad que se muestra y dividiéndola entre los días transcurridos hasta ese día.

b. Para Joaquín es 2.98, para Heriberto es 3.02, para Efraín es 2.96 y para Marcos es 3.

c.

8. 41.6% de la bolsa

9. a. El porcentaje de descuento que se aplicó es 12.5%, en pesos es 192.

b. Se pagó $1 680.

10. 141.37 cm

11. a.

b. 380 libros c. 280 libros

Evaluación. Trimestre 2

1. • b. 84, 73, 69, 74, 96 • a. 112, 57, 47, 35, 91 • a. 891, 457, 321, 333, 999

2. ( e ) 45 ( l ) 5.4

( a ) 3 ( k ) 3 1588

( d ) 50 ( g ) 1.4

( b ) 4 ( f ) 1112

( c ) 105 ( j ) 9.3

( h ) 27 ( i ) 6.1

( m ) 2 112 ( --- ) 5.4

3. a. 6.2 d. 87.8

b. 1320 e. 3 11

24

c. 19.8

4. • Sucesión 1

a.

b. 6.75 c. 75.75 d. an 0.75n 0.75

• Sucesión 2 a.

b. R. M. En cada figura aumentan dos cerillos. c. 8 cerillos d. 184 cerillos e. an 2n

LibrosFrecuencia

Absoluta RelativaFicción 580 29Clásicos 540 27Texto 180 9Romance 200 10Terror 260 13Infantiles 240 12Total 2 000 100%

1 2 3 4 5 6 7 81.5 2.25 3 3.75 4.5 5.25 6 6.75

35

110

100

130

120

140

37 3936 38 40 41 42

Kiló

met

ros

reco

rrid

os

Día

y

x

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Respuestas de las evaluaciones

5.

a. (5, 7) b. (1, 3) c. (1, 7)

6. a.

a. Línea recta b. Para la marca A la constante de proporcio-

nalidad es 0.04 y para la marca B es 0.03. c. De la marca A se utilizarían 76.97 mililitros

y de la marca B 57.73 mililitros.

7. AHJ 84° JHC 50° CHB 46° AEF 134° FEB 46° BEG 134° FIK 130° KIG 50° GIJ 130° KHC 50° DHA 46° AEG 46° FIJ 50° KHB 84°

8. a.

b. La moda c. Fresa d. Nuez y chicle e. Puede elegir entre pistache, vainilla y moca

porque tienen la misma frecuencia absoluta.

Evaluación. Trimestre 3

1. a. 9/7, 18/7, 23/7, 36/7, 45/7… b. 8, 13, 18, 23, 28… c. 2/3, 4/3, 2, 8/3, 10/3… d. 6n 9 e. an7n 8

2. a. 5x 8.5 b. 5 (x 1.7) y (6x 5) ( 3.5 x)

3. a. A) b. C) c. B)

Sabor Cantidad Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Fresa ||||| || 7 7/40Chocolate |||| 4 4/40

Vainilla ||||| 5 5/40Pistache ||||| 5 5/40

Coco |||| 4 4/40Nuez ||| 3 3/40

Guanábana || 2 2/40Chicle ||| 3 3/40Moca ||||| 5 5/40

Galleta || 2 2/40Total 40 1

Galleta

Fresa

Chocolate

Vainilla

PistacheCoco

Nuez

Guanábana

Chicle

Moca

Preferencia de helados

300

400

200

100

0 84 12 16 20 24 28

700

800

500

600

900

37 3936 38 40 41 42

Hoj

as im

pres

as

Tinta utilizada

Rendimiento de tinta impresora

y

x

x

y

1

1

0

Mosca

Mosca

Mariquitas

Mariposa

Mosquito

Avispa2

4

6

8

10

2345678910123

5

7

4

6

89

10

3

5

7

9

1 53 72 64 8 9 10

XLI

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4. ( ) ( ) ( ) ( )

5. a. 4x 10 85.4 3.5x 4x 3.5x 85.4 10 0.5x 95.4 x 95.4/0.5 x 190.8

b. 1.66 0.14x 4.92x 6.56 3.2 1.66 6.56 3.2 4.92x 0.14x 1.7 5.06x 1.7/5.06 x 0.335 x

6. a.

b.

c.

d. En la gráfica de los huevos recolectados

e. 13 f. 195

7. y 14 x 2

y 1.3x 2.1

8. a.

b.

9. B)

10. a. 5 625 cm2 e. 211 750 cm3

b. 5 500 cm2 f. 385 000 cm3

c. 450 000 cm3 d. 720 000 cm3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1013 26 39 52 65 78 91 104 117 130

1 2 3 4 5 6 7 8 9 1013 18 31 36 49 54 67 72 85 90

60

80

40

20

0 31 42 5 6 7 8 9

140

100

120

Núm

ero

de h

uevo

s

Días

Huevos recolectados

y

x10

60

80

40

20

0 31 42 5 6 7 8 9

140

100

120

Núm

ero

de h

uevo

s

Días

Huevos recolectados

y

x10

x

y

6

4

2

2 2

2

4

6

4 6 8 10 124 0

x

y

6

4

2

2 2

2

4

6

4 6 8 10 124 0

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Solucionario del libro

Solucionario del libroTrimestre 1Secuencia didáctica 1Practicar para avanzarPágina 20

1.

2.

3.

• R. M. Es con números decimales. • Sí, porque los convertí a números decimales. • 3.05, 2.8, 14/6,9/4,6/3,6/8, 0.35 y 0.15

Punto de llegadaPágina 23

1.

Secuencia didáctica 2Página 29

3. a.

1650

165 5 2

4

24

43 2 2 2

1418

143 3 2

2

15

25 3

39

33 3

1550

15

5 5 2

Punto de llegada

1. a.

b. Del total, el equipo de Luis recogió 1/3; es de-cir 15 kg. El de Esther recogió 8/45; es decir 8 kg. El de Sebastián recogió 9/45; es decir 9 kg y el de Regina recogió 13/45; es decir 13 kg.

Secuencia didáctica 4Página 41

2. c. 4 1/2 7/49/2 7/463/87 7/8; 1 5/6 11/511/6 11/5121/304 1/30; 2 4/7 7 8/1318/7 99/131782/91 19 53/91; 1 13/16 2 15/16 29/16 47/161363/2565 83/256

3. a. 5/4 de orden: mantequilla 5/8, azúcar 5/4, huevos 5/2, vainilla 15/8, cocoa 5/12, harina 15/16, polvo para hornear 5/16.

2 1/4 de orden: mantequilla 9/8, azúcar 9/4, huevos 9/2, vainilla 27/8, cocoa 3/4, harina 27/16, polvo para hornear 9/16.

Secuencia didáctica 5Practicar para avanzarPágina 43

1. a. Pablo gastó $625 porque no obtiene des-cuento; Alejandra gastó $1 350 porque cada boleto le cuesta $112.50 y Mónica gastó $2 593.75 porque cada boleto le cuesta $103.75.

b. Ambos pagarán lo mismo porque por 9 boletos se pagarán $1 125, y por 10 bole-tos también, al aplicarse el descuento.

c. Es más conveniente comprar 20 boletos pues se pagarán $2 075 por el descuento y por 19 boletos se pagarán $2 137.50.

Secuencia didáctica 8Página 59

1. b. En relaciones de proporcionalidad, cuan-do una cantidad aumenta, la otra también lo hace. Si el número de tazas de pintura amarilla es 12 entonces aumentó el triple de lo inicial que eran 4; por lo que el núme-ro de tazas de pintura roja será 9, que es el

0.35 2.8

3.050.15

Fracción DecimalLuis 15/45 0.3

Esther 8/45 0.17Sebastián 9/45 0.2

Regina 13/45 0.28

63

146

0

94

68

0.15

0.35 2.8 3.050 68

63

94

146

1.75 2

1.85

1

1 78

10111

9101

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triple de la cantidad inicial que es 3. c. A 3 tazas de pintura roja le corresponden 4

tazas de pintura amarilla, a 1 taza de pintura roja le corresponden 4/3 de taza de pintura amarilla. Por tanto, a 2 tazas de pintura roja le corresponden 8/3 tazas de pintura roja.

Punto de encuentroPágina 105

3. Baja California, Sonora, Chihuahua, Sinaloa, Durango, Zacatecas, Nayarit, Coahuila, Ta-maulipas, San Luis Potosí, Aguascalientes, Guanajuato, Querétaro, Hidalgo, Tlaxcala, Morelos, Guerrero, Oaxaca, Tabasco, Yucatán y Quintana Roo.

e. Campeche. 1182956/100% 283025/x ⇒ x 23.93%

CDMX. 29035495/100% 2011684/x ⇒ x 69.28%

México. 18033724/100% 1846116/x ⇒ x 10.24%

Sonora. 884273/x 100% 884273/x ⇒ x 23.68%

Oaxaca. 4232140/100% 264251/x ⇒ x 6.24%

En la Ciudad de México por cada 100 habi-tantes, aproximadamente 69 viven en la ciu-dad. Es decir, la población se concentra en ese punto. En Campeche y Sonora aproxima-damente una cuarta parte de la población se concentra en la ciudad. En México, por cada 100 habitantes aproximadamente 10 viven en la ciudad, en Oaxaca, por cada 100 habi-tantes solo 6 viven en la ciudad.

Trimestre 2Secuencia didáctica 16Practicar para avanzarPágina 113

1.

Punto de llegadaPágina 115

1.

Secuencia didáctica 21Página 143 Página 145

1. b. 2.

Página 148

1. a.

6 p

m

3 p

m

5 a

m

8 a

m

4 3 2 1 0 1 2 3 4 65 7

Gan

so a

siát

ico

Tibu

rone

sTo

rtug

as m

arin

as

Cach

alot

es

2 1 0 1 2 43 5 6 7

y

1

2

0.5

0.5

1.5

1

0

1.5

2.5

1

(9,1)

(8, 2) (5, 2)

(2,1)

x

y

1

6

0 1

(4, 6)

(4, 1.25)

(4,0.25)

(4,8)

23457689

54321

23

5

7

4

6

8

2 3 4 5

x

y

14724

86

10

14

18

12

16

20

258 36910

(8, 16)

(6, 12)

(4, 8)

(2, 4)

(2,4)

(4,8)

(6,12)

(8,16)

(10,20)

(0, 0)0

2468

10

14

18

12

16

20

1 53 72 64 8 9 10

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Solucionario del libro

Practicar para avanzarPágina 149

1. a.

Página 151

2. c.

Punto de llegadaPágina 152

1. d.

2.

Secuencia didáctica 23Punto de llegadaPágina 161

2. a. Ángulos alternos internos. Son aquellos que se encuentran dentro de las paralelas y además en distinto lado de la transversal.

Ángulos alternos externos. Son aquellos que se encuentran fuera de las paralelas y además en distinto lado de la transversal.

Opuestos por el vértice. Son aquellos que se oponen y comparten vértice.

Ángulos adyacentes o suplementarios. Son aquellos que se encuentran uno a lado del otro y además su suma es de 180º.

Ángulos correspondientes. Son aquellos que están del mismo lado de la transver-sal y además uno dentro y el otro fuera de las paralelas.

b. Sí, por ejemplo, 110º y 70º son ángulos ad-yacentes y a la vez suplementarios.

Secuencia didáctica 24Practicar para avanzarPágina 163

2. R. M. Se necesita conocer la medida de dos ángulos que no sean congruentes entre si. Por ejemplo, si el ángulo TAO 53° y el án-gulo ROM 32°, las medidas de los demás ángulos serán TOA 32°, ATO 95°, RMO 95° y ORM 53º.

Secuencia didáctica 26Página 173

3. Encuesta. Son cuestionamientos que se ha-cen a varias personas para obtener informa-ción sobre un determinado asunto.

Entrevista. Conversación entre dos personas o más, la cual está basada en una serie de preguntas.

Observación. Nota escrita que explica o acla-ra un dato o información.

A

B

C

DE F

G

H

I

J

0

70

60

50

50

40

20

1010 10

10

2020

P (a

tm)

T (K)

y

x0 149 245 341 405

2

4

6

8

10

Prec

io p

or li

tro

($)

Litros comprados (L)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

40

60

Venta de caféy

x

26 48101214161820

2

2

2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

4A B C D E F G JI

x

y

4

(2, 4)

(3,4)

0

3

2

11 1

1

3

2

4

32 42

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Trimestre 3Secuencia didáctica 30Página 201

1. i. 5 (n 3) es una suma abreviada que es equivalente a (n 3) (n 3) (n 3) (n 3) (n 3). Agrupar los términos con la variable n y por otra parte las constantes: es decir, n n n n n 3 3 3 3 3; así la suma de los términos con la variable n es 5n y la suma de los términos constantes es 15. La regla es equivalente a 5 (n 3) es 5n 15.

• R. M. Para la regla n 3 es:

Una representación que describe la suce-sión al multiplicar por 5 cada sumando es:

• R. M. Para la regla 5n 15 es:

Secuencia didáctica 31Página 205

2. i. La incógnita será a de acierto, la ecuación que modela el problema es 40a 80 2560.

ii. 40a 80 80 256080, entonces se tiene 40a 2480. No cambia la solución ya que en ambos lados de la igualdad se resta la misma cantidad.

iii. 40/40 a 2480/40, entonces se tiene a 62. No cambia la solución ya que en am-bos lados de la igualdad se dividió por 40.

iv. La igualdad es verdadera en todos los casos, por ende las tres ecuaciones son equivalentes.

3. a. p/622.8; p /6222.82; p/64 .8; 6(p/6)6(4.8); p28.8

b. 3x2/154/5; 3x2/152/154/52/15; 3x14/15; 3x/3(14/15)/3; x14/45

c. 2n/31.213; 2n/31.21.2131.2; 2n/314.2; 3(2n/3)3(14.2); 2n42.6; 2n/242.6/2; n21.3

Página 213

2. a.

Punto de llegadaPágina 216

1. a. c.

b.

d.

Tabla 1. Diferencia de datosVariable independiente Variable dependiente

2000 1 995 5 128 149 212005 2 000 5 107 128 212010 2 005 5 86 107 21

Tabla 2. Diferencia de datosVariable independiente Variable dependiente

2000 1 995 5 668 790 1222005 2 000 5 656 668 122010 2 005 5 648 656 8

x y0 31 2.52 2

4.5 0.75

x y3 5

2.5 51.5 5

0 51 52 5

4.5 5

x y3 6.9

2.5 4.551.5 0.15

0 7.21 11.92 16.6

4.5 28.35

x y0 101 52 0

4.5 12.5

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Solucionario del libro

2. La función y 1/2 x 3 es lineal.

La función y 5 es constante.

La función y 4.7 x 7.2 es constante.

La función y 5 x 10 es lineal.

c. • a, c y d, son lineales. b es no lineal. • a no es positivo en los valores dados. b es

positiva en todos los valores dados; de 3 a 4.5. c, de 1.53 a 4.5 y d, de 2 a 4.5.

• a, es negativa para todos los valores de x. Para b no existe intervalo en el que la varia-ble dependiente sea negativa. En c, de 3 a 1.53 y en d, de 3 a 2.

• En todos los casos, 3 y 4.5 ya que se con-sideraron valores específicos de x.

• En el intervalo dado: a. Eje x: No interse-ca, Eje y: (0, 3). b. No existe intersección, Eje y: (0, 5). c. Eje x: (1.53, 0), Eje y: (0, 7.2). d. Eje x: (2, 0), Eje y: (0, 10)

Secuencia didáctica 34Practicar para avanzarPágina 228

1. a.

Punto de llegadaPágina 229

1. a.

b.

Secuencia didáctica 35Punto de llegadaPágina 233

2. c.Edad de Alejandra (x) Edad de mamá (y)

0 271 282 293 304 315 326 337 348 359 36

10 3711 3812 3913 4014 4115 42

y

x

(0,3)(1,2.5)

(2,2)

(4.5,0.75)4.53.52.50.50.5 1

1

1

1

3

2

4

2 3 41.50

0.51.52.5 123 04

4.2

3.8

3.6

4.4

0.5 1.51 2

4.6

4.8

5

y

x2.5 3.5 4.53 4 5

0.51.52.5 123 0

5

10

0.5 1.51 2

y

x2.5 3.5 4.53 4 5

15

25

20

30

(3,6.9)(2.5,4.55)

(1.5, 0.15)(1, 11.9)

(2, 16.6)

(4.5, 28.35)

(0, 7.2)

5

10

02

24

64

810

0.5

(0,10)

(1,5)

(2,0)0.5 1

(4.5,12.5)

y

x1.5 2.5 3.5 5.52 3 4

68

1012

510(0,10) (1,10)

(3,20)

(4,30) (5,30)

(6,20)

(7,0)

30

20

10

0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 6.51 2 3 4 5 6 7

25

15

5

0

y

x

1520

(2,20)

1

4

2

5

7

3

6

89

(0, 0)

(0.8, 6)

1, 7.5)

y

x

10

0 0.2 0.6 1 20.4 0.8 1.2 1.61.4 1.8

y

x0 0.1 0.3 10.2 0.4 0.5 0.6 0.80.7 0.9

200

140

180

120

160

10080

4060

20

(1, 121)

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Formato de planeaciónSecuencia didáctica

Trimestre: Eje temático: Aprendizaje esperado:

Tema:

Duración: Número de sesiones:

Periodo: del al de

Desarrollo de la secuencia didáctica

Sesión Actividades Páginas del libro del alumno

XXX

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MATEMÁTICAS 1A p r e n d i z a j e s C l a v e p a r a l a E d u c a c i ó n I n t e g r a l

María Trigueros Gaisman ■ María Dolores Lozano SuárezIvonne Twiggy Sandoval Cáceres ■ Mercedes Cortés Lascurain

Emanuel Jinich Charney ■ Mónica Inés Schulmaister

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La presentación y disposición en conjunto y de cada página de Matemáticas 1 de la serie Fortaleza Académica son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.© 2018 por María Trigueros Gaisman, María Dolores Lozano Suárez, Mónica Inés Schulmaister, Ivonne Twiggy Sandoval Cáceres, Emanuel Jinich Charney, Mercedes Cortés Lascurain

D. R. © 2018 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. de C. V. Avenida Río Mixcoac 274 piso 4, colonia Acacias, C. P. 03240, delegación Benito Juárez, Ciudad de México

ISBN: 978-607-01-3893-5Primera edición: abril de 2018

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana.Reg. núm. 802

Impreso en México/Printed in Mexico

Este libro fue elaborado en Editorial Santillana por el equipo de la Dirección General de Contenidos.

IlustraciónJosé Enrique Márquez Flores

Fotografía de interioresShutterstockGettyimages

Fotografía de portadaShutterstock

1

MATEMÁTICAS

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Cuando trabajas en equipo intercambias ideas y estrategias, lo que enriquece tu aprendizaje.

Presentación

Querido alumno:

Con este libro queremos darte la bienvenida a tu primer curso de Matemáticas de secun-daria. Durante su elaboración cuidamos cada detalle para que continúes aprendiendo a razonar y resolver problemas con las herramientas que la asignatura te proporcionará. Decidimos enriquecer este libro con una gran diversidad de contextos pensando en que tu proceso de aprendizaje sea no solo completo y lleno de significado, sino también in-teresante y entretenido.

A lo largo del libro encontrarás problemas y situaciones que te llevarán a construir ideas matemáticas. Algunas de ellas te ayu-darán a comunicar mejor tus argumentos para justificar tus pro-cedimientos y a comprender las nuevas técnicas con las que te irás familiarizando paulatinamente. Encontrarás también mu-chas oportunidades de reflexionar de manera individual y en grupo. Te invitamos a compartir tus ideas para resolver los pro-blemas, y a escuchar y tomar en cuenta las de tus compañeros de clase. Esto te ayudará a construir conceptos y a desarrollar el pensamiento analítico, que es propio de las matemáticas.

Cuando estudias matemáticas pones en juego todo lo que has aprendido. Por ello, cada vez que te encuentres ante un nuevo reto, decide cuáles conceptos y procedimientos pueden serte útiles y cuáles debes descartar. Algunas decisiones pueden llevarte a no encontrar la solución, así que prueba con otras e inténtalo las veces que sea necesario. Imaginar nuevas formas de trabajar los problemas te conducirá a desarrollar nuevas ha-bilidades y a adquirir nuevos conocimientos matemáticos. Una idea puede ser enrique-cida escuchando a los demás, recuerda que juntos, como grupo, podrán establecer las relaciones entre lo que sabían y lo que están aprendiendo.

Por medio de secuencias didácticas, divididas en lecciones, el texto te guiará para al-canzar diferentes acercamientos a cada concepto. La diversidad de problemas y retos te permitirá profundizar en los conocimientos matemáticos y lograr un aprendizaje más sólido. Con empeño, reflexión constante y valiéndote de argumentos, propios y compar-tidos, podrás desarrollar diversas estrategias para resolver cada problema y comprender la relevancia de las matemáticas en la sociedad que te rodea.

Nuestro principal objetivo al escribir este libro es que construyas de manera significativa los aprendizajes esperados y te familiarices con la forma de pensar en matemáticas. Así po-drás hacer de las matemáticas una herramienta útil para identificar y resolver problemas en otros contextos y en tu vida personal. Estamos seguros de que el esfuerzo que hemos puesto al escribirlo se verá reflejado en tu aprendizaje. Disfrútalo mucho.

Los autores

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¿Cómo trabajarásen este curso?

MatemáticasConocimientos

Resultados y conclusiones

Problemas

Nuevas técnicas y

procedimientos

ampli

ar validar

desa

rrolla

rresolver

¿Para qué sirven las matemáticas?

Mediante el trabajo con este libro aprenderás que las matemáticas son la herramienta que te permitirá enfrentar y resolver muchos problemas que pueden presentarse a lo lar-go de la vida. Desarrollarás diversas formas de analizar problemas, aprenderás técnicas y procedimientos que se han construido a lo largo de muchos años, los cuales te permiti-rán no solo resolverlos, sino también aportar argumentos que justifiquen tus resultados y te ayuden a validar tus conclusiones.

Lo anterior se resume en el siguiente esquema:

¿Qué encontrarás en el libro?

Los problemas con los que se inicia cada secuencia didáctica están planteados en diver-sos contextos que te resultarán interesantes. Las actividades que los acompañan tienen como finalidad que utilices lo que has aprendido previamente y des significado a nuevos aprendizajes. Asimismo, buscamos que reflexiones sobre aspectos de los problemas que te permitirán trabajarlos con diferentes estrategias y que desarrolles la capacidad de ra-zonar en distintos ámbitos y con herramientas diversas.

Entre los propósitos de este libro, también están que desarrolles tu imaginación y tu ca-pacidad de organizar y analizar información para encontrar patrones y hacer nuevos cuestionamientos. Además, queremos que aprendas mediante la reflexión y la compren-sión técnicas aritméticas, geométricas, algebraicas o estadísticas que te resulten útiles y significativas.

Desarrollar estas capacidades no es fácil. Para ello, es importante que te comprometas con tu propio aprendizaje y con el de tus compañeros por medio del trabajo colaborati-vo que estará presente en cada una de las secuencias didácticas que conforman este li-bro. Es importante que consideres que, en un equipo, cada uno de los integrantes debe trabajar conjuntamente con los demás y escuchar varios puntos de vista con una actitud abierta y respetuosa hacia las opiniones de los demás.

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¿Cómo trabajarásen este curso?

¿Cómo trabajarás en el libro?

Las secuencias se dividen en lecciones. Cada una empieza con un “Punto de partida”, que es un problema, para que retomes y apliques tus conocimientos previos. Después, en el “Trayecto formativo”, encontrarás actividades individuales y colectivas que promueven la reflexión sobre tus acciones y tu aprender a aprender. Además, en esta sección se incluyen también conceptos y procedimientos que sintetizan los contenidos que trabajaste.

El aprendizaje, en general, y el de las matemáticas en particular, requieren de oportunida-des para practicar lo que se ha estudiado. Por ello incluimos a lo largo del libro la sección con ejercicios y problemas de aplicación llamada “Practicar para avanzar”, que te permiti-rán hacer un seguimiento personal de tu progreso. Por último, cada secuencia se cierra con una serie de preguntas en la sección “Punto de llegada”, para que tengas la oportunidad de valorar si comprendiste los temas y conceptos que estudiaste. Si tienes dudas es importan-te que tengas la confianza de comentarlas con tu profesor y compañeros de grupo.

Secciones para saber más

Para complementar el trabajo de las secuencias didácticas, incluimos secciones que tie-nen objetivos específicos y que te ayudarán a mejorar tus capacidades de solucionar problemas, de argumentación y de reflexión.

“Resuelvo con tecnología”. La tecnología está presente en la vida cotidiana, pero tam-bién es un recurso importante en el aprendizaje de las matemáticas. Por una parte, per-mite agilizar los cálculos y, más importante aún, proporciona herramientas dinámicas que te permiten simular, imaginar, predecir y reflexionar sobre situaciones matemáticas y analizar problemas en distintos contextos.

¿Cómo reviso mi avance?

“Punto de encuentro”. Presenta problemas en contextos diversos que te permitirán aden-trarte en la relación de las matemáticas con otras disciplinas como la geografía y cien-cias de la salud, entre otras. Con la intención de que integres tu conocimiento general y reconozcas cómo las matemáticas permiten resolver problemas que aparentemente son muy distintos, pero que, vistos desde su estructura, son similares.

“Reviso mi trayecto”. El desarrollo de tu capacidad de autoevaluación es un objetivo im-portante de este libro. Para ello, cada mes te enfrentarás a problemas en los que deberás aplicar e integrar lo que has aprendido. Nuestra intención es que hagas una pausa, revi-ses y reflexiones sobre lo aprendido y aquello que se te dificulta. Esto es necesario para que tu profesor te ayude a superar las dificultades antes de continuar con el estudio de otros temas y conceptos matemáticos, ya que todos se relacionan de alguna manera.

“Valoro mis fortalezas”. Al final de cada trimestre encontrarás nuevos problemas con los cuales podrás tener un panorama más amplio de tus avances y áreas de oportunidad.

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Índice

3 Presentación

4 ¿Cómo trabajarás en este curso?

12 Así es tu libro

TRIMESTRE 1 16

Secuencia didáctica 2 24Fracciones y decimales• Expresas con notación decimal fracciones decimales

y no decimales. Conviertes fracciones decimales a notación decimal y viceversa. Clasificas números decimales en exactos y periódicos.

Lección 1. Fracciones y el tiempoLección 2. Conversión de fraccionesLección 3. De decimal a fracción

Resuelvo con tecnología 30Conversión de fracciones no decimales en notación decimal usando una hoja de cálculo

Secuencia didáctica 3 32Uso de fracciones y decimales• Exploras la noción de densidad. Aproximas fracciones

no decimales usando la notación decimal y analizas la pertinencia del uso de fracciones en lugar de decimales.

Lección 1. Fracciones de tiempoLección 2. Aplicando la propiedad de densidadLección 3. ¿Fracciones o decimales?

Secuencia didáctica 4 38Multiplicación de fracciones• Resuelves problemas que impliquen multiplicar

fracciones.

Lección 1. Fracciones y áreasLección 2. Producto de fracciones mixtas

Secuencia didáctica 5 42Multiplicación de decimales• Resuelves problemas que implican la multiplicación

de números decimales.

Lección 1. Natural por decimalLección 2. Decimal por decimal

Reviso mi trayecto 47

Secuencia didáctica 1 18Fracciones y decimales en la recta• Comparas y ordenas números fraccionarios y

decimales, y los ubicas en la recta numérica. Distingues entre fracciones decimales y no decimales.

Lección 1. La recta numéricaLección 2. Ubicación de números decimalesLección 3. De fracción a decimal

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Secuencia didáctica 6 48División con decimales• Resuelves problemas que implican divisiones con

números decimales.

Lección 1. Reparto equitativoLección 2. Decimales en el divisor y el dividendo

Secuencia didáctica 7 52Proporcionales y no proporcionales• Identificas situaciones proporcionales y no

proporcionales. Usas constantes de proporcionalidad fraccionarias o decimales (con fracciones o decimales mayores, menores e iguales a uno).

Lección 1. Relaciones de proporcionalidadLección 2. Valor unitarioLección 3. Proporcionalidad y multiplicación

de fracciones

Secuencia didáctica 8 58Valor faltante y proporcionalidad• Resuelves problemas de proporcionalidad en los que

se calcula el valor unitario y del tipo valor faltante, a través de las propiedades de la proporcionalidad (razones externas e internas). Usas tablas y gráficas de proporcionalidad directa.

Lección 1. Propiedades de la proporcionalidadLección 2. Uso del valor unitario para resolver

problemasLección 3. Tablas y gráficas de proporcionalidad

Secuencia didáctica 9 64Regla de tres• Comprendes y usas la regla de tres en problemas

diversos.

Lección 1. Proporcionalidad y valor unitarioLección 2. La regla de tres y el valor unitario

Secuencia didáctica 10 68Porcentaje como proporcionalidad• Identificas el porcentaje como un caso particular de la

proporcionalidad.

Lección 1. Significado de porcentaje

Lección 2. Propiedades de la proporcionalidad y porcentaje

Secuencia didáctica 11 72Problemas de porcentaje• Resuelves problemas que implican calcular el

porcentaje, el tanto por ciento o la cantidad base.

Lección 1. Distintas representaciones de un porcentajeLección 2. Cantidad baseLección 3. Cálculo de la cantidad base

Secuencia didáctica 12 78Perímetro• Deduces, comparas y aplicas fórmulas para calcular

perímetros de polígonos (triángulos y cuadriláteros) usando literales.

Lección 1. ¿Cuántos lados tiene una figura?Lección 2. Perímetros y literales

Resuelvo con tecnología 83Construcción y perímetro de cuadriláteros

Reviso mi trayecto 85

Secuencia didáctica 13 86Perímetro del círculo• Deduces, comparas y aplicas fórmulas para calcular el

perímetro del círculo.

Lección 1. Círculo y circunferenciaLección 2. Diámetro del círculo

Secuencia didáctica 14 90Áreas de triángulos y cuadriláteros• Deduces, comparas y aplicas fórmulas para calcular

el área de triángulos y cuadriláteros, usando literales. Calculas cualesquiera de las dimensiones involucradas en la fórmula.

Lección 1. Área de rectángulos y cuadradosLección 2. El romboideLección 3. El área del trapecioLección 4. Obtención de datos faltantes

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Secuencia didáctica 15 98Gráficas circulares• Lees e interpretas datos en gráficas circulares.

Construyes gráficas circulares.

Lección 1. Hacer un pastel diferenteLección 2. Guía para construir una gráfica circularLección 3. Construcción de gráficas

Punto de encuentro 104

Reviso mi trayecto 106

Valoro mis fortalezas 107

Secuencia didáctica 16 112Números enteros• Comparas y ordenas números enteros.

Lección 1. ProfundidadLección 2. Comparación de números enteros

Secuencia didáctica 17 116Sumas con números enteros• Resuelves problemas que implican suma y resta de

números enteros.

Lección 1. El juego de los dadosLección 2. Sumas en la recta numéricaLección 3. Resta de enteros con fichas

Secuencia didáctica 18 122Fracciones y decimales positivos y negativos• Resuelves problemas que impliquen suma y resta de

fracciones y decimales positivos y negativos.

Lección 1. Temperaturas sobre cero y bajo ceroLección 2. Suma y resta de fraccionesLección 3. Valor absoluto y puntaje

Secuencia didáctica 19 128Jerarquía de operaciones• Determinas y utilizas la jerarquía de operaciones y los

paréntesis en operaciones con números naturales, enteros y decimales.

Lección 1. Orden de las operacionesLección 2. El uso de paréntesisLección 3. Resolución de operaciones

Reviso mi trayecto 135

Secuencia didáctica 20 136Sucesiones• Usas distintas representaciones: verbal, en dibujos,

tabular y algebraica para representar problemas y sucesiones. Formulas expresiones algebraicas.

Lección 1. Descripción de patronesLección 2. Sucesiones y expresiones algebraicasLección 3. Sucesiones numéricas

Secuencia didáctica 21 142El plano cartesiano• Resuelves situaciones que impliquen la ubicación de

puntos en el plano cartesiano.

TRIMESTRE 2 110

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Índice

Lección 1. Ubicación de puntos en el plano cartesianoLección 2. Utilidad del plano cartesiano

Secuencia didáctica 22 146Situaciones de variación• Interpretas situaciones de variación a partir de su

representación tabular, gráfica y verbal. Comparas diversos tipos de variación usando diferentes representaciones.

Lección 1. Interpretación de la variaciónLección 2. Variación directaLección 3. Diferentes tipos de variación

Resuelvo con tecnología 153Situaciones de variación lineal y no lineal

Reviso mi trayecto 155

Secuencia didáctica 23 156Ángulos y rectas• Deduces y utilizas las propiedades de los ángulos

formados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal.

Lección 1. Posiciones relativas entre rectasLección 2. Ángulos entre rectasLección 3. Otros ángulos entre rectas II

Secuencia didáctica 24 162Ángulos interiores de triángulos• Deduces las propiedades de los ángulos interiores de

triángulos.

Lección 1. ¿Cuánto suman los ángulos de cualquier triángulo?

Lección 2. Triángulos y propiedades de rectas paralelas

Secuencia didáctica 25 166Ángulos interiores de cuadriláteros• Deduces las propiedades de los ángulos interiores de

cuadriláteros y las utilizas en diversos contextos.

Lección 1. Cuadriláteros en la Naturaleza Lección 2. Problemas con otros cuadriláteros

Resuelvo con tecnología 170Ángulos entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal

Suma de los ángulos interiores de triángulos y cuadriláteros

Secuencia didáctica 26 172Gráficas y proyecto estadístico

• Usas las gráficas circulares en proyectos estadísticos.

Lección 1. ¿Cómo son mis compañeros?Lección 2. Planeación de un proyecto estadísticoLección 3. Construcción de la gráfica y presentación

de resultados

Secuencia didáctica 27 178Probabilidad frecuencial• Realizas experimentos aleatorios y registras los

resultados como una introducción a la probabilidad frecuencial.

Lección 1. De las frecuencias a la probabilidad Lección 2. De la probabilidad frecuencial a la certeza

Secuencia didáctica 28 182Medidas de tendencia central• Usas e interpretas las medidas de tendencia central

(moda, media aritmética y mediana), el rango y la dispersión de un conjunto de datos. Decides cuál de ellas conviene más en el análisis de los datos en cuestión.

Lección 1. Media aritméticaLección 2. ¿Cómo se agrupan los datos?Lección 3. ¿Hacia el centro o hacia los costados?

Punto de encuentro 188

Reviso mi trayecto 190

Valoro mis fortalezas 191

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Secuencia didáctica 29 196Análisis de sucesiones• Analizas sucesiones simples y a partir de ellas

formulas expresiones algebraicas.

Lección 1. Descripción de sucesionesLección 2. Análisis de sucesiones de figuras

Secuencia didáctica 30 200Expresiones algebraicas• Usas diferentes expresiones algebraicas para

analizar las propiedades de las sucesiones. Analizas la equivalencia de expresiones aplicando reglas de transformación.

Lección 1. Expresiones algebraicas y sucesionesLección 2. Equivalencia de expresiones algebraicas

Secuencia didáctica 31 204Ecuaciones lineales• Analizas, modelas y resuelves ecuaciones lineales

del tipo Ax B 5 C y de la forma Ax B 5 Cx D. Aplicas el significado de igualdad para encontrar equivalencia entre expresiones algebraicas o numéricas.

Lección 1. Expresiones algebraicas y ecuacionesLección 2. El juego de la balanzaLección 3. El juego de la balanza IILección 4. Las ecuaciones y su solución

Secuencia didáctica 32 212Funciones lineales y no lineales• Distingues entre funciones lineales y no lineales

utilizando distintas representaciones. Analizas en qué intervalos las funciones son negativas o positivas, crecientes o decrecientes.

Lección 1. Comparación de funcionesLección 2. Función lineal

Reviso mi trayecto 217

Secuencia didáctica 33 218Ecuaciones lineales con paréntesis• Resuelves ecuaciones lineales que involucren el uso

de paréntesis. Solucionas problemas que requieren varios pasos utilizando ecuaciones lineales.

Lección 1. Más ecuaciones linealesLección 2. Comparación de métodos de soluciónLección 3. Ecuaciones lineales equivalentes

Secuencia didáctica 34 224Variación lineal y el cambio• Analizas la razón de cambio de un proceso o

fenómeno que se modela con una función lineal.

Lección 1. Situaciones de cambioLección 2. Variación lineal y no linealLección 3. Razón de cambio en la variación lineal

Secuencia didáctica 35 230Variación conjunta entre variables• Deduces la expresión algebraica de una función a

partir de su tabla o gráfica y solucionas problemas que se describen por medio de funciones lineales.

Lección 1. Tablas, gráficas y expresiones algebraicasLección 2. Resolución de problemas con ecuaciones

de la forma y 5 mx b

Resuelvo con tecnología 234Gráficas de funciones lineales

TRIMESTRE 3 194

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Índice

Secuencia didáctica 36 236Construcción de triángulos y cuadriláteros• Construyes triángulos y cuadriláteros.

Lección 1. Construcción de triángulosLección 2. Otras construcciones

Secuencia didáctica 37 240Réplicas de triángulos• Construyes triángulos congruentes y desarrollas los

criterios de congruencia.

Lección 1. Datos para construir un triángulo congruente

Lección 2. Datos para reproducir un triánguloLección 3. Criterios de congruencia de triángulos

Resuelvo con tecnología 247Construcción de triángulos

Construcción de un triángulo rectángulo y un triángulo isósceles

Reviso mi trayecto 249

Secuencia didáctica 38 250Propiedades de paralelogramos• Usas los criterios de congruencia de triángulos para

justificar algunas propiedades de los paralelogramos.

Lección 1. ¿Cuáles cuadriláteros son paralelogramos?Lección 2. Ángulos opuestos de los paralelogramos

Secuencia didáctica 39 254Volumen de prismas• Deduces y aplicas fórmulas para calcular el volumen

de prismas rectos cuya base sea un cuadrilátero o un triángulo. Resuelves problemas que impliquen el cálculo del volumen.

Lección 1. Volumen de prismas rectangularesLección 2. Volumen de un prisma cuadrangularLección 3. El volumen de los prismas y datos faltantes

Secuencia didáctica 40 260El decímetro cúbico y el litro

• Exploras la relación entre el decímetro cúbico y el litro y la relación entre capacidad y volumen. Resuelves problemas que implican calcular volumen y capacidad.

Lección 1. Envases de un litroLección 2. El volumen de una cisterna

Punto de encuentro 264

Reviso mi trayecto 266

Valoro mis fortalezas 267

270 Fuentes de información

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Así es tu libro

En este trimestre:

• Resolverás problemas de suma y resta con números enteros, fracciones y decimales positivos y negativos.

• Determinarás y usarás la jerarquía de operaciones y los paréntesis en operaciones con números naturales, enteros y decimales (para multiplicación y división, solo números positivos).

• Analizarás y compararás situaciones de variación lineal a partir de sus representaciones tabular, gráfica y algebraica. Interpretarás y resolverás problemas que se modelan con estos tipos de variación.

• Formularás expresiones algebraicas de primer grado a partir de sucesiones y las utilizarás para analizar propiedades de la sucesión que representan.

• Analizarás la existencia y unicidad en la construcción de triángulos y cuadriláteros, y determinarás y usarás criterios de congruencia de triángulos.

• Recolectarás, registrarás y leerás datos en gráficas circulares.

• Usarás e interpretarás las medidas de tendencia central (moda, media aritmética y mediana) y el rango de un conjunto de datos, y decidirás cuál de ellas conviene más en el análisis de los datos en cuestión.

• Realizarás experimentos aleatorios y registrarás los resultados para un acercamiento a la probabilidad frecuencial.

Las matemáticas en las redes sociales

Hoy, muchas aplicaciones y redes sociales te permiten editar tus fotografías a través de filtros y efectos de color. Una de las más populares es Instagram.

¿Sabías que al aplicar un filtro a una imagen estás usando matemáticas? Para que pue-das usar un filtro en una imagen, el programa, aplicación o red social requiere un algorit-mo matemático que le permite modificar cada pixel.

Un pixel es la menor unidad de color de una imagen digital y se compone de tres valores numéricos.

Existen filtros sencillos como el de Escala de grises, que toma los tres valores del pixel y calcula la media aritmética para luego sustituir los tres valores que tenía el pixel por el obtenido en el cálculo.

¿En qué otras actividades crees que usas matemáticas?

Trimestre 2 Los filtros de color permiten editar fotografías. En la imagen se apre-cia un ejemplo de la aplicación del filtro Escala de grises, donde cada sección tiene un porcentaje diferen-te de color.

110 111

¿Cómo trabajarásen este curso?

MatemáticasConocimientos

Resultados y conclusiones

Problemas

Nuevas técnicas y

procedimientos

ampli

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rrolla

rresolver

¿Cómo trabajarás en el libro?

Las secuencias se dividen en lecciones. Cada una empieza con un “Punto de partida”, que es un problema, para que retomes y apliques tus conocimientos previos. Después, en el “Trayecto formativo”, encontrarás actividades individuales y colectivas que promueven la reflexión sobre tus acciones y tu aprender a aprender. Además, en esta sección se incluyen también conceptos y procedimientos que sintetizan los contenidos que trabajaste.

El aprendizaje, en general, y el de las matemáticas en particular, requieren de oportunida-des para practicar lo que se ha estudiado. Por ello incluimos a lo largo del libro la sección con ejercicios y problemas de aplicación llamada “Practicar para avanzar”, que te permiti-rán hacer un seguimiento personal de tu progreso. Por último, cada secuencia se cierra con una serie de preguntas en la sección “Punto de llegada”, para que tengas la oportunidad de valorar si comprendiste los temas y conceptos que estudiaste. Si tienes dudas es importan-te que tengas la confianza de comentarlas con tu profesor y compañeros de grupo.

Secciones para saber más

Para complementar el trabajo de las secuencias didácticas, incluimos secciones que tie-nen objetivos específicos y que te ayudarán a mejorar tus capacidades de solucionar problemas, de argumentación y de reflexión.

“Resuelvo con tecnología”. La tecnología está presente en la vida cotidiana, pero tam-bién es un recurso importante en el aprendizaje de las matemáticas. Por una parte, per-mite agilizar los cálculos y, más importante aún, proporciona herramientas dinámicas que te permiten simular, imaginar, predecir y reflexionar sobre situaciones matemáticas y analizar problemas en distintos contextos.

¿Cómo reviso mi avance?

“Punto de encuentro”. Presenta problemas en contextos diversos que te permitirán aden-trarte en la relación de las matemáticas con otras disciplinas como la geografía y cien-cias de la salud, entre otras. Con la intención de que integres tu conocimiento general y reconozcas cómo las matemáticas permiten resolver problemas que aparentemente son muy distintos, pero que, vistos desde su estructura, son similares.

“Reviso mi trayecto”. El desarrollo de tu capacidad de autoevaluación es un objetivo im-portante de este libro. Para ello, cada mes te enfrentarás a problemas en los que deberás aplicar e integrar lo que has aprendido. Nuestra intención es que hagas una pausa, revi-ses y reflexiones sobre lo aprendido y aquello que se te dificulta. Esto es necesario para que tu profesor te ayude a superar las dificultades antes de continuar con el estudio de otros temas y conceptos matemáticos, ya que todos se relacionan de alguna manera.

“Valoro mis fortalezas”. Al final de cada trimestre encontrarás nuevos problemas con los cuales podrás tener un panorama más amplio de tus avances y áreas de oportunidad.

¿Para qué sirven las matemáticas?

Mediante el trabajo con este libro aprenderás que las matemáticas son la herramienta que te permitirá enfrentar y resolver muchos problemas que pueden presentarse a lo lar-go de la vida. Desarrollarás diversas formas de analizar problemas, aprenderás técnicas y procedimientos que se han construido a lo largo de muchos años, los cuales te permiti-rán no solo resolverlos, sino también aportar argumentos que justifiquen tus resultados y te ayuden a validar tus conclusiones.

Lo anterior se resume en el siguiente esquema:

¿Qué encontrarás en el libro?

Los problemas con los que se inicia cada secuencia didáctica están planteados en diver-sos contextos que te resultarán interesantes. Las actividades que los acompañan tienen como finalidad que utilices lo que has aprendido previamente y des significado a nuevos aprendizajes. Asimismo, buscamos que reflexiones sobre aspectos de los problemas que te permitirán trabajarlos con diferentes estrategias y que desarrolles la capacidad de ra-zonar en distintos ámbitos y con herramientas diversas.

Entre los propósitos de este libro, también están que desarrolles tu imaginación y tu ca-pacidad de organizar y analizar información para encontrar patrones y hacer nuevos cuestionamientos. Además, queremos que aprendas mediante la reflexión y la compren-sión técnicas aritméticas, geométricas, algebraicas o estadísticas que te resulten útiles y significativas.

Desarrollar estas capacidades no es fácil. Para ello, es importante que te comprometas con tu propio aprendizaje y con el de tus compañeros por medio del trabajo colaborati-vo que estará presente en cada una de las secuencias didácticas que conforman este li-bro. Es importante que consideres que, en un equipo, cada uno de los integrantes debe trabajar conjuntamente con los demás y escuchar varios puntos de vista con una actitud abierta y respetuosa hacia las opiniones de los demás.

4 54

Entrada de trimestre

Tu libro de Matemáticas está organizado en tres trimestres. Al iniciar cada uno encontrarás los aprendizajes esperados que estudiarás. Además tendrás la oportunidad de conocer información interesante que muestra una aplicación de las matemáticas.

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¿Cómo trabajarás en este curso?

En estas páginas te explicamos cómo, a través de resolver problemas, construyes estrategias y conocimientos matemáticos, que te llevarán a resolver, cada vez, problemas más complejos.

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Así es tu libro

Secuencia didáctica

23 Contenido: Deduces y utilizas las propiedades de los ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal.

Ángulos y rectas

Eje: Forma, espacio y medida

Posiciones relativas entre rectas

1. Analiza la información y responde.

En Chichen Itzá, uno de los principales sitios ar-queológicos de la península de Yucatán, en Mé-xico, y una de las siete maravillas modernas del mundo, se encuentra una estructura conocida como “El observatorio del caracol”. En esta cons-trucción podemos apreciar los conocimientos geométricos que poseían los mayas. Por ejem-plo, el uso de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas.

a. Traza sobre la imagen ejemplos de estas rectas.

b. Reúnete con un compañero y tracen en la imagen rectas que cumplan las si-guientes condiciones.

yy Tres rectas paralelas entre síyy Dos rectas paralelas y una recta perpendicular a estas dosyy Dos rectas paralelas y una tercera recta transversal a esas dos

Recuerda que si tienes dos rectas diferentes, hay dos posibilidades: que tengan un punto en común o ninguno. En caso de que no tengan puntos en común, se denomi-nan paralelas. Cuando tienen un punto en común se dice que ambas se intersecan.

c. Reúnete con otro compañero y respondan.

yy ¿Por qué es importante la disposición de las columnas en “El observa-torio del caracol”? yy ¿Qué soportaban? yy ¿En qué otras estructuras han observado columnas paralelas?

yy ¿Para qué se usan?

yy Comparen sus respuestas con las de sus compañeros y comenten por qué solo existen esos dos casos cuando se tienen dos rectas diferentes.

Lección 1

rectas oblicuas. Dos rectas son oblicuas si tienen un punto de intersección y forman ángulos no rectos.recta transversal. Recta que interseca o cruza a dos o más rectas.

Glosario

156El volumen de los laberintos

1. Lee la información y responde.

En una hacienda hay un laberinto formado por prismas rectangulares, en un espa-cio de 5 000 m2. Las paredes que forman el laberinto tienen una altura de 1.50 m y un ancho de 0.60 m.

a. Si las paredes del laberinto no están en una misma hilera, ¿se puede calcular el volumen total del laberinto?

b. ¿Qué dato hace falta para poderlo calcular? c. ¿Qué volumen ocupan las paredes del laberinto si la longitud total es de 2 000 m?

2. Reúnete con un compañero y consigan un juego de dominó.

a. ¿Cuáleselvolumendecadafichadedominó? b. ¿Cuáleselvolumentotaldelas28fichas?

c. Acomodenlasfichasparaformarunprismarectangular.Luegorespondan.

y ¿Qué dimensiones debe tener una caja para contenerlas? y Siacomodanlasfichasdeotramanera,¿cuálespodríanserlasdimensiones

de otra caja donde quepan todas? y ¿Cómosonlosvolúmenesdeambascajas? y Calculen lasuperficiede lascajasydeterminensiesposibleencontrarotraconunasuperficiemenorenlaquequepantodaslasfichas.

y Explica cómo hallar el volumen de un prisma rectangular. Comenta con tus com-pañeros si el procedimiento equivale a multiplicar el área de su base por su altura.

Practicar para avanzar

Reúnete con un compañero y resuelvan el problema.

1. ¿Qué dimensiones puede tener un prisma rectangular cuyo volumen es de 20 cm3? Elaboren unatablacomolasiguientecontodoslosposiblesvalores.Considerensolonúmerosnatu-rales y que dos prismas son iguales si tienen las mismas dimensiones.

Ancho Largo Alto Superficie total Volumen

20 cm3

Si dos prismas tienen el mismo volumen, ¿tendrán la misma superficie? ¿Por qué?

Tema: Magnitudes y medidas 255

Tema: Patrones, figuras geométricas y expresiones equivalentes

Construyendo sucesiones

2. Considera una sucesión en la cual, para generar el siguiente término, se le suma 8 al anterior y realiza lo que se pide.

a. Escribe los primeros 10 términos de la sucesión.

b. Escribe una expresión algebraica que te sirva para encontrar cualquier término de la sucesión dado el lugar del término y verifica que funcione.

3. Considera la sucesión generada por la expresión 2n + 3 y realiza lo que se solicita.

a. ¿Cuál es el término 100 de esta sucesión? b. ¿Qué indica el 2 en la expresión 2n 1 3? c. ¿Qué indica el 3?

yy Comenta con tus compañeros el significado de cada elemento de la expresión.

Aplica lo que aprendiste.

1. Observa la sucesión y responde.

Figura 1 Figura 2 Figura 3

a. Escribe la expresión algebraica que describe la sucesión del número de puntos rojos en las figuras.

b. Escribe la expresión algebraica que indica el número de triángulos verdes en cada una de las figuras.

c. ¿Cuántos puntos rojos y triángulos verdes tendrá la figura 1 000?

2. Completa la tabla y responde.

Lugar del término 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Término 17 37 57 77

a. ¿Qué número corresponde al término 100 de la sucesión? b. Escribe la expresión algebraica que describe la sucesión.

yy Comenten en grupo cómo se relaciona la expresión algebraica de una sucesión con la sucesión que representa.

141

Durante esta etapa realizarás actividades individuales y colectivas que te permitirán adquirir conocimientos, desarrollar habilidades, fortalecer tus actitudes y valorar tu trabajo. En el desarrollo de las secuencias, hallarás definiciones y procedimientos para que los analices, con base en tu experiencia en clase, y elabores conclusiones.

Te proponemos una situación interesante que te invita a revisar tus conocimientos previos, explorar soluciones y encontrar distintas formas de resolverla.

En esta última etapa de la secuencia encontrarás una lista de problemas desafiantes para que apliques lo que aprendiste. Podrás reflexionar de manera individual o colectiva acerca de tu trabajo e identificar tus avances mediante el análisis de tus resultados y procedimientos.

Secuencias didácticasCada trimestre de tu libro está integrado por secuencias didácticas

con tres etapas de trabajo:

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Reviso mi trayecto

Resuelve los problemas. Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Toma nota de los contenidos que tienes que repasar.

1. A continuación se muestran las temperaturas promedio de un mes en algunas ciu-dades del mundo.

a. ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre Londres y Pekín? b. En un viaje, una persona experimentó un cambio de temperatura de 117 °C.

¿De dónde a dónde viajó? c. ¿Cuál es la temperatura promedio de Ciudad de México si al viajar desde

Ámsterdam hay un cambio de 16 °C? d. Si al viajar a Ottawa desde Tokio se experimenta un cambio de temperatura de

212 °C, ¿cuál era la temperatura en Tokio?

2. Resuelve los cuadrados mágicos. Recuerda que la suma de cada renglón, columna y diagonal debe ser la misma en cada cuadrado.

a. Suma: 0.75 b. Suma: 23

3. Coloca los paréntesis necesarios para que el resultado sea correcto.

a. 4 3 2 1 7 5 36

b. 10 — 8 ÷ 2 1 2 3 5 5 15

c. 14 3 2 1 2 3 3 1 1 5 4

Londres Madrid Pekín Ottawa Roma Tokio Ámsterdam Ciudad de México

12 ºC 22 ºC 25 ºC 220 ºC 12 ºC 24 ºC

1 21.5

2 20.5

22

21

212 0

135

Resuelvo con tecnología

Imagen 1

Imagen 2

Imagen 1

4. Para calcular la distancia, es necesario multiplicar la velocidad del avión por el número de horas transcurridas. Entonces, en la celda C3 tecleen la fórmula “=A3*B3”. Copien la fórmula hacia abajo, hasta completar la tabla.

yy ¿Cómo aumenta la distancia recorrida por el avión? yy ¿Cómo es la gráfica trazada?

3. En las celdas B3 y B4, ingresen los valores 1 y 2 respectivamente, para indicar el número de horas. Luego seleccionen ambas celdas, den clic en la esquina inferior derecha y arrastren hasta la celda B9. Observen que al hacer esto automáticamente se llenan las celdas con los valores de la sucesión.

5. Para representar los datos de la tabla mediante una gráfica, seleccionen las colum-

nas B y C, incluyendo sus encabezados.

6. Luego, en el menú superior, den clic en inser-tar y elijan el gráfico Dispersión (X, Y) con el icono ; den clic en “Dispersión con líneas suavizadas” para crear la gráfica.

Situaciones de variación lineal y no lineal ¿Qué distancia recorre un avión que viaja a 800 km/h?

La distancia que recorre un avión depende de su velocidad. Si viaja a una velocidad promedio de 800 km/h, entonces recorrerá 800 km en una hora y 1 600 km en dos horas.

1. Reúnete con un compañero y abran un archivo en hoja electrónica de cálculo. Anoten un título en la primera fila. En las celdas A2, B2 y C2, coloquen los encabezados de las columnas “Velocidad (km/h)”, “Tiempo (h)” y “Distancia (km)”.

2. En la celda A3 escriban la velocidad promedio a la que vuela el avión sin mencionar la unidad, es decir, 800. Para llenar la columna, anoten la fórmula “=A3” en la celda A4, den clic en la esquina inferior dere-cha y arrastren para copiar la fórmula hasta la celda A9, como lo hicieron en el primer trimestre.

153

GlosarioSe definen algunas palabras que te pueden resultar de difícil comprensión.

A lo largo del trimestre encontrarás las secciones:

Herramientas académicasTe ofrece actividades para que las resuelvas con ayuda de la tecnología. También encontrarás recomendaciones de páginas electrónicas impresas e interactivos para que enriquezcas lo que has aprendido.

Practicar para avanzarTe proponemos problemas y actividades para reforzar lo que estás aprendiendo en la secuencia didáctica.

En el desarrollo de las secuencias encontrarás los siguientes apartados:

Reviso mi trayecto

Al final de cada mes te proponemos problemas para que apliques lo que has aprendido, valores tus avances e identifiques tus áreas de oportunidad.

Resuelvo con tecnología

A lo largo de cada trimestre encontrarás dos proyectos tecnológicos para que practiques lo que aprendiste en algunas secuencias y desarrolles tus habilidades digitales.

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Así es tu libro

Punto de encuentro

Los mapas

Los mapas son representaciones planas a escala de toda la superficie terrestre o de una parte de esta. Para hacer una interpretación correcta de estos, incluyen ele-mentos como escala, título, simbología, orientación y coordenadas geográficas.

Conocer la escala de los mapas permite, entre otras cosas, calcular distancias, án-gulos o superficies.

Además de lo anterior, el análisis de los mapas permite encontrar patrones y rela-ciones entre diversos fenómenos naturales y sociales.

Lee con atención, realiza las actividades y responde.

1. Observa el mapa con un compañero y respondan.

a. ¿Cómo se expresan las relaciones entre las distancias en el mapa y las distan-cias correspondientes de la superficie terrestre?

b. ¿Qué indica la escala dada en el mapa? c. ¿Qué representan las unidades de medida?

Investiguen cómo se utilizan las matemáticas en la elaboración de mapas.

Trópico de Cáncer

95° 90°100°

105°

25°

20°

30°

15°

Golfode

México

Golfo de California

O C É A N OP A C Í F I C O

Golfo de Tehuantepec

BELIZE

GUATEMALA

E S T A D O S U N I D O S D E A M É R I C A

HONDURAS

Mexicali

La Paz

Hermosillo

Culiacán

Tepic

Guadalajara

Colima

Chilpancingo Oaxaca TuxtlaGutiérrez

Chetumal

Mérida

Campeche

Villahermosa

Xalapa

Cd. Victoria

MonterreyDurango

Zacatecas

San Luis Potosí

Saltillo

Chihuahua

Ags.

Proyección cónica conforme de LambertFuente: Inegi, 2017.Encuesta Nacional de Salud, 2006.

Escala 1 : 16 000 000

0 160 320 km

L E Y E N D A

Población de México por entidad 2015

Población en ciudad capital

(millones de habitantes)

> 20 < 1

1 a 5

Población (millones

de habitantes)

> 8.5

4 a 8.5

1 a 4

< 1

Población total

Sonora 179 3552 850 330

Superficie

Campeche 57 507899 931Ciudad deMéxico 1 4958 918 653

México 22 35116 187 608

Oaxaca 93 7573 967 889

283 025

Entidad Ciudad (km²)

1 846 116

884 273

264 251

Entidad

20 116 842

Morelia

Pachuca

TolucaCiudad de México

Cuernavaca

Puebla

Tlaxcala

Querétaro Guanajuato

1 : 14 375 000

0 143 km

104

Valoro mis fortalezas

Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Con base en los resultados que obten-gas, retoma los contenidos que se te dificultaron.

1. En las vacaciones de invierno, María y su familia visitarán a su abuela, que vive en La Rosilla, Durango. El pronóstico indica que la temperatura en La Rosilla es 11 °C más fría que en la ciudad donde vive María.

Ciudad La Rosilla,Durango

Monterrey,Nuevo León

Ciudad deMéxico

Yácora, Sonora

Temperatura 216 °C 5 °C 12 °C 25 °C

a. ¿En qué ciudad vive María?

2. La gráfica muestra la temperatura promedio del periodo invernal en la ciudad de Monterrey desde 1983 hasta 2010.

a. Calcula la diferencia entre la temperatura más baja y la más alta en todo el registro.

b. Calcula la diferencia entre la temperatura más baja y más alta de 2000 a 2010.

3. En una tienda de telas, un empleado vendió 35 partes de una pieza de tela. Horas

más tarde, su compañero vendió 23 de lo que quedaba. Solo quedaron 6 metros

sin vender. ¿Cuántos metros de tela vendió cada empleado?

191

Fuentesde información

Para el alumno

Impresas

y Arce, Juan C. El matemático del rey, Planeta, Barcelona, 2006.

y Berlanga, Ricardo y otros. Las matemáticas, perejil de todas las salsas, Fondo de Cultura Económica, México, 2009 (colección Ciencia para Todos).

y Cerasoli, Anna. La sorpresa de los números, Maeva, Madrid, 2006 (colección Biblioteca de Aula, serie Astrolabio).

y Charles, Seife. Cero: La biografía de una idea peligrosa, Ellago Ediciones, Madrid, 2006.

y Enzensberger, Hans Magnus. El diablo de los números, Siruela, Madrid, 2013.

y Fabretti, Carlos. Malditas matemáticas. Alicia en el país de los números, Alfaguara, Madrid, 2000.

y Oteyza, Elena de y otros. Fracciones divertidas, Terracota, México, 2014.

y Paenza, Adrián. Matemática… ¿Estás ahí? Sobre números, personajes, problemas y cu-riosidades, Siglo XXI, Buenos Aires, 2005 (colección Ciencia que Ladra).

y Perelman, Yakob. Matemáticas recreativas, Rodesa, Barcelona, 2007.

y Prieto, Carlos. Aventuras de un duende en el mundo de las matemáticas, Fondo de Cultura Económica, México, 2009 (colección Ciencia para Todos).

y Perrero, Mariano. Historia e historias de las matemáticas, editorial Iberoamérica, México, 1994.

y Ruiz, Concepción. El piropo matemático, Lectorum, Barcelona, 2000.

y Sierra i Fabra, Jordi. El asesinato del profesor de matemáticas, Anaya, Madrid, 2000.

y Smullyan, Raymond M. Satán, Cantor y el infinito, RBA Coleccionables, Barcelona, 2007.

y Snape, C. Sal si puedes. Laberintos y rompecabezas matemáticos, Noriega-Limusa, México 2005.

Electrónicas

y 100 problemas matemáticos que retan al alumno a pensar. http://www.lavirtu.com/eniusimg/enius4/2002/01/adjuntos_fichero_3543.pdf (consulta: 23 de noviembre de 2017)

y Archivo PDF de la obra de Adrián Paenza, Matemática … ¿Estás ahí? Episodio 3. Siglo XXI, Argentina, 2008.http://mate.dm.uba.ar/~cepaenza/libro/matemati4.pdf (consulta: 01 de diciembre de 2017)

y Calculadora para que conviertas fracciones a notación científica.www.aaamatematicas.com/g6_71lx1.htm (consulta: 8 de noviembre de 2017)

y Ejercicios, problemas e interactivos de aritmética, álgebra y geometría.http://newton.matem.unam.mx/ (consulta: 23 de noviembre de 2017)

y En esta dirección electrónica encontrarás videos, documentos y actividades de la SEP sobre temas relacionados con el programa de primero de secundaria. www.aprende.edu.mx/Repository/recursos/index.html?level%5B%5D=5&grade%5B%5D=14&subject%5B%5D=matematicas-i(consulta: 13 de noviembre de 2017)

y Interactivos que te permiten abordar diversos temas propuestos para la secundaria.http://arquimedes.matem.unam.mx/PUEMAC/Secundaria.html (consulta: 23 de noviembre de 2017)

y Lecturas de matemáticas que abordan diversos temas propuestos para primer año de secundaria.http://www3.gobiernodecanarias.org /medusa/edublogs/proyectonewton /files/2016/10/Cuentos-y-Matematicas-MATEMaTICAS-SECUNDARIA.pdf(consulta: 01 de diciembre de 2017)

y Páginas interactivas para que conozcas más situaciones de proporcionalidad. recursostic.educacion.es/secundaria/edad/2esomatematicas/2quincena4/index2_4.htm (consulta: 8 de noviembre de 2017)

y Software de geometría dinámica gratuito que te permite hacer construcciones útiles para geometría, álgebra, cálculo, entre otros. www.geogebra.org (consulta: 23 de noviembre de 2017)

y Tutoriales y ejercicios de diversos temas propuestos para secundaria.https://es.khanacademy.org/math/eb-1-secundaria(consulta: 23 de noviembre de 2017)

270 271

Fuentes de información

Encontrarás sugerencias de libros y direcciones electrónicas para que halles información complementaria y pertinente sobre temas relacionados con la asignatura.

Punto de encuentro

Te proponemos actividades en las que podrás relacionar lo aprendido en Matemáticas con otras asignaturas y campos del conocimiento.

Valoro mis fortalezas

Cada trimestre cierra con una serie de problemas que integran varios temas trabajados, para que apliques y analices los conocimientos y las habilidades que has obtenido a lo largo del trimestre.

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Trimestre 1En este trimestre:

• Convertirás fracciones decimales a notación decimal y viceversa. Aproximarás algunas fracciones no decimales usando la notación decimal. Ordenarás fracciones y números decimales.

• Resolverás problemas de multiplicación con fracciones y decimales y de división con decimales.

• Calcularás valores faltantes en problemas de proporcionalidad directa con constante natural, fracción o decimal (incluyendo tablas de variación).

• Resolverás problemas de cálculo de porcentajes, del tanto por ciento y de la cantidad base.

• Calcularás el perímetro de polígonos y del círculo, y áreas de triángulos y cuadriláteros, desarrollando y aplicando fórmulas.

• Recolectarás, registrarás y leerás datos en gráficas circulares.

La geometría de los mandalas

Los mandalas son diagramas o dibujos hechos a base de configuraciones geométricas, formadas en su mayoría por colores y por polígonos y circunferencias. Se originaron en la India y su nombre, en sánscrito, significa círculo o rueda.

Cada figura y cada color del mandala tiene un significado particular; por ejemplo, los cuadrados expresan equilibrio y estabilidad; y el amarillo, alegría. La simetría es una ca-racterística muy importante de los mandalas. Si los miras con atención, podrás identifi-car más de un eje de simetría en ellos.

Actualmente se ha vuelto muy popular colorear mandalas como apoyo para la relaja-ción, sin ser necesario seguir patrones de colores ni que las figuras que se trazan sean exactas o simétricas.

Si bien la coloración del mandala es a gusto de cada persona, ¿sabías que es posible co-lorear cualquier configuración geométrica con solo cuatro colores sin pintar dos regio-nes adyacentes del mismo color?

Este problema, conocido como teorema de los cuatro colores, se planteó en 1852 y tardó más de ciento veinticinco años en ser demostrado.

¿Te has preguntado cuántas matemáticas hay en los objetos que usas?

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La elaboración de los mandalas de lana propicia la meditación, pues la persona se concentra en la combinación de colores y en el paso de los hilos de lana por los palos de madera que forman la estructura.

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Secuencia didáctica

Contenido: Comparas y ordenas números fraccionarios y decimales, y los ubicas en la recta numérica. Distingues entre fracciones decimales y no decimales.1Fracciones y decimales en la recta

Eje: Número, álgebra y variación

La recta numérica

1. Formen equipos de tres integrantes, lean la situación y hagan lo que se pide.

En una secundaria se preguntó a cada estudiante el color del que está pintada su casa. Esta fue la información que se obtuvo:

y Amarillo: 14

del total de las casas

y Blanco: 0.3 del total de las casas y Gris: 1

5 del total de las casas

y Azul: 0.25 del total de las casas

a. Comentendequécolorhaymáscasasycómopuedenverificarestodemaneraexacta. Escriban su procedimiento.

b. Si tuvieran que ubicar los números anteriores en una recta numérica, ¿qué ca-racterísticasdebetenerestaúltima?Justifiquensurespuesta.

c. Ubiquen en la recta numérica los números decimales y las fracciones de la infor-mación anterior obtenida en la escuela.

d. Escriban en orden los colores usados, siendo el primero el color más utilizado y el último el menos empleado en las casas de los estudiantes.

y Comparen las rectas numéricas de los distintos equipos y comenten qué pro-cedimiento siguieron para ubicar los números requeridos. Analicen si todas las rectas resultaron iguales y si todas las representaciones en la recta fueron correctas. Validen sus respuestas con ayuda de su profesor.

Lección 1

0

Hay más casas blancas. El procedimiento deverificaciónesrespuestalibre(R.L.).

La recta nu-mérica debe estar dividida en 60 partes iguales porque se debe buscar el múl-tiplo común de los denominadores 4, 3 y 5.

Blanco, amarillo, azul y gris

15

14

0.25

0.3 1

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Tema: Número

Ubicación de fracciones

1. Observa la recta numérica y contesta.

a. ¿Qué escala se utiliza en la recta numérica anterior? ¿Cómo lo sabes?

b. ¿Por qué es importante que la distancia entre dos números enteros consecuti-vos de una recta numérica sea siempre la misma?

c. Ubica las fracciones en ambas rectas numéricas.

34 , 5

3 , 72

y ¿En cuál recta numérica fue más fácil ubicar las fracciones? ¿Por qué?

y Comparen sus respuestas en grupo. Elijan la recta numérica más conveniente para ubicar las fracciones y expliquen por qué lo es. Al terminar, analicen la siguiente información.

Una recta numérica es útil para representar, comparar y ordenar enteros, números de-cimales y fracciones. Igual que con los enteros, los números mayores quedan a la dere-cha,esdecir,elmáslejanoaladerechadelceroeselmayor.Lamedidaqueseusaparala unidad, que corresponde a la distancia entre el 0 y el 1, da la escala de la recta numé-rica. Para ubicar fracciones en la recta numérica, se debe tomar en cuenta lo siguiente:

y Entre qué números naturales se ubica cada fracción.y En cuántas partes iguales indica el denominador de la fracción que se debe divi-

dir cada entero.y Si hay distintas fracciones por ubicar, buscar, de ser posible, fracciones equiva-

lentes con el mismo denominador.y Dos fracciones equivalentes se ubican en el mismo punto de la recta numérica.

0

0

0

1

1

1

2 3 4

15

14

fracciones equivalentes. Son aquellas que representan la misma cantidad, es decir, tienen el mismo valor.

Glosario

Laescaladenúmerosnaturalesporqueseutilizansololosnúmerosenteros.

Respuestamodelo(R.M.).Enlasegunda,porquelaunidadyaseha-bía dividido en cuartos.

Porque la medida que se uti-liza como unidad no debe variar.

34

34

53

53

72

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Eje: Número, álgebra y variación

Lección 2 Ubicación de números decimales

1. Ubica en la recta numérica los números decimales. Después contesta.

0.1, 0.025, 0.01, 0.25

a. Explica cómo elegiste la escala de la recta numérica.

b. ¿Qué procedimiento seguiste para ubicar los números decimales?

c. Ordena de menor a mayor los números que ubicaste.

y Comparte tu procedimiento con un compañero y entre ambos escriban en su

cuaderno un método para ubicar números decimales en la recta numérica. Asegúrense de haber incluido la siguiente información.

Para ubicar números decimales en la recta numérica, se debe tomar en cuenta lo siguiente:y Entre qué números naturales se ubica cada número decimal.y En cuántas partes iguales se debe dividir cada entero según la posición de las

cifras decimales en el número.

0

Practicar para avanzar

Resuelve las actividades en tu cuaderno. Justifica tus respuestas.

1. Ubica en la recta numérica las fracciones 63 ,

94 ,

68 y

146 .

y Ordena las fracciones de mayor a menor, según tu recta numérica.

2. Ubica en la recta numérica los números 2.8, 0.35, 3.05 y 0.15.

y Ordena los números decimales de menor a mayor, según tu recta numérica.

3. Traza una recta numérica y ubica tanto las fracciones como los decimales anteriores. Des-pués contesta.

y ¿Cómo es la escala de tu recta numérica? y ¿Pudiste ubicar todos los números en la misma recta numérica? ¿Por qué? y Escribe de mayor a menor todos los números que ubicaste en la recta numérica.

En grupo comenten cuál es la utilidad de la recta numérica al comparar y ordenar números.

0.01

0.025 0.1 0.25

R.M.Consideréentrequénúmeros se encontraba uno y otro.

R. M. Dividíel 0.1 en 10 partes iguales y en 4 partes iguales y luego lo multipliqué por 2.5 y au-menté 1.5 partes iguales. 0.01, 0.025, 0.1 y 0.25

Ver solucionario

14/6, 9/4, 6/3, 6/8

0.15, 0.35, 2.8 y 3.05

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Tema: Número

Fracciones decimales

2. Lee la situación y contesta.

Enlossalonesde1.ºAy1.ºBdesecundariahay24y25alumnosrespectivamente.Lasiguiente tabla representa la cantidad de alumnos que están exentos de hacer exa-menfinalentresasignaturas.

AsignaturaNúmero de alumnos que exentan

1.º A 1.º B

Matemáticas 6 5Geografía 4 4Historia 5 10Total 15 19

a. Escribe una fracción que represente la cantidad de alumnos que exenta Matemáticasencadasalón.

b. Escribe una fracción que represente la cantidad de alumnos que exenta Geografía en cada salón.

c. Escribe una fracción que represente la cantidad de alumnos que exenta Historia en cada salón.

d. Completa la tabla con una fracción equivalente en cada caso, cuyo denomina-dor sea 10 o 100. Si no se puede calcular, deja la fracción original.

Asignatura

Matemáticas Geografía Historia

Fracción de alumnos que exentan en 1.º A

Fracción de alumnos que exentan en 1.º B

y ¿En todos los casos fue posible encontrar la fracción requerida? ¿Por qué?

y Discutan en grupo qué fracciones se pudieron escribir con denominador 10 o 100 y cómo se podrían identificar más fracciones de este tipo. Después lean y comenten la siguiente información.

Lasfracciones decimales son aquellas cuyo denominador es 10, 100, 1 000, etcétera. No todas las fracciones se pueden escribir como fracción decimal.

25100

16

524

24

100 16

100 4

10

R.M.No,porquelosdenominadoresdealgunasfraccionesnosonmúltiplosde 10 o 100.

6/24, 5/25

4/24, 4/25

5/24, 10/25

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Lección 3 De fracción a decimal

1. Retoma el último problema de la lección anterior y contesta.

a. Divide el numerador entre el denominador de las fracciones de la tabla de frac-ciones decimales y completa la tabla.

Asignatura

Matemáticas Geografía Historia

Razóndealumnosqueexentan en 1.0A

Razóndealumnosqueexentan en 1.0B

b. Observa los números decimales que resultan de las fracciones cuyo denomina-

dor no es 10 o 100.

y ¿Qué característica comparten? y ¿En qué se diferencian esos números decimales de los demás?

y Analicen en grupo las cifras decimales de cada número obtenido y soliciten a su profesor que escriba sus conclusiones en el pizarrón para retomarlas más adelante.

2. Observa las fracciones y resuelve.

1240 , 1

8 , 19 , 1

6 , 210

a. Clasificalasfraccionesenfraccionesdecimalesynodecimales.

b. Encuentra, de ser posible, una fracción equivalente que sea decimal para las fracciones no decimales.

c. Divide el numerador entre el denominador de cada fracción y analiza los núme-ros decimales obtenidos. ¿Qué observas?

y En grupo describan la relación que existe entre una fracción decimal y el cocien-te que se obtiene al dividir su numerador entre el denominador. Hagan lo mismo para una fracción no decimal.

Eje: Número, álgebra y variación

0.25 0.16666... 0.2083333...

0.24 0.16 0.4

R.M.Ladivisiónnotienefin.R.M.Enque

tienenunacifradecimalqueserepiteinfinitamente.

R.M.Queenlasfraccionesqueequi-valen a una fracción decimal la división tiene residuo cero y en las otras siempre tiene residuo distinto de cero.

Decimales: 2/10 No decimales: 12/40, 1/8, 1/9, 1/6

12/40 = 3/10, 1/8 = 125/1000

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Tema: Número

3. Lee el problema y responde.

Sedecoróeltechodelsalónconpapelpicadohechoporlosalumnos.Lasniñasanota-ron qué parte del papel recortó y llevó cada una. Paloma llevó 1

5 del papel; Isabel, 2

10;

María, 17

; Ana, 112

; y Claudia, 110

.Elrestolollevaronlosniños.

a. Ordenademayoramenorlacantidaddepapelquellevaronlasniñas.

b. Anotacuálesdelasfraccionessondecimalesycuálesno.Justificaturespuesta.

c. Escribe las fracciones de las cuales se obtiene un número decimal con una can-tidadfinitadecifrasdecimales.

y Compara tus respuestas con las de un compañero para validarlas. Analicen las

justificaciones que escribieron y asegúrense de que sean claras y contengan argumentos matemáticos.

Aplica lo que aprendiste.

1. Lee el problema y responde en tu cuaderno.

Losintegrantesdelequipodebasquetboldeunaescuelaestánllenandosushojasdedatos.Entrelainformaciónquelespreguntan,seencuentrasuestatura.Lainfor-mación reunida es la siguiente:

y Antonio 1 1720 de m y Francisco 1 10

11 de m y Juan 1.875 de m

y José 1 910 de m y Rodrigo 1 7

8 de m y Mario 1.75dem

a. Utiliza una recta numérica para ubicar a cada jugador según su estatura. ¿Qué escala utilizaste?

b. Ordena a los jugadores del de menor al de mayor estatura.

c. ¿Qué estaturas están expresadas con fracciones decimales? ¿Cuáles estaturas pueden expresarse con una fracción decimal?

y Cometen sus respuestas y resuelvan sus dudas con ayuda del maestro. Observen si algún compañero escribió los números decimales como fracciones decimales. De ser así, soliciten que explique cómo lo hizo.

Losnúmeros decimales conunacantidadfinitadecifrasenlapartedecimalesdecir,cuyas cifras tienen límite o concluyen en algún momento, equivalen a fracciones deci-males. En el caso de las fracciones no decimales, su parte decimal tiene una cantidad de cifrasinfinita,porlotanto,lacantidaddecifrasdeestosnúmerosnotienenlímite.

1/5, 2/10, 1/7, 1/10, 1/12

Decimales: 2/10, 1/10, porque tienen denominador igual a 10. No decimales: 1/5, 1/7, 1/12 porque no tienen denominador igual a 10, 100, 1000, etc.

1/5, 2/10, 1/10.

Ver solucionario

R.M.Unaescalaconnúmerosdecimales,considerandoelva-lor decimal de cada estatura.

Mario,Antonio,Juan,Rodrigo,JoséyFrancisco

LasdeAntonioyJosé;lasdeJuanyMario

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Secuencia didáctica

Fracciones y decimalesContenido: Expresas con notación decimal fracciones decimales y no decimales. Conviertes fracciones decimales a notación decimal y viceversa. Clasificas números decimales en exactos y periódicos.2

Eje: Número, álgebra y variación

Fracciones y el tiempo

1. Utiliza lo aprendido en la secuencia anterior sobre fracciones decimales, no deci-males y equivalentes y haz lo que se pide.

¿Tehasfijadocómomuchasvecesusamos frases como“nosvemosa las cincoycuarto”,“sonlasdiezymedia”…?

a. Contesta.

y ¿Quésignificanesasfrases?

y ¿Por qué las usamos?

y ¿Tendríasentidodecir“sonlastresysietenovenos”?¿Porqué?

b. Escribe como fracción las siguientes medidas de tiempo.

y media hora =

y tres cuartos de hora =

y seis minutos =

c. Escribe cuáles fracciones del inciso anterior son decimales y cuáles no.

y Comenta con tus compañeros y tu profesor qué característica tienen las fraccio-nes decimales.

De fracción a número decimal

1. Contesta.

a. ¿Puedes encontrar una fracción equivalente a 35

con denominador igual a 10? Escríbela con letra.

y ¿Cómo se escribe esa fracción como número decimal?

b. ¿Puedes encontrar una fracción equivalente a 720

con denominador igual a 10? Justificaturespuesta.

Lección 1

R.M.Significanhorasyfraccionesdehoraquemarca el reloj.

R.M.Parareferirnosafraccionesdehora.

R.M.Nopor-que no sabríamos con facilidad los minutos referidos.

12

hora

34

hora

660

hora

Ninguna de las tres es una fracción decimal, pero equivalen a fracciones decimales.

Seis décimos

No, porque la mitad de 20 es 10 pero la mitad de 7 es 3.5

6/10

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Tema: Número

c. ¿Puedes encontrar una fracción equivalente a 720

con denominador igual a 100? Escríbela con letra.

y ¿Cómo se escribe esa fracción como número decimal? d. ¿Puedes encontrar una fracción equivalente a 3

8 con denominador igual a 10?

¿Por qué? y ¿Y con denominador igual a 100? ¿Por qué?

y ¿Puedes encontrar una fracción equivalente a 38

con denominador igual a 1 000? Escríbela con letra.

y Escribe la fracción anterior como número decimal.

y Comparte con un compañero tus respuestas para validarlas. Verifiquen que los números decimales que encontraron sean los mismos.

2. Lee y responde.

En el ejercicio anterior se observa que una misma cantidad puede representarse con una fracción con denominador 10, 100, 1 000, etcétera, y con un número decimal. Ahora, retoma las fracciones de la primera actividad de la secuencia.

a. Considera la fracción que representa veinte minutos. ¿Puedes escribir esa frac-cióncomounnúmerodecimal?Justificaturespuesta.

b. Ahora considera esa fracción como un cociente y divide. Esto es, divide el nume-rador entre el denominador. y ¿Cuál es el cociente? y ¿Cuántas cifras decimales tiene el cociente? y ¿Cuántas cifras decimales consideraste?

y Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Observen cuántas cifras de-cimales ocupó cada quien y, considerando esto, cuál resultado es más preciso. Después analicen la siguiente información.

Lasfracciones pueden representar cocientes, en los que el numerador es el divi-dendo y el denominador es el divisor. Al resolver la división, no siempre se pueden considerar todas las cifras decimales del número decimal obtenido, pero mientras más precisión se requiera, más cifras decimales se deben tomar en cuenta.

Treinta y cinco centésimos

0.35

No, porque el 8 no es múltiplo del 10No, porque tampoco es múltiplo

del 100

Sí, porque si dividimos 1000 entre 8 obtenemos un número entero. Trescientos setenta y cinco milésimos

0.375

La fracciónequivalea1/3 y el 3 no divide a 10, 100, 1000, etc.

0.3333…Tieneunainfinidaddedecimales.

R.M.Cuatro

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Eje: Número, álgebra y variación

Lección 2 Conversión de fracciones

1. Escribe las fracciones como número decimal y haz lo que se pide.

y

1734 5 y

25045 5

y

830 5 y

9

12 5

y

31775 5 y

49

5

a. Analiza en qué casos, al resolver la división dada por cada fracción, el residuo no fue cero.

b. Formenequiposyclasifiquenlosnúmerosdecimalesobtenidosendistintosgru-pos, según las características de su parte decimal.

c. Comparensuclasificaciónconladelosdemásequiposycontesten.

y ¿Existendistintasformasdeclasificar lascantidadesohayunaclasificaciónúnicacorrecta?Justifiquensurespuesta.

y Comenten sus conclusiones con el resto del grupo y, de haber más de una posi-ble clasificación, elijan la que consideren más apropiada.

Al dividir el numerador de una fracción entre el denominador para convertirla en número decimal, se tienen los siguientes casos.Caso 1. El residuo es igual a cero y se obtiene un número decimal exacto. Por ejemplo: 2

5 5 0.4

Caso 2.Elresiduonuncaescero,esdecir,sepuedeseguirdividiendoinfinitamentey se obtiene un decimal periódico. Por ejemplo: 1

3 50.33333…y 815 50.533333…

Los decimales periódicosasuvezseclasificanendosgrupos.

Losperiódicos puros son aquellos en los que una cifra o un grupo de cifras de la partedecimalserepitedemodoinfinitocomenzandoinmediatamentedespuésdelpunto decimal. Porejemplo:0.333333…y0.267267267…

En los periódicos mixtos, la cifra o el grupo de cifras que se repite en la parte deci-mal no se ubica inmediatamente después del punto. Porejemplo:0.53333…

En un número decimal periódico, se indica con una línea superior el periodo, es de-cir, la cifra o las cifras que se repiten, por ejemplo: 0.3 o 0.267.

0.5 5.5555…

0.26666… 0.75

4.226666… 0.4444…

Existen más formas: decimal exacto y decimal periódico puro o mixto.

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Tema: Número

En los sitios de internet www.esant.mx/fasema1-001, www.esant.mx/fasema1-002 y www.esant.mx/fasema1-003 encontrarás ejercicios para practicar la conversión de fraccionespropias,impropiasymixtasennúmerosdecimalesexactos.Resuelvealgunosdelosejerciciosycompartetuexperienciacontuscompañeros.

Herramientas académicas

Practicar para avanzar

Observa y contesta.

a. Representaconfraccioneslarazóndeglobosquehaydecadacolor.

y

Azul: y Morado: y

Anaranjado:

y

Amarillo: y Rojo: y

Verde:

b. Convierte las fracciones anteriores a números decimales.

y

Azul: y Morado: y

Anaranjado:

y

Amarillo: y Rojo: y

Verde:

c. Clasificalosnúmerosdecimalesobtenidos.

y

Decimales exactos:

y

Decimales periódicos puros:

y

Decimales periódicos mixtos:

Comenten en grupo sus respuestas. Verifiquen si todos obtuvieron los mismos números deci-males y justifiquen su clasificación.

0.2 0.2 0.24

0.15 0.04 0.15

945 9

45 1145

745 2

45 745

0.2, 0.2

No hay

0.15, 0.04, 0.24, 0.15

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Eje: Número, álgebra y variación

Lección 3

Para convertir un decimal periódico puro como 1.14, se realizan los siguientes pasos.

i. El denominador será un número formado por tantos nueves como cifras tiene el periodo. En este caso, el periodo tiene dos cifras, por lo cual el denominador es 99.

ii. El numerador se obtiene restando al número formado por la parte entera y el pe-riodo, sin el punto decimal, es decir, a 114; la parte entera del número original, en este caso 1. Por tanto, el numerador se obtiene con la operación 114 — 1 .

iii. Así la fracción obtenida es:

114 — 199 5

11399

Para convertir un número periódico mixto como 3.178, se realizan los siguientes pasos.

i. El denominador será el número formado por tantos nueves como cifras tiene el periodo seguido por tantos ceros como cifras decimales que no sean parte del periodo. En este caso, el periodo está formado por dos cifras y hay un decimal que no forma parte de este. Por tanto, el denominador es 990.

ii. Para calcular el numerador, se toma el número como en el caso anterior y se le resta el número formado por la parte entera y las cifras decimales que no forman parte del periodo. Es decir, 3178 — 31 .

iii. Así la fracción obtenida es: 3 147990

De decimal a fracción

1. Analiza los números que se proporcionan y haz lo que se pide.

a. ¿Qué tipo de números decimales son 0.45 y 3.2?

b. Escribe como fracción cada número.

0.45 = 3.20 =

2. Considera los números 2.15 y 2. 46 y responde las preguntas en tu cuaderno.

a. ¿Qué tipo de número decimal es cada uno? b. ¿A qué fracción equivale cada número?

y Comparen en grupo sus respuestas y comenten las dudas que hayan surgido. Al terminar, escriban en su cuaderno un resumen del procedimiento que se debe seguir para calcular y escribir un número decimal como fracción, según su clasificación.

Decimales exactos

45100

3 210

El 2.15 es decimal periódico puro y el 2.46 es decimal periódico mixto.

213/99 5 71/33 5 2.15 y 222/90 5 37/15 5 2.46

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Tema: Número

Análisis del denominador

3. Simplifica las fracciones hasta encontrar una fracción irreducible. Des-pués haz lo que se pide.

y

1650 5 y 4

24 5

y

1418 5 y 2

15 5

y

39

5 y 1550 5

a. Descompón en factores el denominador de las fracciones anteriores. Por ejemplo:

563 5 5

(33 3 37)

b. Convierte las fraccionesanterioresanúmerosdecimalesyclasificaestosúlti-mos según su parte decimal.

y Lean en grupo la información y demuestren que es cierta con los números deci-males obtenidos.

Aplica lo que aprendiste.

1. Lee y resuelve en tu cuaderno.

En una escuela se hizo una colecta de periódico por equipos. En total se recolectaron 45kgdeperiódico.ElequipodeLuisreunió0.3 del total; el de Esther, 0.17; el de Se-bastián,9kg;yeldeRegina,13kg.

a. Escribe la cantidad de periódico recolectada por cada equipo como una fracción y número decimal.

b. Interpretaelsignificadodecadacantidadentérminosdelproblema.

y Comenten en grupo qué forma es la más adecuada para presentar las canti-dades de periódico recolectadas por cada equipo, la decimal o la fraccionaria. Justifiquen sus respuestas y escriban en su cuaderno sus conclusiones.

fracción irreducible. Es aquella en la que el numerador y el denominador no tienen un divisor común y, por tanto, no se puede simplificar.

Glosario

Cuando el denominador de una fracción irreducible tiene como divisores al 2 y/o al 5 únicamente, la fracción generará un número decimal exacto.Cuando el denominador de una fracción irreducible no tiene como divisores ni al 2 ni al 5, la fracción generará un número decimal periódico puro.Cuando el denominador de una fracción irreducible tiene como divisores al 2 y/o al 5, entre otros, la fracción generará un número decimal periódico mixto.

825 1

679 2

15

13 3

10

0.32 es decimal exacto. 0.16 es decimal periódico mixto.0.7 es decimal periódico puro. 0.13 es decimal periódico mixto.0.3 es decimal periódico puro. 0.3 es decimal exacto.

Ver solucionario

Ver solucionario

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Resuelvo con tecnología

Imagen 1

Imagen 3

Imagen 2

Imagen 1

2. EnlaceldaA6escriban“Parteentera”yenlaA8,“Partedecimal”paraseñalardóndeseco-locarán las partes de la expresión decimal de la fracción. En la celda B7 coloquen un pun-to, alineado a la derecha, para separar ambas partes como se ve en la imagen 2.

1. Abran una hoja de cálculo en la computadora. Escriban el título de la actividad y las palabras “Numerador” y “Denominador” en las celdasA1, A3 y A4, respectivamente. Coloquen los nú-meros1y7enlasceldasB3yB4(verimagen1).

3. En la celda B6 escriban la fórmula que se muestra en la imagen 3, la cual sirve para ob-tener únicamente la parte entera de la divi-sión. En la celda C6 se realiza la resta, con la fórmula“=B3−B6*B4”,deestemodoseobtie-ne el residuo de la división. Para continuar la división se debe agregar un cero al residuo, conlaexpresión“=C6*10”.

Conversión de fracciones no decimales en notación decimal usando una hoja de cálculo

Reúnete con un compañero, sigan las instrucciones y hagan la conversión.

¿Cómo puedes convertir la fracción 17 a notación decimal?

Hacer la división 1 4 7 a mano es un proceso laborioso que nunca termina porque el residuo nunca es ceroyalrealizarladivisiónconlacalculadoraseobtienecomoresultado0.142857143.Lacalculadoratieneunnúmerolimitadodedígitosyredondealaúltimacifra,introduciendounpequeñoerrorenelresultado. Este problema se puede resolver usando una hoja de cálculo electrónica.

Imagen 4

4. Repitanelprocedimientoantesreali-zado. Esta vez escriban en las celdas B8, C8 y D8 las fórmulas que se mues-tran en la imagen 4. Observen que en lugar de usar el numerador B3, se opera el residuo D6.

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Imagen 5

Imagen 6

Imagen 7

Imagen 8

Imagen 7

5. Enlafila9ingresenlasfórmulasque se muestran en la imagen 5 en las celdas correspondientes. En esta ocasión se agregaron sig-nos de $ en las fórmulas.

7. Arrástrenlo ampliando la selección la canti-daddefilasqueustedesquieran.Alhacerestosecopiaránlasfórmulasdelafila9enlasde-másfilas.Observenquealgunosnúmerosenlas fórmulas han cambiado.

6. Seleccionen las celdas B9, C9 y D9; al hacer esto en la esquina inferior derecha de las cel-das seleccionadas, aparecerá un cuadrito comoelqueseseñalaenlaimagen6.

8. De esta manera han obtenido los decimales de la fracción 1

7 . Si cambian los valores del numerador y del denominador, automática-mente se obtendrán los decimales de la nue-va fracción. Prueben usando las fracciones 12 , 1

3 , 78 , 5

7 ,1719, 8

30 y propongan otras. Iden-tifiquensilaexpresióndecimalesexacta,pe-riódica o mixta.

Comenten con sus compañeros cuál es la lógica del procedimiento y, a partir de lo trabajado, de-duzcan para qué sirve el signo $. También comenten las ventajas que ofrece hacer la conversión en la computadora respecto del uso de la calculadora.

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Secuencia didáctica

Contenido: Exploras la noción de densidad. Aproximas fracciones no decimales usando la notación decimal y analizas la pertinencia del uso de fracciones en lugar de decimales.

Uso de fracciones y decimales3

Eje: Número, álgebra y variación

Fracciones de tiempo

1. Lee la situación y contesta.

Carlos preguntó a algunos de sus amigos qué parte de su tiempo libre dedican a ha-cer ejercicio. Juan Pablo dedica 1

2 de su tiempo libre y Gonzalo, 1

3. Carlos perdió

el dato exacto que le dio su amigo Felipe, pero recuerda que le dijo que destina una parte mayor de su tiempo libre a la que emplea Gonzalo y menor que la que dedica Juan Pablo.

a. Escribe una fracción que pueda representar la parte de tiempo libre que dedica Felipe al ejercicio.

y ¿Cómo encontraste la fracción anterior?

y ¿Es la única respuesta correcta? ¿Por qué?

b. Formen equipos de al menos cuatro integrantes y comparen las fracciones que escribieron.Verifiquenquelasrespuestasdetodosseancorrectasyrespondan.

y ¿Todos escribieron distintas fracciones? y ¿Qué fracciones escribieron?

y ¿Cómo utilizarían la recta numérica para encontrar la fracción que se pide?

y ¿Cómo pueden utilizar lo que aprendieron sobre fracciones y decimales en la secuencia anterior para resolver el problema?

y Comenten las estrategias que utilizaron para encontrar la fracción requerida. Escriban la que consideren más adecuada y expliquen por qué.

y Discutan si es importante que Carlos pregunte de nuevo a Felipe cuál es la frac-ción de su tiempo libre que dedica a hacer ejercicio y si hubiera sido más prácti-co utilizar números decimales.

Lección 1

R. M. Utilizando comparación defracciones.

R. M. No, porque cuanto másgrande sea el denominador, más aumentan las posibles respuestas.

SíR.L.

R.M.Conubicacióndefracciones

Conociendo el valor deci-mal de cada fracción y viceversa.

R.L.

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Tema: Número

Densidad

1. Analiza las parejas de números y contesta.

a. Considera las fracciones 25

y 34

.

yy Escribe una fracción mayor que 25

y menor que 34

.

yy Ahora anota una fracción que se encuentre entre 25

y la que escribiste. yy Ahora escribe una que esté entre 2

5 y la anterior.

yy Analiza los denominadores de todas las fracciones. ¿Qué observas? yy ¿Puedes encontrar más fracciones intermedias? ¿Por qué?

b. Considera los números decimales 1.2 y 1.3.

yy Escribe un número decimal mayor que 1.2 y menor que 1.3. yy Ahora anota un número decimal que se encuentre entre 1.2 y el que escribiste.

yy Ahora escribe uno que esté entre 1.2 y el anterior. yy ¿Qué características tienen los números que anotaste?

yy ¿Cuántos números puedes encontrar si continúas este procedimiento? ¿Por qué?

c. Considera los números enteros 4 y 7.

yy Escribe un número entero que esté entre 4 y 7. yy ¿Puedes escribir un número entero que esté entre 4 y el número anterior?

¿Por qué? yy ¿Cuántos números enteros puedes encontrar si continúas este procedimiento?

¿Por qué?

yy Comparen sus respuestas en grupo y comenten qué diferencia encuentran en los tres ejercicios. Para encontrar un número entre dos dados, ¿influye si son fraccionarios, decimales o enteros? ¿Por qué? Escriban sus conclusiones y ana-licen el siguiente texto.

Entre dos números cualesquiera fraccionarios o decimales, se puede encontrar una infinidad de fracciones y decimales. A esto se le conoce como propiedad de densi-dad. Esta propiedad no la tienen los números enteros.

R. M. 1.25

R. M. 1.225R. M. 1.2225

El valor de las cifras decimales disminuye.

Infinidad porque se pueden seguir dividiendo.

R. M. 6

R. M. Sí, el 5 porque es el único entero que queda entre ambos.

R. M. Ninguno, porque no hay más enteros.

R. M. 9/20

R. M. 1/2

Los

Sí, porque los

denominadores aumentan

denominadores pueden aumentar más

R. M. 17/40

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Eje: Número, álgebra y variación

Aplicando la propiedad de densidad

1. Haz lo que se pide para cada recta numérica.

a. Ubica en la ampliación de la recta numérica dos fracciones entre 12 y 4

6 .

b. Ubica sobre la ampliación de la recta una fracción que esté entre 13 y 2

3 .

Ahora ubica una fracción entre la que encontraste y 2

3 .

c. Ubica 0.2 en la recta numérica y traza una ampliación de un segmento para hallar el número 0.02.

yy Compara tus respuestas con las de un compañero y comenten el procedimiento que siguieron para encontrar los números que se piden.

Para encontrar un nuevo número entre dos números dados, se pueden seguir dis-tintas estrategias. Si se trata de fracciones, se pueden buscar fracciones equivalen-tes a las dadas con el mismo denominador y después encontrar una fracción entre ellas. Si las fracciones son consecutivas, se pueden encontrar sus equivalentes con un denominador mayor. Otra forma de encontrar un número entre dos dados, sean fracciones o números decimales, es sumar los números y dividir la suma entre dos.

0

0

0

0

1

1

1 2 3 4

12

13

13

46

23

23

Lección 2

segmento. Fragmento de recta entre dos puntos.

Glosario

12

46

1324

712

12

712

0.2

0.02 0.2

34

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Tema: Número

2. Responde según se pide.

a. Convierte la fracción 79

a número decimal.

yy ¿Qué características tiene el número que obtuviste?

b. Escribe dos números decimales con solo dos cifras decimales y sean cercanos a 7

9 , y dos con una sola cifra decimal.

yy ¿Qué diferencia hay entre los números que encontraste cercanos a 79 ?

yy Elijan el número decimal que consideren es más cercano a la fracción dada y jus-tifiquen su elección. Después escriban una definición de aproximación.

3. Indica si en las aproximaciones se truncaron (T) o redondearon (R) los números.

a. 0.42424242 ≈ 0.424 ( ) b. 0.33333 ≈ 0.3 ( ) c. 17.7777 ≈ 17.78 ( )

yy Comenten si las aproximaciones numéricas truncando y redondeando los deci-males dan o no lo mismo para cada número y por qué.

Al utilizar fracciones para hacer cálculos, puede ser conveniente convertirlas a nú-meros decimales. Si al convertirlas no se obtiene un número decimal exacto, se puede buscar una aproximación o un número cercano que lo represente.

Para aproximar un número decimal se pueden truncar las cifras decimales, es decir, se elige el número de cifras decimales que se va a considerar y el resto se omite. Por ejemplo, 0.66 es una aproximación de 2

3 = 0.6666…Otra manera de aproximar un número decimal es redondear las cifras decimales. Para ello se observa el número en la posición decimal que sigue a la que será la últi-ma cifra decimal; si este es mayor o igual a 5, se sumará 1 a la última cifra; si es me-nor a 5, la última cifra permanecerá igual. Por ejemplo, 0.67 es una aproximación de 23 con dos cifras decimales, porque 2

3 = 0.6666…El signo ≈ se usa para indicar que un número es aproximado a otro.

Practicar para avanzar

Resuelve en tu cuaderno. Justifica tus respuestas.

1. Encuentra tres distintas aproximaciones del número 13

.

a. Analiza si puedes aproximar 13

con 310

y si eso significa que son equivalentes.

0.7

No tiene parte entera y su parte decimal es periódica pura.

0.76 y 0.78, 0.7 y 0.8

R.L.

T/R T/R R

Ver solucionario

R. M. 0.330, 0.333, 0.34

Sí se puede aproximar a través de la fracción, sin embargo, dichas fracciones no son equivalentes.

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Eje: Número, álgebra y variación

¿Fracciones o decimales?

1. Lee el problema y responde.

Un profesor aplicó un examen a sus alumnos con 24 preguntas, todas con el mismo valor. Una vez revisadas las respuestas, cuenta las que son correctas y anota en la esquina superior derecha del examen la calificación como una fracción. Al momento de repartir las calificaciones a los alumnos, les presentó la lista de la izquierda.

Alumno Calificación Alumno Calificación

Álvarez

Cárdenas

Gómez

Gutiérrez

Martínez

Ortiz

Palacios

Portilla

Topete

Vera

a. ¿Con qué criterio están ordenados los datos de la lista?

b. ¿De qué otras formas se pueden ordenar?

c. ¿Es común entregar calificaciones expresadas como una fracción? ¿De qué otras maneras se pueden escribir?

d. Utiliza la información de la página anterior sobre aproximación y completa la segunda tabla ordenando las calificaciones de mayor a menor y expresándolas como números decimales con una cifra decimal.

yy ¿Qué método utilizaste para aproximar las calificaciones? ¿Por qué? yy ¿Tu lista de calificaciones será igual que las de tus compañeros? Justifica tu

respuesta.

Lección 3

172419246

2413248

2422242424192415241024

Palacios 1

Ortiz .9

Cárdenas .8

Portilla .8

Álvarez .7

Topete .6

Gutiérrez .5

Vera .4

Gómez .3

Martínez .3

Alfabéticamente por apellido

R. M. Por el número de reactivos obtenidos

R. M. No es común. Por el valor decimal de las fracciones.

R. M. Redondeo porque no afectaba la calificación si se toma una sola cifra.

R. M. No porque algunos de mis compañeros utilizaron más cifras decimales y también el truncamiento.

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Tema: Número

e. El profesor encontró los exámenes de Rodríguez y Sánchez, que no había pues-to en la lista.

yy ¿Qué calificación obtuvo Rodríguez, si sabes que quedaría entre las de Martínez y Vera? yy ¿Qué calificación sacó Sánchez, si sabes que quedaría entre las de Martínez

y Rodríguez? ¿Cómo las encontraste? yy ¿Tiene sentido la calificación que obtuviste en el contexto del problema?

¿Por qué?

yy Comenten en grupo sus respuestas para validarlas. ¿En qué ocasiones les pare-ce más adecuado expresar cantidades como número decimal y en cuáles como fracción? Proporcionen ejemplos para justificar su elección.

Aplica lo que aprendiste y responde.

1. En el departamento de ventas de una empresa de teléfonos celulares, cada emplea-do tiene una meta mensual y recibe un bono según la razón de la meta que logró. El mes pasado Rodrigo cumplió 7

8 de su meta; Fernanda, 0.45; Alfonso, 34 ; Guillermo,

0.3333…; y Marcela, 0.75.

a. Ordena la información anterior con respecto a los datos, de mayor a menor.

Empleado

Parte de la meta cumplida

b. ¿Cómo comparaste los números?

c. ¿Existen dos o más empleados que lograron la misma razón de su meta en el mes? Justifica tu respuesta.

d. Encuentra una aproximación para el dato de Guillermo. e. ¿Podría existir un empleado que hubiera cubierto una mayor parte de su meta que

Guillermo y menor que Fernanda? ¿Cuánto podía haber logrado? f. ¿Qué tipo de números es más conveniente utilizar para mostrar esta informa-

ción? ¿Por qué?

yy En grupo comenten de cuántas maneras distintas se puede hacer la compara-ción de los datos y elijan la que consideren mejor.

Rodrigo Marcela Alfonso Fernanda Guillermo

78 0.75 3

4 0.45 0.3333…

R. M. Números decimales, en este caso es más complicado trabajar con fracciones.

9/24

R. M. 19/48 Aproximando

Obteniendo su valor decimal.

R. M. 0.3

R. M. Sí, podría haber logrado 3/8 de meta.

Si, Marcela y Alfonso porque 3/4 0.75

R. M. No, porque el número de reactivos es 24 y no 48.

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Secuencia didáctica

Contenido: Resuelves problemas que impliquen multiplicar fracciones.

Multiplicación de fracciones4

Fracciones y áreas

1. Observa las figuras y responde.

Los tres cuadrados miden de lado 1 u.

Cuadrado 1 Cuadrado 2 Cuadrado 3

a. ¿Cuánto mide el área del cuadrado 1? b. Observa el cuadrado 2. ¿Cuánto mide el área sombreada? c. ¿Cuánto mide el área sombreada del cuadrado 3?

yy Comenta con tus compañeros y tu profesor el procedimiento o razonamiento que usaste para calcular el área solicitada de cada figura.

Algoritmo de la multiplicación

1. Retoma la actividad inicial y completa la tabla utilizando fracciones.

Cuadrado Base del área sombreada (u)

Altura del área sombreada (u) Área sombreada (u2)

1

2

3

a. Escribe las multiplicaciones necesarias para llegar al resultado del área.

yy Observa cómo es el producto de la multiplicación (área) con respecto a los fac-tores (base y altura). Coméntalo con tus compañeros y escriban sus conclusio-nes en su cuaderno.

Lección 1

1u

1u

Eje: Número, álgebra y variación

1 u2

1/4 u2

1/16 u2

1 1 1

1 2

1 2

1 4

1 4

1 4

1 16

1 3 1 1, 1/2 3 1/2 1/4, 1/4 3 1/4 1/16

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2. Lee el problema y responde. Escribe tus operaciones.

El recreo del colegio dura 12 hora. De ese tiempo, Laura usa

12 de su recreo para co-

mer y Fernando, 13 . ¿Qué fracción de hora utiliza cada uno para comer?

a. ¿Piensas que el resultado sea mayor o menor que 12 , que representa la frac-

ción de hora total del recreo? ¿Por qué?

b. Cuando multiplicas números enteros entre sí, ¿el resultado es siempre mayor que los factores? Explica.

c. Analiza la siguiente información antes de continuar.

d. Utiliza el procedimiento anterior para resolver las operaciones y responde.

Fracción de tiempo, en horas, de recreo que destina Laura a comer: Fracción de tiempo, en horas, de recreo que destina Fernando a comer:

yy Validen sus respuestas con el profesor y resuelvan las dudas que hayan surgido acerca del algoritmo estudiado.

3. Aplica el procedimiento anterior para resolver multiplicaciones.

a. 23

3 57

b. 63

3 13

c. 47

3 78

d. 95

3 59

yy Comparen sus respuestas y valídenlas con ayuda de su profesor.

Para multiplicar una fracción por otra cuyo numerador es 1, se divide la primera en-tre el denominador de la segunda.

Por ejemplo, 12 3 1

4 equivale a 12 ÷ 4

Como cada parte es 18 del entero, entonces 1

2 3 14

18 .

Para multiplicar una fracción por otra cuyo numerador es distinto de uno, se sigue el procedimiento anterior y se multiplica el resultado por el numerador de la segun-da fracción. Por ejemplo, 1

2 3 34 .

Como 12 3 1

4 18 , entonces 1

8 3 3 38 .

Tema: Multiplicación y división

Menor que 1/2 porque están tomando porciones de esta fracción.

No siempre, en algunos casos el resultado es igual a alguno de los factores.

Laura destina 1/4 de hora para comer; es decir, 15 minutos.

Fernando destina 1/6 de hora para comer; es decir, 10 minutos.

10 21

6 9

28 56

45 45

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Eje: Número, álgebra y variación

Producto de fracciones mixtas

1. Lee el enunciado y completa la tabla con la cantidad que se necesita de cada ingre-diente para elaborar el número de órdenes correspondientes.

Para elaborar una orden de brownies, Alicia utiliza los ingredientes de la receta.

Ingredientes14

de orden12

de orden34

de orden

Mantequilla

Azúcar

Huevos

Vainilla

Cocoa

Harina

Polvo para hornear

a. Explica el método que utilizaste para completar la tabla.

b. ¿Qué otro procedimiento podrías utilizar?

yy Compara tu procedimiento con el que usaron otros compañeros. Elige el más sencillo y escribe en tu cuaderno tus conclusiones.

2. Analiza las multiplicaciones y contesta.

4 12 3

74

1 56 3

115 2

47 3 7

813 1

1316 3 2

1526

a. ¿Puedes aplicar la regla presentada en la formalización para resolver las opera-ciones? ¿Por qué?

b. ¿Qué necesitas hacer para resolver cada operación?

Lección 2

12

Brownies Ingredientes para una orden de

taza de mantequillataza de azúcar1

12

13

cucharadita de extracto devainilla

de taza de cocoa natural en polvo

34

de taza de harina de trigo

14

de cucharadita depolvo para hornear

1

huevos2

1 8

3 8

1 4

1 4

3 4

1 2

1 6

1 2

3 2

3 8

3 8

9 8

3 4

1 8

1 12

3 12

3 16

9 16

1 16

3 16

1

Multiplicar fracciones

R. L.

No, porque son fracciones mixtas.

Se necesita convertir el número entero en una fracción que tenga el mismo denominador de la fracción que lo acompaña.

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Tema: Multiplicación y división

c. En tu cuaderno, sigue los pasos necesarios para resolver las multiplicaciones. Escribe tu procedimiento completo y tus resultados.

yy Compara tus resultados con los de tus compañeros y, si es necesario, corrige tus operaciones con ayuda del profesor.

3. Retoma el problema de los brownies y contesta.

a. Calcula la cantidad de ingredientes que se necesita para preparar 54 de orden y para

2 14 de orden. Haz en tu cuaderno una tabla similar a la de la página anterior.

b. ¿Qué diferencia hay entre las fracciones que indican el número de órdenes de la tabla de ingredientes y las fracciones de las nuevas órdenes?

c. ¿Qué ocurre con las cantidades de los ingredientes de la tabla con respecto de las cantidades de las nuevas órdenes? ¿A qué se debe esto?

d. ¿Qué sucede con las cantidades de ingredientes en esta tabla con respecto de las que aparecen en la receta? ¿Por qué?

yy Comenten en grupo sus respuestas y justifíquenlas.

Aplica lo que aprendiste.

1. Analiza los resultados de las operaciones que has hecho en esta secuencia y con-testa en tu cuaderno.

a. ¿Cómo son con respecto a los factores? b. Al multiplicar fracciones, ¿el resultado es siempre mayor que los factores? ¿En

qué casos no lo es?

2. Resuelve el problema en tu cuaderno.

En un deportivo hay una cancha de futbol que mide 50 14 de m de largo y 31

13 de m

de ancho. El director quiere agrandar la longitud de la cancha 2 13 de veces. ¿Cuánto

mediría la nueva cancha?

yy Comparen sus resultados y comenten en qué otras situaciones es necesario mul-tiplicar fracciones.

Para multiplicar una fracción mixta por otra fracción, se convierte la fracción mixta a fracción impropia y se siguen los procedimientos estudiados. Por ejemplo:

3 12 3 3

4 5 72 3 3

4 5 218

Las fracciones de la tabla de ingredientes son menores que la unidad mientras que las de lasnuevas órdenes son mayores.

En la tabla, las can-tidades de los ingredientes no son mayores que la unidad y en las nuevas órde-nes algunas sí. Se debe a la cantidad de las nuevas órdenes.

Aumentan porque las nuevas órdenes son mayores que la receta original.

Son mayores y menores, depende de los factores.

No siempre, cuando multiplicamos por factores menores que la unidad no lo son.

Ver solucionario

Los 2 1/3 de 50 1/4 son 117 1/4, 2 1/3 de 31 1/3 son 73 1/9. Las nuevas medidas de la cancha son: largo, 50 1/4 117 1/4 167 1/2 de metro y ancho, 31 1/3 73 1/9 104 4/9 de metro.

Ver solucionario

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Secuencia didáctica

Contenido: Resuelves problemas que implican la multiplicación de números decimales.

Multiplicación de decimales5

Eje: Número, álgebra y variación

Natural por decimal

1. Lee la siguiente información y contesta.

Alberto necesita comprar mecate para una obra en la que está trabajando. Como quiere probar cuál le funciona mejor, compró 10 m de cada modelo que se vende en una ferretería.

Mecate sencillo Mecate reforzado Mecate especial $0.85 el metro $1.25 el metro $2.60 el metro

a. ¿Cómo puedes calcular cuánto dinero gastó Alberto para cada tipo de mecate?

b. Analiza esta manera de escribir el precio del mecate reforzado: 125100

.

yy Escribe el precio de los otros dos tipos de mecate como fracción.

Mecate sencillo: Mecate especial:

c. Calcula, con las fracciones, el costo de los 10 m de cada tipo de mecate.

yy Compara tus operaciones con las de tus compañeros para validarlas. Discutan qué otro procedimiento se puede seguir para calcular lo que pagó Alberto.

Multiplicación por 10, 100 y 1 000

1. Retoma el problema anterior. Analiza lo que ocurre con el punto decimal al multi-plicar por 10 y contesta.

a. ¿Puedes calcular el producto de un número decimal por 100 o por 1 000 sin rea-lizar las operaciones? Explica cómo.

b. ¿Cómo se puede calcular cuánto cuestan 5 m de cada tipo de mecate?

Lección 1

Multiplicando el número de metros que compró por el precio de cada tipo de mecate.

85 260

100 100

125 100

25 2310

85 100

17 2310

260 100310 26

Mecate sencillo: Mecate reforzado: Mecate especial:

Sí, se recorre el punto dos lugares si es por 100 y tres, si es por 1000. Se agregan los ceros en dichos lugares. R. M. Re-corriendo primero el punto decimal un lugar a la derecha en cada precio y luego dividiendo cada resultado entre dos.

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yy ¿Y 8 m? yy ¿Cómo puedes calcular el precio de 2 m de cada tipo de mecate?

yy Compara tus operaciones y tus resultados con los de tus compañeros. Observen si todos concluyeron lo mismo o en qué difieren sus respuestas.

2. Haz lo que se indica en cada caso.

a. Subraya el resultado o factor correcto para cada multiplicación.

y 2.4 3 1 000 = y 3.05 3 = 30.5 y 12 3 3.04 =

A. 240 A. 10 A. 0.3648B. 2 400 B. 1 000 B. 3 648C. 2 004 C. 100 C. 36.48

b. Calcula cuánto gastará Alberto en 25 m de cada tipo de mecate.

c. Junto con un compañero, analicen sus respuestas a los incisos anteriores y contesten.

yy ¿En qué son distintos el precio total del mecate sencillo y el precio de los otros tipos de mecate? yy ¿El producto de una multiplicación siempre es mayor que sus factores? ¿Por

qué ocurre esto? yy ¿Cómo influye en el producto que uno o los dos factores sean decimales meno-

res que 1?

yy Compara tus respuestas con las de dos compañeros. Discutan sus diferencias y, si tienen dudas, coméntenlas con su profesor.

Practicar para avanzar

Resuelve en tu cuaderno.

1. Una promoción en la venta de boletos de un espectáculo funciona así: cada boleto cuesta $125. Si se compran entre 10 y 19 boletos, se hace un descuento de $12.50 por boleto. Si se compran 20 boletos o más, se descuentan $8.75 adicionales por boleto.

a. Pablo compró 5 boletos; Alejandra, 12 boletos y Mónica, 25 boletos. ¿Cuánto gastó cada uno? Justifica tu respuesta.

b. Luisa quiere comprar 9 boletos y Javier, 10. ¿Quién gastará más? ¿Por qué? c. ¿Qué conviene más: comprar 19 boletos o 20? ¿Por qué?

Tema: Multiplicación y división

Multiplicando cada precio por 8.Multiplican-

do por 2 cada precio.

2 400 10 36.48

Mecate sencillo: $21.25, Mecate reforzado: $31.25 y Mecate especial: $65

El mecate sencillo cuesta menos que $1.

No, cuando uno de los factores está entre cero y uno, el re-sultado es menor que uno de sus factores; por ejemplo: 0.86310 = 8.6.

El resultado es menor que uno de los factores.

Ver solucionario

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Decimal por decimal

1. Lee la siguiente situación y responde.

Un equipo de nadadores de aguas abiertas cruza el mar de Cortés haciendo relevos. En promedio nadan 3.6 km por hora y tardan 8 días en cruzarlo. El tiempo acumula-do de nado de cada día se describe en la tabla.

Día Tiempo en el agua (h)

1 9.55

2 10.20

3 9.75

4 9.80

5 7.50

6 6.65

7 9.37

8 10.10

a. Explica cómo calcular cuántos kilómetros recorrieron los nadadores cada día y cómo calcular cuántos kilómetros recorrieron en total.

yy Comenten en grupo su explicación y elijan la más adecuada.

2. Analiza la multiplicación 9.55 h 3 3.6 km/h y contesta.

a. Escribe los factores y la multiplicación con fracciones decimales.

b. ¿Cuál es el producto de la multiplicación obtenida? yy Escribe el producto como número decimal.

c. Repite el procedimiento anterior para encontrar el resultado de 6.65 h 3 3.6 km/h.

d. Escribe los factores de 6.65 h 3 3.6 km/h como enteros, es decir, sin el punto decimal. yy ¿Cuál es el producto de los números anteriores? yy ¿Cuántas cifras decimales tienen en total los factores originales?

yy Usa el número anterior para contar cifras de derecha a izquierda en el produc-

to y colocar el punto decimal. yy En grupo y con ayuda del profesor, comparen ambos métodos para multiplicar

números decimales y expliquen por qué se obtiene el mismo producto.

Lección 2

Eje: Número, álgebra y variación

Multiplicando el tiempo en el agua por el promedio de nado.

955/100 3 36/10

563/100 3 478/100 269114/10000

563 3 478

34380/100034.38

269 114

26.9114

4 cifras

Distancia recorrida (km)

34.38

36.72

35.1

35.28

27

23.94

33.732

36.36

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Para multiplicar dos números decima-les, primero se multiplican los factores sin considerar el punto decimal. Una vez obtenido el producto, se coloca el pun-to decimal de manera que el número de cifras decimales sea igual a la suma del número de cifras decimales de los factores.

Por ejemplo: 4.56 3 13.1

456 3 131 456 1368 456 59736

Se coloca el punto decimal: 4.56 3 13.1 59.736

3. Utiliza la información anterior para resolver las actividades.

a. Calcula las multiplicaciones.

y 10.2 3 3.6 y 9.75 3 3.6 y 9.37 3 3.6 y 0.5 3 3.6 y 0.65 3 0.6 y 10.1 3 3.6

b. Retoma el problema de los nadadores y calcula cuántos kilómetros recorrieron nadando cada día. Agrega una columna a la tabla con tus resultados.

yy ¿Cuántos kilómetros recorrieron los nadadores en total?

yy Compara tus respuestas con un compañero y discutan sus diferencias.

Aplica lo que aprendiste.

1. Lee la situación y responde.

Elena, durante un viaje al extranjero, compró chocolates. A continuación se mues-tran los precios de los productos en euros (€) y el recibo de lo que compró.

a. ¿Cuánto gastó Elena en cada tipo de chocolate? yy ¿Cómo calculaste las cantidades anteriores?

b. Si el euro está a $20.32, ¿cuánto gastó en pesos?

A granel1 kilogramo de chocolate

con leche amargo con nuez mixto€2.20 €2.60 €2.80 €3.25

Chocolatería “A granel”21 de julio de 2017

Chocolate con leche....... 1.9 kg

Chocolate amargo.......... 1.2 kg

Chocolate con nuez.........1.1 kg

Chocolate mixto.............. 0.8 kg

¡Gracias por su compra!

Total .....€12.98

Tema: Multiplicación y división

36.72 35.1 33.7321.8 0.39 36.36

262.512 km en total

Con leche: €4.18, amargo: €3.12, con nuez: €3.08 y mixto: €2.6 Multiplicando el precio por la cantidad de chocolate que se compró.

Gastó $263.75

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yy ¿Cuánto gastó en cada tipo de chocolate en pesos?

2. Resuelve los problemas. Escribe tus procedimientos en los recuadros.

a. Si en una tienda un kilogramo de frijol cuesta $31.55, ¿cuánto se debe pagar por 0.75 kg, 1.50 kg y por 0.5 kg respectivamente?

b. Se van a hacer carteles de papel estraza para decorar una fiesta. Cada rollo de papel mide 0.90 m de ancho y cada cartel debe medir 1.5 m de largo. ¿Cuál será el área de cada cartel?

c. Una enfermera debe suministrar un medicamento a sus pacientes. La dosis es de 0.04 mg por kilogramo de peso. ¿Qué dosis debe dar a Ana, Alejandro y Karina, si pesan 32.4 kg, 43.5 kg y 50 kg respectivamente?

3. Escribe en tu cuaderno un problema que se resuelva con multiplicación de núme-ros decimales y que incluya lo siguiente.

yy Una multiplicación cuyos factores sean, ambos, números decimalesyy Una multiplicación en la que un factor sea decimal y uno enteroyy Una multiplicación en la que haya al menos un factor decimal menor que 1

yy Discute con tres compañeros los problemas del apartado “Punto de llegada” y los que escribiste. Comenten qué características tienen en común, en qué difieren y cómo fue el resultado con respecto a sus factores.

Eje: Número, álgebra y variación

Con leche: $84.93; amar-go: $63.39; con nuez: $62.58 y mixto: $52.83.

$23.66, $47.32 y $15.77 respectivamente.

31.55 3 0.75 23.662531.55 3 1.50 47.32531.55 3 0.5 15.775

0.04 3 32.4 1.2960.04 3 43.5 1.740.04 3 50 2

0.9 3 1.5 1.35

1.35 m2

R. L.

Debe suminis-trar a Ana 1.296 mg; a Alejandro, 1.74 mg y a Karina, 2 mg de medicamento respectivamente.

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Reviso mi trayecto

Resuelve los problemas. Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Toma nota de los contenidos que tienes que repasar.

1. En la recta se muestra la posición actual de un grupo de corredores.

a. Mide la recta y escribe la fracción del recorrido que ha realizado cada uno.

b. Rodrigo ha avanzado más que Diego y menos que Lorenzo. Expresa con frac-ción el recorrido que ha realizado Rodrigo.

2. Jimena vende mangos y un cliente le pidió 12 34 de kg. Como su báscula es digital,

solo marca números decimales. ¿Qué número debe marcar la báscula para que Ji-mena pese su pedido adecuadamente?

3. Paula tiene $50 para comprar aguacates, por lo que comparó el precio del kilogramo en varios puestos. En el de Jorge le alcanza para comprar 3

4 de kg; en el de Laura le alcanza para comprar 0.8 kg; en el de Nuria puede comprar 0.750 kg, y en el de Ale-jandro, 5

6 de kg.

a. ¿En qué puesto le conviene a Paula comprar los aguacates? Argumenta tu res-puesta.

4. Convierte cada fracción en su notación decimal. Escribe, en cada caso, si el núme-ro es decimal finito, periódico mixto o periódico puro según corresponda.

Fracción Notación decimal Tipo de número

0 1P B D E

L

45

132837

15

Corredores Lorenzo (L)

Paulina (P)

Bernardo (B)

Emilia (E)

Diego (D)

Fracción del recorrido

R. M. 3/5

12.750 kg

En el de Alejandro, pues le darán 0.83 kg

0.8 Decimal finito

6.5 Decimal finito

2.6 Decimal periódico puro

0.46 Decimal periódico mixto

2/3 2/5 3/7 2/3 1/2

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Secuencia didáctica

Contenido: Resuelves problemas que implican divisiones con números decimales.

División con decimales6

Reparto equitativo

1. Lee las situaciones y contesta.

Para llenar cajas con despensas básicas, unos voluntarios consiguieron 75 kg de fri-jol en paquetes de 0.250 kg y 150 litros de aceite en envases de 0.5 L.

a. ¿Cómo puedes saber para cuántas despensas les alcanza el frijol?

b. ¿Cómo puedes saber para cuántas despensas les alcanza el aceite?

c. ¿Cuántas despensas se pueden completar con frijol y aceite? d. Si cada despensa llevara 0.250 kg de frijol, ¿cuántas despensas se pueden ar-

mar con 1 kg de frijol? ¿Y con 75 kg? yy ¿Usaste un argumento como el anterior para contestar los incisos a y c? ¿En

qué difiere este procedimiento del tuyo?

e. Ahora los voluntarios van a repartir atún enlatado. Tienen 40 kg de atún en la-tas de 0.125 kg. Escribe en tu cuaderno las operaciones necesarias para calcu-lar para cuántas despensas alcanza el atún.

f. ¿Para cuántas despensas alcanzan el frijol, el aceite y el atún respectivamente?

yy Comparte tus respuestas con tus compañeros y comenten en grupo cómo las ob-tuvieron y si coincidieron en el procedimiento.

División con decimales

1. Haz lo que se indica para resolver el problema.

En una tienda de mascotas hay peceras de 3.75 L de capacidad. Para llenarlas, los empleados usan un contenedor de 15 L de agua. Para calcular cuántas peceras pue-den llenar con un solo contenedor, Eduardo, el encargado, dividió 15 ÷ 3.75 y obtuvo 4 como resultado.

a. Multiplica 15 y 3.75 por 100 y después divide la capacidad del contenedor entre la de las peceras. ¿Cuál es el resultado?

b. Compara tu resultado con el de Eduardo. ¿Qué observas? yy ¿Por qué crees que ocurre lo anterior?

Lección 1

Eje: Número, álgebra y variación

Dividiendo el total de frijol entre lo que cabe por paquete.

Dividiendo el total de aceite entre la capacidad del envase de la despensa.

Con 1 kg se arman 4 despensas, con 75 kg se arman 300 despensas.

El frijol para 300, el aceite para 300 y el atún para 320.

300 despensas

Sí. R. L.

4Es el mismo.

Al multiplicar ambas cantidades por 100 se conservó la igualdad.

400.125320. Se podrán armar 320 despensas.

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c. ¿Para qué sirve multiplicar el divisor y el dividendo por un mismo número cuando la división involucra un número decimal?

yy Comparen sus operaciones para validarlas y comenten sus conclusiones. Después analicen la siguiente información.

2. Analiza la siguiente situación y contesta en tu cuaderno.

Las calificaciones de Carla en Historia son: trabajo en clase 7.5, examen 8.8 y proyec-tos 8.2. Carla las sumó y dividió el resultado para calcular su promedio.

a. ¿Qué división hizo Carla para conocer su promedio? b. ¿Qué diferencia hay entre la división que debe resolver Carla y la que resolvió

Eduardo en la actividad anterior?

yy Definan en grupo un procedimiento para resolver la división de Carla. Después compárenlo con el de la siguiente información.

yy Calculen el promedio de Carla utilizando la información del recuadro.

Cuando el divisor es un número decimal, es necesario convertirlo en número en-tero y después hacer la división. Para ello, se agregan en el dividendo tantos ceros como cifras decimales tiene el divisor. El punto se recorre hacia la derecha y se divi-de como si ambos números fueran enteros. 6 2 . 5 | 1 5 0 2 1 5 0 0

Si es necesario, se agregan ceros en el dividendo para seguir operando hasta que el residuo sea cero o se tenga una aproximación satisfactoria.

Cuando el divisor es entero y el dividiendo es un número decimal, se divide como si ambos fueran números enteros y se coloca el punto decimal en el cociente en la misma posición que el punto decimal del dividendo.

4.2 4.63 3 | 12.6 3 | 13.90 2 12 2 12 0 6 1 9 2 6 2 1 8 0 10 2 9 1

En este caso también se pueden agregar más ceros para seguir operando.

Tema: Multiplicación y división

152.5 5 150

256.4

2 . 5 | 1 6 0 0 2 1 5 0

1 0 02 1 0 0

0

162.5 5 160

25 5 1600250

Para que se opere con números enteros.

24.5 3

8.16

La diferencia es que en la división de Eduardo el divisor es un número decimal, mientras que en la de Carla es un número entero, lo que facilita la operación.

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Decimales en el divisor y el dividendo

1. Analiza la situación y contesta.

Ernesto va a correr un maratón, es decir, 42.195 km. Sus familiares se quieren distri-buir a lo largo de la ruta para animarlo y decidieron que cada uno se colocará cada 1.609 km.

a. Anota la operación que necesitas hacer para saber cuántos miembros de la fa-milia de Ernesto van a apoyarlo a lo largo de la carrera.

b. Observa las divisiones que resolviste en la lección anterior y compáralas con las de este problema.

yy ¿Qué tienen en común? yy ¿En qué se diferencian?

yy ¿Qué procedimiento propones para resolver el problema?

c. Analiza la siguiente información con un compañero y responde.

yy Resuelvan la división del inciso a. ¿Cuántos familiares estarán apoyando a Ernesto?

yy Comparen sus resultados en grupo y comenten los tres casos de división con nú-meros decimales que han estudiado en la secuencia. Resuelvan las dudas que hayan surgido.

Lección 2

Cuando tanto el divisor como el dividendo son números decimales, se recorre el punto decimal de ambos a la derecha tantos lugares como cifras decimales tenga el divisor. Si es necesario, en el dividendo se agregan ceros. Después se resuelve la di-visión como si ambos números fueran enteros.

6 5.8 2.55 | 15.30 2.5 | 14.5 0 2 15 30 2 12 5 0 2 0 0 2 2 0 0 0

Si es necesario, también en este caso se agregan ceros al dividendo para seguir ope-rando hasta que el residuo sea cero o se tenga la aproximación que se busca.

Eje: Número, álgebra y variación

42.195 1.609

Contienen números decimales

En la división de este problema tanto el divisor como el dividendo son números decimales, en las anteriores era solo uno de los dos.

R. M. Recorrer el punto decimal en ambas cantidades y si es necesario agregar ceros en la que haga falta.

26 familiares

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2. Resuelve los problemas de división.

a. Iván hará un viaje y necesita cambiar $4 125.95 a dólares. En el banco le infor-maron que el tipo de cambio está en $17.90 por dólar. ¿Cuántos dólares tendrá para su viaje?

b. Un galón de agua equivale aproximadamente a 3.785 L. Si a cada vaso le caben 0.25 L, ¿cuántos vasos se pueden llenar con un galón? Justifica tu respuesta. yy ¿Cuántos galones se pueden llenar con 20 L? Explica tu respuesta.

yy Valida con un compañero las divisiones que resolviste para contestar los problemas.

Aplica lo que aprendiste.

1. Analiza la situación y responde. Anota todas las operaciones en tu cuaderno.

En el rancho San Miguel se destina una parcela de 75 m 3 52.5 m para cajones de lombricultura. Cada cajón mide 3.5 m 3 3.75 m.

a. ¿De cuántas maneras pueden acomodar los cajones? ¿Cómo lo sabes? yy ¿Cuál es la más eficiente? Justifica tu respuesta.

b. ¿Cuántos cajones caben?

yy ¿Sobra espacio? ¿Por qué?

Otra parcela que mide 102 m 3 127.5 m se asignará para plantar viñedos. Cada viñe-do necesita un espacio cuadrado de 0.85 m de largo.

c. ¿Cuántos viñedos podrán plantarse? ¿Sobra espacio?

d. Compara la solución del problema de los cajones de lombricultura con la de los viñedos. ¿En qué caso el resultado es mayor que el dividendo? yy ¿Por qué sucede esto?

yy Validen sus respuestas en grupo. Compartan su reflexión del inciso d y conclu-yan en grupo. Con ayuda de su profesor, resuelvan las dudas que aún tengan so-bre la división con números decimales.

Tema: Multiplicación y división

230.5 dólares

15.14 vasos, se obtiene de dividir 3.785 0.255.28 galones

De catorce maneras diferentes, dividiendo el ancho de la parcela entre el ancho del cajón.

En la que caben más cajones de lombricultura porque se aprovecha todo el espacio disponible.

300 cajonesNo sobra espacio porque caben justos si se aco-

modan del lado que miden 3.75 sobre el lado de la parcela que mide 75 m.

18 000 viñedos y no sobra espacio

En el caso de los viñedos

Porque el divisor es menor que la unidad.

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Secuencia didáctica

Contenido: Identificas situaciones proporcionales y no proporcionales. Usas constantes de proporcionalidad fraccio-narias o decimales (con fracciones o decimales mayores, menores e iguales a uno).

Proporcionales y no proporcionales7

Eje: Número, álgebra y variación

Relaciones de proporcionalidad

1. Analiza la información y responde.

En una feria se ofrecen los siguientes pases de entrada.

yy Pase individual: incluye pases a todos los juegos. Precio: $145.50yy Pase por automóvil: incluye estacionamiento y pases para todos los juegos para

todas las personas que quepan en el automóvil. Precio: $700yy Pase por juego: incluye una entrada por $35 y boletos de $15.50 para cada juego.

a. Si 4 personas quieren comprar el pase individual, ¿cuánto deben pagar?

¿Y si son 8 personas? b. Si el número de personas que quieren comprar el pase individual au-

menta al triple, ¿qué sucede con la cantidad por pagar?

c. Si 4 personas que compartirán automóvil quieren comprar el pase para automóvil, ¿cuánto deben pagar en total? ¿Y si fueran 8 personas en un solo automóvil?

d. ¿Qué sucedería en el caso del pase para automóvil si el número de per-sonas aumentara al triple?

e. ¿Es proporcional la relación entre el número de personas y la cantidad por pagar en los diferentes pases? Justifica tu respuesta.

yy Comenten en grupo los procedimientos que siguieron para responder la actividad. Verifiquen qué recuerdan de lo estudiado anteriormente sobre proporcionalidad.

Análisis de situaciones de proporcionalidad

1. Lee la situación y haz lo que se pide.

Jimena quiere hornear galletas para ponerlas en mesas de dulces en eventos. Des-pués de mucho buscar, encontró una receta para hacer 20 galletas, pero la cantidad de galletas que le pidan variará en cada evento.

relación de proporcionalidad. Cuando dos conjuntos de cantidades están relacionados de manera que, al cambiar las cantidades en un conjunto, las del otro conjunto lo hacen de la misma manera.

Glosario

Lección 1

$582 $1 164

Aumenta el triple también.

$700$700

Seguiría siendo el mismo precio.

No, solo en el primer caso, pues la condición del pase de automóvil establece que in-cluye a todos cuantos quepan.

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Tema: Proporcionalidad

a. Completa la tabla según los datos de la receta que encontró Jimena.

Número de galletas

Ingredientes10 20 30 40 60

Harina (tazas) 2

Sal (cucharaditas)14

Mantequilla (tazas)34

Azúcar (tazas) 1

Huevo (piezas) 2

Avena (tazas) 1 12

b. Contesta.

yy ¿El número de galletas es proporcional a la cantidad que se necesita de cada ingrediente? ¿Cómo lo sabes? yy Si Jimena quiere hacer 40 galletas, ¿debe hornearlas durante 20 min o necesita

más tiempo? yy ¿El número de galletas es proporcional al tiempo de horneado? Justifica tu

respuesta.

yy Revisen sus respuestas y comenten cómo se debe identificar que la relación en-tre dos conjuntos de cantidades sea proporcional.

Si en un conjunto que tiene una relación de proporcionalidad directa con otro las cantidades aumentan al doble o al triple, en el otro conjunto también aumentarán al doble o al triple. Si disminuye la cantidad a la mitad en el primer conjunto, tam-bién va a disminuir a la mitad en el segundo.

tazas de harina

cucharadita de bicarbonato

de cucharadita de sal

tazas de avena

20 galletas

Tiempo de horneado: 20 min

Temperatura: 350 ºC

Galletasde avena

de taza de mantequilla sin sal

taza de azúcar morena

huevos

1214

12

2

1

341

2

1 3 4 6

18 3

8 12 3

4

38 9

8 32 9

4

12 1 1

2 2 3

1 3 4 6

34 9

4 3 92

Sí, porque aumenta la cantidad de ingredientes dependiendo de la cantidad de galletas que se harán.

20 minutos

R. M. No es proporcional, la temperatura del horno es constante, no depende de la cantidad de galletas.

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Eje: Número, álgebra y variación

Lección 2 Valor unitario

1. Contesta según la información proporcionada.

En las etiquetas de las bolsas de comida para perro viene una sugerencia de porcio-nes, según el peso del animal. La etiqueta de una bolsa sugiere que para perros que pesan 40 kg, se administren 4 tazas de 160 g cada una.

a. ¿Cuánto debe comer al día en tazas y en gramos un perro de 20 kg?

b. Y si el perro pesa 5 kg, ¿cuánto se le debe dar de comer?

c. ¿Cuántos gramos de alimento debe comer un perro de 42 kg? ¿A cuántas tazas corresponden?

d. ¿Cómo calculaste las respuestas anteriores?

e. ¿Son proporcionales el peso y la cantidad de alimento? Justifica tu respuesta.

yy Compara tu procedimiento con el de algunos compañeros e identifica diferen-cias y similitudes. Después, lean la siguiente información y comenten qué pro-cedimiento les puede servir para calcular la cantidad de alimento que debe consumir cualquier perro.

f. ¿Cuánto alimento debe consumir un perro por kilogramo de peso?

g. ¿La cantidad anterior te sirve para encontrar el alimento que debe consumir cualquier perro? ¿Por qué?

h. Utiliza el valor unitario para calcular la cantidad de alimento, en tazas y gramos, que deben consumir un perro de 18 kg, uno de 36 kg y uno de 45 kg.

i. ¿Qué operaciones realizaste para encontrar las cantidades de alimento?

En una situación de proporcionalidad, el valor en un conjunto que corresponde a una unidad del otro conjunto se llama valor unitario.

Debe comer 2 tazas que son 320 g.Debe comer 1/2 taza

que son 80 g.

Debe comer 672 g que equivalen a 4.2 tazas.R. M. Calculando primero la equi-

valencia de 1 taza y luego del peso del perro.

Sí, si el peso del perro disminuye el alimento también y viceversa.

1/10 de taza

Sí, porque solo multiplicaría el número de taza y el

18 kg → 1.8 tazas → 288 g, 36 kg → 3.6 tazas → 576 g, 45 kg → 4.5 tazas → 720 g

que equivale a 16 g.

gramaje por el peso del perro.

Multiplicar el peso de cada perro por los valores del inciso f.

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Tema: Proporcionalidad

En una relación de proporcionalidad, el número por el cual multiplicamos las canti-dades de un conjunto para obtener las del otro se llama constante de proporciona-lidad. Este número es igual al valor unitario.

Practicar para avanzar

Lee los problemas y contesta.

1. En un salón de secundaria hay 2 mujeres por cada 3 hombres. Si en total hay 18 hombres, ¿cuántas mujeres hay en el salón?

a. Resuelve el problema. Escribe tu procedimiento.

b. ¿El número de mujeres es proporcional al número de hombres que hay en el salón? ¿Cómo lo sabes?

2. Un jugo combinado se prepara con 34 partes de jugo de naranja y 1

4 parte de jugo de be-tabel. Si se quiere preparar 2 1

2 L de jugo combinado y se sabe que 4 tazas equivalen a 1 L, ¿cuántas tazas de jugo de naranja y cuántas de jugo de betabel se necesitan?

a. Resuelve el problema. Escribe tu procedimiento.

b. ¿Qué propiedades de la proporcionalidad utilizaste para resolver este problema?

¿Utilizaste fracciones en tus operaciones al resolver los problemas? Si no lo hiciste, encuen-tra nuevamente las respuestas utilizando fracciones. No olvides simplificar.

2/3 0.666 0.666 3 18 12

Sí, porque por cada dos mujeres hay tres hombres.

7 1/2 de tazas de jugo de naranja y 2 1/2 de taza de jugo de betabel.

R. M. Primero utilicé el valor unitario para determinar la cantidad en litros de cada jugo, posteriormente utilicé la relación de proporcionalidad directa para determinar el nú-mero de tazas.

12 mujeres

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Eje: Número, álgebra y variación

Proporcionalidad y multiplicación de fracciones

1. En secuencias anteriores resolviste multiplicaciones de fracciones. Comenta con tus compañeros y tu profesor los procedimientos que seguiste y escríbelos en tu cuaderno.

2. Resuelve las multiplicaciones y contesta.

y 8 3 12 5 y 25 3 4

3 5

y 50 3 32 5 y 9 3 1

8 5

y 12 3 1

4 5 y 1 12 3 1

4 5

a. ¿Cómo se multiplica un entero por una fracción?

b. ¿Por qué crees que se hace de esa manera?

c. ¿Qué sucede con una cantidad entera cuando se multiplica por una fracción?

d. ¿Cuándo aumenta o disminuye una cantidad entera al multiplicarse por una fracción?

e. ¿En algún caso se queda igual el entero al multiplicarse por una fracción? ¿En cuál?

f. ¿Cómo se multiplica una fracción por otra?

g. ¿En qué casos, al resolver un problema de proporcionalidad, es necesario mul-tiplicar fracciones? Escribe dos ejemplos.

yy Compara tus respuestas con las de tus compañeros y comenten qué relación hay entre la multiplicación de fracciones y los problemas de proporcionalidad. Revisen con su profesor que los ejemplos que escribieron sean correctos.

Lección 3

Se multiplica el entero por el numerador y el resultado se escribe en su mínima expresión.

R. M. Porque es el equivalente a expresar el entero dividido entre la unidad y a aplicar el algoritmo de la multi-plicación de fracciones.

Aumenta cuando la fracción es impropia y disminuye cuando la fracción es propia.

Se convierte en una fracción.

Sí, en el caso en el que la unidad es expresada como fracción, por ejemplo: 4(3/3) 4.

Se multiplica numerador por nume-rador y denominador por denominador.

R. M. En recetas de cocina y en escalas.

4

75

33

18

13

98

38

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Tema: Proporcionalidad

3. Considera lo que acabas de repasar sobre la multiplicación de un entero por una fracción para resolver el siguiente problema.

Juan utiliza 1 14 tazas de harina cuando quiere preparar hot cakes para 4 personas.

a. ¿Cuántas tazas de harina debe utilizar si quiere preparar hot cakes para 8 personas?

b. ¿Cuántas tazas de harina necesita si quiere preparar hot cakes para 10 personas?

yy Valida tus respuestas con un compañero y, si tienen dudas, consulten a su profesor.

Aplica lo que aprendiste.

1. Resuelve el problema.

Francisco quiere construir torres con cubos, como las que se muestran. Primero construye una torre y después le agrega cubos para obtener la segunda.

a. ¿Cuántos cubos agrega a cada torre en cada paso?Torre verde: Torre azul:

b. ¿El número de cubos de cada torre es proporcional al número de pasos de construcción? Justifica tu respuesta.

2. Reúnanse en parejas y hagan lo que se indica.

a. Inventen o investiguen una situación en la que dos conjuntos de cantidades se relacionen de manera proporcional y otra en la que no lo hagan.

b. Elaboren en su cuaderno una tabla que muestre al menos cuatro valores de cada conjunto y sus correspondientes del otro conjunto.

c. Escriban la constante de proporcionalidad de la situación que eligieron. Mencionen para qué se puede utilizar.

d. Expliquen cómo se puede saber, a partir de las tablas, cuál es una relación de proporcionalidad y cuál no.

yy Con ayuda del profesor, elaboren conclusiones.

Paso 1 Paso 2 Paso 3

Paso 1 Paso 2 Paso 3

6, 4 y 5 3, 3 y 3

2 12

tazas

3 18

tazas

R. L.

Torre verde, el número de cubos no es

proporcional. Torre azul, el número de cubos es proporcional, en cada paso se van aumentando 3 cubos.

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Secuencia didáctica

Contenido: Resuelves problemas de proporcionalidad en los que se calcula el valor unitario y del tipo valor faltante, a través de las propiedades de la proporcionalidad (razones externas e internas). Usas tablas y gráficas de proporciona-lidad directa.

Valor faltante y proporcionalidad8

Eje: Número, álgebra y variación

Propiedades de la proporcionalidad

1. Lee la situación y contesta.

Para hacer pintura anaranjada, Cecilia y José mezclaron 3 tazas de pintura roja por cada 4 tazas de pintura amarilla.

a. ¿Están relacionadas de manera proporcional la cantidad de tazas de pintura roja y la cantidad de tazas de pintura amarilla al hacer cualquier cantidad de pintura anaranjada? Justifica tu respuesta.

b. ¿Cuánta pintura amarilla se necesita si se usan 1 12 tazas de pintura roja?

¿Cómo lo supiste?

yy Comenten en grupo sus respuestas y valídenlas. Analicen la justificación que ex-pusieron y resuelvan sus dudas.

Procedimientos para encontrar un valor faltante

1. Analiza los procedimientos que siguieron Cecilia y José para responder las pre-guntas de la sección anterior y contesta.

Cecilia JoséSé que en relaciones de proporcionali-

dad, cuando una cantidad disminuye a

la mitad, la otra también lo hace. Si 1 12

es la mitad de 3, puedo saber que a 1 12

le corresponden la mitad de tazas ama-

rillas que a 3.

Esto quiere decir que a 1 12 tazas de pintu-

ra roja le corresponden 2 tazas de pintura

amarilla, porque 2 es la mitad de 4.

Si sé que a 3 tazas de pintura roja le co-

rresponden 4 tazas de pintura amarilla,

a 1 taza de pintura roja le corresponden 43 de taza de pintura amarilla.

Esto quiere decir que a 1 12 tazas de pin-

tura amarilla le corresponden

1 12 3 4

3 tazas de pintura roja.

a. ¿Cuál de los dos procedimientos te parece mejor? ¿Por qué?

Lección 1

Sí, porque si reduce la cantidad de pintura roja disminuye la amarilla.

R. L.

2 tazas, porque se disminuye en la misma proporción.

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Tema: Proporcionalidad

Practicar para avanzar

1. Resuelve las siguientes multiplicaciones.

y 13 3 1

2 5 y 12 3 4

3 5 y 57 3 1

1 5

y 1 12 3 1

2 5 y 13 3 2 1

4 5 y 2 14 3 1 1

2 5

a. Analicen en grupo si las cantidades originales se vuelven mayores o menores al multi-plicar y comenten por qué creen que ocurre esto.

2. Utilicen los procedimientos de Cecilia y José para resolver los siguientes problemas de dos maneras distintas. Escribe tus operaciones.

a. Tus vecinos te contrataron para que cuides a su bebé por unas horas al día. El primer día lo cuidaste 4 h y te pagaron $300. ¿Cuánto te pagarán al día siguiente si lo cuidas 2 1

2 h?

yy Si cuidas al bebé otro día de las 11:00 a las 17:15 horas, ¿cuánto deberán pagarte?

b. Enviar tres paquetes de menos de 1 kg de la Ciudad de México a Puebla cuesta $200. ¿Cuánto costará enviar cuatro paquetes, suponiendo que el costo es proporcional al número de paquetes?

b. Utiliza el procedimiento de Cecilia para obtener el número de tazas de pintura roja que corresponden a 12 tazas de pintura amarilla. Justifica tu respuesta.

c. Utiliza el procedimiento de José para obtener el número de tazas de pintura amarilla que corresponden a dos tazas de pintura roja.

yy Comenten las estrategias que utilizaron para encontrar el número de tazas de pintura faltantes. Elijan la que consideren más eficiente.

16

34

34

38

23

57

3

Ver solucionario

Ver solucionario

Estrategia de Cecilia: 300 3 5/8 187.5. Estrategia de José: A 1 hora le corres-ponden $75. A 2 ½ horas le corresponden $75 3 2 1/2 $187.50

$468.75

$266.66

Estrategia de Cecilia: El tiempo a considerar es de las 11:00 a las 17:15 horas, el tiempo aumentó 25/16 respecto de lo que lo cuidaste el primer día. Así que el pago es: $300 3 25/16 $468.75. Estrategia de José: A 1 hora le corresponden $75. A 6 1/4 horas le corresponden $75 3 6 1/4 $468.75

Estrategia de Cecilia: El número de paquetes aumentó 4/3 de la cantidad inicial de paquetes, por tanto, el costo que se debe pagar por enviar 4 paquetes es $200 3 4/3 266.66. Estrate-gia de José: Por cada paquete cobran $66.66. Por 4 paquetes cobran $266.66.

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Eje: Número, álgebra y variación

Lección 2 Uso del valor unitario para resolver problemas

1. Completa la tabla según la combinación que usan Cecilia y José para hacer pintura anaranjada. Después responde.

Tazas de pintura roja Tazas de pintura amarlilla

1

1 12

2

2 34

3 4

5

a. ¿Qué estrategias usaste?

b. ¿Cuál es el valor unitario en este problema? ¿Y la constante de proporcionalidad? c. ¿Qué sucede con las cantidades de pintura roja al multiplicarlas por el valor

unitario? ¿Por qué?

d. Si el valor unitario hubiera sido 12 , ¿qué habría sucedido con la cantidad de ta-

zas de pintura roja? ¿Habría aumentado o disminuido? ¿Por qué?

yy Multiplica los valores de la primera columna de la tabla por una fracción menor que 1 y por otra mayor que 1. Comprueba que los valores disminuyen y aumen-tan, como indica la información anterior.

Al multiplicar un número por una fracción menor a 1, el producto será un número menor al original.

Si se multiplica un número por una fracción mayor a 1, el producto será un núme-ro mayor al original.

43

2

83

103

3 12

4 163

4 12 6

R. L.

El valor unitario es 4/3La constante de proporcionalidad es de 4/3.

Aumenta porque la constante es mayor a la unidad.

Disminuiría porque la constante sería menor a la unidad.

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Tema: Proporcionalidad

La escala como un caso de proporcionalidad

2. Analiza la situación y la imagen correspondiente y haz lo que se pide.

Roberto tiene una fábrica de portarretratos y produce todos sus diseños en distintos tamaños. Diseñó el siguiente portarretratos, pero ahora quiere hacerlo más chico, con 6 cm de altura en lugar de 9 cm. Para tener claras todas las medidas de ambos tamaños del portarretratos, Roberto hizo la siguiente tabla.

Medidas del portarretratos

original(cm)

Medidas del portarretratos

pequeño(cm)

1

1 12

1 34

2 12

3

4

5

9 6

a. Para calcular la longitud de la altura del rectángulo azul, en el portarretratos pequeño, Roberto piensa que se debe multiplicar 4 por 2

3 . Explica por qué tie-ne razón.

b. Completa la tabla con las medidas del portarretratos pequeño.

c. ¿Qué estrategia seguiste para completar la tabla?

yy Comenta tus procedimientos con tus compañeros y tu profesor. Analicen si usa-ron el valor unitario o las propiedades de la proporcionalidad, como que cuando una cantidad aumenta al doble, la otra también lo hace, etcétera.

23

1

1 16

1 23

2

2 23

3 13

Porque 2/3 es la constante de proporcionalidad

R. M. Multipliqué la constante de proporcionalidad por cada medida original del portarretratos.

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Eje: Número, álgebra y variación

Lección 3 Tablas y gráficas de proporcionalidad

1. Analiza la información y haz lo que se pide.

En una tienda de videojuegos tienen diferentes ofertas. Completa la tabla con lo que habría que pagar por los videojuegos de acuerdo con cada promoción.

Número devideojuegos

Preciooferta 1

($)

Preciooferta 2

($)

Preciooferta 3

($)

1 140.00 140.002 200.003 280.00 340.004 400.005 700.006789

a. ¿Son proporcionales el número de videojuegos comprados y el precio en las di-ferentes opciones? Justifica tu respuesta.

b. En el siguiente plano cartesiano se graficaron las diferentes opciones que ofre-ce la tienda. Escribe la oferta correspondiente junto a cada gráfica.

yy ¿Cómo es la gráfica de la opción que corresponde a una relación de proporcionali-dad?

1 VIDEOJUEGO POR $140.00

3 VIDEOJUEGOS POR EL PRECIO DE 2

1 VIDEOJUEGO POR $140.00 Y2 VIDEOJUEGOS POR $200.00

OFERTA

1OFERTA

2OFERTA

3

VIDEOJUEGOS

Precio de videojuegos

Número de videojuegos

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1400

1200

1000

800

600

400

200

Prec

io ($

)

140.00 280.00 280.00 420.00 420.00 560.00 560.00 540.00 560.00 600.00 840.00 700.00 740.00 980.00 840.00 800.00 1 120.00 840.00 940.00 1 260.00

Solo en la oferta 3 porque aumenta constantemente de acuerdo con el número de videojuegos.

Es una línea recta.

Oferta 1

Oferta 3

Oferta 2

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Tema: Proporcionalidad

yy Observa de nuevo las gráficas de la página anterior. Comenten si alguna repre-senta una relación de proporcionalidad y justifíquenlo matemáticamente.

Aplica lo que aprendiste.

1. Resuelve el problema.

Una compañía de teléfono celular ofrece tres planes. Plan 1: Pagar $2.50 el minutoPlan 2: Pagar $345 mensualesPlan 3: Pagar $50 mensuales y $2.15 el minuto

a. ¿Cuál plan conviene más? b. ¿Son proporcionales el número de minutos y la cantidad a pagar? Justifica tu

respuesta. c. Completa la tabla y grafica la relación entre minutos y costo de cada plan.

Minutos Costo porplan 1 ($)

Costo porplan 2 ($)

Costo porplan 3 ($)

0306090

120150

yy Comenten qué procedimientos se pueden utilizar para encontrar cantidades fal-tantes en una relación de proporcionalidad, cuál les parece mejor y por qué.

La gráfica que representa una relación de proporcionalidad entre los elementos de dos conjuntos es una recta que pasa por el origen, es decir, que pasa por el punto (0, 0).

Tiempo (min)

75 345 114.5 150 345 179 225 345 243.5 300 345 308 375 345 372.5

0 345 50

El plan 1 sí es proporcional.

1. Para que le convenga el plan 1 deberá consumir me-nos de 138 minutos, para que le convenga el plan 3 deberá consumir menos de 118 minutos y para que le convenga el plan 2 debe consumir más minutos que en los otros dos planes.

1.

Plan 2

Plan 3

Plan 1

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Secuencia didáctica

9 Contenido: Comprendes y usas la regla de tres en problemas diversos.

Regla de tres

Eje: Número, álgebra y variación

Proporcionalidad y valor unitario

1. Analiza la información y responde.

Pedro está trabajando en el negocio de su familia en las vacaciones de verano. Espe-ra comprar unos tenis de $1 580 al final del verano. Hasta el momento lleva trabajan-do 12 días y le han pagado $654.

Platicando con sus hermanas, Rosa y Teresa, Pedro comenta que no está seguro si va a poder comprar los tenis después de los 28 días que trabajará en total.

a. ¿Cómo puede saber Pedro si le alcanzará para los tenis?

b. Rosa le dice que por 24 días le pagarán el doble de lo que lleva. ¿Es cierto? Justifica tu respuesta.

c. ¿Esta información puede ayudar a Pedro? Explica por qué.

d. ¿Es suficiente conocer lo que le pagarán a Pedro en 24 días para saber si le al-canzará para los tenis? Justifica tu respuesta.

Pedro dice que prefiere utilizar el valor unitario y encontrar cuánto le van a pagar por día.

e. Encuentra el valor unitario y utilízalo para saber cuánto le pagarán a Pedro en 28 días.

f. ¿Le alcanzará el dinero a Pedro para comprar los tenis? Explica cómo lo calcu-laste.

g. ¿Cuánto le sobrará o le faltará? Justifica tu respuesta.

yy Comenta tus respuestas con tus compañeros y con tu maestro.

Lección 1

R. M. Dividiendo 654 entre 12 y multiplicando por 28.

Sí, porque será el doble de tiempo laborado

R. M. Sí, porque de esta manera tendrá un cálculo más aproximado a lo que juntará en total.

No, debe saber cuánto le paga-rán por día para saber si con los cuatro días faltantes juntará el dinero.

El valor unitario es $54.5, por los 28 días le pagarán $1 526.

No le alcanzará. Se puede comprobar mediante una comparación del precio de los tenis y el monto total de pago.

Le faltarán $54.

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Tema: Proporcionalidad

¿Cómo aplico la regla de tres?

1. Lee la situación y haz lo que se pide.

Teresa, que ya va en secundaria, dice que conoce otro método para encontrar lo que le van a pagar a Pedro. Dice que para llevarlo a cabo se debe hacer lo siguiente:

yy Primero hay que escribir las cantidades ordenadas de la siguiente manera:

Días Pesos

12 654

28

yy Luego se multiplica cruzando las cantidades conocidas: 28 3 654. El resultado se divide entre el número conocido que queda, es decir, 12.

28 3 65412 5

a. Entonces, a Pedro le pagarán por trabajar 28 días.b. Analiza el procedimiento que Teresa llevó a cabo para saber cuánto le van a pa-

gar a Pedro. yy ¿Se parece a los procedimientos que has utilizado anteriormente para resolver

problemas de proporcionalidad? ¿En qué es diferente?

c. Compara el procedimiento de Teresa con el de Pedro.

yy ¿Se obtuvo el mismo resultado? Justifica tu respuesta. yy ¿Son equivalentes la regla de tres que utilizó Teresa y el procedimiento que

usa el valor unitario? Explica por qué.

yy ¿Para qué sirve la regla de tres? Escribe en tu cuaderno un párrafo describiendo este procedimiento. Después compártelo con tus compañeros. Si lo consideras necesario corrije o amplía tu explicación.

Al procedimiento que utilizó Teresa se le conoce como regla de tres y sirve para encon-trar valores que faltan en relaciones de proporcionalidad.

$1 526

R. M. No, es diferen-te porque no está encontrando el valor unitario.

R. M. Sí, fue el mis-mo resultado porque el pago es proporcional con el dinero que obtendrá.

R. M. Sí, son equivalentes porque en ambas relaciones hay proporcionalidad directa.

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Eje: Número, álgebra y variación

La regla de tres y el valor unitario

1. Lee la situación y haz lo que se pide.

Laura fue con tres de sus amigas al cine y pagaron $520 por las entradas. ¿Cuánto tendrán que pagar la siguiente vez si las acompañan otras dos amigas?

a. Utiliza la regla de tres para encontrar cuánto tendrán que pagar Laura y sus amigas.

b. Resuelve el problema de nuevo, esta vez utiliza el valor unitario. yy ¿Obtuviste el mismo resultado con ambos procedimientos? ¿Cuál prefieres

utilizar? Explica tu respuesta.

yy Comparte tu respuesta con tus compañeros y, con ayuda del profesor, validen sus procedimientos.

Lección 2

Practicar para avanzar

Resuelve los problemas en tu cuaderno.

1. Por cada 5 páginas que Joaquín puede leer, su hija Tania puede leer 3.

yy ¿Cuántas páginas leerá Tania en el tiempo que Joaquín lee un libro de 112 páginas?yy ¿Cuántas páginas puede leer Joaquín en el tiempo que Tania lee un cuento de 54 páginas?

2. En la escuela de Mónica mandaron a hacer camisetas con el nombre del equipo de basquet-bol. Tuvieron que pagar $2 348 por 50 camisetas. Si necesitan otras 15 camisetas, ¿cuánto más tendrán que pagar?

3. Julio y su abuelo construyen casas para pájaros. En 5 h pueden armar 7 casas.

yy ¿Cuánto se tardarán en construir 10 casas? yy ¿Y 15 casas?

4. En el salón de Mario organizaron un viaje al zoológico y pagaron $1 260 por los boletos de en-trada para 35 alumnos. ¿Cuánto tendrán que pagar por los boletos en el salón de Jimena, si son 38 alumnos?

Comenta con tus compañeros los procedimientos que seguiste para resolver los problemas. Valida tus respuestas.

4520 6 520 3 6

4 5 780

5204 5 130, 130 3 6 5 780

R. L.

67.2 páginas

90 páginas.

$704.4

7.14 horas10.71 horas

$1 368

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Tema: Proporcionalidad

La regla de tres cuando no hay proporcionalidad

2. Lee la situación y responde.

En una papelería se venden cajas de 30 lápices a $39.99 cada una. Si se compran 5 cajas, la quinta es gratis. ¿Cuánto hay que pagar si se quiere comprar 180 lápices?

a. Intenta resolver el problema anterior utilizando la regla de tres.

yy ¿Qué resultado obtuviste? yy ¿Se tomó en cuenta la caja que dan gratis? yy ¿Son proporcionales el número de lápices y el costo? Explica tu respuesta.

yy ¿Puedes utilizar el valor unitario para resolver el problema?

Justifica tu respuesta.

yy Comenta tus respuestas con tus compañeros y con tu maestro. Elaboren una conclusión grupal.

Aplica lo que aprendiste.

Resuelve los problemas en tu cuaderno.

1. Susana descarga canciones por internet. En promedio, descarga 15 cada mes y el mes pasado pagó $217.50.

a. Si este mes pagó $261, ¿cuántas canciones descargó? b. En otra compañía le ofrecen descargar 12 canciones por $168 al mes. Si hubiera

cambiado de compañía, ¿cuánto pagaría por las canciones que descargó este mes? c. ¿Cuál compañía le conviene más? Justifica tu respuesta.

2. En la central de abastos se vende la caja de fresas de 9 kg en $165 y la caja de 25 kg en $450. Si un supermercado quiere 65 kg de fresas, ¿cuántas cajas de cada tipo le conviene comprar? Expón cómo aplicaste la regla de tres.

yy Explica qué procedimientos utilizaste para resolver los problemas y pregúntale a un compañero cómo lo hizo.

Observa que la regla de tres y el uso del valor unitario son procedimientos que puedes utilizar solamente en situaciones en las que las cantidades se relacionan de manera proporcional.

$239.94R. M. Para la operación sí se consideró.

No lo son, pues el número total de lápices no aumenta proporcionalmente.

No, porque no cobrarán los 180, solo 150 lápices.

18 canciones

El supermercado deberá comprar 7.2 ca-jas de 9 kg cada una, por las que pagará $1 188, mientras que si compra 2.6 cajas de 25 kg cada una pa-gará $1 170. Por lo cual le conviene más comprar 2.6 cajas de 25 kg ya que se ahorra $18 por cada pedido.

a. La segunda pues le cobran $0.5 menos por canción.

$252

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Secuencia didáctica

Contenido: Identificas el porcentaje como un caso particular de la proporcionalidad.

Porcentaje como proporcionalidad10

Eje: Número, álgebra y variación

Significado de porcentaje

1. Analiza la información y responde.

Felipe leyó un estudio en el que se indica que en las zonas urbanas de México 54% de los niños y las niñas usa el transporte público para llegar a la escuela, mientras que 5% utiliza la bicicleta, 20% llega caminando y el resto lo hace en automóvil particular.

En la escuela de Felipe hay 540 alumnos inscritos y se localiza en una zona urbana. Felipe cree que más de 300 alumnos llegan a la escuela en transporte público.

a. ¿Tiene razón Felipe? ¿Por qué?

b. ¿Es cierto que más de la mitad de alumnos llega a la escuela en transporte públi-co? Justifica tu respuesta.

c. Con base en la información del estudio, explica cómo obtienes el número de alumnos que llega a la escuela en transporte público.

d. ¿Es cierto que la cuarta parte de los alumnos llega caminando a la escuela? Justifica tu respuesta.

e. ¿Qué porcentaje de estudiantes en las zonas urbanas llega en automóvil particu-lar? ¿Cómo obtuviste la respuesta?

f. ¿Qué quiere decir que 54% de los niños utiliza el transporte público?

yy Comenta tus respuestas con tus compañeros y con tu profesor. ¿Tus compañeros usaron procedimientos similares?

Lección 1

No, porque el número de alumnos que llegan en transporte público debe ser más apegado a la mitad.

Sí, es cierto porque la mitad es el 50% y se plantea que lo hace un 54%.

Se puede obtener me-diante el planteamiento de una relación de proporcionalidad.

No, porque solo llegan caminando 108 alumnos y si fuera el 25% serían 135.

El 21%, lo obtuve sumando 50% 5% 20% y el resultado lo resté a 100% que son todos los alumnos.

R. M. Quiere decir que el 46% del alumnado utilizan un medio de transporte diferen-te al público.

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Tema: Proporcionalidad

Una relación de proporcionalidad

1. Lee la situación y haz lo que se pide.

Tere compró un vestido que tenía 40% de descuento. Le dijeron que el des-cuento fue de $350 y para verificar que le cobraron la cantidad correcta, Tere hizo una tabla.

a. Completa la tabla como lo hizo Tere. Considera que el porcentaje es una rela-ción de proporcionalidad.

Porcentaje Equivalencia en pesos

40 350

60

100

yy ¿Qué procedimiento utilizaste para completar la tabla? Coméntalo y valídalo con tus compañeros.yy ¿Qué representa el 100% en este problema? yy ¿Y el 60%? yy ¿Cuánto pagó Tere por su vestido?

En otra tienda, Tere vio unos zapatos que tenían 25% de descuento. Si los zapatos costaban $580, ¿cuánto pagaría Tere por ellos?

b. Elabora una tabla como la de Tere para responder la pregunta.

Porcentaje Equivalencia en pesos

25

75

100

yy Tere habría pagado por los zapatos.yy ¿Qué representa el 100% en este caso?

yy Expliquen en grupo a su profesor por qué se dice que el porcentaje es una razón. Proporcionen ejemplos.

El porcentaje representa una razón entre dos cantidades, en la que una de ellas siempre es 100. Por ejemplo, si se dice que 65% de los niños de una escuela tiene un perro como mascota, esto quiere decir que, por cada 100 niños en la escuela, 65 tienen un perro.

525875

145

435

580

R. M. La regla de tresEl costo inicial del vestido.

Lo que pagó por el vestido.$525

$435El costo de los zapatos sin descuento.

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Lección 2 Propiedades de la proporcionalidad y porcentaje

1. Lee las situaciones y haz lo que se pide.

Si 40% de una cantidad es 1 250...

a. ¿Cómo puedes encontrar el 20%? b. Con estos datos, ¿es posible encontrar el 38.5%? c. ¿Cómo puedes encontrar la cantidad original?

En el salón de Cristina quisieron investigar cuáles son los postres preferidos de los alumnos. En el reporte final se obtuvo lo siguiente: a 10% le gusta el arroz con leche; 12 alumnos prefieren el flan napolitano; a 24 les gusta el helado, que corresponde a 40% de los alumnos; por último, 25% prefiere el pastel de tres leches.

a. Utiliza las propiedades de la proporcionalidad para responder lo siguiente.

yy ¿A cuántos alumnos les gusta el arroz con leche? yy ¿Qué porcentaje de alumnos prefiere el flan napolitano? yy ¿A cuántos estudiantes les gusta el pastel de tres leches? yy ¿Cuántos alumnos hay en el salón?

yy Compara tus respuestas y procedimientos con los de tus compañeros.

Cuando se quiere calcular un porcentaje sobre alguna cantidad se tienen dos razo-nes iguales y por tanto se establece una relación de proporcionalidad. Esto nos in-dica que se pueden utilizar las propiedades de la proporcionalidad para encontrar porcentajes. Entonces, tenemos que si el porcentaje aumenta al doble, la cantidad correspondiente también aumenta al doble. Por ejemplo, si el 30% de una cantidad es 1 200, entonces el 60% será 2 400.

Practicar para avanzar

Utiliza lo que sabes acerca de proporcionalidad para resolver los problemas en tu cuaderno.

1. Unos pantalones tienen 30% de descuento en una tienda y 20% en otra. ¿Cuánto habrá que pagar por ellos en cada tienda si su precio en ambas es de $685?

2. El 70% de los alumnos en el salón de Mario practica algún deporte; 35% realiza un depor-te de equipo. Si 28 entrenan algún deporte, ¿cuántos participan en un deporte de equipo? ¿Cuántos estudiantes hay en el salón?

Comparte tus resultados y procedimientos con tus compañeros. Con ayuda del profesor vali-da tus respuestas.

Eje: Número, álgebra y variación

Estableciendo una relación de proporcionalidad.Sí es posible.

Se puede encontrar estableciendo la relación de proporcionalidad y aplicando la regla de tres.

6 alumnos20%15 estudiantes

57 alumnos

En la que tiene el 30% de descuento se debe pagar $479.5 y en la que tiene 20% de descuento se pagaría $548.

14 alumnos participan en un deporte. Hay 40 alum-nos en el salón.

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La regla de tres y porcentaje

2. Lee la situación y responde.

a. Si en un bosque la población de lobos disminuyó 20% en 5 años y ahora solo quedan 1 268 lobos, ¿cuántos lobos había al principio?

b. Mizar dice que el número de lobos que hay ahora corresponde a 80% de la can-tidad inicial, ¿estás de acuerdo? Explica tu respuesta.

c. Utiliza la regla de tres para completar la tabla.

Porcentaje Número de lobos

20

80 1 268

100

d. ¿La población inicial de lobos menos el 20% da la población actual? ¿Por qué?

yy Comprueba tus respuestas comparándolas con las de tus compañeros.

Aplica lo que aprendiste.

1. Resuelve los problemas en tu cuaderno. Luego compara tus procedimientos y re-sultados con los de tus compañeros y valídenlos con su profesor.

a. Si ahorraste $35 al comprar un producto que costaba menos de $60, ¿podrías haber ahorrado el 50%? Justifica tu respuesta.

b. La población de conejos en un lugar de Australia aumentó 200% en 2 años. Si la población inicial era de 135 conejos, ¿cuál es la población de conejos ahora?

c. Si conoces el 20% de una cantidad, ¿cómo calculas el 10% de la misma canti-dad? ¿Y el 15%?

yy En grupo, discutan qué es un porcentaje y expongan distintos procedimientos para calcularlo. Con apoyo de su profesor, determinen cuáles son los más eficientes.

Tema: Proporcionalidad

Había 1 585 lobos.

R. M. Sí, porque si al 100% le quitamos el 20% nos queda 80% y es el dato que se conoce actualmente.

317

1 585

Sí, porque el 20% de la población inicial de lobos es 317 y entonces 1 585 317 5 1 268.

No, porque si el producto costara los $60 el 50% serían $30 y si ahorré $35 es más del 50%.

405 conejos.

Cualquier porcentaje se puede calcular estableciendo una relación de proporcionalidad entre los porcentajes y la cantidad y aplicando regla de tres.

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Secuencia didáctica

Contenido: Resuelves problemas que implican calcular el porcentaje, el tanto por ciento o la cantidad base.

Problemas de porcentaje11

Eje: Número, álgebra y variación

Distintas representaciones de un porcentaje

1. Analiza la información y responde.

Enrique dice que, de acuerdo con una encuesta que realizó, una cuarta parte de los alumnos de su escuela lee más de diez libros al año, mientras que 50% lee menos de cinco libros al año.

a. Si en la escuela hay 372 alumnos, ¿cuántos leen más de diez libros y cuántos me-nos de cinco?

b. Cada una de las siguientes figuras representa el total de alumnos que hay en la escuela de Enrique. Sombrea en una figura la parte correspondiente a los estu-diantes que leen menos de cinco libros al año y, en la otra, la parte que represen-ta a los que leen más de diez libros al año.

yy ¿A qué porcentaje corresponde la cuarta parte de los alumnos? Explica cómo lo calculaste. yy ¿A qué parte del entero corresponde el 50% de alumnos? Justifica tu respuesta.

yy Compara tus respuestas con las de tus compañeros.

Lección 1

93 alumnos

Corresponde al 25% y lo calculé mediante equivalencia de fracciones y números decimales.

Corresponde a la mitad, pues al tomar 50 partes de un total de 100 de una cantidad es equivalente a 50/100 que también es 1/2.

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Tema: Proporcionalidad

El porcentaje como fracción y como decimal

1. Lee la situación y haz lo que se pide.

Ana hizo en su escuela una encuesta similar a la de Enrique y notó que 20% de los es-tudiantes lee más de 10 libros al año.

a. ¿Qué parte representa del total? b. ¿En cuál de las dos escuelas hay mayor proporción de estudiantes que leen más

de 10 libros al año? c. Si en la escuela de Ana hay 280 alumnos, ¿en cuál de las dos escuelas hay más

alumnos que leen más de 10 libros al año? Explica tu respuesta.

d. Comenta las respuestas con tus compañeros y completa la tabla.

Porcentaje de alumnos que leen más de 10 libros

Fracción de alumnos que leen más de

10 libros

Número de alumnos que leen más de

10 libros

Escuela deEnrique

Escuela de Ana

yy Revisen sus resultados con ayuda del profesor.

2. Escribe en la tabla los valores que faltan.

Porcentaje Fracción con denominador 100 Decimal Fracción equivalente

0.8

yy Con ayuda de su profesor, comenten cómo se relaciona el porcentaje con las fracciones y con los decimales.

Un porcentaje representa una fracción de un entero dividido en 100 partes iguales. Esto quiere decir que los porcentajes son fracciones con denominador igual a 100, aunque a veces se simplifican en fracciones equivalentes con otros denominadores. Por ejemplo, 50% representa la fracción 50

100 , que se puede simplificar en 12 . Dado que los porcen-

tajes representan fracciones con denominador igual a 100, pueden también expresarse como decimal: 50% 5 50

100 5 0.5

25100

15

Representa una quinta parte del total.

En la escuela de Enrique

En la de Enrique porque el 25% de 372 es 93 mientras que el 20% de 280 es 56.

25% 14

93

20% 15

56

20% 20100

0.2

25% 0.25 14

80% 80100

45

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Eje: Número, álgebra y variación

Cantidad base

1. Lee la información y responde.

Supón que en el supermercado de tu colonia promueven las siguientes ofertas en esta semana:

yy Oferta 1: 10% de descuento en el total de cada compra. yy Oferta 2: Un descuento único de $150.yy Oferta 3: 20% de descuento en la siguiente compra.

a. ¿Qué oferta te conviene escoger? Justifica tu respuesta.

b. Si tu primera compra es de $400 y la segunda es de $500, ¿qué oferta te convie-ne más? Justifica tu respuesta.

2. Completa la tabla para decidir qué oferta conviene más. Si lo necesitas, agrega renglones a la tabla en tu cuaderno.

Compra 1 Compra 2 Descuento

oferta 1Descuento

oferta 2Descuento

oferta 3

500 0 50 150

500 500

500 1 000 150 150 200

1 000 0

1 000 500 150

1 000 1 000

1 500 0

a. Después de completar la tabla, ¿qué oferta elegirías? Justifica tu respuesta.

yy Comenta con tus compañeros qué oferta eligieron y por qué. Discutan qué su-cedería con el porcentaje correspondiente si la cantidad base aumentara, por ejemplo, al doble.

Observa que el cálculo de porcentajes siempre depende de la cantidad base, es decir, de la cantidad con respecto a la cual obtendrás el porcentaje. Si la cantidad base cambia, la cantidad que representa el porcentaje también cambiará.

Lección 2

Depende del monto de la compra.

Me conviene la oferta 2 porque en la oferta 1 pagaría en total $810, en la oferta 2: $750 y en la oferta 3: $800.

0 100 150 100

100 150 0

150 100

200 150 200 150 150 0

Si el monto total de las compras es igual o menor a $1 500, elegiría la oferta 2 y si es mayor a $1 500 y la segunda compra es mayor, elegiría la oferta 3.

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Tema: Proporcionalidad

Cálculo de porcentajes sobre distintas bases

3. Lee la situación y haz lo que se pide para resolver el problema.

En una tienda de cocinas, la mamá de Karla ve que una estufa tiene 50% de des-cuento y que el precio original es de $4 000. Algunos días después, la misma estufa tiene un letrero que dice “Descuento sobre descuento: 20% de descuento adicio-nal”. Tres días después ve que hay una oferta con 10% adicional en toda la tienda so-bre lo ya rebajado. ¿Cuánto tendría que pagar la mamá de Karla si decidiera comprar la estufa?

a. ¿Cuánto se descontará por el 50% que se hará sobre el precio original?

b. ¿En cuánto queda el precio de la estufa después de este descuento?

c. ¿Cuál sería el precio después del 20% adicional? d. ¿Y después del 10% sobre lo rebajado? e. ¿En cuánto quedaría el precio de la estufa si se le aplicara 80% de descuento al

precio original? f. ¿Son iguales las cantidades? Justifica tu respuesta.

Practicar para avanzar

Resuelve los problemas. 1. En una librería hay una oferta que dice “30% de descuento y 15% adicional sobre lo ya rebajado”.

a. ¿Cuánto hay que pagar por un libro cuyo precio original es de $240? b. ¿Se rebajará 45%?

2. En una ciudad, 40% de las personas habla al menos dos idiomas. De ellas, 25% habla espa-ñol y alemán.

a. Si en la ciudad hay 10 500 personas, ¿cuántas personas hablan español y alemán? b. ¿Son 65% del total de habitantes de la ciudad?

3. La quinta parte de los alumnos en el salón de Samuel faltó a clases por varicela.

a. Si hay 35 alumnos en el salón, ¿cuántos se austentaron?

Comenta tus resultados y procedimientos con tus compañeros. Con apoyo del profesor deter-minen cuáles son los más eficientes.

$2 000

$2 000$1 600

$1 440

$800No porque la cantidad

base cambia en cada situación.

$142.8No

1 050 perso-nas hablan español y alemán.

No

7 alumnos

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Eje: Número, álgebra y variación

Cálculo de la cantidad base

1. Lee la situación y responde.

Una tienda tiene 20% de descuento en sus televisiones durante una semana. Al fina-lizar la semana, el encargado quiere regresar los precios a los originales, pero no en-cuentra la lista de precios.

a. ¿Cómo puede el encargado encontrar el precio original de las televisiones?

b. ¿Sería correcto añadir 20% a los precios con descuento? Explica.

c. Supón que la siguiente figura representa el precio original de una televisión.

yy ¿Cómo se representa el 20% de descuento? yy ¿Se obtiene una cantidad mayor o menor que la original?

Explica.

d. Para saber cómo encontrar el precio original, supón que el precio con descuen-to, que conoce el empleado, es de $4 000. Completa la tabla para encontrar el precio original. Puedes utilizar la regla de tres.

Precio ($) Porcentaje

100%

4 000 80%

yy Comenta con tus compañeros el procedimiento que se puede seguir para encon-trar la cantidad base cuando se conoce la cantidad a la cual se le ha aumentado o disminuido un porcentaje.

Utiliza una hoja de cálculo para obtener el 13% de 10 cantidades diferentes que tú propongas. Para esto, multiplica las cantidades por 0.13, por ejemplo si la cantidad base está en la celda D4 ingresa en la celda E4 la fórmula "=D4*0.13". Después calcula el 13% sobre las cantidades que obtuviste como resultado. Comenta con tus compañeros cómo se utiliza la hoja de cálculo para calcular porcentajes.

Herramientas académicas

Lección 3

Multiplicando el precio de cada televisor por 100 y dividiéndolo entre 80.

No, porque ese porcentaje no corresponde al 20% del precio original, sino al precio con descuento.

Tachando 5 cuadritos del total.

Una cantidad menor, pues es una parte de la can-tidad original.

5 000

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Cálculo del tanto por ciento

2. Lee y responde.

Carlos compró por $5 000 un refrigerador cuyo precio original era de $7 500.

a. ¿Qué porcentaje le rebajaron? b. ¿Cuánto ahorró Carlos?

c. Utiliza la regla de tres para encontrar el porcentaje que le descontaron. Completa la tabla.

Costo ($) Porcentaje (%)

100

yy ¿Cuál fue el porcentaje de rebaja?

d. Un producto que costaba $2 800 fue rebajado 40% y después 20%. Completa las tablas para encontrar el porcentaje total de la rebaja.

Costo ($) Porcentaje (%) Costo ($) Porcentaje (%)

100 100

40 20

yy ¿Cuál fue el porcentaje total de rebaja? yy ¿Cuál es el precio final del artículo? yy ¿De cuánto fue el descuento total?

yy Comenten en grupo qué procedimientos pueden utilizar para calcular la canti-dad base cuando se conoce el porcentaje que se aplicó y el resultado de haberlo aplicado. Discutan cómo se obtiene el porcentaje que se aplicó, dadas la canti-dad base y la cantidad que resultó al aplicar el porcentaje.

Aplica lo que aprendiste.

1. Resuelve los problemas en tu cuaderno.

a. Un producto aumentó $85. El aumento fue menor al 25% ¿El producto pudo ha-ber costado $200? Explica tu respuesta.

b. ¿Cuál es el porcentaje de cambio si el precio de un artículo aumenta 50% y pos-teriormente disminuye 50%?

yy Aplica lo que aprendiste en tu clase de Español y haz un resumen de los procedi-mientos que utilizaste en la secuencia para calcular porcentajes. Luego compár-telo con tus compañeros.

Tema: Proporcionalidad

33.3%$2 500

7 500 7 500 5 000 33.3 5 2 500

33.3%

2 800 1 120 1 120 224

48%$1 344$1 456

1. a.No, porque suponiendo que $85 fueran el 25%, el costo total del producto sería de $340.

Se reduciría en 25%.

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Secuencia didáctica

12 Contenido: Deduces, comparas y aplicas fórmulas para calcular perímetros de polígonos (triángulos y cuadriláteros) usando literales.

Perímetro

¿Cuántos lados tiene una figura?

1. Lee y resuelve.

Un fabricante de letras de acrílico cobra $12.00 por cada lado que estas tienen. Escogió esta estrategia porque entre mayor número de lados, es mayor la dificultad al cortar cada letra.

a. Observa las letras y calcula el costo de cada una. Con base en el ejemplo, completa la tabla. Considera que puede haber varias letras con el mismo número de lados.

Letras Número de lados Costo ($)

M, W 13 13 3 12 5 156

b. ¿Cuál es la letra más barata? ¿Y cuál es la letra más cara? c. ¿De qué otra manera se puede calcular el costo de cada letra? Justifica tu res-

puesta.

yy Comenta con tus compañeros las ventajas y las desventajas de las distintas ma-neras de calcular el costo de cada letra. Considera la cantidad de material y la dificultad de los cortes.

Lección 1

Eje: Forma, espacio y medida

E, H, K, X 12 12 3 12 5 144

F, N, Z 10 10 3 12 5 120

Y 9 9 3 12 5 108

T 8 8 3 12 5 96

V 7 7 3 12 5 84

L 6 6 3 12 5 72

I 4 4 3 12 5 48

La I La M y la W

R. M. Conociendo la medida de sus lados y cobrando por centímetro.

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Tema: Magnitudes y medidas

Lados y perímetro

1. Resuelve el problema y responde.

Para determinar el precio de venta, otro fabricante decide multiplicar el perímetro de cada letra, dado en centímetros, por $1.50.

a. Mide los lados de las siguientes letras, calcula su perímetro y pre-cio de venta. Completa la tabla con tus resultados.

Letras Perímetro Costo ($)

E

A

b. ¿Las letras que tienen más lados tienen mayor perímetro? Argumenta.

c. ¿Una figura geométrica con más lados que otra tendrá mayor perímetro? Explica por qué.

d. Dibuja dos figuras geométricas que te permitan ilustrar tu respuesta.

yy Comenta tus respuestas con tus compañeros y elaboren una conclusión grupal.

2. Traza segmentos para dividir la letra E en rectángulos y la letra A en triángulos, tra-pecios, romboides, rombos y rectángulos.

a. Describe las figuras en que quedaron divididas las letras. Considera las caracte-rísticas esenciales que las diferencian de las otras figuras que conoces.yy Letra E: yy Letra A:

yy Comenta con tus compañeros las descripciones de las figuras y, con base en es-tas, definan cada una de ellas. Lleguen a acuerdos con ayuda de su profesor.

perímetro. El perímetro de una figura geométrica es la medida de su contorno.

Glosario

10.8 cm 16.20

12.4 cm 18.60

No, depende qué tan alta o ancha se trace.

No, depende de la longitud de cada uno de sus lados.

R. M. Se dividió en 4 rectángulos, dos del mismo tamaño, uno más chico y otro más grande.R. M. Se dividió en un triángulo isósceles y 3 trapecios isósceles, dos del mismo tamaño y uno más pequeño.

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Lección 2 Perímetros y literales

1. Observa las figuras y las letras escritas en cada uno de los lados.

a. Explica por qué en el rectángulo se usan dos letras diferentes y en el cuadrado

solo una.

b. ¿Qué representa cada una de las letras?

c. Si conocieras los valores que corresponden a las letras a, b y f, ¿cómo calcularías el perímetro del rectángulo y del cuadrado?

d. Si no conocieras los valores de las letras a, b y f, ¿cómo expresarías el perímetro de estas figuras usando esas letras? yy Perímetro del rectángulo: yy Perímetro del cuadrado:

yy Compara tus respuestas con las de tus compañeros y observa si coinciden.

e. Retoma el caso del rectángulo y responde. ¿Se obtendrá el mismo resultado si sumamos a + a + b + b que a + b + a + b? Explica por qué.

f. ¿Por qué el perímetro del cuadrado se puede representar como 4f?

Para representar valores indeterminados, es decir, que no se conocen, se utilizan letras o literales. Para representar cantidades iguales con literales se usa la misma letra. Para representar cantidades diferentes se emplean literales diferentes. En geometría, con fre-cuencia, se utiliza como literal la letra inicial de lo que se quiere representar, por ejemplo, base (b), radio (r); sin embargo, se puede usar cualquier letra del alfabeto.

a a f f

f

f

b

b

Eje: Forma, espacio y medida

En el rectángulo se usan dos letras diferentes porque una representa el largo y la otra el ancho y no miden lo mismo, en el cuadrado se utiliza solo una letra porque la longitud de la altura y la base son iguales.

Representa cada una de las longitudes.

Sumando el valor de los cuatro la-dos de cada uno.

a a b b f f f f

Sí, se obtiene el mismo resultado porque solo se cambia el orden de las letras, no el valor que pueda tener.

R. M. Porque el sumar cuatro veces el valor de f es igual a multiplicar el valor de f por 4.

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Tema: Magntudes y medidas

g. Explica por qué el perímetro del rectángulo se puede representar como 2a 1 2b.

h. Explica por qué el perímetro del rectángulo también se puede representar como 2(a 1 b).

i. ¿Qué símbolo matemático se podría escribir entre el 2 y el paréntesis en la expre-sión 2(a 1 b)?

yy Comprueben si sus explicaciones son correctas con ayuda del profesor.

2. Haz lo que se pide y completa la tabla.

a. Indica, en cada caso, si el triángulo es equilátero, isósceles o escaleno. Anota una literal junto a cada lado de los triángulos y escribe la fórmula que represente su perímetro.

Triángulo

Perímetro

yy Compara tus resultados con los de tus compañeros.

La expresión 4f es equivalente a 4 3 f ; es decir, si no se escribe un signo de suma, resta, multiplicación o división entre una literal y un número, entonces representa una multi-plicación. La expresión 4(f ) también representa una multiplicación.

Practicar para avanzar

Resuelve y justifica tus respuestas.

1. Escribe una literal en cada uno de los lados de cada figura. Con esas letras propón la fórmula que representa su perímetro.

Compara tus resultados con los de tus compañeros. Si usaron literales diferentes, ¿son equi-valentes sus fórmulas?, ¿cómo lo pueden comprobar?

Porque a 1 a 5 2a y b 1 b 5 2b, entonces a 1 a 1 b 1 b 5 2a 1 2b

Porque la suma a 1 b 1 a 1 b equivale a sumar dos veces a 1 b, es decir 2(a 1 b).

El signo 3

2a 1 2b 4c d 1 e 1 f 1 g 2h 1 i 1 j

Isósceles Equilátero Escaleno a 1 2b 3c d 1 e 1 f

a

a

a

c

c c

c

d f h h

i

j

e

gb

b

b

cc d e

fc

b

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Eje: Forma, espacio y medida

Aplica lo que aprendiste.

1. Anota las literales que hacen falta en cada uno de los lados de las letras y responde.

a. ¿Cuál es la fórmula que representa el perímetro de la letra T?

b. ¿Cuál es la fórmula que representa el perímetro de la letra L?

c. Asigna valores a las literales en las figuras anteriores y calcula su perímetro.

2. Resuelve.

a. Si el perímetro de un romboide está dado por la fórmula 2(a + b), ¿cuánto mide su perímetro si a = 5 cm y b = 8 cm?

b. Si el perímetro de un rombo está dado por la fórmula 4k, ¿cuánto mide su perí-metro si k = 8.5 cm?

c. Explica por qué la fórmula para calcular el perímetro de un romboide es la mis-ma que para calcular el perímetro de un rectángulo.

d. Explica por qué la fórmula para calcular el perímetro de un rombo es la misma que para calcular el perímetro de un cuadrado.

yy Comenta con el grupo tus explicaciones. Con apoyo de su profesor, elaboren una conclusión grupal.

r

2 1 p

1

m

kh

d

t 1 e

4m 1 2p 1 2r 1 2k

2h 1 2d 1 2t 1 2e

R. L.

m

m

p

h d

t

e

26 cm

34 cm

Porque como en el rectán-gulo, en el romboide son iguales sus lados opuestos y desiguales los contiguos.

Porque como en el cuadrado, en el rombo son iguales todos sus lados.

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Resuelvo con tecnología

Imagen 1

Imagen 2

Imagen 3

2. Para construir un rectángulo haz lo siguiente:

yy Posiciónate en la herramienta Recta y traza un segmento.yy Ahora selecciona la herramienta Perpendicu-

lar y da clic en el segmento y en uno de sus puntos extre-mos. Haz lo mismo para el otro punto (ver imagen 2).yy Usa la herramienta Punto y coloca un punto en una de las rec-

tas verticales. yy Selecciona la herramienta “Perpendicular”. Da clic en el

punto que acabas de crear y en la recta vertical.

yy Marca el punto donde se interseca la nueva recta hori-zontal con la recta vertical. Elige la herramienta Punto y, con la manita que aparece, marca el punto por donde pa-sará la recta paralela a la base. Se debe formar un rectán-gulo como el de la imagen 3.

3. Oculta las rectas verticales y la horizontal, en su lugar tra-za segmentos. Para ello, con la flecha señala una de las rectas, oprime el botón derecho del ratón y da clic en Ob-jeto Visible. Repite el procedimiento para las otras dos rectas. Traza los segmentos que faltan para construir el rectángulo.

Construcción y perímetro de cuadriláteros Sigue las instrucciones y traza un rectángulo.

1. Visita la página www.geogebra.org/?lang=es y selecciona la opción Geometría.

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Imagen 4

Imagen 6

4. Usa la flecha para mover cualquier vértice, modificar el tamaño y el ángulo de inclinación del rec-tángulo, como se muestra en la imagen 4.

5. Para saber la longitud de cada lado del rectángulo, haz lo siguiente:

yy Del lado derecho de la pantalla, da clic en el símbolo y luego en Vista Algebraica. yy En el lado izquierdo de la pantalla aparecerá una lista con las coordenadas de todos los vértices

del rectángulo y la longitud de sus lados. Calcula el perímetro del rectángulo (imagen 5).yy Para etiquetar los vértices, da clic en uno de ellos, oprime el botón derecho del ratón y elige

Etiqueta Visible. Repite el proceso para los otros vértices (imagen 6).

Analiza la figura, los datos que obtuviste y escribe cuánto mide el perímetro del rectángulo.

6. A partir de la exploración que realizaste, contesta. Argumenta cada caso.

a. ¿Qué procedimientos usarías para trazar un rombo?

b. ¿Qué procedimiento usarías para trazar un cuadrado?

c. ¿Qué procedimiento usarías para trazar un trapecio?

Reúnete con un compañero, comenten los procedimientos propuestos y lleguen a una conclusión sobre el método que se debe aplicar para trazar los cuadriláteros. Luego constrúyanlos.

Imagen 5

R. M. Trazaría dos segmentos paralelos de diferente tamaño y uniría los extremos para formar el trapecio.

R. M. Trazaría dos segmentos de igual longitud unidos por el vértice y sobre cada uno trazaría una recta paralela al otro.

R. M. Utilizaría el procedimiento para el trazado del rectángulo, pero le daría la misma longitud a cada segmento.

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Reviso mi trayecto

Resuelve los problemas. Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Toma nota de los contenidos que tienes que repasar.

1. El sitio de taxis A cobra $25 el banderazo y $1.50 por cada minuto. El sitio de taxis B cobra $3.50 por cada minuto, sin banderazo inicial.

a. Completa la tabla y construye las gráficas que describan cada caso.

Tiempo (minutos)

Taxis A Tarifa en pesos

Taxis BTarifa en pesos

5

10

15

20

Taxis Taxis

b. ¿Cuál sitio de taxis conviene usar? Argumenta.

2. En la primera semana de un curso de verano se usaron 34 de kg de cuentas ver-

des, 2 15 de kg de cuentas azules y 1 2

3 de kg de cuentas rojas. La segunda semana asistirán el triple de niños. Si las cuentas se reparten proporcionalmente, ¿cuán-tas se necesitarán de cada color?

3. Jaime pagó $396.75 por su consumo en un restaurante, incluyendo 15% de propina. ¿Cuánto fue el total de su consumo sin considerar la propina?

Tiempo (minutos) Tiempo (minutos)

32.5 17.5 40 35 47.5 52.5 55 70

A B

Hasta el minuto 13 conviene el sitio de taxis B y a partir del minuto 14 conviene el sitio de taxis A.

Se necesitarán 2 1/4 de kg de cuentas verdes, 6 3/5 de kg de cuentas azules y 5 kg de cuentas rojas.

$345.00

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Secuencia didáctica

Contenido: Deduces, comparas y aplicas fórmulas para calcular el perímetro del círculo.

Perímetro del círculo13

Número de personas Perímetro

4

5

6

Círculo y circunferencia

1. Lee el texto y completa la tabla.

Iván e Isaac planean abrir un restaurante y mandarán a hacer mesas redondas para atender a 4, 5, 6, 7, 8 o 9 personas. Para solicitar las mesas, necesitan indicar al car-pintero el diámetro y el perímetro de cada una.

Considera que se requiere de 75 cm para la colocación del servicio (platos, vasos y cu-biertos, entre otros) por per-sona y estima las medidas.

yy Comenta con tus compañeros el procedimiento que utilizaste para obtener los pe-rímetros de las mesas. Analicen cómo podrían encontrar la medida del diámetro.

El número p (pi)

1. Reúnete con dos compañeros y consigan regla, compás, hojas de reúso, tijeras, lis-tón o cuerda y calculadora. Luego realicen la actividad.

a. Recorten 4 círculos diferentes con diámetro mayor a 10 cm. b. Coloquen el listón o la cuerda sobre la circunferencia, extiéndanlo y

midan su longitud.c. Con los resultados de sus mediciones, completen la tabla.

Círculo Longitud de lacircunferencia

Longitud deldiámetro

Longitud de la circunferencia

Longitud del diámetro

1

2

3

4

yy ¿Cómo cambia la medida de la circunferencia conforme aumenta el diámetro?

yy ¿Qué relación encuentran entre la longitud de la circunferencia y su diámetro?

yy Comparen sus resultados con los de otros compañeros y comenten sus respues-tas. ¿Encontraron la misma relación? ¿A qué creen que se debe esto?

75 cm

Eje: Forma, espacio y medida

Lección 1

circunferencia. Se le llama así al contorno del círculo, por tanto, el perímetro del círculo es igual a la longitud de la circunferencia.

Glosario

300 cm

375 cm

450 cm

R. M.

34.54 11 3.14

37.68 12 3.14

40.82 13 3.14

43.96 14 3.14

Aumenta de manera proporcional al diámetro.

Que si se divide la longitud de la circunferencia entre el diámetro, el resultado es 3.14.

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2. Observen los resultados de la cuarta columna y contesten.

a. ¿Los datos varían dependiendo del tamaño del círculo que midieron? ¿A qué se debe?

b. ¿Qué tanto varían los datos anotados en la cuarta columna? ¿Qué deben hacer

para que sean más precisos sus resultados?

yy Comenten sus conclusiones con su profesor.

3. Con base en lo anterior, responde en tu cuaderno.

a. Si conoces cuánto mide el diámetro de un círculo, ¿qué operación debes hacer para calcular la longitud de la circunferencia?

b. Si d = diámetro y c = longitud de la circunferencia, escribe una fór-mula para calcular el perímetro del círculo.

c. ¿Cómo puedes calcular la longitud de una circunferencia si solo se tiene el valor de su radio?

d. Si conoces cuánto mide la longitud de la circunferencia, ¿qué ope-ración debes hacer para calcular el diámetro?

yy Compara la respuesta del inciso d con la idea que plantearon en la actividad inicial. ¿Se mantuvo o varió? ¿A qué se debe esto?

Al dividir el valor de la longitud de una circunferencia de cualquier círculo entre la longi-tud de su diámetro se obtiene un mismo valor. Este número se conoce como pi y se re-presenta con la letra griega p.

p 5 Longitud de la circuferenciaLongitud del diámetro

El valor de p no se puede representar con un número natural ni con una fracción, ya que tiene una cantidad infinita de decimales y no tiene periodo. Para realizar operaciones y calcular la longitud de la circunferencia, es suficiente redondear p a 4 cifras decimales, o sea 3.1416.

Practicar para avanzar

Resuelve los problemas.

1. Si sobre el ecuador se colocara un cable de fibra óptica (o un hilo que no se estire) y luego se añadiera un metro, ¿podría pasar un ratón entre el cable y la Tierra?Una pista. Compara el radio de la Tierra con el radio de la circunferencia de fibra óptica. Con-sidera que el radio de la Tierra mide 6 371 km.

2. ¿Cuánto aumentaría la longitud de un cable si se colocara a un metro de altura sobre la cir-cunferencia de la Tierra, en relación con la longitud de la circunferencia terrestre?

Ingresa a la siguiente página y consulta los primeros 1 500 decimales de p. www.esant.mx/fasema1-004

Herramientas académicas

Tema: Magnitudes y medidas

R. M. Varían muy poco y se debe a que existe una relación entre el diámetro y la medida de la circunferencia.

R. M. Varían por centésimos, se

tendría que tener más precisión al realizar la medición.

c 5 d 3 3.14

Una división entre 3.14

a. Una multi-plicación por 3.14

Multiplicando dos veces el radio por 3.14

Si pasaría, pues se añaden aproximadamen-te 10 cm al radio.

Aumentaría 0.0000020412 km

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Eje: Forma, espacio y medida

Diámetro del círculo

1. Retoma el problema inicial de la secuencia y responde.

a. Iván e Isaac quieren que cada persona ocupe 75 cm del perímetro de la mesa. ¿Cómo pueden calcular Iván e Isaac el diámetro de las mesas que necesitan?

b. Considera que se compran mesas para 4 personas. Calcula cuánto deben medir el perímetro y el diámetro de cada mesa.

c. Iván planea mandar fabricar las mesas que necesitan considerando 4, 5 o 6 per-sonas por mesa. Completa la siguiente tabla para conocer el diámetro de las mesas que pedirá al fabricante.

d. Isaac sabe que algunas mesas redondas se producen con diámetros de 100, 120, 150, 160 y 180 cm. Completa la tabla para saber cuántas personas podrían sentarse alrededor de cada mesa, si se consideran para cada persona 60 y 75 cm del perímetro.

yy Compara tus resultados y tus procedimientos con tus compañeros. Juntos de-cidan cómo interpretar los resultados que contienen números decimales. Con ayuda del profesor, concluyan cuántas sillas pondrían alrededor de cada mesa tomando en cuenta los diferentes diámetros.

Clientes en cada mesa Perímetro Diámetro

4

5

6

Diámetro (cm) Perímetro (cm) Número de personas (60 cm por persona)

Número de personas (75 cm por persona)

100120150160180

Lección 2

Perímetro: 4 3 75 cm 5 300 cm, Diámetro 5300 cm3.1416 < 95 cm 5 .95 m

A partir del número de clientes que se sentarán por mesa se obtiene la longitud de la circunferencia y se divide entre 3.1416 para conocer el diámetro.

300

375

450

.95 m

1.19 m

1.43 m

314.16 5 4376.992 6 5471.24 8 6

502.656 8 7565.488 9 8

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Tema: Magnitudes y medidas

Aplica lo que aprendiste.

1. Resuelve los problemas.

a. En 2013 fue inaugurada la Estrella de Puebla, una rueda de la fortuna que tiene 74 metros de diámetro. Si cuenta con 54 cabinas, ¿cuál es la distancia aproxi-mada entre dos cabinas?

b. Un atleta correrá alrededor de una pista circular que mide 400 m de lon-gitud. Calcula el radio de la pista. Otro atleta correrá en otra pista circu-lar cuyo radio mide 1.22 m más que el radio de la pista en la que corre el primer atleta. ¿Qué distancia recorre el segundo atleta al dar una vuelta completa a la pista?

c. Desde la Antigüedad, diferentes culturas han tratado de encontrar las cifras de p. En la vieja Babilonia, p era igual a 3. En el viejo Egipto, p era igual a 3.1605. Aproxima el valor de p resolviendo las siguientes operaciones, las cuales for-man parte de una serie, encontrada por el matemático y astrónomo indio Kelallur Nilakantha Somayaji (1444-1544).

p 3 1 42 3 3 3 4 2 4

4 3 5 3 6 1 4

6 3 7 3 8 2 4

8 3 9 3 10 1 4

10 3 11 3 12

2 412 3 13 3 14

d. Plantea un problema que se te haya presentado en que tuviste que calcular la longi-tud de una circunferencia. Intercámbialo con un compañero para que lo resuelva.

yy Comenta con el grupo qué relación tienen el diámetro de cualquier circunfe-rencia y la longitud de esta. ¿Será siempre la misma en todos los círculos? Argumenta tu respuesta.

4.3 metros aproximadamente

El radio de la primera pista es de 63.66 metros. El segundo atleta recorre 407.66 metros.

R. L.

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Secuencia didáctica

Contenido: Deduces, comparas y aplicas fórmulas para calcular el área de triángulos y cuadriláteros, usando literales. Calculas cualesquiera de las dimensiones involucradas en la fórmula.

Áreas de triángulos y cuadriláteros14

Eje: Forma, espacio y medida

Área de rectángulos y cuadrados

1. Lee el problema y responde.

En el diseño de un parque se usarán palabras he-chas con flores, como las que se muestran en la imagen de la izquierda. Para calcular el costo y la cantidad de plantas que se sembrará, es necesa-rio conocer el área que ocupará cada letra.

El encargado del proyecto determinó que en cada metro cuadrado se deben sembrar 16 plan-tas. Por tanto, cada planta requiere 625 cm2.

a. Calcula cuántas plantas se requieren para cubrir la superficie de la letra E. Para ello, sepárala en varios rectángulos y calcula su área tomando en cuenta las me-didas dadas.

yy ¿Cuál es el área total de la letra E en cm2?

yy ¿Cuántas plantas se deben colocar para for-mar la letra E?

yy Explica cómo obtuviste el área total de la letra.

yy Explica cómo separaste la letra en rectángulos y cómo obtuviste los valores nece-sarios para calcular sus áreas.

b. El encargado del proyecto dividió algunas letras en rectángulos. Completa la ta-bla con las medidas que se muestran.

Base (cm) Altura (cm) Área (cm2) Número de plantas

77 2034 1829 70b ax x

yy Comenta con tus compañeros qué hiciste para obtener el número de plantas y

qué significa que la base y la altura del último rectángulo midan x cm.

Lección 1

Las matemáticas también se apli-can en el diseño

de jardines.

77 cm

48 cm

43 cm

20 cm

20 cm

48 cm

14 cm

18 cm

18 cm

5 304 cm2

8 plantas

R. M. Obteniendo el área de los rectángulos que la forman.

1 540 2 612 0 2 030 3 b 3 a x2

(b 3 a)/625

x2/625

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Tema: Magnitudes y medidas

Área del triángulo

1. Realiza lo que se pide. Observa las figuras y contesta.

a. Observa el rectángulo que se muestra, ¿qué relación existe entre el área del rectángulo y el área de uno de los triángulos formados?

b. El área del rectángulo se obtiene con la expresión b 3 a. Escribe una fórmula para calcular el área del triángulo verde.

Área del triángulo verde:

c. ¿Se puede usar la misma fórmula para calcular el área de un trián-gulo que no contenga un ángulo recto? Argumenta tu respuesta.

d. El segmento BD es la altura del triángulo ABC, tomando como base el lado AC. Observa la figura y completa la tabla indicando qué rela-ción existe entre las áreas de las figuras.

Figuras Relación entre las áreas

Triángulo AEB y triángulo BDA

Triángulo BFC y triángulo CDB

Triángulo BDA y rectángulo BDAE

Triángulo CDB y rectángulo CDBF

Triángulo ABC y rectángulo AEFC

yy ¿Aplica la misma fórmula para encontrar el área de este triángulo que el del caso anterior? ¿Por qué?

e. Observa el triángulo morado y responde.

yy ¿Cuál es la literal que corresponde a la altura del triángulo ABC? yy Explica cómo puedes encontrar el área del triángulo ABC a partir

de las áreas de los triángulos ACD y ABD.

yy Considera los valores m = 12 cm, j = 6 cm y n = 5 cm y verifica si el área del triángulo ABC concuerda con la que se obtiene aplican-do la fórmula que utilizaste en los ejemplos anteriores.

yy Con ayuda del profesor analicen la información obtenida. Comenten si se pue-de aplicar la fórmula sin importar qué lado se tome como base y si existe algún caso que no se haya contemplado.

altura del triángulo. Es un segmento perpendicular que va de una de las bases al vértice opuesto.

Glosario

El área del rectángulo es el doble del área de cada triángulo formado.

12 b 3 a

R. M. Sí, porque realizando los trazos necesarios podemos colocar el triángulo dentro de un cuadrilátero.

Son iguales

Son iguales

El área del triángulo es la mitad.

El área del triángulo es la mitad.

El área del triángulo es la mitad.

Sí, porque el área del triángu-lo es la mitad del área del rectángulo.

m

Calculando el área de ambos triángulos y luego restándolas entre sí.

Sí concuerda, el área es 36 cm2.

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Eje: Forma, espacio y medida

Lección 2 El romboide

1. Analiza las imágenes y resuelve.

a. ¿Qué figuras geométricas componen la letra N?

b. Explica cómo podrías calcular el área del romboide BIGJ a partir del área del rectángulo BCGF y de los triángulos BCI y GFJ.

c. Propón diferentes valores para las longitudes x, y, z, y con base en tu respuesta anterior encuentra el área del romboide BIGJ.

d. ¿Obtienes el mismo resultado multiplicando la base del romboide (y) por su al-tura (x)?

e. ¿Siempre se puede obtener el área del romboide haciendo esta operación?

f. Si se traza la altura del romboide que se muestra y se hace un corte en ese seg-mento, se puede trasladar el triángulo y formar un rectángulo.

yy Explica qué relación encuentras entre el área del romboide y el área del rectángulo. yy Escribe una fórmula para calcular el área del romboide. Considera que su-

base mide b cm y su altura mide a cm.

yy Compara tus respuestas con las de tus compañeros y, a partir de lo visto, comen-ten la pregunta hecha en el inciso e.

A

J

I

y

y

x

x

z

z

C

E G

B D

F H

Algunas literales representan puntos de la figura y otras literales, las longitudes de seg-mentos. Por ejemplo, la longitud del segmento FJ es z. Generalmente se usan mayúsculas para representar vértices y minúsculas para representar longitudes.

Rectángulos, triángulos y un romboide.

Restando al área del rectángulo BCGF el área de los triángulos BCI y GFJ.

R. L.

Son iguales ambas áreas.

b 3 a

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Tema: Magnitudes y medidas

El área del rombo

2. Se separó la letra X hecha con flores en cuatro trapecios y un rombo. Para calcular su área primero se calculará el área del rombo.

a. Traza un rombo con uno de sus lados como base. Observa que el rombo es un caso particular de romboide, ¿qué fórmula usarías para encontrar su área?

b. ¿Qué datos necesitas para poder calcular su área?

yy Si no conoces las longitudes de la base ni de la altura, discute con tus compañeros si hay otra forma de calcular el área del rombo.

3. Observa el rombo de la derecha y contesta.

a. ¿Qué distancias están indicadas? b. ¿Obtendrás el mismo resultado si divides el rombo en dos o en

cuatro triángulos? Explica por qué.

c. Escribe una fórmula que pueda ser usada para calcular el área del rom-bo cuando se conozcan los valores de las literales, dividiendo el rombo en dos triángulos.

d. Ahora escribe una fórmula considerando que el rombo esté dividi-do en cuatro triángulos.

e. Asigna valores a las literales y calcula el área del rombo usando am-bas fórmulas.

yy Con ayuda del profesor dibujen el rombo dentro de un rectángulo y a partir de esto obtengan el área del rombo. Verifiquen si logran el mismo resultado y es-criban una nueva fórmula.

Realiza las actividades.

1. Identifica las figuras geométricas que encuentras en el trazo de la letra A.

2. En una hoja de reúso, traza una letra A parecida de mayor tamaño, toma las medidas necesarias y calcula su área.

Intercambia tu dibujo con un compañero para revisar sus cálculos. Si es necesario, corrijan.

Practicar para avanzar

Triángulos isósceles, romboides, triángulos rectángulos y un rectángulo.

R. L.

R. M. b 3 h

Las medidas de sus bases y su altura

Las de sus diagonales

R. M. Sí porque se dividirían por mitad las longitudes y se formarían rectángulos o cuadrados.

(D3d/2)/21(D3d/2)/2 o (D/23d)/21(D/23d)/2

(D/23d/2)/21(D/23d/2)/21(D/23d/2)/21(D/23d/2)/2

R. L.

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Eje: Forma, espacio y medida

Lección 3 El área del trapecio

1. Observa la figura y responde.

a. ¿Cómo podrías calcular el área del trapecio si no recuerdas la fórmula?

b. Indica con literales las longitudes de los segmentos marcados en el trapecio. c. Escribe una fórmula que te permita calcular el área del trapecio cuando conoz-

cas los valores de las literales.

Área del trapecio:

d. Asigna valores a las literales y calcula el área.

yy Compara tu fórmula y el resultado con los de algún compañero y verifica si ob-tuvieron lo mismo.

2. Analiza los procedimientos y realiza lo que se solicita.

a. Se coloca el trapecio dentro de un rectángulo.

Escribe una fórmula para calcular el área del trapecio, considerando que al área del rectángulo le puedes restar el área de los dos triángulos blancos.

Área del trapecio:

b. El trapecio se corta por la mitad con una línea horizontal.

Se rota 180° a la derecha la parte superior del trapecio y se coloca a un lado de la parte inferior, como se muestra en la siguiente figura:

yy ¿Qué figura geométrica se forma?

b

a

a

h

b

B

B b

b

c

c

h

Calculando y sumando el área de los dos triángulos y el rectángulo que lo forman.

Un romboide

R. M. B 3 h 2 a 3 h2 2 c 3 h

2

h2

R. M.

R. M. h 5 3, a 5 2, b 5 4, c 5 3; el área es 19.5 cm2.

a 3 h2 1 1b 3 h c 3 h

2

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Tema: Magnitudes y medidas

yy Asigna literales a la figura y escribe una nueva fórmula para calcular el área del trapecio; considera que la altura del romboide es la mitad de la altura del trapecio.

Área del trapecio:

c. Observa que se hacen coincidir un par de los lados no paralelos de dos trape-cios con las mismas medidas.

yy ¿Qué figura geométrica se forma al juntar los dos trapecios?

yy Asigna literales a los trapecios y escribe una nueva fórmula para calcular el área de uno de ellos a partir del área de la figura formada.

Área del trapecio:

d. Junto a cada una de las figuras, anota la fórmula que obtuviste para encontrar el área. Asigna valores a las literales y verifica si obtienes el mismo resultado en todos los casos.

yy El área del trapecio se obtiene con la expresión “base mayor más base menor por altura sobre dos”. ¿Cuáles de las fórmulas que anotaste representan esta ex-presión? Comenta con tus compañeros y tu profesor.

Practicar para avanzar

Realiza la siguiente actividad.

1. Dibuja una letra X como la de la lección 2 y, a partir de la separación hecha, calcula su área.

Intercambia tu dibujo con el de otro compañero y verifiquen que sus cálculos son correctos.

R. M. (B 1 b) h2

h

B bUn romboide

R. L.

R. M. (B 3 b) h2

R. M. a 3 h2 1 (b 3 h) 1 c 3 h

2

B 3 h 2 a 3 h2 2 c 3 h

2

(B 1 b) h2

(B 1 b) h2

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Eje: Forma, espacio y medida

Lección 4 Obtención de datos faltantes

1. Reúnete con un compañero y resuelvan los problemas paso a paso.

Problema 1. Se sabe que el área de un triángulo es 20 cm2 y su base (b) mide 8 cm. ¿Cuán-to mide la altura (a) del triángulo?

a. Rodeen la expresión que relaciona correctamente los valores del área, la base y la altura del triángulo.

y 2 3 a8 = 20 y 8 3 a

2 = 20 y 8 3 2

a = 20 y 20 3 82 = a

b. Si saben que al multiplicar base por altura y dividir el resultado entre 2 obtendrán como resultado 20 cm2, ¿cuál es el resultado de multiplicar base por altura?

c. Si saben que al multiplicar 8 por el valor de la altura obtendrán el resultado del inciso anterior, ¿cuánto mide la altura?

d. Observen los pasos que realizaron y escriban una fórmula que les permita cal-cular el valor de la altura (a). Consideren las literales A para el valor del área y b para el valor de la base.

Problema 2. Se sabe que el área de un triángulo es de 10 cm2 y su altura (a) mide 5 cm. ¿Cuánto mide la base (b) del triángulo?

a. Rodeen la expresión que relaciona correctamente los valores del área, la base y la altura del triángulo.

y 10 3 52 = b y b 3 10

2 = 5 y b 3 5

2 = 10 y 10 3 b5 = 2

b. Si saben que al multiplicar base por altura y dividir el resultado entre 2 obten-drán como resultado 10 cm2, ¿cuál es el resultado de multiplicar base por altura?

c. Si saben que al multiplicar 5 por el valor de la base obtendrán el resultado del inciso anterior, ¿cuánto mide la base?

d. Observen los pasos que realizaron y escriban una fórmula que les permita cal-cular el valor de la base (b). Consideren las literales A para el valor del área y a para el valor de la altura.

yy Compartan sus respuestas con sus compañeros y analicen el procedimiento que siguieron para llegar al resultado. Concluyan si pueden aplicarlo a otras figuras. Argumenten sus respuestas.

40

5

20 cm2

4 cm

b 5 2A/a

a 5 (2 3 A)/b

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Tema: Magnitudes y medidas

2. Se quiere construir un papalote utilizando dos varas de madera y pa-pel de China, de tal forma que tenga una superficie de 2 016 cm2. Ob-serva la imagen y calcula el valor faltante.

yy Comenta con la clase el procedimiento que seguiste y las dificultades que tuviste.

Aplica lo que aprendiste.

1. En esta secuencia has deducido fórmulas para calcular las áreas de diferentes fi-guras. Elige tres letras, asigna valores y calcula sus áreas.

2. Con una regla obtén las medidas necesarias y calcula el área de cada una de las figuras. Comprueba que al sumarlas, obtienes el mismo resultado que al calcular el área del rectángulo que las contiene. Considera que cada centímetro equivale a 20 metros.

3. Si el área del trapecio es de 99 cm2, ¿cuál es el valor de la medida faltante?

4. ¿Qué ventaja tiene poder deducir una fórmula para calcular el área de una figura

geométrica?

5. Explica cómo comprobaste que dos fórmulas son equivalentes.

yy Comparte tus resultados con tus compañeros y comenten las respuestas de las preguntas 4 y 5. Argumenten.

56 cm

2016 = D 3 562 → D 5 2016 3 2

56 572. El valor faltante es 72 cm.

R. L.

Sí, se obtiene el mismo resultado.

B = 26 cm

R. M. La ventaja es que si se nos olvida la formula de todas maneras se puede calcular el área.

R. L.

1200 m2

1500 m2900 m2

1200 m21200 m2

1200 m2

300 m2 300 m2

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Secuencia didáctica

Contenido: Lees e interpretas datos en gráficas circulares. Construyes gráficas circulares.

Gráficas circulares15

Hacer un pastel diferente

1. Lee la información y responde.

Para conocer la penetración que ha tenido el internet y las redes sociales en los jóve-nes mexicanos, se han realizado diversos estudios. La gráfica muestra los resultados de una encuesta aplicada a 62.4 millones de personas.

a. ¿Quién realizó el estudio?

b. ¿Qué información se representa en la gráfica?

c. ¿De dónde provienen los datos que se mues-tran en la gráfica?

d. ¿Qué porcentaje de la población que usa in-ternet lo hace con más frecuencia?, ¿con qué frecuencia lo utiliza?

yy Comenta con tus compañeros cómo obtuviste tus respuestas.

Análisis de gráficas

1. Retoma los datos de la gráfica y haz lo que se pide.

a. Registra la frecuencia relativa y calcula la frecuencia absoluta.

Frecuencia de empleo en internet por parte de los usuarios

Frecuenciaabsoluta

Frecuenciarelativa

De uno a siete días por semana

Una vez al mes

Con una menor frecuencia

Total

Lección 1

frecuencia absoluta. Es el número de veces que se repite un dato o un valor. frecuencia relativa. Es el cociente de la frecuencia absoluta entre el número de datos.

Glosario

Fuente: Encuesta Nacional sobre Disponibilidad y Uso de Tecnologías de la Información en los Hogares (ENDUTIH) 2015, en inegi.org.mx/saladeprensa/

aproposito/2016/internet2016_0.pdf (consulta: 5 de junio de 2017).

Eje: Análisis de datos

El Inegi

El porcentaje de usuarios de internet por frecuencia de uso en el año 2 015.

De la Encuesta Nacional so-bre Disponibilidad y Uso de Tecnologías de la Información en los Hogares (ENDUTIH)

91.1% y la frecuencia es de uno a siete días por semana.

56.84 millones 91.1%

4.5552 millones 7.3%

0.9984 millones 1.6%

62.4 millones 100%

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b. Marca con una ✔ las afirmaciones que sean verdaderas.

La mayoría de los usuarios de internet lo usa de 1 a 7 días por semana.

La menor frecuencia de empleo es de una vez por mes.

El 1.6% de los usuarios de internet lo usa menos de una vez por mes.

c. Comparen sus respuestas. Lean la siguiente información e identifiquen en la gráfica de la página anterior los elementos que se mencionan.

población. Es el total de personas, animales u objetos por estudiar.muestra. Es una parte de la población por estudiar, cuyas características sirven para representar a la población en estudio.

Glosario

Las gráficas circulares o de pastel permiten comparar cómo se distribu-yen las características o atributos de cierta población o muestra. Los datos se expresan con valores o frecuencias absolutas o valores o frecuencias relativas. Como toda gráfica, tienen un título, que refleja la información que se presenta en la gráfica, y una fuente, que indica de dónde fueron to-mados los datos.

Practicar para avanzar

Une, por medio de flechas, cada gráfica con la información que se obtiene de ella.

yy La mayoría de las personas que lee el periódico lo hace en formato impreso.

yy Un poco más de 70% de las personas lee periódicos de paga.

yy La mayoría de las personas lee temas particulares en el periódico.

yy Solo 3.9% de la población lee el perió-dico en formato digital.

yy Más de 80% de las personas lee temas generales en el periódico.

yy Cerca de 19% de las personas lee pe-riódicos gratuitos.

Fuente: Consejo Nacional para la Cultura y las Artes. Encuesta Nacional de Lectura 2015, en observatorio.librosmexico.mx/files/encuesta_nacional_2015 pdf (consulta:

23 de mayo de 2017).

Tema: Estadística

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Guía para construir una gráfica circular

1. Los datos en la tabla se obtuvieron en una encuesta aplicada a los alumnos de un grupo de 1.º de secundaria sobre la asignatura que más les gusta. Calcula las fre-cuencias de la tabla y responde.

AsignaturaFrecuencia

Cálculos ÁnguloAbsoluta Relativa

Matemáticas 12

Español 7

Biología 5

Inglés 4

Historia 8

Total

a. ¿Cuánto mide el ángulo del círculo en el que se trazará la gráfica?

b. El ángulo del círculo y la suma de las frecuencias absolutas corresponden al 100%. Calcula el ángulo correspondien-te a cada asignatura

c. ¿Cuánto debe medir la suma de todos los ángulos?

d. A partir del radio, marca el ángulo co-rrespondiente a Matemáticas. Después, el correspondiente a Español y así suce-sivamente.

2. Lee la información y lleva a cabo lo que se pide.

Entre el 7 y 10 de junio de 2013 se aplicó una encuesta a 1 000 personas para cono-cer la afición de la población mexicana a distintos tipos de música. Se consultó sobre 27 géneros musicales que se obtuvieron de las listas de reproducción pública.

Con respecto a la pregunta sobre la afición al género musical balada romántica, se obtuvieron los siguientes datos:

Afición al género musical balada romántica Cantidad de personas

Le gusta 458

Lo acepta 319

No le gusta 223

Eje: Análisis de datos

Asignatura

Lección 2

33.33% 120º 19.44% 70º 13.89% 50º 11.11% 40º 22.22% 80º 36 100% 360º

360º

360º

Ver la gráfica del lado derecho

Matemáticas: 120º, Español: 70º, Biol.:50º, Inglés: 40º e Hist.: 80º

Matemáticas 33%

Español 20%

120º

80º40º50º

70ºBiología

14%

Inglés 11%

Historia 22%

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a. Analiza los siguientes procedimientos para calcular el ángulo del sector circular que corresponde a las personas que les gusta la balada romántica.

Procedimiento 1i. Se calcula cuántos grados le corresponden a cada persona de los 360°. ii. Se calculan los grados que le tocan a cada dato y frecuencia correspondiente.

i. Cálculo de los grados por persona

1 000 p 360°x 5 1 3 360°

1000 5 360°

1000 5 0.36°

1 p x°

ii. Cálculo del ángulo del sector circular según la información

1 p 0.36°x 5 450 3 0.36°

1 5 164.88°

1 5 164.88° ø165°

450 p x°

Procedimiento 2 i. Se obtiene la frecuencia relativa de cada dato.ii. A partir de la frecuencia relativa, se obtiene la medida del ángulo de cada sector.

i. Cálculo de la frecuencia relativa

1 000 p 100%x 5 458 3 100

1000 5 45.8%

458 p x %

ii. Cálculo del ángulo del sector circular según la información

100 % 360°x 5 45.8 3 360°

100 5 164.88° ø165°

45.8 % x °

b. Reúnete con un compañero y completen la tabla con los datos correspondien-tes a la afición al género musical balada romántica.

Respuesta FrecuenciaProcedimiento 1 Procedimiento 2

Grados porpersona

Cálculo delsector circular

Frecuencia relativa

Cálculo delsector circular

Le gusta 458 x 5 360°1000

5 0.36°x 5 0.36° 3 4585 164.88°ø 165°

x 5 458 3 100

1000 5 45.8

45.8% de 3605 164.88 ø 165

Lo acepta 319No le gusta 223Total 1 000 360° 100% 360°

Para exponer los datos obtenidos en una gráfica de pastel se necesita representar cada uno como proporción de 360, porque el ángulo completo del círculo mide 360°. Esta proporción puede ser un número decimal. En ese caso, se utiliza una aproxima-ción, la cual se denota con el símbolo <.

Tema: Estadística

x 5 360⁰1000

5 0.36⁰

x 5 360⁰1000

5 0.36⁰

x 5 319 3 1001000

5 31.9

x 5 223 3 1001000

5 22.3

x 5 0.36⁰ 3 3195 114.84⁰< 115⁰

x 5 0.36⁰ 3 2235 80.28⁰< 80⁰

31.9% de 360⁰5 114.84⁰ < 115⁰

22.3% de 360⁰5 80.28⁰ < 80⁰

b.1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

1.5.

2.6.

3.7.

4.8.

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Eje: Análisis de datos

Lección 3 Construcción de gráficas

1. Construye una gráfica circular con los datos obtenidos en la tabla de la página an-terior. Sigue los pasos que se indican a continuación.

i. Dibuja una circunferencia con el compás y marca el centro con una cruz.ii. Traza el radio de la circunferencia con el apoyo de una regla.iii. Coloca el transportador en el radio y marca cada uno de los ángulos.iv. Marca las líneas de los ángulos centrales de cada sector con la regla.v. Colorea cada parte o sector.vi. Anota el porcentaje correspondiente a cada sector.vii. Escribe el título y la fuente.

yy Retoma el problema 1 de la lección 2. Revisa tu gráfica con los procedimientos que has aprendido. Si lo consideras necesario, corrige. Comenta con el grupo las dificultades que enfrentaste al elaborar la gráfica.

Aplica lo que aprendiste.

1. Construye una gráfica circular con la información que se presenta, recuerda poner todos los datos. Después responde.

La información en la siguiente tabla corresponde al “Estudio de hábitos y percepcio-nes sobre internet y diversas tecnologías asociadas” en México. La encuesta se apli-có a 1 420 personas.

Nivel de confianza de los usuarios de internet Porcentaje

Todo es de fiar 8%

Una gran parte es de fiar 34%

Más o menos la mitad 43%

Una mínima parte 12%

Nada es de fiar 2%

No sabe / Se negó 1%

Fuente: WIP México. “Estudio 2013 de hábitos y percepciones de los mexicanos sobre internet y diversas tecnologías asociadas”, en amiti.org.mx/wp-content/uploads/2014/05/Estudio2013_h%C3%A1bitos_percepciones_mexicanos-_Internet-WIP.pdf (consulta: 22 de mayo de 2017).

Afición al género musical balada romántica

Fuente: León Felipe Maldonado. “México: ¿Qué música nos gusta?”, en blog.amai.org/index.php/mexico-que-musica-nos-gusta (consulta: 5 de junio de 2017).

Le gusta46%

No le gusta22%

Lo acepta

32%

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Tema: Estadística

a. ¿Cuántas personas confían en una gran par-te de la información que hay en internet?

b. ¿Cuántos no confían en la información que se encuentra en internet?

c. ¿Cuántos confían en toda la información que se divulga en internet?

2. A partir de los datos de la gráfica anterior, marca con una V las afirmaciones ver-daderas y con una F las que son falsas. Justifica cada caso.

Afirmación V o F Justificación

La mayoría de la población mexicana confía en casi toda la información que aparece en internet.

Menos de la mitad de la población mexicana confía en casi toda la información que se difunde en internet.

La mayoría de los usuarios mexicanos de internet confía en más o menos la mitad de la información que se publica en la red.

yy Muestra la gráfica que elaboraste a tus compañeros y explica el procedimiento que utilizaste para obtener los ángulos de cada sección. Por último, menciona por qué elegiste ese procedimiento.

Nivel de confianza de los usuarios de internet

Nada de fiar2%

No se sabe/Se

negó1%

4 828 personas

284 personas

1 136 personas

F Es solo el 34%.

V 34% es menos de la mitad.

V A pesar de que es 43% , 57% restante se divide en opiniones.

.Más o

menos la mitad43%

Fuente: WIP México. “Estudio 2013 de hábitos y percepcio-nes de los mexicanos sobre internet y diversas tecnologías asociadas”, en amiti.org.mx/wp-content/uploads/2014/05/

Estudio2013_h%C3%A1bitos_percepciones_mexicanos-_Internet-WIP.pdf (consulta: 22 de mayo de 2017).

Una gran parte es de fiar

34%

Una mínima

parte12%

Todo es de fiar

8%

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Punto de encuentro

Los mapas

Los mapas son representaciones planas a escala de toda la superficie terrestre o de una parte de esta. Para hacer una interpretación correcta de estos, incluyen ele-mentos como escala, título, simbología, orientación y coordenadas geográficas.

Conocer la escala de los mapas permite, entre otras cosas, calcular distancias, án-gulos o superficies.

Además de lo anterior, el análisis de los mapas permite encontrar patrones y rela-ciones entre diversos fenómenos naturales y sociales.

Lee con atención, realiza las actividades y responde.

1. Observa el mapa con un compañero y respondan.

a. ¿Cómo se expresan las relaciones entre las distancias en el mapa y las distan-cias correspondientes de la superficie terrestre?

b. ¿Qué indica la escala dada en el mapa? c. ¿Qué representan las unidades de medida?

Investiguen cómo se utilizan las matemáticas en la elaboración de mapas.

Trópico de Cáncer

95° 90°100°

105°

25°

20°

30°

15°

Golfode

México

Golfo de California

O C É A N OP A C Í F I C O

Golfo de Tehuantepec

BELIZE

GUATEMALA

E S T A D O S U N I D O S D E A M É R I C A

HONDURAS

Mexicali

La Paz

Hermosillo

Culiacán

Tepic

Guadalajara

Colima

Chilpancingo Oaxaca TuxtlaGutiérrez

Chetumal

Mérida

Campeche

Villahermosa

Xalapa

Cd. Victoria

MonterreyDurango

Zacatecas

San Luis Potosí

Saltillo

Chihuahua

Ags.

Proyección cónica conforme de LambertFuente: Inegi, 2017.Encuesta Nacional de Salud, 2006.

Escala 1 : 16 000 000

0 160 320 km

L E Y E N D A

Población de México por entidad 2015

Población en ciudad capital

(millones de habitantes)

> 20 < 1

1 a 5

Población (millones

de habitantes)

> 8.5

4 a 8.5

1 a 4

< 1

Población total

Sonora 179 3552 850 330

Superficie

Campeche 57 507899 931Ciudad deMéxico 1 4958 918 653

México 22 35116 187 608

Oaxaca 93 7573 967 889

283 025

Entidad Ciudad (km²)

1 846 116

884 273

264 251

Entidad

20 116 842

Morelia

Pachuca

TolucaCiudad de México

Cuernavaca

Puebla

Tlaxcala

Querétaro Guanajuato

1 : 14 375 000

0 143 km

Por medio de la escala

Que las cantidades dadas son en millones.Que por cada unidad trazada en el

1:16 000 000.

mapa hay 16 000 000 en realidad.

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2. Con una regla midan en el mapa la distancia que hay entre la ciudad de Chihuahua y Xalapa. También pueden hacerlo desde la página www.esant.mx/fasema1-005.

a. ¿Cuál es la escala del mapa? b. ¿Pueden escribir la escala en términos de fracciones? ¿Cómo?

c. ¿Cuál es la distancia real entre esas dos ciudades? d. ¿Qué relación existe entre las escalas en los mapas y la proporcionalidad?

Repitan el procedimiento y encuentren la distancia entre otras ciudades.

3. En el mapa de la página anterior, consulten la población de cada entidad y com-pleten la tabla. Luego respondan.

Población(millones de habitantes) Entidad

Más de 8.5De 4 a 8.5De 1 a 4Menos de 1

a. ¿Los estados con mayor área son los que tienen mayor población? b. ¿A qué factores puede deberse? Argumenten.

c. ¿Qué información pueden obtener con solo observar el mapa?

d. Calculen la densidad de población de la Ciudad de México y de Sonora; es decir,

el número de habitantes por unidad de área. ¿Qué información les da la densi-dad de población?

e. En el mapa se muestra la población total de algunas ciudades. Calculen el por-centaje de habitantes de cada ciudad con respecto al total de habitantes del estado. ¿Qué encuentran? Argumenten por qué sucede lo que observan.

f. Escriban en su cuaderno una conclusión en la que expliquen cinco factores tan-to físicos como sociales que pueden influir en la forma en la que se distribuye la población en el país y en los estados.

Comenten sus resultados con sus compañeros de grupo. Expongan qué herramientas matemáticas aplicaron para analizar los mapas y resolver las actividades.

1:16 000 0001/16 000 000

R. M. 1 375.05 km

Es una relación de proporcionalidad directa.

NoR. M. A la concentración de

población en la capital del país.R. M. En qué

estados de la República hay más y en cuáles hay menos habitantes.

En la Ciudad de México es 5 965 habitantes por km2 y en la Ciudad de Sonora es de 15.89 habitantes por km2.

Estado de México, Ciudad de MéxicoNuevo León, Jalisco, Michoacán, Puebla, Veracruz, Chiapas

Baja California Sur, Campeche

Ver solucionario

Ver solucionario

R. L.

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Reviso mi trayecto

Resuelve los problemas. Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Toma nota de los contenidos que tienes que repasar.

1. Una empresa renta carpas y cortinas para eventos. El costo de las carpas es de $115 por m2 e incluye la instalación; y el precio de las cortinas es de $38.35 por metro.a. Cristina organizará una fiesta y necesita una carpa rectangular de 4 m de lado

por 3.5 m de ancho. yy ¿Cuál es el área de la carpa que debe seleccionar? yy ¿Cuánto debe pagar por la renta de la carpa?

b. Rodrigo organizará un evento y necesita una carpa circular de 6 m de diámetro. Debido a la lluvia, también necesita una cortina para cerrarla.yy ¿Cuántos metros de cortina necesitará? yy ¿Cuánto debe pagar en total por la renta de la cortina?

2. Karla decorará un pastel con forma de rombo cuyos lados miden 17 cm y sus dia-gonales miden 16 cm y 30 cm. Sobre toda la parte superior del pastel pondrá be-tún y colocará flores de azúcar a su alrededor.

a. ¿Cuánto mide el área sobre la cuál colocará betún? b. Si las flores son circulares y miden 1.4 cm de diámetro, ¿cuántas flores debe co-

locar?

3. Para festejar el aniversario de una escuela, los directivos consideraron la opinión de los alumnos mediante una encuesta. La tabla muestra los resultados.

Actividad Número de alumnos

Tener el día libre 140Organizar una kermés 200Tener competencias deportivas 300Ver una película y organizar juegos recreativos 190Ver la obra del club de teatro y receso el resto del día 170

a. Representa los datos de la tabla en una gráfica circu-lar para presentar la decisión tomada ante todos los alumnos.

b. Interpreta las preferencias de los alumnos a partir de la gráfica. ¿Cuál fue la decisión tomada? ¿Por qué se decidió mostrar los resultados a los alumnos con esta gráfica?

140 m2

$16 100

18.85 m$722.88

240 cm2

171 flores

Tener competencias deportivas. Porque la comparación es más visible.

Ver gráfica del lado izquierdo

Ver la obra del club de teatro y receso el resto

del día61.2, 17%

Ver una película y organizar

juegos recreativos,

68.4, 19%Organizar una

kermés,72, 20%

Tener el día libre

50.4, 14%

Tener competencias

deportivas,108, 30%

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Valoro mis fortalezas

Revisa las respuestas con ayuda del profesor. Con base en los resultados que obten-gas, retoma los contenidos que se te dificultaron.

1. Jimena tiene un videojuego cuyo objetivo es acumular un punto en cada etapa. En la primera etapa acumuló 14

32 de punto; en la segunda, 0.56 de punto; en la tercera, 0.45 y en la cuarta, 9

16 de punto.

a. ¿En qué etapa obtuvo más puntos? b. En la quinta etapa obtuvo menor puntaje que en la segunda y mayor que

en la tercera. Elige la opción que menciona los puntos obtenidos. Explica tu respuesta.

A) 1225 de punto B)

35 de punto C) 0.35 de punto D) 5

8 de punto

c. ¿Es el único resultado posible? Argumenta tu respuesta.

2. Rosario pidió a sus alumnos que utilizaran diferentes unidades para medir el alto de un vaso. El equipo de Marcos reportó una medida de 6 gomas; el equipo de Re-beca reportó una medida de 12 botones cuadrados.

a. ¿Cuántas gomas medirá el largo de una hoja de papel que, según el equipo de Rebeca, mide 18 botones?

b. ¿Cuántos botones medirá el largo de una mesa que el equipo de Marcos repor-tó que mide 42 gomas?

c. La goma que usó el equipo de Marcos mide 3 cm de largo. ¿Cuánto mide el lar-go del botón del equipo de Rebeca?

3. El parque de la colonia tiene las dimensiones que se muestran en la imagen.

a. ¿Cuál es el área que ocupa el parque?

b. Los vecinos de la colonia pidieron una zona para dejar sueltos a sus perros. ¿Cuál es el área que se les destinó?

c. Alrededor de la zona destinada a los perros se colocará una cerca. ¿Cuál será su longitud?

En la cuarta etapa

Porque el valor decimal de la fracción es 0.625.R. M. No, puede ha-

ber más resultados posibles, pues no es el único valor decimal que hay entre 0.45 y 0.56.

9 gomas

84 botones

1.5 cm

2 268 m2

864 m2

160.46 m

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4. En una escuela se construirá una pista de patinaje como la que se muestra en la fi-gura. La parte recta mide 10 m y el diámetro de cada semicircunferencia, 6 m.

a. ¿Cuál será la longitud del recorrido de una vuelta en la pista de patinaje? Considera el valor de p como 3.1416.

b. La longitud del recorrido de la pista del parque de la colonia es 38 1925 de m.

¿Cuál de las dos pistas es más larga?

5. La gráfica muestra la distribución del apoyo económico que se brinda a los habi-tantes de una comunidad con base en el tipo de actividad que desempeñan.

a. ¿A qué sector de la población se le desti-na mayor cantidad?

b. Si se repartirán $1 135 310, ¿cuán-to se destinará a la población de comerciantes?

6. Considera que el precio de litro de gasolina Magna es de $16.71 y el de Prémium, $18.42. ¿Cuánto se tiene que pagar por llenar cada uno de los tanques de gasolina? Completa la tabla.

6 m 6 m

10 m

Tipo de gasolinaTanque (Capacidad en litros)

45.8 50.5 58

Magna

Prémium

38.8496 m

Es más larga la pista de la escuela.

A los asalariados

$90 824.80

843.636

765.318

930.21

843.855

1 068.36

969.18

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Valoro mis fortalezas

7. En una tienda se ofrecen las siguientes ofertas.

a. Carlos desea comprar un televisor de 42 pulgadas cuyo precio está marcado en $5 499.

yy ¿Cuánto debe pagar? yy ¿Qué porcentaje representa el descuento?

b. Laura comprará una lavadora cuyo precio es de $11 090.50 y una secadora de $5 840.

yy ¿Cuánto debe pagar por la lavadora? yy ¿Cuánto debe pagar por la secadora? yy ¿Cuánto pagará en total? yy ¿A qué porcentaje del total corresponde el descuento?

c. Daniela quiere comprar un televisor de $5 499, una lavadora de $11 090.50, una secadora de $5 840, un horno de microondas de $1 287.75 y una cafetera eléctrica de $4 345.60. Para saber si puede comprar todos los productos, cal-culó los precios con el descuento.

yy ¿Qué porcentaje de descuento tiene el horno de microondas? yy ¿Cuánto pagará por el horno de microondas? yy ¿Cuánto debe pagar por la cafetera eléctrica? yy Si dispone de $25 000, ¿le alcanzará para comprar todos los productos? ¿Por

qué? yy Si en la tienda no hubiera descuento, ¿cuánto le faltaría para comprar todos

los productos? yy Considera el total de la compra sin y con descuentos. ¿A qué porcentaje de

descuento corresponde?

14

Cafeteras eléctricas

Televisores Lavadoras Secadoras Hornos de microondas

de su precio

13

de su precio

15

de su precio

10% 12%

D e s c u e n t o s

$4 124.2525%

$9 981.45$3 893.33

$13 874.7818.04%

20%$1 030.20$3 824.12

Sí le alcanza, porque con los descuentos aplicados en total pagaría $22 853.36

Le faltarían $3 062.85.

18.56%

109

© SANTIL

LANA

Prohi

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