latihan soal peubah acak

8/11/2019 Latihan Soal Peubah Acak

1/18

1

Peubah Acak Diskrit dan Sebaran

Peluang

1. Konsep Dasar

Peubah Acak: suatu fungsi yang mengaitkansuatu bilangan real pada setiap unsur dalamruang contoh

Jika suatu ruang contoh mengandung titikyang berhingga banyaknya atau sederetananggota yang banyaknya sebanyak bilanganbulat maka ruang contoh itu dinamakanruang contoh diskrit.

Bila ruang contoh mengandung titik contohyang tak berhingga banyaknya danbanyaknya sebanyak titik pada sepotong

garis, maka ruang contoh itu disebut ruangcontoh kontinu.

Sebaran Peluang Diskri t

Hasil eksperimen pelemparan sekeping mata uangseimbang sebanyak 3 kali diperoleh ruang contoh.

S = {BBB,BBM,BMB,MBB,BMM,MBM,MMB,MMM}X = {0, 1, 2, 3}X = banyaknya sisi muka = M muncul

}8

1,

8

3,

8

3,

8

1{P


2/18

2

Sebaran peluangnya menjadi:

X = x 0 1 2 3

f(x)=P(X=x) 1/8 3/8 3/8 1/8

1/8, untuk x = 0,3f(x) = 3/8, untuk x =1,2

0 , untuk x lainnya

Grafik balok (garis) nya:

8

1

82

8

3

0 1 2 3

f(x)


3/18

3

Himpunan pasangan terurut ( x , f(x)) merupakansuatu fungsi peluang, fungsi massa peluang atausebaran peluang peubah acak X bila, untuk setiap

kemungkinan hasil X :

Sebaran kumulatif atau fungsi sebaran F(x) suatupeubah acak X dengan sebaran peluang f(x)dinyatakan oleh:

Dari pelemparan mata uang seimbang 3 kali:

0, x < 01/8, 0 x < 1

F(x) = 4/8, 1 x < 2

7/8, 2 x < 31, x 3

f(x)x)P(X

1f(x)

0f(x)

x

xuntukf(t)x)P(XF(x)xt


4/18

4

Sebaran kumulatif peubah acak diskrit

2. Ni lai Harapan dan Ragam Peubah Acak

Nilai harapan peubah acak X dengan fungsipeluang f(x)= E(x)=

..

..

....

. .

1 2 3

8

2

8

4

8

6

1

F(x)

X

x x

xxfxXxPxE )()()(


5/18

5

Pada sebaran peluang:

X 0 1 2 3

f(x) 1/8 3/8 3/8 1/8

Momen peubah acak X = k

Ragam dan Simpangan Baku Peubah Acak X

V(x) =2 = ragam peubah acak X

= simpangan baku peubah acak X

3

8

13

8

32

8

31

8

10)E(x

f(x)x)E(x

f(x)x)E(x1,2,...kdengan),E(x

22222

2

x

22

2

x

kk

k

k

k

1,58

13

8

32

8

31

8

10E(X)

)f(xX)(xEV(x) j2

j1

j

22

j1jj

2

)f(xX


6/18

6

3. Fungs i Peluang Sebaran Hipergeometr ik

maks (0,n(N-D)) x min (n,D)

Contoh soal:

Suatu kotak berisi 40 suku cadang dikatakan me-menuhi syarat penerimaan bila berisi tidak lebihdari 3 yang cacat. Cara pengambilan contoh(sampel) acak ialah dengan memilih 5 sukucadang secara acak dari dalamnya dan menolak

kotak tersebut bila diantaranya ada yang cacat.Berapakah peluang mendapatkan tepat satuyang cacat dalam contoh acak berukuran 5. Bilakotak tersebut berisi 3 yang cacat.

Petunjuk: N = 40, n = 5, D = 3, danx = 1

Nilai tengah = dan ragam = 2

dari peubahacak X yang menyebar secara Hipergeometrik:

n

N

kn

DN

x

D

xh )(

N

nD

1N

nN

N

D1

N

Dn2;


7/18

7

Pada soal di atas:

4. Fungsi Peluang Sebaran Binom

Contoh soal:

Suatu suku cadang dapat menahan uji goncangantertentu dengan peluang . Hitunglah peluangbahwa tepat 2 dari 4 suku cadang yang diuji tidak

akan rusak:Petunjuk : p = , n = 4, x = 2

Contoh soal: (dapat menggunakan tabel Binom)Peluang untuk sembuh seorang penderitapenyakit darah yang jarang adalah 0,4. Bila di-ketahui 15 orang yang telah mengidap penyakittersebut, berapakah peluangnya:

(a) paling sedikit 10 akan sembuh(b) antara sama dengan 3 sampai sama dengan 8

akan sembuh(c) tepat lima yang sembuh

311,012480

3885

140

540

40

31

40

35

.,8

3

40

15

40

)3(5

2

nxppxn

pnxb

xnx

,....,1,0,1,;


8/18

8

Petunjuk:

Nilai tengah peubah acak X yang menyebar

secara Binom ==np dan ragamnya 2=np(1-p)

5. Fungs i Peluang Sebaran Poisso n

Contoh soal:Rata-rata banyaknya partikel radioaktif yangmeliputi suatu penghitung selama 1 milidetikdalam suatu percobaan di laboratorium adalah 4.Berapakah peluang 6 partikel melewati peng-hitung dalam 1 milidetik tertentu?Petunjuk : x = 6, = 4

2

0

8

0

9

0

0,4,15x;0,4,15x;)83()(

0,4,15x;110110)(

xx

x

bbxPb

bxPxPa

0

...,1,0x,!x

e);x(P

x


9/18

9

Contoh soal: (dapat menggunakan tabel Poisson)

Rata-rata banyaknya tangker minyak yang tibatiap hari di suatu pelabuhan adalah 10.

Pelabuhan tersebut hanya mampu menerimapaling banyak 15 tangker sehari. Berapakahpeluang pada suatu hari tertentu tangker ter-paksa ditolak karena pelabuhan tak mampumelayaninya?

Petunjuk :

= 10, P(x >15) = 1P(x 15)

Nilai tengah peubah acak X yang menyebar

secara Poisson = dan ragamnya 2 = .

Tugas/latihan

1. Dari 5 mobil yang dikirim dari pabrik 2 tibaterkena goresan. Bila suatu toko menerima 3mobil ini secara acak, tuliskan unsur ruangcontoh T menggunakan huruf C dan B untukmasing-masing yang kena goresan dan yangbaik, kemudian setiap titik contoh diberi nilai xdari peubah acak X yang menyatakan banyaknya

mobil yang dibeli toko tadi yang kena goresan.

2. Tentukan nilai C sedemikian sehingga suatufungsi berikut dapat berfungsi sebagai suatusebaran peluang dari peubah acak X.


10/18

10

a. f(x) = c (x2+ 4) untuk x = 0, 1, 2, 3

b. f(x) = c

3

3

2

xx

untuk x= 0, 1, 2

3. Dari suatu kotak yang berisi 4 uang logamratusan dan dua lima puluha, seorang mengambil3 uang secara acak tanpa pengembalian. Caridistribusi peluang jumlah nilai dari tiga matauang. Nyatakan distribusi peluang banyaknya

peluang dengan grafik sebagai histogrampeluang.

4. Dari suatu kotak yang berisi 4 bola hitam dan 2bola hijau. Tiga bola diambil secara berturutan,tiap bola dikembalikan sebelum pengembilanberikutnya. Carilah distribusi peluang banyaknyabola hijau yang terambil.

5. Peubah acak X mempunyai fungsi peluang

(a) P( x 0 ) (b) P( x < 0 ) (c) P( x 1 )(d) P( x 1,5 ) (e) P(1x1 1) (f) P(1x1 < 1)

:hitunglahlainnyauntuk x

0,(x)f;21,0,1,2,x,15

x5(x)f

2


11/18

11

6. Acak X mempunyai fungsi peluang

f(x) = c (6-x), x2, -1, 0, 1, 2;

f(x) = 0 untuk x lainnya. Hitunglah(a) C

(b) F(x) = P (X x); x = -2,5; -0,5; 0; 1,5; 1,7; 3

7. Fungsi sebaran (kumulatif) peubah acak Yadalah:

0 ; y < -10,2 ; -1 y < 00,5 ; 0 y < 10,8 ; 1 y < 31 ; y 3

a. Gambarkan grafik f (y)b. Tentukan fungsi peluang yc. Hitung P ( 0 y 2 )

8. Distribusi peluang X, banyaknya cacat per-10mserat sintetis dalam gulungan yang lebarnyaseragam diberikan oleh:

X 0 1 2 3 4F(x) 0,41 0,37 0,16 0,05 0,01

Buatlah distribusi peluang kumulatif X

F (y) =


12/18

12

9. Suatu bank menawarkan obligasi bagilangganannya dengan tahun tebusan (jatuhtempo) yang berlainan. Bila distribusi peluang

kumulatifnya T diketahui, lamanya dalam tahunsampai jatuh tempo, diberikan oleh:

0 ; t < -10,25 ; 1 < t < 30,50 ; 3 t < 10,75 ; 5 t < 71 ; t 7

Carilah :

a. P( T = 5 )b. P( T > 3 )c. P( 1,4 < T


13/18

13

12. Fungsi peluang peubah acak x adalah

3,21,0,x,

4

3

4

1

3

(x)f

3x

x

x

hitunglah E (x) dan2

x2

13. Sebuah kotak berisi 3 uang logam ratusan dan 2uang logam puluhan, tiga uang diambil secaraacak tanpa pengembalian. Carilah sebaran

peluang jumlah nilai ketiga mata uang yangmungkin terambil. Berapa rataan dan ragamnya.

14. Sebuah uang logam yg tak setangkup, peluangsisi muka munculnya 3 kali peluang munculnyasisi belakang. Carilah nilai harapan banyak sisibelakang muncul jika uang ini dilantunkan tigakali? Cari pula ragamnya?

15. Tukang cuci mobil dibayar berdasarkanbanyaknya mobil yang mereka cuci. Misalkanbahwa penerimaannya sehari dalam ribuanrupiah 7, 8, 11, 13, 15 atau 17 dengan peluangmasing-masing 1/12, 1/12,1/4, 1/4, 1/6 dan 1/6.carilah nilai harapan dan ragam penghasilannya?

16. Dengan membeli sejenis saham tertentu seorangdapat memperoleh keuntungan setahun sebesar$ 4.000 dengan peluang 0,3 atau rugi $ 1.000dengan peluang 0,7. Berapakah harapan peng-hasilannya?


14/18

14

17. Misalkan penjual barang antik ingin membelisebuah patung yang peluangnya 0,22 0,36 0,28dan 0,1. Bahwa ia dapat menjualnya lagi masing-

masing, dalam ribuan rupiah, dengan keuntung-an Rp.250, keuntungan Rp.150 sama denganpembelian, dan rugi Rp.150. Berapa harapankeuntungannya?

18. Dalam suatu permainan judi di AS seseorangdibayar $3 bila dia menarik jack dan queen dan$5 bila dia menarik king atau As dari sekotak

berisi 25 kartu bidge. Bila dia menarik kartu lain,dia kalah. Berapa banyak dia harus membayaruntuk main agar permainan tadi adil?

19. Suatu kantong berisi 5 gulungan kertas yangtidak dapat dibedakan. Tiga dari padanya ber-tanda $2 dan kedua sisanya bertanda $4.

seorang pemain mengambil 2 gulungan secaraacak tanpa pengembalian dan dia dibayar samadengan jumlah nilai pada kedua gulungan. Bilapemain membayar $5,60 sebelumnya, apakah inipermainan yang adil?

20. Misalkan X peubah acak dengan sebaranpeluang berikut:

X -3 6 9F(x) 1/6 1/2 1/3

Carilah g(x), bila g(x) = (2x + 1)2


15/18

15

21. Tentukanlah sebaran seragam (uniform) bagicontoh acak panitia yang terdiri dari 4 orang yangdipilih secara acak dari 6 orang.

22. Suatu ujian terdiri atas 15 pertanyaan pilihan ber-ganda, masing-masing dengan 4 kemungkinan

jawaban dan hanya satu yang benar. Berapapeluang seseorang yang menjawab secaramenebak-nebak saja memperoleh 5 sampai 10

jawaban benar?

23. Peluang seorang pasien selamat dari auatuoperasi jantung yang sulit adalah 0,9. Berapakahpeluang tepat 5 dari 7 orang yang mengalamioperasi berikutnya selamat.

24. Suatu survei terhadap penduduk kota me-nunjukan bahasa 20% lebih menyukai telepon

berwarna putih dari warna lainnya. Berapapeluang dari 20 telepon yang dipasang berikut-nya lebih dari separuhnya berwarna putih?

25. Misalkan bahwa mesin pesawat terbang bekerjatidak tergantung satu dengan yang lainnya danpeluang mesin itu rusak adalah 2 = 1/5. Seandai-nya pesawat terbang selamat bila sekurang-kurangnya separuh dari jumlah mesinnya bekerjadengan baik. Tentukan mana yang berpeluangselamat lebih tinggi pesawat bermesin 4 ataubermesin 2?


16/18

16

26. Untuk mengelabui petugas pabean, seorangpelancong menaruh 6 tablet narkotik dalamsebuah botol yang berisi 9 pil vitamin yang sama

bentuk dan warnanya. Bila petugas pabeanmemeriksa tablet secara acak untuk dianalisis,berapa peluang pelancong tersebut akan ditahankarena membawa narkotik ?

27. Seseorang menanam 6 bibit dipekarangan, yangdiambil secara acak dari sebuah kotak berisi 5bibit gladiol dan 4 bibit daffodil. Berapa peluang

dia menanam 2 bibit daffodil dan 4 bibit gladiol.

28. Suatu panitia beranggota 3 orang dipilih secaraacak dari 4 dokter dan 2 perawat. Tuliskan rumusdistribusi peluang yang peubah acak x yangmenyatakan banyaknya dokter dalam panitiatersebut. Hitunglah peluang (2 x 3)

29. Perusahaan telepon melaporkan bahwa diantara5000 pemasang telepon baru 4000 meng-gunakan telepon tombol. Bila 10 diantarapemasang baru tersebut diambil secara acak,berapa peluang tepat ada 3 orang menggunakantelepon putar?

30. Misalkan peluang seorang mempercayai suatucerita mengenai hidup setelah mati adalah 0,8.Berapakan peluang bahwaa. Orang keenam mendengar cerita itu adalah

yang keempat mempercayainya


17/18

17

b. Orang ketiga yang mendengar cerita itu orangyang mempercayainya

31. Peluang bahwa seorang lulus ujian praktekmengendarai modbil adalah 0,7. Carilah peluangseorang lulus :a. Pada ujian ketigab. Sebelum ujian keempat

32. Seorang tukang ketik rata-rata melakukan duakesalahan per halaman. Berapakah peluang dia

melakukan :a. 4 atau lebih kesalahan pada halaman berikut

yang dia ketik.b. Tidak ada kesalahan

33. Dalam suatu penelitian inventori (persediaanbarang) diketahui bahwa permintaan rata-rata

dari gudang terhadap suatu bahan tertentu 5 kalisehari. Berapakah peluang suatu hari tertentubahan tersebut :a. Diminta lebih dari 5 kalib. Tidak diminta sama sekali

34. Peluang seorang meninggal karena infeksipernafasan adalah 0,002. Carilah peluang bahwakurang dari 5 diantara 2000 orang yang terinfeksiakan meninggal. Carilah rataan dan variansnya


18/18

18

35. Misalkan rata-rata, dari tiap 1000 orang me-lakukan salah perhitungan dalam perhitunganpajaknya. Bila 10.000 isian pajak diambil secara

acak dan diperiksa, hitunglah peluangnya bahwa6,8 atau 8 isian tersebut akan salah hitung.Carilah rataan dan varians peubah acak X yangmenyatakan banyaknya orang yang melakukankesalahan dari 10.000 isian pajak.

latihan soal peubah acak

Documents