Venty

IE 2009

venty09@ymail.com

Dosen: Pak Uka dan Bu Nanda

Stimulus minggu lalu

Global Ltd. Menghasilkan bola golf dengan penjualan total tahunan lebih dari Rp10 milyar. Salah satu alasan dari sedemikian besarnya pembelian bola golf tersebut adalah bahwa pegolf kehilangan bola-bola tersebut sebanyak 4.5 per 18-hole round. Asumsikan bahwa banyaknya bola golf yang hilang dalam sebuah 18-hole round merupakan variabel random Poisson a. Apa asumsi poisson?

b. P(x=0) = 𝑒−4.54.50

0!

c. P(x≤3) = 𝑒−4.54.50

0!+

𝑒−4.54.51

1! +

𝑒−4.54.52

2! +

𝑒−4.54.53

3!

d. P(x>5) = 1- 𝑒−4.54.50

0!+

𝑒−4.54.51

1! +

𝑒−4.54.52

2! +

𝑒−4.54.53

3!+

𝑒−4.54.54

4!

Oiya teman-teman.. Untuk soal terakhir pertemuan pertama nih..

𝑃 𝑥 = 𝑒−𝜇𝜇𝑥

𝑥! =

𝑒−λ𝑡λ𝑡𝑥

𝑥!

Kemarin λ = 5 per jam

Ditanya tidak lebih dari 1 setiap 30 menit:

𝑃 𝑥 = 𝑒(−5.

3060) 5.

30

60

0

0! +

𝑒(−5.

3060) 5.

30

60

1

1!

Normal Probability Distribution 1. It is bell-shaped and has a single peak at the center of

the distribution.

2. It is symmetrical about the mean

3. It is asymptotic: The curve gets closer and closer to the X-axis but never actually touches it.

4. The location of a normal distribution is determined by the mean,, the dispersion or spread of the distribution is determined by the standard deviation,σ .

5. The arithmetic mean, median, and mode are equal

6. The total area under the curve is 1.00; half the area under the normal curve is to the right of this center point and the other half to the left of it

Different Means and Standard Deviations

Equal Means and Different Standard Deviations

Different Means and Equal Standard Deviations

Family of Distributions

distribusi normal standar

• distribusi normal standar adalah distribusi normal dengan mean 0 dan standar deviasi 1

• Disebut dengan distribusi z

• Nilai z adalah jarak antara 1 nilai dengan rata-rata dibagi dengan standar deviasinya

PENDEKATAN NORMAL TERHADAP BINOMIAL

Apabila n sangat besar (di luar tabel binomial) dan p sangat kecil (seperti np 5), maka distribusi binomial dapat didekati oleh distribusi Poisson.

Akan tetapi apabila n di luar nilai tabel dan p bernilai sangat kecil atau sangat besar, maka distribusi binomial dapat didekati oleh distribusi normal.

Sebagai petunjuk dalam melakukan pendekatan normal dari binomial adalah :

n 30

np dan n(1 – p) 5

Penyesuaian formula konversi:

dengan:

– np adalah nilai yang diharapkan untuk distribusi binomial

– = deviasi standar distribusi binomial

– 0,5 adalah faktor koreksi kontinuitas

npq

npXZ

5,0

npq

The value .5 subtracted or added, depending on the problem, to a selected value when a binomial probability distribution (a discrete probability distribution) is being approximated by a continuous probability distribution (the normal distribution).

Only one of four cases may arise:

1. For the probability at least X occurs, use the area above (X -.5).

2. For the probability that more than X occurs, use the area above (X+.5).

3. For the probability that fewer than X occurs, use the area below (X -.5).

4. For the probability that X or fewer occurs, use the area below (X+.5).

PENDEKATAN NORMAL TERHADAP POISSON

• Apabila rata-rata distribusi Poisson lebih dari 10, maka mustahil untuk menggunakan tabel peluang Poisson (meskipun sebenarnya dapat dilakukan dengan komputer). Olehkarenanya pendekatan normal kepada binomial dapat diperluas kepada distribusi Poisson (dalam hal ini μ > 10).

Ringkasan Simbol

Rata-rata

Varians

Standar Deviasi

Binomial Poisson Normal

np n

X i

npq2 2

n

X i

2

2)(

npq n

X i

2)(

no Soal Solusi Keterangan rumus

1 Binomial Ciri: 1. Ada 2 kejadian (sukses dan tidak sukses) 2. Ada n (sampel yng diambil acak) 3. Ada p (probabilitas sukses)

Poisson Jika n≥30 p < 0,1 np < 7

Tidak perlu faktor koreksi

Normal n≥30 np dan n(1 – p) 5

perlu faktor koreksi

2 Poisson Ciri: 1. Ada 2 kejadian (sukses dan tidak

sukses) 2. Ada interval waktu, area, volume 3. ada μ; 4. tidak ada σ; jika ada σ; σ harus =

𝜇

Poisson μ < 10

Tidak perlu faktor koreksi

Normal μ > 10

perlu faktor koreksi

3. Normal Ciri: 1. Ada μ dan σ

Normal Tidak perlu faktor koreksi

!x

npexXP

xnp

npq

npXZ

5,0

𝑃 𝑥 = 𝑒−𝜇𝜇𝑥

𝑥!

Soal 1: pendekatan distribusi binomial

Anggota suatu dewan juri berisikan 55% wanita. Berapa peluang terpilihnya 50 anggota juri yang dipilih secara acak akan berisikan anggota wanita sebanyak 30 orang atau lebih.

Pemilihan ini jelas merupakan proses binomial dengan n = 50, p = 0,55 dan x 30. Tabel binomial tidak mempunyai nilai untuk n = 50. Pendekatan Poisson juga tidak dapat dilakukan karena np = 27,5.Demikian pula teknik menggunakan 1 – p untuk p tidak dapat dilakukan juga karena n(1 – p) = 23,5. Akan tetapi kriteria untuk pendekatan normal sudah dipenuhi dimana parameter binomial untuk mendekati distribusi normal adalah :

5,27 npB

52,3)1( pnpB

• Sebelum menghitung peluang distribusi normal, terlebih dahulu perlu dihitung suatu koreksi yang memperkenankan kita melakukan pendekatan dari distribusi diskrit ke distribusi kontinu.

• Dalam distribusi kontinu, nilai 29 didefinisikan mengambil nilai antara “28,5 sampai 29,5”, nilai 30 di antara nilai 29,5 sampai 30,5 dan seterusnya. Dengan demikian, nilai-nilai diskrit yang sama atau lebih besar dari 30 dapat diperlihatkan dalam Gambar berikut

Jawab

Akhirnya persoalan di atas dapat diselesaikan sebagaimana persoalan distribusi normal biasa yaitu :

Luas area dari 0 sampai 0,57 adalah 0,2157. Jadi :

Artinya peluang (pendekatan) terpilihnya anggota juri wanita lebih dari 30 orang adalah 0,2843.(Jika dihitung dengan distribusi binomial diperoleh 0,2862).

57,052,3

5,275,29

z

2843,02157,05,0)5,29( XP

Soal 2

• Rata-rata jumlah kendaraan yang mengunjungi bengkel pada jam 16.00 – 17.00 di akhir pekan adalah 16. Berapa peluang bahwa kurang dari 20 kendaraan akan mengunjungi bengkel pada jam yang sama di hari Selasa mendatang.

• Rata-rata distribusi Poisson lebih dari 10, sehingga pendekatan normal dapat dilakukan. Parameter Poisson yang ekivalen dengan distribusi normal adalah :

• Koreksi dari distribusi diskrit ke kontinu perlu dilakukan seperti yang dicontohkan sebelumnya. Jadi dalam hal ini peluang “kurang dari 20” dapat kita didefinsikan sebagai “kurang atau sama dengan 19,5”. Luas area di bawah kurva normal lihat Gambar 7.4)

16 P 4 P

jawab Luas area di bawah kurva normal dapat dihitung dengan

Dengan menggunakan tabel diperoleh luas areanya adalah 0,3106. Karena nilai z positif, maka luas area yang dicari adalah mulai dari z = 0,88 ke arah kiri atau :

Jadi peluang (pendekatan) kendaraan yang mengunjungi bengkel di hari Selasa kurang dari 20 buah adalah 0,8106

(perhitungan secara eksak dengan menggunakan distribusi Poisson adalah 0,8122).

88,04

165,19

z

8106,03106,05,0)5,19( XP

Soal 3

Dari pengiriman sebanyak 1000 riem kertas koran dengan berat 60 gram diketahui bahwa rata-rata riem terisi dengan 450 lembar dengan standar deviasi 10 lembar.

Hitunglah berapa persen dari riem kertas yang terisi dengan 455 atau lebih?

𝑧 = 𝑋− 𝜇

𝜎 =

455 −450

10= 0.5

Luas area dari 0 sampai 0,5 adalah 0,1915 Luas area dari 0.5 sampai akhir tail adalah 0.5- 0,1915 = 0.3085 = 30,85%

Soal 4 Banyaknya keluhan yang terjadi di sebuah pusat perbelanjaan di Jakarta memiliki pola distribusi normal dengan rata-rata sebanyak (𝜇)25.8 keluhan per hari. Apabila probabilita paling sedikit terdapat (x) 18 keluhan per hari adalah 75.14%

• Berapakan deviasi standar dari distribusi normal ini?

0.68

𝑧 = 𝑋 − 𝜇

𝜎

𝜎 = 𝑋− 𝜇

𝑧 =

18−25.8

0.68 = 11.47

• Berapakah probabilita bahwa pusat perbelanjaan tersebut menerima paling banyak 30 keluhan per hari?

z (x≤30) =30−25,8

11,47=

4,2

11,47= 0,37

0,5+0,1443 = 0,6443

• Apabila keluhan yang terjadi melebihi 50 keluhan per hari, manajer pusat perbelanjaan tersebut harus diganti. Berapa probabilita manajer tersebut akan diganti oleh pemilik pusat perbelanjaan?

z (x>50) =50−25,8

11,47=

24,2

11,47= 2,11

0,5 – 0,4826 = 0,0174

Soal 5

Seorang pengembang usaha minimarket “betamart” ingin mengetahui kinerja dari minimarket “betamart” yang tersebar di seluruh Indonesia. Ia memutuskan untuk mempelajari struktur biaya dari minimarket-minimarket tersebut. Diketahui bahwa 145 betamart yang tersebar di seluruh Indonesia memiliki struktur biaya per bulan yang terdistribusi secara normal dengan rata-rata sebesar (μ) 5 juta rupiah dan deviasi standar sebesar (σ) 1.2 juta rupiah

Dengan sampel sebesar 36 minimarket, berapakah probabilitas biaya rata-rata per bulan lebih dari 5.5 juta rupiah?

z = 5,5−51,2

36 =

0,5

0,2= 2,5

Dengan sampel sebesar 49 minimarket, berapakah probabilitas biaya rata-rata per bulan kurang dari 4.7 juta rupiah?

z = 4,7−51,2

49 =

0,3

0,171= 1,75

Soal 6

Pada Sabtu malam pukul 19.00-20.00 terdapat 100 juta penduduk menonton televisi di Indonesia. Diantaranya terdapat 40 juta penduduk menonton serial “Pemanasan Global” yang pertemuannya sedang berlangsung di Bali.

– Hitunglah proporsi penduduk yang menonton serial “Pemanasan Global”! 40%

– Simbol apa yang digunakan untuk proporsi pada poin “a”? μ

– Jika kemudian diambil sampel random berukuran 2500, hitunglah standar deviasi

Berapa probabilitas, dalam suatu sampel yang berukuran 2500, lebih dari 41% sampel menonton serial “Pemanasan Global”?

Berapa probabilitas, dalam suatu sampel yang berukuran 2500, hanya kurang dari 30% sampel menonton serial “Pemanasan Global”?

Soal 7

• Sebuah produsen mobil memperkenalkan mobil keluaran terbarunya dengan keunggulan dapat mencapai jarak tempuh 27 km dengan 1 liter BBM. Anda sedang menguji kebenaran dari iklan yang dikeluarkan produsen tersebut dan mendapat info tambahan bahwa standar deviasi konsumsi BBM mobil tersebut adalah 3 km per liter. Anda meyakini bahwa distribusi probabilitas dari mobil tersebut terdistribusi secara normal dengan mean 27 dan standar deviasi 3.

Jika anda secara kebetulan telah membeli mobil ini, berapa probabilita anda membeli mobil yang rata-rata konsumsi BBM nya dibawah 20 km per liter? P(x<20)

𝑧 = 20 − 27

3= 2.333

Misalnya ternyata anda membeli mobil keluaran baru tersebut dan menemukan bahwa konsumsi BBM mobil tersebut kurang dari 20 km per liter. Dapatkah disimpulkan bahwa kesalahan terdapat pada model probabilita yang anda buat?

Soal 8

Diperkirakan waktu perjalanan dengan menggunakan mobil untuk rute Jakarta ke Bandung melalui tol Cipularang mengikuti pola distribusi normal dengan rerata 150 menit dan standar deviasi 20 menit.

– Berapakah probabilitas waktu perjalanan yang ditempuh Lisa pada rute ini selama 110 hingga 150 menit?

• Jika peluang agar sampai ke Bandung dengan waktu tercepat adalah 0,1, maka berapa menit waktu tempuh maksimal agar peluang Lisa sampai ke Bandung dengan waktu tercepat itu dapat dicapai?