lapres 8 lina

15
SOAL 1. Metode Euler a) Apa yang anda ketahui tentang Metode Euler dalam matlab? Jelaskan dan berikan contohnya ! b) Sebutkan Kelebihan & Kekurangan dari Metode Euler ! c) Buatlah Program dari Metode Euler beserta penyelesaian algoritmanya dan Flowchart ! 2. Metode Runge Kutta a) Apa yang anda ketahui tentang Metode Runge Kutta dalam matlab ? Jelaskan dan berikan contohnya ! b) Sebutkan Kelebihan & Kekurangan Metode Runge Kutta! c) Buatlah Program dari Metode Runge Kutta beserta penyelesaian algoritmanya dan Flowchart ! LABORATORIUM TEKNIK KIMIA FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI UPN “VETERAN” JAWA TIMUR Praktikum : Matematika Teknik Percobaan : Metode Runge Kutta dan Euler Tanggal : 7 Mei 2015 Nama : Karlina NPM/Semester : 1331010004 / IV Romb./Grup : III / A NPM/Teman Praktek : 1331010001 Yohanes Gilang Y LAPORAN RESMI

Upload: irene-karlina

Post on 05-Feb-2016

247 views

Category:

Documents


1 download

DESCRIPTION

Laporan Resmi Matematika Teknik II

TRANSCRIPT

Page 1: Lapres 8 LINA

SOAL

1. Metode Euler

a) Apa yang anda ketahui tentang Metode Euler dalam matlab?

Jelaskan dan berikan contohnya !

b) Sebutkan Kelebihan & Kekurangan dari Metode Euler !

c) Buatlah Program dari Metode Euler beserta penyelesaian algoritmanya

dan Flowchart !

2. Metode Runge Kutta

a) Apa yang anda ketahui tentang Metode Runge Kutta dalam matlab ?

Jelaskan dan berikan contohnya !

b) Sebutkan Kelebihan & Kekurangan Metode Runge Kutta!

c) Buatlah Program dari Metode Runge Kutta beserta penyelesaian

algoritmanya dan Flowchart !

LABORATORIUM TEKNIK KIMIAFAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI

UPN “VETERAN” JAWA TIMURPraktikum : Matematika TeknikPercobaan : Metode Runge Kutta dan Euler

Tanggal : 7 Mei 2015Pembimbing : Ir. Tatiek Sri Hajati, MT

Nama : KarlinaNPM/Semester : 1331010004 / IVRomb./Grup : III / ANPM/Teman Praktek : 1331010001 Yohanes Gilang Y

LAPORAN RESMI

Page 2: Lapres 8 LINA

JAWABAN

1. Metode Euler

a. Metode Euler adalah salah satu dari metode satu langkah yang paling

sederhana. Di banding dengan beberapa metode lainnya, metode ini

paling kurang teliti. Namun demikian metode ini perlu dipelajari

mengingat kesederhanaannya dan mudah pemahamannya sehingga

memudahkan dalam mempelajari metode lain yang lebih teliti.

Metode Euler dapat diturunkan dari Deret Taylor:

y i + 1= y i+ y i' Δx

1 !+ y i

'' Δx2

2 !+ . . .

Apabila nilai x kecil, maka suku yang mengandung pangkat lebih tinggi dari 2 adalah sangat kecil dan dapat diabaikan, sehingga persamaan diatas dapat ditulis menjadi:

y i + 1= y i+ y i' Δx (8.5)

Dengan membandingkan persamaan (8.4) dan persamaan (8.5) dapat

disimpulkan bahwa pada metode Euler, kemiringan = y i' = f (xi , yi),

sehingga persamaan (8.5) dapat ditulis menjadi:

y i + 1= y i+f ( xi , y i ) Δx (8.6)

dengan i = 1, 2, 3, … Persamaan (8.6) adalah metode Euler, nilai yi + 1

diprediksi dengan menggunakan kemiringan fungsi (sama dengan turunan pertama) di titik xi untuk diekstrapolasikan secara linier pada

Page 3: Lapres 8 LINA

jarak sepanjang pias x. Gambar 8.3, adalah penjelasan secara grafis dari metode Euler.

Gambar 8.3. Metode Euler

Contoh soal:Selesaikan persamaan di bawah ini:

dydx

= f ( x , y )= −2 x3+ 12 x2− 20 x+ 8,5.

y (0 )=1 .

dari x = 0 sampai x = 4 dengan panjang langkah x = 0,5 dan x =

0,25.

Penyelesaian:Penyelesaian eksak dari persamaan diatas adalah:

y = −0,5 x4+ 4 x3− 10 x2+ 8,5 x+1.

Penyelesaian numerik dilakukan secara bertahap pada beberapa titik yang berurutan. Dengan menggunakan persamaan (8.6), dihitung nilai yi + 1 yang berjarak x = 0,5 dari titik awal yaitu x = 0. Untuk i = 0 maka persamaan (8.6), menjadi:

y1= y0+ f ( x0 , y0 ) Δx

Dari kondisi awal, pada x = 0 nilai fungsi y (0) = 1, sehingga:

y (0,5 )= y (0)+ f (0 ; 1 ) 0,5.

Kemiringan garis di titik (x0 ; y0) adalah:

dydx

= f ( 0 ; 1) = −2 (03 )+ 12 (02 )− 20 (0)+ 8,5 = 8,5.

sehingga:

y ( 0,5 )= 1+ 8,5 (0,5)= 5 , 25 .

Nilai eksak pada titik x = 0,5 adalah:

y (0,5 ) = −0,5 (0,54 )+ 4 (0,53 )− 10 (0,52 )+ 8,5 (0,5 )+ 1 = 3 , 21875 .

Jadi kesalahan dengan metode Euler adalah:

ε t =3 ,21875−5 , 25

3 , 21875×100 % = −63 , 1 %.

Page 4: Lapres 8 LINA

Pada langkah berikutnya, yaitu untuk i = 1, persamaan (8.6) menjadi:

y2 = y1+ f ( x1 , y1 ) Δxy ( 1,0 )= y (0,5 )+ f ( 0,5 ; 5 ,25 ) 0,5

=5 , 25 + [−2 (0,53 )+ 12 (0,52 )− 20 (0,5) + 8,5 ] 0,5 = 5 , 875 .

Hitungan dilanjutkan dengan prosedur diatas dan hasilnya diberikan dalam Tabel 8.1, Untuk x = 0,25, hitungan dilakukan dengan prosedur diatas dan hasilnya juga diberikan dalam Tabel 8.1. Dalam contoh tersebut dengan nilai x berbeda, dapat disimpulkan bahwa penggunaan x yang lebih kecil akan memberikan hasil yang lebih teliti. Tetapi konsekuensinya waktu hitungan menjadi lebih lama.

Tabel 8.1. Hasil hitungan dengan metode Euler

b. Kelebihan :

Metode ini merupakan metode untuk penyelesaian numerik persamaan

diferensial yang paling sederhana

Kekurangan :

Karena kesederhanaannya metode ini pula lah yang tingkat ketelitian

yang paling rendah.

c. Program

clear all;

Page 5: Lapres 8 LINA

clc;syms x;disp ('Metode Euler');f=input('Masukkan Persamaan = ');a=input('Masukkan Batas x1 = ');b=input('Masukkan Batas x2 = ');n=input('jumlah interval = ');disp(' x yeksak yperkiraan error ');f1=int(f);y0=1;eksak=subs(f1,x,a);err=(y0-eksak)/y0;disp([a' eksak' y0' err']);for k=a:n:(b-n) ak=a+n; fk=subs(f,x,a); y1=y0+(fk*n); eksak=subs(f1,x,ak)+1; err=100*((eksak-y1)/eksak); disp([ak' eksak' y1' err']); a=ak; y0=y1;end

Hasil Run

Flowchart

Page 6: Lapres 8 LINA

2. Metode Runge-Kutta

Page 7: Lapres 8 LINA

Pada saat membahas metode Euler untuk penyelesaian persamaandiferensial, kita telah sampai pada kesimpulan bahwa truncation error metode Euler terus membesar seiring dengan bertambahnya iterasi. Dikaitkan dengan hal tersebut, metode Runge-Kutta Orde Empat menawarkan penyelesaian persamaan diferensial dengan pertumbuhan truncation error yang jauh lebih kecil. Persamaan-persamaan yang menyusun metode Runge-Kutta Orde Empat adalah

Contoh

Diketahui persamaan diferensial

dengan mengganti y menjadi w, kita bisa nyatakan f(ti,wi) sebagai

Jika N = 10, maka

Sekarang mari kita demonstrasikan metode Runge-Kutta Orde Empat

ini. Untuk menghitung W1, tahap-tahap perhitungannya dimulai dari

menghitung k1

Page 8: Lapres 8 LINA

akhirnya diperoleh W1

Dengan cara yang sama, w2,w3,w4 dan seterusnya dapat dihitung. Tabel berikut menunjukkan hasil perhitungannya.

Page 9: Lapres 8 LINA

Dibandingkan dengan metode Euler, tingkat pertumbuhan truncation error, pada kolom |wi−yi|, jauh lebih rendah sehingga metode Runge-Kutta Orde Empat lebih disukai untuk membantu menyelesaikan persamaan-diferensial-biasa.

Contoh soal:

Selesaikan persamaan berikut dengan metode Runge-Kutta order 4.

dydx

= −2 x3+ 12 x2− 20 x+ 8,5 .

dari x = 0 sampai x = 4 dengan menggunakan langkah Δx=0,5 . Kondisi awal pada x = 0 adalah y = 1.

Penyelesaian:

Langkah pertama pada metode Runge-Kutta order 4 yaitu menghitung

k1, k2, k3 dan k4.

Page 10: Lapres 8 LINA

k 1= −2 (03 )+ 12(02)− 20(0 ) + 8,5 = 8,5.

k 2= −2(0 , 253 )+ 12(0 ,252 )− 20 (0 ,25 ) + 8,5 = 4 , 21875 .

k 3= −2(0 , 253 )+ 12(0 ,252 )− 20 (0 ,25 ) + 8,5 = 4 ,21875 .

k 4= −2 (0,53 )+ 12(0,52 )− 20(0,5 ) + 8,5 = 1 , 25 .

Dengan menggunakan persamaan (8.33a), dihitung nilai y (x):

y (0,5 )= 1 + [ 16( 8,5 + 2( 4 ,21875) +2 (4 , 21875 ) + 1 ,25 ]0,5 = 3 ,21875 .

a. Kelebihan :

Metode Runge-Kutta memberikan hasil ketelitian yang lebih besar dan

tidak memerlukan turunan atau integral dari fungsi, seperti pada

metode Euler

Kekurangan :

Metode Runge-Kutta perlu pengerjaan dengan cara yang panjang dan

rumit. Terkadang menyebabkan terdapatnya kesalahan pada

perhitungan

b. Program

clear all;clc;syms x;syms y;disp('Program Runge Kutta');f=input('masukkan nilai persamaan = ');a=input('nilai x = ');b=input('nilai y = ');dx=input('delta x = ');n=input('tentukan hingga x = ');disp('x y k1 k2 k3 k4');for evi=a:dx:n k1=subs(f,{x,y},{a,b}); a2=a+((1/2)*dx); b2=b+((1/2)*dx*k1); k2=subs(f,{x,y},{a2,b2}); a3=a+((1/2)*dx); b3=b+((1/2)*dx*k2); k3=subs(f,{x,y},{a3,b3}); a4=a+dx; b4=b+(dx*k3); k4=subs(f,{x,y},{a4,b4});

Page 11: Lapres 8 LINA

b5=b+((dx/6)*(k1+(2*k2)+(2*k3)+k4)); disp([a' b' k1' k2' k3' k4']); b=b5; a=a4;end

Hasil Run

Page 12: Lapres 8 LINA

Flowchart