lapres 8 lina
DESCRIPTION
Laporan Resmi Matematika Teknik IITRANSCRIPT
SOAL
1. Metode Euler
a) Apa yang anda ketahui tentang Metode Euler dalam matlab?
Jelaskan dan berikan contohnya !
b) Sebutkan Kelebihan & Kekurangan dari Metode Euler !
c) Buatlah Program dari Metode Euler beserta penyelesaian algoritmanya
dan Flowchart !
2. Metode Runge Kutta
a) Apa yang anda ketahui tentang Metode Runge Kutta dalam matlab ?
Jelaskan dan berikan contohnya !
b) Sebutkan Kelebihan & Kekurangan Metode Runge Kutta!
c) Buatlah Program dari Metode Runge Kutta beserta penyelesaian
algoritmanya dan Flowchart !
LABORATORIUM TEKNIK KIMIAFAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI
UPN “VETERAN” JAWA TIMURPraktikum : Matematika TeknikPercobaan : Metode Runge Kutta dan Euler
Tanggal : 7 Mei 2015Pembimbing : Ir. Tatiek Sri Hajati, MT
Nama : KarlinaNPM/Semester : 1331010004 / IVRomb./Grup : III / ANPM/Teman Praktek : 1331010001 Yohanes Gilang Y
LAPORAN RESMI
JAWABAN
1. Metode Euler
a. Metode Euler adalah salah satu dari metode satu langkah yang paling
sederhana. Di banding dengan beberapa metode lainnya, metode ini
paling kurang teliti. Namun demikian metode ini perlu dipelajari
mengingat kesederhanaannya dan mudah pemahamannya sehingga
memudahkan dalam mempelajari metode lain yang lebih teliti.
Metode Euler dapat diturunkan dari Deret Taylor:
y i + 1= y i+ y i' Δx
1 !+ y i
'' Δx2
2 !+ . . .
Apabila nilai x kecil, maka suku yang mengandung pangkat lebih tinggi dari 2 adalah sangat kecil dan dapat diabaikan, sehingga persamaan diatas dapat ditulis menjadi:
y i + 1= y i+ y i' Δx (8.5)
Dengan membandingkan persamaan (8.4) dan persamaan (8.5) dapat
disimpulkan bahwa pada metode Euler, kemiringan = y i' = f (xi , yi),
sehingga persamaan (8.5) dapat ditulis menjadi:
y i + 1= y i+f ( xi , y i ) Δx (8.6)
dengan i = 1, 2, 3, … Persamaan (8.6) adalah metode Euler, nilai yi + 1
diprediksi dengan menggunakan kemiringan fungsi (sama dengan turunan pertama) di titik xi untuk diekstrapolasikan secara linier pada
jarak sepanjang pias x. Gambar 8.3, adalah penjelasan secara grafis dari metode Euler.
Gambar 8.3. Metode Euler
Contoh soal:Selesaikan persamaan di bawah ini:
dydx
= f ( x , y )= −2 x3+ 12 x2− 20 x+ 8,5.
y (0 )=1 .
dari x = 0 sampai x = 4 dengan panjang langkah x = 0,5 dan x =
0,25.
Penyelesaian:Penyelesaian eksak dari persamaan diatas adalah:
y = −0,5 x4+ 4 x3− 10 x2+ 8,5 x+1.
Penyelesaian numerik dilakukan secara bertahap pada beberapa titik yang berurutan. Dengan menggunakan persamaan (8.6), dihitung nilai yi + 1 yang berjarak x = 0,5 dari titik awal yaitu x = 0. Untuk i = 0 maka persamaan (8.6), menjadi:
y1= y0+ f ( x0 , y0 ) Δx
Dari kondisi awal, pada x = 0 nilai fungsi y (0) = 1, sehingga:
y (0,5 )= y (0)+ f (0 ; 1 ) 0,5.
Kemiringan garis di titik (x0 ; y0) adalah:
dydx
= f ( 0 ; 1) = −2 (03 )+ 12 (02 )− 20 (0)+ 8,5 = 8,5.
sehingga:
y ( 0,5 )= 1+ 8,5 (0,5)= 5 , 25 .
Nilai eksak pada titik x = 0,5 adalah:
y (0,5 ) = −0,5 (0,54 )+ 4 (0,53 )− 10 (0,52 )+ 8,5 (0,5 )+ 1 = 3 , 21875 .
Jadi kesalahan dengan metode Euler adalah:
ε t =3 ,21875−5 , 25
3 , 21875×100 % = −63 , 1 %.
Pada langkah berikutnya, yaitu untuk i = 1, persamaan (8.6) menjadi:
y2 = y1+ f ( x1 , y1 ) Δxy ( 1,0 )= y (0,5 )+ f ( 0,5 ; 5 ,25 ) 0,5
=5 , 25 + [−2 (0,53 )+ 12 (0,52 )− 20 (0,5) + 8,5 ] 0,5 = 5 , 875 .
Hitungan dilanjutkan dengan prosedur diatas dan hasilnya diberikan dalam Tabel 8.1, Untuk x = 0,25, hitungan dilakukan dengan prosedur diatas dan hasilnya juga diberikan dalam Tabel 8.1. Dalam contoh tersebut dengan nilai x berbeda, dapat disimpulkan bahwa penggunaan x yang lebih kecil akan memberikan hasil yang lebih teliti. Tetapi konsekuensinya waktu hitungan menjadi lebih lama.
Tabel 8.1. Hasil hitungan dengan metode Euler
b. Kelebihan :
Metode ini merupakan metode untuk penyelesaian numerik persamaan
diferensial yang paling sederhana
Kekurangan :
Karena kesederhanaannya metode ini pula lah yang tingkat ketelitian
yang paling rendah.
c. Program
clear all;
clc;syms x;disp ('Metode Euler');f=input('Masukkan Persamaan = ');a=input('Masukkan Batas x1 = ');b=input('Masukkan Batas x2 = ');n=input('jumlah interval = ');disp(' x yeksak yperkiraan error ');f1=int(f);y0=1;eksak=subs(f1,x,a);err=(y0-eksak)/y0;disp([a' eksak' y0' err']);for k=a:n:(b-n) ak=a+n; fk=subs(f,x,a); y1=y0+(fk*n); eksak=subs(f1,x,ak)+1; err=100*((eksak-y1)/eksak); disp([ak' eksak' y1' err']); a=ak; y0=y1;end
Hasil Run
Flowchart
2. Metode Runge-Kutta
Pada saat membahas metode Euler untuk penyelesaian persamaandiferensial, kita telah sampai pada kesimpulan bahwa truncation error metode Euler terus membesar seiring dengan bertambahnya iterasi. Dikaitkan dengan hal tersebut, metode Runge-Kutta Orde Empat menawarkan penyelesaian persamaan diferensial dengan pertumbuhan truncation error yang jauh lebih kecil. Persamaan-persamaan yang menyusun metode Runge-Kutta Orde Empat adalah
Contoh
Diketahui persamaan diferensial
dengan mengganti y menjadi w, kita bisa nyatakan f(ti,wi) sebagai
Jika N = 10, maka
Sekarang mari kita demonstrasikan metode Runge-Kutta Orde Empat
ini. Untuk menghitung W1, tahap-tahap perhitungannya dimulai dari
menghitung k1
akhirnya diperoleh W1
Dengan cara yang sama, w2,w3,w4 dan seterusnya dapat dihitung. Tabel berikut menunjukkan hasil perhitungannya.
Dibandingkan dengan metode Euler, tingkat pertumbuhan truncation error, pada kolom |wi−yi|, jauh lebih rendah sehingga metode Runge-Kutta Orde Empat lebih disukai untuk membantu menyelesaikan persamaan-diferensial-biasa.
Contoh soal:
Selesaikan persamaan berikut dengan metode Runge-Kutta order 4.
dydx
= −2 x3+ 12 x2− 20 x+ 8,5 .
dari x = 0 sampai x = 4 dengan menggunakan langkah Δx=0,5 . Kondisi awal pada x = 0 adalah y = 1.
Penyelesaian:
Langkah pertama pada metode Runge-Kutta order 4 yaitu menghitung
k1, k2, k3 dan k4.
k 1= −2 (03 )+ 12(02)− 20(0 ) + 8,5 = 8,5.
k 2= −2(0 , 253 )+ 12(0 ,252 )− 20 (0 ,25 ) + 8,5 = 4 , 21875 .
k 3= −2(0 , 253 )+ 12(0 ,252 )− 20 (0 ,25 ) + 8,5 = 4 ,21875 .
k 4= −2 (0,53 )+ 12(0,52 )− 20(0,5 ) + 8,5 = 1 , 25 .
Dengan menggunakan persamaan (8.33a), dihitung nilai y (x):
y (0,5 )= 1 + [ 16( 8,5 + 2( 4 ,21875) +2 (4 , 21875 ) + 1 ,25 ]0,5 = 3 ,21875 .
a. Kelebihan :
Metode Runge-Kutta memberikan hasil ketelitian yang lebih besar dan
tidak memerlukan turunan atau integral dari fungsi, seperti pada
metode Euler
Kekurangan :
Metode Runge-Kutta perlu pengerjaan dengan cara yang panjang dan
rumit. Terkadang menyebabkan terdapatnya kesalahan pada
perhitungan
b. Program
clear all;clc;syms x;syms y;disp('Program Runge Kutta');f=input('masukkan nilai persamaan = ');a=input('nilai x = ');b=input('nilai y = ');dx=input('delta x = ');n=input('tentukan hingga x = ');disp('x y k1 k2 k3 k4');for evi=a:dx:n k1=subs(f,{x,y},{a,b}); a2=a+((1/2)*dx); b2=b+((1/2)*dx*k1); k2=subs(f,{x,y},{a2,b2}); a3=a+((1/2)*dx); b3=b+((1/2)*dx*k2); k3=subs(f,{x,y},{a3,b3}); a4=a+dx; b4=b+(dx*k3); k4=subs(f,{x,y},{a4,b4});
b5=b+((dx/6)*(k1+(2*k2)+(2*k3)+k4)); disp([a' b' k1' k2' k3' k4']); b=b5; a=a4;end
Hasil Run
Flowchart