i

LAPORAN TUGAS AKHIR

Topik Tugas Akhir:

Kajian Matematika Murni

GENERALISASI JUMLAH AJAIB PADA PERSEGI AJAIB

ORDER EMPAT

TUGAS AKHIR

Diajukan Kepada Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Muhammadiyah Malang

Sebagai Salah Satu Prasarat untuk Mendapatkan

Gelar Sarjana Pendidikan Matematika

Oleh:

DEDI YULIANTO

NIM: 07320046

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH MALANG

2011

ii

iii

iv

v

MOTTO

“Dan barang siapa datang kepada Tuhannya dalam

keadaan beriman, lagi sungguh-sungguh telah beramal

saleh, maka mereka itulah orang-orang yang

memperoleh tempat-tempat yang tinggi (mulia),”(QS:

Thaahaa: 75)

Raihlah ilmu, dan untuk meraih ilmu belajarlah

untuk tenang dan sabar. (Umar Bin Khattab)

Kehidupan itu seperti sebuah cermin - jika engkau

menghadiahkan senyuman kepadanya maka engkau akan

mendapatkanya kembali.

Dari bebatuan kecil sebuah jalan dapat dibangun

sebuah rumah dengan megah dan indah, begitu pula

hidup kita.

vi

PERSEMBAHAN

Alhamdulillahirobbil ‘alamin karena limpahan rahmat, karunia, hidayah,

inayah dan maghfirah Allah SWT., dan sholawat serta salam kepada Rosulullah

SAW. yang memberikan petunjuk ke jalan yang terang dan benar sehingga Tugas

Akhir ini dapat terselesaikan.

Kupersembahkan Tugas Akhir ini untuk:

1. Kedua orang tua dan keluarga yang telah memberikan doa dan support dalam

pengerjaan Tugas Akhir ini. Terima kasih atas kasih sayang, bimbingan, doa,

dukungan serta semua yang telah diberikan kepadaku sehingga ananda

mendapatkan yang terbaik. Kalian selalu ada dalam setiap doaku.

2. Dosen-dosen jurusan Pendidikan Matematika FKIP UMM yang telah

mendidik, membimbing dan memberikan arahan kepada ku selama ini.

3. Sahabat-sahabatku Bagus Condro W., Beta Lutfiana, Dzuriatul Lam’ah,

Firsty Amelia N., Fithratul Qoyimah, Sarah Savista H., Tantok Kustiawan,

dan yang lainnya yang tak bisa ku sebutkan satu-per satu, terima kasih atas

motivasi, bantuan dan doanya.

4. Teman-teman seperjuangan yang selalu saling membantu dalam kesulitan,

serta teman-teman pendidikan matematika angkatan 2007.

vii

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT. yang Maha kuasa dan Maha Penyayang,

dengan rahmat dan hidayah-Nya penulis dapat menyelesaikan Skripsi dengan

judul “generalisasi jumlah ajaib pada persegi ajaib order empat“. Sholawat serta

salam tercurahkan kepada Rosulullah Muhammad SAW., keluarga serta

sahabatnya.

Penulisan skripsi ini merupakan kajian teori yang menggunakan studi

literatur (Library Reseach) atau studi kepustakaan, yaitu pembahasan yang

dilakukan dengan mengkaji teori-teori atau literatur-literatur tentang persegi ajaib

yang relevan untuk memecahkan masalah kostruksi persegi ajaib order-4 dengan

generalisasi pada jumlah ajaibnya.

Penulis menyadari bahwa Skripsi ini dapat selesai berkat bimbingan,

bantuan, dan motivasi dari banyak pihak. Oleh karena itu dengan hati yang tulus

penulis menghaturkan rasa hormat dan terima kasih kepada Dr. Dwi Priyo Utomo,

M.Pd. dan Dr. Yus M. Cholily, M.Si. selaku dosen pembimbing yang telah

meluangkan waktu dan kesabaran dalam memberi bimbingan, pengarahan serta

nasihat kepada penulis sehingga skripsi ini terselesaikan.

Penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi semua pihak yang

berkepentingan. Namun tiada gading yang tak retak, oleh karena itu kritik dan

saran yang membangun sangat penulis harapkan demi menjadikan skripsi ini lebih

sempurna. Semoga Allah SWT. menunjukkan jalan dan memberikan cahaya-Nya,

serta melapangkan dada kita dengan limpahan nikmat iman dan keindahan

tawakal kepada-Nya.

Malang,

Penulis

viii

ABSTRAK

Yulianto, Dedi. 2011. Generalisasi Jumlah Ajaib pada Persegi Ajaib Order

Empat. Skripsi, Jurusan Pendidikan Matematika, Fakultas Keguruan dan

Ilmu Pendidikan, Universitas Muhammadiyah Malang. Pembimbing: (I) Dr.

Dwi Priyo Utomo, M.Pd., (II) Dr. Yus M. Cholily, M.Si.

Persegi ajaib (magic square) merupakan suatu persegi dengan petak yang

setiap elemen pada baris ke-𝑖 dan kolom ke-𝑗 ditulis 𝑎𝑖𝑗 tersusun atas bilangan-

bilangan berbeda biasanya {1, 2, 3,… ,𝑛2} dan hasil penjumlahan elemen bilangan

setiap baris, kolom maupun diagonal sama untuk 𝑛 ∈ Z+. Secara umum dikatakan

berorder-𝑛 jika memiliki 𝑛 baris dan 𝑛 kolom. Sebuah persegi ajaib order-4

memungkinkan untuk digeneralisasi pada jumlah ajaibnya (μG) saat konstruksi

persegi ajaib dilakukan.

Generalisasi pada jumlah ajaib dapat dilakukan dengan pengaturan

elemen-elemen penyusunnya dalam bentuk diagram alur. Diagram alur diperoleh

melalui konstruksi persegi baku dengan metode Phillippe de la Hire’s, diagonal

‘Lozenge‘, diagram geometri dan metode knight’s move. Namun, tidak semua

persegi ajaib baku order-4 dapat digeneralisasi untuk semua μG(4) ≥ 34 karena

bentuk struktural dan karakteristik diagram alur yang berbeda-beda. Diagram alur

tanpa elemen kunci hanya dapat mengkonstruksi persegi ajaib dengan 𝜇𝐺 4 =

4𝑞 + 2 untuk 𝜇𝐺(4) ≥ 34 dan 𝜇𝐺(4) = 4𝑞 untuk 𝜇𝐺(4) ≥ 64 dimana 𝑞 ∈ 𝑍+.

Sedangkan, diagram alur yang memiliki elemen kunci dapat mengkonstruksi

persegi ajaib untuk semua 𝜇𝐺(4) ≥ 34.

Berdasarkan rumus jumlah ajaib dan keberadaan elemen kunci kemudian

diagram alur dikembangkan hingga mendapat rumus persegi yang dapat

digunakan dalam konstruksi generalisasi. Dengan demikian, sebuah persegi ajaib

order-4 dengan jumlah ajaib tertentu dapat dikonstruksi dengan menetapkan nilai

𝛽 sebagai kenaikan/beda antar bilangan penyusun persegi ajaib, menentukan nilai

𝑘 sebagai residu terkecil dari 𝜇𝐺 4 − 30𝛽 (𝑚𝑜𝑑4) dan menentukan nilai 𝛼

sebagai bilangan pemula dengan menggunakan rumus jumlah ajaib pada

generalisasi. Kemudian, mensubstitusikan semua nilai 𝛼,𝛽 dan 𝑘 pada persamaan

bilangan ajaib dalam persegi rumus.

Kata Kunci: magic square, generalisasi, diagram alur, elemen kunci.

ix

ABSTRACT

Yulianto, Dedi. 2011. Generalisasi Jumlah Ajaib pada Persegi Ajaib Order

Empat. Thesis, Department of Mathematics, Faculty of Teacher Training

and Education, University of Muhammadiyah Malang. Supervisor: (I) Dr.

Dwi Priyo Utomo, M.Pd., (II) Dr. Yus M. Cholily, M.Sc.

Magic square is a square with a plot that each element in the row 𝑖𝑡ℎ and

column 𝑗𝑡ℎ written 𝑎𝑖𝑗 containing of different integers {1, 2, 3,… ,𝑛2} and in such

a way that each row, each column and each diagonal add up to the same value.

Well known order-𝑛 if it has 𝑛 rows and 𝑛 columns. A magic square order-4

possible to generalize in construction process.

Generalization of magic number can be done by structuring elements in

the form of flowcharts. Flow chart obtained through of normal magic square

construction with Phillippe de la Hire's, diagonal 'Lozenge', diagram geometries

and knight's move method. However, not all normal magic square can be

generalized to all. its because of the shape and structural characteristics of the

flow chart is different. Flowcharts without the key element, only construct a

magic square if 𝜇𝐺(4) ≥ 34 then 𝜇𝐺 4 = 4𝑞 + 2 and 𝜇𝐺(4) = 4𝑞 if 𝜇𝐺(4) ≥

64 for 𝑞 ∈ 𝑍+. Whereas, flow charts have the key elements to construct a magic

square for all μG(4) ≥ 34.

Based on the formula and the existence of a magic number of key

elements then flow charts to get a square formula that can be used in the

construction of generalizations. Thus, construction a magic square with order-4

can be decide 𝛽 value as the increase the numbers making up the magic square,

determine 𝑘 value as the smallest residual numbers of 𝜇𝐺 4 − 30𝛽 (𝑚𝑜𝑑4) and

determine 𝛼 value as a beginner with using the magic formula to generalizations.

Then, substituting all the values and the equation numbers in square magic

formula.

Keywords: magic square, generalization, flow charts, key elements.

x

DAFTAR ISI

Halaman Judul ................................................................................................... i

Lembar Persetujuan ........................................................................................... ii

Lembar Pengesahan ........................................................................................... iii

Halaman Pernyataan Keaslian ........................................................................... iv

Halaman Motto .................................................................................................. v

Halaman Persembahan ....................................................................................... vi

Kata Pengantar ................................................................................................... vii

Abstrak ............................................................................................................... viii

Daftar Isi ............................................................................................................ x

Daftar Tabel ....................................................................................................... xi

Daftar Gambar.................................................................................................... xii

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang............................................................................. 1

1.2 Rumusan Masalah ....................................................................... 3

1.3 Pembatasan Masalah ................................................................... 3

1.4 Tujuan Kajian .............................................................................. 4

1.5 Manfaat Kajian ............................................................................ 4

1.6 Metode Kajian ............................................................................. 5

BAB II KAJIAN TEORI

2.1 Definisi dan Notasi Persegi Ajaib ............................................... 6

2.2 Sejarah Persegi Ajaib

2.2.1 Persegi Ajaib Order-3 ....................................................... 8

2.2.2 Persegi Ajaib Order-4 ....................................................... 9

2.2.3 Persegi Ajaib Order-5 dan 6 ............................................. 11

2.2.4 Persegi Ajaib Order-8 ....................................................... 11

2.3 Klasifikasi Persegi Ajaib

2.3.1 Normal Magic Square ....................................................... 13

2.3.2 Semi Magic Square ........................................................... 14

2.3.3 Associative Magic Square ................................................. 14

xi

2.3.4 Pan Magic Square ............................................................. 15

2.3.5 Concentric Magic Square .................................................. 16

2.3.6 Multiplicative Magic Square ............................................. 16

2.4 Konsep Dasar Persegi Ajaib

2.4.1 Jumlah Ajaib ..................................................................... 17

2.4.2 Residu Terkecil Bilangan Bulat ........................................ 18

2.4.3 Dekomposisi Bilangan Persegi ......................................... 20

2.4.4 Persegi Latin ..................................................................... 22

2.4.5 Persegi Latin Ortogonal .................................................... 22

2.5 Metode Konstruksi Persegi Ajaib Order-4

2.5.1 Metode Philippe de la Hire’s ............................................ 23

2.5.2 Metode Diagonal/Lozenge ................................................ 25

2.5.3 Metode Diagram Geometri ............................................... 27

2.5.4 Metode Knight’s Move ..................................................... 31

BAB III PEMBAHASAN

3.1 Struktur Diagram Alur

3.1.1 Pola Diagram Alur ............................................................ 33

3.1.2 Elemen Kunci Persegi Ajaib Order-4 ............................... 35

3.1.3 Pengendalian Elemen Kunci ............................................. 37

3.2 Generalisasi Jumlah Ajaib

3.2.1 Jumlah Ajaib Persegi Ajaib baku Order-4 ........................ 38

3.2.2 Jumlah Ajaib pada Generalisasi Persegi Ajaib Order-4.... 39

3.3.3 Residu Terkecil Persegi Ajaib Order-4 ............................. 43

3.3 Konstruksi Generalisasi Persegi Ajaib Order Empat

3.3.1 Penggunaan Diagram Alur dan Elemen Kunci ................. 44

3.3.2 Penentuan Rumus Dasar Konstruksi ................................. 47

3.3.3 Aplikasi dalam Permainan Persegi Ajaib ......................... 50

BAB IV. PENUTUP

4.1 Kesimpulan ................................................................................. 55

4.2 Saran ........................................................................................... 57

DAFTAR PUSTAKA

xii

DAFTAR TABEL

Tabel 2.4.1 Persegi Ajaib dan Jumlah Ajaib ..................................................... 18

Tabel 2.4.2 Penjumlahan Gaspalou ................................................................... 21

Tabel 2.4.3 Penjumlahan Gaspalou Persegi ajaib Order-4 ................................ 21

Tabel 2.5.1 Pola Penghubung Persegi Ajaib ..................................................... 28

Tabel 3.2.1 Konstanta Generalisasi Persegi Ajaib ............................................ 40

xiii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1.1 Persegi Ajaib Order-𝑛 ................................................................ 7

Gambar 2.1.2 Persegi Asli dan Persegi Ajaib ................................................... 7

Gambar 2.2.1 Kura-Kura dan Persegi Ajaib Luo Shu ...................................... 8

Gambar 2.2.2 Figur Persegi Ajaib Zhuang Zi .................................................. 9

Gambar 2.2.3 Persegi Ajaib Chautisa Yatra ..................................................... 10

Gambar 2.2.4 Persegi Ajaib Sagrada Famili ..................................................... 10

Gambar 2.2.5 Melencolia-i dan Persegi Ajaib Dürer ....................................... 11

Gambar 2.2.6 Persegi Ajaib Rasa’il Ikhwan Al-Safa ....................................... 11

Gambar 2.2.7 Persegi Ajaib Franklin ............................................................... 12

Gambar 2.3.1 Normal Magic Square Order-4 .................................................. 13

Gambar 2.3.2 Semi Magic Square Order-4 ...................................................... 14

Gambar 2.3.3 Associative dan bukan Associative Magic Square .................... 15

Gambar 2.3.4 Pan Magic Square Order-4 ........................................................ 15

Gambar 2.3.3 Concentric Magic Square ........................................................... 16

Gambar 2.3.3 Multiplicative Magic Square ...................................................... 16

Gambar 2.4.1 Persegi Latin dan bukan Persegi Latin ....................................... 22

Gambar 2.4.2 Persegi Latin Ortogonal ............................................................. 22

Gambar 2.5.1 Pola Dasar Diagram Geometri ................................................... 27

Gambar 2.5.2 Diagram Geometri Persegi Ajaib ............................................... 30

Gambar 3.1.1 Pola Elemen Kunci Persegi Order-4 .......................................... 36

Gambar 3.3.1 Elemen Kunci pada Diagram Alur Tipe I .................................. 47

Gambar 3.3.2 Persegi Rumus Bilangan Ajaib Order-4 .................................... 47

1

DAFTAR PUSTAKA

Andrew, W.S..1917. Magic Squares and Cubes. Chicago: Open Court Publishing.

Al-Ashhab, Saleem. 2006. Nonconsecutive Magic Squares 4 × 4. Journal of The Islamic University (on-line), Vol. 14, No. 1, Hal. 63-72 (http://www.

iugzaza.edu.ps/ara/research/, diakses 20 April 2011).

Ball, W.W. Rouse. 1926. Mathematical Recreations and Essays, Tenth Edition.

London: Macmillan and Co.

Beyer, Thomas R.. 2010. 33 Kunci Menguak Misteri The Lost Symbol.

Terjemahan oleh Ingrid Dwijani Nimpoeno. 2010. Yogyakarta: Bentang.

Bolt, Brian. 2004. Mathematical Amusement Arcade. Cambridge: Cambridge

University Press.

Boyer, Carl B. 1968. A Histoty of Mathematics. Terjemahan oleh Institut

Terjemahan Negara Malaysia Berhad. 2007. Kuala Lumpur: Smart Print

& Stationer Sdn. Bhd.

Emanouilidis, Emanuel. 2005. Latin and Magic Squares. Journal of Mathematical

Education in Science and Technology (on-line), Vol. 36, No. 2, Hal. 546-

549, (http://www.informaworld.com/, diakses 17 April 2011).

Euler, Leonhard. 2005. On Magic Squares, (on-line), (http://arxiv.org/PS_cache/

math/pdf/0408/0408230v6.pdf, diakses 21 Februari 2011)

Gaspalou, Francis. 2005. Structure of Magic and Semi-Magic Squares,

Methods and Tools for Enumeration, (on-line), (http://gaspalou.fr/magic-

squares/intermediate.htm, diakses 27 September 2011)

Hurkens, Cor. 2007. Constructing Franklin Magic Squares, (on-line), (http://

www.win.tue.nl/~wscor/Magic/mag.pdf, diakses 18 April 2011).

Hutton, Charles. 1815. A Philoshophical and Mathematical Dictionary. London:

The Royal Societies.

Jahannathan, B. Sree. 2005. Magic Squares for All Success, E-book (on-line),

(http://www.spiritualmindpower.com/files/magic_squares.pdf, diakses 18

April 2011).

Kirmani, M. Zaki & N.K. Singh. 2005. Encyclopaedia of Islamic Science and

Scientists. New Delhi: Global Vision Publishing House.

http://arxiv.org/PS_cache/%20math/pdf/0408/0408230v6.pdfhttp://arxiv.org/PS_cache/%20math/pdf/0408/0408230v6.pdfhttp://arxiv.org/PS_cache/%20math/pdf/0408/0408230v6.pdfhttp://www.spiritualmindpower.com/files/magic_squares.pdf

2

Moler, Cleve. 2009. Magic Squares, (on-line), (http://www.mathworks.com/

moler/exm/chapters/magic.pdf, diakses 18 April 2011).

Mullen, Gary L. & C. Mummert. 2007. Finite Fields and Applications. USA: The

American Mathematical Society.

Pickover, Clifford A.. 2002. The Zen of Magic Square, Circles, and Stars. New

Jersey: Princeton University Press.

----------------------------. 2009. The Math Book: From Phythagoras to the 57th

Dimention, 250 Milestones in the History of Mathematics. New York:

Sterling Publishing Co., Inc.

Poole, David. 2006. Linear Algebra: A Modern Introduction. Canada:

Transcontinental Printing.

Pujiati. 2004. Penggunaan Alat Peraga dalam Pembelajaran Matematika.

Makalah disajikan pada Diklat Instruktur/pengembang Matematika,

Yogyakarta, 10-24 Oktober.

Sesiano, Jacques. 2003. Construction of Magic Squares Using the Knight’s Move

in Islamic Mathematics. Journal of Archive for History of Exact Sciences

(on-line), Vol. 58, No. 1, Hal. 1-20, (http://www.springerlink.com/

content/xagwakbwre3y3lbh/, diakses 27 September 2011).

Simon, William. 1964. Mathematical Magic. New York: Charles Scribner’s Sons.

Sitanggang, Cormenlyna. 2003. Kamus Matematika. Jakarta : Balai Pustaka.

Stephens, Daryl L.. 1993. Matrix Properties of Magic Squares. A professional

paper submitted of the requirements of master of science in the graduate

school. Texas Woman's University.

Swetz, Frank J.. Legacy of the Luoshu: The 4,000 Year Search for the Meaning of

the Magic Square of Order Three. Wellesley: A K Peters.

Taufik, Marhan. 2001. Pengantar Ilmu Bilangan. Materi Kuliah Pendidikan

Matematika Universitas Muhammadiyah Malang.

The Rosen Group. 2008. The Rosen Comprehensive Dictionary of Math. New

York: The Rosen Publishing Group.

Watkins, John J.. 2004. Across the Board: The Mathematics of Chessboard

Problems. New Jersey: Princeton University Press.

Wikipedia. 2010. Magic Square, (on-line), (http://en.wikipedia.org/wiki/

Magic_square, diakses 21 Februari 2011).

http://www.mathworks.com/%20moler/exm/chapters/magic.pdfhttp://www.mathworks.com/%20moler/exm/chapters/magic.pdfhttp://www.mathworks.com/%20moler/exm/chapters/magic.pdfhttp://www.springerlink.com/http://en.wikipedia.org/wiki/%20Magic_squarehttp://en.wikipedia.org/wiki/%20Magic_square