lampiran - eprints.umpo.ac.ideprints.umpo.ac.id/4289/8/lampiran.pdfrpp siklus 1 b. rpp siklus 2 c....

29

LAMPIRAN

30

Lampiran 1. Surat Keterangan Telah Melakukan Penelitian

32

Lampiran 2. Perangkat Pembelajaran dan Lembar Observasi

a. RPP Siklus 1

b. RPP Siklus 2

c. Lembar Observasi Aktivitas Guru (OAG)

33

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

(RPP)

Satuan Pendidikan : SMKNegeri 1 Kebonsari

Kelas/Semester : X/2

Mata Pelajaran : Matematika

Materi Pokok : Barisandan Deret Aritmetika

Waktu : 8 × 45 menit

A. Kompetensi Inti:

KI 3: Memahami, menerapkan, menganalisis, dan mengevaluasi tentang pengetahuan

faktual, konseptual, operasional dasar, dan metakognitif sesuai dengan bidang dan

lingkup kajian matematika pada tingkat teknis, spesifik, detil, dan kompleks,

berkenaan dengan ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dalam

konteks pengembangan potensi diri sebagai bagian dari keluarga, sekolah, dunia kerja,

warga masyarakat nasional, regional, dan internasional.

KI 4 : Melaksanakan tugas spesifik dengan menggunakan alat, informasi, dan prosedur kerja

yang lazim dilakukan serta memecahkan masalah sesuai dengan bidang kajian

matematika. Menampilkan kinerja di bawah bimbingan dengan mutu dan kuantitas

yang terukur sesuai dengan standar kompetensi kerja. Menunjukkan keterampilan

menalar, mengolah, dan menyaji secara efektif, kreatif, produktif, kritis, mandiri,

kolaboratif, komunikatif, dan solutif dalam ranah abstrak terkait dengan

pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah, serta mampu melaksanakan tugas

spesifik di bawah pengawasan langsung. Menunjukkan keterampilan mempersepsi,

kesiapan, meniru, membiasakan, gerak mahir, menjadikan gerak alami dalam ranah

konkret terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah, serta

mampu melaksanakan tugas spesifik di bawah pengawasan langsung.

B. Kompetensi Dasar dan Indikator Pencapaian Kompetensi

Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi

3.5 Menganalisis barisan dan deret aritmetika.

3.6.1 Menjelaskan konsep barisan dan deret aritmetika.

3.6.2 Menentukan nilai suku ke-n barisan aritmetika.

3.6.3 Menentukan jumlah n suku pertama deret aritmetika.

3.6.4 Memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret aritmetika.

4.5 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan barisan dan deret aritmetika.

4.6.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan barisan aritmetika dalam kehidupan sehari-hari.

4.6.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan deret aritmetika dalam kehidupan sehari-hari.

Lampiran 2a

34

C. Tujuan Pembelajaran :

Melalui metode diskusi, tanya jawab dan pemberian tugas dengan pendekatan Realistic

Mathematics Education (RME) diharapkan siswa mampu:

1. Menjelaskan konsep barisan dan deret aritmetika dengan benar.

2. Menentukan nilai suku ke-� barisan aritmetika dengan benar.

3. Menentukan jumlah � suku pertama deret aritmetika dengan benar.

4. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret aritmetika dengan

benar.

5. Menyelesaikan masalah yang tepat berkaitan dengan barisan aritmetika dalam

kehidupan sehari-hari.

6. Menyelesaikan masalah yang tepat berkaitan dengan deret aritmetika dalam


D. Materi

Barisan dan deret aritmetika (terlampir)

E. Pendekatan /Model /Metoda Pembelajaran :

Pendekatan Pembelajaran : Realistic Mathematics Education (RME)

Model Pembelajaran :Pembelajaran Kooperatif

Metode Pembelajaran :Ceramah, tanya jawab, diskusi dan pemberia ntugas

F. KegiatanPembelajaran:

Pertemuan ke-1

Kegiatan Deskripsi Kegiatan Alokasi

Waktu

Pendahuluan 1. Guru menyampaikan salam.

2. Guru menunjuk salah satu siswa untuk memimpin berdo’a.

3. Guru mengecek kehadiran siswa.

4. Guru memberikan gambaran tentang pentingnya mempelajari

barisan aritmetika dan memberikan gambaran tentang aplikasi

barisan aritmetika dalam kehidupan sehari-hari.

“Dengan mempelajari barisan aritmetika kita dapat

memprediksi bilangan selanjutnya dari sebuah barisan

aritmetika. Contoh dalam kehidupan sehari-hari adalah

menentukan jumlah kursi setiap baris dalam sebuah

pertunjukan jika jumlah kursi pada baris berikutnya selalu

ditambah kursi dengan jumlah yang sama.”

5. Guru menghubungkan dengan materi sebelumnya.

“Kita telah mempelajari beberapa pola bilangan. Antara lain

adalah pola bilangan ganjil, pola bilangan genap, pola

bilangan segitiga, dan pola bilangan persegi.”

6. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang akan dicapai

yaitu menjelaskan konsep barisan aritmetika dengan benar,

10 menit

35


Waktu

menentukan nilai suku ke-� barisan aritmetika dengan benar,

dan memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan

aritmetika.

Inti 1. Siswa diberikan stimulus berupa materi oleh guru mengenai

barisan aritmetika dalam kehidupan sehari-hari.

“Dalam sebuah gedung banyak kursi pada baris paling depan

adalah 5 kursi. Banyak kursi baris-baris berikutnya selalu

lebih banyak 3 kursi dibanding baris depannya. Jika terdapat 8

baris, maka berapakah jumlah kursi pada baris ke-8?”

2. Guru menggali pengetahuan awal yang dimiliki siswa tentang

materi barisan aritmetika.

“Secara manual menentukan jumlah kursi pada setiap baris.

Dari sini akan diperoleh barisan aritmetika dan banyak kursi

pada baris ke-8.”

3. Guru membagi siswa ke dalam 6 kelompok dengan tiap

kelompok terdiri atas 5 siswa.

4. Guru membagikan lembar aktivitas siswa pertemuan pertama

kepada setiap kelompok sebagai bahan diskusi kelompok.

5. Selama siswa bekerja di dalam kelompok, guru memperhati-

kan, mengarahkan, dan mendorong semua siswa untuk terlibat

aktif berdiskusi, dan mengarahkan bila ada kelompok yang

melenceng jauh dari pekerjaannya, serta membimbing

kelompok yang mengalami kesulitan.

6. Guru memberi kesempatan kepada siswa untuk menyampai-

kan hasil diskusinya ke depan, kelompok lain menanggapi.

7. Bersama siswa membuat kesimpulan tentang pengertian

barisan aritmetika dan rumus untuk menentukan nilai suku ke-

� dari barisan aritmetika.

70menit

Penutup 1. Siswa dengan bimbingan guru membuat rangkuman materi

yang dipelajari secara bersama-sama.

2. Siswa dan guru melaksanakan refleksi.

3. Guru memberikan tugas PR beberapa soal mengenai barisan

aritmetika, pekerjaan rumah pertemuan pertama.

4. Guru menyampaikan materi yang akan dipelajari pada

pertemuan selanjutnya.

5. Guru mengakhiri kegiatan belajar dengan memberikan pesan

untuk tetap belajar.

10 menit

36

Pertemuan ke-2


Waktu





deret aritmetika dan memberikan gambaran tentang aplikasi

barisan dan deret aritmetika dalam kehidupan sehari-hari.

“Dengan mempelajari barisan dan deret aritmetika kita dapat

memprediksi jumlah bilangan dari bilangan pertama sampai

bilangan ke-� dari sebuah barisan aritmetika. Contoh dalam

kehidupan sehari-hari adalah menentukan jumlah semua kursi

dalam sebuah pertunjukan jika jumlah kursi pada baris

berikutnya selalu ditambah kursi dengan jumlah yang sama.”


“Pada pertemuan sebelumnya kita telah mempelajari barisan

aritmatika, yaitu menentukan suku pertama, beda, rumus suku

ke-�, dan nilai suku ke-�. Rumus suku ke-� barisan

aritmetika adalah �� = � + (� − 1)�.”


yaitu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan barisan

aritmetika dalam kehidupan sehari-hari, menjelaskan konsep

deret aritmetika dengan benar, menentukan jumlah � suku

pertama deret aritmetika dengan benar.

10 menit



“Dalam sebuah gedung banyak kursi pada baris paling depan

adalah 5 kursi. Banyak kursi baris-baris berikutnya selalu

lebih banyak 3 kursi dibanding baris depannya. Jika terdapat

8 baris, maka berapakah jumlah kursi dalam gedung

tersebut?”


materi barisan dan deret aritmetika.

“Secara manual menjumlahkan semua kursi dari baris ke-1

sampai baris ke-8. Dari sini akan diperoleh jumlah semua

kursi yang ada dalam gedung tersebut.”



4. Guru membagikan lembar aktivitas siswa pertemuan kedua

kepada setiap kelompok.


kan dan mendorong semua siswa untuk terlibat diskusi, dan

70menit

37

mengarahkan bila ada kelompok yang melenceng jauh dari

pekerjaannya.



7. Bersama siswa membuat kesimpulan tentang pengertian deret

aritmetika dan bentuk umum deret aritmetika.


yang di pelajari secara bersama-sama.



dan deret aritmetika, pekerjaan rumah pertemuan kedua.





10 menit

Pertemuanke-3


Waktu





barisan dan deret aritmetika dan memberikan gambaran

tentang aplikasi barisan dan deret aritmetika dalam kehidupan

sehari-hari.

“Meliya bekerja di perusahaan dengan kontrak selama 10

bulan dan gaji awal Rp 1.600.000. Setiap bulan Meliya

mendapat kenaikan gaji sebesar Rp 200.000. Berapa total

seluruh gaji yang diterima Meliya hingga menyelesaikan

kontrak kerja?”


“Kita telah mempelajari barisan dan deret aritmetika. Barisan

aritmetika digunakan untuk menentukan suku ke-�,

contohnya jumlah barang atau gaji pada waktu tertentu.

Sedangkan deret aritmetika digunakan untuk menentukan

jumlah � suku pertama, contohnya jumlah semua barang dari

awal produksi sampai bulan tertentu.”


yaitu memecahkan masalah yang berkaitan dengan deret

aritmetika dan menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan

deret aritmetika dalam kehidupan sehari-hari.

10 menit

Inti 1. Siswa diberikan stimulus berupa materi oleh guru mengenai 70 menit

38


“Fikri memiliki seutas tali rafia yang dipotong menjadi 6

bagian dan membentuk barisan aritmetika. Panjang tali yang

terpendek adalah 6 cm dan yang terpanjang adalah 36 cm.

Berapa meter panjang tali rafia semula?”


materi barisan dan deret aritmetika.

“Tali yang terpendek sebagai suku ke-1 dan tali yang

terpanjang sebagai suku ke-6 (karena dipotong menjadi 6

bagian). Kita masukkan pada rumus suku ke-6 maka nanti

akan diperoleh beda(�).”



4. Guru membagikan lembar aktivitas siswa pertemuan ketiga





pekerjaannya.




aritmetika dan bentuk umum deret aritmetika.

Penutup 1. Siswa diminta menyimpulkan cara menyelesaikan masalah

barisan dan deret.

2. Guru memberikan tugas PR beberapa soal mengenai

penerapan rumus yang diperoleh, pekerjaan rumah pertemuan

ketiga.





10 menit

G. Alat/Media/Sumber Pembelajaran

1. Lembar aktivitas siswa (LAS).

2. Buku paket Matematika untuk kelas XI, Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan

Republik Indonesia, 2013.

3. Tes pemahaman konsep matematika.

H. Penilaian Pemahaman Konsep Matematika

1. Teknik Penilaian : Tes tertulis (tes pemahaman konsep matematika)

2. ProsedurPenilaian : Terlampir

39

I. Instrumen Penilaian Pemahaman Konsep Matematika

Kerjakan soal-soal berikut dengan benar

1. Jelaskan pengertian barisan aritmetika dan deret aritmetika?

2. Tentukan rumus suku ke-n dari setiap barisan aritmetika berikut:

a. 2, 9, 16, 23, 30, …

b. 6, 2, -2, -6, -10,…

3. Carilah suku yang diminta pada setiap barisan aritmetika berikut:

a. Suku ke-27 pada barisan 8, 11, 14, 17, …

b. Suku ke-19 pada barisan 49, 42, 35, 28, …

4. Di antara bilangan 4 dan 28 disisipkan lima bilangan sehingga bilangan-bilangan semula

dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan aritmetika. Tentukan

barisan yang terbentuk!

5. Pada suatu barisan aritmetika diketahui suku ketiganya adalah 11 dan suku kesepuluhnya

adalah 39. Tentukan suku pertama, beda, dan rumus suku ke-�!

6. Hitunglah jumlah 20 suku pertama pada setiap deret aritmetika berikut:

a. 2 + 7 + 12 + 17 + …

b. 3 + 6 + 9 + 12 + …

7. Dari barisan bilangan berikut manakah yang merupakan barisan aritmetika? Berikan

alasannya, jika merupakan barisan aritmetika maka tentukan suku ke-10 dari setiap

barisan bilangan berikut:

a. 2, 4, 8, 16, … .

b. 4, 11, 18, 25, … .

c. 42, 34, 26, 18, … .

d. 3, 6, 10, 15, … .

Madiun, 9 April 2018

Mengetahui Guru Pembimbing,

Praktikan,

KHOLAELA, S.Pd. NIP. 19690414 200801 2 024

IMAM BUDIONO NIM. 14321767

Menyetujui

Kepala Sekolah SMK Negeri 1 Kebonsari,

BUDI SETIAWAN, S.Pd., M.Si. NIP. 19580515 198303 1 020

40

Lembar Aktivitas Siswa (LAS)

Pertemuan Pertama

1. Tentukan rumus suku ke−� dari barisan aritmetika berikut:

a. 3, 7, 11, 15, ⋯

b. 70, 78, 86, 94, ⋯

2. Diketahui barisan aritmetika17, 20, 23, 26, 29, ⋯

Tentukan:

a. U8 + U12

b. U30 – U10

3. Suku ketiga suatu barisan aritmetika sama dengan 11, sedangkan suku kesepuluh sama

dengan 39.

a. Carilah suku pertama dan beda barisan itu.

b. Tentukan suku ke-30.

4. Diketahui suatu barisan aritmetika memiliki suku pertama 6, suku terakhirnya 72, dan

beda 11.Tentukan:

a. Banyak suku

b. Suku tengahnya

5. Hitunglah banyak bilangan asli antara 1 sampai 100 yang tidak habis dibagi 6.


Pertemuan Kedua

1. Hitunglah jumlah 40 suku pertama pada setiap deret aritmetika berikut: a. 33 + 40 + 47 + 54 + ⋯. b. 58 + 50 + 42 + 34 + ⋯.

2. Diketahui �� adalah suku ke−� suatu deret aritmetika. Jika �� + �� + �� = 21 dan �� + �� + �� = 45. Tentukan: a. Suku pertama dan beda b. Jumlah lima suku pertama deret tersebut.

3. Suatu deret aritmetika mempunyai suku ke-5 sama dengan 40 dan suku ke-8 sama dengan 13. Tentukan jumlah 12 suku pertama dari deret tersebut.


Pertemuan Ketiga

1. Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret

aritmetika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperoleh. Jika

banyak permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka

jumlah seluruh permen adalah … buah.

2. Di antara bilangan 7 dan 448 disisipkan enam bilangan sehingga bilangan-bilangan

semula denga nbilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan aritmetika.

Tentukan beda dan jumlah dari barisan tersebut!

3. Perusahaan keramik menghasilkan 5.000 buah keramik pada bulan pertama produksi.

Dengan adanya penambahan tenaga kerja, maka jumlah keramik juga meningkat

sebanyak 300 buah setiap bulannya. Jika perkembangan produksinya konstan setiap

bulan, berapa jumlah keramik yang dihasilkan selama satu tahun pertama?

41

Pekerjaan Rumah (PR)

Pertemuan Pertama

1. Suku ke-28 barisan aritmetika 45, 38, 31, 24, ⋯ adalah…

2. Suku ke-� barisan aritmetika dirumuskan dengan �� = 15 − 4�. Suku pertama dan beda

barisan tersebut berturut-turut …

3. Rumus suku ke-� dan barisan 6, 2, −2, −6, −10 ⋯ adalah …

4. Bilangan 237 pada barisan 3, 12, 21 ⋯ merupakan suku ke-…

5. Dari suatu barisan aritmetika diketahui suku ke-5 adalah 22 dan suku ke-12 adalah 57.

Suku ke-15 barisan ini adalah …

6. Diketahui barisan bilangan aritmetika dengan �� adalah suku ke-�. Jika �� + �� +

�� = 165, nilai �� adalah …

7. Jumlah suku ke-5 dan suku ke-7 suatu barisan aritmetika adalah 144. Jumlah suku ke-5

sampai suku ke-7 adalah …


Pertemuan Kedua

1. Diketahui deret aritmetika 25 + 19 + 13 + 7 + ⋯ Jumlah 12 suku pertama deret

tersebut adalah …

2. Diketahui deret aritmetika2 + 8 + 14 + 20 + 26 + ⋯ Rumus jumlah � suku pertama

deret tersebut adalah …

3. Diketahui deret aritmetika 4 + 7 + +10 + 13 + ⋯ + 31. Jumlah deret tersebut adalah

…

4. Diketahui suku ke-3 dan suku ke-8 suatu barisan aritmetika berturut-turut 2 dan −13.

Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah …

5. Suatu barisan aritmetika memiiki suku kedua 8, suku keempat 14, dan suku terakhir 23.

Jumlah semua suku barisan tersebut adalah …


Pertemuan Ketiga

1. Banyak bilangan asli antara 1 sampai 200 yang habis dibagi 4 adalah…. Serta tentukan

jumlah dari semua bilangan yang habis dibagi 4 tersebut.

2. Di antara bilangan-bilangan 4 dan 28 disisipkan lima bilangan sehingga bilangan-

bilangan semula dengan bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan

aritmetika. Barisan aritmetika tersebut adalah…

3. Pak Badu hendak membagikan uang sebesar Rp 100.000.000,00 kepada 5 orang

anaknya. Anak pertama mendapat Rp 5.000.000,00 lebih dari anak kedua. Anak kedua

mendapat Rp 5.000.000,00 lebih dari anak ketiga, dan demikian seterusnya. Besar uang

yang diterima oleh anak pertama adalah…

4. Setiap hari Senin Resti menabung di koperasi sekolah. Pada minggu pertama Resti

menabung Rp 30.000,00. Pada minggu kedua dan seterusnya ia menabung Rp 8.000,00.

Besar tabungan Resti setelah 14 minggu adalah….

42

Penyelesaian Lembar Aktivitas Siswa (LAS)

Pertemuan Pertama

1. Mentukan rumus suku ke-� barisan aritmetika

a. 3, 7, 11, 15, ⋯. � = 3 dan � = 7 − 3 = 4, maka rumus suku ke-� adalah

�� = � + (� − 1)�

�� = 3 + (� − 1)4

�� = 3 + 4� − 4

�� = 4� − 1

Jadi, rumus suku ke-� adalah 4� − 1

b. 70, 78, 86, 94, ⋯. � = 70 dan � = 78 − 70 = 8, maka rumus suku ke-� adalah

�� = � + (� − 1)�

�� = 70 + (� − 1)8

�� = 70 + 8� − 8

�� = 8� + 62

Jadi, rumus suku ke-� adalah 8� + 62

2. Barisan aritmetika 17, 20, 23, 26, ⋯, � = 17 dan � = 20 − 17 = 3

a. �� + �� = (17 + (8 − 1)3) + (17 + (12 − 1)3)

�� + �� = (17 + 7 ∙3) + (17 + 11 ∙3)

�� + �� = (17 + 21) + (17 + 33)

�� + �� = 38 + 50

�� + �� = 88

b. �� − �� = (17 + (30 − 1)3) − (17 + (10 − 1)3)

�� − �� = (17 + 29 ∙3) − (17 + 9 ∙3)

�� − �� = (17 + 87) − (17 + 27)

�� − �� = 104 − 44

�� − �� = 60

3. Barisan aritmetika dengan �� = 11 dan �� = 39

a. �� = 11 ⟹ � + 2� = 11

�� = 39 ⟹ � + 9� = 39

−7� = −28

−7� =−28

−7

� = 4

� = 4substitusikan ke persamaan � + 2� = 11

� + 2 ∙4 = 11

� + 8 = 11

� = 11 − 8

� = 3

Jadi, suku pertama adalah 3 dan beda adalah 4

b. �� = 3 + (30 − 1)4

�� = 3 + 29 ∙4

�� = 3 + 116

�� = 119

43

4. Barisan aritmetika dengan � = 6, � = 11 dan �� = 72

a. Banyak suku

�� = � + (� − 1)�

72 = 6 + (� − 1)11

72 = 6 + 11� − 11

72 = 11� − 5

11� = 72 + 5

11� = 77

� =77

11

� = 7

b. Suku tengah

�� =� + ��

2

�� =6 + 72

2

�� =78

2

�� = 39

5. Bilangan antara 1 sampai 100 terdiri dari 98 bilangan. 1 dan 100 tidak termasuk dalam

anggota karena sebagai batas.

Bilangan yang habis dibagi 6 adalah bilangan kelipatan 6 yaitu 6, 12, 18, 24, ⋯ , 96 yang

merupakan barisan aritmetika dengan suku pertama � = 6, beda � = 6, dan suku terakhir

�� = 96.

Banyak bilangan yang habis dibagi 6 adalah

�� = � + (� − 1)�

96 = 6 + (� − 1)6

96 = 6 + 6� − 6

96 = 6�

� =96

6

� = 16

Jadi, banyak bilangan yang tidak habis dibagi 6 adalah 98 − 16 = 82

44


Pertemuan Kedua

1. Jumlah 40 suku pertama deret aritmetika

a. 33 + 40 + 47 + 54 + ⋯, � = 33 dan � = 40 − 33 = 7

�� =�

2∙(2� + (� − 1)�)

�� =40

2∙(2 ∙33 + (40 − 1)7)

�� = 20 ∙(66 + 39 ∙7)

�� = 20 ∙(66 + 278)

�� = 20 ∙339

�� = 6.780

Jadi, jumlah 40 suku pertama adalah 6.780

b. 58 + 50 + 42 + 34 + ⋯, � = 58 dan � = 50 − 58 = −8

�� =�

2∙(2� + (� − 1)�)

�� =40

2∙(2 ∙58 + (40 − 1) ∙(−8))

�� = 20 ∙(116 + 39 ∙(−8))

�� = 20 ∙(116 − 312)

�� = 20 ∙(−196)

�� = −3.920

Jadi, jumlah 40 suku pertama adalah −3.920

2. Deret aritmetika dengan �� + �� + �� = 21 dan �� + �� + �� = 45.

a. �� + �� + �� = 21 ⇒ � + (� + �) + (� + 2�) = 21 ⇒ 3� + 3� = 21

�� + �� + �� = 45 ⇒ (� + 2�) + (� + 3�) + (� + 4�) = 45 ⇒ 3� + 9� = 45

−6� = −24

−6� =−24

−6

−6� = 4

� = 4 substitusikan ke persamaan 3� + 3� = 21

3� + 3 ∙4 = 21

3� + 12 = 21

12 + 3� = 21 − 12

12 + 3� = 9

12 + 3� =9

3

12 + 3� = 3

Jadi, suku pertama deret tersebut adalah 3 dan bedanya adalah 4

b. �� =�

�∙(2� + (� − 1)�)

�� =5

2∙(2 ∙3 + (5 − 1)4)

�� =5

2∙(6 + 4 ∙4)

45

�� =5

2∙(6 + 16)

�� =5

2∙22

�� = 55

Jadi, jumlah 5 suku pertama adalah 55

3. Deret aritmetika dengan �� = 40 dan �� = 13

�� = 40 ⟹ � + 4� = 40

�� = 13 ⟹ � + 7� = 13

−3� = 27

−3� =27

−3

−3� = −9

� = −9 substitusikan ke persamaan� + 4� = 40

� + 4 ∙(−9) = 40

� − 36 = 40

12 + � = 40 + 36

12 + � = 76

�� =12

2(2 ∙76 + (12 − 1) ∙(−9))

�� = 6(152 + 11 ∙(−9))

�� = 6(152 − 99)

�� = 6 ∙53

�� = 818

46


Pertemuan Ketiga

1. �� = 11 ⟹ � + 3� = 11

�� = 19 ⟹ � + 3� = 19

−2� = −8

−3� =−8

−2

−3� = 4

� = 4 substitusikan ke persamaan � + � = 11

� + 4 = 11

4 + � = 11 − 4

4 + � = 7

Jumlah seluruh permen adalah

�� =�

2∙(2� + (� − 1)�)

�� =5

2∙(2 ∙7 + (5 − 1)4)

�� =5

2∙(14 + 4 ∙4)

�� =5

2∙(14 + 16)

�� =5

2∙30

�� = 75

Jadi, jumlah seluruh permen adalah 75 buah

2. Di antara bilangan 7 dan 448 disisipkan enam bilangan sehingga membentuk barisan

aritmetika, yaitu 7, ��, ��, ��, ��, ��, ��, 448 dengan � = 7 dan �� = 448

�� = 448

� + 7� = 448

7 + 7� = 448

� + 7� = 448 − 7

� + 7� = 441

� + 7� =441

7

� + 7� = 63

Jumlah dari semua bilangan tersebut adalah

�� =8

2(7 + 448)

�� = 4 ∙455

�� = 820

Jadi, jumlah dari semua bilangan tersebut adalah 820

3. Produksi pertama sebanyak 5.000, peningkatan/beda sebanyak 300 setiap bulan. Jumlah

produksi selama satu tahun pertama adalah

�� =�

2∙(2� + (� − 1)�)

�� =12

2∙(2 ∙5.000 + (12 − 1)300)

�� = 6 ∙(10.000 + 11 ∙300)

�� = 6 ∙(10.000 + 3.300)

�� = 6 ∙13.300

�� = 79.800

Jadi, jumlah keramik yang diproduksi selama satu tahun pertama adalah 79.800 buah.

47

Penyelesaian Pekerjaan Rumah (PR)

Pertemuan Pertama

1. 45, 38, 31, 24, ⋯, diperoleh � = 45 dan � = 38 − 45 = −7. Suku ke-28 adalah

�� = � + (� − 1)�

�� = 45 + (28 − 1) ∙(−7)

�� = 45 + 27 ∙(−7)

�� = 45 + (−189)

�� = −144

Jadi, suku ke-28 adalah −144

2. Suku ke-� barisan aritmetika dirumuskan dengan �� = 15 − 4�

Suku pertama adalah

�� = 15 − 4 ∙1

�� = 15 − 4

�� = 11

� = �� − ��

� = 15 − 4 ∙2 − 11

� = 15 − 8 − 11

� = −4

Jadi, suku pertama dari barisan tersebut adalah 11 dan bedanya adalah −4

3. Rumus suku ke-� dari 6, 2, −2, −6, ⋯, diperoleh � = 6 dan � = 2 − 6 = −4

�� = � + (� − 1)�

�� = 6 + (� − 1) ∙(−4)

�� = 6 − 4� + 4

�� = 10 − 4�

Jadi, rumus suku ke-� barisan tersebut adalah 10 − 4�

4. Pada barisan aritmetika 3, 12, 21, 30, ⋯ bilangan 237 terletak pada suku ke…

Diperoleh � = 3, � = 12 − 3 = 9, dan �� = 237

�� = � + (� − 1)�

237 = 3 + (� − 1)9

237 = 3 + 9� − 9

237 = 9� − 6

9� = 237 + 6

9� = 243

� =243

9

� = 27

Jadi, bilangan 237 terletak pada suku ke-27

5. �� = 22 ⟹ � + 4� = 22

�� = 57 ⟹ � + 11� = 57

−7� = −35

−3� =−35

−7

−3� = 5

� = 5 substitusikan ke persamaan � + 4� = 22

� + 4 ∙5 = 22

� + 20 = 22

� = 22 − 20

� = 2

48

�� = 2 + (15 − 1)5

�� = 2 + 14 ∙5

�� = 2 + 70

�� = 72

Jadi, suku ke-15 adalah 72

6. Diketahui �� + �� + �� = 165, maka

� + � + � + 14� + � + 39� = 165

� + � + � + 1� + 3� + 54� = 165

� + � + � + 14� + � + 18� = 55 ……….persamaan (1)

�� = � + 18�…………………………….persamaan (2)

Perhatikan persamaan 1 dan 2, kedua persamaan tersebut adalah sama. Jadi, nilai suku

ke-19 adalah 55.

7. Diketahui �� + �� = 144, maka

� + 4� + � + 6� = 144

� + +2� + 10� = 144

� + 4� + � + 5� = 77…………….persamaan (1)

Jumlah suku ke-5 sampai suku ke-7 adalah

�� + �� + �� = � + 4� + � + 5� + � + 6�

�� + �� + �� = 3� + 15�

�� + �� + �� = 3(� + 5�), substitusikan persamaan 1

�� + �� + �� = 3 ∙77

�� + �� + �� = 231

Jadi, jumlah suku ke-5 sampai suku ke-7 adalah 231

49


Pertemuan Kedua

1. Deret aritmetika 25 + 19 + 13 + 7 + ⋯, diperoleh � = 25 dan � = 19 − 25 = −6

Jumlah 12 suku pertama adalah:

�� =�

2∙(2� + (� − 1)�)

�� =12

2∙(2 ∙25 + (12 − 1) ∙(−6))

�� = 6 ∙(50 + 11 ∙(−6))

�� = 6 ∙(50 + (−66))

�� = 6 ∙(−16)

�� = −96

Jadi, jumlah 12 suku pertama adalah −96

2. Deret aritmetika 2 + 8 + 14 + 20 + 26 + ⋯, diperoleh � = 2 dan � = 8 − 2 = 6

Rumus jumlah � suku pertama adalah:

�� =�

2∙(2� + (� − 1)�)

�� =�

2∙(2 ∙2 + (� − 1)6)

�� =�

2∙(4 + 6� − 6)

�� =�

2∙(6� − 2)

�� = 3�� − �

3. Deret aritmetika 4 + 7 + +10 + 13 + ⋯ + 31, diperoleh � = 4, � = 7 − 4 = 3 dan

�� = 31

Jumlah deret tersebut adalah:

�� = � + (� − 1)�

31 = 4 + (� − 1)3

31 = 4 + 3� − 3

31 = 3� + 1

3� = 31 − 1

3� = 30

3� =30

3

3� = 10

�� =�

2∙(2� + (� − 1)�)

�� =10

2∙(2 ∙4 + (10 − 1)3)

�� = 5 ∙(8 + 9 ∙3)

�� = 5 ∙(8 + 9 ∙3)

�� = 5 ∙(8 + 27)

�� = 5 ∙35

�� = 175

Jadi, jumlah dari deret tersebut adalah 175

4. Diketahui barisan aritmetika dengan �� = 2 dan �� = −13, jumlah 20 suku pertama

adalah

�� = 2 ⟹ � + 2� = 2

�� = −13 ⟹ � + 7� = −13

−5� = 15

−3� =15

−5

−3� = −3

50

� = −3 substitusikan ke persamaan � + 2� = 2

� + 2 ∙(−3) = 2

� − 6 = 2

6 − � = 2 + 6

6 − � = 8

Jumlah 20 suku pertama adalah:

�� =�

2∙(2� + (� − 1)�)

�� =20

2∙(2 ∙8 + (20 − 1) ∙(−3))

�� = 10 ∙(16 + 19 ∙(−3))

�� = 10 ∙(16 − 57)

�� = 10 ∙(−41)

�� = −410

Jadi, jumlah 20 suku pertama adalah −410

5. Diketahui barisan aritmetika dengan �� = 8,�� = 14, dan �� = 23

�� = 8 ⟹ � + � = 8

�� = 14 ⟹ � + 3� = 14

−2� = −6

−3� =−6

−2

−3� = 3

� = 3 substitusikan ke persamaan � + � = 8

� + 3 = 8

3 + � = 8 − 3

3 + � = 5

�� = � + (� − 1)�

23 = 5 + (� − 1)3

23 = 5 + 3� − 3

23 = 3� + 2

3� = 23 − 2

3� = 21

3� =21

3

3� = 7

�� =�

2∙(� + ��)

�� =7

2∙(5 + 23)

�� =7

2∙(28)

�� = 7 ∙14

�� = 98

Jadi, jumlah semua suku pada barisan tersebut adalah 98

51


Pertemuan Ketiga

1. Bilangan asli antara 1 sampai 200 yang habis dibagi 4 adalah bilangan kelipatan 4, yaitu

4, 8, 12, 16, ⋯ , 196 yang merupakan barisan aritmetika dengan suku pertama 4, beda 4,

dan suku terakhir 196.

�� = � + (� − 1)�

196 = 4 + (� − 1)4

196 = 4 + 4� − 4

196 = 4�

� =196

4

� = 49

�� =�

2(� + ��)

�� =49

2(4 + ��)

�� =49

2(4 + 196)

�� =49

2(200)

�� = 4.900

Jadi, banyak bilangan antara 1 sampai 200 yang habis dibagi 4 adalah 49 dan jumlah

dari bilangan tersebut adalah 4.900

2. 4, ��, ��, ��, ��, ��, 28

�� = � + 6�

28 = 4 + 6�

6� = 28 − 4

6� = 24

6� =24

6

6� = 4

�� = � = 4

�� = �� + � = 4 + 4 = 8

�� = �� + � = 8 + 4 = 12

�� = �� + � = 12 + 4 = 16

�� = �� + � = 16 + 4 = 20

�� = �� + � = 20 + 4 = 24

�� = 28

Jadi, barisan yang terbentuk adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28.

3. Jumlah seluruh uang adalah Rp 100.000.000,00. Dibagikan pada 5 orang anaknya,anak

pertama mendapat Rp 5.000.000,00 lebih dari anak kedua. Anak kedua mendapat Rp

5.000.000,00 lebih dari anak ketiga, dan demikian seterusnya.

Beda (�) = −5.000.000

�� =5

2(2� + (5 − 1) ∙(−5.000.000))

100.000.000 =5

2(2� + 4 ∙(−5.000.000))

100.000.000 =5

2(2� − 20.000.000)

100.000.000 = 5� − 50.000.000

5� = 100.000.000 + 50.000.000

5� = 150.000.000

5� =150.000.000

5

5� = 30.000.000

Jadi, uang yang diterima anak pertama adalah Rp 30.000.000,00.

52

4. Tabungan pertama (�) = 30.000, � = 8.000

�� =14

2(2 ∙30.000 + (14 − 1) ∙8.000)

�� = 7(60.000 + 13 ∙8.000)

�� = 7(60.000 + 104.000)

�� = 7(164.000)

�� = 1.148.000

Jadi, besar tabungan Resti setelah 14 minggu adalah Rp 1.148.000,00.

53

A. Barisan dan Deret Aritmetika Pak Herman menggunakan motornya untuk aktivitas sehari-hari. Pada spedometer motor

Pak Herman tertera bilangan 120 yang berarti motor tersebut telah menempuh jarak 120 ��.

Hari-hari berikutnya Pak Herman mencatat bilangan yang tertera pada spedometer motornya

sebagai berikut: 160, 200, 240, 280, 320, 360, ⋯. Jika Pak Herman harus menservis motornya

setelah menempuh jarak 2.000 ��, dapatkah ditentukan waktunya?

Bilangan-bilangan dari pembacaan spedometer motor tersebut membentuk barisan

aritmetika. Pelajarilah materi berikut agar Anda memahami barisan aritmetika sehingga dapat

menyelesaikam masalah-masalah yang berkaitan dengan barisan aritmetika seperti di atas.

1. Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang beda/selisih setiap dua suku yang

berurutan adalah sama. Beda dua suku pada barisan aritmetika dinotasikan b dan dirumuskan

sebagai berikut.

� = �� − �� = �� − �� = �� − �� = ⋯ = �� − ��

�= bilangan asli sebagai nomor suku. �� adalah suku ke−� dan �� adalah suku ke−(� − 1).

Contoh:

Barisan: 3, 10, 17, 24, 31, … merupakan barisan aritmetika dengan beda = 7

Barisan: 14, 9, 4, -1, -6, … merupakan barisan aritmetika dengan beda = -5

Jika ��, ��, ��, ��, ��, … , �� merupakan suku-suku barisan aritmetika. Rumus suku ke−�

barisan tersebut dinyatakan sebagai berikut:

�� = � + (� − �)�

� = �� = suku pertama

� = �� − �� = beda

� = banyak suku

Barisan aritmetika dengan suku pertama a dan beda b mempunyai rumus suku ke−�:

�� = � + (� − 1)�. Bagaimana rumus tersebut diperoleh? Pahamilah dan lengkapilah uraian

berikut ini.

Diketahui barisan aritmetika: ��, ��, ��, ��, ��, …

Misalkan: suku pertama = �� = � dan beda = �� − �� = �, maka diperoleh:

+� +� +� +�

�� … �� … �� … � � + � � + 2� � + 3� � + ⋯ … � + ⋯ … � + ⋯ …

Selengkapnya dituliskan dalam tabel berikut

Suku ke- Rumus Pola 1 �� = � �� = � + (1 − 1)� 2 �� = � + � �� = � + (2 − 1)� 3 �� = � + 2� �� = � + (3 − 1)� 4 �� = � + 3� �� = � + (… − 1)� 5 �� = � + 4� �� = � + (… − 1)� ⋮ n �� = � + (� − 1)�

Jadi, rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah �� = � + (� − �)�

2. Deret Aritmetika

Deret aritmetika adalah penjumlahan berturut-turut suku-suku suatu barisan aritmetika.

Deret aritmetika dituliskan sebagai berikut:

�� = �� + �� + �� + �� + … + �� + ��

= � + (� + �) + (� + 2�) + (� + 3�) + ⋯ + (� + (� − 2)�) + (� + (� − 1)�)

54

Rumus untuk deret aritmetika diturunkan sebagai berikut:

�� = � + (� + �) + (� + 2�) + ⋯ + (� + (� − 2)�) + (�

+ (� − 1)�)

�� = (� + (� − 1)�) + (� + (� − 2)�) + (� + (� − 3)�) + ⋯ + (� + �) + �

2�� = (2� + (� − 1)�) + (2� + (� − 1)�) + ⋯ + (2� + (� − 1)�) + (2� + (� − 1)�

⟺ 2�� = � ∙(2� + (� − 1)�)

⟺ �� =�

2∙(2� + (� − 1)�)

Jadi, rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah sebagai berikut:

�� =�

�(�� + ��) atau �� =

�

�(�� + (� − �)�)


� = �� − �� = beda

� = banyak suku

Suku ke-� barisan aritmetika juga dapat dihitung dengan rumus:

�� = �� − ��

�� = ��ℎ � ��

�� = ��ℎ (� − 1)��

Contoh Soal

1. Tentukan rumus suku ke-n setiap barisan aritmetika berikut ini

a. 8, 12, 16, 20, …

b. 26, 20, 14, 8, …

Penyelesaian:

a. Suku pertama (�) = 8, beda (�) = 12 − 8 = 4

Rumus suku ke-n:

�� = � + (� − 1)�

�� = 8 + (� − 1)4

�� = 8 + 4� − 4

�� = 4� + 4

Jadi, rumus ke-n barisan aritmetika tersebut adalah �� = 4� + 4

b. Suku pertama (�) = 26, beda (�) = 20 − 26 = −6

Rumus suku ke-n:

�� = � + (� − 1)�

�� = 26 + (� − 1)(−6)

�� = 26 − 6� + 6

�� = 32 − 6�

Jadi, rumus ke-n barisan aritmetika tersebut adalah �� = 32 − 6�

2. Carilah suku yang diminta pada sertiap barisan aritmetika berikut ini

a. Suku ke-27 pada barisan 8, 11, 14, …

b. Suku ke-19 pada barisan 49, 42, 35, …

c. Suku ke-33 pada barisan 4, 3�

�, 2

�

�, 1

�

�, …

Penyelesaian:

a. Suku pertama (�) = 8, beda (�) = 11 − 8 = 3

Suku ke-27:

�� = � + (� − 1)�

55

�� = 8 + (27 − 1)3

�� = 8 + 26 ∙3

�� = 8 + 78

�� = 86

Jadi, suku ke-27 barisan aritmetika tersebut adalah 86

b. Suku pertama (�) = 49, beda (�) = 42 − 49 = −7

Suku ke-19:

�� = � + (� − 1)�

�� = 49 + (19 − 1)(−7)

�� = 49 + 18 ∙(−7)

�� = 49 + (−126)

�� = −77

Jadi, suku ke-19 barisan aritmetika tersebut adalah −77

c. Suku pertama (�) = 4, beda (�) = 3�

�− 4 = −

�

�

Suku ke-33:

�� = � + (� − 1)�

�� = 4 + (33 − 1) �−3

4�

�� = 4 + 32 ∙�−3

4�

�� = 4 + (−24)

�� = −20

Jadi, suku ke-33 barisan aritmetika tersebut adalah −20

3. Suku ke-3 suatu barisan aritmetika adalah 11, sedangkan suku ke-10 adalah 39.

a. Tentukan suku pertama dan beda dari barisan tersebut.

b. Tentukan rumus suku ke-n dan suku ke-20.

Penyelesaian:

a. �� = 11 ⟹ � + 2� = 11 ......................... (i)

�� = 39 ⇒ � + 9� = 39 ......................... (ii)

Dari persamaan (i) dan (ii) eliminasi variabel �

� + 2� = 11

� + 9� = 39

−7� = −28

⇔ � = 4

� = 4 substitusikan ke persamaan (i)

� + 2� = 11

⇔ � + 2 ∙4 = 11

⇔ � + 8 = 11

⇔ � = 3

Jadi, suku pertama = 3 dan beda = 4

b. Rumus suku ke-n

�� = � + (� − 1)�

�� = 3 + (� − 1)4

�� = 3 + 4� − 4

�� = 4� − 1

Suku ke-20

56

�� = 4 ∙20 − 1

�� = 80 − 1

�� = 79

Jadi, rumus suku ke-n adalah �� = 4� − 1 dan suku ke-20 adalah 79

4. Tentukan banyak suku dari barisan aritmetika berikut ini

a. 1, 4, 7, … , 79

b. 55, 51, 47, … , −1

Penyelesaian:

a. Barisan aritmetika dengan � = 1, � = 3, dan �� = 79

�� = � + (� − 1)�

⇔ 79 = 1 + (� − 1)3

⇔ 79 = 1 + 3� − 3

⇔ 3� = 81

⇔ � = 27

Jadi, banyak suku dalam barisan aritmetika tersebut adalah 27

b. Barisan aritmetika dengan � = 55, � = −4, dan �� = −1

�� = � + (� − 1)�

⇔ −1 = 55 + (� − 1)(−4)

⇔ −1 = 55 − 4� + 4

⇔ 4� = 60

⇔ � = 15

Jadi, banyak suku dalam barisan aritmetika tersebut adalah 15

5. Hitunglah jumlah 20 suku pertama pada setiap deret aritmetika berikut ini

a. 4 + 5 + 6 + 7 + ⋯.

b. 3 + 6 + 9 + 12 + ⋯.

Penyelesaian:

a. Deret aritmetika dengan � = 4 dan � = 1

�� =�

2∙(2� + (� − 1)�)

�� =20

2∙(2 ∙4 + (20 − 1)1)

�� = 10 ∙(8 + 19 ∙1)

�� = 10 ∙(8 + 19)

�� = 10 ∙(27)

�� = 270


b. Deret aritmetika dengan � = 3 dan � = 3

�� =�

2∙(2� + (� − 1)�)

�� =20

2∙(2 ∙3 + (20 − 1)3)

�� = 10 ∙(6 + 19 ∙3)

�� = 10 ∙(6 + 57)

�� = 10 ∙(63)

�� = 630

Jadi,jumlah 20 suku pertama adalah 630

57

6. Hitunglah banyak bilangan antara 1 sampai 100 yang habis dibagi 6, dan hitunglah jumlah semua

suku yang habis dibagi 6 dari barisan tersebut.

Penyelesaian:

Bilangan antara 1 sampai 100 yang habis dibagi 6 adalah 6, 12, 18, 24, … , 96 yaitu merupakan

barisan aritmetika dengan � = 6 dan � = 6. Maka banyak bilangan adalah

�� = � + (� − 1)�

⇔ 96 = 6 + (� − 1)6

⇔ 96 = 6 + 6� − 6

⇔ 96 = 6�

⇔ � = 16

Jumlah 16 suku pertama adalah

�� =�

2∙(� + ��)

�� =16

2∙(6 + 96)

�� = 8 ∙(102)

�� = 816

Jadi, banyak bilangan antara 1 sampai 100 yang habis dibagi 6 adalah 16 bilangan, dan jumlah

dari 16 bilangan tersebut adalah 816.

58

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN

(RPP)

Satuan Pendidikan : SMK Negeri 1 Kebonsari

Kelas/Semester : X/2


Materi Pokok : Barisan dan Deret Geometri

Waktu : 12× 45 menit

A. Kompetensi Inti :

KI 3 : Memahami, menerapkan, menganalisis, dan mengevaluasitentang pengetahuan faktual,

konseptual, operasional dasar, dan metakognitif sesuai dengan bidang dan lingkup

kajian matematikapada tingkat teknis, spesifik, detil, dan kompleks, berkenaan dengan

ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dalam konteks

pengembangan potensi diri sebagai bagian dari keluarga, sekolah, dunia kerja, warga

masyarakat nasional, regional, dan internasional.

KI 4 :Melaksanakan tugas spesifik dengan menggunakan alat, informasi, dan prosedur kerja

yang lazim dilakukan serta memecahkan masalah sesuai dengan bidang kajian

matematika. Menampilkan kinerja di bawah bimbingan dengan mutu dan kuantitas

yang terukur sesuai dengan standar kompetensi kerja.Menunjukkan keterampilan

menalar, mengolah, dan menyaji secara efektif, kreatif, produktif, kritis, mandiri,

kolaboratif, komunikatif, dan solutif dalam ranah abstrak terkait dengan

pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah, serta mampu melaksanakan tugas

spesifik di bawah pengawasan langsung.Menunjukkan keterampilan mempersepsi,

kesiapan, meniru, membiasakan, gerak mahir, menjadikan gerak alami dalam ranah

konkret terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah, serta

mampu melaksanakan tugas spesifik di bawah pengawasan langsung.

B. Kompetensi Dasar dan Indikator Pencapaian Kompetensi

Kompetensi Dasar Indikator Pencapaian Kompetensi

3.6 Menganalisis barisan dan deret

geometri.

3.6.1 Menjelaskan konsep barisan dan deret geometri.

3.6.2 Menjelaskan konsep geometri tak hingga.

3.6.3 Menentukan nilai suku ke-n barisan geometri.

3.6.4 Menentukan jumlah n suku pertama deret geometri.

3.6.5 Memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deretgeometri.

4.6 Menyelesaikan masalah kontekstual

yang berkaitan dengan barisan dan

deret geometri.

4.6.1 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan barisan geometri dalam kehidupan sehari-hari.

4.6.2 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan deret geometri dalam kehidupan sehari-hari.

Lampiran 2b

59

C. Tujuan Pembelajaran :

Melalui metode diskusi, tanya jawab dan pemberian tugas dengan pendekatan Realistic

Mathematics Education (RME) diharapkan siswa mampu:

1. Menjelaskan konsep barisan dan deret geometri dengan benar.

2. Menjelaskan konsep geometri tak hingga dengan benar.

3. Menentukan nilai suku ke- � barisan geometri dengan benar.

4. Menentukan jumlah �suku pertama deret geometri dengan benar.

5. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret geometri dengan

benar.

6. Menyelesaikan masalah yang tepat berkaitan dengan barisan geometri dalam


7. Menyelesaikan masalah yang tepat berkaitan dengan deret geometri dalam


D. Materi

Barisan dan deret geometri (terlampir)

E. Pendekatan /Model /Metoda Pembelajaran :

Pendekatan Pembelajaran : Realistic Mathematics Education (RME)

Model Pembelajaran :Pembelajaran Kooperatif

Metode Pembelajaran :Ceramah, tanya jawab, diskusi dan pemberian tugas

F. Kegiatan Pembelajaran:

Pertemuan ke-1


Waktu





barisan geometri dan memberikan gambaran tentang aplikasi

barisan geometri dalam kehidupan sehari-hari.

“Dengan mempelajari barisan geometri kita dapat

memprediksi bilangan selanjutnya dari sebuah barisan

geometri. Contoh dalam kehidupan sehari-hari adalah

menentukan harga jual sepeda motor setelah sekian tahun

apabila setiap tahun mengalami penurunan sekian persen dari

tahun sebelumnya.”

5. Guru memberikan apersepsi berupa operasi pada bilangan

bulat serta sifat-sifat bilangan berpangkat.


“Pada barisan aritmetika yang telah kita pelajari bahwa selisih

dua suku yang berurutan adalah sama. Pada barisan geometri

10 menit

60


Waktu

ini yang membedakan dengan barisan aritmetika adalah rasio.

Rasio adalah pembanding antara dua suku yang berurutan.”


yaitu menjelaskan konsep barisan geometri dengan benar,

menjelaskan konsep barisan geometri tak hingga dengan

benar, dan menentukan nilai suku ke- � barisan geometri

dengan benar.


barisan geometri dalam kehidupan sehari-hari.

“Budiman membeli sebuah komputer seharga Rp

3.000.000,00. Setiap satu bulan terjadi penyusutan sebesar

10% dari harga jual bulan sebelumnya. Berapakah harga jual

komputer tersebut pada akhir 5 bulan kerja?”


materi barisan geometri.

“Secara manual menentukan harga jual komputer pada setiap

bulan. Dari sini akan diperoleh barisan geometri dan harga

jual komputer pada akhir 5 bulan kerja.”



4. Guru membagikan lembar aktivitas siswa pertemuan pertama

kepada setiap kelompok sebagai bahan diskusi kelompok.


kan, mengarahkan, dan mendorong semua siswa untuk

terlibat aktif berdiskusi, dan mengarahkan bila ada kelompok

yang melenceng jauh dari pekerjaannya, serta membimbing

kelompok yang mengalami kesulitan.



7. Bersama siswa membuat kesimpulan tentang pengertian

barisan geometri dan bentuk umum barisan geometri.

70 menit


yang dipelajari secara bersama-sama.



geometri, pekerjaan rumah pertemuan pertama.



5. Guru mengakhiri kegiatan belajar dengan memberikan pesan.

10 menit

61

Pertemuan ke-2


Waktu





deret geometri dan memberikan gambaran tentang aplikasi

barisan dan deret geometri dalam kehidupan sehari-hari.

“Dengan mempelajari barisan dan deret geometri kita dapat

memprediksi jumlah bilangan dari bilangan pertama sampai

bilangan ke-� dari sebuah barisan geometri. Contoh dalam

kehidupan sehari-hari adalah menentukan ketinggian suatu

bola yang dijatuhkan dari ketinggian tertentu dan tinggi

pantulannya adalah sekian kali dari tinggi sebelumnya.”


“Pada pertemuan sebelumnya kita telah mempelajari barisan

geometri, yaitu menentukan rasio dan nilai suku ke−�.

Selanjutnya kita akan menerapkannya pada masalah yang

berkaitan dengan kehidupan sehari-hari.”

6. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yangakan dicapai

yaitu memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan

geometri, menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan

barisan geometri dalam kehidupan sehari-hari, dan

menjelaskan konsep deret geometri dengan benar.

10 menit



“Harga sebuah sepeda motor baru adalah Rp 20.000.000.

Setelah digunakan selama setahun harga sepeda motor

tersebut turun 10% menjadi Rp 18.000.000. Pada tahun

berikutnya harga sepeda motor tersebut diperkirakan menjadi

Rp 16.200.000. Kapan harga sepeda motor tersebut menjadi

dibawah Rp 10.000.000?”


materi barisan dan deret geometri.

“Secara manual dihitung harga jual sepeda motor setiap

tahunnya sampai harga jual di bawah Rp 10.000.000. Dari

sini akan diketahui pada tahun ke berapa harga jual di bawah

Rp 10.000.000.”

3. Guru membagisiswa ke dalam 6 kelompok dengan tiap


4. Guru membagikan lembar aktivitas siswa pertemuan kedua


70 menit

62




pekerjaannya.




geometri dan bentuk umum deret geometri.


yang di pelajari secara bersama-sama.



dan deret geometri, pekerjaan rumah pertemuan kedua.





10 menit

Pertemuan ke-3


Waktu





barisan dan deret geometri dan memberikan gambaran tentang

aplikasi barisan dan deret geometri dalam kehidupan sehari-

hari.

“Contoh dalam kehidupan sehari-hari adalah menentukan

panjang lintasan suatu bola yang dijatuhkan dari ketinggian

tertentu dan tinggi pantulannya adalah sekian kali dari tinggi

sebelumnya.”


“Pada pertemuan sebelumnya kita telah mempelajari

penerapan barisan geometri pada masalah yang berkaiatan

dengan kehidupan sehari-hari. Pada pertemuan hari ini kita

akan mempelajari deret geometri, yaitu penjumlahan berurut

pada barisan geometri. Idenya sama seperti pada barisan

aritmetika yang kemarin.”


yaitu menentukan jumlah � suku pertama deret geometri

dengan benar, memecahkan masalah yang berkaitan dengan

deret geometri, dan menyelesaikan masalah yang berkaitan

10 menit

63

dengan deret geometri dalam kehidupan sehari-hari.



“Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 meter dan

memantul kembali dengan ketinggian �

� kali tinggi sebelumnya,

begitu seterusnya hingga bola berhenti. Berapa panjang

lintasan bola tersebut?”


materi barisan dan deret geometri.

“Panjang lintasan bola terdiri dari dua lintasan, yaitu lintasan

turun dan lintasan naik. Lintasan turun dan lintasan naik akan

membentuk barisan geometri tak hingga.”



4. Guru membagikan lembar aktivitas siswa pertemuan ketiga





pekerjaannya.




geometri dan bentuk umum deret geometri.

70 menit

Penutup 1. Siswa diminta menyimpulkan cara menyelesaikan masalah

barisan dan deret.

2. Guru memberikan tugas PR beberapa soal mengenai deret

geometri tak hingga, pekerjaan rumah pertemuan ketiga.





10 menit

G. Alat/Media/Sumber Pembelajaran

1. Lembar aktivitas siswa (LAS).

2. Buku paket Matematika untuk kelas XI, Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan

Republik Indonesia, 2013.

3. Tes pemahaman konsep matematika

H. Penilaian Hasil Belajar

1. Teknik Penilaian : Tes tertulis (tes pemahaman konsep)

2. Prosedur Penilaian : Terlampir

64

I. Instrumen Penilaian Pemahaman Konsep Matematika


1. Jelaskan pengertian barisan geometri dan deret geometri?

2. Tentukan rumus suku ke-n dari setiap barisan geometri berikut:

a. �

�,

�

�, 1, 2, 4, …

b. 64, 32, 16, 8, …

3. Carilah suku yang diminta pada setiap barisan geometri berikut:

a. Suku ke-10 dari 3, 6, 12, 24, …

b. Suku ke-6 dari 6, 3,�

�,

�

�, …

4. Di antara bilangan 4 dan 64 disisipkan tiga bilangan sehingga kelima bilangan itu

membentuk barisan geometri. Tentukan barisan yang terbentuk!

5. Barisan geometri suku ke-3 dan suku ke-5 berturut-turut adalah 18 dan 162. Tentukan

rasio dan suku ke-6 dari barisan geometri tersebut!

6. Hitunglah jumlah 8 suku pertama pada setiap deret geometri berikut:

a. 3, 6, 12, 24, ⋯.

b. 64, 32, 16, 8, ⋯.

7. Dari barisan bilangan berikut manakah yang merupakan barisan geometri? Berikan

alasannya, jika merupakan barisan geometri maka tentukan suku ke-10 dari setiap

barisan bilangan berikut:

a. 2, 4, 8, 16, ⋯ .

b. 4, 11, 18, 25, ⋯ .

c. 36, 24, 16,��

�, ⋯ .

d. 2, 3, 5, 8 , ⋯ .

Madiun, 9 April 2018 Mengetahui

Guru Pembimbing, Praktikan,

KHOLAELA, S.Pd. NIP. 19690414 200801 2 024

IMAM BUDIONO NIM. 14321767

Menyetujui

Kepala Sekolah SMK Negeri 1 Kebonsari,

BUDI SETIAWAN, S.Pd., M.Si. NIP. 19580515 198303 1 020

65


Pertemuan Pertama

1. Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp 100.000.000,00. Setiap tahun harga jualnya

menjadi 90% dari harga sebelumnya. Berapa harga jual setelah dipakai 5 tahun?

2. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 meter dan memantul kembali dengan

ketinggian �

� kali tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti. Berapa

panjang lintasan bola tersebut?


Pertemuan Kedua

1. Tentukan suku yang dicantumkan di akhir barisan dan juga suku ke-� dari setiap barisan

berikut!

1. 2, 6, 18, ⋯ , ��

2. �

��,

�

��,

�

�, ⋯ , ��

3. 128, 64, 32, … . , ��

2. Tentukan rumus suku ke-� pada setiap barisan berikut!

a. 8, 16, 32, 64, ⋯

b. �

�,

�

�, 1, 2, ⋯

c. 36, 24, 16,��

�, ⋯

3. Suku ke-5 suatu deret geometri adalah 12 dan suku ke-8 adalah 96. Tentukanlah jumlah

8 suku pertama deret tersebut!


Pertemuan Ketiga

1. Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan panjang masing-masing potongan membentuk

barisan geometri. Jika panjang potongan tali terpendek adalah 6 cm dan potongan tali

terpanjang adalah 384 cm, tentukan panjang keseluruhan tali tersebut!

2. Perhatikan gambar di bawah ini.

66

Sebuah persegi ABCD mempunyai panjang sisi 10 cm. Di dalamnya dibuat persegi

EFGH dengan titik sudutnya berada di tengah-tengah sisi-sisi ABCD.Di dalam persegi

EFGH dibuat lagi persegi IJKL yang titik sudutnya berada di tengah-tengah sisi-sisi

EFGH, dan seterusnya sampai banyak persegi tak hingga. Tentukan:

a. Jumlah keliling persegi yang terbentuk.

b. Jumlah luas persegi yang terbentuk.

67

Pekerjaan Rumah (PR) Pertemuan Pertama

1. Diketahui barisan geometri 125, 25, 5, 1, ⋯. Suku ke-8 dari barisan geometri tersebut

adalah…

2. Rumus suku ke-� dari barisan geometri 1, 8, 64, ⋯ adalah…

3. Suku ke-5 sebuah barisan geometri adalah �

� dan rasionya

�

�. Suku ke-9 barisan geometri

tersebut adalah…

4. Suku ke-3 dan suku ke-5 barisan geometri secara berturut-turut adalah 18 dan 162. Suku

ke-7 barisan tersebut adalah…

5. Jumlah dari deret geometri tak hingga 6 + 3 +�

�+

�

�+

�

�+ ⋯ adalah…

6. Jumlah deret geometri tak hingga adalah −6 dengan rasio −�

�. Suku pertama deret

tersebut adalah…

Pekerjaan Rumah (PR) Pertemuan Kedua

1. Di antara bilangan 4 dan 64 disisipkan tiga bilangan sehingga kelima bilangan itu

membentuk barisan geometri. Tentukan barisan yang terbentuk!

2. Jumlah 10 suku pertama dari deret geometri 3 + 6 + 12 + 24 + ⋯ adalah….

3. Diketahui suatu deret geometri mempunyai suku ke-3 = 36 dan suku ke-5 = 324. Jumlah

enam suku pertama adalah….

4. Rumussuku ke-� dan jumlah deret geometri �

�+

�

�+ 1 + 2 + 4 + ⋯ + 64tersebut

adalah….

5. Diketahui suatu deret geometri dengan suku pertama 3 dan suku terakhir 96. Jika banyak

suku deret tersebut ada 6, jumlah deret tersebut adalah….

Pekerjaan Rumah (PR) Pertemuan Ketiga

1. Seutas tali dipotong menjadi 9 bagian. Panjang masing-masing potongan tali mengikuti

barisan geometri. Potongan tali yang paling pendek 4 cm dan potongan tali paling

panjang 1.024 cm. Panjang tali semula adalah…

2. Sebuah bola dijatuhkan ke lantai dari ketinggian 5 m dan memantul kembali dengan

tinggi �

� dari ketinggian semula. Panjang lintasan bola sampai bola berhenti adalah…

68


Pertemuan Pertama

1. Diketahui � = 100.000.000 dan � = 90%

�� = ��

�� = 100.000.000 × �90

100�

��

�� = 100.000.000 ×65.610.000

100.000.000

�� = 65.610.000

Jadi, harga mobil setelah dipakai selama 5 tahun adalah Rp 65.610.000,00.

2. Lintasan bola turun: 10,��

�,

��

��, ⋯

Lintasan bola naik: ��

�,

��

��,

��

��, ⋯

Panjang lintasan bola turun:

�� =�

1 − �

�� =10

1 −�

�

�� =10

�

�

�� = 10 ×4

1

�� = 40

Panjang lintasan bola naik:

�� =�

1 − �

�� =

��

�

1 −�

�

�� =

��

��

�

�� =30

4×

4

1

�� = 30

Jadi, panjang lintasan bola adalah 40 + 30 = 70 meter.

69


Pertemuan Kedua

1. Menentukan nilai suku ke-� barisan geometri

a. 2, 6, 18, ⋯, diperoleh � = 2 dan � =�

�= 3

�� = ��

�� = 2 × 3��

�� = 2 × 3�

�� = 2 × 6561

�� = 13.122

Jadi, suku ke-9 barisan geometri tersebut adalah 13.122.

b. �

��,

�

��,

�

�, ⋯, diperoleh � =

�

�� dan � =

�

��

��

=�

��×

��

�= 3

�� = ��

�� =1

81× 3��

�� =1

3�× 3�

�� = 3�� × 3�

�� = 3�

�� = 243

Jadi, suku ke-10 barisan geometri tersebut adalah 243.

c. 128, 64, 32, ⋯, diperoleh � = 128 dan � =��

��=

�

�= 2��

�� = ��

�� = 128 × (2��)��

�� = 2� × (2��)��

�� = 2� × 2��

�� = 2��(��)

�� = 2��

�� =1

2�

�� =1

16

Jadi, suku ke-12 barisan geometri tersebut adalah �

��.

2. Menentukan rumus suku ke-� barisan geometri

a. 8, 16, 32, 64, ⋯, diperoleh � = 8 dan � =��

�= 2

�� = ��

�� = 8 × 2��

�� = 2� × 2��

�� = 2��

�� = 2��

Jadi, rumus suku ke-� barisan geometri tersebut adalah 2��.

70

b. �

�,

�

�, 1, 2, ⋯, diperoleh � =

�

� dan � =

�

��

�

= 2

�� = ��

�� =1

4× 2��

�� = 2�� × 2��

�� = 2��

�� = 2��

Jadi, rumus suku ke-� barisan geometri tersebut adalah 2��.

c. 36, 24, 16,��

�, ⋯, diperoleh � = 36 dan � =

��

��=

�

�

�� = ��

�� = 36 × �2

3�

��

�� = 2� × 3� ×2��

3��

�� =2��

3��

�� =2��

3��

Jadi, rumus suku ke-� barisan geometri tersebut adalah =��

��.

3. Barisan geometri �� = 12 dan �� = 96 ��

��=

96

12

��

��= 8

�� = 8

� = 2

Substitusikan � = 2 pada

�� = 12

� × 2� = 12

� × 16 = 12

� =12

16=

3

4

Karena � = 2 > 1, maka jumlah deret geometri

adalah

�� =�(�� − 1)

(� − 1)

�� =

�

�× (2� − 1)

(2 − 1)

�� =3

4× (256 − 1)

�� =3

4× 255

�� =765

4

Jadi, jumlah 8 suku pertama adalah ��

�.

71


Pertemuan Ketiga

1. Tali dipotong menjadi 7 bagian dan membentuk barisan geometri, panjang tali terpendek

6 cm dan yang terpanjang 384 cm

� = 6, � = 7, dan �� = 384

�� = 384

�� = 384

6 × �� = 384

�� =384

6

�� = 64

� = √64�

= 2

Panjang seluruh tali:

�� =�(�� − 1)

(� − 1)

�� =6(2� − 1)

(2 − 1)

�� =6(128 − 1)

1

�� = 6 × 127

�� = 762

Jadi, panjang seluruh tali adalah 762 cm.

2. Panjang �� = �� × √2 = 5√2

Panjang �� = �� × √2 = 2,5√2 × √2 = 5

Panjang �� = �� × √2 = 2,5 × √2 = 2,5√2

a. Keliling persegi ABCD = 4 × �� = 4 × 10 = 40 ��.

Keliling persegi EFGH = 4 × �� = 4 × 5√2 = 20√2 ��.

Keliling persegi IJKL = 4 × �� = 4 × 5 = 20 ��.

Keliling persegi MNOP = 4 × �� = 4 × 2,5√2 = 10√2 �� dan seterusnya.

Dengan demikian diperoleh deret keliling persegi sebagai berikut:

40 + 20√2 + 20 + 10√2 + ⋯, diperoleh� = 40 dan� =��√�

��=

�

�√2.

Jumlah deret tak hingga:

�� =�

1 − �

�� =40

1 −�

�√2

�� =40

1 −�

�√2

×1 +

�

�√2

1 +�

�√2

�� =40 × (1 +

�

�√2)

1 −�

�

72

�� =40 × (1 +

�

�√2)

�

�

�� = 80 × (1 +1

2√2)

�� = 80 + 40√2

Jadi, jumlah keliling persegi yang terbentuk adalah 80 + 40√2 ��.

c. Luas persegi ABCD = �� × �� = 10 × 10 = 100 ��

Luas persegi EFGH = �� × �� = 5√2 × 5√2 = 50 ��

Luas persegi IJKL = �� × �� = 5 × 5 = 25 ��

Luas persegi MNOP = �� × �� = 2,5√2 × 2,5√2 = 12,5 ��

Dengan demikian diperoleh deret luas persegi sebagai berikut:

100 + 50 + 25 + 12,5 + ⋯, diperoleh � = 100 dan � =��

��=

�

�

�� =�

1 − �

�� =100

1 −�

�

�� =100

�

�

�� = 100 ×2

1

�� = 200

Jadi, jumlah luas persegi yang terbentuk adalah 200 ��.

73


Pertemuan Pertama

1. Barisan geometri 125, 25, 5, 1, ⋯, diperoleh � = 125 dan � =��

��=

�

�

�� = ��

�� = 125 ∙�1

5�

��

�� = 5� ∙�1

5�

�

�� = 5� ∙5��

�� = 5��(��)

�� = 5��

�� =1

5�

�� =1

625

Jadi, suku ke-8 barisan tersebut adalah �

��.

2. Barisan geometri 1, 8, 64, ⋯, diperoleh � = 1 dan � =�

�= 8

�� = ��

�� = 1 ∙8��

�� = (2�)��

�� = 2��

Jadi, rumus suku ke-�barisan tersebut adalah 2��.

3. �� =�

� dan � =

�

�

�� =1

3

� �1

3�

�

=1

3

� =1

3∙3�

� = 3�

�� = 3� ∙(3��)��

�� = 3� ∙(3��)�

�� = 3� ∙3��

�� = 3��

�� =1

3�

�� =1

243

Jadi, suku ke-9 barisan tersebut adalah �

��.

4. Barisan geometri �� = 18 dan �� = 162 ��

��=

162

18

��

��= 9

�� = 9

� = √9

� = 3

�� = 18

� ∙9 = 18

� =18

9

� = 2

�� = ��

�� = 2 ∙3��

�� = 2 ∙3�

�� = 2 ∙729

�� = 1458

Jadi, suku ke-7 barisan tersebut adalah 1458.

74

5. Deret geometri tak hingga 6 + 3 +�

�+

�

�+ ⋯, diperoleh � = 6 dan � =

�

�=

�

�

�� =�

1 − �

�� =6

1 −�

�

�� =6�

�

�� = 6 ×2

1

�� = 12

Jadi, jumlah deret geometri tak hingga adalah 12.

6. Diketahui �� = −6 dan � = −�

�

�� =�

1 − �

−6 =�

1 − (−�

�)

−6 =�

�

�+

�

�

−6 =��

�

−� = −6 ×5

3

−� = −10

Jadi, suku pertama deret tersebut adalah −10.

75


Pertemuan Kedua

1. Di antara bilangan 4 dan 64 disisipkan tiga bilangan sehingga membentuk barisan

geometri, yaitu 4, ��, ��, ��, 64.

�� = 64

�� = 64

4 ∙�� = 64

�� =64

4

�� = 16

� = √16�

� = 2

�� = � = 4

�� = � ∙� = 4 ∙2 = 8

�� = � ∙�� = 4 ∙2� = 16

�� = � ∙�� = 4 ∙2� = 32

�� = 64

Jadi, barisan yang terbentuk adalah 4, 8, 16, 32, 64

2. Deret geometri3 + 6 + 12 + 24 + ⋯, diperoleh � = 3 dan � =�

�= 2

�� =�(�� − 1)

(� − 1)

�� =3(2�� − 1)

(2 − 1)

�� =3(1.024 − 1)

1

�� = 3 × 1.023

�� = 3.069

Jadi, jumlah 10 suku pertamabarisan tersebut adalah 3.069.

3. �� = 36 dan �� = 324 ��

��=

324

36

��

��= 9

�� = 9

� = √9

� = 3

�� = 36

� ∙9 = 36

� =36

9

� = 4

�� =�(�� − 1)

(� − 1)

�� =4(3� − 1)

(3 − 1)

�� =4(729 − 1)

2

�� = 2 × 728

�� = 1.456

Jadi, jumlah 6 suku pertama barisan tersebut adalah 1.456.

4. Deret geometri�

�+

�

�+ 1 + 2 + ⋯ + 64, diperoleh � =

�

� dan � =

�

��

�

=�

�×

�

�= 2

Rumus suku ke-�:

�� = ��

�� =1

4∙2��

�� = 2�� ∙2��

�� = 2��

�� = 2��

Banyak suku:

�� = 64

2�� = 2�

� − 3 = 6

� = 6 + 3

� = 9

Jumlah semua suku:

�� =

�

�(2� − 1)

(2 − 1)

�� =

�

�(512 − 1)

1

�� =511

4

76

Jadi, rumus suku ke-� adalah 2�� dan jumlah semua suku adalah ��

�

5. � = 3, �� = 96, dan � = 6

�� = 96

3 ∙�� = 96

�� =96

3

�� = 32

� = √32�

� = 2

Jumlah semua suku:

�� =�(�� − 1)

(� − 1)

�� =3(2� − 1)

(2 − 1)

�� =3(64 − 1)

1

�� = 3 × 63

�� = 189

Jadi, jumlah semua suku pada barisan tersebut adalah 189.

77


Pertemuan Ketiga

1. Tali dipotong menjadi 9 bagian dan membentuk barisan geometri, panjang tali terpendek

4 cm dan yang terpanjang 1.024 cm

� = 4, � = 9, dan �� = 1.024

�� = 1.024

�� = 1.024

4 × �� = 1.024

�� =1.024

4

�� = 256

� = √256�

= 2

Panjang seluruh tali:

�� =�(�� − 1)

(� − 1)

�� =4(2� − 1)

(2 − 1)

�� =4(512 − 1)

1

�� = 4 × 511

�� = 2.044

Jadi, panjang seluruh tali adalah 2.044 cm.

2. Lintasan bola turun: 5,��

�,

��

��, ⋯

Lintasan bola naik: ��

�,

��

��,

��

��, ⋯

Panjang lintasan bola turun:

�� =�

1 − �

�� =5

1 −�

�

�� =5�

�

�� = 5 ×4

1

�� = 20

Panjang lintasan bola naik:

�� =�

1 − �

�� =

��

�

1 −�

�

�� =

��

��

�

�� =15

4×

4

1

�� = 15

Jadi, panjang lintasan bola adalah 20 + 15 = 35 meter.

78

B. Barisan dan Deret Geometri

Harga sebuah sepeda motor baru adalah Rp 20.000.000. Setelah digunakan selama

setahun harga sepeda motor tersebut turun 10% menjadi Rp 18.000.000. Pada tahun berikutnya

harga sepeda motor tersebut diperkirakan menjadi Rp 16.200.000. Kapan harga sepeda motor

tersebut menjadi dibawah Rp 10.000.000?

Penurunan harga sepeda motor tersebut membentuk barisan geometri. Pelajarilah materi

berikut agar Anda memahami barisan geometri sehingga dapat menyelesaikam masalah-masalah

yang berkaitan dengan barisan geometri seperti di atas.

1. Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang nilai pembanding (rasio) antara dua suku

yang berurutan selalu tetap. Rasio dinotasikan dengan � merupakan nilai perbandingan dua suku

berurutan. Nilai � dinyatakan sebagai berikut:

� =��

��=

��

��=

��

��= ⋯ =

��

��

�� = �� − �

�� = �� − (� − 1)

Contoh:

Barisan 2, 4, 8, 16, 32, ⋯ merupakan barisan geometri.

Rasio barisan = � =��

��=

�

�= 2.

Jika ��, ��, ��, … , �� merupakan susunan suku-suku barisan geometri, dengan �� = � dan �

adalah rasio, maka suku ke-� dinyatakan sebagai berikut:

�� = ��


� =��

��= rasio

� = banyak suku

Barisan geometri dengan suku pertama a dan rasio � mempunyai rumus suku ke-n:

�� = ��. Bagaimana rumus tersebut diperoleh? Pahamilah dan lengkapilah uraian berikut

ini.

Diketahui barisan geometri: ��, ��, ��, ��, ��, …

Misalkan: suku pertama = �� = � dan rasio =��

��= �, maka diperoleh:

× � × � × � × � �� … �� … �� … � � × � � × �� × �� × … … � × … … � × … …

Selengkapnya dituliskan dalam tabel berikut

Suku ke- Rumus Pola 1 �� = � �� = � × �� 2 �� = � × � �� = � × �� 3 �� = � × �� = � × �� 4 �� = � × �� = � × �� 5 �� = � × �� = � × … ⋮ N �� = � × ��

Jadi, rumus suku ke-n barisan geometri adalah �� = ��

79

2. Deret Geometri

Deret geometri adalah penjumlahan berturut-turut suku-suku suatu barisan geometri.

Rumus jumlah � suku pertama deret geometri adalah sebagai berikut:

�� =�(��)

(��) untuk � < 1,

�� =�(��)

(��), untuk � > 1, atau

�� = � ∙� , untuk � = 1.


� = �� − �� = beda

� = banyak suku

Deret geometri dituliskan sebagai berikut:

�� = �� + �� + �� + �� + … + �� + ��

= � + (� × �) + (� × ��) + (� × ��) + ⋯ + (� × ��) + (� × ��)

Rumus untuk deret geometri diturunkan sebagai berikut:

�� = � + �� + �� + �� + ⋯ + �� + ��

�� × � = �� + �� + �� + �� + ⋯ + �� + ��

�� − �� × � = � − ��

⇔ ��(1 − �) = �(1 − ��)

⇔ �� =�(1 − ��)

(1 − �)

Jadi, rumus jumlah � suku pertama deret geometri adalah �� =�(��)

(��)

3. Deret Geometri Tak Hingga

Barisan geometri tak hingga adalah barisan geometri yang mempunyai banyak suku tak

hingga (untuk � mendekati tak hingga). Jika suku-suku pada barisan geometri dijumlahkan

sedemikian hingga ditulis �� + �� + �� + �� + ⋯, maka disebut deret geometri tak hingga.

Adapun untuk menentukan jumlah deret geometri tak hingga dapat ditentukan dengan cara

berikut.

Ingat bahwa jumlah � suku pertama deret geometri adalah �� =�(��)

(��). Jika �

mendekati tak berhingga, jumlah deret geometri tak hingga tersebut dapat dituliskan sebagai

berikut:

lim�→�

�� = lim�→�

�(1 − ��)

(1 − �)

= lim�→�

�

1 − �− lim

�→�

��

1 − �

=�

1 − �−

�

1 − �lim

�→��

Dari hasil di atas tampak bahwa lim�→� �� ditentukan oleh nilai lim�→� ��. Di sisi lain,

nilai lim�→� �� bergantung pada nilai �.

1. Jika −1 < � < 1 maka lim�→� �� = 0 sehingga diperoleh lim�→� �� =�

��. Deret

geometri tak hingga yang seperti ini dikatakan konvergen (mempunyai jumlah yang

terbatas).

2. Jika � < −1 atau � > 1 maka lim�→� �� = ±∞ sehingga diperoleh lim�→� �� = ±∞.

Deret geometri tak hingga yang seperti ini dikatakan divergen (mempunyai jumlah tak

terbatas).

80

Contoh Soal


a. Suku ke-10 dari 3, 6, 12, 24, ⋯.

b. Suku ke-6 dari 6, 3,�

�,

�

�, ⋯.

Penyelesaian:

a. 3, 6, 12, 24, ⋯ suku pertama (�) = 3, rasio (�) =�

�= 2

Suku ke−10:

�� = ��

�� = 3 ∙2��

�� = 3 ∙2�

�� = 3 ∙512

�� = 1536

Jadi, suku ke−10 barisan geometri tersebut adalah 1536

b. 6, 3,�

�,

�

�, ⋯ suku pertama (�) = 6, rasio (�) =

�

�=

�

�

Suku ke−6:

�� = ��

�� = 6 ∙�1

2�

��

�� = 6 ∙�1

2�

�

�� = 6 ∙1

32

�� =3

16

Jadi, suku ke−6 barisan geometri tersebut adalah �

��

2. Tentukan tiga suku pertama barisan geometri jika diketahui �� dan � berikut:

a. �� = 59.049 dan � = −3.

b. �� =�

�� dan � =

�

�.

Penyelesaian:

a. �� = 59.049

⇔ � ∙(−3)� = 59.049

⇔ −19.683� = 59.049

⇔ � =59.049

−19.683

⇔ � = −3

�� = � = −3

�� = �� = −3 ∙(−3) = 9

�� = �� = −3 ∙(−3)� = −27

Jadi, ketiga suku tersebut adalah −3, 9, −27.

b. �� =�

��

⇔ � ∙�1

3�

�

=1

81

⇔ � ∙1

81=

1

81

⇔ � = 1

81

�� = � = 1

�� = �� = 1 ∙1

3=

1

3

�� = �� = 1 ∙�1

3�

�

=1

9

Jadi, ketiga suku tersebut adalah 1,�

�,

�

�.

3. Antara −64 dan −4 disisipkan tiga bilangan sehingga kelima bilangan itu membentuk barisan

geometri. Tentukan barisan yang terbentuk.

Penyelesaian:

Misalkan barisannya adalah −64, ��, ��, ��, −4.

Maka � = −64 dan �� = −4

�� = −4

⇔ −64�� = −4

⇔ �� =−4

−64

⇔ � = �1

16

�

⇔ � =1

2

�� = � ∙� = −64 ∙1

2= −32

�� = � ∙�� = −64 ∙�1

2�

�

= −16

�� = � ∙�� = −64 ∙�1

2�

�

= −8

Jadi, barisan yang terbentuk adalah −64, −32, −16, −8, −4

4. Tentukan rumus suku ke−� dan jumlah deret geometri berikut:

a. �

�+

�

�+ 1 + 2 + 4 + ⋯ + 64.

b. 36 + 24 + 16 +��

�+ ⋯ +

��

��.

Penyelesaian:

a. �

�+

�

�+ 1 + 2 + 4 + ⋯ + 64 suku pertama (�) =

�

� dan rasio (�) =

�

��

�

=�

�× 4 = 2

Rumus suku ke−�:

�� = ��

�� =1

4∙2�� = 2�� ∙2�� = 2��

Suku terakhir adalah 64, maka:

�� = 64 ⇔ 2�� = 64

�� = 64 ⇔ 2�� = 2�

�� = 64 ⇔ � − 3 = 6

�� = 64 ⇔ � = 9

Diperoleh banyak suku deret tersebut adalah 9

Oleh karena � = 2 > 1, maka rumus jumlah deret geometri adalah �� =�(��)

(��)

82

�� =

�

�(2� − 1)

(2 − 1)

�� =1

4∙(512 − 1) =

511

4

Jadi, rumus suku ke−� adalah �� = 2�−3 dan jumlah deret adalah ��

�

b. 36 + 24 + 16 +��

�+ ⋯ +

��

�� suku pertama (�) = 36 dan rasio (�) =

��

��=

�

�

Rumus suku ke−�:

�� = ��

�� = 36 ∙�2

3�

��

�� = 2� ∙3� ∙2��

3��

�� =2��

3��

�� =2��

3��

Suku terakhir adalah ��

��, maka:

�� =256

81⇔ 36 ∙�

2

3�

��

=256

81

�� =256

81⇔ 36 ∙�

2

3�

��

=256

81 × 36

�� =256

81⇔ 36 ∙�

2

3�

��

=64

81 × 9

�� =256

81⇔ 36 ∙�

2

3�

��

=2�

3�

�� =256

81⇔ 36 ∙�

2

3�

��

= �2

3�

�

�� =256

81⇔ 36 ∙� − 1 = 6

�� =256

81⇔ 36 ∙� = 7

Diperoleh banyak suku deret tersebut adalah 7

Oleh karena � =�

�< 1, maka rumus jumlah deret geometri adalah �� =

�(��)

(��)

�� =36 �1 − �

�

��

�

�

�1 −�

��

�� =4 × 9 �1 −

��

��

�

�

�� = 4 × 3� × 3 �1 −128

2187�

�� = 4 × 3� ×2059

2187

83

�� = 4 × 3� ×2059

3�

�� =8236

3�

�� =8236

81

Jadi, rumus suku ke−� adalah �� =��

�� dan jumlah deret adalah ��

��.

5. Tentukan jumlah dari deret geometri tak hingga berikut:

a. 9 + 3 + 1 +�

�+ ⋯.

b. 1 +�

�+

�

�+

�

�+ ⋯.

Penyelesaian:

a. 9 + 3 + 1 +�


�

�=

�

�

�� =�

1 − �

�� =9

1 −�

�

�� =9�

�

�� = 13,5

Jadi, jumlah deret geometri tersebut adalah 13,5

b. 1 +�

�+

�

�+

�


�

�

�=

�

�

�� =�

1 − �

�� =1

1 −�

�

�� =1�

�

�� = 2

Jadi, jumlah deret geometri tersebut adalah 2

84

84

LEMBAR OBSERVASI AKTIVITAS GURU

Pertemuan/siklus ke :


Pokok Bahasan : Barisan dan deret

Sub Pokok Bahasan : Barisan dan deret aritmetika

Hari, tanggal :

Kelas/semester : X/Genap

Jumlah Siswa : 30

Guru Peneliti : Imam Budiono

Petunjuk:

Beri tanda (√) pada kolom yang sesuai dengan pengamatan Anda!

No Aspek yang diamati Penilaian

1 2 3 4 1 Pendahuluan a. Memotivasi/membangkitkan minat siswa. b. Menghubungkan dengan materi sebelumnya. c. Menyampaikan tujuan pembelajaran. 2 Kegiatan Inti a. Memberikan masalah kontekstual. b. Mengarahkan siswa untuk menemukan jawaban dan cara

menjawab soal.

c. Mengamati cara siswa menyelesaikan masalah. d. Mendorong siswa untuk mendiskusikan jawaban dengan teman

sekelompoknya.

e. Mendorong siswa untuk mengemukakan pendapatnya atau menanggapi pendapat temannya pada diskusi kelas.

f. Menghargai berbagai pendapat siswa. g. Mengarahkan siswa untuk menarik kesimpulan. h. Memberi kesempatan kepada siswa untuk bertanya mengenai

materi yang belum dipahami.

3 Penutup a. Menegaskan kembali kesimpulan materi. b. Memberi tugas pada siswa. 4 Pengelolaan waktu 5 Penampilan guru (menarik, rapi, ceria) 6 Suasana kelas a. Antusias siswa. b. Antusias guru. Saran:

Keterangan: 1. Tidak ada/kurang baik 2. Cukup 3. Baik 4. Baik sekali

Madiun, Pengamat KHOLAELA, S.Pd NIP. 19690414 200801 2 024

Lampiran 2c

85

85

Lampiran 3. Instrumen Penelitian

a. Kisi-kisi Kisi-kisi soal tes pemahaman konsep matematika siklus 1 dan 2

b. Soal tes pemahaman konsep matematika siklus 1

c. Soal tes pemahaman konsep matematika siklus 2

d. Penyelesaian tes pemahaman konsep matematika siklus 1

e. Penyelesaian tes pemahaman konsep matematika siklus 2

f. Pedoman penskoran tes pemahaman konsep matematika

86

86

KISI-KISI SOAL TES PEMAHAMAN KONSEP MATEMATIKA SIKLUS 1

MATERI BARISAN DAN DERET ARITMETIKA

Indikator Nomor soal Menyatakan ulang sebuah konsep 1 Mengklasifikasi objek menurut sifat-sifat tertentu sesuai dengan konsepnya 7 Memberi contoh dan bukan contoh dari suatu konsep 7 Menyajikan konsep dalam berbagai bentuk representasi matematika 2 Mengembangkan syarat perlu dan syarat cukup dari suatu konsep 4 Menggunakan dan memanfaatkan serta memilih prosedur atau operasi tertentu 3, 6 Mengaplikasikan konsep atau algoritma pemecahan masalah 5

KISI-KISI SOAL TES PEMAHAMAN KONSEP MATEMATIKA SIKLUS 2

MATERI BARISAN DAN DERET GEOMETRI

Indikator Nomor soal Menyatakan ulang sebuah konsep 1 Mengklasifikasi objek menurut sifat-sifat tertentu sesuai dengan konsepnya 7 Memberi contoh dan bukan contoh dari suatu konsep 7 Menyajikan konsep dalam berbagai bentuk representasi matematika 2 Mengembangkan syarat perlu dan syarat cukup dari suatu konsep 4 Menggunakan dan memanfaatkan serta memilih prosedur atau operasi tertentu 3, 6 Mengaplikasikan konsep atau algoritma pemecahan masalah 5

Lampiran 3a

87

87

SOAL TES PEMAHAMAN KONSEP MATEMATIKA

SIKLUS 1

Materi : Barisan dan Deret Aritmetika

Kelas : X

Alokasi waktu : 60 menit


8. Jelaskan pengertian barisan aritmetika dan deret aritmetika?

9. Tentukan rumus suku ke-n dari setiap barisan aritmetika berikut:

c. 2, 9, 16, 23, 30, … .

d. 6, 2, −2, −6, −10, … .

10. Carilah suku yang diminta pada setiap barisan aritmetika berikut:

c. Suku ke-27 pada barisan 8, 11, 14, 17, ….

d. Suku ke-19 pada barisan 49, 42, 35, 28, ….

11. Di antara bilangan 4 dan 28 disisipkan lima bilangan sehingga bilangan-bilangan semula dengan

bilangan-bilangan yang disisipkan membentuk barisan aritmetika. Tentukan barisan yang

terbentuk!

12. Pada suatu barisan aritmetika diketahui suku ketiganya adalah 11 dan suku kesepuluhnya adalah

39. Tentukan suku pertama, beda, dan rumus suku ke-�!

13. Hitunglah jumlah 20 suku pertama pada setiap deret aritmetika berikut:

c. 2 + 7 + 12 + 17 + …

d. 3 + 6 + 9 + 12 + …

14. Dari barisan bilangan berikut manakah yang merupakan barisan aritmetika? Berikan alasannya,

jika merupakan barisan aritmetika maka tentukan suku ke-10 dari setiap barisan bilangan

tersebut:

e. 2, 4, 8, 16, … .

f. 4, 11, 18, 25, … .

g. 42, 34, 26, 18, … .

h. 3, 6, 10, 15, … .

Lampiran 3b

88

88

SOAL TES PEMAHAMAN KONSEP MATEMATIKA

SIKLUS 2

Materi : Barisan dan Deret Geometri

Kelas : X



8. Jelaskan pengertian barisan geometri dan deret geometri?

9. Tentukan rumus suku ke-n dari setiap barisan geometri berikut:

c. �

�,

�

�, 1, 2, 4, …

d. 64, 32, 16, 8, …


c. Suku ke-10 dari 3, 6, 12, 24, …

d. Suku ke-6 dari 6, 3,�

�,

�

�, …

11. Di antara bilangan 4 dan 64 disisipkan tiga bilangan sehingga kelima bilangan itu membentuk

barisan geometri. Tentukan barisan yang terbentuk!

12. Barisan geometri suku ke-3 dan suku ke-5 berturut-turut adalah 18 dan 162. Tentukan rasio dan

suku ke-6 dari barisan geometri tersebut!

13. Hitunglah jumlah 8 suku pertama pada setiap deret geometri berikut:

c. 3 + 6 + 12 + 24 + ⋯.

d. 64 + 32 + 16 + 8 + ⋯.

14. Dari barisan bilangan berikut manakah yang merupakan barisan geometri? Berikan alasannya,

jika merupakan barisan geometri maka tentukan suku ke-10 dari setiap barisan bilangan tersebut:

e. 2, 4, 8, 16, ⋯ .

f. 4, 8, 24, 96, ⋯ .

g. 36, 24, 16,��

�, ⋯ .

h. 2, 6, 10, 14 , ⋯ .

Lampiran 3c

89

89

PENYELESAIAN TES PEMAHAMAN KONSEP MATEMATIKA

SIKLUS 1

Materi : Barisan dan Deret Aritmetika

Kelas : X


1. Barisan aritmetika adalah barisan bilangan yang beda setiap dua suku yang berurutan adalah

sama. Deret aritmetika adalah penjumlahan berurut pada suku-suku barisan aritmetika.

2. Rumus suku ke-� barisan aritmetika

a. 2, 9, 16, 23, 30, … .

� = 2 dan � = 9 − 2 = 7, maka rumus suku ke-� adalah

�� = � + (� − 1)�

�� = 2 + (� − 1)7

�� = 2 + 7� − 7

�� = 7� − 5

Jadi, rumus suku ke-� adalah �� = 7� − 5

b. 6, 2, −2, −6, −10, … .

� = 6 dan � = 2 − 6 = −4, maka rumus suku ke-� adalah

�� = � + (� − 1)�

�� = 6 + (� − 1)(−4)

�� = 6 − 4� + 4

�� = 10 − 4�

Jadi, rumus suku ke-� adalah �� = 10 − 4�

3. Menentukan nilai suku ke-� barisan aritmetika

a. 8, 11, 14, 17, ⋯

� = 8 dan � = 11 − 8 = 3, maka suku ke-27 adalah

�� = � + (� − 1)�

�� = 8 + (27 − 1)3

�� = 8 + 26 ∙3

�� = 8 + 78

�� = 86


b. 49, 42, 35, 28, ⋯

� = 49 dan � = 42 − 49 = −7, maka suku ke-19 adalah

�� = � + (� − 1)�

�� = 49 + (19 − 1)(−7)

�� = 49 + 18 ∙(−7)

�� = 49 + (−126)

�� = −77

Jadi, suku ke-19 adalah −77

4. Di antara bilangan-bilangan 4 dan 28 disisipkan lima bilangan sehingga membentuk barisan

aritmetika, yaitu 4, ��, ��, ��, ��, ��, 28 dengan � = 4 dan �� = 28.

�� = 4 + (7 − 1)�

28 = 4 + 6�

6� = 28 − 4

6� = 24

�� = � = 4

�� = � + � = 4 + 4 = 8

�� = � + 2� = 4 + 2 ∙4 = 12

�� = � + 3� = 4 + 3 ∙4 = 16

Lampiran 3d

90

� =24

6

� = 4

�� = � + 4� = 4 + 4 ∙4 = 20

�� = � + 5� = 4 + 5 ∙4 = 24

�� = 28

Jadi, barisan yang terbentuk adalah 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28

5. Barisan aritmetika dengan �� = 11 dan �� = 39

�� = 11 ⟹ � + 2� = 11

�� = 39 ⟹ � + 9� = 39

−7� = −28

� =−28

−7

� = 4

� = 4 substitusikan ke persamaan � + 2� = 11

� + 2 ∙4 = 11

� + 8 = 11

� = 11 − 8

� = 3

Rumus suku ke-� adalah:

�� = � + (� − 1)�

�� = 3 + (� − 1)4

�� = 3 + 4� − 4

�� = 4� − 1

Jadi, suku pertama = 3, beda = 4, dan rumus suku ke-� adalah �� = 4� − 1

6. Jumlah 20 suku pertama deret aritmetika

a. 2 + 7 + 12 + 17 + ⋯, � = 2 dan � = 7 − 2 = 5

�� =�

2∙(2� + (� − 1)�)

�� =20

2∙(2 ∙2 + (20 − 1)5)

�� = 10 ∙(4 + 19 ∙5)

�� = 10 ∙(4 + 95)

�� = 10 ∙(99)

�� = 990


b. 3 + 6 + 9 + 12 + ⋯, � = 3 dan � = 6 − 3 = 3

�� =�

2∙(2� + (� − 1)�)

�� =20

2∙(2 ∙3 + (20 − 1)3)

�� = 10 ∙(6 + 19 ∙3)

�� = 10 ∙(6 + 57)

�� = 10 ∙(63)

�� = 630

Jadi, jumlah 20 suku pertama adalah 630 7. Menentukan barisan aritmetika atau bukan barisan aritmetika

a. 2, 4, 8, 16, ⋯ .

�� = �� − �� = 4 − 2 = 2

�� = �� − �� = 8 − 4 = 4

91

�� = �� − �� = 16 − 8 = 8

Karena �� ≠ �� ≠ �� maka bukan merupakan barisan aritmetika

b. 4, 11, 18, 25, ⋯ .

�� = �� − �� = 11 − 4 = 7

�� = �� − �� = 18 − 11 = 7

�� = �� − �� = 25 − 18 = 7

Karena �� = �� = �� = 7 maka merupakan barisan aritmetika

�� = 4 + (10 − 1) ∙7

�� = 4 + 9 ∙7

�� = 4 + 63

�� = 67

c. 42, 34, 26, 18, ⋯ .

�� = �� − �� = 34 − 42 = −8

�� = �� − �� = 26 − 34 = −8

�� = �� − �� = 18 − 26 = −8

Karena �� = �� = �� = −8 maka merupakan barisan aritmetika

�� = 42 + (10 − 1) ∙(−8)

�� = 42 + 9 ∙(−8)

�� = 42 + (−72)

�� = −30

d. 3, 6, 10, 15, ⋯ .

�� = �� − �� = 6 − 3 = 3

�� = �� − �� = 10 − 6 = 4

�� = �� − �� = 15 − 10 = 5

Karena �� ≠ �� ≠ �� maka bukan merupakan barisan aritmetika

92

92

PENYELESAIAN TES PEMAHAMAN KONSEP MATEMATIKA

SIKLUS 2

Materi : Barisan dan Deret Geometri

Kelas : X


1. Barisan geometri adalah barisan bilangan yang nilai pembanding (rasio) antara dua suku yang

berurutan adalah sama. Deret geometri adalah penjumlahan berurut pada suku-suku barisan

geometri.

2. Menentukan rumus suku ke-� barisan geometri

a. �

�,

�

�, 1, 2, 4, ⋯

� =�

� dan � =

�

��

�

= 2, maka rumus suku ke-� adalah

�� = ��

�� =1

4∙2��

�� = 2�� ∙2��

�� = 2��

Jadi, rumus suku ke-� adalah �� = 2��

b. 64, 32, 16, 8, ⋯

� = 64 dan � =��

��=

�

�, maka rumus suku ke-� adalah

�� = ��

�� = 64 ∙�1

2�

��

�� = 2� ∙2��

�� = 2��

Jadi, rumus suku ke-� adalah �� = 2��

3. Menentukan nilai suku ke-� barisan geometri

a. 3, 6, 12, 24, ⋯

� = 3 dan � =�

�= 2, maka suku ke-10 adalah

�� = ��

�� = 3 ∙2��

�� = 3 ∙2�

�� = 3 ∙512

�� = 1536


b. 6, 3,�

�,

�

�, ⋯

� = 6 dan � =�

�=

�

�, maka suku ke-6 adalah

�� = ��

�� = 6 ∙�1

2�

��

�� = 6 ∙�1

2�

�

Lampiran 3e

93

�� = 6 ∙1

32

�� =3

16

Jadi, suku ke-6 adalah �

��

4. Di antara bilangan 4 dan 64 disisipkan tiga bilangan sehingga membentuk barisan geometri, yaitu

4, ��, ��, ��, 64 dengan � = 4 dan �� = 64.

�� = � ∙��

64 = 4 ∙��

�� =64

4

�� = 16

� = √16�

� = 2

�� = � = 4

�� = � ∙� = 4 ∙2 = 8

�� = � ∙�� = 4 ∙2� = 16

�� = � ∙�� = 4 ∙2� = 32

�� = 64

Jadi, barisan yang terbentuk adalah 4, 8, 16, 32, 64

5. Barisan geometri dengan �� = 18 dan �� = 162

� ⟹��

��=

162

18

��

��= 9

�� = 9

�� = 9

� = √9

� = 3

�� = ��

18 = � ∙3�

18 = � ∙9

� =18

9

� = 2

�� = 2 ∙3�

�� = 2 ∙243

�� = 486

Jadi, rasionya adalah 3 dan suku ke-6 adalah 486

6. Jumlah 8 suku pertama deret geometri

a. 3 + 6 + 12 + 24 + ⋯

� = 3 dan � =�

�= 2, maka jumlah 8 suku pertama adalah

�� =�(�� − 1)

� − 1

�� =3(2� − 1)

2 − 1

�� = 3(256 − 1)

�� = 3(255)

�� = 765


b. 64 + 32 + 16 + 8 + ⋯

� = 64 dan � =��

��=

�

�, maka jumlah 8 suku pertama adalah

�� =�(1 − ��)

1 − �

�� =64(1 −

�

�

�)

1 −�

�

�� =64(1 −

�

��)

�

�

94

�� = 64 �255

256� ∙2

�� = 127,5

Jadi, jumlah 8 suku pertama adalah 127,5

7. Menentukan barisan geometri atau bukan barisan geometri

a. 2, 4, 8, 16, ⋯

�� =��

��=

4

2= 2

�� =��

��=

8

4= 2

�� =��

��=

16

8= 2

Karena �� = �� = �� = 2, maka merupakan barisan geometri.

�� = 2 ∙2��

�� = 2 ∙2�

�� = 2 ∙512

�� = 1024

b. 4, 8, 24, 96, ⋯

�� =��

��=

8

4= 2

�� =��

��=

24

8= 3

�� =��

��=

96

24= 4

Karena �� ≠ �� ≠ ��, maka bukan merupakan barisan geometri

c. 36, 24, 16,��

�, ⋯

�� =��

��=

24

36=

2

3

�� =��

��=

16

24=

2

3

�� =��

��=

��

�

16=

2

3

Karena �� = �� = �� =�

�, maka merupakan barisan geometri.

�� = 36 ∙�2

3�

��

�� = 2� ∙3� ∙�2

3�

�

�� = 2� ∙3� ∙2�

3�

�� =2��

3�

�� =2048

2187

d. 2, 6, 10, 14, ⋯

�� =��

��=

6

2= 3

95

�� =��

��=

10

6=

5

3

�� =��

��=

14

10=

7

5

Karena �� ≠ �� ≠ ��, maka bukan merupakan barisan geometri

96

Pedoman Penskoran Tes Pemahaman Konsep Matematika

No Indikator Keterangan Skor 1 Menyatakan ulang

sebuah konsep Tidak ada jawaban atau tidak ada ide matematika yang muncul sesuai dengan soal

0

Dapat menyatakan ulang sebuah konsep sesuai dengan definisi yang dimiliki oleh sebuah objek namun masih terdapat kesalahan

1

Dapat menyatakan ulang sebuah konsep sesuai dengan definisi yang dimiliki oleh sebuah objek dengan tepat

2

2 Mengklasifikasi objek menurut sifat-sifat tertentu sesuai dengan konsepnya

Tidak ada jawaban atau tidak ada ide matematika yang muncul sesuai dengan soal

0

Dapat menganalisis suatu objek dan mengklasifikasikannya menurut sifat-sifat/ciri-ciri dan konsepnya tertentu yang dimiliki namun masih terdapat kesalahan

1

Dapat menganalisis suatu objek dan mengklasifikasikannya menurut sifat-sifat/ciri-ciri

2

3 Memberi contoh dan bukan contoh dari suatu konsep


0

Dapat memberikan contoh dan bukan contoh sesuai dengan konsep yang dimiliki objek namun pengembangannya belum tepat

1

Dapat memberikan contoh dan bukan contoh sesuai dengan konsep yang dimiliki objek dan telah dapat dikembangkan

2

4 Menyajikan konsep dalam berbagai bentuk representasi matematika


0

Dapat menyajikan konsep dalam berbagai bentuk representasi matematika sebagai suatu algoritma pemahaman konsep namun masih terdapat kesalahan

1

Dapat menyajikan konsep dalam bentuk representasi matematika dengan benar

2

5 Mengembangkan syarat perlu dan syarat cukup dari suatu konsep


0

Dapat mengembangkan syarat perlu dan syarat cukup dari suatu konsep dengan benar namun masih terdapat kesalahan

1

Dapat mengembangkan syarat perlu dan syarat cukup dari suatu konsep dengan benar

2

6 Menggunakan dan

memanfaatkan serta

memilih prosedur atau

operasi tertentu

Tidak ada jawaban atau tidak ada ide matematika yang

muncul sesuai dengan soal 0

Dapat menggunakan dan memanfaatkan serta memilih

prosedur atau operasi tertentunamun masih terdapat

kesalahan 1

Dapat menggunakan, memanfaatkan, dan memilih prosedur

dengan benar 2

7 Mengaplikasikan

konsep atau algoritma

pemecahan masalah

Tidak ada jawaban atau tidak ada ide matematika yang

muncul sesuai dengan soal. 0

Dapat mengaplikasikan konsep atau algoritma pemecahan

masalah namun masih terdapat kesalahan. 1

Dapat mengaplikasikan konsep atau algoritma pemecahan

masalahdengan tepat. 2

Lampiran 3f

97

Lampiran 4. Validasi Instrumen

a. Validasi RPP siklus 1

b. Analisis validasi RPP siklus 1

c. Validasi RPP siklus 2

d. Analisis validasi RPP siklus 2

e. Validasi lembar observasi aktivitas guru

f. Analisis validasi lembar observasi aktivitas guru

g. Validasi soal tes pemahaman konsep matematika siklus 1

h. Analisis validasi soal tes pemahaman konsep matematika siklus 1

i. Validasi soal tes pemahaman konsep matematika siklus 2

j. Analisis validasi soal tes pemahaman konsep matematika siklus 2

98

Lampiran 4a

99

Analisis Validasi RPP Siklus 1

No Aspek yang dinilai Nilai

I Format RPP

1. Format jelas sehingga memudahkan melakukan penilaian. 3

II Isi RPP

1. Kompetensi inti dan kompetensi dasar pembelajaran dirumuskan dengan jelas.

4

2. Indikator dan tujuan pembelajaran dirumuskan dengan jelas. 3

3. Menggambarkan kesesuaian pendekatan pembelajaran dengan langkah-langkah pembelajaran yang dilakukan. 3

4. Langkah-langkah pembelajaran dirumuskan dengan jelas dan mudah dipahami. 4

III Bahasa dan tulisan

1. Menggunakan bahasa sesuai dengan kaidah Bahasa Indonesia yang baku.

4

2. Bahasa yang digunakan bersifat komunikatif dan mudah dipahami.

3

3. Tulisan mengikuti aturan EYD. 4

IV Manfaat Lembar RPP

1. Dapat digunakan sebagai pedoman untuk pelaksanaan pembelajaran.

3

2. Dapat digunakan untuk menilai keberhasilan proses pembelajaran.

3

Jumlah 34

Skor 85%

Kategori Valid

Lampiran 4b

100

Lampiran 4c

101

Analisis Validasi RPP Siklus 2


I Format RPP


II Isi RPP

1. Kompetensi inti dan kompetensi dasar pembelajaran dirumuskan dengan jelas.

4

2. Indikator dan tujuan pembelajaran dirumuskan dengan jelas. 3

3. Menggambarkan kesesuaian pendekatan pembelajaran dengan langkah-langkah pembelajaran yang dilakukan. 3

4. Langkah-langkah pembelajaran dirumuskan dengan jelas dan mudah dipahami. 4


1. Menggunakan bahasa sesuai dengan kaidah Bahasa Indonesia yang baku.

4

2. Bahasa yang digunakan bersifat komunikatif dan mudah dipahami.

3

3. Tulisan mengikuti aturan EYD. 4

IV Manfaat Lembar RPP

1. Dapat digunakan sebagai pedoman untuk pelaksanaan pembelajaran.

3

2. Dapat digunakan untuk menilai keberhasilan proses pembelajaran.

3

Jumlah 34

Skor 85%

Kategori Valid

Lampiran 4d

102

Lampiran 4e

103

Analisis Validasi Lembar Observasi Aktivitas Guru (OAG)


I Format penulisan


II Isi

1. Kesesuaian dengan aktivitas guru dalam RPP. 3

2. Urutan observasi sesuai dengan urutan aktivitas dalam RPP. 3

3. Dirumuskan secara jelas, spesifik dan operasional sehingga mudah diukur. 3

4. Setiap aktivitas guru dapat teramati. 3

5. Setiap aktivitas guru sesuai tujuan pembelajaran. 3


1. Menggunakan bahasa sesuai dengan kaidah Bahasa Indonesia yang baku. 4

2. Bahasa yang digunakan bersifat komunikatif dan mudah dipahami. 3

IV Manfaat lembar observasi guru

1. Dapat digunakan sebagai pedoman bagi observasi guru. 3

2. Dapat digunakan untuk menilai keberhasilan proses pembelajaran. 3

Jumlah 31

Skor 78%

Kategori Valid

Lampiran 4f

104

Lampiran 4g

106

Analisis Validasi Tes Pemahaman Konsep Siklus 1

No Indikator Validasi Nilai Setiap Butir Soal

1 2a 2b 3a 3b 4 5 6a 6b 7a 7b 7c 7d

I Materi

1. Masalah pada tes yang dibuat sudah mewakili indikator pemahaman konsep yang digunakan. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

2. Masalah yang dibuat dapat membantu mengidentifikasi proses pemahaman konsep siswa. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

3. Masalah mengukur kemampuan pemahaman konsep siswa.

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

4. Masalah mendorong peserta didik mencari ide-ide matematis yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah.

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

II Konstruksi

1. Rumusan butir pertanyaan menuntut jawaban uraian. 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2. Rumusan butir pertanyaan tidak memberikan makna

ganda. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

3. Informasi yang ada pada masalah mudah dipahami. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

III Bahasa

1. Bahasa yang digunakan dalam masalah sederhana. 4 3 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3

2. Bahasa yang digunakan mudah dipahami. 4 3 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3

3. Kata/kalimat yang digunakan tidak menimbulkan makna ganda. 4 3 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3

4. Kata/kalimat yang digunakan dalam masalah komunikatif.

4 3 3 3 3 3 2 4 3 3 3 3 3

5. Masalah menggunakan kaidah bahasa Indonesia yang baik.

4 3 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3

Total 42 36 36 36 36 36 35 41 36 36 36 36 36

Skor 88% 75% 75% 75% 75% 75% 73% 85% 75% 75% 75% 75% 75%

Kategori

Sangat valid

Valid Valid Valid Valid Valid Valid Sangat valid

Valid Valid Valid Valid Valid

Lampiran 4h

107

Lampiran 4i

109

Analisis Validasi Tes Pemahaman Konsep Siklus 2

No Indikator Validasi Nilai Setiap Butir Soal

1 2a 2b 3a 3b 4 5 6a 6b 7a 7b 7c 7d

I Materi

1. Masalah pada tes yang dibuat sudah mewakili indikator pemahaman konsep yang digunakan.

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

2. Masalah yang dibuat dapat membantu mengidentifikasi proses pemahaman konsep siswa. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

3. Masalah mengukur kemampuan pemahaman konsep siswa.

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

4. Masalah mendorong peserta didik mencari ide-ide matematis yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah.

3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

II Konstruksi

1. Rumusan butir pertanyaan menuntut jawaban uraian. 4 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

2. Rumusan butir pertanyaan tidak memberikan makna ganda. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

3. Informasi yang ada pada masalah mudah dipahami. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3

III Bahasa

1. Bahasa yang digunakan dalam masalah sederhana. 4 3 3 3 3 3 3 4 4 3 3 3 3 2. Bahasa yang digunakan mudah dipahami. 4 3 3 3 3 3 3 4 4 3 3 3 3

3. Kata/kalimat yang digunakan tidak menimbulkan makna ganda. 4 3 3 3 3 3 3 4 4 3 3 3 3

4. Kata/kalimat yang digunakan dalam masalah komunikatif. 4 3 3 3 3 3 2 4 4 3 3 3 3

5. Masalah menggunakan kaidah bahasa Indonesia yang baik. 4 3 3 3 3 3 3 4 4 3 3 3 3

Total 42 36 36 36 36 36 35 41 41 36 36 36 36

Validitas 88% 75% 75% 75% 75% 75% 73% 85% 85% 75% 75% 75% 75%

Kategori

Sangat valid

Valid Valid Valid Valid Valid Valid Sangat valid

Sangat valid

Valid Valid Valid Valid

Lampiran 4j

110

Lampiran 5. Data Hasil Penelitian

a. Analisis pemahaman konsep matematika siklus 1

b. Analisis pemahaman konsep matematika siklus 2

c. Analisis observasi aktivitas guru siklus 1 dan siklus 2

111

ANALISIS TES PEMAHAMAN KONSEP SIKLUS 1

No Nama

Indikator 1

Indikator 2

Indikator 3

Indikator 4

Indikator 5

Indikator 6 Indikator

7

No 1 No 7 No 7 No 2 No 4 No 3 No 6 No 5 1 Achmad Khoirul Mahmudin 1 2 2 1 2 2 2 2

2 Aditya Hardiyanto 2 2 2 1 2 2 2 2 3 Ageng Wiratmoyo 1 2 2 1 2 2 2 2 4 Alfiyan Satriya 1 2 2 1 2 2 2 2 5 Alip Frendi Saputro 1 1 1 1 2 2 1 2 6 Amylia Vernanda 2 2 2 1 2 2 2 2 7 Andik Nurrohman 2 1 1 1 2 1 2 2 8 Anita Safitri 2 2 2 1 1 2 1 2 9 Bagus Aji Pangestu 2 2 2 2 2 2 2 2

10 Bintang Zakarya Yahya 2 2 2 1 2 2 2 2 11 Choirotul Umah 1 2 2 1 1 2 1 2 12 Dafid Ilyas Khamdani 2 2 2 1 2 2 2 2 13 Dedy Karisma Nugroho 2 2 2 1 2 2 2 2 14 Dedy Khustani Arivai Keluar 15 Dimas Yusul Prijanargo 2 2 2 1 1 2 2 1 16 Edi Setyawan 2 2 2 2 2 2 2 2 17 Ellisa Mudzakiroh 1 2 2 1 2 2 2 2 18 Fajar Megantoro Wahyu N 1 1 1 2 2 2 1 1

19 Fitri Diah Palupi 2 2 2 2 2 2 1 1 20 Gigih Aji Laksono 2 2 2 1 2 2 1 1

Lampiran 5a

112

No Nama

Indikator 1

Indikator 2

Indikator 3

Indikator 4

Indikator 5


7

No 1 No 7 No 7 No 2 No 4 No 3 No 6 No 5 21 Gita Rosita 2 2 2 1 2 2 2 2 22 Harnum Anggraeni 2 1 1 1 1 2 2 2 23 Hendri Kurniawan 1 1 1 1 2 1 2 2 24 Ilham Kuncoro Jati 2 1 1 1 1 2 1 2 25 Intan Permatasari 2 1 1 2 1 2 1 2 26 Irene Selly Puspitasari 1 2 2 2 2 2 2 2 27 Irfan Budi Prasetyo 2 1 1 1 2 2 1 2 28 Irfan Dwi Kuncoro 1 2 2 1 1 2 2 2 29 Jeky Aditya Werdana 2 1 1 1 1 2 1 1 30 Jovanka Adi Prayoga 2 2 2 1 1 2 2 2 31 Komang Agung Setiawan 1 1 1 1 1 2 2 1

Jumlah 49 50 50 36 50 58 50 54

Kategori Baik Baik Baik Cukup Baik Baik Baik Baik

113

ANALISIS TES PEMAHAMAN KONSEP SIKLUS 2

No Nama

Indikator 1

Indikator 2

Indikator 3

Indikator 4

Indikator 5


7

No 1 No 7 No 7 No 2 No 4 No 3 No 6 No 5 1 Achmad Khoirul Mahmudin 1 2 2 1 2 2 2 2

2 Aditya Hardiyanto 1 2 2 2 1 2 2 1 3 Ageng Wiratmoyo 1 2 2 2 2 2 1 2 4 Alfiyan Satriya 1 1 1 2 2 2 2 2 5 Alip Frendi Saputro 1 1 1 2 2 2 2 1 6 Amylia Vernanda 2 2 2 2 2 2 2 1 7 Andik Nurrohman 1 1 1 2 2 1 2 2 8 Anita Safitri 2 2 2 2 2 1 2 2 9 Bagus Aji Pangestu 1 2 2 1 2 2 2 2

10 Bintang Zakarya Yahya 2 2 2 1 2 2 2 2 11 Choirotul Umah 2 1 1 1 2 2 2 2 12 Dafid Ilyas Khamdani 2 2 2 2 2 2 2 2 13 Dedy Karisma Nugroho 2 2 2 2 2 2 2 2 14 Dedy Khustani Arivai Keluar 15 Dimas Yusul Prijanargo 1 2 2 2 2 2 2 2 16 Edi Setyawan 2 2 2 2 2 2 2 2 17 Ellisa Mudzakiroh 2 2 2 1 2 2 2 2 18 Fajar Megantoro Wahyu N 1 1 1 1 2 1 2 2

19 Fitri Diah Palupi 2 2 2 1 2 1 1 2 20 Gigih Aji Laksono 1 2 2 2 2 2 1 2 21 Gita Rosita 2 2 2 2 2 2 2 2

Lampiran 5b

114

No Nama

Indikator 1

Indikator 2

Indikator 3

Indikator 4

Indikator 5


7

No 1 No 7 No 7 No 2 No 4 No 3 No 6 No 5 22 Harnum Anggraeni 2 1 1 1 2 2 2 1 23 Hendri Kurniawan 2 2 2 2 2 2 1 1 24 Ilham Kuncoro Jati 2 1 1 2 2 2 2 2 25 Intan Permatasari 2 1 1 1 2 2 2 2 26 Irene Selly Puspitasari 2 2 2 1 2 2 2 2 27 Irfan Budi Prasetyo 1 1 1 1 2 2 1 1 28 Irfan Dwi Kuncoro 1 2 2 1 2 2 1 2 29 Jeky Aditya Werdana 1 1 1 1 1 2 2 2 30 Jovanka Adi Prayoga 1 1 1 2 2 2 2 1 31 Komang Agung Setiawan 2 1 1 2 2 1 2 2

Jumlah 46 48 48 47 58 55 54 53

Kategori Baik Baik Baik Baik Baik Baik Baik Baik

115

ANALISIS LEMBAR OBSERVASI AKTIVITAS GURU

No Aspek yang Diamati Siklus 1 Siklus 2

1 2 3 1 2 3

1 Pendahuluan

a. Memotivasi/membangkitkan minat siswa. 2 2 3 3 3 3

b. Menghubungkan dengan materi sebelumnya. 3 3 3 4 3 4

c. Menyampaikan tujuan pembelajaran. 3 3 3 3 3 3

2 Kegiatan Inti

a. Memberikan masalah kontekstual. 2 3 4 3 4 4

b. Mengarahkan siswa untuk menemukan jawaban dan cara menjawab soal. 3 3 3 4 3 4

c. Mengamati cara siswa menyelesaikan masalah. 3 3 4 3 4 4

d. Mendorong siswa untuk mendiskusikan jawaban dengan teman sekelompoknya. 3 4 3 4 3 3

e. Mendorong siswa untuk mengemukakan pendapatnya atau menanggapi pendapat temannya pada diskusi kelas. 3 3 3 3 3 3

f. Menghargai berbagai pendapat siswa. 3 3 3 3 3 3

g. Mengarahkan siswa untuk menarik kesimpulan. 3 3 3 3 3 3

h. Memberi kesempatan kepada siswa untuk bertanya mengenai materi yang belum

dipahami. 3 3 3 3 4 4

3 Penutup

a. Menegaskan kembali kesimpulan materi. 2 3 3 3 4 4

b. Memberi tugas pada siswa. 3 3 3 3 4 4

4 Pengelolaan waktu 3 3 3 3 3 3

5 Penampilan guru (menarik, rapi, ceria) 3 3 4 4 4 4

6 Suasana kelas

a. Antusias siswa. 3 4 3 4 4 3

b. Antusias guru. 3 3 4 4 4 4

Jumlah 48 52 55 57 59 60

Nilai Tiap Pertemuan 70,5882 76,4706 80,8824 83,8235 86,7647 88,2353

Nilai Tiap Siklus 75,98039216 86,2745098

Lampiran 5c

lampiran - eprints.umpo.ac.ideprints.umpo.ac.id/4289/8/lampiran.pdfrpp siklus 1 b. rpp siklus 2 c....

Documents