kumpulan soal dan jawaban matematika

Upload: farhah-el-farhah

Post on 04-Apr-2018

543 views

Category:

Documents


10 download

TRANSCRIPT

  • 7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

    1/34

    KUMPULAN SOAL dan JAWABAN MATEMATIKA

    1. Tuliskan persamaan garis yang melalui titik (1,0)

    Jawab :

    y = mx + c 0 = m + c m = -c y = mx m y = m(x-1)

    2. Tuliskan persamaan garis yang melalui titik (2,-1)

    Jawab :

    y = m(x-2) 1

    3. Tuliskan persamaan garis yang melalui titik (x1,y1)

    Jawab :

    y = m(x-x1) + y1 y y1 = m(x-x1)

    4. Tuliskan pers. Garis yang melalui titik (2,7) dan (3,10)

    Jawab :

    F(x) = m(x-2) + 7 F(3) = m(3-2) + 7 10 = m + 7 m = 3

    F(x) = 3(x-2) + 7

    5. Jika F(x) = 21x + 30a 1, F(17) = 23, maka nilai F(18) = .

    Jawab :

    F(x) = m(x-17) + 23 F(x) = 21(x-17) + 23 F(18) = 21(18-17) + 23 = 44

    6. Jika F(x) = 2007x + 2008 2009, F(2001) = 2000, maka F(2002) = .

    7. Tentukan pers parabola yang melalui titik (1,0)

    Jawab :

    F(x) = ax2 + bx + c F(x) = a(x-1)2 + b(x-1)

    8. Tentukan pers parabola yang melalui titik (2,3)

    Jawab :

    F(x) = a(x-2)2 + b(x-2) + 3

    9. Tentukan pers parabola yang melalui titik (1,0) dan (2,0)

    Jawab :

    F(x) = a(x-1)2 + b(x-1) atau F(x) = a(x-2)2 + b(x-2), maka

    F(2) = a(2-1)2 + b(2-1) 0 = a + b b = -a

    F(x) = a(x-1)2 + -a(x-1) F(x) = a(x-1)[(x-1) - 1] F(x) = a(x-1)(x-2)

    Dengan cara yang sama melalui titik (x1, 0) dan (x2,0), maka F(x) = a(x-x1)(x-x2)

  • 7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

    2/34

    10. Diketahui F(x) = 3x2 + ax + b, jika F(1) = 0, F(2) = 0, maka F(3) = ....

    Jawab :

    F(x) = 3(x-1)(x-2), maka F(3) = 3(3-1)(3-2) = 6

    11. Diketahui F(x) = ax

    2

    12x + b 3, jika F(1) = 0 dan F(3) = 0, maka F(5) = ....Jawab :

    F(x) = [](x-1)(x-3) F(x) = [](x2 4x + 3) F(x) =4

    12

    (x2 4x + 3)

    F(x) = 3(x-1)(x-3) dan F(5) = 3(5-1)(5-3) = 24

    12. Jika F(x) = ax2 + bx + 15, F(-1) = 0 dan F(3) = 0, maka F(4) = ....

    Jawab :

    F(x) = [](x+1)(x-3) F(x) = [](x2 2x 3) F(x) =3

    15

    (x2 2x 3)

    F(x) = -5(x+1)(x-3), maka F(4) = -5(4+1)(4-3) = -25

    13. Jika F(x) = 3x2 + ax + b, F(1) = 4, dan F(2) = 4, maka F(3) = .

    Jawab :

    F(x) = 3(x-1)(x-2) + 4 F(3) = 3(3-1)(3-2) + 4 = 10

    14. Diketahui F(x) = x2 + ax + b, jika F(1) = 1 dan F(2) = 2, maka F(3) = .

    Jawab :

    F(x) = (x-1)(x-2) + a(x-1) + 1 F(2) = (2-1)(2-2) + a(2-1) + 1 F(2) = a + 1

    F(2) = a + 1 2 = a + 1 a = 1 F(x) = (x-1)(x-2) + x

    F(3) = (3-1)(3-2) + 3 = 5

    15. Diketahui F(x) = 2x2 + ax + b, jika F(1) = 5 dan F(2) = 9, maka F(3) = .

    Jawab :

    F(x) = 2(x-1)(x-2) + a(x-1) + 5 F(2) = 2(2-1)(2-2) + a(2-1) + 5

    9 = a + 5 a = 4 sehingga F(x) = 2(x-1)(x-2) + 4x + 1, maka F(3) = 2.2.1 + 12 + 1 = 17

    16. F(x) = ax2 + bx + c, F(1) = 3, F(2) = 7, dan F(3) = 13. Tentukan F(4) ?

    jawab :

    F(x) = a(x-1)(x-2) + b(x-1) + 3 F(2) = b + 3 b = 4F(3) = 2a + 7 a = 3 F(x) = 3(x-1)(x-2) + 4(x-1) + 3, maka F(4) = 24

    17. Diketahui F(x) = ax2 + bx + c, jika F(1) = 1, F(2) = 3, dan F(3) = 7, maka F(4) = .

    18. Jika F(x) = ax2 + bx + c, F(1) = , F(2) = 2/3, F(3) = , maka F(4) = ....

  • 7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

    3/34

    Jawab :

    F(1) = F(n) =1+n

    n F(n).(n+1) = n F(n).(n+1) n = 0, sehingga

    a(x-1)(x-2)(x-3) = F(x).(x+1) x a.-2.-3.-4 = 1 a= -24

    1

    -24

    1(x-1)(x-2)(x-3) = F(x).(x+1) x -

    24

    1.3.2.1 = F(4).5 4 F(4) =

    19. Jika x2 = yx 1 dan y2 = 1 y, maka x4 + x3 + x2 + x + 1 = .

    Jawab :

    x4 = (yx 1)2 x4 = y2x2 2yx + 1

    y2x2 2yx + 1 + x(yx 1) + yx 1 + x + 1 y2x2 yx + yx2 + 1

    (1-y)x2

    yx + yx2

    + 1 x2

    yx + 1 = x2

    (yx-1) = 0

    20. Jika a, b, c akar-akar dari x3 5x2 + 3x 2 = 0, maka nilai

    ....=+++++b

    c

    c

    b

    c

    a

    a

    c

    a

    b

    b

    a

    Jawab :

    b

    c

    c

    b

    c

    a

    a

    c

    a

    b

    b

    a+++++ =

    c

    ba

    b

    ca

    a

    cb ++

    ++

    +

    abc

    baab

    abc

    caac

    abc

    cbbc )()()( +++++

    abc

    abcccbaabbcbaacacbabc 3)()()( ++++++++

    3)(

    ++++abc

    acbcabcba= 5,43

    2

    )3(5=

    21. Jika persamaan x3 x + 1 = 0 memiliki akar-akar a, b, c, maka nilai dari a8 + b8 + c8 = .....

    Jawab :

    a+b+c = 0, a.b.c = -1, ab+bc+ac = -1

    a2 + b2 + c2 = (a+b+c)2 2(ab+bc+ac)

    a3 + b3 + c3 = 3abc +2

    3(a+b+c)( a2 + b2 + c2) -

    2

    1(a+b+c)3

    a4 + b4 + c4 = (a2 + b2 + c2)2 2{(ab)2+(bc)2+(ac)2}

    {(ab)2+(bc)2+(ac)2} = (ab+bc+ac)2 2abc(a+b+c)

    (ab)4

    + (bc)4

    + (ac)4

    = {(ab)2

    +(bc)2

    +(ac)2

    }2

    2(abc)2

    (a2

    + b2

    + c2

    )a8 + b8 + c8 = (a4 + b4 + c4)2 2{(ab)4 + (bc)4 + (ac)4}= 22 2(-3) = 10

    22. Jika P(x) = x4 + 2x3 +2x2 1 akar-akarnya a, b, c, d dan Q(x) = x6 + x5 + x4 + x2 + x + 1, maka

    tentukanlah nilai dari Q(a) + Q(b) + Q(c) +Q(d)

  • 7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

    4/34

    Jawab :

    ax4 + bx3 + cx2 +dx + e akar-akarnya x1, x2, x3, x4, maka

    x1 + x2 + x3 + x4 =a

    b , x1. x2. x3. x4 =

    a

    e

    x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x1.x3.x4 + x2.x3.x4 =

    a

    d

    x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 =a

    c

    Q(x) = (x2 x + 1).P(x) + 2

    Q(a) + Q(b) + Q(c) +Q(d) = 2 + 2 + 2 + 2 = 8

    23. Diketahui P(x) = x3 3x2 + 1mempunyai akar-akarnya x1, x2, x3. Jikaq(x) = x2 + 1, maka

    tentukanlah nilai dari q(x1).q(x2).q(x3).

    Jawab :

    q(x1).q(x2).q(x3) = (x12+1) (x2

    2+1) (x32+1) = {(x1.x2)

    2 + (x12+x2

    2)+1}(x32+1)

    (x1. x2. x3)2 + x3

    2(x12+x2

    2) + x32 + (x1.x2)

    2 + (x12+x2

    2) + 1

    1 + (x1+x2+x3)2 2(x1.x2+x2.x3+x1.x3) + (x1.x2+x2.x3+x1.x3)

    2 2 x1.x2.x3(x1 + x2 + x3) + 1

    2 + 9 2.0 + 0 2.-1.3 = 11 + 6 = 17

    24. Diketahui akar-akar dari persamaan x3 2x2 + 3x 4 = 0 adalah a, b, c. Jika persamaan x3

    + px2 + qx + r = 0, mempunyai akar-akar (a+b), (b+c), (a+c), maka tentukan nilai dari

    4p + 2q + r .

    25. Jika p + a + 02 = ba , maka buktikan f(p) = 0, untuk f(x) = x + a

    x

    b2+ .

    Jawab :

    p + a + 02 = ba p = -( a + ba 2 )

    f(p) = p + ap

    b2+ -( a + ba 2 ) +

    )a+a(- 2 b

    b

    + 2a

    = a - ba 2 +)a+a(- 2 b

    b

    = (a - ba 2 )(- a - ba 2 ) + b

    =baa

    bbaa

    ++2

    22

    f(p) =baa 2

    0terbukti f(p) = 0

    26. Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 mempunyai akar-akar yang satu merupakan kuadrat yang

    lainnya. Buktikan bahwa a2c + b3 3abc + ac2 = 0

    Jawab :

    x1 = x22 x1.x2 =

    a

    c x2 = 3

    a

    c

    x1 + x2 = -a

    b x22 + x2 = -

    a

    b 3

    2

    a

    c+ 3

    a

    c= -

    a

    b

  • 7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

    5/34

    3

    33

    2

    +

    a

    c

    a

    c=

    3

    a

    b

    3

    33

    22

    33

    =++

    +

    a

    b

    a

    c

    a

    c

    a

    c

    a

    c

    a

    c

    a

    c

    ac2 + 3a2c. -ab + a2c = -b3 ac2 3abc + a2c + b3 = 0 terbukti

    27. Diketahui m dan n merupakan bilangan asli yang memenuhi system persamaan

    =+=++

    43

    73322 mnnm

    mnnmBerapakah nilai m2 + n2 ?

    Jawab :

    m2n + 3mn2 = 4 mn(m+3n) = 4 mn(7-3mn) = 4

    7mn 3(mn)2

    = 4 (3mn-4)(mn-1) = 0 mn = 1 dan mn = 34

    =+=++

    43

    73322 mnnm

    mnnm

    =+=+

    43

    43

    nm

    nm m = 4 3n

    mn =3

    4 (4 3n)n =

    3

    4 12n 9n2 = 4 9n2 12n + 4 = 0

    9n2 12n + 4 = 0 (3n 2)2 = 0 n =3

    2dan m = 2

    mn = 1 (4 3n)n = 1 4n 3n2 = 1 3n2 4n + 1 = 0

    3n2 4n + 1 = 0 (3n 1)(n 1) = 0 n = 1 dan n =3

    1

    m = 1 dan m = 3

    jadi m2 + n2 = (49

    4, 2 , 3

    9

    1)

    28. Tentukan semua penyelesaian dari

    =+=+

    3

    3355

    yx

    yx

    Jawab :

    (x + y)5 = 35 x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5 = 243

    5xy(x3 + 2x2y + 2xy2 + y3) = 210 xy [ (x+y)3 (x2y+xy2) ] = 42

    xy [ 27 - xy(3) ] = 42 (xy)2

    - 9xy + 14 = 0 xy = 2 dan xy = 7 t.mx + 3

    2=

    x x2 3x + 2 = 0 (2,1) dan (1,2)

    29. Diketahui x, y, z memenuhi persamaan

    =++=++=++

    3

    2

    1

    333

    222

    zyx

    zyx

    zyx

    Hitunglah x4 + y4 + z4 ?

    Jawab :

    x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 2(xy + yz + xz) xy + yz +xz =2

    1

    x3 + y3 + z3 = 3xyz +2

    3(x + y + z)(x2 + y2 + z2)

    2

    1 (x + y + z)3

    -3 = 3xyz 32

    1+ xyz =

    6

    1

    (xy)2 + (yz)2 + (xz)2 = (xy + yz + xz)2 2xyz(x + y + z) (xy)2 + (yz)2 + (xz)2 =12

    7

    x4 + y4 + z4 = (x2 + y2 + z2)2 2((xy)2 + (yz)2 + (xz)2 )

    X a3

  • 7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

    6/34

    = 4 2.12

    7= 2

    6

    5

    30. Diketahui f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. Jika f(1) = f(2) = f(3), dan f(0) + f(4) = 10. Tentukan nilai

    dari f(1) + f(2) + f(3) ?

    Jawab :

    f(x) = a(x - 1)(x - 2)(x - 3) + (bx + c) f(0) = -6a + c f(4) = 6a + 4b + c

    f(0) + f(4) = 10 4b + 2c = 10 2b + c = 5

    f(1) = b + c

    f(2) = 2b + c

    f(3) = 3b + c +

    6b + 3c 3(2b + c) f(1) + f(2) + f(3) = 15

    31. Diketahui f(x) = ax2 + bx + c. Jika f(1) = 1, f(2) =2

    1dan f(3) =

    3

    1. Tentukanlah nilai dari f(4)?

    Jawab :

    f(x) = a(x 1)(x 2) + bx + c

    f(1) = b + c

    f(2) = 2b + c -

    b = - 2

    1

    dan c = 2

    3

    f(x) = a(x 1)(x 2) 2

    1

    x + 2

    3

    f(3) = 2a a =6

    1 f(4) = 1

    2

    1=

    2

    1

    32. Diketahui f(x) = x3 + ax2 + bx + c. Jika f(1) =2

    1, f(2) =

    3

    2, dan f(3) =

    4

    3

    Maka tentukan nilai f(4) ?

    Jawab :

    f(x) = (x 1)(x 2)(x 3) + ax2

    + bx + c

    f(1) = a + b + c =2

    1. (1)

    f(2) = 4a + 2b + c =3

    2. (2)

    f(3) = 9a + 3b + c =4

    3. (3)

    eleminasi pers. (1) dan (2) eleminasi pers. (2) dan (3)

    a + b + c =2

    14a + 2b + c =

    3

    2

    4a + 2b + c =3

    2_ 9a + 3b + c =

    4

    3_

    3a + b =6

    1... (4) 5a + b =

    12

    1 (5)

    eleminasi pers. (4) dan (5)

  • 7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

    7/34

    3a + b =6

    13a + b =

    6

    1a + b + c =

    2

    1

    5a + b =12

    1_ b =

    24

    7c =

    4

    1

    2a =12

    1

    a =24

    1 f(x) = (x 1)(x 2)(x 3)

    24

    1 x2 +

    24

    7x +

    4

    1

    jadi f(4) = 64

    3

    33. Jika diketahui gof(x) = x2 2x 3 dan f(x) = x 3, maka tentukan nilai dari g(2) ?

    Jawab :

    f(x) = 2 x = 5

    gof(x) = gof(5) = 52 2.5 3 = 12

    34. Misalkan a dan b adalah bilangan real tak nol yang memenuhi 9a 12ab + 4b2 = 0.

    Tentukan nilai darib

    a

    35. Diberikan tiga bilangan positif x, y, z yang semuanya berbeda.

    Jika ,y

    x

    z

    yx

    zx

    y=

    +=

    maka nilai yx

    = .....

    Jawab :

    =+=+

    ==

    xzyxyy

    x

    z

    yx

    zxxyy

    x

    zx

    y

    )(

    )(2

    xy + x2 xz = xz x + y = 2z

    22

    ==+

    z

    z

    z

    yxjadi 2=

    +=

    z

    yx

    y

    x

    36. Tentukan semua bilangan real x yang memenuhi 21

    4

    4 +x

    x

    Jawab :

    21

    4

    4 +x

    x (x4)2 2x4 + 1 0 (x4 1)2 0

    (x4 1) 0 (x2 + 1)(x2 1) 0 (x + 1)(x 1) 0

    Jadi nilai x yang memenuhi adalah x = 1

    37. Tentukan semua bilangan tiga angka sehingga nilai bilangan itu adalah 30 kali jumlah ketiga

    angka tsb di atas.

    Jawab :

    abc = 30(a + b + c) 100a + 10b + c = 30a + 30 b + 30c 70a = 20b + 29c

  • 7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

    8/34

    karena 30 kali maka c = 0 a = 07

    2+b

    jika b = 7, mak a = 2 sehingga bilangan tsb adalah 270

    38. Tentukan nilai dari ....75cos75sin0808 =

    Jawab :

    ( )( )040404040808 75cos75sin75cos75sin75cos75sin +=

    ( ) [ ]0404020220202 75cos75sin75cos75sin275cos75sin +

    ( )( )0402 150cos150sin1 32

    1

    8

    11

    3

    16

    7

    39. Tentukan banyaknya pasangan bilangan bulat positif (m,n) yang merupakan solusi dari

    persamaan 124 =+nm

    Jawab :

    124=+

    nm 4n + 2m = mn 4,

    4

    2

    = mdan

    m

    mn

    Maka m < 4 atau m > 4 (5,10), (6,6), (8,4)

    40. Diketahui bahwa segi empat ABCD memiliki pasangan sisi yang sejajar. Segi empat tersebut

    memiliki tepat satu sumbu simetri lipat jika berbentuk ....

    41. jika 2x = 3, 3y = 4, dan 4z = 5, maka nilai dari 2xyz+1

    jawab :

    3y = 4 (2x)y = 4 2xy = 4

    4z = 5 ((2x)y)z = 4 2xyz = 5

    2xyz+1 = 5.2 = 10

    42. fedcbadarinilaiTentukan

    fe

    ed

    dc

    cb

    ba

    +++++

    =+=+=+=+=+

    5

    4

    32

    1

    43. Diketahui

    =+=+

    141015

    281937

    yx

    yxTentukan nilai

    y

    x?

    Jawab :

    2

    1

    141015

    281937

    =+=+

    yx

    yx

    282030

    281937

    =+=+

    yx

    yx_

    7

    1=

    y

    x

    7x - y = 0

    44. Diketahui pers. x2 x 1 = 0. Tentukan

    a. x13 + x2

    3 b. x14 + x2

    4 c. x15 + x1

    5

  • 7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

    9/34

    Jawab :

    a. (x12 + x2

    2)(x1 + x2) = x13 + x1

    2x2 + x1x22 + x2

    3

    x13 + x2

    3 = (x12 + x2

    2)(x1 + x2) x1x2 (x1 + x2)

    = 3 . 1 + 1 = 4

    b. (x12 + x22) (x12 + x22) = x14 + x12x22 + x12x22 + x24

    (x14 + x2

    4) = (x12 + x2

    2)2 2(x1x2)2

    = 32 2 = 7

    c. (x13 + x2

    3) (x12 + x2

    2) = x15 + x1

    2x22(x1 + x2) + x2

    5

    (x15 + x2

    5) = (x13 + x2

    3) (x12 + x2

    2) x12x2

    2(x1 + x2)

    = 4.3 1.1 = 11

    45. Diketahui x2 2x 1 = 0 akar-akarnya adalah dan .

    Tentukan nilai dari

    a. ( ) ( )33 b. (2 3 + 2)(2 3 + 2}

    c.1313 2

    2

    2

    2

    +

    d. ( 2 5 + 6)(2 5 +6}

    jawab :

    x2 2x 1 = 0 2 2- 1 = 0 2 2 - 1 = 0

    2 = 2 + 1 2 = 2 + 1

    a. ( ) ( )33 = - 3 (+) + 9 = -1 3.2 +9 = 2

    x2 2x 1 = (x )(x ) = ( ) ( )33 = 2

    b. ( 2 3 + 2)(2 3 + 2}

    (2+ 1 3+2)(2+ 1 3 + 2) (3 )(3 ) = -2

    c.1313 2

    2

    2

    2

    +

    = 2)(

    22

    =+=+

    46. Diketahui dan adalah akar-akar persamaan x2 x 1 = 0.

    Tentukan

    +

    1

    1

    1

    12

    2

    2

    2

    47. Diketahui dan adalah akar-akar persamaan x2 + x + 1 = 0.

    Tentukan nilai dari a. 3

    + 3

    b. 9

    + 9

    c. 2008

    + 2008

    Jawab :

    2 + + 1 = 0 2 = - ( + 1) 2 + = -1

    2 + + 1 = 0 2 = - ( + 1) 2 + = -1

    a. 3 = 2 dan 3 = 2

  • 7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

    10/34

    3 = - (2 + ) 3 = - ( 2 + )

    3 = 1 3 = 1

    Maka 3 + 3 = 2

    b. 9 = ( 3)3 = 1 dan 9 = (3)3 = 1

    maka 9 + 9 = 2

    c. 2008 = ( 3)669 . 2008 = (3)669.

    = =

    Maka 2008 + 2008 = + = -1

    48. ....64162

    64166 =+

    Jawab :

    64

    1)264(

    64

    1)264( ++++

    2

    2

    2

    2

    8

    128

    8

    128 ++++

    2

    2

    2

    2

    8

    1

    8

    1.8.28

    8

    1

    8

    1.8.28 ++++

    2222 22 babababa ++++

    (a + b) + (a b) = 2a = 2.8 = 16

    49. 54

    54321

    54321

    54321

    54321

    54321

    23

    32

    82

    42

    22

    12

    xxdarinilaiTentukan

    xxxxx

    xxxxx

    xxxxx

    xxxxx

    xxxxx

    +

    =++++=++++=++++=++++=++++

    50. Diketahui ablog a = 4, maka ....log3

    =b

    aab

    Jawab :

    ablog a = 4 bab

    a ababab logloglog 33

    =

    log a = 4 log a + 4 log b = baabab log

    2

    1log

    3

    1

    log b =4

    3 log a =

    aab

    log4

    3

    2

    14.

    3

    1=

    4

    9

    2

    3

    4

    3=+

    51. Jika x + 11=

    x, maka x9 + ....

    19=

    x

    Jawab :

  • 7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

    11/34

    x = 11+

    x

    x + 11=

    x x x2 x + 1 = 0 x2 =

    x

    1 x3 = -1

    x9

    = (x3

    )3

    = (-1)3

    = -1, maka x9

    + =91

    x -1 + -1 = -2

    52. Diketahui persamaan kuadrat x2 2x 2 = 0 mempunyai akar p dan q.

    Tentukan nilai dari (p2 + 2q 2)(q2 + 2p 2).

    Jawab :

    P2 2 = 2p dan q2 2 = 2q

    (p2 + 2q 2)(q2 + 2p 2) = (2p + 2q)(2p + 2q) = 16

    53. Diketahui persamaan kuadrat x2

    + px + 1 = 0 akar-akarnya adalah dan dan

    Persamaan kuadrat x2 + qx + 1 = 0 akar-akar-akarnya adalah dan .

    Tentukan nilai dari (-)( -)(+ )( + ).

    Jawab :

    (-)( -) = 2 + p + 1 dan (+ )( + ). = 2 p+ 1

    2 + q + 1 = 0 2 + 1 = -q dan 2 + 5+ 1 = 0 2 + 1 = -q

    2

    + p

    + 1 = p

    - q

    dan 2

    + 4 + 1 = -p- qJadi ( -)( -)(+ )( + ) = (p - q)(-p- q)

    = -(p + q)(p q) = q2 p2

    54. Jumlah dari9889

    1

    8778

    1........

    3223

    1

    2112

    1

    ++

    +++

    ++

    +

    Jawab :

    )1()1(

    1)1(

    1)1(

    1)1(.

    1)1(

    1

    2112

    122

    ++

    ++=

    ++

    ++

    +++

    =

    + nnnn

    nnnn

    nnnn

    nnnn

    nnnn

    [ ] 1

    11

    )1(

    1)1(

    1)1(

    1)1(

    +=

    +++

    =++++

    nnnn

    nnnn

    nnnn

    nnnn

    Jadi9889

    1

    8778

    1........

    3223

    1

    2112

    1

    ++

    +++

    ++

    +

    18

    1

    8

    1

    17

    1

    7

    1....

    13

    1

    3

    1

    12

    1

    2

    1

    11

    1

    1

    1

    ++

    +++

    ++

    ++

    +

    1 -3

    2

    3

    1=

    55. Hasil dari .....2000log

    3

    2000log

    26564=+

    Jawab :

    5log34log2

    5log

    1

    3

    4log

    1

    2

    2000log

    3

    2000log

    2 66

    66

    20002000

    20002000

    6564+=+=+

  • 7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

    12/34

    6

    12000log

    62000 =

    56. nilai dari3

    1

    )2(sin

    sin

    tan

    )(tan=

    ++

    ba

    bjika

    a

    baadalah ....

    Jawab :

    3

    1

    )2(sin

    sin =+ bab

    3 sin b = sin (2a + b)

    3 sin b = 2 sin a. [cos (a+b)] + sin a

    2 sin b = 2 sin a [cos(a+b)]

    sin b = sin a [cos(a+b)]

    a

    a

    ba

    ba

    a

    ba

    sin

    cos.

    )cos(

    )sin(

    tan

    )tan(

    ++

    =+

    = [ ][ ])cos(sinsin)cos(.sin

    baabbaa

    + ++

    = 1 +[ ]baa

    b

    +cos(sinsin

    = 1 + 1 = 2

    57. diketahui f(x) = 23

    1 23 xxx mempunyai nilai maksimum dan minimum M dan m,

    maka M m = ....

    58. Suatu barisan geometri diketahui jumlah 10 suku pertama 64 sedangkan jumlah 20 sukupertamanya 80. Tentukan S30 ?

    Jawab :

    S10 =( )

    1

    110

    r

    ra

    ( )1

    110

    r

    ra= 64

    S20 =( )

    1

    120

    r

    ra

    ( )1

    )1)(1( 1010

    +

    r

    rra= 80

    4

    5)1( 10 =+r

    4

    110 =r

    S30 = ( )1

    )1(1.

    1

    )1(

    1

    ()1)(1(

    1

    )1( 101010201020102030

    +

    =

    +=

    r

    rarr

    r

    ra

    r

    rrrra

    r

    ra

    S30 = 64.4

    1

    4

    5.80

    = 100 16 = 84

    59. Nilai x + y + z jika

    =+++=++

    =++

    6))()(log(

    6)(log).(log

    5)()(log

    zxzyyx

    zyyx

    zyyx

    Jawab :

    mis log (x + y) = a, log (y + z) = b, log (x + z) = c

    a + b = 5 .... (1) dari (1) dan (3) didapat c = 1

    a..b = 6 .... (2) dari (1) dan (2) didapat a = 2 dan a = 3

    a + b + c = 6 .... (3) b = 3 dan b = 2

  • 7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

    13/34

    log (x + y) = 2 x + y = 100 ........... (1)

    log (y + z) = 3 y + z = 1000

    log (x + z) = 1 x + z = 10 +

    x + y + z = 555

    60. Lingkaran (3 ) x2 + ( + 1) y2 = + 7 mempunyai jari-jari = ....

    Jawaqb :

    (3 ) = ( + 1) = 1

    Persamaan lingkaran menjadi 2x2 + 2y2 = 8 dan jari-jarinya = 2

    61. Jikad

    c

    b

    a= , maka ....

    3

    3=

    dc

    ba

    Jawab :

    d

    bca =

    dc

    bd

    bc

    dc

    ba

    =

    3

    3

    3

    3 db

    dc

    d

    dcb

    dc

    d

    bdbc

    3

    )3(

    3

    3

    62. Jika zyx 632 == , maka berlaku ....!

    Jawab :

    y

    xzyzx

    y

    xzzxzx

    y

    xyx

    zyx

    zyx

    +=

    +==

    ==

    == ==

    .6log.

    3log3log.

    6log.3log.

    6log3log2log

    2

    22

    22

    222

    yxz

    xy

    yx

    z

    yx

    xyz

    111

    1

    +=

    +=

    +

    =

    63. Jika ...,23log12log62 == nnilaimakann

    Jawab :

    18log2

    112log23log12log 22 nnnn == 2 18log12log2 nn =

    ( )( )

    ( )

    ( )( )

    3241818log3

    3log6log2log2log.3

    3log6log2log2log.22log

    3log3log6log2log2log.26log

    3log2log.3log6log2log.6log2log.26log.2

    12log3log6log2log.26log.2

    63 ===

    +=+=+

    ++=+

    +++=+

    ++=+

    njadinn

    nnnn

    nnnnn

    nnnnnn

    nnnnnnnn

    nnnnn

    64. jika ,124 33 ++=x maka nilai dari ....1

    1

    3

    =

    +

    x

    jawab :

  • 7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

    14/34

    ,124 33 ++=x deret geometri yang a = 1, b = 3 2 , dan n = 3

    Jadi makax ,12

    1

    12

    1)2(1

    33

    33

    =

    =

    ( ) 212112

    1

    11

    11

    33

    3

    3

    3

    =+

    +=

    +

    x

    65. Nilai abc, abc 0,jira(a, b, c) hdala HP dari sistem persamaan

    xz

    zdanz

    y

    yy

    x

    x=

    +=

    +=

    + 144

    ,14

    4,

    14

    42

    2

    2

    2

    2

    2

    Jawab :

    14

    4

    14

    4

    14

    4

    2

    2

    2

    2

    2

    2

    +

    =

    +

    =

    +

    =

    y

    yz

    x

    xy

    z

    zx

    8

    1

    2

    1.

    2

    1.

    2

    1..

    2

    1144

    21144

    2

    1144

    2

    2

    2

    ==

    =+=

    =+=

    =+=

    cbajadi

    zzz

    yyy

    xxx

    xyz =

    +14

    42

    2

    z

    z

    +14

    42

    2

    x

    x

    +14

    42

    2

    y

    y

    64 xyz = (4x

    2

    +1) (4y

    2

    +1) (4z

    2

    +1)

    66. Diketahui log sinx + log cosx = -1, maka nilai yang memenuhi log(sinx + cosx) = (log n 1)

    Jawab :

    log sinx + log cosx = -1 sinx.cosx =10

    1

    log(sinx + cosx) = (log n 1)

    log(sinx + cosx)2 = log n log 10 (sinx + cosx)2 =10

    n

    1 +10

    2=

    10

    n n = 12

    67. Jika n adalah bilangan real yang memenuhi sistem persamaan linear

    =+=+=+

    1

    1

    1

    xnz

    zny

    ynx

    maka persamaan tsb tidak mempunyai penyelesaian jika dan hanya jika nilai n =

    Jawab :

    1

    1

    1

    =+=+=+

    xnz

    zny

    ynx

    x + y + z + nx + ny + nz = 3 (x + y + z)(n + 1) = 3agar tidak mempunyai penyelesaian nilai n = -1

  • 7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

    15/34

    68. Diketahui persamaan kuadrat (b c)x2 + (c a)x + (a b) = 0. Jika a, b, c membentuk barisan

    aritmatika, maka jumlah kuadrat kedua akar persamaan tsb = ....

    Jawab :

    2b = a + c b =2

    ca +

    x1 + x2 =2

    )(2

    1)(

    2

    )()(

    )()( =

    =

    + =

    ca

    ac

    cca

    accbac

    x1.x2 = 1

    )(2

    1

    )(2

    1

    2

    )2

    (

    )(

    )(=

    =

    +

    +

    =

    ca

    ca

    cca

    caa

    cb

    ba

    (x1 + x2)2 = 4 2 = 2

    69. Jika f(x) + 2f(-x) = sinx untuk semua x real maka nilai dari 2f

    2

    = ..

    Jawab :

    f(x) + 2f(-x) = sinx f(x) = sinx 2f(-x) f(-x) = -sinx 2f(x)

    f(x) + 2(-sinx 2f(x) = sinx-3f(x) = 3.sinx f(x) = -sinx

    Maka nilai dari 2f

    2

    = 2.-sin(900) = -2

    70. Jumlah dari ......2

    3

    2

    3

    2

    3

    2

    33000log

    2log

    300log

    2log

    30log

    2log

    3log

    2log

    ++++

    Jawab :

    3log

    2log

    2

    3= 1

    3log.2log

    3log.2log

    2log

    3log3log

    2log

    == 2

    1

    2

    3

    2

    313log

    2log

    30log

    2log

    == +

    Jadi ......2

    3

    2

    3

    2

    3

    2

    33000log

    2log

    300log

    2log

    30log

    2log

    3log

    2log

    ++++

    1 +2

    1+

    4

    1+

    8

    1+ ..... =

    2

    2

    11

    1=

    71. Buktikan bahwa 4x x4 3

    Jawab ;4x x4 3 x4 4x + 3 0 (x 1)2(x2 + 2x + 3) 0 terbukti

    72. Nilai x yang memnuhi pertidaksamaan 1logloglog 31

    23

    1

    >

    x adalah .....

    Jawab :

    1logloglog3

    1

    23

    1

    >

    x 3

    1

    loglog3

    1

    2

    >

    x

    32

    33

    1

    3

    12log

    >>

    xx ................ (1)

    3

    11log3

    1

  • 7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

    16/34

    73. Tentukanlah semua solusi nyata untuk sistem persamaan

    =+=+=+

    14

    14

    14

    yzx

    xzy

    zyx

    74. Jika a dan b adalah bilangan nyata yang memenuhi persamaan

    log (1 + a2) log a 2.log 2 = 1 log (100 + b2) + log b, maka nilai a + b = ....

    jawab :

    log (1 + a2) log a 2.log 2 = 1 log (100 + b2) + log b

    log (1 + a2) + log (100 + b2) = log a + log b + 2.log 2 + 1

    (1 + a2)(100 + b2) = 40ab

    a2b2 + 100a2 + b2 + 100 = 40ab

    100a2 20ab + b2 + a2b2 - 20ab + 100 = 0

    (10a b)2 + (ab 10)2 = 0

    10a b = 0 dan ab 10 = 0

    a =10

    bdan ab = 10 jadi a = 1 dan b = 10

    maka nilai a + b = 11

    75. Tentukan semua solusi nyata untuk sistem persamaan

    xx .2007log

    4

    2007log

    1

    log

    1200820082008 =+

    Jawab :

    Misalkanb

    danax

    1

    2007log

    11

    log

    120082008

    == , maka

    xx .2007log

    4

    2007log

    1

    log

    1200820082008

    =+ baba +

    =+411

    (a + b)2 = 4ab a2 2ab + b2 = 0 a = b

    Jadi 2007loglog20082008 =x maka x = 2007

    76. Nilai dari (4.cos2 9 3)(4cos2 27 3) = ....

    Jawab :

    cos 3a = cos a (4.cos2 a 3) 4.cos2 a 3 =a

    a

    cos

    3cos

    (4.cos2 90 3)(4cos2 270 3) = 00

    0

    0

    0

    9tan27cos

    81cos.

    9cos

    27cos=

    77. Jika f(x) = 4x+1, maka f(a + b) = .

    Jawab :

  • 7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

    17/34

    f(a+b) = 4a+b+1

    = 4a+1-1.4b+1

    =11 4.4.

    4

    1 ++ ba )().(

    4

    1bfaf

    78. Jika 3348

    348ba +=

    +, maka a + b = .

    Jawab :

    324

    348

    26

    26.

    26

    26

    )26(

    )26(2

    2

    +=+

    =++

    +

    =+

    maka a + b = 3

    79. Nilai x jika xyyxy yx dan 823729 342 == ++ adalah .

    Jawab :

    )1(...2

    626333729

    26

    2

    +=

    +===

    ++

    y

    yx

    y

    y

    x

    y

    y

    xy yx

    xyyxxyyx 3348234 =+=+

    x(3y 4) = 3y x =43

    3

    y

    y..(2)

    dari (1) dan (2)

    43

    1

    2

    2

    43

    3

    2

    6

    =

    +

    =

    + yyyy

    y

    y

    2(3y 4) = y + 2 5y = 10 y = 2

    Jadi nilai x = 3

    80. Nilai yx

    43

    jika 67x = 27 dan 603y = 81

    Jawab :

    67x = 33 dan 67y = 32

    81. Jika 8x+1 = 24x-1, maka niali x = .

    Jawab :

    8x+1 = 24x-1 6.log 2 = (x 1).log 3

    8x+1 = 8x-1.3x-1 x.log 3 = 6.log 2 + log 3

    8(x+1)-(x-1) = 3x-1 x= 1 + (6. 3log 2)

    82 = 3x-1

  • 7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

    18/34

    82. Nilai x yang memnuhi pertidaksamaan3

    3 1

    101000

    11001010

    x

    xxx adalah ....

    Jawab :

    5

    4101010.1010

    10100

    110

    101000

    110.10

    1010

    110.10

    22

    5

    222

    2

    1

    3

    3 1

    xx

    x

    x

    x

    x

    x

    xx

    x

    xx

    83. Bentuk sederhana baabab

    abcC loglog ).( adalah ...

    Jawab :

    bc

    bc

    abcc

    ab

    bba

    ab

    ababab

    .

    .

    ..

    .log

    logloglog

    84. Bentuk sederhana adalah

    122

    6

    3

    2

    3

    4

    ++Jawab :

    122 3

    2

    3

    4

    ++ merupakan deret geometri dengan r = 32

    2dan a =1

    Maka S3 =

    12

    3

    12

    )12(1

    1

    )1(

    3

    2

    3

    2

    3.3

    2

    3

    r

    ra

    Jadi)12(2

    12

    3

    6

    122

    63

    2

    3

    232

    34

    =

    =++

    85. Jika xyz 0 , x + y + z = 0, dan a =10x, b = 10y, c = 10z , maka

    Nilai ....).().()(

    111111

    =+++yxzxzy cba

    Jawab :

    001,010

    1010

    10)10.()10.()10(

    3

    2111111

    )(

    1111.

    11111111

    =

    =

    +

    ++

    ++

    ++

    ++

    ++

    ++

    ++

    x

    x

    yxz

    zxy

    zyzy

    yxz

    zxy

    zyx

    yxzzxyzyx

  • 7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

    19/34

    86. Nilai dari( ) ( )

    12log

    4log36log3

    2323 adalah

    Jawab :

    ( ) ( )12log

    4log36log3

    2323 =

    ( )( ) ( ) ( )8

    12log

    12log24

    12log2

    1

    144log.2

    12log2

    1

    4log36log4log36log3

    3

    3

    3

    3

    3333

    =+

    87. Jika ....log,12 32

    2

    ==a

    bmaka

    b

    a

    Jawab :

    Log 122

    10log=

    b

    a 610=

    b

    a

    Maka 210log210log3

    1log 63 ==

    a

    b

    88. Jika ....1

    log,5log2

    31log

    3

    162 ===b

    makabdana

    a

    Jawab :

    4020.3

    2.32log3log

    216log2log

    2023

    2053

    2

    3

    2

    ===

    ===

    b

    bdana

    a

    89. Nilai x yang memenuhi persamaan 2log 2log (2x+1 + 3) = 1 + 2log x adalah ....

    Jawab :

    2log 2log (2x+1 + 3) = 2log 2 + 2log x misal : 2x = a, maka

    2log 2log (2x+1 + 3) = 2log 2x 22x 2.2x 3 = 0

    2log (2x+1 + 3) = 2x a2 2a 3 = 0

    2log (2x+1 + 3) = 2log 22x (a 3)(a 1) = 0

    (2x+1 + 3) = 22x a = 3 2x = 3 x = 2log 3

    90. Nilai x yang memenuhi persamaan 2log 2log x = 2log (3 xlog

    2

    1 2) + 2log 4 adalah ....

    Jawab :

    2log 2log x = 2log 4(3 xlog2

    1 2)

    2log 2log x = 2log (12 xlog22

    )

    2log x = (12 xlog22

    )

    3 2log x = 12 2log x = 4 x = 16

  • 7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

    20/34

    91. Semua pasangan bilangan bulat (x,y) yang memenuhi x + y = xy 1 dan x y adalah .

    Jawab :

    x + y = xy 1 y 1 0, y 1

    xy x = y + 1 karena x y maka y 1 dan x 1

    x =11+yy dan pasangan bilangan yg memenuhi hdala (0,-1)

    92. ....cossin

    costan 22=

    ++

    xx

    xx

    Jawab :

    ( )

    xxxx

    xxxx

    xx

    xx

    xxxxxx

    xx

    xx

    xx

    xx

    sinsecsecsin

    )sin)(secsin(sec

    secsin

    sinsec

    secsincossincossec

    secsin

    1cossec

    secsin

    costan

    22

    2222

    2222

    +

    ++

    +++

    ++

    =++

    93. Misalkan N sebuah bilangan asli dua angka dan M hdala bilangan asli yang diperoleh dengan

    empertukarkan kedua angka N. Bilangan prima yang selalu habis membagi N M hdala

    Jawab :

    mis : N = 21, maka M = 12 N M = 21 12 = 9

    N = 31, maka M = 13 N M = 31 13 = 18

    N = 41, maka M = 14 N M = 41 14 = 27

    dst

    sehingga N M = 9, 18, 27, . Maka bilangan prima yang selalu habis membagi N M = 3

    94. Sepotong kawat dipotong menjadi 2 bagian, dengan perbandingan 3 : 2. Masing-masing bagian

    kemudian dibentuk menjadi sebuah persegi. Perbandingan lus kedua persegi = .

    Jawab :

    Misalkan panjang kawat x dibagi menjadi xdanx5

    2

    5

    3,

    Maka luas persegi masing-masing

    22

    5

    2.

    2

    1

    5

    3.

    2

    1

    xdanx

    Sehingga perbandingannya 4:9100

    4:100

    9 =

  • 7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

    21/34

    95. Jika n adalah bilangan asli sehingga 3n adalah faktor dari 33!, maka nilai n terbesar yang

    mungkin adalah .

    Jawab :

    Faktor dari 33! yang berkelipatan 3 adalah

    33, 30, 27, 24, 21, 18, 15, 12, 9, 6, 33.11, 3.10, 33, 3.8, 3.7, 32.2, 3.5, 32, 3

    11. 10. 8. 7. 2. 5. 3. 3. 33. 3. 3. 32. 3. 32. 3

    11. 10. 8. 7. 2. 5. 315 jadi n = 15

    96. Hitunglah nilai dari

    22222222

    2005

    1

    2004

    11

    4

    1

    3

    11

    3

    1

    2

    11

    2

    1

    1

    11 ++++++++++++

    Jawab :

    22

    2222

    22 )1(

    )1()1(

    )1(

    111

    +++++

    =+

    ++nn

    nnnn

    nn

    =( )

    ( ) 2

    2

    )1(

    1)1(2)1(

    +++++

    nn

    nnnn

    =( )

    ( )2

    2

    )1(

    1)1(

    +++

    nn

    nn

    =)1(

    11

    )1(

    1)1(

    ++=

    +++

    nnnn

    nn,

    Jadi22222222 2005

    1

    2004

    11

    4

    1

    3

    11

    3

    1

    2

    11

    2

    1

    1

    11 ++++++++++++

    ( )

    +

    ++

    +

    +

    ++++

    +++

    ++

    ++

    +

    2005

    1

    2004

    1

    2004

    1

    2003

    1

    4

    1

    3

    1

    3

    1

    2

    1

    2

    11111

    2005.2004

    11

    12

    11

    6

    11

    2

    11

    2004 +

    2005

    11 =

    2005

    20042004

    97. Jika 1 + 2 + 3 + ... + n = aaa, maka tentukan nilai n dan aaa.

    Jawab :

    1 + 2 + 3 + ... + n = 100a + 10a + a

    1 + 2 + 3 + ... + n = 111a

    n(n+1) = 3.37a

    n(n+1) = (6xa).37 sehingga a = 6 , n =36, dan aaa = 666

    98. Jika aabb = (xy)2, maka tentukan nilai a, b, x, dan y.

  • 7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

    22/34

    Jawab :

    (xy)2 merupakan bilangan kuadrat, maka angka satuannya 0, 1, 4, 5, 6, dan 9

    Bilangan yang dibagi 2 sisanya 0, maka bilangan tsb genap dan

    Bilangan yang dibagi 2 sisanya 1, maka bilangan tsb ganjil

    Sehingga bb = 44, jadi aabb = aa44 maka a = 7= 11 x a04 b = 4

    = 11 x 704 x = y = 8

    = 7744

    = 882

    99. Diketahui a, b, c, d, dan e adalah bilangan real. Jika a + b + c + d + e = 19 dan

    a2 + b2 + c2 + d2 + e2 = 99, maka tentukan nilai e!

    Jawab :

    a + b + c + d = 19 e , dan a2 + b2 + c2 + d2 = 99 e2

    (a + b + c + d)2 = (19 e)2

    (a + b)2 + 2(a + b)(c + d) + (c + d)2 = (19 e)2

    a2 + b2 + c2 + d2 + 2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) = 361 38e + e2

    a2 + b2 + c2 + d2 + 3(a2 + b2 + c2 + d2) = 361 38e + e2

    4(a2 + b2 + c2 + d2 ) = 361 38e + e2

    4(99 e2

    ) = 361 38e + e2

    396 4e2 = 361 38e + e2

    5e2 38e 35 = 0 jadi e =

    100. Diketahui x, y, z, dan t adalah bilangan real yang tidak nol dan memenuhi persamaan

    =++

    =++

    =++

    3333 1000

    1111

    zyx

    tzyx

    tzyx

    Tentukan nilai x + y + z + t !

    Jawab :

    x + y + z = t (x + y + z)2 = t2

    x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + xz) = t2

    x2 + y2 + z2 = t2 2(xy + yz + xz)

    )(

    1

    1111

    xyxzyztxyz

    txyzxyxzyz

    tzyx

    ++=

    =++

    =++

    3333 1000=++ zyx

    3222 )(

    2

    1))((

    2

    33 zyxzyxzyxxyz +++++++ = 10003

  • 7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

    23/34

    3t(yz + xz + xy) + ( ) ( ) 322

    1xz)yz2(xy-t

    2

    3tt ++ = 10003

    t3 = 10003 jadi t = 1000 dan x + y + z = 1000

    maka x + y + z + t = 2000

    101. Suatu fungsi dinyatakan sebagai f(x) =ee

    ex

    x

    +. Tentukan nilai dari

    f

    2005

    1+ f

    2005

    2+ f

    2005

    3+ .... + f

    2005

    2004

    jawab :

    f

    2005

    1= f

    2005

    20041 f(x) + f(1 x) = 1

    f(x) =ee

    ex

    x

    +dan f(1 x) =

    ee

    ex

    x

    +

    1

    1

    ee

    ex

    x

    ++

    ee

    ex

    x

    +

    1

    1

    ( ) ( )

    ( )( )eeeeeeeeee

    xx

    xxxx

    +++++

    1

    11

    eeeeee

    eeeeeexx

    xx

    ++++++

    1

    1

    = 1

    Maka

    2005

    1+

    2005

    2004= 1

    2005

    2+

    2005

    2003= 1

    2005

    3+

    2005

    2002= 1

    dst

    2005

    1002+

    2005

    1003= 1 +

    = 1002

    102. Diketahui a dan b adalah bilangan real yang memenuhi syarat

    =+

    =+

    8b3b

    443aba

    23

    23

    tentukan nilai dari a2 + b2

    jawab :

    (a3 3ab2)2 = 442 dan ( b3 3a2b)2 = 82

    193696 42246 =+ babaa 6496 24426 =+ babab

  • 7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

    24/34

    193696 42246 =+ babaa

    6496 24426 =+ babab +

    ( )

    ( ) 322

    322

    624426

    210

    2000

    200033

    =+

    =+

    =+++

    ba

    ba

    bbabaa

    103. Jika x dan y bilangan asli yang memenuhi persamaan

    =+

    =++

    880

    71

    22 xyyx

    yxxymaka tentukan nilai x2 + y2

    104. Tentukan nilai A2 dimana A hdala jumlah dari nilai mutlak semua akar-akar persamaan

    x = 19 +

    x

    9119

    9119

    91

    ++

    jawab :

    x = 19 +x

    91

    2

    38319

    2

    38319 +

    +=x

    x2 19 x 91 = 0 = 219383

    238319 ++

    2

    38319 =x A = 383 maka A2 = 383

    105. Didefinisikan f(n) =3 23 23 2 12112

    1

    +++++ nnnnnuntuk semua bilangan asli n.

    Tentukan nilai dari f(1) + f(2) + f(3) + . + f(999999)

    Jawab :

    misalkan (n + 1) = x dan (n 1) = y, maka

    f(n) =3 23 23 2 12112

    1

    +++++ nnnnn

    =3 233 2

    1

    yxyx ++

    Karena x3 y3 = (x y)(x2 + xy + y2) (x2 + xy + y2) =yxyx

    33

    , maka

    3 233 2

    1

    yxyx ++=

    yx

    yx

    33

    sehingga

  • 7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

    25/34

    yx

    yx

    33

    =)1()1(

    11 33

    ++

    nn

    nn=

    2

    11 33 + nn

    Jadi f(n) =2

    11 33 + nn, maka

    f(1) + f(2) + f(3) + . + f(999999) =

    ++

    +

    +

    +

    2

    999998

    2

    1000000

    2

    3

    2

    5

    2

    2

    2

    4

    2

    1

    2

    3

    2

    2 33333333

    2

    1

    2

    100 = 49,5

    106. Tentukan 3 bilangan asli x, y, z sehingga2005

    200633

    33

    =++zx

    yx

    Jawab :

    ( ) ( )( ) ( ) 2005

    200622

    22

    33

    33

    =++++

    =++

    zxzxzx

    yxyxyx

    zx

    yx

    Karena 2005 dan 2006 relatif prima, maka ada factor yang sama dari kedua bilangan tsb

    Jadi x + y = x + z y = z ( tidak mungkin)

    (x2 xy + y2) = (x2 xz + z2) 2y + z = 2006

    (y2 z2) = (xy xz) y + 2z = 2005 _

    (y + z)(y z) = x(y z) 3y = 2007

    x = y + z y = 669

    2005

    2006

    2005

    2006

    =++++

    =++

    zzy

    yzy

    zx

    yx

    z = 668 dan x = 1337

    107. Carilah 3 bilangan asli x, y, z dimana z < y < x < 2004 dan memenuhi persamaan

    x3 + y4 = z5 .

    jawab :

    x3 + y4 = z5 x3 = z5 y4

    misalkan y = a6 dan z = a5, maka

    x3 = z5 y4 x3 = a25 a24

    x3 = a24(a 1) x = a8 3 1a

    karena x bilangan asli, maka (a 1) harus bilangan pangkat tiga

    jadi (a 1) = 1, 8, 27, 64, 125, dst untuk (a 1) = 1 a = 2

    untuk a = 2, x = 28 , y = 26 , z = 25

    108. Jika f(x) + 2f

    x

    1= 3x dan x 0, maka tentukan penyelesaian untuk f(x) = f(-x)

  • 7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

    26/34

    Jawab :

    f(x) + 2f

    x

    1= 3x f(x) = f(-x)

    f

    x

    1+ 2f(x) =

    x

    3_

    x

    2- x = x

    x

    2

    -3f(x) = 3x x

    6

    x

    4- 2x = 0

    f(x) =x

    2- x x = 2

    f(-x) = x x

    2

    109. Tentukan nilai dari x3 + y3, jika diketahui x + y +yx = 19 dan 60

    2

    =+yxyx

    Jawab :

    110. Diketahui a, b, c, d, e, dan f hdala bilangan real. Jika 64===f

    e

    d

    c

    b

    a

    Maka tentukan322

    322

    45

    45

    ffddb

    eecca

    ++

    Jawab :

    b

    a= 64 a = 64b ;

    d

    c= 64 c = 64d ;

    f

    e= 64 e = 64f

    322

    322

    45

    45

    ffddb

    eecca

    ++

    =( ) ( ) ( )

    322

    322

    45

    646464464645

    ffddb

    ffddb

    ++

    =( )

    322

    32218

    45

    452

    ffddb

    ffddb

    ++

    = 83

    111. Jika( )

    222

    2005,

    8

    3

    10

    32

    6

    2

    zyx

    xyzxyztentukanmaka

    xzzyyx

    +++++

    =+

    =+

    Jawab :

    112. Dalam segitiga ABC, buktikan bahwa sin A.sin B.sin C !

    Jawab :

    sin2

    A = - cos A sin2

    A =

    ( )

    bc

    cba

    4

    22

    = -bc

    acb

    4

    222+

    sin2 B =( )

    ac

    cab

    4

    22

    =( )

    bc

    cbcba

    4

    2222 +

    sin2 C =( )

    ab

    bac

    4

    22

  • 7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

    27/34

    ( )

    bc

    aA

    acba

    42

    1sin

    22

    222

    dengan cara yang sama

    ( )

    ac

    bB

    bcab

    42

    1sin

    22

    222

    dan

    ( )

    ab

    cC

    cbac

    42

    1sin

    22

    222

    terbuktiCBA

    CBA

    ab

    c

    ac

    b

    bc

    aCBA

    8

    1

    2

    1sin.

    2

    1sin..

    2

    1sin

    8

    1

    2

    1sin.

    2

    1sin..

    2

    1sin

    4.

    4.

    42

    1sin.

    2

    1sin..

    2

    1sin

    2

    222

    222222

    113. Dalam segitiga ABC, buktikan bahwa cos A. cos B. cos C8

    1

    Jawab :

    Karena ( ) ( ) 42224222 ,0 acbamakacb

    ( ) 42224 acba = ( )( ) ( )( ) 4222222 acbacba +

    = (2ab cos C).(2ac cos B) a4

    = cos B . cos C bc

    a

    4

    2

    dengan cara yang sama, maka

    cos A . cos B ab

    c

    4

    2

    , dan cos A . cos C ac

    b

    4

    2

    jadi

    cos A . cos B . cos B . cos C . cos A . cos C bc

    a

    4

    2

    .ac

    b

    4

    2

    .ab

    c

    4

    2

    cos A . cos B . cos C 222

    222

    64 cba

    cba

    cos A. cos B. cos C8

    1 terbukti

    114. Pada segitiga ABC buktikan bahwa

    12

    1tan.

    2

    1tan

    2

    1tan.

    2

    1tan

    2

    1tan.

    2

    1tan =++ CACBBA

    Jawab :

    CA

    CA

    CB

    CB

    BA

    BA

    2

    1cos.

    2

    1cos

    2

    1sin.

    2

    1sin

    2

    1cos.

    2

    1cos

    2

    1sin.

    2

    1sin

    2

    1cos.

    2

    1cos

    2

    1sin.

    2

    1sin

    ++ = 1

    CBA

    CBA

    2

    1cos

    2

    1cos.

    2

    1cos

    2

    1cos

    2

    1sin.

    2

    1sin

    +

    CBA

    ACB

    2

    1cos

    2

    1cos.

    2

    1cos

    2

    1cos

    2

    1sin.

    2

    1sin

    +

    CBA

    BCA

    2

    1cos

    2

    1cos.

    2

    1cos

    2

    1cos

    2

    1sin.

    2

    1sin

  • 7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

    28/34

    CBA

    BCAACBCBA

    2

    1cos

    2

    1cos.

    2

    1cos

    2

    1cos

    2

    1sin.

    2

    1sin

    2

    1cos

    2

    1sin.

    2

    1sin

    2

    1cos

    2

    1sin.

    2

    1sin ++

    = 1

    CBA

    ACBCBCBA

    2

    1cos

    2

    1cos.

    2

    1cos

    2

    1cos

    2

    1sin.

    2

    1sin

    2

    1sin

    2

    1cos

    2

    1cos

    2

    1sin.

    2

    1sin +

    += 1

    1

    2

    1cos

    2

    1cos.

    2

    1cos

    2

    1cos

    2

    1sin.

    2

    1sin

    2

    1

    2

    1sin.

    2

    1sin

    =+

    +

    CBA

    ACBCBA

    ( )

    1

    2

    1cos

    2

    1cos.

    2

    1cos

    2

    1cos

    2

    1sin.

    2

    1sin180

    2

    1sin.

    2

    1sin

    =

    +

    CBA

    ACBAA

    1

    2

    1cos

    2

    1cos.

    2

    1cos

    2

    1cos

    2

    1sin.

    2

    1sin

    2

    1cos.

    2

    1sin

    =+

    CBA

    ACBAA

    1

    21cos

    21cos.

    21cos

    2

    1sin.

    2

    1sin.

    2

    1sin

    2

    1cos

    =

    +

    CBA

    CBAA

    1

    2

    1cos

    2

    1cos

    2

    1sin.

    2

    1sin.

    2

    1sin

    =

    +

    CB

    CBA

    ( )( )1

    2

    1

    cos2

    1

    cos

    2

    1sin.

    2

    1sin.180

    2

    1sin

    =

    ++

    CB

    CBCB

    ( )

    terbukti

    CB

    CB

    CB

    CBCBCB

    CB

    CBCB

    1

    2

    1cos

    2

    1cos

    21cos

    21cos

    1

    2

    1cos

    2

    1cos

    2

    1sin.

    2

    1sin

    2

    1sin.

    2

    1sin

    2

    1cos.

    2

    1cos

    1

    2

    1cos

    2

    1cos

    2

    1sin.

    2

    1sin.

    2

    1cos

    =

    =

    +

    =

    ++

  • 7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

    29/34

    115. Jika A, B, dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga ABC, buktikan bahwa

    Sin A + sin B + sin C 32

    3

    Jawab :

    sin A + sin B = 2 sin ( )BA +21

    . cos ( )BA 21

    Karena cos ( ) 02

    1 BA , maka sin A + sin B 2 sin ( )BA +

    2

    1

    sin C + sin 600 2 sin ( )0602

    1+C

    Jadi sin A + sin B 2 sin ( )BA +2

    1

    sin C + sin 600

    2 sin ( )0

    602

    1

    +C +

    sin A + sin B + sin C + sin 600 2 sin ( )BA +2

    1+ 2 sin ( )060

    2

    1+C

    sin A + sin B + sin C + sin 600 2 (2 sin ( )0604

    1+++ CBA . cos ( )060

    4

    1+ CBA

    Karena cos ( )0602

    1+ CBA 0, maka

    sin A + sin B + sin C + sin 600

    2 (2 sin ( )0

    604

    1

    +++ CBA

    sin A + sin B + sin C 3.sin 600

    sin A + sin B + sin C 3. 32

    1terbukti

    116. Jika A, B, dan C adalah sudut-sudut dalam segitiga ABC, maka buktitkan

    3582

    1tan.

    2

    1tan8

    2

    1tan.

    2

    1tan8

    2

    1tan.

    2

    1tan =+++++ CACBBA

    Jawab :

    ( ) ( )acbcabcbacba +++++=++ 22

    ( ) ( )cbacbacba +++++=++ 22

    ( ) ( )cbacba ++=++ 32 ( ) ( )cbacba ++=++ 32

    jadi

    +++++

    =+++++

    82

    1

    tan.2

    1

    tan82

    1

    tan.2

    1

    tan82

    1

    tan.2

    1

    tan3

    82

    1tan.

    2

    1tan8

    2

    1tan.

    2

    1tan8

    2

    1tan.

    2

    1tan

    CACBBA

    CACBBA

    +++ 24

    2

    1tan.

    2

    1tan

    2

    1tan.

    2

    1tan

    2

    1tan.

    2

    1tan3 CACBBA = ( )2413 + = 5 3

    3582

    1tan.

    2

    1tan8

    2

    1tan.

    2

    1tan8

    2

    1tan.

    2

    1tan =+++++ CACBBA terbukti

  • 7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

    30/34

    117. Buktikan bahwa2

    1

    2005

    2003cos

    2005

    7cos

    2005

    5cos

    2005

    3cos

    2005cos =+++++

    Jawab :

    2005

    cos

    .2005

    sin

    =

    2005

    2sin

    2

    1

    2005

    3cos

    .

    2005sin

    =

    2005

    2sin

    2005

    4sin

    2

    1

    2005

    5cos

    .

    2005sin

    =

    2005

    4sin

    2005

    6sin

    2

    1

    2005

    7cos

    .

    2005sin

    =

    2005

    6sin

    2005

    8sin

    2

    1

    2005

    2003cos

    .

    2005sin

    =

    2005

    2002sin

    2005

    2004sin

    2

    1 +

    2005

    2004sin

    2

    1

    2005

    2003cos

    2005

    7cos

    2005

    5cos

    2005

    3cos

    2005cos

    2005sin

    =

    +++++

    2005

    2003cos

    2005

    7cos

    2005

    5cos

    2005

    3cos

    2005cos

    +++++ =

    2005sin

    2005

    2004sin

    2

    1

    =

    2005sin

    2005

    2004sin

    2

    1

    =

    2005sin

    2005sin

    2

    1

    2005

    2003cos

    2005

    7cos

    2005

    5cos

    2005

    3cos

    2005cos

    +++++ =

    2

    1terbukti

    118. Pada segitiga ABC, buktikan bahwa

    tan A + tan B + tan C = tan A . tan B . tan C

    Jawab :

    tan A + tan B + tan C = tan A . tan B . tan C

    tan (A + B) (1 tan A . tan B) + tan C = tan A . tan B . tan C

    - tan C (1 tan A . tan B) + tan C = tan A . tan B . tan C

    - tan C + tan A . tan B . tan C + tan C = tan A . tan B . tan C

    tan A . tan B . tan C = tan A . tan B . tan C terbukti

  • 7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

    31/34

    119. Jika A, B, dan C sudut-sudut pada segitiga ABC, maka buktikan bahwa

    tan A . tan B . tan C 33

    jawab :

    tan A + tan B + tan C 3 3 tan.tan.tan CBA

    tan A . tan B . tan C 3 3 tan.tan.tan CBA

    (tan A . tan B . tan C)3 27 . tan A . tan B . tan C

    (tan A . tan B . tan C)2 27 jadi tan A . tan B . tan C 33 terbukti

    120. Jika A, B, dan C sudut-sudut pada segitiga ABC, maka buktikan bahwa

    cosec A + cosec B + cosec C CBA2

    1sec.

    2

    1sec.

    2

    1sec.

    4

    9

    jawab :

    Inga-inga bahwa AM HM, maka

    CBA

    CBA

    111

    3

    3 ++

    ++ ( ) 9

    111

    ++++

    CBACBA

    ( ) 9sin

    1

    sin

    1

    sin

    1sinsinsin

    ++++

    CBACBA

    cosec A + cosec B + cosec C CBA sinsinsin

    9

    ++

    cosec A + cosec B + cosec C CBA

    2

    1cos.

    2

    1cos.

    2

    1cos4

    9

    cosec A + cosec B + cosec C CBA2

    1sec.

    2

    1sec.

    2

    1sec.

    4

    9 terbukti

    121. Dalam segitiga ABC, Buktikan sin A + sin B + sin C = CBA2

    1cos.

    2

    1cos.

    2

    1cos4

    Jaweab :

    sin A + sin B + sin C = CBA2

    1cos.

    2

    1cos.

    2

    1cos4

    ( ) ( ) CBABA sin2

    1cos.

    2

    1sin.2 ++ = CBA

    2

    1cos.

    2

    1cos.

    2

    1cos4

    ( ) CCBAC2

    1cos.

    2

    1sin2

    2

    1cos.

    2

    1cos2 + = CBA

    2

    1cos.

    2

    1cos.

    2

    1cos4

    ( )

    + CBAC 21

    sin2

    1

    cos2

    1

    cos2 = CBA 2

    1

    cos.2

    1

    cos.2

    1

    cos4

    BAC2

    1cos.

    2

    1cos2

    2

    1cos.2 = CBA

    2

    1cos.

    2

    1cos.

    2

    1cos4 , jadi

    sin A + sin B + sin C = CBA2

    1cos.

    2

    1cos.

    2

    1cos4 terbukti

  • 7/31/2019 Kumpulan Soal Dan Jawaban Matematika

    32/34

    122. Buktikan bahwa (a + b c)(b + c a)(c + a b) abc

    Jawab :

    Karena (b c)2 0, maka a2 (b c)2 a2

    Dengan cara yang sama b2 (a c)2 b2 dan c2 (b a)2 c2

    123. Jika a, b, c, dan d bilangan real positif dan berlakud

    c

    b

    a< . Buktikan bahwa

    d

    c

    db

    ca

    b

    a