KuliahMekanika Fluida

M. Andri TrisumegoNuraji Pamungkas

NurcahyaNurdita Elinda Rahman

Ranisem

(Metode Integrasi Numerik, Integrasi Grafis, Langkah Langsung)

Persamaan Aliran Berubah Lambat Laun

• Kedalaman aliran di sepanjang saluran dapat dihitung dengan menyelesaikan persamaan diferensial untuk aliran berubah lambat laun.

3

2

0

1gA

TQ

II

dx

dy f

y : kedalaman aliran

x : jarak

I0 : kemiringan dasar saluran

If : kemiringan garis energi

Q : debit aliran

T : lebar bagian atas saluran

g : percepatan gravitasi

A : luas tampang saluran

Penyelesaian Persamaan

• Ada beberapa metode untuk menyelesaikan persamaan di atas, di antaranya:

1. Metode integrasi numerik

2. Metode integrasi grafis

3. Metode langkah langsung (direct step)

Metode Integrasi NumerikPersamaan aliran berubah lambat laun dibawa ke dalam bentuk sbb:

3

2

3/42

22

0

1gA

TQRAQn

I

dx

dy

Selanjutnya persamaan tersebut akan diselesaikan secara numerik dan ditulis sbb:

3

2

3/42

22

0

1gA

TQRAQn

If

iii

ii xff

yy

2

11dan

dengan f = dy/dx

Ingat…!!!

3

2

3/42

22

0

1gA

TQRAQn

If

iii

ii xff

yy

2

11

……………………..... (a)

……………………..... (b)

Lambang I boleh diganti S

Lambang y boleh diganti h

Langkah-langkah Penyelesaian

1. Berdasarkan nilai yi awal yang diketahui, dihitung nilai fi dari persamaan (a)

2. Pertama kali dianggap fi+1 = fi

3. Hitung nilai yi+1 dari persamaan (b) dengan menggunakan nilai fi+1 yang diperoleh dalam langkah 2 atau nilai fi+1 yang diperoleh dalam langkah 4

4. Hitung nilai baru yi+1 dengan menggunakan nilai fi+1 yang dihitung dari nilai yi+1 dari langkah 3

5. Apabila nilai yi+1 yang diperoleh dalam langkah 3 dan 4 masih berbeda jauh, maka langkah 3 dan 4 diulangi lagi

6. Sesudah nilai yi+1 yang benar diperoleh, dihitung nilai yi+2 yang berjarak x dari yi+1.

7. Prosedur di atas diulangi lagi sampai diperoleh nilai y di sepanjang saluran

Contoh hitungan

• Suatu saluran lebar dengan tampang segiempat dengan debit tiap satuan lebar 2,5 m3/d/m. Kemiringan dasar saluran 0,001 dan koefisien Manning n = 0,015. Pada suatu titik diketahui kedalaman air adalah 2,75 m. Berapakah kedalaman air pada jarak setiap interval 200 m dari titik tersebut ke arah hulu? Gunakan metode integrasi numerik.

Penyelesaian

igA

TQ

iRA

QnS

f i

3

2

3/42

22

0

1

igh

q

ih

qnS

f i

3

2

3/10

22

0

1

Untuk saluran lebar R ≈ h sehingga:

21

32

21

32 11

SRn

BhSRn

AQ nnnn

21

321SR

nhq nn 2

1

)001,0(015,0

15,2 3/5

nh

hn5/3 = 1,186 → hn = 1,1076 m

Kedalaman kritik :

m 8605,081,9

5,23

2

3

2

g

qhc

Karena hn > hc maka aliran adalah subkritis, dan hitungan profil muka air dilakukan dari hilir ke hulu.

Kedalaman normal :

Titik i xi+1 – xi (m) Jarak kumulatif

(m) hi (m)

1 0 2.7500 200 2 200 2.5543 200 3 400 2.3601 200 4 600 2.1681 200 5 800 1.9796 200 6 1000 1.7966 200 7 1200 1.6223 200 8 1400 1.4625 200 9 1600 1.3268 200

10 1800 1.2268 200

11 2000 1.1673

Tabel hasil hitungan profil muka air.

12345

y1=2,75

y2

hc=0,86hn=1,1

M1

GKN

GKK

Sketsa profil muka air M1 (pembendungan)

GKN : garis kedalaman normalGKK : garis kedalaman kritik

Metode Integrasi Grafis

3

2

0

1gA

TQ

II

dx

dy f

Persamaan semula

Ditulis menjadi:

fIIgA

TQ

dy

dx

0

3

2

1

Ruas kanan persamaan di atas hanya merupakan fungsi dari y untuk bentuk saluran tertentu, sehingga dapat ditulis sebagai f (y) dan dapat ditulis menjadi:

dx = f(y) dy

………………………. (a)

………………………. (b)

y1

y2

x1 x=x2-x1

x2

x

y

Profil aliran

y

y1

y2

1

dy

dx2

dy

dx

dy

dx

dy

dx

dy

dydy

dxx

y

y

2

1

O

Sketsa integrasi grafis

O

Dari gambar di atas• Dipandang suatu pias saluran yang dibatasi dua tampang lintang

yang berjarak x1 dan x2 dari titik O yang mempunyai kedalaman y1 dan y2.

2

1

2

1

2

1

)(y

y

y

y

x

x

dydy

dxdyyfdx

x = x2 – x1

Dengan menggunakan persamaan (b) untuk setiap nilai y dapat dihitung nilai dx/dy dan selanjutnya dapat digambar grafik hubungan antara dx/dy dan y seperti terlihat dalam gambar. Nilai x adalah sama dengan luasan yang diarsir. Dengan menghitung luasan tersebut maka dapat diperoleh nilai x.

…………. (c)

Contoh Hitungan

• Suatu saluran segiempat dengan lebar dasar B = 10 m. Kedalaman air normal yn = 2,71 m dan kedalaman air di batas hilir adalah 4,87 m. Kemiringan saluran Io = 0,0005. Koefisien kekasaran Chezy C = 50 m2/d. Koefisien Coriolis = 1,11 dan percepatan gravitasi g = 9,81 m/d2. Hitung profil muka air dengan metode integrasi grafis.

PenyelesaianMenghitung debit aliran

Luas tampang basah: A = 10 x 2,71 = 27,1 m2

Keliling basah: P = 10 + 2x2,71 = 15,42 m

Jari-jari hidraulis: R=A/P = 1,76 m

Menghitung profil muka air

2

1

2

1

2

1

)(y

y

y

y

x

x

dydy

dxdyyfdx

Debit aliran: Q=AC√(RI) = 27,1 x 50 √(1,76 x 0,0005) = 40,2 m3/d

ff IIA

IIgA

TQ

yf

0

3

2

0

3

2

81,9102,4011,1

11)(

fIAyf

0005,0

5,18281

)(3

Dimana nilai If dapat dihitung dengan rumus Chezy:

Q = A C R1/2 If1/2

atau

222

2

22

2 6464,0

50

2,40

RARACRA

QI f

………………………. (1)

Hitungan selanjutnya berdasarkan persamaan (1), dilakukan dengan menggunakan tabel di bawah.

Profil y B A P R If f(y)

(m) (m) (m2) (m) (m)

0 2,71 10 27,1 15,42 1,757 0,000501 ∞

I 3,00 10 30,0 16,00 1,875 0,000383 7972

II 3,50 10 35,0 17,00 2,059 0,000256 3928

III 4,00 10 40,0 18,00 2,222 0,000182 3053

IV 4,50 10 45,0 19,00 2,368 0,000135 2683

V 4,87 10 48,7 19,74 2,467 0,000110 2527

Tabel Hitungan profil muka air dengan metode integrasi grafis

Nilai y pada kolom kedua dari tabel tersebut ditentukan secara sembarang kecuali nilai pada batas hulu dan hilir yang telah diketahui.

7972

252726833053

3928

y

f(y)

2,71 3,0 3,5 4,0 4,5 4,87

0 I II III IV V

1

2

3

45

y5=4,87

M1

GKN

yn=2,71 y1=3,0

y2=3,5

y3=4,0y4=4,5

x1

x3

x4

xmax

x2

Profil muka air hasil hitungan dengan metode integrasi grafis

Metode Langkah Langsung(Direct Step Method)

• Metode langkah langsung dilakukan dengan membagi saluran menjadi sejumlah pias dengan panjang x. Mulai dari ujung batas hilir di mana karakteristik hidraulis di tampang tersebut diketahui, dihitung kedalaman air pada tampang di sebelah hulu. Prosedur hitungan tersebut diteruskan untuk tampang di hulu berikutnya, sampai akhirnya didapat kedalaman air di sepanjang saluran. Ketelitian tergantung panjang pias, semakin kecil x semakin teliti hasil yang diperoleh.

Garis energig

V

2

21

y1

g

V

2

22

y2

hf = If ∆x

∆z = Io ∆x

∆x

fhg

Vyz

g

Vyz

22

22

22

21

11Persamaan energi (Persamaan Bernoulli)

Mengingat:

z1 – z2 = Io ∆x

hf = If ∆x

dan

maka:

fhg

Vyz

g

Vyz

22

22

22

21

11

xIg

Vy

g

VyxI fo

22

22

2

21

1

fo II

gV

yg

Vy

x

22

21

1

22

2

fo

ss

II

EEx

12

atau

fo

ss

II

EEx

12

Dengan mengetahui karakteristik aliran dan kekasaran pada satu tampang maka kecepatan dan kedalaman aliran di tampang yang lain dapat dihitung dengan menggunakan persamaan di atas. Kemiringan garis energi If adalah nilai rerata di tampang 1 dan 2, yang dapat didasarkan pada persamaan Manning atau Chezy. Apabila karakteristik aliran di kedua tampang diketahui maka jarak antara tampang dapat dihitung dengan rumus di atas.

Contoh Hitungan

• Suatu saluran segiempat dengan lebar B = 3 m mengalirkan air dengan debit Q = 3 m3/d. Kedalaman air pada suatu titik yang berdekatan adalah 1,3 m dan 1,2 m. Apabila koefisien Manning n = 0,018 dan kemiringan dasar saluran So = 0,0003, hitung jarak antara kedua tampang tersebut. (Metode langkah langsung)

PenyelesaianKarakteristik aliran pada tampang 1.Luas tampang basah : A1 = 3 x 1,3 = 3,9 m2

Keliling basah : P1 = 3 + 2 x 1,3 = 5,6 m

Jari-jari hidraulis : R = 6,5

9,3

P

A = 0,696 m

Tinggi kecepatan :

2

2

21

221

9,381,92

3

22

gA

Q

g

V= 0,03016

Karakteristik aliran pada tampang 2.Luas tampang basah : A2 = 3 x 1,2 = 3,6 m2

Keliling basah : P1 = 3 + 2 x 1,2 = 5,4 m

Jari-jari hidraulis : R = 4,5

6,3

P

A = 0,667 m

Tinggi kecepatan : 2

2

22

222

6,381,92

3

22

gA

Q

g

V= 0,0354

Tampang basah rerata : Ar = 2

6,39,3

221

AA

= 3,75 m2

Jari-jari hidraulis rerata : Rr = 2

667,0696,0

221

RR

= 0,6815 m

Kemiringan garis energi dihitung dengan rumus Manning berdasarkan nilai Ar dan Rr

000345757,06815,075,3

3018,03/42

22

3/42

22

rr

fRA

QnS

Jarak antara kedua tampang adalah :

m 2300

000345757,00003,0

3,10354,02,103016,022 1

21

2

22

fSS

hg

Vh

gV

x

Sekian & terima kasih

wassalamu’alaikum