Transformasi Matriks dan Persamaan CIS (ECI) ke WGS84 (ECEF)

Transformasi dari ECI (Earth-Centered Inertial) ke WGS 84 memanfaatkan teori dan nutasi

astronomis), perubahan standar Epoch J2000,0 dan definisi dari waktu universal yang

diadaptasi dari IAU (International Atronomical Union).

Dalam pembahasan ini, semua sistem koordinat menggunakan sistem tangan kanan dan tegak

lurus, serta rotasi positif adalah berlawanan arah dengan jarum jam.

Gambaran Umum

Untuk menyelesaikan masalah trasnformasi dari posisi komponen CIS ke datum WGS

84, hal yang harus kita lakukanadalah membentuk 4 matriks seperti yang terdapat

pada Pers. A.1, yaitu sebagai berikut : matriks presesi (D), matriks nutasi, matriks

sidereal time (B), dan matriks polar (A). Matriks ABCD tersebut akan

mentrasnformasikan dari sistem koordinat ECI ke WGS84.

Waktu dan Epoch

Dua jenis waktu yang dipakai disini adalah sidereal time dan universal/solar time.

Keduanya diukur berdasarkan rotasi harian dari bumi. Sidereal time biasanya

ditentukan dengan cara mengamati pergerakan bintang di bidang meridian pengamat.

Sedangkan solar time dapat dikaitkan dengan rata-rata matahari fiktif yang bergerak

sepanjang ekuator langit dengan gerak sidereal yang sepadan dengan rata-rata dari

gerak tahunan matahari sepanjang ekliptika.

Sejak 1 Januari 1972, skala waktu yang digunakan oleh banyak instansi adalah

coordinated universal time (UTC) yang berdasarkan pada pendefinisian ulang

koordinat waktu tersebut. Sedangkan Universal Time ditentukan dari pengamatan

gerak harian bintang, dan tidak mengandung ketidakseraman karena variasi rotasi dari

bumi

Presesi

Gerakan kompleks dari presesi dapat dibagi menjadi tiga, yatu sudut , z, dan .

Matrik presesi (D) mentransformasikan koordinat dari CIS atau sistem ECI ke sistem

inersial tanggal. Sumbu koordinat untuk CIS di deskripsikan di Pers. A.2 sebagai X1,

Y1, Z1. Sumbu X1 mengarah ke atas dan tegak lurus seperti pada Pers. A.2. Sumbu Z1

merupakan vektor yang tegak lurus bidang epoch di ekuator dan bernilai positif di

kutub utara langit, melengkapi sistem koordinat tangan kanan (90 di timur X1). Epoch

dinyatakan sebagia J2000,0, yang mana dimulai pada siang hari pada 1 Januari tahun

2000. Presesi teridiri dari tiga rotasi yang melalui tiga sudut.

o Rotasi positif sumbu Z1 melalui sudut (90 - )

o Rotasi positif sumbu X1 melalui sudut

o Rotasi negatif sumbu Z2 melalui sudut (90 + z)

Matriks D seperti yang ditunjukkan pada Pers. A.3 merupakan produk dari ketiga

matriks rotasi secara berurutan.

1. Konversi Vektor Julian Date ke Greenwich Apparent Sidereal Time (GAST)

Berikut ini merupakan tampilan awal program MATLABR2014a saat membuka

koding program konversi vektor Julian Date ke Greenwich Apparent Sidereal Time (GAST).

GAST selanjutnya akan digunakan dalam perhitungan koordinat ECI ke ECEF. Berikut ini

penjabarannya :

Dalam proses konversi, dibutuhkan input vektor Julian Date (JD) dalam bentuk

matriks dengan ukuran [N x M x L]

Output yang akan dihasilkan merupakan Greenwich Apparent Sidereal Time

berbentuk matriks vektor [N x M x L] yang mempunya satuan derajat.

Berikut ini adalah informasi tambahan dari program ini :

o Sumber :

Approximate Sidereal Time :

http://www.usno.navy.mil/USNO/astronomical-applications/astronomi

cal-information-center/approx-sider-time

Universal Sidereal Time, The Astronomical Almanac For The Year

2004

Program ini dibuat oleh Darin Koblick pada 17 Juli 2010 di update

pada tanggal 28 Mei 2012 dengan perubahan pada bidang miring

ekliptika

Selanjutnya langsung masuk ke koding utama

Dapat dilihat bahwa hasil GAST di definisikan sebagai hasil fungsi JD2GAST terhada

JD. Lalu didefinisikan pula THETAm sebagai hasil dari fungsi JDGMSTT terhadap JD

dimana THETAm merupakan siderial time dalam satuan derajat.

Lalu program akan menghitung jumlah abad sejak J2000.0

Rumusnya dededifinisikan sebagai :

T = (JD – 2451545.0)./36525.

Langkah selanjutnya adalah menghitung kemiringan dari bidang ekliptika yang

didefinisikan sebagai EPSILONm

Untuk dukungan informasi, dapat mengakses

http://www.cdeagle.com/ccnum/pdf/demogast.pdf (link tidak aktif) dan literatur

Fundamentals of Astrodyamics and Application (edisi kedua) oleh Vallado.

Rumus dari EPSILONm itu sendiri didefinisikan sebagai berikut :

EPSILONm = 23.439291-0.0130111.*T - 1.64E-07.*(T.^2) + 5.04E-07.*(T.^3)

Langkah selanjutnya adalah menghitung nutasi pada kemiringan dan bujut (dalam

derajat)

Disini didefinisikan :

L = 280.4665 + 36000.7698.*T;

dL = 218.3165 + 481267.8813.*T;

OMEGA = 125.04452 - 1934.136261.*T;

Lalu hitung nutasi menggunakan 2 persamaan berikut :

dPSI = -17.20.*sind(OMEGA) - 1.32.*sind(2.*L) - .23.*sind(2.*dL)

+ .21.*sind(2.*OMEGA);

dEPSILON = 9.20.*cosd(OMEGA) + .57.*cosd(2.*L) + .10.*cosd(2.*dL) -

.09.*cosd(2.*OMEGA);

Setelah mendapatkan nilai dPSI dan dEPSILON, makan konversi hasil-hasil tersebut

ke dalam bentuk derajat.

Sebagai langkah terakhir, menghitung GAST dengan cara sebagai berikut :

Rumus yang digunakan adalah :

GAST = mod(THETAm + dPSI.*cosd(EPSILONm+dEPSILON),360)

Perhitungan GAST telah selesai dan menghasilkan nilai dengan satuan derajat.

2. Transformasi Julian Date ke Greenwich Mean Sidereal Time (GMST

%----------------------------- Begin Function -----------------------------

1. Digunakan untuk memulai suatu program , untuk mengawali suatu program

bisa juga dengan mencantumkan nama , misal “%.............MAULIDA.........” atau

bisa juga “%......................... “.

%Purpose:

%--------

%Convert a specified Julian Date Vector to Greenwhich Mean Sidereal Time.

%

%Inputs:

%-------

%JD [N x M x L] Julian Date Vector

%

%

%Outputs:

%--------

%GMST [N x M x L] Greenwich Mean Sidereal

% Time in degrees from

% 0-360

%

2. Setelah itu mencantumkan tujuan dari pembuatan program , bisa dengan kata

“purpose” atau “function” . Tujuan dari transformasi ini adalah mengubah spesifikasi

vector Julian date ke GMST.

3. Input vektor Julian Date dalam bentuk matriks ( N x M x L). Outputnya berupa

waktu GMST dalam bentuk matriks ( N x M x L) yang dituliskan dalam satuan

derajat 0-360˚

4. Fungsi GMST = JD2GMST(JD)

Julian Date Senin 1 Januari 4713 SM (JD0)

5. Masukkan fungsi persamaan :

JD0 = NaN(size(JD));

JD0 : Representasi Julian Date Senin 1 Januari 4713 SM

NaN :Not a Number (fungsi bukan bilangan ,contoh: 0/0)

Size :Banyaknya Orde kolom dan Baris

JDmin = floor(JD)-.5;

Jdmin :WAKTU 12 JAM (0,5hari) sebelum waktu JD

floor(JD) : :Pembulatan kebawah JD

(JD)-.5 :Waktu JD-.5 (setengah hari sebelum JD 1 Januari 4713 SM (12.00

UT))

JDmax = floor(JD)+.5;

Jdmax : WAKTU 12 JAM (0,5hari) sesudah waktu JD

floor(JD) : Pembulatan kebawah JD

(JD)+.5 : Waktu JD-.5 (setengah hari sesudah JD 1 Januari 4713 SM

(12.00 UT))

JD0(JD > JDmin) = JDmin(JD > JDmin);

JD0(JD > JDmax) = JDmax(JD > JDmax);

Merupakan Persamaan rumus Julian Date.

H = (JD-JD0).*24; :Time in hours past previous midnight

D = JD - 2451545.0; : Compute the number of days since J2000

D0 = JD0 - 2451545.0; : Compute the number of days since J2000

T = D./36525; :Compute the number of centuries since J2000

6. Hitung waktu GMST (pada waktu 24 jam) yang ditampilkan dalam derajat

GMST = mod(6.697374558 + 0.06570982441908.*D0 + 1.00273790935.*H + ...

0.000026.*(T.^2),24).*15

7. Transformasi selesai

3. Tranformasi ACI ke ECEF

%----------------------- Begin Code Sequence -----------------------------%

% Purpose: %

% Convert ECI (CIS, Epoch J2000.0) Coordinates to WGS 84 (CTS, ECEF) %

% Coordinates. This function has been vectorized for speed. %

% %

% Inputs: %

%------- %

%JD [1 x N] Julian Date Vector

%

%r_ECI [3 x N] Position Vector

% in ECI coordinate

% frame of reference

%

%v_ECI [3 x N] Velocity Vector in

% ECI coordinate

% frame of reference

%

%a_ECI [3 x N] Acceleration Vector

% in ECI coordinate

% frame of reference

Diatas merupakan Solution structure yang menghitung kesalahan dengan mengeliminasi baris

dan kolom dengan menentukan derajat kebebasannya.

- Tujuan dari program diatas yaitu mengubah koordinat ECI (CIS,Epok J2000.0)

kekoordinat WGS 84(CTS,ECEF).

- Adapun data yang diinputkan

1. Vektor Julian Date (JD) yaitu matriks yang berukuran 1 x N

2. Vektor posisi dalam bidang referensi koordinat ECI(r_ECI) yaitu berupa

matriks berukuran 3 x N

3. Vektor kecepatan dalam bidang referensi koordinat ECI(v_ECI) yaitu berupa

matriks berukuran 3 x N

4. Vektor percepatan dalam bidang referensi koordinat ECI(a_ECI) yaitu berupa

matriks berukuran 3 x N

% Outputs:

%--------- %

%r_ECEF [3 x N] Position Vector in

% ECEF coordinate

% frame of reference

%

%v_ECEF [3 x N] Velocity vector in

% ECEF coordinate

% frame of reference

%

%a_ECEF [3 x N] Acceleration Vector

% in ECEF coordinate

% frame of reference

Diatas disebut Output displacements and reaction . Dari data yang diinputkan , maka

outputnya akan berupa :

1. Vektor posisi dalam bidang referensi koordinat ECI(r_ECI) yaitu berupa

matriks berukuran 3 x N

2. Vektor kecepatan dalam bidang referensi koordinat ECI(v_ECI) yaitu

berupa matriks berukuran 3 x N

3. Vektor percepatan dalam bidang referensi koordinat ECI(a_ECI) yaitu

berupa matriks berukuran 3 x N

- Untuk mendapatkan outputnya maka harus didefinisikan programnya terlebih dahulu .

Misal function(nilai output/r_ECEF v_ECEF a_ECEF)=nama fungsi(tanpa spasi

/ECItoECEF).

- Setelah itu masukkan perintah untuk menghitung nilai Greenwich Apparent Sidereal

Time (THETA) yang dihasilkan dari fungsi sebelumnya yaitu

THETA+JD2GAST(JD)

- Menghitung rotasi inersial rata-rata bumi dalam radian per sekon , yaitu dengan

fungsi omega_e.

- Setelah itu mengumpulkan matriks transformasi yang digunakan untuk mengubah

ECI ke ECEF . Fungsi squeeze digunakan untuk memasukkan matriks

multidimensional.

- Fungsi SUM menyatakan penjumlahan . fungsi bsxfun adalah untuk menerapkan

elemen operasi biner untuk dua susunan dengan ekspansi tunggal yang diizinkan.

Fungsi @times untuk susunan berganda. Fungsi Repmat merupakan untuk

mengulang susunan sebelumnya . Permute berfungsi untuk mengatur kembali

susunan yang diinginkan. Sedangkan Size untuk menyatakan ukuran matriks.

- Setelah itu membuat fungsi T3D input value THETA dengan orde 3 x 3 dan

outputnya adalah T. Fungsi Zeros adalah membuat susunan matriks nol.

- Membuat fungsi Tdot3D dengan input value THETA & omega_e sehingga diperoleh

keluaran Tdot

- Membuat fungsi Tddot3D dengan input value THETA & omega_e sehingga diperoleh

keluaran Tddot

Daftar Pustaka

A.J.M Ferreira.MATLAB Codes for Finite Element Analysis.Solid Mechanics and

Structure,Portugal 2008

Convert Earth-centered inertial (ECI) to Earth-centered Earth-fixed (ECEF)

http://www.mathworks.com/help/aerotbx/ug/dcmeci2ecef.html

Declare function name, inputs, and outputs - MATLAB function

http://www.mathworks.com/help/matlab/ref/function.html

How To: Transform between the Earth Centered Fixed and Earth Centered Inertial reference

frames « AGI Dynamic Geometry Library Blog

http://blogs.agi.com/dynamicGeometry/?p=68