kompilasi soal uan sma

Rangkuman dan Kompilasi Soal Ujian Nasional Lima Tahun Terakhir 1

BENTUK PANGKAT, AKAR, DAN LOGARITMA1

A. Bentuk Pangkat

B. Bentuk Akar

1. Jika n bilangan bulat positif dan a bilangan real

maka:

faktor

n

n

a a a a

2. Sifat-sifat bilangan berpangkat bulat dan nol

am an am n

, 0m

m nn

a a aa

a0 1, a 0

3. Sifat pemangkatan bilangan berpangkat

(am)n amn

n n

na ab b

(a b)n an bn

1mma

a

1. Sifat-sifat bentuk akar

mn m na nn n nab a b

( )n n np a q a p q a

, 0n

nn

a a bb b

( )n n np a q a p q a

m n mna a

2. Bentuk-bentuk akar sekawan

a sekawan dengan a

a a sekawan dengan a a

a b sekawan dengan a b

C. Bentuk Logaritma

1. Jika n adalah logaritma dari a dengan bilangan

pokok p, maka berlaku:plog a n pn a; a 0, p 0 dan p 1

2. Sifat-sifat logaritma

plog (ab) plog a plog balog an n

log log logp p pa a bb

plog 1 0

plog an n · plog alog

log

q

qanp

plog a · alog q plog q

logp ap a

log lognp m pma a

nalog a 1

plog a lognp na

2 Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA

I N G A T

1. Nilai x yang memenuhi persamaan

114

x 3 3 12 x adalah . . . .

A.2

9x D.

2

5x

B.4

9x E.

4

5x

C.5

9x

Jawab:1

14

x 133 12 x

2

11

2

x3 1

32x

(2 2)x 1 3 1

32x

2x 23 1

3

x

3( 2x 2) 3x 1

6x 6 3x 1

6x 3x 1 6

9x 5 x 59

Kunci: C

2. Jika 2log x 4log y 4log z2, maka z2 . . . .

A. x y D. 4x yB. 2x y E. 2 4x yC. xy

Jawab:2log x 4log y 4log z2

4log x2 4log y 4log z2

4log x2 · y 4log z2 z2 2x yKunci: B

A. 2log 3 D. (3log 2)2

B. 3log 2 E. (2log 3)2

C. 4log 9

Jawab:

mn

2 2

3 3

1 log log

log log

a bmn b a

(2log a alog 3) (2log b blog 3)2log 3 2log 3

(2log 3)2 Kunci: E

4. 1.000

3 log (log ). . . .

3 log (log )

xx

A.1

1log (log )x

B.1 1

3.000 1.000 log (log )x

C.1 1

3 100 log (log )x

D. 13

1

E. 13

Jawab:

1.000

3 log (log ) 3 log (log )

3log (1.000log )3log (log )

3 log (log )

3(log 1.000 log log )

3 log (log )

3(3 log log )

1

3

x xxx

xx

xx

Kunci: E

5. Jika 5log 3 a dan 3log 2 b, 6log 75 sama

dengan . . . .

A.1

ab D.

2

1

ab

B.a

a b E.2

(1 )

aa b

C.2 aa b

SoalSoalContohContoh

2log x 22 log x2 4log x2

3. Jika2

3

log

log

ab

m dan 3

2

log

log

ab

n, a > 1 dan

b 1, maka mn

. . . .


Jawab:

• 5log 3 alog 3

log 5a log 3 a log 5

• 3log 2 blog 2

log 3b

log 2 b log 3

b (a log 5)

ab log 5

• 6

2 2

log 75 log 25 3log 75

log 6 log 2 3

log 5 3 log 5 log 3

log 2 3 log 2 log 3

2 log 5 log 3

log 2 log 3

2 log 5 log 5

log 5 log 5

(2 ) log 5 2 2

( )log 5 (1 )

aab a

a a aab a ab a a b

1. Nilai 2x yang memenuhi 4x 2 3 516x

adalah . . . .

A. 2 D. 16

B. 4 E. 32

C. 8

2. Diketahui 2x 2 x 5. Nilai 22x 2 2x . . . .

A. 23 D. 26

B. 24 E. 27

C. 25

3. Nilai dari

32

5 134

56

2

7

6

x y

x y x untuk x 4 dan

y 27 adalah . . . .

A. (1 2 2) 9 2 D. (1 2 2) 27 2

B. (1 2 2) 9 3 E. (1 2 2) 27 3

C. (1 2 2) 18 3

4. Diketahui 3log 2 x dan 2log 5 y, maka5log 15 . . . .

A.1x y

x y D.1

x y

B.1xy

xy E.1

xy

C.xy

x y

5. Himpunan penyelesaian persamaan

22x 5 · 2x 1 16 0 adalah . . . .

A. { 2, 8} D. {1, 8}

B. { 2, 3} E. {2, 8}

C. {1, 3}

6. Nilai

3 2132 4

30,25 0,5

25 16 27

625 81p adalah . . . .

A. 2 D. 16

B. 8 E. 36

C. 15

7. Diketahui 2log 5 p dan 3log 2 q.

Nilai 3log 125 8log 27 . . . .

A.3p q

q D.23 3pq

B.3

p qq E.

23p qq

C.23 1pqq

8. Akar dari persamaan 35x 1 27x 3 adalah

. . . .

A. 1 D. 4

B. 2 E. 5

C. 3

9. Nilai x dari persamaan

21392

3

3x

adalah . . . .

A. 23 D. 1

33

B. 12

4 E. 12

4

C. 13

3

Kunci: E

Soal-SoalSoal-Soal Ujian NasionalUjian Nasional


Bentuk umum persamaan kuadrat adalah

ax2 bx c 0

di mana a, b, c R dan a 0

1. Rumus abcRumus menentukan akar persamaan kuadrat ax2

bx c 0; a, b, c R dan a 0 adalah

2

1,2

4

2

b b acx

a

2. Memfaktorkan

Bentuk a2 bx c 0 diubah menjadi bentuk

1

a (ax p)(ax q) 0

di mana: p q bpq ac

Sehingga akan diperoleh 1 2danp qx x

a a

PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT2

3. Melengkapkan kuadrat

Bentuk x2 bx c 0 diubah menjadi bentuk

(x p)2 q

di mana: 2

2

2

b

b

p

q c

Sehingga diperoleh x1 dan x

2

Jika x1 dan x

2 akar-akar persamaan kuadrat

ax2 bx c 0; a, b, c R dan a 0 maka:

1. Jumlah akar-akar persamaan kuadrat adalah:

1 2bx xa

2. Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat adalah:

1 2cx xa

Menentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat dengan

diskriminan D1. D 0 memiliki dua akar yang sama dan real

2. D 0 memiliki dua akar bilangan real yang

berbeda (x1

x2)

3. D 0 tidak memiliki akar bilangan real

Setiap tahun selalu keluar 1 soal tentangbentuk pangkat, bentuk akar, danlogaritma. Diprediksikan pada tahun2006 akan keluar juga salah satu dariketiga bentuk, apakah bentuk pangkat,bentuk akar, atau logaritma.

Analisis

A. Persamaan Kuadrat

D. Jenis-Jenis Persamaan Kuadrat

Pahami sifat-sifat dari bentuk pangkat,akar, logaritma.

B. Penyelesaian Persamaan Kuadrat

C. Jumlah Hasi Kali Persamaan

Kuadrat


Persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar x1 dan x

2

adalah:

a(x x1)(x x

2) 0 a(x2 (x

1x

2) x x

1x

2) 0

E. Membentuk Persamaan Kuadrat

F. Fungsi Kuadrat

Langkah-langkah untuk menggambar grafik fungsi

1. Tentukan titik potong terhadap sumbu-xPada gambar (i) dan (ii), titik potong terhadap

sumbu -x berturut-turut adalah titik A dan titik Bserta titik D dan titik E.

2. Tentukan titik potong terhadap sumbu-yPada gambar (i) dan (ii), titik potong terhadap

sumbu-y berturut-turut adalah titik C dan titik F.

3. Perhatikan koefisien x2, yaitu a.

a 0 : Grafik terbuka ke atas

Seperti gambar (i)

a 0 : Grafik terbuka ke bawah

Seperti gambar (ii)

4 Menentukan nilai diskriminan DD 0 : Grafik menyinggung sumbu-x

D 0 : Grafik memotong sumbu-x pada dua

titik

D 0 : Grafik tidak memiliki titik potong

dengan sumbu-x

1. Jika jumlah kuadrat akar-akar persamaan

x2 3x n 0 sama dengan jumlah pangkat tiga

akar-akar persamaan x2 x n 0, maka nilai nadalah . . . .

A. 8 D. 8

B. 6 E. 10

C. 2

Jawab:Misalkan:

Akar-akar persamaan x2 3x n 0 adalah

a dan bAkar-akar persamaan x2 x n 0 adalah cdan d

a2 b2 c3 d3

(a b)2 2ab (c d)3 3cd(c d)

32 2n ( 1)3 3( n)( 1)

9 2n 1 3n2n 3n 1 9

n 10 Kunci: E

2. Jika x, dan x2 adalah akar-akar persamaan

x2 log x 1.000, maka x1

· x2 sama dengan . . . .

A. 10 1 D. 10

B. 10 2 E. 100

C. 1

Jawab:

x2 log x 1.000

log x2 log x log 103

(2 log x) log x 3

2 log x log2x 3

log 2x 2 log x 3 0

(log x 1)(log x 3) 0

log x 1 atau log x 3

x 10 x 10 3

Jadi, x1 · x

2 10 · 10 3 10 2 Kunci: B


A B

C

(i)

y

xO

(ii)

F

D E

y

xO


3. Parabola dengan titik puncak (3, 1) dan melalui

(2, 0) memotong sumbu-y di titik . . . .

A. (0, 5)

B. (0, 6)

C. (0, 7)

D. (0, 8)

E. (0, 9)

Jawab:P(p · q) P(3, 1) p 3 dan q 1

Persamaan kuadrat: y a(x p)2 qMelalui titik (2, 0) y a(x p)2 q

0 a(2 3)2 ( 1)

0 a( 1)2 1

0 a 1

a 1

Sehingga diperoleh persamaan

y a(x p)2 qy 1(x 3)2 1

y x2 6x 9 1

y x2 6x 8

Titik potong dengan sumbu-y maka x 0

y x2 6x 8

y 02 6(0) 8

y 8

Jadi, parabola memotong sumbu-y di titik

(0, 8) Kunci: D

4. Kurva pada gambar berikut adalah grafik

fungsi . . . .

A. f(x) (x 1)(2 x)

B. f(x) (x 1)(x 2)

C. f(x) 2 x x2

D. f(x) x2 x 2

E. f(x) (x 1)(x 2)

Jawab:Persamaan kuadrat

y a(x x1)(x x

2)

y a(x ( 1))(x 2)

y a(x 1)(x 2)

Melalui titik (0, 2)

y a(x 1)(x 2)

2 a(0 1)(0 2)

2 2aa 1

Sehingga diperoleh,

y a(x 1)(x 2)

f(x) 1(x 1)(x 2)

(x 1)( x 2)

(x 1)(2 x) Kunci: A

5. Jika grafik fungsi y x2 ax b mempunyai titik

puncak (1, 2) maka nilai a dan b adalah . . . .

A. a 1, b 3 D. a 0,5, b 1,5

B. a 1, b 3 E. a 0,5, b 1,5

C. a 2, b 3

Jawab:Persamaan kuadrat

y x2 ax b a 1, b a, dan c bMelalui titik puncak (1, 2)

2 2(1)

12

2

b ax xa

a

aDiskriminan

2 2

2

4 4(1)( )2

4 4(1)

(( 2) 4 )2

4

8 4 4

8 4 4

12 4

3

b ac a bya

b

bbb

b

Jadi, a 2 dan b 3 Kunci: C

6. Akar-akar persamaan x2 6x 12 0 adalah

x1 dan x

2. Persamaan baru yang akar-akarnya

1 2

3 3

x x dan x

1x

2 adalah . . . .

A. x2 9x 18 0

B. x2 21x 18 0

C. x2 21x 36 0

D. 2x2 21x 36 0

E. 2x2 18x 18 0

y

x1 O 2

2

y

x1 2 3 4 5

1


Jawab:x2 6x 12 0 a 1, b 6, dan c 12

1 2

1 2

66

1

1212

1

bx xa

cx xa

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan

adalah (x )(x ) 0 sehingga jika akar-

akarnya1 2

3 3x x dan x

1x

2 diperoleh:

1 21 2

2 11 2

1 2

1 21 2

1 2

2

2

3 3( ) 0

3 3( ) 0

3( )( ) 0

3( 6)( ( 12)) 0

12

3( 12) 0

2

2118 0

2

2 21 36 0

x x x xx x

x xx x x x

x x

x xx x x x

x x

x x

x x

x x

x xKunci: D

1. Akar-akar persamaan 2x2 2px q2 0 adalah pdan q di mana p q 6. Nilai pq adalah . . . .

A. 6 D. 6

B. 2 E. 8

C. 4

2. Absis titik balik grafik fungsi

y px2 (p 3)x 2 adalah p.

Nilai p sama dengan . . . .

A. 3 D.2

3

B.3

2E. 3

C. 1

3. Persamaan kuadrat mx2 (m 5)x 20 0, akar-

akarnya saling berlawanan. Nilai m . . . .

A. 4 D. 8

B. 5 E. 12

C. 6

4. Jika x1 dan x

2 akar-akar persamaan x2

px 1 0, maka persamaan kuadrat yang akar-

akarnya1 2

2 2x x dan x

1x

2 adalah . . . .

A. x2 2p2x 3p 0

B. x2 2px 3p2 0

C. x2 3px 2p2 0

D. x2 3px p2 0

E. x2 p2x p 0

5. Persamaan 2x2 qx (q 1) 0 mempunyai

akar-akar x1 dan x

2. Jika x

12 x

22 4, maka nilai

q . . . .

A. 6 dan 2 D. 3 dan 5

B. 5 dan 3 E. 2 dan 6

C. 4 dan 4

6. Jika nilai diskriminan persamaan kuadrat

2x2 9x c 0 adalah 121, maka nilai c adalah.

. . .

A. 8 D. 5

B. 5 E. 8

C. 2

7. Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum

2 untuk x 3, dan untuk x 0 nilai fungsi itu 16.

Fungsi kuadrat itu adalah . . . .

A. f(x) 2x2 12x 16

B. f(x x2 6x 8

C. f(x) 2x2 12x 16

D. f(x) 2x2 12x 16

E. f(x) x2 6x 8

8. Agar F(x) (p 2)x2 2(2p 3)x 5p 6 bernilai

positif untuk semua x, maka batas-batas nilai padalah . . . .

A. p 1 D. 1 p 2

B. 2 p 3 E. p 1 atau p 2

C. p 3



9. Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai maksimum

3 untuk x 1 dan grafiknya melalui titik (3, 1),

memotong sumbu-y di titik . . . .

A. 72

0, D. (0, 2)

B. (0, 3) E. 32

0,

C. 52

0,

10. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan 2

adalah . . . .

A. x2 7x 10 0

B. x2 7x 10 0

C. x2 3x 10 0

D. x2 3x 10 0

E. x2 3x 10 0

11. Nilai x yang memenuhi sistem persamaan linier

2 8

2 9

3 3

x yy z

x y z

adalah . . . .

A. 4 D. 2

B. 3 E. 3

C. 2

12. Akar-akar persamaan x2 x 6 0 adalah

dan . Persamaan kuadrat yang akar-akarnya

2 3 dan

2 3 adalah . . . .

A. 39x2 19x 6 0

B. 39x2 16x 6 0

C. 39x2 19x 6 0

D. 39x2 19x 6 0

E. 39x2 16x 6 0

13. Persamaan kuadrat x2 (m 1)x 2 14 0

mempunyai dua akar yang berlainan. Batas-batas

nilai m yang memenuhi adalah . . . .

A. 2 m 4 D. m 2 atau m 4

B. 4 m 2 E. m 2 atau m 4

C. m 2 atau m 4

14. Persamaan grafik fungsi kuadrat pada gambar

adalah . . . .

A. y x2 4x 5 D. y x2 4x 5

B. y x2 2x 5 E. y x2 4x 5

C. y x2 2x 5

15. Diketahui x1 dan x

2 adalah akar-akar persamaan

x2 px 2 dan 1

2

112 2

x xx . Nilai p . . . .

A. 4 D. 2

B. 2 E. 4

C. 1

16. Persamaan kuadrat (m 1)x2 4x 2m 0

mempunyai akar-akar tidak nyata. Nilai m yang

memenuhi adalah . . . .

A. 2 m 1 D. m 2 atau m 1

B. 1 m 2 E. m 1 atau m 2

C. 1 m 2

17. Grafik suatu fungsi kuadrat dalam x, memotong

sumbu-x di titik yang berabsis 1 dan 5, serta melalui

titik (6, 10). Fungsi kuadrat ini mempunyai . . . .

A. nilai maksimum 8

B. nilai minimum 8

C. nilai nol untuk x 1

D. nilai maksimum 8

E. nilai minimum 8

18. Akar-akar persamaan kuadrat x2 x 2 0 adalah

x1 dan x

2. Persamaan kuadrat baru yang akar-

akarnya1 2

2 1dan

x xx x adalah . . . .

A. 2x2 3x 2 0

B. 2x2 3x 2 0

C. 2x2 5x 2 0

D. x2 5x 2 0

E. x2 3x 2 0

19. Batas-batas nilai p supaya persamaan kuadrat

x2 3px 6 3x 10p, mempunyai akar-akar real

adalah . . . .

A. 59

atau 3p p

B. 53

atau 3p p

C. 59

atau 3p p

D. 59

atau 3p p

E. 59

3p

20. Grafik fungsi kuadrat y 3x2 12x 6 memotong

salah satu sumbu koordinat di titik (a, 0) dan

(b, 0) dengan a b. Pernyataan berikut benar,

y

xO

(2, 1)

(0, 5)


kecuali . . . .A. grafik terbuka ke atas

B. a · b 2

C. a b 4

D. 4 2a b

E. 3 2 2ab

21. Diketahui persamaan kuadrat x2 x 2 0

mempunyai akar-akar x1 dan x

2.

Nilai x13 x

23 . . . .

A. 7 D. 10

B. 5 E. 13

C. 5

22. Agar (3m 1)x2 4(m 1)x m 4 untuk setiap

x real, maka haruslah . . . .

A. m 0 atau m 5

B. 13

5m

C. 0 m 5

D. 5 m 0

E. 13

5m m

23. Fungsi f(x)2

, 11

x xx

mempunyai kurva

seperti . . . .

A. D.

B. E.

C.

24. Persamaan kuadrat 2x2 3x 4 0 mempunyai

akar-akar x1 dan x

2. Persamaan kuadrat yang akar-

akarnya1 2

1 1danx x adalah . . . .

A. 4x2 3x 4 0

B. 4x2 3x 2 0

C. 4x2 3x 4 0

D. 4x2 3x 2 0

E. 4x2 3x 2 0

25. Nilai x yang menyebabkan pernyataan: ”Jika

x2 x 6 maka x2 3x 9” bernilai salah

adalah . . . .

A. 3 D. 2

B. 2 E. 6

C. 1

26. Fungsi kuadrat yang titik puncaknya adalah

perpotongan garis y x 3 dan 5x 2y 20 dan

melalui (0, 3) adalah . . . .

A.21

22 3y x x

B.21

22 3y x x

C.2 1

22 3y x x

D.2 1

22 3y x x

E.2 1

22 3y x x

y

y 2

1

0x 1

x

y x 1

y 1

x02

x 1

x 1

y 2x

y

0

y

x 1

0y 1

y

y 1x0

2

2x 1

Setiap tahun soal tentang persamaan danfungsi kuadrat pasti keluar minimal 2soal. Bentuk soal yang sering keluaradalah seperti soal nomor 22, 23, 24, dan26.

Analisis

Pelajari cara menentukan fungsi kuadratjika diberikan gambar grafik dan jugacara menentukan persamaan kuadratyang baru jika diketahui akar-akarnya.


1. Bentuk umum sistem persamaan linier dua variabel

1 1 1

2 2 2

a x b y ca x b y c

di mana a1, b

1, c

1, a

2, b

2, c

2R

2. Penyelesaian SPL ada empat cara, yaitu:

Metode grafik: dilakukan dengan menggambar

grafik dari SPL

Metode substitusi: dilakukan dengan

mensubstitusi salah satu peubah

Metode eliminasi: salah-satu variabelnya

dihilangkan dengan cara menjumlahkan atau

mengurangkan kedua persamaan linier

Gabungan metode eliminasi dan substitusi

3. Bentuk umum SPL tiga variabel

a1x b

1y c

1z d

1

a2x b

2y c

2z d

2

a3x b

3y c

3z d

3

di mana a1, a

2, a

3, b

1, b

2, b

3, d

1, d

2, d

3, R

1. Bentuk Umum Sistem Persamaan Linier-Kuadrat

y px q … Persamaan liniery ax2 bx c … Persamaan kuadrat

2. Menentukan banyaknya penyelesaian SPL dan

sistem persamaan kuadrat (SPK) adalah sebagai

berikut:

Jika garis memotong parabola, maka sistem

persamaan memiliki dua persamaan.

SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN KUADRAT3

A. Persamaan Kuadrat

B. Sistem Persamaan Non-Linier

SPL

SPK

y

x

SPK

SPL

y

x

ySPL

SPKx

Bentuk umum sistem persamaan kuadrat dua variabel

2

2

y ax bx c

y px qx r

dengan a, b, c, p, q, r R

C. Sistem Persamaan Kuadrat

Jika garis menyinggung parabola, maka sistem

persamaan memiliki satu penyelesaian.

Jika garis tidak menyinggung parabola, maka

persamaan linier-kuadrat tidak memiliki

penyelesaian.


1. Jika pembilang dari suatu pecahan ditambah 2

dan penyebutnya ditambah 1 akan diperoleh hasil

bagi sama dengan 12

. Jika pembilang ditambah 1

dan penyebut dikurangi 2, diperoleh hasil bagi sama

dengan 35

. Pecahan yang dimaksud adalah . . . .

A.2

3D.

2

7

B.6

21E.

3

4

C.8

12

Jawab:

Misalkan pecahan tersebut adalah ab

Pembilang 2 1

Penyebut 1 2

2 1

1 2

2( 2) 1

2 4 1

2 3 .... (1)

ab

a ba b

b a

Pembilang 1 3

Penyebut 2 5

1

2

ab

3

55(a 1) 3(b 2)

5a 5 3b 6

3b 5a 11 .... (2)

Substitusi Persamaan (1) ke Persamaan (2)

3(2a 3) 5a 11

6a 9 5a 11

6a 5a 11 9

a 2

Substitusi nilai a ke Persamaan (1) atau

Persamaan (2). Misalkan ke Persamaan (2)

3b 5a 11

3b 5(2) 11

3b 10 11

3b 21

b 7

Jadi, pecahan tersebut adalah 27 . Kunci: D

2. Jika x dan y memenuhi persamaan

2 1 1 21 dan 8

x y x y

maka1

x y . . . .

A. 32

D. 5

B. 56

E. 6

C. 65

Jawab:

Misalkan:1 1

dana bx y

2a b 1 1 2a b 11

a 2b 8 2 2a 4b 16

5b 15

b 3

2a b 1

2a 3 1

2a 4

a 2

Sehingga diperoleh

1 12 2

2

1 13 3

3

a xx

b yy

Jadi,11 162 3

1 1 16

x y. Kunci: E

3. Himpunan penyelesaian sistem persamaan

73 2

36

4 2 2

16 4 3

x y z

x y z

x y z

adalah {x, y, z}. Nilai x y z . . . .

A. 7 D. 7

B. 5 E. 13

C. 1



Jawab:

7 ...... (1)3 2

36 ...... (2)

4 2 2

1 ...... (3)6 4 3

x y z

x y z

x y z

Eliminasi y pada Persamaan (1) dan

Persamaan (2).

3 2

3

4 2 2

32

3 14 2 2

5 54 2

7 3

6 1

3 21

6

15 .... (4)

yx

yx z

x

z

x y z

y z

x z

Eliminasi y pada Persamaan (2) dan

Persamaan (3).

34 2 2

6 4 3

34 2 2

32

3 54 2

6 1

1 6

6

2 6

12

x z

yx Z

x z

y

y

x y z

x z

.... (5)

Eliminasi z pada Persamaan (4) dan

Persamaan (5).

5 54 2

3 54 2

24

15

12

3

2 12

6

x z

x z

x

xx

Substitusi nilai x ke Persamaan (4) atau (5).

Misalkan ke Persamaan (5).

3 54 2

18 54 2

5 302 4

(6) 12

12

20 60

3

z

z

z

zz

Substitusi nilai x dan z ke salah satu

persamaan. Misalkan Persamaan (1).

73 2

6( 3) 7

3 2

7 3 22

22

4

x y z

y

y

y

yJadi, x y z 6 4 3 5. Kunci: B

4. Dua buah mobil menempuh jarak 450 km.

Kecepatan mobil kedua setiap jamnya 15 km

lebihnya daripada kecepatan mobil pertama. Jika

waktu perjalanan mobil kedua 1 jam lebih cepat

dari waktu perjalanan mobil pertama, maka rata-

rata kecepatan kedua mobil tersebut adalah . . . .

A. 97,5 km/jam D. 85 km/jam

B. 92,5 km/jam E. 82,5 km/jam

C. 87,5 km/jam

Jawab:Misalkan:

Jarak yang ditempuh mobil 1 s1

Jarak yang ditempuh mobil 2 s2

Kecepatan mobil 1 v1

Kecepatan mobil 2 v2

Waktu perjalanan mobil 1 t1

Waktu perjalanan mobil 2 t2

Diketahui:

s1

s2

450

v1

xv

2v

1 15 v

2x 15

t1

tt2

t1

1

t1

1

1

450sv x

t2

t1

1 2

2

sv

4501

x450

15x

450 xx

450

15x

(450 )(x 15) 450x450x 6.750 x2 15x 450x

x2 15x 6.750 0

x2 15x 6.750 0

(x 90)(x 75) 0


x 90 0 atau x 75 0

x 90 x 75

(tidak memenuhi)

v1

x 75

v2

v1

15 75 15 90

vrata-rata

1 2 75 90

2 2

v v

82,5 Kunci: E

5. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan

2 2 5

4

y x x

y x

adalah . . . .

A. {(5, 20), (1, 4)}

B. {( 5, 20), ( 1, 4)}

C. {(5, 20), (1, 4)}

D. {( 5, 20), ( 1, 4)}

E. {(5, 20), ( 1, 4)}

Jawab:y x2 2x 5 ..... (1)

y 4x ..... (2)

Substitusi Persamaan (2) ke Persamaan (1)

4x x2 2x 5

x2 6x 5 0

(x 5)(x 1) 0

x 5 0 atau x 1 0

x 5 x 1

• Untuk x 5 y 4x 4(5) 20

• Untuk x 1 y 4x 4(1) 4

HP: {(5, 20), (1, 4)} Kunci: C

1. Himpunan penyelesaian sistem persamaan

6 3 21

7 4 2

x y

x y

adalah {(x0, y

0)}. Nilai 6x

0y

0 . . . .

A.1

6D. 6

B.1

5E. 36

C. 1

2. Seorang ayah membagikan uang sebesar

Rp100.000,00 kepada 4 orang anaknya. Makin

muda usia anak makin kecil uang yang diterima.

Jika selisih yang diterima oleh setiap dua anak

yang usianya berdekatan adalah Rp5.000,00 dan

si sulung menerima uang paling banyak, maka

jumlah yang diterima oleh si bungsu adalah . . . .

A. Rp15.000,00 D. Rp22.500,00

B. Rp17.500,00 E. Rp25.000,00

C. Rp20.000,00

3. Hani dan Yasmin berbelanja di suatu pasar. Hani

membayar Rp853.000,00 untuk empat barang I

dan tiga barang II. Sedangkan Yasmin membayar

Rp1.022.000,00 untuk tiga barang I dan lima barang

II. Harga barang I adalah . . . .

A. Rp109.000,00 D. Rp106.000,00

B. Rp108.000,00 E. Rp105.000,00

C. Rp107.000,00

4. Jika x dan y memenuhi sistem persamaan

2 1

x y 1 dan 1 2

8,x y maka

1

x y . . . .

A.3

2D. 5

B. 5

6E. 6

C.6

5

Bentuk soal yang sering keluar adalahseperti soal nomor 1 dan 4. Setiap tahunsoal tentang sistem persamaan linierselalu keluar minimal 1 soal.

Analisis

Pelajari cara menyelesaikan sistempersamaan linier dengan dua dan tigavariabel.



1. Pertidaksamaan linier adalah pertidaksamaan

dengan pangkat tertinggi dari variabelnya satu.

2. Sifat-sifat untuk menyelesaikan pertidaksamaan

linier

a. Sifat-sifat untuk menyelesaikan pertidak-

samaan adalah

x y x z y z dan x z y z

x y x z y z dan x z y z

b. Sifat perkalian dan pembagian dengan bilangan

positif

x y dan z 0 xz yz dan x yz z

x y dan z 0 xz yz dan x yz z

Bentuk umum pertidaksamaan bentuk akar

f g

dengan syarat terdefinisi f 0 dan g 0

PERTIDAKSAMAAN4

A. Pertidaksamaan Linier

B. Pertidaksamaan Kuadrat

Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat

ax2 bx c 0 atau ax2 bx c 0

ax2 bx c 0 atau ax2 bx c 0

di mana a, b, c R

C. Pertidaksamaan Pecahan

Pertidaksamaan pecahan merupakan pertidaksamaan

yang memuat variabel pada penyebutnya.

Misalkan:

2

2

2

2

0 atau

0

ax cax bx c

ax bx cx bx c

D. Pertidaksamaan Bentuk Akar

E. Pertidaksamaan Bentuk Nilai Mutlak

1. Definisi nilai mutlak dari suatu bilangan real xadalah

, jika 0| |

, jika 0

x xx

x x

2. Sifat-sifat nilai mutlak

2| |p p

|p q| |p| |q|

| | | || |pq p q

|x| p p x p

, 0p p qq q

|x| p x p atau x p


1. Perhatikan gambar! Untuk 6 x2 5x 6

6 x2 5x 6

x2 5 6

x2 5x 6 0

(x 6)(x 1) 0

HP: { 6 x 3 atau 2 x 1} Kunci: C

3. Nilai-nilai yang memenuhi pertidaksamaan

|x 2|2 4 |x 2| 12 adalah . . . .

A. 4 x 8

B. x 8 atau 4

C. x 2 atau x 2

D. 2 x 2

E. x 8 atau x 2

Jawab:|x 2|2 4 |x 2| 12 Misalkan |x 2| p

p2 4p 12

p2 4p 12 0

(p 6)(p 2) 0

p 6

Nilai minimum f(x, y) 2x 3yUntuk (x, y) di daerah yang diarsir adalah . . . .

A. 10 D. 13

B. 11 E. 14

C. 12

Jawab:Perhatikan titik pojok dari daerah yang diarsir

Titik Pojok f(x, y) 2x 3yA(0, 4) 2(0) 3(4) 12

B(2, 2) 2(2) 3(2) 10

C(5, 5) 2(5) 3(5) 25

Jadi, nilai minimum adalah 10.

Kunci: A

2. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan

|x2 5x| 6 adalah . . . .

A. {x| 6 x 1}

B. {x| 3 x 2}

C. {x| 6 x 3 atau 2 x 1}

D. {x| 6 x 5 atau 0 x 1}

E. {x| 5 x 3 atau 2 x 0}

Jawab:Untuk |x2 5x| 6

|x2 5x| 6

x2 5 6

x2 5x 6 0

(x 3)(x 2) 0

3 2

6 1

6 3 2 1

2 6

4 8

Untuk p 2 x 2 2

x 0 (tidak memenuhi)

Untuk p 6 |x 2| 6

6x 2 6

x 2 6 atau x 2 6

x 8 x 4

HP: {x | x 8 atau x 4} Kunci: B


x

y

C

B

A

5

4

2

O 2 4 5


4. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

1 2 6x x adalah . . . .

A.5

3x D.

53

3x

B.5

3x E. 3 x 1

C.5

13

x

Jawab:

1 x 2 6x1 x 2x 6

3x 5

x 53

syarat: • 1 x 0

x 0 1

x 1

• 2x 6 0

2x 6

x 3

5. 2 2

3 5

3 2 4 3x x x xberlaku untuk . . . .

A. 12

x D. 12

3x

B. x 2 E. 2 x 3

C. x 3

Jawab:

2 2

3 5

3 2 4 3x x x x3(x2 4x 3) 5(x2 3x 2)

3x2 12x 9 5x2 15x 10

2x2 3 1 0

2x2 3x 1 0

(2x 1)(x 1) 0

Syarat: • x2 3x 2 0

(x 2)(x 1) 0

x 2 atau x 1

35

31

HP:53

| 1x x Kunci: C

12

1

1 2

2 3

12

1

1 2

3

• x2 4x 3 0

(x 3)(x 1) 0

x 3 atau x 1

HP: {x| x 3} Kunci: C

1. Nilai minimum fungsi objektif 5x 10y pada

himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan

yang grafik himpunan penyelesaiannya disajikan

seperti daerah yang diarsir pada gambar di bawah

adalah . . . .

A. 400 D. 200

B. 320 E. 160

C. 240


6,x x x R adalah . . . .

A. {x| 2 x 3, x R}

B. {x|x 3 atau x 2, x R}

C. {x| 6 x 2 atau x 3, x R}

D. {x|x 2 atau x 3, x R}

E. {x|x 3, x R}

y

32

24

16

O 16 24 36 48x



3. Daerah yang

diarsir pada

gambar di sam-

ping adalah him-

punan (x, y) yang

memenuhi . . . .

A. 2x y 30, 3x 4y 60, x 0, y 0

B. 2x y 30, 3x 4y 60, x 0, y 0

C. x 2y 30, 4x 3y 60, x 0, y 0

D. x 2y 30, 4x 3y 60, x 0, y 0

E. 2x y 30, 4x 4y 60, x 0, y 0

4. Nilai maksimum dari f(x, y) 4x 28y yang

memenuhi syarat 5x 3y 34, 3x 5y 30,

x 0, y 0 adalah . . . .

A. 104 D. 208

B. 152 E. 250

C. 168

5. Diketahui sistem pertidaksamaan x 0, y 0,

x + y 12 dan x + 2y 16. Nilai maksimum dari

(2x + 5y) adalah . . . .

A. 12 D. 40

B. 24 E. 52

C. 36

y30

15

O 15 20x

LOGIKA MATEMATIKA5

1. Pernyataan adalah kalimat tertutup yang memiliki

nilai benar saja atau salah saja, tetapi tidak

sekaligus benar dan salah.

2. Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum pasti

nilai kebenarannya karena memuat variabel.

3. Ingkaran atau negasi suatupernyataan p adalah

pernyataan ~p yang bernilai

benar jika p bernilai salah dan

bernilai salah jika p bernilai

benar.

A. Pernyataan Kalimat terbuka,

dan Ingkaran

p ~q

B SS B

1. Konjungsi bernilai benar jika dan hanya jika

pernyataan-pernyataan tunggalnya bernilai benar.

B. Konjungsi dan Disjungsi

p q p q

B B BB S SS B SS S S

Pelajari cara menentukan penyelesaianpertidaksamaan.

Soal tentang pertidaksamaan keluarpada tahun 2001, 2002, dan 2005. Tetapitidak keluar pada tahun 2000, 2003, dan2004.

Analisis


2. Disjungsi terdiri dari:

Disjungsi inklusif bernilai benar jika kedua

pernyataan bernilai benar atau salah satu

pernyataan tunggalnya bernilai benar.

p q p q

B B BB S BS B BS S S

Disjungsi eksklusif bernilai benar hanya jika

salah satu pernyataan tunggalnya bernilai

benar.

p q p q

B B SB S BS B BS S S

1. Suatu implikasi bernilai salah hanya jika hipotesa

bernilai benar dan konklusi salah.

C. Implikasi dan Bimpikasi

p q p q

B B BB S SS B SS S B

p q p q

B B BB S SS B BS S B

2. Suatu biimplikasi p q bernilai benar jika

pernyataan p dan q memiliki nilai kebenaran yang

sama.

D. Pernyataan Majemuk

1. Pernyataan majemuk yang ekuivalen

q p disebut konvers dari implikasi p qp q disebut invers dari implikasi p qq p disebut kontraposisi implikasi p q

p q q p artinya implikasi ekuivalen

dengan kontraposisi

q p p q artinya konvers dari implikasi

ekuivalen dengan invers dari impliksi tersebut

2. Ingkaran dari pernyataan majemuk

(p q) p q artinya ingkaran dari

p q adalah p q(p q) (p q) (q p) artinya

ingkaran dari adalah p q adalah

(p q) (q p)

(p q) p q artinya ingkaran dari

p q adalah p q(p q) p q artinya ingkaran dari

p q adalah p q

Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang

melibatkan semua atau beberapa anggota semesta

mewakili suatu keadaan.

1. Ingkaran pernyataan berkuantor eksistensial adalah

pernyataan berkuantor universal dengan kalimat

terbukanya menjadi ingkaran. Dinotasikan dengan,

[ x M(x)] x[ M(x)]

di mana Exist Ada dan All Semua

Untuk setiap

2. Ingkaran pernyataan berkuantor universal adalah

pernyataan berkuantor eksistensial dengan kalimat

terbukanya menjadi ingkaran. Dinotasikan dengan,

[ x M(x)] x[ M(x)]

p q p q q p p q q pp q Ingkaran Implikasi Konvers Invers Kontraposisi

B B S S B B B B

B S S B S B B S

S B B S B S S B

S S B B B B B B

E. Pernyataan Berkuantor dan

Ingkarannya


1. Modus ponens

Premis 1 : p qPremis 2 : p–––––––––––––––––––

Konklusi : q

2. Modus tollens

Premis 1 : p qPremis 2 : q–––––––––––––––––––

Konklusi : p3. Silogisme

Premis 1 : p qPremis 2 : q r–––––––––––––––––––––––

Konklusi : p r

F. Pernyataan Majemuk

1. Perhatikan kalimat “semua pemain basket berbadan

tinggi”. Negasi kalimat ini adalah . . . .

A. Tidak ada pemain basket yang berbadan tinggi.

B. Beberapa pemain basket berbadan tinggi.

C. Semua pemain basket berbadan pendek.

D. Beberapa pemain basket berbadan pendek.

E. Tidak ada pemain basket yang berbadan

pendek.

Jawab:Negasi dari ”semua pemain basket berbadan tinggi”

adalah ”Beberapa pemain basket berbadan pendek”.

Kunci: D2. Invers dari pernyataan (p q) p adalah . . . .

A. p (p q) D. ( p q) pB. p (p q) E. (p q) pC. ( p q) p

Jawab:(p q) p(p ~q) p( p q) p Kunci: D

3. Ingkaran dan pernyataan “Semua peserta UMPTN

ingin masuk perguruan tinggi negeri” adalh . . . .

A. Semua pesera UMPTN tidak ingin masuk

perguruan tinggi negeri.

B. Tidak ada peserta UMPTN ingin masuk


C. Ada peserta UMPTN ingin masuk perguruan

tinggi negeri.

D. Ada peserta UMPTN tidak ingin masuk


E. Tidak ada peserta UMPTN tidak ingin masuk


Jawab:Ingkaran dari “Semua peserta UMPTN ingin masuk

perguruan tinggi negeri” adalah ada peserta UMPTN

tidak ingin masuk perguruan tinggi negeri.

Kunci: D4. Kontraposisi dari pernyataan: “Jika sudut di

kuadran I makin besar, maka nilai tangennya makin

besar” adalah . . . .

A. Jika nilai tangen makin besar maka sudut di

kuadran I makin besar

B. Jika nilai tangen makin kecil maka sudut di


C. Jika nilai tangen makin kecil maka sudut di


D. Jika nilai tangen makin besar maka sudut di

kuadran I makin kecil

E. Jika sudut di kuadran I makin kecil maka

tengennya makin kecil

Jawab:Misal: P : sudut di kuadran I makin besar

q : nilai tangen makin besar.

Dari pernyataan : p qKontraposisi : q pJadi, jika nilai tangen makin kecil maka sudut di

kuadran I makin kecil.

Kunci: E5. Pernyataan ( p q) (p q) ekuivalen dengan

pernyataan . . . .

A. p q D. p qB. p q E. p qC. p q

Jawab:

I N G A Tp q ( p q ) (p q)

Kunci: E



6. Jika pernyataan p bernilai benar dan q bernilai

salah, maka pernyataan di bawah ini yang bernilai

salah adalah . . . .

A. q p D. p qB. p q E. p qC. q p

Jawab:

p q p q q p p q q p

B S S B B B B

p q p q p q p q

B S S B S B

Kunci: D

1. Kontraposisi dari pernyataan majemuk

p (p q) adalah . . . .

A. (p q) pB. ( p q) pC. (p q) pD. ( p q) pE. (p q) p

2. Diketahui Premis I : p qPremis II : q r––––––––––––––––––––––

p rKesimpulan tersebut merupakan . . . .

A. konvers D. modus tollens

B. kontraposisi E. silogisme

C. modus ponens

3. Penarikan kesimpulan yang sah dari argumentasi:

p qq r––––––––––

. . .

adalah . . . .

A. p r D. p rB. p r E. p rC. p r

4. Penarikan kesimpulan dari premis-premis:

p qq

–––––––––. . .

adalah . . . .

A. p D. (p q)

B. p E. qC. q

5. Negasi dari pernyataan: ’’Jika ulangan dibatalkan,maka semua murid bersuka ria’’ adalah . . . .

A. Ulangan dibatalkan dan semua murid tidak

bersuka ria

B. Ulangan tidak dibatalkan dan ada murid

bersuka ria

C. Ulangan tidak dibatalkan dan semua murid

bersuka ria

D. Ulangan dibatalkan dan ada murid tidak

bersuka ria

E. Ulangan tidak dibatalkan dan semua murid

tidak bersuka ria

6. Negasi dari pernyataan: “Ani cantik tetapi tidak

pandai” adalah . . . .

A. Ani tidak cantik dan tidak pandai

B. Ani cantik dan pandai

C. Ani tidak cantik atau tidak pandai

D. Ani tidak cantik atau pandai

E. Ani cantik atau pandai

7. Argumentasi yang sah adalah . . . .

A. p q D. p qp q p

p qB. p q E. p q

p p qq q

C. p qqp

8. Ingkaran dari pernyataan: “Seorang siswa dinyatakanlulus ujian apabila semua nilai ujiannya tidak kurangdari 4,25” adalah . . . .

A. Seorang siswa dinyatakan lulus ujian apabila

ada nilai ujiannya kurang dari 4,25.

B. Seorang siswa dinyatakan tidak lulus ujian apabila

ada nilai ujiannya yang tidak kurang dari 4,25.



C. Seorang siswa lulus nilai ujiannya di atas 4,25.

D. Seorang siswa tidak lulus atau tidak mendapat

nilai 4,25.

E. semua nilai ujian seorang siswa tidak kurang

dari 4,25 tetapi ia tidak lulus.

9. Negasi dari pernyataan majemuk p (q r)adalah . . . .

A. (r q) p D. p ( q r)B. (q r) p E. p ( q r)C. p (q p)

10. Ingkaran dari pernyataan

”Jika Fathin mendapat nilai 10 maka ia diberi

hadiah” adalah . . . .

A. Jika Fathin tidak mendapat nilai 10, maka ia

tidak diberi hadiah

B. Jika Fathin diberi hadiah, maka ia mendapat

nilai 10

C. Fathin mendapat nilai 10 tetapi ia tidak diberi

hadiah

D. Fathin mendapat nilai 10 dan ia diberi hadiah.

E. Jika Fathin tidak diberi hadiah maka ia tidak

mendapat nilai 10

11. Argumen mana yang valid (sah)

(i) Premis 1 : p (q r)Premis 2 : p–––––––––––––––––––––––––––––Konklusi : q r

(ii) Premis 1 : q rpPremis 2 : p–––––––––––––––––––––––––––––Konklusi : rq

(iii) Premis 1 : (p q) rPremis 2 : r (p q)–––––––––––––––––––––––––––––Konklusi : (p q) (p q)

A. (i) dan (ii) D. (i) dan (iii)

B. (i) E. (i) (ii) dan (iii)

C. (ii) dan (iii)

12. Ingkaran dari pernyataan: ”Semua peserta ujianberdoa sebelum mengerjakan soal” adalah . . . .

A. Semua peserta ujian tidak berdoa sebelum

mengerjakan soal.

B. Beberapa peserta ujian berdoa sebelum

mengerjakan soal.

C. Beberapa peserta ujian tidak berdoa sebelum

mengerjakan soal.

D. Semua peserta ujian berdoa sesudah

mengerjakan soal.

E. Beberapa peserta ujian berdoa sesudah

mengerjakan soal.

13. Kesimpulan dari tiga premis

p qr q

r. . .

adalah . . . .

A. p D. p qB. q E. r rC. q

14. Pernyataan p q ekuivalen dengan per-

nyataan . . . .

A. p q D. p qB. p q E. p qC. p q

15. Diberikan empat pernyataan p, q, r, dan s. Jika

pernyatan berikut benar

p qq rr sdan s pernyataan yang salah, maka di antara

pernyataan berikut yang salah adalah . . . .

A. p D. p rB. r E. p rC. q

Soal tentang trigonometri paling banyakkeluar dalam ujian nasional. Tahun 2000sebanyak 5 soal, tahun 2001 sebanyak 7soal, tahun 2002-2003 sebnayak 4 soal,tahun 2004 sebanyak 6 soal.

AnalisisPahami aturan sinus dan cosinus. Ingatkembali rumus penjumlahan dan selisihdua sudut begitu juga denganpenjumlahan dan selisih sinus dancosinus.


1. Perbandingan trigonometri dari suatu sudut

segitiga siku-siku di B

sin

cos

tan

yCrxCryCx

Secara umum didefinisikan

Sisi di hadapan sudutsin

Sisi terpanjang

di mana adalah sudut yang ditanyakan

Sudut-sudut istimewa dalam trigonometri adalah

sudut yang besarnya 0°, 30°, 45°, 60°, dan 90°

2. Cotangen, secan, dan cosecan

• Cotangen biasa disingkat dengan “cot”

cot1 cos

tan sin

A xCC A y dengan tan

C 0, dan sin c 0

• Secan biasa disingkat ”sec”

Sec1

cos

rCC x

dengan cos C 0

• Cosecan biasa disingkat dengan “cosec”

cosec1

sin

rCC y

dengan sin C 0

Fungsi Sudut

Trigonometri 0° 30° 45° 60° 90°

Sinus 012

12

2 12

3 1

Kosinus 112

3 12

2 12

0

Tangen 013

3 1 3Cotangen 3 1

13

3 0

Secan 123

3 2 2

Cosecan 2 223

3 1

TRIGONOMETRI6

A. Rumus-Rumus Trignometri

I N G A T• sec2 C tan2 C 1

• cosec2 C cot2 C 1

1. Relasi di Kuadran I (semua bernilai positif)

sin (90° ) cos

cos (90° ) sin

tan (90° ) tan

2. Relasi di Kuadran II (sinus bernilai positif)

sin (180° ) sin

cos (180° ) cos

tan (180° ) tan

3. Relasi di Kuadran III (tangen bernilai positif)

sin (180° ) sin

cos (180° ) cos

tan (180° ) tan

4. Relasi di Kuadran IV (cosinus bernilai positif)

sin (360° ) sin

cos (260° ) cos

tan (360° ) tan

B x C

y r

A

B. Perbandingan Trignometri

Sudut-sudut Istimewa

C. Perbandingan Trigonometri

Sudut Berelasi


1. Aturan sinus

sin sin sin

a b cA B C

2. Aturan cosinus

a2 b2 c2 2bc cos A2 2 2

cos2

b c aAbc

b2 a2 c2 2ac cos B2 2 2

cos2

b c bBac

c2 a2 b2 2ac cos C2 2 2

cos2

a b cCab

3. Luas segitiga sembarang

L 12

alas tinggi

Jika tinggi segitiga tidak diketahui,

pergunakanlah rumus berikut.

L 12

· c · b · sin A

L 12

· a · c · sin B

L 12

· a · b · sin C

1. Cara cepat mengingat tanda positif ( ) dan

negatif ( )

: Semua sin tan cos

I II III IV

2. Sudut berelasi lainnya

sin (90° ) cos

cos (90° ) sin

tan (90° ) cot

sin (270° ) cos

cos (270° ) sin

tan (270° ) cot

sin (270° ) cos

cos (270° ) sin

tan (270° ) cot

sin ( ) sin

cos ( ) cos

tan ( ) tan

I N G A T

D. Aturan Sinus, Cosinus, dan Luas

Segitiga

E. Rumus Penjumlahan dan Selisih

Dua Sudut

F. Rumus Trigonometri Sudut Ganda

atau Rangkap

1. cos 2 cos2 sin2

1 2 sin2

2 cos2 1

2. sin 2 2 sin cos

3. 2

2 tantan 2

1 tan

4. 12

1 coscos

2

5. 12

1 cossin

2

6.12

1 costan

1 cos

C

ab t

A D Bc

1. cos ( ) cos cos sin sin

2. cos ( ) cos cos sin sin

3. sin ( ) sin cos cos sin

4. sin ( ) sin cos cos sin

5. tan ( )tan tan

1 tan tan

6. tan ( )tan tan

1 tan tan

A c B

b a

C


1. 2 sin cos sin ( ) sin ( )

2. 2 cos sin sin ( ) sin ( )

3. 2 cos cos cos ( ) cos ( )

4. 2 sin sin cos ( ) cos ( )

1. sin P sin Q 2 sin cos2 2

P Q P Q

2. sin P sin Q 2 cos sin2 2

P Q P Q

3. cos P cos Q 2 cos cos2 2

P Q P Q

4. cos P cos Q 2 sin sin2 2

P Q P Q

G. Rumus Trigonometri untuk Hasil

Kali Sinus dan Cosinus

H. Rumus Jumlah dan Selisih Sinus

dan Cosinus

1. Dalam segitiga ABC, a, b, dan c adalah sudut-

sudutnya. Jika tan a 34

dan tan b 43

, maka

sin c . . . .

A. 1 D.24

25

B.24

25E. 1

C.7

25

Jawab:a b c 180° c 180° (a b)

sin c sin (180° (a b)) sin(a b)

sin a · cos b cos a · sin b3 3 44 5 5

34 43 5 5

tan sin , cos

tan sin , cos

a a a

b b b

sehingga:

3 3 4 45 5 5 5

9 16 2525 25 25

sin

1

c

Kunci: E

2. Pada suatu segitiga ABC yang siku-siku di C, dike-

tahui bahwa sin A sin B 25

dan sin (A B) 5a.

Nilai a adalah . . . .

A. 15

D. 53

B. 325

E. 35

C. 125

Jawab:A B 90°

sin (A B) 5acos2 (A B) 1 sin2 (A B)

1 (5a)2

1 25a2

cos (A B) 21 25a

sin A sin B 25

2 sin A sin B 45

cos (A B) cos (A B) 45

21 25a cos 90° 45

21 25a 0 45

Kedua ruas dikuadratkan sehingga diperoleh,

1 25a2 1625

25a2 925

a22

9

25

a 325

Kunci: B

3. Untuk 0° x 360°, himpunan penyelesaian

2 sin 2x 1 adalah . . . .

A. {x|30° x 15°}

B. {x|x 45°} {x|x 225°}

C. {x|15° x 75°} {x|195° x 225°}

D. {x|75° x 195°}

E. {x|15° x 75°}

Jawab:2 sin 2x 1

sin 2x 12

sin 2x sin 30°

sin 150°



2x 30° k · 360°

2x 15° k · 180°

2x 150° k · 360°

2x 75° k · 180°

HP {x 15° x 75°} {195° x 225°}

Kunci: C

4. Bentuk 3 cos x sin x, untuk 0 x 2 dapat

dinyatakan sebagai . . . .

A. 2 cos6

x D.7

2 cos6

x

B.11

2 cos6

x E. 2 cos6

x

C.11

2 cos6

x

Jawab:

Misalkan 3 cos x sin x r cos (x )

22 2 23 ( 1) 3 1 2r a b

tan1

3

ba

Nilai tan yang bernilai negatif berada di Kuadran II

dan Kuadran IV.

Sehingga:

tan (tan 30°) tan 150° (tan 210°)

tan 330°

5 7 11

6 6 6 6

Jadi, 3 cos sin 2 cos6

72 cos

6

x x x

x

Kunci: A

5. Jika dan sudut lancip, cos ( ) 12

3 dan

cos cos 12

, maka cos( )

cos( ) . . . .

A. 2 3 D. 12

1 3

B. 13

1 3 E. 23

3 1

C. 3 2 3

Jawab:2 cos cos cos ( ) cos ( )

2 · 12 cos ( ) cos ( )

1 cos ( ) cos ( )

cos ( ) 1 cos ( )

cos( )

cos( )

1 cos( )

cos( )

12

1 32 2

1 3 11

3

23

3 1 Kunci: E

6. f(x) cos x 3 sin x 3 mempunyai nilai mak-

simum m dan minimum n maka nilai mn . . . .

A. 8 D. 2

B. 5 E. 2

C. 5

Jawab:f(x) y cos x 3 sin x 3

a 1, b 3, c 3

ymaksimum

2 2a b c

221 3 3

1 3 3

4 3

2 3 5

ymaksimum

m 5

yminimum

221 3 3

1 3 3

2 3

1

yminimum

n 1

Nilai mn 5 · 1 = 5

Kunci: B

7.2

3

6

2

3

5

3

2

Persamaan grafik fungsi trigonometri pada gambar

di atas adalah . . . .


A. y sin 23

x

B. y cos 26

x

C. y 2 cos 3

x

D. y 2 sin 3

x

E. y 2 cos 6

x

Jawab:Grafik tersebut berbentuk fungsi cosinus dengan

A 2. Jadi dapat ditulis:

y A cos (kx )y 2 cos (kx )

• Untuk x 0, y 3

3 2 cos (0

cos1

23

6

• k2

21 (Dari grafik, 2 gelombang 2 )

Jadi fungsinya:

y 2 cos 16

x

y 2 cos 6

x

Kunci: D

1. Luas segitiga ABC adalah (3 2 3) cm2. Panjang

sisi AB (6 2 3) dan BC 7 cm. Nilai

sin (A C) adalah . . . .

A.1

7D.

7

6 4 3

B. 47

3 E.1 3

7

C.1

2

2. Diketahui sin 810

, 0 90x xNilai cos 3x cos x . . . .

A.18

25D.

6

25

B.84

125E.

12

25

C.42

125

3. Bentuk 2

2 tan

1 tan

xx

ekuivalen dengan . . . .

A. 2 sin x D. cos 2xB. sin 2x E. tan 2xC. 2 cos x

4. Himpunan penyelesaian

3 cos (360 x)° 2 sin2 x° untuk 0 x 360

adalah . . .

A. {60 x 180}

B. {x 60 atau x 180}

C. {0 x 60 atau 300 x 360}

D. {0 x 60 atau 300 x 360}

E. {60 x 180}

5. Batas-batas nilai p agar persamaan

p sin x (p 1) cos x p 2

dapat diselesaikan adalah . . . .

A. p 1 atau p 3

B. p 1 atau p 3

C. p 3 atau p 1

D. 1 p 3

E. 1 p 3

6. Nilai dari cos BAD pada

gambar berikut adalah . . . .

A.17

33D.

30

34

B.17

28E.

33

35

C.3

7

7. Diketahui PQR dengan PQ 6 cm, QR 4 cm,

dan PQR 90°. Jika QS garis bagi PQR, maka

panjang QS . . . .

D

C

A B

36

4

3



A. 1210

2 cm D. 56

2 cm

B. 125

2 cm E. 6 2 cm

C. 245

2 cm

8. Diketahui sin a cos a 825

.

1 1Nilaisin cos

. . . .

A.3

25D.

3

5

B.9

25E.

15

8

C.5

8

9. Persamaan fungsi pada gambar grafik di bawah

adalah . . . .

A. 56 6

0, , D. 5 16 6 2

0, , , 1 , 2

B. {0, , 2 } E. 513 6

0, , , , 2

C. 56 6

0, , , , 2

13. Jika panjang sisi-sisi ABC berturut-turut adalah

AB 4 cm, BC 6 cm, dan AC 5 cm,

sedangkan BAC , ABC , dan

BCA , maka sin : sin : sin . . . .

A. 4 : 5 : 6 D. 4 : 6 : 5

B. 5 : 6 : 4 E. 6 : 4 : 5

C. 6 : 5 : 4

14. Diketahui cos (x y) 45

dan sin x sin y 310

.

Nilai tan x tan y . . . .

A.5

3D.

3

5

B.4

3E.

5

3

C.3

5

15. Persamaan grafik fungsi di bawah adalah . . . .

A. y 2 sin (3x 45)°

B. y 2 (3x 45)°

C. y sin (3x 45)°

D. y sin (3x 60)°

E. y 2 cos (3x 45)°

10. Himpunan penyelesaian

sin (x 20°) sin (x 70°) 1 0

untuk 0° x 360° adalah . . . .

A. {x| 0° x 70° atau 160° x 360°}

B. {x| 25° x 70° atau 135° x 160°}

C. {x| x 70° atau x ³ 160°}

D. {x| 70° x 160°}

E. {x| 20° x 110°}


2 3 cos 2x 4 sin x cos x 2

dengan 0 x 2 adalah . . . .

A. 13 5 16 6 4

, , D. 3 5 134 6 12

, ,

B. 3 3 12 4 6

, , E. 3 1374 4 12

, ,

C. 3 1312 4 12

, ,

12. Himpunan penyelesaian cos x sin x 1 0

untuk 0 x 2 adalah . . . .

y

xO

6 3 22

35

6

y

x

1

1 22

O

1

15 75 135 195 255 315 360

45 105 165 225 285 345

A. y 1 sin 3x D. y 1 3 sin x

B. y 1 sin 3x E. y 1 3 sin

3x

C. y sin (3x 3)

16. Jika a sin x b cos x sin (30° x) untuk setiap

x, maka 3a b . . . .

A. 1 D. 2

B. 2 E. 3

C. 1

17. Diketahui segitiga ABC dengan AC 5 cm,

AB 7 cm, dan BCA 120°. Keliling segitiga

ABC . . . .

A. 14 cm D. 17 cm

B. 15 cm E. 18 cm

C. 16 cm

18. Diketahui A adalah sudut lancip

cos12

1

2

xAx . Nilai sin A adalah . . . .


A.2 1

2

xx

D. 2 1x

B. 2 1

xx E.

1xx

C. 2 1x

19. Persamaan grafik di bawah adalah . . . .

A. y 2 sin (3x 45)°

B. y 2 sin (3x 15)°

C. y 2 sin (3x 45)°

D. y 2 sin (3x 15)°

E. y 2 sin (3x 45)°


2 sin 2x° 3 0 untuk adalah . . . .

A. {x | 15 x 75 atau 195 x 255}

B. {x | 30 x 60 atau 210 x 240}

C. {x | 60 x 120 atau 240 x 300}

D. {x | 105 x 165 atau 285 x 345}

E. {x | 120 x 150 atau 300 x 330}


2 cos x° 2 sin x° 2 untuk 0 x 360

adalah . . . .

A. 15 atau 255 D. 105 atau 345

B. 45 atau 315 E. 165 atau 285

C. 75 atau 375

26. Turunan pertama dari fungsi f(x) cos3 2x adalah

f (x) . . . .

A. 6 cos2 2x sin 2x D. 3 cos 2x sin 4xB. 3 cos2 2x sin 2x E. 6 cos 2x sin 4xC. 3 cos 2x sin 4x

27. Diketahui segitiga PQR dengan PQ 12 cm,

PR 8 cm dan QR 4 7 cm. Jika adalah

sudut QPR, nilai tan . . . .

A. 13

3 D. 3

B. 12

3 E. 2 3

C. 23

3

28. Diketahui sin A 35

dan cos B 12

dengan

0° A 90°, 90° B 180°.

Nilai dari cos (90° A B) . . . .

A.4 5 3

10D.

3 8 3

10

B.4 3 3

10E.

3 8 3

10

C.4 3 3

10

29. Persamaan grafik trigonometri pada gambar

adalah . . . .

y

x

2

2O

232

2

2

A. 22 siny x

B. 2sin 2y x

C. 22siny x

D. 2siny x

E. y 2 sin (2x )


sin x° 3 cos x° 2 untuk 0 x 360

adalah . . . .

A. {15, 285} D. {165, 255}

B. {75, 165} E. {195, 285}

C. {105, 195}

21. Pada segitiga ABC diketahui sisi AB 6 cm,

AC 10 cm, dan sudut A 60°. Panjang sisi

BC . . . .

A. 2 19 cm D. 2 29 cm

B. 3 19 cm E. 3 29 cm

C. 4 19 cm

22. Nilai tan 75° tan 15° . . . .

A. 0 D. 2 3

B. 1 E. 4

C. 3

23. Persamaan grafik fungsi pada gambar adalah . . . .

y

x

2

0 15 45 75 105 135

22

y

x25

643

O

2


A. 2 sin6

y x

B. 2 cos6

y x

C. 2sin6

y x

D. 2 cos6

y x

E. 2 cos 26

y x


cos 4x° 3 sin 2x° 2

untuk 0 x 180 adalah . . . .

A. {x| 15 x 75}

B. {x| 14 x 75}

C. {x| 15 x 45}

D. {x| 15 x 45 atau 135 x 180}

E. {x| 0 x 15 atau 75 x 135}

31. Nilai x yang memiliki persamaan

3 cos x sin x 2


A. 75° dan 285° D. 15° dan 345°

B. 75° dan 345° E. 15° dan 75°

C. 15° dan 285°

32. Diketahui segitiga PQR dengan PQ 103

6 cm,

QR 10 cm dan sudut P 60°. Sudut R . . . .

A. 45° D. 90°

B. 55° E. 105°

C. 75°

33. Diketahui tan p, maka cos 2 . . . .

A. 1 p2 D.

2

2

(1 )

1

pp

B. 2(1 p)2 E.2

2

1

1

pp

C.

2

2

1

(1 )

pp

34. Persamaan grafik pada gambar di bawah ini

adalah . . . .

A. y 2 cos (3x 20)°

B. y 2 cos 2(x 20)°

C. y 2 cos 2(x 20)°

D. y 2 cos 3(x 20)°

E. y 2 cos 3(x 20)°

35. Himpunan penyelesaian dari

2 cos x cos 10° 1 2 sin x sin 10°


A. {0 x 70, 310 x 360}

B. {0 x 60, 300 x 360}

C. {60 x 180, 320 x 360}

D. {0 x 90, 240 x 320}

E. {30 x 120, 245 x 330}


2 3 sin x 2 cos x 2 3


A. 15 dan 140 D. 60 dan 150

B. 45 dan 150 E. 90 dan 150

C. 30 dan 140

37. Nilai sinus dari sudut C pada gambar berikut

adalah . . . .

D

3

A B4

C

6

60°

2 3

A. 13

3 D.2

3

B. 16

11 E.5

6

C. 15

11

38. Diketahui segitiga ABC dengan sudut A dan B

lancip, sin 12

A dan sin 27

7B .Nilai cos C . . . .

A. 314

21 D. 114

7

B. 514

7 E. 114

21

C. 114

7

39. Persamaan grafik fungsi pada gambar berikut ini

dapat dinyatakan sebagai . . . .

y

x

2

0

2

20 50 110

80

y

x

6

3

0

3

6

30 165

75

120


A. y 6 sin 2(x 30)°

B. y 6 sin (2x 30)°

C. y 6 cos (2x 30)°

D. y 6 cos 2(x 40)°

E. y 6 cos (x 30)°

40. Turunan pertama f(x)cos

sin tan

xx x adalah f (x).

Nilai 14

. . . .fA. 8 D. 2

B. 4 E. 4

C. 2


2 cos 2x 3 0 dalam interval xadalah . . . .

A. 11 1 1 1110 10 10 10

| ,x x x

B. 10 101 111 11 11 11

| ,x x x

C. 11 1 1 1112 12 12 12

| ,x x x

D. 12 1 1 1213 13 13 13

| ,x x x

E. 13 131 114 14 14 14

| ,x x x


3 cos x° sin x° 1 0 untuk 0 x 360

adalah . . . .

A. {120, 150} D. {150, 300}

B. {120, 300} E. {180, 300}

C. {150, 270}

43. Segitiga ABC dengan AC BC 6 dan AB 3.

Nilai sin A° . . . .

A.1

15

B.2

15

C. 415

15

D. 215

15

E. 14

15

44. Diketahui tan 23

; 0° 90°

Nilai cos2 2 sin2 2 . . . .

A.5

13D.

119

169

B.7

13E.

131

169

C.81

169


sin (x 210)° sin (x 210)° 12

3


A. {30°, 210°} D. {300°, 330°}

B. {210°, 300°} E. {300°, 360°}

C. {210°, 330°}

46. Grafik fungsi trigonometri di bawah mempunyai

persamaan . . . .

2

1

45 135 225 315 405

A. y cos (x 45)° 1

B. y cos (x 90)° 1

C. y cos (x 90)° 1

D. y sin (x 45)° 1

E. y sin (x 45)° 1

47. Nilai x yang memiliki 2 cos x 2 sin x 2 untuk

0° x 360° adalah . . . .

A. 90° dan 180° D. 180° dan 360°

B. 90° dan 270° E. 270° dan 360°

C. 180° dan 270°

48. Jika sin 3 45 3

dan tan , dan adalah

sudut lancip, maka nilai sin ( ) sin ( )

adalah . . . .

A.9

25D. 1

B.16

25E.

32

25

C.18

25

49. Jika sin x cos x p, maka sin x cos x . . . .

A. 12

( 1)p D.21

2(1 )p

B. 12

(1 )p E.21

2p

C.21

2( 1)p

50. Dalam segitiga ABC diketahui AB 8 cm,

BC 11 cm, dan CA 5 cm. Jika sudut di

hadapan sisi BC, maka 10 sin . . . .

A. 2 21 D. 21

B. 45

E. 2 21

C. 12

21

66

A 3 B

C


51. Jika 12

x dan sin 13

x maka

tan x . . . .

A. 2 2 D. 14

2

B. 23

2 E. 34

2

C. 13

2

52. Jika sin x cos x a untuk 0 x 12

, maka

tan 2x . . . .

A. 2(1 )

aa D. 2

2

(1 4 )

aa

B. 2(1 )

aa E. 2a2

C. 2

2

(1 4 )

aa

53. Jika dari segitiga ABC diketahui AC 8,17 cm,

BC 10 cm dan sudut A 60°, maka sudut Cadalah . . . .

A. 105° C. 55°

B. 95° D. 45°

C. 75°

54. Pada ABC diketahui cos (B C) 940

. Jika

panjang AC 10 cm, AB 8 cm, maka panjang

sisi BC . . . .

A. 8 2 cm D. 11 2 cm

B. 9 2 cm E. 12 2 cm

C. 10 2 cm

55. Gambar di bawah adalah grafik fungsi . . . .

A. 2

1

1 t D. 21

tt

B. 2

1

1 t E.2

1

tt

C. 21

tt

57. Nilai x di antara 0° dan 360° yang memenuhi

persamaan 3 cos sin 2x x adalah . . . .

A. 75° dan 285° D. 15° dan 345°

B. 75° dan 345° E. 15° dan 75°

C. 15° dan 285°

58. Jika x memenuhi 2 sin2x 7 sinx 3 0 dan

02

x maka cos x . . . .

A. 13

3 D. 12

2

B. 12

E. 12

3

C. 12

59. Penyelesaian 2 cos 3x° - 1 0

pada 0° x 180° adalah . . . .

A. x° 60°; x 300°

B. x° 60°; 100° x 180°

C. 0° x° 20°; 100° x 140°

D. 20° x° 100°; 140° x 180°

E. 0° x° 20°; 140° x 180°

60. Bentuk 2 cos 6 sinx x dinyatakan ke

dalam bentuk k cos (x ), 0 x 2

adalah . . . .

A. 13

2 2 cos x

B. 76

2 2 cos x

C. 43

2 2 cos x

D. 76

4 2 cos x

E. 43

4 2 cos x

61. Titik-titik sudut segitiga samakaki ABC terletak

pada lingkaran berjari-jari 3 cm. Jika alas

AB 2 3 cm maka tan B . . . .

A. 13

( 2 3) D. 2 2 3

B. 12

( 2 3) E. 3 2 3

C. 2 3

y

4

4

90°

180°

360°

A. y sin 4x D. y sin x 4

B. y 4 sin x E. y sin x 4

C.14

siny x

56. Jika2

2tan

1

tt

(sudut lancip), maka

cos 12

sama dengan . . . .


62. Jika adalah sudut lancip yang memenuhi

4tan 2 0tan

, maka cos . . . .

A. 12

2

B. 15

5

C. 13

3

D. 12

6

E.1

3 6

Soal tentang trigonometri paling banyakkeluar dalam ujian nasional. Tahun 2000sebanyak 5 soal, tahun 2001 sebanyak 7soal, tahun 2002-2003 sebanyak 4 soal,tahun 2004 sebanyak 6 soal.

Analisis

DIMENSI TIGA7

A. Menggambarkan Bangun Ruang

1. Bidang gambar adalah bidang datar yang akan

digunakan untuk bangun ruang.

2. Bidang frontal adalah bidang gambar yang sejajar

dengan bidang gambar lain.

3. Bidang ortogonal adalah bidang yang tegak lurus

terhadap bidang frontal.

Bidang ortogonal terdiri atas bidang ortogonal

vertikal dan bidang ortogonal horizontal.

Bidang ortogonal vertikal adalah bidang

ortogonal yang menghadap ke kiri atau ke

kanan.

Bidang ortogonal horizontal adalah bidang

ortogonal yang menghadap ke atas atau ke

bawah.

B. Jarak Dan Sudut

1. Perbandingan proyeksi

Panjang garis ortogonal pada gambar

Panjang garis ortogonal sebenarnya

C. Volume Bangun Ruang

No. Bangun Volume Keterangan

Ruang

1. Prisma Luas alas t t tinggi

2. Tabung r2 t 227

3,14, r jari-jari, t tinggi

3. Limas 13

Luas alas t t tinggi

4. Kerucut21

3r t 22

7 3,14, r jari-jari, t tinggi

5. Bola34

3r 22

7 3,14, r jari-jari

6. Kubus s3 s sisi atau rusuk

7. Balok p l t p panjang, l lebar, t tinggi

2. Sudut surut adalah sudut pada gambar yang

dibentuk oleh garis frontal horizontal arah ke kanan

dengan garis ortogonal arah ke belakang yang

berpotongan.

Pahami aturan sinus dan cosinus. Ingatkembali rumus penjumlahan dan selisihdua sudut begitu juga dengan penjum-lahan dan selisih sinus dan cosinus.


1. Rusuk TA, TB, TC pada bidang empat T·ABCsaling tegak lurus pada T.

AB AC 2 2 dan AT 2. Jika adalah sudut

antara bidang ABC dan bidang TBC, maka

tan . . . .

A. 2 D.3

2

B. 3 E.6

2

C.2

2

Jawab:

• Perhatikan ATD!

2tan 2

2

ATTD Kunci: A

2. Bidang V dan W berpotongan tegak lurus

sepanjang garis g. Garis l membentuk sudut 45°

dengan V dan 30° dengan W. Sinus sudut antara

l dan g adalah . . . .

A.1

2D. 1

33

B.2

2E.

2

3

C.3

2

T

2

A C

D

B

2 2

2 2

• AB AC 2 2AT 2

• Rusuk TA TB TCTA bidang TBC maka TA TD

sehingga

ATD siku-siku di T• Perhatikan ATD!

2 2

2 2(2 2) (2)

2

TA TB TB AB AT

TA TC TC 2

• Perhatikan TBC!

2 2 2 2

1 12 2

2 2 2 2

(2 2) 2

BC TB TC

BD BC

• Perhatikan TBD!

2 2 4 2 2TD TB BO

Jawab:• QR // garis g• sudut antara garis l dan g adalah PQR.

• PQR adalah segitiga samasisi

PQR 60°

sin 60° 12

3 Kunci: C

3. Pada limas beraturan T·ABCD, AT 3 2a dan

AB 3a. Luas irisan bidang datar melalui A dan

tegak lurus TC dengan limas adalah . . . .

A. 2 3a D. 26 3a

B. 23 3a E. 26 6a

C. 23 6a

Q R

P

g

V 45°

l

30° W



Perhatikan TAC!

AC 2 3 2AB a

AC AT CT 3 2aTAC adalah segitiga samasisi

sehingga:

Garis tinggi Garis bagi Garis berat.

Titik H merupakan titik berat.

Sehingga:

TU : HU 2 : 1

FG // DB TH : HU 2 : 3

FG 23

DB 23

3 2 2 2a a

Perhatikan irisan bidang datar (layang-layang)!

1 22 3

6 2 2a a2 23

22 3 3a a

Kunci: B

4. Garis g tegak lurus pada bidang V dan bidang Wmembentuk sudut lancip dengan bidang V. Jika Wmemotong V menurut suatu garis s, maka proyeksi

g pada W . . . .

A. tegak lurus pada VB. tegak lurus dengan sC. bersilang tegak lurus dengan gD. sejajar dengan VE. sejajar dengan s

Jawab:

Jawab:T

E

D C

F

G

A 3a B

U

3 2aH

C

F GH

A

g

V

s

WO

O

P

Garis g bidang W.

Bidang V dan W membentuk sudut

( sudut lancip).

Garis s merupakan garis perpotongan bidang

V dan W.

P merupakan titik tembus garis g pada bidang

V (titik P terletak pada garis g)

Proyeksi titik O pada bidang V adalah O ,

sehingga

garis OO bidang VGaris OO bidang V dan garis s terletak

pada bidang V, maka

garis OO garis sGaris g tegak lurus bidang W dan garis sterletak pada bidang W, maka

garis g garis sSehingga diperoleh:

garis g bidang OO P dan

garis O P pada bidang OO P maka

garis s garis O PO P merupakan proyeksi garis g pada bidang

W tegak lurus dengan s.

Kunci: B

AE TU 2 2TC CF

CF2 12

AC

12

3 2a

32

2a

AE2 2

32

3 2 2a a

2 292

18a a

2 3272 2

6a a

Luas layang-layang AGEF12

diagonal 1 diagonal 2

12

AE FG


Jawab:2 2

2 212

232

12

2 2 1 13 3 2 3

2 2

6

6 6

AR AF FR

a a

a

a

AS AR a aKunci: B

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH di mana titik P, Qdan R adalah titik pertengahan rusuk AD, BC, dan

CG. Irisan kubus dengan bidang yang melalui P,

Q, dan R berbentuk . . . .

A. segi empat sembarang

B. segitiga

C. jajargenjang

D. persegi

E. persegi panjang

2. Diketahui T.ABCD limas beraturan. Panjang rusuk

alas 12 cm, dan panjang rusuk tegak 12 2 cm.

Jarak A ke TC adalah . . . .

A. 6 cm D. 8 cm

B. 6 2 cm E. 8 6 cm

C. 6 6 cm

3. Diketahui bidang segi empat beraturan T.ABCDdengan rusuk 4 cm. Titik P pada pertengahan AB.

Sudut antara TP dengan bidang alas adalah .

Nilai tan . . . .

A. 2 2 D. 12

3

B. 23

2 E. 13

3

C. 1

4. Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD.

Panjang rusuk tegak 11 cm dan panjang rusuk

alas 2 2 cm. Sudut antara bidang TAD dan TBCadalah , maka cos . . . .

A. 311

11 D. 12

3

B.5

9E.

8

9

C. 29

14

5. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm.

Jika P titik tengah EH, maka jarak titik P ke garis

CF adalah . . . .

A. 20 cm D. 12 cm

B. 18 cm E. 8 cm

C. 14 cm

6. Pada kubus ABCD.EFGH, adalah sudut antara

bidang ACF dan ABCD. Nilai sin . . . .

A. 14

3 D. 13

3

B. 13

6 E. 12

3

C. 14

2

7. Prisma segi empat beraturan ABCD EFGH dengan

rusak 6 cm dan tinggi prisma 8 cm. Titik potong

diagonal AC dan BD adalah T, jarak titik D dan THsama dengan . . . .

A. 1241

41 cm D. 3641

41 cm

B. 2441

41 cm E. 2 41 cm

C. 3041

41 cm


Jika sudut antara BF dan bidang BEG adalah ,

maka sin . . . .

A. 14

2 D. 12

3

B. 12

2 E. 12

6

C. 13

3

9. Limas beraturan T.ABC dengan panjang rusuk alas

6 cm dan panjang rusuk tegak 9 cm. Nilai sinus

sudut antara bidang TAB dan bidang ABCadalah . . . .

5. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang

rusuk a cm. Jika S merupakan proyeksi titik Cpada bidang AFH, maka jarak titik A ke titik Sadalah . . . .

A. 13

3 cma D. 2 cma

B. 13

6 cma E. 3 cma

C. 23

6 cma

H G

E FD C

A a B

S

2a

R

Ujian NasionalUjian NasionalSoal-SoalSoal-Soal


A.69

2D.

138

12

B.69

6E.

138

6

C.139

24

10. Perhatikan gambar di bawah!

, danAT AB AC saling tegak lurus di A. Jarak

titik A ke bidang TBC adalah . . . .

A.5 6

cm4

B.5 3

cm3

C.5 2

cm2

D.5 6

cm3

E. 5 2 cm

11. Pada kubus ABCD.EFGH, adalah sudut antara

bidang ADHE dan ACH. Nilai cos . . . .

A. 12

3 D. 13

2

B. 13

3 E. 16

2

C. 16

3

12. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm

dan titik M adalah perpotongan diagonal-diagonal

AC dan BD. Jarak E ke garis GM adalah . . . .

A. 3 2 cm D. 3 6 cm

B. 3 3 cm E. 6 3 cm

C. 4 3 cm

13. Panjang proyeksi garis EG pada bidang BDGdalam kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm

adalah . . . .

A. 2 6 cm D. 6 2 cm

B. 4 3 cm E. 3 10 cm

C. 3 6 cm

14. Pada limas segi empat beraturan T.ABCD semua

rusuknya sama panjang. Sudut antara TA dan

bidang ABCD adalah . . . .

A. 15° D. 60°

B. 30° E. 75°

C. 45°


P adalah titik tengah rusuk HE. Jarak titik P ke

diagonal ruang AG . . . .

A. 3 6 cm D. 3 2 cm

B. 3 5 cm E. 3 cm

C. 3 3 cm

16. Diketahui limas T.ABC, TA TB 5. TC 2,

CA CB 4, AB 6. Jika sudut antara TC dan

bidang TAB, maka cos . . . .

A.7

16D.

13

16

B.9

16E.

15

16

C.11

16

17. Diketahui kubus ABCD.EFGH. Nilai sinus dari sudut

antara bidang ABC dan bidang ACF adalah . . . .

A. 12

2 D. 2 2

B. 23

2 E. 13

3

C. 2


P adalah titik tengah FG. Jarak titik P dan garis

BD adalah . . . .

A. 4 6 cm D. 2 14 cm

B. 4 5 cm E. 4 3 cm

C. 6 2 cm


rusuknya 6 cm. Nilai sinus sudut antara CD dan

bidang ACH adalah . . . .

A. 13

3 D. 13

6

B. 12

3 E. 12

6

C. 12

2

20. Pada kubus ABCD.EFGH diketahui P adalah titik-

titik tengah rusuk AE. Sudut antara bidang PFHdan bidang BDHF adalah b. Nilai sin b . . . .

A. 13

6 D. 13

3

B. 12

2 E. 16

6

C. 14

6


rusuknya 4 cm dan titik P adalah titik potong EG dan

FH. Jarak titik P dan bidang BDG adalah . . . .

A. 13

3 cm D. 13

6 cm

B. 23

3 cm E. 23

6 cm

C. 43

3 cm

T

A C

B

5 cm

5 cm

5 cm


26. Suatu garis lurus mempunyai gradien 3 dan

memotong parabola y 2x2 x 6 di titik (2, 4).

Titik potong lainnya mempunyai koordinat . . . .

A. (4, 2) D. (3, 2)

B. (3, 1) E. ( 4, 22)

C. (7, 1)

27. Ditentukan kubus ABCD.EFGH. Tangen sudut

antara CG dengan bidang BDG ialah . . . .

A. 12

3

B. 2

C. 12

2

D. 3

E. 6

22. Diketahui limas beraturan T.ABC, AB 6 cm, dan

TA 9 cm. Sudut antara TA dan bidang TBCadalah . Nilai tan . . . .

A.7

23D.

23

7

B.46

24E.

7 23

23

C.46

12

23. Dari sebuah bidang empat ABCD diketahui

BC BD dan AB tegak lurus bidang BCD(AB BCD), BC BD 3 2 dan AB 3. Sudut

antara bidang ACD dan BCD . . . .

A.6

D.3

B.5

E.2

C.4

24. Diketahui limas segi empat beraturan T.ABCD.

Panjang proyeksi TA pada TBC adalah . . . cm.

A. 34

5

B. 12

3

C. 34

55

D. 12

61

E. 59

25. Bidang empat beraturan ABCD.

Sudut antara bidang ABC dan BCD adalah .

Nilai tan . . . .

A.1

3B. 2 2

C. 2

D. 32

2

E.2 2

3

T

D C

A B

8 cm

6 cm

C

D

B

A

4 cm

Tahun 2000, soal tentang dimensi tigasebanyak 4 soal, tahun 2001 dan 2004keluar 3 soal, sedangkan tahun 2002,2003, dan 2005 keluar 2 soal.

Analisis

H G

E F

D C

A B

Pelajari cara menentukan irisan bidang,jarak antara titik terhadap garis padabidang, dan sudut antara garis padabidang.


1. Data tunggal

a. Rata-rata Jumlah semua nilai data

( )Banyak data

ixxn

b. Median adalah nilai tengah dari sekumpulan

data (x) yang telah diurutkan dari data terkecil

atau sebaliknya.

Me1

2

nx n ganjil

Me 2 21n nx x n genap

c. Modus adalah data yang paling sering muncul.

d. Kuartil adalah nilai yang membagi data terurut

menjadi empat bagian yang sama banyaknya

di mana Q1

kuartir bawah, Q2

kuartil tengah

(median), dan Q3

kuartil atas

2. Data berkelompok

a. Rata-rata: i i

i

x fx

fdi mana xi Titik tengah kelas-i

fi Frekuensi-i

b. Median: 22

22 2

N fe fM Q L c

di mana L Batas bawah kelas median

f Frekuensi kelas median

f2

Jumlah frekuensi sebelum

kelas median

N Jumlah data ( f)c Interval kelas

c. Modus: 10 0

1 2

fM L cf f

di mana L0

Batas bawah kelas modus

f1

Frekuensi kelas dengan

frekuensi sebelum kelas modus

f2

Frekuensi kelas dengan

frekuensi sesudah kelas modus

c Interval kelas

STATISTIKA8

A. Ukuran Pemusatan d. Kuartil

Kuartil bawah: 14

1 11

N fQ L c

f

di mana L1

Batas bawah kelas

kuartil bawah

f1

Frekuensi kelas kuartil

bawah

f1


kelas kuartil bawah


Kuartil tengah Median Me Q2

(Lihat

median)

Kuartil atas: 34

3 33

N fQ L c

f

di mana L3

Batas bawah kelas kuartil

atas

f3

Frekuensi kelas kuartil

atas

f3


kelas kuartil atas


B. Ukuran Penyebaran

1. Rataan kuartil 12

(Q1

Q3)

2. Rataan tiga 14

(Q1

2Q2

Q3)

3. Statistik lima serangkai

Q2

Q1

Q3

Xmin

Xmax

4. Rentang (jangkauan) adalah selisih antara data

terbesar dan terkecil.

R Xmax

– Xmin

Bagian 1 Bagian 2 Bagian 3 Bagian 4

Q1

Q2

Q3Data Data

minimum maksimum


5. Hamparan adalah selisih antara kuartil ketiga (Q3)

dengan kuartil pertama (Q1)

H Q3 – Q

1

6. Simpangan kuartil adalah setengah kali panjang

hamparan.

Qd12

H 12

(Q3 – Q

1)

1. Umur rata-rata (rata-rata hitung) dari suatu kelompok

yang terdiri dari dokter dan jaksa adalah 40 tahun.

Jika umur rata-rata para dokter adalah 35 tahun

dan umur rata-rata para jaksa adalah 50 tahun,

maka perbandingan banyaknya dokter dan

banyaknya jaksa adalah . . . .

A. 3 : 2 D. 2 : 1

B. 3 : 1 E. 1 : 2

C. 2 : 3

Jawab:Misalkan: • Rata-rata umur dokter 1x

• Banyaknya dokter n1

• Rata-rata umur jaksa 2x• Banyaknya jaksa n

2

1 1 2 2

1 2

n x n xx

n n40

1 2

1 2

35 50n nn n

40n1

40n2

35n1

50n2

5n1

10n2

1

2

nn

10

5

n1 : n

2 10 : 5 2 : 1

Kunci: D

2. Nilai Ujian Matematika Frekuensi

4 20

5 40

6 70

8 a10 10

Dari tabel di atas, nilai rata-rata ujian Matematika

adalah 6, maka nilai a adalah . . . .

A. 0 D. 20

B. 5 E. 30

C. 10

Jawab:4 20 5 40 6 70 8 10 10

20 40 70 10

80 200 420 8 1006

140

axa

aa

840 6a 800 8a2a 40

a 20 Kunci: D

3. Pada ujian Bahasa Inggris yang diikuti oleh 40

murid, rata-rata nilainya 32 dengan simpangan baku

25. Karena rata-rata terlalu rendah, maka nilai

dikatrol, masing-masing nilai dikalikan dengan 2

kemudian dikurangi 10. Kesimpulan di bawah ini

yang benar adalah . . . .

A. rata-rata nilai menjadi 64

B. rata-rata nilai menjadi 34

63

C. simpangan baku tetap 25

D. simpangan baku menjadi 50

E. simpangan baku menjadi 40

Jawab:Jumlah nilai mula-mula 40 32 1.280

Simpangan baku (d) mula-mula

2

2

2( )

( 32)25

x xdf

xf

Jumlah nilai baru (2 1.280) (40 10)

2.560 400

2.160

Rata-rata baru ( )Bx :

2.16054

40Bx

xB 2xA 10

7. Varians

V S22

1

1( )

ni

ix x

n

8. Simpangan baku

2 2

1

1( )

ni

iS S x x

n



Simpangan baku baru (dB)

2

2

2

2

2

( )

(2 10 54)

(2 64)

4 (2 32)

( 32)2

2 25 50

B BB

A

A

A

A

x xdf

xf

xf

xf

xf

Kunci: D

4. Perbandingan 7.200 mahasiswa yang diterima pada

empat perguruan tinggi digambarkan sebagai dia-

gram lingkaran berikut ini. Banyak siswa yang

diterima pada perguruan tinggi IV adalah . . . .

A. 1.500 orang

B. 2.240 orang

C. 2.880 orang

D. 2.940 orang

E. 3.200 orang

Jawab:Misalkan jumlah siswa yang diterima pada

perguruan tinggi IV adalah n.

360 (90 72 54)7.200

360

144

360

n

7.20020

2.880Kunci: C

5. Tabel berikut adalah hasil ulangan Matematika

suatu kelas, maka modus adalah . . . .

Nilai 31-36 37-42 43-48 49-54 55-60 61-66 67-72

f 4 6 9 14 10 5 2

A. 49,06 D. 51,33

B. 50,20 E. 51,83

C. 50,70

Jawab:

Nilai 31-36 37-42 43-48 49-54 55-60 61-66 67-72

f 4 6 9 14 10 5 2

I

54°

II

72°III

90°

IV

Misalkan:

M0

Modus

L1

Tepi bawah kelas modus

d1

Selisih nilai f modus dengan f di atas

d2

Selisih nilai f modus dengan f di bawah

10 1

1 2

14 948,5

(14 9) (14 10)

548,5

5 4

dM L

d d

48,5 0,56 49,06 Kunci : A

6. Nilai ulangan 40 siswa disajikan dalam histogram

berikut:

Nilai kuartil bawah pada data di atas adalah . . . .

A. 60 D. 70

B. 64 E. 75

C. 65

Jawab:

1 140 10

4 4n

Kelas Q1

64,5 69,5

Tb 64, 5

( f1) 3 6 9

f1

10

c 5

Q1

64,510 9 5

10

64, 5 0, 5

65

Kunci: C

2

4

6

8

10

12

54,5 59,5 64,5 69,5 74,5 79,5 84,5 89,5


1. Median dari data umur pada

tabel di samping adalah . . . .

A. 16,5

B. 17,1

C. 17,3

D. 17,5

E. 18,3

2. Diagram berikut menyajikan data berat badan

(dalam kg) dari 40 siswa, modusnya adalah . . . .

Umur f14 - 71 6

18 - 11 10

12 - 15 18

16 - 19 40

20 - 23 16

24 - 27 10

A. 36,1 D. 48,0

B. 46,5 E. 40,4

C. 46,9

3. Simpangan kuartil dari dua data 3, 6, 2, 4, 14, 9,

12, 8 adalah . . . .

A. 12

2 D. 4

B. 3 E. 12

4

C. 12

3

4. Kuartil atas dari data pada diagram berikut

adalah . . . .

5. Rataan hitung dari data pada histogram dari gambar

adalah 10. Maka nilai n yang memenuhi

adalah . . . .

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

E. 8

6. Simpangan kuartil dari data pada gambar di bawah

adalah . . . .

frekuensi

5

8

14

10

3

55,5 60,5 65,5 70,5 75,5 80,5data

A. 71,5 D. 73,0

B. 72,0 E. 73,5

C. 72,5

A. 6,25 D. 4,35

B. 6,05 E. 3,75

C. 4,75

7. Modus nilai ulangan pada

data berikut adalah . . . .

A. 69,75

B. 70,75

C. 72,50

D. 73,25

E. 74,50

8. Berat badan 48 siswa disajikan dalam histogram

berikut ini.

Nilai f55 - 59 2

60 - 64 6

65 - 69 11

70 - 74 12

75 - 79 9

80 - 84 7

85 - 89 3

12

10

8

6

4

2

46,5 50,5 54,5 58,5 62,5 66,5 70,5 74,5

berat badan (kg)

freku

ensi

Nilai kuartil bawah data di atas adalah . . . .

A. 47,17 D. 59,17

B. 51,17 E. 63,17

C. 55,17

2,5 5,5 8,5 11,5 14,5 17,5

3n

9

6

2

Nilai


frekuensi

12

8

6

3

1

O 40 44 45 49 50 55 55 59 60 64

berat

badan

frekuensi

26

1412

8

0,5 10,5 20,5nilai


9. Data berikut adalah hasil ujian Matematika suatu

kelas SMA yang nilai rata-ratanya adalah x .

Nilai 3 4 5 6 7 8

Frekuensi 2 4 8 12 16 4

Siswa dinyatakan lulus bila nilainya lebih besar

atau sama dengan 1x . Banyaknya siswa yang

lulus ujian ini adalah . . . .

A. 20 D. 36

B. 28 E. 40

C. 32

10. Modus dari kelompok data 3, 6, 7, 5, 8, 4, 5, 9

adalah . . . .

A. 5,0 D. 7,5

B. 7,0 E. 6,0

C. 5,5

11. Jangkauan dan median dari data 21, 20, 19, 18,

17, 22, 22, 18, 17, 23, 24, 25, berturut-turut

adalah . . . .

A. 25 dan 21 D. 2 dan 20,5

B. 25 dan 20 E. 8 dan 20,5

C. 17 dan 21

PELUANG9

A. Kaidah Pencacahan, Permutasi dan

Kombinasi

1. Permutasi dari sekumpulan unsur-unsur yang

berbeda adalah cara penyusunan unsur-unsur

tersebut dengan memperhatikan urutannya.

2. Notasi faktorial

n! n (n – 1) (n – 2) . . . 3 2 1

3. Banyak permutasi r unsur yang diambil dari n unsur

yang tersedia adalah

,( )

nr

nP r nn r

4. Banyak permutasi n unsur yang diambil dan n unsur


nnP n

5. Permutasi dari n unsur yang tersedia jika terdapat

k unsur yang sama adalah

,nP k nk

6. Permutasi dari n unsur yang tersedia jika terdapat

k unsur yang sama, l unsur yang sama, dan munsur yang sama adalah

,nP k l m n

k l m

7. Banyak permutasi siklis dari n unsur berbeda adalah

Psiklis

(n 1)

8. Kombinasi dari sekumpulan unsur-unsur yang

berbeda adalah cara penyusunan unsur-unsur

tersebut tanpa memperhatikan urutannya.

Soal mengenai statistika keluar sebanyaksatu soal pada tahun 2002-2005.Kemungkinan akan muncul juga satu soalpada tahun 2006.

Analisis

Pahami cara penyajian data denganmenggunakan diagram dan grafik.Hafalkan rumus-rumus ukuran pemu-satan dan penyebaran data.


9. Banyak kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur


( )

nr

nCr n r

, r n

1. Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang

mungkin dari sebuah percobaan.

2. Jika setiap anggota ruang sampel mempunyai

peluang yang sama untuk muncul maka peluang

kejadian A yang memiliki anggota sebanyak n(A)

adalah

P(A)( )

( )

n An S

, A S

3. Titik sampel adalah setiap anggota ruang sampel

disebut juga kejadian yang mungkin.

4 Jika A komplemen kejadian A maka peluang

kejadian A adalah

P(A ) 1 P(A)

5. Frekuensi relatif suatu kejadian A

( )r

n AfN

di mana N Banyaknya percobaan

B. Peluang Suatu Kejadian C. Peluang Kejadian Majemuk

6. Frekuensi harapan dari kejadian A

fh P(A) N

di mana N Banyaknya percobaan

1. Jika A dan B dua kejadian yang berada dalam

ruang sampel S maka peluang kejadian A Badalah

P(A B) P(A) P(B) P(A B)

2. Jika A dan B masing-masing dua kejadian yang

saling lepas maka peluang gabungan dua kejadian

yang saling lepas adalah

P(A B) P(A) P(B)

3. Jika A dan B kejadian-kejadian yang saling bebas,

maka berlaku

P(A B) P(A) P(B)

1. Dari 10 orang siswa yang terdiri dari 7 orang putra

dan 3 orang putri akan dibentuk tim yang

beranggotakan 5 orang. Jika disyaratkan anggota

tim tersebut paling banyak 2 orang putri, maka

banyaknya tim yang dapat dibentuk adalah . . . .

A. 168 D. 231

B. 189 E. 252

C. 210

Jawab:Kemungkinan yang terjadi:

Semua putra (5 Putra dan 0 Putri)

7 56 77

215 (7 5) 1 2

C



4 Putra dan 1 Putri

7 5 3 17 3

4 (7 4) 1 (3 1)

5 6 73

1 2 3

35 3 105

C C

3 Putra dan 2 Putri

7 5 3 27 3

3 (7 3) 2 (3 2)

5 6 73

1 2 3

35 3 105

C C

Jadi, banyaknya tim yang dapat dibentuk adalah:

21 105 105 231 Kunci: D

2. Suatu sekolah membentuk tim delegasi yang terdiri

dari 4 anak Kelas VII, 5 anak Kelas VIII, dan 6

anak Kelas IX. Kemudian akan ditentukan pimpinan

yang terdiri dari ketua, wakil ketua, dan sekretaris.

Jika kelas asal ketua harus lebih tinggi dari kelas

asal wakil ketua dan sekretaris, maka banyaknya

kemungkinan susunan pimpinan adalah . . . .

A. 156 D. 600

B. 492 E. 720

C. 546

Jawab:Ketua harus di atas kelas yang lain, artinya

harus Kelas VIII.

Kemungkinan terpilihnya Ketua Kelas IX ada

6 orang.

Wakil dan Sekretaris ada di Kelas VII dan VIII

Kemungkinan terpilihnya adalah 9 orang.

Kemungkinan terpilihnya susunan

9 29 9 72

(9 2) 7P

Jadi, 6 72 432 kemungkinan

Wakil dan Sekretaris Kelas VII adalah

4 orang.

4 24 4 12

(4 2) 2P

Jadi, 5 12 60 kemungkinan.

Sehingga banyaknya kemungkinan susunan

pimpinan adalah: 432 60 492

Kunci: B

3. Seorang murid diminta mengerjakan 9 soal dari 10

soal ulangan, tetapi soal nomor 1 sampai dengan

nomor 5 harus dikerjakan. Banyaknya pilihan yang

dapat diambil murid tersebut adalah . . . .

A. 4 D. 9

B. 5 E. 10

C. 6

Jawab:Soal nomor 1 sampai 5 harus dikerjakan

Soal nomor 6 sampai 10, yang dikerjakan

hanya 4 soal, sehingga pilihannya adalah 4

soal dari 5 soal.

5 45 5 5

(5 4) 4 1 4C

Kunci: B

4. Linda memiliki delapan teman akrab. Dia ingin

mengundang tiga dari delapan temannya untuk

diajak makan bersama. Tetapi dua di antara mereka

adalah pasangan suami istri. Kedua suami istri

diundang atau keduanya tidak diundang. Banyak

kemungkinan cara Linda mengundang temannya

adalah . . . .

A. 18 D. 24

B. 20 E. 26

C. 22

Jawab:Kedua suami istri diundang

2 2 6 12 6

(2 2) 2 (6 1) 1

1 6 6

C C

Kedua suami istri tidak diundang

6 3 2 06 2

(6 3) 3 (2 0) 0

6 2

3 3 2

20 1 20

C C

Jadi, banyak kemungkinan cara Linda mengundang

temannya adalah 20 6 26 cm.

Kunci: E

5. Sebuah kantong berisi empat buah bola merah

dan lima bola berwarna putih. Jika dua buah bola

diambil dari dalam kantong satu per satu dengan

tidak mengembalikan setiap pengambilan, maka

peluang terambilnya kedua bola itu berwarna merah

sebesar . . . .

A. 172

D. 112

B. 116

E. 16

C. 427


Jawab:• Banyaknya bola:

n(S) 4 bola merah 5 bola putih

9 bola

• Banyaknya bola merah: n(A) 4 bola

• Peluang terambilnya bola merah pada

pengambilan pertama:

( ) 4( )

( ) 9

n AP An S

• Peluang terambilnya bola merah pada

pengambilan kedua:

( ) 3( | )( ) 8

( ) ( ) ( | )

4 3

9 8

karena sudahdiambil satu

n AP B An S

P A B P A P B A

12 1

72 6Kunci: E

5. Dalam suatu populasi keluarga dengan tiga orang

anak, peluang keluarga tersebut mempunyai

paling sedikit dua anak laki-laki adalah . . . .

A.1

8D.

1

2

B.1

3E.

3

4

C.3

8

6. Dua buah dadu dilempar bersama-sama. Peluang

munculnya jumlah mata dadu 9 atau 10

adalah . . . .

A.5

36D.

9

36

B.7

36E.

11

36

C.8

36

7. Kotak I berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning.

Kotak II berisi 2 bola merah dan 6 bola kuning.

Dari masing-masing kotak diambil sebuah bola

secara acak. Peluang terambilnya kedua bola

berwarna sama adalah . . . .

A.1

8D.

9

16

B.5

16E.

7

8

C.7

16

8. Populasi satu jenis serangga tiap tahun menjadi

dua kali lipat. Jika populasi serangga tersebut saat

ini mencapai 5.000 ekor, maka 10 tahun yang

akan datang populasinya sama dengan . . . .

1. Banyaknya garis yang dapat dibuat dari 8 titik

yang tersedia, dengan tidak ada 3 titik yang segaris

adalah . . . .

A. 336 D. 28

B. 168 E. 16

C. 56

2. Suatu kelas terdiri dari 40 siswa, 25 siswa gemar

Matematika, 21 siswa gemar IPA, dan 9 siswa

gemar Matematika dan IPA. Peluang seorang tidak

gemar Matematika maupun IPA adalah . . . .

A.25

40D.

4

40

B.12

40E.

3

40

C.9

40

3. Kotak I berisi 3 bola merah dan 2 bola putih.

Kotak II berisi 3 bola hijau dan 5 bola biru. Dari

masing-masing kotak diambil 2 bola sekaligus

secara acak. Peluang terambil 2 bola merah dari

kotak I dan 2 bola biru dari kotak II adalah . . . .

A.1

10D.

3

8

B.3

28E.

57

140

C.4

15

4. Nilai1 10 4

14 15 16 . . . .

A.114

16D.

9

16

B.108

16E.

4

16

C.84

16



A. 2.557.500 ekor D. 5.115.000 ekor

B. 2.560.000 ekor E. 5.120.000 ekor

C. 5.090.000 ekor

9. Dua dadu dilambungkan bersama-sama. Peluang

muncul mata dadu pertama 3 dan mata dadu kedua

5 adalah . . . .

A.6

36D.

3

36

B.5

36E.

1

36

C.4

36

10. Di dalam sebuah kotak ada 9 tiket yang diberi

nomor 1 sampai dengan 9. Jika dua tiket diambil

secara acak, peluang terambilnya satu ganjil dan

satu genap adalah . . . .

A.1

36D.

7

18

B.1

6E.

5

9

C.5

18

11. Sebuah kotak berisi 5 kelereng merah, 3 kelereng

putih dan 2 kelereng biru. Dari dalam kotak diambil

3 kelereng sekaligus secara acak. Peluang terambil

2 kelereng merah dan 1 kelereng putih

adalah . . . .

A.1

4D.

2

15

B.3

20E.

13

120

C.1

8

12. Sepuluh kartu diberi nomor 1 sampai dengan 10.

Dari kartu-kartu tersebut diambil sebuah kartu

secara acak. Peluang terambilnya kartu bernomor

bukan prima dan bukan komposit adalah . . . .

A. 0 D.6

25

B.4

10E. 1

C.6

10

13. Dari angka-angka 2, 3, 5, 6, 7, dan 9 dibuat

bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berlainan.

Banyaknya bilangan yang dapat dibuat yang lebih

kecil dari 400 adalah . . . .

A. 10 D. 80

B. 20 E. 120

C. 40

14. Dalam kotak I terdapat 4 bola merah dan 3 bola

putih, sedangkan dalam kotak II terdapat 7 bola

merah dan 2 bola hitam. Dalam setiap kotak diambil

satu bola secara acak. Peluang terambilnya bola

putih dari kotak I dan bola hitam pada kotak II

adalah . . . .

A.28

63D.

6

63

B.21

63E.

5

63

C.8

63

15. Akan disusun suatu tim peneliti yang terdiri dari

2 orang matematikawan dan 3 orang teknisi. Jika

calon yang tersedia 3 orang matematikawan dan

5 orang teknisi, maka banyak cara menyusun tim

tersebut adalah . . . .

A. 20 D. 90

B. 30 E. 360

C. 60

Soal tentang peluang selalu muncul setiaptahun. Tahun 2000-2003 dan 2005 keluarsebanyak 2 soal, sedangkan tahun 2004hanya keluar 1 soal.

Analisis

Pahami kisaran nilai peluang, faktorial,permutasi dan kombinasi.


1. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada

bidang datar yang berjarak sama terhadap titik

tertentu. Titik tertentu itu disebut pusat lingkaran

dan jarak tertentu disebut jari-jari lingkaran.

2. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik O(0, 0)

dan berjari-jari r adalah x2 y2 r2.

3. Titik P(a, b) terletak di dalam lingkaran

x2 y2 r2 jika dan hanya jika a2 b2 r2.

5. Titik P(a, b) terletak di luar lingkaran x2 y2 r2

jika dan hanya jika a2 b2 r2.

A. Persamaan-Persamaan Lingkaran

x

y

O

P(x, y)

2 2

2 2

OP R

x y r

x y r

4. Titik P(a, b) terletak pada lingkaran x2 y2 r2

jika dan hanya jika a2 b2 r2.

6. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P(a, b)

dan berjari-jari r adalah

(x a)2 (y b)2 r2

7. Bentuk umum persamaan lingkaran adalah:

x2 y2 Ax By C 0

dengan pusat P ,2 2

A B dan jari-jari

r2 2

4 4

A B C .

8. Titik R(h, k) terletak di dalam lingkaran

(x a)2 (y b)2 r2 jika dan hanya jika

(h a)2 (k b)2 r2

y

x

P(a, b)

R(h, k)

r

O

x

y

O

P(a, b)

r

LINGKARAN DAN IRISAN KERUCUT10

y

xr

P(a, b)

O

x

y

O

P(a, b)

r


9. Titik R(h, k) terletak pada lingkaran


(h a)2 (k b)2 r2

Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di

titik P(a, b) dan berjari-jari r adalah

(x a)(x1

a) (y b)(y1

b) r2

y

x

R(h, k)

O

r

10. Titik R(h, k) terletak di luar lingkaran


(h a)2 (k b)2 r2

11. Titik R(h, k) terletak di dalam lingkaran

x2 y2 Ax By C 0 jika dan hanya jika

h2 k2 Ah Bk C 0

12. Titik R(h, k) terletak pada lingkaran


h2 k2 Ah Bk C 0

13. Titik R(h, k) terletak di luar lingkaran


h2 k2 Ah Bk C 0

B. Persamaan Garis Singgung

Lingkaran

O x

y

P(a, b)

P(a, b)

r

C. Persamaan Parabola

m(x1, y1)

x

y

y1 b

P(a, b)

x1 a

1. Persamaan parabola dengan titik fokus F(p, 0) dan

garis direktriks x p adalah

y2 4px

2. Persamaan parabola dengan puncak (0, 0), titik

fokus F( p, 0) garis direktriks x p adalah

y2 4px

3. Persamaan parabola yang mempunyai fokus

F(0, p) dan garis direktriks y p adalah

x2 4py

4. Persamaan parabola dengan puncak (0, 0), titik

fokus F(0, p) garis direktriks y p adalah

x2 4py

5. Persamaan parabola di titik (h, k) dengan

persamaan direktriksnya adalah x h p dan titik

fokus F(h p, k) adalah

(y k)2 4p(x h)

• R(h, k)

a(x, y)

x

yl1

f(p, o)

l2

0

x p

Q( p, y)


6. Persamaan parabola di titik (h, k) dengan

persamaan direktriksnya adalah x h p dan titik

fokus F(h p, k) adalah

(y k)2 4p(x h)2

7. Persamaan parabola di titik (h, k) dengan persamaan

direktriksnya adalah y k p dan titik fokus

F(h, k p) adalah

(x h)2 4p(y k)2

8. Persamaan parabola di titik (h, k), dengan direktriks

y k p dan titik fokus F(h, k p) adalah

(x h)2 4p(y k)

2 2

2 21

x h y k

b adi mana:

• Puncak: (h, k a) dan (h, k a)

• Titik ujung sumbu minor: (h b, k) dan (h b, k)

• Fokus : (h, k c ) dan (h, k c)

5. Persamaan garis singgung elips

2 2

2 21

x h y k

a b dengan gradien m

adalah :2 2 2y k m x h a m b

6. Persamaan garis singgung elips

2 2

2 21

x h y k

b a dengan gradien m

adalah:

2 2 2y k m x h b m a

3. Persamaan elips berpusat di (h, k) dengan sumbu

utama garis y k dan sumbu sekawan garis x kadalah

2 2

2 21

x h y k

a bdi mana :

• Puncak: (h a, k) dan (h a, k)

• Titik sumbu minor: (h, k b) dan (h, k b)

• Fokus : (h c, k ) dan (h c, k)

4. Persamaan elips berpusat di (h, k) dengan sumbu

utama garis x h dan sumbu sekawan adalah garis

y k

D.Persamaan Garis Singgung Parabola

1. Persamaan parabola yang berpuncak di A(h, k) pada

parabola (y k)2 4p(x h) dengan gradien madalah

(y k) m(x h)pm

2. Persamaan parabola yang berpuncak di A(h, k) pada

parabola (y k)2 4p(x h) dengan gradien madalah

(y k) m(x h)pm

3. Persamaan parabola yang berpuncak di A(h, k)pada

parabola (x h)2 4p(y k) dengan gradien m adalah

(y k) m(x h) m2p

4. Persamaan parabola yang berpuncak di A(h, k)pada

parabola (x h)2 4p(y k) dengan gradien madalah

(y k) m(x h) m2p

E. Persamaan Elips

1. Bentuk umum persamaan elips

Ax2 By2 Cx Dy E 0 dengan

A 0, B 0, A B

2. Persamaan elips yang berpusat di O(0, 0) dan fokus

di F1( c, 0) dan F

2(c, 0) adalah

2

2

xa

2

2

yb

1

di mana:

• c2 a2 b2

• Eksentrisitas : eca

• Direktriks:axe

E. Persamaan Hiperbola

1. Bentuk umum persamaan hiperbola adalah

Ax2 By2 Cx Dy E 0

dengan 0A , 0B , A B2. Persamaan hiperbola berpusat di O(0, 0), fokus di

F1(0, c) dan F

2(0, c) selisih jarak terhadap kedua

fokus sama dengan 2a adalah

22

2 21

yxa b

di mana: b2 c2 a2


3. Persamaan hiperbola berpusat di O(0, 0), fokus di

F1(0, c) dan F

2(0, c) adalah

22

2 21

yxa b

4. Persamaan hiperbola yang berpusat di A(h, k),sumbu utama sejajar sumbu-x adalah

2 2

2 2

( ) ( )1

x h y ka b

di mana:

• b2 c2 a2

• Sumbu nyata y k, dan sumbu sekawan x h• Koordinat puncak (h a, k) dan (h a, k)

• Koordinat titik ujung (h, k b) dan (h, k b)

• Fokus (h c, k) dan (h c, k)

• Eksentrisitas: eca

• Direktriksax he

• Persamaan asimtot :

( ) ( )by k x ha

• Panjang latus rectum 22b

a5. Persamaan hiperbola berpusat di A(h , k) sumbu

utama sejajar sumbu-y adalah

2 2

2 2

( ) ( )1

y k x ha b

di mana:

• b2 c2 a2

• Sumbu nyata x h, dan sumbu sekawan y k• Koordinat puncak (h, k a)dan (h, k a)

• Koordinat titik ujung (h b, k ) dan (h b,)• Fokus (h , k c) dan (h, k c)

• Eksentrisitas: eca

• Persamaan direktriksay ke

• Persamaan asimtot :

( ) ( )ay k x hb

6. Hiperbola

22

2 21

yxa b

, mempunyai asimtot

by xa

7. Hiperbola

2 2

2 21

y xa b

, mempunyai asimtot

ay xb

N

G. Persamaan Garis Singgung

Hiperbola yang Berpusat di A(h, k)

1. Persamaan garis singgung hiperbola

2 2

2 2

( ) ( )1

x h y ka b

dengan gradien m adalah

2 2 2( ) ( )y k m x h a m b

2. Persamaan garis singgung hiperbola

2 2

2 2

( ) ( )1

y k x ha b

dengan gradien m adalah

2 2 2( ) ( )y k m x h b m a

1. Lingkaran yang sepusat dengan lingkaran

x2 y2 4x 6y 17 0

dan menyinggung garis 3x 4y 7 0 mempunyai

persamaan . . . .

A. (x 2)2 (y 3)2 25

B. (x 2)2 (y 3)2 16

C. (x 2)2 (y 3)2 25

D. (x 2)2 (y 3)2 16

E. (x 4)2 (y 6)2 25

Jawab:x2 y2 4x 6y 17 0

Pusat: 1 12 2

( 4), (6) (2, 3)P



Jari-jari lingkaran:

2 2

3(2) 4( 3) 7 6 12 7

9 16(3) ( 4)

255

5

r

Persamaan lingkaran:

(x 2)2 (y 3)2 52

(x 2)2 (y 3)2 25 Kunci: A

2. Jika titik ( 5, k) terletak pada lingkaran

x2 y2 2x 5 y 21 0

maka nilai k adalah . . . .

A. 1 atau 2 D. 0 atau 3

B. 2 atau 4 E. 1 atau 6

C. 1 atau 6

Jawab:Persamaan lingkaran:

x2 y2 2x 5y 21 0

( 5, k) ( 5)2 k2 2( 5) 5(k) 21 0

25 k2 10 5k 21 0

k2 5k 6 0

(k 1)(k 6) 0

sehingga k 1 atau k 6 Kunci: C

3. Luas sebuah lingkaran adalah fungsi dari keliling-

nya. Jika keliling sebuah lingkaran adalah x, maka

laju perubahan luas lingkaran terhadap kelilingnya

adalah . . . .

A. x D.x

B. 2 x E.2x

C.2

x

Jawab:Keliling lingkaran (K) 2 r

r2

K

Luas lingkaran (L) r2

Substitusi r2

K ke luas lingkaran

2 2 2

22 44

K K KL

Laju perubahan luas terhadap keliling:

2

4 2

K KL Kunci: C

4. Tiga buah lingkaran yang berjari-jari sama saling

bersinggungan luar. Lingkaran kecil L2 menyinggung

ketiga lingkaran tersebut dan lingkaran besar L2

juga menyinggung ketiga lingkaran itu seperti pada

gambar. Perbandingan jari-jari lingkaran L2 dan jari-

jari lingkaran L1 adalah . . . .

A. (1 3) : (1 3)

B. 14 : 1

C. (7 4 3) : 1

D. (7 4 3) : 1

E. (7 2 3) : 1

Jawab:r1

Jari-jari L1

r2

Jari-jari L2

R Jari-jari lingkaran A, B, dan C

O Titik pusat L1 dan L

2

RO

RA

C

BE

D

Perhatikan ABC dan BOD!

Segitiga ABC adalah segitiga samasisi,

sehingga:

ABC CAB BCA 60°

Dengan demikian besar 12

12

60

30

DBO ABC

OD r tan 30° tan 30° OD

r13

3r

13

3r

cos 30cos 30

DB DBOBOB

231

2

2 33 3

r r rr

r2

OB BE 23

3r r

r1

OB BE 23

3r r


2 22 1 3 3

: 3 : 3r r r r r r

22332

2 21 3 3

2 23 3

2 23 3

22 4 43 3 3

2 42233

7 4 13 3 3

1 13 3

3 13

3 3 1

3 1 3 1

3 1 3 1

3 1 3 1

13 1

3 (7 4 3)

7 4 3

1

rr rrr r r r

Jadi, r2 : r

1(7 4 3) : 1 Kunci: E

5. PQR segitiga dengan panjang setiap sisinya

6 cm. C lingkaran dalam PQR. C1, C

2, dan C

3

adalah lingkaran di dalam PQR yang masing-

masing menyinggung luar lingkaran C dan

menyinggung dua di antara tiga sisi segitiga itu.

Luas bagian PQR yang terletak di luar keempat

lingkaran itu adalah . . . .

A. 9 3

B. 9 3 2

C. 9 3 4

D. 3 3

E. 3 3 2

Jawab:

Dengan demikian

Besar SQC 12

PQR 12

60° 30°

r CS 3 tan 30° tan 30° 3

r

13

3 3

3

2 2 2 2( 3) 3

3 9 12 2 3

CQ CS SQ

CQ CS 3rC3 3

3

13 3

2 3 3 3

3 2 3 3

3

rC

rC

rC

Luas PQR 12

6 6 sin 60°

3 6 12

3 9 3

Luas lingkaran C r2 2( 3) 3

Luas lingkaran kecil

3 Luas lingkaran kecil

3 ( rC3)2 1

33 3

Luas daerah yang diarsir

Luas PQR Luas lingkaran C (3

Luas lingkaran kecil)

9 3 3

9 3 4 Kunci: C

6. Koordinat titik fokus dari persamaan parabola

y2 4y 8x 28 0 adalah . . . .

A. ( 4, 2) D. ( 2, 2)

B. (2, 2) E. ( 2, 2)

C. ( 2, 4)

Jawab:y2 4y 8x 28 0

y2 4y 8x 28

(y 2)2 4 8x 28

(y 2)2 8x 32

(y 2)2 (8x 4)

Koordinat puncak ( 4, 2)

4p 8 p 2

Fokus ( 4 p, 2) ( 4 2, 2)

( 2, 2)

Kunci: E

C2

C1

C3

C

P R

R

SQ 12

PQ 12

6 3 cm

Perhatikan PQR dan SQC.

Segitiga PQR adalah segitiga samasisi,

sehingga:

PQR QRP RPQ 60°

C

r

P S Q

R


7. Persamaan garis singgung pada parabola

x2 4x 2y 10 0 yang tegak lurus pada garis

2x 4y 7 0 adalah . . . .

A. 2x y 5 0 D. x 2y 5 0

B. x 2y 5 0 E. 2x y 5 0

C. 2x y 5 0

Jawab:x2 4x 2y 10 0

x2 4x 2y 10

(x 2)2 4 2y 10

(x 2)2 2y 6

(x 2)2 2(y 3)

Puncak (2, 3) 4p 2

p 1

2

2x 4y 7 0

4y 2x 7

y1

1

2x 7

4m

1

1

2

m1· m

21 (karena tegak lurus)

1

2· m

21

m2

2

Persamaan garis singgung:

(y k) m2(x h) m

22p

(y 3) 2(x 2) (2)2 · 1

2

(y 3) 2(x 2) 4 · 1

2

(y 3) 2(x 2) 4 · 1

2

y 3 2x 4 2

y 3 2x 2

2x y 5 0

Kunci: A8. Koordinat fokus pada elips

ax2 9y 48x 72y 144 0 adalah . . . .

A. 6 2 5, 4 D. 6 2 5, 4

B. 6, 2 5 4 E. 6 2 5, 4

C. 6 2 5, 4

Jawab:4x2 48x 9y 72y 144

4(x2 12x 36) 9(y2 8y 16)2

144 144 144

4(x 6)2 9 (y 4) 144

2 26 4

136 16

x y

a2 36, b2 16, h 6, k 4

c2 36 16

c 2 5

Fokus: (6 2 5 , 4) dan

(6 2 5 , 4)

Kunci: C

9. Persamaan asimtot hiperbola dengan puncak

(2, 4) dan ( 6, 4) serta salah satu titik fokusnya

adalah (3, 4) adalah . . . .

A. 4x 3y 10 0 dan 3x 4y 22 0

B. 3x 4y 22 0 dan 3x 4y 10 0

C. 3x 4y 22 0 dan 3x 4y 10 0

D. 4x 3y 10 0 dan 4x 3y 22 0

E. 3x 4y 22 0 dan 3x 4y 10 0

Jawab:Puncak (2, 4), ( 6, 4)

Fokus (3, 4)

2

6

2 4

2

h ah a

hhh a 2 k 4

2 a 2

a 4

h c 3

2 c 3

c 5

b2 c2 a2

52 ( 4)2

25 16 9

b 3

Persamaan asimtot:

y k ba (x h)

y k 3

4(x 2)


1. Garis singgung lingkaran x2 y2 25 di titik

( 3, 4) menyinggung lingkaran dengan pusat

(10, 5) dan jari-jari r. Nilai r adalah . . . .

A. 3 D. 9

B. 5 E. 11

C. 7

2. Koordinat fokus elips

9x2 25y2 18x 100y 116 0

adalah . . . .

A. (2, 1) dan ( 6, 1)

B. (6, 1) dan (2, 1)

C. (3, 2) dan ( 5, 2)

D. (3, 2) dan ( 5, 2)

E. (5, 2) dan ( 3, 2)

3. Salah satu persamaan asimtot hiperbola

2 2( 2) ( 1)

16 9

x y 1 adalah . . . .

A. 4x 3y 11 0

B. 4x 3y 5 0

C. 3x 4y 6 0

D. 3x 4y 10 0

E. 3x 4y 6 0

4. Persamaan garis singgung kurva y 2x x di titik

pada kurva dengan absis 2 adalah . . . .

A. y 3x 2 D. y 3x 2

B. y 3x 2x E. y 3x 1

C. y 3x 1

5. Salah satu persamaan garis singgung dari titik

(0, 4) pada lingkaran x2 y2 4 adalah . . . .

(i) y 4 3

4(x 2)

y 4 3

4x 3

2

y 3

4x 11

2 0

4y 3x 22 0

A. y x 4 D. 3 4y x

B. y 2x 4 E. 2 4y xC. y x 4

6. Diketahui persamaan hiperbola

9x2 4y2 54x 8y 41 0

persamaan asimtot hiperbola tersebut adalah . . . .

A. 3x 2y 11 0 dan 3x 2y 7 0

B. 3x 2y 11 0 dan 3x 2y 7 0

C. 3x 2y 11 0 dan 3x 2y 7 0

D. 2x 3y 11 0 dan 2x 3y 7 0

E. 2x 3y 11 0 dan 2x 3y 1 0

7. Persamaan garis singgung pada kurva

y 2x2 6x 7 yang tegak lurus garis x 2y 13 0 adalah . . . .

A. 2x y 15 0

B. 2x y 15 0

C. 2x y 15 0

D. 4x 2y 29 0

E. 4x 2y 29 0

8. Jarak antara titik pusat lingkaran

x2 4x y2 4 0

dari sumbu-y adalah . . . .

A. 3 D. 12

1

B. 12

2 E. 1

C. 2

9. Koordinat salah satu fokus elips

7x2 16y2 28x 96y 60 0 adalah . . . .

A. (2, 0) D. ( 1, 3)

B. (2, 6) E. ( 2, 3)

C. (2, 3)

(ii) y 4 3

4(x 2)

y 4 3

4x 3

2

y 3

4x 5

2 0

4y 3x 10 0

Jadi persamaan asimtotnya

3 4y 22 0 dan 3x 4y 10 0

Kunci: B



10. Suatu garis menyinggung kurva y x3 3x2 2x 5

di titik T(1, 3). Persamaan garis singgung tersebut

adalah . . . .

A. y 5x 7 D. y 7x 5

B. y 5x 10 E. y 7x 10

C. y 7x 3

11. Diketahui sebuah lingkaran melalui titik O(0, 0),

A(0, 8), dan B(6, 0). Persamaan garis singgung

pada lingkaran tersebut di titik A adalah . . . .

A. 3x 4y 2 0

B. 3x 4y 32 0

C. 3x 4y 32 0

D. 4x 3y 32 0

E. 4x 3y 32 0

12. Koordinat pusat hiperbola

3x2 4y2 12x 32y 10 0 adalah . . . .

A. ( 2, 4) D. (2, 4)

B. ( 2, 4) E. (4, 2)

C. (2, 4)

13. Garis singgung pada parabola y x2 4 yang te-

gak lurus pada garis y x 3 memotong sumbu-ydi titik . . . .

A. 134

0, D. 194

0,

B. 154

0, E. 214

0,

C. 174

0,

14. Persamaan garis singgung lingkaran

(x 4)2 (y 3)2 40 yang tegak lurus garis

x 3y 5 0, adalah . . . .

A. y 3x 1 dan y 3x 30

B. y 3x 2 dan y 3x 32

C. y 3x 2 dan y 3x 32

D. y 3x 5 dan y 3x 35

E. y 3x 5 dan y 3x 35

15. Persamaan parabola horisontal dengan titik puncak

(1, 3) dan melalui titik (3, 7) adalah . . . .

A. (y 1)2 8(x 3)

B. (y 1)2 12(x 3)

C. (y 3)2 6(x 1)

D. (y 3)2 8(x 1)

E. (y 3)2 12(x 1)

16. Panjang sumbu minor suatu elips horisontal yang

pusatnya M(3, 1) sama dengan 6. Elips tersebut

melalui titik P(8, 3). Persamaan elips adalah . . . .

A.2 2( 3) ( 1)

140 9

x y

B.2 2( 3) ( 1)

142 9

x y

C.2 2( 3) ( 1)

145 9

x y

D.2 2( 3) ( 1)

142 18

x y

E.2 2( 3) ( 1)

145 36

x y

17. Salah satu simbol asimtot hiperbola

2 2( 3) ( 1)

16 25

x y 1

memotong sumbu-y di titik . . . .

A. 14

0, 2 D. 14

0, 4

B. 34

0, 2 E. 34

0, 4

C. 12

0, 4

18. Suatu kurva melalui titik P(1, 3). Gradien garis

singgung kurva tersebut di titik T(x, y) sama dengan

2 5dy xdx

. Persamaan kurva tersebut

adalah . . . .

A. y x2 5x 7

B. y x2 5x 8

C. y x2 5x 9

D. y x2 5x 10

E. y x2 5x 11

19. Elips dengan persamaan 4x2 9y2 36 digeser

1

2 kemudian diputar 90° dengan pusat ( 1, 2).

Persamaan bayangan elips tersebut adalah . . . .

A. 4(x 3)2 9(y 3)2 36

B. 9(x 1)2 4(y 2)2 36

C. 4(x 1)2 9(y 2)2 36

D. 9(x 1)2 4(y 2)2 36

E. 4(x 1)2 9(y 2)2 36

20. Diketahui kurva dengan persamaan

y x3 5x2 7.

Persamaan garis singgung kurva yang berabsis 1

dan tegak lurus y 2x 3 adalah . . . .

A. x 2y 5 0 D. x 2y 6 0

B. x 2y 7 0 E. 2x y 5 0

C. x 2y 7 0


21. Suatu lingkaran berpusat pada titik potong garis

x y 1 0 dan garis x y 3 0 serta

menyinggung garis 3x 4y 35 0. Persamaan

lingkaran tersebut adalah . . . .

A. x2 y2 4x 2y 20 0

B. x2 y2 2x y 20 0

C. x2 y2 4x 2y 20 0

D. x2 y2 2x y 20 0

E. x2 y2 4x 2y 20 0

22. Diketahui suatu parabola dengan titik puncak

( 1, 3) dan titik fokus (3, 3). Persamaan garis

singgung parabola tersebut yang bergradien 2

adalah . . . .

A. y 2x 3 D. y 2x 8

B. y 2x 4 E. y 2x 12

C. y 2x 7

23. Diketahui hiperbola dengan puncak (0, 6) dan

(0, 0) serta salah satu fokus (0, 8). Persamaan

asimtot hiperbola adalah . . . .

A. 4 43 3

3 dan 3y x y x

B. 4 43 3

3 dan 3y x y x

C. 3 34 4

3 dan 3y x y x

D. 3 34 4

3 dan 3y x y x

E. 16 169 9

3 dan 3y x y x

24. Persamaan garis singgung pada kurva

y ax3 2x2 di titik (1, a 2) dan tegak lurus

garis x 2y 4 adalah . . . .

A. y 2x 2 D. y 2x 2

B. y 2x 1 E. y 2x 2

C. y 2x 1

25. P adalah titik potong garis x 4y 4 0 dan

2x y 10. Persamaan lingkaran yang berpusat

di P dan menyinggung garis 3x 4y 0

adalah . . . .

A. x2 y2 4x 2y 2 0

B. x2 y2 4x 2y 2 0

C. x2 y2 4x 2y 4 0

D. x2 y2 8x 4y 4 0

E. x2 y2 8x 4y 2 0

26. Diketahui parabola dengan puncak (1, 3) dan fokus

(1, 2). Persamaan garis singgung parabola tersebut

yang sejajar dengan garis 2x y 3 0

adalah . . . .

A. 2y 4x 1 D. 2y 4x 1

B. 2y 2x 9 E. 2y 4x 7

C. 2y 4x 11

27. Persamaan garis asimtot hiperbola dengan

koordinat titik puncak ( 2, 1) dan (6, 1), serta

salah satu fokus (7, 1) adalah . . . .

A. 4x 3y 10 0 dan 4x 3y 2 2

B. 3x 4y 2 0 dan 3x 4y 10 0

C. 3x 4y 2 0 dan 3x 4y 10 0

D. 3x 4y 10 0 dan 3x 4y 2 0

E. 3x 4y 10 0 dan 3x 4y 2 0

28. Salah satu persamaan garis singgung kurva

y x3 6x2 18x 3 yang tegak lurus dengan

garis 9y x 2 0 adalah . . . .

A. y 9x 7 0 D. y 9x 3 0

B. y 9x 7 0 E. y 9x 3 0

C. y 9x 7 0

29. Persamaan lingkaran yang berpusat pada titik

potong garis x 3y 3 0 dan 2x y 4 0

serta menyinggung garis 3x 4y 8 0

adalah . . . .

A. x2 y2 6x 4y 12 0

B. x2 y2 6x 4y 4 0

C. x2 y2 6x 4y 5 0

D. x2 y2 6x 4y 23 0

E. x2 y2 6x 4y 25 0

30. Diketahui parabola dengan koordinat titik puncak

(2, 3) dan berfokus pada titik ( 1, 3). Persamaan

garis singgung pada parabola tersebut dengan

gradien 3 adalah . . . .

A. y 3x 4 D. y 3x 4

B. y 4x 3 E. y 3x 4

C. y 4x 3

31. Koordinat fokus suatu hiperbola adalah (3, 4 5 )

dan (3, 4 5 ) sedangkan salah satu titik

puncaknya (3, 6). Hiperbola tersebut mempunyai

asimtot dengan persamaan . . . .

A. y 2x 1 dan y 2x 5

B. y 2x 1 dan y 2x 4

C. y x 3 dan y x 1

D. y 2x 2 dan y 2x 10

E. y 2x 3 dan y 2x 8

32. Garis singgung y x3 2x 1 di titik dengan

absis 1 adalah . . . .

A. y 2x 2 D. 1 12 2

y xB. y x 1 E. y 3x 3

C. y x 1

33. Persamaan lingkaran dengan ujung diameter

A(2, 4) dan B( 4, 2) adalah . . . .


A. (x 3)2 (y 1)2 10

B. (x 1)2 (y 3)2 10

C. (x 1)2 (y 3)2 10

D. (x 1)2 (y 3)2 10

E. (x 1)2 (y 3)2 10

34. Persamaan garis singgung pada parabola

y2 8x yang sejajar dengan garis 2x y 1 0

adalah . . . .

A. y 2x 1 D. 2y x 1

B. y 2x 1 E. y 2x 2

C. 2y x 1

35. Salah satu persamaan asimtot hiperbola dengan

persamaan 9x2 16y2 36x 32y 124 0

adalah . . . .

A. 4y 3x 2 0

B. 4y 3x 1 0

C. 3x 4y 2 0

D. 3x 4y 2 0

E. x 3y 4

36. Gradien garis singgung sebuah kurva di setiap titik

adalah23 4 3

dy x xdx . Jika kurva tersebut

melalui titik (3, 10) maka persamaan kurvanya

adalah . . . .

A. y x3 2x2 3x 10

B. y x3 2x2 3x 16

C. y x3 2x2 3x 26

D. y x3 2x2 3x 16

E. y x3 2x2 3x 26

37. Persamaan garis singgung melalui titik (5, 1) pada

lingkaran x2 y2 4x 6y 12 0 adalah . . . .

A. 3x 4y 19 0

B. 3x 4y 19 0

C. 4x 3y 19 0

D. x 7y 26 0

E. x 7y 26 0

38. Persamaan parabola dengan fokus (2, 1) dan garis

direktriks x = 6 adalah . . . .

A. y2 2y 8x 31 0

B. y2 2y 8x 33 0

C. y2 2y 8x 35 0

D. x2 8x 8y 18 0

E. x2 8x 8y 24 0

39. Koordinat titik fokus elips

9x2 25y2 36x 50y 164 0 adalah . . . .

A. (6, 1) dan ( 2, 1)

B. ( 6, 1) dan (2, 1)

C. (1, 6) dan (1, 2)

D. (1, 6) dan (1, 2)

E. (6, 1) dan ( 1, 1)

40. Diketahui salah satu asimtot dari

2 2

21

4

x yb

sejajar dengan garis 6x 3y 5 0. Nilai b2

. . . .

A.1

4D. 16

B. 1 E. 25

C. 4

41. Persamaan hiperbola yang berfokus di titik

( 8, 1) dan (18,1) serta jarak kedua puncak

hiperbola 24 satuan, adalah . . . .

A.2 2( 1) ( 5)

112 5

x y

B.2 2( 5) ( 1)

1144 25

x y

C.2 2( 1) ( 5)

112 5

x y

D.2 2( 1) ( 5)

125 16

y x

E.2 2( 1) ( 5)

1144 25

y x

Soal tentang suku banyak selalu keluarsetiap tahun. Tahun 2000-2001 keluarsebanyak 2 soal. Tahun 2002-2005keluar 1 soal. Kemungkinan akan keluarjuga 1 soal pada tahun 2006.

Analisis

Pelajari cara menentukan sisa pembagiandan menentukan akar-akar persamaansuku banyak.


1. Bentuk anxn an 1

xn 1 an 2xn 2 … a

1x a

0,

dengan an 0 dan n bilangan cacah disebut suku

banyak dalam variabel x berderajat n.

2. an, an 1, an 2

, … , a1,

adalah bilangan-bilangan real

yang merupakan koefisien-koefisien suku banyak

dari masing-masing variabel x, sedangkan a0

disebut suku tetap.

1. Hubungan antara yang dibagi, pembagi, hasil bagi,

dan sisa pembagian adalah:

Yang dibagi Pembagi Hasil bagi Sisa pembagian

2. Jika suatu suku banyak f(x) berderajat n dibagi

oleh suku banyak g(x) berderajat kurang dari n,

maka didapat suatu hasil bagi h(x) dan sisa

pembagian s(x).

f(x) h(x)g(x) s(x)


x k, maka sisanya f(k).


ax b, maka sisanya fba .

5. Jika suatu suku banyak f(x) berderajat n dibagi ax2

bx c, maka hasil baginya h(x)

berderajat n 2 dan sisanya s(x) px q.

Jika pembagi g(x) dapat difaktorkan menjadi faktor-

faktor linier (x c)(x d), maka sisa pembagian

suku banyak f(x) oleh (x c)(x d) adalah

s(x) px q dengan p( ) ( )f c f d

c d dan

( ) ( )cf d df cqc d

A. Pengertian Suku Banyak

SUKU BANYAK11

B. Nilai Suku Banyak

1. Jika dua buah suku banyak dalam variabel xmemiliki nilai sama untuk setiap nilai x, maka

koefisien-koefisien suku-suku yang sepangkat

adalah sama.

anxn an 1

xn 1 an 2xn 2 … a

1x a

0bnx

n

bn 1xn 1 bn 2

xn 2 … b1x b

0

maka:

an bn, an 1bn 1

, …, a1

b1, dan a

0b

0

2. Nilai suku banyak f(x) anxn an 1

xn 1 an 2xn 2

… a1x a

0 untuk x k adalah:

ankn an 1

kn 1 an 2kn 2 … a

1k a

0, dengan

k bilangan real.

C. Pembagian Suku Banyak


1. Suatu suku banyak f(x) dibagi (x 2) sisanya 5

dan (x 2) adalah faktor dari f(x). Jika f(x) dibagi

x2 4, sisanya adalah . . . .

A. 5x 10 D. 5x 30

D. 5 54 2

x E. 5 74 2

x

C. 5x 10

Jawab:• F(x) dibagi x2 4 sisanya ax b

(x2 4) (x 2)(x 2)

x 2 F( 2) 2a b 0 .... (1)

x 2 F(2 2a b 5 .... (2)

• Eliminasi b dari Persamaan (1) dan (2)


2a b 0

2a b 5

4a 5

a 5 54 2

b

Jadi, F(x) dibagi x2 4 sisanya 5 54 2

x

Kunci: B

2. Suku banyak f(x) dibagi (x 1) sisanya 2 dan

dibagi (x 3) sisa 7, suku banyak g(x) dibagi

(x 1) sisa 3 dan dibagi (x 3) sisa 2. Diketahui

h(x) f(x) · g(x), jika h(x) dibagi x2 2x 3,

sisanya adalah . . . .

A. S(x) 3x 1 D. S(x) 6x 1

B. S(x) 4x 1 E. S(x) 7x 2

C. S(x) 5x 1

Jawab:f(x) dibagi (x a) sisanya f(a)

f(x) dibagi (x a)(x b) sisanya ax bf(x) dibagi (x 1)(x 3)

f( 1) a b 2 ..... (1)

f(3) 3a b 7 ..... (2)

Eliminasi b dari Persamaan (1) dan (2)

a b 2

3a b 7

4a 9

a 9 14 4

b

Jadi, f(x) dibagi (x 1)(x 3) sisanya 9 14 4

x .

g(x) dibagi (x 1)(x 3) sisanya px qg( 1) p q 3 ..... (3)

g(3) 3p q 2 ..... (4)

Eliminasi b dari Persamaan (3) dan (4)

p q 3

3p q 2

4p 1

p 1 114 4

q

Jadi, g(x) dibagi (x 1)(x 3) sisanya 1 114 4

x .

91 11 14 4 4 4

2116

( 9 98 11)

x x

x x9

16

212 16

2116

( 9 98 11)2 3

( 9 18 27)

80 16

x xx x

x x

x

Jadi, sisanya adalah 80x 16 5x 1

Kunci: C

3. Akar-akar persamaan 2x3 11x 17x 6 adalah

x1, x

2, dan x

3. Nilai x

1x

2

1

3x

3 adalah . . . .

A.1

32

D. 2

B. 5 E. 4

C.1

52

Jawab:

Misalkan (x b) faktor dari suku banyak

f(x) 2x3 11 17x 6. Sehingga p merupakan

pembagi dari 6 yaitu 1, 2, 3 dan 6. Cari

nilai dari f(p) untuk nilai-nilai tersebut sampai

ditemukan salah satu faktor dari suku banyak f(x).

p 1 f(1) 2(1)3 11(1) 17 · 1 6

2 0 (bukan faktor)

p 1 f( 1) 2( 1)2 11( 1)2 17( 1) 6

36 0 (bukan faktor)

p 2 f(2) 2(2)3 11(2)2 17(2) 6

0 (bukan faktor)

Selanjutnya dicari faktor yang lain dengan cara

skematik

2 7 3

2 11 17

4 14

6

6

0 Sisa

2

Suku ke-1 Suku ke-2 Suku ke-3 Suku ke-4

Faktor

suku

banyak

Konstanta

pada

suku

banyak

2x3 11x2 17x 6 (x 2) (2x2 7x 3)

(x 2) (2x2 1) (x 3)

x1

2 x2

1

2x

3 3

Jadi, x1

2x2

1

3x

32 2 (

1

2)

1

3 (3)

2 1 1

4

Kunci: E


4. Suku banyak V(x) jika dibagi x2 9 dan x2 16

sisanya 5x 2 dan nol. Jika V(x) dibagi oleh

x2 7x 12 maka sisanya adalah . . . .

A. S(x) 17x 68

B. S(x) 17x 68

C. S(x) 17x 68

D. S(x) 68 17xE. S(x) 68 17xJawab:

V(x) dibagi x2 9 sisanya 5x 2

x2 9 (x 3)(x 3)

V(3) 5(3) 2 14

V( 3) 5( 3) 2 17

V(x) dibagi x2 16 sisanya nol

x2 16 (x 4)(x 4)

V(4) 0

V( 4) 0

V(x) dibagi x2 7x 12 sisanya px qx2 7x 12 (x 4)(x 3)

V( 4) 4p q0 4p q ..... (1)

V( 3) 3p q17 3p q ..... (2)

Eliminsi q dari Persamaan (1) dan (2)

4p q 0

3p q 17

p 17

p 17 q 68

Jadi, jika V(x) dibagi oleh x2 7x 12 maka

S(x) 17x 68. Kunci: A

5. Suku banyak (2x3 7x2 ax 3) mempunyai

faktor (2x 1). Faktor-faktor linier yang lain

adalah . . . .

A. (x 3) dan (x 1)

B. (x 3) dan (x 1)

C. (x 3) dan (x 1)

D. (x 3) dan (x 1)

E. (x 2) dan (x 6)

Jawab:f(x) 2x3 7x2 ax 3

faktor (2x 1) sehingga x 12

3 21 1 1 12 2 2 2

1 1 18 4 2

1 7 14 4 2

12

2 7 3

0 2 7 3

3 0

1

2

f a

a

a

a

a

Jadi, f(x) 2x3 7x2 2x 3.

12

2 7 2 3

1 4 3

2 8 6 0 Hasil bagi

2x2 8x 6 2(x2 4x 3)

2(x 1)(x 3)

f(x) 2x3 7x2 2x 3

2(2x 1)(x 1)(x 3) Kunci: B

1. Suku banyak P(x) 3x3 4x2 6x 20 habis

dibagi (x 2). Sisa pembagian P(x) oleh

3x2 2x 2 adalah . . . .

A. 20x 24 D. 8x 24

B. 20x 16 E. 32x 16xC. 32x 24

2. Akar-akar persamaan x3 4x2 x 4 0 adalah

x1, x

2, dan x

3. Nilai x

12 x

22 x

32 adalah . . . .

A. 2 D. 17

B. 14 E. 18

C. 15

3. Diketahui suku banyak f(x) jika dibagi (x 1) bersisa

8 dan dibagi (x 3) bersisa 4. Suku banyak g(x)

jika dibagi (x 1) bersisa 9 dan jika dibagi

(x 3) bersisa 15. Jika h(x) f(x) g(x) maka sisa

pembagian h(x) oleh (x2 2x 3) adalah . . . .

A. x 7 D. 11x 13

B. 6x 3 E. 33x 39

C. 6x 21

4. Suku banyak 6x3 13x2 qx 12 mempunyai

faktor (3x 1). Faktor linier yang lain adalah . . . .



A. 2x 1 D. x 4

B. 2x 3 E. x 2

C. x 4

5. Fungsi y 4x3 6x2 2 naik pada interval . . . .

A. 0 x 1 D. x 0

B. x 1 E. x 0 atau x 1

C. x 1

6. Suatu suku banyak dibagi (x 5) sisanya 13,

sedangkan jika dibagi (x 1) sisanya 5. Suku

banyak tersebut jika dibagi x2 6x 5 sisanya

adalah . . . .

A. 2x 2 D. 3x 2

B. 2x 3 E. 3x 3

C. 3x 1

7. Suatu suku banyak bila dibagi oleh x 2 bersisa

11, dibagi oleh x 1 sisanya 4. Suku banyak

tersebut bila dibagi oleh x2 x 2 bersisa . . . .

A. x 5 D. 5x 1

B. x 5 E. 5x 1

C. 5x 21

8. Suku banyak (x4 7x3 9x2 13x 7) dibagi

(x 1) (x 3) menghasilkan sisa . . . .

A. x 1 D. 2x 1

B. x 3 E. 2x 3

C. 2x 1

9. Suku banyak P(x) x3 (a 1)x2 bx 2a, habis

dibagi oleh x 2, dibagi x 2 sisanya 4. Nilai adan b berturut-turut adalah . . . .

A. 7 dan 3 C. 3 dan 5

B. 2 dan 6 D. 1 dan 3

E. 4 dan 8

10. Akar real persamaan x5 2x4 4x2 ax b 0

adalah x1

1, x2

3, dan x3.

Nilai dari x1

x2

2x3

. . . .

A. 0 D. 3

B. 1 E. 4

C. 2

11. Suku banyak x4 5x3 ax2 x b jika dibagi xbersisa 2 dan dibagi (x 1) bersisa 1. Nilai

a 3b . . . .

A. 8 D. 2

B. 6 E. 0

C. 4

12. Diketahui persamaan x3 x2 x 0. Jika

1, 2 dan adalah akar-akar persamaan

tersebut, maka nilai dari 2 2 2 . . . .

A. 3 D. 12

B. 6 E. 14

C. 8

13. Suku banyak x4 ax3 2x2 bx 5 jika dibagi

oleh (x 2) bersisa 7, sedangkan suku banyak

tersebut dibagi (x 3) akan memberikan sisa 182.

Nilai dari a2 4ab 4b2 . . . .

A. 1 D. 16

B. 4 E. 25

C. 9

14. Akar-akar persamaan suku banyak

px3 5x2 22x q 0 adalah x1

1, x2

5 dan

x3. Nilai x

1x

2 4x

3 . . . .

A. 10 D. 2 12

B. 2 E. 10

C. 2

15. Suku banyak x3 Ax2 Bx 6 habis dibagi

(x 3x 2). Nilai A B . . . .

A. 5 D. 17

B. 17 E. 19

C. 5

16. Persamaan x3 2x2 5x 6 0 mempunyai akar-

akar x1, x

2, dan x

3. Nilai x

1x

2x

3 dan x

1x

2x

3

adalah . . . .

A. 2 dan 6 D. 5 dan 6

B. 6 dan 2 E. 5 dan 6

C. 2 dan 6

17. Suku banyak f(x) jika dibagi x 2 sisanya 8 dan

jika dibagi 3x 1 sisanya 1. Sisa pembagian f(x)

oleh 3x2 5x 2 adalah . . . .

A. 2x 3 D. 3x 2

B. 3x 3 E. 3x 2

C. 3x 2

18. p dan q merupakan akar-akar rasional dan

persamaan 3x4 8x3 7x 2 0.

Nilai p q . . . .

A. 8

3D. 5

3

B. 7

3E. 7

3

C.5

3


Soal tentang suku banyak selalu keluarsetiap tahun. Tahun 2000-2001 keluarsebanyak 2 soal. Tahun 2002-2005keluar 1 soal. Kemungkinan akan keluarjuga 1 soal pada tahun 2006.

Analisis

19. Diketahui suku banyak

f(x) 12

x5 4x3 6x2 3x 8.

Nilai suku banyak f untuk x 2 adalah . . . .

A. 70 D. 18

B. 6 E. 26

C. 40

FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS12

A. Fungsi Komposisi

1. Misalkan fungsi f(x) dan g(x) masing-masing

terdefinisi pada daerah asalnya, maka:

fungsi f(x) dilanjutkan dengan fungsi g(x)

dinyatakan oleh (g f)(x) g(f(x)) terdefinisi

jika Rf Dg .

fungsi g(x) dilanjutkan dengan fungsi f(x)

dinyatakan oleh (f g)(x) f(g(x)) terdefinisi

jika Rg Df .

2. Sifat-sifat fungsi komposisi

Pada umumnya, fungsi komposisi tidak bersifat

komutatif

(f g)(x) (g f)(x)

Fungsi komposisi bersifat asosiatif

Untuk sembarang fungsi f(x), g(x), dan h(x),

berlaku

(f (g h))(x) ((f g) h)(x)

3. Dalam fungsi komposisi terdapat unsur identitas,

yaitu fungsi identitas I(x) x yang memiliki sifat

(f I)(x) (I f)(x) f(x).

1. Suatu fungsi f : A B memetakan setiap anggota

A ke B secara unik. Invers dari fungsi f, ditulis

f 1 merupakan balikan fungsi tersebut, yaitu relasi

yang menghubungkan anggota-anggota di B ke A.

2. Suatu fungsi f : A B mempunyai fungsi invers

f 1 : B A jika dan hanya jika f merupakan

fungsi bijektif, yaitu fungsi satu-satu dan onto.

3. Misalkan f adalah fungsi bijektif dengan daerah

asal Df dan daerah hasil Rf maka f 1(x) adalah

fungsi invers dari f jika dan hanya jika (f 1 f)(x)

(f f 1)(x) x.

4. Grafik fungsi f(x) dan grafik fungsi f 1(x) simetri

terhadap garis y x.

5. Jika f(x) dan g(x) fungsi bijektif dan f 1(x)dan g 1(x)

masing-masing merupakan fungsi inversnya maka

• (f g) 1(x) (g 1 f 1)(x)

• (g f) 1(x) (f 1 g 1)(x)

B. Fungsi Invers

Pelajari cara menentukan sisa pembagiandan menentukan akar-akar persamaansuku banyak.


1. Jika g(x) (x 1) dan 2( )( ) 3 1,f g x x xmaka f(x) . . . .

A. x2 5x 5 D. x2 6x 1

B. x2 x 1 E. x2 3x 1

C. x2 4x 3

Jawab:( )f g (x) f(g(x))

x2 3x 1 f(x 1)

(x 1)2 (x 1) 1 f(x 1)

f(x 1) (x 1)2 (x 1) 1

f(x) x2 x 1 Kunci: B

2. Jika ( )( )g f x 4x2 4x dan g(x) x2 1, maka

f(x 2) adalah . . . .

A. 2x 1 D. 2x 3

B. 2x 1 E. 2x 5

C. 2x 2

Jawab:Diketahui: ( )g f (x) 4x2 4x

g(x) x2 1

( )g f (x) g(f(x))

4x2 4x f(x)2 1

f(x)2 4x2 4x 1

f(x)2 (2x 1)2

f(x) 2x 1

Jadi, f(x 2) 2(x 2) 1

2x 4 1

2x 3 Kunci: C

3. 2( ) 1f x x dan

21( )( ) 4 5,2

f g x x xx

maka g(x 3) . . . .

A.1

5x D.1

3x

B.1

1x E.1

3x

C.1

1xJawab:

Diketahui:2( ) 1f x x

21( )( ) 4 52

( )( ) ( ( ))

f g x x xx

f g x f g x

Misalkan g(x) y

2 2

22

2

22

222

2 2

2 22

2

22

2

2

4 5

( 2)

2 4 5

( 2)

4 5 ( 4 4)

( 2)

1

( 2)

1

( 2)

( )( ) ( ( )) ( )

1 4 5 1 ......

1

1 ......

( 2)4 5

( 2) ( 2)

1

2

kedua ruasdikuadratkanx

x xx

x x samakanpenyebutx

x x x xx

x

x

f g x f g x f y

x x y

y

y

xx xyx x

y

y

yx

Sehingga,

1( )2

1 1( 3)3 2 5

g x yx

g xx x

Kunci: A

4. Diketahui fungsi 12

5 3( ) ,

2 1

xf x xx

, dan

g(x) 3x 2. Hasil dari 1( )( )f g x . . . .

A.16

3 5,

6 1

x xx

B.16

3 5,

6 1

x xx

C.16

3 5,

6 1

x xx

D.12

6 5,

6 3

x xx

E.12

6 5,

6 3

x xx

Jawab:

f(x)5 3

2 1

xx Misalkan f(x) y

y5 3

2 1

xx



2yx y 5x 3

2yx 5x 3 y

x(2y 5) 3 y

x3

2 5

yy

f 1(x)3

2 5

xx

1( )( )f g x f 1(g(x)) f 1(3x + 2)

3 (3 2) 3 5

2(3 2) 5 6 4 5

x xx x

1( )( )f g x3 5 1

,6 1 6

x xx

Kunci: A

5. Jika ( ) , 0 dan ( ) ,1

xf x x x g xx

x 1,

maka1( ) (2)g f . . . .

A. 14

D. 2

B. 12

E. 4

C. 1

Jawab:

( )( ) ( ( )) ( )1

xg f x g f x g xx

Misalkan: ( )( )g f x y

2 2

2

2

21

2

21

2

1

( 1) .....

( 1)

( 1)

( ) ( )( 1)

2 4( ) (2) 41(2 1)

kedua ruasdikuadratkan

xyx

y x y xy x x y

x y y

x y y

yxy

xg f xx

g f

Kunci: E

1. Diketahui: f(x) 2x 1

( )f g (x 1) 2x2 4x 1

Nilai g( 2) . . . .

A. 5 D. 1

B. 4 E. 5

C. 1

2. Diketahui f(x)2 3 1

,4 1 4

x xx . Jika f 1 adalah

invers fungsi f, maka f 1(x 2) . . . .

A.4 5

,4 5 4

x xx

B.4 5

,4 5 4

x xx

C.2 3

,4 3 4

x xx

D.3,

4 3 4

x xx

E.5,

4 5 4

x xx

3. Diketahui fungsi f(x) 6x 3, g(x) 5x 4, dan

( )f g (a) 81. Nilai a . . . .

A. 2 D. 2

B. 1 E. 3

C. 1

4. Jika f(x) 1x dan ( )f g (x) 2 1x ,

maka fungsi g adalah g(x) . . . .

A. 2x 1 D. 4x 3

B. 2x 3 E. 5x 4

C. 4x 5

5. Diberikan fungsi f dan g dengan f(x) 2x 1 dan

( )( ) , 11

xf g x xx maka invers dari

fungsi adalah g 1(x) . . . .

A. , 11

x xx

B.2 1

, 02

x xx

C.1, 0

x xx

D.12

2 ,2 1

x xx

E.2 1

, 02

x xx



6. Diketahui f : R dan g : R R, didefinisikan

dengan f(x) x3 4 dan g(x) 2 sin x. Nilai

12

( )f g adalah . . . .

A. 4 D. 6

B. 2 E. 12

C. 3

7. Diketahui f : R R, g : R R dengan

g(x) 3x 7 dan ( )g f (x) 15x2 6x 19.

Rumus untuk f(x) adalah . . . .

A. 5x2 6x 12 D. 5x2 2x 4

B. 5x2 6x 4 E. 5x2 2x 3

C. 5x2 3x 4

8. Diketahui fungsi f(x) 2x 3 dan g(x) 3x 1.

Nilai x yang memenuhi ( )f g (x 4) f(x) 2g(x)

adalah . . . .

A. 12 D.1

2

B. 1 E. 12

C. 2

9. Diketahui f(x)2 3 , 4

4x x

x dan g(x) 2x,

maka 1( ) ( )g f x . . . .

A.2 1,

3 1 3x xx

D.4 10 , 33x x

x

B.2 5 2,3 2 3

x xx

E.4 10 , 33x x

x

C.4 6 , 4

4x x

x

10. Diketahui: f : x 2 3,

4

x xx

4

( )g f (x) x2 7x 8

Nilai dari 58

g . . . .

A. 8 D. 0

B. 6 E. 4

C. 4

11. Fungsi invers dari 153( ) (1 ) 2f x x adalah

f 1(x) . . . .

A.1351 ( 2)x D.

531 ( 2)x

B.1351 ( 2)x E.

53( 2)x

C.531 ( 2)x

12. Diketahui f(x) x 1 dan ( )f g (x) 3x2 4 maka

g(4) . . . .

A. 15 D. 52

B. 16 E. 57

C. 51

13. Diketahui fungsi f yang dinyatakan dengan

f(x 3) 4

2 5

xx untuk x 5

2, dan f 1(x) adalah

invers dari f(x). Rumus fungsi f 1(x) . . . .

A.12

1,

1 2

x xx D.

12

5 4,

2 1

x xx

B.12

1,

1 2

x xx E.

12

5 4,

2 1

x xx

C.12

1,

2 1

x xx

14. Diketahui: g(x) x 4

( )f g (x) x2 3x 2.

Nilai f(0) sama dengan . . . .

A. 20 D. 8

B. 16 E. 6

C. 15

15. Diketahui f(x 2) 12

5,

2 1

x xx

Jika f 1(x) adalah invers dari f(x) maka

f 1(x) . . . .

A.12

5 1,

1 2

x xx D.

12

2,

2 1

x xx

B.12

1,

1 2

x xx E.

12

2 3,

2 1

x xx

C.12

5 3,

2 1

x xx

16. Jika ( )f g (x) 4x2 8x 3 dan g(x) 2x 4,

maka f -1(x) . . . .

A. x 9 D. 2 1xB. 2 x E. 2 7xC. x2 4x 3

17. f(x) x 2 untuk x 0

g(x)15

x untuk x 0

Dengan demikian 1 1 ( ) 1f g x untuk x sama

dengan . . . .

A. 1 D. 8

B. 3 E. 10

C. 5


18. Fungsi invers dari f(x)3 4

2 1

xx adalah . . . .

A.2 1

3 4

xx D.

2 3

4

xx

B.4

2 3

xx E.

4

2 3

xx

C.3 4

2 1

xx

Tahun 2002 dan 2003 soal tentang fungsikomposisi dan fungsi invers keluarsebanyak 2 soal. Tahun 2001-2002 dan2004-2005 hanya keluar 1 soal saja.

Analisis

LIMIT FUNGSI13

A. Pengertian Limit di Suatu Titik

Misalkan fungsi f(x) didefinisikan di sekitar x a, maka

lim ( )x a

f x L jika dan hanya jika

lim ( ) lim ( )x a x a

f x L f x L

lim ( )x a

f x L disebut limit kiri

lim ( )x a

f x L disebut limit kanan

B. Limit Fungsi Aljabar

1. Jika pangkat tertinggi variabel x pada f(x) sama

dengan pangkat tertinggi variabel x pada g(x) maka

( ) koefisien variabel dari ( )lim

( ) koefisien variabel dari ( )

n

nx

f x x f xg x x g x

n adalah pangkat tertinggi variabel x.

2. Jika pangkat tertinggi variabel x pada f(x) lebih dari

pangkat tertinggi variabel x pada g(x) dan koefisien

variabel x yang pangkatnya tertinggi pada f(x)

bernilai positif maka

( )lim

( )x

f xg x

3. Jika pangkat tertinggi variabel x pada f(x) lebih dari

pangkat tertinggi variabel x pada g(x) dan koefisien

variabel x yang pangkatnya tertinggi pada f(x)

bernilai negatif maka

( )lim

( )x

f xg x

4. Jika pangkat tertinggi variabel x pada f(x) kurang

dari pangkat tertinggi variabel x pada g(x) maka

( )lim 0

( )x

f xg x

Pahami cara menentukan fungsi kom-posisi jika salah satu fungsi diketahui,begitu juga cara menentukan invers darisuatu fungsi.


Misalkan n bilangan asli, k konstanta, dan f dan gfungsi-fungsi yang mempunyai limit di c, maka:

1. limx c

k k

2. limx c

x c

3. lim ( ) lim ( )x c x c

kf x k f x

4. lim ( ( ) ( )) lim ( ) lim ( )x c x c x c

f x g x f x g x


f x g x f x g x


f x g x f x g x

7.

lim ( )( )

lim( ) lim ( )

x cx c

x c

f xf xg x g x

, syaratnya g(x) 0.

8. lim ( ) lim ( )nn

x c x cf x f x

C. Teorema Limit

D. Limit Trigonometri

9. lim ( ) lim ( )n nx c x c

f x f x ,syaratnya lim ( ) 0x c

f x

untuk n bilangan genap.


1.2lim (3 2) 9 2 5 . . . .

xx x x

A. 0 D.4

3

B.1

3E.

5

3

C. 1

Jawab:2

2 2

2 2

lim (3 2) 9 2 5

lim (3 2) 9 2 5

lim 9 12 4 9 2 5

12 ( 12) 10 5

6 32 9

x

x

x

x x x

x x x

x x x x

Kunci: E

I N G A T

2

2 2lim

2

x

a a

ax bx c ax dx c

b da

2. lim ( )( ) . . . .x

x a x b x

A.2

a bD.

2

a b

B. E. a bC. 0

Jawab:

1.0 0

sinlim 1 atau lim 1

sinx x

x xx x

2.0 0

tanlim 1 atau lim 1

tanx x

x xx x

3.0

lim cos 1x

x

4.0 0

sinlim atau lim

sinx x

ax a ax abx b bx b

5.0 0

tanlim atau lim

tanx x

ax a ax abx b bx b


2

2 2

lim ( )( )

( )( )lim ( )( )

( )( )

( )( )lim

( )( )

( )lim

( )( )

x

x

x

x

x a x b x

x a x b xx a x b xx a x b x

x a x b xx a x b x

x a b x ab xx a x b x

12

( )a b Kunci: D

3. 30

1 1lim

1 1x

xx sama dengan . . . .

A. 0 D.3

2

B.1

3E. 2

C.2

3

Jawab:12

23

12

23

12

30 0 13

1 12 2 3

211

33

(1 )1 1lim lim

1 1 (1 )

(1)

(1)

x x

xxx x

Kunci: D

4.

2 2

40

1 cos cos sinlim . . . .x

x x xx

A. 0 D. 1

B.1

4E. 1

C.1

2

Jawab:2 2

40

2 2

40

2

40

1 cos cos sinlim

sin cos sinlim

sin (1 cos )lim

x

x

x

x x xx

x x xx

x xx

2 2 12

40

2 1 122 4

2 20 12

sin 2 sinlim

2 sinsinlim

x

x

x x

xxx

x x

1 14 2

1 2 1 Kunci: C

5.

1 132

7lim . . . .

7

x

x x

A.1

54D. 0

B.1

13E.

C.1

9

Jawab:3 21 1

32 3 2

7 7

7

7

7

7

lim lim7 7

3 2 3 2lim

3 23( 2 ( 7)

9 (2 )lim

3 2 ( 7) 3 2

( 7)lim

3 2 ( 7) 3 2

1lim(3 2 ) 3 2

1 1

(3 3)(3 3)3 2 7 3 2 7

xx x

x x

x

x

x

x

x x

x xxx x

xx x x

xx x x

x x

1 1

9 6 54 Kunci: A


1. Nilai2

20lim

1 1xx

x . . . .

A. 2 D. 2

B. 0 E. 3

C. 1

2. Nilai0

sin 2lim

3 2 9x

xx

. . . .

A. 3 D. 3

B. 1 E. 6

C. 0

3. Nilai lim 5 2 1x

x x . . . .

A. 1 D. 2

B. 0 E.

C. 1

4. Nilai2

0

4lim1 cos 2x

xx

. . . .

A. 2 D. 2

B. 1 E. 4

C. 1

5. Nilai22

6 1lim24x

xxx

. . . .

A.1

2D.

1

4

B.1

4E.

1

2

C. 0

6.2

22

1 cos ( 2)lim

3 12 12x

xx x

. . . .

A. 0 D. 1

B.1

3E. 3

C.1

3

7. lim (2 5)(2 1) (2 5)x

x x x . . . .

A. 2 D. 7

B. 3 E. 14

C. 7

8. Nilai lim2( ) tan ( )x

xx x

. . . .

A.1

2D.

1

3

B.1

4E.

2

5

C.1

4

9. Nilai2

5

2 9 5lim

5x

x xx

. . . .

A. 0 D. 11

B. 8 E.

C. 9

10. Nilai0

tan 2lim

1 cos 6x

x xx

. . . .

A.1

9D.

1

3

B.1

6E.

2

3

C.2

9

11.4

lim1 2 1 2x

xx x

. . . .

A. 0 D. 2

B.1

2E.

C. 1

12.2 tan

Nilai lim1 cosx

x xx

. . . .

A. 4 D. 1

B. 1 E. 4

C. 0

13. Nilai22

2lim . . . .

2x

xx x

A.1

4D.

1

6

B.1

6E.

1

4

C. 0



14.

4

2

2 sin cos 1lim . . . .

6 cos 3x

x xx

A.2

3D.

1

3

B.1

3E.

2

3

C. 0

15.0

( ) ( )lim

h

f x h f xh

untuk

f(x) 3x2 cos3 (x2 ) adalah . . . .

A. 18x3 sin3(x2 ) 3x cos2(x2 )

B. sin2(x2 ){cos(x2 ) 3x2 sin(x2 )}

C. cos2(x2 ){sin(x2 ) 3x2 sin(x2 )}

D. 6x cos2(x2 ){cos(x2 ) 3x2 sin(x2 )}

E. 6x cos2(x2 ){cos(x2 ) 3x2 sin(x2 )}

16.2

3

4 6 3 18lim . . . .

3x

x x xx

A. 1 D.13

4

B.1

2E.

27

4

C.1

4

17.30

sin 3 sin 3 cos 2lim . . . .

4x

x x xx

A. 3 D.2

3

B.3

2E.

1

2

C.3

4

18.3

23

27lim . . . .

9x

xx

A. 0 D. 12

4

B. 2 E.

C. 12

2

19.4 2

cos sinlim

2x

x xx . . . .

A. D. 2

B. 2 E. 12

2

C. 1

20.3

22

8lim . . . .

6t

tt t

A. 0 D.5

4

B.4

3E.

C.12

5

21.0

sin 5lim . . . .

sin 3x

xx

A. 1 D.5

3

B.3

5D. 1

C. 0

22.0

tanlim . . . .

1 cosx

x xx

A. 4 D.1

2B. 2 E. 2

C. 1

23.2lim 3 2 9 2 5 . . . .

xx x x

A.5

6D. 1

32

B. 13

2 E.5

6

C. 23

1

24.0

4lim . . . .sin 3xx

x x

A.3

4D. 3

B. 1 E. 4

C.4

3

25.1

1lim . . . .

1x

xx

A. 2 D. 1

B. 5 E.

C. 0

26.2

2

2

cos ( )lim

(2 ) tan ( )x

xx x

A. 1 D.1

2B. 1 E. 0

C.1

2


AnalisisDiprediksikan soal tentang limit akanmuncul sebanyak 2 soal dalam ujiannasional pada tahun 2006.

1. Turunan fungsi f(x) pada sebarang bilangan cadalah

0

( ) ( )( ) lim

x

f c h f cf ch ,

asalkan limit ini ada

2. Aturan fungsi konstan

Jika f(x) k, dengan k sebuah konstanta, maka

untuk setiap x R, berlaku f (x) 0.

3. Aturan fungsi identitas

Jika f(x) x maka f (x) 1.

4. Aturan pangkat

Jika f(x) axn, dengan a bilangan real tidak nol

dan n bilangan asli maka

f (x) anxn 1

5. Aturan kelipatan konstanta

Jika f(x) ku(x), dengan k suatu konstanta dan

u(x) mempunyai turunan u (x) maka

f (x) ku (x)

TURUNAN FUNGSI14

A. Aturan Turunan 6. Aturan jumlah

Jika f(x) dan g(x) fungsi-fungsi yang mempunyai

turunan f (x) dan g (x), maka

(f g) (x) f (x) g (x)

7. Aturan selisih



(f g) (x) f (x) g (x)

8. Aturan hasil kali



(f . g) (x) f(x)g (x) g(x)f (x)

9. Aturan hasil bagi

Jika f(x) dan g(x), dengan g(x) 0 merupakan

fungsi-fungsi yang mempunyai turunan f (x) dan

g (x), maka

2

( ) ( ) ( ) ( )( )

[ ( )]

f g x f c f x g xxg g x

Alokasikan waktu yang lebih banyakuntuk mempelajari cara menyelesaikanlimit fungsi yang mengandung akar danfungsi trigonometri.


KUNCI JAWABAN DAN PEMBAHASANKOMPILASI SOAL

UJIAN NASIONAL Lima Tahun Terakhir

1. Kunci Jawaban: B

5

3432 5 2( 2)4 16 2 2

4 202 4

3

xx x x

xx

6x 12 4x 20

2x 8

x 4

2. Kunci Jawaban: A

22x 2 2x (2x 2 x)2 2(2x · 2 x)

52 2 25 2 23

3. Kunci Jawaban: B

32

5 134

56

2

7substitusikan nilai 4 dan 27

6

x y x yx y x

Akan diperoleh:3

2

5 1

34

6 5

2

7 4 27

4 6 27 4

156

52

3

1 4

7 2 3

2 6 3 2

12

12

2

2

7 73 3 6 9 3

8 86 1 4 2 2

2 23 16

14 9 3 7 9 3 2 2 1

2(2 2 1) 2 2 1 4 2 1

7 9 3 (2 2 1) 7 9 3(2 2 1)

8 1 7

(1 2 2) 9 3

4. Kunci Jawaban: B3log 2 x dan 2log 5 y

1. Bentuk Pangkat, Akar dan LogaritmaBentuk Pangkat, Akar dan LogaritmaBentuk Pangkat, Akar dan LogaritmaBentuk Pangkat, Akar dan LogaritmaBentuk Pangkat, Akar dan Logaritma

3log 2 x

log 2 log 2log 3

log 3x

x

2log 5log 5

log 2y y

log 5 y log 2

5log 15log 15

log 5log 5 3

log 5

log 5 log 3

log 5

1log 2 log 2

log 2

xy

y

log 2 1( )

log 2

xy

y1

1 1xy xyy x x y

11 xyxyxy xy xy

5. Kunci Jawaban: C

22x 5 · 2x 1 16 0 (2x)2 5 · 2x · 2 16 0

Misalkan 2x a a2 10a 16 0

(a 8) (a 2) 0

a 8 atau a 2

untuk a 8 2x 8 x 3

untuk a 2 2x 2 x 1

HP {1, 3}

6. Kunci Jawaban: C

p2 3 1 2 11 2 1 13 3 3 32 4 2 2 4

25 51 1100 3 10 3

1 3 2 16 9 312

25 5300 30

30,25 0,5

2 4 3

4 4

25 16 27 (25 ) (16 ) (27 )

625 81 (625 ) (81 )

(5 ) (2 ) (3 ) 5

(5 ) (3 )

232 3

135

233

2

7. Kunci Jawaban: C

2log 5 plog 5

log 2p log 5 p log 2

3log 5 p log 2

log 3q log 3

log 2

q

Sehingga,

3log 125 3log 125 log 5 3 log 5

log 3 log 3 log 3

3 ( log 2)3

log 2

p pq

q

8log 27

3

3

log 27 log 3 3 log 3

log 8 3 log 2log 2

log 3 log 2 1 1

log 2 log 2q q

Jadi, 3log 125 8log 27 3pq21 3 1pq

q q

8. Kunci Jawaban: E

35x 1 27x 3 35x 1 33x 9

5x 1 3x 9

2x 10

x 5

9. Kunci Jawaban: D

2

83

23

21 13 3

2 9 2 4 3

22 4

2 4

3 9

3 3

3 13 3

3 3

x

xx

x

17Kunci Jawaban dan Pembahasan Soal Ujian Nasional

1. Kunci Jawaban: E

2x2 2px q2

0, akar-akarnya p dan q.

Diketahui p q 6 p q 6

Karena pada persamaan kuadrat di atas a 2, b 2p, c q2,

dan akar-akarnya x1 p dan x2 q maka:

2

2

b pp q pa

Karena p q 6, berarti: 6 ( 6)

6 2 6

3 12 4

q q qq qq q

Dari p q 6 didapat:

p ( 4) 6 2

sehingga p · q 2 · ( 4) 8

2. Kunci Jawaban: B

Absis titik balik fungsi y px2 (p 3) x 2 adalah p.

Koordinat titik balik grafik fungsi kuadrat yang persamaannya:

y ax2 bx c adalah (x0, y0) dengan 0 0dan2 4

b Dx ya a

di mana D determinan b2 4ac.

Pada fungsi di atas a p, b (p 3) dan c 2

Diketahui absis titik baliknya adalah p, maka:

0

( 3)

2 2

3

2

b px pa ppp

p

2p2 p 3 0

(2p 3) (p 1) 0

Jadi, p 3

2 atau p 1

3. Kunci Jawaban: B

Bentuk umum persamaan kuadrat yang akar-akarnya

berlawanan adalah ax2 c 0, maka b 0.

Untuk persamaan kuadrat:

mx2 (m 5)x 20 0 m 5 0

m 5

a b c

4. Kunci Jawaban: C

x2 px 1 0 a 1, b p, c 1

1 2

1 2

1

11

1

b px x pa

cx xa

2. Persamaan Kuadrat dan Fungsi KuadratPersamaan Kuadrat dan Fungsi KuadratPersamaan Kuadrat dan Fungsi KuadratPersamaan Kuadrat dan Fungsi KuadratPersamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat

1 3

82 4

3

6 12 8

6 20

13

3

x

xx

x

Misalkan akar-akar persamaan yang baru adalah

1 2

1 2 1 2

1 2

2( )2 2 2( )2

1

x x p px x x xx x p

Persamaan kuadrat yang baru

x2 ( ) · 0

x2 ( 2p p)x ( 2p) ( p) 0

x2 3px 2p2

0

5. Kunci Jawaban: E

2x2 qx (q 1) 0

1 2 1 2

1dan

2 2

q qx x x x

x12 x2

2 (x1 x2)

2 2x1x2 4

2

2

2

12 4

2 2

1 4 04

3 04

q q

q q

q q

q2 4q 12 0

(q 6) (q 2) 0

q 6 0 q 6

q 2 0 q 2

Jadi nilai q adalah 2 dan 6.

6. Kunci Jawaban: B

2x2 9x c 0

Diskriminan: D b2 4ac

121 ( 9)2

4(2)(c)

121 81 8c 8c 40

c 5

7. Kunci Jawaban: A

Fungsi kuadrat yang mempunyai nilai minimum 2 untuk x 3

adalah:

f(x) a(x 3)2

2

x 0 f(0) a(0 3)2

2 16

9a 2 16

9a 18

a 2

Jadi f(x) 2(x 3)2

2

2x2 12x 18 2

2x2 12x 16

8. Kunci Jawaban: C

F(x) (p 2)x2 2(2p 3)x 5p 6, bernilai positif untuk

semua x.

Syarat selalu bernilai positif:

(i) a 0, berarti p 2 0 p 2

(ii) D 0, berarti:

{2(2p 3)}2

4(p 2) (5p 6) 0

4(4p2 12p 9) 20p2

64p 48 0

4p2 16p 12 0

p2 4p 3 0

( p 3) (p 1) 0


p 1 atau p 3

Karena syarat (i) p 2 maka yang memenuhi adalah p 3.

9. Kunci Jawaban: C

F(x) memiliki nilai maksimum 3 untuk x 1.

Berarti: 1 22

b b aa

Fungsi kuadratnya dapat ditulis:

F(x) ax2 2ax c

F(1) a 2a c a c 3 . . . (i)

Melalui titik (3, 1), maka:

F(3) a · 32

2a · 3 c 1

3a c 1 . . . (ii)

Dari (i) dan (ii) didapat:

a c 3 3 3a 3x 9

3a c 1 1 3a c 1

4c 10 5

2c

Berarti, grafiknya melalui titik (0, 5

2).

10. Kunci Jawaban: E

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan 2 adalah:

(x x1)(x x2) 0

(x 5)(x 2) 0

x2 3x 10 0


2x y 8 . . . (1) y 2x 8 . . . (4)

2y z 8 . . . (2) 2(2x 8) z 8

4x 16 z 8 . . . (5)

3x y z 3 . . . (3) 3x (2x 8) z 11 . . . (6)

(5) (6) 4x z 8

5x z 11

x 3

x 3

12. Kunci Jawaban: A

x2 x 6 0 a 1, b 1, c 6

1

66

1

ba

ca

Akar-akar persamaan yang baru adalah dan2 3 2 3

2 2

2

2

(2 3) (2 3)

2 3 2 3 (2 3)(2 3)

2 3 2 3

4 6 6 9

2( ) 4 3( )

4 6( ) 9

2( 1) 4(6) 3( 1)

4(6) 6( 1) 9

19

39

2 3 2 3 (2 3)(2 3)

4 6( ) 9

6

4(6) 6( 1) 9

6

39

Persamaan kuadrat yang baru adalah

2 19 60

39 39x x . . . kedua ruas dikali 39

39x2 19x 6 0


x2 (m 1) x 2

1

4 0

a b cDua akar berlainan D 0

b 4ac 0

(m 1)2

4(1) 9

4 0

m2 2m 1 9 0

m2 2m 8 0

(m 4) (m 2) 0

Jadi batas-batas nilai m yang memenuhi adalah m 4 atau

m 2.

14. Kunci Jawaban: D

P(m, n) P(2, 1) m 2, n 1

Persamaan kuadrat: y a(x m)2 n

melalui titik (0, 5) 5 a(0 2)2

1

5 4a 1

4a 4

a 1

Sehingga diperoleh persamaan

y a(x m)2 n

y 1(x 2)2

1

y x2 4x 4 1

y x2 4x 5


x2 px 2 x2 px 2 0 a 1, b p, c 2

x1 x2 1

b p pa

x1 · x2

22

1

ca

1 1 11

2 2

1 2 1

1 1 2 2

2 11

2 2 2 2

2 2 (2 1)

2 4 2

x x xxx x

x x xx x x x

1 2 1 2

1 2 1 2

2 2 4 0

2( ) 4 0

2( ) 4( 2) 0

2 8

4

x x x xx x x x

ppp

2 4



(m 1)x2 4x 2m 0

a b cAkar-akar tidak nyata D O

b2 4ac 0

42 4(m 1)(2m) 0

16 (4m 4)2m 0

16 8m2 8m 0

m2 m 2 0

(m 2) (m 1) 0

Nilai m yang memenuhi adalah m 2 atau m 1.

17. Kunci Jawaban: B

Memotong sumbu-x di titik (1, 0) dan (5, 0) sehingga diperoleh

persamaan kuadrat.

y a(x x1)(x x2)

y a(x 1)(x 5)

Melalui titik (6, 10)

y a(x 1)(x 5)

10 a(6 1)(6 5)

10 5a a 2

Karena a 0 maka mempunyai titik balik minimum.

Nilai minimum y 0.

y 2(x 1)(x 5) y 0

y 2(x2 6x 5) 4x 12 0

y 2x2 12x 10 4x 12

x 3

Nilai minimum: y 2(32) 12(3) 10

18 36 10

8


x2 x 2 0 a 1, b 1, c 2

x1 x2 1ba

x1 · x2

22

1

ca

Akar-akar persamaan yang baru adalah 1

2

xx

dan 2

1

xx

.

2 21 2 1 2 1 2 1 2

2 1 1 2 1 2

2

1 2 1 2

2 1 1 2

( ) 2

( 1) 2(2) 3

2 2

1

x x x x x x x xx x x x x x

x x x xx x x x

sehingga diperoleh persamaan kuadrat yang baru:

x2 3

2x 1 0 . . . kedua ruas dikali 2

2x2 3x 2 0

19. Kunci Jawaban: C

Pers. Kuadrat: x2 3px 6 3x 10p x2 3px 3x 6 10p 0

x2 (3p 3)x 10p 6 0

Akar real: D 0

b2 4ac 0

[ (3p 3)]2

4 · 1 (10p 6) 0

9p2 18p 9 40p 24 0

9p2 22p 15 0

(9p 5)(p 3) 0

Jadi,5

atau 39

p p


Fungsi kuadrat: y 3x2 12x 6 a 3, b 12, c 6

Memotong salah satu sumbu koordinat di titik (a, 0) dan

(b, 0) x1 a, x2 b.

Sehingga diperoleh:

a 3 a 0 maka grafik terbuka ke atas.

a · b 1 2

62

3

cx xa

a b 1 2

124

3

bx xa

a b 21 2 1 2 1 2( ) 4 16 (4)(2)

8 2 2

x x x x x x

Jadi, pernyataan yang salah adalah pilihan D.


x2 x 2 0 a 1, b 1, c 2

x1 x2

( 1)1

1

ba

x1 · x2

22

1

ca

x13 x2

3 31 2 1 2 1 2

3

( ) 3 ( )

(1) 3(2)(1)

1 6 5

x x x x x x


(3m 1)x2 4(m 1)x m 4

(3m 1)x2 4 (m 1) x (m 4) 0

a b c

Akar real D 0

b2 4ac 0

( 4m 4)2 4(3m 1)(m 4) 0

16m2 32m 16 (12m 4)(m 4) 0

16m2 32m 16 12m2 52m 16 0

4m2 20m 0

m2 5m 0

m(m 5) 0

0 5

Nilai m yang memenuhi adalah 0 m 5.

2 1

59

3



2( ) , 1

1

xf x xx

Memotong sumbu-x f(x) 0

20 2 0

1

2 . . . . (2, 0)

x xx

xMemotong sumbu-y x 0

0 2( ) 2

0 1f x . . . . (0, 2)

Jadi, grafik yang memenuhi adalah pilihan C.


2x2 3x 4 0 a 2, b 3, c 4

x1 x2

( 3) 3

2 2

ba

x1 · x2

42

2

ca

Akar-akar persamaan yang baru adalah 1

1

x dan 1

1

x .

2 1 1 2

1 2 1 2 1 2

32

1 2 1 2

( )1 1

3

2 4

1 1 1 1

2

x x x xx x x x x x

x x x x


x23 1

04 2

. . . kedua ruas dikali 4

4x2 3x 2 0


x2 x 6 x2 3x 9

(x 3) (x 2) 0 untuk x 3

x 3 atau x 2 ( 3)2 3(3) 9

0 9 (benar)

untuk x 2

(2)2 2(3) 9

10 9 (salah)

Jadi, nilai x yang menyebabkan pernyataan bernilai salah adalah

x 2.


Titik potong kedua garis

y x 3 x y 3 2

5x 2y 20 1

2x 2y 6

5x 2y 20

7x 14

x 2 y 5

Sehingga diperoleh titik puncak adalah P(2, 5)

Persamaan parabola

y a(x p)2 q a(x 2)2

5

Melalui titik (0, 3) x 0, y 3

y a(x 2)2 5 3 a (0 2)2

5

3 4a 5

4a 2

a1

2

1. Kunci Jawaban: C

6 321 6 3 21 . . . . (1)

7 42 7 4 2 . . . . (2)

y x xyx y

y x xyx y

6y 3x 21xy 4 24y 12x 84xy7y 4x 2xy 3 21y 12x 6xy

45y 90xy90xy 45y x

1

2

Dari persamaan (1) diperoleh:

6y 3x 21xy untuk x 1

2 didapat:

6y 3 · 1

2 21 ·

1

2y

6y21 3

2 2y

9 3 1

2 2 3y y

Himpunan penyelesaiannya adalah 1 1

2 3.

Jadi, 6x0 y0

1 16 1.

2 3

2. Kunci Jawaban: B

Sn 100.000, n 4, dan b 5.000

Sn12 ( 1)

2

U b nn

100.000 12 ( 5000) (4 1)4

2

U

100.000 4U1 30.000

U1130.000

32.5004

sehingga,

U4 U1 (n 1)b32.500 (4 1) ( 5.000) 17.500

Jadi jumlah uang yang diterima si bungsu adalah Rp17.500,00.

3. Kunci Jawaban: A

Misalkan: Barang I xBarang II y

4x 3y 853 5

3x 5y 1.022.000 3

20x 15y 4.265.000

9x 15y 3.066.000

11x 1.199.000

x 109.000

Jadi harga barang I adalah Rp109.000,00.

3. Sistem Persamaan LinSistem Persamaan LinSistem Persamaan LinSistem Persamaan LinSistem Persamaan Linieieieieier dan Kuadratr dan Kuadratr dan Kuadratr dan Kuadratr dan Kuadrat

Sehingga,

y1

2(x 2)

2 5 y

1

2x2 2x 3


4. Kunci Jawaban: E

Misalkan:1

xa dan

1 by

2 11 2 1 1

1 28 2 8 2

a bx y

a bx y

2a b 1

2a 4b 16

5b 15

b 3 a 2

13

y1

x 2

1

3y x

1

2

Sehingga,1 1 12 3 6

1 1 16

x y

4. PertidaksamaanPertidaksamaanPertidaksamaanPertidaksamaanPertidaksamaan

32

24

16

8

O 8 16 24 36 48

y

x

A

B

C

D

O 10

y

x

P (5, 3)6

645

1113

1. Kunci Jawaban: D

Titik A adalah (0, 32)

Titik B Titik potong persamaan garis 2x y 32 dengan

2x 3y 72.

2x y 32

2x 3y 72

2y 40

y 20 x 6

Jadi titik B adalah (6, 20)

Titik C Titik potong persamaan garis 2x 3y 72 dengan

x 3y 36.

2x 3y 72

x 3y 48

x 24 y 8

Jadi, titik C adalah (24, 8)

Titik D adalah (48, 0)

Uji titik pojok

A(0, 32) 5 · 0 10 · 32 320

B(6, 20) 5 · 6 10 · 20 230

C(24, 8) 5 · 24 10 · 8 200

D(48, 0) 5 · 48 10 · 0 240

Jadi, nilai minimumnya adalah 200.

3. Kunci Jawaban: A

Persamaan garis yang melalui titik (20, 0) dan (0, 15)

15x 20y 20 · 15

3x 4y 60

Persamaan garis yang melalui titik (15, 0) dan (0, 30)

30x 15y 30 · 15

2x y 30

4. Kunci Jawaban: A

F(x, y) 4x 28ymaksimum di titik P(5,3)

F(5, 3) 4(5) 28(3)

104

5. Kunci Jawaban: D

x y 12

x 2y 16

y 4

y 4 x 8

F(x, y) 2x 5y maksimum di titik (0, 8)

F(8, 4) 2(0) 5(8) 40

5. Logika Matematika

1. Kunci Jawaban: B

p ( )p q

Kontraposisi: ( )

( )

p q pp q p

2. Kunci Jawaban: E

p q p qq r q r

p r p r

Jadi cara penarikan kesimpulan tersebut adalah silogisme.

3. Kunci Jawaban: E

p qq rp r

O 16

y

x

(8, 4)

12

8

12

F(x, y) 5x 10yTitik Pojok


p r p r p r p r p r p r p rB B B B B S S B

B S B S S B S B

S B B S B S B B

S S S S B S S S

Dari tabel kebenaran diperoleh:

( p r) (p r)

4. Kunci Jawaban: A

. . .

p qq

ekuivalen dengan

p qqp

5. Kunci Jawaban: D

Negasi dari pernyataan: “Jika ulangan dibatalkan, maka semua

murid bersuka ria” adalah “Ulangan dibatalkan dan ada murid

tidak bersuka ria”.

6. Kunci Jawaban: D

Negasi dari pernyataan: “Ani cantik tetapi tidak pandai” adalah

“Ani tidak cantik atau pandai”.

7. Kunci Jawaban: B

p qqq

ekuivalen dengan

q pqq

Dengan demikian argumennya dapat dinyatakan menjadi modus

tolens dan kesimpulan argumen tersebut adalah sah.

8. Kunci Jawaban: E

Ingkaran dari pernyataan: “Seorang siswa dinyatakan lulus ujian

apabila semua nilai ujiannya tidak kurang dari 4,01” adalah

“Semua nilai ujian seorang siswa tidak kurang dari 4,01 tetapi

ia tidak lulus”.

9. Kunci Jawaban: E

p (q r) p (q r)

[ p (q r)]

p ( q r)


Ingkaran dari pernyataan: “Jika Fathin mendapat nilai 10 maka

ia diberi hadiah” adalah “Fathin mendapat nilai 10 tetapi ia tidak

diberi hadiah”.


(i) ( )p q rp

q r

(ii)

q rpp

r q

(iii) (

( ) ( )

p q rr p q

p q p q

Jadi, argumen yang sah adalah (i) dan (iii).

(Silogisme)

(Modus tollens)


Ingkaran dari pernyataan: “Semua peserta ujian berdoa sebelum

mengerjakan soal” adalah “Beberapa peserta ujian tidak berdoa

sebelum mengerjakan soal”.


. .

p qq r

rekuivalen dengan

p qq rp r

rp

Jadi, kesimpulannya adalah p.


Kontraposisi: p q p q


s pernyataan yang salah

p q : Benar p : Salah

q r : Benar q : Salah

r s : Benar r : Salah

Sehingga

: Benar

: Benar

: Benar

pqr

: Salah

: Benar

p rp r


(p q) r (p q) r ( p q) rIngkaran:

[( p q) r] p q r

6. TrigonometriTrigonometriTrigonometriTrigonometriTrigonometri

C

A B

7

6 4 3

1. Kunci Jawaban: A

Luas ABC (3 2 3 ) cm2

AB (6 4 3 ) cm dan BC 7 cm

Lihat gambar!

Luas ABC (3 2 3 ) cm2, jadi:

sin3 2 3

2

(6 4 3) 7 sin3 2 3

2

6 4 3 1sin

77 (6 4 3)

AB BC

sin (A C) sin (180 B)

sin (180 )

sin 1

7

2. Kunci Jawaban: C

2

28

10

8sin ; 0 90

10

cos 1 sin

61

10

x x

x x


p 1

pk

R

TQ P

SU

45

45

6 cm

4 cm

1 3

60 300

90 270 360

Karena 0 x 90 , maka nilai cos x 0 , jadi yang dipakai

adalah cos x6

10

Gunakan rumus penjumlahan trigonometri:

cos A cos B 2 cos cos2 2

A B A B

Jadi:

cos 3x cos x 2 cos 3 3

cos2 2

x x x x

2 cos 2x cos xcos 2x 1 2 sin2x, sehingga diperoleh

cos 3x cos x 2(1 2 sin2x) cos x

28 6

2 1 210 10

100 128 6 422

100 10 125

3. Kunci Jawaban: B

2

2 2 2 2

2 2

2 2

sin 2 sin cos2cos2 tan cos

1 tan sin (cos sin )1

cos cos

2 sin cos2 sin cos

sin cos

sin 2

x x xxx x

x x x xx x

x x x xx xx

4. Kunci Jawaban: D

3 cos (360 x) 2 sin2 x ; 0 x 360

3 cos x 2 sin2 x 0

3 cos x 2(1 cos2 x ) 0

2 cos2 x 3 cos x 2 0

(2 cos x 1) (cos x 2) 0

Karena (cos x 2) selalu positif, berarti tidak mempengaruhi

pertidaksamaan. Jadi tinggal menentukan nilai x yang

memenuhi pertidaksamaan 2 cos x 1 0.

cos x1

2 ; 0 x 360

Nilai-nilai x yang memenuhi adalah:

0 x 60 atau 300 x 360

HP {0 x 60 atau 300 x 360 }

5. Kunci Jawaban: A

p sin x (p 1) cos x p 2

2 2

2

tg1

( 1)

2 2 1

pp

k p p

p p

Persamaan di atas dapat ditulis:

k sin sin x k cos cos x p 2

k cos (x ) p 2

cos (x )2

2 2

2 2 1

p pk p p

Persamaan nilai dari consinus antara lain 1 dan 1, maka:

2

2

2

2

2

21 1

2 2 1

( 2)0 1

2 2 1

( 2)1

2 2 1

p

p p

pp p

pp p

p2 4p 4 2p2 2p 1

p2 2p 3 0

( p 1) (p 3) 0

HP: {x 1 atau x 3}

6. Kunci Jawaban: A

Perhatikan gambar pada soal!

BAD dan BCD adalah sudut keliling yang saling berhadapan.

BAD BCD 180 Misalkan BAD

BCD 180

BCD 180

Dengan rumus cosinus diperoleh

BD2 AB2 AD2 2AB · AD cos

42 62 2 · 4 · 6 · cos

52 48 cos . . . . (1)

Perhatikan BCD!

BD2 BC2 CD2 2 · BC · CD · cos (180 )

32 32 2 · 3 · 3 ( cos )

18 18 cos . . . . (2)

Dari (1) dan (2) diperoleh

BD2 52 48 cos

BD2 18 18 cos

0 34 66 cos

34 66 cos

cos34 17

36 33

7. Kunci Jawaban: B

Luas PQR Luas PQS Luas QSR

2 2 2

PQ QR PQ ST QR SU

PQ QR PQ ST QR SU6 4 6 · QS · sin 45 4 · QS · sin 45


241 1

6 2 4 22 2

QS QS

24 3 2 2 2QS QS

24 5 2 QS

QS24 24 2 12

2 cm5 2 55 2

8. Kunci Jawaban: E

sin cos8

25

1 1 cos sin

sin cos sin cos

2

2 2

cos sin (cos sin )

cos sin 2 sin cos

1 2 sin cos

8 9 31 2

25 25 5

Sehingga

35825

1 1 15

sin cos 8

9. Kunci Jawaban: C

Bentuk umum persamaan fungsi trigonometri:

y A sin k(x )

Pada grafik amplitudonya (A) dengan nilai tertinggi adalah

1 A 1

Periode 165 45 120

sehingga, k360

3120

Sumbu tegak bergeser ke kanan sejauh 15 15 .

Jadi, fungsi trigonometri adalah:

y 1 sin 3(x 15) sin (3x 45)


Ingat rumus:

sin A sin B 2 sin cos2 2

A B A B

sin (x 20 ) sin (x 70 ) 1 0

( 20 ) ( 70 ) ( 20 ) ( 70 )2 sin cos

2 2

x x x x1 0

2 sin (x 25 ) cos (45 ) 1 0

2 sin (x 25 )1

22

1 0

sin (x 25 )1

2

x 25 45 atau 135

x 70 atau x 160

Jadi, himpunan penyelesaian dari nilai sinus yang kurang dari

atau sama dengan 1

22

adalah

{x | 0 x 70 atau 160 x 360 }


2 3 cos 2x 4 sin x cos x 2 . . . kedua ruas dibagi 2

3 cos 2x 2 sin x cos x 1

tan 60 cos 2x sin 2x 1

sin 60

cos 60 cos 2x sin 2x 1

sin 60 cos 2x cos 60 sin 2x cos 60

sin (60 2x)1

2

sin(2x 60 )1

2

sin 2(x 30 )1

2

2 (x 30) 20 atau 330

2(x 30 ) 210

x 30 105

x 1353

4 2(x 30 ) 330

x 30 165

x 19513

12Karena k 2, yaitu koefisien x, maka nilai x yang lain adalah:

x3 7

4 4

x13 25

12 12 (tidak memenuhi)

sehingga, HP 3 7 13

, ,4 4 12


cos 2x sin x 1 0

(cos2 x sin2 x) sin x (cos2 x sin2 x) 0

2 sin2 x sin x 0

sin x( 2 sin x 1) 0

sin x 0

x 0 atau 360 x 0; x 2

2 sin x 1 0

2 sin x 1

sin x1

2

x5

;6 6

Jadi, HP {0, 5,

6 62 }

25 65 160



sin sin sin

6 5 4

sin sin sin

a b c

Jadi sin : sin : sin 6 : 5 : 4


cos (x y)4

5

cos x cos y sin x sin y4

5

cos x cos y 3

10

4

5

cos x cos y1

2

Sehingga,

tan x tan ysin sin

cos cos

x yx y

31012

sin sin 3

cos cos 5

x yx y



Periode2

3y sin 3x

Digeser ke atas sejauh 1 satuan maka y 1 sin 3x.


a sin x b cos x sin (30 x)

a sin x b cos x sin 30 cos x cos 30 sin x

1 1cos 3 sin

2 2

1 13 sin cos

2 2

x x

x x

sehingga diperoleh a1

32

dan b1

2

maka:

1 1 3 13 3 ( 3) 2

2 2 2 2a b


Dengan rumus cosinus didapat:

AC2 CB2 2AC · CB cos ACB AB2

52 x2 2 · 5 · x cos 120 72

25 x2 10x ( 12

) 49

x2 5x 24 0

(x 3)(x 8) 0

x1

3 atau x2

8 (tidak memenuhi)

Maka, keliling ABC 5 7 3 15 cm.


cos 12

1

2

xAx

sin 21 12 2

1 12 2

1 cos

1 x xx x

A A

sin A 2 sin 12

A cos 12

A

21 1 12 2

2 x x xx x x


Perhatikan grafik pada soal!

Nilai maksimumnya adalah 2 A 2

Persamaan fungsi trigonometri: y A cos (kx )

Untuk x 0 mencapai maksimum, sehingga x 0 dan y 2

2 2 cos (0 )

2 2 cos

cos 1

1

Periode: k2

12

Jadi persamaannya: y 2 cos x

y 2 sin (x2

)


sin x 3 cos x 2 ; 0 x 360

a 1, b 3

k 2 21 ( 3) 1 3 4 2

tan1 1

333

ab

150

Sehingga,

2 sin 150 sin x 2 cos 150 cos x 2

sin 150 sin x cos 150 cos x2

2

cos (x 150)1

22

(x 150) 45 atau 315

x 150 45

x 195

x 150 315

x 465 465 360 105

Jadi, HP {105 , 195 }

B Ca 6 cm

b 5 cmc 4 cm

A

A B

C

120x5

7



a2 b2 c2 2bc cos A 102 62 2 · 10 · 6 cos 60

100 36 120 · 1

2

136 60

a2 76

a 76

a 2 19


tan 75 tan 15 tan (45 35) tan (45 30)

2 19 2 3 4


Bentuk umum persamaan fungsi trigonometri adalah:

y A sin k(x ) A Amplitudo dan q pergeseran

sumbu tegak

Pada grafik amplitudo (nilai tertinggi) 2 jadi A 2

Periodenya 135 15 120

Jadi k360

120 3

Sumbu tegaknya bergeser ke kiri sejauh 15 , jadi 15

Maka fungsi trigonometrinya

y 2 sin 3(x 15)

y 2 sin (3x 45)


2 sin 2x 3 0 untuk 0 x 360

2 sin 2x 3 0 2 sin 2x 3

sin 2x 13

2

2x 240 k · 360

x 120 k · 180

x 120 ; 300

atau x 30 k · 180

x 150 ; 330

x 0 2 sin 0 3 0 3 0

x 90 2 sin 180 3 0 3 0

HP {x | 120 x 150 atau 300 x 330 }


2 cos x 2 sin x 2 untuk 0 x < 360

Ingat persamaan a cos x b sin x c mempunyai

penyelesaian jika 1ck 1 atau 1

2 2

c

a b 1

Misal 2 cos x 2 sin x 2 r cos (x )

r 4 4 8 2 2

tan2

2 1, di kuadran 1 45°

2 cos 2 sin x 2 2 cos (x 45)° 2

cos (x 45)°1

2

x 45° 60° k · 360°

x 105° k · 360°

k 0 x 105°

atau x 45 60° k · 360°

k 1 x 15° k · 360°

x 345°

Maka nilai x yang memenuhi adalah 105° atau 345°.


f(x) cos3 2x untuk menentukan f (x) digunakan rumus

f(x) cos g(x)

f (x) n cosn 1 g(x) ( sin g(x) · g (x))

f(x) 3 cos2 2x ( sin 2x · 2)

6 cos2 2x · sin 2x3 cos 2x (2 sin 2x cos 2x)

3 cos 2x sin 4x


Aturan cosinus

QR2 PR2 QP2 2 · PQ · QP · cos

24 7 8

2 12

2 2 · 12 · 8 · cos

112 64 144 192 cos

112 208 192 cos

cos96 1

192 2

cos1

1, 2 maka 32

x x r yr

sin3 1

32 2

yr

tan

12

12

3sin3

cos


3 4sin cos

5 5

1cos sin 3

2

A A

B B

cos (90 (A B)) cos 90 · cos (A B) sin 90 · sin (A B)

0 · cos (A B) 1 · sin (A B)

sin (A B)

sin (A B) [sin A cos B cos A · sin B]

sin A cos B cos A · sin B

3 1 43

5 2 5

60A B

C

b 10 a ?

c 6 cm

90 120 150 300 330

Q P

R

12

84 7


3 4 3 15 40 3

10 5 50

3 8 3

10




Periode: k2

12

Bergeser ke kiri sejauh 6

Jadi, persamaannya adalah y 2 sin (x6

)


cos 4x 3 sin 2x 2

1 2 sin2 2x 3 sin 2x 2 0

2 sin2 2x 3 sin 2x 1 0

Misalkan sin 2x a2 a2 3a 1 0

(2a 1) (a 1) 0

2 sin 2x 1

sin 2x1

2

2x 30 ; 150

x 15 ; 75

sin 2x 1

2x 90 ; 270

x 45 ; 135

Jadi, HP {x | 0 x 15 atau 75 x < 135 }


3 cos sin 2 3, 1, 2x x a b cIngat: a cos x b sin x c merupakan penyelesaian

1 1cr

atau2 2

1 1c

a b

Misalkan 3 cos x sin x sama dengan r cos (x )

2 2 3 1 4 2r a b

1 1tan 3

33

30

ba

Sehingga,

3 cos sin 2

2 cos ( 30 ) 2

1cos ( 30 ) 2

2

30 45 atau 315

x x

x

x

x

x 30 45 k · 360

x 75 k · 360

k 0 x 75

x 30 315 k · 360

x 345 k · 360

k 0 x 345

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah 75 dan 345 .


Dengan aturan sinus

10 103 3

12

6 610 10

sin 60 sin sin3R R

10 sin R 5 2

sin R1

22

R 45

Jadi, benar sudut R adalah 45 .


tan pcos 2 cos2 x sin2 x

2 2

2 2

2

2

2 2

2 2

cos sin

sin cos

cos sin

sin cos

cos sin 1sin cos

cos sin 1

sin cos

12

21

cos sin

cos sin

1

1

x xx xx xx x

x xx x px x

px x

ppp

p

x xx x

p

p

pp




Bergeser ke kanan sejauh 20

Periode 120 diperoleh dari gambar, bahwa 1

2 periode

110 50 60

3603

120n

Jadi fungsi persamaannya adalah

y 2 cos 3(x 20)


2 cos x cos 10 1 2 sin x sin 10

2 cos x cos 10 2 sin x sin 10 1

2 cos (x 10) 1

cos (x 10)1

2

x 10 60 atau 300

Q R10

P

60

103

6


x 10 60 k · 360

x 70 k · 360

k 10 x 70

x 10 300 k · 360

x 310 k · 360

k 0 x 310

Jadi, HP {0 x 70 , 310 x 360}


2 3 sin 2 cos 2 3

2 3, 2, 2 3

x x

a b c

Misalkan 2 3 sin x 2 cos x sama dengan r cos (x )

2 2 12 4 16 4r a b

2 3tan 3

2

60

ab

Sehingga,

2 3 sin x 2 cos x 2 3

4 cos (x 60 ) 2 3

cos (x 60 )1

32

x 60 30 atau 330

x 60 30 k · 360

x 90 k · 360

k 0 x 90



sin B

12

3sin 60

3 3

sin 60 3

62 3

3

ADBD BD

BD

BD2 BC2 DC2 2 · BC · DC · cos C

12 16 36 2 · 4 · 6 · cos C

12 52 48 cos C

cos C40 5

48 6

Ingat: cos C5

5, 66

x x rr

maka2 2 36 25 11y r x

Jadi,11 1

sin 116 6

C


1 3sin cos

2 2A A

2 21sin 7 cos

7 7B B

cos cos (180 ( ))

cos ( )

[cos cos sin sin }

3 21 1 27

2 7 2 7

63 2 7

14 14

3 7 2 7 17

14 14 14

C A BA BA B A B




Bergeser ke kanan sejauh 30

Periode 180 (diperoleh dari gambar bahwa 12

periode

adalah 165 75 90 ) n360

2180

Jadi, fungsi persamaannya adalah

y 6 sin (2x 30)


2

sin

cos

2

2sincos

cos cos( )

sin tan sin

cos cos

sin

xx

xx

x xf xx x x

x xx

Misalkan: uu cos2 x u 2 cos x ( sin x)

2 sin x cos xv sin2 x v 2 sin x cos x

2

3 3

4

3 31 1 1 12 2 2 21

4 412

412

( )

2 sin cos 2 sin cos

sin

2 2 2 2 2 2

2

2

u v uvf ' xv

x x x xx

f

412

( 2 2)

2

4


2 cos 2x 3 0

2 cos 2x 3

cos 2x1

32

2x 30 k · 360

x 15 k · 180

Jadi,11 1 1 11

HP ,12 12 12 12

x x x

180 165 15 150 180165



3 cos x sin x 1 0

a 3 , b 1, k 2 2 4 2a b

tan1 1

333

ba

30

Sehingga,

3 cos x sin x 1 0

2 cos (x 30) 1 0

cos (x 30)1

2

x 30 120

x 30 120 n · 360

x 150 n · 360

x 150 ; 270

Jadi, HP {150 , 270 }


Dengan aturan cosinus

cos A2 2 2

2 2

6 3 6 36 9 36

2 6 3 36

9 11, 4 maka:

36 4

4 1 15

x r

y

sin A15 1

154 4

yr


tan

2 2

22, 3 maka:

3

2 3 4 9 13

y y xx

r

sin2

13

yr

cos3

13

xr

cos2 22 sin 2 cos 4

1 2 sin2 2

1 2(2 sin cos )2

1 2(4 sin2 cos2 )

1 2

2 22 3

413 13

1 216 9

13 13

2881

169

288 119

169 169


sin (x 210) sin (x 210)1

32

sin x cos 210 cos x sin 210 [sin x cos 210 cos x sin 210 ]

13

2

2 sin x cos 2101

32

2 sin x1

2

13

2

sin x1

32

x 210 atau 330

Jadi, HP [210 , 330 }



Seperti pembahasan soal sebelumnya maka akan diperoleh

persamaan

y sin (x 45) 1


2 cos x 2 sin x 2 a 2, b 2

Misalkan 2 cos x 2 sin x sama dengan r cos (x ).

r 2 2 2 2( 2) 2 2 2a b

tan2

12

ba

135

Sehingga diperoleh,

2 cos x 2 sin x 2

2 2 cos (x 135 ) 2

cos (x 135 )1

22

x 135 45 k · 360

x 180 k · 360

x 90 ; 180

Jadi, HP {90 , 180 }


sin3

5

tan4 3

cos3 5

sin ( ) sin ( ) 2 sin cos

3 32

5 5

18

25


sin x cos x p

sin x cos x 2 2 2

1

2

1sin cos (sin cos )

2

1(1 )

2

p

x x x x

p



cos2 2 25 8 11 32 2

2 8 5 80 5

cos 2, 5 maka:x x rr

2 25 ( 2) 25 4 21y

10 sin 21

10 10 2 215

yr


sin x

2

11, 3 maka:

3

3 1 8 2 2

y y rr

x

tan x 1 12

42 2

yx


sin x cos x asin 2x 2 sin x cos x 2a

sin 2x

2 2 2

22 , 1

1

1 2 1 4

y a y a rr

x a a

tan 2x2

2

1 4

y ax a


Dengan aturan sinus

10 8, 17

sin 60 sin

1sin 2

2

45

B

B

B

Jadi, C 180 60 45 75


cos (B C)9

40

cos A cos (180 (B C))

cos (B C)

9

10

BC2 AC2 AB2 2AC · AB · cos A

102 82 2 · 10 · 8 9

40

100 64 36 200

BC 200 10 2



Seperti pembahasan soal sebelumnya maka akan diperoleh

persamaan

y 4 sin x


tan 2

2

2 2 2 2

22 , 1 maka:

1

(2 ) (1 ) 1

y t y t x tx t

r t t t

cos2

2

1

1

x tr t

cos 2 cos2 12

1

2 2 2

2 2

2

2 12

2 12

1 1 1

1 1

2

1

2

2 cos cos 1

cos 1cos

2

1

2 2

1

2 1

t t tt t

t

t

12 2 2

1 1cos

1 1t t


Pembahasan sama dengan soal nomor 31.


2 sin2 x 7 sin x 3 0

(2 sin x 1)(sin x 3) 0

sin x1

2 atau sin x 3 (tidak memenuhi)

Karena x berada di kuadran I dan IV

maka: cos x 0

cos x1

32


2 cos 3x 1 0

2 cos 3x 1

cos 3x1

2

3x 60 k · 360

x 20 k · 120

x 0 ; 20 ; 100 ; 140

Jadi HP {0 x 20 ; 100 x 140 }


2 cos 6 sinx x dinyatakan ke dalam bentuk

k cos (x )

2 , 6a b

B C

A

8 5

11

60A B

8,1710

C

0 20 100 140A 8 B

C

10

13

2 2


2 2 2 6 8 2 2k a b

6tan 3

2

1

3

ba

Sehingga,1

2 cos 6 sin 2 2 cos ( )3

x x x


AB 2 3 3BD

AO 3 6DO

tan B

3 6

3

3 6 3

3 3

3 3 18 3 3 3 2

3 3

3 2 2 3

CD OC DOBD BD


2

4tan 2 0

tan

2 tan 40

tan1 tan

2 tan2 4 4 tan2 0

2 tan2 4 0

2 tan2 4

tan2 2

tan 2

tan2

2, 1 maka:1

2 1 3

y y xx

r

cos1 1

333

xr

A P B

H G

E F

D C

R

Q

7. Dimensi TigaDimensi TigaDimensi TigaDimensi TigaDimensi Tiga

A B

D C

P2 2

T

Q

11 cm

A B

C

D

O

A

B

P

T

C

Q 4

4

2

2

1. Kunci Jawaban: A

Pada kubus ABCD.EFGH, titik P, Q, dan R pertengahan rusuk

AB, BC, dan CG.

Irisan bidang yang melalui P, Q, dan R dengan kubus

membentuk segi empat sembarang.

2. Kunci Jawaban: C

T.ABCD limas beraturan dengan panjang rusuk alas 12 cm dan

rusuk tegak 12 2 cm.

Jarak A ke TC APATP siku-siku di P

AT 12 2 ; 6 2TP

2 2(12 2 ) (6 2 )

288 72 216 6 6 cm

AP

3. Kunci Jawaban: A

Bidang empat beraturan dengan panjang rusuk 4 cm.

Sudut antara TP dengan bidang atas sudut TPC.

Dari TPC terlihat TP PC

2 24 2

12 2 3

TP

dan

TC 4

Dari rumus cosinus

didapat:

TC2 TP2 PC2

2 · TP · PC cos

42

2 22 3 2 3 2 3 2 3 cos

16 12 12 2 · 12 cos

8 24 cos

cos8 1

24 3

Lihat gambar!

tan2 2

2 21

4. Kunci Jawaban: B

Sudut antara bidang TAD dan TBC adalah .

Sudut antara bidang TAD dan TBC adalah PTQ .

TP TQ

TP2 TA2 AP21

22

AP AD

2 211 2

11 2 9

TP 9 3 TQ

PQ 2 2 cmAB

A B

D C

T

12 2

P

12

3

1

2 2


Dari rumus cosinus didapat:

PQ2 TP2 TQ22 · TP · TQ cos

22 2 3

2 3

2 2 · 3 · 3 cos

8 18 18 cos

18 cos 10

cos10 5

18 9

5. Kunci Jawaban: B

Jarak suatu titik terhadap garis adalah

jarak tegak lurus titik tersebut ter-

hadap garis atau perpanjangannya.

Jarak P terhadap CF adalah PQ.

PQ CP sin ( PCF)

Untuk mencari sin PCF digunakan

rumus cosinus.

PF2 CP2 CF2 2CP · CF cos

PF2 FE2 EP2 4

2 2

2 20

CP2 CD2 DH2 HP2

42

42

22

36 CP 36 6

CF2 CB2 BF2

42

22

32 CF 32 4 2

Jadi,

20 62 2(4 2) 2 . 6 . 4 2 cos PCF

cos PCF68 20 1

2248 2

sin PCF 212

11 ( 2 ) 2,

2 jadi:

PQ CP sin PCF

6 · 21

2 3 2 3 2 182

6. Kunci Jawaban: B

22

32

1 2 31 2 1

2 4 2

sin 1

1 1 2 1sin 6

33

PF

PF

PF

7. Kunci Jawaban: B

A

E

HG

F

B

C

D

P

BA

GH

E F

CD

T

P8

F

P B

1

11

22

B

A

EH

G

CD

PQ

F

Jarak D ke garis HT adalah DPDP TD sin PTD

PTD HTD, jadi DP TD sin HTD

TD1

2diagonal alas

16 2 3 2 cm

2

sin HTD DHTH

DH tinggi prisma 8 cm

TH 2 2

2 2(3 2) 8 18 64 82

TD DH

Maka,

sin8

82HTD

Sehingga diperoleh:

DP8

sin 3 282

3 2 8 24 2441

412 41 41

TD HTD

8. Kunci Jawaban: C

adalah sudut antara BF dan bidang BEG

sinFIBI

FI1 1

diagonal sisi 4 2 2 22 2

BI 2 2

2 22 2 4 8 16

24 2 6

FI BF

Sehingga didapat:

2 2 2sin

2 6 6

2 1 13

32 3 3

FIBI

9. Kunci Jawaban: D

Sudut antara bidang TAB dengan bidang ABC adalah

TDC

cosDETD

Karena T.ABC limas beraturan, maka DE1

.3

DC

A B

H G

E F

D C

4

44

I

33

9

6

9

T

BA

C

ED


DE 2 2

2 2

1

3

1 16 3 27

3 3

13 3 3

3

BC BD

TD 2 2 2 29 3

72 6 2

TB BD

cos3 6

126 2

DETD

sin2 6

1 cos 112

6 144 6 1381

144 144 12


AE jarak (A, TBC)

ABC BC 2 25 5 5 2

TAC TC 2 25 5 5 2

CD1 5

22 2

TC

ABC BD 2 2

22 5

5 2 22

25 7550

2 2

BC CD

BD Garis berat pada BCTE Perpotongan ketiga garis berat

Jadi BE : ED 2 : 1

BE2 2 75

3 3 2BD

AEB AE 2 2

2

2 2 755

3 2

50 25 525 3

3 3 3

AB BE


(ADHE, ACH) CPDMisalkan: rusuk kubus a

PD 1 12 2

2ED a

CP22 2 2 1

2

2 2 231 12 2 2

2

6

CD PD a a

a a a a

cos

12 1

312

2 2 13

6 6 3

aPDCP a


AC 2 26 6

36 36

6 2 cm

MC 1 12 2

6 2 3 2AC

GM 2 2

2 2(3 2) 6

9(2) 36

18 36

54

6 9

3 6 cm

MC CG EM 2 2

2 26 2 3 6

36(2) 9(6)

72 54

18

2 9

3 2 cm

GE GM


Pada kubus ABCD EFGH, AC tegak lurus BD.

Misalkan proyeksi EG pada bidang AC dan BD, maka proyeksi

pada bidang BDG adalah GP.

GC 6, BD , BP 12

6 2 3 2BP BD

GP 2 2

2 2(6 2) (3 2) 72 18

54 3 6

GB BP

Maka panjang proyeksi kecil garis EG pada bidang BDG 3 6


Limas segi empat beraturan T. ABCD semua rusuknya sama

panjang. Sudut antara TA dan bidang ABCD adalah .

Misalkan AB BC CD AD TA TB TC TD aA B

H G

E F

D C

P

A

T

B

C

D

F

E

5 cm

5 cm

D a C

P

P12

2a

A B

E F

H G

D C

P

A B

E F

D C

M

H G


AC 1 12 2

2 2a AO AC a

Perhatikan AOF!

12 1

2

2cos 2

45

aAOAT a


Rusuk 6 cm

Diagonal ruang 3s

AG 6 3

12

3 3AQ AG

2 26 3

36 9 45

AP

Jarak titik P ke AG adalah PQ.

PQ 2 2

45 27

18 3 2

AP AQ


TA TB 5

TC 2

AC BC 4

AB 6

BP AP 12

AB 3

2 2 2 25 3

25 9 6 4

TP TB BP

2 2 2 24 3

16 9 7

PC BC PB

2 2 2

2 2 2

cos2

4 2 ( 7) 16 4 7 13

2 4 2 16 16

TP TC PCTP TC


Misalkan panjang rusuk adalah a, maka panjang diagonal

bidang adalah 2a .

12

2AP a

2 2

22 12

2 2 2624 4

2

2 2

2

6a

FP AF AP

a a

a a a

2 2

22 12

2 2 22 24 4

2

2

2a

BP AB AP

a a

a a a

2 2

22 12

2 2 2624 4

2

( 2) 2

2

6a

FP AF AP

a a

a a a

2 2 2 2 2 23 12 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2

6 2cos

2 6 2 ( 6) 2

2 1 13

333 3

a a

a a a

a a a a

a

a a aa a


Panjang rusuk 8 maka panjang diagonal 8 2

8 2BD

2 2

2 24 8 16 64

80 4 5

BP FP BF

14 2

2BO BD

Jarak titik P dan garis BD adalah OP

OP 80 32 48 4 3

Jadi, jarak titik P dan garis BD adalah 4 3 .


AC CH AH 6 2

DI1

2 DB =

1

26 2 3 2

AI1

3 22

AC

HI 2 26 (3 2)

36 18 54 3 6

sin 13

66

3 6


UV FB a

HF a 2 (diagonal bidang)

UF1 1

22 2

HF a

PF 2 2

2 212

2 2 2514 4

25a

EP EF

a a

a a a

PU2 22 2 1

2 2

2 2 25 324 4 4 2

5 2

3

a

a

PF UF a

a a a

A B

D C

T

O

A B

H G

E FD C

P

Q

A

B

C

T

A

A a B

D C

H G

E F

P

A B

H G

E F

D C

O

P

8

8

A B

H G

E F

D C

I

A B

H G

E F

D C

V

Ub


PV222 2 1 1

2 2

2 2 231 14 2 4 2

2

3a

PA AV a a

a a a

cos b2

2 222 22 2

2

2 2 23 3 24 4

2 2

3 3

2 2 3

1

33 3

a a

a

aPU UV PVPU UV a

a a a aa a

cos b 2 21

3 1 23

x yr

sin b 2 3 6 16

3 33 3

yr


EC 4 3

EQ2 8

4 3 33 3

PR : EQ GP : GEPR : EQ 1 : 2

2

1 43

2 3

PR EQ

PR EQ


AP 2 2

36 9 3 3

AB BP

TP 2 2

81 9 6 2

TB BP

AP2 AT2 PT2 2 AT · PT cos

27 81 72 2 · 9 · 6 2 cos

126 2 9 6 2 cos

126 7cos

108 2 6 2

Maka,

23tan

7


CD 2 2

18 18 6

BC BD

AC 2 2

18 9 3 3

BC AB

AD 2 2

18 9 3 3

BD AB

BP 2 18 9 3BC CP

tan3

13 4

ABP PBP

D C

A B

T

U

A B

H G

E F

D C

Q

PR

A C

B

T

P3

3

D

CP3

3

3

3 23

B

A

7

6 2

23


2 2 2 28 3

64 9 55

6 2

TU TC UC

AC



Misalkan persamaan garis lurus yang bergradien m 3

adalah y 3x nMemotong parabola di titik (2, 4), maka:

4 3(2) n n 10

Sehingga diperoleh persamaan y 3x 10

22 6

3 10

y x xy x

2x2 x 6 3x 10

2x2 4x 16 0

x2 2x 8 0

(x 2) (x 4) 0

x 2 atau x 4

x 2 maka y 4 ( 2, 4)

x 4 maka y 22 ( 4, 22)

Jadi titik potong lainnya adalah ( 4, 22)


Misalkan panjang semua rusuk kubus a

tanTCGC

AC 2a (diagonal sisi)

TC 12 2

2aAC

tan12 1

2

22

aa

D C

E FH G

A BT

8. StatistikaStatistikaStatistikaStatistikaStatistika

Umur f Tepi bawah fk

4 - 7 6 3,5 6

8 - 11 10 7,5 16

12 - 15 18 11,5 34

16 - 19 40 15,5 74

20 - 23 16 19,5 90

24 - 27 10 23,5 100

1. Kunci Jawaban: B

Me22

22

N fL c

f

L2 Tepi bawah kelas median 15,5

c Internal kelas 4

N Jumlah frekuensi 100

f2 Frekuensi kumulatif sebelum kelas median

(6 16 18 34)

f2 Frekuensi kelas median

Me 15,5 4

1002

34 50 3415,5

40 10

15,5 1,6 17,1

2. Kunci Jawaban: D

M0 L0

0 1

0 1 12 (

f f cf f f


TB Tepi bawah kelas modus 44,5

I Interval 5

f0 Frekuensi kelas modus 12

f 1 Frekuensi kelas sebelum kelas modus 6

f 1 Frekuensi kelas setelah kelas modus 8

M0 44,5 5 12 6

2 12 (6 8)

44,5 30

4,7524 14

3. Kunci Jawaban: C

Data setelah diurutkan adalah sebagai berikut.

2 3 4 6 8 9 12 14

Q1 Q2 Q3

Simpangan kuartil 3 1

1( )

2

1 1(12 3) 4

2 2

Q Q

4. Kunci Jawaban: B

334

3 23

N fQ L c

f

Q3 Kuartil atas

c Panjang kelas 5

3f Jumlah frekuensi sebelum frekuensi yang memuat

kuartil atas 27

f3 Frekuensi kelas yang membuat kuartil atas 10

Q3 70,530 27 3

5 70,5 510 10

70,5 1,5 72,0

5. Kunci Jawaban: A

212 710

20

200 10 212 7

3 12

4

i i

i

f f nxf n

n nnn

6. Kunci Jawaban: D

n1 3

72 18 ; 544 4

n n

Nilai fi xi fi · xi

3 - 5 3 4 12

6 - 8 n 7 7n 9 - 11 9 10 90

12 - 14 6 13 78

15 - 17 2 16 32

fi 20 n fi · xi 212 7n

Nilai fi Tepi bawah fk

1 - 5 8 2,5 8

6 - 10 12 5,5 20

11 - 15 14 10,5 26

16 - 20 26 15,5 52

21 - 2 12 20,5 64

Kelas Q1 5,5 10,5

Tb 5; 1( )f 8; f1 12, c 5

Q1 5 16

18 8 255 5 9

12 6

Kelas Q3 15,5 20,5

Tb 15; 3( ) 8 12 26 46f

f3 14

Q3 15 67

54 46 205 15 17

14 7

Simpangan kuartil 6 13 1 7 6

1 1( ) 17 9

2 2

1(8,69) 4,345 4,35

2

Q Q

7. Kunci Jawaban: B

Kelas modus 70 74

L Tepi bawah kelas 69,5

f1 12 11 1

f2 12 9 3

c Panjang kelas 5

M01

69,5 51 3

569,5 69,5 1,25 70,75

4

8. Kunci Jawaban: C

1 148 12

4 4n

Kelas Q1 54,5 58,5

Tb 54,5

1( ) 4 6 10f ; f1 12; c 4

Q112 10 2

54,5 4 54,5 55,1712 3

9. Kunci Jawaban: E

(3 2) (4 4) (5 8) (6 12) (7 16) (8 4)

2 4 8 12 16 4

6 16 40 72 112 32 278

46 46

6,04

i i

i

x fxf

Siswa dinyatakan lulus bila nilai 1x nilai 5,04

Jumlah siswa yang nilainya 5,04 adalah 12 16 4 32

orang.


Data diurutkan: 3 4 5 5 6 7 8 9

Modus: 5


Data diurutkan

17 17 18 18 19 20

21 22 22 23 24 25

Jangkauan Xmax Xmin 25 17 8

Median 6 7 20 21 4120,5

2 2 2

x x


9. PeluangPeluangPeluangPeluangPeluang

1. Kunci Jawaban: D

Ada 8 titik, tidak ada 3 titik yang segaris. Karena tidak ada 3

titik yang segaris, maka dalam setiap pembuatan garis

memerlukan 2 titik.

Jadi persoalannya kombinasi 2 dari 8.

C(8, 2)8! 8 7 6

286! 2! 6! 2!

2. Kunci Jawaban: E

S Jumlah siswa 40

A Jumlah siswa gemar Matematika

B Jumlah siswa gemar IPA

A B Jumlah siswa gemar mMatematika dan IPA

(A B)c

Jumlah siswa tidak gemar Matematika dan IPA

P(A B)c 3

40

3. Kunci Jawaban: B

Kotak I : 3 bola merah, 2 bola putih.

n(S) C(5, 2)5!

103!2!

n(M) C(3, 2)3!

32! !!

Peluang terambilnya dua bola merah dari kotak I

1

( ) 3

( ) 10

n MPn S

Kotak II: 3 bola hijau, 5 bola biru

n(S) C(8, 2) 8!

286!2!

n(B) C(5, 2) 5!

102!3!

Peluang terambil 2 bola biru dari kotak II

2

( ) 10

( ) 28

n BPn S

Jadi, peluangnya adalah:

1 2

3 10 3

10 28 28P P P

4. Kunci Jawaban: C

n ! n faktorial n (n 1) (n 2) . . . 1

16! 16 · 15 · 14 . . . 1, dengan ketentuan:

0! 1 dan 1! 1

1 16 15 240

14! 16 15 14! 16!

10 10 16 160

15! 16 15! 16!

Karena penyebutnya sudah sama maka:

1 10 4 240 160 4 84

14! 15! 16! 16! 16!

5. Kunci Jawaban: D

P Perempuan, L Laki-laki

Kemungkinannya PPP, LLL, LLP, LPP.

Ada 4 kemungkinan

Kemungkinan paling sedikit mempunyai 2 anak laki-laki adalah

LLL dan LLP.

Peluangnya2 1

.4 2

6. Kunci Jawaban: B

Muncul mata dadu berjumlah 9 atau 10 adalah (3, 6), (4, 5),

(5, 4), (6, 3), (4, 6), (5, 5), (6, 4) Ada 7 kejadian.

Peluangnya7 7

6 6 36

7. Kunci Jawaban: C

Kotak I berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning.

Kotak II berisi 2 bola merah dan 6 bola kuning.

Dari masing-masing kotak diambil sebuah bola secara acak.

Ditanyakan peluang kedua bola berwarna sama.

Peluang bola merah dari kotak I

Peluang bola merah dari kotak II

Peluang kedua bola berwarna merah:

P(M)5 2 10

8 8 64

Peluang bola kuning dari kotak I 3

8

Peluang bola kuning dari kotak II 6

8

Peluang kedua bola berwarna kuning:

P(K)3 6 18

8 8 64

Peluang kedua bola berwarna sama:

P 10 18 28 7( ) ( )

64 64 64 16P M P K

8. Kunci Jawaban: D

Populasi serangga setiap tahun menjadi 2 kali lipat membentuk

barisan geometri, dengan

U1 a 5000

r10.000

25.000

10 tahun yang akan datang populasinya S10

10

10

( 1)

1

5.000(2 1) 5.000(1.024 1)

2 1 1

n

nrSr

S

5.000 (1.023) 5.115.000

9. Kunci Jawaban: E

Dua dadu dilambungkan bersama-sama

Munculnya mata dadu pertama 3 adalah 1

6 dan mata dadu

kedua 5 adalah 1

6.

Maka kejadian yang diharapkan 1 1 1

6 6 36


1 2 3 4 5 6 7 8 9

n(S) 9

M B 3S

16 9 12


Banyaknya tiket dengan nomor ganjil adalah n(A) 5

Peluang terambilnya tiket bernomor ganjil pada pengambilan

pertama adalah

P(A)( ) 5

(5) 9

n An

Peluang terambilnya tiket bernomor genap pada pegambilan

kedua adalah

4 1( ) karena sudah diambil satu.

8 2

5 1 5Jadi, ( ) ( )

9 2 18

P B

P P A P B


5 merah, 3 putih, 2 biru 10 kelereng

Dari 10 buah kelereng diambil 3 kelereng secara acak,

seluruhnya ada 10 3

10!

7! 3!C 120 cara.

Terambilnya 2 merah dan 1 putih, yaitu:

2 merah dapat diambil dari 5 merah.

5 2

5!

2! 3!C 10 cara

1 putih dapat diambil dari 3 putih

3 1

3!

1! 2!C 3 cara

Maka kemungkinan terambilnya 2 kelereng merah dan 1

kelereng putih adalah 10 3 30 cara.

Jadi, P (2 merah, 1 putih) 30 1

120 4


A Bukan prima 1 , 4 ,6 ,8 , 9 , 10

n(A) 6 6 3( )

10 5P A

B Bukan komposit 2 , 3 , 5 , 7

n(B) 4 4 2

( )10 5

P B

3 2 6( ) ( ) ( )

5 5 25P A B P A P B


Banyaknya bilangan yang dapat dibentuk dalam 3 digit.

2 5 4

Banyaknya cara 2 5 4 40.


Kotak I 4 bola merah 3 bola putih 7 bola

P(putih)3

7

Kotak II 7 bola merah 2 bola hitam 9 bola

P(hitam)2

9

Jadi, peluang terambilnya bola putih dari kotak I dan bola hitam

dari kotak II adalah3 2 6

7 9 63


2 orang matematikawan dari 3 orang

3 2

3!3

1! 2!C cara

3 orang teknisi dari 5 orang teknisi

5 3

5! 4 510

2! 3! 2C cara

Jadi banyaknya cara menyusun tim tersebut adalah

3 10 30

10. LingkaranLingkaranLingkaranLingkaranLingkaran

1. Kunci Jawaban: C

Diketahui lingkaran x2 y2 25

Garis singgung di titik ( 3, 4) menyinggung lingkaran lain yang

pusatnya (10, 5).

Gradien garis singgung:

m ( 3) 3

4 4

xy

Persamaan garis singgungnya melalui titik ( 3, 4):

4 3 34 ( 3)

( 3) 4 4

y y xx

. . . . (i)

Karena yang ditanyakan panjang jari-jari lingkaran kedua

yang berpusat di (10, 5), maka dapat langsung digunakan

rumus garis singgung lingkaran:

y b m(x a) R 21 mdengan (a, b) adalah pusat lingkaran kedua.

Persamaan garis singgung dari persamaan (i) adalah:

y 43

4(x 3)

(y 5) 13

4(x 10 13)

(y 5) 13

4(x 10)

391

4

(y 5)3

4(x 10)

35

4

Sehingga,

2 2 2

2

3 35 4 3 351

4 4 44

25 35

16 4

5 35 357

4 4 5

R R

R

R R

2. Kunci Jawaban: E

Persamaan: 9x2 25y2

18x 100y 116 0

dapat disederhanakan menjadi:

9(x2 2x) 25(y2

4y) 116 0

9(x 1)2

9 25(y 2)2

100 116 0

9(x 1)2

25(y 2)2

225 0

2 29( 1) 25( 2)1

225

x y

2 2( 1) ( 2)1

25 9

x y

Persamaan elips di atas memiliki pusat di (1, 2) dan sumbu

panjang sejajar dengan sumbu-x, jadi fokusnya:

F1( c , ) dan F2( c , ) dengan titik ( , ) adalah pusat

elips.


2 2 25 9 4c a b

sehingga c 1 4 5 dan c 1 4 3

Jadi, fokusnya adalah (5, 2) dan ( 3, 2).

3. Kunci Jawaban: D

Diketahui hiperbola dengan persamaan:

2 2( 2) ( 1)1

16 9

x y

Pusatnya (2, 1), 16a dan 9 3bPersamaan asimptotnya adalah

( ) ( )by xa

3( 1) ( 2)

4y x

Jadi garis singgungnya:

y 1 3

( 2)4

x 4y 3x 10 0

3x 4y 10 0

y 1 3

4(x 2) 4y 3x 2 0

3x 4y 2 0

4. Kunci Jawaban: A

Diketahui kurva y322 2x x x

Ditanyakan persamaan garis singgung pada x 2

Persamaan garis singung pada kurva y f(x) di titik x a adalah:

y f '(a)(x a) f(a)

32

32

( ) 2 , jadi

(2) 2 2 2 2 2 4

f x x

f

3 12 2

12

3 2( ) 2 ( )

2

3 2 3 2(2) 2 2 3

2 2

'f x x f x x

'f

Jadi persamaan garis singgungnya adalah:

y f'(2) (x 2) f(2) 3(x 2) 4 3x 2

5. Kunci Jawaban: D

Diketahui lingkaran x2 y2 4

Ditanyakan persamaan garis singgung dari titik (0, 4).

Persamaan garis singung pada lingkaran yang ditarik dari titik

(x , y) di luar lingkaran adalah:

y m(x x1) y1dengan m (gradien) dicari dari:

y1 mx121R m

R Jari-jari lingkaran

Pada lingkaran di atas R 2, dan (x1, y1) (0, 4).

Jadi:

2

2 2

2

4 0 2 1

2 1 1 4

4 1 3

3

m m

m m

m

m

Jadi persamaan garis singgungnya:

3( 0) 4 3 4y x x

6. Kunci Jawaban: A

Diketahui persamaan hiperbola:

9x2 4y2

54x 8y 41 0

9(x2 6x) 4(y2

2y) 41 0

9(x 3)2

81 4(y 1)2

4 41 0

9(x 3)2

4(y 1)2

36

2 2( 3) ( 1)1

4 9

x y

2 2

2 2

( 3) ( 1)1

2 3

x y

Persamaan asimtot hiperbola yang persamaan umumnya

2 2

2 2

( ) ( )1

x p y qa b

adalah ( )by q x pa

Jadi persamaan asimtot untuk hiperbola di atas adalah:

y 13

( 3)2

x

2y 2 3 (x 3)

2y 3x 11 0 atau 2y 3x 7 0

3x 2y 11 0 atau 3x 2y 7 0

7. Kunci Jawaban: B

l : x 2y 13 0

2y x 13

y1 13

2 2x

gradien l : Me1

2

g garis singgung

g l mg 12

1 12

lm

mg y' 4x 6 2

4x 8 x 2

x 2 2 (2) 6 (2) 7

8 12 7 11

Jadi titik singgung: P(2, 11)

g melalui P(2, 11) dengan gradien 2

y y1 m (x x1)

y 11 2 (x 2)

y 2x 4 11

y 2x 15

2x y 15 0

8. Kunci Jawaban: C

Lingkaran: x 4x y 4 0

x y 4x 4 0

Pusat:1 1 1 1

( 4) (0) (2, 0)2 2 2 2

A B

Jarak antara pusat dengan sumbu-y adalah 2.

9. Kunci Jawaban: D

7x2 16y2

28x 96y 60 0

(7x2 28x) (16y2

96y) 60

7(x2 4x) 16(y2

6y) 60

7(x2 4x 4) 16(y2

6y 6y 9) 60 28 144

7(x 2)2

16(y 3)2

112

2 2( 2) ( 3)1

16 7

x y


Pusat: (2, 3) (p, q)

a2 16; b2

7

c2 a2 b2 16 7 9

c 3

Fokus: F1(p c, q) F1(2 3, 3) F1(5, 3)

F2(p c, q) F2(2 3, 3) F2( 1, 3)

Jadi, salah fokusnya adalah F( 1, 3)


Garis menyinggung kurva y x3 3x2

2x 5

di titik T(1, 3)

y 3x2 6x 2

Gradiennya pada x 1

m 3 · 12

6 · 1 2 7

Persamaan garisnya:

y ( 3) 7 (x 1)

y 7x 10


Lingkaran melalui titik O(0, 0),

A(0, 8) dan B(6, 0)

Penyelesaian paling sederhana

dengan sketsa.

AOB 90 , berarti

BA diameter.

Garis singgung yang melalui titik Aharus tegak lurus pada garis BA.

Persamaan garis BA adalah: 8x 6y 8 · 6

8x 6y 48

3x 4y 32 0


3x2 4y2

12 32y 10 0

3(x2 4x) 4(y2

8y) 10 0

3{(x 2)2

4} 4 {(y 4)2

16} 10 0

3(x 2)2

4(y 4)2

62 0

Koordinat pusatnya adalah ( 2, 4)


2 4 2dyy x xdx

Garis singgungnya pada garis y x 1 m 1

Gradien garis singgung 1. Jadi:

11 2

2

dy x xdx

Untuk x 1

2 didapat:

21 15

42 4

y

Persamaan garisnya:

15 11

4 2

1 15 17

2 4 4

y x

y x y x

Jika memotong sumbu-y maka x 0

y 0 17 17 174 4 4

. . . . (0, )

Jadi garis singgungnya memotong sumbu-y pada 174

0,


Diketahui persamaan lingkaran (x 4)2

(y 3)2

40

Tegak lurus garis x 3y 5 0

Pusat lingkaran (4, 3), r 40

Gradien garis singgungnya

x 3y 5 0

3y x 5

51 113 3 3

y x m

Karena lingkaran tegak lurus garis maka hasil kali gradien 1

m1 · m2 1 123

2

1

3

m

m

Maka persamaan garis singgung lingkaran

(x 4)2

(y 3)2

40

yang tegak lurus garis x 3y 5 0 dapat digunakan rumus

2

2

( ) 1

3 3( 4) 40 3 1

3 12 3 40 10

3 15 400

3 15 20

y b m x a r m

y x

y x

xx

y1 3x 15 20 3x 5

y2 3x 15 20 3x 35


Persamaan parabola horisontal dengan titik puncak (1, 3) dan

melalui titik (3, 7) dapat ditentukan dengan menggunakan rumus:

(y b) 4p (x a)

(7 3) 4p (3 1)

16 4p(2)

16 8p p 2

maka persamaan parabola adalah (y 3) 8(x 1)


Diketahui panjang sumbu minor suatu elips horisontal yang

pusatnya M(3, 1) sama dengan 6 dan melalui titik P(8, 3).

Sumbu minor 6 2b 6

b 3

Persamaan elips dengan pusat M(3, 1), panjang sumbu minor

adalah 6 dan melalui titik P(8, 3) adalah:

2 2 2 2

2 2 2 2

2

2 2

( ) ( ) (8 3) (3 1)1 1

3

225 425 41 1

9 9

x h y ka b a

aa a

225 4a 9a 225 5a

a 45

Jadi, persamaan elips adalah 2 2( 3) ( 1)

145 9

x y


Pusat (3, 1), a 16 4 b 25 5

Asimtot: y k ( )b x ha

y 1 5

( 3)4

x

Asimtot memotong sumbu-y, jika x 0.

A(0, 8)

B(6, 0)O x

y


1

2

51 (0 3)

4

51 ( 3)

4

151

4

15 11 2 21 2 . . . . 0,

4 4 4 4

15 19 4 31 4 . . . . . 0, 4

4 4 3 4

y

y

y

y

y


Suatu kurva melalui titik P(1, 3)

Gradien garis singgung kurva tersebut di titik T(x, y) sama

dengan

2

2 5 (2 5)

5

dy y x y x dxdx

y x x c

Kurva melalui titik P(1, 3) 3 12

5 · 1 cc 7

Maka persamaan kurva adalah y x2 5x 7.


Persamaan 4x2 9y2

36

12 2 2

( , 90 ) [( 1, 2), 90 ]2 2

4 ( 1) 9( 2) 36

4( 1) 9( 2) 36

1 cos 90 sin 90 1

2 sin 90 cos 90 2

0 1 1 1

1 0 2 2

R P R

x y

x yx' yy' y

x' xy' y

2 1

1 2

x' yy' x

1

3

x' yy' x

Maka persamaan bayangan 4(x 1)2

9(y 2)2

36 adalah

4( y 1 1)2

9(x 3 2)2

36

4( y 2)2

9(x 1)2

36

9(x 1) 4(y 2) 36


y x3 5x2

7 . . . (i)

y 2x 3 m1 2

Karena maka m1 · m2 1

2 · m2 1

m2

1

2

Absis x 1

Substitusi x 1 ke (i)

y 13

5 · 12

7 3

Diperoleh titik (1, 3)

y y1 m2 (x x1)

y 31

2 (x 1)

y 1 1 1 73

2 2 2 2x y x

2y x 7 x 2y 7 0


x y 1 0 x y 1 . . . (i)

x y 3 0 x y 3 . . . (ii)

2x 4

x 2

Substitusi x 2 ke (i)

2 y 1 y 1

Diperoleh x 2, y 1

1 1

2 2

3 4 35 3(2) 4 1 35

9 163 4

6 4 35 255

5 5

x yr

Persamaan lingkaran: (x 2)2

(y 1)2

52

x2 4x 4 y2

2y 1 25 0

x2 y2 4x 2y 20 0


Titik puncak (a, b) ( 1, 3)

Titik fokus (a p, b) (3, 3)

a 1, b 3, a p 3

1 p 3 p 4

Persamaan parabola:

(y 3)2

4 · 4(x 1)

(y 3)2

16(x 1)

Persamaan garis singgung dengan m 2

y b m(x a)pm

y 3 2(x 1) 4

2

y 3 2x 2 2

y 2x 7


Hiperbola: Puncak (0, 6) dan (0, 0)

Fokus (0, 8)

h 0, k a 0

k a 6

2k 6

k 3 a 3

k c 8

3 c 8 c 5

c2 a2 b2

52

32 b2 b2

16 b 4

Persamaan hiperbola: 2 2( 3)

116 9

x y

Persamaan asimtot: 4

3 ( 0)3

y x

40

3y x

Jadi,4

33

y x atau 43

3x


y ax3 2x2

di titik (1, a 2) maka

a 2 a · 13

2 · 12 a 2 a 2

Karena a 2 a 2, maka nilai y 0


Jadi (1, 0) dengan garis x 2y 4

2y x 4

y 1

1 12

2 2x m

m1 · m2 2

11 1

2m

m2 2

y m(x 1) 2(x 1) 2x 2


x 4y 4 0 x 4y 4 . . . (i)

2x y 10 . . . (ii)

2 (i) (ii) 2x 8y 8

2x y 10

9y 18

y 2

Substitusi y 2 ke (i)

x 4(2) 4

x 8 4

x 4 8 4

Diperoleh x 4, y 2

1 13 4 3 4 4 2 204

5 59 16

x yr

Persamaan lingkaran: (x 4)2

(y 2)2

42

x2 8x 16 y2

4y 4 16 0

x2 y2 8x 4y 4 0


Parabola: Puncak (1, 3)

Fokus (1, 2)

a 1, b 3, b p 2

p 1

(x 1)2

4(y 3)2

Garis 2x y 3 0

y 2x 3 m1 2

m1 m2 2 (karena sejajar)

Persamaan garis singgung: (y b) m2(x a) m22

(y 3) 2(x 1) 4

y 2x 2 4 3

y 2x 9


Hiperbola:Puncak ( 2, 1), (6, 1)

Fokus (7, 1)

h a 2 r a 2, k 1

h a 6 a 4

2h 4 h c 7

h 2 2 c 7

c 5

c2 a2 b25

2 4

2 b2

b2 25 16

b2 9 b 3

Persamaan asimtot:

y 13

( 2)4

x

y3

( 2) 14

x

y3 3 3

( 2) 1 14 4 2

x x

y 3 5

4 2x

4y 3x 10 3x 4y 10 0

3 3 3( 2) 1 1

4 4 2

3 1

4 2

y x x

y x

4y 3x 2 3x 4y 2 0


y1 x3 6x2 18x 3 y1' 3x2 12x 18

9y2 x 2 0 2

12

9y x

Karena maka m1 · m2 1

1

9 · m2 1 m2 9

y1' m2 3x2 12x 18 9 3x2 12x 9 0

3(x 3) (x 1) 0

x 3 atau x 1

x 3 y1 33 62 · 3 18 · 3 3 30 . . . . (3, 30)

Persamaan garis singgung: y 30 9(x 3)

y 9x 3

y 9x 3 0

x 1 y1 13 6 · 12 18 · 1 3 16 . . . . (1, 16)

Persamaan garis singgung: y 16 9 (x 1)

y 9x 7

y 9x 7 0


I : 2x 6y 6 0

II : 2x y 4 0

II :

5 10 0 2( 3, 2)

2 2 4 0 3

y yx x

1 13 4 8 3( 3) 4 2 8

59 16

9 8 85

5

x yr

Sehingga diperoleh persamaan lingkaran:

(x 3)2

(y 2)2

25

x2 y2 6x 4y 9 4 25 0

x2 y2 6x 4y 12 0


p 3

Persamaan parabola (y 3)2

12(x 2)

Persamaan garis singgung dengan m 3

y 3 m(x 2) pm

y 3 3(x 2) 3

3

y 3x 6 1 3 y 3x 4


Pusat:3 3 4 5 4 5

,2 2

(3, 4)

Pusat (3, 4), Puncak (3, 6) F2(3, 4 5 )

O

( 1, 3) (2, 3)


a 2 , c 5

c2 a2 b2 5 4 b2

b2 1

Persamaan hiperbola: 2 2( 3) ( 4)

11 4

x y

Persamaan asimtot: y 4 2

( 3)1

x

I : y 2x 6 4 y 2x 2

II : y 2 x 6 4 y 2x 10


y x3 2x 1 , x 1

y ' 3x2 2

m y ' 3(1)2

2 3 2 1

Substitusi x 1 ke y x3 2x 1

y 13

2 · 1 1 0

Persamaan garis singgung: y 0 1 (x 1)

y x 1


Ujung diameter A(2, 4), B( 4, 2)

Pusat2 4 4 2

, ( 1, 3)2 2

r 2 ( 1)2 32 1 9 10

Persamaan lingkaran: (x 1)2 (y 3)2 10


y2 8x 4p 8 p 2

Garis 2x y 1 0

y 2x 1 m1 2

Karena sejajar m1 m2 2

y m2 x pm

y 2x2

2

y 2x 1

y 2x 1


Hiperbola: 9x2 16y2 36x 32y 124 0

9(x2 4x 4) 16(y2 2y 1) 124 36 16

9(x 2)2 16(y 1)2 144

2 2( 2) ( 1)1

16 9

x y

Sehingga diperoleh,

a2 16 a 4

b2 9 b 3

h 2 dan k 1

3 31 ( 2) ( 2) 1

4 4y x y x

y3 3 3

( 2) 1 14 4 2

x x

y3 1

4 3 1 04 2

x y x

y3

4(x 2) 1

3

4x

3

2 1

3

4x

5

2 4y 3x 5 0


23 4 3dy x xdx

2 3 23 4 3 2 3y x x dx x x x c

Kurva melalui titik (3, 10)

10 33 2 · 32 3 · 3 c10 27 18 9 cc 10 36 26

Persamaan kurva: y x3 2x2 3x 26


L x2 y2 4x 6x 6y 12 0 di titik (5, 1)

xx1 yy11

2 · 4 (x x1)

1

2 · 6 (y y1) 12 0

x · 5 y · 1 2(x 5) 3(y 1) 12 0

5x y 2x 10 3y 3 12 0

3x 4y 19 0


Parabola: F(2, 1), direktris x 6

a p 2 a 2 2 b 1

a p 6 a 4

2p 4

p 2

Persamaan parabola: (y b)2 4p (x a)

(y 1)2 8 (x 4)

y2 2y 1 8x 32

y2 2y 8x 31 0


Elips: 9x2 25y2 36x 50y 164 0

9(x2 4x 4) 25(y2 2y 1) 164 36 25

9(x 2)2 25 (y 1)2 225

2 2( 2) ( 1)1

25 9

x y

Sehingga diperoleh,

c2 a2 b2 25 9 16

c 4

h 2 dan k 1

Fokus: (h c, k) dan (h c, k)

(2 4, 1) dan (2 4, 1)

( 2, 1) dan (6, 1)


Asimtot hiperbola: by xa

di mana m ba

6x 3y 0 ba

m1

ba

3y 6x 5 22

b

y 2x5

34 b

b2 16

m1 m2 2

F2

(3, 4)

F1

(3, 6)



Hiperbola: Fokus ( 9 , 1) dan (18, 1) k 1

h c 8 5 c 8

h c 18 c 13

2h 10 2a 24

h 5 a 12 a2 144

b2 c2 a2 132 122 25

2 2

2 2

2

2 2

22

( ) ( )1

( 5) ( 1)1

12 5

1( 5)1

144 25

x h y ka bx y

yx

. Kunci Jawaban: D

P(x) 3x3 4x2

6x k habis dibagi (x 2) sehingga:

P(2) 0 3(2)3

4(2)2

6(2) k 0

24 16 12 k 0

k 4

Suku banyak tersebut adalah

P(x) 3x3 4x2

6x 4

Sisanya adalah:

3x 10

x2 2x 2 3x3

4x2 6x 4

3x 6x2 6x

10x2 12x 4

10x2 20x 20

8x 24 (sisa)

2. Kunci Jawaban: B

Jika x1, x2, dan x3 akar-akar persamaan berderajat tiga:

ax3 bx2 cx 4 0, maka berlaku:

x1 x2 x3b

a

x1 . x2 x1 . x3 x2 . x3ca

x1 . x2 . x3

da

Pada persamaan di atas:

a 1, b 4, c 1 dan d 4

x12 x2

2 x32

(x1 x2 x3)2

2(x1 x2 x1 x3 x2 x3)

2

2

2

( 4) 12

1 1

16 2 14

b ca a

3. Kunci Jawaban: E

f(x) dibagi oleh (x 1) sisanya 8, berarti f( 1) 8

f(x) dibagi oleh (x 3) sisanya 4, berarti f(3) 4

g(x) dibagi oleh (x 1) sisanya 9, berarti g( 1) 9

g(x) dibagi oleh (x 3) sisanya 15, berarti g(3) 15

Diketahui pula:

h(x) f(x) · g(x)

Ditanyakan sisa pembagian h(x) oleh (x 2x 3)

x 2x 3 (x 3) (x 1)

Misalkan sisa pembagian itu adalah ax b, maka:

Untuk x 1

a( 1) b f( 1) · g( 1)

a b 8 · 9 72 . . . . (i)

Untuk x 3

a(3) b f(3) · g(3)

3a b 4 · 15 60 . . . . (ii)

Dari (i) dan (ii) didapat sistem persamaan:

a b 72 b 72 a3a b 60 72 33

4a 132 a 33 39

Jadi sisa pembagian itu adalah 33x 39.

4. Kunci Jawaban: D

(3x 1), 3 13

x , berarti f 13 0

13

6 13 q 12

2 55

3

q

6 15 q 15 0

125

03

q q 5 3 · ( 12) 36

q 36 5 41

Suku banyak itu apabila dibagi oleh 13

x hasil baginya adalah

6x2 15x 36.

Jadi dapat ditulis:

6x3 13x2

41x 12 (6x2 15x 36)(x

1

3)

3(2x2 5x 12)(x

1

3)

(2x2 5x 12)(3x 1)

(2x 3)(x 4)(3x 1)

Jadi faktor yang lainnya adalah (2x 3) dan (x 4).

5. Kunci Jawaban: E

Diketahui fungsi y f(x) 4x3 6x2

2

Fungsi akan naik apabila f ' (x) 0 dan

turun apabila f '(x) 0.

Titik stasionernya f '(x) 0

f(x) 4x3 6x2

2

f '(x) 12x2 12x

f '(x) 0 12x2 12x 0 12x (x 1) 0

Titik stasionernya x 0 dan x 1

f '(x) 0 f '(x) 0 f '(x) 0

Jadi fungsi f(x) di atas naik pada selang x 0 atau x 1.

6. Kunci Jawaban: B

F(x) (x2 6x 5) · H(x) (ax b)

(x 5) (x 1) · H(x) (ax b)

F(x) dibagi (x 5) sisa 5a b 13

F(x) dibagi (x 1) sisa a b 5

4a 8

a 2

0 1


Sehingga, 2 b 5 b 3

Jadi sisanya adalah ax b 2x 3

7. Kunci Jawaban: D

F(x) (x2 x 2) · H (x) (ax b)

(x 2) (x 1) H(x) (ax b)

F(x) dibagi (x 2) sisa 2a b 11

F(x) dibagi (x 1) sisa a b 4

3a 15

a 5

Sehingga, 5 b 4

b 1

Jadi sisanya adalah 5x 1.

8. Kunci Jawaban: C

Suku banyak (x4 7x3

9x2 13x 7) dibagi (x 1) (x 3)

Menghasilkan sisa dengan menggunakan rumus.

Jika f(x) dibagi (x a)(x b) maka sisa pembagian adalah:

( ) ( ) ( ) ( )f a f b af b bf axa b a b

f(x) x4 7x3

9x2 13x 7

f( 1) ( 1)4

7 ( 1)3

9 ( 1)2

13 ( 1) 7

1 7 9 13 7 3

f(3) 34

7(3)3

9 . 32

13 . 3 7

81 189 81 39 7 5

Sisa3 5 1 5 3( 3)

1 3 1 3x

8 5 9

4 4x 2x 1

9. Kunci Jawaban: C

P(x) x3 (a 1)x2 bx 2a

Habis dibagi (x 2), berarti:

P( 2) ( 2)2

(a 1)( 2)2 b( 2) 2a

0 8 4(a 1) 2b 2a0 8 2a 4 2b 4 2a 2b

2a 2b 4 . . . (i)

Dibagi (x 2) sisa 4

P(2) 8 (a 1)4 2b 2a 4

2a 2b 12 4

2a 2b 16 . . . (ii)

(i) dan (ii)

2a 2b 4

2a 2b 16

4a 12

a 3

(i) 6 2b 4

2b 10, b 5

Jadi nilai a 3 dan b 5


1 1 2 4 a b 1 1 5 a 5

1 1 5 a 5 a b 5 sisa

3 1 2 4 a b 3 3 3 3a 9

1 1 1 a 3 3a b 9 sisa

Sisa 0 a b 5 0 . . . (1)

3a b 9 0 . . . (2)

Sehingga,

a b 5

3a b 9

2a 4

a 2 b 3

Maka suku banyak tersebut adalah:

x5 2x4

4x2 2x 3 0

(x 1) (x 3) x3 0

(x2 4x 3) x3 0

Hitung nilai x3.

3 2

2 5 4 2

5 4 3

2 5 10

4 3 2 4 2 3

4 3

x x xx x x x x x

x x x

2x4 3x3

4x2 2x 3

2x4 8x3

6x2

5x3 10x2

2x 3

5x3 20x2

15x

10x2 13x 3

10x2 40x 30

27x 27

Maka:

x5 2x4

4x2 2x 3

(x 1) (x 3) (x3 2x2

5x 10) 27x 27

(x 1) (x 3) (x 2) (x2 5)

x1 1 x2 3 x3 2 x4Jadi, x1 x2 2x3 1 3 2 ( 2) 0


P(x) x4 5x3 ax2 x b

Dibagi x sisa 2

P(0) b 2

Dibagi (x 1) sisa 1

P(1) 1 5 a 1 2 1

a 1 3 2

Nilai: a 3b 2 3 (2) 2 6 8.


1 1 a 1 b1 a 1 a 2

1 a 1 a 2 a b 2 sisa

2 1 a 1 b 2 2a 4 4a 10

1 a 2 2a 5 4a b 10 sisa

Sisa 0 a b 2 0

4a b 9 0

Sehingga,

a b 2

4a b 10

3a 12

a 4 b 6

Maka suku banyak tersebut adalah

x2 4x2 x 6 0

(x 1)(x 2) 0

(x2 x 2) 0


Hitung nilai

3

2 3 22 4 6

3 2 2

23 3 6

23 3 6

0

x

x x x x x

x x x

x x

x x

Maka:

x3 4x2 x 6 (x 1)(x 2) (x 3)

1 2 3

Jadi2 2 2

( 1)2

22

32

1 4 9 14


Suku banyak x4 ax3 2x2 bx 5

dibagi (x 2), S(x) 7, dibagi (x 3), S(x) 182

x 2 16 8a 8 2b 5 7

8a 2b 22 4a b 11

x 3 81 27a 18 3b 5 182

27a 3b 78

9a b 26

9a b 26

4a b 11

5a 15

a 3 b 1

Nilai a2 4ab 4b2

9 4( 3)1 4 · 12

9 12 4 25


Suku banyak: px3 5x2

22x q 0 , x1 1, x2 5

x1 x2 x3 3

3

5 51 5

54 . . .(i)

xp p

xp

1 2 1 3 2 3

3 2 2

3 3

22

225 ( )

22 225 (4) 4 5 . . . (ii)

x x x x x xp

x x xp

x xp p

4(i) (ii) 20 22

16 5

20 225 16

4221 42 21

2

p p

p p

pp

p

Nilai x1 x2 4x3 1 5 225

2

1 5 11 5 2


P(x) x3 Ax2 Bx 6

Habis dibagi (x2 3x 2) (x 2) (x 1)

P(2) 8 4A 2B 6 0

4A 2B 2 . . . (i)

P(1) 1 A B 6

A B 5 . . . (ii)

(i) dan (ii) (ii)

4A 2B 2 6 B 5

2A 2B 10 B 11

2A 12 Maka: A B 6 11 5

A 6


P(x) x3 2x2

5x 6 0

(x 3)(x2 x 2) 0

(x 3)(x 2) (x 1) 0

x1 3, x2 2, x3 1

Sehingga diperoleh,

x1 x2 x3 3 2 1 2

x1 · x2 · x3 3( 2) · 1 6


F(x) (3x2 5x 2) H(x) ax b

(3x 1) (x 2) H(x) ax bF(2) 2a b 8

F 13

13

a b 1

2 13

a 7

a 3 2(3) b 8

b 8 6 2

Jadi, sisanya adalah 3x 2.


P(x) 3x4 8x3

7x 2 0

(x 2) (3x3 2x2

4x 1) 0

(x 2) 13

x (3x2 3x 3) 0

3(x 2) (x1

3) (x2 x 1) 0

x1 p 2 dan x2 q 1

3

p q 21

3

5

3


2 12

0 4 6 3 8

1 2 4 4 14

12

1 2 2 7 6

f( 2) 6


12. Fungsi Komposisi dan Fungsi InversFungsi Komposisi dan Fungsi InversFungsi Komposisi dan Fungsi InversFungsi Komposisi dan Fungsi InversFungsi Komposisi dan Fungsi Invers

1. Kunci Jawaban: B

f(x) 2x 1 dan (f g)(x 1) 2x2 4x 1

(f g)(x 1) f{g(x 1)}

Misalkan g(x 1) t, maka dapat ditulis:

f(t) 2t 1 2x2 4x 1

2t 2x2 4x 2

t ( x2 2x 1)

t (x 1)2

Jadi g(x 1) (x 1)2

g(x) x2

g( 2) ( 2) 1

2. Kunci Jawaban: A

2 3 1( ) ;

4 1 4

xf x xx

Misalkan f(x) t, maka:

2 31

4 1

2 3 4

3 4 2

(3 4) 2

xx

x xt tx xt t

x t

2 2

3 4 3 4

t tx xt t

Jadi f 1(x)

2 3;

3 4 4

x xx

f 1(x 2)

2 ( 2)

3 4( 2)

4 5;

4 5 4

xx

x xx

3. Kunci Jawaban: D

(f g)(a) f(g(a))

f(5a 4)

6(5a 4) 3

30a 24 3 30a 21

Jadi, 30a 21 81 60

230

a

4. Kunci Jawaban: C

2

2

1 2

1

2

2

( ) 1

1

1

1

( ) 1

( )( ) 2 1

( ) ( ) 2 1

( 1) 2 1

(2 1) 1

4 ( 1) 1 4 5

f x x

y x

y x

x y

f x x

f g x x

g x f x x

x x

xx x

5. Kunci Jawaban: E

f(x) 2x 1 ; (f g)(x) ( ( ) )1

x f g xx

f(g(x)) 2g(x) 1 1

xx

2g(x)1

11 1

xx x

g(x)1

2( 1)xMisalkan g(x) y, maka:

1

2( 1)y

x2xy 2y 1

1 2

2

yxy

Jadi, 1 1 2 2 1( )

2 2

x xg xx x

6. Kunci Jawaban: A

f(x) x3 4 dan g(x) 2 sin x

(f g) (x) (2 sin x)3

4 8 sin3 x 4

(f g)12 8 sin

3 12 4 8( 1)

3 4 4

7. Kunci Jawaban: D

g(x) 3x 7

g(f(x)) 3f(x) 7 . . . . (i)

(g f)(x) 15x2 6x 19

g(f(x)) 15x2 6x 19 . . . . (ii)

Dari (i) dan (ii) diperoleh: 3f(x) 7 15x2 6x 19

3f(x) 15x2 6x 12

f(x) 5x2 2x 4

8. Kunci Jawaban: A

f(x) 2x 3, g(x) 3x 1

(f g) (x 4) f(x) 2g(x)

f(g(x 4)) 2x 3 2(3x 1)

f(3(x 4) 1) 2x 3 6x 2

f(3x 13) 8x 1

2(3x 13) 3 8x 1

6x 26 3 8x 1

2x 24

x 12

9. Kunci Jawaban: C

f(x)2 3

; 4 dan ( ) 24

x x g x xx

(g f)(x)2 3

( ( ))4

2 3 4 62

4 4

xg f x gx

x xx x

Sehingga,

y 4 64 4 6

4

x xy y xx

xy 4x 6 4y x(y 4) 6 4y

x4 6

4

yy

(g f) 1 (x)

4 6; 4

4

x xx


2 3( ) ; 4

4

xf x xx


(g f)(x) x2 7x 8

g(f(x)) x2 7x 8

g 2 3

4

xx x2

7 8

Misalkan:2 3 5

4 8

xx

8(2x 3) 5(x 4)

16x 24 5x 20

11x 44 x 4

g(4) 42

7 · 4 8

16 28 8 4


f(x)153(1 ) 2x

y153(1 ) 2x

y 2153(1 )x

(y 2)5

1 x3

x3 1 (y 2)

5

x135(1 ( 2) )y

f 1(x)

135(1 ( 2) )y


f(x) x 1 dan (f g) (x) 3x2 4

f(g(x)) 3x2 4

g(x) 1 3x2 4 g(x) 3x2

3

g(4) 3 · 16 3 48 3 51


f(x 3) ( 3) 44 1

( )2 5 2( 3) 5 2 1

xx xf xx x x

1

1 1 1 1

2 1 2 1

1 1( )

2 1 1 2

x xf xx x


g(x) x 4

f(g(x)) x2 3x 2

f(x 4) x2 3x 2

f(x 4) ((x 4)2

8x 16) 3x 2

(x 4)2

5x 14

(x 4)2

5(x 4) 6

f(x) x2 5x 6

f(0) 02

5 · 0 6 6

15. Kunci Jawaban: -

( 2) 55( 2) ( )

2 1 2( 2) 1

3 3( )

2 5 2 5

xxf x f xx xx xf x yx x

y(2x 5) x 3

2xy 5y x 3

2xy x 5y 3

x(2y 1) 5y 3

x5 3

2 1

yy

f 1(x)

5 3 1;

2 1 2

x xx


(f g)(x) 4x 8x 3

g(x) 2x 4

(f g)(x) f(g(x))

4x 8x 3 f(2x 4)

f(2x 4) (2x 4)2

4(2x 4) 3

f(x) x2 4x 3

y x2 4x 3

Sehingga,

x2 4x 3 y 0

2

1,2

4 ( 4) 4(1)( 3 )

2 1

4 16 12 4 4 28 4

2 2

4 2 72 7

2

yx

y y

y y

Jadi, 1( ) 2 7f x x


f(x) x 2 , x 0 g(x) 15 , 0x x

y x 2 y 15x

x y 2 x 115 15( )y xg x

f(x)1 x 2

1 1

1 1 1 15

( ) 1

( ) 1

152 1

153

5

x

f g x

f g x f

x

xx


f(x)3 4

2 1

xx

y3 4

2 1

xx

y(2x 1) 3x 4

2xy y 3x 4

2xy 3x y 4

x(2y 3) y 4

x4

2 3

yy

1( )f x4

2 3

xx


13. Limit FungsiLimit FungsiLimit FungsiLimit FungsiLimit Fungsi

1. Kunci Jawaban: D

2 22

2 2 2

2 2

2

2 2

2

2

1 1

1 1 1 1 1 1

1 1

1 (1 )

1 1

1 1

x xx

x x x

x x

x

x x

x

x

Sehingga,

22

20 0lim lim (1 1 )

1 1

(1 1 0 (1 1) 2

x x

x xx

2. Kunci Jawaban: E

0 0

0 0

sin 2 sin2 (3 2 9)lim lim

23 2 9

sin 2lim lim (3 9)

2

1 (3 3) 6

x x

x x

x x xxx

x xx

3. Kunci Jawaban: E

Perhatikan bahwa apabila nilai x mendekati tak terhingga, maka:

5x x begitu pula 2 1 2x xsehingga untuk x tak terhingga:

5 2 1 2x x x xJadi:

lim ( 5 2 1)x

x x

4. Kunci Jawaban: D

1 cos 2x (sin2x cos2x) (cos2x sin2x) 2 sin2xSehingga,

2 2

20 0

22

0

4 4lim lim

1 cos 2 2 sin

lim 2 2 1 2sin

x x

x

x xx x

xx

5. Kunci Jawaban: A

22 2

2

2

2

6 1 (6 ) ( 2)lim lim

2 ( 2))( 2)4

2 4lim

( 2)( 2)

2( 2)lim

( 2)( 2)

2 2 2 1lim

2 2 2 4 2

x x

x

x

x

x x x xx x xx

xx x

xx x

x

6. Kunci Jawaban: B

2 2

2 22 2

1 cos ( 2) sin ( 2)lim lim

3 12 12 3 ( 4 4)x x

x xx x x x

2

2

2

2

sin ( 2)lim

3( 2)

1 sin ( 2)lim

3 ( 2)

1 11

3 3

x

x

xx

xx

7. Kunci Jawaban: B

lim (2 5)(2 1) (2 5)x

x x x dapat ditulis sebagai berikut:

2 2lim 4 8 5 (2 5)x

x x x

2 2lim 4 8 5 4 20 25x

x x x x

Limit berbentuk:

2 2limx

ax bx c px qx r

Jika: a p 1

2

bp

a pa p

Limit di atas a p 4. Maka hasilnya adalah:

8 ( 20) 123

42 4

8. Kunci Jawaban: D

tan( )

1lim lim

2( ) tan ( ) 2

1 1

2 1 3

xx xx

xx x

9. Kunci Jawaban: D

2

5 5

5

2 9 5 (3 1) ( 5)lim lim

5 5

lim 2 1

2 5 1 11

x x

x

x x x xx x

x


cos 6x cos2 3x sin2 3x 1 2 sin2 3x1 cos 6x 2 sin2 3x

92 90

tan 2lim . . . .

2 sin 3

xxx

x x dikalikanx

2

20

2

0 0

2

1 tan 2 9lim

9 2 sin 3

1 tan 2 3lim lim

9 2 sin 3

1 11 1

9 9

x

x x

x xx x

x xx x


4 1 2 1 2lim

1 2 1 2 1 2 1 2x

x x xx x x x


4 1 2 1 2lim

(1 2 ) (1 2 )

4lim

x

x

x x x

x x

x 1 2 1 2

4

x x

x1 1 2


Ingat: 1 cos x 2 sin21

2x

2 tanlim

1 cosx

x xx

2lim

x

tan

2

x x 14

2 1142

. . . .sin

xdikalikan

xx

214

2 1142

tan 1lim

sinx

xxx x

212

12

tan4 lim lim

sinxx

xxx x

4 · 1· 12 4


22 2

2 2lim lim

( 2)2

2 2 00

2( 2 2) 8

x x

x xx xx x


Ingat:

2 sin x cos x sin 2x6 cos2 x 3 3 (2 cos2 x 1) 3 · cos 2x

4 4

13

1 13 3

2 sin 2lim lim tan 2

6 3 cos 2

tan 0 02

x x

x xx


0

( ) ( )limh

f x h f xh

f(x) 3x2 cos3 (x2 )

u 3x2 u' 6x v cos3 (x2 ) v' 6x cos2 (x2 ) sin (x2 )

f '(x) 6x (cos3 (x2 )) 3x2 ( 6x cos2 (x2 ) sin (x2 ))

6x cos2 (x2 ) {cos (x2 ) 3x2 sin (x2 )}


12

12

2

3

212

3

12

4 6 3 18lim

3

4 0 ( 3 18) (2 3)lim

0 1

4 (9 9 18) (6 3)

1

x

x

x x xx

x x x

121

1 12

2 6

9 312 4

4 (36) 9 4 9

1 1

4 4 1 133

1 1 4 4


3 30 0

2

30

2 3

2 30

2

sin 3 sin 3 cos 2 sin 3 (1 cos 2 )lim lim

4 4

tan 3 2 tanlim

4

tan 3 sin 3lim 2

3 4

3 31 2 1

4 2

x x

x

x

x x x x xx x

x xx

x x xx x x


3

23 3

( 3)27lim lim

9x x

xxx

2( 3 9)

( 3)

x xx

2

3

( 3)

3 9lim

3

9 9 9

6

27 9 14

6 2 2

x

x

x xx


Ingat:

cos 2x cos2 x sin2 xcos 2x (cos x sin x) (cos x sin x)

cos x sin x2

cos sin

xx x

Sehingga,

4 4

cos 2

cos sin

2 2

cos sinlim lim

2 2

xx x

x x

x xx x

4

4

2

2

4 4

1 12 2

sin 2lim

2 cos sin

1lim

cos sin

1

cos sin

1 1

2 2 2

12

2

x

x

x

x x x

x x


3

22 2

8 ( 2lim lim

6t t

t tt t

2)( 2 4)

( 2

t tt

2

2

)( 3)

2 4lim

3

4 4 4 12

5 5

t

t

t tt


0

sin 5lim

sin 3t

xx . . . . dikali

9

25


0 0

3 sin 5 5lim lim

sin 3 5 3

5 51 1

3 3

x x

xx


0

tanlim

1 cosx

x xx

(hampir mirip dengan nomor 12)

2 102

3lim

12 sinx x . . . . dikalikan

1414

xx

212

1 10 02 4

tan 1lim lim

sin 2

41 1 2

2

x x

xxx x


22

2

2

2

3 2 9 2 5lim 3 2 9 2 5

3 2 9 2 5

(3 2) (9 2 5)lim

3 2 9 2 5

( 9lim

x

x

x

x x xx x xx x x

x x x

x x x

x 212 4 9x x 2

2

2

2 5)

3 2 9 2 5

10 9lim

3 2 9 2 5x

x

x x xx

x x x

2

9

52 2

10lim

3 9

10 0 10 10

3 3 63 0 9

5 21

3 3

xx

x x x


4

sin 30 0

0

4lim lim

sin 3

4lim 1

1 3

xx

xxx xx x

x

xx x


1 1

1 1 ( 1lim lim

1 1x x

x x xx x

) (1 )

1

xx 1

lim 1

1 1 2

xx


2 2

2

2

2 2

2

2

cos ( ) coslim lim

(2 ) cot(2 ) tan

cos sinlim

2

cos sinlim

2( )

x x

x

x

x xx xx x

x xx

x xx

2

2 2

2

2

2

2

2

sin ( ) sinlim

2( )

sin ( ) sinlim lim

2( )

sin 1 11 1

2 2 2

x

x x

x xx

x xx

14. Turunan FungsiTurunan FungsiTurunan FungsiTurunan FungsiTurunan Fungsi

1. Kunci Jawaban: C

2100 ; 6 8y x xNilai maksimumnya diperoleh saat x2

paling kecil. Nilai x2 pal-

ing kecil adalah pada saat x 0, yaitu didapat:

2100 0 100 10yDapat juga menggunakan cara turunan pertama.

2100y x y1221

(100 ) 22

x x

0 10 xx 10

Jadi diperoleh nilai maksimumnya adalah 10.

2. Kunci Jawaban: E

f(x) sin3 (3 2x)

Fungsi di atas merupakan fungsi komposisi, kita misalkan:

u (3 2x) u ' 2 dx

f(u) sin3 u f (u) 3 sin

2 u cos uf(x) f(u)

2

2

3sin cos ( 2)

3 sin (3 2 ) cos(3 2 ) ( 2)

3 {2 sin (3 2 ) cos (3 2 )} sin (3 2 )

3 sin (6 4 ) sin (3 2 )

df df dudx du dx

u u

x xx x x

x x

3. Kunci Jawaban: A

Panjang kawat 10 m akan dibuat bangun seperti gambar.

Keliling bangun seluruhnya:

K 5a 5bKarena panjang kawat 10 m, berarti:

5a 5b 10 a b 2

b 2 aLuas bangunan seluruhnya:

A 3a b 3a (2 a) 6a 3a2

6dAda

6a 0

6a 0

a 1 m

Jadi panjang b 2 a 2 1 1 m

b

b

a a


Luas seluruhnya:

A 3(a b) 3(1 1) 3 m2

4. Kunci Jawaban: B

f(x) x3 3x2

9x, dengan 3 x 2

f ' (x) 3x2 6x 9

f ' (x) 0 3x2 6x 9 0

x2 2x 3 0

(x 3) (x 1) 0

Titik-titik ekstrimnya x 3 dan x 1

f( 3) ( 3)3

3( 3)2

9 · ( 3)

27 27 27 27

f(1) 12

3 · 12

9 · 1 5

f(2) 23

3 · 22

9 · 2 2

Jadi nilai maksimumnya pada selang tersebut adalah 27.

5. Kunci Jawaban: E

F(x) (6x 3)3 (2x 1)

Jika F(x) U V maka:

F(x) U 'V U · V'Untuk fungsi di atas:

U (6x 3)3 U ' 3(6x 3)

2 · 6 18(6x 3)

2

V (2x 1) V ' 2, jadi

F(x) 18(6x 3)3

(2x 1) (6x 3)3 · 2

F(1) 18(6 · 1 3)2 (2 · 1 1) (6 ·1 3)

3 · 2

18 · 32 · 1 3

3 · 2

162 54 216

6. Kunci Jawaban: D

f(x) (2x 1)2 (x 2)

f(x) u · v f'(x) u' u'v uv 'Misalkan: u (2x 1)

2 u ' 2(2x 1) · 2

4(2x 1)

v (x 2) v ' 1

f ' (x) 4(2x 1)(x 2) (2x 1)2 (1)

4(2x 1)(4x 8 2x 1)

(2x 1) (6x 7)

7. Kunci Jawaban: D

Misalkan: a rusuk alas

t tinggi

Luas kotak a2 4at 432

4at 432 a

t2432

4

aa

Volume kotak:

22 2

33

432

4

432 1108

4 4 4

aV a t aa

a a a a

2

2

3108 0

4

3108

4

V' a

a

a2 144

a 12 cm

8. Kunci Jawaban: A

f(x)122 23 5 (3 5)x x

f '(x)1 12 22 2

2

1(3 5) (6 ) 3 (3 5)

2

3

3 5

x x x x

x

x

9. Kunci Jawaban: D

g(x) 2 3; (1) '(1) 1

( )

x f ff x

g '(x)2

2 ( ) (2 3) '(1)

{ ( )}

f x x ff x

g '(1)2

2 (1) (2 1 3) '(1) 2 1 ( 1) 1

1{ (1)}

f ff

3


y1

3(p 2)

2 x3 x2 5px

Memiliki nilai minimum 27 untuk x 3

Berarti grafiknya melalui titik (3, 27)

27 13

(p 2)2 · 3

3 3

2 5p · 3

27 9(p2 4p 4) 9 15p

9p2 51p 72 0

3(3p 8)(p 3) 0

p 83

atau p 3

Karena pada pilihan jawaban hanya ada p 3, maka tidak perlu

uji turunan pertama.


f(x) (x sin 3x) dan g(x) x2

u(x) g(f(x)) u ' (x) g ' ( f(x)) · f ' (x)

u '(x) 2(x sin 3x) (1 3 cos 3x)

2(x 3x cos 3x sin 3x 3 sin 3x cos 3x)

2x 6x cos 3x 2 sin 3x 3 sin 6x


Keliling kebun 2x y48 2x y y 48 2x

Luas kebun xyx(48 2x)

48x 2x2

L(x) 48x 2x 48x 2x2

Luas maksimal kebun2

2

( 4 )

4 4

(48 4 ( 2) 0)

4( 2)

(2304)288

8

D b aca a


f(x)2

2

3( )

2 1

x u'v uv'f ' xx v

f ' (x)2 2 2

2 2

2

2 2

6 (2 1) 3 2 12 6 6

(2 1) (2 1)

6 6 6 ( 1)

(2 1) (2 1)

x x x x x xx x

x x x xx x

sungai

x

y



f(x) sin cos

sin

x xx

sin cos

cos sin

sin

cos

u x xu' x xv x

v' x

f ' (x)2

2 2

2

2 2

2 2

(cos sin ) sin (sin cos ) cos

sin

cos sin sin sin cos cos

sin

(sin cos ) 1

sin sin

x x x x x xx

x x x x x xx

x xx x

2 2 2

2

1 1( ) 1

sin ( ) 1f '


f(x) 2 cos3 (1 2x)

Misalkan: u 1 2x u 2dx f(u) 2 cos

3 4

f ' (u) 6 sin u · cos2u

f(x) f(u)

df df dudx du dx

6 sin u · cos2u · ( 2)

6 sin u cos2 u · (2)

6 {2 sin (1 2x) cos (1 2x)} · cos (1 2x)

6 · sin (2 4x) cos (1 2x)


f(x)1 cos

sin

xx

u 1 cos x

u' sin xv sin xv cos x

f ' (x)2

2 2

2 2

sin ( sin ) (1 cos ) ( cos )

( sin )

sin cos cos 1 cos

sin sin

x x x xx

x x x xx x

13 2

3 2 213 2

3234

1 cos ( ) 1( )

sin ( ) ( 3)

3 42

2 3

f


Luas: 2 · xy 24 xy 12

y12

xKeliling: K 3x 4y

3x 48x

Jadi,2

2

2

2

0 3 48 0

483

48 3

16 4

12 3

K' x

xx

x xxy y


f(x) sin2 (2x3

5)

f'(x) 2 sin (2x3 5) cos (2x3

5) · 6x2

6x2 sin (4x3

10)


K 2(p l) L p l 8 2(3 x l) (3 x) (1 x)

8 6 2x 2l (3 2x x2)

2l 2 3x Max pada saat L' 0

l 1 x L' 2 2x 0

2x 2

x 1


f(x) cos2 (1 3x)

Misalkan: u 1 3x u 3dxf(u) cos

2 uf ' (u) 2 cos u · sin uf(x) f(u)

df df dudx du dx

2 cos u · sin u · 3

3 · 2 cos( 3x) sin (1 3x)

3 · sin (2 6x)


y x · e2x u ' x u 1

v ' e2x v 2e2xdydx

1 · e2x x · 2e2x

e2x 2xe2x e2x

(1 2x)


f(x) 5 15x 9x2 x3

f naik jika f '(x) 0

f ' (x) 15 18x 3x2 0

3(x2 6x 5) 0

3(x 5) (x 1) 0

x 5 atau x 1

Nilai x yang memenuhi adalah x 5 atau x 1


y ax2 bx 3 di titik (1, 1)

1 a · 12 b · 1 3

a b 2 a b 2 . . . (*)

y ' 2ax b

Garis: 6y x 7 y 1

1 7 1

6 6 6x m

Garis maka m1 · m2 1

1

6. m2 1 m2 6

y ' m2 2ax b 6

2ax b 6

x 6

2

ba

16

2 62

b a ba

Masukan (*) ke 2a b 6

2(b 2) b 6

2b 4 b 6

5 1


b 6 4 2

a b 2 2 2 4

Maka a2 b2 ( 4)

2 ( 2)

2 16 4 20


y 2(x 2)(x2 3x 1)

(2x 4) (x2 3x 1)

Misalkan: u 2x 4 u ' 2

v x2 3x 1 v ' 2x 3

y ' 2(x2 3x 1) (2x 4)(2x 3)

2x2 6x 2 4x2

2x 12

6x2 4x 10


3cosy

x

Misalkan:23

3u u x dxx

y f(x)3

cosx

f(u) cos uf ' (u) sin u

2

2

sin ( 3 )

3 3sin

dy df df duy u xdx dx du dx

yxx


Lihat jawaban nomor 7.

Luas kotak a2 4at 432

t432

4aVolume kotak: V a2t

22 3432 1

1084 4

aa a aa

V maks V' 0

108 230

4a

a2 144

a 12

V 108 (12) 31

(12)4

1296 432 864

15. IntegralIntegralIntegralIntegralIntegral

x

y

0

1

2

x

y

1

1

1 2

1. Kunci Jawaban: D

.

5 5

uv' dx u v uv'dxu x u' dx

6 717

(1 ) (1 )v' x v x

16 7 7

0

7 7

1 15 (1 ) 5 (1 ) 5 (1 )

7 7

5 5(1 ) (1 )

7 7

x x dx x x x dx

x x x dx

17 8

0

17 8

0

7 8 7 8

5 5 1(1 ) (1 )

7 7 8

5 5(1 ) (1 )

7 56

5 . 1 5 5 . 0 5(1 1) (1 1) (1 0) (1 0)

7 56 7 56

5 50

56 56

x x x

x x x

2. Kunci Jawaban: E

y x3 1

Terlihat luas daerah antara 1 dan 1 adalah di bawah kurva

dan antara 1 dan 2 di atas kurva. Sehingga untuk mencari

luasnya tidak boleh sekaligus.

I. Antara 1 dan 1

1 13 4

11

4 4

1( 1)

4

1 1.1 1 ( 1) ( 1)

4 4

1 11 1 2

4 4

x dx x x

Karena luas selalu positif, berarti L1 2.

II.Antara 1 dan 2

2 22 4

11

4 4

1( 1)

4

1 1.2 1 .1 1)

4 4

1 1 32 ( 1) 3 2

4 4 4

x dx x x

Luas seluruhnya: L L1 L2 2 23 3

44 4

3. Kunci Jawaban: C

2

14

xy diputar mengelilingi sumbu x

Kurva diputar mengelilingi sumbu x, berarti

V

22 2 22

0 0

14

xy dx dx


22 3 4 3 2

00

12 16 6 80

8 22 4 22 0 (2 )

6 80 3 5

30 20 6 16satuan volum

15 15 15 15

x x x xdx x

4. Kunci Jawaban: B

cos x cos 4x 1cos( 4 ) cos( 4 )

2

1cos 5 cos( 3 )

2

x x x x

x x

Karena cosinus merupakan fungsi genap, maka

cos ( 3x) cos 3x. Jadi:

cos x cos 4x 1(cos 5 cos 3 ),

2x x sehingga:

cos x cos 4x dx 1(cos 5 cos 3 )

2

1 1 1sin 5 sin 3

2 5 3

1 1sin 5 sin 3

10 6

x x dx

x x C

x x C

5. Kunci Jawaban: C

Diketahui kurva y x 1

Diputar mengelilingi sumbu x antara x 1 dan x 1

Volum benda putarnya:

1 12 2

1 1

V r dx y dx

Karena kurvanya simetris, maka:

1 1 12 2 2 4 2

0 0 0

15 3

0

2 ( 1) 2 ( 2 1)

1 22 . 1 1

5 3

1 2 3 10 152 1 2

5 3 15

8 162

15 15

V y x dx x x dx

x

6. Kunci Jawaban: A

Gunakan cara substitusi

2 29 9x x dx x x dx

Misalkan: u2 9

2 29x x

2u du 2x dx u du x dxJadi integral di atas dapat diganti menjadi:

2

2

3

32

2 2

9 ( )

1

3

19

3

1(9 ) 9

3

x x dx u u du

u du

u C

x C

x x C

7. Kunci Jawaban: C

32

33 2

(3 2 2) 40

2 40

p

p

x x dx

x x x

(27 9 6) (p3 p2 2p) 40

p3 p2 2p 16 0

2( 2)( 3 8) 0

Definit positif

p p p

p 2 0

p 2

1 1( 2)

2 2p 1

8. Kunci Jawaban: D

Luas daerah yang diarsir

L2

2

0

23 2

0

(8 2 )

18

3

8 116 4 0 9

3 3

x x dx

x x x

2

2

22 8

8

y xx x

y x

x2 2x 8 0

(x 4) (x 2) 0

x1 4 atau x2 2

Jadi, daerah yang diarsir adalah: 0 x 2

9. Kunci Jawaban: D

2

22 0

y xx y

y x

X

Y

2

y 8 x2

y 2x

X

Y

2

2

2 0x y 2 0

y x2

x

y

r1 1

1

O


x2 x 2

x2 x 2 0

(x 2) (x 1) 0

x 2, x 1

2 22 1

12 2 2

2

12 4

2

13 2 5

2

( )

( 2) ( )

( 4 4 )

1 12 4

3 5

1 1 8 322 4 8 8

3 5 3 5

2 4 6 22 12 14 14

15 15 15 5

b

aV y y dx

x x dx

x x x dx

x x x x


2 2

0 0

1sin 3 cos 5 (2 sin 3 cos 5 )

2x x dx x x dx

2

2

2

0

0

0

1(sin(3 5 ) sin (3 5 ))

2

1(sin 8 sin 2 )

2

1 1 1cos 8 cos 2

2 8 2

1 1 1 1 4cos 4 cos cos 0 cos0

2 8 2 8 2

x x x x dx

x x dx

x x

1 1 1 1 11 ( 1)

2 8 2 8 2

1 1 1 1 1

2 8 2 8 2

1 1 8( 1)

2 2 16


Misalkan: u x du dx

dv sin x dx v sin x dxcos x

0

0

sin ( cos ) cos

( cos sin )

x x dx x x x dx

x x x

( ( 1) 0) (0 0)


f(x) (x 2)2

4 x2 4x

g(x) f(x) ; berarti f(x) dan g(x) setangkup.

Determinan dari x2 4x 0 adalah:

D ( 4)2

4 · 1 · 0 16

Jadi luas daerah di atas kurva f(x) dan di bawah garis y 0

adalah:

16 16 16 4 64 32

6 1 6 6 3L

Karena f(x) dan g(x) setangkup maka luas seluruhnya adalah:

32 64 12 21

3 3 3L satuan luas


y sin x ; 0 x Daerah D diputar menge-

lilingi sumbu-x sejauh

360 .

Volume benda putar yang terjadi:

2 2

0 0

0

00

2

(sin )

(1 cos 2 )

2

1(1 cos 2 ) sin 2

2 2 2

1( 0) (sin 2 sin 0)

2 2

satuan volume2

V y dx x dx

x dx

x dx x x


2 22 2

0 0

cos sin sin (cos )x x dx x x dx

Misalkan u sin x du cos x dx

2 22

2 2 3

00 0

3

1sin (cos )

3

1 1sin 0

3 2 3

x x dx u du u


Misalkan:2

1

2

1 1cos sin

sin x

u du dxx x

dxx

Jadi dapat ditulis:

1

2

sin 1cosx dx du u C C

xx

x

y



u x2 du 2x dx

dv cos x v sin x

u dv u v v du

2 2cos sin 2 sinx x dx x x x x dx

Dengan cara yang sama seperti di atas dapat ditulis:

2 2

2

cos sin 2 ( cos ) 2( cos )

sin 2 cos 2 sin

x x dx x x x x x dx

x x x x x C


Untuk menentukan luas daerah antara parabola dan parabola

dapat dirumuskan dengan menggunakan diskriminan yaitu:

26

D DLa

Parabola: y x2 9x 15 dan y x2

7x 15

x2 9x 15 x2

7x 15

2x2 16x 30 0 a 2, b 16, c 30

D b2 4ac

( 16)2

4 . 2 . 30

256 240 16

Luas2 2

16 16 16 4 8 22

24 3 36 6 2

D Da


23

6

sin x cos x dx23

6

12

sin 2x dx

23

6

23

6

1sin 2

2

1 1cos 2

2 2

1 4cos cos

4 3 3

1 1 1 1( 1)

4 2 2 4

10,25

4

x dx

x


x sin 2x cos 2x dx 1sin 4

2

1sin 4

2

1sin 4

2

x x dx

x x dx

x x dx

Misalkan:u x du dx

dv sin 4x dx v sin 4x dx

1cos 4

4x

Gunakan rumus integral parsial

u dv u v v du

1 1 1 1sin 4 cos 4 cos 4

2 2 4 4

1 1 1cos 4 cos 4

2 4 4

1 1 1 1cos 4 sin 4

2 4 4 4

1 1cos 4 sin 4

8 32

1(4 cos 4 sin 4 )

32

x x dx x x x dx

x x x dx

x x x C

x x x C

x x x C


2

1

3 2

1

(3 4 4) 18

2 4 18

a

a

x x dx

x x x

(a3 2a2

4a) (1 2 4 ) 18

(a3 2a2

4a) 3 18

a3 2a2

4a 21 0

2

definitif positif

( 3)( 7) 0a a a

a 3 0 a 3


L2

2

0

22

0

23 2

0

2 (4 4)

2 4 4

22 4

3

16 168 8 satuan luas

3 3

x x dx

x x dx

x x x


Misalkan: u (x 2)(x 3) x2 5x 6

2 5du xdx du (2x 5) dx

2 du (10 4x) dx

13

2 23 3

13

2 23

22

32 3

2

3 ( 5 6)

du u duu

u C u C

x x C

x

y

O

1

y 4x 22

y 2x2



L6 6

2 3 2

00

3 2

1 3( 3 )

3 2

1 3(6) (6) 72 54 18

3 2

x x dx x x

Karena L positif maka L 18 satuan luas.


Misalkan u 9 x du 3x2 dx

21

3du x dx

32

32

12

12

2

0

22

00

2

30

1 1 1

3 3

1 2( 2)

33(9 )

2 2 2

3 9 8 3 9 03 9

2 2 6 2 4

3 9 9 9 9

du u duu

ux

x


1

2

1

3 2

1

(3 2)( 4) 50

(3 10 8) 50

5 8 50

a

a

a

x x dx

x x dx

x x x

(a3 5a2

8a) (1 5 8) 50

a3 5a2

8a 48 0

a 4 64 80 32 48 0


y x2 4x 3, y 2x

Perpotongan kedua kurva:

x2 4x 3 2x

x2 2x 3 0 (x 3) (x 1) 0

x 3 atau x 1

untuk x 3 y 6 . . . (3, 6)

x 1 y 2 . . . ( 1, 2)

L3

2

1

32

1

33

2

1

( 2 ) ( 4 3)

( 2 3)

13 ( 9 9 9) 1 3

3 3

2 29 1 10 satuan luas

3 3

x x x dx

x x dx

x x x


132

3 2

44 ( 1)

1

x dx x x dxx

12

13

21 33

2 23 3

22

2 2

23

2

23

( 1)4 ( 1)

2

2 ( 1) ( 1)

2 2

3 3( 1)

3 ( 1)

d xx xx

x d x

yy dy C

y C x C

x C


Titik perpotongan

2x 3 x2 x 1

x2 x 2 0

(x 2) (x 1) 0

x 2 atau x 1

2

2

2

1

2

1

23 2

1

(2 3) ( 1)

2

1 12

3 2

L x x x dx

x x dx

x x x

8 1 12 4 2

3 3 2

1 1 13 1 4

3 6 2


Misalkan: u x2 4

du 2x dx

1

2du x dx

12

12

2

1 1 1In

2 2

In

In In 4

dudu u C

u u

u C

u C x C


2

1

3 2

1

3 2

3 2

2

(3 2 ) 78

78

( ) (1 1) 78

80 0

( 4)( 5 20) 0

a

a

x x dx

x x

a a

a a

a a a a 4 0

a 4

1

3

y

x

y x2 x 1

y 2x 3

x

y

O

1



1 13 3

13

13

0 0

0

0

1sin 3 cos 3 sin 6

2

1sin 6

2

1 1( cos 6 )

2 6

x x dx x dx

x dx

x

13

0

1cos 6

12

1(cos 2 cos 0)

12

1(1 1) 0

12

x


Titik perpotongan: x2 2x x 6

x2 x 6 0

(x 3)(x 2) 0

x 3 atau x 2

L2

2

2

3

2

3

23 2

3

( 6) ( 2 )

( 6)

1 16

3 2

8 92 12 9 18

3 2

1 1 57 13 20

3 2 6

x x x dx

x x dx

x x x


Titik potong: x2 x x2 x 0

x(x 1) 0

x 0 atau x 1

V1 2

1 2 2

0

1 2 2 2

0

13 5

0

( )

1 1

3 5

1 1 2

3 5 15

y y dx

x x dx

x x


Misalkan: u x du dx

dv sin 2x dx 1

cos 22

v x

1 1sin 2 cos 2 cos 2

2 2

1 1cos 2 cos 2

2 2

x x dx x x x dx

x x x dx

1. Kunci Jawaban: B

73 2

x y z 2x 3y 6z 42 ....................... (1)

36

4 2 2

x y zx 6y 2z 24 .................. (2)

16 4 3

x y z2x 3y 4z 12 ........................(3)

Dari (1) dan (3) eliminasikan x2x 3y 6z 42

2x 3y 4z 12

6y 2z 30 3y z 15 ................... (4)

Dari (1) dan (2) eliminasikan x

2x 3y 6z 42 1

x 6y 2z 24 2

2x 3y 6z 42

2x 12y 4z 48

15y 10z 90

3y 2z 18 ................................... (5)

Dari (4) dan (5) eliminasikan y3y z 15

3y 2z 18

z 3

z 3 (5): 3y 2 ( 3) 18

3y 6 18

3y 12

y 4

4

3

yz

(2): x 6(4) 2 3) 24

x 24 6 24

x 6

Nilai x y z 6 4 ( 3) 5

2. Kunci Jawaban: C

B 3x 2y 12 1 3x 2y 12

x y 9 2 2x 2y 18

5x 30

x 6

6 y 9

y 3

C 2x 3y 12 1 2x 3y 12

x y 9 2 2x 2y 18

5y 30

y 6

x 6 9

x 3

16. Program LinierProgram LinierProgram LinierProgram LinierProgram Linier

1 1 1cos 2 sin 2

2 2 2

1 1( cos 2 sin 2 )

2 2

x x x C

x x x C

x

y

y2

x2

y1

x


Fungsi obyektif: 4x 2yNilai maksimum terjadi pada titik-titik A, B, C, DA(4, 0) 4x 2y 4(4) 2(0) 16

B(6, 3) 4x 2y 4(6) 2(3) 30

C(3, 6) 4x 2y 4(3) 2(6) 24

D(0, 4) 4x 2y 4(0) 2(4) 8

Nilai maksimum 30

3. Kunci Jawaban: E

x 0, y 0; 2x y 11 dan x 2y 10

Nilai maksimum untuk fungsi objektif k 3x 4y diperoleh

pada titik (3, 4).

k 3 · 3 4 · 4 25

4. Kunci Jawaban: C

Pakaian Kain polos Kain corak Banyaknya

Model pertama 1 1,5 xModel kedua 2 0,5 yTersedia 20 10

Misal banyak pakaian model pertama x dan model kedua y,

tujuannya untuk menentukan jumlah maksimum pakaian yang

dapat dibuat. Jumlah persediaan kain polos 20, maka x 2y20 jumlah persediaan kain corak 10, maka 1,5x 0,5y 10.

Banyak pakaian model pertama dan kedua harus 0 yaitu

x 0 dan y 0.

Jadi model matematikanya adalah:

x 2y 20 ................ (1)

1,5x 0,5y 10 ................ (2)

x 0 ................ (3)

y 0 ................ (4)

Untuk menentukan jumlah maksimum pakaian yang dapat

dibuat, maka kita selesaikan sistem pertidaksamaan di atas.

x 2y 20 ......... (1) 1 x 2y 20

1,5x 0,5y 10 ......... (2) 4 6x 2y 40

5x 20

x 4

untuk x 4 (1): x 2y 20

4 2y 20

2y 16

y 8

Maka jumlah maksimum pakaian-pakaian yang dapat dibuat

adalah 4 8 12.

5. Kunci Jawaban: D

Pembelian: P(x) 2x2 3x 36

Penjualan: H(x) x 25

Keuntungan H(x) P(x)

(x 25) (2x2 3x 36)

x 25 2x2 3x 36

2x2 4x 61

Keuntungan maksimum:

K(x) 0 4x 4 0

4x 4

x 1

Jadi, keuntungan maksimum per hari adalah

2( 1)2

4( 1) 61 2(1) 4 61

2 4 61

63 (dalam jutaan rupiah)

Rp63.000.000,00

6. Kunci Jawaban: E

Perhiasan Emas Perak Banyaknya

Jenis I 1 1,5 xJenis II 2 0,5 yTersedia 20 10

x 2y 20 ...... (i)

1,5x 05y 10 ...... (ii)

x 0 ...... (iii)

y 0 ...... (iv)

(i) dan (ii): x 2y 20

6x 2y 40

5x 20

x 4

(i) 4 2y 20

2y 16

y 8

Jadi emas 4 dan perak 8

7. Kunci Jawaban: D

V r 2t 1000 cm3

m r 2 m' 2 rn t n' 1, agar tinggi minimum, maka:

V ' 2 r t r 2· 1 0

r 22 r t

r 2tV ( 2t)2 · t 1000

4 t3 1000

t3 250t 3 250

cm

8. Kunci Jawaban: D

Tas (x) Sepatu (y)

Kulit . . . 30 cm

Plastik . . . 15 cm

Keuntungan sepatu Keuntungan tas maka:

Jumlah sepatu Jumlah tas

x y30x 15y 450

30x 15x 450

45 x 450

x 10 y 10

Jadi perusahaan akan mendapat keuntungan maksimum jika

dibuat 10 tas dan 10 sepatu

9. Kunci Jawaban: D

Kendaraan Luas parkir/m2

Biaya parkir

Sedan 4 1000

Bus 20 2000

Misalkan banyaknya sedan x bus y

5,5 10x

y

x 2y 10

2x y 11

11

5


x 5y 44

(14, 6)

y

x20

20

8,8

44O

Pertidaksamaan

x y 20

4x 20y 176 x 5y 44

x 0, y 0

Perpotongan kedua garis

x y 20

x 5y 44

4 24 6. . . . (14,6)

6 20 14

y yx x

Max: 1000x 2500y(0, 0) 0 0 0

(20, 0) 20.000 0 20.000

(14, 6) 14.000 12.000 26.000

(0, 8) 0 16.000 16.000

(1, 8) 1000 16.000 17.000

(2, 8) 2000 16.000 18.000

Jadi, laba maksimum Rp26.000,00


Perumahan Luas Laba

Tipe A(x) 100 800.000

Tipe B(y) 75 600.000

Tersedia 10.000

100x 75y 10.000 . . . . (i)

x y 125 . . . . (ii)

(i) dan (ii)

100x 75y 10.000

75x 75y 9.375

25x 625

x 25

(ii) x y 125

25 y 125

y 100

Laba maksimum: 8000.000x 600.000y 800.000 (25) 600.000 (100)

20.000.000 60.000.000

80.000.000

17. Barisan, Deret dan Notasi SigmaBarisan, Deret dan Notasi SigmaBarisan, Deret dan Notasi SigmaBarisan, Deret dan Notasi SigmaBarisan, Deret dan Notasi Sigma

1. Kunci Jawaban: D

25 25 25

5 5 5

25

5

(2 ) 2 40

2 (25 5 1) 2 21 2 42

k k k

k

pk pk

Jadi,

25 25

5 5

25

5

25

5

(2 ) 42 40

42 40

42 40 82

k k

k

k

pk pk

pk

pk

2. Kunci Jawaban: C

Deret aritmetika diketahui:

Suku tengahnya 32, berarti:

1 322

[ ( 1) ]32

2

2 ( 1) 64 . . . (i)

nU U

a a n b

a n b

Jumlah a suku yang pertama 672

2

n{2a (n 1)b} 672

Karena 2a (n 1)b 64, berarti:

67264 672 21

2 32

n n

3. Kunci Jawaban: B

1

17 8 1

1 1 1

8

8

1 2 1

2 2

1 1 1

2 2 2

2 1 1

22

256 1 128 127

256 256 256

kn n

nk

k k k

k k k

4. Kunci Jawaban: C

2

22

21

2 2 1

1 1

5

2

52 2 4 5 9

2

5 71 1

2 2

7 119

2 2

7

2

nS n n

S

S

U S S

U S

Beda:2 1

11 7 42

2 2 2

b U U

5. Kunci Jawaban: E

Untuk barisan geometri berlaku

Un1

1nU r


3 34 2

3 32 4

33 3 322 4 4

34

133 1 13

3 44 4

4 31 4

4 1 34 1 1

3

3

4

dan

jadi:

U x x U x x x

U U r U r

x x r

xr x xx

r x x x x

6. Kunci Jawaban: A

Deret aritmetika: Un 3n 5

U1 3 · 1 5 2

Jumlah n suku pertama:

1( )2

( 2 3 5)2

(3 7)2

n nnS U U

n n

n n

7. Kunci Jawaban: E

2

1 1

(5 19)2

2(5 2 19) 9

2

1(5 1 19) 7

2

nnS n

S

S U

8. Kunci Jawaban: E

Ribuan Ratusan Puluhan Satuan

4 7 6 5

4 · 7 · 6 · 5 840

Keterangan:Ribuan : Ada 4 angka yang dapat dipakai yaitu: 2, 3, 4, dan

5. (Bilangan yang diminta antara 2000 dan 6000).

Ratusan : Ada 7 angka yang dapat dipakai, sebab dari 8

angka, 1 angka sudah dipakai untuk ribuan.

Puluhan : Ada 6 angka yang dapat dipakai sebab 2 angka

sudah dipakai untuk ribuan dan ratusan.

Satuan : Ada 5 angka yang dapat dipakai sebab 3 angka

sudah dipakai untuk ribuan, ratusan dan puluhan.

9. Kunci Jawaban: D

Misalkan sisi-sisi segitiga: (a b), a, (a b)

Keliling (a b) a (a b) 12

3a 12 a 4

Aturan cosinus:

(a b)2 a2

(a b)2

2a(a b) cos 120

a2 2ab b2 a2 a 2ab b2

(2a2 2ab)

1

2

2ab a2 2ab a2 ab

2a2 5ab 0

a 4 2 · 42

5 · 4 b 0

20b 32

b32 3

120 5

Jadi sisi segitiga:

3 3 2 34 1 , 4, 4 1 2 , 4, 5

5 5 5 5

Luas1

sin2

1 22 4 sin 120

2 5

1 2 12 4 3

2 5 2

2 122 3 3

5 5

bc A


6 anak usianya membentuk barisan aritmetika.

U3 7 tahun, U5 12 tahun.

Karena ada 6 suku, maka rata-ratanya adalah

3 4 1 6

3 54

3 4

2 2

7 129,5 tahun

2 2

7 9,56 49,5 tahun

2 2n

U U U U

U UU

U US n


r22 2

2

2 2lim lim

( 2)(2 2)2 6 4

1 1lim

2 2 2

x x

x

x xx xx x

x

Suku pertama deret hasil kali vektor skalar.

a i j 2k dan b 2i j k

a b (1, 1, 2) (2, 1, 1) 2 1 2 1

Jadi 1

112

1

12

1 1n

UUS

r


Nilai

5 6

1 2

(3 7) (5 6)

n nn n

5

1

(3 7)

nn (3 · 1 7) (3 · 2 7) (3 · 3 7) (3 · 4 7)

(3 · 5 7)

4 ( 1) 2 5 8 10

6

2

(5 6)

nn (5 · 2 6) (5 · 3 6) (5 · 4 6) (5 · 5 6)

(5 · 6 6)

16 21 26 31 36 130.

Maka hasilnya 10 130 140.

A B

a ba b

120 a

C



Barisan aritmetika: k, k n, k 2nk (k n) (k 2n) 12

k · (k n) · (k 2n) 63

3k 3n 12

k n 4 . . . . . . . . . . . (i)

k · 4 · (k 2n) 63

4k2 8kn 63 . . . . . . . . . . . (ii)

(i) k n 4 kedua ruas dikuadratkan

k 2kn n 16 . . . . . . .. . . (iii)

(ii) dan (iii) 4k2 8kn 63

4k2 8kn 4n2

64

4n21

n2 1 1

4 2n

(i) k n 4

k 12

4

k 31

2

7

2 nilai 2k 7

2 72


a ar ar2 ar3 . . . 8 . . . . . . . . . . . . (i)

U2 U4 U6 . . . 8

3

ar ar3 ar5 . . . 8

3. . . . . . . . . . . . (ii)

(i) dan (ii) dikurangkan

a ar2 ar4 . . . 16

3. . . . . . . . . . . . (iii)

Persamaan (i): 41

ar . . . . . . . . . . . . (iv)

Persamaan (ii): 16

1 3

ar . . . . . . . . . . . (v)

Bagilah (iv) dengan (v) diperoleh 1

2r

Dari persamaan (iv)

a 8(1 r) a 8(1 1

2) 4

U5 ar4 4

41

2 4

1 1

16 4


Sn 4n2 3n

S5 4 · 52

3 · 5 100 15 115

S4 4 · 42

3 · 4 64 12 76

U5 S5 S4 115 76 39

S3 4 · 32

3 · 3 36 9 45

U4 S4 S3 76 45 31

b U5 U4 39 31 8

Jadi: U5 39 dan b 8


3 6

2 5

4 32,

3 81

4 32,

3 81

U U

ar ar

2 3 3

3

32 4 32

81 3 81

8 2

27 3

ar r r

r r

22

2 13 3

4 2 4

3 3 3

4 43

9 3

3 39

1 1

ar a

a a

aSr


U1 U2 U3 9

a (a b) (a 2b) 9

3a 3b 9 a b 3 . . . . (*)

U3 U4 U5 15

(a 2b) (a 3b) (a 4b) 15

3a 9b 15

a 3b 5

a 3b 5

a b 3 . . . . . . . . . (*)

2b 8 b 4

a 4 3 a 7

S55

2 (5 1)2

5 514 16 2 5

2 2

a b


U1 U3 U5 . . . 9

a ar2 ar4 . . . 9

2 2

2

2

2

2 13 3

59

1 1

5 9 9

9 4

4

9

2

3

5 515

1 1

aSr r

r

r

r

r

aSr


50

1

52

3

( 2) (1 2) (2 2) (3 2) . . . (50 2)

3 4 5 . . . 52

n

k

n

n


Deret geometri: Un arn 1

U2 · U4 16 ar · ar3 16

a2r4 16

ar2 4 . . . (1)

U1 U2 U3 7 a ar ar2 7 . . . (2)

Untuk menentukan nilai r, bagilah persamaan (2) ke persamaan

(1).


2

2

22 2 2

2

4

7

71 4 4 4 7

4

3 4 4 0

( 2)(3 2) 0

22 atau

3

ara ar ar

rr r r r r

r rr r

r

Substitusikan nilai r ke salah satu persamaan

ar2 4 a(2)

2 4

4a 4

a 1


U1 Tahun pertama 110

U3 Tahun ketiga 150

U1 a, U3 a 2bU15 tahun ke-15 a 14b

U3 110 2b 150

2b 40

b 20

U15 110 14(20) 110 280 390


6S

U1 U3 U5 . . . 4

22

6 6 6 . . . (i)1

4 6 6 4 41

aS a rr

aS r rr

4r2 6r 2 0

2r2 3r 1 0

(2r 1) (r 1) 0

r1

2 atau r 1 (Gunakan r

1

2)

r1

2a 6 6 ·

1

2 6 3 3

U6 ar5 3 ·

51

2 3 ·

1

32

3

32


1

17

6

17(100 4) 17 52 884

2

n nb U U

S

18. MatriksMatriksMatriksMatriksMatriks

1. Kunci Jawaban: B

2 3 6 12,

1 2 4 10A B

A2 xA yB

2 2 3 2 3

1 2 1 2

4 3 6 6 1 0

2 2 3 4 0 1

A

A2 xA yB dapat ditulis:

1 0 2 3 6 12

0 1 1 2 4 10

2 6 3 12

4 2 10

x y

x y x yx y x y

2x 6y 1 2 4x 12y 2

3x 12y 0 1 3x 12y 0

x 2

Dari persamaan 2x 6y 1 diperoleh:

6y 1 2x6y 1 2 · 2 3

y3 1

6 2

Jadi nilai xy 12 1

2

2. Kunci Jawaban: D

4 9 5 5 10 8; dan

3 4 1 3 4 6

pA B C

p p

A B C 1

C C 1 1 atau C (A B) C C 1

1

10 8 4 9 5 5 1 0

4 6 3 4 1 3 0 1

10 8 (4 5 ) 4 1 0

4 6 2 4 3 0 1

pp p

pp p

4(4 5p) 6p · 2 0

16 20p 12p 0

32p 16 12

p

Jadi, 2p 12

2 1

3. Kunci Jawaban: A

3 2 2

4 4 0

xy

3x 2y 2 2 6x 4y 4

4 4y 0 1 4x 4y 0

2x 4 x 2

4x 4y 0 y x 2

Jadi: x 2y 2 2 · 2 6

4. Kunci Jawaban: B

2 4 10 72

4 8 2 4 1

a b b cc d d a

2a 4 10

2a 6

a 3

2(b 2) b c 7

2b 4 b c 7

3b c 11

2(c 4) 8 4

2c 8 8 4

2c 4

c 2

Untuk c 2 3b c 11

3b 2 11

3b 9

b 3


2d 2d a 1

4d 3 1

4d 4

d 1

Maka nilai a b c d 3 3 2 1 9

5. Kunci Jawaban: A

5 2 2 1,

9 4

5 2 2 1 10 2 5 2( )

9 4 18 4 9 4( )

A Bp p q

p p qAB

p p q p p q

10 2 5 2 2 1 0

18 4 9 4 4 0 1

p p qp p q

10 2p 1 5 2p 2q 0

2p 9 5 2 92 2q

2q 14

p 92

q 7

Maka:9 9 14 23

72 2 2 2

p q

6. Kunci Jawaban: C

12

1 6 4 1 8, ,

1 1 1 54 1

m mA B C

m

1 12 2 2

1 1 2 1 0

0 2 14 1 4 1

1 8

1 5

mA

mm mm

C

A2 B 1 C, . . . . dikalikan B

BA2 BB 1 BC ; BB 1 1

1 0

0 1

22

2

12 6 8 4

2 1 2 1

6 4 48 20

2 8 5

m m mBAm m

m mBCm

2 21 012 6 8 4 6 4 48 2

0 12 1 2 1 2 8 5

m m m m mm m m

2m 1 2

2m 1

m1

2

7. Kunci Jawaban: E

2 4 1 2 7 10, ,

3 1 1 2 7 9

3 2

4 3

P Q B

A P Q

AX BT A 1 AX A 1 BT

X A 1 BT

3 2 7 71

9 8 4 3 10 9

21 20 20 18 1 3

28 30 28 2 2 1

8. Kunci Jawaban: B

2 1 3 2dan

3 5 1 3A B

XB BABXBB 1 BABB 1

X 3 2 2 1

1 3 3 5BA

0 7

11 16X

9. Kunci Jawaban: B

L PQR1

2

11 2 1

2

QR PR

L P'Q'R'1 2

12 0

0 ( 4) 4


1 1 1 4

3 2 2 1

xy

3 4

7 2 1

xy

3 4 1

7 2 1 2 6

3

x xy y

y

Maka x y 1 3 4


122

1 12 4

2 2 2 21 1

3(2) 2(2) 22 3 2 3

2 22 2 2 21

4 2 3 2 3 2 3

X

X


3 1 2 1

3 2 1 1

2 1 2 11

6 3 3 3 1 1

3 3 1 11

3 3 6 1 2

X

X

13. Kunci Jawaban: A1 1

1 3 4 21

11 2 5 3 4

13 101

11 7 24

AC B C B A

x

y

R

P

Q


1 1( 13(24) 7(10))

121

2422

121

C


,p q x p

p qq p y q

px qy p p . . . (i)

qx py q q . . . (ii)

p2x pqy p2

q2x pqy q2

(p2 q2)x p2 q2

x 1Substitusi x 1 ke (i)

p qy pqy 0 y 0

Maka x 2y 1 2 · 0 1.


2

1 1 0,

2

1 0 1 0,

0 1 0 1

p p qA B

p s s t

C C

A B C2

1 1 0 1 0

2 0 1

1 0

5 2 0 1

p p qp s s t

p p qp s t

p 1, p q 0 p s 0

1 q 0 1 s 0

q 1 s 1

2s t 1 q 2t 1 2 ( 1) 1 2 1

2 · 1 t 1

2 t 1

t 1

19. VektorVektorVektorVektorVektor

1. Kunci Jawaban: C

Diketahui a 6, (a b) . (a b) 0 dan a · (a b) 3, maka:

* (a b) · (a b) 0, maka a2

b2

0 atau

2 2a b a b 6

a · (a b) 3

a2

a · b 3

2

2

2

a a b cos 3

3 acos

a b

3 ( 6) 3 6 1

6 26 6

1cos

2 3

2. Kunci Jawaban: A

a 3 I j k dan b 3 I 2j kp p

Panjang proyeksi

ortogonal vektor a

terhadap vektor b

3

2(seperti yang terlihat pada gambar)

Panjang proyeksi ortogonal vektor a terhadap b adalah:

3a cos

2 jadi,

2

2

2

3( 3i j k)( 3i j k) cos

2

33 cos

2

34 cos

2

3cos

2 4

p p

p

p

p

1 12 22 2 2 2 2 2

a . b a b cos

( 3i j k)( 3i 2j k

(( 3) 1 ) (( 3) 2 ) cos

p p

p p

1 12 2

1 12 2

12

12

2 2

2 2

2

2

2

( 3 2 ) (4 ) (7 ) . cos

3( 3 3 ) (4 ) (7 ) .

2 4

3( 3 3 ) (7 ) .

2

2( 3 3 ) (7 )

3

p p p p

p p pp

p p

p p

2 2

2

( 2 2 ) (7 )

3 8 3 0

(3 1)( 3) 0

1atau 3

3

p p

p pp p

p p

3. Kunci Jawaban: C

3 , 1 dan 1a b a b

2 2 2 2

2 2 2

a b 2 a b a b

2 ( 3) 1 1 2(3 1) 1 7

a b 7

4. Kunci Jawaban: A

1 2

a , b 1

2 1

x

Panjang proyeksi a pada b adalah 2

6

Panjang proyeksi a pada b adalah:

a

b


Panjang proyeksi a pada b adalah:

2 2 2

a b 2a cos

6b

(1, , 2) (2, 1, 1) 2

62 1 ( 1)

2 22 6 2

6

x

x x

Jadi vektor a adalah a (1, 2, 2)

Sudut antara a dan b adalah , maka:

2 2 2

a . b (1, 2, 2) . (2, 1, 1)cos

a b 1 2 2 . 6

2 2 2 2

9 . 6 3 6

5. Kunci Jawaban: B

a bcos

a b

3 2 2 3 4( 3)

a b

6 6 12

a b

0

a b

cos 0 90

6. Kunci Jawaban: E

Misal w Proyeksi vektor ortogonal u pada y

2

22 2 2

u . vw . v

v

2(2) . (2) ( 4)( 2) ( 6)(4) 12

224

2 ( 2) (4) 2

2 24 8 24 12

2 24 4 16 24

4 4

2 11

2 12

4 2

Jadi w i i 2k

7. Kunci Jawaban: D

P titik berat ABC, Q titik tengah AC

CA u dan CB v

1 1PQ BQ CA CB

3 2

1 1 1 1u v u v

3 2 6 3

8. Kunci Jawaban: C

a i 2j 3k ; b 5i 4j 2k

Proyeksi vektor a pada vektor b adalah:

2 2 2 2

a . b (1, 2, 3) . (5, 4, 2)(b) (5, 4, 2)

5 ( 4) 2b

(5 8 6)(5, 4, 2)

45

9 1(5, 4, 3) ( 5, 4, 2)

45 5

9. Kunci Jawaban: A

4 5 7

u 2 , v 3 , dan w 1

5 7 4

4 5 7

3u 2v w 3 2 2 3 1

5 7 4

12 10 7 9

6 6 1 1

15 14 4 5


Diketahui vektor

2 3

a 4 dan b

5 5

m

Jika proyeksi skalar ortogonal vektor pada vektor sama dengan

35

5, maka nilai m sama dengan nilai m dapat dihitung

menggunakan rumus proyeksi skalar ortogonal vektor

b pada vektor

2 2 2

b . ac

a

3 6 4 255

5 2 4 5

m

3 4 195

5 4 16 25

3 4 195

5 45

34 19 5 5

5

34 19 5 3 5

5

94 19 5

5

4 28

7

m

m

m

m

m

mm

wv

u

A B

PQ

vu

C



a 4 3

b 3 4

i j pki j pk

2 2 2 2 2 2

2

2 2

2 2

a bcos

a b

(4, 3, )(3, 4, )cos 60

4 3 3 ( 4)

1 12 12

225 25

1(25 )

2

p p

p p

p

p p

p p

2 2 225 2 25 0

( 5)( 5) 0

5 atau 5

p p pp p

p p


2 3 4

a 2 , b 2 , c 3

1 2 0

proyeksi vektor padad c adalah

2 2 2 2

85

65

d . c (7, 6, 4) ( 4, 3, 0)(c) ( 4, 3, 0)

( 4) 3 0c

428 18 0 10

( 4, 3, 0) 316 9 25

0

42

35

0 0


1

u 1 , v 3

3 2

x

2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

u . vcos

u v

( , 1, 3)( 1, 3, 2)cos

3 1 ( 3) ( 1) 3 ( 2)

1 3 6

2 1 9 1 9 4

1 9

2 10 14

19 14 10

2

18 2 14 10

x

xx

xx

x

x x

x x

14 (10 x2) 324 72x 4x2

140 14x2 324 72x 4x2

10x2 72x 184 0

2(x 2)(5x 46) 0

x 2 atau x 465


CP u v v u


1OP OB (DC)

3

1 1 1a a b

2 3 2

2 1a b

3 3


a 2i j 9k, b i j 3k

c 3i 2j k

2 1 4

d a 2b 1 2 1 1

9 3 3

Proyeksi vektor d pada c adalah

2 2 2 2

d . c (4, 1, 3) (3, 2, 1). (c) (3, 2, 1)

3 2 1c

12 2 3 7(3, 2, 1) (3, 2, 1)

9 4 1 14

1c

2


a i j 2 k , b i j 2n k

2 2 2 2 2

2 2

a . bcos

a b

( 1, 1, 2)( , 1, 2)cos 60

( 1) 1 ( 2) ( 1) ( 2 )

1 1 2 1 1

2 24 3 2 3

n

nn n

n n

122( 3) 1n n

n2 3 1 2n n2

3 1 2n 2n 2

n 1


A F

C D

B EO

v

u

C D

A

B

u

v

A C

O B

PD


3 2 6

a 1 , b 3 , c 6

1 2 3

3 4 1

a 2b 1 6 5

1 4 3

Proyeksi vektor (a 2b) pada c:

2 2

1 6

5 66

3 3(a 2b) . cc 6

c ( 36 36 9) 3

66 30 9

681

3

27

813

6

6

3

2a 2j k


A (7, 4, 1), B (2, 4, 9), C (1, 3, 2)

AP : PB 2 : 3, maka kordinat titik P:

2 2 3 7 255

3 4 5

2 4 3 4 204

3 2 5

2 9 3 ( 1) 153

3 2 5

x

y

z

P

P

P

Jadi, koordinat titik P adalah P(5, 4, 3)

2 2 2

2 2 2

CP (5 1) (4 3) (3 2)

4 1 1 18


a 6i 2j 4k , b 2i j 2k

Proyeksi vektor ortogonal a pada b adalah

2 2 2 2

a b (6, 2, 4) (2, 1, 2)b (2, 1, 2)

2 1 ( 2)b

12 2 8(2, 1, 2)

4 1 4

18(2, 1, 2) (4, 2, 4)

9

4i 2j 4k


a 2, b 5

a (b a) a b a a

a b cos 60 a a cos0

12 5 2 2 1

2

5 4 9


a b a b 0

2 4 12 0 . . . (1)

c d c d 0

10 3 2 0 . . . (2)

x z

z x

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

2x 4z 12 0

2x 3z 10 0

z 2 0

z 2

z 2 2x 4 (2) 12 0

2x 4 0

x 2

Maka,

a 2i 4j 3k

b 2i 2j 4k

Jadi,

a b 2i ( 2i) 4j 2j 3k 4k

4i 6j k


a i 2 j k dan b 1 2 j kp p

2 2 2 2 2 2

2

2 2

2

2 2

a bcos

b

(1, 2, )(1, 2, )cos 60

1 ( 2 ) (1) ( 2 )

1 1 2

2 1 2 1 2

1 1

2 ( 3 )

a

p p

p p

p

p p

p

p

3 p 2p 2

p 5 0

(p 5 ) (p 5 ) 0

p 5 atau p 5


Proyeksi vektor (3, 1, 1) pada vektor (2, 5, 1) adalah

2 2 2

(3, 1, 1)(2, 5, 1) 6 5 1(2, 5, 1) (2, 5, 1)

302 5 1

1(2, 5, 1)

3


P ( 1, 1) dan R (3, 5)

PQ QR, maka koordinat titik Q adalah

3 ( 1) 3 11

2 2

5 1 63

2 2

x

y

Q (1, 3)

a b cos 60 a a cos0

12 5 2 2 1

2

5 4 9


a b a b 0

2 4 12 0 . . . (1)

c d c d 0

10 3 2 0 . . . (2)

x z

z x

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh

2x 4z 12 0

2x 3z 10 0

z 2 0

z 2

z 2 2x 4 (2) 12 0

2x 4 0

x 2

Maka,

a 2i 4j 3k

b 2i 2j 4k

Jadi,

a b 2i ( 2i) 4j 2j 3k 4k

4i 6j k


a i 2 j k dan b 1 2 j kp p

2 2 2 2 2 2

2

2 2

2

2 2

a bcos

b

(1, 2, )(1, 2, )cos 60

1 ( 2 ) (1) ( 2 )

1 1 2

2 1 2 1 2

1 1

2 ( 3 )

a

p p

p p

p

p p

p

p

3 p 2p 2

p 5 0

(p 5 ) (p 5 ) 0

p 5 atau p 5


Proyeksi vektor (3, 1, 1) pada vektor (2, 5, 1) adalah

2 2 2

(3, 1, 1)(2, 5, 1) 6 5 1(2, 5, 1) (2, 5, 1)

302 5 1

1(2, 5, 1)

3


P ( 1, 1) dan R (3, 5)

PQ QR, maka koordinat titik Q adalah

3 ( 1) 3 11

2 2

5 1 63

2 2

x

y

Q (1, 3)

A P B



a ( , 1, 5)

b (6, 3, 6)

x

Panjang proyeksi a pada b adalah

2 2 2

( , 1, 5)(6, 3, 6)a b5 5

36 9 36b

6 3 305 45 6 33

81

6 12 2

a (2, 1, 5)

a 2 ( 1) 5

4 1 25 30

x

x x

x x

20. Transformasi GeometriTransformasi GeometriTransformasi GeometriTransformasi GeometriTransformasi Geometri

1. Kunci Jawaban: B

Diketahui tiga buah titik, yaitu:

A(3, 2, 1), B(1, 2, 1) dan C(7, p 1, 5)

Agar ketiga titik segaris, maka harus berlaku:

c a (b a)k(7, p 1, 5) (3, 2, 1) k{(1, 2, 1) (3, 2, 1)}

(4, p 3, 4) k ( 2, 4, 2)

Jadi diperoleh:

4 k 2 k 2

p 3 2 · 4 8

p 8 3 11

2. Kunci Jawaban: B

Himpunan titik-titik yang berjarak

sama terhadap titik (1, 2) dan garis

x 1 adalah parabola yang

berpuncak di titik (0, 2) dan garis

arah (direktris) adalah garis x 1.

Karena fokusnya ada di kanan direktris berarti parabola

menghadap ke kanan.

Persamaan parabolanya:

(y )2

4p(x )

di mana: ( , ) titik puncak parabola

p jarak antara fokus dan puncak

Pada soal diketahui titik puncak titik tengah antara fokus dan

direktris. Jadi:

( , ) (0, 2) dan p 1, sehingga:

p 1, jadi:

(y 2)2

4 · 1 (x 0)

y2 4y 4 4x

y2 4y 4x 4 0

3. Kunci Jawaban: A

Garis x 2y 4 0 dirotasikan sejauh 90 .

Matriks transformasinya:

cos 90 sin 90

sin 90 cos 90

x' xy' y

0 1

1 0

xy

yx

Jadi, x y y x

y x x yPersamaan garis yang baru ganti x dengan y dan y dengan

xy 2( x ) 4) 0

y 2x 4 0

Selanjutnya dicerminkan terhadap garis y x. Matriks

transformasinya:

0 1

1 0

x'' x'y'' y'

y'x'

Jadi, x y y x

y x x yPersamaan garisnya ganti y dengan x dan x dengan yy 2x 4 0

x 2y 4 0

Jadi hasil transformasinya adalah:

x 2y 4 0

4. Kunci Jawaban: D

Diketahui ABC dengan A(2, 1), B(6, 1) dan C(5, 3). ABCtersebut ditransformasikan dengan refleksi terhadap sumbu-ydilanjutkan dengan rotasi (0, 90 ). Matriks transformasi untuk

refleksi terhadap sumbu-y adalah1 0

0 1 dan matriks

transformasi dengan pusat O dan sudut rotasi adalah

cos sin

sin cos untuk 90 maka

cos 90 sin 90 0 1

sin 90 cos 90 1 0

Matriks transformasi refleksi terhadap sumbu-y dilanjutkan

rotasi 90 adalah:

0 1 1 0 0 1

1 0 0 1 1 0

Jadi bayangan titik A, B dan C adalah:

1 2 3

1 2 3

0 1 2 6 5

1 0 1 1 3

1 1 3

2 6 5

x x xy y y

' ' '' ' '

Jadi A ( 1, 2), B ( 1, 6) dan C ( 3, 5)

5. Kunci Jawaban: E

Diketahui persegi panjang PQRS dengan P( 1, 2), Q(3, 2),

R(3, 1) dan S( 1, 1) mengalami dilatasi [O, 3] kemudian

rotasi2

[0, ] .

Panjang dan lebar persegi panjang mula-mula:

p (x2 x1) (3 ( 1)) 4

l (y3 y2) ( 1 2) 3 l 3

x

y

p

2

11


Panjang bangun setelah dilatasi [O, 3]

p' 3 4 12

l' 3 3 9

Karena dilatasi tidak mengubah bentuk geometri maka

bentuk hasil dilatasinya tetap persegi panjang. Jadi:

Luas bayangannya setelah dilatasi [O, 3] adalah:

A p' l ' 12 9 108

Rotasi tidak mengubah bentuk bangun dan ukuran (hasil rotasi

(0, 0) kongruen dengan bangun aslinya), jadi tidak mengubah

luas.

6. Kunci Jawaban: C

Garis y 2x 2 dicerminkan terhadap garis y xy 2x 2

x yJadi x 2y 2

2y x 2

y1

2x 1

7. Kunci Jawaban: D

Titik A(x, y) direfleksikan terhadap garis x 2, dilanjutkan

refleksi terhadap garis y 3 dan rotasi dengan pusat O sejauh

2. Refleksi titik A(x, y) terhadap garis x p, kemudian terhadap

garis y q dan rotasi sejauh 2

adalah:

2 4

2 6

2 3 4 2

2 ( 2) 6 10

q yp x

y yx x

Jadi titik A( 10, 2).

8. Kunci Jawaban: E

Bayangan titik M(x, y) oleh transformasi yang bersesuaian

dengan matriks 2 1

1 0dilanjutkan dengan

3 2

0 1 adalah

titik M( 50, 5) maka koordinat titik M adalah (x, y)

Misalkan:1 2

2 1 3 2,

1 0 0 1T T

50 3 2 2 1

5 0 1 1 0

50 4 3

5 1 0

xy

xy

0 3 501

0 3 1 4 5

151

3 30

5Koordinat (5, 10)

10

xy

xM

y

9. Kunci Jawaban: D

A(a, b)90

( 1, 1) A' ( 2 b, a)

[ (1, 2), 2]( 2 , ) (2[ 2 1] 1, 2( 2) 2)12]

(2[ 2 1] 1, 2( 2) 2) (1, 4)

FA' b a A'' b aA'' b a A''

Sehingga,

2( 2 b 1) 1 1 2 ( a 2) 2 4

4 2b 2 1 1 2a 4 2 4

2b 6 2a 6

b 3 a 3

Jadi, A (a, b) A (3, 3).

10. Kunci Jawaban:

y x2 3x 1 . . . (*)

1 0 0 1

0 1 1 0

0 1

1 0

x' xy' yx' xy' yx' yy' x

x yy x x ySubstitusi ke (*)

x ( y )2

3 ( y ) 1

x y23y 1

x y2 3y 1


1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

5 12 5 2 1 0 1

0 11 5 1 3 1 0

5 12 5 1 2

0 11 5 3 1

1 2

5 12 55 5

3 1 0 11 5

5 5

1 2 1

3 5 2

x x xy y y

x x xy y y

x x xy y y

x x xy y y

Jadi titik A( 1, 3), B(2, 5) dan C(1, 2).



T1 Pencerminan terhadap sumbu-xT2 Pencerminan terhadap y xT3 R (0, 90 )

T4

3 2

2 1

3 2

1 1 2 2

( , ) ( , ) ( , )T TA x y y x x y

x y x y

1 4

3 3 4 4

( , ) (8, 6)T Tx y

x y x y

1

1

cos 90 sin 90

sin 90 cos 90

x xy y


34

4 3

0 1

1 0

3 2 8 3 2

2 1 6 2 1

y yx x

xx xy y y

atau

1 2 81

3 4 2 3 6

8 12 4

16 18 2

xy

Jadi, A(4, 2).


sb-

2 2

( , ) ( , ) ( , )

( , )

x y xx y x y y x

x y

x2 y y x2

y2 x x y2

Persamaan peta: y 5x 5

x2 5y2 5

5y2 x2 5

2 2

11

5y x

y1

15

x


Digeser ke kanan maka x 1

3(x 1) 4y 2 0

3x 3 4y 2 0

3x 4y 5 0


y 2x2 4 . . . (*)

1 1

3 3

x' x xy' y y

Kemudian dilatasi oleh [0, 2], maka

2 2

2 6

x' xy' y

x 2x 2 x1

2x 1

y 2y 6 y1

2y 3

Substitusi nilai x dan y ke (*)

2

2

2

2

2

2

1 13 2 1 4

2 2

1 13 2 1 4

2 4

1 13 2 2 4

2 2

6 4 4 8

4 18

4 18

y' x'

y' x' x'

y' x' x'

y' x' x'

y' x' x'

y x x


1 2 2 1 2 6 9 10

2 0 2 4 4 4 2 4

P Q R P' Q' R'

Luas bayangan P 'Q 'R ' adalah

4 2 84

2 2 2

P'R' OQ'

21. Fungsi Persamaan dan PertidaksamaanFungsi Persamaan dan PertidaksamaanFungsi Persamaan dan PertidaksamaanFungsi Persamaan dan PertidaksamaanFungsi Persamaan dan PertidaksamaanEksponenEksponenEksponenEksponenEksponen

1. Kunci Jawaban: E

3

32 18 36

183 6

18 36

2 18 18 36

2 36

1 (64)

8 2

22

2

2 2

2 2

2 36

18

x

x x

xx

x

x x x

x

xx

2. Kunci Jawaban: D

32 1

8x · 3 3 0

31 (3

x)2

8 · 3x

3 0

Misalkan 3x y, maka:

3y2 8y 3 0

(3y 1) (y 3) 0

3 13

y 3 atau y 13

Karena nilai dari eksponen tidak boleh negatif, maka yang

dipakai y 13

, berarti:

3x 1

3x 1

3. Kunci Jawaban: D

22x

3 · 2x 2

32 0

(2x)2

3 · 22 · 2

x 32 0

Misalkan: 2x y

y2 12y 32 0

(y 8) (y 4) 0

y 8 atau y 4

y 8 2x

8 2x

23

x a 3

y 4 2x

4 2x

22

x b 2

a b 3 2 5

x

y

P' R'

Q'


4. Kunci Jawaban: E

2

22

2 512

8

x xx x

Mempunyai akar-akar persamaan p dan q.

Jadi,

2 23(2 ) 2 5

2 2

2

2 2

3 6 2 5

2 4 5 0

( 4) 42

2 2

x x x x

x x x x

x xbp q

a

6. Kunci Jawaban: C

2

2

2 3 5 164

2(2 3 5) 6

4

2 2

x x

x x

2

2

4 6 10 6

4 6 4 0

2 3 2 0

(2 1)( 2) 0

1atau 2

2

x x

x xx xx x

x x

Nilai x yang memenuhi adalah x1

2 atau x 2.

22. Fungsi Persamaan dan PertidaksamaanFungsi Persamaan dan PertidaksamaanFungsi Persamaan dan PertidaksamaanFungsi Persamaan dan PertidaksamaanFungsi Persamaan dan PertidaksamaanLogaritmaLogaritmaLogaritmaLogaritmaLogaritma

1. Kunci Jawaban: E

log (x 1)2

log (x 1)

Syarat pertama:

(x 1)2

0 (selalu dipenuhi)

Syarat kedua:

x 1 0 x 1

Syarat ketiga:

log (x 1)2

log (x 1)

log (x 1)2

log (x 1) 0

2( 1)log 0 log ( 1) 0

( 1

x xx

Agar log (x 1) < 0 maka harus dipenuhi:

x 1 1 x 2

Jadi batas-batas nilai x yang memenuhi pertidaksamaan di atas

adalah 1 x 2.

2. Kunci Jawaban: E

9log (x 2x)

1

2

Untuk menyelesaikan soal seperti di atas, pertama cari dulu

nilai-nilai x yang membuat bilangan yang dilogaritmakan lebih

besar dari nol. Jadi:

x2 2x 0

x (x 2) 0

HP {x 0 atau x 2}

Selanjutnya selesaikan pertidaksamaan logaritma:

9log (x 2x)

1

2

9log (x2

2x)9log

129

9log (x2

2x)9log 3

x2 2x 3

x2 2x 3 0

(x 3) (x 1) 0

HP { 3 x 1}

Irisan dari penyelesaian pertama dan kedua adalah:

HP { 3 x 2 atau 0 x 1}

3. Kunci Jawaban: A x

log (10x3 9x)

xlog x5

10x3

9x x5

x5 10x3

9x 0

x(x4 10x2

9) 0

x(x 1)(x 9) 0

x(x 1)(x 1)(x 3)(x 3) 0

x1 0; x2 1; x3 1; x4 3; x5 3

Syarat: x 0; x 1

10x3 9x 0

x5 0

x1 0 (tidak memenuhi)




x5 3 (memenuhi)

4. Kunci Jawaban: B

2log

2 (4x 4)

2log (4x 4)

4 2log

1

8

2log

2 (4x 4)

2log (4x 4)

4 2log 2

3

{2log (4x 4)

2 4

2log (4x 4) 3

Misalkan2log (4x 4) p, maka

p2 4p 3 0

(p 1) (p 3) 0

p 1 atau p 3

p 1 2log (4x 4) 1

4x 4 2 x3

2

p 3 2log (4x 4) 3

4x 4 23

4x 4 8

4x 12 x 3

3 0

2 0

2 12


5. Kunci Jawaban: B

25

1 15 5

2

2

2

2

log ( 2 3) 1

log ( 2 3) log 5

2 3 5

2 8 0

x x

x x

x x

x x

(x 4)(x 2) 0

x 4 atau x 2

3 3

1 6

1 6

log 1 log 6

3 6

1

3

p p

x x

x x

x

HP:61

{ 0 atau 3 }3

x x x

9. Kunci Jawaban: E

2log (x 2)

2log (x 3) 1

2log 45

2log (x 2) · (x 3)

2log 2 · 45

(x 2) (x 3) 90

x2 5x 6 90 0

x2 5x 84 0

(x 12) (x 7) 0

x 2 atau x 7

HP: { 12, 7}


2log (x2 x) 1

2log x2 x 2

log 2

x2 x 2 0

(x 2) (x 1)

2 4

1 2

1 2

1 6

HP {x | 2 x 4}

6. Kunci Jawaban: C

6log (x 1)

6log (x 4) 1

6log (x 1) (x 4)

6log 6

(x2 3x 4) 6

x2 3x 10 0

(x 5) (x 2) 0

x 5 atau x 2

HP: { 2, 5}

7. Kunci Jawaban: B

2 3 22

2 2

22

2 2

log log 2 1log

log log

3 log 1 1log

log log

x xx x

x xx x

Misalkan:2log x p

2

2

3 1 1

3 1 1

3 2 0

p pp p

p pp p

p p

(p 2)(p 1) 0

2log x 1

2log x 2

x 21 x 2

2

x 2 x 4

Nilai x adalah 2 x 4

8. Kunci Jawaban: A

33 2 22 log

10 log 4 log 3 log 2log 9

2

xx x

3log

2

x 1 4 42

4 4

3 log 3 log 2

33 log 3 . 4 log 2

10 log 4log 3

log5 log 4

log 3

x

x

x

x

Misalkan:3log x p x

log 31

p

15 3 . 2

p

p p

p2 5p 6 0

(p 6)(p 1) 0

HP: { 1 x x 2}

Syarat: x x 0

x(x 1) 0

HP: { 1 x 0 atau 1 x 2}



24 2

24 2

3log log 0

4

3log log 0

4

x x

x x

Misalkan:4log x p

p2 p 3

40

4p2 4p 3 0

(p 3) (2p 1) 0

3 1atau

2 2p p

32

4

3

3 3log

2 2

4 2 8

p x

x

12

41 1log

2 2

14

2

p x

x

Nilai x 8 atau 12

.


2log

2log (xx 1

3) 1 2log x

2log

2log (2

x 1 3)

2log 2 · x

2log (2

x 1 3) 2x

2log (2

x 1 3)

2log 2

2x

2x 1

3 (2x)2

2 · 2x

3 (2x

)2

Misalkan: 2x p

2p 3 p2

p2 2p 3 0

(p 3) (p 1) 0

p 3 atau p 1

p 3 2x

3

x 2log 3

p 1 2 1 (tidak memenuhi)

Jadi x 2log 3.

Cara Mudah Menghadapi Ujian Nasional 2006 Matematika SMA76

1. Kunci Jawaban: A

p 2q 3r 7 ....... (1)

2p 3q 3r 5 ....... (2)

3p 3q 2r 8 ....... (3)

Eliminasi r dari Persamaan (1) dan (2)

p 2q 3r 7 1 p 2q 3r 7

2p 3q 3r 5 3 6p 3q 3r 15

7p q 8 ..... (4)

Eliminasi r dari Persamaan (2) dan (3)

2p q 3r 5 2 4p 2q 2r 10

3p q 2r 8 1 3p 3q 2r 18

p q 2 ..... (5)

Eliminasi q dari Persamaan (4) dan (5)

7p q 8

p q 2

6p 6

p 1

Substitusi nilai p ke Persamaan (4) atau (5)

7p q 7(1) q 8

7 q 8

q 1

Substitusi nilai p dan q ke salah satu persamaan

p 2q 3r 7

1 2( 1) 3r 7

1 2 3r 7

1 3r 7

3r 6

r 2

Jadi, q r 1 2 3

2. Kunci Jawaban: A

10 2 1 3 2 2 3 0 43

5 11 2 4 1 1 1 1

9 2 (3 2) 6 9 0 4

3 15 3 3 1 1

9 2 3 2 6 0 ( 9)( 1) 6 4 ( 9)1

3 15 3 0 3( 1) 3 4 (3)1

9 3 9 15

3 15 3 15

3 15

5

x

x

x

x

xx

3. Kunci Jawaban: -

2x2 4x 1 0 maka a 2, b 4, c 1

( 4)2

2

1

2

ba

ca

2 2

2

2

2 12

212

14

1212

( ) 2

( )

2 2

4 112

1

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah x2 12x 1 0.

4. Kunci Jawaban: C

U3

a 2b 10 a 2bU

7a 6b 18 a 6b

8 4bb 2

Sehingga diperoleh

a 2b 10 U25

a 24ba 4 10 6 24(2)

a 6 54

12

125 2

( )

25(6 54)

12,5 60

750

n nS n a U

S

5. Kunci Jawaban: B

U1

4 a 2

1

2 1

4 2

UrU

U2

2

U3

1

(1 )1

1

n

na rr S

r61 1

2 646 1 1

2 2

6364

638

4 1 ( ) 4 1 ( )

1

8

S

6. Kunci Jawaban: A

5sin

7

y BCr AB

r 7 y 5

x 6

B

A C

7. Kunci Jawaban: E

2 sin2 x 5 sin x 3 0

(2 sin x 1)(sin x 3) 0

KUNCI JAWABAN DAN PEMBAHASANTRY OUT 1

UJIAN NASIONAL 2005/2006

Kunci dan Pembahasan Soal Ujian Nasional 77

2 sin x 1 0 atau sin x 3 0

2 sin x 1 sin x 3

sin x 12

(tidak memenuhi)

x 30°

Sehingga,

cos x cos 30° 12

3

8. Kunci Jawaban: D

6 cos x° 6 3 sin x° dapat ditulis dalam bentuk k cos (x )°

menjadi a cos x b sin x k cos (x )

a 6, b 6 3

2 2 2 26 ( 6 3) 36 108 144 12k a b

tan 6 33

6

ba

( di kuadran IV)

300°

Jadi, 6 cos x° 6 3 sin x° 12 cos (x 300)°

9. Kunci Jawaban: B

a 3log2 6 3log2 2 2 · 9log 6

3log2 6 3log2 2 2 23 log 6

3log2 6 3log2 2 3log 63log 6 (3log 6 1) 3log2 2

32

63

4 6

3 9 3

3 3 3 33 12 2

3 3 3 2

312

3 3 3 2

312

3 3

1 12 2

log 81log 2 3

log 9 log 3

log 2 log 4 log 8

log 2 log 2 3 log 2 log 2

log 6( log 6 1) log 2

log 2

( log 2 1) log 2 log 2

log 2

log 2 1 log 2 12

b

ab


34 x 3x 30 0

34 x 3x 30

x 3


7 37 6 5 47

(7 3)P

4210


Nilai fi xi fi xi

0 4 2 2 114

5 9 6 7 156

10 14 8 12 196

15 19 10 17 170

20 29 8 22 176

25 29 4 27 108

30 34 2 32 64

fi 40 fi xi 674

67416,85

40

i i

i

f xx

f


( )( ) ( ( ))

2 3(1 )

4

f g x f g xxf x

x Misalkan: 1 x y

1 y xx 1 y

2(1 ) 3 2 2 3 1 2( )

(1 ) 4 1 4 5

1 2 2 1 2 1( ) , 5

5 5 5

y y yf yy y yx x xf x x

x x x


Misalkan: Kelas utama xKelas ekonomi y

60x y20 48 ...... (1)

60x 20y 1.440 ...... (2)

Maksimum pada f(x, y) 600.000x 400.000yKalikan Persamaan (1) dengan 20, kemudian eliminasi y dari

Pesamaan (1) dan (2)

20x 20y 1.960

60x 70y 1.440

40x 480

x 12

Substitusi nilai x ke Persamaan (1) atau (2)

1 x y 48 12 y 48 y 36

Sehingga pendapatan maksimum: f(x, y) f(12, 36)

f(12, 36) 600.000(12) 400.000(36)

7.200.000 14.400.000 21.600.000


22 2

2 2 23 3

2 2

23

2 2

23

2

3

2

3

2

4 79 9lim lim

4 7 4 7 4 7

9 4 7lim

16 ( 7)

9 4 7lim

9

lim 4 7

lim 4 7

4 (3) 7

4 16 4 4 8

x x

x

x

x

x

xx x

x x x

x x

x

x x

x

x

x


22 2

( 3) sin ( 2) ( 3) sin ( 2)lim lim

(2 4)( 5)2 6 20

(2 3) sin 0 00

2(0) 6(0) 20 20

x x

x x x xx xx x


Fungsi keuntungan

k(x) (225x x2)xk(x) 225x2 x3

Keuntungan maksimum dicapai jika k (x) 0

450x 3x2 0


x2 150x 0

x(x 150) 0

x 150 atau x 0 (tidak memenuhi)

Maka banyak barang yang harus diproduksi adalah 150 buah

barang.


1

2 3 1y

x 1

2

1

2

1 0

2(3 1)

(3 1)

u u

v x

v x

1

2

1

2

2

2

3

0 (3 1)

(2 3 1)

(3 1)

4(3 1)

1

4 (3 1)

u v uvyv

xx

xx

x

19. Kunci Jawaban: --

2 2

0

23 21 1

3 2 0

83

23

( 2)

2

2 4

8 satuan volum e

V x x dx

x x x


31 22

3

2

32

34 43 3

43

2 (4 5)2 (4 5)

(8 10) (8 10)

(5 ) 4 5

x xx x dx

x x C

x x


3(6) 1(2) 205

4 4

3(4) 1( 4) 82

4 4

3(7) 1(3) 246

4 4

R

R

R

x

y

z

Sehingga diperoleh R(5, 2, 6)

2 2 2

1 5 4

PR 2 2 4

2 6 8

PR 4 4 8 16 16 64 98 2 7


P(x) x3 2x 3 dibagi oleh x2 2x 3

P(x) h(x)g(x) s(x)

Faktor faktor dari x2 2x 3 adalah (x 3) dan (x 1).

f(a) f(3) 33 2(3) 3 27 6 3 24

f(b) f( 1) ( 1)3 2( 1) 3 1 2 3 4

y

2

2 O 2

x

( ) ( ) ( ) ( )( )

24 4 (3)(4) ( 1)(24)( )

3 1 3 1

12 24205 9

4 3

f a f b af b bf aS x xa b a b

S x x

x x


Persamaan garis singgung lingkaran

x2 y2 10x 12y 20 0

melalui titik ( 9, 1) x1

9, y1

1, A 10, B 12 dan C 20.

x1x y

1y 1

2A(x x

1) 1

2B(y y

1) C 0

9x y 12

(10)(x 9) 12

( 12)(y 1) 20 0

9x y 5x 45 6y 6 20 0

4x 5y 31 0

4x 5y 31 0


Persamaan parabola yang koordinat puncak ( 2, 4) dan fokus

( 6, 4)

P( 2, 4) a 2, b 4

F( 6, 4) a p 6, b 4

a p 6 p 4

Sehingga diperoleh persamaan parabola

(y b)2 4p(x a)

(y 4)2 16(x 2)


2 2( 2) ( 1)1

16 9

x y tegak lurus garis x y 3

maka gradien dari persamaan elips adalah m 1

(y q) m(x p) 2 2 2a m b

y 1 1(x 2) 216( 1) 9

y 1 x 2 25

y1

x 2 5 1 y1

x 8

atau

y2

x 2 5 1 y2

x 2


T1

Refleksi terhadap garis x 3

1 26 0 2 4

dan0 5 1 1

6 0 2 4 6 0

0 5 1 1 0 25

6

25

M M

x x xy y yx xy y

Sehingga diperoleh,

x 6x x 16

x

y 25y y 125

y

Kemudian substitusikan nilai x dan y yang baru ke dalam

persamaan garis.

2x y 5 0

2( 16

x ) ( 125

y ) 5 0

1 13 25

5x y 0


p (p q)

p p q



I. p qp

q (sah)

II. p q p qp r p r

p r p r (sah)

III. p qp r

q r (tidak sah)


2 28 8 8 2EG

Perhatikan MCG!

2 24 8 16 64

80 4 5

MG

8 2EB EG

2 28 1 4

128 16

144 12

EM

4 5

128 2

48 5 8 2

48 5 2 48 103 10

168 2 2

MN

MN

MN


Perhatikan RST!

H G

E F

D C

A B

N

4

4

8

N

M

E G

M

12

8 2

4 5

T

D CS

A R B

S

3

2


1 1 16

2 2 13

3 1 27

x y z

x y z

x y z

Misalkan1 1 1

, , dana b cx y z

, sehingga diperoleh

persamaan berikut ini.

a b c 6 ...... (1)

2a 2b c 3 ...... (2)

3a b 2c 7 ...... (3)

(1) (2) a 2b c 6

2a 2b c 3

a b 4 ...... (4)

2(2) (3) 4a 4b 2c 6

3a b 2c 7

a 3b 1 ...... (5)

(4) (5) a 3b 3

a 3b 1

2b 2

b 1

Substitusi nilai b ke Persamaan (4) atau (5).

a b 3 a (1) 3

a 4 a 4

Substitusi nilai a dan b ke salah satu persamaan.

a b c 6 4 (1) c 6

3 c 6 c 9

Sehingga diperoleh,

1 14

4

11 1

1 19

9

a xx

b yy

c zz

Jadi, 19

12 3 2(1) 3

4

1 1 252 2,08

4 3 12

x y z

2. Kunci Jawaban: C

1 2

3 4

1 3 2 4

1 3 3 4

1 2 3 2

3 5 1 4

2 2 3 2

3 5 3 5 1 4

A P BP PP P

P P P PP P P P



RST merupakan segitiga samasisi

karena TR TS RS2 21 ( 3)

1 3 4 2 cm

TR TS

Besar sudut antara bidang TAB dan

TCD adalah 60°


cos 2x cos x 0

2 cos 12

(2x x) cos 12

(2x x) 0

2 cos 32

x cos 12

x 0

2 cos 32

x 0 atau cos 12

x 0

cos 32

x 0

32

x 90° k · 360° atau 32

x 90° k · 360°

x 60° k · 240° x 60° k · 240

k 0 x 60° k 0 x 180°

cos 12

x cos 90°

12

x 90° k · 360°atau 12

x 90° k · 360°

x 180° k · 720° x 180° k · 720°

k 0 180° k 0 x 180°

Maka nilai x yang memenuhi adalah 3

dan jika batas 0 x .


cos 2x 3 sin 2x ditulis dalam bentuk k cos n(x )

n periode 2

a 1, b 3

2 2 2 2( 1) ( 3)

1 3 4 2

k a b

tan3

31

ba

150° atau 330°

Jadi, cos 2x 3 sin 2x 2 cos 2(x 56

)

9. Kunci Jawaban: E

log 3 a dan log 2 b

log 38

3 27log log 27 log 8

8

log (33) log (23)

3 log 3 3 log 2

3a 3b


2 · 9x 3x 1 1 0

2 · (32)x 3x · 3 1 0

Misalkan 3x a2 · a2 3a 1 0

(2a 1)(a 1) 0

2a 1 atau a 1

2a 12

1 12 2

3 11 2

2

3

log

1 3 1

0

x

x

a

x

ax

Maka HP 3 1

20, log

P1

2P3

3 P2

2P4

2

P1

3 2P3

P2

2 2P4

3P1

5P3

1 3P2

5P4

4

3(3 2P3) 5P

3 1 3(2 2P

4) 5P

4 4

9 6P3

5P3

1 6 6P4

5P4

4

P3

8 P4

10

P3

8 P4

10

P1

2P3

3 P2

2P4

2

P1

2(8) 3 P2

2( 10) 2

P1

13 P2

18

Jadi, matriks 13 18

8 10P

3. Kunci Jawaban: D

x2 4x 3 0

(x 1)(x 3) 0

x 1 atau x 3

2x1

5 2(1) 5 7 7

2x2

5 2(3) 5 11 11


(x 7)(x 11) 0 x2 18x 77 0

4. Kunci Jawaban: D

U3

a 2b 13 a 2bU

7a 6b 29 a 6b

16 4bb 4

13 a 2b13 a 2(4)

13 a 8

a 5

U25

a 24b 5 24(4)

5 96

101

Sn12

n(a Un)

S25

12

(25)(5 101)

12,5 106

1.325

5. Kunci Jawaban: B

U1

a 25 m S25

45

25

1 1

ar

r 4m

515

25

125 m

6. Kunci Jawaban: A

c2 a2 b2 2ab cos c49 25 36 2(30) cos c

60 cos c 12

2 · 5 · 6 cos 12

2 2

1cos 1, 5

5

25 1 24

xc x rr

y r x

24 2 6 2sin 6

5 5 5

yACBr

7. Kunci Jawaban: D

cos 2x cos x 0, untuk 0 xIngat rumus: cos A cos B



3 pria dari 7 : 7C

3

735

3 (7 3)

2 wanita dari 9 : 9C

2

936

2 (9 2)

Jadi, banyak susunan panitia yang dibentuk adalah

35 36 1.260 cara.


(4 3) (5 7) (6 12) (7 11) (8 7)

3 7 12 11 7

2526,3

40

x


( )( )f g x f(g(x)) 42x 1

f(2x 1) 42x 1

f(2x 1) 4(2x 1) 2

f(x) 4x 2 22x 4


Misalkan sepeda A adalah x dan sepeda B adalah y.

x y 25 ...... (1)

600.000x 800.000y 16.800.000 ...... (2)

F(x, y) 100.000x 120.000y

Eliminasi x dari Persamaan (1) dan (2)

x y 25 6 6x 6y 150

6x 8y 168 1 6x 8y 168

2y 18

y 9 x 16

F(x, y) 100.000 (16) 120.000 (9)

1.600.000 1.080.000 2.680.000


lim (4 5) 2 1x

x x x

2

2 2

lim 4 5 (2 1)

1lim 4 5 4 4 1

4

x

x

x x x

x x x x

Petunjuk:Jika a p maka diperoleh

2 2lim2x

b qax bx c px qx ra


2 2

2 10 02

2

2 102

1 102 2

lim lim1 cos 1 (1 2 sin )

lim2 sin

lim 1 2 22 sin sin

x x

x

x

x xx x

xx

x xx x


Luas ABCD 2 r

Luas 12

lingkaran 12

r2

Luas kusen 2 r 12

r2

L2

2 212

4 2 4

k k

D C

A 2r B

r r

Keliling ABCD 2 4r

Keliling 12

lingkaran 12

(2 r) r

Keliling kusen 2 4r rK (4 )r 2

r 2

4

K


f(x) cos3 xf (x) 3 cos x( sin x)

3 cos x sin x


12

32

4 120

424 1

3 30

3 24 13 4

4 13 4

43

20 23 3

2

4 (4) 0

64 (16

(8) 4

6

V x x dx

x x


2 28 sin cos 4 sin 2x x x dx x x dx

Misalkan u 4x2 du 8x dxdv sin 2x dx

v sin 2x dx 1

2 cos 2

2 1 12 2

2

4 cos 2 cos 2 8

2 cos 2 4 cos 2

u dv uv v du

x x x x dx

x x x x dx

Misalkan a 4x da 4 dxdb cos 2x dx

b sin 2x dx 1

2 sin 2x

28 sin cosx x x dx2x2 cos 2x 2 sin 2x cos 2x C


( 4) 3(4) 82

4 4

( 3) 3(9) 246

4 4

2 3( 6) 164

4 4

P

P

P

x

y

z

y

x 4y 1

2x

y122x

xO 4


Sehingga diperoleh P(2, 6, 4)

2 2 2

4 2 6

PB 3 6 9

2 4 2

PB ( 6) ( 9) (2)

36 81 4 121


Misalkan P(x) dibagi 2x2 5x 3 mempunyai hasil bagi H(x)

dan sisa Ax B, maka:

P(x) (2x 1)(x 3) · H(x) Ax B

P(x) dibagi (2x 1) sisanya 12

17P , sehingga:

12

A B 17 ...... (1)

P(x) dibagi (x 3) sisanya P( 3) 3, sehingga:

3A B 3 ...... (2)

Dari Persamaan (1) dan (2) diperoleh:

12

A B 17

3A B 13

72

A 14

A 4 B 15

Jadi, P(x) dibagi 2x2 5x 3 memiliki sisa 4x 15.



x2 y2 6x 2y 15 0 di titik (7, 2)

x1

7, y1

2, A 6, B 2, dan C 15

x1x y

1y 1

2A(x x

1) 1

2B(y y

1) C 0

7x 2y 12

( 6)(x 7) 12

(2)(y 2) 15 0

7x 2y 3x 21 y 2 15 0

4x 3y 34 0


Persamaan parabola dengan F(6, 3) dan P(1, 3)

a p 6, b 3, a 1

a p 6 1 p 6 p 5

Persamaan parabola:

(y b)2 4p(x a)

(y 3)2 4( 5)(x 1)

y2 6y 9 20x 20

y2 6y 20x 29 0


Persamaan garis singgung elips x2 2y2 2 0 sejajar dengan

garis 2x y 1 0 maka m 2

2 2 2

2

1 2

2 1(2) 2

2 6

2 6 atau 2 6

y mx a m b

y x

y x

y x y x


0 1 1 0

1 0 0 1

0 1

1 0

x xy yx xy yx yy x

Sehingga diperoleh,

x y y xy x x y

2x 3y 1 0

2( y ) 3( x ) 1 0

2y 3x 1 0

3x 2y 1 0


( p q) ( p q)

(p q) (p q)

(p q) ( p q)


I. p q p qp pq q (tidak sah)

II. p q p qq r q rp r p r (sah)

III. p ( p q) p p qp q p q

p p (sah)


T

A RV

P U Q

2

2

Perhatikan TUR!

TU 2 2TQ UQ 2 22 1 3

UV2 TU2 TV2 2 · TU · TV · cos

22 2 2( 3) ( 3) 2 3 3 cos

4 3 3 6 cos

6 cos 6 4

6 cos 2

cos 13


D

A B

H G

E F

D C

A B

Perhatikan ADB!

Segitiga ADB adalah segitiga siku siku samakaki sehingga besar

sudut 45°




1. Kunci Jawaban: A

2 log x log(2x 5) 2 log 2

log x log(2x 5) log 2

x (2x 5) · 4

x 8x 20

x 8x 20 0

(x 10) (x 2) 0

x 10 atau x 2

HP: {x | 2 x 10}

2. Kunci Jawaban: E

AB AC xBC yK AB AC BC 8

x x y 8

2x y 8

y 8 2x . . . (i)

Rumus Phytagoras

AB AC BCx x y

2x y . . . (ii)

Substitusikan (i) dan (ii)

2x (8 2x)

2x 64 32x 4x2x2 32x 64 0

2 (x2 16x 32) 0

2

1, 2

1 2

16 ( 16) 4 32 16 128

2 2

16 8 28 4 2

2

8 4 2 atau 8 4 2

x

x AB x AB

3. Kunci Jawaban: B

Misalkan umur ayah x umur Budi y

x 7 6 (y 7)

x 7 6y 42

x 6y 35 . . . (1)

2(x 4) 5 (y 4) 9

2x 8 5y 20 9

2x 5y 21 . . . (2)

Persamaan (1) dan (2)

2x 12y 70

2x 5y 21

7y 91

y 13

x 6 (13) 35

x 78 35

x 43

2 10

4. Kunci Jawaban: A

Rumah Luas (m2)

Tipe A (x) 100

Tipe B (y) 75

100x 75y 10.000

x y 125

(i) 100 75y 10.000

(ii) 100x 100y 12.500

25y 2.500

y 100

x 125 100 25

Tipe A x 25 unit

Tipe B y 100 unit

Keuntungan (25 6.000.000) (100 4.000.000)

150.000.000 400.000.000

550.000.000

5. Kunci Jawaban: D

b2 a2 c2 2 · a · c · cos 30

(60)2 (30)2 2 (60) (30) . 12

3

3600 900 1800 3

4500 1800 3

900 (s 2 3 )

b 30 12

5 2 3

6. Kunci Jawaban: A

1 1 1 12 2 2 21 1 1 12 2 2 2

1 1 14 4 41 1 14 4 4

sin 165 sin (120 45)tan 165

cos 165 cos (120 45)

sin 120 cos 45 cos 120 sin 45

cos 120 cos 45 sin 120 sin 45

3 . 2 ( ) . 2

. 2 3 . 2

6 2 2 ( 3 1)

2 6 2 ( 1 3)

( 3 1)3 1

3 1( 3 1)

A B

C

a 60

c 30

b . . .

30


3 3 3 1 4 2 3

23 3 3 1

2 ( 2 3)2 3

2

7. Kunci Jawaban: D

2

2 2 2

2 3 cos 2sin . 3 cos 3 0

3 cos 2sin .cos cos sin 3 0

x x x

x x x x x

Ingat:2 2cos sin 1x x

2 2 2

2 2

2 3 cos 2sin cos 3 cos sin 0

3 cos 2sin cos 3 sin 0

x x x x x

x x x x

Dibagi2cos x

3 2 tan 3 tan 0x xMisalkan: tan x y

3 2 3 0

3 1 3 0

13 , atau 3

3

y y

y y

y y

3 tan 3y x tan x tan 120

x 120 k. 180

k 0 x 120 k 1 x 300

tany x tan x tan 30

x 30 k.180

k 0 x 30

k 1 x 210

HP :{30, 120, 210, 300}

8. Kunci Jawaban: D

Banyak bola 5 4 3 12

Peluang terambil 2 bola merah:

2

5! 4 55 10

3! 2! 2C cara

Peluang terambil 1 bola biru:

1

4!4 4

1! 3!C cara

Peluang terambil dua bola merah dan satu bola biru

3

10 4 40

12 220

4 2

22 11

C

9. Kunci Jawaban: B

fi 50

xi fi 1250

1250

50

25

xi fixfi

xi f i xi · fi

13 5 65

18 6 108

23 12 276

28 18 504

33 9 297


Lingkaran pusat (1, 4) dan menyinggung garis 3x 4y 2 0

2 2

3.(1) 4.(4) 2 153

53 4r

L (x 1)2 (y 4)2 32

x2 2x 1 y2 8y 16 9

x2 y2 2x 8y 8 0


Persamaan lingkaran: x y 25

Tegak lurus dengan garis 2y x 3 0

atau y 312 2

x , maka gradien m 2


22 5 ( 2) 1

2 5 5

y x

x

y 2x 5 5 atau y 2x 5 5


BG U1

U2

U3

U4

U5

U6

U7

Tali terpanjang a U1

384

Tali terpendek 47 6

U7

ar 6

384 r 6 6

r 6 164

r 12

1711282

7 1 12 2

384 1384 (1 )

1

384

S

3127

1282 3 127 2 762


BA: U1

a 50.000

U2

a b 55.000

U3

a 2b 60.000

U3

U2

a 2b 60.000

a b 55.000

b 5.000

S24

[2 . (50.000) (24 1) . 5000]

[100.000 115.000]

12 (215.000) 2.580.000.


1 2 4 3

3 4 2 1

4 2 4 313 1 2 14 6

2 14 3

3 12 1

2 2

6 5

5 4

X

X

X

X


A (1, 2, 3) , B (3, 3, 1) , C (7, 5, 3)

3 1 2

AB 3 2 1

1 3 2


7 3 4

BC 5 3 2

3 1 4

2 4

AB : BC 1 : 2

2 4

2 2

1 : 2 1

2 2

1 : 2


Peta kurva: x'' 2 y'' y'' . . . (*)

12

12

12

12

2 0 0 1

0 2 1 0

0 2

2 0

0

0

0 21

0 ( 4) 2 0

x'' xy'' y

xy

x''y''

x x''y y''

y''xy x''

x 12

y'' y'' 2x

y 12

x'' x'' 2y

Substitusi ke (*)

( 2y) 2 2x (2x)2

2y 2 2x 4x2

y 2x2 x 1


Misalkan: Modal awal M0

Suku bunga bMn M

0 (1 b) M

0 (1 b)2 . . .

M0 (1 b)n

Rasio r2(1 )

1 11

b bb

Sehingga,

0

0

0

5

5

5

(1 ) (1 ) 1

1 1

(1 ) (1 ) 1

1.000.000, 15% 0,15 : 5

(1, 15) (1, 15) 11.000.000

0,15

1.150.000 (1, 15) 1, 15 1

0,15

n

n

n

M b bM

bM b b

bM b n

M


0

0

0

0

4 1 2 2lim

1 2 1 2 1 2 1 2

4 1 2 1 2lim

(1 2 ) (1 2 )

4 1 2 1 2lim

4

lim 1 2 1 2

1 1 (1 1) 2

x

x

x

x

x x xx x x x

x x x

x x

x x x

xx x


30

2

30

2

30

0

sin 3 sin 3 cos 2lim

2

sin 3 sin 3 (1 2 sin )lim

2

sin 3 1 (1 2 sin )lim

2

sin 3 2lim

x

x

x

x

x x xx

x x xx

x x

xx 2sin

2

x3

30

0 00

sin3 sin sin 3lim dikali

3

sin 3 sin sin3lim lim lim

3

3 1 1 1 3

x

x xx

xx x x

xx x x

x x x


S f(t) 3 1t

f(8) 3 8 1 24 1

25 5


K 3p 4l 120

4 l 120 3p

l 30 3

4p

L p (l l) p 2l

p 2 (30 32

p )

p (60 32

p ) 60p 232

p

Agar L maksimum maka L 0

60 3p 0

3p 60

p 20 m


Misalkan: Biaya C 4x 800 1200 1

C 4x2 800x 120

C minimum, maka C1 0

C1 8x 800 0

8x 800

x 100



F(x) 2 23 cos (3 5 )x x

F(x) y 2 2cos (3 5 )

3x x

y23u

Dengan u cos x dan x 3x2 5x

13

132 2

22

2

2 2 2

2 2 23

2( sin ) (6 5)

3

2cos (3 5 ) sin (3 5 )(6 5)

3

2 sin(3 5 ) 2(6 5) cos (3 5 )

3 3cos (3 5 )

2 1(6 5) tan (3 5 ) (cos (3 )

3 3

2(6 5) tan (3 5 cos (3 5 )

3

dy dy du dxdx du dx dx

u x x

x x x x x

x xx x xx x

x x x x x

x x x x x


02

0

3 3 1x x dx . . .

Misalkan: u 3x 1

du 6x dx12

dx 3x dx

1 1

2 2

3

2

3

2

3

2

3 3

2 2

1 1

0 0

1

0

12

0

2

1 1

2 2

1 2

2 3

1(3 1)

2

1(3 1) (3 0 1

2

1 74 1 (8 1)

2 2

u du u dx

u

x


Parabola: x2 2x y 0 y x2 2x . . . (1)

Garis lurus: x 2y 0 y2x . . . (2)

(1) (2) : x2 2x2x 0

x2 32

x 0 a 1, b 32

, c 0

D b 4ac2

3 92 4

Luas daerah yang diarsir:

9 94 4

2 2

9 34 2

6 6(1)

27 9

6 48 16

D DLa


5cos x dx cos x · cos2 x · cos2 x dx

cos x (1 sin2 x) (1 sin2 x) dx

cos x (1 2 sin2 x sin4 x) dx

(cos x 2 sin2 x cos x sin4 x · cos x) dx

Misalkan: u sin xdu cos x dx

• 2sin x · cos x dx u2 · du 13

u3 13

sin3 x

• 4sin x · cos x dx u4 · du 15

u5 15

sin5 x

Maka,

(cos x 2 sin2 x cos x sin4 x cos x) dx

cos x · dx 2 2sin x · cos x dx 4sin x · cos x dx

sin x c1

23

sin3 x c2

15

sin5 x c3

sin x 23

sin3 x 15

sin5 x c

dengan c c1

c2

c3


B1

V1 1

34

3r

Diameter B1

panjang diagonal ruang

a 3

Jari jari B1

32

a

B2

V2 2

34

3r

Diameter B2

panjang sisi kubus a

Jari-jari B2 2

a

Maka: V1

V2

4

3

34

3 :2 3

a 3

33

2

3 3:

8 8

3 3 :1

a

aa


A 4 B

E F

H Q G

P

D C

DQ2 HD2 HQ2 BQ2 BP2 PQ2

42 22 2 2( 2) (2 2)

16 4 20 8 8

DQ 2 5 16

BQ 4


BD 2 2

2 2 2

2 2 2

cos2 4 4 2

(4 2) (4) (2 5)

32 2

32 16 20 88 7

32 2 32 2 8 2

BD BQ DQ

x 7, 8 2r

2 2 2 2(8 2) (7)

128 49 79

79 1tan 79

7 7

y r x

yx


BT2 AB2 AT2

2( 3) (1)2 3 1 4

BT 2 · 2

A B

D C

E F

H G

T M

a 3

TM BM1

2BT 1

AM2 AT2 TM2

12 12

1 1 2

AM 2


Misalkan: p Budi rajin belajar

q Ia menjadi pandai

r Ia lulus ujian

1. p q2. q r3. rKesimpulan yang sah

I. p qq rp r

Jika Budi rajin belajar maka ia lulus ujian.

Kesimpulan: Budi lulus ujian.


1. Kunci Jawaban: C

Eliminasi z dari Persamaan (1) dan (2)

x 2y 3z 11

2x 2y 3z 4

3x y 7 ....... (4)

Eliminasi z dari Persamaan (2) dan (3)

x 2y 3z 11 1 x 2y 3z 11

x 2y 3z 3 3 3x 6y 3z 9

4x 4y 20 ..... (5)

Eliminasi y dari Persamaan (4) dan (5)

3x 4y 7 4 12x 4y 28

4x 4y 20 1 4x 4y 20

16x 48

x 3

Substitusi nilai x ke Persamaan (4) atau (5)

3(3) y 7 9 y 7 y 2

Substitusi nilai x dan y ke salah satu persamaan.

x 2y 3z 11

3 2( 2) 3z 11 3 4 3z 11

3z 12

z 4

Jadi, x y z 3 ( 2) 4 5

2. Kunci Jawaban: D

1 2 2 3 1 2, ,

3 4 0 1 3 4A B C

1 2 1 2 2 3 1 2( ) ( )

3 4 3 4 0 1 3 4

2 4 1 5

6 8 3 5

3 1

3 3

A C B C

3. Kunci Jawaban:

2x2 4x 1 2x2 4x 1 0 maka a 2, b 4, c 1

x1

x2

( 4)2

2

ba

x1 · x

2

1 1

2 2

ca

2 21 2

1 13 3

x x2 2 2

2 1 1 2 1 22 2

2 1 2 1

2 12

2 11

42

( ) 26

( ) ( )

(2) 2 4 120

x x x x x xx x x x

2 21 2

1 13 3

x x

2 21 2

2 21 2

2 2 2 21 2 1 2

2 21 2

2 21 2 1 2 1 2

21 2

22 1 12 2

212

1 3 1 3

1 3 3 9

1 3( ) 2 9( )

( )

1 3(2) 2 965

x xx x

x x x xx x

x x x x x xx x

Jadi, persamaan kuadrat yang baru adalah x2 20x 65 0

4. Kunci Jawaban: C

U2

8

U6

8

Un a (n 1)b Un a (n 1)bU

2a (2 1)b U

6a (6 1)b

8 a b ..... (1) 8 a 5b ..... (2)

Eliminasi a dari Persamaan (1) dan (2)

a 5b 8

a 5b 8

4b 16

b 4 a 12

Un a (n 1)bU

7 12 (7 1)( 4)

12

5. Kunci Jawaban: A

U1

a Jumlah penduduk pada tahun 1950

1950, 1960, 1970, 1980, 1990, 2000

3,2 juta

r 2, n 6, U6

3,2 juta

U6

ar5 a · 25 3,2 juta

a 5

3,2 juta

2

3,2 juta

32

0,1 juta

100.000

6. Kunci Jawaban: E

s 12

Keliling ABC12

(AB BC AC)

12

(15 13 14) 12

42 21

A

C 13 B

D

1415

KUNCI JAWABAN DAN PEMBAHASANPREDIKSI 1



214

17

1 17 7

21(21 13)(21 14)(21 15)

(21)(8)(7)(6)

7.056 84 12 cm

BD

7. Kunci Jawaban: E

cos 2x 3 sin x 1 0

(1 2 sin2 x) 3 sin x 1 0

2 sin2 x 3 sin x 1 1 0

Misalkan sin x a2a2 3a 2 0

(2a 1)(a 2) 0

a 12

atau a 2

Sehingga,

sin x 12

atau sin x 2 (tidak memenuhi)

sin x 30° ; 150°

1516

5 6 66

30HP ,

150

xx

8. Kunci Jawaban: C

3 cos (x ) 3 sin (x ) dalam bentuk k cos (x a)

3 cos ( ) 3 cos3, 3

3 sin ( ) 3 cos

x x a bx x

22 2 23 3 9 3

12 2 3

k a b

3 1tan 3

3 3

120 ; 300

ba

Sehingga,

43 cos ( ) 3 sin ( ) 2 3 cos

6x x x

9. Kunci Jawaban: Arlog p 5 · qlog r 3 · plog q 1

5 rlog p · 3 qlog r · ( 1) plog q ( 5)( 3)( 1) rlog p · plog q · qlog r 15


2 · 22x 17 23 2x

2 · 22x 23 · 2 2x 17 0

2 · 22x2

8

2 x 17 0

Misalkan 22x a

2a 8

a 17 0 .... kedua ruas dikali a

2a2 8 17a 0

2a2 17a 8 0

(2a 1)(a 8) 0

Sehingga diperoleh,

a 12

atau a 8

22x 2 1 22x 23

2x 1 2x 3

x1

12

x2

23

Jadi, x1

x2

1 22 3

1


10

( ) 3 (10 3)

8

n rnC

r n r4

93

10

1 2 3120 cara


Nilai fi xi fi xi

13 15 3 4 12

16 18 4 7 28

19 11 9 10 90

12 14 6 13 78

15 17 2 16 32

fi 24 fi xi 240

Rataan240

1024

x


( )( )f g x f(g(x) 12x2 32x 26

f(2x 3) 3(4x2 12x 9) (4x 6) 5

f(2x 3) 3(2x 3)2 2(2x 3) 5

f(x) 3x2 2x 5


Misalkan mobil adalah x dan bus adalah y10x 20y 300 ...... (1)

x y 324 ...... (2)

x 0 dan y 0

f(x, y) 1.000x 3.000y

Eliminasi x dari Persamaan (1) dan (2)

10x 20y 300 1 10x 20y 300

x y 24 10 10x 10y 240

10y 60

y 6 x 18

Titik Pojok f(x,y) 1.000x 3.000y

(18, 6) Rp36.000,00

(24, 0) Rp24.000,00

(0, 15) Rp45.000,00

Jadi, hasil maksimum tempat parkir tersebut adalah Rp45.000,00.

y

x18 24 30

24

15

6

O

x y 24

(18, 6)

10x 20y 300



2 2

0

2 2

0

lim (3 1) 9 11 9

lim 9 6 1 9 11 9

x

x

x x x

x x x x

6 ( 11) 5Karena maka

62 2 9

b qa pa


30

30

2

30

2

30

2

0

0

2

0

tan 2 cos 8 tan 2lim

16

tan 2 (cos 8 1)lim

16

tan 2 (1 2 sin 4 1)lim

16

tan 2 ( 2 sin 4 )lim

16

tan 2 2 sin 4lim

4 4

tan 2 sin 2 2lim ( 2)

2 2 2

1lim ( 2)(2) 4

2

x

x

x

x

x

x

x

x x xx

x xx

x xx

x xx

x xx x

x xx x


x 2y 20 ...... (1)

1,5x 0,5y 10 ...... (2)

x 0, y 0

Titik potong Persamaan (1) dan (2)

x 2y 20 3 3x 6y 60

1,5x 0,5y 10 2 3x 6y 20

5y 40

y 8 x 4

Jadi pakaian akan maksimum jika jumlah model I dan II masing

masing adalah 4 dan 8.


f(x) sin 2(2x 3)

f(x) sinn x dxf (x) n sinn 1 x (cos x)

Jadi, f (x) 2 sin (2x 3) cos (2x 3) · 2

4 sin (2x 3) cos (2x 3) 2 sin (4x 6)


2 2

1 2 2 2

0

1 4

0

12 51 1

2 0

2 51 12 5

1 12 5

( ) ( )

( ) ( )

( )

(1) (1) 0

3 9

10 30

b

a

y

V f y g y dy

y y dy

y y dy

y y


2( 1) cosx x dx Misalkan u x2 1 du 2x dx

dv cos x dx

v cos sinx dx x

2

2

( 1) sin sin

( 1) sin sin 2

u dv uv v du

x x x du

x x x x dx

Misalkan a 2x da 2 dxdb sin x dx

b cos x

2 sin 2 ( cos ) ( cos ) 2

2 cos 2 sin

x x dx x x x dx

x x x C

Sehingga,

u dv (x2 1) sin x 2x cos x 2 sin x C

x2 sin x sin x 2x cos x 2 sin x C (x2 1) sin x 2x cos x C


AB (5 2, 0 ( 3), 1 4)

(3, 3, 3)

AP : AB 2 : 3

2 3

2 3 3 3

4 3

xyz

2x 4 9 2y 6 9 2z 4 9

2x 13 2y 3 2z 5

x 132

y 32

z 52

13 52 23 72 25 52 2

2 25 572 2 2

25 49 254 4 4

99 34 2

4

2

5

PC

11

PC


x4 x3 10x2 9x 5 dibagi x2 3x 2

Faktor faktor dari x2 3x 2 adalah (x 1) dan (x 2)

f(1) 14 13 10(1)2 9(1) 5

1 1 10 9 5 4

f(2) 24 23 10(2)2 9(2) 5

16 8 40 18 5 3

( ) ( ) ( ) ( )( )

4 ( 3) 1( 3) 2( 4)

1 2 1 2

3 815

1 1

f a f b af b bf aS x xa b a b

x

x x

x

y

x y

x y2

a b p q




x2 y2 4x 2y 20 0 di titik P(5, 3)

x1

5 dan y1

3, A 4, B 2, dan C 20

x1x y

1y 1

2A(x x

1) 1

2B(y y

1) C 0

5x 3y 12

( 4)(x 5) 12

(2)(y 3) ( 20) 0

5x 3y 2x 10 y 3 20 0

3x 4y 27 0


Persamaan parabola dengan titik puncak P( 4, 2) dan titik fokus

F(2, 2) a 4, b 2 dan a p 2

Sehingga diperoleh,

a p 2 4 p 2 p 6

Maka persamaan parabola adalah

(y b)2 4p(x a)

(y 2)2 4( 6)(x 4)

(y 2)2 24(x 4)

y2 4y 4 24x 96

y2 4y 24x 92 0


16x2 9y2 64x 54y 1 0 sejajar garis x y 4 0, maka

gradien elips adalah m 1.

16x2 9y2 64x 54y 1

2 22( 2) ( 3)

129 16

x y

Persamaan garis singgungnya adalah

y q m(x p)2 2 2a m b

y 3 1(x 2) 2(9)(1) 16

y 3 x 2 25

y1

x 2 5 3 x 10

y2

x 2 5 3 x


0 1 0 1

1 0 1 0

1 0

0 1

x xy y

xy

x xy y

Sehingga diperoleh,

x x x xy y y y

x 2y 4 0

x 2( y ) 4 0

x 2y 4 0


(p q) pp q p


I. p q p qq qp p (tidak sah)

II. p qr qp r (sah)

III. p q p qq r q r

r p p r (tidak sah)


T

D C

A BPQ

H G

E F

D C

A B

T

S4

8

8

4 2

Sudut antara TAD dan alas adalah

PQ 12

AB 3

TP 3

tan13

33

3

TPPQ

tan 30° atau 210°

2 2

1 12 2

2 2

8 8 8 2 cm

8 2 4 2 cm

4 (4 2) 16 32 4 3 cm

AC

AS AC

TS



KUNCI JAWABAN DAN PEMBAHASANPREDIKSI 2


1. Kunci Jawaban: B

I.2log (x2

2x) 3

(x2 2x) 2

3 8

x2 2x 8 0

(x 4) (x 2) 0

x 4 atau x 2

HP I: 2 x 4

II. x2 2x 0

x (x 2) 0

x(x 2) 0

x 0 atau x 2

HP II: x 0 atau x 2

Jadi, HP: {x 2 x 0 atau 2 x 4}

2. Kunci Jawaban: C

Misalkan PQ x dan QS yPQ QT RT PR TS x RS 2x

KPQRS PQ PR RS QS14 x x 2x y14 4x y y 14 4x . . . . (i)

Dengan rumus Pythagoras :

QT2 TS2 QS2

x2 x2 y2

2x2 y2 . . . . (ii)

Subtitusi Persamaan (i) ke Persamaan (ii)

2x2 (14 4x)

2x2 196 112x 16x2

196 112x 14x2 0

14 8x x2 0

2

1 2

8 8 4(1)(14) 8 64 56

2(1) 2

8 8 8 2 24 2

2 2

4 2 atau 4 2

x

x x

Jadi, panjang RS adalah 8 2 2 cm atau 8 2 2 cm .

P Q

R ST

3. Kunci Jawaban : E

Misalkan umur Sultan x, Ari y, dan Ayah z.

x y 6 . . . . (1)

(x 18) (y 18) z 18 . . . . (2)

14 4 4

2x y z . . . . (3)

Persamaan (ii) dapat ditulis:

x 18 y 18 z 18

x y z 18 . . . . (4)

Persamaan (3) dapat ditulis:

14 4 4

2x y z

2x 8 2y 8 z 4

2x 2y z 4 16

2x 2y z 12 . . . . (5)

Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh:

x y z 18

2x 2y z 12

x y 30 . . . . (6)

Dari persamaan (1) dan (6) diperoleh:

x y 6

x y 30

2x 36

x 18

Subtitusi nilai x ke persamaan (1)

18 y 6 y 12

Subsitusi nilai x 18 dan y 12 ke persamaan (4):

x y z 18

18 12 z 18

z 18 30

z 48

Jadi, x y z 18 12 48 78 tahun.

4. Kunci Jawaban: C

Kayu (kg) Plastik (kg) Kaca (kg)

Produk A 1 3 2

Produk B 3 4 1

2400 3700 1300

Misalkan: Produk A xProduk B y

x 3y 2400 . . . (i)

3x 4y 3700 . . . (ii)

2x y 1300 . . . (iii)

Substitusi Persamaan (i) dan (iii)

x 3y 2400 1 x 3y 2400

2x y 1300 3 6x 3y 3900

5x 1500

x 300


Substitusi x 300 ke (ii)

3(300) 4y 3700

4y 2800 y 700

Pendapatan max (300 Rp40.000) (700 Rp60.000)

Rp12.000.000 Rp42.000.000

Rp54.000.000

5. Kunci Jawaban: C

b2 a2 c2 2 · a · c · cos 150º

102 152 2 · 10 · 15 · 1

32

100 225 150 3

325 150 3

25 (13 6 3 )

b 5 13 6 3

6. Kunci Jawaban: D

sin 255º sin 75º

sin (45 30)º

(sin 45º cos 30º cos 45º sin 30º)

1 1 1 12 3 2

2 2 2 2

16 2

4

7. Kunci Jawaban: A

sin 2x sin x, di mana 0 x 2

sin 2x sin x 0

Ubah dulu menjadi persamaan

sin x sin x 0

1 12 2

32

3 12 2

3 12 2

2 cos (2 ) sin (2 ) 0

12 cos sin 0

2

cos 0 atau sin 0

cos 0 atau sin 0

x x x x

x x

x

x x

32

32

32

3

cos 0

cos cos 90

90 360

60 atau

x

x

x k

x x

a 10 km

c 15 km

b

C

AB150º

1

0

1

00

a 2

32

32

12

12

cos 90

90 360

60 240

180 atau

sin sin 0

0 360

0 720 0

x

x k

x kx x

x

x k

x k x

12

12

sin sin 180

180 360

360 720

360 atau 2

x

x k

x kx x

1

0

1

00

a2

a3

232

1

0

1

32

22

2

0

2

HP: { x | 0 x3

atau x 2 }

8. Kunci Jawaban: C

Banyaknya cara ahli kimia yang terpilih:

6! 6 5 4!6 4

4! 2! 2 1 4!

15 cara

Banyaknya cara ahli biologi yang terpilih:

5 3

5! 5 4 3!

3! 2! 2 1 3!C

10 cara

Banyaknya cara yang dapat dilakukan dalam pemilihan itu

adalah: 15 1 150 cara.

9. Kunci Jawaban: C

i i

i

f xx

f , di mana xi nilai tengah data.

(3 137) (5 142) (8 147) (10 152) (9 157) (5 162)

3 5 8 10 9 5

411 710 1176 1520 1413 810

40

6040151

40

x


AB diameter lingkaran

12

2 2

jari-jari

8 6 100 10

5

r AB

ABr

Titik pusatnya 7 1 6 2

, (4, 2)2 2


m tan 120° 3

Persamaan garis singgungnya

22 3( 4) 5 ( 3) 1

2 3 4 3 10

3 4 3 10 2

3 4 3 12 atau 3 4 3 8

y x

y x

y x

y x y x


x2 y2 2x 4y 4 0

(x 1)2 1 (y 2)2 4 4

(x 1)2 (y 2)2 9

Pusat (1,2) dan r 9 3

Sejajar dengan 5x 12y 15 0

5x 12y 15 0 y 115 15 5

12 12 12x m

sejajar : m1

m2

5

12

Persamaan garis singgung lingkaran adalah:

25 5

2 1 3 112 12

y x

5 392 1

12 12y x

12y 24 5x 5 39

12y 5x 29 39

y1

29 395 5 17

12 12 12 3x x

y2

29 395 5 5

12 12 12 6x x


1 5

4

5

U

r

Panjang lintasan U1

U2

U3

. . . S

45

4 5 525

1 451S

rJadi panjang lintasan 25 meter.


U1

10 , U3

150

2b 150 110 b 20

U15

a 14b 110 14(20) 390


1

31 2

24 31

2 2 2 1 1

A B C

A

32

2 2 2 8 4

2 0 5 21 1

x yx y

2 (x 2y)3

2 ( 2x y) 8

2x 4y 3x 3

2 y 8

x 5

2 y 8 . . . (i)

x 2y ( 2x y) 5

x y 5 . . . (ii)

(i) dan (ii) x 5

2y 8

x y 5

3

2y 3

y 2

Substitusi y 2 ke (ii)

x 2 5 x 3

maka nilai x y 3, 2 5


A a (3, 2, 1), B b (2, 1, 3)

C c (2, m, n)

a c 3 (3, 2, 1) · (2, m, n) 3

6 2m n 3 2m n 3 . . . (i)

b c 2 (2, 1, 3) (2, m, n) 2

4 m 3n 2 m 3n 6 . . . (ii)

(i) dan (ii)

2m n 3 1 2m n 3

m 3n 6 2 2m 6n 12

5n 15 n 3

Substitusi n 3 ke (i)

2m 3 3

2m 6 m 3

Jadi C c (2, 3, 3)

AC (2, 3, 3) (3, 2, 1) ( 1, 5, 2) p

AB (2, 1, 3) (3, 2, 1) ( 1, 3, 4) q

Proyeksi skalar ortogonal p pada q.

2 2 2

p q ( 1, 5, 2)( 1, 3, 4)

q ( 1) ( 3) ( 4)

1 15 8 8 8 426 26

26 131 9 16 26


Garis: 4x y 5 0

13

13

1 13 3

4 13 3

3 0 0 1

0 3 1 0

0 3 3

3 0 3

3

3

4 5 0

5 0

4 15 0

x xy y

x yy x

y y y x

y x x

y x

y x

y xPeta garisnya adalah x 4y 15 0


Nilai jual barang tahun 2003 mNilai jual barang tahun 2007 m(1 p)7



2

123 32 2

9 2lim lim

4 7 17 2

2

x xx x

x x x

2 2

3 3lim 2 7 2 lim 7

x xx x

2 16 2 4 8


2 2

4 4

1 sin2 1 sin2lim lim

cos 2 1 sin 2x x

x xx x

4

1 sin 2lim

1 sin 2 1 sin 2x

xx x

4

1lim

1 sin2x x

1 1

1 1 2


g(x) 3x 1

f(g(x)) 9x2 12x 8

f(3x 1) 9x2 12x 8

f( 2) . . .

f(3x 1) (3x 1)2

6x 1 12x 8

(3x 1)2

6x 7

(3x 1)2

2 (3x 1) 5

f(x) x2 2x 5

f( 2) ( 2)2

2 ( 2) 5

4 4 5 13


V a2 t 32

V minimum, maka V 0

Misalkan:m a2 m 2an t n 1

• V 2at a2· 1 0

a22at

a 2t• V ( 2t)2

· t 32

4t3 32

t3 8

Jadi, t 2 atau t 42

.


Misalkan biaya proyek B(x)

B(x) x (3x 900 120

x ) 3x2 900x 120

Biaya proyek minimum : B (x) 0

6x 900 0

6x 900

x 150

Jadi, agar biaya proyek minimum harus diselesaikan dalam

150 hari.


y cos (3 4x2)2

cos (9 24x2 16x4

)

Misalkan: u 9 24x2 16x4

u' 48x 64x3

y cos 4 y' sin u

3sin ( 48 64 )dy dy u x xdx du

16x (3 4x2) sin 4

16x (3 4x2) sin (9 24x2

16x4)

16x (3 4x2) sin (3 4x2

)2


( 5) 4 3x x dx

Misalkan: u x 5 dan u' 1

dv31

2 229

(4 3 ) (4 3 )x dx v x

3 32 2

3 52 2

32

1 29 9

2 2 29 9 15

2 29 15

( 5) 4 3

( 5) (4 3 ) (4 3 )

( 5) (4 3 ) (4 3 )

(4 3 ) ( 5) (4 3 )

x x dx

x x x dx

x x x C

x x x C


y x x2 2

x2 x 2 0

(x 2)(x 1) 0

x 2 atau x 1

12

2

12

2

12 31 1

2 3 2

2 3 2 31 1 1 12 3 2 3

81 12 3 3

91 1 16 3 2 2

( 2)

2

2

1 1 2 1 ( 2) ( 2) 2( 2)

2 2 4

1 ( 3 ) 4

L x x dx

x x dx

x x x


3sin cosx x dx Misalkan u sin x

du cos x dxSehingga,

3 3sin cosx x dx u du

41

4u C

41sin

4x C


Volume tabung VT2r t

3,14 x 102 x 20

6280 cm3

Volume bola VB34

3r

343,14 10

3

4186,7 cm3

y

x

y x2 2

y xx 2


Volume air VT VB

6280 4186,7

2093,3 cm3


12

2 2 2 2

2 2 2 2 2

8 2, 4 2

8 4

80

( 80) (4 2)

80 32

112

4 7

CH HI CH

HM HE EM

MI HM HI

MI


Sudut antara TPQ dan PQR adalah sudut TOR.

tan TOR3

25

TROR

OR 1 12 2

10 5QR

A B

D C

H G

E F

M

I

8

8

8

T

Q

P

OR 90

10

10

III. q p q pq r q r

tan TOR3 2

5 5

TR

TR 3 2


I. p qq rp r

soal: p qq rr p

II. p qp

p qq r

q

Soal: p qpq

p qq rp q

Soal: q pq rp q

Argumen yang benar adalah II dan III.

PT LITERATUR MEDIA SUKSES 117

1. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan

2 log x log (2x 5) 2 log 2 adalah . . . .

A. 2 x 10 D. 52< x 0

B. 2 < x < 10 E. 0 10x

C. 52

x < 10

2. Keliling segitiga ABC pada gambar adalah 8 cm.

Panjang sisi AB adalah . . . .

A. 4 2 cm

B. 4 2 cm

C. 4 2 2 cm

D. 8 2 2 cm

E. 8 4 2 cm

3. Tujuh tahun lalu umur Ayah sama dengan 6 kali

umur Budi. Empat tahun yang akan datang 2 kali

umur Ayah sama dengan 5 kali umur Budi

ditambah 9 tahun. Umur Ayah sekarang adalah

. . . .

A. 39 tahun D. 54 tahun

B. 43 tahun E. 78 tahun

C. 49 tahun

4. Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun rumah

tipe A dan tipe B. Untuk rumah tipe A diperlukan

100 m2 dan tipe B diperlukan 75 m

2. Jumlah

rumah yang dibangun paling banyak 125 unit.

Keuntungan rumah tipe A adalah Rp6.000.000,00

per unit dan tipe B adalah Rp4.000.000,00 per

unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh

dari penjualan rumah tersebut adalah . . . .

A. Rp550.000.000,00

B. Rp600.000.000,00

C. Rp700.000.000,00

D. Rp800.000.000,00

E. Rp900.000.000,00

5. Sebuah kapal berlayar ke arah timur sejauh

30 mil. Kemudian kapal melanjutkan perjalanan

dengan arah 30° sejauh 60 mil. Jarak kapal

C

A B

terhadap posisi saat kapal berangkat adalah

. . . .

A. 10 37 mil D. 30 (5 2 3) mil

B. 30 7 mil E. 30 (5 2 3) mil

C. 30 (5 2 2) mil

6. Nilai dari tan 165° adalah . . . .

A. 2 3 D. 2 3

B. 1 3 E. 2 3

C. 1 3


22 3 cos 2 sin cos 1 3 0x x x u n t u k

0 x 360 adalah . . . .

A. 60°, 240°, 270°, 330°

B. 60°, 150°, 270°, 330°

C. 60°, 120°, 150°, 300°

D. 30°, 120°, 210°, 300°

E. 30°, 150°, 240°, 330°

8. Sebuah kotak berisi 5 bola merah, 4 bola biru

dan 3 bola kuning. Dari dalam kotak diambil

3 bola sekaligus secara acak, peluang terambil

2 bola merah dan 1 bola biru adalah . . . .

A. 110

D. 211

B. 536

E. 411

C. 16

12.

1817161514131211109

65

10,5 15,5 20,5 25,5 30,5 35,5

Data

Frekuensi

118 PT LITERATUR MEDIA SUKSES

Nilai rataan dari data pada diagram tersebut adalah

. . . .

A. 23 D. 28

B. 25 E. 30

C. 26

10. Persamaan lingkaran yang berpusat di (1, 4) dan

menyinggung garis 3x 4y 2 0 adalah . . . .

A. x2 y2 3x 4y 2 0

B. x2 y2 4x 6y 3 0

C. x2 y2 2x 8y 8 0

D. x2 y2 2x 8y 8 0

E. x2 y2 2x 8y 16 0

11. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran

x2 y2 25 yang tegak lurus garis

2y x 3 0 adalah . . . .

A. 512 2

5y x

B. 12

5 5y x

C. 2 5 5y x

D. y 2x 5 5

E. y 2x 5 5

12. Seutas tali dipotong manjadi 7 bagian dan panjang

masing-masing potongan membentuk barisan

geometri. Jika panjang potongan tali terpendek

sama dengan 6 cm dan panjang potongan tali

terpanjang sama dengan 384 cm, panjang

keseluruhan tali tersebut adalah . . . .

A. 378 cm D. 762 cm

B. 390 cm E. 1.530 cm

C. 570 cm

13. Seorang anak menabung di suatu bank dengan

selisih kenaikan tabungan antarbulan tetap. Pada

bulan pertama sebesar Rp 50.000,00 bulan kedua

Rp55.000,00, bulan ketiga Rp60.000,00 dan

seterusnya. Besar tabungan anak tersebut selama

dua tahun adalah . . . .

A. Rp 1.315.000.00 D. Rp 2.580.000,00

B. Rp 1.320.000.00 E. Rp 2.640.000,00

C. Rp 2.040.000.00

14. Matriks X berordo (2 2) yang memenuhi

1 2 4 3

3 4 2 1X adalah . . . .

A.6 5

5 4D.

4 2

3 1

B.5 6

4 5E.

12 10

10 8

C.6 5

5 4

15. Diketahui A(1, 2, 3), B(3, 3, 1), dan C(7, 5, 3).

Jika A, B, dan C segaris (kolinier), perbandingan

AB : BC . . . .

A. 1 : 2 D. 5 : 7

B. 2 : 1 E. 7 : 5

C. 2 : 5

16. Persamaan peta suatu kurva oleh rotasi pusat O

bersudut 12

, dilanjutkan dilatasi [0, 2] adalah

x 2 y y2Persamaan kurva semula

adalah . . . .

A. y 12

x2 x 4

B. y 12

x2 x 4

C. y 12

x2 x 4

D. y 2x2 x 1

E. y 2x2 x 1

17. Setiap awal tahun Budi menyimpan modal sebesar

Rp1.000.000,00 pada suatu bank dengan bunga

majemuk 15% per tahun. Jumlah modal tersebut

setelah akhir tahun kelima adalah . . . .

A. Rp1.000.000,00 (1,15)5

B. Rp1.000.000,00 5(1,15 1)

0,15

C. Rp1.000.000,00 4(1,15 1)

0,15

D. Rp1.150.000,00 5(1,15 1)

0,15

E. Rp1.150.000,00 4(1,15 1)

0,15

18.0

4lim

1 2 1 2x

xx x . . . .

A. 2 D. 2

B. 0 E. 4

C. 1

19.30

sin 3 sin 3 cos 2lim

2x

x x xx

. . . .

A. 12

D. 2

B. 23

E. 3

C. 32

20. Persamaan gerak suatu partikel dinyatakan

dengan rumus ( ) 3 1s f t t (s dalam meter

dan t dalam detik). Kecepatan partikel tersebut

pada saat t 8 detik) adalah . . . .


A. 310

m/det D. 3 m/det

B. 35

m/det E. 5 m/det

C. 32

m/det

21. Kawat sepanjang 120 m akan dibuat kerangka

seperti pada gambar. Agar luasnya maksimum

panjang kerangka (p) tersebut adalah . . . .

A. 16 m

B. 18 m

C. 20 m

D. 22 m

E. 24 m

22. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang

dapat diselesaikan dalam x jam, dengan biaya

per jam (4x 800 120x

) ratus ribu rupiah. Agar

biaya minimum, produk tersebut dapat

diselesaikan dalam waktu . . . .

A. 40 jam D. 120 jam

B. 60 jam E. 150 jam

C. 100 jam

23. Turunan dari 2 23 cos (3 5 )x x adalah

F (x) . . . .

A.13 2 22

3cos (3 5 ) sin (3 5 )x x x x

B.13 22

3(6 5) cos (3 5 )x x x

C.13 2 22

3cos (3 5) sin (3 5 )x x x

D. 2 2 2323

(6 5) tan (3 5 ) cos (3 5 )x x x x x

E. 2 2 2323

(6 5) tan (3 5 ) cos (3 5 )x x x x x

24.1

2

0

3 3 1x x dx . . . .

A. 72

D. 43

B. 83

E. 23

C. 73

25.

Luas daerah yang diarsir pada gambar

adalah . . . .

p

l

l

x 2y 0

x2 2x y 0

O 1 2

1

y

x

A. 916

satuan luas D. 18

2 satuan luas

B. 2 satuan luas E. 38

2 satuan luas

C. 12

2 satuan luas

26.5cos x dx . . . .

A.61

6cos sinx x C

B.61

6cos sinx x C

C.3 52 1

3 5sin sin sinx x x C

D.3 52 1


E.3 52 1


27. Pada kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk

a satuan, terdapat bola luar dinyatakan B1 dan

bola dalam dinyatakan B2. Perbandingan volume

bola B1 dan bola B2 adalah . . . .

A. 3 3 : 1 D. 3 : 1

B. 2 3 : 1 E. 2 : 1

C. 3 : 1


rusuk 3 cm dan titik T pada AD dengan panjang

AT 1 cm. Jarak A pada BT adalah . . . .

A. 12

cm D. 2 cm

B. 13

3 cm E. 23

3 cm

C. 12

3 cm


Titik P dan Q masing-masing terletak pada

pertengahan CG dan HG. Sudut antara BD dan

bidang BPQE adalah , nilai tan . . . .

A. 38

2 D. 32

2

B. 17

79 E. 2 2

C. 79

30. Diketahui premis-premis berikut ini.

1. Jika Budi rajin belajar maka ia menjadi pandai.

2. Jika Budi menjadi pandai maka ia lulus ujian.

3. Budi tidak lulus ujian.

Kesimpulan yang sah adalah . . . .

A. Budi menjadi pandai.

B. Budi rajin belajar.

C. Budi lulus ujian.

D. Budi tidak pandai.

E. Budi rajin belajar.


1. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan2log (x2 2x) 3 adalah . . . .

A. {x 4 x 2 atau x 0}

B. {x 2 x 0 atau 2 x 4}

C. {x 0 x 2 atau x 4}

D. {x x 2 atau 4 x 0}

E. {x x 4 atau x 2}

2. Keliling trapesium PQRS pada gambar adalah

14 cm. Panjang RS adalah . . . .

A. 4 2 2 cm

B. 4 2 cm

C. 8 2 2 cm

D. 8 2 cm

E. 2 2 cm

3. Umur Sultan dan Ari berselisih enam tahun.

Delapan belas tahun lagi jumlah umur mereka sama

dengan umur Ayah. Empat tahun yang lalu jumlah

umur mereka sama dengan setengah umur Ayah.

Jumlah umur Sultan, Ari, dan Ayah sekarang

adalah . . . .

A. 48 tahun D. 76 tahun

B. 42 tahun E. 78 tahun

C. 60 tahun

4. Sebuah pabrik mempunyai kayu, plastik, dan kaca

masing-masing 2.400 kg, 3.700 kg, dan 1.300 kg.

Produk A memerlukan kayu, plastik, dan kaca.

Masing-masing 1 kg, 3 kg, dan 2 kg. Produk Bmemerlukan masing-masing 3 kg, 4 kg, dan 1 kg.

Jika produk A dijual seharga Rp40.000,00 dan

produk B seharga Rp60.000,00 maka pendapatan

maksimum pabrik tersebut adalah . . . .

A. Rp 64.000.000,00

B. Rp 62.000.000,00

C. Rp 54.000.000,00

D. Rp 48.000.000,00

E. Rp 46.000.000,00

5. Sebuah mobil melaju ke arah Barat 15 km.

Kemudian mobil melanjutkan perjalanan dengan

arah 150º sejauh 10 km. Jarak mobil terhadap

posisi saat mobil berangkat adalah ....

A. 5 13 6 3 km

B. 5 13 6 3 km

C. 5 13 6 2 km

D. 5 13 6 7 km

E. 5 7 km

6. Nilai dari sin 255º adalah . . . .

A. 2 6

B.1

2 64

C.1

2 64

D.1

6 24

E.1

6 24


sin 2x sin x, untuk 0 x 2 adalah . . . .

A. {x 0 x3

atau x 2 }

B. {x 0 x6

atau x 23

1 }

C. {x6

x atau 56

1 x 2 }

D. {x x6

atau x 56

1 }

E. {x3

x atau 23

1 x 2 }

8. Dari 6 ahli kimia dan 5 ahli biologi, dipilih 7 anggota

untuk sebuah panitia, di antaranya 4 adalah ahli

kimia. Banyaknya cara yang dapat dilakukan

P Q

R ST


dalam pemilihan itu adalah . . . .

A. 25 D. 300

B. 50 E. 600

C. 150

9.

Rataan dari data pada diagram adalah . . . .

A. 153,5 D. 149

B. 152 E. 148,5

C. 151

10. Salah satu persamaan garis singgung yang

bersudut 120° terhadap sumbu x pada lingkaran

dengan ujung diameter titik (7, 6) dan (1, 2)

adalah . . . .

A. y x 3 4 3 12

B. y x 3 4 3 8

C. y x 3 4 3 4

D. y x 3 4 3 8

E. y x 3 4 3 4

11. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran

2 2+ -2 +4 -4=0x y x y yang sejajar dengan garis

5 -12 +15=0x y adalah . . . .

A.5 5

12 6y x

B.5 5

6 12y x

C.5 17

12 3y x

D.5 17

4 3y x

E.5 5

4 12y x

12. Sebuah kelereng jatuh dari ketinggian 5 m dan

memantul kembali dengan ketinggian 45

kali tinggi

sebelumnya, demikian seterusnya sampai kelereng

berhenti. Panjang lintasan kelereng adalah . . . .

A. 55 m D. 40 m

B. 50 m E. 25 m

C. 45 m

10

8

5

33

5

8

10

9

4

134,5 139,5 144,5 149,5 154,5 159,5 164,5

f

13. Grafik hasil produksi suatu pabrik per tahun

merupakan suatu garis lurus. Jika produksi pada

tahun pertama 110 unit dan pada pada tahun ketiga

150 unit, maka produksi tahun ke-15 adalah ....

A. 370 D. 430

B. 390 E. 670

C. 410

14. Diketahui matriks A 2 3

2 4,

B2 2

2 0

x yx y dan C

8 4

5 2.

Jika A 1B C dan A 1 invers matriks A, maka

nilai x y . . . .

A. 5 D. 3

B. 3 E. 5

C. 1

15. Diketahui titik A(3, 2, 1), B(2, 1, 3), C(2, m, n)

dan vektor _ _ _

a, b, c berturut-turut vektor posisi titik

A, B, C. Jika a c 3, b c 2, AC_

p dan

AB q , maka proyeksi skalar ortogonal vektor

_

p pada q adalah . . . .

A. 1214

28 D. 813

26

B. 1114

28 E. 413

26

C. 1213

26

16. Persamaan peta garis 4x y 5 0 karena rotasi

pusat O sebesar 32

dilanjutkan dilatasi [0, 3]

adalah . . . .

A. x 4y 5 0 D. x 4y 5 0

B. x 4y 15 0 E. x 4y 15 0

C. x 4y 15 0

17. Suatu barang diperkirakan akan mengalami

pengurangan harga setiap tahunnya sebesar p%.

Jika nilai jual barang tersebut pada tahun 2003

adalah M rupiah, maka nilai jual barang itu pada

tahun 2010 adalah . . . .

A.

7

1 rupiah100

pM M

B.

8

1 rupiah100

pM M

C.

7

1 rupiah100

pM


D.

6

1 rupiah100

pM

E.

8

1 rupiah100

pM

18.

2

23

9lim . . . .

4 7x

x

x

A. 0 D. 8

B. 5 E. 10

C. 6,5

19. 2

4

1 sin 2lim . . . .

cos 2x

xx

A.1

2D.

1

4

B. 0 E.1

16

C.1

2

20. Diketahui: g(x) 3x 1

f(g(x)) 9x2 12x 8.

Nilai f( 2) . . . .

A. 17 D. 9

B. 15 E. 5

C. 13

21. Dari selembar karton akan dibuat kotak tanpa tutup

yang alasnya berbentuk persegi dengan volume

32 m3. Supaya karton yang diperlukan minimum

maka tinggi kotak adalah . . . .

A. 12

m D. 42

m

B. 22

m E. 82

m

C. 32

m

22. Suatu proyek pembangunan gedung sekolah dapat

diselesaikan dalam x hari dengan biaya proyek

per hari 1203 900x

x ratus ribu rupiah. Agar

biaya proyek minimum, maka proyek tersebut

diselesaikan dalam waktu . . . .

A. 40 hari D. 120 hari

B. 60 hari E. 150 hari

C. 90 hari

23. Turunan pertama dari y cos (3 4x2)2 adalah

y . . . .

A. 2 sin (3 4x2)

B. 16x sin (3 4x2)

C. 16x sin (3 4x2)2

D. 16x(3 4x2) sin (3 4x2)2

E. 16x(3 4x2) sin (3 4x2)2

24. Hasil 5 4 3x x dx . . . .

A.322 2

9 154 3 {( 5) (4 3 )}x x x C

B.13222

94 3 {( 5) (4 3 ) }x x x C

C.322

94 3 {( 5) (4 3 )}x x x C

D.322 2

9 154 3 {( 5) (4 3 )}x x x C

E.13222

94 3 {( 5) (4 3 ) }x x x C

25. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y x2 2,

y x, x 2 dan sumbu -y adalah . . . .

A. 92

satuan luas D. 52

satuan luas

B. 103

satuan luas E. 23

satuan luas

C. 83

satuan luas

26.3sin cos ....x x dx

A.41

sin4

x C D.21

sin3

x C

B.41

cos4

x C E.41

sin3

x C

C.21

cos4

x C

27. Sebuah tabung berjari-jari 10 cm dan tinggi 20 cm

diisi air sampai penuh. Sebuah bola kaca padat

berdiameter 20 cm, dimasukkan ke dalam tabung

tersebut. Volume air yang masih ada dalam tabung

tersebut . . . .

A. 6.280 cm3 D. 2.093,3 cm3

B. 4.186,7 cm3 E. 10.466,7 cm3

C. 4.186,6 cm3


Jika M titik tengah AE maka jarak M dan CHadalah . . . .

A. 4 7 cm D. 2 19 cm

B. 4 6 cm E. 6 2 cm

C. 4 5 cm


29. Diketahui bidang empat T.PQR, TR tegak lurus

bidang PQR, PRQ 90° dan PR QR 10 cm.

Jika tan (TPQ, PQR) 35

2 , maka TR . . . .

A. 4 cm D. 5 2 cm

B. 3 2 cm E. 8 cm

C. 6 cm

30. Diketahui argumentasi

I. p q II. p q III. q p q r p q r

r p q p rYang merupakan argumentasi sah adalah . . . .

A. Hanya I D. Hanya II & III

B. Hanya I & II E. Hanya III

C. Hanya I & III

kompilasi soal uan sma

Documents