kompal 1st

Download kompal 1st

Post on 30-Oct-2015

68 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

PENDAHULUAN1.1 Latar Belakang MasalahMetode Broyden adalah salah satu merupakan salah satu algoritma untuk mencari solusi dari sistem persamaan non linier. Sebelumnya telah dikenal Algoritma sejenis yang dikembangkan oleh Newton-Raphson. Sebenarnya Metode Newton Raphson merupakan metode yang sering digunakan untuk menyelesaian persamaan taklinear. Tetapi untuk variable lebih dari satu metode ini tidak efektiv karena memerlukan iterasi yang banyak dan pemilihan nilai awal harus tepat agar tidak memerlukan waktu yang lama. Dalam hal ini Metode Broydens sangat efektif menentukan solusi numerik persamaan taklinear untuk variabel lebih dari satu. Metode broydens disebut juga metode quasi Newton dan merupakan perumuman dari metode secant.Pada metode Newton terdapat proses pendeferensialan yang mungkin akan membutuhkan energi yang besar. Contoh kasus terhadap fungsi di bawah ini :f(x) = 5x10 -9x9 + x + 100.1)

f(x) =.2)Untuk mencari f dari fungsi 2) tentu akan diperlukan usaha yang lebih besar dibandingkan fungsi 2). Makin kompleks bentuk fungsinya maka usaha yang diperlukan untuk mencari f tentu akan semakin besar. Oleh karena itu dilakukan usaha agar proses pendeferensialan dapat dihilangkan, dengan menggunakan definisi dari f itu sendiri.Ide metode ini adalah untuk mengubah bentuk :

xm+1 xm - menjadi bentuk

xm+1 xm - dengan

Dm Sehingga persamaan menjadi :

xm+1 xm - Untuk mengimplementasikan persamaan diatas maka ambil hm = xm-1-xm untuk m = 1, 2, 3,.. sehingga persamaan diatas menjadi metode Quasi-Newton(Broyden) dengan bentuk :

xm+1 xm-f(xm) Pada metode ini diperlukan dua titik awal karena untuk dapat mengetahui xm+1 harus diketahui nilai xm dan xm-1.

1.2 Tujuan PenulisanDalam Laporan ini kami akan memperumum persamaan diatas untuk mencari solusi sistem persamaan non linier dengan beberapa variabel.Software yang kami gunakan untuk implementasi kali ini adalah Matlab R2009, pencarian solusi digunakan dengan menggunakan fungsi for untuk Iterasi yang diinputkan oleh user., Dengan mengupdate nilai dari Jacobian dan Perubahan nilai dari x, dan perubahan nilai dari f(x) (fungsi yang diinputkan user)Selanjutnya untuk bagian yang lebih mendetail.,seperti rincian Algoritma broyden., beberapa m.file yang kami implementasikan akan dibahas di bagian pembahasan.Harapan kami Semoga penulisan makalah ini bermanfaat bagi penulis dan pembaca pada umumnya. Amien

PEMBAHASAN2.1 Pengertian Metode BroydenMisalkan fungsi g : Rn Rn memiliki komponen fungsi yg kontinu turunan parsial pertamanya, Rn dan matriks nxn. Maka barisan metode Broyden {} (dengan titik awal untuk menyelesaikan system g(x) = 0 didefinisikan melalui rumus terasi :

2.2 Algoritma Metode BroydenLangkah penyelesaian 1) Menentukan titik awal, 2) Menentukan awal, 3) Menyelesaikan () = - g() untuk x dan memberi nilai = x 4) Memberi nilai = dan = g() g() 5) Menentukan nilai berikutnya dengan rumus

6) Ke Langkah 3, sampai iterasi yang dikehendaki

Implementasi Metode ini ditujukan untuk menyelesaikan sistem persamaan non linier yang terdiri atas 2 atau lebih persamaan non linier..Bentuk umum dari persamaan ini adalah

F1(x1,x2,x3,....,xn)=0F2(x1,x2,x3,.....xn)=0 .......... ............ .........Fn(x1,x2,x3,......xn)=0

Penyelesaian sistem ini terdiri atas himpunan bilangan x yang secara simultan memberikan nilai dari semua persamaan ini sama dengan nol.

Untuk Proses Awal dari Metode ini dibutuhkan Inisialisasi Matriks Jacobian dari persamaan persamaan non linier yang kita inputkan

Yang dimaksud dengan matriks Jacobian adalah Matriks dari semua orde pertama turunan parsial dari vektor lain, dalam hal ini adalah vektor yang dimaksud adalah vektor persamaan non linier yang kita inputkan untuk pertama kalinya.

Misalkan F:Rn -> Rm adalah fungsi euclidean dari n ruang ke m ruang.Fungsi seperti ini diberikan oleh m ruang fungsi komponenY1(x1,x2,x3....,xn)..,.., Ym(x1,x2,x3,......, xn)Turunan parsial dari semua fungsi fungsi ini jikalau ada dapat dipetakan ke dalam m oleh n matriks.

2.3 Inisialisasi Jacobian

Secara umum bentuk matriks Jacobian dari f adalah

Matriks ini juga dilambangkan sebagai Jf(x1,x2....,xn) , jika (x1,x2,....,xn) adalah koordinat kartesius ortogonal biasa. Determinan jacobian adalah determinan dari matriks jacobian jika m=n (matriks persegi)

m.file yang digunakan untuk mencari matriks jacobian

clc;clear all;syms a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z v=input('Variabel apa saja yang ingin digunakan(dalam matriks baris) :'); n=input('Mau input berapa persamaan :');q=length(v);if(q==n) display('inputan sudah benar silahkan lanjut');else msgbox('Masukkan hanya matriks persegi bro.. :','error','warning'); sim2;end for i=1:n A(:,i)=input('masukkan nilai fungsi:'); D=jacobian(A,v);

z=num2cell(v);xo=input('inputkan nilai awalnya:'); Do=subs(D,z,xo)

Program diatas akan menginisialisasi nilai Jacobian berdasarkan fungsi yang diinputkan ,sehingga dapat menjadi dasar untuk menentukan Do (Nilai Jacobian setelah dievaluasi dengan nilai awal)

2.4 Program Utama Metode Broyden

Syntax Program Utama :

function[broyden] = BroydenContoh(A,b,x0,n)clcsyms a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z

disp('Metode Broyden Untuk Penyelesaian Sistem Persamaan Non Linear')disp(' ')v=input('Masukkan variabel-variabel yang ingin digunakan (vektor baris):')cr=input('ada berapa persamaan yang ingin diinput? :'); for(i=1:cr) A(i,:)=input('Masukkan Fungsi:') D=jacobian(A,v); end b=input('Vektor kolom nilai ruas kanan persamaan : ')x0=input('Vektor kolom nilai solusi awal : ')n=input('Maksimum Iterasi : ');[r c] = size(D); if (n