Klaksifikasi Hadron dan Meson sebagaiRepresentasi Uniter pada Sistem Partikel

Elementer

Mulyadi

NPM : 0399020527

Departemen Fisika

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Universitas Indonesia

Depok 2004

Halaman Persetujuan

Skripsi : Klaksifikasi Hadron dan Meson sebagai Representasi Uniter pada

Sistem Partikel Elementer

Nama : Mulyadi

NPM : 0399020527

Skripsi ini telah diperiksa dan disetujui

Pembimbing

Dr.Terry Mart

Penguji I Penguji II

Dr. Anto Sulaksono Dr. L.T. Handoko

Kata Pengantar

Partikel-partikel Subnuklir merupakan kumpulan partikel yang unik. Salah sat-

unya adalah karena beberapa sifat istimewa yang terkait satu sama lain melalui

kesimetrian. Kesimetrian partikel-patrikel ini dapat dipelajari dalam suatu topik

pembelajaran di Fisika yang kerap dikenal sebagai Teori Grup. Sesungguhnya

Teori Grup bukan hanya membahas representasi dan klaksifikasi ”cantik” dari

partikel-partikel subnuklir, namun pada sistem many-body lainnya seperti pada

molekul-molekul dapat dipelajari melalui Teori Grup.

Tepat tanggal 1 juni 2002, Saya ingat pertama kali bertemu Pak Terry di

Salemba untuk membicarakan masalah tugas akhir, karena saya tertarik di bidan-

gnya beliau, Fisika Nuklir-Partikel teoritik. Saya tidak menyangka, karena banyak

masalah dan lain-lain tugas akhir saya terbengkalai sampai bulan maret tahun

ini. Tentu saja topik yang saya bawakan berbeda dengan yang seharusnya saya

dapat kalau saya memulai Skripsi 2 tahun silam. Pemilihan topik ini sangat baik

dilakukan oleh Pak Terry, karena Grup Fisika teoritik di Jurusan kita memang

membutuhkan pengetahuan tersebut, karena ternyata banyak jurnal ilmiah di

bidang nuklir-partikel teoritik ternyata tidak terlepas dengan pembahasan Grup

seperti yang baru saja dilakukan ”Bapak” Nofirwan, S.si pada tugas akhir beliau

semester lalu.

Melalui Kata Pengantar ini, Penulis hendak mengucapkan terima kasih yang

setulusnya kepada pak Terry yang telah dengan sabar dan setia menanti saya

untuk mengerjakan tugas akhir saya, walaupun saya sudah beberapa kali ”bolos”

dari Fisika. Terima kasih juga pada Pak Handoko yang banyak memberi masukan

dan berperan sebagai pembimbing ”tak resmi” saya. Tidak lupa saya ucapkan

terima kasih pada Pak Anto yang sangat mendukung dan memberi semangat

pantang mundur pada para mahasiswa. Selain dosen-dosen di grup kita, Saya

juga hendak mengucapkan terima kasih pada dosen-dosen lainnya yang secara

tidak langsung telah berjasa bagi saya antara lain: Pak Chairul Bahri, yang san-

gat mendukung mahasiswa grup kita, termasuk saya untuk tetap bekerja keras

iii

di Fisika ; Pak Rachmat W.Adi, yang sangat memberi dukungan moral terhadap

studi saya di jurusan Fisika UI; Pak Herbert P.Simanjuntak, yang sangat mem-

pengaruhi apresiasi saya terhadap Fisika; Pak M.Hikam, yang mempercayai saya

menjadi asisten untuk mata kuliah Fisika statistik; Ibu Rosari Saleh, alias ibu

”Oca”, yang banyak memberikan masukan-masukan mengenai hal-hal lain di lu-

ar Fisika selama saya kuliah dengan beliau; dan segenap dosen-dosen lain yang

saking banyaknya tidak bisa saya sebutkan satu-persatu. Dari pihak mahasiswa,

saya tak lupa ucapkan terima kasih kepada, ”Pak” Nofirwan, S.si; Julio, S.si;

Freddy Simanjuntak, S.si; Anton wiranata; Yunita; Nowo Riveli; Ardi mustofa;

dll

Demikian halnya semua yang saya katakan, semoga isi skripsi ini bermanfaat

dan mohon maaf jika ditemukan kesalahan, karena tidak mudah untuk menghin-

dar dari kesalahan.

iv

Daftar Isi

Halaman Persetujuan ii

Kata Pengantar iii

Daftar Isi v

Daftar Gambar vii

Daftar Tabel viii

1 Pendahuluan 1

1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Metode Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Tinjauan Pustaka 7

2.1 Elemen-elemen Teori Grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Definisi Grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.2 Subgrup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.3 Isomorfisme dan Homomorfisme . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.4 Kelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.5 Perkalian Langsung Grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2 Representasi Linier Grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.1 Definisi Representasi Grup . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2.2 Representasi Matriks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.3 Representasi Ekivalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.4 Representasi Uniter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.5 Representasi Iredusibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2.6 Perkalian langsung Representasi . . . . . . . . . . . . . . . 20

v

2.2.7 Perkalian Luar Representasi . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.8 Perkalian Dalam . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3 Grup Lie 29

3.1 Transformasi infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2 Konstanta Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3 Generator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.4 Grup Simpel dan Semi-Simpel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5 Aljabar Simpel dan Semi-simpel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.6 Beberapa contoh Grup Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.7 Kekompakan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.8 Penjumlahan langsung dan Semi-langsung dari Aljabar Lie . . . . 48

3.9 Representasi Kontradingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4 Hasil dan Pembahasan 51

4.1 Sifat umum Grup-grup Uniter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.2 Grup SU(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3 Homomorfisme SU(2) dengan R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.4 Multiplet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.5 Grup SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.5.1 Transformasi Infinitesimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.5.2 Osilator harmonik 3 dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.5.3 Diagram Bobot untuk representasi fundamental . . . . . . 66

4.5.4 Pelabelan irreps SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.5.5 Representasi Kompleks Konjugat . . . . . . . . . . . . . . 76

4.5.6 Klaksifikasi Hadron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.5.7 Klaksifikasi Meson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.5.8 Formula massa Gell-Mann – Okubo . . . . . . . . . . . . . 86

4.6 Grup di atas SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4.6.1 Kuark dengan citarasa dan spin . . . . . . . . . . . . . . . 90

Daftar Acuan 94

vi

Daftar Gambar

4.1 Diagram Bobot Representasi Fundamental SU(3) . . . . . . . . . 68

4.2 Aksi dari operator tangga pada bidang I3-Y . . . . . . . . . . . . 68

4.3 Diagram Bobot Tipikal suatu representasi SU(3) dengan λ = 6

dan µ = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.4 Kontur dari suatu diagram bobot . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.5 Diagram Bobot Tipikal SU(3) untuk (λµ)=(11) λ = 6. Diagram

bobot memiliki multiplisitas 2 yang ditandai titik yang dilingkari 77

4.6 Diagram Bobot Tipikal suatu representasi kompleks konjugat 3

SU(3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.7 (a)Oktet Baryon (Jπ = 12

+). (b) Dekuplet Baryon (Jπ = 3

2

+) . . . 83

4.8 (a)Meson pseudoskalar JP = 0−.(b) Meson vektor JP = 1− . . . . 85

4.9 Plot Chew-Frautschi dari keadaan-keadaan qq yang menunjukkan

momentum sudut orbital, L terhadap kuadrat massa . . . . . . . 87

vii

Daftar Tabel

1.1 Beberapa kesimetrian dalam Fisika . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1 Tabel perkalian grup S3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1 Sifat matriks yang relevan terhadap definisi bermacam grup kontinu 43

3.2 Macam-macam Grup Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.1 Nilai-nilai Konstanta dklm yang didefinisikan menurut dan . . . . 63

4.2 Kemungkinan nilai-nilai Y dan I untuk . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.3 Karakteristik baryon-baryon bermassa rendah . . . . . . . . . . . 82

4.4 Dimensi dari irreps SU(N). Partisi yang dilarang ditandai dengan * 91

viii

Bab 1

Pendahuluan

Alam semesta kita ini sangat menarik dan unik. Salah satu ”keajaiban” alam

yaitu terdapatnya kesimetrian. Kesimetrian merupakan atribut alamiah dalam

dunia fisis dan oleh karena itu merupakan titik awal dari segala hukum fisis.

Untuk mempelajari kesimetrian , Kita akan menggunakan Teori Grup, karena

teori grup merupakan cabang matematika yang cocok untuk mempelajari kes-

imetrian sistem-sistem fisis. Dasarnya adalah Hamiltonian ataupun Lagrangian

dari sistem, karena kesimetrian suatu sistem fisis dinyatakan oleh Lagrangian dan

Hamiltonian sistem tersebut. Teori Grup dapat menjelaskan berbagai keteratu-

ran sifat dan besaran fisis yang teramati dan dapat membantu menyederhanakan

dan menyatukan hukum fisika dari sistem-sistem yang jelas berbeda. Teori grup

merupakan ”alat” yang bermanfaat untuk memahami perilaku sistem dimana ter-

dapat kesimetrian di dalamnya. Berkaitan dengan kesimetrian, dalam skripsi ini

juga akan dibahas mengenai kesimetrian yang dipelajari dalam mekanika kuan-

tum. Mula-mula terdapat kesimetrian permutasi untuk partikel identik, yang

tekait pada grup simetrik. Peran dari grup simetri ini adalah untuk menjamin

bahwa fungsi gelombang partikel dapat mencakup sifat ketidakdapat-terbedakan

secara tepat dan sesuai. Selain itu Kesimetrian juga merupakan sifat alamiah

dari alam , karena beberapa hal cenderung memiliki preferensi yang sama.

1.1 Latar Belakang

Ide awal dari teori grup sebagai cabang dari ilmu matematika berawal pada aw-

al abad 19. Pada akhir abad 19, dan awal abad 20, perkembangan teori grup

secara signifikan dilakukan oleh Frobenius, Schur, Lie, dan Cartan. Peran teori

grup secara esensial baru disadari pada sekitar tahun 1920-an, bersamaan de-

ngan pengembangan teori representasi dari Grup, yang sangat terkait erat dengan

1

mekanika kuantum.

Pada zaman sekarang, dalam perkembangan fisika modern, khususnya pada

bidang fisika energi tinggi, kesimetrian memainkan peran yang sangat penting

dan sangat diperlukan. Saat ini, para fisikawan percaya bahwa semua interaksi

fundamental dapat dideskripsikan melalui teori gauge, yaitu teori yang menje-

laskan kesimetrian gauge. Aspek lain yang tak kalah penting adalah perluasan

teori dari grup Lie ke pembahasan kesupersimetrian. Konsep-konsep ini sedang

diaplikasikan ke fisika partikel, teori medan kuantum (Quantum Field Theory),

dan gravitasi dalam bentuk teori string dan superstring. Latar belakang pemil-

ihan topik ini adalah untuk mempelajari topik Teori Grup secara literatur dan

menggunakannya dalam representasi uniter untuk kasus partikel-partikel subnuk-

lir.

1.2 Perumusan Masalah

Dalam mekanika kuantum, terdapat 5 macam kesimetrian . Beberapa diantaranya

dan konsekuensinya diringkas pada tabel 1.1.

1. Kesimetrian permutasi diskret

Dalam mekanika kuantum, nilai ekspektasi besaran-besaran fisika tidak

berubah terhadap permutasi partikel-partikel identik. Transformasi per-

mutasi membentuk sebuah grup yang disebut grup simetrik Sn

2. Kesimetrian ruang-waktu kontinu

(a) Translasi dalam ruang

r′ = r + ρ (1.1)

Dalam kasus ini kesimetrian terjadi berdasarkan asumsi kehomogenan

ruang. Ini artinya kita dapat memilih sembarang koordinat titik asal,

atau dengan kata lain : Tidak terdapat posisi absolut. Hal ini berlaku

untuk sistem terisolir dan mengakibatkan potensial interaksi antara 2

partikel tidak bergantung pada pemilihan titik asal koordinat sistem.

Konsekuensi dari kesimetrian ini adalah hukum kekekalan momentum

linier.

2

(b) Translasi waktu

t′ = t + t0 (1.2)

Kesimetrian terjadi berdasarkan asumsi kehomogenan waktu. Ini artinya

waktu awal dapat dipilih secara sembarang, suatu fenomena fisis dapat

dilakukan pada sembarang waktu, atau dengan kata lain: Tidak ter-

dapat waktu absolut. Hal ini berlaku untuk sistem yang konservatif,

dimana medan luar tidak bergantung waktu. Lagrangian dan Hamil-

tonian sistem yang demikian tidak bergantung waktu dan konsekuensi

dari kesimetrian ini adalah hukum kekekalan energi.

(c) Rotasi dalam ruang 3 dimensi

x′ = Rijxj (i, j = 1, 2, 3) (1.3)

dimana xi adalah komponen-komponen dari suatu vektordan Rij adalah

matriks rotasi. Kesimetrian rotasi berasal dari asumsi keisotropikan

ruang atau ketiadaan preferensi arah. Kesimetrian ini juga menun-

jukkan bahwa sifat dari suatu sistem tidak bergantung pada orien-

tasi sistem tersebut di dalam ruang. Konsekuensi dari kesimetrian ini

adalah hukum kekekalan momentum angular.

(d) Transformasi Lorentz

x′µ = Λµνx

ν (µ, ν = 0, 1, 2, 3) (1.4)

dimana xν merupakan suatu titik di dalam ruang-waktu Minkowski.

Persamaan(1.4) merupakan transformasi Lorentz antara 2 sistem yang

bergerak relatif secara beraturan. Dalam relativitas khusus, Hukum-

hukum fisis diformulasikan sedemikian sehingga hukum tersebut iden-

tik untuk semua kerangka acuan inersial. Dalam batas non relativistik,

hukum fisika invarian terhadap transformasi galileo, yaitu bahwa tidak

terdapat kecepatan absolut. Konsekuensi dari kesimetrian ini adalah

hukum kekekalan yang terkait dengan generator dari grup Lorentz.

3. Kesimetrian ruang-waktu diskret

(a) Pembalikan ruang (pencerminan), P , dimana

Pr = r′ = −r (1.5)

3

Dalam mekanika kuantum, operasi pembalikan ruang didefinisikan oleh

operator uniter yang menghasilkan suatu bilangan kuantum yang dise-

but paritas, yang selalu kekal pada setiap interaksi alam, kecuali pada

interaksi lemah.

(b) Pembalikan waktu, T , dimana

t → −t (1.6)

Ini adalah perubahan arah aliran waktu. Diperkenalkan dalam mekani-

ka kuantum oleh Wigner tahun 1932. Hukum-hukum fisika secara

umum simetrik terhadap waktu, kecuali misalnya untuk peluruhan

K0

(c) Transformasi-transformasi simetri dari point groups, yang merupakan

jenis transformasi dimana paling sedikit satu buah titik dari suatu

sistem benda dalam ruang yang tetap pada posisinya, dan titik pa-

da benda tersebut menempati posisi yang sama setelah transformasi.

Contohnya: rotasi terhadap sumbu tetap dan pencerminan terhadap

suatu bidang.. Untuk material yang tak berhingga (tak tercacah),

sepeti kisi kristal, translasi terhadap segmen tertentu juga temasuk

agar diperoleh kesimetrian dasar dalam fisika molekul dan zat padat.

4. kesimetrian besaran internal kontinu

Berkaitan dengan transformasi-transformasi yang bekerja dalam ruang de-

rajat kebebasan intrinsik pada partikel-partikel subnuklir, sebagai contoh,

spin, cita rasa (flavor), color. Flavor F merupakan suatu derajat kebebasan

yang bergantung pada beberapa derajat kebebasan lainnya yaiu: isospin I,

hypercharge Y ,Charm C,Beauty B, dan Topness T . Kesimetrian in-

ternal lebih sulit untuk dipelajari karena tidak nyata bila dibandingkan

dengan Grup simetri. Pengalaman menunjukkan bahwa beberapa trans-

formasi yang relevan akan membentuk grup yang uniter. Secara khusus,

Keinvarianan terhadap transformasi-transformasi yang dideskripsikan de-

ngan grup uniter U(1) akan menghasilkan kekekalan bilangan muatan dan

partikel (khusus untuk Lepton, dan Baryon). Kesimetrian isospin dari in-

teraksi kuat, yang dideskripsikan oleh SUI(2), merupakan pengejawantahan

dari (hampir) kedegenerasian massa proton dan neutron. Bentuk alternatif

lainnya adalah kesimetrian SUF (2) yang menjelaskan kedegenerasian massa

kuark up dan down.

4

Asumsi teoritik Transformasi simetrik Konsekuensi

Ketidakterbedakan partikel identik Permutasi Statistik Fermi-DiracKehomogenan Ruang Translasi Ruang Kekekalan Momentum LinierKehomogenan Waktu Translasi Waktu Kekekalan EnergiKeisotropikan Ruang rotasi 3 dimensi Kekekalan Momentum AngularKetiadaan kecepatan absolut Transformasi Lorentz Kekekalan Generator Grup Lorentz

Tabel 1.1: Beberapa kesimetrian dalam Fisika

5. kesimetrian besaran internal diskret.

(a) Konjugasi muatan, C. Dengan transformasi ini, tanda suatu muatan

listrik berubah dari positif ke negartif dan sebaliknya. Ini merupakan

kesimetrian antara partikel dan antipartikel. Dalam kerangka kerja

persamaan Dirac, konjugasi muatan merupakan operator antiuniter ,

tetapi dalam teori medan merupakan operator uniter. Eksperimen-

eksperimen yang mengkonfirmasi ketidakkekalan paritas dalam inter-

aksi lemah juga memberi bukti terhadap C-violation atau keasimetrian

partikel dan antipartikel.

(b) Paritas-G. Transformasi yang terkait dengan kesimetrian ini merepre-

sentasikan konjugasi muatan yang dikombinasikan dengan rotasi sebe-

sar π di dalam ruang isospin suatu partikel. Dalam interaksi kuat,

paritas-G terkekalkan.

Dalam skripsi ini, pembahasan masalah akan dititik beratkan kepada jenis kes-

imetrian besaran intrinsik kontinu yang terkait langsung dengan Grup Lie kompak

yang akan dibahas mendetail pada bab 3. Sedangkan pembahasan utama akan

mengacu pada klaksifikasi Hadron dan Meson menurut representasi uniter

sebagai aplikasi fisis Grup Lie kompak pada partikel-partikel elementer berenergi

tinggi.

5

1.3 Metode Penelitian

Penelitian yang dilakukan di sini sifatnya hanya teoritik. Karena itu diperlukan

suatu kerangka kerja yang sistematis dalam menerangkan proses-proses fisika yang

terjadi. Kerangka kerja teoritik yang digunakan adalah teori grup dengan bersum-

ber pada beberapa literatur utama, dan karena skripsi ini sifatnya studi literatur,

maka akan terdapat banyak landasan teori dan tinjauan pustaka yang menyertai

sebagai pendahuluan yang komplit terhadap pembahasan utama yang singkat

1.4 Tujuan

Tujuan penelitian ini adalah mempelajari kesimetrian besaran-besaran intrinsik

partikel subnuklir yaitu hadron dan meson melalui teori representasi terutama

melalui representasi yang uniter.

6

Bab 2

Tinjauan Pustaka

2.1 Elemen-elemen Teori Grup

Terdapat beberapa definisi dan pemahaman dasar dalam Teori Grup, antara lain

definisi grup itu sendiri, pengertian kelas, subgrup, dan perkalian langsung.

2.1.1 Definisi Grup

Suatu himpunan G yang terdiri dari elemen-elemen transformasi g membentuk

suatu grup jika memenuhi syarat-syarat berikut:

1. Hasil dari penerapan sembarang transformasi secara berturut-turut

g1 ∈ G, g2 ∈ G

merupakan suatu transformasi baru yang juga terdapat di dalam himpunan

tersebut:

g1g2 = g ∈ G (2.1)

Relasi ini disebut produk atau hukum komposisi

2. Hukum komposisi memenuhi sifat asosiatif untuk semua g1, g2, g3 ∈ G,

(g1g2)g3 = g1(g2g3) (2.2)

3. Salah satu elemen transformasi merupakan elemen identitas, yaitu bahwa

e ∈ G sedemikian sehingga

ge = eg = g (2.3)

7

4. Kalau suatu elemen transformasi terdapat dalam himpunan tersebut, ma-

ka invers dari transformasi itu juga terdapat dalam himpunan tersebut

sedemikian sehingga:

gg−1 = g−1g = e (2.4)

Walaupun sifat asosiatif berlaku untuk semua grup, maka tidak demikian halnya

dengan sifat komutatif. Namun terdapat grup yang memnuhi sifat komutatif,

yang disebut grup abelian. Secara umum, dilihat dari kuantitas elemen dalam

suatu grup, maka grup dapat dibagi menjadi 2 jenis utama, yaitu: (1) Grup

berhingga (finite groups), (2) Grup tak berhingga (infinite groups).

Grup berhingga

Grup berhingga merupakan suatu grup dengan jumlah elemen yang berhingga

N , dengan N menyatakan orde dari grup tersebut. Ada beberapa contoh Grup

berhingga, 2 diantaranya adalah : Grup titik (Point groups) dan Grup simetrik

(Symmetric groups)

1. Grup titik (Point groups)

Grup ini terkait dengan kesimetrian benda dimana minimal satu titik tetap

pada posisi semula setelah proses transformasi terjadi. Transformasi-transformasi

dalam grup ini tidak merubah jark dan dapat dibangun dari 3 jenis trans-

formasi dasar:

(a) Rotasi sudut tertentu terhadap sumbu tertentu

jika sudutnya 2π/n, transformasi tersebut ditandai dengan Cn.

(b) Refleksi terhadap bidang

(c) Translasi

kesimetrian ini terjadi hanya pada benda tak berhingga yang meru-

pakan ekstrapolasi dari benda yang nyata

2. Grup simetrik (Symmetric groups)

Peran Grup simetrik adalah menyediakan fungsi-fungsi gelombang yang

mencakup sifat keidentikan partikel secara tepat dengan memperhitungkan

semua derajat kebebasan sistem. Transformasi yang terdapat dalam Grup

simetrik adalah permutasi, yang menyatakan pertukaran partikel-partikel

8

pembentuk sistem. Semua permutasi yang mungkin dari sekumpulan par-

tikel membentuk Grup simetrik. Sebuah sistem partikel identik dideskrip-

sikan dengan fungsi gelombang yang bersifat simetrik untuk boson dan anti-

simetrik untuk fermion. Pandang n objek dalam urutan 1,2,..,n. Permutasi

menyatakan transisi dari urutan demikian menjadi urutan lain, a1, a2, ..., an.

Notasi untuk transisi ini adalah:

Pa =

(1 2 ... na1 a2 ... an

)(2.5)

Pada persamaan di atas, elemen-elemen dalam suatu kolom dapat saling

dipertukarkan, yang artinya kita dapat mulai dari urutan awal sembarang,

namun kita selalu melakukan pertukaran dari urutan i ke ai . Contoh:

Pa =

(1 2 3 4 55 3 2 1 4

)(2.6)

Jika permutasi di atas ini bekerja pada fungsi gelombang 5-partikel, kita

akan peroleh

Paψ(1, 2, 3, 4, 5) = ψ(5, 3, 2, 1, 4) (2.7)

Permutasidari n objek menghasilkan suatu grup berorde N = n! , dengan

elemen identitas:

Pe =

(1 2 ... n1 2 ... n

)(2.8)

Sedangkan invers dari sembarang elemen Pa adalah

P−1a =

(a1 a2 ... an

1 2 ... n

)(2.9)

Jika dalam grup terdapat suatu elemen permutasi lain

Pb =

(a1 a2 ... an

b1 b2 ... bn

)(2.10)

maka penerapan Pa dan Pb secara berturut-turut, kita akan dapatkan per-

mutasi lain (yang juga merupakan elemen dari grup)

Pc = PbPa

(1 2 ... nb1 b2 ... bn

)(2.11)

9

e (12) (13) (23) (123) (132)

e e (12) (13) (23) (123) (132)(12) (12) e (132) (123) (23) (13)(13) (13) (123) e (132) (12) (23)(23) (23) (132) (123) e (13) (12)(123) (123) (13) (23) (12) (132) e(132) (132) (23) (12) (13) e (123)

Tabel 2.1: Tabel perkalian grup S3

Sebagai contoh:

Pc =

(1 2 3 4 54 3 5 1 2

) (1 2 3 4 55 3 2 1 4

)

=

(5 3 2 1 42 5 3 4 1

)(1 2 3 4 55 3 2 1 4

)

=

(1 2 3 4 52 5 3 4 1

)(2.12)

Grup S3 merupakan salah satu contoh grup permutasi yang cukup sederhana

dan baik untuk dipelajari. Ada 3!=6 elemen grup S3 yaitu:

e =

(1 2 31 2 3

), (12) =

(1 2 32 1 3

), (13) =

(1 2 33 2 1

)

(23) =

(1 2 31 3 2

), (123) =

(1 2 32 3 1

), (132) =

(1 2 33 1 2

)(2.13)

Dari grup ini dapat dirancang tabel perkalian grup yang mengatur aturan perkalian

antar elemen grup seperti yang diperlihatkan pada tabel (2.1):

Grup tak berhingga

Terdapat pula grup dengan banyak elemen tak berhingga. Grup semacam ini

terpecah ke dalam 2 kategori

1. Grup Diskrit

memiliki elemen yang dapat dicacah karena dari satu elemen ke elemen lain

terdapat perbedaan yang jelas

2. Grup Kontinu

memiliki elemen yang kontinu sehingga antara satu elemen ke elemen lain,

10

terdapat banyak sekali elemen sehingga perbedaannya tidak jelas (kontinu).

Namun pada skripsi ini, penekanan akan dilakukan pada grup kontinu de-

ngan jumlah parameter berhingga.

2.1.2 Subgrup

Dari elemen-elemen grup kontinu G maupun diskrit, kita dapat memilih suatu

subset H dan menuliskan

H ⊂ G atau G ⊃ H (2.14)

untuk mengsimbolisasikan bahwa subset H terkandung dalam G. Jika subset H

sendiri membentuk grup, maka H disebut subgrup dari G

Koset

Jika g merupakan salah satu elemen dari G, maka kita dapat membentuk him-

punan elemen-elemen gH dengan mengalikan g dengan semua elemen H, maka

terdapat korespondensi satu - satu antara H dan gH. Jika g ∈ H maka gH

sendiri merupakan subgrup. Namun jika g ∈ G dan tidak dikandung oleh h, ma-

ka gH bukan merupakan suatu grup karena tidak mengandung elemen identitas.

gH yang terbentuk ini disebut sebagai koset kiri (left coset) dari H. Dengan

cara yang analog, dapat didefinisikan koset kanan (right coset) Hg. Sembarang

elemen G merupakan bagian dari baik H, atau salah satu dari kosetnya. Sebagai

contoh perhatikan kembali tabel (2.1) yang terdiri dari 4 subgrup berikut:

H1, e, (12)

H2, e, (13) (2.15)

H3, e, (23)

H4, e, (123), (132)

2.1.3 Isomorfisme dan Homomorfisme

Dua buah grup G dan G′ dikatakan isomorfik jika terdapat korespondensi satu-

satu antara elemen-elemen mereka, yaitu bahwa untuk setiap g ∈ G, terdap-

at satu dan hanya satu g′ ∈ G′, korespondensi g ↔ g′ kekal terhadap hukum

perkalian.

Grup-grup isomorpik memiliki struktur yang sama. Berikut contoh grup yang

11

saling isomorfik:

rotasi π terhadap sumbu-x ↔ (12)(34) ↔ a

rotasi π terhadap sumbu-y ↔ (13)(24) ↔ b

rotasi π terhadap sumbu-z ↔ (14)(23) ↔ c

perkalian 3 rotasi di atas ↔ (1)(2)(3)(4) ↔ e (2.16)

Sedangkan sebuah grup G dikatakan homomorfik dengan G′, jika untuk sem-

barang g ∈ G, terdapat korespondensi antara tiap g′ ∈ G′ dengan minimal satu

g sedemikian sehingga g′1g′2 = g′ atau G → G′. Contoh homomorfisme ada pada

baba 4 pada pembahasan homomorfisme antara SU(2) dengan O(3)

2.1.4 Kelas

Dua elemen a dan b dari grup G dikatakan konjugat satu sama lain jika terdapat

elemen ketiga x0 ∈ G sedemikian sehingga:

b = x0ax−10 atau a = x−1

0 bx0 (2.17)

Jika 2 elemen a dan b konjugat terhadap c, maka ketiganya saling konjugat satu

sama lain.

Kelas konjugasi (ataus kelas) merupakan sehimpunan elemen yang konjugat ter-

hadap suatu elemen tertentu melalui seluruh elemen grup. Dari pembahasan di

atas, dapat disimpulkan bahwa semua elemen dalam sautu kelas saling konjugat

satu sama lain. Elemen-elemen suatu grup dibagi-bagi menjadi kelas-kelas yang

berbeda. Jika kita tandai kelas-kelas dari suatu grup G dengan Ci(i = 1, 2, ..., K),

maka grup tersebut dapat ditulis sebagai gabungan kelas-kelas nya

G = C1 ∪ C2 ∪ ... ∪ CK (2.18)

dimana K ≤ N untuk suatu grup berhingga berorde N . Sebagai contoh, ki-

ta pandang kembali grup S3, kita pilih elemen (123) dan dengan menggunakan

tabel (2.1) untuk menentukan salah satu kelas S3 yang mengandung (123) sebagai

12

berikut:

e(123)e = (123)

(12)(123)(12)−1 = (12)(13) = (132)

(13)(123)(13)−1 = (13)(23) = (132) (2.19)

(23)(123)(23)−1 = (23)(12) = (132)

(123)(23)(123)−1 = (123)

(132)(123)(132)−1 = (123)

Dengan proses yang serupa dengan di atas, kita dapatkan ternyata untuk S3

terdapat 3 buah kelas C1, C2, C3 dengan anggota-anggota sebagai berikut: C1 =

e, C2 = (12), (13), (23), C3 = (123), (132)

Partisi

Permutasi dapat ditulis sebagai produk dari siklus tertutup tanpa elemen yang

sama. Anggap dalam suatu permutasi dari n objek, siklus yang panjangnya i

muncul sebanyak ki kali, maka haruslah

k1 + 2k2 + 3k3 + ... + nkn = n (2.20)

dimana ki ≥ 0. Setiap struktur siklik merepresentasi kelas, sehingga tiap set

bilangan bulat ki yang memenuhi (2.20) berkorespon dengan suatu kelas dari

grup Sn. Kita dapat perkenalkan lagi bilangan bulat

λ1 = k1 + k2 + ... + kn

λ2 = +k2 + ... + kn

.

.

λn = kn (2.21)

sehingga persamaan (2.20) menjadi:

λ1 + λ2 + ... + λn = n (2.22)

dimana, λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λn ≥ 0

Himpunan λ = [λ1, λ2, ..., λn] dikatakan partisi. Kita dapat menyatakan ki dalam

13

suku λi

k1 = λ1 − λ2

k2 = λ2 − λ3

. (2.23)

.

kn = λn

Dengan kata lain, terdaapt korespondensi satu-satu antara himpunan [k1, k2, ..., kn]

dan [λ1, λ2, ...λn]. Artinya terdapat korespondensi satu-satu antara suatu partisi

λ dengan suatu struktur siklik atau kelas, dan banyaknya partisi n sama dengan

banyaknya kelas dari Sn

2.1.5 Perkalian Langsung Grup

Kita dapat definisikan suatu grup G sebagai perkalian langsung antara 2 grup

lain H1 dan H2 jika

1. semua elemen H1 commute dengan semua elemen H2

2. H1 dan H2 hanya memiliki satu elemen yang sama yaitu elemen identitas

3. Suatu elemen G dapat secara unik ditulis sebagai perkalian h1 ∈ H1 dan

h2 ∈ H2:

g = h1h2 = h2h1 (2.24)

Dalam definisi yang lebih luas,G merupakan perkalian langsung jika ia isomopfik

terhadap H1 × H2. Perkalian langsung dapat diperumum ke lebih dari 2 faktor

asalkan semua Hi(i = 1, 2, ..., n) kommut antar mereka. Semua grup ini harus

berbeda dan satu-satunya elemen yang sama hanya elemen identitas. Suatu sifat

penting adalah bahwa tiap Hi merupakan subgrup invarian dari G

Suatu grup G merupakan produk semi langsung jika grup ini memiliki subgrup

H1 dan H2 sedemikian sehingga

1. H1 merupakan subgrup invarian dari G

2. H1 dan H2 hanya memiliki elemen identitas sebagai satu-satunya elemen

yang sama

3. sembarang elemen G dapat ditulis sebagai perkalian h1 ∈ H1 dan h2 ∈ H2.

14

2.2 Representasi Linier Grup

Dalam mekanika kuantum, kita tertarik pada sifat-sifat keadaan eigen terhadap

bermacam transformasi. Teori Grup menawarkan suatu cara sistematik untuk

menemukan sifat-sifat ini dari kesimetrian Hamiltonian. Keadaan eigen memben-

tukruang vektor linier yang menyediakan representasi matriks dari grup transfor-

masi G. Coba kita tandai represntasi yang demikian itu dengan D(g) dimana g

merupakan salah satu elemen dari G

Kasus yang sederhana secara trivial dari suatu representasi diperoleh untuk grup

pembalikan (inversi) dimana matriks berukuran 1 × 1. Dua elemen dari grup

adalah elemen identitas e(x → x) dan P (x → −x). Untuk sembarang keadaan

dengan paritas genap, π = +1, representasinya adalah

D(e) = 1 D(P ) = 1 (2.25)

Keadaan dengan paritas ganjil, π = −1, memberikan representasi

D(e) = 1 D(P ) = −1 (2.26)

Suatu representasi dibentuk dari matriks-matriks sebanyak jumlah elemen dalam

grup.

2.2.1 Definisi Representasi Grup

Suatu grup Γ dari operator-operator linier didefinisikan dalam ruang vektor berdi-

mensi berhingga L dikatakan suatu representasi linier dari suatu sembarang grup

G jika G homomorfik terhadap Γ. Coba kita sebut operator yang berkaitan de-

ngan g ∈ G dengan S(g). Maka kita peroleh

S(g1)S(g2) = S(g1g2) (2.27)

S(e) = e (2.28)

S(g−1) = S−1(g) (2.29)

Relasi ketiga berasal dari fakta bahwa operator S(g) haruslah non-singular, yaitu

bahwa ia memiliki invers S−1(g) agar dapat memenuhi aksioma suatu grup. Se-

hingga dapat kita tuliskan

S(g)S−1(g) = e (2.30)

Padahal gg−1 = e mengakibatkan

S(g)S(g1) = S(e) = e (2.31)

Dengan membandingkan (2.30) dan (2.31) kita peroleh (2.29)

15

2.2.2 Representasi Matriks

Jika dimensi L adalah n maka suatu representasi memilii derajat n atau dengan

kata lain representasi tersebut berdimensi-n. Malahan,operator-operator S(g)

menghasilkan matriks-matriks berukuran n × n yang bekerja pada vektor basis

|1 >, |2 >, ..., |n > dari L

S(g)|k >=∑

Dµik(g)|i > (2.32)

Matriks-matriks Dµ(g) membentuk representasi matriks dari grup G. Biasanya

matriks ini diberikan indeks superskrip µ yang berkaitan dengan dimensi dari

representasi. Notasi yang umum untuk suatu representasi matriks adalah Γ atau

D.

Coba kita ambil suatu set fungsi ψ1, ψ2, ...ψn yang berkorespon dengan nilai eigen

yang sama dari suatu hamiltonian H. Misalnya H invarian terhadap grup trans-

formasi Γ yaitu

[H,S(g)] = 0 (2.33)

maka sembarang fungsi baru S(g)ψi berkorespon dengan nilai eigen yang sama.

Matriks transformasi dari ψi ke S(g)ψi merupakan suatu representasi linier dari

G. Ini merupakan suatu kasus khusus dari apa yang sering disebut sebagai sub-

space invarian dalam teori grup. Dalam suatu ruang linier L, sangatlah mungkin

untuk menemukan suatu subspace L′ dengan vektor basis ψi memiliki sifat bahwa

suatu vektor yang telah ditransformasi S(g)ψi juga merupakan elemen dari L′.

Maka L′ dikatakan subspace invarian jika sifat ini dimiliki oleh semua transfor-

masi S(g) dari transformasi Γ

2.2.3 Representasi Ekivalen

Ambil 2 buah representasi S(g) dan S ′(g) berturut-turut dalam L dan L′. Jika L

dan L′ memiliki dimensi yang sama dan dapat dicari operator linier non-singular

M yang mengubah L dan L′ ke satu sama lain sedemikian sehingga

MS(g) = S ′(g)M (2.34)

untuk tiap g maka 2 representasi tersebut dikatakan ekivalen. Dengan kata lain,

jika kita mengubah basis di dalam ruang L dengan matriks M representasi terse-

but akan menjadi

S ′(g) = MS(g)M−1 (2.35)

16

Sembarang transformasi dari suatu matriks yang memiliki bentuk (2.35) dikatakan

transformasi keserupaan

2.2.4 Representasi Uniter

Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang merupakan vektor keadaan atau

kombinasi linier dari vektor-vektor keadaan, yaitu keadaan eigen ψi dari hamilto-

nian. ψi membentuk ruang Hilbert, yang mana dalam produk skalar didefinisikan

dengan

< ψi|ψj >=< ψj|ψi >∗ (2.36)

Vektor basis ψi dapa dipilih yang ortonormal yaitu memenuhi:

< ψi|ψj > δij (2.37)

Suatu operatr U dikatakan unitary jika

< Uφ, Uψ >=< φ, ψ > (2.38)

Untuk basis ortonormal, hal ini mengimplikasikan

< Uψi|Uψj >=< ψi|ψj >= δij untuk semuai, j (2.39)

Matriks yang berasosiasi dengan U dalam basis ortonormal merupakan matriks

unitary

UU † = U †U = 1 (2.40)

Jika operator-operator dari suatu representasi S(g) dari suatu grup G bersifat

uniter, maka representasinya disebut representasi uniter. Kebanyakan grup yang

menarik di Fisika memiliki representasi uniter atau representasi yang dapat di-

ubah menjadi transformasi uniter.

Dalam subbab ini ada suatu teori penting: Setiap representasi ekivalen terhadap

suatu representasi uniter untuk grup Lie kompak yang berhingga.

Bukti: Untuk grup berhingga ada suatu pembuktian yang baku seperti yang akan

dijabarkan di bawah ini.

Kita perkenalkan suatu operator penjumlahan invarian berikut

H2 =1

N

∑

h∈G

S†(h)S(h) (2.41)

dimana N merupakan orde dari grup dan penjumlahannya dilakukan terhadap

seluruh elemen h dari G. Ini adalah matriks hermit dan kita dapat buktikan

17

bahwa nilai eigennya real dan positif. Maka adalah sah jika kita definisikan suatu

akar dari operator H berikut:

H = (H2)12 (2.42)

Operator H memberikan representasi ekivalen

S ′(g) = HS(g)H−1 (2.43)

yang akan kita buktikan bersifat uniter. Mula-mula kita tunjukkan dahulu bahwa

S†(g)H2S(g) =1

N

∑

h∈G

S†(g)S†S(h)S(g)

=1

N

∑

h∈G

S†(hg)S(hg) (2.44)

=1

N

∑

h′∈G

S†(h′)S(h′)

= H2

dimana h′ = hg juga dijumlahkan terhadap seluruh elemen G, disusun ulang

dengan perkalian di sisi kanan, dengan elemen tetap g. Mengalikan (2.44) dengan

H−1 di sebelah kiri dan S−1H−1 di sebelah kanan, kita peroleh

H−1S†(g)H = HS−1H−1 (2.45)

atau secara alternatif, dengan menggunakan fakta bahwa H bersifat hermitian,

(HS(g)H−1

)†=

(HS(g)H−1

)−1(2.46)

atau dengan menggunakan definisi (2.43)

S ′†(g) = S ′−1(g) (2.47)

yang membuktikan bahwa representasi ekivalen S ′ bersifat uniter. Bukti ini dapat

diperumum untuk grup Lie kompak melalui penggunaan integrasi invarian ter-

hadap elemen-elemen grup alih-alih menggunakan penjumlahan invarian (2.41).

2.2.5 Representasi Iredusibel

Iredusibilitas merupakan sifat yang sangat penting dari suatu grup. Dalam Fisika,

kita menggunakan grup-grup simetris terutama melalui representasi iredusibel.

Keadaan-keadaan terdegenerasi dari suatu hamiltonian dapat menyediakan fungsi

18

basis untuk representasi iredusibel.

Jika dalam ruang vektor linier L, kita dapat menemukan suatu basis dimana

matriks-matriks D(g) dari representasi berdimensi-n dapat secara simultan ditulis

dalam bentuk:

D(g) =

∣∣∣∣D1(g) C(g)

0 D2(g)

∣∣∣∣ (2.48)

untuk semua elemen g dari grup G, representasi D(g) dikatakan redusibel. Blok

matriks di sini adalah 2 matriks persegi D1 dan D2 berdimensi n1 dan n2 dan 2

matriks segiempat, dimana salah satunya memiliki semua elemen sama dengan

nol yaitu pada matriks yang terletak pada sebelah kiri bawah. Bentuk yang

demikian menunjukkan keberadaan subspace invarian L1 berdimensi n1. Coba

kita sebut

(X1

0

)vektor-vektor yang merupakan bagian dari L1 saja. Maka

kita tuliskan (D1 C0 D2

)(X1

0

)=

(D1X1

0

)(2.49)

yaitu bahwa vektor yang telah bertransformasi juga merupakan bagian dari L1.

Coba sekarang kita ambil vektor

(0

X2

)yang merupakan milik/bagian dari L2,

maka hasilnya

(D1 C0 D2

)(0

X2

)=

(CX2

D2X2

)(2.50)

yaitu suatu vektor yang menjadi bagian dari keseluruhan ruang. Maka, agar

L2 menjadi subspace invarian, kita harus mengambil C = 0. Jika matriks C

nol, representasi D dikatakan fully redusibel. Maka, terdapat suatu subspace

invarian kedua L2 berdimensi n2 dan keseluruhan ruang L dapat ditulis sebagai

penjumlahan langsung

L = L1 + L2 (2.51)

dan representasi D merupakan penjumlahan

D = D1 + D2 (2.52)

Jika untuk representasi tertentu D, tidak ada transformasi keserupaan yang mem-

bawa matriks-matriks D(g) ke dalam bentuk diagonal secara simultan untuk se-

mua g ∈ G maka representasi tersebut dikatakan iredusibel atau disingkat irreps.

Dalam kasus representasi fully redusibel, matriks D1 dan D2 dapat direduksi

lebih jauh lagi menjadi penjumlahan matriks-matriks berdimensi lebih kecil lagi

yang iredusibel. Notasi untuk penjumlahan yang didefinisikan menurut () adalah

D = D1 ⊕D2 ⊕D3 ⊕ ........⊕DK (2.53)

19

Untuk representasi uniter, redusibilitas secara langsung berarti fully redusibel.

Coba kita ambil suatu basis ortonormal e1i ∈ L1, e2

i ∈ L2:

(e1i , e

1j) = (e2

i , e2j) = δij (e1

i , e2j) = 0 (2.54)

Keinvarianan subspace L1 berarti bahwa

S(g)e1i =

n1∑j=1

D1jie

1j (2.55)

sedangkan, untuk suatu vektor dalam L2, kita punya

S(g)e2j =

n1∑

l=1

C1lje

1l +

n2∑

k=1

D2kje

2k (2.56)

Relasi ortogonalitas (2.54) memberikan

Cij = (e1i , S(g)e2

j) (2.57)

Namun secara definisi S merupakan operator uniter yang menghasilkan

Cij =< S−1(g)e1i , e

2j >=< S(g−1)e1

i , e2j >= 0 (2.58)

jadi matriks C dalam persamaan (2.50) memiliki semua elemen sama dengan nol.

Maka L2 juga merupakan subspace invarian. Representasi redusibel dapat dipec-

ah lagi dan lagi menjadi blok-blok matriks sepanjang diagonalnya sampai hanya

mengandung representasi iredusibel. Dalam mekanika kuantum, mereduksi su-

atu representasi berkaitan erat dengan eliminasi kedegenerasian atau melengkapi

pelabelan fungsi gelombang. Hal ini terjadi karena jika suatu representasi ire-

dusibel untuk keseluruhan grup, bisa jadi representasi tersebut redusibel bagi

subgrupnya.

2.2.6 Perkalian langsung Representasi

Dari 2 representasi matriks, Dµ1(g) dan Dµ2(g) berdimesni n1, dan n2, kita dapat

mengkonstruksi suatu representasi Dµ(g) sebagai suatu produk /perkalian lang-

sung atau kronecker dari 2 matriks . Ini merupakan matriks berukuran n1 × n2

dengan elemen-elemen yang dilabeli 2 indeks

Dµik,jl(g) = Dµ1

ij (g)Dµ2

kl (g) (2.59)

Matriks Dµ mendeskripsikan sifat transformasi dari produk fungsi ψ1j ψ

2l , jika

kita melakukan transformasi g yang sama secara simultan pada koordinat ψ1

20

dan ψ2. Fungsi fungsi ini dapat mendeskripkan 2 partikel-partikel yang berbeda

atau bagian-bagian yang independen dari sistem yang sama. Secara terpisah kita

peroleh

S(g)ψ1j =

∑Dµ1

ij ψ1i ; S(g)ψ2

l =∑

Dµ2

kl ψ2k

dan untuk sistem gabungan kita peroleh

S(g)ψ1j ψ

2l =

∑Dµ1

ij Dµ2

kl ψ1i ψ

2k

=∑

Dµik,jlψ

1i ψ

2k

Perkalian langsung menawarkan suatu cara untuk menghasilkan representasi-

representasi baru dari representasi lama. Jika Dµ1 dan Dµ2 iredusibel, maka

secara umum matriks Dµ bersifat redusibel. Orang tertarik untuk menemukan

irreps yang mana yang terjadi dalam Dµ. Masalah matematis ini memiliki im-

plikasi yang penting dalam fisika. Misalnya, dalam kopling 2 momentum sudut

j1 dan j2 yang menghasilkan |j1 − j2| ≤ j ≤ j1 + j2, terkait dengan irreps grup

rotasi yang diperoleh dari perkalian langsung 2 irreps yang berkorespon dengan

µ1 = j1 dan µ2 = j2

2.2.7 Perkalian Luar Representasi

Untuk grup simetrik, orang biasanya memperkenalkan 2 jenis perkalian (pro-

duk) representasi.Yang pertama adalah perkalian langsung /perkalian dalam yang

terkait dengan produk fungsi dari partikel yang sama. Sedangkan perkalian luar

terkait dengan produk fungsi-fungsi dari partikel-partikel berbeda.

Dalam Fisika, orang biasanya mempunyai 2 sistem partikel 1,2,...,m dan m +

1,m+2, ...n yang dideskripsikan oleh fungsi gelombang ψ[f1](1, 2, ..., m) dan ψ[f2](m+

1,m+2, ..., n) dari kesimetrian tertentu [f1], [f2] berturut-turut terhadap permu-

tasi partikel. Dengan kata lain, ψ[f1] merupakan bagian dari subspace invarian

dari irreps [f1] dan ψ[f2] merupakan bagian dari subspace invarian dari irreps

[f2]. Sekarang kita hendak mengkonstruksi keadaan-keadaan produk dari sistem

terkombinasi ψ[f1](1, 2, ..., m)ψ[f2](m + 1,m + 2, ..., n). Masalahnya adalah men-

cari kesimetrian permutasi [f ] yang mungkin dari total fungsi ψ[f ](1, 2, ...,m, m+

1,m + 2, ..., n). Nilai dari [f ] diberikan oleh perkalian luar. Jadi, melakukan

perkalian luar dari 2 irreps [f1] dari Sn1 dan [f2] dari Sn2 , berarti mendekomposisi

matriks yang merupakan representasi redusibel dari Sn1+n2 ke dalam suku-suku

irreps [f ] dari Sn1+n2 dan menetukan multisiplistasnya m[f ]. Secara simbolik kita

21

dapat tuliskan

[f1]⊗ [f2] = [f2]⊗ [f1] =∑

[f ]

m[f ][f ] (2.60)

Mula-mula pandang kasus paling sederhana dimana salah satu dari sistem diben-

tuk oleh satu partikel saja, yaitu ambil [f2] = [1]. Untuk sistem lain ambil mis-

alnya irreps [f1] = [321] dari S6. Hasilnya harus merupakan suatu penjumlahan

dari irreps dari S7

⊗ a =

a

+

a

+ a + a (2.61)

Diagram pada sisi kanan diperoleh dari [321] dengan menempelkan kotak tamba-

han a dengan semua cara yang mungkin sedemikian sehingga diperoleh diagram

young yang benar. Jika pada akhirnya kita memilih Young tableau dideskripsikan

dengan simbol Yamanuchi Y1=(312211) kita dapat menuliskan (2.61) dalam ben-

tuk eksplisit

1 2 52 46 ⊗ 7 =

1 2 5 73 46 +

1 2 53 4 76 +

1 2 53 46 7 +

1 2 53 467 (2.62)

Namun jika [f1] dan [f2] mengandung lebih dari satu kotak alias n1 6= 1 dan

n2 6= 1, cara yang diterapkan adalah meletakkan kotak label-label awal (sesuai

urutan) pada diagram young yang hendak dikalikan untuk memperoleh diagram

young yang tepat (pertimbangkan semua kemungkinan). Lalu ulang prosedur

ini untuk label-label berikut dengan syarat tambahan bahwa simbol yang ditam-

bahkan ketika dibaca dari kanan ke kiri baris perbaris adalah sedemikian sehingga

pada tiap ”tahap”, banyaknya simbol a ≥ banyaknya simbol b ≥ banyaknya sim-

bol c dan seterusnya. Yang dimaksud dengan ”tahap” di sini adalah: b yang

pertama harus didahului a yang pertama, b yang kedua harus didahului a yang

kedua, c yang pertama harus didahului a dan b yang pertama dan seterusnya.

Untuk contoh di atas, hasil yang diperoleh ditampilkan berikut ini merupakan

22

penjumlahan irreps [f ] dari S8

⊗

a abc =

a ab

c +

a a

bc +

a abc

+

ab

ac +

ab

a c +

a

a bc +

a

abc (2.63)

Dalam suku-suku partisi, diagram young di atas dapat ditulis

[22]⊗ [212] = [431] + [4212] + [2312] + [3212] + [322] + [3221] + [3213] (2.64)

Dalam contoh in, tiap representasi [f ] dari S8 muncul dengan multisiplitas lebih

dari satu. Sangatlah mungkin mengetes validitas dari hasil reduksi dengan meng-

gunakan argumen dimensionalitas. Dimensi-dimensi dari partisi yang terhubung

melalui perkalian luar memenuhi persamaan yang merupakan konsekuensi dari

persamaan (2.60) berikut:

d[f1] × d[f2] × (n1 + n2)!

n1!n2!=

∑

[f ]

m[f ]d[f ] (2.65)

Dengan menggunakan argumen yang berdasar pada dimensi suatu irreps, suatu

uji coba alternatif dapat dicapai dengan mempertimbangkan bahwa semua dia-

gram young yang muncul pada sisi kiri dan kanan persamaan (2.60) berasosiasi

dengan irreps yang sama dari SU(N). Untuk SU(N) maka persamaan dimensi

yang harus dipenuhi adalah:

dSU(N)[f1] × d

SU(N)[f2] =

∑

[f ]

m[f ]dSU(N)[f ] (2.66)

dimana dimesi dari SU(N) sendiri menurut representasi [f ] adalah

dSU(N)[f ] =

N∏i<j

fi − fj + j − i

j − i(2.67)

Untuk contoh yang tersirat dalam persamaan (2.63) dan (2.64) kita membu-

tuhkan paling sedikit SU(5) agar dapat memperhitungkan semua diagram, karena

23

5 merupakan bilangan yang menyatakan jumlah baris terbesar yang muncul pa-

da diagram yang sama pada sisi kanan persamaan (2.63)dan (2.64). Lalu dengan

menggunakan (2.67) untuk SU(5) kita peroleh

d[22] = 50 d[212] = 45 d[431] = 1050 d[332] = 315

d[3221] = 175 d[2312] = 10 d[4212] = 450 d[3212] = 210

d[3212] = 40

yang memenuhi (2.66)

2.2.8 Perkalian Dalam

Perkalian dalam sering juga disebut perkalian kronecker atau perkalian langsung

representasi karena mengacu kepada perkalian irreps dari Sn. Aplikasi fisis dari

perkalian dalam dapat dimengerti misalnya pada suatu partikel mikroskopik yang

dideskripsikan dengan suatu fungsi gelombang ψ yang biasanya dinyatakan seba-

gai suatu perkalian dari beberapa fungsi, masing-masing mepresentasikan suatu

derajat kebebasan. Misalnya, untuk sebuah kuark , terdiri dari 3 derajat ke-

bebasan koordinat ruang R, spin χ, citarasa φ, dan warna C. Untuk suatu

sistem dengan n partikel, kita dapat memperlakukan kesimetrian permutasi se-

cara individual pada setiap derajat kebebasan dan mengkonstruksi suatu fungsi

gelombang total dari kesimetrian Sn tertentu. Peran dari perkalian dalam adalah

menyediakan fungsi gelombang n-partikel dari kesimetrian yang dikehendaki se-

bagai suatu kombinasi linier dari perkalian fungsi, masing-masing faktor dalam

fungsi ini merepresentasikan suatu derajat kebebasan dan memiliki kesimetrian

permutasi yang cocok dengan kesimetrian fungsi gelombang secara total.

Secara umum, perkalian dalam dari 2 buah irreps [f ′] dan [f ′′] dari Sn membangk-

itkan penjumlahan irreps Sn

[f ′]× [f ′′] =∑

m[f ][f ] (2.68)

Ini dikatakan sebagai deret Clebsch − Gordan dari Sn. Subspace invarian [f ]

dibentuk oleh vektor-vektor |[f ]Y > didefinisikan sebagai jumlah dari perkalian

|[f ′]Y ′ > dan |[f ′′]Y ′′ > melalui

|[f ]Y >=∑

Y ′,Y ′′S([f ′]Y ′[f ′′]Y ′′|[f ′]Y ′)|[f ′]Y ′ > |[f ′′]Y ′′ > (2.69)

Koefisien-koefisien S([f ′]Y ′[f ′′]Y ′′|[f ]Y ) merupakan koefisien Clebsch − Gordan

dari Sn. Mereka membentuk suatu matriks ortogonal yang memberikan trans-

24

formasi antara basis-basis |[f ]Y > dan |[f ′]Y ′ > |[f ′′]Y ′′ >. Dengan menggu-

nakan sifat ortogonalitas dari matriks ini, kita dapat mengubah relasi (2.69)

untuk menghasilkan

|[f ′]Y ′ > |[f ′′]Y ′′ >=∑

[f ]Y

S([f ′]Y ′[f ′′]Y ′′|[f ]Y )|[f ]Y > (2.70)

Sekarang, kita akan pelajari perkalian S3.

Ruang spin dan isospin suatu nukleon dapat menghasilkan ruang berdimensi-4

dengan perkalian langsung. Sembarang vektor x dalam ruang ini dapat ditulis

sebagai

x =

u ↑u ↓d ↑d ↓

(2.71)

dan kita dapat memperkenalkan aksi dari grup

SU(4) ⊃ SUS(2)× SUI(2)

dimana sisi kanan persamaan merupakan perkalian langsung dari SUS(2) yang

bekerja pada ruang spin dan SUI(2) bekerja pada ruang isospin. Dimensi dari [2]

dan [11] sebagai irreps SU(4) dapat dihitung menggunakan formula (2.67) dan

menghasilkan

dSU(4)[2] = 10 d

SU(4)[11] = 6 (2.72)

Representasi-representasi [2] dan [11] dari SU(4) dapat didekomposisikan dengan

cara berikut:

SU(4) = SU(2)× SU(2) + SU(2)× SU(2)(2.73)

SU(4) = SU(2) × SU(2) + SU(2) × SU(2) (2.74)

Dari persamaan di atas dapat dicek bahwa ternyata dimensi dari masing-masing

representasi juga memenuhi persamaan tersebut.

Untuk S3, perkalian dalam dapat diperoleh sebagai perluasan dari teknik yang

dijelaskan di atas. Coba kita anggap bahwa masing-masing dari 3 objek-objek

ini adalah suatu partikel, yang mana merupakan vektor SU(4). Mula-mula kita

kerjakan perkalian luar [2] dari S2 dan [1] dari S1:

SU(4) × SU(4) = SU(4) + SU(4) (2.75)

25

Ini juga merupakan perkalian langsung dari 2 irreps SU(4) yang diindikasikan

oleh diagram young dan dimensi mereka. Pada sisi lain, pada sisi kiri persamaan

di atas, kita dapat gunakan relasi (2.73) dan

SU(4) = SU(2) × SU(2) (2.76)

untuk memperoleh

⊗ =

× + ×

⊗

(×

)

=(

⊗)×

(⊗

)+

⊗

×

⊗

=

+

×

+

+ ×

= × + × + ×

+2 × (2.77)

Sekarang, kita dapat identifikasi 2 suku pada sisi kanan persamaan (2.75) sebagai

SU(4) = SU(2)× SU(2) + SU(2)× SU(2)

(2.78)

dan

SU(4) = SU(2)× SU(2) + SU(2)× SU(2)

+ SU(2)× SU(2) (2.79)

Ini adalah dekomposisi dari irreps SU(4) ke dalam irreps SU(2)×SU(2). Suku per-

tama pada sisi kanan persamaan (2.78) harusnya kita antispiasi karena perkalian

dari 2 keadaan simetrik menghasilkan keadaan simetrik.

Berikutnya pandang perkalian luar berikut

SU(4) ⊗ SU(4) = SU(4) + SU(4) (2.80)

26

dan dengan menggunakan relasi (2.74) dan (??) pada sisi kiri persamaan, kita

dapatkan

SU(4)⊗ =

× + ×

⊗

(×

)

=(

⊗)×

⊗

+

⊗

×

(⊗

)

=

+

× + ×

+

(2.81)

Dengan memperhitungkan (2.79) kita dapaka identitas

SU(4) = SU(2) × SU(2) (2.82)

Dari sudut pandang S3, kita dapat menggunakan relasi (2.78),(2.79),(2.82) un-

tuk memperoleh deret Clebsch−Gordan. Misalnya, jika kita mencari perkalian

dalam [21] × [21], ternyata itu muncul sekali masing-masing pada persamaan

(2.78),(2.79),(2.82), sehingga dapat kita tuliskan

[21]× [21] = [3] + [21] + [13] (2.83)

dengan analogi, kitapun bisa dapatkan

[3]× [3] = [3] (2.84)

[3]× [21] = [21]× [3] = [21] (2.85)

Untuk kelengkapan kita dapat tambahkan deret-deret Clebsch−Gordan berikut

[3]× [13] = [13] (2.86)

[13]× [13] = [3] (2.87)

Yang pertama menyatakan bahwa perkalian suatu fungsi yang antisimetrik de-

ngan fungsi yang simetrik merupakan suatu fungsi yang antisimetrik dan yang

terakhir menyatakan bahwa perkalian 2 fungsi-fungsi yang antisimetrik meru-

pakan fungsi yang simetrik. Dengan menggunakan teknik yang sama, kita dapat

lebih jauh mempertimbangkanS4 dan seterusnya. Untuk memperoleh seluruh

27

deret Clebsch − Gordan, kita harus menggunakan minimal SU(4). Sesungguh-

nya relasi semacam (2.86) merupakan kasus khusus dari deret Clebsch−Gordan

yang lebih umum yang mana Suntuk sebarang [f ] dari Sn tertentu memenuhi

persamaan

[f ]× [1n] = [1n]× [f ] = [f ] (2.88)

dimana [f ] menyatakan representasi konjugat dari [f ]. Deret persamaan (??)

merupakan kasus khusus dari (2.88) karena partisi [21] bersifat self − conjugate.

Sifat lain yang cukup berguna adalah

[f ]× [g] = [g]× [g] (2.89)

[f ]× [g] = [f ]× [g] (2.90)

mereka alngsung diperoleh dari sifat komutatif dan distributif dari perkalian

dalam

([f ]× [g])× [h] = [f ]× ([g]× [h]) = ([f ]× [h])× [g] (2.91)

Dengan mengambil [h] = [1n] dan menggunakan (2.88) kita bisa turunkan (2.89),dan

(2.90) dari (2.89) dengan menggantikan [f ] dengan [f ]

28

Bab 3

Grup Lie

Grup Lie merupakan grup kontinu dengan jumlah elemen tak terhingga. Walau

demikian, elemen-elemen di dalam grup ini dapat dilabeli dengan himpunan

berhingga r parameter-parameter real yang kontinu. Oleh sebab itu, Grup Lie

kadang disebut juga sebagai Grup kontinu berhingga (finite continous group).

Grup Lie ini dikembangkan oleh ahli matematika kebangsaan Norwegia, Sophus

Lie. Tidak seperti Grup diskret sebelumnya, Grup Lie ini tidak mungkin dibu-

at tabel perkalian grup nya. Namun struktur grup ini ditentukan melalui se-

himpunan hubungan komutasi antara generator-generator dari grup, yang mana

banyaknya generator ini juga sama dengan r

3.1 Transformasi infinitesimal

Pandang sehimpunan n variabel xi0(i = 1, 2, ..., n) yang merepresentasikan koordinat-

koordinat suatu titik dalam basis tertentu di dalam ruang berdimensi-n. Trans-

formasi basis mengubah xi0 menjadi xi melalui persamaan

xi = f i(x10, x

20, ..., x

n0; a

1, a2, ..., ar) (3.1)

dimana aρ(ρ = 1, 2, ..., r) merupakan sehimpunan parameter bebas real dan f i

merupakan fungsi analitik dan bergantung secara esensial pada aρ. Dengan kata

lain, aρ menentukan f i secara unik dan komplit, yang artinya tidak ada 2 atau

lebih transformasi (dengan parameter berbeda) yang sama untuk semua nilai x0

dan r menyatakan jumlah terkecil parameter yang dibutuhkan. Dalam notasi

yang lebih singkat, (3.1) dapat ditulis

x = f(x0; a) = Sax0 (3.2)

29

dimana sehimpunan transformasi bergantung pada parameter a dan memetakan

titik x0 ke x. Sehimpunan transformasi f i membentuk grup jika memenuhi ak-

sioma berikut:

1. Dua transformasi berturut-turut menghasilkan transformasi lain yang juga

merupakan anggota himpunan yang sama. misalnya:

x = f(x0; a) dan x′ = f(x; b) (3.3)

dan lalu

x′ = f(x; b) = f(f(x0; a); b) = f(x0; c) = f(x0; ϕ(a; b) (3.4)

yang menyatakan bahwa terdapatnya sehimpunan parameter cρ yang didefin-

isikan melalui

cρ = ϕρ(a; b) (3.5)

yang berarti bahwa ϕ merupakan fungsi analitik dari a dan b, yaitu ia

mengandung semua turunan orde berapapun terhadap a dan b

2. Untuk tiap transformasi terdapat invers yang unik

x0 = f(x; a) (3.6)

yang juga merupakan elemen dari himpunan yang sama. Keunikan nilai a

dijamin oleh kondisi ∣∣∣∣∂f

∂x0

∣∣∣∣ 6= 0 (3.7)

yaitu bahwa jacobian dari transformasi tidak boleh bernilai nol.

3. terdapat transformasi identitas dan didefinisikan sebagai berikut:

x0 = f(x; a) = f(f(x0; a); a) = f(x0; ϕ(a; a)) = f(x0; a0) (3.8)

untuk kemudahan, dapat dipilih

aρ0 = 0 (ρ = 1, 2, ..., n) (3.9)

Ide dasar Sophus Lie adalah memandang transformasi kontinu berhingga sebagai

serentetan transformasi infinitesimal. Transformasi ini merupakan transformasi

”di sekitar” elemen identitas dan kita dapat mereduksi studi terhadap grup kon-

tinu ke studi terhadap transformasi infinitesimal, karena struktur elemen grup di

30

”sekitar” elemen identitas ini menentukan struktur grup secara keseluruhan.

Dari sifat yang dibahas di atas, kita dapat tuliskan 2 ekspresi ekivalen berikut:

x = f(x0; a) (3.10)

x = f(x; 0) (3.11)

Suatu transformasi infinitesimal x+dx dapat diperoleh dengan 2 cara: mendifer-

ensialkan (3.10)

x + dx = f(x0; a + da) (3.12)

atau dengan memperkenalkan parameter infinitesimal δa sedimikian sehingga

x + dx = f(x; δa) (3.13)

sehingga diperoleh

dx =

(∂f(x0; b)

∂bσ

)

b=a

daσ (3.14)

atau

dx =

(∂f(x; a)

∂aσ

)

a=0

δaσ (3.15)

Dengan memperkenalkan notasi

uiσ =

(∂fi(x; a)

∂aσ

)

a=0

(3.16)

dan menulis ulang persamaan(3.15) sebagai

dxi = uiσ(x)δaσ (3.17)

Sama seperti persamaan (3.4), kita dapat tulis

x = dx = f(x; δa) = f(f(x0; a); δa) = f(x0; ϕ(a; δa))

Dari ekivalensi antara (3.13) dan (3.14) dapat ditulis

a + da = ϕ(a; δa) (3.18)

Jika dipilih δa = 0 maka

x = f(x; 0) = f(x0; ϕ(a; 0)

sehingga

a = ϕ(a; 0) (3.19)

persamaan (3.19) sangat penting dalam studi transformasi infinitesimal, karena

akan meghantarkan ke pembahasan generator infinitesimal dan konstanta struk-

tur

31

3.2 Konstanta Struktur

Untuk perubahan infinitesimal δaτ dalam parameter-parameter aτ , persamaan

(3.18) dapat ditulis sebagai

a + da = ϕ(a; δa) = ϕ(a; 0) +∂ϕ(a; b)

∂bτ

∣∣∣∣b=0

daτ (3.20)

menggunakan (3.19) didapat bahwa

daρ = µρτδa

τ (3.21)

dimana

µρτ (a) =

∂ϕ(a; b)

∂bτ b=0(3.22)

yaitu bahwa daρ merupakan kombinasi linier dari δaτ , dan sebaliknya,δaτ dapat

ditulis sebagai kombinasi linier dari daρ jika matriks µρτ tak singular. Dengan

mendefinisikan λ sedemikian sehingga

λµ = 1 atau λσρµ

ρτ = δσ

τ (3.23)

kita dapat tuliskan

δaσ = λσρ(a)daρ (3.24)

dengan notasi ini, persamaan (3.17) dapat ditulis sebagai

dxi = uiσ(x)λσ

ρ(a)daρ (3.25)

Pada sisi lain persamaan (3.14) dapat ditulis sebagai

dxi =∂xi

∂aρdaρ (3.26)

sehingga didapat bahwa∂xi

∂aρ= ui

σ(x)λσρ(a) (3.27)

Syarat cukup dan syarat perlu dari sistem adalah

∂2xi

∂aσ∂aρ=

∂2xi

∂aρ∂aσ(3.28)

syarat ini menghasilkan persamaan

(uj

τ

∂uiν

∂xj− uj

ν

∂uiτ

∂xj

)λτ

ρλνσ + ui

τ (∂λτ

σ

∂aρ− ∂λτ

ρ

∂aσ) = 0 (3.29)

32

atau dengan menggunakan persamaan (3.23), kita dapatkan(

ujκ

∂uiδ

∂xj− uj

δ

∂uiκ

∂xj

)= cτ

κδ(a)uiτ (3.30)

dimana

cτκδ =

(∂λτ

ρ

∂aσ− ∂λτ

σ

∂aρ

)µρ

κµσδ (3.31)

atau secara alternatif∂λτ

ν

∂aγ− ∂λτ

γ

∂aν= cτ

κδλκνλ

δγ (3.32)

karena uiσ tidak bergantung pada aτ menurut definisi(3.16), diferensiasi terhadap

persamaan (3.30) menghasilkan

∂cτκδ

∂aρui

τ = 0 (3.33)

besaran-bearan uiτ saling bebas linier dan tidak bergantung terhadap indeks τ .

Ini berasal dari sifat bahwa parameter-parameter aτ esensial dalam transformasi

(3.1). Karena uiτ saling bebas linier, maka

∂cτκδ

∂aρ= 0 (3.34)

yaitu bahwa cτκδ tidak bergantung a. Besaran cτ

κδ disebut konstanta struk-

tur dari grup Lie, dan memainkan peran yang penting dalam sifat grup. Dari

persamaan (3.30) didapat bahwa

cτκδ = −cτ

δκ (3.35)

Secara definisi, parameter-parameter grup Lie bersifat real , dan semua relasi yang

mendeskripsikan struktur grup harus menyangkut bilangan real. Inilah sebabnya

konstanta struktur harus berupa bilangan real. Dari konstanta struktur, kita

dapat mengkonstruksi suatu tensor rank 2 yang simetrik

gρτ = cµρλc

λτµ (3.36)

yang disebut sebagai tensor metriks atau Killing form. Sifatnya telah digunakan

oleh Cartan untuk membedakan grup-grup semi simpel dari grup-grup lainnya.

Tensor gρτ juga bermanfaat untuk menaikkan dan menurunkan indeks dari struk-

tur konstan. Misalnya

cµνσ = cλµνgλσ (3.37)

dimana sisi kiri persamaan di atas antisimetrik terhadap permutasi 2 sembarang

indeks yang merupakan generalisasi dari (3.35)

33

3.3 Generator

Pandang sebuah fungsi F dari koordinat xi. Suatu transformasi infinitesimal

xi → xi + dxi mengubah F dengan perubahan yang kecil sekali melalui

dF =∂F

∂xidxi = δσui

σ

∂F

∂xi= δaσXσF (3.38)

dimana operator-operator

Xσ = uiσ

∂

∂xi(3.39)

disebut operator-operator infinitesimal atau generator dari grup transformasi

yang telah didefinisikan menurut (3.2). dari (3.30) ternyata, dapat ditulis relasi

komutasi berikut

[Xκ, Xδ] = cτκδXτ (3.40)

Sifat bebas linier dari uiτ menghantarkan ke sifat bebas linier dari operator Xτ .

Mereka membentuk ruang vektor berdimensi-r. Produk Lie atau ’Lie product’

dari sembarang 2 vektor basis ruang ini didefinisikan melalui komutator mereka,

yang memerikan vektor basis lain (di ruang yang sama). Ini artinya sehimpunan

basis vektor ini bersifat tertutup terhadap hukum perkalian grup. Operator-

operator infinitesimal r membentuk ruang vektor berdimensi-r yang dikarakter-

isasi oleh besaran-besaran ΣaτXτ . Melalui cara inilah, Generator atau operator-

operator ini membentuk Aljabar Lie real. Untuk setiap grup Lie terdapat aljabar

Lie real yang unik. Meski demikian, beberapa grup Lie non-isomorfik dapat

berkorespon teerhadap aljabar Lie real yang sama.

Suatu aljabar Lie L berdimensi n(≥ 1) memiliki sifat berikut:

[Xρ, Xσ] ∈ L Xρ, Xσ ∈ L (3.41)

[αXρ + βXσ, Xτ = α[Xρ, Xτ ] + β[Xσ, Xτ ] (3.42)

untuk Xρ, Xσ, Xτ ∈ L dan semua bilangan real α dan β;

[Xρ, Xσ] = −[Xσ, Xρ] (3.43)

[[Xρ, Xσ], Xτ ] + [[Xσ, Xτ ], Xρ] + [[Xτ , Xρ], Xσ] = 0 (3.44)

Ini merupakan identitas jacobi atau kondisi assosiatif.

Penerapan persamaan (3.40) ke dalam persamaan (3.44) menghasilkan hubungan

cµρσc

νµτ + cµ

στcνµρ + cµ

τρcνµσ = 0 (3.45)

34

yang merupakan relasi penting dan merupakan sifat penting konstanta struktur

selain (3.35). Persamaan (3.35) dan (3.45) berasal dari asumsi bahwa trans-

formasi f i membentuk grup. Sebaliknya, mulai dari persamaan-persamaan ini,

kita dapat mencari semua nilai u dan λ yang memenuhi persamaan (3.30) dan

(3.32), dan menentukan xi yang memenuhi (3.27) dan membentuk sebuah grup.

Ada suatu perhitungan sederhana yang membuktikan bahwa konstanta struk-

tur cρσλ bersifat antisimetrik terhadap transposisi 2 sembarang indeks, dan in-

varian terhadap sembarang permutasi sirkular. Persamaan (3.35) membuktikan

keantisimetrian terhadap transposisi 2 indeks pertama, sehingga cukup bagi kita

untuk membuktikan keantisimetrian terhadap transposisi indeks 2 dan 3. Dari

persamaan (3.36) dan (3.37), ternyata:

cρσλ = cτρσgτλ = cτ

ρσcντµc

µλν

menerapkan sifat (3.45) pada faktor pertama dan kedua, persamaan di atas dapat

ditulis ulang sebagai

cρσλ = −cτσµc

ντρc

µλν − cτ

µρcντσc

µλν

dan dengan menggunakan (3.35) untuk faktor kedua dari suku pertama dan faktor

ketiga untuk suku kedua, kita dapatkan

cρσλ = cτσµc

νρτc

µλν + cτ

µρcντσc

µνλ

Sekarang kita permutasikan λ dengan σ pada sisi kiri dan sisi kanan persamaan

di atas, sehingga menghasilkan

cρσλ = cτλµc

νρτc

µσν + cτ

µρcντλc

µνσ

menerapkan (3.35) pada semua c dan menyusun ulang suku-suku dan faktor-

faktor akan menghasilkan

cρσλ = −cµσνc

τρµc

νλτ − cν

τρcµνσc

τµλ

Lalu melakukan permutasi melingkar dari indeks-indeks berulang µ → τ → ν

pada suku pertama dan τ → µ → ν pada suku kedua, kita dapatkan

cρσλ = −cτσµc

νρτc

µλν − cτ

µρcντσc

µνλ = −cρσλ

yang membuktikan keantisimetrian terhadap permutasi λ dengan σ. Menurut

sifat konstanta struktur pada persamaan kedua di atas dan sifat kesimetrian dari

gρτ , kita dapat tuliskan

cµνσ = cνσµ = cτνσgτµ = gµτc

τνσ

35

Dengan menggunakan persamaan (3.38), kita dapat tuliskan

F (x + dx) = F (x) +∂F

∂xidxi = SδaF (3.46)

dimana operator

Sδa = 1 + δaσXσ (3.47)

mempengarui perubahan infinitesimal F → F +dF yang diimbas oleh parameter-

parameter infinitesimal δaσ. Dua buah transformasi infinitesimal berturut-turut

SδaSδb bekerja pada F memerikan transformasi infinitesimal lainnya

SδaSδb = (1 + δaσXσ)(1 + δbρXρ) = 1 + δaσXσ + δbρXρ (3.48)

karena hanya orde pertama yang harus dipertahankan. Persamaan (3.48) me-

nunjukkan bahwa perkalian 2 elemen grup berkorespon dengan penjumlahan

parameter-parameter transformasi infinitesimal. Sekarang coba kita pandang

satu buah parameter grup Lie berhingga (bukan infinitesimal) berorde-1 dan

menuliskan perubahan infinitesimalnya dari parameter tersebut, a, δa sebagai

δa =a

N(3.49)

dengan N menyatakan bilangan sembarang yang besar. Menerapkan transformasi

(3.47) sebanyak N kali, kita akan peroleh

Sa = (1 +a

NX)N

yang mana, untuk limit N →∞, menjadi

Sa = eaX (3.50)

dan dapat diperumum ke grup berorde-r dengan menuliskan

Sa = eaρXρ (3.51)

dimana aρ berkoresponden dengan parameter-parameter grup ”kanonik” yang

istimewa. Invers dari transformasi (3.51) dapat ditulis

S−1a = e−aρXρ (3.52)

yang ternyata merupakan transformasi dengan tanda berlawanan dengan trans-

formasi (3.51). Secara umum, operator infinitesimal Xρ tidak saling commute,

sehingga urutan operator harus diperhatikan. Operator (3.47) dapat dipandang

36

sebagai ekspansi taylor orde pertama dari (3.51) dengan aρ → δaρ. Terkadang

jika suku-suku orde pertama hasil ekspansi saling meniadakan, maka kita harus

mempertahankan suku orde 2 dari ekspansi taylor (3.51) dan (3.52) tersebut.

Sa = 1 + δaσXσ +1

2δaσδaρXσXρ (3.53)

Sa = 1− δaσXσ +1

2δaσδaρXσXρ (3.54)

Salah satu teorema fundamental Lie menjamin bahwa kita tidak pernah membu-

tuhkan orde yang lebih tinggi dari 2, karena mereka terkait dengan komutator-

komutator dan hal ini mendefinisikan struktur grup. Contoh tipikal yang akan

diperlihatkan di sini adalah produk SaSbS−1a S−1

b . Perhitungan secara langsung

dari persamaan (3.53) dan (3.54) memberikan

SaSbS−1a S−1

b = 1 + δaσδbρ[Xσ, Xρ] (3.55)

Dalam aplikasi fisis grup Lie, generator Xσ (atau kombinasi linier dari mereka)

berkorespon dengan observabel-observabel. Invarian suatu hamiltonian terhadap

transformasi grup berarti

[H, Sa] = 0 (3.56)

yang mana dengan menggunakan Pers. (3.56) (3.47) atau (3.51) akan meng-

hasilkan

[H, Xσ] = 0 (3.57)

karena aσ atau δaσ bebas linier stau sama lain. Maka sifat invarian dari hamilto-

nian terhadap transformasi-transformasi yang membentuk grup Lie berarti bahwa

H commute dengan semua generator grup tersebut. Berikut ini terdapat suatu

contoh penentuan generator-generator grup Lie.

Tentukan generator-generator dan Aljabar Lie dari transformasi linier berikut:

x′ = ax + b

Elemen identitas dari transformasi adalah x′ = x. Transformasi infinitesimal di

sekitar elemn identitas memberikan

x′ = (1 + δa)x + δb

maka

dx = (δa)x + δb

37

Terhadap transformasi ini F (x) berubah secara infinitesimal menjadi:

F (x + dx) = F (x) + dxdF

dx= [1 + (δax + δb)] F

sehingga terdapat 2 generator:

Xa = xd

dx, Xb =

d

dx

sehingga Aljabar Lienya adalah:

[Xa, Xb] = xd

dx

(d

dx

)− d

dx

(x

d

dx

)= − d

dx= −Xb

3.4 Grup Simpel dan Semi-Simpel

Sekarang, kita akan menggunakan persamaan (3.55) untuk menemukan beberapa

sifat konstanta struktur dari grup simpel dan semi-simpel. Terlepas dari itu, ,

kita dapat melihat bahwa persamaan (3.55) mempunyai konsekuensi langsung

terhadap grup abelian dimana

SaSb = SbSa

atau

SaSbS−1a S−1

b = 1

menggunakan (3.55), kita dapatkan

1 + δaρδbσ[Xρ, Xσ] = 1 (3.58)

maka

[Xρ, Xσ] = 0 (3.59)

konsekuensinya, semua konstanta struktur untuk grup abelian bernilai 0

cτρσ = 0 untuk semua ρ, σ, τ (3.60)

Aljabar dari suatu grup abelian dikatakan bersifat abelian atau komutatif. Pada

bagian 2.2, kita lihat bahwa suatu subgrup merupakan himpunan bagian S ′ dari

elemen-elemen sautu grup S yang membentuk juga grup dengan hukum komposisi

yang sama. Ambil elemen-elemen S ′aS′b ∈ S ′ dan juga

S ′aS′b(S

′a)−1(S ′b)

−1 = S ′c ∈ S ′ (3.61)

38

menggunakan (3.55) pada sisi kiri dan (3.47) pada sisi kanan persamaan (3.61),

kita dapatkan

1 + δaρδbσ[Xρ, Xσ] = 1 + δcτXτ (3.62)

Dari (3.40), kita juga bisa dapati

r∑τ=1

δaρδbσcτρσXτ =

p∑τ=1

δcτXτ

dimana r berada pada orde S dan p berada pada orde S’. Karena r > p, kita

dapat membagi penjumlahan pada sisi kiri menjadi 2 kontribusi penjumlahan

yang berbeda dan menuliskan:

p∑τ=1

(δaρδbσcτρσ − δcτ )Xτ +

r∑τ=p+1

δaρδbσcτρσXτ = 0 (3.63)

Xτ adalah besaran-besaran yang bebas linier, , yang mana

p∑ρ,σ=1

δaρδbσcτρσ = 0 untukτ > p (3.64)

atau

cτρσ = 0 untuk τ > p dan ρ, σ ≤ p (3.65)

Dengan definisi invariansubgrup yang telah dibahas sebelumnya, suatu invarian

subgrup H adaalh suatu subgrup dari S jika ia mengandung semua konjugat-

konjugat dari elemen-elemennya. Coba kita tandai orde dari H dan S berturut-

turut p dan r dengan (p < r)dan anggap h1 ∈ H dan s1 ∈ S sehingga

sh1s−1 ∈ H

dan juga

sh1s−1h−1

1 = h2 ∈ H (3.66)

menggunakan (3.55) pada sisi kiri dan (3.47) pada sisi kanan, kita dapat tuliskan

1 + δsρδhσ1 [Xρ, Xσ] = 1 + δhτ

2Xτ

atau, berdasarkan persamaan (3.40), kita dapatkan

r∑ρ=1

p∑σ=1

r∑τ=1

δsρδhσ1c

τρσXτ =

p∑τ=1

δhτ2Xτ (3.67)

39

dimana penjumlahan terhadap indeks-indeks yang berulang telah ditulis secara

eksplisit . Seperti pada kasus sebelumnya penjumlahan terhadap τ pada sisi kiri

dapat dipecah menjadi 2 bagian:

p∑τ=1

(r∑

ρ=1

σpσ=1δs

ρδhσ1c

τρσ − δhτ

2

)Xτ +

r∑τ=ρ+1

r∑ρ=1

p∑σ=1

δsρδσ1 cτ

ρσXτ = 0 (3.68)

Dari kebergantungan linier generator-generator , ternyata

r∑ρ=1

p∑ρ=1

cτρσδs

ρδhσ1 = 0 untuk τ > p (3.69)

dan karena δsρ dan δhσ1 variasi-variasi yang saling bebas, akhirnya dapat disim-

pulkan

cτρσ = 0 untuk τ > p, σ ≤ p dan untuk sembarang ρ (3.70)

Misalnya terdapat suatu grup memiliki subgrup invarian yang abelian. Jika

indeks-indeks dari generator dari subgrup invarian abelian ditandai dengan ρ, σλ, ...

maka menurut persamaan (3.36) kita dapat tuliskan

gρσ = cµρλc

λσµ = −cµ

ρλcλµσ

sdan menggunakan persamaan (3.70) untuk faktor kedua pada ekspresi di atas

kita dapatkan

gρσ = −cµ

ρλcλµσ

dan menggunakan persamaan (3.70) lagi pada faktor pertama , elemen tensor gρσ

menjadi

gρσ = −cµ

ρλcλσµ

Faktor kedua di atas adalah suatu konstanta struktur dari subgrup invarian

abelian dan berdasarkan persamaan (3.60), kita peroleh

gρσ = 0 (3.71)

ini berarti

det|gρσ| = 0 (3.72)

yang merupakan syarat perlu untuk suatu grup agar tidak bersifat semi-simpel.

Kebalikannya

det|gρσ| 6= 0 (3.73)

40

merupakan syarat cukup untuk suatu grup agar bersifat semi-simpel. Kondisi

(3.73) berarti bahwa matriks gρσ memiliki invers gρσ′ yang memenuhi

gρσgρσ′ = δσ′

σ (3.74)

Ada sebuah contoh bahwa grup euclidian dalam 2 dimensi E2 didefinisikan menu-

rut transformasi

x′ = xcosθ + ysinθ − ρ1

y′ = −xsinθ + ycosθ − ρ2

tidak bersifat semi-simpel . Transformasi pertama di atas secara geometris merep-

resentasikan 2 operasi berturut-turut:

1. Suatu translasi titik asal sistem koordinat oleh ρ = (ρ1, ρ2), dalam sistem

baru, vektor r = (x, y) memiliki komponen-komponen

x′ = x− ρ1, y′ = y − ρ2

2. suatu rotasi melalui sudut θ terhadap sumbu z dari sistem yang telah ter-

translasi

Sekarang, pandang suatu rotasi infinitesimal

cosθ ≈ 1, sinθ ≈ θ

maka

x′ − x = θy − ρ1

y′ − y = −θx− ρ2

Suatu fungsi skalar dapat berubah menjadi

F (xi + dxi) = F (xi) + dx∂F

∂x+ dy

δF

δy

=

[1 + (θy − ρ1)

∂

∂x+ (−θ − ρ2)

∂

∂y

]F

pada tiap parameter infinitesimal,θ, ρ1, ρ2, terdapat generator-generator yang

berkorespondensi dengan mereka menurut definisi (3.38), yaitu:

X1 = y∂

∂x− x

∂

∂y,

X2 = − ∂

∂x,

X3 = − ∂

∂y.

41

Aljabar-aljabar yang dapat dibentuk dari generator-generator ini adalah

[X1, X2] = X3, X[X1, X3] = −X2, [X2, X3] = 0

maka

c312 = 1, c2

13 = −1, c123 = 0

dan

gρσ =

−2 0 00 0 00 0 0

yang meninjukkan bahwa grup di atas tidak bersifat semi-simpel karena

det|gρσ| = 0

3.5 Aljabar Simpel dan Semi-simpel

Konsep-konsep dari grup Lie simpel dan semi-simpel dapat diperkenalkan melalui

aljabar yang dideskripsikan oleh grup tersebut. Untuk keperluan ini, kita perlu

mendefinisikan sub aljabar. Dalam analoginya dengan subgrup, suatu sub aljabar

L′ dari suatu aljabar Lie adalah suatu himpunan bagian dari L yang dengan

sendirinya membentuk suatu aljabar dengan komutator yang sama dengan yang

dimiliki L.

L′ dikatakan sub aljabar yang sejati (propersubalgebra) dari L jika paling sedikit

satu elemen dari L tidak terkandung di dalam L′. karena demikian, dimensi L′lebih kecil daripada dimensi L′.Suatu sub aljabar L′ dari L dikatakan membentuk sub aljabar invarian atau ideal

dari L jika komutator

[Xρ, Xσ] = cτρσXτ ∈ L′ (3.75)

untuk semua Xρ ∈ L dan Xσ ∈ L. Definisi ini ekivalen dengan persamaan

(3.70). Jika alajabar L mengandung anggota-anggota yang tak terdapat dalam

sub aljabar ideal, maka sub aljabar ideal ini dikatakan proper ideal.

3.6 Beberapa contoh Grup Lie

Pada subbab ini, kita kan mempelajari beberapa contoh Grup Lie . Elemen-

elemen grup Lie adalah berupa matriks persegi berukuran n x n. Alasannya

adalah bahwa semua Grup Lie yang penting dalam fisika adalah grup Lie lin-

ier. Agar membentuk grup maka matriks-matriks ini harus bersifat non-singular.

42

nama grup sifat

Simetrik a = aT

Skew-Simetrik a = −aT

Orthogonal a−1 = aT

Real a = a∗

imajiner a = −a∗

Hermitian a = a†

Skew Hermitian a = −a†

Uniter a−1 = a†

Tabel 3.1: Sifat matriks yang relevan terhadap definisi bermacam grup kontinu

Hukum komposisi grup adalah perkalian matriks yang memiliki sifat asosiatif.

Elemen-elemen suatu matriks bisa bersifat real (R) atau kompleks (C). Dalam

aplikasi fisis matriks-matriks ini, secara umum ditandai dengan a, berasal dari

suatu transformasi dari suatu ruang vektor x = (x1, x2, x3, ...xn) menjadi ruang

vektor lain x′ = (x′1, x′2, ..., x

′n)

x′ = ax (3.76)

Suatu grup transformasi dapat didefinisikan melalui sifat-sifat a. Sebuah daf-

tar sifat-sifat matriks yang relevan diberikan pada tabel 3.1. n2 buah elemn

matriks baik kompleks maupun real adalah parameter-parameter yang bervari-

asi secara kontinu. Konstrain yang dinyatakan oleh sifat-sifat yang tertera pada

tabel 3.1 biasanya membatasi banyaknya parameter-parameter independen. Pa-

da tabel 3.2 dijabarkan beberapa grup yang paling penting. Grup Linier umum

GL(n,C)terdiri dari matriks-matriks kompleks berderajat n merupakan grup ma-

triks linier terbesar. Grup-grup lain yang didaftarkan di bawah merupakan sub-

grup dari grup ini. Orde dari grup GL(n,C) diberikan oleh 2 kali banyaknya

elemen matriks n2, karena tiap elemen matriks berupa bilangan kompleks. Pada-

hal , grup GL(n,R) yang elemen-elemennya matriks real, berorde n2. Ternyata

GL(n,C) ⊃ GL(n,R) (3.77)

Dengan menerapkan kondisi det a = 1 (untuk suatu grup unimodular), kita

peroleh grup Spesial Linier kompleks, SL(n, C), atau grup Special Linier Real,

SL(n, R). Pada kasus pertama det a = 1 mengakibatkan terdapatnya 2 konstrain

43

Nama Grup Definisi Orde KeteranganLinier umum KompleksGL(n,C)

det a 6= 0 2n2 GL(n,C)⊃GL(n,R)

Linier umum RealGL(n,R) atau GL(n)

a = a∗

det a 6= 0n2

Spesial Linier KompleksSL(n,C)

det a=1 2n2 − 2 SL(n,C)⊃SL(n,R)

Spesial Linier RealSL(n,R) atau SL(n)

a = a∗

det a = 1n2 − 1

Uniter U(n) atau Un a−1 = a†

—det a—=1n2 Isomorfik de-

ngan GL(n,R)

Tabel 3.2: Macam-macam Grup Lie

dan pada kasus kedua , 1 konstrain, yang memberikan orde SL(n, C) , 2n2 − 2,

dan orde SL(n,R n2 − 1. Ternyata

GL(n,C) ⊃ SL(n,C) ⊃ SL(n,R) (3.78)

Elemen-elemen dari sautu grup unitary adalah berupa matriks-matriks uniter.

Sifat keunitarian menjamin bahwa transformasi linier (3.76) mempertahankan

keinvarianan bentuk kuadratik hermitian

n∑i=1

xix∗i (3.79)

kondisi keunitarian

aa† = a†a = 1 (3.80)

menghasilkan konsekuensi

det a = eiϕ (3.81)

dan mengakibatkan n konstrain dari elemen-elemen diagonal dan n(n − 1) dari

elemen matriks non diagonal, menyisakan

n2 − n− n(n− 1) = n2 (3.82)

buah parameter-parameter independen yang real yang menyatakan orde r dari

grup U(n). Untuk grup spesial unitary SU(n), restriksi tambahan adalah bahwa

det a = 1 (ϕ menjadi 0 pada persamaan (3.81)) mereduksi orde grup menjadi

44

r = n2−1. Transformasi linier kompleks (3.76) menghasilkan keinvarianan bentuk

kuadratikn∑

i=1

(xi)2 (3.83)

memiliki sifat

aT a = aaT = 1 (3.84)

dan membentuk grup linier ortogonal yang kompleks O(n,C). Kondisi ortogo-

nalitas (3.84) mengharuskan terdapatnya 2n buah konstrain dari elemen-elemen

diagonal dan n(n−1) dari elemen-elemen non-diagonal (bagian real dan imajiner

terpisah) yang mengakibatkan orde O(n, C) diberikan oleh

r = 2n2 − 2n− n(n− 1) = n(n− 1) (3.85)

Dengan membatasi matriks-matriks a harus real, kita peroleh grup real ortogonal

O(n,R) berorde

r = n2 − n− n(n− 1)

2=

n(n− 1)

2(3.86)

Kondisi ortogonalitas (3.84) juga memberikan

det a = ±1 (3.87)

dan elemen-elemen dari O(n,C)dapat dibagi menjadi 2 himpunan yang terputus,

yang pertama terkait dengan det a=+1 dan yang lainnya terkait dengan det a =

-1. Himpunan dengan det a=+1 membentuk subgrup SO(n,C) untuk a 6= a∗ dan

SO(n,R) untuk a = a∗. Mereka tetap berorde n(n− 1) dan n(n−1)2

. grup-grup ini

merepresentasiakn rotasi-rotasi ”sejati”. Sedangkan himpunan yang terkait de-

ngan det a =-1 merepresentasikan rotasi-rotasi ”tak-sejati” karena mengikutser-

takan inversi atau refleksi yang ditandai dengan operator I. Inversi bertanggung

jawab untuk det a=-1. Sehingga, kita dapat tuliskan, pada kasus ini, misalnya

O(n) = SO(n)× I (3.88)

dimana O(n) merupakan notasi alternatif untuk O(n,R).

Suatu generalisasi dari grup O(n) adalah grup O(n,m) dari transformasi-transformasi

linier real yang menginvariankan besaran

n∑i=1

x2i −

n+m∑j=n+1

(xj)2 (3.89)

45

Matriks a yang menginvariankan (3.89)harus memenuhi

aT ga = g (3.90)

dengan

g =

(In 00 In

)(3.91)

dimana In matriks satuan berukuran n × n. Dengan generalisasi (3.86), kita

dapati bahwa orde O(n,m) adalah

r =1

2(n + m)(n + m− 1) (3.92)

Ruang Minkowski x1, x2, x3, ix0 yang kuadrat jaraknya dari titik asal diberikan

oleh

s2 = (x0)2 − (x1)2 − (x2)2 − (x3)2 (3.93)

merupakan kasus khusus dari (3.89). Grup yang menginvariankan (3.93) meru-

pakan grup Lorentz homogen yang isomorfik terhadap O(3,1). Grup Simpletik

dibentuk oleh matriks-matriks berukuran 2n× 2n yang menginvariankan bentuk

bilinier skew simetrikn∑

k=1

(xky−k − x−kyk) (3.94)

Keinvarianan (3.94) mengimplikasikan

aT ga = g (3.95)

dimana g sekarang matriks skew simetrik

g =

(0 In

−In 0

)(3.96)

Kita dapat melihat bahwa suatu transformasi simpletik hanya dapat didefinisikan

dalam dimensi genap saja. Ada 3 tipe grup simpletik yaitu

a real Sp(2n, R)

a kompleks S(2n,C)

a uniter Sp(2n)

Untuk Sp(2n,R) banyaknya konstrain yang dihasilkan dari elemen-elemen diag-

onal (3.95) sama dengan n dan terdapat 4C2n buah konstrain dari elemen-elemen

non-diagonal, sehingga ordenya adalah

r = (2n)2 − (2n2 − n) = n(2n + 1) (3.97)

46

Untuk Sp(2n, C) baik banyaknya parameter-parameter real maupun banyaknya

konstrain 2 kali lipat sehingga ordenya

r = 2n(2n + 1) (3.98)

Untuk Sp(2n, C), kondisi unitari (3.80) mengakibatkan terdapatnya 2n + C22n

buah konstrain tambahan terhadap Sp(2n, C), sehingga ordenya menjadi

r = 2n(2n + 1)− 2n− n(2n− 1) = 2n2 + n (3.99)

3.7 Kekompakan

Transformasi infinitesimal memparameterisasi elemen-elemen grup di sekitar ele-

men identitas dan merupakan pencerminan sifat-sifat lokal suatu grup. Walaupun

kebanyakan informasi yang terkait dalam struktur suatu grup Lie berasal dari

studi terhadap sifat lokalnya, terdapat sifat global yang juga penting, misalnya

Kekompakan compactness.

Seperti dalam ruang euclid berdimensi berhingga, kekompakan dari grup Lie

mengacu kepada ruang parameter-parameter grup. Teorema Heine-Borel menya-

takan bahwa suatu himpunan bagian titik-titik dalam ruang euclid berdimensi

berhingga bersifat kompak jika dan hanya jika himpunan bagian tersebut ter-

tutup/terbatas. Suatu set titik-titik di dalam interval [a,b] tertutup jika dan

hanya jika kedua ujung interval dapat dicakupi. Definisi ini mengacu hanya

pada himpunan-himpunan terhubung saja. Dalam bahsa teori grup, grup ter-

hubung berarti bahwa dari sembarang elemen g, kita dapat memperoleh elemen

identitas dengan variasi yang kontinu dari r parameter-parameter grup tersebut.

Kesimpulannya, suatu grup Lie dikatakan kompak jika parameter-parameternya

a1, a2, ...ar terbentang di dalam interval tertutup berhingga

αρ ≤ aρ ≤ βρ , ρ = 1, 2, ..., r

Banyak grup yang menarik di fisika bersifat kompak. Misalnya untuk U(n),

kondisi unitari menghendaki

n∑j=1

|aij|2 = 1 untuk semua i

yang menunjukkan bahwa |aij| ≤ 1 untuk semua i dan j, yaitu bahwa parameter-

parameter dari U(n) bervariasi terbatas di dalam interval tertutup berhingga.

47

Argumen yang mirip berlaku untuk SU(n) atau O(n) yang merupakan subgrup

dari U(n). Grup-grup bersifat tidak kompak kalau himpunan-himpunan param-

eter mereka memiliki jangkauan yang tak berhingga dan oleh karenanya tak ter-

batas.

Perbedaan antara Grup Lie yang kompak dan yang tidak kompak sangat pent-

ing karena teori representasinya sangat berbeda. Setiap representasi berdimensi

berhingga dari sautu grup Lie kompak ekivalen dengan suatu representasi uniter

dan oleh karenanya bersifat redusibel. Untuk grup Lie non-kompak, representasi-

representasi berdimensi berhingga tidak lagi uniter dan semua representasi uni-

tarinya berdimensi tak hingga.

3.8 Penjumlahan langsung dan Semi-langsung

dari Aljabar Lie

Suatu aljabar Lie yang real maupun kompleks L merupakan suatu penjumlahan

langsung dari 2 aljabar Lie L1 dan L2

L = L1 ⊕ L2

jika ruang vektor dari L merupakan penjumlahan langsung dari ruang-ruang vek-

tor L1 dan L2 dan jika sembarang elemen L1 commute dengan sembarang elemen

L2 . Jika L1 dan L2 merupakan aljabar-aljabar Lie dan grup-grup Lie H1 dan H2

maka aljabar Lie dari perkalian langsung H1×H2 isomorfik terhadap L1⊕L2 con-

tohnya SO(4) = SO(3) × SO(3). Representasi-representasi dari perkalian lang-

sung grup H1×H2 diberikan oleh perkalian langsung dari representasi-representasi

H1 dan H2. misalnya D1 dan D2 representasi-representasi berdimensi n1 dan n2

dari dua aljabar Lie berturut-turut L1 dan L2 maka matriks

D = D1 ⊗ In2 + D2 ⊗ In1

dimana In merupakan matrik satuan berukuran n × n merupakan representasi

berdimensi n1n2 dari L1 × L2 Aljabar dari perkalian langsung selalu isomorfik

denagn aljabar penjumlahan langsung. sebaliknya, jika suatu grup Lie memiliki

suatu aljabar yang isomorfik dengan suatu penjumlahan langsung tidak selalu

berarti bahwa grup tersebut adalah suatu perkalian langsung. misalnya untuk

U(n) dengan n ≥ 2. aljabar U(n) isomorfik dengan U(1) + SU(n) dimana U(1)

∼ In. namun U(n) bukan merupakan perkalian langsung dari U(1) dan SU(n)

48

karena kedua grup ini memiliki dua elemen yang sama In dan −In yang melanggar

definisi suatu perkalian langsung grup. dalam kasus tersebut kesulitan dalam

teori representasi dapat diatasi dengan universal covering group yang mereduksi

masalah representasi grup tersebut menjadi masalah grup SU(n)

3.9 Representasi Kontradingen

Untuk suatu representasi matriks tertentu yang didefinisikan oleh pemetaan g →D(g), representasi kontradingennya diberikan oleh

g → DT (g−1) = (DT )−1(g)

Jika D uniter, maka begitu pula representasinya. Dan pada kasus ini (DT )−1 =

D∗.

Representasi D∗ yang diperoleh dari D dengan proses kompleks konjugasi disebut

representasikonjugat atau representasikomplekskonjugat. Maka, dalam kasus

representasi uniter, representasi-representasi konjugat dan kontradingen bersifat

identik.

Mudah untuk mendefinisikan representasi kontradingen menggunakan diagram

Young . Untuk suatu diagram Young dengan partisi [f1, f2, ..., fn], dapat ditun-

jukkan bahwa representasi kontradingen yang berkorespon dengannya dideskrip-

sikan sebagai [f1−fn, f1−fn−1, ..., f1−f2]. Partisi semacam ini adalah sedemikian

sehingga dapat melengkapi segiempat dengan n baris dan f1 kolom. Misalnya,

representasi [6541] dari SU(4) dan representas kontradingennya [521] adalah :

... dan (3.100)

Jika semua matriks dari suatu representasi real, maka representasinya bersifat

real. Jika D ekivalen dengan suatu representasi real D′, maka D ekivalen dengan

D∗. Hal ini mudah terlihat, karena keekivalenan antara D dan D′ berarti

D′(g) = TD(g)T−1untuk semua g ∈ G

dimana T merupakan matriks tak-singular. Dengan mengambil kompleks konju-

gatnya, kita peroleh

D′(g) = T ∗D∗(g)T ∗−1

49

Oleh karena itu,

D∗(g) = T ∗−1D′(g)T ∗ = T ∗−1TD(g)T−1T ∗

= (T−1T ∗)−1D(g)T−1T ∗

Namun demikian, terdapat contoh-contoh dimana D dan D∗ ekivalen tanpa harus

real. Jika D ekivalen terhadap suatu representasi real, maka dikatakan D real

atau berpotensial real. Misalnya, semua irrep grup rotasi R3 secara potensial

bernilai real. Jika D ekivalen terhadap D∗ tapi D tidak ekivalen terhadap suatu

representasi real, maka D disebut pseudoreal

50

Bab 4

Hasil dan Pembahasan

Transformasi-transformasi linier yang menginvariankan bentuk hermit kuadratik

n∑i=1

xix†i

membentuk grup uniter U(n) yang elemen-elemennya berupa matriks-matriks

uniter. Grup-grup uniter memiliki aplikasi yang luas di dalam ilmu fisika. Grup-

grup ini menjelaskan karakteristik intrinsik dari partikel-partikel kuantum atau

sekumpulan derajat kebebasan dalam sistem komposit (sistem yang terbentuk

dari satuan-satuan yang lebih elementer). Misalnya grup SU(3) digunakan un-

tuk menjelaskan level-level rotasi dari nuklei yang terdeformasi. Grup SU(2)

berkaitan dengan derajat kebebasan spin dan isospin. Grup SU(3) berkaitan de-

ngan kombinasi isospin dan hypercharge, yang digunakan oleh Gell-Mann dan

Ne’eman untuk mengklaksifikasi partikel-partikel elementer. Dalam SU(3), kita

dapat memperkenalkan 3 cita rasa kuark yaitu:up,down,strange. Dengan menam-

bah satu cita rasa, yaitu charm, kita dapat menggunakan SU(4) untuk memperlu-

as klaksifikasi partikel elementer. Kesimetrian cita rasa didukung oleh ide bahwa

hadron merupakan sistem gabungan kuark dan interaksi antar kuark merupakan

interaksi yang tidak bergantung pada cita rasa. Jika semesta pembicaraan diper-

luas menyangkut 2 cita rasa tambahan, yaitu bottom, top maka grup SU(6) dapat

digunakan untuk keperluan ini. Kendati demikian, pecahnya kesimetrian akan

sering terjadi dengan bertambahnya cita rasa. Grup SU(4) diperkenalkan seba-

gai grup simetri nuklei yang berdasar pada fakta bahwa tiap nukleon memiliki 4

keadaan intrinsik bebas yang berkaitan dengan 2 buah kemungkinan keadaan spin

±12

dan 2 kemungkinan nilai isospin ±12. Grup yang cukup untuk mendeskrip-

sikan hal ini adalah SUS(2)×SUI(2) dimana S dan I berturut-turut menyatakan

spin dan isospin. Ini merupakan subgrup dari SU(4) dan memerlukan represen-

51

tasi iredusibel dari SU(4) dikonstruksi dari perkalian langsung dari representasi

iredusibel SUS(2) dan SUI(2). hasil dari perkalian ini dapat menjelaskan super-

multiplet dalam nuklei. Kita juga dapat mengkombinasikan spin dan cita rasa

SU(3) pada hadron yang dipandang sebagai sistem gabungan kuark. Maka, kita

dapatkan perkalian langsung grup SUS(2) × SUF (3) yang merupakan subgrup

dari SU(6) yang representasinya akan membangkitkan keadaan supermultiplet

untuk baryon. Grup SU(2)× U(1) menyediakan kerangka kerja untuk interaksi-

interaksi elektromagnet dan SUC(3) merupakan grup gauge untuk interaksi kuat.

Grup-grup uniter juga digunakan dalam klaksifiaksi fungsi gelombang banyak

partikel dalam fisika nuklir dan fisika atom. Selanjutnya, Kita akan deskripsikan

beberapa sifat matematis dari U(N) dan SU(N) dan membahas secara detail

SU(2), SU(3), dan SU(4). Lalu pada akhirnya, kita akan masuk ke masalah uta-

ma skripsi ini, Klaksifikasi partikel elementer berdasarkan representasi grup di

mana kesimetrian terjadi.

4.1 Sifat umum Grup-grup Uniter

Suatu matriks u uniter berukuran n× n secara umum dapat ditulis sebagai

u = eih (4.1)

dimana matriks h bersifat Hermitian:

h = h† (4.2)

yang didapat dari kondisi unitaritas uu† = 1. Kehermitan dari h menunjukkan

bahwa n elemen-elemen diagonalnya real dan elemen-elemen non-diagonal nya

mengandung 12n(n−1) parameter-parameter bebas kompleks. Secara keseluruhan

ada n2 parameter bebas real, yang merupakan orde dari U(n). Kondisi unitaritas

menjamin

|det u|2 = 1 (4.3)

Matriks u ini juga bisa didiagonalisasi dengan matriks uniter lain v:

u′ = vuv−1

52

Maka, kita dapat tuliskan:

det u = det u′ =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

ei.h′11

ei.h′22

..

ei.h′nn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(4.4)

= ei.trace(h′) = ei.trace(vhv−1) = ei.trace(h)

karena h adalah matriks hermit , maka

trace h = α = real (4.5)

bersamaan dengan persamaan (4.4) , memberikan

det u = eiα (4.6)

Untuk α = 2πn, kita peroleh bahwa det u = 1, suatu transformasi uniter spesial,

yang merupakan elemen dari SU(n) yang memiliki n2−1 parameter karena α telah

dispesifikasi. Jadi, elemen dari SU(n) didefinisikan oleh

u0 = eih0 , trace h0 = 0, det u0 = 1 (4.7)

Maka, suatu elemen dari U(n) dapat ditulis sebagai

u = eih = ei(h0+α/n1n) = ei(α/n)1nu0 (4.8)

dimana 1n merupakan matriks satuan berukuran n × n. Sekarang kita alihkan

pada U(1)yang merupakan grup yang penting dalam fisika. Generatornya F0 ∼ 1n

merepresentasikan operator bilangan partikel. Jika N merupakan eigenvalue dari

F0, aksi U(1) pada suatu fungsi gelombang ψ menghasilkan fase

U(1)ψ → eiN0aψ (4.9)

dimana a0 berhubungan dengan parameter α. Sehingga, keinvarianan terhadap

U(1) berarti kekekalan bilangan partikel, misalnya bilangan baryon, bilangan

lepton, muatan, dst. Dalam suku parameter-parameter grup aρ matriks hermit

(8.1) dapat ditulis

h =n2−1∑ρ=0

aρ λρ

2(4.10)

Matriks-matriks λρ membentuk suatu himpunan lengkap. Untuk U(2), matriks-

matriks tersebut adalah: 12, σx, σy, σz dan untuk U(3) : 13 dan 8 buah matriks

53

Gell-mann yang akan diperkenalkan nanti. Matriks-matriks ini ternormalisasi

sehingga

trace(λiλj) = 2δij (4.11)

Secara khusus, hal ini memberikan

λ0 =

√2

n1n (4.12)

yang menghasilkan nilai

a0 = trace(hλ0) = α

√2

n(4.13)

untuk SU(n) , matriks hermit h0 mengandung semua suku (8.10) kecuali λ0

h0 =n2−1∑ρ=1

aρ λρ

2(4.14)

sifat trace(h0) mengimplikasikan

trace λρ = 0 (4.15)

4.2 Grup SU(2)

Suatu elemen SU(2) adalah matriks uniter berukuran 2× 2 :

u =

(a bc d

)(4.16)

dengan a, b, c, dan d bilangan kompleks, sehingga terdapat 8 parameter real. Juga

dipenuhi bahwa

det u = 1

dan

u−1 =

(d −b−c a

)

dan karena kondisi unitaritaritas u† = u−1 mengharuskan d = a∗ dan c = −b∗

sehingga u dapat ditulis dalam bentuk

u =

(a b−b∗ a∗

)(4.17)

yang hanya mengandung 4 buah parameter . Kondisi det u = 1 memberikan

konstrain

aa∗ + bb∗ = 1 (4.18)

54

Untuk transformasi infinitesimal, sangat berguna untuk memperkenalkan parametrisasi

berikut:

a = 1− 1

2a11, b = −1

2b12 − i

2a12 (4.19)

yang konsisten dengan det u = 1, sehingga kita dapat tuliskan

u =

(1 00 1

)− i

2a11

(1 00 −1

)− i

2a12

(0 11 0

)− b12

2

(0 1−1 0

)

= 12 − i

2a11σz − i

2a12σx − i

2b12σy (4.20)

Dimana 12 merupakan matriks berukuran 2 × 2 dan σx, σy, dan σz merupakan

matriks Pauli

σx =

(0 11 0

); σy =

(0 −ii 0

); σz =

(1 00 −1

)(4.21)

Dari sini, kita dapati 3 generator SU(2) sebagai berikut

Ji = Si =1

2σi , (i = x, y, z) (4.22)

Transformasi berhingga dari grup ini adalah:

u = e−iω.J (4.23)

dimana untuk kasus ini, ω = (a12, b12, a11)

4.3 Homomorfisme SU(2) dengan R3

Untuk membuktkan homomorfisme, kita harus berurusan dengan transformasi

berhingga SU(2) seperti (4.17) dan mengkaitkannya dengan rotasi. Pandang

suatu vektor kompleks

w = u + iv (4.24)

yang memiliki sifat

w.w = w21 + w2

2 + w33 = 0 (4.25)

Pandang pula suatu rotasi real dengan parameter α, β, γ. Terhadap transformasi

ini, vektor w menjadi

w′ = Rw (4.26)

dengan

u′ = Ru v′ = Rv (4.27)

55

Secara definisi, suatu rotasi menginvariankan panjang vektor, sedemikian sehing-

ga

w′.w′ = (w′1)

2 + (w′2)

2 + (w′3)

2 = 0 (4.28)

Sekarang, kita akan parameterisasi komponen-komponen wi(i = 1, 2, 3). Per-

samaan (4.25) juga berarti:

u.u = v.v, u.v = 0 (4.29)

Malah, akan lebih sederhana, jika kita perkenalkan lagi 2 besaran kompleks ξ dan

η dan mengkaitkannya dengan wi dengan cara sebagai berikut

w1 − iw2 = η2 (4.30)

w1 + iw2 = −ξ2 (4.31)

w3 = ξη (4.32)

Suatu rotasi umum terhadap sumbu tertentu merupakan serentetan 3 rotasi

berturut-turut: rotasi sudut γ terhadap sumbu-z, diikuti dengan rotasi sudut

β terhadap sumbu-y, dan rotasi sudut α terhdap sumbu-z lagi. Kita mulai bahas

yang terakhir:

w′1 = w1cosα + w2sinα (4.33)

w′2 = −w2sinα + w2cosα (4.34)

w′3 = w3 (4.35)

yang menghasilkan

η′2 = w′1 − iw′

2 = eiα(w1 − iw2) = eiαη2 (4.36)

−ξ′2 = w′1 + iw′

2 = −e−iαξ2 (4.37)

Dengan menarik akar (4.36) dan (4.37), kita dapati

(ξ′

η′

)= ±

(e−i/2α 0

0 ei/2α

)(ξη

)(4.38)

Perhatikan bahwa matriks yang didapat

uα =

(e−i/2α 0

0 ei/2α

)(4.39)

56

bersifat uniter dan dua matriks yang berbeda ±uα berkoresponden dengan rotasi

sudut α yang sama. Rotasi sudut β terhadap sumbu-y menghasilkan transformasi

w′1 = w1cosβ + w3sinβ (4.40)

w′2 = w2 (4.41)

w′3 = w1sinβ + w3cosβ (4.42)

yang mana akan menghasilkan

η′2 =(ξcos(β

2) + ηsin(β

2))2

(4.43)

ξ′2 =(ξsin(β

2)− ηcos(β

2))2

(4.44)

ξ′η′ =(ξcos(β

2) + ηsin(β

2)) (−ξsin(β

2) + ηcos(β

2))

(4.45)

Ternyata (ξ′

η′

)= ±

(cos(β

2) sin(β

2)

−sin(β2) cos(β

2)

)(ξη

)(4.46)

Kita peroleh matriks uniter yang real berukuran 2 × 2

uβ =

(cos(β

2) sin(β

2)

−sin(β2) cos(β

2)

)(4.47)

dan lagi baik ±uβ berkaitan dengan rotasi sudut β yang sama . Matriks yang

terkait dengan suatu rotasi sudut γ terhadap sumbu-z seperti (4.39) namun

bergantung pada γ

uγ =

(e−i/2γ 0

0 ei/2γ

)(4.48)

Oleh karena itu , homomorfisme antara SU(2) dengan R3 berarti bahwa 2 matriks

uniter berukuran 2 × 2 yang berbeda tanda berkorespon terhadap rotasi R yang

sama

±u → R (4.49)

dimana

u = uαuβuγ =

(e−i/2(α+γ)cos(β

2) e−i/2(α−γ)sin(β

2)

−ei/2(α−γ)sin(β2) e−i/2(α+γ)cos(β

2)

)(4.50)

Matriks u ini dapat diidentifikasi sebagai matriks uniter spesial menurut (4.17),

sehingga didapat bahwa:

|a| = cosβ

2, arg a = −1

2(α + γ) (4.51)

|b| = sinβ

2, arg b = −1

2(α− γ)

57

Matriks (4.50) merupakan transpos dari representasi fundamental D1/2 dari SU(2),

dan dengan menuliskan

ξ = χ 12

12, η = χ 1

2− 1

2(4.52)

Kita dapat menuiskan bahwa

D1/2(α, β, γ) = uT (4.53)

dengan uT merupakan transpos dari matriks (4.50). Sedangkan transpos matriks

uβ dari (4.47) dapat ditulis sebagai

d1/2(β) = uTβ (4.54)

dimana d1/2 representasi fundamental untuk grup rotasi R3. Menurut (4.23) kita

dapat mencakupkan spin ke dalam operator rotasi dengan menganggap generator-

generator grup rotasi sebagai komponen-koponen momentum angular total

J = L + S (4.55)

Jadi, ketika suatu partikel memiliki spin, maka operator rotasi partikel tersebut

mengandung momentum angular total. berdasarkan basis ini, teori representasi

SU(2) dan R3 adalah sama.

4.4 Multiplet

Multiplet merupakan sehimpunan keadaan-keadaan kuantum yang membentuk

subspace invarian untuk suatu representasi iredusibel suatu grup. Keadaan-

keadaan dalam multiplet terkait satu sama lain melalui grup transformasi tapi

sifatnya terdegenerasi. Seperti yang telah dijelaskan pada awal bab ini, keinvari-

anan SU(2) menghasilkan keterdegenerasian spin dan isospin. Deskripsi matem-

atis untuk spin dan isospin sama seperti yang telah diuraikan pada bab subbab

sebelumnya. Dua keadaan isospin I = 12, Iz = ±1

2memiliki sifat yang sama seper-

ti keadaan spin S = 12, Sz = ±1

2. Sama seperti spin, maka pada isospin terdapat

2 basis vektor pada ruang isospin

u =

(10

)d =

(01

)(4.56)

Berdasarkan analogi dengan (4.22), generator dari SUI(2) adalah

Ii =1

2τi (i = x, y, z) (4.57)

58

dimana:

τx =

(0 11 0

); τy =

(0 −ii 0

); τz =

(1 00 −1

)(4.58)

Merekapun memiliki aljabar yang sama dengan R3 dan transformasi berhingga

u = e−iω.I (4.59)

dimana ω merupakan sudut rotasi di ruang isospin. Grup SUI(2) merupakan

grup simetri untuk interaksi kuat, yang berarti bahwa:

[Hstrong, I] = 0 (4.60)

Maka, suatu isomultiplet yang mengandung 2I + 1 partikel dan dianggap seba-

gai keadaan yang berbeda untuk partikel yang sama dan harus memiliki massa

yang sama (atau berbeda sedikit). Misalnya untuk I = 12

, contoh isomultiplet

adalah baryon (p,n) atau meson (K+, K0). Pion(π+, π0, π−) membentuk suatu

isomultiplet dengan I = 1. Perluasan ke banyak partikel mirip dengan perlakuan

terhadap momentum angular total dari sistem banyak partikel. Isospin dari n

partikel bergabung bersama memberikan

I =n∑

i=1

I(i) (4.61)

Contoh yang cukup menarik untuk sistem banyak partikel dari sudut pandang

isospin adalah nukleus

4.5 Grup SU(3)

Mula-mula, kita akan turunkan generator-generator grup SU(3) berdasarkan pada

transformasi infinitesimal. Matriks 3 × 3 diperoleh dari mengerjakan generator-

generator ini dalam ruang berdimensi 3 dan menghasilkan matriks Gell-Mann.

Keterkaitan antara osilator harmonik isotropik dan SU(3) juga akan dibahas

4.5.1 Transformasi Infinitesimal

Kita mulai dari representasi fundamental yang merupakan matriks uniter beruku-

ran 3× 3. Di sekitar elemen identitas, matriks u ini dapat ditulis

u = 13 + iρ (4.62)

59

Dimana 13 merupakan matriks identitas berukuran 3× 3, dan ρ merupakan ma-

triks kompleks berukuran 3× 3 yang memenuhi sifat

ρ = ρ† (4.63)

diperlukan oleh kondisi unitaritas. Maka, jika ρij = aij+ibij, maka harus dipenuhi

pula bahwa

aij = aji, bij = −bji (4.64)

yang berarti bahwa bii = 0. Akan lebih nyaman bekerja langsung dalam basis

sferis dimana koordinat-koordinat suatu titik adalah x1, x0, x−1, dan transformasi

infinitesimal akan mengubah xi menjadi x′i(i = 1, 0,−1) oleh

x′1x′0x′−1

=

1 + ia11 ia10 − b10 ia1−1 − b1−1

ia10 + b10 1 + ia10 ia0−1 − b0−1

ia1−1 + b1−1 ia0−1 + b0−1 1 + ia1−1

x1

x0

x−1

(4.65)

Di sini, kita berurusan dengan transformasi spesial, yaitu det u =1. Parameter-

parameter transformasi infinitesimal harus memenuhi konstrain (suku orde ke-2

dalam ρij diabaikan)

a11 + a10 + a−1−1 = 0 (4.66)

. Maka, mengeliminasi a−1−1, matriks dari persamaan (4.65) bergantung pada 8

parameter bebas a11, a00, a10, b10, a1−1, b1−1, a0−1, b0−1, dan orde dari SU(3) adalah

8. Terhadap transformasi infinitesimal, suatu fungsi skalar f berubah menjadi

F (x′1, x′0, x

′−1) = SF (x1, x0, x−1) +

∑i

(x′i − xi)∂F

∂xi

=

[1 + ia11

(x1

∂

∂x1

− x−1∂

∂x−1

)+ ia00

(x0

∂

∂x0

− x−1∂

∂x−1

)

+ia10

(x1

∂

∂x0

+ x0∂

∂x1

)+ ia1−1

(x1

∂

∂x−1

+ x−1∂

∂x1

)+ ia0−1

(x0

∂

∂x−1

+ x−1∂

∂x0

)

+b10

(x1

∂

∂x0

− x0∂

∂x1

)+ b1−1

(x1

∂

∂x−1

− x−1∂

∂x1

)

+b0−1

(x0

∂

∂x−1

− x−1∂

∂x0

)F

](4.67)

60

Dari sini , kita dapat definisikan operator-operator infinitesimal

X11 = x1∂

∂x1

− x−1∂

∂x−1

, X00 = x0∂

∂x0

− x−1∂

∂x−1

X10 = x1∂

∂x0

+ x0∂

∂x1

, Y10 = −i

(x1

∂

∂x0

− x0∂

∂x1

)

X1−1 = x1∂

∂x−1

+ x−1∂

∂x1

, Y1−1 = −i

(x1

∂

∂x−1

− x−1∂

∂x1

)

X0−1 = x0∂

∂x−1

+ x−1∂

∂x0

, Y0−1 = −i

(x0

∂

∂x−1

− x−1∂

∂x0

)(4.68)

Pada setiap operator-operator tersebut, kita dapat asosiasikan suatu matriks.

Misalnya

X11

x1

x0

x−1

=

1 0 00 0 00 0 −1

x1

x0

x−1

, dan seterusnya (4.69)

Matriks-matriks yang dihasilkan terkait dengan 8 matriks Gell-Mann λi(i =

1, 2, ..., 8) sebagai berikut:

X11 + X00 =

1 0 00 1 00 0 −2

=

√3λ8, X11 −X00 =

1 0 00 −1 00 0 0

= λ3

X10 =

0 1 01 0 00 0 0

= λ1, Y10 =

0 −i 0i 0 00 0 0

= λ2

X1−1 =

0 0 10 0 01 0 0

= λ4, Y1−1 =

0 0 −i0 0 0i 0 0

= λ5

X0−1 =

0 0 00 0 10 1 0

= λ6, Y0−1 =

0 0 00 0 −i0 i 0

= λ7(4.70)

Semua matriks Gell-Mann traceless dan ternormalisir agar memenuhi (4.11). Da-

pat ditambahkan pula matriks λ0 menurut definisi (4.12):

λ0 =

√2

3

1 0 00 1 00 0 1

(4.71)

matriks ini berkorespon dengan generator infinitesimal U(1)

N = x1∂

∂x1

+ x0∂

∂x0

+ x−1∂

∂x−1

(4.72)

61

yang diperoleh seperti dengan cara diatas tapi mengabaikan konstrain 4.66. De-

ngan perhitungan langsung, dapat ditemukan pula bahwa aljabar Lie SU(3)

adalah:

[λk, λl] = 2ifklmλm (4.73)

dimana fklm bersifat antisimetrik terhadap pertukaran sembarang 2 indeks. Nilai-

nilai yang tidak habis adalah permutasi-permutasi berikut:

f123 = 1, f147 = f165 = f246 = f257 = f345 = f376 = 12

f458 = f678 =√

32

(4.74)

Jika λ0 tidak termasuk, mereka juga memenuhi

[λk, λl] = 2dklmλm +4

3δkl13 (4.75)

Dan jika λ0 termasuk, mereka memenuhi

λk, λl = 2dklmλm (4.76)

dimana konstanta dklm bersifat simetrik terhadap permutasi sembarang 2 indeks.

Nilai-nilai mereka yang tak nol diberikan oleh tabel 4.1.

Sama seperti SU(2), kita dapat memperkenalkan generator-generator:

Fi =1

2λi (4.77)

Relasi komutasi Fi dapat diperoleh langsung dari (4.73):

[Fi, Fl] = ifklmFm (4.78)

yang merepresentasikan bentuk lain dari Aljabar Lie SU(3). Dengan menggu-

nakan operator Fi, kita dapat tuliskan transformasi S yang didefinisikan menurut

(4.67)

S = 1 + iδθiFi (4.79)

Bentuk berhingganya

S = eiθiFi (4.80)

merupakan transformasi uniter karena θi real dan Fi bersifat hermit.

62

klm dklm klm dklm klm dklm

000√

23

118√

33

366 -12

011√

23

146 12

377 -12

022√

23

157 12

448 -√

36

033√

23

228√

33

558 -√

36

044√

23

247 -12

668 -√

36

055√

23

256 12

778 -√

36

066√

23

338√

33

888 -√

36

077√

23

344 12

088√

23

355 12

Tabel 4.1: Nilai-nilai Konstanta dklm yang didefinisikan menurut dan

63

4.5.2 Osilator harmonik 3 dimensi

Osilator harmonik isotropik merupakan contoh hamiltonian dengan degenerasi

yang disengaja, seperti atom hidrogen. Grup U(3) merupakan grup simetrik

terbesar karena kebergantungan V pada r2 yang juga merupakan kesimetrian di-

namis. Osilator harmonik diguakan untuk mendeskripsikan pergeseran kecil dari

posisi kesetimbangan. Dalam Fisika nuklir, digunakan sebagai pendekatan perta-

ma dari gerakan-gerakan individu masing-masing nukleon dalam nukleus (model

kulit) sedangkan dalam fisika subnuklir digunakan sebagai pendekatan terhadap

pembatasan potensial linier antara suatu kuark dan antikuark. Hasil yang diper-

oleh di bawah dapat langsung diperumum ke osilator harmonik berdimensi-n,

yaitu grup U(n). Jika kita mengukur jarak dalam satuan parameter panjang os-

ilator b =(

hmω

) 12

dan energi dalam satuan hω , hamiltonian osilator harmonik

suatu partikel bermassa m adalah:

H =1

2

(−∇2 + r2)

(4.81)

Sangat nyaman bekerja dalam koordinat katresian dan memperkenalkan operator-

operator kreasi

a†x =1√2

(x− ∂

∂x

)a†y =

1√2

(y − ∂

∂y

)a†z =

1√2

(z − ∂

∂z

)(4.82)

dan adjoin yang berkaitan dengan operator-operator di atas , operator-operator

anihilasi

ax =1√2

(x +

∂

∂x

)ay =

1√2

(y +

∂

∂y

)az =

1√2

(z +

∂

∂z

)(4.83)

sehingga hamiltonian (4.81) menjadi

H =∑

a†iai +3

2(4.84)

yang merupakan contoh bentuk kuadratik hermit . Operator-operator di atas

memenuhi relasi komutasi

[ai, aj] = [a†i , a†j] = 0, [ai, a

†j] = δij (4.85)

[ai, H] = ai [a†i , H] = −a†i (4.86)

Keadaan dasar dari H

|0 >=1

π34

exp

[−1

2(x2 + y2 + z2)

](4.87)

64

memnuhi kondisi

ai|0 >= 0

Keadaan tereksitasi yang berkaitan dengan eksitasi kuanta N = Nx + Ny + Nz

adalah

ψN = (a†x)Nx(a†y)

Ny(a†z)Nz |0 > (4.88)

Degenerasi suatu lebel dengan N kuanta adalah 12(N + 1)(N + 2), yang merep-

resentasikan penjumlahan terhadap degenerasi lipat-(2l + 1) dengan l = N, N −1, N − 2, ..., 1. Maka osilator harmonik memiliki degenerasi yang lebih banyak

daripada yang bisa kita harapkan dari kesimetrian sferis dan ini berasal dari kein-

varianan H terhadap U(3), dan R3 hanyalah subgrup dari U(3). Keinvarianannya

digambarkan melalui relasi komutasi

[a†iaj, H] = 0 (4.89)

yang dapat secara langsung diturunkan dari (4.85) dan (4.86). Maka ada 9

operator-operator

Aij = a†iaj (4.90)

yang kommut dengan H. Mereke merepresentasikan 9 buah generator U(3) dan

relasinya dengan 8 generator SU(3) yang didefinisikan sebelumnya. Operator ke-9

H0 = a†xax + a†yay + a†zaz (4.91)

berkorespon dengan (4.72 ) dan menghasilkan transformasi U(1) yang jelas mengkekalkan

banyaknya kuanta dan juga kommut dengan semua operator lainnya karena H0 =

H − 32. Dalam suku Aij, operator uniter mempunyai bentuk

U = exp

(∑ij

CijA− ij

)(4.92)

dimana parameter Cij harus memenuhi syarat

Cij = −C∗ij (4.93)

yang diperluakn oleh U † = U−1. Maka, dengan mengambil Cij = aij + ibij, kita

peroleh aij = −aji, bij = bji, yaitu 9 parameter-parameter bebas yang diperlukan

oleh U(3). Terhadap U , operator kreasi bertransformasi seperti

(a†i ) = Ua†iU−1 =

∑(exp C)ija

†j =

∑Uija

†j (4.94)

65

dimana matriks C yang diperkenalkan di atas dan u merupakan matriks uniter

yang merupakan salah satu elemen U(3). dalam aplikasinya di dalam fisika nuk-

lir , kombinasi linier dari Aij merupakan opertor tensor iredusibel terhadap ro-

tasi. Alasannya adalah bahwa dalam bentuk ini mereka memiliki arti fisis un-

tuk mendeskripsikan nuklei terdeformasi. Tensor operator L = 0 diberikan oleh

(4.91) dan merepresentasikan operator bilanagn partikel, tensor operator L = 1

berkorespon dengan momentum angular, dan L = 2 berkorespon dengan oper-

ator kuadrupol Qµ(µ = 0,±1,±2). Operator kuadrupol menghasilkan interaksi

kuadrupol-kuadrupol antara nukleon-nukleon.

Dari (4.85), kita dapat perlihatkan bahwa generator Aij memnuhi relasi komutasi

berikut

[Aij, Akl] = ailδjk − Akjδil (4.95)

Keabsahan relasi ini tidak hanya berlaku pada U(3),tetapi juga untuk alajabar

U(n) asalkan definisi Aij diperluas ke osilator harmonik isotropik berdimensi-

n U(n). Keberlakuan dari U(n) ke SU(n) dapat dibuat denagn mendefinisikan

operator-operator:

A′ij = Aij − 1

nδijH0 (4.96)

dimana H0 merupakan generalisasi dari (4.91) ke n dimensi. dari definisi (4.96)

mengimplikasikan bahwan∑

i=0

A′ii = 0 (4.97)

yakni hanya n− 1 dari operator-operator ini yang bebas linier, memberikan total

n2 − 1 buah generator-generator SU(n)

4.5.3 Diagram Bobot untuk representasi fundamental

Diagram beban dapat digunakan untuk memperoleh pelabelan komplit subspace

invrain dari suatu representasi. Kita dapat melabeli suatu irreps baik dengan

bobot tertinggi atau dengan nilai eigen dari operator-operator invarian. Pada

sembarang kasus, kita perlu nilai eigen dari Hi. Sebelum mendefinisikan operator-

operator invarian dari SU(3) da membahsa masalah pelabelan, coba kita latih

dahulu mula-mula dengan menggambar diagram bobot suatu representasi funda-

mental.

Bobot suatu representasi merupakan himpunan nilai-nilai eigen m1,m2, ..., ml

dari Hi. untuk SU(3), l = 2 sehingga, kita dapat gambarkan diagram bidang yang

66

mengandung titik-titik yang merepresentasi nilai-nilai dari sehimpunan (m1,m2).

Alih-alih menggunakan H1 dan H2 kita menggunakan

Y =2√3H1, I3 = H2 (4.98)

Operator-operator ini relevan untuk penggunaan dalam bidang fisika partikel.

Di dalam ruang 3 dimensi representasi fundamental, kita perkenalkan basis-basis

bebas linier

u =

100

d =

010

s =

001

(4.99)

Terminologi yang digunakan terkait dengan kuark-kuark u, d, dan s karena sperti

yang kana kita lihat di bawah , nilai-nilai eigen ini terkait dengan bilangan kuan-

tum kuark. Dengan menggunakan matriks-matriks (4.70) , dengan segera kita

dapat lihat bahwa:

Y u = 13u Y d = 1

3d Y s = −2

3s

I3u = 12u I3d = −1

2d I3s = 0 (4.100)

Pada diagram bobot gambar 4.1 setiap titik merepresentasikan sehimpunan (m1,m2)

nilai-nilai eigen yang berasosiasi dengan basisi vektor tertentu yang didefinisikan

sebelumnya menurut (4.99). Dengan penggunaan lebih lanjut matriks-matriks

(4.70), kita dapati:

d = I−u u = I+d

s = V−u u = V+s

s = U−d d = U+s (4.101)

dan

U−u = I+u = V+u = 0 (4.102)

Relasi-relasi (4.101) menunjukkan bahwa operator-operator tangga memperbolehkan

kita bergeser dari satu titik ke titik lain sehingga dapat menjelajahi seluruh titik-

titik pada diagram. Hal ini valid untuk sembarang diagram. Aksi operator-

operator tangga secar skematik digambarkan pada gambar 4.1.

Relasi-relasi (4.102) menunjukkan bahwa u berkorespon dengan bobot terting-

gi, yang tidak dapat dilampaui titik manapun. Selisih(

12, 1

3

) − (−12, 1

3

)= (1, 0)

dan(

12, 1

3

) − (0,−2

3

)=

(12, 1

)positif, berarti bahwa komponen pertama yang

tak-nol positif, sehingga u memiliki bobot yang lebih tinggi daripada d atau s

67

Gambar 4.1: Diagram Bobot Representasi Fundamental SU(3)

Gambar 4.2: Aksi dari operator tangga pada bidang I3-Y

4.5.4 Pelabelan irreps SU(3)

Untuk lebih jauh mengkonstruksi diagram-diagram bobot untuk representasi pa-

da dimensi yang lebih tinggi pada SU(3), kita melabelnya terlebih dahulu. Hal

68

ini dapat dikerjakan dengan menggunakan operator-operator invarian yang kom-

mut dengan semua generator. Grup SU(3) memiliki 2 operator invarian,yaitu

operator juadratik F 2 dan operator kubik G3 yang masing-masing didefinisikan

sebagai berikut:

F 2 =∑

FiFi = 34Y 2 + I2

3 + 12[I+, I−] + 1

2[U+, U−] + 1

2[V+, V−] (4.103)

G3 = 8∑

dijkFiFjFk (4.104)

Nilai-nilai eigen dari F 2 dan G3 dalam subspace invarian dari suatu irrep menyedi-

akan sehimpunan 3 indeks untuk melabel irreptersebut. Namun demikian, dalam

praktik, biasanya orang menggunakan label alternatif yang diperoleh dengan men-

gasosiasikan Diagram Young dengan suatu irrep. Untuk SU(3), sembarang Dia-

gram Young yang mengandung maksimum 3 baris dan representasi dari partisi

(f1 + s, f2 + s, f3 + s) dengan s = 0, 1, 2, 3, ..., n ekivalen satu sama lain. Ini

berarti bahwa dengan menambahkan sejumlah tertentu kolom-kolom yang terdiri

dari 3 baris masing-masing ke tiap diagram, orang akan peroleh representasi-

representasi ekivalen. Dengan kata lain, cukup untuk menspesifikasi panjang

dari baris pertama dan kedua sebagai berikut

︸ ︷︷ ︸ ︸ ︷︷ ︸yang berarti bahwa hanya 2 label λ = f1 − f2 dan µ = f2 − f3 yang diperlukan.

Maka, notasi untuk suatu irrep adalah (λ, µ). Misalnya, untuk representasi fun-

damental, orang menggunakan

atau (λµ) = (10)

Nilai eigen F 2 atau G3 sama untuk sembarang vektor-vektor subspace invarian

dari suatu irrep. Lebih baik menghitung nilai eigen ini mulai dari vektor bobot

tertinggi φmax. Kita pilih definisi berikut:

I+φmax = V+φmax = U−φmax = 0 (4.105)

Y φmax = 13(λ− µ)φmax (4.106)

I3φmax = 12(λ + µ)φmax (4.107)

Perhatikan bahwa (4.100)dan(4.102) konsisten dengan definisi ini. Mudah me-

nunjukkan bahwa untuk irrep (λµ), persamaan nilai eigen untuk F 2 adalah

F 2max =

1

3(λ2 + µ2 + λµ + 3λ + 3µ)φmax (4.108)

69

namun agak panjang untuk membuktikan bahwa pada akhirnya

G3φmax =1

9(λ− µ)(2λ + µ + 3)(λ + 2µ + 3)φmax (4.109)

Untuk satu dan beberapa hal kedua persamaan di atas hanya akan dipakai tanpa

pembuktian.

Secara umum, pelabelan secara komplit terhadap suatu vektor basis sautu ir-

rep ditunjukkan dengan mempertimbangkan rantai dari subgrup. Di sini, coba

pertimbangkan

SU(3) ⊃ SUI(2)× UY (1) (4.110)

yang disebut rantai kanonik. Grup SU(3) memiliki subgrup SU(2) yang berkore-

spon dengan spin-I, spin-U , dan spin-V berturut-turut. Semua spin ini memenuhi

relasi komutasi SU(2), asalkan kita definisikan

V3 =3

4Y +

1

2I3, U3 =

3

4Y − 1

2I3 (4.111)

Di sini, kita pilih SUI(2) berdasarkan spin-I (atau isospin). Operator-operator

kommutnya terdiri dari I2 dan I3. Generator dari UY (1) adalah operator hy-

percharge Y yang sebanding dengan H1 dari SU(3) sedemikian sehingga mereka

memenuhi relasi komutasi

[I2, I3] = [I2, Y ] = [Y , I3] = 0 (4.112)

Keinvarianan F 2 dan G3 kommut dengan semua generator , maka juga kommut

dengan I2, Y , dan I3. Maka, nilai-nilai eigen tersebut secara simultan mem-

bentuk vektor basis untuk suatu irrep (λµ) dan ini semua dapat dilabeli dengan

sehimpunan (λµ)II3Y . Dengan konstruksi eksplisit, orang juga dapat membuk-

tikan ini semua merupakan set uang komplit. Biasanya kita mulai dari vektor

bobot tertinggi dan dengan menerapkan operator-operator tangga I±, U±, dan

V± dan relasi komutasi antara mereka, kita dapat menjelajahi seluruh subspace

invarian (λµ). Banyaknya fungsi-fungsi bebas yang dihasilkan dari kesimetrian

(λµ) memberikan dimensi dari irrep (λµ) berikut:

dSU(3)(λµ) =

1

2(λ + 1)(µ + 1)(λ + µ + 2) (4.113)

Untuk ilai λ dan µ yang tetap sedemikian sehingga λ > µ. Nilai-nilai yang

mungkin dari Y dan I diperlihatkan pada tabel (4.2)

70

Kita akan lihat aksi eksplisit operator-operator tangga I±, U±, dan V± pada suatu

vektor basis φ(I, I3, Y ), kita peroleh

Y V±φ = (Y ± 1)V±φ

I3V±φ = (I3 ± 1

2)V±φ

yang menunjukkan bahwa V+(V−) menaikkan (menurunkan) Y dengan 1 dan I3

dengan 12. Dengan ringkasan berikut, kita dapatkan

I± : ∆I3 = ±1, ∆Y = 0 ∆I = 0

V± : ∆I3 = ±12, ∆Y = ±1 |∆I| = 1

2(4.114)

U± : ∆I3 = ∓12, ∆Y = ±1 |∆I| = 1

2

Untuk I±, ∆ = 0 berarti bahwa I± memiliki elemen matriks tak-nol hanya dalam

isomultiplet yang sama. Untuk V±, U±, perubahan I dapat diharapkan dari pe-

rubahan ∆I3. Operator-operator ini bekerja antara anggota-anggota isomultiplet

yang berbeda. Aturan (4.114) diilustrasikan pada gambar 4.2 . Formula umum

untuk aksi operator tangga pada vektor basis φ(I, I3, Y ) suatu irrep (λ, µ) adalah:

I±φ(I, I3, Y ) =√

I(I + 1)− I3(I3 ± 1)φ(I, I3 + 1, Y ) (4.115)

V±φ(I, I3, Y ) = a±φ(I + 12, I3 ± 1

2, Y ± 1)b±φ(I − 1

2, I3 ± 1

2, Y ± 1)(4.116)

U±φ(I, I3, Y ) = c±φ(I + 12, I3 ∓ 1

2, Y ± 1) + d±φ(I − 1

2, I3 ∓ 1

2, Y ± 1)(4.117)

dengan

a+ =

((I + I3 + 1)[1

3(λ− µ) + I + 1

2Y + 1][1

3(λ + 2µ) + I + 1

2Y + 2][1

3(2λ + µ)− I − 1

2Y ]

2(I + 1)(2I + 1)

) 12

(4.118)

dan

b+ =

((I − I3)[

13(µ− λ) + I − 1

2Y ][1

3(λ + 2µ)− I + 1

2Y + 1][1

3(2λ + µ) + I − 1

2Y + 1]

2I(2I + 1)

) 12

(4.119)

Koefisien-koefisien lainnya terkait dengan a dan b seperti yang diperlihatkan di

bawah. Malahan koefisien-koefisien a± dan b± merupakan elemen-elemen matriks

V±. Mereka bergantung pada I, I3, dan Y sehingga dapat dituliskan

a±(I, I3, Y ) =< φ(I +1

2, I3 ± 1

2, Y ± 1)|V±|φ(I, I3, Y ) > (4.120)

b±(I, I3, Y ) =< φ(I − 1

2, I3 ± 1

2, Y ± 1)|V±|φ(I, I3, Y ) > (4.121)

71

dan c± dan d± adalah

c± =< φ(I +1

2, I3 ∓ 1

2, Y ± 1)|U±|φ(I, I3, Y ) > (4.122)

d± =< φ(I − 1

2, I3 ∓ 1

2, Y ± 1)|U±|φ(I, I3, Y ) > (4.123)

dapat diperlihatkan pula bahwa

a−(I, I3, Y ) = b+(I + 12, I3 − 1

2, Y − 1) (4.124)

b−(I, I3, Y ) = a+(I − 12, I3 − 1

2, Y − 1) (4.125)

c+(, I3, Y ) = [(I +1

2)(I +

3

2)− (I3 + 12)(I3 − 1

2)]

12 a+(I, I3, Y )

−[I(I + 1)− I3(I3 − 1)]12 a+(I, I3 − 1, Y )

(4.126)

d+(, I3, Y ) = [(I +1

2)(I − 1

2)− (I3 + 12)(I3 − 1

2)]

12 b+(I, I3, Y )

−[I(I + 1)− I3(I3 − 1)]12 b+(I, I3 − 1, Y )

(4.127)

c−(I, I3, Y ) = d+(I + 12, I3 + 1

2, Y − 1) (4.128)

d−(I, I3, Y ) = c+(I − 12, I3 + 1

2, Y − 1) (4.129)

Untuk mendefinisikan secara unik elemen-elemen matriks ini, beberapa kon-

vensi fase relatif harus dibuat. Untuk keadaan-keadaan dalam multiplet yang

sama, biasa digunakan konvensi fase Condon dan Shortley. Fase-fase relatif antara

isomultiplet-isomultiplet yang berbeda didefinisikan dengan persyaratan bahwa

elemen-elemen matriks tak-nol a± dan b± dari operator V± bersifat real dan posi-

tif. Ada juga konvensi fase lain, misalnya konvensi fase Gel’fand-Biedernharn

untuk grup uniter yang mana elemen-elemen matriks generator-generator Ai,i−1

yang didefinisikan menurut (4.90) bersifat positif. Untuk SU(3), hal ini berarti

bahwa elemen-elemen matriks I− dan U− semua positif.

Pada tahap ini kita telah mempunyai semua elemen-elemen untuk mempersem-

bahkan beberapa karakteristik umum diagram bobot untuk SU(3). Mengingat

bahwa setiap irrep memiliki diagramnya sendiri-sendiri. Akibat peran analog

yang dimainkan 3 subaljabar SU(2) yang ekivalen dari SU(3), diagram bobot

boleh memiliki bentuk segitiga (gambar 4.1) atau segienam (gambar 4.3 dan 4.4)

yang diperoleh dari perpotongan garis-garis multiplet I, V, dan U . Tiap vektor

basis suatu subspace invarian berasosiasi dengan suatu titik (I3, Y ) yang terletak

72

Y I

-13(2λ + µ) µ

2

-13(2λ + µ) µ

2− 1

2µ2

+ 12

-13(2λ + µ) + 2 µ

2− 1 µ

2µ2

+ 2

. . . . .

. . . . . .

. . . . . . .

-13(2λ + µ) + µ 0 1 2 µ

-23(2λ− µ) + 1 1

232

52

µ + 12

-23(2λ + µ) + 2 1 2 µ + 1

. . . . .

. . . . . .

13(λ− µ) λ

2− µ

2. λ

2+ µ

2

13(λ− µ) + 1 λ

2− µ

2+ 1 λ

2+ µ

2− 1

2

. . . . .

. . . . . .

13(λ + 2µ)− 2 λ

2− 1 λ

2λ2

+ 1

13(λ + 2µ)− 1 λ

2− 1

2λ2

+ λ2

13(λ + 2µ) λ

2

Tabel 4.2: Kemungkinan nilai-nilai Y dan I untuk

73

di dalam segienam. Karena I3, V3, dan U3 merupakan operator-operator proyek-

si spin, nilai-nilai eigennya harus 0,±12,±1,±3

2dan seterusnya , dan menurut

(4.111)

Y =2

3(V3 − U3) (4.130)

Oleh karena itu, nilai-nilai eigen dari Y haruslah 0,±13,±2

3, 1 dst, konsisten de-

ngan tabel 4.2. Tiap diagram memiliki 3 sumbu simetri, yang pertama tegak lurus

pada I3, yang kedua tegak lurus pada V3, dan yang terakhir tegak lurus pada U3.

Sekarang kita dapat gambarkan kontur dari diagram bobot yang terkait dengan

suatu irrep (λµ). Pada gambar 4.4 digambarkan untuk kasus λ > µ Mula-mula,

kita gambarkan titik A =(

12(λ + µ), 1

3(λ− µ)

)yang berkorespon dengan φmax

dari (4.105)-(4.107). Menurut gambar 4.2, titik B dapat dicapai dengan menger-

jakan n kali operator U+ pada φmax untuk menghasilkan φB = (U+)nφmax. Garis

AB merupakan multiplet spin-U dengan U = konstanta dan −U ≤ U3 ≤ U .

Ujung-ujungnya A dan B, berkorespon dengan −U = Umax dan U berturut-

turut. Mengambil nilai Ymax = 13(λ − µ) dan (I3)max = 1

2(λ + µ) pada (4.111),

kita dapatkan

Umax =3

4Ymax − 1

2(I3)max = −1

2µ, Vmax =

λ

2(4.131)

yaitu titik A memiliki U = µ2

dan pada garis AB terdapat 2U + 1 = µ + 1

buah titik. Maka, untuk mencapai B dari A, kita perlu menerapkan U+ pada φmax

sebanyak n = µ kali. Dengan menggunakan relasi komutasi [I3, U+] = −12U+ dan

[Y , U+] = U+, µ kali, kita dapati

I3φB =[(I3)max − µ

2

]φB = λ

2φB

Y φB = [Ymax − µ]φB = 13(λ + 2µ)φB (4.132)

dimana φB ∼ (U+)µφmax. Dengan cara yang mirip, kita dapat bahas garis

AF yang merupakan multiplet V . Dari (4.131), kita dapat lihat bahwa φF ∼(V−)λφmax dan bahwa

I3φF =[(I3)max − λ

2

]φF = µ

2φF

Y φF = [Ymax − λ]φF = −13(2λ + µ)φF (4.133)

Titik C dicapai dari B dengan mengerjakan I− pada φB sebanyak λ kali dan E

dicapai dari F dengan mengerjakan I− pada φF sebanyak µ kali. Titik D dapat

diperoleh dari A dengan mengerjakan I− pada φmax sebanyak λ + µ kali. Juga

74

Gambar 4.3: Diagram Bobot Tipikal suatu representasi SU(3) dengan λ = 6 danµ = 2

untuk tiap titik pada garis AB atau AF, terdapat multiplet spin-I yang berujung

pada CD dan DE, berturut-turut. Dari setiap titik pada ABC, kita dapat mem-

bangun multiplet spin-V yang berujung pada DEF dan juga pada tiap titik pada

AFE, multiplet spin-U yang berujung pada BCD. Dengan cara ini, mulai dari

titik A, kita dapat membuat suatu lattice seperti pada gambar 4.3 dimana tiap

vektor basis dalam subspace invarian dari irrep (λµ) direpresentasikan dengan

sebuah titik. Sebaliknya, titik-titik di dalam segienam tidak selalu berkorespon

dengan vektor basis tunggal. Maka, titik dalam memiliki multiplisitas yang tidak

sama dengan 1.

Coba kita ilustrasikan masalah multiplisitas pada diagram pada gambar 4.3. Pa-

da konturnya (segi enam terbesar),hanya terdapat satu vektor basis yang berko-

respon dengan suatu titik tertentu. Di sebelah dalam kontur, pada segienam

pertama tiap titik berkorespon dengan 2 vektor. Pada segienam kedua , terdapat

korespondensi titik-titik dengan 3 vektor, dan seterusnya. Setelah itu, segienam

menjadi suatu segitiga dan dari keadaan itu pada banyaknya vektor bebas saling

75

Gambar 4.4: Kontur dari suatu diagram bobot

bebas pada tiap titik tetap sama. Secara umum, untuk kasus dimana λ > µ ter-

dapat µ buah segienam sehingga multiplisitas titik-titik pada sembarang segitiga

adalah µ + 1. Sebuah kasus yang menarik adalah representasi dengan λ = 1

karena representasi ini digunakan dalam klaskifikasi Hadron. Diagram bobotnya

digambarkan pada gambar 4.5

4.5.5 Representasi Kompleks Konjugat

Pada subbab (3.9) telah dibahas mengenai notasi-notasi representasi kontradin-

gen dan kompleks konjugat. Untuk representasi uniter, keduanya bersifat real.

Karena SU(n) merupakan grup kompak,semua representasi-representasinya bersi-

fat uniter atau ekivalen terhadap representasi uniter, sehingga orang biasanya

cukup mengacu pada representasi kompleks konjugat D∗ saja. Walaupun memi-

liki dimensi yang sama, secara umum D dan D∗ tidak ekivalen. Jika diagram

76

Gambar 4.5: Diagram Bobot Tipikal SU(3) untuk (λµ)=(11) λ = 6. Diagrambobot memiliki multiplisitas 2 yang ditandai titik yang dilingkari

Young mereka berbeda, ini berarti bahwa mereka tidak ekivalen karena terdapat

korespondensi satu-satu antara sautu representasi dengan diagram Young.

Suatu kasus penting, dengan implikasi fisis, adalah representasi kompleks kon-

jugat dari representasi fundamental. Seperti pada SU(2) yang telah dibahas

sebelumnya, representasi kompleks konjugat berasosiasi dengan antipartikel dari

suatu partikel yang telah dideskripsikan dengan representasi fundamental. Dalam

model kulit inti, representasi ini mendeskripsikan suatu hole di dalam kulit ter-

tutup. Representasi fundamental memiliki partisi [f1] = [1]. Maka, menurut

aturan di atas, representasi kompleks konjugat memiliki partisi [1n−1]. Selanjut-

nya, keadaan-keadaan dasar 4.99 yang merepresentasikan kuark-kuark u, d, dan

s membentuk bentangan irrep dari SU(3). Maka, keadaan-keadaan antikuark

u, d, dan s membentuk bentangan irrep . Di dalam basis yang terbentuk oleh

keadaan-keadaan kuark u, d, s, dan c, orang biasanya akan memperkenalkan rep-

resentasi fundamental dari SU(4). Maka, keadaan-keadaan antikuark u, d, s, dan

c akan membentang lagi dan membentuk representasi dari SU(4) dan seterus-

77

nya.

Kaitan antara representasi kompleks konjugat dan antipartikel dapat juga di-

mengerti dengan mempertimbangkan operator uniter yang berkorespon dengan

representasi tersebut. Misalnya, untuk SU(3), kita dapati bahwa

S∗ = e−iθiFi∗

(4.134)

yang merupakan kompleks konjugat dari (4.80). Maka, −F ∗i = −F T

i meru-

pakan generator-generator dari representasi antipartikel. Di sini, F3 = H2 dan

F8 = H1 bersifat real dan terkait dengan ˆI − 3 dan Y melalui (4.98). Maka, kom-

pleks konjugasi berfungsi untuk mengubah tanda I3 dan Y melalui persamaan

(4.134) seperti yang diperoleh dari Gell-Mann–Nishijima yang akan dibahas nan-

ti. Bilangan-bilangan kuantum ini merepresentasikan antipartikel. Lebih jauh

lagi, melalui definisi yang diberikan pada tabel 4.2 , kompleks konjugasi mem-

pertukarkan peran dari operator-operator penaikan dan penurunan I±, U± dan

V±. Dalam diagram bobot, hal ini mengacu pada refleksi baik terhadap sumbu I3

dan Y . Misalnya, representasi fundamental SU(3) dideskripsikan dengan diagram

gambar 4.1, dimana tiap titik dapat diasosiasikan dengan suatu kuark. Maka,

diagram bobot dari representasi kompleks konjugat harus muncul seperti pada

gambar 4.6, dimana tiap titik berasosiasi dengan suatu antikuark.

Maka, refleksi terhadap kedua sumbu pada diagram bobot menghasilkan diagram

bobot representasi kompleks konjugat. Pada sisi lain, untuk suatu representasi

(λµ) SU(3), kita peroleh bahwa λ = f1 − f2, µ = f2 − f3, sehingga secara defin-

isi, representasi kompleks konjugat harus mempunyai f ′1 = f1 − f3 = λ + µ dan

f ′2 = f1 − f2 = λ. Dalam diagram young, ini berarti

(λµ)∗ =

∗

= = (µλ) (4.135)

Formula(4.113)untuk dimensi dari suatu irrep SU(3) simetrik terhadap λ dan µ

dan memberikan nilai yang sama untuk (λµ)∗ dan (λµ).

Maka jika, alih-alih (λµ), kita gunakan dimensi (d) sebagai suatu label, repre-

sentasi komleks konjugatnya dilabeli dengan d(atau d∗). Misalnya, representasi

dundamental terkadang dilabeli dengan 3 dan kompleks konjugatnya dengan 3.

Dengan notasi ini, orang dapat menulis perkalian langsung

3× 3 = 3× 3 = 8 + 1 (4.136)

yang akan digunakan dalam klaksifikasi meson pada subbab nanti.

78

Gambar 4.6: Diagram Bobot Tipikal suatu representasi kompleks konjugat 3SU(3)

4.5.6 Klaksifikasi Hadron

Hadron merupakan partikel-partikel yang berinteraksi kuat dan terdiri dari 2

kategori:

1. Baryon

memiliki spin 12

dan kelipatan ganjilnya dan secara struktur terdiri dari

3 buah kuark . Keadaan dasar Baryon memiliki massa yang lebih dari

meson. Terdapat 8 baryon yang disebut sebagai oktet SU(3) yang pertama

kali diidentifikasi oleh Gell-Mann dan Nee’man yang membawa teori jalan

lipat-8 (eight-fold way)

2. Meson

memiliki spin bilangan bulat dan terdiri dari kuark dan antikuark. Lebih

banyak tentang meson akan dibahas pada subbab berikut.

Pengklaksifikasian dan pengelompokan dapat dibuat dalam beberapa isomulti-

plet, dan beberapa isomultiplet membentuk multilet SU(3). Pada tabel (4.3)

79

terdaftar beberapa baryon bermassa rendah dan beberapa sifat pentingnya. Jalan

lipat-8 merupakan teori yang dikembangkan Gell-Mann dan Nee’man yang meru-

pakan langkah penting dalam klaksifikasi partikel elementer. Pada saat itu, se-

buah triplet medan baryon diperkenalkansebagai alat bantu matematis untuk

pengkonstruksian representasi-representasi oktet dan dekuplet dari SU(3).

Gell-mann memprediksikan partikel-partikel hipotetis yang terdiri dari 3 macam,

yaitu kuark u, d, dan s yang bertransformasi menurut representasi fundamen-

tal SU(3) dan memiliki spin 12. Baryon dideskripsikan sebagai keadaan 3-kuark.

Anggap kuark u, d, dan s sebagai keadaan-keadaan kuantum yang berbeda yang

disebut flavor. Mereka membentuk basis untuk representasi fundamental λµ =

(10) SUF (3). Keadaan 3 kuark ini diperoleh dari perkalian langsung

× × =

+

×

=

+

+

+

(4.137)

yang menghasilkan representasi SU(3) non ekivalen. Mereka dapat diidentifikasi

baik dengan label (λµ) yang sama dengan (30),(11), atau (00), ataupun dengan

dimensi yang dapat dihitung dari formula(4.113)

Irrep (11) muncul dengan multiplisitas 2 dan 8 partikel pertama pada tabel

(4.3)dengan Jπ = 12

+terkait dengan representasi 2 oktet. Melalui grup per-

mutasi S3, dapat kita pahami bahwa masing-masing partikel ini harus dapat

dideskripsikan oleh 2 tipe keadaan yaitu ψρ dan ψλ dan inilah sebabnya menga-

pa 2 representasi oktet muncul di (4.137). Masing-masing dari delapan partikel

tersebut berkorespon dengan vektor basis (λµ)=(11) SU(3), sehingga tiap par-

tikel elementer dengan Jπ = 12

+kita dapat asosiasikan sebuah titik pada diagram

bobot pada gambar 4.5. Hal ini diplot pada gambar 4.7a. Pada gambar 4.7b,

kita perlihatkan diagram bobot untuk representasi (λµ)=(30) berdimensi 10, di-

mana tiap titik merepresentasikan satu dari 10 partikel dengan Jπ = 32

+dari

tabel (4.3). Pada waktu klaksifikasi ini diusulkan , kecuali partikel Ω−, semua

partikel telah ditemukan. Selain baryon pada gambar 4.7 terdapat pula suatu

barion dengan citarasa singlet yang terkait dengan representasi (00). ini adalah

partikel Λ dengan Jπ = 12

−. Partikel ini memiliki paritas negatif yang dapat di-

80

mengerti dalam model kuark sebagai keadaan tereksitasi L = 1, sementara oktet

dan dekuplet baryon pada gambar 4.7 berada pada keadaan dasar L = 0

Dalam model kwark nonrelativistik baryon dengan Jπ = 32

+kecuali Ω− juga

terlihat sebagai keadaan-keadaan tereksitasi dari barion keadaan dasar. Perbe-

daan massa diantaranya dijelaskan melalui interaksi color hyperfine yang bekerja

antar kuark. Kuark merupakan fermion dengan spin 12

sehingga 3 kuark dapat

bergabung menjadi berspin S = 12

atau 32

Setiap garis horizontal pada gambar 4.7 merepresentasikan suatu isomultiplet

dan setiap isomultiplet memiliki memiliki hypercharge tertentu. Ide mengenai

hypercharge Y diperkenalkan oleh Gell-Mann dan Nakano dan Nishijima untuk

mendeskripsikan fenomena yang belum terjawab seperti produksi pasangan me-

son K dan kemudian diterima sebagai suatu konsep. Hubungan antaranya adalah

Q = I3 +Y

2(4.138)

. Ada juga bilangan strangeness S yang berhubungan melalui

S = Y −B (4.139)

dimana B adalah bilangan baryon. Proton, neutron dan partikel ∆ tidak

bersifat non-strange, sedangkan Σ, Λ, Ξ, Ω bersifat strange.

Eksperimen menunjukkan bahwa bilangan baryon akan kekal dalam setiap reaksi.

Sekarang dalam GUT (Grand Unified Theory), diharapkan bilangan baryon di-

langgar melalui interaksi lemah, sehingga proton bersifat tak stabil. Namun, sam-

pai saat ini peluruhan proton belum pernah teramati secara eksperimen. Muatan

juga kekal dalam tiap proses. Dari 2 persamaan terakhir di atas, bahwa setiap

interaksi yang mengkekalkan I3 juga akan mengkekalkan Y dan S karena Q adn

B selalu kekal. Interaksi-interaksi kuat dan elektromagnet mengkekalkan S(atau

Y ) namun interaksi lemah tidak. Konsekuensinya adalah partikel strange dapat

meluruh menjadi partikel non-strange hanya melalui peluruhan interaksi lemah.

Menarik diperhatikan bahwa multiplet spin-U , muatan bersifat konstan. Hal ini

dapat dimengerti melalui (4.117) yang menunjukkan bahwa U+(U−) menurunkan

(menaikkan) I3 sebanyak 12

dan menaikkan (menurunkan) Y sebanyak 1.

Pada tiap multiplet baryon SU(3) terdapat korespondensi suatu multiplet bary-

on yang berbeda. Diagram bobot dari suatu multiplet antibaryondapat diperoleh

dari pengubahan tanda Y → −Y dan I3 → −I3 dan dengan refleksi pada sumbu

Y dan I3. Jika kesimetrian SUF (3) eksak, maka semua partikel dalam multiplet

SUF (3) akan memiliki massa yang sama.

81

Partikel Massa(MeV)

JP I I3 Y waktuhidup (s)

Modus pelu-ruhan utama

p 938.27 12

+ 12

12

1 > 1.6 ×1025 tahun

-

n 939.57 12

+ 12

−12

1 889 pe−νe(100%)

Λ 1115.6 12

+0 0 0 2.6× 10−10 pπ−(64.1%), nπ0(35.7%)

Σ+ 1184.4 12

+1 1 0 0.8× 10−10 pπ0(51.6%), nπ0(48.3%)

Σ0 1192.5 12

+1 0 0 7.4× 10−20 Λγ(100%)

Σ− 1197.4 12

+1 -1 0 1.5× 10−10 nπ−(99.85%)

Ξ0 1314.9 12

+ 12

12

-1 2.9× 10−10 Λπ0(100%)

Ξ− 1321.3 12

+ 12

−12

-1 1.6× 10−10 Λπ−(100%)

∆++ 1232 32

+ 32

32

1 5.5× 10−24 pπ+(99.4%)

∆+ 1232 32

+ 32

12

1 5.5× 10−24 pπ0, nπ+(99.4%)

∆0 1232 32

+ 32

−12

1 5.5× 10−24 pΛπ−, nπ0(99.4%)

∆− 1232 32

+ 32

−32

1 5.5× 10−24 nΛπ−(99.4%)

Σ+∗ 1382.8 32

+1 1 0 1.8× 10−23 Λπ(88%), Σπ(12%)

Σ0∗ 1383.7 32

+1 0 0 1.8× 10−23 Λπ(88%), Σπ(12%)

Σ−∗ 1387.2 32

+1 -1 0 1.8× 10−23 Λπ(88%), Σπ(12%)

Ξ0∗ 1531.8 32

+ 12

12

-1 6.9× 10−23 Ξπ(100%)

Ξ−∗ 1535.0 32

+ 12

−12

-1 6.9× 10−23 Ξπ(100%)

Ω− 1672.4 32

+0 0 -2 0.8× 10−10 ΛK−(67.8%), Ξπ(32.2%)

Λ(1405) 1407 12

−0 0 0 1.3× 10−23 Σπ(100%)

Tabel 4.3: Karakteristik baryon-baryon bermassa rendah

82

Gambar 4.7: (a)Oktet Baryon (Jπ = 12

+). (b) Dekuplet Baryon (Jπ = 3

2

+)

4.5.7 Klaksifikasi Meson

Meson juga terklaksifikasi dalam multiplet SU(3) menurut struktur kuarknya.

Dalam model kuark, meson dideskripsikan sebagai keadaan yang mentransfor-

83

masikan pasangan kuark-antikuark menurut transformasi SU(3). Perkalian lang-

sung suatu kuark q dan antikuark q memberikan

× = × = × (4.140)

Untuk SU(3), hal ini ekivalen dengan (4160). Maka, kita boleh harapkan me-

son menjadi anggota dari oktet SU(3) ataupun suatu keadaan singlet. Diagram

bobotnya digambarkan pada gambar 4.8.

Dari diagram bobot meson-meson pseudoskalar pada gambar 4.8, diagram bobot

kuark pada gambar 4.2 , dan diagram bobot antikuark pada gambar 4.6, kita da-

pat membaca isi kuark dari meson karena Y dan I3 merupakan bilangan kuantum

yang bersifat aditif. Dengan langsung, kita dapatkan

π+ ∼ θδ, π− ∼ δθ (I = +) (4.141)

K+ ∼ us, K− ∼ su (I = 12) (4.142)

K0 ∼ ds, K0 ∼ sd (I = 12) (4.143)

π0 ∼ 12(dd− uu) (4.144)

Meson η01 merupakan flavor singlet, sehingga harus berkorespon dengan sklar

SUF (3)

η01 ∼ |(00)I = 0, I3 = 0, Y = 0 >=

1√3

3∑i=1

|qi > |qi >=1√3(uu+dd+ss) (4.145)

Dengan relasi ortogonalitas, kitapun dapatkan

η08 ∼ |(11)I = 0, I3 = 0, Y = 0 >=

1√6(uu + dd− 2ss) (4.146)

Meson pseudoskalar dan meson vektor yang ringan dan ditemukan di alam

diberikan pada tabel 4.4. Selain bilangan kuantum yang sama dengan baryon,

ada juga bilangan kuantum khusus untuk meson yaitu paritas-G dan konjugasi

muatan C

Untuk baryon yang berada pada keadaan dasar, misalnya anggota oktet dan

dekuplet, paritas relatifnya P = 1. Meson tersusun atas suatu partikel dan

antipartikel, dan oleh karenanya memiliki paritas relatif P = −1. Jika tereksitasi

pada suatu keadaan yang proporsional dengan Ylm, maka terhadap inversi ruang

Ylm → (−1)lYlm, sehingga paritas totalnya

P = (−1)l+1 (4.147)

84

Gambar 4.8: (a)Meson pseudoskalar JP = 0−.(b) Meson vektor JP = 1−

Medan kuark berperilaku seperti medan Dirac yang mana konjugasi muatan C

mempertukarkan partikel dan antipartikel. Tanda(-1) muncul karena statistik

Fermi, fase (−1)l muncul dari Ylm, dan bagian spin(−1)s+1 bersama-sama mem-

bentuk

C + (−1)1(−1)l(−1)s+1 = (−1)l+s (4.148)

Meson Pseudoskalar mempunyai l = 0 dan s = 9, maka paritasnya −1 dan it-

ulah sebabnya mengapa mereka disebut pseudoskalar. Meson pseudoskalar non-

strange (strangeness=0) mempunyai JPC = 0−+. Meson vektor mempunyai

l = 0 adn s = 1 sedangkan meson non-strange mempunyai JPC = 1−−. Dengan

mengkopling l 6= 0 dengan s, kita bisa dapatkan kombinasi lain dari JP . Secara

umum ada beberapa tipe multiplet SU(3). Misalnya untuk l = 1 atau 0, kita

dapati

85

Meson pseudoskalar l = 0 s = 0 JP = 0−

Meson vektor l = 0 s = 0 JP = 0−

Meson skalar l = 1 s = 1 jP = 0+

Meson aksial vektor l = 1 s = 1 JP = 1+

Meson tensor l = 1 s = 1 JP = 2+

Daftar di atas dapat diteruskan dengan mengambil l = 2 dan seterusnya. Karena

kesulitan pengukuran massa dan lebar, multiplet dengan l = 1 atau lebih biasanya

sulit dan tidak lengkap.

Kontras dengan baryon, pada meson, partikel dan antipartikel tergabung dalam

multiplet yang sama. Untuk meson, partikel dan antipartikel memilii paritas

yang sama, oleh karenanya bisa berada pada multiplet yang sama. Transformasi

partikel-antipartikel berarti S → −S, I3 → −I3. Maka, pasangan meson dan

antimeson terdiri dari π+, π−, K+, K−, K0, K0, ρ+, ρ−, dan seterusnya. Empat

kaon yang strange membentuk 2 doblet isospin yang terkait dengan

G

(K+

K0

)= −

(K0

−K−

)atau G

(K0+−K−

)= −

(K+

K0

)(4.149)

4.5.8 Formula massa Gell-Mann – Okubo

Eksperimen menunjukkan bahwa baik pada baryon dan meson terjadi pemeca-

han(splitting) massa antara multiplet-multiplet isospin yang berbeda dalam mul-

tiplet SU(3) tertentu. Maka, kesimetrian SUF (3) tidaklah eksak. Kita perlu

mengerti bagaimana kesimetrian ini pecah.

Pada pembahasan di bawah ini, kita mengabaiakn spliting yang sangat kecil

dalam suatu isomultiplet akibat pecahnya kesimetrian isospin dan mengambil

massa rerata untuk tiap I. Misalnya

p, n → mN = 939MeV

Λ → mΛ = 1116MeV

Σ+, Σ0, Σ− → mΣ = 1193MeV

Ξ0, Ξ− → mΞ = 1318MeV (4.150)

yang memberikan splitting massa kira-kira dalam orde 10% cukup jauh lebih be-

sar dibandingkan pecahnya simetri isospin dalam orde 1%

86

Gambar 4.9: Plot Chew-Frautschi dari keadaan-keadaan qq yang menunjukkanmomentum sudut orbital, L terhadap kuadrat massa

hadron merupakan eigenstate dari Hamiltonian interaksi kuat Hstrong. Klaksi-

fikasi yang berbasiskan keinvarianan SUF (3) bertumpu pada 2 asumsi utama.

Pertama: gatya kuat tidak bergantung citarasa, dan massa kuark u, d, dan s

sama.

Dalam QCD, teori interaksi kuat, gluon yang merupakan partikel pembawa gaya,

tidak membedakan kuark dengan citarasa yang berbeda. Dari analisis spektra

massa , kita dapat menyimpulkan asumsi yang kedua di atas tidaklah benar dan

harus dimodifikasi dengan mengambil

mu∼= md, ms > mu (4.151)

Maka, nilai ekspektasi dari Hstrong dalam ruang 3 dimensi memiliki nilai

< Hstrong > =

mu 0 00 md 00 0 ms

= 2mu+ms

3

1 0 00 1 00 0 1

+ mu−ms

3

1 0 00 1 00 0 −2

= 2mu+ms

31 + mu−ms√

3λ8 (4.152)

87

Hal ini berarti bahwa < Hstrong > dapat displit menjadi 2 suku

< Hstrong >= H0 + H8 (4.153)

dimana H0 ∼ 1 merupakan invarian SU(3) dan H8 merupakan suatu suku pec-

ahnya kesimetrian (symmetry breaking) dengan sifat transformasi yang spesifik

terhadap SUF (3) yang dibawa oleh λ8, yang merupakan anggota dari suatu oktet.

Untuk kelengkapan, suku λ8 harus ditambah dengan sifat analog lainnya. Bentuk

yang paling umum adalah

H8 = xF8 + yd8abFaFb (4.154)

dimana x dan y merupakan parameter yang tetap, Fi merupakan generator-

generator SU(3). Sedangkan d8abFaFb dapat dituliskan

d8abFaFb = 1√3

(F1

2+ F2

2+ F3

2)−

√3

6

(F4

2+ F5

2+ F6

2+ F7

2)− 1√

3F8

2

=√

32

(F1

2+ F2

2+ F3

2)−

√3

6

(F8

2)−

√3

6F 2

=√

32

(I2 − 1

4Y 2 − 1

3F 2

)(4.155)

yang memang merupakan invarian isospin adn hypercharge. Suku terakhir men-

gandung operator casimir yang merupakan SU(3)invarian. Untuk baryon B de-

ngan Y danI tertentu yang merupakan multiplet (λµ), teori perturbasi orde satu

menghasilkan

mB =< B|Hstrong|B >= m0 + δm1Y + δm2

[I(I + 1)− 1

4Y 2

](4.156)

Persamaan terakhir merupakan rumus massa Gell-Mann–Okubo.

Untuk Oktet Baryon, dimana 4 reaksi dalam persamaan (4.150) dapat difit-kan,

kita bisa mengeliminasi 3 parameter dan memperoleh relasi linier antar massa:

1

2(mN + mΞ) =

1

4(3mλ + mΣ) (4.157)

Untuk dekuplet, rumus massa Gell-Mann–Okubo dan dibawa ke dalam bentuk

yang lebih sederhana

mB = m0 + δm1Y (4.158)

yang mencerminkan pemisahan yang hampir sama antar massa isomultiplet

mΩ −mΞ∗∼= 138 MeV

mΞ∗ −mΣ∗∼= 149 MeV

mΣ∗ −m∆∼= 152 MeV

88

Pada waktu Dell-Mann dan Nee’Man mengusulkan klaksifikasi SU(3), partikel

Ω− belum ditemukan. Keberadaannya baru diprediksi karena dalam dekuplet

terdapat tempat kosong dan massanya terprediksi beberapa MeV dari (4.158)

Untuk splitting massa meson, kita dapat menggunkan Hamiltonian yang sama

Hstrong, namun tidak lagi diagonal dalam ruang keadaan meson vektor dan pseu-

doskalar karena H8 merupakan oktet, mengizinkan kopling antara keadaan-keadaan

oktet dan singlet, misalnya antara (4.145) dan (4.146).Juga pada persamaan

(4.154), kita harus menset x = 0, alasannya terkait dengan fakta bahwa meson

dan antimeson merupakan multiplet yang sama. Maka, menurut teori CPT , par-

tikel dan antipartikel memiliki massa yang sama, namun memeiliki hypercharge

yang berlawanan tanda, sehingga suku linier dalam Y tidak boleh muncul dalam

Hstrong. Pada sektor pseudoskalar, misalnya, elemen-elemen matriks diagonal

Hstrong adalah

< η1|Hstrong|η1 >=< η1|H0|η1 >= m1 (4.159)

< M8|Hstrong|M8 >=< M8|H0 + H8|M8 >=

m8 + δm

[I(I + 1)−

√Y

4

](4.160)

dimana M8 = π, K, η8. Oleh karena itu

m8 + 2δm = mπ

m8 + 12δm = mK

yang memberikan

m8 =1

3(4mK −mπ) δm =

2

3(mπ −mK) (4.161)

Dengan mπ = 138 MeV dan mK = 496 MeV, kita dapatkan

m8 = 615.3 MeV, δm = −238.7 MeV (4.162)

Sku H8 mengizinkan kopling antar keadaan dengan I dan Y yang sama tapi

tidak antar isomultiplet yang berbeda. Maka, dalam ruang nonet meson matriks

Hstrong bersifat diagonal kecuali untuk subspace yang terbentuk oleh η1 dan η8,

dimana kita dapat selesaikan masalah nilai eigen

(m8 < η8|H8|η8 >

< η8|H8|η8 > m1

)(c1

c2

)= λ

(c1

c2

)(4.163)

89

dengan c21 + c2

2 = 1, maka eigenstatenya dapat dituliskan sebagai:

|η >= cosθp|η8 > +sinθp|η1 >

|η′ >= −sinθp|η8 > +cosθp|η1 > (4.164)

dengan θp ditemukan dalam eksperimen jika λ teridentifikasi dalam partikel fisis

η dan η′

meson merupakan partikel boson yang memenuhi persamaan Klein-Gordon. Ji-

ka perlakuan di atas diterapkan pada kuadrat massa, akan menghasilkan sudut

mixing θ ∼= −11o. Berdasarkan analogi dengan meson vektor

|ω >= cosθV |ω8 > +sinθV |ω1 >

|φ >= −sinθV |ω8 > +cosθV |ω1 > (4.165)

Ternyata sudut yang diperlukan menurut eksperimen adalah θV∼= arctan

(1√2

)

yang menghantarkan ke suatu mixing yang ideal dimana hanya φ yang mengan-

dung kuark strange

ω ∼ 1√2(uu + dd)

φ ∼ ss (4.166)

4.6 Grup di atas SU(3)

Dalam pembahasan ini, kita akan gunakan argumen yang bergantung pada di-

mensi irrep suatu SU(n) yang diberikan oleh

dSU(n)[f ] = Πn

i<j

fi − fj + j − i

j − i(4.167)

Untuk pemakaian praktisnya diberikan pada tabel 4.5 untuk beberapa diagram

Young sampai dengan 6 kotak

4.6.1 Kuark dengan citarasa dan spin

Dalam pembahasan sebelumnya, kita mempertimbangkan derajat kebebasan citarasa

dengan 3 citarasa yang berbeda u, d, dan s, dan transformasi SU(3) dalam ru-

ang ini. Kuark merupakan fermion berspin 12

sehingga SU(2) diperlukan untuk

dalam ruang spin. Namun, orang biasanya dapat pula memilih keadaan-keadaan

berikut sebagai basis

u ↑, u ↓, d ↑, d ↓, s ↑, s ↓

90

SU(3) SU(4) SU(5) SU(6) SU(7) SU(8) SU(9) SU(10) SU(11) SU(12)

[1] 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12[2] 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78[12] 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66[3] 10 20 35 56 84 120 165 220 286 364[21] 8 20 40 70 112 168 240 330 440 572[13] 1 4 10 20 35 56 84 120 165 220[4] 15 35 70 126 210 330 495 715 1001 1365[31] 15 45 105 210 378 630 990 1485 2145 3003[22] 6 20 50 105 196 336 540 825 1210 1716[212] 3 15 45 105 210 378 630 990 1485 2145[14] * 1 5 15 35 70 126 210 330 495[5] 21 56 126 252 462 792 1287 2002 3003 4368[41] 24 84 224 504 1008 1848 3168 5148 8008 12012[32] 15 60 175 420 882 1680 2970 4950 7865 12012[312] 6 36 126 336 756 1512 2772 4752 7722 12012[221] 3 20 75 210 490 1008 1890 3300 5445 8580[213] * 4 24 84 224 504 1008 1848 3168 5148[15] * * 1 6 21 56 126 252 462 792[6] 28 84 210 462 924 1716 3003 5005 8008 12376[51] 35 140 420 1050 2310 4620 8580 15015 25025 40040[42] 27 126 420 1134 2646 5544 10692 19305 33033 54054[412] 10 70 280 840 2100 4620 9240 17160 30030 50050[32] 10 50 175 490 1176 2520 4950 9075 15730 26026[321] 8 64 280 896 2352 5376 11088 21120 37752 64064[313] * 10 70 280 840 2100 4620 9240 17160 30030[23] 1 10 50 175 490 1176 2520 4950 9075 15730[2212] * 6 45 189 588 1512 3402 6930 13068 23166[214] * * 5 35 140 420 1050 2310 4620 8580[16] * * * 1 7 28 84 210 462 924

Tabel 4.4: Dimensi dari irreps SU(N). Partisi yang dilarang ditandai dengan *

91

yang dapat membentuk ruang invarian untuk U(6). Jika kita pisahkan transfor-

masi U(1) yang berkaitan dengan kekalan bilangan partikel, tersisa transformasi

SU(6) dan menggunakan rantai

SU(6) ⊃ SUF (3)× SU)S(2)

Dengan kata lain dengan mempertimbangkan transformasi-transformasi dari sub-

grup SU(3)× SU(2) ,irreps dari SU(6) redusibel ke daalm penjumlahan produk

irreps SU(3) dan SU(2). Pada kasus 3 kuark (Baryon), irreps SU(6) yang ada

berasal dari hasil perkalian langsung

× × = + 2 + (4.168)

Suatu cara untuk memperoleh isi SU(3) × SU(2) dari representasi ini adalah

dengan menggunakan perkalian dalam karena semua representasi ini merupakan

anggota S3 karena kita berurusan dengan 3 partikel. Jawabannya adalah:

= × + × (4.169)

= × + = ×

+ × + ×

(4.170)

= × + × (4.171)

Relasi-relasi ini memiliki suku-suku tambahan yang diperbolehkan menurut rep-

resentasi SU(3). Mengingat bahwa diagram dengan maksimum n baris diper-

bolehkan untuk SU(n). Dalam aplikasinya, orang biasanya menuliskan perkalian

di atas dengan notasi berikut

56 = 28 +4 10

70 = 48 +2 10 +2 8 +2 1

20 = 41 +2 8 (4.172)

Jika hamiltonian kuark yang terpilih memperlihatkan kesimetrian SU(6), maka

keadaan-keadaan pada irrep SU(6) akan menghasilkan degenerasi. Misalnya, pa-

da 56, 28 dan 410 akan saling berdegenerasi. Malahan, kesimetrian SU(6) pecah

92

dalam SUF (3) oleh massa kuark yang berbeda, dan dalam SU(2) oleh gaya antar

kuark yang memiliki suku tensor bergantung spin. Gaya antar spin menjelaskan

perbedaan massa dalam nukleon dan partikel ∆. Maka pecahnya simetri SU(6)

memperbolehkan pencampuran multiplet 56,70,dan 20.

Untuk meson, yang dideskripsikan sebagai sistem qq, perkalian langsung SU(6)

yang terkait dengannya adalah

× = + (4.173)

Dekomposisi dari 35 atau 1 ke dalam representasi SU(3) × SU(2) dapat diper-

oleh denganmenggunakan argumen dimensi. Kuark merupakan fermion berspin 12

sehingga kita bisa peroleh S = 0 atau S = 1 untuk pasangan qq. Dan hasilnya da-

pat dikombinasikan dengan irrreps SU(3) yang dihasilkan dari persamaan (4.136),

sehingga dapat kita peroleh 11,1 8,3 1, dan 38 dimana indeks di atas berarti 2S +1

untuk baryon. Sehingga dekomposisinya menjadi

1 = 11

35 = 18 +3 1 +3 8 (4.174)

Multiplet SU(6) seperti persamaan (4.172) dan (4.174) terkadang disebut super-

multiplet dan dapat digunakan dalam studi spektrum massa.

93

Daftar Acuan

[1] Fl. Stancu, Group Theory in Subnuclear Physics, 1995.

[2] Morton Hammermesh, Group Theory and its Application To Physical Prob-

lems, 1962

[3] Stephen Gasiorowicz, Quantum Physics, 1998

[4] F.E Close, An Introduction to Quarks and Partons, 1979

94