kesesuaian hukum mortalitas gompertz dan hukum...
TRANSCRIPT
KESESUAIAN HUKUM MORTALITAS GOMPERTZ DAN
HUKUM MORTALITAS MAKEHAM TERHADAP TABEL
MORTALITA INDONESIA 2011 MENGGUNAKAN
METODE MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION
SKRIPSI
Dino Agustin Putra
11150940000008
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA
2019 M / 1440 H
KESESUAIAN HUKUM MORTALITAS GOMPERTZ DAN
HUKUM MORTALITAS MAKEHAM TERHADAP TABEL
MORTALITA INDONESIA 2011 MENGGUNAKAN
METODE MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION
Skripsi
Diajukan kepada
Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta
Fakultas Sains dan Teknologi
Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan Dalam
Memperoleh Gelar Sarjana Matematika (S.Mat)
Oleh :
Dino Agustin Putra
11150940000008
PROGRAM STUDI MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA
2019 M / 1440 H
i
ii
iii
PERSEMBAHAN DAN MOTTO
PERSEMBAHAN
Kepada Sang Khalik Yang Maha Esa
Yang telah memberikan berbagai macam nikmat dan karuniakepada penulis hingga detik ini
Kepada Ayah dan Ibu Tercinta
Terima kasih ayah dan ibu untuk semua hal yang telah anandaterima. Ananda paham bahwa kesuksesan ananda hingga detik
ini tidak terlepas dari segala usaha dan do’a ayah dan ibu.Maafkan ananda kalau selama ini ananda belum dapat membuat
bangga ayah dan ibu dengan kehadiran ananda.
MOTTO
“Hatiku tenang karena mengetahui bahwa apa yang
melewatkanku tidak akan pernah menjadi takdirku, dan
apa yang ditakdirkan untukku tidak akan pernah
melewatkanku”
(Umar bin Al-Khattab)
iv
KATA PENGANTAR
Puji beserta syukur penulis ucapkan kehadirat Allah Yang Maha Esa atas
segala rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi
yang berjudul “Kesesuaian Hukum Mortalitas Gompertz Dan Hukum
Mortalitas Makeham Terhadap Tabel Mortalita Indonesia 2011
Menggunakan Metode Maximum Likelihood Estimation”.
Skripsi ini merupakan persyaratan bagi penulis untuk bisa memperoleh gelar
sarjana. Dalam penulisan skripsi ini penulis memperoleh pembelajaran berharga
seperti kerja keras, pantang menyerah dalam mencapai tujuan, dan melatih
kesabaran.
Dalam penyusunan skripsi ini, penulis memperoleh banyak motivasi,
dukungan, inspirasi, bimbingan, do’a, serta saran dan kritikan dari berbagai pihak
sehingga skripsi ini dapat terselesaikan dengan baik. Oleh karena itu, penulis
ingin menyampaikan rasa terima kasih penulis kepada :
1. Ibu Prof. Dr. Lily Surayya Eka Putri, M.Env.Stud, selaku Dekan Fakultas
Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah
Jakarta.
2. Ibu Dr. Suma’inna, M.Si, selaku Ketua Program Studi Matematika
Fakultas Sains dan Teknologi UIN Jakarta.
3. Ibu Irma Fauziah, M.Sc, selaku Sekretaris Program Studi Matematika
Fakultas Sains dan Teknologi UIN Jakarta dan sebagai penguji I yang
telah memberikan masukan kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi
ini.
v
4. Ibu Nina Fitriyati, M.Kom, sebagai dosen pembimbing akademik dan
sebagai pembimbing I yang telah memberikan banyak motivasi, saran,
dan bantuan kepada penulis selama kuliah dan dalam menyelesaikan
skripsi ini.
5. Bapak Mahmudi, M.Si, sebagai pembimbing II yang telah memberikan
banyak sekali saran dan bantuan kepada penulis dalam menyelesaikan
skripsi ini.
6. Ibu Madona Yunita Wijaya, M.Sc, sebagai penguji II yang telah
memberikan masukan kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini.
7. Ayah dan Ibu, Bahrun dan Ermawati, yang tidak pernah berhenti berdo’a
untuk kesuksesan penulis, memberikan kasih sayang, semangat, serta
dukungan sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik.
8. Abang dan adik-adik, Bang Marta, Doni, Rangga, dan Nella, yang telah
memberikan dukungan dan semangat kepada penulis dalam
menyelesaikan skripsi ini.
9. Seluruh jajaran pembina Asrama Putra Kharisma Bangsa, yang selalu
memberikan motivasi kepada penulis baik dalam kehidupan sehari-hari
maupun dalam mengerjakan skripsi ini.
10. Seluruh teman Matematika 2015, terutama Aulia, Ery, Khusnul, Fitria,
Tanjung, Hamid, dan Aldo yang telah memotivasi penulis.
11. Seluruh pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi
ini yang tidak bisa penulis sebutkan satu-persatu tanpa mengurangi rasa
hormat.
Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan skripsi ini masih terdapat
banyak kekurangan. Penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari
pembaca untuk perbaikan di masa yang akan datang. Terakhir, semoga skripsi ini
bermanfaat bagi penulis dan pembaca sekalian.
Ciputat, Agustus 2019
vi
Penulis
vii
viii
ABSTRAK
Dino Agustin Putra, Kesesuaian Hukum Mortalitas Gompertz dan HukumMortalitas Makeham terhadap Tabel Mortalita Indonesia 2011 MenggunakanMetode Maximum Likelihood Estimation, di bawah bimbingan Dr. NinaFitriyati, M.Kom dan Mahmudi, M.Si.
Pada skripsi ini dibahas mengenai estimasi parameter hukum mortalitasGompertz dan hukum mortalita Makeham menggunakan metode MaximumLikelihood Estimation. Pendekatan numerik untuk estimasi parameter hukummortalitas Gompertz dilakukan menggunakan metode Newton-Rhapson. Untukmengatasi syarat batas 0,001< A<0,003,10−6
<B<10−3 , dan 1,1075<C<1,115,pada estimasi parameter hukum mortalita Makeham digunakan metode pengaliLagrange dan pendekatan numerik metode Broyden. Hasil estimasi menunjukkanbahwa parameter B konvergen ke 0,005749 dan parameter C konvergen ke1,024738 pada hukum mortalitas Gompertz. Pada hukum mortalitas Makeham,hasil estimasi parameter yang memenuhi syarat batas adalah nilai A =0,00300344, B = 0,0002716465, dan C = 1,113395. Berdasarkan nilai AverageRelative Error (ARE) yang dihitung untuk estimasi px, Tabel Mortalitas Indonesia(TMI) 2011 untuk pria dan TMI 2011 untuk wanita lebih sesuai jika didekatimenggunakan hukum mortalitas Gompertz daripada hukum mortalitas Makeham.Estimasi px menggunakan pendekatan hukum mortalitas Gompertz berada sangatdekat dengan nilai px pada TMI 2011 (dengan Mean Absolute Percentage Errorkurang dari 1%) pada interval usia, untuk pria: 0 – 10 tahun, 10 – 20 tahun, 20 –30 tahun, dan 60 – 70 tahun, dan untuk wanita: 0 – 10 tahun, 10 – 20 tahun, dan70 – 80 tahun.
Kata Kunci: estimasi parameter, metode Newton-Rhapson, metode Broyden,metode Pengali Lagrange.
ix
ABSTRACT
Dino Agustin Putra, The Fitness of Gompertz’s Mortality law and Makeham’sMortality law to the Indonesia Mortality Table 2011 using the MaximumLikelihood Estimation Method. Supervised by Dr. Nina Fitriyati, M.Kom andMahmudi, M.Si.
This research discusses the parameters estimation for Gompertz's death lawand Makeham's death law using the Maximum Likelihood Estimation method. Anumerical approach to estimate the parameters of Gompertz's death law is theNewton-Rhapson method. In the Makeham’s death law, we use the Lagrangemultiplier method to solve constraints of 0,001< A<0,003,10−6
<B<10−3 , and1,1075<C<1,115, and Broyden method as numerical approach. Estimation resultshows that parameter B converges to 0.005749 and parameter C converges to1.024738 in the Gompertz’s death law. In the Makeham’s death law, the estimatedparameters that satisfied the constraints are A converges to 0.00300344, Bconverges to 0.0002716465, and C converges to 1.113395. Based on the AverageRelative Error (ARE) that calculated from the estimated for px, the 2011Indonesian Mortality Table (TMI) for men and the 2011 TMI for women are moreaccurate when approached using the Gompertz’s death law than the Makeham’sdeath law. The estimated for px uses the Gompertz’s death law are very close tothe px at TMI 2011 (with Absolute Absolute Percentage Errors of less than 1%) atage intervals, for men: 0 – 10 years, 10 – 20 years, 20 – 30 years, and 60 – 70years, and for women: 0 – 10 years, 10 – 20 years, and 70 – 80 years.
Keywords: parameter estimation, Newton-Rhapson method, Broyden method,Lagrange Multiplier method.
x
DAFTAR ISI
KESESUAIAN HUKUM MORTALITAS GOMPERTZ DAN HUKUMMORTALITAS MAKEHAM TERHADAP TABEL MORTALITA INDONESIA2011 MENGGUNAKAN...................................................................................................i
METODE MAXIMUM LIKELIHOOD ESTIMATION...................................................i
........................................................................................................................................... ii
PERSEMBAHAN DAN MOTTO..................................................................................iv
KATA PENGANTAR......................................................................................................v
ABSTRAK.....................................................................................................................viii
ABSTRACT......................................................................................................................x
DAFTAR ISI....................................................................................................................xi
DAFTAR TABEL.........................................................................................................xiii
DAFTAR GAMBA........................................................................................................xiv
BAB I PENDAHULUAN...............................................................................................xv
1.1 Latar Belakang..............................................................................................xv
1.2 Rumusan Masalah......................................................................................xvii
1.3 Batasan Masalah.........................................................................................xvii
1.4 Tujuan Penelitian........................................................................................xvii
BAB II LANDASAN TEORI........................................................................................xix
2.1 Fungsi Survival dan Fungsi Hazard............................................................xix
2.2 Metode Maximum Likelihood.......................................................................xx
2.3 Metode Iterasi Newton-Rhapson.................................................................xxi
2.4 Metode Broyden.........................................................................................xxii
2.5 Metode Pengali Lagrange.........................................................................xxiii
2.6 Hukum Mortalitas Gompertz.....................................................................xxiv
2.7 Hukum Mortalitas Makeham......................................................................xxv
2.8 Average Relative Error...............................................................................xxv
BAB III METODOLOGI PENELITIAN.................................................................xxvii
3.1 Data Penelitian.........................................................................................xxvii
3.2 Pengolahan Data.......................................................................................xxvii
3.3 Alur Penelitian..........................................................................................xxvii
xi
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN.....................................................................xxix
4.1 Estimasi Parameter Hukum Mortalitas Gompertz.....................................xxix
4.2 Estimasi Parameter Hukum Mortalitas Makeham...................................xxxiv
4.3 Nilai Dan Berdasarkan Hukum Mortalitas..................................................xlv
4.4 Model Terbaik.............................................................................................xlv
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN........................................................................xlix
5.1 Kesimpulan.................................................................................................xlix
5.2 Saran................................................................................................................l
REFERENSI.....................................................................................................................li
LAMPIRAN...................................................................................................................liv
xii
DAFTAR TABEL
Tabel 4.1 Nilai awal dan hasil estimasi parameter Gompertz menggunakan Metode
Newton-Rhapson...........................................................................................................xxxi
Tabel 4.2 Nilai awal dan hasil estimasi parameter Makeham menggunakan Metode
Broyden.............................................................................................................................xl
Tabel 4.3 Nilai Average Relative Error (ARE) dari hukum mortalitas terhadap tabel
mortalita (dalam %).........................................................................................................xlv
Tabel 4.4 Nilai MAPE hukum mortalitas Gompertz dan TMI 2011 untuk pria................xlvii
Tabel 4.5 Nilai MAPE hukum mortalitas Gompertz dan TMI 2011 untuk wanita..........xlviii
xiii
DAFTAR GAMBA
Gambar 3.1 Alur Penelitian..........................................................................................xxviii
Gambar 4.1 Grafik fungsi μ(x ) hukum mortalitas Gompertz..............................16
Gambar 4.2 Grafik fungsi S(x ) hukum mortalitas Gompertz..............................16
Gambar 4.3 Grafik fungsi f (x) hukum mortalitas Gompertz..............................16
Gambar 4.4 Grafik fungsi μ(x ) hukum mortalitas Gompertz..............................24
Gambar 4.5 Grafik fungsi S(x ) hukum mortalitas Gompertz..............................25
Gambar 4.6 Grafik fungsi f (x) hukum mortalitas Gompertz..............................25
Gambar 4.7 px pada Tabel Mortalita Indonesia 2011 untuk pria dan .
pendekatan hukum mortalitas Gompertz dan hukum .
mortalitas Makeham........................................................................27
Gambar 4.8 px pada Tabel Mortalita Indonesia 2011 untuk wanita dan .
pendekatan hukum mortalitas Gompertz dan hukum mortalitas .
Makeham..........................................................................................27
xiv
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Di dunia ini setiap yang berawal akan mengalami akhirnya. Begitu juga
dengan kehidupan, setiap yang bernyawa akan menemui kematiannya. Hal ini
sesuai dengan firman Allah Swt. dalam Al-Qur’an surat Al-Anbiya ayat 35, yaitu :
3لينا ترجعو لخير3 ف3تنة وإ ر و لش 3 لموت3 ونبلوكم ب 3قة ۵(۳۵) وعجرت انيلإو ةنتف ريخلٱ وعجرت انيلإو ةنتف ريخلٱو رشلٱب مكولبنو وعجرت انيلإو ةنتف ريخلٱو رشلٱ وعجرت انيلإو ةنتف ريخلٱ وعجرت انيلإو كل نفس ذائ “Setiap yang bernyawa akan merasakan mati, Kami akan menguji kamu
dengan keburukan dan kebaikan sebagai cobaan. Dan kamu akan
dikembalikan hanya kepada kami.”
Berdasarkan ayat di atas, kematian merupakan hal yang pasti terjadi kepada
manusia namun waktu kematian hanya Allah Subhanahu wa Ta’ala yang
mengetahuinya. Kematian dapat disebabkan oleh banyak hal diantaranya karena
usia tua, kecelakaan, pembunuhan, ataupun bunuh diri. Hal inilah yang menjadi
latar belakang munculnya produk-produk asuransi jiwa yang bertujuan untuk
memberikan perlindungan dari kerugian finansial tak terduga yang disebabkan
oleh meninggal terlalu cepat atau hidup terlalu lama.
Produk-produk asuransi dihitung menggunakan fungsi-fungsi aktuaria yang
bergantung pada tabel mortalita ataupun pendekatan hukum-hukum mortalitas
terhadap tabel mortalita. Beberapa hukum mortalitas yang sering digunakan yaitu,
hukum mortalitas Gompertz, dan hukum mortalitas Makeham.
Hukum mortalitas Gompertz merupakan model yang dikemukakan oleh
Benjamin Gompertz pada tahun 1825. Model ini sering digunakan dalam analisis
survival. Gompertz dapat dikatakan telah membuka era baru dalam profesi
aktuaria. Karena tabel mortalita dapat didekati menggunakan model yang
dikemukakan oleh Gompertz [CITATION Tur10 \l 1057 ]. Hukum mortalitas
Gompertz tidak hanya diterapkan pada bidang asuransi dan demografi tapi juga
pada bidang biologi [CITATION Kir15 \l 1057 ].
xv
Pada tahun 1860, William M. Makeham melakukan percobaan terhadap tiga
tabel mortalitas menggunakan hukum mortalitas Gompertz. Makeham
menyatakan bahwa hukum mortalitas Gompertz perlu untuk dimodifikasi. Pada
tahun tersebut Makeham mengeluarkan hukum mortalitas yang kemudian dikenal
sebagai hukum mortalitas Makeham [CITATION Mak60 \l 1057 ].
Hukum mortalitas Gompertz menghitung risiko berdasarkan faktor usia
sedangkan hukum mortalitas Makeham menghitung risiko berdasarkan faktor usia
dan faktor lain yang tidak dipengaruhi oleh usia [ CITATION Ols97 \l 1057 ]. Pada
hukum mortalitas Gompertz terdapat dua parameter yang perlu diestimasi
sementara pada hukum mortalitas Makeham terdapat tiga parameter yang perlu
diestimasi. Beberapa metode telah dikembangkan untuk mengestimasi parameter-
parameter pada hukum mortalitas Gompertz yaitu Ordinary Least Squares (OLS),
Weighted Ordinary Least Squares (WOLS), Non Linear Least Squares (NLLS),
Weighted Non Linear Least Squares (WNLLS), dan Regresi Poisson [CITATION
Tai18 \l 1057 ]. Selain itu juga bisa menggunakan metode Maximum Likelihood
Estimaton (MLE) [ CITATION Gar70 \l 1057 ]. Menurut [CITATION Adam \l 1057 ],
metode Maximum Likelihood Estimation lebih akurat dalam mengestimasi
parameter hukum mortalitas Gompertz daripada metode Moment. Sedangkan
estimasi parameter untuk hukum mortalitas Makeham lebih efektif menggunakan
Least Squares (LS) daripada Maximum Likelihood Estimation (MLE). Beberapa
kasus pada hukum mortalitas Makeham mengandung persamaan ∑i=1
r1
A+B C x i,
∑i=1
r x i B C x i
A+B Cx i
dan sebagainya yang membuat proses estimasi menjadi kompleks
[ CITATION Fen08 \l 1057 ].
Perbedaan hasil estimasi parameter akan berpengaruh kepada tingkat akurasi
fungsi-fungsi aktuaria. Sebelum menghitung tingkat akurasi fungsi-fungsi
aktuaria, kesesuaian hukum mortalitas dengan tabel mortalitas harus diperhatikan.
Pada tahun 2012, Huang dan Kristiani telah meneliti tentang kesesuaian hukum
mortalitas Gompertz terhadap Tabel Mortalita Indonesia (TMI) 2011
xvi
menggunakan metode Linear Least Square[ CITATION Huang \l 1057 ]. Hasil
penelitin ini menunjukkan bahwa TMI 2011 untuk pria lebih sesuai didekati
dengan hukum mortalitas Gompertz sementara TMI 2011 untuk wanita lebih
sesuai didekati dengan hukum mortalitas Makeham.
Terinspirasi dari penelitian Huang dan Kristiani [8], pada penelitian ini akan
dibahas mengenai kesesuaian hukum mortalitas Gompertz dan hukum mortalitas
Makeham terhadap Tabel Mortalita Indonesia (TMI) 2011 baik untuk pria
maupun wanita dimana estimasi parameter pada kedua hukum tersebut dilakukan
menggunakan metode Maximum Likelihood Estimation. Estimasi parameter
secara numerik pada hukum motalitas Gompertz menggunakan metode Newton-
Rhapson dan estimasi parameter secara numerik untuk hukum mortalitas
Makeham menggunakan metode Lagrange dan metode Broyden. Kesesuaian
terbaik dari kedua hukum mortalitas terhadap TMI 2011 dinilai menggunakan
nilai Average Relative Error (ARE).
1.2 Rumusan Masalah
Rumusan masalah yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah :
1. Bagaimana kesesuaian hukum mortalitas Gompertz terhadap TMI 2011
untuk pria dan TMI 2011 untuk wanita.
2. Bagaimana kesesuaian hukum mortalitas Makeham terhadap TMI 2011
untuk pria dan TMI 2011 untuk wanita.
1.3 Batasan Masalah
Pada penelitian ini, penulis menggunakan metode Newton-Rhapson untuk
mengestimasi parameter hukum motalitas Gompertz dan untuk hukum mortalitas
Makeham menggunakan metode Lagrange dan metode Broyden. Sementara untuk
aplikasi menggunakan Software RStudio.
1.4 Tujuan Penelitian
Adapun tujuan dalam penelitian ini adalah :
1. Mengetahui kesesuaian hukum mortalitas Gompertz terhadap TMI 2011
untuk pria dan TMI 2011 untuk wanita.
xvii
2. Mengetahui kesesuaian hukum mortalitas Makeham terhadap TMI 2011
untuk pria dan TMI 2011 untuk wanita.
xviii
BAB II
LANDASAN TEORI
2.1 Fungsi Survival dan Fungsi Hazard
Fungsi survival yang dinotasikan dengan Sx( x) atau S(x ) untuk peubah acak
X merupakan Peluang seseorang yang berusia X tahun telah bertahan hidup lebih
dari x tahun, yaitu [CITATION LossM \l 1057 ]:
S ( x )=P ( X>x )=1−F ( x ) .
Fungsi Hazard dari peubah acak X adalah peluang seseorang mengalami
suatu kejadian sesaat sesudah x [CITATION LossM \l 1057 ]. Fungsi hazard
didefinisikan sebagai berikut :
h ( x )= lim∆ x →0
P(x<X ≤ x+∆ x∨X>x)∆ x
.
Jika X merupakan peubah acak kontinu, fungsi hazard dapat dinyatakan
dengan fungsi kepadatan peluang, yaitu :
h ( x )= lim∆ x →0
P ( x< X ≤ x+∆ x|X>x )
∆ x
¿ lim∆ x→ 0
P ( ( x< X ≤ x+∆ x )∩ ( X>x ) )
P ( X> x ) ∆ x
¿ lim∆ x→ 0
P (x<X ≤ x+∆ x )
P ( X>x ) ∆ x
¿ lim∆ x→ 0
P (x<X ≤ x+∆ x )
S ( x ) ∆ x
¿1
S ( x )lim
∆ x →0
P ( x< X ≤ x+∆ x )
∆ x
¿1
S ( x )lim
∆ x →0
F ( x+∆ x )−F (x )
∆ x
xix
¿1
S ( x )
ddx
F ( x )
¿f ( x )
S ( x ).
Dalam dunia asuransi atau demografi fungsi hazard dikenal sebagai force of
mortality yang disimbolkan dengan μ(x ). Hubungan antara fungsi survival dan
force of mortality adalah sebagai berikut[ CITATION Lon97 \l 1057 ]:
S (t )=exp[−∫0
t
μ ( y ) dy ] . (2.1)
2.2 Metode Maximum Likelihood
Diberikan X1 , X2 ,…, Xn adalah suatu sampel acak berukuran n yang berasal
dari suatu distribusi dengan fungsi kepadatan peluang f ( x ;θ ) , yang bergantung
pada θ∈Ω, dimana Ω merupakan ruang parameter. Karena X1 , X2 ,…, Xn
merupakan sampel acak maka dapat dinyatakan dengan :
f ( x1 , x2 , …, xn ;θ )=f ( x1;θ ) f ( x2;θ ) … f ( xn ;θ ) . (2.2)
Persamaan (2.2) dapat ditulis dalam bentuk :
L (θ )= f ( x1 ;θ ) f ( x2 ;θ ) …f ( xn ;θ )=∏i=1
n
f ( x i ;θ ) .
L(θ) disebut sebagai fungsi likelihood[ CITATION Hog13 \l 1057 ].
Nilai θ=u(X1 , X2 ,…, Xn) yang memaksimumkan fungsi likelihood disebut
sebagai taksiran maksimum likelihood dari θ dan dinotasikan dengan θ . Untuk
memudahkan dalam mencari taksiran θ maka fungsi L(θ) dapat dimodifikasi
kedalam bentuk logaritma natural (ln). Karena nilai θ yang memaksimumkan
L(θ) akan sama dengan nilai θ yang memaksimumkan ln ( L (θ ) ) CITATION
Hog13 \l 1057 [12] . Nilai θ yang dapat memaksimumkan ln ( L (θ ) ) adalah turunan
pertama terhadap θ yang kemudian disamakan dengan nol.
xx
2.3 Metode Iterasi Newton-Rhapson
Salah satu metode numerik yang sering digunakan dalam menyelesaikan
persamaan non linear adalah metode Newton-Rhapson[CITATION Ben96 \l 1057 ].
Metode ini dapat menyelesaikan persamaan non linear secara iteratif.
Misalkan akan diestimasi nilai parameter θ dari suatu fungsi kepadatan
peluang f ( x1 , x2 , …, xn ;θ ) .Adapun langkah-langkah dalam metode iterasi
Newton-Rhapson adalah sebagai berikut :
1. Tentukan nilai awal estimasi dari θ, misalkan θ0.
2. θ1=θ0
−G ( θ0 )
H ( θ0 ), dimana H (θ0
) merupakan turunan pertama dari
f (x1 , x2,…, xn;θ) pada θ=θt .
3. θt+1=θ t
−G(θ t
)
H (θ t ), dimana H (θt )=(H ¿¿ t)−1
¿ dan G (θt )=Gt . Maka
θt+1=θ t
−(H ¿¿ t)−1Gt .¿
4. Lakukan iterasi sampai diperoleh jarak antara θt+1 dan θt sangat kecil atau
θt+1−θ t ≈ ε .
Metode ini ini dapat diperluas untuk menyelesaikan sistem persamaan non
linear dengan parameter lebih dari satu. Misalkan akan diestimasi parameter
θ1 , θ2 ,…, θp maka akan diperoleh iterasi sebagai berikut :
θt+1=θ t
−(H ¿¿ t)−1Gt ,¿
dimana θt+1 dan θt dalam bentuk vektor, yaitu :
θt+1=[
θ1t+1
θ2t+1
⋮
θpt+1] dan θ
t=[
θ1t
θ2t
⋮
θ pt ] ,
xxi
H=[∂2 f ( x i ;θi )
∂ θ12
∂2 f ( x i;θi )
∂ θ1∂ θ2
…∂2 f ( x i;θi )
∂θ1 ∂ θp
⋮ ⋮ ⋮∂2 f ( x i ;θi )
∂ θp ∂θ1
∂2 f ( x i;θi )
∂ θp ∂ θ2
…∂2 f ( x i;θi )
∂θ p2
] dan G=[∂ f ( xi ;θi )
∂ θ1
⋮∂ f ( xi ;θi )
∂θ p
] .2.4 Metode Broyden
Metode Newton-Rhapson memiliki kelemahan yaitu turunan fungsi-
fungsinya sulit untuk dievaluasi. Metode Secant merupakan pengembangan dari
metode Newton-Rhapson dimana tidak diperlukan menghitung turunan fungsi di
setiap iterasi. Sementara untuk menyelesaikan sistem persamaan non linear
digunakan metode Broyden yang merupakan pengembangan dari metode Secant
[ CITATION Bro65 \l 1057 ].
Misalkan diketahui sistem persamaan non linear F ( x )=0 dengan pendekatan
awal x (0 )=( x1 , x2 , …, xn )
t, maka langkah-langkah untuk menyelesaikan sistem
persamaan dengan metode Broyden adalah sebagai berikut :
Langkah 1 :
a. Bentuk matrik Jacobi J (x ), dimana J ( x ) j ,k=∂ f j(x )
∂ xk
untuk jdan k masing-
masing menunjukkan baris dan kolom, dengan 1 ≤ j , k ≤ n.
b. Hitung F (x (0)) dengan mensubsitusikan x (0 ) ke sistem persamaan non linear
F ( x )=0.
c. Hitung matrik J0=J (x1(0 ) , x2
(0) , …, xn( 0)) dengan mensubsitusikan x (0 ) ke
matriks Jacobi.
d. Hitung invers dari J0, yaitu J0−1.
e. Hitung x (1 )=x( 0)
−J 0−1 F (x (0 )
).
Langkah 2 :
Hitung F (x (i)) dengan mensubsitusikan x (i ) ke sistem persamaan non linear
F ( x )=0 untuk i=1,2 , …
xxii
Langkah 3 :
Hitung y i=F ( x( i) )−F (x (i−1 )).
Hitung si=x ( i)−x (i−1 ).
Hitung si−J i−1−1 y i.
Hitung sit J i−1
−1 .
Langkah 4 :
Hitung J i−1
=J i−1−1
+(s i−J i−1
−1 y i)sit J i−1
−1
sit J i−1
−1 y i
.
Langkah 5 :
Hitung x (i+ 1)=x (i )
−J i−1 F (x (i )
).
Langkah 6 :
Jika ‖x (i+1)−x (i )‖>ε maka kembali ke langkah 2, jika tidak maka penyelesaian
sistem persamaan non linear adalah x (i+1).
2.5 Metode Pengali Lagrange
Untuk mencari nilai ekstrema relatif dari suatu fungsi dapat menggunakan
metode pengali Lagrange. Misalkan akan dicari nilai ekstrema dari suatu fungsi
dengan tiga variabel yaitu fungsi f (x , y , z) dengan kendala
g1 ( x , y , z )=0, g2 ( x , y , z )=0 , …, g p ( x , y , z )=0 adalah dengan membentuk suatu
fungsi pembantu F dengan variabel λ, dimana variabel λ merupakan pengali
Lagrange [ CITATION Var07 \l 1057 ].
F ( x , y , z )= f (x , y , z )+λ1 g1 (x , y , z )+λ2 g2 (x , y , z )+…+ λp g p ( x , y , z ) .
Titik kritis dari fungsi F adalah nilai x , y , z , λ1, λ2 , …, λp dimana :
Fx=0, F y=0, F z=0, Fλ 1=0, Fλ2
=0, …, Fλp=0.
xxiii
2.6 Hukum Mortalitas Gompertz
Hukum mortalitas Gompertz merupakan suatu model yang digunakan untuk
menentukan peluang hidup dan mati seseorang yang diperkenalkan oleh Benjamin
Gompertz (1825). Hukum mortalitas ini didefinisikan dengan menggunakan
Force of Mortality sebagai berikut :
μ(x )=BC x ,B>0,C>1, x≥ 0. (2.3)
Dimana parameter B mewakili tingkat kematian secara umum dan C
mewakili pertumbuhan kematian. Hukum mortalitas Gompertz lebih akurat dalam
mendeskripsikan interval umur 60 tahun sampai 70 tahun [CITATION Panagiotis \l
1057 ]. Selanjutnya dengan mensubsitusikan persamaan (2.3) ke dalam persamaan
(2.1), maka diperoleh :
S ( x )=exp [ −Bln C
(C x−1 )] . (2.4)
Fungsi kepadatan peluang dari hukum mortalitas Gompertz dapat diperoleh
dengan mengkalikan μ(x )dengan S(x ), yaitu sebagai berikut :
f ( x )=B Cx .exp [ −Bln C
(C x−1 )] . (2.5)
Fungsi peluang dari seseorang berusia x tahun akan tetap hidup hingga
berusia x+t tahun adalah :
pt❑
x=exp(−B C x
ln C(C t
−1)) . (2.6)
Sementara fungsi peluang dari seseorang berusia x tahun akan meninggal
dalam t tahun adalah :
qxt❑
=1− Pt❑
x=1−exp(−B C x
lnC(Ct
−1 )) . (2.7)
xxiv
2.7 Hukum Mortalitas Makeham
Hukum mortalitas Gompertz hanya dapat mendeskripsikan mortalitas yang
terjadi karena faktor usia, maka Makeham (1860) mengemukakan hukum
mortalitas Makeham. Hukum mortalitas ini didefinisikan dengan menggunakan
Force of Mortality sebagai berikut :
μ ( x )=A+B C x , B>0, A>−B ,C>1, x ≥ 0. (2.8)
Dimana parameter A mewakili terjadinya kematian bukan karena faktor usia
dan parameter BC x mewakili terjadinya kematian karena faktor usia. Selanjutnya
dengan mensubsitusikan persamaan (2.8) ke dalam persamaan (2.1), maka
diperoleh :
S ( x )=exp [−( Ax+B
ln C(C x
−1 ))] . (2.9)
Fungsi kepadatan peluang dari hukum mortalitas Makeham adalah :
f ( x )=( A+BC x) .exp[−(Ax+B
ln C( C x
−1 ))] . (2.10)
Fungsi peluang dari seseorang berusia x tahun akan tetap hidup hingga
berusia x+t tahun adalah :
pt❑
x=exp(−At−B C x
ln C(Ct
−1)) . (2.11)
Sementara fungsi peluang dari seseorang berusia x tahun akan meninggal
dalam t tahun adalah :
qxt❑
=1− Pt❑
x=1−exp(−At−B C x
ln C(Ct
−1)). (2.12)
2.8 Average Relative Error
Terdapat ketidaksesuaian antara hukum mortalitas Gompertz dan hukum
mortalitas Makeham terhadap Tabel Mortalita. Ketidaksesuaian ini akan berakibat
kepada terciptanya kesalahan (error). Menurut [ CITATION Zho88 \l 1057 ], salah
xxv
satu cara untuk menghitung tingkat kesalahan adalah dengan menggunakan
Average Relative Error (ARE), yaitu :
ARE=
∑i=i
n
|e i−o i|
∑i=1
n
oi
, (2.13)
dimana e i merupakan nilai dari fungsi yang diestimasi dengan menggunakan
pendekatan hukum mortalitas dan o i merupakan nilai fungsi yang diperoleh dari
tabel mortalita.
xxvi
BAB III
METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Data Penelitian
Penelitian ini menggunakan nilai px dari Tabel Mortalita Indonesia (TMI)
2011 untuk pria dan nilai px dari Tabel Mortalita Indonesia (TMI) 2011 untuk
wanita. Nilai px dari TMI 2011 untuk pria dapat dilihat pada lampiran I dan nilai
px dari TMI 2011 untuk wanita dapat dilihat pada lampiran II.
3.2 Pengolahan Data
Sebelum data digunakan, terlebih dahulu dilakukan estimasi parameter
hukum mortalitas Gompertz dan estimasi parameter hukum mortalitas Makeham.
Setelah didapatkan parameter yang diestimasi, selanjutnya dihitung nilai px untuk
hukum mortalitas gompertz dan nilai px untuk hukum mortalitas Makeham.
Selanjutnya dihitung nilai Average Relative Error (ARE) px TMI 2011 untuk
pria terhadap px hukum mortalitas Gompertz dan hukum mortalitas Makeham
menggunakan persamaan (2.13). Dihitung juga nilai Average Relative Error
(ARE) px TMI 2011 untuk wanita terhadap px dari hukum mortalitas Gompertz
dan hukum mortalitas Makeham menggunakan persamaan (2.13). Dalam
melakukan estimasi parameter, penghitungan nilai px dari hukum mortalitas, dan
penghitungan kesalahan (error).
3.3 Alur Penelitian
Prosedur yang dilakukan dalam penelitian ini dapat dilihat pada Gambar 3.1.
xxvii
Gambar 3.1 Alur Penelitian.
xxviii
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Estimasi Parameter Hukum Mortalitas Gompertz
Pada hukum mortalitas Gompertz terdapat dua parameter yang harus
diestimasi yaitu parameter B dan C. Parameter-parameter tersebut dapat
diestimasi menggunakan Maximum Likelihood Estimation (MLE). Persamaan
likelihood yang terbentuk dari fungsi kepadatan peluang adalah sebagai berikut :
L (B , C )=∏i=0
n
B C x i . exp [ −Bln C
(C x i−1)] . (4.1)
Parameter B dan C dapat diestimasi dengan memaksimumkan fungsi L(B ,C )
. Memaksimumkan fungsi ln (L ( B ,C )) akan berakibat fungsi L(B ,C ) maksimum.
Persamaan (4.1) menjadi :
ln ( L (B ,C ) )=∑i=0
n
ln(B C xi . exp[ −BlnC
(C xi−1 ) ])
¿∑i=0
n
ln B+¿∑i=0
n
lnC x i+¿∑i=0
n
( −BlnC
(C x i−1 ))¿¿
¿n . ln B+(∑i=0
n
x i) lnC−B
ln C∑i=0
n
(C x i−1 ) . (4.2)
Untuk memperoleh estimasi parameter B dan C, turunan pertama persamaan (4.2)
sama dengan nol. Dapat juga dengan menyelesaikan persamaan berikut :
∂ ln(L (B ,C ))
∂ B=0,
∂ ln(L(B ,C))
∂ C=0.
Turunan pertama dari persamaan (4.2) adalah sebagai berikut :
xxix
∂ ln(L(B ,C))
∂ B=
nB
−1
lnC∑i=0
n
(C xi−1 ) , (4.3)
∂ ln(L (B ,C ))
∂ C=
1C∑i=0
n
xi+B
C ln 2C∑i=0
n
(C x i−1 )−B
C lnC∑i=0
n
x i Cxi . (4.4)
Berdasarkan persamaan (4.3) dan (4.4) terlihat bahwa persamaan-persamaan
tersebut masih saling bergantung, hal ini membuat solusi sulit untuk diperoleh.
Salah satu metode yang dapat digunakan adalah metode Newton-Rhapson.
Parameter B dan C dapat dihitung dengan secara iteratif menggunakan rumus
berikut :
(Bk+1
C k+1)=(
Bk
C k)−(
∂2 ln L∂ B2
∂2ln L∂ B ∂C
∂2 ln L∂ C ∂ B
∂2ln L
∂ C2 )−1
(∂ ln L∂ B
∂ ln L∂ C
) , k=0,1,2,…,n
dimana
∂2 ln L∂ B2 =
−nB2 ,
∂2 ln L∂C ∂ B
=∂2 ln L∂ B ∂C
=1
C ln2 C∑i=0
n
(Cx i−1 )−1
C ln C∑i=0
n
x iCx i ,
∂2 ln L∂C2 =
−1C2 ∑
i=0
n
x i−B¿¿
BC2 ln C
∑i=0
n
xi2 C x i .
Menurut [CITATION Panagiotis \l 1057 ], estimasi parameter C dari hukum
mortalitas Gompertz mendekati 1,09. Dengan menggunakan nilai toleransi
ε=10−4 . Iterasi metode Newton-Rhapson akan terus berlanjut hingga memenuhi
nilai toleransi atau syarat B>0 dan C>1 tidak terpenuhi. Persamaan toleransi
adalah sebagai berikut :
xxx
√(Bk +1−Bk )2+(C k+1−C k )
2 ≤ ε .
Berapa nilai awal untuk estimasi parameter Gompertz menggunakan metode
Newton Rhapson tertera pada Tabel 4.1. Dari Tabel 4.1 dapat dilihat bahwa
sebagian besar nilai estimasi parameter B konvergen ke 0,005749 dan nilai
estimasi parameter C konvergen ke 1,024738. Sehingga diambil nilai estimasi
parameter B=0,005749 dan C=1,024738.
Tabel 4.1 Nilai awal dan hasil estimasi parameter Gompertz menggunakan
Metode Newton-Rhapson.
NoNilai Awal Hasil Estimasi
B0 C 0 B C
1 0,00001 1,10,00574977
41,02473
8
2 0,0001 1,10,00574918
21,02473
9
3 0,0001 1,110,00574980
41,02473
8
4 0,001 1,20,00574956
31,02473
9
5 0,0001 1,090,00574980
41,02473
8
6 0,001 1,090,00574976
51,02473
8
7 0,001 1,11 NaN NaN
8 0,0001 1,120,00574976
31,02473
8
9 0,001 1,12 NaN NaN
10 0,00001 1,09 0,00574980 1,02473
xxxi
4 8
11 0,01 1,50,00574980
41,02473
8
12 0,001 1,5 0,005749711,02473
8
13 0,001 1,40,00574980
31,02473
8
14 0,0001 1,08 0,005749741,02473
8
15 0,001 1,080,00574980
21,02473
8
16 0,01 1,08 NaN NaN
170,00000
11,13
0,005749789
1,024738
18 0,0001 1,13 NaN NaN
19 0,0001 1,070,00574980
11,02473
8
20 0,001 1,070,00574980
31,02473
8
Dengan mensubsitusikan hasil estimasi paramater B dan C ke dalam
persamaan (2.3), (2.4), dan (2.5) diperoleh persamaan berikut:
μ ( x )=0,005749 (1,024738 )x ,
S ( x )=exp [−0,005749ln 1,024738
(1,024738x−1 )] ,
f ( x )=0,005749 (1,024738 )x . exp [−0,005749
ln 1,024738(1,024738x
−1 )] .
Grafik untuk ketiga fungsi di atas dapat dilihat pada Gambar 4.1, Gambar 4.2,
dan Gambar 4.3.
xxxii
Gambar 4.1 Grafik fungsi μ(x ) hukum mortalitas Gompertz.
Gam
bar 4.2 Grafik fungsi S(x ) hukum mortalitas Gompertz.
xxxiii
Gam
bar 4.3 Grafik fungsi f (x) hukum mortalitas Gompertz.
4.2 Estimasi Parameter Hukum Mortalitas Makeham
Pada hukum mortalitas Makeham terdapat tiga parameter yang harus
diestimasi yaitu parameter A, B dan C dan juga terdapat tiga kendala yaitu
B>0, C>1, dan A>−B. Parameter tersebut diestimasi menggunakan Maximum
Likelihood Estimatation (MLE) dan metode pengali Lagrange untuk mengatasi
ketiga kendala yang ada. Persamaannya menjadi seperti berikut:
ln (L ( A , B ,C ))=∑i=0
n
ln(( A+B C x i) . exp [−( A x i+B
ln C(C x i−1 )) ])+ λ1 ( A+B )+ λ2 B+λ3 (C−1 )
¿∑i=0
n
ln ( A+B C x i )−A∑i=0
n
x i−B
ln C∑i=0
n
(C x i−1 )+λ1 ( A+B )+λ2 B+λ3 (C−1 ) .
(4.5)
Variabel Lagrange pada persamaan (4.5) dapat diperoleh ketika turunan
pertama dari persamaan (4.5) sama dengan nol, atau dengan menyelesaikan
persamaan berikut:
∂ ln (L ( A , B , C ))
∂ A=0, (4.6)
∂ ln(L( A , B ,C ))
∂ B=0, (4.7)
xxxiv
∂ ln (L ( A , B , C ))
∂C=0. (4.8)
Turunan pertama dari persamaan (4.5) adalah sebagai berikut :
∂ ln(L ( A ,B ,C ))
∂ A=∑
i=0
n1
A+B C x i−∑
i=0
n
x i+ λ1 , (4.9)
∂ ln(L ( A ,B ,C ))
∂ B=∑
i=0
nC
xi
A+B Cx i−
1ln C
∑i=0
n
(C¿¿x i−1)+∑i=0
n
x i−∑i=0
n1
A+B C xi+λ2 ,¿
(4.10)
∂ ln (L ( A , B , C ))
∂C=∑
i=0
n B x iCx i−1
A+B Cx i
+B
C ln 2C∑i=0
n
(C ¿¿ x i−1)−B
C ln C∑i=0
n
xi Cx i+ λ3 .¿
(4.11)
Berdasarkan persamaan (4.6) dan (4.9) maka diperoleh :
λ1=∑i=0
n
x i−∑i=0
n1
A+B C x i, (4.12)
Berdasarkan persamaan (4.7) dan (4.10) maka diperoleh :
λ2=1
lnC∑i=0
n
(C¿¿x i−1)−∑i=0
n
x i−∑i=0
nC
xi−1A+B C x i
,¿ (4.13)
Berdasarkan persamaan (4.8) dan (4.11) maka diperoleh :
λ3=B
C ln C∑i=0
n
xi Cx i−∑
i=0
n B x iCx i−1
A+B Cxi
−B
C ln2C∑i=0
n
(C¿¿ x i−1) .¿ (4.14)
Berdasarkan persamaan (4.5), (4.12), (4.13), dan (4.14) maka diperoleh :
ln ( L ( A , B , C ))=∑i=0
n
ln ( A+B C x i )−A∑i=0
n1
A+B Cxi
−B∑i=0
nC x i
A+B Cx i
+B (C−1 )
C ln C∑i=0
n
x i Cx i−(C−1 )∑
i=0
n B x i Cx i−1
A+B Cx i
−B (C−1 )
C ln2C∑i=0
n
( C xi−1 ).
(4.15)
xxxv
Turunan pertama dari persamaan (4.15) adalah :
∂ ln(L ( A ,B ,C ))
∂ A=A∑
i=0
n1¿¿
¿
(4.16)
∂ ln(L ( A ,B ,C ))
∂ B=A∑
i=0
nC
xi
¿¿¿ (4.17)
∂ ln ( L ( A , B ,C ) )
∂ C=A∑
i=0
n B x iCx i−1
¿¿¿
(C−1 )∑i=0
n B x i ( x i−1 ) Cx i−2 ( A+B C x i )−(B xiC
x i−1 )2
¿¿¿ (4.18)
Berdasarkan persamaan (4.16), (4.17), dan (4.18) terlihat bahwa parameter
A , B , dan C masih bergantung satu sama lain, maka digunakan metode Broyden
dengan matriks Jacobi sebagai berikut:
J=(∂2 ln L∂ A2
∂2 ln L∂ A ∂ B
∂2 ln L∂ A ∂C
∂2 ln L∂ B ∂ A
∂2 ln L∂ B2
∂2 ln L∂ B ∂C
∂2 ln L∂ C ∂ A
∂2 ln L∂ C ∂ B
∂2 ln L
∂ C2
) ,
❑
dimana
∂2 ln L∂ A2 =∑
i=0
n1¿¿
¿
(C−1 )∑i=0
n 2 B x i Cxi−1
¿¿¿
∂2 ln L∂ B ∂ A
=−A∑i=0
n2C
xi
¿¿¿
xxxvi
(C−1 )∑i=0
n
xi Cx i−1
¿¿¿
∂2 ln L∂C ∂ A
=−A∑i=0
n 2 B xi Cx i−1
¿¿¿
B∑i=0
n
xi Cx i−1
¿¿¿
(C−1 )∑i=0
n
B x i(x i−1)C x i−2¿¿¿
∂2 ln L∂ B2 =−A∑
i=0
n2C
2 xi
¿¿¿
(C−1 )∑i=0
n 2 A x iC2 x i−1
¿¿¿
∂2 ln L∂ A ∂ B
=−A∑i=0
n2C
xi
¿¿¿
(C−1 )∑i=0
n
xi Cx i−1
¿¿¿
∂2 ln L∂C ∂ B
=A∑i=0
n
x i Cx i−1
¿¿¿
B∑i=0
n
2x iC2x i−1
¿¿¿
ln C−C+1
C2 ln2C∑i=0
n
x i Cx i+
C−1C lnC
∑i=0
n
x i2Cx i−1
−∑i=0
n A xi Cx i−1
¿¿¿
(C−1 )∑i=0
n
Ax i(x i−1)C x i−2¿¿¿
ln C−2C+2
C2ln3 C∑i=0
n
(C x i¿−1)−C−1
C ln2C∑i=0
n
xiCx i−1 ,¿
xxxvii
∂2 ln L∂ A ∂C
=−A∑i=0
n 2 B xi Cx i−1
¿¿¿
B∑i=0
n
xi Cx i−1
¿¿¿
(C−1 )∑i=0
n
(Bxi2 C x i−2
−B xiCxi−2
)¿¿¿
(C−1 )∑i=0
n 2( AB xi2C x i−2
−AB x iCx i−2
−B2 x i C2 xi−2
)( A+B C x i)
¿ ¿¿
∂2 ln L∂ B2 =−A∑
i=0
n2C
2 xi
¿¿¿
(C−1 )∑i=0
n 2 A x iC2 x i−1
¿¿¿
∂2 ln L∂ B ∂ C
=A∑i=0
n
x i Cx i−1
¿¿¿
B∑i=0
n 2 Ax iC2x i
¿¿¿
∑i=0
n A x iCx i−1
¿¿¿
(C−1 )∑i=0
n 2( AB xi2C x i−2
−AB x iCx i−2
−B2 x i C2 xi−2
)( A+B C x i)
¿¿¿
ln C−2C+2C2ln3 C
∑i=0
n
(C x i¿−1)−C−1
C ln2C∑i=0
n
xiCx i−1 ,¿
∂2 ln L∂C2 =A∑
i=0
n
Bxi(x i−1)C x i−2¿¿¿
B∑i=0
n
A x i(x i−1)C xi−2¿¿¿
xxxviii
B (2 ln2 C+ (3−C ) lnC−2 C+2 )
C3 ln3 C∑i=0
n
x iCxi+
2 B (ln C−C+1 )
C2 ln2C∑i=0
n
xi2 C x i−1
+¿
B (C−1 )
C ln C ∑i=0
n
x i2
( xi−1 )Cxi−2
−∑i=0
n Bxi ( x i−1 ) Cxi−2 ( A+B C xi )−B2 x i
2C2 x i−2
¿¿¿
(C−1 ) ∑i=¿ ¿
nBxi ( x i−1 ) Cx i−3
(A (x i−2)+ (2 x i−2 ) Cx i−2B x iC
xi)¿¿¿
(C−1 )∑i=1
n (B x i ( x i−1 ) Cxi−2 ( A+B C xi )−( A+B C x i−1 )
2)2 B xi C
x i−1 ( A+B C x i)
¿¿¿
2 B ¿¿
B (C−1 )
C ln2C∑i=0
n
xi(x i−1)C x i−2 .
Berdasarkan [CITATION Jor91 \l 1057 ], parameter dari hukum mortalitas
Makeham biasanya berada pada interval :
0,001< A<0,003,
10−6<B<10−3 ,
1,08<C<1,12.
Agar memenuhi hukum mortalitas Makeham, nilai awal pencarian parameter
C adalah [ 1,1075 ;1,115 ][ CITATION Huang \l 1057 ]. Dengan nilai toleransi ε=10−4 .
Iterasi metode Broyden akan terus berlanjut hingga memenuhi nilai toleransi atau
syarat B>0, C>1, dan A>−B tidak terpenuhi. Persamaan toleransi sebagai
berikut :
√( Ak+1−Ak)2+(B k+1−Bk )
2+(C k+1−Ck )
2≤ ε .
Berapa nilai awal dan hasil estimasi parameter Makeham dapat dilihat pada Tabel
4.2.
xxxix
Tabel 4.2 Nilai awal dan hasil estimasi parameter Makeham menggunakanMetode Broyden.
NoNilai Awal Hasil Estimasi
ValiditasA0 B0 C0 A B C
1 0,003 0,001 1,115 0,08485554 1,81616E-05 1,114982
2 0,003 0,001 1,114 -0,8441615 -3,17135E-06 1,113975
3 0,003 0,001 1,113 -0,03382612 -0,000184 1,112956
4 0,003 0,001 1,112 -0,584488 -0,00000591 1,118498
5 0,003 0,001 1,111 -0,04826306 -1,03011E-05 1,11093
6 0,003 0,001 1,11 0,118477 0,000044198 1,109253
7 0,003 0,001 1,075 -0,075889 -0,000083609 1,107456
8 0,003 0,0001 1,115 0,01809978 0,000244454 1,094295
9 0,003 0,0001 1,114 0,1744915 0,00027359 1,095246
10 0,003 0,0001 1,113 0,9783916 0,000723421 1,006492
11 0,003 0,0001 1,112 0,096 0,002414 0,971267
12 0,003 0,0001 1,111 0,022307 0,00297 0,975084
13 0,003 0,0001 1,11 0,147955 -0,00012 1,00429
14 0,003 0,0001 1,075 1,0646 0,001164 0,999164
15 0,003 0,00001 1,115 1,000466 0,0001964 1,000299
16 0,003 0,00001 1,114 1,406448 0,0002733 1,000274
17 0,003 0,00001 1,113 2,217435 0,0004267 1,000211
18 0,003 0,00001 1,112 3,785843 0,00072344 1,000141
19 0,003 0,00001 1,111 6,789324 0,00129139 1,000078
20 0,003 0,00001 1,11 12,51721 0,00237439 1,00002
21 0,003 0,00001 1,075 53,00287 0,01002 0,999633
22 0,003 0,000001 1,115 9,966008 0,00027499 1,003598
23 0,003 0,000001 1,114 10,62456 0,0002921 1,003448
xl
24 0,003 0,000001 1,113 9,638669 0,000264 1,003775
25 0,003 0,000001 1,112 19,9076 0,00054152 1,002042
26 0,003 0,000001 1,111 7,9897 0,0002161 1,004469
27 0,003 0,000001 1,11 118,0582 0,003149 1,000497
28 0,003 0,000001 1,075 141,4678 0,00355 1,051287
29 0,002 0,001 1,115 -0,1660459 -0,000013532 1,114985
30 0,002 0,001 1,114 -0,0468965 -0,00007048 1,11347
31 0,002 0,001 1,113 -0,07614399 -0,0003069 1,113008
32 0,002 0,001 1,112 -0,178077 -0,00006767 1,112128
33 0,002 0,001 1,111 -0,10449 -6,41604E-05 1,11099
34 0,002 0,001 1,11 -0,00315 -0,0001269 1,10962
35 0,002 0,001 1,075 0,2006454 2,15166E-05 1,107322
36 0,002 0,0001 1,115 0,1186529 -0,00016926 1,099271
37 0,002 0,0001 1,114 0,0189609 -0,000354 0,999069
38 0,002 0,0001 1,113 -2,616241 -0,00003959 0,85066
39 0,002 0,0001 1,112 0,004428 0,00002657 1,093731
40 0,002 0,0001 1,111 0,27597 0,0001609 1,00293
41 0,002 0,0001 1,11 0,7603821 0,000722 0,999555
42 0,002 0,0001 1,075 3,221655 0,003033 0,9981451
43 0,002 0,00001 1,115 5,256203 0,000091 0,9999031
44 0,002 0,00001 1,114 9,683905 0,001678 0,9999334
45 0,002 0,00001 1,113 18,12933 0,0031354 0,999929
46 0,002 0,00001 1,112 33,13456 0,0057238 0,99986
47 0,002 0,00001 1,111 52,12311 0,008999 0,99923
48 0,002 0,00001 1,11 55,54119 0,009589 0,9987
49 0,002 0,00001 1,075 NaN NaN NaN
xli
50 0,002 0,000001 1,115 36,02142 0,0009268 1,000456
51 0,002 0,000001 1,114 50,33053 0,00128945 1,000339
52 0,002 0,000001 1,113 131,9492 0,00339514 1,062611
53 0,002 0,000001 1,112 NaN NaN NaN
54 0,002 0,000001 1,111 178,821 0,004478 1,000283
55 0,002 0,000001 1,11 8,054075 0,0001997 1,001998
56 0,002 0,000001 1,075 NaN NaN NaN
57 0,001 0,001 1,115 -0,21727 -3,8756E-06 1,114983
58 0,001 0,001 1,114 -0,1798025 -0,000009691 1,113987
59 0,001 0,001 1,113 -0,13822 -0,000043141 1,112972
60 0,001 0,001 1,112 -0,213444 -2,9736E-06 1,111963
61 0,001 0,001 1,111 -0,1996214 -0,000001627 1,110966
62 0,001 0,001 1,11 -0,15857 -0,00003032 1,109984
63 0,001 0,001 1,075 -0,10453 -0,00003902 1,107407
64 0,001 0,0001 1,115 0,083161 -0,00004023 1,113014
65 0,001 0,0001 1,114 NaN NaN NaN
66 0,001 0,0001 1,113 0,4101232 0,00027884 1,001679
67 0,001 0,0001 1,112 1,613829 0,0012132 0,9972599
68 0,001 0,0001 1,111 3,036699 0,002237 0,9960899
69 0,001 0,0001 1,11 4,407758 0,003214 0,9957138
70 0,001 0,0001 1,075 5,59409 0,004059 0,99743
71 0,001 0,00001 1,115 47,39528 0,00691 0,999422
72 0,001 0,00001 1,114 43,81397 0,0063941 0,9997144
73 0,001 0,00001 1,113 34,00397 0,004965 0,9998729
74 0,001 0,00001 1,112 51,34915 0,007493 0,999578
75 0,001 0,00001 1,111 1,372887 0,0002095 0,9995896
xlii
76 0,001 0,00001 1,11 1,425943 0,00021731 0,999607
77 0,001 0,00001 1,075 10,62809 0,0015585 0,9999426
78 0,001 0,000001 1,115 NaN NaN NaN
79 0,001 0,000001 1,114 156,1441 0,003551 1,000024
80 0,001 0,000001 1,113 12,92778 0,0002931 1,000217
81 0,001 0,000001 1,112 23,84797 0,000535 1,000125
82 0,001 0,000001 1,111 18,57165 0,00041319 1,000163
83 0,001 0,000001 1,11 25,7593 0,00056477 1,000123
84 0,001 0,000001 1,075 45,12001 0,0009251 1,000078
0,0015 0,0009 1,11341 0,00300344 0,000271647 1,113395
Salah satu nilai hasil estimasi parameter hukum mortalitas Makeham yang
hampir memenuhi batas interval 0,001< A<0,003,10−6<B<10−3 , dan
1,1075<C<1,115 adalah A=0,00300344, B=0,0002716465, dan C=1,113395.
Dengan mensubsitusikan nilai hasil estimasi paramater A , B , dan C ke dalam
persamaan (2.8), (2.9), dan (2.10) diperoleh persamaan berikut:
μ ( x )=0,00300344+0,0002716465 (1,113395 )x ,
S ( x )=exp [−(0,00300344 x+0,0002716465
ln1,113395(1,113395x
−1 ))] ,
f ( x )=0,00300344+0,0002716465 (1,113395)x∗¿
exp [−(0,00300344 x+0,0002716465
ln1,113395(1,113395x
−1 ))] .
Grafik untuk ketiga fungsi di atas dapat dilihat pada Gambar 4.4, Gambar 4.5,
dan Gambar 4.6.
xliii
Gambar 4.4 Grafik fungsi μ(x ) hukum mortalitas Gompertz.
Gambar 4.5 Grafik fungsi S(x ) hukum mortalitas Gompertz.
Gambar 4.6 Grafik fungsi f (x) hukum mortalitas Gompertz.
xliv
4.3 Nilai px Dan qx Berdasarkan Hukum Mortalitas
Nilai px dan qx berdasarkan hukum mortalitas Gompertz adalah sebagai
berikut :
pt❑
x=exp¿¿
qt❑
x=1−exp¿¿
Sementara nilai px dan qx berdasarkan hukum mortalitas Makeham adalah
sebagai berikut :
pt❑
x=exp(−0,00300344 t−0,0002716465 (1,113395 )
x
ln 1,113395(1,113395t
−1 )) ,
qt❑
x=1−exp(−0,00300344 t−0,0002716465 (1,113395 )
x
ln 1,113395(1,113395 t
−1 )) .
4.4 Model Terbaik
Nilai px berdasarkan hukum mortalitas Gompertz dan hukum mortalitas
Makeham dapat dilihat pada lampiran I. Gambar 4.7 dan Gambar 4.8 merupakan
grafik dari pendekatan hukum mortalitas Gompertz dan hukum mortalitas
Makeham terhadap tabel mortalita untuk px.
Dari Gambar 4.7 dan Gambar 4.8 terlihat adanya ketidaksesuaian antara
pendekatan hukum mortalitas terhapat tabel mortalita. Ketidaksesuaian yang
terlihat jelas berada pada usia tua. Ketidaksesuaian ini akan mengakibatkan
kesalahan dalam perhitungan fungsi aktuaria. Ketidaksesuaian dilihat
menggunakan nilai ARE yang dihitung menggunakan persamaan (2.13). Hasil
perhitungan nilai ARE dapat dilihat pada tabel 4.3.
Tabel 4.3 Nilai Average Relative Error (ARE) dari hukum mortalitas terhadaptabel mortalita (dalam %).
xlv
Fungsi
Tabel Mortalita
px
Gompertz Makeham
TMI 2011 untuk pria 10,79138 28,69648
TMI 2011 untuk wanita 8,482467 30,3038768
Gambar 4.7 Nilai px pada Tabel Mortalita Indonesia 2011 untuk pria danpendekatan hukum mortalitas Gompertz dan hukum mortalitas Makeham.
xlvi
Gambar 4.8 px pada Tabel Mortalita Indonesia 2011 untuk wanita danpendekatan hukum mortalitas Gompertz dan hukum mortalitas Makeham.
Dari Tabel 4.3 dapat dilihat bahwa nilai ARE px yang dihasilkan oleh
pendekatan hukum mortalitas Gompertz terhadap TMI 2011 untuk pria lebih kecil
yaitu sebesar 10,79138% dibandingkan dengan nilai ARE px yang dihasilkan oleh
pendekatan hukum mortalitas Makeham yaitu sebesar 28,69648%. Hal ini
membuat TMI 2011 untuk pria lebih sesuai jika didekati menggunakan hukum
mortalitas Gompertz dibandingkan didekati menggunakan hukum mortalitas
Makeham.
Begitu juga dengan nilai ARE px yang dihasilkan oleh pendekatan hukum
mortalitas Gompertz terhadap TMI 2011 untuk wanita lebih kecil yaitu sebesar
8,482467% dibandingkan dengan nilai ARE px yang dihasilkan oleh pendekatan
hukum mortalitas Makeham yaitu sebesar 30,3038768%. Hal ini membuat TMI
2011 untuk wanita lebih sesuai jika didekati menggunakan hukum mortalitas
Gompertz dibandingkan didekati menggunakan hukum mortalitas Makeham.
Walaupun TMI 2011 untuk pria dan TMI 2011 untuk wanita lebih sesuai
didekati menggunakan hukum mortalitas Gompertz daripada hukum mortalitas
Makeham, tetapi dari Gambar 4.7 atau Gambar 4.8 terlihat jelas bahwa terdapat
ketidaksesuaian yang cukup besar pada usia tua. Karena Gompertz bagus dalam
mendeskripsikan interval usia 60 samapi usia 70 [CITATION Panagiotis \l 1057 ],
maka px hukum mortalitas Gompertz akan dibagi ke dalam beberapa interval usia
dan dihitung nilai ketidaksesuaiannya menggunakan metode Mean Absolute
Percentage Error (MAPE). Adapun rumus MAPE adalah sebagai berikut :
MAPE=100 %
n∑t=1
n
|A t−Ft
At|.
Tabel 4.4 Nilai MAPE px hukum mortalitas Gompertz dan TMI 2011 untuk pria.
xlvii
No Usia (tahun) MAPE px (%)1 0 – 10 0,58682 10 – 20 0,80723 20 – 30 0,99694 30 – 40 1,26365 40 – 50 1,43586 50 – 60 1,25897 60 – 70 0,65478 70 – 80 1,98869 80 – 90 12,424310 90 – 100 41,693811 100 – 110 120,7968
Dari Tabel 4.4 terlihat interval usia dengan nilai MAPE dibawah 1% adalah
interval usia 0 – 10 tahun, 10 – 20 tahun, 20 – 30 tahun, dan 60 – 70 tahun.
Interval usia untuk pria tersebut dianggap cukup sesuai jika didekati
menggunakan hukum mortalitas Gompertz.
Tabel 4.5 Nilai MAPE px hukum mortalitas Gompertz dan TMI 2011 untukwanita.
No Usia (tahun) MAPE px (%)1 0 – 10 0,59412 10 – 20 0,81333 20 – 30 1,02934 30 – 40 1,28905 40 – 50 1,53566 50 – 60 1,62067 60 – 70 1,43848 70 – 80 0,65399 80 – 90 5,390410 90 – 100 23,648411 100 – 110 99,2902
Dari Tabe 4.5 terlihat interval usia dengan nilai MAPE dibawah 1% adalahinterval usia 0 – 10 tahun, 10 – 20 tahun, dan 70 – 80 tahun. Interval usia untukwanita ini dianggap cukup sesuai jika didekati menggunakan hukum mortalitasGompertz.
xlviii
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Skripsi ini telah berhasil melakukan estimasi parameter hukum mortalitas
Gompertz dan hukum mortalita Makeham menggunakan metode Maximum
Likelihood Estimation. Pendekatan numerik untuk estimasi parameter hukum
mortalitas Gompertz dilakukan menggunakan metode Newton Rhapson. Beberapa
nilai awal digunakan untuk mengestimasi parameter B dan C pada hukum
mortalitas Gompertz dan hasilnya menunjukkan bahwa nilai B konvergen ke
0,005749 dan nilai C konvergen ke 1,024738. Pendekatan numerik untuk estimasi
parameter hukum mortalita Makeham menggunakan metode Broyden. Beberapa
nilai awal digunakan untuk mengestimasi parameter A, B dan C pada hukum
mortalitas Makeham. Beberapa nilai awal tidak menghasilkan parameter yang
valid karena berada di luar batas nilai 0,001< A<0,003,10−6<B<10−3 , dan
1,1075<C<1,115. Salah satu hasil estimasi parameter yang valid adalah nilai A =
0,00300344, B = 0,0002716465, dan C = 1,113395.
Berdasarkan nilai Average Relative Error (ARE) yang dihitung untuk
estimasi px, Tabel Mortalitas Indonesia (TMI) 2011 untuk pria dan TMI 2011
untuk wanita lebih sesuai jika didekati menggunakan hukum mortalitas Gompertz
daripada hukum mortalitas Makeham. Interval usia yang disarankan untuk
menggunakan pendekatan hukum mortalitas Gompertz terhadap TMI 2011 untuk
pria adalah interval usia 0 – 10 tahun, 10 – 20 tahun, 20 – 30 tahun, dan 60 – 70
tahun. Sementara interval usia yang disarankan untuk menggunakan pendekatan
hukum mortalitas Gompertz terhadap TMI 2011 untuk wanita adalah interval usia
0 – 10 tahun, 10 – 20 tahun, dan 70 – 80 tahun. Interval usia yang disarankan di
atas diambil berdasarkan nilai Mean Absolute Percentage Error (MAPE) yang
berada di bawah 1% untuk estimasi px sehingga pada interval-interval usia
tersebut nilai estimasi px berada sangat dekat dengan nilai px pada TMI 2011.
xlix
5.2 Saran
Untuk penelitian lebih lanjut penulis menyarankan untuk menggunakan
pendekatan berdasarkan hukum mortalitas yang lain, seperti hukum mortalitas
Gompertz-Makeham, hukum mortalitas Beta-Gompertz, atau hukum mortalitas
Beta-Makeham.
Selain itu juga dapat menggunakan Tabel Mortalita Indonesia (TMI) 2011
atau menggunakan tabel mortalita yang lain seperti tabel mortalita Spanyol atau
tabel mortalita Kanada.
l
REFERENSICITATION Tur10 \l 1057 : , [1],
CITATION Kir15 \l 1057 : , [2],
CITATION Mak60 \l 1057 : , [3],
CITATION Ols97 \l 1057 : , [4],
CITATION Tai18 \l 1057 : , [5],
CITATION Gar70 \l 1057 : , [6],
CITATION Adam \l 1057 : , [7],
CITATION Fen08 \l 1057 : , [8],
CITATION Huang \l 1057 : , [9],
CITATION LossM \l 1057 : , [10],
CITATION Lon97 \l 1057 : , [11],
CITATION Hog13 \l 1057 : , [12],
CITATION Ben96 \l 1057 : , [13],
CITATION Bro65 \l 1057 : , [14],
CITATION Var07 \l 1057 : , [15],
CITATION Panagiotis \l 1057 : , [16],
CITATION Zho88 \l 1057 : , [17],
CITATION Jor91 \l 1057 : , [18],
[1] E. L. Turner dan J. A. Hanley, “Cultural imagery and Statistical Models ofThe Force of Mortality : Addison, Gompertz, and Pearson,” Journal of TheRoyal Statistical Society, vol. 173, no. 3, pp. 483-500, 2010.
[2] T. B. L. Kirkwood, “Deciphering death : a commentary on Gompertz (1825)'On The Nature of The Function Expressive of The Law of HumanMortality, and on A New Mode of Determining The Value of LifeContingencies',” Philosophical Transactions Of The Royal Society B, vol.370, no. 1666, 2015.
[3] W. M. Makeham, “On the Law of Mortality and the Construction of AnnuityTables,” Journal Of The Institute Of Actuaries, vol. 8, no. 6, pp. 301-310,1860.
[4] S. J. Olshansky dan B. A. Carnes, “Ever Since Gompertz,” Demography,
li
vol. 34, no. 1, pp. 1-15, 1997.
[5] T. H. Tai dan A. Noymer, “Models For Estimating Empirical GompertzMortality : With An Application To Evolution Of Gompertzian Slope,” TheSociety Of Population Ecology, vol. 60, no. 1-2, pp. 171-184, 2018.
[6] M. L. Garg, B. R. Rao dan C. K. Redmond, “Maximum LikelihoodEstimation Of The Parameters Of The Gompertz Survival Function,”Journal Of The Royal Statistical Society Series C, vol. 19, no. 2, pp. 152-159, 1970.
[7] A. Lenart, “The Moments of The Gompertz Distribution and MaximumLikelihood Estimation of Its Parameters,” Scandinavian Actuarial Journal,vol. 2014, no. 3, pp. 255-277, 2014.
[8] X. Feng, G. He dan Abdurishit, “Estimation Of Parameters Of The MakehamDistribution Using The Least Squares Method,” Mathematics andComputers in Simulation, vol. 77, no. 1, pp. 34-44, 2008.
[9] V. Huang dan F. Kristiani, “Analisis Kesesuaian Hukum Mortalita Gompertzdan Makeham Terhadap Tabel Mortalita Amerika Serikat dan Indonesia,”Prosiding Seminar Nasional Matematika Unpar, vol. 7, no. 2, pp. 63-69,2012.
[10] S. A. Klugman, H. H. Panjer dan G. E. Willmot, Loss Models : From Data toDecisions, 4th Edition, New Jersey: John Wiley & Sons, Inc, 2012.
[11] D. London, Survival Models and Their Estimation, Winsted, Connecticut:ACTEX Publications, 1997.
[12] R. V. Hogg dan A. T. Craig, Intoduction to Mathematical Statistics, NewJersey: Prentice-Hall, 2013.
[13] A. Ben-Israel, “A Newton-Rhapson Method for the Solution of systems ofEquations,” Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 15, no.2, pp. 243-252, 1966.
[14] C. G. Broyden, “A Class of Methods for Solving Nonlinear SimultaneousEquations,” Mathematics of Computation, vol. 19, no. 92, pp. 577-593,1965.
[15] D. Varberg, E. J. Purcell dan S. E. Rigdon, Kalkulus Edisi Kesembilan, Jilid2, Jakarta: Penerbit Erlangga, 2007.
[16] P. Andreopoulos, B. G. Fragkiskos, A. Tragaki dan A. Rovolis, “Mortalitymodeling using probability distributions,” Communications in Statistics -Theory and Methods, vol. 48, no. 1, pp. 127-140, 2019.
lii
[17] S. Zhou, X. S. Qian dan P. C. Yi, Probability Theory and MathematicalStatistics, Zhejiang: Higher Education Press, 1988.
[18] C. W. Jordan, Society of Actuaries' Textbook on Life Contingencies,Chicago: The Society of Actuaries, 1991.
liii
LAMPIRAN
Lampiran I. Nilai px dari TMI 2011 untuk pria, berdasarkan hukum mortalitasGompertz dan hukum mortalitas Makeham
xNilai px
TMI 2011untuk pria
Gompertz Makeham
0 0,99198 0,9941963 0,99671521 0,99921 0,9940531 0,99668282 0,99937 0,9939064 0,99664673 0,99949 0,9937562 0,99660654 0,99957 0,9936022 0,99656185 0,99962 0,9934444 0,99651206 0,99966 0,9932828 0,99645667 0,99969 0,9931172 0,99639488 0,99971 0,9929475 0,99632619 0,99972 0,9927737 0,996249610 0,99973 0,9925956 0,996164411 0,99973 0,9924131 0,996069612 0,99974 0,9922261 0,995964013 0,99974 0,9920346 0,995846514 0,99973 0,9918383 0,995715715 0,99971 0,9916373 0,995570016 0,99970 0,9914313 0,995407917 0,99968 0,9912202 0,995227318 0,99964 0,991004 0,995026419 0,99959 0,9907825 0,994802820 0,99951 0,9905555 0,994553821 0,99941 0,990323 0,994276622 0,99931 0,9900848 0,993968223 0,99923 0,9898408 0,993624924 0,99917 0,9895907 0,993242725 0,99915 0,9893346 0,992817426 0,99917 0,9890722 0,992344227 0,99921 0,9888034 0,991817528 0,99925 0,988528 0,991231429 0,99926 0,9882458 0,990579230 0,99924 0,9879568 0,989853631 0,99920 0,9876607 0,989046432 0,99917 0,9873574 0,9881484
liv
33 0,99916 0,9870467 0,987149534 0,99914 0,9867284 0,986038635 0,99909 0,9864023 0,984803136 0,99901 0,9860682 0,983429437 0,99891 0,985726 0,981902138 0,99880 0,9853755 0,980204539 0,99865 0,9850164 0,978317840 0,99847 0,9846486 0,976221441 0,99825 0,9842719 0,973892642 0,99804 0,9838859 0,971306343 0,99781 0,9834906 0,968434744 0,99754 0,9830856 0,965247645 0,99721 0,9826708 0,961711346 0,99682 0,9822459 0,957789447 0,99637 0,9818107 0,953441548 0,99586 0,981365 0,948623749 0,99529 0,9809084 0,943288350 0,99462 0,9804407 0,937383351 0,99385 0,9799617 0,930852052 0,99301 0,9794711 0,923633753 0,99216 0,9789686 0,915662754 0,99128 0,978454 0,906868855 0,99039 0,9779269 0,897177056 0,98949 0,977387 0,886508057 0,98858 0,9768342 0,874778358 0,98768 0,9762679 0,861901159 0,98678 0,975688 0,847786660 0,98583 0,9750941 0,832343461 0,98479 0,9744859 0,815479762 0,98361 0,973863 0,797105463 0,98227 0,9732251 0,777134264 0,98074 0,9725719 0,755486665 0,97900 0,971903 0,732092966 0,97712 0,971218 0,706897767 0,97514 0,9705166 0,679864368 0,97298 0,9697983 0,650980169 0,97079 0,9690628 0,620261970 0,96818 0,9683097 0,587762871 0,96527 0,9675386 0,553577872 0,96139 0,966749 0,517850473 0,95736 0,9659406 0,480777874 0,95313 0,9651129 0,4426153
lv
75 0,94845 0,9642654 0,403678476 0,94336 0,9633977 0,364342577 0,93746 0,9625094 0,325038778 0,93058 0,9616 0,286245679 0,92266 0,9606689 0,248475680 0,91403 0,9597158 0,212255981 0,90423 0,95874 0,178105482 0,89407 0,9577412 0,146506083 0,88317 0,9567187 0,117873384 0,87112 0,9556721 0,092526685 0,85759 0,9546007 0,070663486 0,84262 0,9535041 0,052341687 0,82637 0,9523817 0,037473088 0,80890 0,9512328 0,025830589 0,79055 0,950057 0,017069690 0,77147 0,9488536 0,010762691 0,75362 0,947622 0,006440192 0,73504 0,9463616 0,003635693 0,71550 0,9450718 0,001923694 0,69489 0,9437519 0,000946995 0,67318 0,9424012 0,000430196 0,65338 0,9410191 0,000178697 0,63230 0,939605 0,000067298 0,60984 0,938158 0,000022699 0,58587 0,9366776 0,0000067100 0,56026 0,935163 0,0000017101 0,54006 0,9336134 3,87 x 107
102 0,51857 0,9320282 7,26 x 108
103 0,49569 0,9304065 1,13 x 108
104 0,47136 0,9287477 1,41 x 109
105 0,44550 0,9270509 1,40 x 1010
106 0,41802 0,9253153 1,07 x 1011
107 0,38881 0,9235402 6,17 x 1013
108 0,35778 0,9217246 2,52 x 1014
109 0,32482 0,9198679 7,24x 1016
110 0,28984 0,9179691 1,39 x 1017
111 0,00000 0,9160274 1,71 x 1019
Lampiran II. Nilai px dari TMI 2011 untuk wanita, berdasarkan hukum mortalitas Gompertz dan hukum mortalitas Makeham.
xNilai px
TMI 2011 Gompertz Makeham
lvi
untuk wanita0 0,99630 0,9942 0,99671521 0,99944 0,99405 0,99668282 0,99958 0,99391 0,99664673 0,99967 0,99376 0,99660654 0,99972 0,9936 0,99656185 0,99973 0,99344 0,99651206 0,99970 0,99328 0,99645667 0,99969 0,99312 0,99639488 0,99970 0,99295 0,99632619 0,99972 0,99277 0,996249610 0,99975 0,9926 0,996164411 0,99976 0,99241 0,996069612 0,99974 0,99223 0,995964013 0,99972 0,99203 0,995846514 0,99971 0,99184 0,995715715 0,99972 0,99164 0,995570016 0,99975 0,99143 0,995407917 0,99976 0,99122 0,995227318 0,99977 0,991 0,995026419 0,99976 0,99078 0,994802820 0,99974 0,99056 0,994553821 0,99971 0,99032 0,994276622 0,99967 0,99008 0,993968223 0,99963 0,98984 0,993624924 0,99961 0,98959 0,993242725 0,99958 0,98933 0,992817426 0,99956 0,98907 0,992344227 0,99954 0,9888 0,991817528 0,99952 0,98853 0,991231429 0,99949 0,98825 0,990579230 0,99946 0,98796 0,989853631 0,99943 0,98766 0,989046432 0,99940 0,98736 0,988148433 0,99938 0,98705 0,987149534 0,99936 0,98673 0,986038635 0,99933 0,9864 0,984803136 0,99926 0,98607 0,983429437 0,99916 0,98573 0,981902138 0,99907 0,98538 0,980204539 0,99896 0,98502 0,978317840 0,99886 0,98465 0,9762214
lvii
41 0,99874 0,98427 0,973892642 0,99859 0,98389 0,971306343 0,99842 0,98349 0,968434744 0,99825 0,98309 0,965247645 0,99807 0,98267 0,961711346 0,99786 0,98225 0,957789447 0,99761 0,98181 0,953441548 0,99732 0,98137 0,948623749 0,99701 0,98091 0,943288350 0,99666 0,98044 0,937383351 0,99626 0,97996 0,930852052 0,99578 0,97947 0,923633753 0,99521 0,97897 0,915662754 0,99458 0,97845 0,906868855 0,99393 0,97793 0,897177056 0,99331 0,97739 0,886508057 0,99275 0,97683 0,874778358 0,99224 0,97627 0,861901159 0,99174 0,97569 0,847786660 0,99123 0,97509 0,832343461 0,99064 0,97449 0,815479762 0,98996 0,97386 0,797105463 0,98896 0,97323 0,777134264 0,98786 0,97257 0,755486665 0,98666 0,9719 0,732092966 0,98534 0,97122 0,706897767 0,98388 0,97052 0,679864368 0,98229 0,9698 0,650980169 0,98053 0,96906 0,620261970 0,97879 0,96831 0,587762871 0,97681 0,96754 0,553577872 0,97461 0,96675 0,517850473 0,97222 0,96594 0,480777874 0,96958 0,96511 0,442615375 0,96670 0,96427 0,403678476 0,96354 0,9634 0,364342577 0,96009 0,96251 0,325038778 0,95628 0,9616 0,286245679 0,95211 0,96067 0,248475680 0,94753 0,95972 0,212255981 0,94123 0,95874 0,178105482 0,93421 0,95774 0,1465060
lviii
83 0,92716 0,95672 0,117873384 0,91939 0,95567 0,092526685 0,91075 0,9546 0,070663486 0,90287 0,9535 0,052341687 0,89107 0,95238 0,037473088 0,87869 0,95123 0,025830589 0,86550 0,95006 0,017069690 0,85355 0,94885 0,010762691 0,84757 0,94762 0,006440192 0,83546 0,94636 0,003635693 0,81765 0,94507 0,001923694 0,79512 0,94375 0,000946995 0,76695 0,9424 0,000430196 0,74038 0,94102 0,000178697 0,71280 0,93961 0,000067298 0,70827 0,93816 0,000022699 0,69241 0,93668 0,0000067100 0,66759 0,93516 0,0000017101 0,64082 0,93361 3,87 x 107
102 0,61129 0,93203 7,26 x 108
103 0,57876 0,93041 1,13 x 108
104 0,54295 0,92875 1,41 x 109
105 0,50420 0,92705 1,40 x 1010
106 0,46447 0,92532 1,07 x 1011
107 0,42374 0,92354 6,17 x 1013
108 0,38275 0,92172 2,52 x 1014
109 0,34004 0,91987 7,24x 1016
110 0,29634 0,91797 1,39 x 1017
111 0,00000 0,91603 1,71 x 1019
lix