Kongruensi dan Kesebangunan

Pada Segitiga

Materi Diskusi Kuliah

Kapita Selekta Matematika Sekolah

Oleh

Kelompok 6 :

1. Amalia Warniasih S. (120210101008)

2. Farah Rezita N (120210101010)

3. Yola Ariestyan W (120210101121)

4. Rizky Hayina (120210101123)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MIPA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS JEMBER

SEMESTER GENAP 2014/2015

ii

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan

hidayah-Nya sehingga kami dapat menyelesaikan makalah Kongruensi dan

Kesebangunan Pada Segitiga dengan tepat pada waktunya. Tak lupa sholawat dan

salam semoga tetap tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW.

Makalah ini kami susun sebagai bentuk untuk memenuhi syarat

pembelajaran mata kuliah Kapita Selekta Matematika Sekolah. Dalam kesempatan

ini, kami menyampaikan terima kasih kepada Bapak Drs. Toto Bara Setiawan,

M.Si selaku dosen mata kuliah Kapita Selekta Matematika Sekolah yang telah

membimbing serta membantu kami untuk menyelesaikan makalah ini. Kami juga

menyampaikan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu kami

hingga makalah ini dapat terselesaikan dengan baik.

Semoga makalah Kongruensi dan Kesebangunan Pada Segitiga ini dapat

bermanfaat untuk pembaca, tetapi kami menyadari bahwa makalah ini masih jauh

dari kesempurnaan. Oleh karena itu, saran dan kritik yang membangun dari

pembaca sangat diharapkan untuk kesempurnaan tugas selanjutnya.

Jember, Februari 2015

Penyusun

iii

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR ........................................................................................ ii

DAFTAR ISI ...................................................................................................... iii

BAB 1. PENDAHULUAN .................................................................................. 1

1.1 Latar Belakang....................................................................................... 1

1.2 Rumusan Masalah .................................................................................. 1

1.3 Tujuan ................................................................................................... 2

BAB 2. PEMBAHASAN ..................................................................................... 3

2.1 Segitiga-segitiga Kongruen .................................................................... 3

2.2 Segitiga-Segitiga yang Sebangun .......................................................... 5

2.3 Penerapan Konsep Kesebangunan dalam Pemecahan Masalah ............... 8

BAB 3. PENUTUP ............................................................................................ 10

3.1 Kesimpulan.......................................................................................... 10

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 11

1

BAB 1. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari, kita dapat menemukan bentuk-bentuk

bangun datar dalam sebuah bangunan rumah. Misalnya jendela dan pintu

berbentuk persegi panjang, lubang ventilasi berbentuk segitiga, dan ubin

lantai berbentuk persegi. Bangun datar dengan bentuk dan ukuran yang

sama ini disebut sebangun jika memenuhi persyaratan.

Untuk lebih mengetahuinya, kita akan mempelajari kesebangunan

dan kongruensi melalui pembahasan berikut ini. Kesebangunan dan

kongruensi berbeda satu sama lainnya. Jika kesebangunan harus memenuhi

syarat sudut-sudutnya yang bersesuaian sama besar dan sisi-sisi yang

bersesuaian sebanding, maka kongruensi harus memenuhi syarat bahwa dua

bangun yang kongruen diimpitkan maka akan tepat saling menutupi, atau

bagian-bagian yang bersesuaian akan saling menempati dengan tepat. Kita

dapat melihat benda dengan bentuk sama tetapi ukuran yang berbeda.

Perbedaan ukuran terjadi melalui pembesaran atau pengecilan objek dengan

menggunakan perbandingan skala tertentu. Melalui pembelajaran

kesebangunan dan kongruen ini akan dapat membantu memecahkan

masalah sehari-hari.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang di atas maka rumusan masalah dalam makalah ini,

adalah sebagai berikut.

1. Apa pengertian dua segitiga yang kongruen?

2. Apa saja syarat dan sifat segitiga yang kongruen?

3. Apa pengertian dua segitiga yang sebangun?

4. Apa saja syarat dan sifat segitiga yang sebangun?

2

1.3 Tujuan

Berdasarkan rumusan masalah di atas maka tujuan dari makalah ini adalah

sebagai berikut:

1. Mengetahui dan memahami pengertian dua segitiga yang kongruen

2. Mengetahui dan memahami syarat dan sifat segitiga yang kongruen

3. Mengetahui dan memahami pengertian dua segitiga yang sebangun

4. Mengetahui dan memahami syarat dan sifat segitiga yang sebangun

3

BAB 2. PEMBAHASAN

2.1 Segitiga-segitiga Kongruen

2.1.1 Pengertian Dua Segitiga yang Kongruen

ΔABC dikatakan kongruen dengan ΔPQR, jika dan hanya jika

terdapat korespondensi satu-satu antara ΔABC dengan ΔPQR dan tiap

pasangan sisi-sisi serta sudut-sudut yang berkorespondensi kongruen.

Korespondensi sudut-sudut dengan korespondensi sisi-sisi

tersebut dinamakan korespondensi unsur-unsur dari segitiga-segitiga

tersebut. Segitiga-segitiga yang mempunyai unsur-unsur

berkorespondensi yang kongruen, dinamakan segitiga-segitiga

kongruen. Lambang kongruen adalah ≅ .

Dengan kata lain dua segitiga dikatakan kongruen jika dan

hanya jika keduanya mempunyai bentuk dan ukuran yang sama. Jika

demikian, unsur-unsur yang seletak saling menutup dengan sempurna.

2.1.2 Syarat dan Sifat Dua Segitiga yang Kongruen

Syarat dua seegitiga kongruen adalah :

a. Sudut-sudut yang bersesuaian (seletak) sama besar.

b. Sisi-sisi yang bersesuaian (seletak) sama panjang.

Kedua syarat di atas masih dapat dikembangkan lagi menjadi

sifat-sifat segitiga kongruen sebagai berikut.

a. Jika dua buah segitiga adalah kongruen maka ketiga sisi segitiga

pertama sama panjang dengan ketiga sisi segitiga kedua (sisi-sisi

seletak). Atau dengan kata lain dua segitiga dikatakan kongruen jika

sisi-sisi yang bersesuaian mempunyai panjang yang sama. (s, s, s)

4

b. Dua segitiga akan kongruen jika dua sisi pada segitiga pertama

sama panjang dengan dua sisi yang bersesuaian pada segitiga

kedua, dan kedua sudut apitnya sama besar (s, sd, s).

c. Dua segitiga akan kongruen jika dua sudut pada segitiga pertama

sama besar dengan dua sudut yang bersesuaian pada segitiga kedua,

dan sisi yang merupakan kaki persekutuan kedua sudut sama

panjang (sd, s, sd).

5

2.1.3 Perbandingan Sisi-Sisi Dua Segitiga Kongruen

Telah kita ketahui bahwa salah satu syarat dua segitiga kongruen

adalah sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang. Karena panjang sisinya

sama maka perbandingan dari kedua sisi tersebut adalah 1. Untuk lebih

jelasnya mari kita perhatikan Gambar

2.2 Segitiga-Segitiga yang Sebangun

2.2.1 Pengertian Segitiga Sebangun

Dua buah segitiga dikatakan sebangun satu sama lain apabila

sudut-sudut yang bersesuaian dari kedua segitiga itu sama besar atau

apabila sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua segitiga itu sebanding.

Perhatikan gambar berikut ini.

Dari Gambar di samping kita peroleh:

AB = PQ, maka 𝐴𝐵

𝑃𝑄= 1

BC = QR, maka 𝑩𝑪

𝑸𝑹= 1

CA = RP, maka 𝑪𝑨

𝑹𝑷= 𝟏

Maka dapat disimpulkan bahwa perbandingan

sisi-sisi pada dua segitiga kongruen adalah 1.

6

a. Sudut-sudut yang seletak sama besar.

𝐴 = ∠ 𝑃,∠ 𝐵 = ∠ 𝑄,𝑑𝑎𝑛 ∠ 𝐶 = ∠ 𝑅

b. Sisi-sisi yang seletak sebanding.

𝐴𝐵

𝑃𝑄=𝐵𝐶

𝑄𝑅=𝐴𝐶

𝑃𝑅

Sehingga 𝛥 𝐴𝐵𝐶 ~ 𝛥 𝑃𝑄𝑅:

2.2.2 Syarat-Syarat Segitiga Sebangun

Syarat-syarat dua segitiga sebangun yaitu :

a. Sudut-sudut yang seletak sama besar.

b. Panjang sisi-sisi yang seletak sebanding

Dari syarat-syarat kesebangunan di atas, dapat dikembangkan

sifat-sifat kesebangunan untuk segitiga.

a. Sisi-sisi yang Bersesuaian Sebanding (Sisi, Sisi, Sisi)

Diberikan ∆𝑃𝑄𝑅 dan ∆𝐿𝑀𝑁 dimana 𝐿𝑁

𝑃𝑅=

𝐿𝑀

𝑃𝑄=

𝑀𝑁

𝑄𝑅 maka

∆𝑃𝑄𝑅~∆𝐿𝑀𝑁

Pada dua segitiga yang sebangun, sisi-sisi yang bersesuaian sebanding

atau sisi-sisi-sisi (S-S-S)

7

b. Sudut-sudut yang Seletak Sama Besar (Sd-Sd-Sd)

Diberikan dua segitiga ∆𝐴𝐵𝐶 𝑑𝑎𝑛 ∆𝐷𝐸𝐹 dimana 𝑚∠𝐴 =

𝑚∠𝐷,𝑚∠𝐵 = 𝑚∠𝐸, 𝑑𝑎𝑛 𝑚∠𝐶 = 𝑚∠𝐹 𝑚𝑎𝑘𝑎 ∆𝐴𝐵𝐶~ ∆𝐷𝐸𝐹

c. Satu Sudut Sama Besar dan Kedua Sisi yang Mengapitnya Sebanding

(S-Sd-S)

Selain dua sifat segitiga di atas, kita dapat menentukan sifat ketiga

yaitu jika salah satu sudutnya sama besar dan kedua sisi yang

mengapitnya sebanding, maka kedua segitiga itu sebangun.

Diberikan dua segitiga ∆𝐴𝐵𝐶 𝑑𝑎𝑛 ∆𝐷𝐸𝐹 dimana

𝐴𝐵

𝐷𝐸=

𝐴𝐶

𝐷𝐹 𝑑𝑎𝑛 𝑚∠𝐴 = 𝑚∠𝐵 𝑚𝑎𝑘𝑎 ∆𝐴𝐵𝐶 ~∆𝐷𝐸𝐹

Pada dua segitiga yang sebanding terdapat satu sudut yang sama besar

dengan kedua sisi yang mengapitnya sebanding.

2.2.3 Perbandingan Sisi-sisi Dua Segitiga Sebangun

Sisi-sisi yang bersesuaian pada dua segitiga yang sebangun

adalah sebanding. Oleh karena itu jika diketahui faktor skala

perbandingannya maka kita dapat mencari panjang sisi-sisi segitiga

yang belum diketahui.

Perhatikan gambar berikut.

8

𝛥 𝐴𝐵𝐶 ~ 𝛥 𝐶𝐷𝐸

Dari gambar tersebut kita ketahui bahwa:

∠ 𝐷𝐶𝐸 = ∠ 𝐴𝐶𝐵 (𝑏𝑒𝑟𝑖𝑚𝑝𝑖𝑡𝑎𝑛)

∠ 𝐶𝐷𝐸 = ∠ 𝐶𝐴𝐵 (𝑠𝑒ℎ𝑎𝑑𝑎𝑝)

∠ 𝐶𝐸𝐷 = ∠ 𝐶𝐵𝐴 (𝑠𝑒ℎ𝑎𝑑𝑎𝑝)

Jadi ketiga sudut yang bersesuaian sama besar.

Perhatikan perbandingan sisi-sisi yang seletak. Kita

peroleh 𝐴𝐶 = 𝐴𝐷 + 𝐷𝐶 𝑑𝑎𝑛 𝐵𝐶 = 𝐵𝐸 + 𝐸𝐶 .

Dengan sifat kesebangunan, maka sisi-sisi yang seletak

sebanding.

𝐷𝐶

𝐴𝐶=

𝐸𝐶

𝐵𝐶=

𝐷𝐸

𝐴𝐵 atau

𝑒

𝑏+𝑒=

𝑑

𝑎+𝑑=

𝑐

𝑓

𝑒

𝑏 + 𝑒=

𝑑

𝑎 + 𝑑⇔ 𝑒𝑎 + 𝑒𝑑 = 𝑏𝑑 + 𝑒𝑑

⇔ 𝑒𝑎 = 𝑏𝑑

⇔𝑒

𝑏=𝑑

𝑎

Jadi 𝑒

𝑏=

𝑑

𝑎

Dapat disimpulkan bahwa jika suatu garis sejajar dengan salah satu

sisi segitiga dan memotong dua sisi lainnya, maka garis tersebut akan

membagi dua sisi yang dipotong dan mempunyai perbandingan yang sama.

2.3 Penerapan Konsep Kesebangunan dalam Pemecahan Masalah

Dalam kehidupan sehari-hari banyak sekali pemanfaatan konsep

kesebangunan. Pembuatan miniatur suatu bangunan, penggambaran peta

suatu daerah semuanya menggunakan konsep kesebangunan. Lebih jelasnya

perhatikan contoh berikut.

9

contoh :

seorang anak ingin mengukur tinggi pohon dengan cara seperti pada gambar.

Tentukan pohon itu seluruhnya!

Jawab :

Tinggi anak dari kaki sampai mata 1,5 m. Anak berjarak 30 m dari pohon.

Tongkat yang tingginya 3,5 m ditancapkan pada jarak 6 m dari anak itu

sedemikian sehingga mata, ujung tongkat, dan puncak pohon segaris.

perhatikan segitiga di bawah ini!

Tinggi pohon (T) = t + tinggi anak

∆𝐴𝐷𝐸~∆𝐴𝐵𝐶, maka tinggi sebagian pohon (t) dapat dihitung dengan

menggunakan perbandingan segitiga sebagai berikut.

𝐴𝐷

𝐴𝐵=𝐷𝐸

𝐵𝐶⇔

6

30=

2

𝑡⇔ 6𝑡 = 30 × 2 ⇔ 𝑡 =

30 × 2

6= 10

Jadi, tinggi sebagian pohon (t) adalah 10 m

Tinggi pohon (T) = t + tinggi anak

= 10 + 1,5 = 11,5 m

Jadi, tinggi pohon seluruhnya adalah 11,5 m

10

BAB 3. PENUTUP

3.1 Kesimpulan

1. Dua segitiga dikatakan kongruen jika dan hanya jika terdapat

korespondensi satu-satu antara ΔABC dengan ΔPQR dan tiap pasangan

sisi-sisi serta sudut-sudut yang berkorespondensi kongruen.

2. Syarat-syarat kekongruenan segitiga yaitu sudut-sudut yang bersesuaian

(seletak) sama besardan sisi-sisi yang bersesuaian (seletak) sama

panjang.

Sifat-sifat kekongruenan segitiga yaitu :

Ketiga Sisi yang Bersesuaian Sama Panjang (s, s, s)

Dua Sisi yang Bersesuaian Sama Panjang dan Sudut yang Diapit

Sama Besar (s, sd, s)

Satu Sisi Sama Panjang dan Dua Sudut Bersesuaian yang Terletak

pada Sisi itu Sama Besar (sd, s, sd)

3. Dua buah segitiga dikatakan sebangun satu sama lain apabila sudut-

sudut yang bersesuaian dari kedua segitiga itu sama besar atau apabila

sisi-sisi yang bersesuaian dari kedua segitiga itu sebanding.

4. Syarat-syarat kesebangunan segitiga yaitu sudut-sudut yang seletak

sama besar dan panjang sisi-sisi yang seletak sebanding.

Sifat-sifat kesebangunan segitiga yaitu :

Sisi-sisi yang Bersesuaian Sebanding (S, S, S)

Satu Sudut Sama Besar dan Kedua Sisi yang Mengapitnya

Sebanding (S-Sd-S)

Sudut-sudut yang Seletak Sama Besar (Sd-Sd-Sd)

11

DAFTAR PUSTAKA

Dris, J. 2011. Matematika Jilid 3 SMP dan MTs Kelas IX. Jakarta : Pusat

Kurikulum Dan Perbukuan

Guntoro, Sigit. 2011. Aplikasi Kesebangunan Dalam Pembelajaran Matematika

SMP. Yogyakarta : Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik

dan Tenaga Kependidikan (PPPPTK) Matematika.

Masduki. 2007. Matematika IX Untuk SMP dan MTs Kelas IX. Jakarta : Pusat

Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.

Sulaiman, R. 2008. Contextual Teaching and Learning Matematika. Jakarta :

Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.