KERAPATAN SPEKTRUM DAYA

(POWER SPECTRAL DENSITY)

Sigit Kusmaryanto http://sigitkus.lecture.ub.ac.id

Kerapatan Spektrum Daya dalam topik ini dapat dijabarkan melalui penjabaran

spektrum Daya sinyal – sinyal random dan noise. Di dalam bab ini kita

mencoba beberapa metode untuk menangani munculnya efek noise di dalam

dasar spektrum.

4.1. Kerapatan Spektrum Daya.

Teorema Parseval memberikan hubungan antara waktu ( f(t) ) dan transformasi

Fourier sebagai berikut :

[ ( )] / [ ( )]f t dt F d−∞

∞

−∞

∞

∫ ∫=2

21 2π ω ω 4.1

Integtral sebelah kiri merupakan Daya dalam f(t) yang dikalikan dengan

r3esistansi satu ohm. Sedang )(F ω 2 asdalah Daya per unit dari frekuensi

normal untuk resis6ansi satu ohm.

Daya yang terbentuk berasal dari hasil integral tegangan dan arus dengan

batas - batas tertentu. Hubungan tegangan v(t) dan arus I(t) adalah sebagai

berikut:

E = v t i t d t( ) ( )− ∞

∞

∫ 4.2

Namun demikian kita dapat menggunakan persamaan matematik untuk sinyal -

sinyal baik arus maupun tegangan. Jika muatan resistor satu ohm, tidak banyak

perbedaanya. Untuk muatan - muatan resistor yang bukan satu ohm, kita

gunakan hukum ohm : v(t) = Ri(t). Sebagai contoh f(t) = tegangan.

Menggunakan teorema Parseval, kita mendapatkan hubungan sebagai berikut :

Ef = 1 2

Rf t dt( )

− ∞

∞

∫ 4.3a

Ef = 1

2

2

πω ω

RF d( )

− ∞

∞

∫ 4.3b

Sedangkan untuk f(t) = arus kita dapat menuliskan sebagai berikut:

Ef = R f t d t( )− ∞

∞

∫2

4.4a

Ef = R

F d2

2

π ω ω( )− ∞

∞

∫ 4.4b

Dimensi Daya dalam sistem MKS adalah joule.

Untuk resisstansi satu ohm F ( )ω 2 adalah Daya per unit dari frekuensi,

biasa disebut : energy spectral density dari sinyal f(t). Energy spectral density

merupakan fungsi relattif dari energy yang dihasilkan oleh sinyal dan frekuensi,

kedua- energy spctral density adalah total luasan di bawah energy F ( )ω 2.

Kuantitas F ( )ω 2 diperoleh dari Daya variasi frekuensi. Untuk F ( )ω 2

kontunu,

Daya yag diperoleh adalah nol. Jadi untuk memperoleh Daya harus ada range

frekuensi untuk pengintegralan.

Konsep dari energy spectral density merupakan satu hal penting untuk

pengantar perhitunganh spektral energy relatif melalui sistem linier. Melihat hal

itu,sinyal input f(t) dari sistem linear invarian waktu yang ditransfer ke fungsi

frekuensi adalah H(ω ) . Keluarannya adalah spectral - density amplitodo yang

dinyatakan dlam G(ω ) :

G ( )ω ω ω= F H( ) ( )

Dan energy density(keadaan normal) dari G(ω ) adalah :

( )G F H( ) ( )ω ω ω=2 2

Daya output dari sinyal adalah :

Eg = ( ) ( )1

22 2

π ω ω ωF H d− ∞

∞

∫ 4.6

Dengan kata lain energy density dari respon sistem diberikan oleh energy

density dari sistem input digandakan oleh kwadrat magnitude dari fungsi sistem

transfer. Semua phasa informasi sinyal dari fungsi sistem transfer merupakan

kalkulasi dari Daya dan energy density. Namun hanya magnitude dari fungsi

sistem transfer perlu diperhatikan dalam perhitungan Daya density.

Di dalam ilmu fisika interprestasi dari Daya density dapat diterangkan

melalui persamaan (4.6). Sinyal f(t) diumpamakan input dari verry narrow

bandpassfilter dengan fungsi transfer frekuensi H(ω ) ditunjukkan dalam gambar

4.1. Output dari narrow band filter adalah g(t),dapat kita temukan Dayag(t)

sebagai berikut :

Eg =1

2

2

π ω ωG d( )− ∞

∞

∫

= 1

2

1

22

2

0 22 2

2

22

πω ω ω

πω ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

ω ω

− +− −

− +

−

+

∫ ∫F H d F H do o

o

( ) ( ) ( ) ( )( / )

( / )

( / )

( / )

∆

∆

∆

∆

= 1

2

1

22 2

πω ω

πω ωF o F o( ) ( )− +∆ ∆ 4.7

dimana ∆ω = sanagat kecil.

Jika sinyal f(t) bernilai real, maka F(-ω ) =F(ω ) dan F F( ) ( )− =ω ω .

Kosekuensi semua sinyal bernilai nyata dari energy spectral density adalah

fungsi dari w. Prosesnya adalah:

Jika f(t) bernilai real setengah dari Daya dikontribusikan dengan komponen -

kompoinen frekuensi negatif dan setengahnya lagi oleh komponen - komponen

frekuensi positif.

Penandaan praktis dari pembahasan ini dapayt diralisasikan dengan

penyegaran prosedure. Diberi sinyal pulsa f(t) dimana dapat kita temukan

energy spectral density ? Salah satu jalan adalah pendalaman penyebaba dan

bentuk paralel dari narrow band filter, semua filter - filter diletrakkan pada

frekuensi berdekatan antara yang satu dengan yang laian. Jika kita memakai f(t)

untuk rangkaian paralael filter - filter seperti gambar 4.2(a) kita dapat mengira -

ngira penyebaran energy spectral density dari f(t). Ediilustrasikan pada gambar

4.2(b).Penandaan setengah energy dari distribusi yang satu untuk daerah

komponen - komponen frekuensi negatif ditunjukkan gambar 4.2 ©. Peralatan

yang digunakan untuk pembentukan fungsi biasa disebutr” multi channel

spectral analyser”.

Ringkasan ari uraian di atas, Daya spektral density dan sinyal merupakan

energy per unit dari frekuensi dan tampilan - tampilan dari penyebaran Daya

dari komponen frekuensi yang berbeda. Daerah di bawah Daya spectral density

memberikan Daya tanpa diberi band frekuensi.

4.2. Power Spectral density

Tidak semua sinyal yang interest mempunyai Daya terbatas . Beberapa sinyal

mempunyai Daya terbatas tetapi mungkin mempunyai rata - rata waktu Daya

yang terbatas. Rata - rata waktu dari Daya disebut rata - rata Daya dan

beberapa sinyal disebut sinyal Daya.

Rata - rata waktu Daya dari sinyal diberikan oleh :

P = ( )lim

/

/

T Tf t dt

T

T

→ ∞ −∫

1

2

2 2

4.9

Untuk sinyal periodik masing - masing periode berisi jiplakan dari fungsi dan

operasi limit dari persamaan 4.9 dapat ditinggalkan sejauh T sesuai dengan

periodenya.

Persamaan 4.9 merupakan nilai kuadrat dari sinyal f(t), yang merupakan

nilai rata - rata Daya, jika resistansinya satu ohm. Skala diluar satu ohm yang

melewati dibahas pada Daya dan Daya spectral density.

Analog seperti sinyal Daya yang dibahas sebelumnya, Daya harusberhati -

hati di dalam fungsi baru dalam frekuensi yang berbeda. Ambil contoh fungsi

dari power spectral density ada Sf(w). Fungsi ini adalah unbit - unity Daya per

frekuensi dan diintegralkan dalam daerah Daya pada fungsi f(t). Ditulis :

P = ( )1

2 πω ωS f d

− ∞

∞

∫ 4.10

Fungsi spektrum kepadatan Daya melukiskan penyebaran Daya terhadap

frekuensi dan merupakan hal yang penting dalam sistem praktis.

Kita dapat menggunakan perkiraan relatif dari kerapatan spektrun Daya Sf

( )ω terhadap sinyal f(t). Sinyal tenega diberikan pada gambar 4.3(a). Dari

observasi sinyal Daya terdapat pada interval (-T/2, T/2) ditunjukkan pada

gambar 4.3(b). Fungsi translasi dapat ditulis f(t) rec (t/T).

Tranformasi Fourier dari fungsi translasi f(t) rec (t/T) adalah:

( ) ( ) ( ){FT F f t rec tTω = } 4.10

Teorema Parseval untuk fungsi translasi :

( ) ( )f t d t F T dT

T

− − ∞

∞

∫ ∫=/

/

2

2 2 21

2πω ω 4.11

Rata - rata Daya pada satu ohm adalah :

( ) ( )PT T

f t dtT T

FT dT

T

=→ ∞

=→ ∞− −∞

∞

∫ ∫lim lim

/

/1 1 1

22

2

2 2

πω ω 4.12

Gabungan dari 4.10 - 4.12 adalah :

( ) ( )1

2

1 1

2

2

πω ω

πω ωSf d

T TFT d

− ∞

∞

− ∞

∞

∫ ∫=→ ∞lim

4.13

Selanjutnya dalam hubungan peningkatan frekuensi :

( ) ( ) ( )Gf Sf u duT T

FT dωπ π

ω ωω ω

= =→ ∞− ∞ − ∞

∫ ∫1

2

1 1

2

2lim

4.14

Gf(w) = Daya komulatif dari semua komponen frekuensi yang diberi oleh

frekuensi w

= Spektrum Daya Komulatif/ equivalensy

( ) ( ) ( )2

2

π ωω ω

Gf Sf u duT

FT u

Tdu= =

→ ∞− ∞ − ∞∫ ∫

lim 4.15

( ) ( )2πω

ωω

d G f

dS f=

( ) ( )S f

T

F T

Tω

ω=

→ ∞l im

2

4.17

Persamaan 4.17 merupakan hasil yang kita inginkan untuk kerapatan spektrum

Daya.

Fungsi translasi Daya naik dengan naiknya T( lain tidak turun). Kuantitas

( )FT ω 2 meningkat dengan meningkatnya T( lain tetap ). T besar maka nilai

fluktuasi dan efek akhir -pad integrasi akan menjadi kecil dan kuantitas

( )FT ω 2 /T mungkin mendekati limit.

Dalam praktek penggunaan Power Spectral Density “ sering disingkat

dengan power density atua power spectrum.

Persamaan 4.17 merupakan metode yang digunakan untuk mencari

determinan dari power spectral density pada sinyal.

Untuk pengunaan sinyal Daya yang umum kita dapat mengulang lebih cepat

jika kita punya sinyal Daya periodik. Asumsi f(t) madalah periodik diberikan oleh

persamaan exponensial Fourier :

( )f t F n e j n o t

n

== − ∞

∞

∑ ω

Dengan Teorema Parseval :

( )f t F nn

2 2== − ∞

∞

∑ 4.18

Memberikan Daya pada resistansi satu ohm pada frekuensi lain yang harmonik

untuk f(t), menghasil nilai total rata - rata Daya.

Untuk sinyal periodik kita menggunakan persamaan 4,18 yang diplot untuk

spektrum Daya garis, gambar4.4(a). Spektrum Daya komulatif yang diperoleh

dari persamaan 4.18. Daya akan naik step - per step, karena Daya tidak

mungkin negatif.

Spektrum Daya pada fungsi periodik

Penulisan Gf(ω) dalam pembentukan rumus, didapatkan :

(4.19)

Menurut pengertian kita, bahwa turunan fungsi tep adalah fungsi implus

(impulse Function). Persamaan (4.16) dan (4.19) menjadi :

(4.20)

Oleh karena itu densitas power sprektral dari fungsi periodik adalah fungsi

impulse secara seri dengan luasan dihubungkan dengan komponen yang

dikuadratkan dari koefisien fourier seri.

Umumnya dapat dikonversikan garis power sprektrum pada power sprektal

density yang sederhana dengan mengubah garis menjadi impulse. Luasan dari

impulse ini adalah jumlah dari kuadrat komponen-komponen garis tinggidan

dikalikan dengan 2π jika dalam frekuensi radian. Integral dari power sprektral

density pada semua luuasan frekuensi adalah :

P S df=−∞

∞

∫1

2πω ω( )

yang mana setiap satu ohm resistor diberikan :

f t F n d Fnn

nn

2 22

1

22 0( ) ( )= − =

=−∞

∞

=−∞

∞

−∞

∞

∑ ∑∫ππ δ ω ω ω

Hasil ini adalah bersesuai dengan teorema Parseval.

Pentransmisian power sprektral melalui sistem linier mengikuti alur yang sama

dari densitas Daya. Misalkan mengaplikasikan fungsi alih pada pemfilterasn

variasi waktu linier, frekuensi fungsi alih dituliskan H(ω).

Pemotongan fungsi tanggapan, GT(ω) adalah

G F HT T( ) ( ) ( )ω ω ω=

Sinyal keluaran dari densitas power sprektral :

S LimF H

TxT

T( )( ) ( )

ωω ω

=→∞

2

= lim( )

( )T

TF

TH

→∞

ωω

22

S S Hx f( ) ( ) ( )ω ω ω= 2 (4.21)

Jadi sinyal keluaran densitas power sprektral adalah sinyal masukan densitas power

sprektral yang dimodifikasi oleh besarnya akar dari sistem fungsi alih. Akar rata-rata

sinyal keluaran didefinisikan sebagai berikut :

g t S H df2 21

2( ) ( ) ( )=

−∞

∞

∫πω ω ω (4.22)

Persamaan (4.21) dan (4.22) memberikan suatu gambaran bahwa besarnya fungsi

alih yang dihasilkan adalah cara yang populer untuk membangkitkan penguat amplifier.

Hi-fidelity audio amplifiers. Misalnya digunakan untuk membangkitkan tanggapan kurva

pada penguat basis (basis power) adalah merupakan grafik dari log H( )ω 2dengan

log(ω).Satuan densitas power sprektral dalam sistem MKS adalah watt per Hz.

4.3 Waktu Rata-rata timbulnya Noise/kebisingan

Konsep power sprektral juga dapat menganalisa efek rata-rata dari fluktuasi acak

yang timbul dalam proses kerja suatu alat. Fluktuasi inii disebabkan dari tegangan atau

arus yang tidak stabil dan melekat dalam sinyal yang disebut noise atau kebisingan.

Dalam beberapa hal umum, noise terdiri dari sinyal yang tidak diinginkan, acak yang

terinterferensi dengan sinyal yang dihasilkan kembali dari sistem tersebut. Sinyal yang

tidak di inginkan ini muncul dari beberapa macam sumber dan bisa diklasifikasikan

sebagai kejadian alam. Noise yang timbul tidak bisa dihilangkan tetapi dapat diperkecil

dengan pendisainan sistem yang cermat . Konsep densitas power sprektral sangat

berguna dalam menghilangkan efek-efek noise pada basis penguat perata (averege

power basis).

Dalam pembentukan nilai rata-rata dari sinyal (acak atau tidak acak) didapatkan

suatu parameter yang dapat menganalisa tentang sinyal yang biasanya hilang dalam

suatu proses dari suatu sistem.

Misalkan n(t) adalah noise tegangan atau arus. Maka :

1. Nilai rata-rata, n t( ) :

n tT

n t dtT

T

T

( ) lim ( )=→∞

−

∫1

2

2

(4.23)

Parameter n t( ) direferensikan sebagai dc atau rata-rata nilai n(t) dalam waktu

interval T. yang digambarkan pada gambar 4.6(a).

2. Nilai akar rata-rata n t2 ( )

n tT

n t dtT

T

T

2 2

2

21( ) lim ( )=

→∞−

∫ (4.24)

Akar n t2 ( ) disebut nilai rms dari n(t). Persamaan (4.24) melukiskan waktu rata-rata

Daya pada n(t). Dari persamaan ini dapat dicari integral dari densitas power

sprektral Sn(ω)

3. Komponen AC, σ ( )t :

σ ( ) ( ) ( )t n t n t∆ − (4.25)

AC/Fluktuasi, komponen dari n(t) adalah komponen yang tetap dari nilai rata-rata

n t( ) yang terlewat, yang digambarkan gambar 4.6(b) sebagai berikut :

Gambar 4.6(a) Gelombang noise acak dan (b) komponen ac

Dengan mesubstitusikan persamaan (4.25) ke dalam persamaan (4.24) didapatkan :

n tT

n t t dtT

T

T

22

2

21( ) lim ( ) ( )= +

→∞−

∫ σ

n tT

n t dtT

t dtT T

T

T

T

T

22 2

2

2

2

21 1( ) lim ( ) lim ( )= +

→∞ →∞−−

∫∫ σ (4.26)

Dari persamaan (4.26) terlihat bahwa n t( ) adalah konstan dan rata-rata dari σ ( )t

didefinisikan sama dengan nol. Pada sisi kiri persamaan (4.26) adalah waktu rata-rata

Daya dalam n(t). Pada sisi kanan persamaan (4.26) pertama adalah komponen dc dan

persamaan kedua adalah Daya ac (ac power) dalam n(t) dan nilai rms n(t) di hitung dari

nilai rms σ ( )t jika nilai rata-rata n t( ) sama dengan nol.

Contoh 4.3.1

Hitunglah a) Nilai rata-rata, b) ac power dan c) Nilai rms dari suatu gelombang

periodik V(t)=1 + Cos ω0 t

Jawab

Karena V(t) adalah gelombang periodik (berulang-ulang), maka dapat diintegralkan

dari pada mencari limit-nya.

a). v tT

Cos t dtT

T

( ) ( )= + =−

∫1

1 10

2

2

ω ,

b). σ ω20

2

2

21 1

2( ) ( ) ,t

TCos t dt

T

T

= =−

∫

c). v tT

Cos t dtT

T

20

2

2

211( ) ( )= +

−

∫ ω

= + + =−

∫1

1 23

202

0

2

2

TCos t Cos t dt

T

T

( )ω ω

v v trms = =2 3 2( )

Rasio sinyal per noise (S/N) dapat dibentuk dengan mencari rasio sinyal akar rata-

rata dibagi akar rata-rata noise karena adanya faktor resistansi jatuh. yaitu :

S

N

s t

n t=

2

2

( )

( ) (4.27)

dalam desibel

[S/N]db=10 Log10[ ]s t n t2 2( ) ( ) (4.28)

Dimana s t2 ( ) dan n t2 ( ) diasumsikan untuk diukur pada suatu titik yang sama.

4.4. Fungsi Kolerasi

Pada pembahasan yang lalu telah dijelaskan tentang bagaimana sinyal-sinyal bisa

dianalisa dengan menggunakan fungsi densitas power sprektral Sf(ω). Dalam sub bab

ini membahas bentuk operasi dalam kawasan waktu (time domain) yang ekivalen untuk

menyelesaikan densitas power sprektral dalam fungsi frekuensi. Dengan

mengasumsikan definisi dari densitas power sprektral memenuhi yaitu :

ST

FfT

T( ) lim ( )ω ω=→∞

1 2 (4.29)

Hubungan operasi dalam kawasan waktu adalah invers transformasi Fourier dari

persamaan (4.29) :

{ }ζ ωπ

ω ωω−

→∞−∞

∞

= ∫1 21

2S F e ds

TT

j t( ) lim ( ) (4.30)

Dari persamaan (4.30) dipilih variable waktu baru τ sebab variable waktu t sudah

didefinisikan dari fungsi FT(ω). Hubungan baru dapat diperoleh dari penyelesaian

bidang operasi :

{ }ζ ωπ

ω ωω−

→∞

∴

−∞

∞

= ∫1 1

2S

TF F e ds

TT T

j t( ) lim ( )*

=→∞

−−∞

∞−

−

∫∫ ∫lim ( ) ( )*

TT

T

j t j t j t

T

T

Tf t e dt f t e dt e d

1

22

2

1 1

2

21

πωω ω ω

=

→∞

−

− +

−∞

∞

−

∫ ∫∫lim ( ) ( )* ( )

TT

T

j t t

T

T

Tf t f t e d dt dt

1 1

22

2

1 1

2

21

πωω τ (4.31)

Integral dalam ω dari persamaan (4.31) dikenal sebagai δ(t-t1+τ), karena itu :

{ }ζ ω δ τ−

→∞− −

= − +∫ ∫1

2

2

1 1 1

2

21S

Tf t f t t t dt dtf

TT

T

T

T

( ) lim ( ) ( ) ( )*

= +→∞

−

∫lim ( ) ( )*

TT

T

Tf t f t dt

1

2

2

τ (4.32)

Persamaan (4.32) melukiskan tentang operasi dalam kawasan waktu yang berkolerasi

dengan pendefinisian dari Sf(ω) dalam kawasan frekuensi. Invers transformasi fourier

dari Sf(ω) disebut fungsi kolerasi langsung dari f(t), dikenal dengan Rf(τ). sehingga

dapat dituliskan :

RT

f t f t dtfT

T

T

( ) lim ( ) ( )*τ τ= +→∞

−

∫1

2

2

(4.33)

Juga, mencari transformasi fourier dari kedua sisi dari persamaan (4.32) dan

persamaan (4.33), didapatkan :

{ }S Rf f( ) ( )ω ζ τ= (4.34)

Sehingga dari persamaan diatas dihasilkan metode lain dalam mencari fungsi densitas

power sprektral.

Contoh 4.4.1

Cari dan sketsa fungsi kolerasi langsung dari fungsi periodik gelombang segi

empat dengan amplitudo puncak ke puncak A, periode T, dan nilai rata-rata A

2

Jawab.

Karena f(t) periodik (berulang-ulang), operasi limit dalam menyelesaikan Rf(t)

dapat diganti dengan mengintegralkan dalam satu periode dengan menggunakan

persamaan (4.33) :

Untuk -T/2 < τ < 0 :

( )

RT

A dt ATf T

T

( )τ ττ= = +

−

+

∫1 1

22 2

4

4

Untuk 0 < τ < T/2 :

usghjkjdfjkhdf

gambar f(t) dan R(τ) ditunjukkan oleh gambar 4.7. Sejak f(τ+T)=f(t), maka semua

perhitungan diulangi sampai setiap periode. Ini membuktikan bahwa fungsi kolerasi

langsung secara periodik dari bentuk gelombang adalah periodik.

Contoh 4.4.2.

Cari fungsi korelasi langsung dari 2 0Cos t( )ω θ+

Jawab

Fungsi kolerasi langsung (autocorelation) secara luas digunakan dalam

menganalisa suatu sinyal, dan berguna untuk mendeteksi sinyal-sinyal yang melekat

pada noise yang bertambah. Misalnya gelombang berulang segi empat seperti yang

ditunjukkan 4.8(a) adalah fungsi kolerasi langsung (autocoleration) seperti contoh 4.4.1

yang ditunjukkan gambar 4.8(b). Bidang limit dari gel noise acak ditunjukkan oleh

gambar 4.8(c) dan fungsi kolerasi langsunya ditunjukkan gambar 4.8(f).

Untuk cross kolerasi dari dua bentuk gelombang f(t) dan g(t) didefinisikan Rrf(τ)

adalah :

(4.35)

Sebagai contoh aplikasi dari cross kolerasi, misalnya bentuk gelombang acak f(t) pada

gambar 4.9(a), fungsi kolerasi langsungnya Rfr (τ) akan sama dengan yang ditunjukkan

gambar 4.8(a). Untuk fungsi kedua g(t) dipilih g(t)=f(1-t0)+n(t), bentuk gabungan fungsi

g(t) adalah pada gambar 4.9(b). Sedangkan fungsi cross kolerasinya yang didefinisikan

pada persamaan (4.35) hasilnya ditunjukkan oleh gambar 4.9(c).

puncak dari fungsi korellasi mengindikasikan tentang bagusnya kesesuaian

antara sinyal-sinyal tersebut.

Keduanya, autokorellasi dan krosskorellasi adalah alat yang sangat kuat

dalam analisa sinyal dalam pekerjaan analisa dan praktek. Kita akan sering

membahas keduanya dalam bahasan selanjutnya.

4.5 BEBERAPA HAL TENTANG FUNGSI KORELASI

Kita telah mendapatkan pada bagian sebelumnya, bahwa tranformasi Fourier

dari fungsi autocorellasi mamberikan kerapatan spektrum daya dari fungsi

korellasi. Kita akan membahas secara singkat beberapa hal yang berhubungan

dengan fungsi autokorellasi.

4.5.1 Symmetry

Pengujian fungsi autokorrelasi untuk argumen negativ, kita memiliki

(4.36)

Oleh karena itu bagian nyata dari Rf(t) adalah suatu fungsi kejadian; dan jika f(t)

adalah nilai nyata kemudian Sf(-ω) = Sj*(w) (sesuai persamaan 3.38 dan 4.34)

4.5.2 Nilai kuadrat rata-rata

Fungsi autokorellasi Rf(τ) dievaluasi pada t=0 adalah persamaan nilai kuadrat

rata-rata dari sinyal ƒ(t)

[ sesuai persamaan (4.24)],

(4.37)

Bagian kiri dari persamaan (4.37) sesuai dengan persamaan (4.10) dan (4.34)

dengan referensi 1 0hm.

4.53 Periodesitas

jika f(t + T) = f(t) untuk semua t, maka

Rf(τ + T) = Rf(τ) untuk semua τ. (4.38)

Bukti kemudahan dari penulisan integral dan penggunaan dari definisi

periodesitas.

4.54 Nilai rata-rata

Fungsi f(t) kembali diwakili oleh fungsi x(t) dengan nilai rata-rata nol, dan nilai

rata-rata dibentuk oleh m1. Secara umum kita mewakilkan g(t) sebagai fungsi

y(t) dengan nilai rata-rata nol, dan nilai rata-rata dibentuk oleh m2. Dalam

persamaan umum kita dapat menuliskan sebagai..

f(t) = x(t) + m1,

g(t) = y(t) + m2

Krosskorellasi dari f(t) dan g(t) adalah

Tercatat bahwa x(t) dan y(t) didefinisikan bernilai rata-rata nol, sehimgga kita

mempunyai

Nilai rata-rata dari fungsi kroskorelasi adalah

Pengubahan untuk pengintegralan, kita mempunyai

Sebab adalah nol, kita mendapatkan hasil

Olehkarena itu nilai rata-rata dari dua fungsi autokarrelasi f(t) dan g(t) adalah

persamaan dari hasil nilai rata-rata keduanya. Jika nilai rata-rata salah satu dari

kedua fungsi tersebut adalah nol, maka nilai rata-rata dari krosskorelasinya

adalah nol. Hasil dari autokorrelasi bisa diambil dari hasilnya

4.5.5 Nilai Maximum

Kita dapat melihat bahwa Rx(0) untuk beberapa t (lihat persamaan 4.7) dengan

mengambil kuadrat besarnya dari fungsi autokorrelasi dan menggunakan

persamaan Schwarz. Sehingga kita mempunyai

Rf(0) Rf(0)

Dengan mengambil akar kuadrat dari kedua sisi, kita mendapatkan

|Rf(τ)| Rf(0).

Olehkarena itu fungsi autokorrelasi Rf(τ) terikat oleh nilai kuadrat rata-rata dari

sinyal f(t). Untuk sebuah sinyal periodik , persamaan pada 4.40 adalah sesuai

pada multi periode dari aslinya(lihat persamaan 4.7).

Untuk non periodik f(t),Rf(t) adalah secara tepat kurang dari Rf(0) untuk semua

τ tidak samadengan 0.

4.5.6 Penambahan

Jika dua sinyal ditambahkan, Fungsi Autokorrelasi dari penjumlahan keduanya

bukan berarti penjumlahan dari kedua fungsi autokorrelasi tersebut. Untuk

menyelidikinya, kita tulis z(t) = x(t) + y(t). Jumlah fungsi autokorrelasi dari dua

sinyal x(t) dan y(t) adalah

(4.41)

Kita menyimpulkan bahwa jika fungsi krosskorelasi adalah nol [ i.e., jika Rxy(τ) =

Ryx(τ) = 0]dapat ditulis

Rz(τ) = Rx(τ) + Ry(τ). (4.42)

Untuk kondisisi Rxy (τ) = 0 untuk semua τ , kita mengatakan bahwa x(t) dan y(t)

adalah unkorrelasi.

Lebih jauh, kita dapat melihat bahwa Ryx(τ) = R*xy (τ), maka dengan demikian

Rxy(τ) = 0, sehingga Ryx(τ) = 0.

Catatan jika x(t) dan y(t) adalah orthogonal, sehingga keduanya bersifat

unkorellasi. Dalam penambahan, sesuai yang kita bahas dalam BAB 8, jika x(t)

da y(t) bersifat statistik yang bebas, maka keduanya juga bersifat unkorellasi.

Sebab Daya kerapatan spektrum adalah transformasi Fourier tentang fungsi

autokorellasi, dalam hal ini mencakup dua sinyal x(t) dan y(t) diman bersifat

unkorellasi saaat Daya kerapatan spektrumnya ditambahkan. Dengan kata lain

Daya rata-rata dari penjumlahan dua sinyal adalah jumlahan dari Daya rata-rata

dua sinyal yang bersifat unkorellasi. Dalam hal ini fungsi krooskorellasi tidak nol,

yang pertama sinyal harus ditambahkan kemudian Daya rata-rata mungkin

dideterminasi atau diekivalenkan, dengan mencakup krosskorellasi.

4.6 Fungsi Korelasi dari Sinyal-sinyal Daya Terbatas.

Konsep dari korelasi dapat diperluas untuk memperjelaskan sinyal-sinyal dari

Daya terbatas. Secara khusus, kita mendefinisikan fungsi autokorelasi rf(τ )

untuk suatu sinyal f(t) dari Daya terbatas sebagai,

(4.43)

Sama dengan diatas untuk sinyal-sinyal f(t) dan g(t) yang keduanya adalah

Daya, mendefinisikan fungsi korelasi silang (cross-correlation function) rfg ( τ )

sebagai,

(4.44)

Perhatikan untuk fungsi-fungsi dengan nilai nyata. Operasi ini akan sama

dengan yang digunakan untuk belit (convolution) kecuali fungsi kedua tidak

terbalik.

Transformasi fourier dari persaman (4.43) memberikan :

(4.45)

Penukaran tingkatan integrasi dari persamaan (4.45), diperoleh

(4.46)

Menggunakan selang waktu dari transformasi fourier pasa sisi kanan pada

persamaan (4.46) didapatkan

(4.47)

Dengan mengkombinasikan persamaan (4.46) dan (4.47) didapatkan :

F { rf (τ) } = | F(ω)|2 (4.48)

Mengindentifikasi sisi kanan pers. (4.48) sebagai kerapatan spektral Daya f(t).

Dapat disimpulkan bahwa kerapatan spektral Daya adalah transformasi fourier

dari fungsi autokorelasi untuk sinyal-sinyal Daya terbatas.

4.7 Band Limited White Noise.

Funsi kerapatan spektral daya memiliki peran penting didalam penjelasan rata-

rata waktu (time-averange) dari noise acak. Type tertentu dari kerapatan

spektral daya yang diteliti ini adalah cenderung konstan untuk segala frekuensi.

Spektrum daya yang datar seperti yang ini mengandung seluruh komponen-

komponen frekuensi dengan pengaruh daya yang sembarang disebut white,

yang dianalogikan cahaya putih (white light).

Jika kita memiliki suatu kerapan spektral spektral daya yang konstan

dengan η Watt/Hz (diukur pada frekuensi positif), dan jika n(t) memiliki nilai rata-

rata nol, maka kerapan spektral daya dari white noise adalah :

Sn (ω) = η/2 (4.49)

Setengah dari faktor pers. (4.49) seharusnya memiliki kerapatan spektral daya

dua sisi. Perhatikan bahwa kita mendefinisikan Sn(ω ) dalam basis daya.

Dengan kata lain untuk suatu resistor dengan R Ohm, kita harus mengalikan

pers.(4.49) dengan R untuk diubah ke tegangan kuadrat rata-rata(mean-square

current) dan dibagi dengan R untuk diubah kearus kuadrat rata-rata.

Secara tepatnya pers.(4.49) tidak dapat digunakan untuk menggambarkan

sustu proses fisik tertentu karena mengandung sutu jumlah tak terbatas dari

daya, yaitu

Bagaimanapun juga persamaan ini pada akhirnya menjadi suatu model yang

baik bagi banyak kasus dimana bandwidth dari perangkat yang diukur lebih

smpit dari batasan proses fisik yang sedang diteliti. Karena pengukuran kita

dibatasi oleh banwidth terbatas. Dengan kata lain jika suatu bentuk gelombang

noise memiliki kerapatan spektral daya yang melebihi bandwith dari suatu

sistem, noise akan tampak ke dalam sistem bagaikan white yang sebenarnya.

Untuk band-limited white noise, daya noise tidak tergantung kepada pilihan

frekuensi yang dioperasikan. Sebagai contoh misalnya n(t) adalah white noise

rata-rata nol dengan kerapatan spektral daya n/2 Watt/Hz. Untuk suatu bandwith

(B) dengan daya noise (Pn) adalah

watt (4.50)

Dengan mengasumsikan bahwa persamaan diatas di kembangkan bagi suatu

resistor ( R ) diperoleh tegangan noise kuadrat rata-rata (mean-square noise

voltage) adalah :

(4.51)

Jika n(t) adalah arus maka :

GB amperes2 (4.52)

Pentransmisian white noise melalui sistem invarian waktu linier mengikuti suatu

pola seperti yang dijelaskan pada kerapan spektral daya. Misalnya kita hendak

mencari tegangan rms pada keluaran suatu filter yang fungsi transfer H(ω ) telah

diketahui. Input diberi ni(t) dan output no(t). Kita dapat tuliskan :

Sno(ω) = Sn(ω) |H(ω)|2 (4.53)

ω (4.54)

Jika kerapatan spektral dari noise adalah white (diasumsikan resistor 1 Ohm).

Pers. (4.54) menjadi

(4.55)

4.7.1 Noise Termal

Noise termal tejadi akibat dari gerakan elektron-elektron bebas yang acak dari

suatu medium penghantar karena adanya rangsangan Daya panas. Jalur dari

tiap elektron pada pergerakannya beriontasi secara acak sebagai akibat dari

adanya tubrukan. Pengaruh gerakan ini timbul arus listrik dalam resistor yang

acak dengan suatu nilai dengan rata-rata nol. Dari pertimbangan termodinamik

dan mekanikal kuantum kerapatan spektral daya dari noise termal dapat

dijelaskan dengan persamaan sebagai berikut,

(4.56)

Sn(ω) ≅ 2 kT watt / Hz Untuk | ω | << 2π kT/h (4.57)

dimana : T = Suhu penghantar, °K

K = konstanta Boltzman = 1,38 x 10 -23 Joule/ °K

h = konstanta Planck’s = 6,625 x 10 -34 Joule-detik

Untuk frekuensi diatas kT/h, noise termal tidak lagi white. Sebaliknya jika

frekuensi terlalu tinggi bagi sinyal-sinyal listrik dapat diasumsikan bahwa noise

termal adalah white untuk maksud ini (sebagai contoh kt/h = 6000 GHz untuk T

= 290 °K).

Dalam prakteknya resistor bisa saja menghasilkan sedikit lebih banyak

noise termal dibandingkan dengan yang diindikasikan kerapatan spektral diatas.

Kelebihan ini merupakan suatu fungsi dari material-material dan geometri

dengan mengabaikan faktor-faktor tersebut dalam hal ini. Perhatikan bahwa

suatu suatu kapasitor ideal tidak memiliki sumber noise termal karena tidak

adanya elektron-elektron bebas didalam suatu dielektrik ideal. Dilain pihak suatu

Induktor ideal tidak memiliki su

mber noise termal disebabkan konduktor ideal tidak mempunyai suatu struktur

celah-celah untuk menghalang aliran atau elektron.

Pers. (4.57) dan (4.51) kita dapatkan tegangan kuadrat rata-rata (rangkaian

terbuka) yang dihasilkan oleh suatu resistor R didalam suatu bandwith (B)

adalah :

(4.58)

Arus kuadrat rata-rata (rangkaian terhubung) dihasilkan dengan menggunakan

pers. (4.57) dan (4.52) adalah sebagai berikut :

(4.59)

Model rangkaian ekivalen tegangan dan arus untuk band-limited termal

noise diperlihatkan pada gambar 4.11. Resistansi ( R ) dan Konduktansi (G)

diasumsikan bebas noise dan bandwidth tidak terdapat pada peralatan yang

diukur.

Masalah -masalah rangkaian noise yang melibatkan komponen-komponen

resistif yang dapat dipecahkan dengan menggunakan model-model rangkaian

ini,

Gambar 4.11 Model rangkaian ekivalen noise termal

a) model tegangan b) model arus

4.7.2 Transmisi Noise Termal Menggunakan Sistem Linier.

Kita telah mengasumsikan bahwa tidak terdapat hubungan antara gerakan acak

dari elektron-elektron bebas pada resistor yang berbeda. Hal ini berrarti

konstribusi noise yang ditimbulkan dari gerakan acak ini menambah basis daya

untuk lebar frekuensi tertentu.

Misalnya sebagai contoh kita hubungkan suatu resistor ke terminal-terminal

input dari suatu sistem linier yang hanya berisikan komponen-komponen yang

bebas noise, seperti terlihat pada gambar 4.12 (a) , prosedurnya adalah sbb :

Kita mengganti resistansi input dengan sumber dengan suatu tegangan noise

dan satu resistor ( R ) yang bebas noise seperti pada gambar 4.12 (b). Resistor

yang bebas noise merupakan bagian dari fungsi transfer dari sistem.

Berdasarkan suatu basis tegangan :

Svi(ω) = 2kTR (4.60)

Svi(ω) = Svi(ω) |H(ω)|2

(4.61)

Tegangan output kuadrat rata-rata adalah

ω ) |H(ω)|2 dω (4.62)

Tapi bagaimana jika sistem itu sendiri mengandung komponen-komponen

resistif yang bersifat noise ? . Jika sistem adalah linier , pasif dan bilateral maka

resistansi noise efektif yang berlaku bagi input adalah ,

Req(ω) = ℜe{Z(ω)} (4.63)

Dimana Z(ω) adalah nilai komplek impedansi input sistem. Kerapatan spektral

tegangan noise berdasarkan pers. (4.60)

Sv(ω) = .2kTReq (ω) (4.64)

Perhatikan bahwa pada umumnya Req (ω) adalah suatu fungsi dari frekuensi.

Gambar 4.12 Transmisi noise termal menggunakan sistem linier

a)model sistem b) model sistem linier

4.7.3 Lebar Bidang Noise Ekivalen

pernyataan seperti pada persamaan (4.58) dan (4.59) mengasumsikan

adanya suatu filter ideal

dari lebar bidang (B) untuk tujuan pengukuran noise. Dalam praktek, adalah

mudah untuk mengkombinasikan berbagai karakteristik terbatas lebar bidang

dari suatu sistem, dengan cara menentukan suatu lebar bidang noise ekivalen (

Bn ), sebenarnya adalah filter ideal bandwith yang memberikan daya noise yang

setara dengan yang dimiliki oleh sistem yang sebenarnya. Lebar bidang noise

ekivalen untuk white noise dapat ditentukan sebagai berikut.

Didalam asumsi white noise, kerapatan spektral daya input adalah adalah

suatu konstata η/2. Output tegangan kuadrat rata-rata dari suatu sistem linier

ditentukan oleh persamaan (4.62). Maka tegangan kuadrat rata-rata vo (t), untuk

suatu resistor 1 Ohm adalah (berdasarkan pers. (4.55).

(4.65)

Integral tertentu pada persamaan (4.65) adalah suatu konstanta untuk fungsi

transfer frekuensi sistem tertentu H(ω).

Kita dapat menggunakan sustu pendekatan dalam kerapatan spektral

daya adalah white untuk beberapa lebar bidang dari sistem. Dengan

menentukan suatu lebar bidang noise ekivalen Bn sehingga :

1. Kerapatn spektral daya pada output filter adalah white diantara bandwith (Bn)

dan nol atau membentuk suatu kerapatan spektral persegi panjang

ekivalen.

2. Areal dimana kerapatan spektral persegi panjang ini terdapat sama dengan

areal dari kerapatan spektral pada output filter.

Hal ini diilustrasikan pada gambar 4.14

Gambar 4.14 Sebuah grafik yang didefinisikan pada bandwith noise ekivalen.

Dengan menentukan frekuensi bidang tengah (midband) dari suatu sistem

ωo (ωo = 0untuk suatu low pass filter ), tegangan sistem midband yang

didapatkan adalah | H(ω)|2, dapat ditulis

(4.66)

jika dihitung sisi kiri dari persamaan (4.65) dan (4.66) diperoleh

(4.67)

4.7.4 Daya Yang Tersedia dan Suhu Noise.

Dari pers.(4.49) dan (4.57), daya noise termal yang dihasilkan pada suatu

pada resistor R adalah

Pn = kTB (4.68)

Seberapa besar daya noise dapat diringkaskan menggunakan suatu muatan

resistif yang telah disesuaikan R (bebas noise) untuk transfer daya maksimum,

diperoleh tegangan transfer adalah setengah dari tegangan rangkaian terbuka.

Daya maksimum yang tersedia Pa, selanjutnya adalah ¼ seperti ditunjukan

pada pers. (4.68), atau

Pn = kTB (4.69)

Dengan menguji persamaan diatas dapat dilihat bahwa k adalah suatu

konstanta dan B adalah lebar bidang noise ekivalen yang konstan untuk suatu

sistem yang ditentukan. Suhu T secara langsung berhubungan dengan daya

noise yang tersedia untuk menggambarkan daya noise input adalah dengan

menggolongkan daya noise input ini sebagai suatu suhu noise, Jadi temperatur

noise menggolongkan kedalam suatu resistansi yang sesuai.

Dalam prakteknya, kita harapkan untuk menghubungkan suatu amplifier

(receiver) yang memiliki suatu resistansi input R untuk transfer daya maksimum.

Suatu model yang disederhanakan dari amplifier ini adalah suatu resistansi

input R pada temperatur noise ekivalen Te diikuti oleh suatu daya yang

diperoleh yakni Gp. Dengan kata lain temperatur noise (Te) adalah suatu

temperatur efektif dari suatu sumber noise termal while pada input sistem yang

diperlukan untuk menghasilkan daya noise yang sama dengan yang ada pada

output dari suatu sistem yang bebas noise ekivalen (eqivalen noiseless system).

Beberapa amplifier yang noisenya sangat rendah misalnya antara 10 K s/d 30 K

sementara receiver pemancar standar memiliki temperature noise 1000 K.

Rangkaian penerima yang disebabkan oleh thermal NOISE

Pada sebuah penguat white Noise umumnya masuk melalui temperatur ( Te )

yang disebabkan oleh pergerakan elektron acak yang bebas dalam rangkaian

berada pada pada seluruh spektrum frekuensi yang tersedia. Tidak dapat

dihindari dan biasanya tidak terlalu mengganggu transmisi. Efek temperatur

noise pada resitansi output ( Ro ) , Gain yang besar semuanya tidak dapat

diabaikan begitu saja.

Dalam kenyataannya (operasi ) pengaruh temperatur ini ada juga dari luar yaitu

langit dan linkungan sekitarnya dan pada saluran antena juga terjadinya noise.

Perhitungan daya noise ialah:

Pa = KTeB

4.7.5 NOISE FIGURE

Dalam suatu perangkat telekomunikasi daya kebisingan selalu ada (noise)

karena dalam alat tersebut ada input maupun output. Maka daya noise

dibandingkan dengan daya sinyal input dan daya sinyal output. Perbandingan

daya sinyal terhadap kebisingan (sinyal to noise power ratio = S/N).

Input sinyal to noise adalah

(4.70)

Output sinyal to noise adalah

(4.71)

S/N yang ada pada output akan selalu kurang dari .S/N yang ada pada input,

karena setiap penguat atau jaringan akan menambah kebisingan (noise).

(4.72)

Rumus ini baik sekali digunakan untuk menyederhanakan noise termal pada

suatu sistem. Dimana Si(t) = sinyal input Ni(t) = noise termal, To= temperatur,

Gp = Gain dan B = Bandwidth.

Daya noise input adalah :

Ni = kTB (4.73)

dan daya noise output adalah

So = Si Gp (4.74)

Sebuah penguat selalu ditambahkan noise termal karena terwakili dalam input

amplifier.

No = k To B G + k Te B G (4.75)

Kemudian disubstistusikan (4.73) - (4.75) kedalam (4.72) maka noise figure

sebuah amplifier adalah :

(4.76)

Kadang-kadang faktor kebisingan dinyatakan dalam Decibel (dB).Angka

kebisingan FdB = 10 log 10 (F)

4.7.6 Sky -Noise Temperatur.

Ketika suatu antena dihubungkan ke suatu input penerima akan selalu lebih

mudah diwakili oleh suatu resistor yang (matching) dengan input penerima dan

temperatur serta yang mewakili noise efektif langit dan lingkungan sekitarnya

yang dilihat dari sisi antena. Suhu antena biasanya berkisar antara 290 °K. Bila

resistansi input (Ri) suatu antena dengan temperatur (Ta), persamaan (4.75)

dapat diubah menjadi :

No = k B (Ta + Te) G (4.77)

Noise temperatur lebih mudah dipahami dan dapat dibandingkan secara

langsung dengan noise temperatur penerima.

Gambar 4.16 Nilai rata -rata dari sky noise temperature

4.7.7 Sumber-sumber Lain Dari White Noise Dengan Range Terbatas.

Ada jenis lain dari noise yang dapat digambarkan dalam istilah sumber white

noise, walaupun perkiraan tidak memuat range frekuensi seluas noise termal.

Tabel 4.1.

Shot noise, sebagaimana dengan halnya dengan noise termal adalah timbul

dalam peralatan fisik ketika suatu partikel muatan bergerak melalui suaru

gradien potensial tanpa tumbukan dengan startime yang acak dengan

menyamaratakan terhadap partikel-partikel seperti diatas, yang dapat diperoleh

dari suatu aliran rata-rata, tetapi akan selalu ada fluktuasi pada harga rata-rata

ini. Dalam tabung hampa udara shot noise timbul dari emisi acak elektron yang

berasal dari katoda.

Dalam perlatan semikonduktor, shot noise timbul dari sebagai hasil difusi acak,

dari pembawa minoritas dengan generasi acak serta rekombinasi dari pasangan

hole dan elektron. Dari pembawa yang dimuati dalam istilah arus rms.

(4.78)

Komponen noise lainnya muncul dalam divisi arus dengan peralatan

multielektroda yang disebut noise partisi. Partisi ini merupakan noise yang acak.

Transistor dan tabung hampa udara menghasilkan 3 noise : shot noise, partition

noise dan termal noise, semua ini dapat dianggap seolah-olah kerapatan daya

spektrum adalah data sepanjang bandwidth.

4.8 RINGKASAN

Kuantitas |F(ω)|2menggambarkan jumlah relatif dari Daya sinyal yang diberikan,

f(t) terhadap frekuensi disebut sebagai kerapatan spektral Daya dari f(t), fungsi

tersebut menggambarkan sambungan daya relatif dari sinyal f(t). Spektral daya

dari suatu sinyal tidak periodik adalah merupakan fungsi frekeunsi.

Nilai rms dari bentuk gelombang dapat ditemukan dari daerah dibawah fungsi

kerapatan spektral dayanya. Perbandingan dari sinyal rms terhadap noise rms

disebut S/N.

Transformasi fourier kebalikan dari kerapatan spektral daya adalah merupakan

fungsi autokorelasi. Untuk sinyal dengan harga nyata dengan durasi (jangkauan

waktu tertentu). Fungsi autokorelasi adalah disamping dari suatu konstnta

normalisasi, yang diberikan oleh Coulomb. Noise yang merupakan kerapatan

spektral daya datar disebut white noise. Noise termal berasal dari gerakan acak

elektron-elektron bebas pada suatu media konduksi.

Daya noise adalah suatu figure of merit yang mudah bagi sistem apabila suatu

temperatur referensi dipasang pada To = 290 °K .

Shot noise dan noise partition adalah dua jenis yang putih terhadap range

frekuensi yang agak lebar dan noise temperatur ekivalen dengan sky noise

temperatur. Ketiganya ada untuk membedakan derajat dalam peralatan

termionik dan semikonduktor.

DAFTAR PUSTAKA

Feher, Kamilo .1987. Advanced Digital Communication . USA : prentice-Hall Haykin, Simon . 1989. An Introduction to Analog and Digital Communications .

Singapore : John Willey Lathi , B . P . 1983 .Modern Digital and Analog Communication System . USA : Holt –

Saunders. Schwartz , Mischa . 1986 . Transmisi , Informasi , Modulasi dan Bising . Terjemahan

Srijatno W., Ph.D. Jakarta : Erlangga. Smith , David R . 1985 . Digital Transmission Systems . New york :Van Nostrand

Reinhold Company . Stallings , William .1991 . Data and Computer Communications. Singapore : Maxwell

Macmilan International Edition. Roddy , Denis and John Coolen . 1985 . Electronic Communication . New Delhi :

Prentice-Hall. Sigit Kusmaryanto, 1996, Diktat Sistem Transmisi Telekomunikasi, Teknik Elektro UB