Probability(Teori Kemungkinan)

Probabilita digunakan untuk mengukur seberapa besar ketidak-pastian suatu peristiwa terjadi dari suatu observasi

Rumus dasar => P = x/n

X = Peristiwa n = Observasi

Probability(Teori Kemungkinan)

Besarnya probabilita antara 0 sampai 1 (0<P<1).

Jika P = 0; berarti peristiwa tersebut tidak akan terjadi.

Jika P = 1; berarti peristiwa itu pasti terjadi

Macam-Macam Probability

•Mutually Exclusive• Not Mutually Exclusive• Independent• Dependent

Mutually ExclusiveDengan terjadinya suatu peristiwa akan menyebabkan peristiwa yang

lain tidak terjadiRumus:

P(A atau B) = P(A) + P(B)

Contoh:

sekeping mata uang dilempar satu kali, bila yang muncul sisi kepala, maka sisi ekor tidak akan muncul.

P(K) = ½ = 0,5

Not Mutually Exclusive

Dengan terjadinya suatu peristiwa akan menyebabkan peristiwa yang lain dapat

terjadiRumus:

P(A atau B) = P(A) + P(B) – P(A&B)

Contoh:

Dari setumpuk kartu bridge diambil selembar kartu. Hitung berapa probabilita akan didapatkan king diamond

P(Kd) = 4/52+13/52 – (1/13.1/4) = 16/52 = 4/13

IndependentDengan terjadi atau tidak terjadinyanya

suatu peristiwa tidak akan mempengaruhi terjadi atau tidak

terjadinya peristiwa yang lainRumus:

P(AB) = P(A) x P(B)

Contoh:

di dalam sebuah kotak terdapat 5 bola putih dan 7 bola hitam. Jika diambil 5 bola, hitunglah berapa probabilita akan didapatkan 2 putih dan 3 hitam. Dengan asumsi setelah bola diambil dimasukkan kembali ke dalam kotak

Jawab:P(PPHHH) = 5/12.5/12.7/12.7/12.7/12 = 0,034461 P(PHPHH) = 5/12.7/12.5/12.7/12.7/12 = 0,034461 P(PHHPH) = 5/12.7/12.7/12.5/12.7/12 = 0,034461 P(PHHHP) = 5/12.7/12.7/12.7/12.5/12 = 0,034461 P(HPHHP) = 7/12.5/12.7/12.7/12.5/12 = 0,034461 P(HHPHP) = 7/12.7/12.5/12.7/12.5/12 = 0,034461 P(HHHPP) = 7/12.7/12.7/12.5/12.5/12 = 0,034461 P(HPHPH) = 7/12.5/12.7/12.5/12.7/12 = 0,034461 P(HPPHH) = 7/12.5/12.5/12.7/12.7/12 = 0,034461 P(HHPPH) = 7/12.7/12.5/12.5/12.7/12 = 0,034461+ 0,34461

DependentDengan terjadi atau tidak terjadinyanya

suatu peristiwa akan mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya peristiwa yang

lainRumus:

P(AB) = P(A) x P(B)

Contoh:

di dalam sebuah kotak terdapat 5 bola putih dan 7 bola hitam. Jika diambil 5 bola, hitunglah berapa probabilita akan didapatkan 2 putih dan 3 hitam. Dengan asumsi setelah bola diambil tidak dimasukkan kembali ke dalam kotak

Jawab:P(PPHHH) = 5/12.4/11.7/10.6/9.5/8 = 0,0441919 P(PHPHH) = 5/12.7/11.4/10.6/9.5/8 = 0,0441919 P(PHHPH) = 5/12.7/11.6/10.4/9.5/8 = 0,0441919 P(PHHHP) = 5/12.7/11.6/10.5/9.4/8 = 0,0441919 P(HPHHP) = 7/12.5/11.6/10.5/9.4/8 = 0,0441919 P(HHPHP) = 7/12.6/11.5/10.5/9.4/8 = 0,0441919 P(HHHPP) = 7/12.6/11.5/10.5/9.4/8 = 0,0441919 P(HPHPH) = 7/12.5/11.6/10.4/9.5/8 = 0,0441919 P(HPPHH) = 7/12.5/11.4/10.6/9.5/8 = 0,0441919 P(HHPPH) = 7/12.6/11.5/10.4/9.5/8 = 0,0441919 + = 0,441919

Probabilita Bersyarat

Bahwa suatu peristiwa dapat terjadi jika telah terjadi peristiwa sebelumnya yang membuat peristiwa tersebut bisa terjadi

Rumus:P(AB) = P(B|A) x P(A)

Contoh:Jumlah pendaftar BKU ManajemenProgram Pascasarjana Unsri 100 orang. Diperkirakan yang lulus test tertulis sebanyak 40 orang. Setelah diwawancara ternyata yang lulus sebagai mahasiswa BKU Manajemen Program Pascasarjana Unsri sebanyak 30 orang. Hitunglah berapa probabilita seorang pendaftar dapat menjadi mahasiswa BKU Manajemen Program Pascasarjana Unsri

Jawab:

P(A) = Probabilita seseorang lulus test tertulis = 40/100 = 0,4P(B|A) = Probabilita seseorang lulus test wawancara = 30/40 = 0,75

P(AB) = 0,75 x 0,4 = 0,3

Permutasi

Adalah penyusunan objek-objek sejumlah n, tiap-tiap diambil sejumlah r dengan

memperhatikan tata susunannya

Maksudnya bahwa pada permutasiAB BA

ABC ACB BCABACCBACABberarti jika pada posisi berbeda

mempunyai fungsi yang tidak sama

Rumus dasar dari permutasi adalah:

n!

P(n,r)=

(n-r)!

Keterangan: n! (baca n faktorial)n! = n(n-1)(n-2)…(n-r+1)

0! = (0-0+1) = 10! = 1

Contoh:Dari empat orang calon pimpinan suatu perusahaan yaitu: A,B,C & D

hendak dipilih seorang ketua, seorang sekretaris dan seorang

bendahara. Bagaimanakah alternatif kombinasi calon tsb. Akan

menduduki jabatan ketua, sekretaris dan bendahara itu?

Jawab:Dik: n = 4 r = 3

4!

P(n,r) =

(4-3)!

4.3.2.1

= = 24

1

Dari keempat calon dapat dipilih seorang sebagai ketua yaitu: A atau B atau C atau D. Jadi jabatan ketua dapat dipilih menurut empat macam cara.

Apabila A terpilih sebagai ketua, maka untuk kedudukan sekretaris terbuka tiga macam cara

pengisian, yaitu kita dapat memilih B atau C atau D. Jika jabatan ketua dan sekretaris sudah terisi,

maka jabatan bendahara dapat diserahkan kepada salah seorang yang tersisa.

Susunan ini dapat kita gamabarkan dalam diagram pohon sebagai berikut:

C ABC B CABB A

D ABD D CADB ACB A CBA

A C C BD ACD D CBDB ADB A CDA

D DC ADC B CDBC BAC B DAB

A AD BAD C DACA BCA A DBA

B C D BD BCD C DBCA BDA A DCA

D CC BDC B DCB

Jika n = rmaka P(n,r) = n!

Jika objek dibedakan atas kelompok, maka rumusnya sbb:

n!

P{n(r1,r2,…,rm!)} =

r1!.r2!…rm!

Contoh:Suatu keluarga terdiri dari seorang bapak, seorang ibu

dengan dua orang anak, duduk berjajar di depan televisi, maka kemungkinan susunannya adalah:

r1 = 1(bapak), r2 = 1(ibu), r3 = 2(anak), jadi n = 4

4! 4.3.2.1

P{4(1,1,2)} = = = 121!.1!.2! 1.1.2

bapak, ibu, anak, anakbapak, anak, ibu, anakbapak, anak, anak, ibuanak, bapak, anak, ibuanak, anak, bapak, ibuanak, anak, ibu, bapakanak, ibu, anak, bapak anak, bapak, ibu, anakanak, ibu, bapak, anak ibu, anak, anak, bapakibu, anak, bapak, anakibu, bapak, anak, anak

KOMBINASI

Penyusunan objek-objek sejumlah n, tiap-tiap diambil sejumlah r, tanpa memperhatikan tata

susunannya.Dengan demikian mempunyai pengertian bahwa

AB=BAABC=ACB=BAC=BCA=CAB=CBA

Rumus menghitung kombinasi adalah:n n

C(n,r) atau ataur r

n!=

r!(n-r)!

Contoh:Dari tiga orang pemain bulu tangkis yaitu A, B dan C hendak dipilih dua orang pemain untuk permainan ganda, maka jumlah pemain ganda yang mungkin dibentuk adalah:

3 3!2 2!(3-2)!

3.2.12.1.13 pasang

yaitu: AB, AC dan BC

PROBABILITA DENGAN RUMUS KOMBINASIContoh:Dalam sebuah kotak terdapat 10 bola merah dan 12 bola putih, jika diambil 8 buah bola, hitunglah berapa probabilita yang didapatkan 5 merah dan 3 putih?Jawab:

10 125 3

P(5M,3P) = 22 8

10 10! 10.9.8.7.6.5! 252

5 5!(10-5)! 5!.5.4.3.2.1

12 12! 12.11.10.9! 220

3 3!(12-3)! 3.2.1.9!

22 22! 22.21.20.19.18.17.16.15.14!8 8!(22-8)! 8.7.6.5.4.3.2.1.14!

22.19.3.17.15 319770

252.220 P(5M,3P) = = 0,173374613

319770

disebut probabilitas "Gagal" dan diberi simbol "q " atau 1- p, maka probabilitas timbul-nya gejala yang kita harapkan sebanyak X kali dalam n kejadian, dengan rumus sbb:

n x

n x n n! n! x x!(n-x)! x!(n-x)!

Jadi P(x;n)= px.q(n-x)

P(x;n)= px.q(n-x)

disebut koefisien binomial, menunjukkan x kali sukses dari n kejadian

1. Tiap percobaan memiliki dua hasil saja yaitu "Sukses" dan "Gagal"2. Probabilitas sukses pada tiap-tiap percobaan haruslah sama dan dinyatakan dengan p3. Setiap percobaan harus bersifat independent (bebas)4. Jumlah percobaan yang merupakan komponen eksperimen binomial harus tertentu

Contoh:Apabila probabilitas bahwa seseorang akan mengomentari artikel di surat kabaradalah 0,2, berapa probabilitasnya untuk memperoleh 0, 1, 2, 3 ,4 dan 5 respon/komentar terhadap artikel yang ada di surat kabar tersebut dari 5 pembaca, danberapa probabilitas yang mengomentari artikel tersebut paling banyak 3 orangpembaca.

Jawab:Dik: n = 5 p = 0,2 X = 0, 1, 2, 3, 4 dan 5

5!0!(5-0)!

Ciri-ciri percobaan Bernoulli

P(0;5)= 0,20.0,8(5-0) = 1.1.0,32768 = 0,32768

5!1!(5-1)!

5!2!(5-2)!

5!3!(5-3)!

5!4!(5-4)!

5!5!(5-5)!

P(5;5)= 0,25.0,8(5-5) = (1).(0,00032).(1) = 0,00032

P(3;5)= 0,23.0,8(5-3) = (10).(0,008).(0,64) = 0,0512

P(4;5)= 0,24.0,8(5-4) = (5).(0,0016).(0,8) = 0,0064

P(1;5)= 0,21.0,8(5-1) = (5).(0,2).(0,4094) = 0,4096

P(2;5)= 0,22.0,8(5-2) = (10).(0,04).(0,512) = 0,2048

Adapun histogramnya seperti terlihat di bawah ini

0,4096

0,3277

0,2048

0,0512

0,00640,0003

0 1 2 3 4 5

Probabilitas

Respons

Histogram dari probabilitas memperoleh respons

Rata-rata dan deviasi standar dari Distribusi Binomial

m = n.p s = n.p.q

-3s s s 3s

a.b.c.

Kira-kira 68% dari data observasiakan berada dalam daerah 1s di sekitar m = antara m- s dan m+s

Kira-kira 95% dari data observasiakan berada dalam daerah antara m- 2s dan m+2s

Kira-kira 99% dari data observasiakan berada dalam daerah antara m- 3s dan m+3s

-2s m

Distrbusi Normal dari Binomial

2s

95%68%

99%

Contoh:Dari distribusi timbulnya permukaan A dari 300 lemparan coin, kita akanmemperoleh:

m = 300 . 0,5 = 150

s = 300 . 0,5 . 0,5 = 75 = 8,66

Kita dapat mengatakan bahwa dari 300 kali lemparan coin yang baik95% nya kita akan memperoleh permukaan A berkisar antara 150 - 2(8,66)sampai 150 + 2(8,66) atau secara kasar berkisar antara 133 sampai 167permukaan A.

Distribusi Poisson disebut juga sebagai distribusi peristiwa yang jarang terjadi(distribution of rare events) adalah distribusi kemungkinan teoritis denganvariabel random discrete. Distribusi ini dianggap sebagai pendekatan pada distribusibinomial apabila n (banyaknya percobaan) adalah besar, sedangkan p (probabilitassukses) sangat kecil.

Rumus distribusi Poisson adalah: mx.e-m

x!

Ket.: x = variabel random discrete 0, 1, 2, 3, …x! = x . (x-1) . (x-2) . … . 2 . 1e = bilangan irrasional yang besarnya = 2,71828

0! = 1Pendekatan pada distribusi binomial sangat baik untuk n sangat besar dan p sangatkecil (sehingga m = n.p nilainya tetap); n.p < 5 dan p < 0,1

Distribusi Poisson

s = n.p

P(X) = m = n . p

Contoh:Misalkan sebuah mobil diiklankan di surat kabar untuk dijual.Surat kabar yang memuat iklan tersebut kita misalkan mempunyai100.000 pembaca. Jika kemungkinan seorang akan membalasiklan tersebut 0,00003 hitunglah:

a. Berapa orangkah diharapkan membalas iklan tersebutb. Berapa kemungkinannya yang akan membalas iklan

tersebut hanya satu orangc. Berapa kemungkinan tidak ada yang membalas

Jawab:

a. n = 100.000 p = 0,00003 m = 100.000 x 0,00003 = 3

Jadi yang diharapkan membalas iklan tersebut adalah 3 orang

b. x =1 31 . e-33 . 0,0498

1! 1

c. x = 0 30 . e-31 . 0,0498

0! 1

P(1) = = = 0,1494

P(0) = = = 0,0498

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 Z0.0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0.00.1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0.10.2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0.20.3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0.30.4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1803 0,1844 0,1879 0.40.5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2058 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 0.50.6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 0.60.7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 0.70.8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 0.80.9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3383 0.91.0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 1.01.1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 1.11.2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 1.21.3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 1.31.4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 1.41.5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 1.5 0,39441.6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 1.61.7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 1.71.8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 1.81.9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 1.92.0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 2.02.1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 2.12.2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 2.22.3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 2.32.4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 2.42.5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 2.52.6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 2.62.7 0,4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974 2.72.8 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4977 0.4978 0.4979 0.4979 0.4980 0.4981 2.82.9 0.4981 0.4982 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986 0.4986 2.93.0 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.4990 3.0

Table of Areas Under the Standard Normal Curve

0 1,25 z

Distribusi Normal

Distribusi normal (kurva normal) merupakan salah satu distribusi kemungkinan teoritis dengan variabel

random sinambung (continuous distrution)Kurva normal hanya ada dalam teori

Kurva normal terjadi jika rata-rata hitung = median = modus

Kurva Normal

• Bentuknya seperti lonceng dan simetris Y

• Luas kurva normal seluruhnya adalah 1

• Luas sebelah kiri = luas sebelah kanan yaitu 0,5

• Luas kurva normal ditentukan oleh nilai Z

• Jika Z negatif berarti luasnya disebelah kiri

• Jika Z positif, luasnya di sebelah kanan

Z

0,5 0,5

XX=Med=Modus

Untuk menentukan nilai z digunakan rumus

X-XZ =

S

Contoh:Dari 100 orang petani menghasilkan panen rata-rata sebesar 60 ton padi kering dengan deviasi standar 15 ton, diminta kepada saudara untuk menghitung berapa banyak petani yang mempunyai panen:1. Lebih dari 80 ton2. Lebih dari 50 ton3. Antara 25 s.d. 55 ton4. Antara 35 s.d. 70 ton5. Jika kelompok panen terbesar sebanyak 35 orang, berapa ton panen terendah dari kelompok tsb6. Kelompok menengah sebanyak 40 orang, berapa ton panen terendah dari kelompok tersebut.

Jawab: Dik: n = 100 X = 60S = 15

1.80 – 60

Z = = 20/15 = 1,33

15

P = 0,5 – 0,4082 = 0,0918

Jadi petani yang memiliki lebih dari 80 ton adalah: 0,0918 x 100 orang

0 1,33

= 9,18 = 10 orang

2. Dik: n=100 X=50 S=15

50-60

Z = = -10 15 = -0,67

15

P = 0,2486 + 0,5 = 0,7486 Jadi petani yang menghsilkan panen lebih dari 50 ton adalah 0,7486 x 100 orang = 75 orang

-0,67

3. Dik: n=100 X1=25 X2=55 S=15Z1 = 25-60 15 = -35

15 = -2,33Z2 = 55-60 15 = -5 15 = -0,33P1 = 0,4901P2 = 0,1293P = 0,3608

Jadi petani yang mempunyai panen antara 25-55 ton = 0,3608 x 100 orang = 37 orang

-2,33 -0,33

0,1293

0,4901

0,3608

4. Dik: n=100 X1=35 X2=70 S=15

Z1= 35-60 15

= -25

15 = -1,67

Z2= 70-60 15

= 10

15 = 0,67

P1= 0,4525P2= 0,2486P = 0,7011

Jadi petani yang memiliki panen antara 35-70 ton adalah = 0,7011 x 100 orang = 71 orang

-1,67 0,67

25 orang 15 orang 35 orang

? ? ? 60 ? X

5. P = 35

100 = 0,5-0,35 =0,15 Z = 0,39

0,39 = X-60

15 ===> 0,39(15) = X – 60

5,85 = X – 60 ===> X = 60 + 5,85 = 65,85

6. P = 25

100 = 0,25 Z = -0,67

-0,67 = X-60

15 ===> -0,67(15) = X – 60

-10,05 = X – 60 ===> X = 60 – 10,05 = 49,95