kelompok ii pemicu 2

Upload: yustina-silitonga

Post on 14-Oct-2015

66 views

Category:

Documents


2 download

TRANSCRIPT

  • TUGAS KOMPUTASI

    SISTEM PERSAMAAN NON LINEAR

    KELOMPOK II

    TONI PAHRI SIRAIT (100405014)

    VALENTINOH CUACA (100405015)

    AGUS MANGIRING (100405029)

    YUSTINA BR SILITONGA (100405059)

    SARI LIZA AZURA NST (100405070)

    WESTRYAN TINDAON (100405073)

  • SISTEM PERSAMAAN NON LINEAR

    Dalam menentukan akar persamaan non linear dapat dilkakukan dengan beberapa

    metode, yaitu:

    1. Metode Substitusi Berurut

    2. Metode Newton-Raphson

    3. Metode Secant

    Metode Substitusi berurut

    Syarat= F(x)= 0

    X=g(x)

    Contoh=

    X12+X1 X2=10

    X2 + 3X1 X22 = 57

    Nilai tebakan awal X1=1,5 dan X2=3,5

    Hitung nilai X1 dan X2 yang sesungguhnya!

    Jawab:

    G(X1)= X1= 10 12

    G(X2) = X2 = 57 2

    31

    Iterasi 1

    X1= 10 1,5. 3,5 = 2,17945

    X2= 573,5

    3.2,17945 = 2,86051

    Iterasi 2

  • X1 = 10 2,17945.2,86051 = 1,94053

    X2 = 572,86051

    3.1,9053 = 3,04955

    Iterasi 3

    X1 = 10 1,94053.3,04955 = 2,02046

    X2 = 573,04955

    3.2,02046 = 2,98430

    Iterasi 4

    X1 = 10 2,02046.2,98430 = 1,99303

    X2 = 572,98430

    3.1,99303 = 3,00570

    Iterasi 5

    X1 = 10 1,99303.3,00570 = 2,00238

    X2 = 571,99303.3,00570

    3.3,00570 = 2,99805

    Iterasi 6

    X1 = 10 2,00238.2,99805 = 1,99918

    X2 = 572,99805

    3.2.0238 = 3,00067

    Iterasi 7

    X1 = 10 1,99918.3.00067 = 2,00028

    X2 = 573,0067

    3.1,99918 = 2,99977

    Iterasi 8

    X1 = 10 2,00028.2,99977 = 1,99990

    X2 = 572,99977

    3. 1,9990 = 3,0008

  • Iterasi 9

    X1 = 10 1,99990.3,0008 = 2,0003

    X2 = 573,0008

    3. 1,99990 = 2,99997

    Iterasi 10

    X1 = 10 2,003.2.99997 = 1.99999

    X2 = 572,99997

    3. 2,0003 = 3,00001

    Iterasi 11

    X1 = 10 1,99999.3,00001 = 2,00000

    X2 = 573,00001

    3. 1,99999 = 3,00000

    Jadi, nilai X1 dan X2 yang sesungguhnya X1=2 dan X2=3

  • METODE NEWTON-RAPHSON

    Dalam analisis numerik, metode Newton (juga dikenal sebagai metode

    Newton-Raphson), yang mendapat nama dari Isaac Newton dan Joseph Raphson,

    merupakan metode iterasi lain untuk memecahkan persamaan f(x)=0, dengan f

    diasumsikan mempunyai turunan kontinu f. Metode Newton sering konvergen

    dengan cepat, terutama bila iterasi dimulai "cukup dekat" dengan akar yang

    diinginkan. Namun bila iterasi dimulai jauh dari akar yang dicari, metode ini

    dapat meleset tanpa peringatan. Implementasi metode ini biasanya mendeteksi dan

    mengatasi kegagalan konvergensi.

    Diketahui fungsi (x) dan turunannya '(x), kita memulai dengan tebakan

    pertama, x0. Hampiran yang lebih baik X1 adalah

    Gagasan metode ini adalah sebagai berikut:

    kita memulai dengan tebakan awal yang cukup dekat terhadap akar yang

    sebenarnya, kemudian fungsi tersebut dihampiri dengan garis singgungnya (yang

    dapat dihitung dengan alat-alat kalkulus, dan kita dapat menghitung perpotongan

    garis ini dengan sumbu-x (yang dapat dilakukan dengan mudah menggunakan

    aljabar dasar). Perpotongan dengan sumbu-x ini biasanya merupakan hampiran

    yang lebih baik ke akar fungsi daripada tebakan awal dan metode ini dapat

    diiterasi.

    Misalkan : [a, b] R adalah fungsi terturunkan yang terdefinisi pada

    selang [a, b] dengan nilai merupakan bilangan riil R. Rumus untuk menghampiri

    akar dapat dengan mudah diturunkan. Misalkan kita memiliki hampiran mutakhir

    Xn. Maka kita dapat menurunkan hampiran yang lebih baik, Xn+1 dengan merujuk

    pada diagram di kanan. Kita tahu dari definisi turunan pada suatu titik bahwa itu

    adalah kemiringan garis singgung pada titik tersebut, yaitu:

  • Di sini, f ' melambangkan turunan fungsi f. Maka dengan aljabar sederhana kita

    mendapatkan

    Kita memulai proses dengan nilai awal sembarang Xn. Metode ini biasanya akan

    mengerucut pada akar, dengan syarat tebakan awal cukup dekat pada akar

    tersebut, dan bahwa '(Xn) 0.

    Algoritma Metode Newton Raphson

    1. Definisikan fungsi F(x) dan F(x)

    2. Tentukan toleransi error (e) dan iterasi maksimum (n)

    3. Tentukan nilai pendekatan awal Xn

    4. Hitung F(Xn) dan F1(Xn)

    5. Untuk iterasi i = 1 s/d n atau |f(Xi)| > e

    Hitung F(Xi +1)dan F(Xi +1)

    6. Akar persamaan adalah nilai Xi +1 yang terakhir diperoleh.

    Contoh Penyelesaian Metode Newton Raphson

    Selesaikan persamaan x - e-x

    = 0 dengan titik pendekatan awal X0 =0

    f(x) = x - e-x f(x)= 1 + e-x

    f (X0) = 0 -e-0

    = -1

    f(X0) = 1 + e-0

    = 2

    X1 = X0 ()

    1() = 0 -

    1

    2 = 0,5

    f(X1) = -0,106631 dan f(X1) = 1,60653

    X2 = X1 (1)

    1(1) = 0,5 -

    0,106531

    1,60653 = 0,566311

    f(X2) = -0,00130451 dan f(X2) = 1,56762

    X3 = X2 (2)

    1(2) = 0,5 -

    0,00130451

    1,56762 = 0,567143

    f(X3) = -1,96.10-7, x = 0,567143.

    Permasalahan Metode Newton Raphson

  • 1. Metode ini tidak dapat digunakan ketika titik pendekatannya berada pada

    titik ekstrim atau titik puncak, karena pada titik ini nilai F(x) = 0

    sehingga nilai penyebut dari ()

    ()= nol, secara grafis dapat dilihat sebagai

    berikut:

    Bila Titik Pendekatan Ada Pada Titik Puncak Maka Titik Selanjutnya Ada

    Pada Titik Tak Berhingga

    2. Metode ini menjadi sulit atau lama mendapatkan

    penyelesaian ketika titik pendekatannya berada di

    antara dua titik stasioner

    Penyelesaian Permasalahan Metode Newton Raphson

  • Untuk dapat menyelesaikan kedua permasalahan pada metode newton raphson ini,

    maka metode newton raphson perlu dimodifikasi dengan :

    1. Bila titik pendekatan berada pada titik puncak maka titik pendekatan

    tersebut harus di geser sedikit, Xi = Xi dimana adalah konstanta

    yang ditentukan dengan demikian F(Xi ) 0 dan metode newton raphson

    tetap dapat berjalan.

    2. Untuk menghindari titik-titik pendekatan yang berada jauh, sebaiknya

    pemakaian metode newton raphson ini didahului oleh metode tabel,

    sehingga dapat di jamin konvergensi dari metode newton raphson.

    Contoh soal :

    Selesaikan persamaan : x . e-x

    + cos(2x) = 0

    Jawab :

    Bila menggunakan titik pendekatan awal X0 = 0,176281

    f(x) = x . e-x

    + cos(2x)

    f(x) = (1-x) ex 2 sin (2x)

    Sehingga f(Xo) = 1,086282 dan F(Xo) = -0,000015

    Grafik y = x.e-x+cos(2x)

    Iterasi dengan menggunakan newton raphson:

  • X yang diperoleh adalah 71365,2

    Metode Newton Raphson

    Metode Newton-Raphson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu titik

    awal dan mendekatinya dengan memperhatikan slope atau gradien pada titik

    tersebut. Titik dimana garis singgung tersebut memotong sumbu x biasanya

    memberikan perkiraan yang lebih dekat dari nilai akar.

    Metode Newton-Raphson adalah salah satu metode terbuka untuk menentukan

    solusi akar dari persamaan non-linier dengan prinsip utama sebagai berikut :

    Metode ini melakukan pendekatan terhadap kurva f(x) dengan garis

    singgung (gradien) pada suatu titik nilai awal

    Nilai taksiran selanjutnya adalah titik potong antara garis singgung

    (gradien) kurva dengan sumbu x

    Langkah penyelesaian persamaan non linier dengan metode Newton-Raphson:

  • 1. Tentukan nilai awal (x0) bila tidak diketahui pada soal

    2. Hitung nilai f(x0) dengan memasukkan nilai x0 (tebakan awal), kemudian

    cek konvergensi f(x0)

    3. Turunkan fungsi f(x) menjadi f(x)

    4. kemudian hitung f(x0) dengan memasukkan nilai x0

    5. Lakukan iterasi

    6. Hitung nilai taksiran selanjutnya

    7. Cari sampai nilai f(xn) = 0

    Contoh :

    Hitung akar f(x) =ex 5x2

    x0 = 0.5

    Penyelesaian

    Dan diiterasi dengan persamaan :

    Dimana digunakan tebakan awal x=0,5 (diketahui dari soal)

    Hasil setiap iterasi terdapat pada tabel dibawah ini:

    i xi F(xi)

    0 0,5 0,3987

    1 0,619 -0,0587

    2 0,6054 -0,00056

    3 0,605267 -0,0000012185

    4 0,605267 -0,0000012185

    Karena nilai x sudah konvergen dan nilai f(x) sudah sangat kecil di bawah 0, maka

    iterasi berakhir dan hampiran akar penyelesaiannya adalah x = 0,605267

  • METODE SECANT

    Metoda secant merupakan salah satu metoda yang digunakan untuk mencari nilai

    akar dari persamaan y=f(x). Metoda ini dapat dipahami dengan menggunakan

    bantuan model segitiga dalam penyelesainnya seperti berikut, dengan X0 dan X1

    merupakan batas yang dijadikan acuan awal untuk mencari nilai X yang

    sebenarnya :

    Misalkan dengan menggunakan gambar ilustrasi di atas kita dapat mengambil

    persamaan dari sifat segitiga sebangun sebagai berikut :

    dimana : BD = f(x1)

    BA = x1-x0

    CD = f(x1)

    CE = x1-x2

  • Dan jika dirubah, rumusnya akan menjadi :

    Dari rumus di atas bisa kita lihat bahwa yang dicari adalah Xn+1,( Xn+1) ini

    merupakan nilai X yang dicari sebagai pendekatan terhadap nilai X yang

    sebenarnya seperti untuk nilai X2 kemudian X3 pada gambar dibawah, semakin

    lama nilai Xn+1 akan mendekati titik X yang sebenarnya.

    Adapun langkah-langkah perhitungan untuk menyelesaikan suatu sistem

    persamaan non linear dengan metode secant adalah:

    1. Tentukan tebakan awal: xo dan xi 2. Hitung f(xo) dan f(xi)

    3. Hitung x2 = x1 1 (10)

    1 (0)

    Hitung f(x2)

  • 4. Hitung kesalahan : 2 (21)

    2+1

    5. Bila kesalahan > (kesalahan yang ditentukan) embali ke langkah 3

    x3= x2 2 (21)

    2 (1)

    Lakukan seperti langkah (4) dan seterusnya sampai didapat kesalahan yang

    diinginkan atau ditetapkan.

    Contoh:

    Selesaikan persamaan f(x) = x3 + x

    2 -3x - 3 = 0 dengan metoda Secant.

    Penyelesaian :

    Iterasi pertama, diambil dua nilai awal x1 = 1 dan x2 = 2 maka :

    f(x=1) = -4

    f(x=2) = 3

    dengan persamaan

    x3 = x2 - f x x x

    f x f x

    ( )( )

    ( ) ( )

    2 2 1

    2 1

    = 2 -

    3 2 1

    3 4

    ( )

    ( )

    = 1,57142

    iterasi ke-2

    x2 = 2 ------ f(x2) = 3

    x3 = 1,57142 -------- f(x3) = -1,36449

    x4 = 1,57142 -

    1 36449 157142 2

    1 36449 3

    , ( , )

    , = 1,70540

    Hasil hitungan dengan Metode Secant

  • iterasi x1 x2 f(x1) f(x2) x3 f(x3)

    1 1,0 2,0 -4,0 3,0 1,57142 -1,36449

    2 2,0 1,57142 3,0 -1,36449 1,70540 -0,24784

    3 1,57142 1,70540 -1,36449 -0,24784 1,73513 0,02920

    4 1,70540 1,73513 -0,24784 0,02920 1,73199 -0,000575

    5 1,73513 1,73199 0,02920 -0,000575 1,73205 -0,000007

    Maka hasilnya x= 1,732

    MATLAB memiliki dua routin yang dapat menyelesaikan fungsi pengenolan untuk satu variable.

    fzero digunakan untuk persamaan nonlinear umum, sementara root dapat digunakan jika

    persamaan nonlinear adalah polinomial.

    1. FZERO

    Routine pertama yang kita gunakan adalah fzero. fzero menggunakan kombinasi metode

    numeris interval bisection dan reguli falsi. Syntax yang digunakan untuk menuliskan

    fzero adalah

    z = fzero (function,initial guess)

    Untuk menggunakan fzero Anda harus terlebih dahulu menulis m-file MATLAB untuk

    menghasilkan fungsi yang sedang dievaluasi. Angap suatu fungsi :

    f(x) = x2 - 2x 3 = 0.

    m-file MATLAB berikut untuk mengevaluasi fungsi ini (m-file dinamankan fcnl.m):

    Setelah menghasilkan m-file fncl. m, Anda harus menyediakan tebakan awal untuk

    menyelesaikan routin fzero. Perintah berikut memberikan tebakan awal x = 0.

  • MATL.AB akan memberikan jawabannya:

    Untuk tebakan awal x = 2, Anda memasukkan :

    dan MATLAB kembalikan memberikan jawaban:

    Kita temukan bahwa ada dua solusi untuk masalah yang sama (kita dapat menggunakan

    rumus kuadratik untuk memperolehnya). Solusi yang diperoleh tergantung pada tebakan

    awal.

    2. ROOTS

    Karena persamaan yang kami memecahkan adalah persamaan polinomial, kita juga dapat

    menggunakan routine MATLAB roots untuk menemukan pengenolan suatu polynomial.

    Misal fungsi polinomial :

    Kita harus membuat vector koefisien polynomial dalam ordde yang berurutan

    Kemudian kita dapat menuliskan perintah seperti berikut:

    Maka hasil dari MATLAB:

  • Contoh 1 Mencari akar persamaan

    Diketahui persamaan :

    f(x) = x3 2x 5,

    akan dicari nilai x yang menyebabkan fungsi f(x) sama dengan nol.

    Penyelesaian:

    tulis dalam m-file

    function y = f(x)

    y = x.^3-2*x-5;

    Untuk mendapatkan nol mendekati 2, tuliskan : z = fzero(f,2)

    z =

    2.0946

    Contoh 2 Mencari temperatur untuk suatu harga Cp tertentu (diambil dari Computational

    Methods for Process Simulation , Ramirez, Butterworths, 1989)

    Diketahui sebuah persamaan kapasitas panas sbb. :

    Akan ditentukan temperatur pada saat Cp = 1 kJ/kg.K. Untuk itu, ubahlah persamaan di

    atas menjadi :

    Penyelesaian :

    Tahap 1 : membuat fungsi yang dapat mengevaluasi persamaan (ii)

    Apabila fungsi ini diplot (fplot(fungsi,[100 300]) akan diperoleh grafik sbb. :

  • Untuk mendapatkan harga penol dari fungsi tersebut digunakan fungsi fzero dengan tebakan

    awal 100 :

    Diperoleh T = 189.7597 K pada saat Cp = 1 kJ/kg.K.

  • PENYELESAIAN PEMICU

    1. Dengan menggunakan substitusi berurut

    () pada 100 oC

    1. N heksana = 246,2438 kPa = 2,40237 atm

    2. N heptana = 106,1751 kPa = 1,047867 atm

    3. N oktana = 46,9044 kPa = 0,46291 atm

    4. N nonana = 21,0381 kPa = 0,20763 atm

    Mencari L ,V , Xi , yi pada suhu 100 oC

    Pertama dicari V dengan persamaan

    +

    4

    =0

    = 1

    Dengan tebakan awal V=95 mol/jam

    0,15.2,430337.100

    95 2,430337 1 + 100.1 1

    Sampai V= 99,7694 mol/jam

    Sehingga didapat L= 0,2306 dengan rumus:

    L=F-V

    Kedua mencari nilai Xi dan yi

    Persamaannya adalah

    Zi F = xi L + yi V

    yi = xi

    ()

    xi =

    + ()

    sehingga diperoleh X1 = 0,061806

    X2= 0,238605

  • X3=0,969516

    X4= 0,716137

    Dan diperoleh

    y1 = 0,150204

    y2= 0,250026

    y3=0,448799

    y4= 0,148691

    () pada 115 oC

    1. N heksana = 355,6011 kPa = 3,50951 atm

    2. N heptana = 160,9887 kPa = 1,588835 atm

    3. N oktana = 74,7512 kPa = 0,737737 atm

    4. N nonana = 35,2626 kPa = 0,348015 atm

    Mencari L ,V , Xi , yi pada suhu 115 oC

    Pertama dicari V dengan persamaan

    +

    4

    =0

    = 1

    Dengan tebakan awal V=90 mol/jam

    0,15.3,50951.100

    90 3,50951 1 + 100.1 1

    Sampai V= 93,1574 mol/jam

    Sehingga didapat L= 6,8426 dengan rumus:

    L=F-V

    Kedua mencari nilai Xi dan yi

    Persamaannya adalah

  • Zi F = xi L + yi V

    yi = xi

    ()

    xi =

    + ()

    sehingga diperoleh X1 = 0,04494

    X2= 0,161442

    X3=0,595488

    X4= 0,382041

    Dan diperoleh

    y1 = 0,157717

    y2= 0,256505

    y3=0,439314

    y4= 0,132956

    2. Dengan Metode Newton-Raphson

    3. Dengan Metode Secant