kelompok 3 word 2003

Tugas kelompok

“MODEL NON LINEAR HETEROSKEDASITAS”

KELOMPOK 3:

RISKA (H12113003)

HARTINA HUSAIN (H12113005)

NIRMALASARI (H12113010)

NURWASARI (H12113020)

RAEHANA (H12113003)

SARNIAH (H12113031)

NUR WAHIDAH ABDURRAUF (H12113034)

GEYSA FANDRILLA (H12113320)

PUTRI INDI RAHAYU (H12113501)

JURUSAN MATEMATIKA PRODI STATISTIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS HASANUDDIN

TAHUN AJARAN 2015/2016

MODEL NON LINEAR HETEROSKEDASITAS MENGGUNAKAN

MARQUARDT LEVENBERG

1. Model Non Linear

Model nonlinear merupakan bentuk hubungan antara peubah respon dengan

peubah penjelas yang tidak linear dalam parameter.

Suatu model dikatakan linear bila segugus data diplotkan dan terletak pada suatu

garis lurus. Tetapi bila segugus data tersebut tidak terletak pada suatu garis lurus

atau membentuk suatu kurva maka ini disebut model nonlinear.

dengan

yi : peubah respon ke-i

f(.) : fungsi nonlinear

xi : peubah penjelas respon ke-i

: parameter

: galat ke-i

diasumsikan saling bebas dan menyebar normal dengan nilai tengah 0 dan

ragam .

Salah satu contoh model non linear yaitu Model Produksi CES (Constant

Elasticity of Subtitutions). Elastisitas subtitusi adalah ukuran bagaimana

perusahaan dengan mudah mensubtitusikan satu input dengan input lainnya

untuk menjaga tingkat produksi pada level yang sama.

Model produksi CES didefinisikan sebagai berikut :

Dimana Y=output, x1 =input kapital, x2=input tenaga kerja,

2. Heteroskedasitas

1. Pengertian

Pengertian heteroskedastisitas adalah apabila kesalahan atau residual yang

diamati tidak memiliki varian yang konstan. Residual adalah faktor-faktor lain yang

terlibat akan tetapi tidak termuat dalam model. karena residual ini merupakan

variabel yang tidak diketahui, maka diasumsikan bahwa nilai residual bersifat acak.

Pada analisis regresi, heteroskedastisitas berarti situasi dimana keragaman

variabel independen bervariasi pada data yang kita miliki. Salah satu asumsi kunci

pada metode regresi biasa adalah bahwa error memiliki keragaman yang sama pada

tiap-tiap sampelnya. Asumsi inilah yang disebut homoskedastisitas. Jika keragaman

residual/error tidak bersifat konstan, data dapat dikatakan bersifat heteroskedastisitas.

Karena pada metode regresi ordinary least-squares (OLS) mengasumsikan

keragaman error yang konstan, heteroskedastisitas menyebabkan estimasi OLS

menjadi tidak efisien. Model yang memperhitungkan perubahan keragaman dapat

membuat penggunaan dan estimasi data menjadi lebih efisien.

Beberapa asumsi dalam model regresi yang terkait dengan heteroskedastisitas

antara lain adalah residual (e) memiliki nilai rata-rata nol, keragaman yang konstan,

dan residual pada model tidak saling berhubungan, sehingga estimator bersifat

BLUE. Jika asumsi ini dilanggar maka prediksi model yang dibuat tidak dapat

diandalkan.

http://statistik4life.blogspot.com/2009/11/regresi-linier-berganda.html

http://statistik4life.blogspot.com/2009/11/regresi-linier-berganda.html

Faktor penyebab heteroskedastisitas adalah sebagai berikut.

1. Error Learning Model

Sebagaimana adanya proses perbaikan yang dilakukan unit-unit ekonomi,

maka perilaku kesalahan menjadi lebih kecil dengan bertambahnya waktu. Dalam hal

ini diharapkan 2 menurun.

2. Perbaikan Dalam Pengumpulan Data

Dengan meningkatnya mutu tekhnik pengumpulan data, maka 2 diharapkan

menurun. Jadi sebuah bank yang mempunyai peralatan pemrosesan data yang canggih

cenderung melakukan kesalahan yang lebih sedikit pada laporan bulanan atau

kuartalan dibandingkan bank tanpa fasilitas tersebut.

3. Kesalahan spesifikasi model

Salah satu asumsi dalam analisis regresi adalah model dispesifikasi secara

benar. Jika satu variabel yang semestinya harus dimasukkan, tetapi karena suatu hal

variabel tersebut tidak dimasukkan, hal itu akan menyebabkan residual dari regresi

akan memberikan hasil yang berbeda dengan benar dan varians dari kesalahan tidak

konstan.

Gambar 2.1 Pola penyebaran residual pada persamaan regresi

Analogi sederhana pada kejadian heteroskedastisitas dapat kita lihat pada

model hubungan antara harga dengan permintaan (demand). Berdasarkan hipotesis

jika harga meningkat, maka demand akan turun, demikian juga sebaliknya. Pada

kejadian adanya indikasi masalah heteroskedastisitas adalah jika harga meningkat

maka demand akan konstan.

Uji heteroskedastisitas bertujuan menguji apakah dalam model regresi terjadi

ketidaksamaan veriance dari residual satu pengamatan ke pengamatan yang lain.

Dampak yang akan ditimbulkan adalah asumsi yang terjadi masih tetap tidak

berbias, tetapi tidak lagi efisien. Prasyarat yang harus terpenuhi dalam model regresi

adalah tidak adanya gejala heteroskedastisitas. Ada beberapa metode pengujian yang

bisa digunakan diantaranya yaitu uji Park, uji Glesjer, melihat pola grafik regresi, dan

uji koefisien korelasi Spearman.

Penanggulangan Heteroskedastisitas

1. Transformasi Logaritma Natural

http://ariyoso.files.wordpress.com/2009/12/hetero_1.jp

Transformasi dalam bentuk logaritma akan memperkecil skala dari observasi dan

kemungkinan besar varians juga akan semakin mengecil dan ada kemungkinan

homoskedastisitas terpenuhi.

2. Transformasi Dengan Membagi Persamaan Dengan Variabel Bebas

Jika model regresi yang telah diuji terdapat heteroskedastisitas maka salah satu

penanggulangannya dapat dilakukan dengan membagi persamaan regresi tersebut

dengan variabel bebas (independen) yang mengandung heteroskedastisitas.

3. Metode Numerik Marquardt Levenberg

Algoritma Levenberg–Marquardt

Algoritma Levenberg-marquardt merupakan pengembangan algoritma

backpropagation standar.Pada algoritma back propagation, proses update bobot

dan bias menggunakan negative gradient descent secara langsung sedangkan.

AlgoritmaLevenbergMarquardt menggunakan pendekatan matrik, Hesian (H)

yangdapatdihitungdengan,

H = JTe

sedangkan gradient dapatdigitungdengan,

g = JTJ

Dalamhal ini J merupakan sebuah matrik jacobian yang berisikan turunanan

pertama dari error jaringan terhadap bobot dan bias jaringan.

4. Aplikasi model non linear heteroskedasitas menggunakan Marquardt

Levenberg

EDITOR PROGRAM MATLAB UNTUK NON LINEAR LEAST SQUARE-FUNGSI PRODUKSI CES DENGAN MARQUARDT-LEVENBERG

ITERATIONS

% Nonlinear Least Square % CES Production Function% Marquardt-levenberg Iterations% Memerlukan file: f1, numgradf1, numgradS1 dan L1 % Program ini akan menaksir parameter b1, b2, b3 dan b4 yang ada pada CES Production Function % Q = b1.(b2.L^b3 + (1-b2).K^b3)^(b4/b3)

clear;

LKy=[5.4293 6.6871 8.1879 5.5530 5.5175 7.4104 6.7105 6.6477 8.9496 6.6425 6.2364 8.3695 6.2046 6.6307 8.5519 6.1883 6.0521 8.3299 6.5191 6.1137 8.4877 6.6174 6.7056 9.1260 6.5889 6.7393 8.7961 6.5439 6.8648 8.7941 6.1269 4.4308 6.8657 6.8886 3.0445 5.7132 6.6931 5.6870 8.1641 6.0615 5.6240 7.9482 5.4424 6.3026 8.1264 6.4983 4.8598 7.2432 6.4473 2.8332 5.2521 4.0775 6.8090 7.7220 6.6983 5.4072 8.0002 6.6307 4.9767 7.3157 3.9120 5.0814 5.9833 6.7130 1.7918 4.4132 6.1800 6.7286 8.7229 6.5250 6.2558 8.6233 4.7536 6.8352 7.8589 6.0868 6.2046 8.0981 6.1225 5.2204 7.5533 5.8348 4.5218 6.8249 5.8805 6.1841 8.2967 5.0876 6.8395 8.1922];

L = LKy(:,1) ; K = LKy(:,2) ; Q = LKy(:,3) ;

y = Q; x = [L K] ; T = length(x); tic ;

rep = 2000 ; b = [1.0; 0.5; 0.5; 0.5] ; % initial values of b k = length(b) ; e = eye(k) ; f = f1(b,x) ; S = (y-f)'*(y-f) ;

j1 = 0 ; j2 = 0 ; tn = 1 ; lamda = 10;

for i = 1:rep ; z = numgradf1(b,x); zS = numgradS1(b,x,y) ; step = -0.5*inv(z'*z + lamda*eye(k))*zS ; bnext = b + step ; fnext = f1(bnext,x) ; Snext = (y-fnext)'*(y-fnext) ;

while Snext < S & j1 <=100; step = step*tn; % Perubahan tn bnext = b+step; fnext = f1(bnext,x); Snext = (y-fnext)'*(y-fnext); j1 = j1+1; w1 = i; end;

while Snext > S & j2 <=100; step = step/tn; % Perubahan tn bnext = b+step; fnext = f1(bnext,x); Snext = (y-fnext)'*(y-fnext); j2 = j2+1; w2 = i; end;

if norm(bnext-b) <= 1e-9 & abs(S-Snext) <= 1e-9 disp('Sudah konvergen. Dengan jumlah iterasinya adalah:') ; disp(i) ; break ;

end ;

if i == rep disp('Belum konvergen, iterasinya perlu ditambah lagi.') ; disp('Atau ubahlah initial values-nya') ; disp(' ') ; end ;

b = bnext ; f = f1(b,x) ; S = (y-f)'*(y-f) ;

end ;

disp('Hasil dari penggunaan iterasi Marquardt-Levenberg adalah:') ;

[bnext' S]

t1 = toc ;

% Menentukan AIC dan SC % Menggunakan file L1.m LL = L1(b,x,y); AIC = abs(-2*LL+2*k); SC = abs(-2*LL+log(T)*k);

disp ('Nilai AIC dan SC adalah:'); [AIC SC] ………………………………………………………………………………………………………..%File f1.m function f = f1(b,x)

% f1 CES production function % f = f1(b,x)

L = x(:,1) ; K = x(:,2) ;

b1 = b(1,:); b2 = b(2,:); b3 = b(3,:); b4 = b(4,:);

f = b1*(b2*L.^b3 + (1-b2)*K.^b3).^(b4/b3);………………………………………………………………………………………………………..%File L1.m function LL = L1(b,x,y)

T = length(x); f = f1(b,x); s2 = ((y-f)'*(y-f))/T;

LL = -0.5*(log (2*pi*s2) + (y-f)'*(y-f)/s2); ………………………………………………………………………………………………………..%File Numgradf1.m function z = numgradf1(b,x)

% Numerical z (numerical gradient of

k = length(b); d = 1e-7; e = eye(k);

for j=1:k ; bplus = b + d*e(:,j); fplus = feval('f1',bplus,x) ; bmin = b - d*e(:,j) ; fmin = feval('f1',bmin,x) ; z(:,j)= (fplus - fmin)/(2*d); end; ………………………………………………………………………………………………………..%File Numgrads1.m function z = numgradS1(b,x,y)

% Numerical z (numerical gradient of L) % Output berupa vector dengan dimensi Kx1

k = length(b); d = 1e-6; e = eye(k);

for j=1:k;% Numerical gradients bplus = b + d*e(:,j) ; fplus = feval('f1',bplus,x) ; Splus = (y-fplus)'*(y-fplus); bmin = b - d*e(:,j) ; fmin = feval('f1',bmin,x) ; Smin = (y-fmin)'*(y-fmin); z(j,:) = (Splus - Smin)/(2*d); end; ………………………………………………………………………………………………………..OUTPUT PROGRAM MATLAB UNTUK NON LINEAR LEAST SQUARE - FUNGSI PRODUKSI CES DENGAN MARQUARDT-LEVENBERG ITERATIONS

Langkah 1, b = [ 1 0.8 0.8 0.9], tn =1

Sudah konvergen. Dengan jumlah iterasinya adalah:

449

Hasil dari penggunaan iterasi Marquardt-Levenberg adalah:

ans =

1.3724 0.3894 0.3100 0.9869 0.5073

Nilai AIC dan SC adalah:

ans =

35.7580 41.3628

Langkah 2, b = [ 1 0.7 0.7 0.8], tn =1


446


ans =

1.3724 0.3894 0.3100 0.9869 0.5073


ans =

35.7580 41.3628

Langkah 3, b = [ 1 0.6 0.6 0.8], tn =1


438


ans =

1.3724 0.3894 0.3100 0.9869 0.5073


ans =

35.7580 41.3628

Langkah 4, b = [ 1 0.5 0.6 0.7], tn =1


437


ans =

1.3724 0.3894 0.3100 0.9869 0.5073


ans =

35.7580 41.3628

Langkah 5, b = [ 1 0.5 0.6 0.6], tn =1


442


ans =

1.3724 0.3894 0.3100 0.9869 0.5073


ans =

35.7580 41.3628

Langkah 6, b = [ 1 0.8 0.8 0.9], tn =3


45


ans =

1.3724 0.3894 0.3100 0.9869 0.5073


ans =

35.7580 41.3628

Langkah 7, b = [ 1 0.7 0.7 0.8], tn =3


44


ans =

1.3724 0.3894 0.3100 0.9869 0.5073


ans =

35.7580 41.3628

Langkah 8, b = [ 1 0.5 0.6 0.7], tn =3


49


ans =

1.3724 0.3894 0.3100 0.9869 0.5073


ans =

35.7580 41.3628

Langkah 9, b = [ 1 0.5 0.6 0.6], tn =3


42


ans =

1.3724 0.3894 0.3100 0.9869 0.5073


ans =

35.7580 41.3628

Langkah 10, b = [ 1 0.8 0.8 0.9], tn =5


34


ans =

1.3724 0.3894 0.3100 0.9869 0.5073


ans =

35.7580 41.3628

Langkah 11, b = [ 1 0.7 0.7 0.8], tn =5


33


ans =

1.3724 0.3894 0.3100 0.9869 0.5073


ans =

35.7580 41.3628

Langkah 12, b = [ 1 0.5 0.6 0.7], tn =5


30


ans =

1.3724 0.3894 0.3100 0.9869 0.5073


ans =

35.7580 41.3628

Langkah 12, b = [ 1 0.5 0.6 0.6], tn =5


29


ans =

1.3724 0.3894 0.3100 0.9869 0.5073


ans =

35.7580 41.3628

kelompok 3 word 2003

Documents