kelas xii bab 1
TRANSCRIPT
![Page 1: Kelas xii bab 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062320/55c2cc99bb61ebe8588b4604/html5/thumbnails/1.jpg)
Integral Tak Tentudan
Integral Tertentu
![Page 2: Kelas xii bab 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062320/55c2cc99bb61ebe8588b4604/html5/thumbnails/2.jpg)
Pengertian Integral
• Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat F’(x) = f(x),
• maka F(x) merupakan antiturunan atau integral dari f(x).
![Page 3: Kelas xii bab 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062320/55c2cc99bb61ebe8588b4604/html5/thumbnails/3.jpg)
Pengintegralan fungsi f(x) terhadap x dinotasikan sebagai berikut :
• notasi integral (yang diperkenalkan oleh Leibniz, seorang matematikawan Jerman)
• f(x) fungsi integran• F(x) fungsi integral umum yang bersifat
F’(x) f(x)• c konstanta pengintegralan
cxFdxxf
![Page 4: Kelas xii bab 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062320/55c2cc99bb61ebe8588b4604/html5/thumbnails/4.jpg)
• Jika f ‘(x) = xn, maka , n ≠ -1, dengan c sebagai konstanta
cxn
xf n
1
1
1
![Page 5: Kelas xii bab 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062320/55c2cc99bb61ebe8588b4604/html5/thumbnails/5.jpg)
Integral Tak Tentu
• apabila terdapat fungsi F(x) yang dapat didiferensialkan pada interval sedemikian hingga maka antiturunan dari f(x) adalah F(x) + c
• Secara matematis, ditulis
cxFdxxf
![Page 6: Kelas xii bab 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062320/55c2cc99bb61ebe8588b4604/html5/thumbnails/6.jpg)
• di mana
• Lambang integral yang menyatakan operasi antiturunan
• f(x) Fungsi integran, yaitu fungsi yang dicari antiturunannya
• c Konstanta
dx
![Page 7: Kelas xii bab 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062320/55c2cc99bb61ebe8588b4604/html5/thumbnails/7.jpg)
Teorema 1
• Jika n bilangan rasional dan n ≠ 1, maka
, c adalah konstanta.
cxn
dxx nn
1
1
1
![Page 8: Kelas xii bab 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062320/55c2cc99bb61ebe8588b4604/html5/thumbnails/8.jpg)
Teorema 2
• Jika f fungsi yang terintegralkan dan k suatu konstanta, maka
dxxfkdxxkf
![Page 9: Kelas xii bab 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062320/55c2cc99bb61ebe8588b4604/html5/thumbnails/9.jpg)
Teorema 3
• Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka
dxxgdxxfdxxgxf
![Page 10: Kelas xii bab 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062320/55c2cc99bb61ebe8588b4604/html5/thumbnails/10.jpg)
Teorema 4
• Jika f dan g fungsi-fungsi yang terintegralkan, maka
dxxgdxxfdxxgxf
![Page 11: Kelas xii bab 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062320/55c2cc99bb61ebe8588b4604/html5/thumbnails/11.jpg)
Teorema 5
• Aturan integral substitusi
• Jika u suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dan r suatu bilangan rasional tak nol maka
, dimana c adalah konstanta dan r ≠ -1.
cxur
dxxuxu tr 1
1
1'
![Page 12: Kelas xii bab 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062320/55c2cc99bb61ebe8588b4604/html5/thumbnails/12.jpg)
Teorema 6
• Aturan integral parsial
• Jika u dan v fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka
vduuvudv
![Page 13: Kelas xii bab 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062320/55c2cc99bb61ebe8588b4604/html5/thumbnails/13.jpg)
Teorema 7
• Aturan integral trigonometri
• dimana c adalah konstanta.
cxx
cxxdx
cxxdx
tancos
1
cossin
sincos
2
![Page 14: Kelas xii bab 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062320/55c2cc99bb61ebe8588b4604/html5/thumbnails/14.jpg)
...)4( 2.1 52 dxxx
x
dudx
2
cxcuduu 62655 )4(6
1
6
1
2x
du2x u
) ...(1
2.2
3
2
latihanbuatx
dxx
METODE SUBTITUSI
Dalam menyelesaikan masalah integrasi pertama - tama kita mengusahakan mengubahnya menjadi bentuk rumus dasar dengan menggunakan variabel lain ( subtitusi )
Contoh :
Jawab :u = x2 + 4 du = 2x dx
![Page 15: Kelas xii bab 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062320/55c2cc99bb61ebe8588b4604/html5/thumbnails/15.jpg)
duvvuddvu .).(.
duvvudvu ...
duv dvu.
INTEGRAL PARSIAL
Misalkan u dan v fungsi yang differensiabel
terhadap x, maka :
d(u.v) = v.du + u.dv
u.dv = d(u.v) – v.du
harus lebih mudah dari
yang perlu diperhatikan pada metode ini adalah :(1). Bagian yang terpilih sebagai dv harus mudah diintegral.
(2).
![Page 16: Kelas xii bab 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062320/55c2cc99bb61ebe8588b4604/html5/thumbnails/16.jpg)
dxx ln dvu.
ln x u dxdux
1
dxx ln dx
Contoh :
=
Jawab :
dv = dx v = x
Jadi :
= xln x -
= x ln x – x + c
![Page 17: Kelas xii bab 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062320/55c2cc99bb61ebe8588b4604/html5/thumbnails/17.jpg)
nnnnn axaxaxaxa
12
21
10 ......
)(
)()(
xQ
xPxH
22
22)(
23
2
xxx
xxxH
INTEGRAL FUNGSI RASIONALSebuah polinom dalam x adalah sebuah fungsi berbentuk :
Fungsi H(x) disebut fungsi rasional jika :
dimana P(x) dan Q(x) adalah polinomJika derajat P(x) lebih rendah dari derajat Q(x), maka H(x) disebut “Rasional Sejati”Contoh :
![Page 18: Kelas xii bab 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062320/55c2cc99bb61ebe8588b4604/html5/thumbnails/18.jpg)
Sedangkan jika derajat P(x) lebih tinggi dari derajat Q(x),
maka H(x) disebut “Rasional Tidak Sejati”
Contoh :
4
2336
4
1310)(
22
2
24
x
xx
x
xxxxH
Untuk menyelesaikan integral dalam bentuk fungsi rasional,
)(
)(
xQ
xP : ditulis sebagai jumlah dari bagian yang lebih
sederhana dengan menguraikan Q(x) dalam hasil
kali faktor-faktor linier atau kuadratis, yaitu :
![Page 19: Kelas xii bab 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062320/55c2cc99bb61ebe8588b4604/html5/thumbnails/19.jpg)
)).....()(()( 21 naxaxaxxQ
)(.....
)()()(
)(
2
2
1
1
n
n
ax
A
ax
A
ax
A
xQ
xP
naxxQ )()(
nn
ax
A
ax
A
ax
A
xQ
xP
)(.....
)()()(
)(2
21
))(()( 22 fexdxcbxaxxQ
)()()(
)(22 fexdx
DCx
cbxax
BAx
xQ
xP
1. Faktor Q(x) semua linier dan tak berulang,
, maka :
2. Faktor Q(x) semua linier berulang,
, maka :
3. Q(x) adalah kuadratis,
, maka :
![Page 20: Kelas xii bab 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062320/55c2cc99bb61ebe8588b4604/html5/thumbnails/20.jpg)
....
2
)1(.1
2dx
xx
x
)1)(2(
)2()1(
12)1)(2(
1
xx
xBxA
x
B
x
A
xx
x
dx
xx
x
2
)1(2 23
1
x
dx 13
2
x
dx
cxx |1|ln3
2|2|ln
3
1
contoh :
jawab :
x = 2 2 – 1 = A(2+1) 1 = 3A A = 1/3
x = -1 -1 – 1 = B(-1-2) -2= -3B B = 2/3
Jadi,
+
=
![Page 21: Kelas xii bab 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062320/55c2cc99bb61ebe8588b4604/html5/thumbnails/21.jpg)
....
12
)1(.2
2dx
xx
x
222 )1(
)1(
)1(1)1(
1
x
BxA
x
B
x
A
x
x
dx
xx
x
12
)1(2 1x
dx 2)1(
2x
dx
cx
x
)1(
2|1|ln
x = 1 1 + 1 = B B = 2
mis, x = 0 0 +1 = A(0 – 1) + B 1 = - A + 2 A = 1
Jadi,
+
![Page 22: Kelas xii bab 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062320/55c2cc99bb61ebe8588b4604/html5/thumbnails/22.jpg)
,222 xba atauxba ,222 222 axb
222 xba zb
ax sin zaxba cos 222
222 xba ztgb
ax zaxba sec 222
222 axb zb
ax sec ztgaaxb 222
SUBTITUSI TRIGONOMETRI
Jika Integran mengandung salah satu dari bentuk : ,
dan tidak memiliki faktor irrasional lainnya, maka dapat ditransformasikan ke dalam fungsi trigonometri dengan menggunakan variabel baru :
Bentuk Subtitusi Memperoleh
![Page 23: Kelas xii bab 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062320/55c2cc99bb61ebe8588b4604/html5/thumbnails/23.jpg)
....49
.12
dxx
x
zx sin2
3 zdzdx cos
2
3 cos 349 2 zx
dzz
zdzz
z
zdx
x
x
sin
cos3) cos
2
3(
sin23
cos349 22
dzzdzzec sin3 cos3
cxx
x
2
2
49|2
493|ln3
contoh :
jawab :
,
Jadi,
= 3 ln |cosec z – ctg z| + 3 cos z + c
dzz
z
sin
sin13
2
![Page 24: Kelas xii bab 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062320/55c2cc99bb61ebe8588b4604/html5/thumbnails/24.jpg)
....4
.222 xx
dx
ztgx 2 zdzdx 2sec2 sec24 2 zx
22 4 xx
dx dz
zztg
z
)sec2)(4(
sec22
2
dzz
z2sin4
cos
z
zd2sin
)(sin
4
1c
z
sin4
1c
x
x
4
4 2
jawab :
,
Jadi,
![Page 25: Kelas xii bab 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062320/55c2cc99bb61ebe8588b4604/html5/thumbnails/25.jpg)
• Integral tertentu adalah integral dari suatu fungsi yang
nilai-nilai variabel bebasnya (memiliki batas-batas)
tertentu.
• Jika fungsi terdefinisi pada interval tertutup [a,b] , maka
integral tertentu dari a ke b dinyatakan oleh : • Dimana :
• f(x) : integran
a : batas bawah
b : batas atas
Integral TerTentu
b
a
dxxf )(
![Page 26: Kelas xii bab 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062320/55c2cc99bb61ebe8588b4604/html5/thumbnails/26.jpg)
KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU
)()()()( aFbFxFdxxfb
a
b
a
6,6183231255
1
255
1
5
1
5555
25
5
2
5
2
54
xx
dxx
a
a
dxxf 0)(
032325
1
225
1
5
1
5552
25
2
2
2
2
54
xx
dxx
b
a
a
b
dxxfdxxf )()(
6,6183125325
1
525
1
5
1
5552
55
2
5
2
5
54
xx
dxx
![Page 27: Kelas xii bab 1](https://reader036.vdokumen.com/reader036/viewer/2022062320/55c2cc99bb61ebe8588b4604/html5/thumbnails/27.jpg)
KAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTUKAIDAH-KAIDAH INTEGRASI TERTENTU
b
a
b
a
dxxfkdxxkf )()( 3093323125
5
1.5
555
5
25
5
2
5
2
54
x
xdxx
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()( 6,7111.330936,618
555
2
5
2
5
2
4444
dxxdxxdxxx
c
a
b
c
b
a
dxxfdxxfdxxf )()()( 6,6183
2
5
3
5
2
444 dxxdxxdxx