kelas 07 smp matematika guru

MATEMATIKABuku Guru

SMP/MTs

VIIKELAS

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN KEBUDAYAANREPUBLIK INDONESIA2013

Buku Guru Kelas VII SMP/MTsii

Hak Cipta 2013 pada Kementerian Pendidikan dan KebudayaanDilindungi Undang-Undang

MILIK NEGARATIDAK DIPERDAGANGKAN

Disklaimer: Buku ini merupakan buku guru yang dipersiapkan Pemerintah dalam rangka implementasi Kurikulum 2013. Buku guru ini disusun dan ditelaah oleh berbagai pihak di bawah koordinasi Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, dan dipergunakan dalam tahap awal penerapan Kurikulum 2013. Buku ini merupakan dokumen hidup yang senantiasa diperbaiki, diperbaharui, dan dimutakhirkan sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Masukan dari berbagai kalangan diharapkan dapat meningkatkan kualitas buku ini.

Katalog Dalam Terbitan (KDT)

Indonesia. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.Matematika : buku guru/Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.--

Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 2013. xxii, 602 hlm. : ilus. ; 25 cm.

Untuk SMP/MTs Kelas VIIISBN 978-602-282-083-3 (jilid lengkap) ISBN 978-602-282-084-0 (jilid 1)

1.Matematika -- Studi dan Pengajaran I. JudulII. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan

510

Kontributor Naskah : Bornok Sinaga, Pardomuan J.N.M.S Sinambela, Andri Kristianto Sitanggang, Tri Andri Hutapea, Sudianto Manullang, Lasker Pengarapan Sinaga, Mangara Simanjorang, Nuniek Afianti Agus, Ichwan Budi Utomo, Swida Purwanto, Lambas, Aris Hadiyan, dan Pinta Deniyanti.

Penelaah : Sisworo dan Agung Lukito.Penyelia Penerbitan : Politeknik Negeri Media Kreatif, Jakarta.

Cetakan Ke-1, 2013Disusun dengan huruf Times New Roman, 11 pt.

Book 1.indb 2 6/20/13 11:00 PM

Matematika iii

Kata Pengantar Matematika adalah bahasa universal untuk menyajikan gagasan atau pengetahuan secara

formal dan presisi sehingga tidak memungkinkan terjadinya multi tafsir. Penyampaiannya adalah dengan membawa gagasan dan pengetahuan konkret ke bentuk abstrak melalui pendefinisian variabel dan parameter sesuai dengan yang ingin disajikan. Penyajian dalam bentuk abstrak melalui matematika akan mempermudah analisis dan evaluasi selanjutnya.

Permasalahan terkait gagasan dan pengetahuan yang disampaikan secara matematis akan dapat diselesaikan dengan prosedur formal matematika yang langkahnya sangat presisi dan tidak terbantahkan. Karenanya matematika berperan sebagai alat komunikasi formal paling efisien. Perlu kemampuan berpikir kritis-kreatif untuk menggunakan matematika seperti uraian diatas: menentukan variabel dan parameter, mencari keterkaitan antar variabel dan dengan parameter, membuat dan membuktikan rumusan matematika suatu gagasan, membuktikan kesetaraan antar beberapa rumusan matematika, menyelesaikan model abstrak yang terbentuk, dan mengkonkretkan nilai abstrak yang diperoleh.

Buku Matematika Kelas X untuk Pendidikan Menengah ini disusun dengan tujuan memberi pengalaman konkret-abstrak kepada peserta didik seperti uraian diatas. Pembelajaran matematika melalui buku ini akan membentuk kemampuan peserta didik dalam menyajikan gagasan dan pengetahuan konkret secara abstrak, menyelesaikan permasalahan abstrak yang terkait, dan berlatih berfikir rasional, kritis dan kreatif.

Sebagai bagian dari Kurikulum 2013 yang menekankan pentingnya keseimbangan kompetensi sikap, pengetahuan dan keterampilan, kemampuan matematika yang dituntut dibentuk melalui pembelajaran berkelanjutan: dimulai dengan meningkatkan pengetahuan tentang metode-metode matematika, dilanjutkan dengan keterampilan menyajikan suatu permasalahan secara matematis dan menyelesaikannya, dan bermuara pada pembentukan sikap jujur, kritis, kreatif, teliti, dan taat aturan.

Buku ini menjabarkan usaha minimal yang harus dilakukan peserta didik untuk mencapai kompetensi yang diharapkan. Sesuai dengan pendekatan yang dipergunakan dalam Kurikulum 2013, peserta didik diberanikan untuk mencari dari sumber belajar lain yang tersedia dan terbentang luas di sekitarnya. Peran guru sangat penting untuk meningkatkan dan menyesuaikan daya serap peserta didik dengan ketersedian kegiatan pada buku ini. Guru dapat memperkayanya dengan kreasi dalam bentuk kegiatan-kegiatan lain yang sesuai dan relevan yang bersumber dari lingkungan sosial dan alam.

Sebagai edisi pertama, buku ini sangat terbuka dan terus dilakukan perbaikan dan penyempurnaan. Untuk itu, kami mengundang para pembaca memberikan kritik, saran dan masukan untuk perbaikan dan penyempurnaan pada edisi berikutnya. Atas kontribusi tersebut, kami ucapkan terima kasih. Mudah-mudahan kita dapat memberikan yang terbaik bagi kemajuan dunia pendidikan dalam rangka mempersiapkan generasi seratus tahun Indonesia Merdeka (2045).

Jakarta, Mei 2013

Menteri Pendidikan dan Kebudayaan

Mohammad Nuh

Book 1.indb 3 6/20/13 11:00 PM

Buku Guru Kelas VII SMP/MTsiv

Bapak, Ibu guru kami yang terhormat, banyak hal yang sudah kita lakukan sebagai usaha membelajarkan peserta didik dengan harapan, mereka berketuhanan, berperikemanusiaan, berpengetahuan, dan berketerampilan melalui pendidikan matematika. Harapan dan tugas mulia ini cukup berat, menuntut tanggung jawab yang tidak habis-habisnya dari generasi ke generasi.

Banyak masalah pembelajaran matematika yang kita hadapi, bagaikan menelusuri sebuah lingkaran dengan titik-titik masalah yang tak berhingga banyaknya. Tokoh pendidikan matematika Soedjadi dan Yansen Marpaung menyatakan, kita harus berani memilih/menetapkan tindakan dan menghadapi resiko untuk meningkatkan kualitas pendidikan matematika di setiap sekolah tempat guru melaksanakan tugas profesionalitasnya. Artinya, guru sebagai orang yang pertama dan yang utama bertindak sebagai pengembang kurikulum yang mengenal karakteristik siswa dengan baik, dituntut bekerjasama memikirkan jalan keluar permasalahan yang terjadi. Pola pembelajaran yang bagaimana yang sesuai dengan karakteristik matematika dan karakteristik peserta didik di sekolah Bapak/Ibu ?.

Salah satu alternatif, kita akan mengembangkan pembelajaran matematika berbasis paham konstruktivisme. Buah pikiran ini didasari prinsip bahwa: (1) setiap anak lahir di bumi, mereka telah memiliki potensi, (2) cara berpikir, bertindak, dan persepsi setiap orang dipengaruhi budaya, (3) matematika adalah produk budaya, yaitu hasil konstruksi sosial dan sebagai alat pemecahan masalah kehidupan, dan (4) matematika adalah hasil abstraksi pikiran manusia. Untuk itu diperlukan perangkat pembelajaran, media pembelajaran, asesmen otentik dalam pelaksanaan proses pembelajaran di kelas.

Model pembelajaran yang menganut paham konstruktivistik yang relevan dengan karakteristik matematika dan tujuan pembelajaran matematika cukup banyak, seperti (1) model pembelajaran berbasis masalah, (2) pembelajaran kontekstual, (3) pembelajaran kooperatif dan banyak model pembelajaran lainnya. Bapak/Ibu dapat mempelajarinya secara mendalam melalui aneka sumber pembelajaran.

Pokok bahasan yang dikaji dalam buku petunjuk guru ini, antara lain: (1) eksponen dan logaritma, (2) persamaan dan pertidaksamaan linier, (3) sistem persamaan dan pertidaksamaan linier, (4) matriks, (5) relasi dan fungsi, (6) barisan dan deret, (7) persamaan dan fungsi kuadrat, (8) limit dan (9) peluang yang tertera dalam kurikulum 2013. Berbagai konsep, aturan dan sifat-sifat dalam matematika ditemukan melalui pemecahan masalah nyata, media pembelajaran, yang terkait dengan materi yang diajarkan. Seluruh materi yang diajarkan berkiblat pada pencapaian kompetensi yang ditetapkan dalam kurikulum matematika 2013. Semua petunjuk yang diberikan dalam buku ini hanyalah pokok-pokoknya saja. Oleh karena itu, Bapak dan Ibu guru dapat mengembangkan dan menyesuaikan dengan keadaan dan suasana kelas saat pembelajaran berlangsung.

Akhirnya, tidak ada gading yang tak retak. Rendahnya kualitas pendidikan matematika adalah masalah kita bersama. Kita telah diberi talenta yang beragam, seberapa besar buahnya yang dapat kita persembahkan padaNya. Taburlah rotimu di lautan tanpa batas, percayalah kamu akan mendapat roti sebanyak pasir di tepi pantai. Mari kita lakukan tugas mulia ini sebaik-baiknya, semoga buku petunjuk guru ini dapat digunakan dan bermanfaat dalam pelaksanaan proses pembelajaran matematika di sekolah.

Jakarta, Pebruari 2013 Tim Penulis

SURAT BUAT GURU

Book 1.indb 4 6/20/13 11:00 PM

Matematika v

Kata Pengantar ................................................................................................................... iiiSurat untuk Guru ................................................................................................................ ivDaftar Isi ............................................................................................................................. vDeskripsi Singkat Model Pembelajaran Berbasis Konstruktivis ......................................... xPedoman Penyusunan Rencana Pembelajaran ................................................................. xvFase Konstruksi Matematika .............................................................................................. xxContoh Analisis Topik ......................................................................................................... xxiPeta Konsep Matematika SMP Kelas VII ........................................................................... xxii

Bab I Himpunan .......................................................................................................... 1 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................. 1 B. Peta Konsep ............................................................................................. 2 C. Materi Pembelajaran ................................................................................... 3 1. Menemukan Konsep Himpunan ......................................................... 3 2. Penyajian Himpunan ........................................................................... 13 3. Menemukan Konsep Himpunan Semesta dan Diagram Venn ........... 14 4. Kardinalitas Himpunan ........................................................................ 20 5. Menemukan Konsep Himpunan Kosong ............................................ 23 6. Relasi himpunan ................................................................................. 25 a. Menemukan Konsep Himpunan Bagian ..................................... 25 b. Himpunan Kuasa ........................................................................ 32 c. Kesamaan Dua Himpunan .......................................................... 38 Uji Kompetensi 1.1 ............................................................................................. 45 7. Operasi Himpunan .............................................................................. 47 a. Irisan (intersection) ..................................................................... 47 b. Gabungan (Union) ...................................................................... 59 c. Komplemen (Complement) ......................................................... 67 d. Selisih (Difference) ...................................................................... 75 e. Sifat-sifat Operasi Himpunan ...................................................... 82 f. Penyederhanaan Operasi Himpunan ......................................... 89 Uji Kompetensi 1.2 ............................................................................................. 91 D. Penutup ...................................................................................................... 95

Bab II Bilangan ............................................................................................................ 98 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................. 98 B. Peta Konsep ............................................................................................. 99 C. Materi Pembelajaran ................................................................................... 100 1. Menemukan Konsep Bilangan Bulat ................................................... 100 2. Operasi Bilangan Bulat ....................................................................... 103 a. Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Bulat ......................... 103 Uji Kompetensi 2.1 ............................................................................................. 123 b. Perkalian dan Pembagian Bilangan Bulat .................................. 125

DAFTAR ISI

Book 1.indb 5 6/20/13 11:00 PM

Buku Guru Kelas VII SMP/MTsvi

Uji Kompetensi 2.2 ............................................................................................. 145 3. Menggunakan Faktor Prima dan Faktorisasi untuk Memecahkan Masalah Sehari-hari yang Berkaitan dengan FPB dan KPK .............. 147 a. Menemukan Konsep Bilangan Bulat Habis dibagi Bilangan Bulat ..................................................................................... 147 b. Menemukan Konsep Faktor-Faktor Bilangan Bulat ............ 149 c. Menemukan konsep Bilangan Prima .................................. 151 d. Menemukan Konsep Faktor Prima dan Faktorisasi Prima dari Bilangan Bulat .............................................................. 153 e. Menemukan Konsep Kelipatan Bilangan Bulat ................... 156 f. Faktor Persekutuan dan Kelipatan Persekutuan Bilangan Bilangan Bulat ..................................................................... 156 g. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) ........................................... 159 h. Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) ................................ 164 i. Menentukan FPB dan KPK beberapa Bilangan .................. 170 Uji Kompetensi 2.3 ............................................................................................. 171 4. Perpangkatan Bilangan bulat ............................................................. 173 a. Pangkat Bulat Positif ........................................................... 175 b. Pangkat Nol ......................................................................... 176 c. Sifat-Sifat Pangkat Bulat Positif ........................................... 176 5. Pola Bilangan Bulat ............................................................................ 184 a. Pola Bilangan Segitiga ................................................................ 193 b. Pola Bilangan Persegi ................................................................ 195 c. Pola Bilangan Persegi Panjang .................................................. 197 d. Pola Bilangan pada Segitiga Pascal ........................................... 198 Uji Kompetensi 2.4 ............................................................................................. 201 6. Menemukan Konsep Bilangan Pecahan ............................................. 203 a. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan .................................. 204 1) Penjumlahan Pecahan ........................................................ 204 2) Pengurangan Pecahan ....................................................... 206 Uji Kompetensi 2.5 ............................................................................................. 209 3) Perkalian Bilangan Pecahan ............................................... 210 4) Pembagian Pecahan ........................................................... 226 Uji Kompetensi 2.6 ............................................................................................. 241 7. Bilangan Rasional ............................................................................... 245 Uji Kompetensi 2.7 ............................................................................................. 251 Penutup ............................................................................................................... 251

Bab III Garis dan Sudut ............................................................................................. 254 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................. 254 B. Peta konsep ............................................................................................. 255 C. Materi Pembelajaran ................................................................................... 256 1. Menemukan Konsep Titik, Garis, dan Bidang ..................................... 256 2. Kedudukan garis ................................................................................. 260 3. Menemukan Konsep Sudut ................................................................ 269 a. Ukuran Sudut dalam Derajat .................................................... 270

Book 1.indb 6 6/20/13 11:00 PM

Matematika vii

b. Penamaan Sudut ..................................................................... 272 Uji Kompetensi 3.1 ............................................................................................. 279 4. Hubungan Antar Sudut ....................................................................... 281 a. Sudut yang Saling Bertolak Belakang ........................................ 281 b. Sudut yang Terbentuk oleh Dua Garis Sejajar yang Dipotong oleh Garis Lain ............................................................................ 283 c. Sudut-sudut Sehadap ................................................................. 286 d. Sudut-sudut dalam Sepihak dan Luar Sepihak .......................... 288 e. Sudut-sudut dalam Berseberangan dan Luar Berseberangan ... 291 Uji Kompetensi 3.2 ............................................................................................. 294 D. Penutup .......................................................................................................... 296

Bab IV Segiempat dan Segitiga ................................................................................... 298 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................. 298 B. Peta Konsep ............................................................................................. 299 C. Materi Pembelajaran ................................................................................... 300 1. Menemukan Sifat-sifat Segiempat untuk Menentukan Keliling dan ... Luasnya ............................................................................................. 300 a. Persegi Panjang dan Persegi ..................................................... 301 Uji Kompetensi 4.1 ............................................................................................. 314 2. Segitiga ............................................................................................. 316 a. Luas dan Keliling Segitiga ........................................................... 316 b. Jumlah Sudut-Sudut Segitiga ...................................................... 335 c. Sudut Luar dan Sudut Dalam Suatu Segitiga .............................. 338 Uji Kompetensi 4.2 ............................................................................................. 339 3. Trapesium ........................................................................................... 343 4. Jajar Genjang ..................................................................................... 351 Uji Kompetensi 4.3 ............................................................................................. 357 5. Belah Ketupat ..................................................................................... 358 6. Layang-layang .................................................................................... 366 7. Luas Bangun Tidak Beraturan ............................................................ 371 Uji Kompetensi 4.4 ............................................................................................. 372 Penutup .............................................................................................................. 374

Bab V Perbandingan dan Skala .................................................................................. 376 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................. 376 B. Peta Konsep ............................................................................................. 377 C. Materi Pembelajaran ................................................................................... 378 1. Menemukan Perbandingan ................................................................. 378 Uji Kompetensi 5.1 ............................................................................................. 393 2. Jenis-jenis Perbandingan ................................................................... 396 a. Perbandingan Senilai .................................................................. 396

Book 1.indb 7 6/20/13 11:00 PM

Buku Guru Kelas VII SMP/MTsviii

b. Perbandingan Berbalik Nilai ....................................................... 406 Uji Kompetensi 5.2 ............................................................................................. 417 3. Skala sebagai Perbandingan .............................................................. 421 a. Konsep Skala ............................................................................... 421 b. Operasi Hitung Menggunakan Perbandingan dan Skala ............. 426 Uji Kompetensi 5.3 ............................................................................................. 429 D. Penutup ...................................................................................................... 431

Bab VI Persamaan dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel ................................. 433 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................. 433 B. Peta Konsep ............................................................................................. 434 C. Materi Pembelajaran ................................................................................... 435 1. Menemukan Konsep Persamaan Linear Satu Variabel ...................... 435 a. Menemukan Konsep Kalimat Tertutup ........................................ 435 b. Menemukan Konsep Kalimat Terbuka ........................................ 437 c. Menemukan Konsep Persamaan Linear Satu Variabel .............. 440 Uji Kompetensi 6.1 ............................................................................................. 445 2. Bentuk Setara (Ekuivalen) Persamaan Linear Satu Variabel ..................... 446

Uji Kompetensi 6.2 ............................................................................................. 456 3. Pertidaksamaan Linear ....................................................................... 458 a. Menemukan Konsep Pertidaksamaan Linear ............................ 458 b. Menyelesaikan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel ............... 462 Uji Kompetensi 6.3 .............................................................................................. 470 D. Penutup ...................................................................................................... 472

Bab VII Aritmatika Sosial ............................................................................................. 474 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar ............................................... 474 B. Peta Konsep ............................................................................................. 475 C. Materi Pembelajaran ................................................................................... 476 1. Nilai Suatu Barang .............................................................................. 476 2. Harga penjualan, Pembelian, Untung, dan Rugi ................................ 478 Uji Kompetensi 7.1 ............................................................................................. 488 3. Diskon, Pajak, Bruto, Tara, dan Netto ................................................. 490 4. Bunga Tunggal .................................................................................... 492 Uji Kompetensi 7.2 ............................................................................................. 495 D. Penutup ...................................................................................................... 497

Bab VIII Transformasi ..................................................................................................... 499 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................. 499 B. Peta Konsep ............................................................................................. 500 C. Materi Pembelajaran ................................................................................... 501 1. Memahami dan menemukan Konsep Translasi (Pergeseran) ............ 501 2. Memahami dan Menemukan Konsep Refleksi (Pencerminan) ........... 506 3. Memahami dan Menemukan konsep Rotasi (Perputaran) ................. 512

Book 1.indb 8 6/20/13 11:00 PM

Matematika ix

4. Memahami dan Menemukan Konsep Dilatasi (Perkalian) .................. 516 Uji Kompetensi 8.1 ............................................................................................. 521 D. Penutup ...................................................................................................... 525

Bab IX Statistika ............................................................................................................ 527 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................. 527 B. Peta Konsep ............................................................................................... 528 C. Materi Pembelajaran ................................................................................... 529 1. Menemukan Konsep Data .................................................................. 529 2. Pengumpulan Data ............................................................................. 522 3. Pengolahan Data ................................................................................ 538 a. Rata-rata (mean) ........................................................................ 538 b. Median (Me) ................................................................................ 542 c. Modus (mo) ................................................................................. 545 4. Penyajian Data ................................................................................... 546 a. Penyajian Data dalam Bentuk Tabel ........................................... 546 b. Penyajian Data dengan Diagram Batang ................................... 548 c. Penyajian Data dengan Diagram Lingkaran ............................... 550 d. Penyajian Data dengan Grafik Garis .......................................... 552 Uji Kompetensi 9.1 ...................................................................... 554 D. Penutup ...................................................................................................... 556

Bab X Peluang ................................................................................................................... 558 A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar .............................................. 558 B. Peta Konsep ............................................................................................. 559 C. Materi Pelajaran .......................................................................................... 560 1. Konsep Ruang Sampel ....................................................................... 560 a. Kejadian Tunggal ........................................................................ 560 b. Kejadian Majemuk ...................................................................... 562 2. Konsep Peluang .................................................................................. 570 Uji Kompetensi 10.1 .................................................................................... 574 3. Komplemen Kejadian ........................................................................... 575 Uji Kompetensi 10.2 ............................................................................ 579 D. Penutup ........................................................................................................581Petunjuk Teknis Pelaksanaan Remedial dan Pengayaan ................................................... 582Daftar Pustaka .................................................................................................................... 600

Book 1.indb 9 6/20/13 11:00 PM

Buku Guru Kelas VII SMP/MTsx

DESKRIPSI SINGKAT MODEL PEMBELAJARAN BERBASIS KONSTRUKTIVISTIK

Model pembelajaran yang diterapkan dalam buku ini, dilandasi teori pembelajaran yang menganut paham konstruktivistik yang memberi perhatian pada aspek-aspek kognisi dan mengangkat berbagai masalah real world yang sangat mempengaruhi aktivitas dan perkembangan mental siswa selama proses pembelajaran dengan prinsip bahwa, (1) setiap anak lahir di bumi, mereka telah memiliki potensi, (2) cara berpikir, bertindak, dan persepsi setiap orang dipengaruhi nilai budayanya, (3) matematika adalah hasil konstruksi sosial dan sebagai alat penyelesaian masalah kehidupan, dan (4) matematika adalah hasil abstraksi pikiran manusia.

Pembelajaran matematika yang diharapkan dalam praktek pembelajaran di kelas adalah (1) pembelajaran berpusat pada aktivitas siswa, (2) siswa diberi kebebasan berpikir memahami masalah, membangun strategi penyelesaian masalah, mengajukan ide-ide secara bebas dan terbuka, (3) guru melatih dan membimbing siswa berpikir kritis dan kreatif dalam menyelesaikan masalah, (4) upaya guru mengorganisasikan bekerjasama dalam kelompok belajar, melatih siswa berkomunikasi menggunakan grafik, diagram, skema, dan variabel, (5) seluruh hasil kerja selalu dipresentasikan di depan kelas untuk menemukan berbagai konsep, hasil penyelesaian masalah, aturan matematika yang ditemukan melalui proses pembelajaran.

Rancangan model pembelajaran yang diterapkan mengikuti 5 (lima) komponen utama model pembelajaran yang dijabarkan sebagai berikut.

1. Sintaks

Pengelolaan pembelajaran terdiri 5 tahapan pembelajaran, yaitu:

a. Apersepsi

Tahap apersepsi diawali dengan menginformasikan kepada siswa kompetensi dasar dan indikator yang akan dicapai siswa melalui pembelajaran materi yang akan diajarkan. Kemudian guru menumbuhkan persepsi positif dan motivasi belajar pada diri siswa melalui pemaparan manfaat materi matematika yang dipelajari dalam penyelesaian masalah kehidupan serta meyakinkan siswa, jika siswa terlibat aktif dalam merekonstruksi konsep dan prinsip matematika melalui penyelesaian masalah yang bersumber dari fakta dan lingkungan kehidupan siswa dengan

Book 1.indb 10 6/20/13 11:00 PM

Matematika xi

strategi penyelesaian yang menerapkan pola interaksi sosial yang pahami siswa dan guru. Dengan demikian, siswa akan lebih baik menguasai materi yang diajarkan, imformasi baru berupa pengetahuan lebih bertahan lama di dalam ingatan siswa, dan pembelajaran lebih bermakna sebab setiap informasi baru dikaitkan dengan apa yang diketahui siswa dan menunjukkan secara nyata kegunaan konsep dan prinsip matematika yang dipelajari dalam kehidupan.

b. Interaksi Sosial di antara Siswa, Guru, dan Masalah

Pada tahap orientasi masalah dan penyelesaian masalah, guru meminta siswa mencoba memahami masalah dan mendiskusikan hasil pemikiran melalui belajar kelompok. Pembentukan kelompok belajar menerapkan prinsip kooperatif, yakni keheterogenan anggota kelompok dari segi karakteristik (kemampuan dan jenis kelamin) siswa, berbeda budaya, berbeda agama dengan tujuan agar siswa terlatih bekerjasama, berkomunikasi, menumbuhkan rasa toleransi dalam perbedaan, saling memberi ide dalam penyelesaian masalah, saling membantu dan berbagi informasi. Guru memfasilitasi siswa dengan buku siswa, Lembar Aktivitas Siswa (LAS) dan Asesmen Otentik. Selanjutnya guru mengajukan permasalahan matematika yang bersumber dari lingkungan kehidupan siswa. Guru menanamkan nilai-nilai matematis (jujur, konsisten, tangguh menghadapi masalah) dan nilai-nilai budaya agar para siswa saling berinteraksi secara sosio kultural, memotivasi dan mengarahkan jalannya diskusi agar lebih efektif, serta mendorong siswa bekerjasama.

Selanjutnya, guru memusatkan pembelajaran pada siswa dalam kelompok belajar untuk menyelesaikan masalah. Guru meminta siswa memahami masalah secara individu dan mendiskusikan hasil pemikirannya dalam kelompok, dan dilanjutkan berdialog secara interaktif (berdebat, bertanya, mengajukan ide-ide, berdiskusi) dengan kelompok lain dengan arahan guru. Antar anggota kelompok saling bertanya-jawab, berdebat, merenungkan hasil pemikiran teman, mencari ide dan jalan keluar penyelesaian masalah. Setiap kelompok memadu hasil pemikiran dan menuangkannya dalam sebuah LAS yang dirancang guru. Jika semua anggota kelompok mengalami kesulitan memahami dan menyelesaikan masalah, maka salah seorang dari anggota kelompok bertanya pada guru sebagai panutan. Selanjutnya guru memberi scaffolding, yaitu berupa pemberian petunjuk, memberi kemudahan pengerjaan siswa, contoh analogi, struktur, bantuan jalan keluar sampai saatnya siswa dapat mengambil alih tugas-tugas penyelesaian masalah.

Book 1.indb 11 6/20/13 11:00 PM

Buku Guru Kelas VII SMP/MTsxii

c. Mempresentasikan dan Mengembangkan Hasil Kerja

Pada tahapan ini, guru meminta salah satu kelompok mempresentasikan hasil kerjanya di depan kelas dan memberi kesempatan pada kelompok lain memberi tanggapan berupa kritikan disertai alasan-alasan, masukan bandingan pemikiran. Sesekali guru mengajukan pertanyaan menguji pemahaman/penguasaan penyaji dan dapat ditanggapi oleh kelompok lain. Kriteria untuk memilih hasil diskusi kelompok yang akan dipresentasikan antara lain: jawaban kelompok berbeda dengan jawaban dari kelompok lain, ada ide penting dalam hasil diskusi kelompok yang perlu mendapat perhatian khusus. Dengan demikian kelompok penyaji bisa lebih dari satu. Selama presentasi hasil kerja, guru mendorong terjadinya diskusi kelas dan mendorong siswa mengajukan ide-ide secara terbuka dengan menanamkan nilai soft skill.

Tujuan tahapan ini adalah untuk mengetahui keefektifan hasil diskusi dan hasil kerja kelompok pada tahapan sebelumnya. Dalam penyajiannya, kelompok penyaji akan diuji oleh kelompok lain dan guru tentang penguasaan dan pemahaman mereka atas penyelesaian masalah yang dilakukan. Dengan cara tersebut dimungkinkan tiap-tiap kelompok mendapatkan pemikiran-pemikiran baru dari kelompok lain atau alternatif jawaban yang lain yang berbeda. Sehingga pertimbangan-pertimbangan secara objektif akan muncul di antara siswa. Tujuan lain tahapan ini adalah melatih siswa terampil menyajikan hasil kerjanya melalui penyampaian ide-ide di depan umum (teman satu kelas). Keterampilan mengomunikasikan ide-ide tersebut adalah salah satu kompetensi yang dituntut dalam pembelajaran berdasarkan masalah, untuk memampukan siswa berinteraksi/berkolaborasi dengan orang lain.

d. Temuan Objek Matematika dan Penguatan Skemata Baru

Objek-objek matematika berupa model (contoh konsep) yang diperoleh dari proses dan hasil penyelesaian masalah dijadikan bahan inspirasi dan abstraksi konsep melalui penemuan ciri-ciri konsep oleh siswa dan mengkonstruksi konsep secara ilmiah. Setelah konsep ditemukan, guru melakukan teorema pengontrasan melalui pengajuan contoh dan bukan contoh. Dengan mengajukan sebuah objek, guru meminta siswa memberi alasan, apakah objek itu termasuk contoh atau bukan contoh konsep.

Guru memberi kesempatan bertanya atas hal-hal yang kurang dipahami. Sesekali guru menguji pemahaman siswa atas konsep dan prinsip yang ditemukan, serta melengkapi hasil pemikiran siswa dengan memberikan contoh dan bukan contoh konsep. Berdasar konsep yang ditemukan/direkonstruksi, diturunkan beberapa sifat

Book 1.indb 12 6/20/13 11:00 PM

Matematika xiii

dan aturan-aturan. Selanjutnya siswa diberi kesempatan mengerjakan soal-soal tantangan untuk menunjukkan kebergunaan konsep dan prinsip matematika yang dimiliki.

e. Menganalisis dan Mengevaluasi Proses dan Hasil Penyelesaian Masalah

Pada tahapan ini, guru membantu siswa atau kelompok mengkaji ulang hasil penyelesaian masalah, menguji pemahaman siswa dalam proses penemuan konsep dan prinsip. Selanjutnya, guru melakukan evaluasi materi akademik dengan pemberian kuis atau meminta siswa membuat peta konsep atau memberi tugas di rumah atau membuat peta materi yang dipelajari.

2. Sistem Sosial

Pengorganisasian siswa selama proses pembelajaran menerapkan pola pembelajaran kooperatif. Dalam interaksi sosio kultural di antara siswa dan temannya, guru selalu menanamkan nilai-nilai soft skill dan nilai matematis. Siswa dalam kelompok saling bekerjasama dalam menyelesaikan masalah, saling bertanya/berdiskusi antara siswa yang lemah dan yang pintar, kebebasan mengajukan pendapat, berdialog dan berdebat, guru tidak boleh terlalu mendominasi siswa, bersifat membantu dan gotong royong) untuk menghasilkan penyelesaian masalah yang disepakati bersama. Dalam interaksi sosio kultural, para siswa diizinkan berbahasa daerah dalam menyampaikan pertanyaan, kritikan, pendapat terhadap temannya maupun pada guru.

3. Prinsip Reaksi

Model pembelajaran yang diterapkan dalam buku ini dilandasi teori konstruktivis dan nilai budaya dimana siswa belajar yang memberi penekanan pembelajaran berpusat pada siswa, sehingga fungsi guru sebagai fasilitator, motivator dan mediator dalam pembelajaran. Tingkah laku guru dalam menanggapi hasil pemikiran siswa berupa pertanyaan atau kesulitan yang dialami dalam menyelesaikan masalah harus bersifat mengarahkan, membimbing, memotivasi dan membangkitkan semangat belajar siswa.

Untuk mewujudkan tingkah laku tersebut, guru harus memberikan kesempatan pada siswa untuk mengungkapkan hasil pemikirannya secara bebas dan terbuka,

Book 1.indb 13 6/20/13 11:00 PM

Buku Guru Kelas VII SMP/MTsxiv

mencermati pemahaman siswa atas objek matematika yang diperoleh dari proses dan hasil penyelesaian masalah, menunjukkan kelemahan atas pemahaman siswa dan memancing mereka menemukan jalan keluar untuk mendapatkan penyelesaian masalah yang sesungguhnya. Jika ada siswa yang bertanya, sebelum guru memberikan penjelasan/bantuan, guru terlebih dahulu memberi kesempatan pada siswa lainnya memberikan tanggapan dan merangkum hasilnya. Jika keseluruhan siswa mengalami kesulitan, maka guru saatnya memberi penjelasan atau bantuan/memberi petunjuk sampai siswa dapat mengambil alih penyelesaian masalah pada langkah berikutnya. Ketika siswa bekerja menyelesaikan tugas-tugas, guru mengontrol jalannya diskusi dan memberikan motivasi agar siswa tetap berusaha menyelesaikan tugas-tugasnya.

4. Sistem Pendukung

Agar model pembelajaran ini dapat terlaksana secara praktis dan efektif, guru diwajibkan membuat suatu rancangan pembelajaran yang dilandasi teori pembelajaran konstruktivis dan nilai soft skill matematis yang diwujudkan dalam setiap langkah-langkah pembelajaran yang ditetapkan dan menyediakan fasilitas belajar yang cukup. Dalam hal ini dikembangkan buku model yang berisikan teori-teori pendukung dalam melaksanakan pembelajaran, komponen-komponen model, petunjuk pelaksanaan dan seluruh perangkat pembelajaran yang digunakan seperti rencana pembelajaran, buku guru, buku siswa, lembar kerja siswa, objek-objek abstraksi dari lingkungan budaya, dan media pembelajaran yang diperlukan.

5. Dampak Instruksional dan Pengiring yang Diharapkan

Dampak langsung penerapan pembelajaran ini adalah memampukan siswa merekonstruksi konsep dan prinsip matematika melalui penyelesaian masalah dan terbiasa menyelesaikan masalah nyata dilingkungan siswa. Pemahaman siswa terhadap obek-objek matematika dibangun berdasarkan pengalaman budaya dan pengalaman belajar yang telah dimiliki sebelumnya. Kebermaknaan pembelajaran yang melahirkan pemahaman, dan pemahaman mendasari kemampuan siswa mentransfer pengetahuannya dalam menyelesaikan masalah. Kemampuan menyelesaikan masalah tidak rutin menyadarkan siswa akan kebergunaan matematika. Kebergunaan akan menimbulkan motivasi belajar secara internal dari dalam diri siswa dan rasa memiliki terhadap matematika akan muncul sebab matematika yang dipamami adalah hasil rekonstruksi pemikirannya sendiri. Motivasi belajar secara internal akan menimbulkan kecintaan terhadap dewi matematika. Bercinta dengan dewi matematika berarti penyatuan diri dengan keabstrakan yang tidak memiliki

Book 1.indb 14 6/20/13 11:00 PM

Matematika xv

batas atas dan batas bawah tetapi bekerja dengan simbol-simbol.

Selain dampak di atas, siswa terbiasa menganalisis secara logis dan kritis memberikan pendapat atas apa saja yang dipelajari menggunakan pengalaman belajar yang dimiliki sebelumnya. Penerimaan individu atas perbedaan-perbedaan yang terjadi (perbedaan pola pikir, pemahaman, daya lihat dan kemampuan), serta berkembangnya kemampuan berkolaborasi antara siswa. Retensi pengetahuan matematika yang dimiliki siswa dapat bertahan lebih lama sebab siswa terlibat aktif di dalam proses penemuannya.

Dampak pengiring yang akan terjadi dengan penerapan model pembelajaran berbasis konstruktivistik adalah siswa mampu menemukan kembali berbagai konsep dan aturan matematika dan menyadari betapa tingginya manfaat matematika bagi kehidupan sehingga dia tidak merasa terasing dari lingkungannya. Matematika sebagai ilmu pengetahuan tidak lagi dipandang sebagai hasil pemikiran dunia luar tetapi berada pada lingkungan budaya siswa yang bermanfaat dalam menyelesaikan permasalahan di lingkungan budayanya. Dengan demikian terbentuk dengan sendirinya rasa memiliki, sikap, dan persepsi positif siswa terhadap matematika dan budayanya. Siswa memkamung bahwa matematika terkait dan inklusif di dalam budaya. Jika matematika bagian dari budaya siswa, maka suatu saat diharapkan siswa memiliki cara tersendiri memeliharanya dan menjadikannya Landasan Makna (landasan makna dalam hal ini berpihak pada sikap, kepercayaan diri, cara berpikir, cara bertingkah laku, cara mengingat apa yang dipahami oleh siswa sebagai pelaku-pelaku budaya). Dampak pengiring yang lebih jauh adalah hakikat tentatif keilmuan, keterampilan proses keilmuan, otonomi dan kebebasan siswa, toleransi terhadap ketidakpastian dan masalah-masalah non rutin.

PEDOMAN PENYUSUNAN RENCANA PEMBELAJARAN

Penyusunan rencana pembelajaran berpedoman pada kurikulum matematika 2013 dan sintaksis Model Pembelajaran. Berdasarkan analisis kurikulum matematika ditetapkan hal-hal berikut

1. Kompetensi dasar dan indikator pencapaian kompetensi dasar untuk tiap-tiap pokok bahasan. Rumusan indikator dan kompetensi dasar harus disesuaikan dengan prinsip-prinsip pembelajaran matematika berdasarkan masalah, memberikan pengalaman belajar bagi siswa, seperti menyelesaikan masalah autentik (masalah bersumber dari fakta dan lingkungan budaya), berkolaborasi, berbagi pengetahuan, saling membantu, berdiskusi dalam menyelesaikan masalah.

Book 1.indb 15 6/20/13 11:00 PM

Buku Guru Kelas VII SMP/MTsxvi

2. Materi pokok yang akan diajarkan, termasuk analisis topik, dan peta konsep (contoh disajikan di bawah).

3. Materi prasyarat, yaitu materi yang harus dikuasai oleh siswa sebagai dasar untuk mempelajari materi pokok. Dalam hal ini perlu dilakukan tes kemampuan awal siswa.

4. Kelengkapan, yaitu fasilitas pembelajaran yang harus dipersiapkan oleh guru, misalnya: rencana pembelajaran, buku petunjuk guru, buku siswa, lembar aktivitas siswa (LAS), objek-objek budaya, kumpulan masalah-masalah yang bersumber dari fakta dan lingkungan budaya siswa, laboratorium, dan alat peraga jika dibutuhkan.

5. Alokasi waktu: banyak jam pertemuan untuk setiap pokok bahasan tidak harus sama tergantung kepadatan dan kesulitan materi untuk tiap-tiap pokok bahasan. Penentuan rata-rata banyak jam pelajaran untuk satu pokok bahasan adalah hasil bagi jumlah jam efektif untuk satu semester dibagi banyak pokok bahasan yang akan diajarkan untuk semester tersebut.

6. Hasil belajar yang akan dicapai melalui kegiatan pembelajaran antara alain:

Produk : Konsep dan prinsip-prinsip yang terkait dengan materi pokok

Proses : Apersepsi budaya, interaksi sosial dalam penyelesaian masalah, memodelkan masalah secara matematika, merencanakan penyelesaian masalah, menyajikan hasil kerja dan menganalisis serta mengevaluasi kembali hasil penyelesaian masalah.

Kognitif : Kemampuan matematisasi, kemampuan abstraksi, pola pikir deduktif, berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis, dan berpikir kreatif).

Psikomotor : Keterampilan menyelesaikan masalah, ketrampilan berkolaborasi, kemampuan berkomunikasi.

Afektif : Menghargai budaya, penerimaan individu atas perbedaan yang ada, bekerjasama, tangguh menghadapi masalah, jujur mengungkapkan pendapat dan senang belajar matematika.

Sintaksis pembelajaran adalah langkah-langkah pembelajaran yang dirancang dan dihasilkan dari kajian teori yang melandasi model pembelajaran berbasis

Book 1.indb 16 6/20/13 11:00 PM

Matematika xvii

konstruktivistik. Sementara, rencana pembelajaran adalah operasional dari sintaks. Sehingga skenario pembelajaran yang terdapat pada rencana pembelajaran disusun mengikuti setiap langkah-langkah pembelajaran (sintaks). Sintaks model pembelajaran terdiri dari 5 langkah pokok, yaitu: (1) apersepsi budaya, (2) orientasi dan penyelesaian masalah, (3) persentase dan mengembangkan hasil kerja, (4) temuan objek matematika dan penguatan skemata baru, (5) menganalisis dan mengevaluasi proses dan hasil penyelesaian masalah. Kegiatan yang dilakukan untuk setiap tahapan pembelajaran dijabarkan sebagai berikut:

1. Kegiatan guru pada tahap apersepsi budaya antara lain:

a. Menginformasikan indikator pencapaian kompetensi dasar.

b. Menciptakan persepsi positif dalam diri siswa terhadap budayanya dan matematika sebagai hasil konstruksi sosial.

c. Menjelaskan pola interaksi sosial, menjelaskan peranan siswa dalam menyelesaikan masalah.

d. Memberikan motivasi belajar pada siswa melalui penanaman nilai matematis, soft skill dan kebergunaan matematika.

e. Memberi kesempatan pada siswa menanyakan hala-hal yang sulit dimengerti pada materi sebelumnya.

2. Kegiatan guru pada tahap penyelesaian masalah dengan pola interaksi edukatif antara lain:

a. Membentukan kelompok

b. Mengajukan masalah yang bersumber dari fakta dan lingkungan budaya siswa

c. Meminta siswa memahami masalah secara individual dan kelompok

d. Mendorong siswa bekerjasama menyelesaikan tugas-tugas

e. Membantu siswa merumuskan hipotesis (dugaan).

f. Membimbing, mendorong/mengarahkan siswa menyelesaikan masalah dan mengerjakan LKS

Book 1.indb 17 6/20/13 11:00 PM

Buku Guru Kelas VII SMP/MTsxviii

g. Memberikan scaffolding pada kelompok atau individu yang mengalami kesulitan

h. Mengkondisikan antar anggota kelompok berdiskusi, berdebat dengan pola kooperatif

i. Mendorong siswa mengekspresikan ide-ide secara terbuka

j. Membantu dan memberi kemudahan pengerjaan siswa dalam menyelesaikan masalah dalam pemberian solusi

3. Kegiatan guru pada tahap persentasi dan mengembangkan hasil kerja antara lain:

a. Memberi kesempatan pada kelompok mempresentasikan hasil penyelesaian masalah di depan kelas

b. Membimbing siswa menyajikan hasil kerja

c. Memberi kesempatan kelompok lain mengkritisi/menanggapi hasil kerja kelompok penyaji dan memberi masukan sebagai alternatif pemikiran. Membantu siswa menemukan konsep berdasarkan masalah

d. Mengontrol jalannya diskusi agar pembelajaran berjalan dengan efektif

e. Mendorong keterbukaan, proses-proses demokrasi

f. Menguji pemahaman siswa

4. Kegiatan guru pada tahap temuan objek matematika dan penguatan skemata baru antara lain:

a. Mengarahkan siswa membangun konsep dan prinsip secara ilmiah

b. Menguji pemahaman siswa atas konsep yang ditemukan melalui pengajuan contoh dan bukan contoh konsep

c. Membantu siswa mendefinisikan dan mengorganisasikan tugas-tugas belajar yang berkaitan dengan masalah

d. Memberi kesempatan melakukan konektivitas konsep dan prinsip dalam mengerjakan soal tantangan

Book 1.indb 18 6/20/13 11:00 PM

Matematika xix

e. Memberikan scaffolding

5. Kegiatan guru pada tahap menganalisis dan mengevaluasi proses dan hasil penyelesaian masalah antara lain:

a. Membantu siswa mengkaji ulang hasil penyelesaian masalah

b. Memotivasi siswa untuk terlibat dalam penyelesaian masalah yang selektif

c. Mengevaluasi materi akademik: memberi kuis atau membuat peta konsep atau peta materi.

Book 1.indb 19 6/20/13 11:00 PM

Buku Guru Kelas VII SMP/MTsxx

EGA xix BUKU PEGANGAN GURU

FASE KONSTRUKSI MATEMATIKA

Gambar: Matematika Hasil Konstruksi Sosial (Adaptasi, Soedjadi (2004)

Jawab

A

N

E

K

A

M

A

S

A

L

A

H

P e n a f s i r a n Jawab mat

manipulasi matematika

matematika formal

MATEMATIKA SEBAGAI ALAT (bagian B, aplikasi)

MATEMATIKA SEBAGAI KEGIATAN MANUSIA (bagian A, konstruksi)

v e r t i k a l

H o r i s o n t a l

I N F O R M A L

a b s t r a k s i

i d e a l i s a s i

1 1 + n

A N E K A M A S A L A H

NYATA (kontekstual)

SEMI ABSTRAK

Book 1.indb 20 6/20/13 11:00 PM

Matematika xxi

Book 1.indb 21 6/20/13 11:00 PM

Buku Guru Kelas VII SMP/MTsxxii

Book 1.indb 22 6/20/13 11:00 PM

Matematika 1

BAB IHimpunan

A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR

Kompetensi Dasar Pengalaman BelajarMelalui proses pembelajaran himpunan, siswa mampu:

1. Menunjukkan sikap logis, kritis, analitik, konsisten dan teliti, bertanggung jawab, resposnsif, dan tidak mudah menyerah dalam memecahkan masalah.

2. Memiliki rasa ingin tahu, percaya diri, dan ketertarikan diri pada matematika serta memiliki rasa percaya pada daya serta kegunaan matematika, yang terbentuk melalui pengalaman belajar.

3. Menunjukkan perilaku ingin tahu dalam melakukan aktivitas di rumah, sekolah, dan masyarakat sebagai wujud implementasi penyelidikan himpunan.

4. Memahami pengertian himpunan, himpunan bagian, komplemen himpunan, operasi himpunan dan menunjukkan contoh dan bukan contoh.

Melalui proses pembelajaran himpunan, siswa memiliki pengalaman belajar:

terlatih berpikir kritis danberpikirkreatif;

menemukan ilmupengetahuandaripemecahan masalah nyata;

mengajakuntukmelakukanpenelitiandasar dalam membangun konsep;

dilatihbekerjasamadalamtimuntukmenemukan solusi permasalahan.

dilatihmengajukanide-idesecarabebasdan terbuka;

merasakanmanfaatmatematikadalamkehidupansehari-hari.

Istilah

Penting:

Himpunan (Set) Elemen Himpunan Bagian (Subset) Irisan (Intersection) Komplemen Gabungan (Union)

Book 1.indb 1 6/20/13 9:39 PM

Buku Guru Kelas VII SMP/MTs2

B. PETA KONSEP

DISAJIKAN DENGAN :1. Mencacah2. Menyatakan sifat yang dimiliki3. Notasi pembentukan4. Diagram Venn

Himpunan Semesta

Himpunan Kosong

Anggota Himpunan

Relasi Himpunan

Subset Irisan

Gabungan

Komplemen

Komplemen

Superset

Himpunan Sama

Himpunan Ekuivalen

Operasi Himpunan

Kardinalitas Himpunan

Himpunan Kuasa

SIFAT OPERASI

SIFAT RELASI HIMPUNAN

HIMPUNANMASALAHOTENTIK

Book 1.indb 2 6/20/13 9:39 PM

Matematika 3

C. MATERI PEMBELAJARAN

1. MENEMUKAN KONSEP HIMPUNAN

Membangun persepsi positif dengan menunjukkan proses penemuankonsepdanaturanhimpunanmenggunakanobjek-objeknyatapengamatan. Guru menunjukkan berbagai manfaat materi himpunan dalam memecahkanmasalahnyata.Siswadiajakberpikirdanmengajukanide-ide secara bebas dan terbuka baik secara individu maupun kelompok dalam menanggapi pemecahan masalah dan bekerjasama memecahkannya.

Materi pembelajaran yang akan kita bahas saat ini adalah materi himpunan. Kamupastiseringmenghadapimasalahkehidupansehari-hariyangberkaitandenganhimpunan,misalnyaketikagurumenyuruhkamumencatatnama-namatemansatukelasyangabsenpadaharitertentu,ketikaorangtuamenyuruhkamumencatatnama-namabarangkebutuhansehari-hariyangakandibeliagarpadawaktubelanjatidakterlupakan, dan masih banyak lagi.

Amatilahpengelompokannegara-negarayangmenjadipesertaPialaDuniapertandingan sepak bola tahun 2010 di Afrika Selatan yang disajikan dalam Gambar 1.1 berikut.

2010 FIFA WORLD CUP SOUTH AFRICA

Grup A Grup B Grup C Grup D

Grup E Grup F Grup G Grup H

Team Team Team Team

Team Team Team Team

South Africa

Mexico

Uruguay

France

Argentina

Nigeria

Korea Republic

Greece

England

USA

Algeria

Sloveia

Germany

Australia

Serbia

Ghana

Netherland

Denmark

Japan

Cameroon

Italy

Paraguay

New Zealand

Slovakia

Brazil

Korea DPR

Cote dIvoire

Portugal

Spain

Switzerland

Honduras

Chile

Gambar 1.1 Negara-negara Peserta Piala Dunia Pertandingan Sepak Bola Tahun 2010 di Afrika Selatan

Book 1.indb 3 6/20/13 9:39 PM


Misalkan nama negara-negara peserta piala dunia FIFA tersebut diwakili

dengan huruf pertama dan keduanya, contoh: South Africa diwakili dengan huruf So, Brazil diwakili dengan huruf Br, dan seterusnya. Gambar 1.1 di atas dapat kita ubah dalam bentuk diagram berikut.

So Me Ur Fr

Ne De

Ja Ca

Ar Ni Ko Gr

It

Pa

Nz Sl

En Us Al Sl

Br Ko Co Po

Ge Au Se Gh

Sp Sw Ho Ch

Grup A

Grup E

Grup B

Grup F

Grup C

Grup G

Grup C

Grup H

Gambar 1.2 Diagram Negara Peserta Piala Dunia Sepak Bola Tahun 2010

Berdasarkangambar1.2diatas,kitatemukanhal-halberikut.

a. Negara yang tergabung di grup A adalah: {South Africa, Mexico, Uruguay, France}

b. Negara yang tergabung di grup E adalah: {Netherlands, Denmark, Japan,Cameroon}

c. Seluruh peserta tergabung di dalam 8 grup yaitu: {grup A, grup B, grup C, grup D,grupE,grupF,grupG,grupH}

d. AustraliaberadadigrupD.e. BrazildanPortugalsama-samaberadadigrupG.f. Setiap grup anggotanya adalah 4 negara.g. Negarayangbertandingseluruhnyaada32negara.SeluruhnegarapesertaFIFA

World Cup 2010 merupakan anggota himpunan semesta dari himpunan yang menjadi objek pembicaraan.

Book 1.indb 4 6/20/13 9:39 PM

Matematika 5

Masalah -1.1

Alternatif Penyelesaian

Data berikut adalah dataYanti seorang siswa perempuan kelasVII SMP

Negeri2Palipi.Siswalaki-lakidikelasnyaada13orang.Mereksepatuyangdipakai

ketiga belas siswa itu adalah: Anto memakai sepatu merek Spotec, Rudi memakai sepatu merek Bata, Parto memakai sepatu merekAdidas, Burju memakai sepatu

merek Spotec, Sartono memakai sepatu merek Bata, Bintang memakai sepatu merek

PEDAGANG SEPATU

Toko Laris Patu adalah sebuah

toko yang khusus menjual sepatu sekolah berbagai merek. Roby sang pemilik toko itu berencana ingin meningkatkan penjualan dalam bulan ini. Agar rencananya berhasil, dia ingin tahu merek sepatu apa saja yang banyak dipakai siswa. Untuk itu, dia memerlukan data tentang merek sepatu yang banyak dipakai siswa. Bantulah Roby untuk menemukan data yang diperlukan khusus di kelas kamu, denganmelakukanhal-halberikut.

a) Sebutkanlahnamaseluruhsiswalaki-lakidikelasmu!

b) Sebutkanlahmereksepatuyangdipakaiolehseluruhsiswalaki-lakidikelasmu!

c) Kelompokkanlah seluruh siswa laki-laki tersebut berdasarkanmereksepatuyangdipakai!

d) Berapajenismereksepatuyangdipakaiolehseluruhsiswalaki-lakidi kelasmu?

e) Mereksepatuapayangpalingbanyakdipakaiolehsiswalaki-lakidikelasmu?Sebutkan!

Gambar 1.3. Sepatu Sekolah

Sumber: http://www.google.co.id

Gambar 1.3. Sepatu Sekolah

Sumber:http://www.google.co.id

Book 1.indb 5 6/20/13 9:39 PM


Eagle, Rendi memakai sepatu merek Bata, Niko memakai sepatu merek Loggo, Felik memakai sepatu merek Adidas, Rolando memakai sepatu merek Adidas,

Sunantomemakai sepatumerekLoggo,Dodimemakai sepatumerekLoggo, dan

Putu memakai sepatu merekAdidas.Alternatif penyelesaianMasalah 1.1 di atas

ditunjukkan sebagai berikut.

a. Kelompok seluruh siswa laki-laki di kelasYanti adalah {Anto, Rudi, Parto,Burju,Sartono,Bintang,Rendi,Niko,Felik,Rolando,Sunanto,Dodi,Putu}.

b. Mereksepatuyangdigunakanolehseluruhsiswalaki-lakidikelasYantiadalah{Spotec,Bata,Adidas,Eagle,Loggo}.

c. Kelompoksiswalaki-lakiberdasarkanmereksepatuyangdigunakanyaitu:

Kelompok siswa yang menggunakan sepatu merek Spotec adalah {Anto, Burju};

Kelompok siswa yang menggunakan sepatu merek Bata adalah {Rudi, Sartono,Rendi};

KelompoksiswayangmenggunakansepatumerekAdidasadalah{Parto,Felik,Rolando,Putu};

KelompoksiswayangmenggunakansepatumerekEagleadalah{Bintang};

d. Kelompok siswa yang menggunakan sepatu merek Loggo adalah {Niko, Sunanto,Dodi}.Banyakmereksepatuyangdipakaiseluruhsiswalaki-lakisatu

kelasYantiadalah5.

e. Merek sepatu yang dipakai paling sedikit adalah Eagle dan paling banyak adalah Adidas.

Tanpa mengubah makna, kalimat-kalimat pada alternatif penyelesaian

Masalah 1.1 di atas dapat kita ubah menjadi sebagai berikut.

Himpunanseluruhsiswalaki-lakidikelasYantiadalah{Anto,Rudi,Parto,Burju,Sartono,Bintang,Rendi,Niko,Rolando,Sunanto,Dodi,Putu}.

Himpunanmereksepatuyangdigunakanolehseluruhsiswalaki-lakidikelasYantiadalah{Spotec,Bata,Adidas,Eagle,Loggo}.

Himpunan siswa berdasarkan merek sepatu yang digunakan yaitu:

Book 1.indb 6 6/20/13 9:39 PM

Matematika 7

Himpunanseluruhsiswalaki-lakidikelasYantiyangmenggunakansepatumerekSpotecadalah{Anto,Burju};

Himpunanseluruhsiswalaki-lakidikelasYantiyangmenggunakansepatumerekBataadalah{Rudi,Sartono,Rendi};

Himpunanseluruhsiswalaki-lakidikelasYantiyangmenggunakansepatumerekAdidasadalah{Parto,Felik,Rolando,Putu};

Himpunanseluruhsiswalaki-lakidikelasYantiyangmenggunakansepatumerekEagleadalah{Bintang};

Himpunanseluruhsiswalaki-lakidikelasYantiyangmenggunakansepatumerekLoggoadalah{Niko,Sunanto,Dodi}.

d. Banyakmereksepatuyangdipakaiseluruhsiswalaki-lakidikelasYantiadalah5.e. Merek sepatu yang paling sedikit dipakai adalah merek Eagle dan yang paling

banyak dipakai adalah sepatu merek Adidas. Seluruhmereksepatuyangdigunakanolehseluruhsiswalaki-lakidikelasYanti merupakan anggota himpunan semesta dari himpunan yang menjadi objekpembicaraan.

PakDarwis,PakMarto,danPakSumantriadalahpenduduksebuahdesayangpekerjaannyabeternak.TernakyangdipeliharaPakDarwisadalahayam,bebek,dankambing.TernakyangdipeliharaPakMartoadalahkerbau,kambing,dansapi.PakSumantrimemeliharaayamdankambing.

a. Kelompok-kelompokapasajayangbisakamusebutkandariketerangandiatas?

b. Berapabanyakanggota-anggotakelompokyangkamutemukan?Sebutkanlah!

Masalah -1.2


a) Berdasarkan keterangan di atas kita dapat menemukan beberapa kelompok seperti berikut.

(1) Kelompok penduduk desa yang memelihara ternak.

(2) KelompokhewanternakpeliharaanPakDarwis.

Book 1.indb 7 6/20/13 9:39 PM


(3) KelompokhewanternakpeliharaanPakMarto.

(4) KelompokhewanternakpeliharaanPakSumantri.

(5) Kelompokhewanternakberkakidua.

(6) Kelompok hewan ternak berkaki empat

Tanpamengubah arti, kelompok-kelompokyangkita temukan ini dapat juga

disebut dengan himpunan seperti berikut ini:

(1) Himpunan penduduk desa yang memelihara ternak.

(2) HimpunanhewanternakpeliharaanPakDarwis.

(3) HimpunanhewanternakpeliharaanPakMarto.

(4) HimpunanhewanternakpeliharaanPakSumantri.

(5) Himpunanhewanternakberkakidua.

(6) Himpunan hewan ternak berkaki empat.

b) Karenakatakelompokdapatkitagantidengankatahimpunan,anggota-anggota

kelompok yang kita temukan di atas dapat kita sebut seperti berikut.

(1) Banyak anggota himpunan penduduk desa yang memelihara ternak adalah3,yaitubanyakanggota{PakDarwis,PakMarto,PakSumantri}.

(2) BanyakanggotahimpunanhewanternakpeliharaanPakDarwisadalah3,

yaitubanyakanggota{ayam,bebek,kambing}.

(3) BanyakanggotahimpunanhewanternakpeliharaanPakMartoadalah3,

yaitubanyakanggotadari{kerbau,kambing,sapi}.

(4) Banyak anggota himpunan hewan ternak peliharaan Pak Sumantri

adalah2,yaitubanyakanggotadari{ayam,kambing}.

(5) Banyak anggota himpunan hewan ternak berkaki dua adalah 2, yaitu

banyakanggotadari{ayam,bebek}.

(6) Banyak anggota himpunan hewan ternak berkaki empat adalah 3, yaitu banyakanggotadari{kambing,sapi,kerbau}.

PerhatikankembalialternatifpenyelesaianMasalah1.1danMasalah1.2di

atas.Kitamenemukanhal-halberikut.

Book 1.indb 8 6/20/13 9:39 PM

Matematika 9

DarialternatifpenyelesaianMasalah1.1:

(1) Banyak anggota himpunan seluruh siswa laki-laki di kelasYanti adalah 13.

Ketiga belas orang ini terkumpul dalam satu himpunan karena ada batasan atau karakteristik/sifatyangsama;yaitu,siswalaki-lakisekelasdenganYanti.

(2) Banyakanggotahimpunanmereksepatuyangdigunakanolehsiswalaki-laki

kelasYantihanyaada5.Bukanberartibahwahanyaada5mereksepatu.Hal

ini terjadi karena ada karakteristik/sifat yang membatasi sehingga banyak anggotanyahanya5.Dalamhalinikarakteristikdimaksudadalahmereksepatu

yangdipakaiolehseluruhsiswalaki-lakisekelasdenganYanti.

DarialternatifpenyelesaianMasalah1.2:

(1) Banyak anggota himpunan hewan ternak berkaki dua adalah 2. Hal ini tidak berarti bahwa hewan ternak berkaki 2 hanya 2 jenis, tetapi karena ada karakteristik/sifat yangmembatasi; yaitu, ternak peliharaanPakDarwis, Pak

MartodanPakSumantri.

(2) BanyakanggotahimpunanhewanternakpeliharaanPakSumantriadalah2.Hal

inikarenaadakarakteristik/sifatyangmembatasiyaitu ternakpeliharaanPak

Sumantri.

Berdasarkanalternatifpenyelesaianmasalah-masalahdiataskita simpulkandefinisihimpunan sebagai berikut.

Definisi 1.1Himpunan adalah sekumpulan objek atau benda yang memiliki karakter-istikyangsamaatauterdefinisidenganjelas.

Maksud terdefinisi dengan jelas adalah bahwa objek atau benda yang sekumpulan itu memiliki kesamaan ciri, sifat, ataupun karakteristik sehingga menjadi batasan-batasan bagi objek atau benda lain tidak ikut sebagai anggota himpunan/

kelompok tersebut.

Book 1.indb 9 6/20/13 9:39 PM


Contoh 1.1

PadaalternatifpenyelesaianMasalah1.1butir(a)diatas,sepatumerekNike

bukan anggota himpunanmerek sepatu yang dipakai teman sekelasYanti karena

tidakadasiswatemansekelasYantiyangmemakaisepatutersebut.Padabutir(b),

Niko bukan anggota himpunan siswa yang menggunakan sepatu merek Adidas karena memang Niko menggunakan sepatu merek Loggo.

Agar nama sebuah himpunan tidak terlalu panjang kita dapat menuliskannya dengan huruf kapital, sementara anggota himpunan dapat dinyatakan/dituliskan dengan huruf kecil. Seluruh aggota himpunan dituliskan di dalam kurung kurawal danuntukmembedakananggota-anggotahimpunannyadiberitandakoma(,).Seperti

contoh berikut ini.

Pada alternatif penyelesaian Masalah 1.2 di atas, kita dapat menamai

himpunan yang kita temukan seperti berikut ini.

- A adalah himpunan penduduk desa yang memelihara ternak.Himpunan A kita tuliskan sebagai berikut.A={PakDarwis,PakMarto,PakSumantri}

- BadalahhimpunanhewanternakyangdipeliharaPakDarwisB={ayam,bebek,kambing}

- CadalahhimpunanhewanternakyangdipeliharaPakMartoC={kerbau,kambing,sapi}

- DadalahhimpunanhewanternakyangdipeliharaPakSumantriD={ayam,kambing}

- E adalah himpunan hewan ternak berkaki duaE={ayam,bebek}

- F adalah himpunan hewan ternak berkaki empatF={kambing,sapi,kerbau}

Book 1.indb 10 6/20/13 9:39 PM

Matematika 11

Contoh 1.2

Himpunan Aadalahhimpunansemuahurufvokaldalamabjadlatin.Penulisanhimpunan A tersebut dapat kita lakukan sebagai berikut.

A = himpunan semua huruf vokal

Berdasarkan himpunan A, kita peroleh:

- NamahimpunannyaadalahhimpunanA.

- AnggotahimpunanA adalah a, i, u, e, dan o.

- BanyakanggotahimpunanAadalah5

Gurumemberikanlatihankepadasiswa.

Sebagai latihan siswa:

Himpunan P adalah himpunan semua bilangan prima yang kurang dari 10. Sebutkannamahimpunantersebut,sebutkananggota-anggotahimpunan

tersebut, dan berapa banyak anggota himpunan tersebut?

Latihan

GurumenyuruhsiswamengamatiGambar1.4.untukmenemukanhal-halberikut.

. x

. y. z. u

. 2

. 4

. 6

A B

Gambar 1.4

Himpunan A dan Himpunan B

Book 1.indb 11 6/20/13 9:39 PM


Himpunan A memuat unsur x maka dikatakan bahwa x adalah anggota himpunan A atau sering disebut x adalah elemen himpunan A, dilambangkan dengan x A.

Himpunan B memuat unsur 2 maka dikatakan 2 adalah anggota himpunan B atau sering disebut 2 adalah elemen himpunan B dilambangkan dengan 2 B.

Gurumemberikanpertanyaanberikutkepadasiswa.

Apakah ada unsur lain di himpunan A selain x?Dengan cara seperti di atassebutkananggota-anggotayanglainhimpunanA.

Apakah ada unsur lain di himpunan B selain 2?Dengan cara seperti di atassebutkananggota-anggotayanglainhimpunanB.

Kesimpulan apa yang bisa siswa tarik?

GurubersamadengansiswaPerhatikankembaliGambar1.4diatas.Kitamenemukanjugahal-halberikut.

Himpunan A tidak memuat unsur 2 maka disebut 2 bukan anggota himpunan A atau 2 bukan elemen himpunan A yang disimbolkan dengan 2 A.

Himpunan B tidak memuat unsur y maka dikatakan y bukan anggota himpunan B atau y bukan elemen himpunan B yang disimbolkan dengan y B.

DarihimpunanA dan B,temukanlahunsur-unsuryangtidakadadihimpunanA dan himpunan B!

Apayangbisadisimpulkanolehsiswa?mintasiswaberdiskusidengantemannya!

Book 1.indb 12 6/20/13 9:39 PM

Matematika 13

2. PENYAJIAN HIMPUNAN Pernahkansiswadisuruhorangtuamenyajikanmakananuntuksekeluarga?

Jika pernah, hal apa saja yang siswa perhatikan sewaktu menyajikan makanan tersebut?Perhatikangambarberikut!

Sumber: http://www.4.bp.blogspot.comSumber: http://norafidahbpsrt.files.wordpress.com Sumber: http://www.btravindonesia.com

Gambar 1.5 Berbagai Jenis Penyajian Makanan

BerdasarkanGambar1.5diatas,terdapatberbagaijenispenyajianmakanan.

Demikian juga dalam penyajian himpunan, dapat kita lakukan dengan cara yang

berbeda pula. Terdapat beberapa cara untuk menyajikan suatu himpunan dengan tidak mengubah makna himpunan tersebut; antara lain sebagai berikut:

a. Mendaftarkan anggotanya (enumerasi)Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan semua anggotanya yang dituliskan dalam kurung kurawal.

Contoh 1.3

A={3,5,7}.B={2,3,5,7}.C={a,i,u,e,o}

b. Menyatakan sifat yang dimiliki anggotanyaSuatu himpunan dapat dinyatakan dengan menyebutkan sifat yang dimiliki anggotanya. Perhatikan himpunan pada contoh 1.3 dan bandingkan dengan

contohdibawahini!

Book 1.indb 13 6/20/13 9:39 PM


Contoh 1.4

A = Himpunan semua bilangan ganjil yang lebih dari 1 dan kurang dari 8B = Himpunan semua bilangan prima yang kurang dari 10C = Himpunan semua huruf vokal dalam abjad Latin

c. Menuliskan notasi pembentuk himpunanSuatu himpunan dapat dinyatakan dengan menuliskan kriteria (syarat) keanggotaan himpunan tersebut. Himpunan ini dinotasikan sebagai berikut.

A = { x | syarat yang harus dipenuhi oleh x}

Contoh 1.5

A = {x | 1 < x < 8, xadalahbilanganganjil},(dibaca A adalah himpunan yang anggotanya x, dengan (syarat) x lebih dari 1 dan x kurang dari 8 dan x adalah bilangan ganjil)B = {y | y < 10, yadalahbilanganprima}C = {z | zadalahhurufvokaldalamabjadLatin}

3. MENEMUKAN KONSEP HIMPUNAN SEMESTA DAN DIAGRAM VENN

Salah satu karakteristik matematika adalah memperhatikan semesta pembicaraannya.Penyelesaiansuatumasalahdalammatematikadimungkinkanakan

berbeda jika semesta pembicaraanya berbeda. Demikian juga anggota himpunan

tertentu ditentukan oleh semestanya.

Agar kamu memahami konsep himpunan semesta, pahami dan selesaikanlah Masalah 1.3 berikut.

Book 1.indb 14 6/20/13 9:39 PM

Matematika 15

Masalah -1.3


Perhatikankembalipekerjaansiswa,langkahpertamayangharusdilakukan

Joko,Anto, danTedy adalahmencari nama-namamenteri pada waktu Bapak BJ

HabibiemenjabatpresidenRI,selanjutnyamemilihnamasesuaidenganketentuan

yang diberikan.

Seluruh menteri pada waktu Bapak BJ Habibie menjabat presiden RImerupakan himpunan semesta dari himpunan menteri-menteri yangnamanya dimulai dari huruf A, huruf S, dan huruf P.

Akan berbeda hasil pekerjaan Joko, Anto, dan Tedy, jika himpunan semestanya adalah menteri-menteri pada waktu Ibu Megawati Soekarno

PutrimenjabatpresidenRI.

Gambar 1.6 Presiden Republik Indonesia

Joko, Anto, dan Tedy adalah 3 orang siswa yang memperoleh nilai ulangan harian terendah di kelas Pak Sutedo pada pelajaranPendidikan Pancasila danKewarganegaraan. Pak Sutedomemberikan tugas tambahan bagi merekauntukmencarinama-namamenteri sewaktu Bapak BJ Habibie menjabat presiden Republik Indonesia. Joko ditugaskanmencari nama yang dimulai dari huruf A, Anto ditugaskan mencari nama yang dimulai dari huruf S, danTedyditugaskanmencarinamayangdimulaidarihurufP.

(1) Langkah-langkah apa yang harus dilakukan ketiga siswa itu untukmenyelesaikantugasyangdiberikanPakSutedo?

(2) Apa persamaan tugas ketiga siswa itu?(3) Apa perbedaan tugas ketiga siswa itu?

Book 1.indb 15 6/20/13 9:39 PM


MisalkanlangkahpertamayangdilakukanJokoadalahmencarinama-

nama seluruh menteri yang pernah menjabat mulai dari presiden Soekarno sampai Presiden Susilo Bambang Yudoyono, apakah

langkahnya tepat? Mengapa?

Pertanyaan Kritis

Misalkan S=Himpunannama-namamenteripadasaatpresidenB.JHabibie

A=Himpunannama-namamenteriyangnamanyadimulaidarihurufA

B=Himpunannama-namamenteriyangnamanyadimulaidarihurufS

C=Himpunannama-namamenteriyangnamanyadimulaidarihurufP

Kita dapat menyajikan keempat himpunan tersebut dalam satu diagram, yang disebut diagram venn berikut ini.

A B C

Gambar 1.7 Diagram Venn

Cobaberinamatitik-titiksebagaianggotahimpunanA, B, dan C,yaitunama-nama menteri pada saat presiden B. J. Habibie, yang namanya dimulai huruf A, S, dan P.

Book 1.indb 16 6/20/13 9:39 PM

Matematika 17

Mintasiswauntukmencobamemberikannamatitik-titiksebagaianggota himpunan A, B, dan C,yaitunama-namamenteripadasaatpresiden B. J. Habibie, yang namanya dimulai huruf A, S, dan P.

Guru menugaskan empat orang siswa untuk menyebut bilangan yang kurangdari 10. Ikhsanmenyebut dari bilanganprima,Khayandari bilangan

bulat positif, Noni dari bilangan ganjil positif, dan Mia dari bilangan genap positif.Bantulahkeempatsiswaitumengerjakantugasnya!Apapersamaandan

perbedaan tugas keempat orang siswa itu?

Masalah -1.4


Misalkan himpunan semua bilangan prima yang kurang dari 10 adalah A.

Misalkan himpunan semua bilangan bulat positif yang kurang dari 10 adalah B.

Misalkan himpunan semua bilangan ganjil positif yang kurang dari 10 adalah C.

Misalkan himpunan semua bilangan genap positif yang kurang dari 10 adalah D.

Maka dapat dituliskan:

- A = {2,3,5,7}

- B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

- C = {1,3,5,7,9}

- D = {2,4,6,8}

Hasil pekerjaan keempat siswa itu menjadi berbeda karena objek bilangan yang dicariberbeda.Bilangan-bilanganyangmenjadianggotahimpunanyangakan

dicariIkhsanadalahbilanganprima,Khayanadalahbilanganbulatpositif,Noni

adalah bilangan ganjil positif, dan Mia adalah bilangan genap positif.

Book 1.indb 17 6/20/13 9:39 PM


Seluruh anggota himpunan bilangan prima, bilangan bulat positif, bilangan ganjil positif, dan bilangan genap positif merupakan himpunan semesta untuk himpunan yang ditugaskan kepada keempat orang siswa itu.

Bagaimana jika himpunan semestanya diubah? Tentu berbeda bukan?

Sajikanlah himpunan A, B, C, dan D dalam sebuah diagram venn dengan semesta pembicaraannya (S) adalah himpunan bilangan bulat.

Gambar 1.8. Diagram Venn Himpunan Masalah 1.4

Berdasarkanmasalah-masalahyangtelahkitaselesaikandiatas,kitaberikan

definisihimpunansemestasebagaiberikut.

Book 1.indb 18 6/20/13 9:39 PM

Matematika 19

Definisi 1.2Himpunan semesta adalah himpunan seluruh unsur yang menjadi objek pembicaraan, dan dilambangkan dengan S.

Agar siswa lebih memahami konsep ini, sebutkanlah anggota himpunan hewanmamaliayanghidupdidarat,temukanpulahewanmamaliayanghidupdiair!

Kesimpulan apa yang bisa kamu temukan?

Suatu himpunan dapat dinyatakan dengan cara menuliskan anggotanya dalam suatugambar (diagram)yangdinamakandiagramVenn.Aturandalampembuatan

diagramVennadalahsebagaiberikut.

(a) Menggambar sebuah persegi panjang untuk menunjukkan semesta dengan mencantumkan huruf S di pojok kiri atas.

(b) Menggambar bangun tertutup.

(c) Memberinoktah(titik)berdekatandenganmasing-masinganggotahimpunan.

Contoh 1.6

Misalkan A adalah himpunan semua bilangan ganjil yang lebih dari 1 dan kurang dari 8 sedangkan himpunan semestanya adalah bilangan ganjil.

B adalah himpunan semua bilangan prima yang kurang dari 10 sedangkan himpunan semestanya adalah bilangan prima.

C adalah himpunan huruf vokal sedangkan himpunan semestanya adalah huruf abjad latin.

Book 1.indb 19 6/20/13 9:39 PM


PenyajianhimpunandengandiagramVennuntukcontohiniadalahsebagaiberikut:

Gambar 1.9. Diagram Venn Himpunan Contoh 1.6

4. KARDINALITAS HIMPUNAN

UntukmerayakanhariulangtahunPakZulkarnaenyangke-50,dia

mengajak istri dan ketiga anaknya makan di sebuah restoran. Sesampainya di restoranmerekamemesanmakanankesukaanmasing-masingyangadapada

daftarmenurestorantersebut.PakZulkarnaenmemesanikanbakar,udang

goreng,danjusalpukat.Istrinyamemesanikanasammanis,bakso,danjus

terongbelanda.AnakpertamaPakZulkarnaenmemesanikanbakar,bakso,

dan jus pokat, anak kedua memesan bakso, dan jus terong belanda, dan anak ketiganya memesan mie goreng dan jus sirsak.

(1) Sebutkananggota-anggotahimpunanmakanankesukaanyangdipesan

keluargaPakZulkarnaen!

(2) Tuliskanlah seluruh anggota himpunan makanan yang dipesan keluarga PakZulkarnaen!

(3) AdakahanggotakeluargaPakZulkarnaenyangmemesanmakananyang

sama? Jika makanan yang sama ditulis sekali, berapa jenis makanan yangberbedayangdipesankeluargaPakZulkarnaen?

Masalah -1.5

Book 1.indb 20 6/20/13 9:39 PM

Matematika 21


(1) AnggotahimpunanmakanankesukaanyangdipesankeluargaPakZulkarnaen.

HimpunanmakanankesukaanpakZulkarnaenadalah{ikanbakar,udanggoreng,jusalpukat}.

Himpunan makanan kesukaan istri Pak Zulkarnaen adalah {ikan asammanis,bakso,justerongbelanda}.

HimpunanmakanankesukaananakpertamaPakZulkarnaenadalah{ikanbakar,baksodanjusalpukat}.

HimpunanmakanankesukaananakkeduaPakZulkarnaenadalah{bakso,justerongbelanda}.

Himpunanmakanan kesukaan anak ketiga PakZulkarnaen adalah {miegoreng,jussirsak}.

(2) Seluruhmakanan yang dipesan keluarga Pak Zulkarnaen adalah ikan bakar,

udang goreng, jus alpukat, ikan asam manis, bakso, jus terong belanda, ikan bakar, bakso, jus alpukat, bakso, jus terong belanda, mie goreng, jus sirsak.

(3) Jika makanan yang sama dituliskan hanya satu kali, maka himpunan makanan yangdipesankeluargaPakZulkarnaenadalah{ikanbakar,udanggoreng,jus

alpukat,ikanasammanis,bakso,justerongbelanda,miegoreng,jussirsak}.

PerhatikanalternatifpenyelesaianMasalah1.3diatas.Banyakanggotasuatu

himpunan yang berbeda disebut kardinalitas himpunan itu.

PerhatikankembalihimpunanP dan Q berikut.

P={5,10,15,20}

Q={a,b,c,d,e}

Book 1.indb 21 6/20/13 9:39 PM


Darikeduahimpunantersebutkitatemukanhalberikut.

Himpunan P memuat 4 anggota yang berbeda maka disebut banyak anggota himpunan P adalah 4 atau disebut kardinalitas himpunan P adalah 4, disimbolkan dengan n(P) = 4.

Himpunan Q memuat 5 anggota, maka kardinalitas himpunan Q adalah 4,disimbolkan dengan n(Q) = 4.

Jika M = {xx < 10, xbilanganbulatpositif},N = {yy > 10, y bilangan bulatpositif},danP={1,2,3,4}.

a. Tentukanlah kardinalitas himpunan M!

b. Tentukanlah kardinalitas himpunan N!

c. Tentukanlah kardinalitas himpunan P!

d. Berapakah banyak anggota himpunan N?Berilahpendapatmu!

e. Guru meminta siswa berdiskusi dengan temannya, apa perbedaan kardinalitas himpunan M dan himpunan N?

Latihan

Book 1.indb 22 6/20/13 9:39 PM

Matematika 23

5. MENEMUKAN KONSEP HIMPUNAN KOSONG

Dariempatorangsiswa(Batara,Simon,Sudraja,Marsius)yangmemiliki

kesempatan sama untuk memenangkan suatu hadiah undian. Agar salah satu dari keempat siswa dipilih secara adil menjadi pemenang, maka panitia memberikan satu dari empat pertanyaan tentang himpunan yang tersedia dalam kotak undian. Keempat pertanyaan pada kotak undian itu adalah:

1) menentukan himpunan bilangan cacah yang kurang dari 0;2) menentukan himpunan bilangan bulat yang lebih dari 0 dan kurang

dari 1;3) menentukan himpunan bilangan ganjil yang habis dibagi 2;4) menentukan himpunan bilangan prima yang merupakan bilangan

genap.

Pemenangnyaadalahsiswayangdapatmenemukanpalingsedikitsatu

anggota himpunannya. Setelah pengundian, Batara mendapatkan pertanyaan nomor 2, Simon mendapat pertanyaan nomor 3, Sudraja mendapat pertanyaan nomor 1, dan Marsius mendapat pertanyaan nomor 4. Siapakah siswa yang kemungkinanmenjadipemenang?Berikanalasanmu!

Masalah -1.5


Perhatikankeempatpertanyaantersebut!Penyelesaiankeempatpertanyaan

itu adalah sebagai berikut.

1) Bilangan cacah yang kurang dari 0.

Ingat kembali bilangan cacah yang telah kamu pelajari waktu SD?Anggota

Bilangan cacah yang paling kecil adalah 0, sehingga himpunan yang diperoleh Sudraja adalah himpunan yang tidak memiliki anggota.

Book 1.indb 23 6/20/13 9:39 PM


2) Bilangan bulat yang lebih dari 0 dan kurang dari 1

Tidakadasatupunbilanganbulatantara0dan1.Dengandemikianhimpunan

yang diperoleh Batara adalah himpunan yang tidak memiliki anggota.

3) Bilangan ganjil yang habis dibagi 2;

Seluruh bilangan ganjil tidak akan habis dibagi dengan 2. Mengapa? Silahkan bertanyakepadagurumu.DengandemikianhimpunanyangdiperolehSimon

adalah himpunan yang tidak memiliki anggota.

4) Bilangan prima yang merupakan bilangan genap.

Anggota himpunan bilangan prima yang merupakan bilangan genap adalah 2. Dengan demikian himpunan yang diperolehMarsius adalah himpunan yang

banyakanggotanyatepatsatu,yaitu{2}.

Dari hasil undian untuk yang dapat menemukan anggota himpunannya adalah

Marsius.DengandemikianMarsiusterpilihmenjadipemenang.

Perhatikanhimpunan-himpunanyangdiberikanberikut.

R adalah himpunan manusia yang memiliki tinggi badan 100 meter.

Sadalahhimpunannama-namahariyangdimulaidarihurufB.

T adalah himpunan bilangan prima yang kurang dari 2.

a)DapatkahsiswamenyebutkananggotahimpunanR, S, dan T?b) Apa kesimpulan yang dapat siswa tarik dari ketiga himpunan itu?

Himpunan R, S, dan Tadalahhimpunan-himpunanyangtidakmemilikianggota.Himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan kosong, dilambangkan denganatau{}.

Sebagai latihan siswa:

Buatlahcontohhimpunandalamkehidupansehari-hariyangtidakmemiliki

anggota!

Latihan

Book 1.indb 24 6/20/13 9:39 PM

Matematika 25

6. RELASI HIMPUNAN Organisasikan siswa belajar berbagai aturan terkait relasi himpunan. Ajukan masalah-masalah sebagai bahan inspirasi penemuan aturan relasi himpunan. berikesempatan kepada siswa bertanya dan mengajukan ide-ide dalam pemecahanmasalah dan arahkan siswa bekerjasama dalam kelompok untuk memecah masalah.

a. Menemukan Konsep Himpunan Bagian

GurubertanyakepadasiswaapakahkamubagiandarisiswakelasVIISMP?

Bagaimana dengan seluruh temannya satu kelas, apakah mereka juga bagian dari siswakelasVIISMP?Untukmenemukankonsephimpunanbagian, selesaikanlah

masalah berikut.

Masalah -1.7

Seluruh siswa kelas VII SMP Panca

Karya berjumlah 40 orang. Jika A adalah himpunan siswa laki-laki yang terdiri 25orang,

B adalah himpunan siswa perempuan, C adalah himpunan siswa laki-laki yanggemar olah raga

bola kaki, D adalah himpunan siswa perempuan yang gemar menari, E adalah himpunan siswa yangbercita-citajadidokter,S adalah himpunan seluruhsiswakelasVII.

(1) Apakah anggota-anggota himpunan A merupakan anggota himpunan S?

(2) Apakahanggota-anggotahimpunanB merupakan anggota S?

(3) Apakahanggota-anggotahimpunanC merupakan anggota A?

(4) Apakahanggota-anggotahimpunanC merupakan anggota himpunan S?

(5) Apakah setiap anggota himpunanD merupakan anggota himpunan B?

Gambar 1.10. Kelas VII SMP Panca Karya

Book 1.indb 25 6/20/13 9:39 PM



(1) Setiapsiswalaki-lakimerupakananggotahimpunansiswakelasVIIatausetiap

anggota himpunan A merupakan himpunan S. Hal ini berarti juga bahwa siswa laki-lakimerupakanbagiandariseluruhsiswakelasVIIatauhimpunansiswa

laki-lakimerupakanhimpunanbagiandarihimpunansiswakelasVII.

(2) Setiap siswa perempuanmerupakan anggota himpunan siswa kelasVII atau

seluruh anggota himpunan B merupakan anggota himpunan S. Hal ini berarti jugabahwasiswaperempuanbagiandariseluruhsiswakelasVIIatauhimpunan

siswaperempuanmerupakanhimpunanbagiandarihimpunansiswakelasVII.

(3) Seluruh siswa laki-laki yang gemar olahraga bola kaki merupakan anggota

himpunansiswalaki-lakiatauseluruhanggotahimpunanC merupakan anggota himpunan B. Hal ini berarti Himpunan C adalah bagian dari himpunan B.

(4) Seluruh siswa laki-laki yang gemar olahraga bola kaki merupakan anggota

himpunan siswa kelas VII atau

seluruh anggota himpunan C ada di himpunan S. Hal ini berarti himpunan siswa laki-laki

yang gemar olahraga bola kaki merupakan himpunan bagian dari seluruhsiswakelasVII.

(5) Seluruh siswa perempuan yang

gemar menari ada pada anggota himpunan siswa perempuan atau seluruh anggota himpunan D merupakan himpunan B. Hal ini berarti juga bahwa siswa perempuan yang gemar menari bagian dari himpunan siswa perempuan atau himpunan siswa perempuan yang gemar menari merupakan himpunan bagian darihimpunansiswaperempuankelasVII.

Gambar 1.12.

Diagram Venn Himpunan A dan B

S

Book 1.indb 26 6/20/13 9:39 PM

Matematika 27

Contoh 1.7

PerhatikanGambar1.11disamping!

1. Sebutkanlah anggota himpunan A, B dan S!2. Apakah seluruh anggota himpunan A ada di himpunan B? 3. Apakah seluruh anggota himpunan A ada di himpunan S?4. Apakah seluruh anggota himpunan B ada di himpunan A?


1. Anggota himpunan A, B dan S adalah: A={1,3,5,7}

B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

2. Memeriksa apakah seluruh anggota himpunan A ada di himpunan B. Untuk menunjukkan apakah setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B,dapatkitatunjukkanmelaluidiagramVennpadaGambar1.11.Karena seluruh anggota himpunan A ada di himpunan B maka disebut bahwa himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B.

3. Memeriksa apakah seluruh anggota himpunan A ada di himpunan SUntuk menunjukkan apakah setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan S,dapatkitatunjukkanmelaluilangkah-langkahberikut.

Ambil anggota pertama dari himpunan A, yaitu 1 sehingga sisa anggota himpunan A={3,5,7},ternyata1adadihimpunanS.

Ambil anggota kedua dari himpunan A, yaitu 3 sehingga sisa anggota himpunan A={5,7},ternyata3adadihimpunanS.

Ambil anggota ketiga dari himpunan A, yaitu 5 sehingga sisa anggotahimpunan A={5,7},ternyata5adadihimpunanS.

S

Gambar 1.11.

Diagram Venn

Himpunan A dan B

Book 1.indb 27 6/20/13 9:39 PM


Ambil anggota keempat dari himpunan A,yaitu7sehinggasisaanggotahimpunan A={},ternyata7adadihimpunan S.

Karena setiap anggota himpunan A merupakan himpunan S maka himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan S.

4. Memeriksa apakah seluruh anggota himpunan B ada di himpunan A.

Dengan cara yang sama seperti pertanyaan 2, pemeriksaannya kita lakukan

sebagai berikut.

Ambil anggota pertama himpunan B, yaitu 1 sehingga sisa anggota himpunan B={2,3,4,5,6,7,8,9,10},ternyata1anggotahimpunanA.

Ambil anggota kedua himpunan B yaitu sehingga sisa anggota himpunan B={3,4,5,6,7,8,9,10},ternyata2bukananggotahimpunanA.

Karena ada anggota himpunan B yang bukan merupakan anggota himpunan A maka himpunan B bukan himpunan bagian dari himpunan A.

Berdasarkan alternatif penyelesaianMasalah 1.7 dan penyelesaian contoh

1.7diatas,makakitaberikandefinisihimpunanbagiansebagaiberikut.

Definisi 1.3Himpunan A merupakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B atau B superset dari A jika dan hanya jika setiap anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B.DilambangkanA B atau B A. Jika ada anggota A yang bukan anggota B dan sebaliknya maka A bukan himpunan bagian dari B, dilambangkan dengan A B.

Misalkan A dan B adalah dua buah himpunan. Untuk memeriksa apakah himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B dapat kita lakukan prosedur sebagai berikut.

Book 1.indb 28 6/20/13 9:39 PM

Matematika 29

Langkah pertama yang dilakukan adalah memeriksa banyak anggota himpunan A dan banyak anggota himpunan B. Jika anggota himpunan A lebih banyak dari anggota himpunan B maka A B, jika banyak anggota himpunan A kurang dari atau sama dengan banyak anggota himpunan B maka lanjut ke langkah selanjutnya.

Periksa apakah setiap anggotahimpunanA merupakan anggota himpunan B. Jika seluruh anggota himpunan A merupakan anggota himpunan B maka A B. Jika ada anggota himpunan A yang bukan merupakan anggota himpunan B maka A B.

Agar siswa lebih memahami konsep himpunan bagian dan bukan himpunan bagian,perhatikancontohberikut!

Contoh 1.8

Diberikanhimpunan-himpunan:

P = { x | x bilangan asli, 0 < x n (terbukti)

Kasus (b) jika m = n, maka aa=

m

n 1.Untuk pembuktiannya perhatikan

sifat-3 berikut.

Book 1.indb 178 6/20/13 9:40 PM

Matematika 179

Sifat -2.3Jika a bilangan real dan a 0, m dan n adalah bilangan bulat positif dengan m = n, maka a

a=

m

n 1

Bukti:aa=

m

naa=

m

naa=

m

n

, sebab m = n

kelas 07 smp matematika guru

Documents