kata sambutan - math.ui.ac.id · kata sambutan seminar nasional matematika 2017 wilayah jabar-dki...
TRANSCRIPT
i
ii
KATA SAMBUTAN
SEMINAR NASIONAL
MATEMATIKA 2017
WILAYAH
JABAR-DKI JAKARTA-BANTEN
iii
Dekan FMIPA Universitas Indonesia
Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Salam sejahtera untuk kita semua.
Atas nama Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas
Indonesia, dengan bangga saya mengucapkan selamat kepada semua peserta pada
Seminar Nasional Matematika 2017 yang diselenggarakan pada tanggal 11
Februari 2017 di Universitas Indonesia, Depok. Ucapan terima kasih saya
sampaikan kepada pihak IndoMS Pusat dan IndoMS Wilayah JABAR, Banten, dan
DKI Jakarta atas kepercayaannya kepada Universitas Indonesia dalam hal ini
Departemen Matematika FMIPA sebagai tuan rumah kegiatan sarasehan dan
sosialisasi program kerja IndoMS Pusat dan IndoMS Wilayah JABAR, Banten, dan
DKI Jakarta.
Seminar Nasional ini merupakan seminar yang telah dilaksanakan secara
bergantian oleh Universitas Indonesia dan Universitas Padjadjaran sejak 20 tahun
yang lalu. Pihak Universitas Indonesia sebagai salah satu perguruan tinggi yang
menjadi pelopor perkembangan peran ilmu pengetahuan di Indonesia tidak henti-
hentinya mendorong segenap civitas akademika, termasuk di FMIPA UI untuk
menghilirkan penelitiannya agar dapat memberikan dampak nyata pada kemajuan
bangsa dan tanah air.
Saya ucapkan terima kasih kepada para pembicara utama, peserta dan tentunya
kepada panitia pelaksana SNM 2017 ini. Semoga kegiatan ini dapat memberikan
manfaat yang besar kepada kita semua dan bangsa Indonesia.
Salam hangat,
Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Dekan FMIPA Universitas Indonesia
Dr. rer. nat. Abdul Haris
iv
Gubernur IndoMS JABAR, Banten, dan DKI Jakarta
Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Salam sejahtera untuk kita semua.
Atas nama Indonesian Mathematical Society (IndoMS), sebuah kebanggaan yang
besar bagi saya untuk menyampaikan selamat kepada semua peserta Seminar
Nasional Matematika (SNM) 2017 yang diadakan pada tanggal 11 Februari 2017 di
Departemen Matematika FMIPA UI, Depok.
IndoMS pada tahun ini bekerjasama dengan pihak penyelenggara lokal,
mengadakan cukup banyak aktivitas temu ilmiah di berbagai daerah di Indonesia,
termasuk salah satunya pada tahun ini yaitu SNM 2017 yang dirangkaikan dengan
Sarasehan IndoMS Wilayah JABAR, Banten, dan DKI Jakarta serta sosialisasi
program kerja IndoMS Pusat. Penyelenggaraan SNM 2017 tidak hanya merupakan
program berkelanjutan dari pihak IndoMS, Universitas Indonesia dan Universitas
Padjadjaran, namun juga merupakan sebuah kegiatan yang akan membawa peluang
besar kepada seluruh pihak yang terlibat untuk menyeminarkan dan mendiskusikan
hasil penelitian di berbagai bidang matematika.
Kami mengucapkan terima kasih kepada para pembicara utama, peserta dari
berbagai daerah di Indonesia, dan panitia SNM 2017. Ucapan terima kasih
khususnya kami sampaikan kepada Departemen Matematika, FMIPA Universitas
Indonesia yang bersedia menjadi tuan rumah. Saya berharap agar SNM 2017 ini
dapat memberikan manfaat yang besar kepada kita semua.
Salam hangat,
Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Gubernur IndoMS JABAR, Banten dan DKI Jakarta.
Alhadi Bustamam, Ph.D.
v
Ketua Panitia Seminar Nasional Matematika 2017
Salam sejahtera bagi kita semua.
Matematika sebagai salah satu bidang ilmu yang penerapannya banyak digunakan
di berbagai bidang, telah diterapkan pula pada berbagai kajian dan penelitian di
masalah lingkungan. Pentingnya masalah pelestarian dan bagaimana mengatasi
perubahan-perubahan fenomena lingkungan tersebut menjadi dasar dalam
penentuan tema utama pada Seminar Nasional Matematika (SNM) 2017 ini, yakni
“Peranan Matematika dalam Memahami Fenomena Lingkungan”.
Seminar Nasional Matematika merupakan perkembangan dari Seminar Matematika
Bersama UI-UNPAD yang telah dilaksanakan sejak lebih dari 20 tahun yang lalu.
SNM merupakan salah satu forum nasional bagi para matematikawan, peminat atau
pemerhati Matematika dan para pengguna Matematika untuk saling berbagi
pengetahuan dan pengalaman terhadap hasil penelitian dan penerapan matematika
di berbagai hal. Melalui SNM 2017 diharapkan peserta yang berasal dari berbagai
perguruan tinggi dan institusi di Indonesia dapat berpartisipasi dan berkontribusi
sesuai dengan kepakaran bidang masing-masing di dalam mengatasi dan
menyelesaikan masalah lingkungan beserta berbagai fenomenanya. Makalah yang
masuk ke pihak penyelenggara meliputi berbagai bidang, seperti Analisis dan
Geometri, Aljabar, Statistika dan aplikasinya, Matematika Keuangan dan Aktuaria,
Kombinatorika, Komputasi, Pendidikan Matematika, Optimisasi, Pemodelan
Matematika dan bidang terapan lainnya.
Penyelenggara SNM 2017 memberikan apresiasi yang setinggi-tingginya kepada
berbagai pihak, antara lain Himpunan Matematika Indonesia wilayah Jabar, DKI
Jakarta, dan Banten, Program Studi Matematika Universitas Padjadjaran, serta
FMIPA UI yang telah memberikan dukungan dan bantuan dalam penyelenggaraan
seminar nasional ini. Tidak lupa kami ucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya
kepada para sponsor yang telah berkontribusi dan kepada panitia SNM 2017
sehingga SNM 2017 dapat terselenggara.
Hormat kami,
Ketua Panitia SNM 2017
Bevina D. Handari Ph.D
vi
UCAPAN TERIMA KASIH
Panitia Seminar Nasional Matematika 2017 menyampaikan ucapan terima kasih
dan penghargaan kepada Pimpinan Universitas, Pimpinan Fakultas, Pimpinan
Departemen, dan para sponsor, atas dukungannya dalam bentuk dana, fasilitas, dan
lain-lain, untuk terselenggaranya seminar ini.
Secara khusus Panitia Seminar Nasional Matematika 2017 menyampaikan ucapan
terima kasih kepada:
1. Rektor Universitas Indonesia
2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
3. Ketua Departemen Matematika FMIPA Universitas Indonesia
4. Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran
5. Direktur Utama PT Reasuransi Indonesia Utama
6. Rektor Universitas Gunadarma
7. Direktur Utama PT Tokio Marine Life Insurance Indonesia
8. Direktur Utama PT AIA Financial Indonesia
9. Direktur Utama PT BNI Life Insurance
10. Direktur Utama BPJS Ketenagakerjaan
11. Ketua Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)
12. Direktur Utama PT Asuransi Cigna
Panitia Seminar Nasional Matematika 2017 juga mengucapkan terima kasih kepada
pembicara utama Prof. Dr. Jatna Supriatna, M.Sc (Ketua RCCC Universitas
Indonesia), Dr. Sri Purwani (Dosen Departemen Matematika FMIPA Universitas
Padjadjaran), Dr. Ardhasena Sopaheluwakan (Kepala Bidang Litbang Klimatologi
dan Kualitas Udara BMKG), para pemakalah pada sesi paralel, setiap tamu
undangan, dan seluruh peserta Seminar Nasional Matematika 2017.
vii
DAFTAR PANITIA SNM 2017
PELINDUNG
1. Prof. Dr. Ir. Muhammad Anis, M.Met. (Rektor Universitas Indonesia)
2. Dr. rer. nat. Abdul Haris (Dekan FMIPA Universitas Indonesia)
KOMISI PENGARAH
1. Alhadi Bustamam, Ph.D. (Gubernur IndoMS JABAR, DKI Jakarta, dan
Banten, sekaligus sebagai Ketua Departemen Matematika, FMIPA Universitas
Indonesia)
2. Prof. Dr. A.K. Supriatna (Ketua Jurusan Matematika, FMIPA Universitas
Padjadjaran)
PANITIA PELAKSANA
1. Ketua : Bevina D. Handari, Ph.D.
2. Sekretaris : Dr. Dipo Aldila
3. Bendahara : Dra. Siti Aminah, M.Kom.
4. Pendanaan : Mila Novita, S.Si., M.Si.
Dr. Titin Siswantining, DEA.
5. Acara : Nora Hariadi, S.Si., M.Si.
Dra. Ida Fithriani, M.Si.
6. Makalah dan Prosiding : Dra. Siti Nurrohmah, M.Si.
Dr. rer. nat. Hendri Murfi
7. Perlengkapan : Maulana Malik, S.Si., M.Si.
Dr. Saskya Mary Soemartojo, M.Si.
Suci Fratama Sari, S.Si., M.Si.
Gianinna Ardaneswari, S.Si., M.Si.
viii
DAFTAR ISI
KATA SAMBUTAN ............................................................................................... ii
Dekan FMIPA Universitas Indonesia .............................................................. iii
Gubernur IndoMS JABAR, Banten, dan DKI Jakarta .................................. iv
Ketua Panitia Seminar Nasional Matematika 2017 ......................................... v
UCAPAN TERIMA KASIH ................................................................................. vi
DAFTAR PANITIA SNM 2017 ........................................................................... vii
DAFTAR ISI......................................................................................................... viii
PEMBICARA UTAMA ......................................................................................... xi
PERANAN MATEMATIKA DALAM MEMAHAMI FENOMENA
LINGKUNGAN ................................................................................................. xii
Prof. Dr. Jatna Supriatna, M.Sc ...................................................................... xii
UNDERSTANDING INDONESIAN ENVIRONMENTAL PHENOMENA,
AND IMPROVING HUMAN LIVES ............................................................ xiv
Dr. Sri Purwani .............................................................................................. xiv
PERSPEKTIF SINGKAT IKLIM DI INDONESIA: PEMODELAN DAN
STATUS PERUBAHAN IKLIM. .................................................................... xv
Dr. Ardhasena Sopaheluwakan ....................................................................... xv
SESI PARALEL .................................................................................................. 431
MATEMATIKA KEUANGAN DAN AKTUARIA ......................................... 431
PERBANDINGAN VOLATILITAS KONSTAN DAN STOKASTIK PADA
NILAI OPSI PUT AMERIKA ...................................................................... 432
ENDAR H. NUGRAHANI ........................................................................... 432
SIMULASI MONTE CARLO UNTUK MENENTUKAN HARGA OPSI
BARRIER UP-AND-OUT CALL DENGAN SUKU BUNGA
TAKKONSTAN .............................................................................................. 440
ISTI KAMILA1, E H NUGRAHANI2, DAN D C LESMANA3 ................... 440
APLIKASI MODEL ADAPTIVE NEURO FUZZY INFERENCE SYSTEM
PADA PREDIKSI HARGA SAHAM DI INDONESIA .............................. 446
DHEA FAIRUZ VIBRANTI, ZUHERMAN RUSTAM, DHIAN WIDYA 446
ix
PREDIKSI TREND HARGA SAHAM MENGGUNAKAN SUPPORT
VECTOR REGRESSION .............................................................................. 456
DIVA ARUM PUSPITASARI, ZUHERMAN RUSTAM ........................... 456
PREDIKSI HARGA INDEKS SAHAM IHSG DENGAN METODE
ADAPTIVE NEURO-FUZZY INFERENCE SYSTEMS ........................... 467
FANITA, ZUHERMAN RUSTAM .............................................................. 467
NILAI RISIKO PADA INVESTASI MATA UANG US$-CNY
BERDASARKAN ASYMMETRIC GJR-GARCH COPULA .................... 474
LIENDA NOVIYANTI 1, ACHMAD BACHRUDIN 2, A. ZANBAR SOLEH
3 DAN M. HUSEIN NURRAHMAT4 .......................................................... 474
APLIKASI ANN DALAM MENENTUKAN TRADING SAHAM
BERBASIS ANALISIS TEKNIKAL ............................................................ 485
IRMAWARDANI SARAGIH1, ZUHERMAN RUSTAM2 ......................... 485
SUKU BUNGA KREDIT INVESTASI IDEAL BANK UMUM DENGAN
ACUAN BI RATE (PENDEKATAN THRESHOLD VECTOR ERROR
CORRECTION MODEL) .............................................................................. 493
GAMA PUTRA DANU SOHIBIEN ............................................................ 493
FAKTOR-FAKTOR YANG MEMPENGARUHI STATUS POLIS
DENGAN MODEL REGRESI LOGISTIK MULTINOMIAL .................. 509
JAMILATUZZAHRO1, REZZY EKO CARAKA2,3, GUSTRIZA ERDA4,
FIZRY LISTIYANI MAULIDA4 ................................................................. 509
ESTIMASI PARAMETER TINGKAT MORTALITA DENGAN
MENGGUNAKAN MODEL LEE-CARTER .............................................. 522
LUTFIANI SAFITRI1, SRI MARDIYATI2 ................................................. 522
PENAKSIRAN SELISIH TINGKAT KLAIM BERDASARKAN
PROSEDUR MORRIS-VAN SLYKE ........................................................... 528
ANISA RATNASARI1, SITI NURROHMAH2, IDA FITHRIANI3 ............ 528
PREDIKSI PREMI MURNI DENGAN GENERALIZED LINEAR
MODELS (GLM) PADA ASURANSI KENDARAAN BERMOTOR ....... 539
AGUS SUPRIATNA1, ENDANG SOERYANA, SARI, D.P., .................... 539
PERHITUNGAN PREMI DALAM ASURANSI JIWA KREDIT DENGAN
MENGGUNAKAN PRINSIP PRESENT VALUE OF FUTURE BENEFIT
(PVFB) ............................................................................................................. 549
RIAMAN1, F. SUKONO2, SUDARTIANTO3, EMAN LESMANA4, DAN
AGUS SUPRIATNA5 ................................................................................... 549
x
PREMI KOTOR SEMI CONTINUOUS ASURANSI DWIGUNA SINGLE
LIFE MULTIPLE DECREMENT DENGAN TINGKAT BUNGA
VASICEK ........................................................................................................ 557
ACHMAD ZANBAR SOLEH1, LIENDA NOVIYANTI2, DAN CAHYADI
RUSNANDAR3 ............................................................................................ 557
ALJABAR-ANALISIS ....................................................................................... 565
PENYAJIAN KODE GENETIK STANDAR DALAM RUANG
BERDIMENSI ENAM BERDASARKAN BASA KUAT NUKLEOTIDA 566
RIYAN ADRIYANSYAH1, ISAH AISAH2, EDI KURNIADI3 .................. 566
INTEGRAL MONTE CARLO ...................................................................... 577
EDDY DJAUHARI ...................................................................................... 577
KEKONVERGENAN BARISAN di ................................................ 584
SUSILO HARTOMO, MUKTIARI, KIKI A SUGENG .............................. 584
EMPAT METODE PEMBENTUKAN FUNGSI LYAPUNOV ................. 593
RUKMONO BUDI UTOMO........................................................................ 593
PENGARUH ELEMEN PRIMITIF DARI GRUP SIKLIK ℤ *
TERHADAP ALGORITMA KRIPTOGRAFI ELGAMAL UNTUK
ENKRIPSI PESAN ......................................................................................... 602
MOHAMMAD HEADING NOR ILAHI1, ANNISA DINI HANDAYANI2
...................................................................................................................... 602
xi
PEMBICARA UTAMA
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA 2017
xii
PERANAN MATEMATIKA DALAM MEMAHAMI
FENOMENA LINGKUNGAN
Prof. Dr. Jatna Supriatna, M.Sc
Ketua RCCC Universitas Indonesia
Abstrak: Pembangunan berkelanjutan (SDG-Sustainable Development Goal) yang
dicanangkan PBB untuk menggantikan Millenium Development Goal (MDG)
sudah dimulai sejak awal 2016 dan akan berakhir 2030. Dari 17 goal dari SDG, 10
goal adalah traditional development, satu goal adalah kerjasama antar pemangku
kepentingan (SDG 17) dan 6 goal adalah emerging issues dalam permasalahamn
lingkungan yaitu Energi terbarukan (SDG 7), Pembangunan kota dan masyarakat
(SDG 11), Konsumsi bertanggung jawab (12), Perubahan iklim (SDG 13), Laut
dan kehidupan bawah air (SDG 14), dan Kehidupan Flora dan Fauna di darat
(SDG 15). Ke enam permasalahan lingkungan dalam pembangunan berkelanjutan
yang baru ini tidak ada dalam target pembangunan MDG, sehingga banyak sekali
diperlukan riset untuk dapat membuat berbagai kebijakan yang berdasarkan
evidence based decision, mengadaptasikan rencana sesuai dengan kesiapan dan
ketersediaan, pembuatan berbagai computer and mathematical model
pengembangan SDG sampai 2030, mengarusutamakan SDG ke dalam rencana
pembangunan RPJM/RPJP pemerintah pusat dan daerah dan bagaimana membuat
MRV (Measuring, Reporting, Verification) dari setiap goal yang baru. Peranan
pakar matematika sangat besar dalam membantu pelaksanaan pembangunan
berkelanjutan. Sebagai contoh adalah masalah perubahan iklim. Masalah
perubahan iklim adalah masalah terbesar dunia saat ini. Hasil survey Asahi Glass
Foundation (2013) tampak bahwa masalah dunia terbesar saat ini adalah
perubahan iklim (20%) dibanding dengan masalah lingkungan lainnya yang
berkisar antara 10% (polusi) , keanekaragaman hayati (6%) dan yang lainya.
Model-model matematika dan komputer diperlukan untuk mengetahui dampak
perubahan iklim terhadap kenaikan permukaan laut, cuaca ekstrim, kesehatan,
ekonomi, pertanian, flora dan fauna, ketersediaan pakan, air dan lainnya dalam
bentuk time series. Untuk MRV, diperlukan pedoman Pelaksanaan Pengukuran,
Pelaporan, dan Verifikasi Aksi Mitigasi dan adaptasi dari setiap program di setiap
xiii
sektor pemerintah, swasta dan juga termasuk masyarakat. Capaian Aksi Mitigasi
dan adapatasi Perubahan Iklim yang akurat, transparan, dan dapat
dipertanggungjawabkan hanya dapat dilakukan apabila dilakukan oleh berbagai
pakar terintegrasi termasuk pakar matematika dan statistik. Pemerintah harus
mengatur (i) tatacara Pengukuran Aksi Mitigasi adaptasi dan Perubahan Iklim, (ii)
tatacara pelaporan aksi mitigasi dan adaptasi perubahan iklim (iii) tatacara
verifikasi capaian aksi mitigasi dan adaptasi perubahan iklim (iv) tatacara
penilaian. Semua pengaturan tersebut memerlukan perhitungan yang pasti dan
mendalam karena dampak dari perubahan iklim dapat menghancurkan
perekonomian, membahayakan keberadaan ekosistem manusia, dalam jangka
panjang dapat mempengaruhi peradaban dunia.
xiv
UNDERSTANDING INDONESIAN ENVIRONMENTAL
PHENOMENA, AND IMPROVING HUMAN LIVES
Dr. Sri Purwani
Departemen Matematika, FMIPA Universitas Padjadjaran
Abstract: The universe and the environment around us were created perfectly by
Alloh. However, we find a lot of damage and disaster everywhere (Ar-Rum 30:41).
This case, afflicting the environment and people of Indonesia, of course was
through a long process. Indonesia, the country with the largest ocean border in the
world, has experienced prosperity, well-being and peace in society. Understanding
what the cause and how the process of occurrence, can provide answers for future
improvements.
Human beings as part of the environment face the same thing. Various disease
emerges, afflicts human survival. Imaging Sciences as a branch of knowledge is
widely used in medical images analysis, range from disease detection, such as
Alzheimer's, asthma, cancer and so on, up to image-guided surgery. This field
involves many disciplines, hence providing opportunities for mathematicians to
conduct research collaboration with scientists from various disciplines.
Registration and Segmentation, two important processes in the analysis of medical
images, aims to find correspondence between two or more images, and attempts to
extract structures/tissues within images, respectively. Previously, both processes
are done separately. However, information from one process can be used to assist
the other, and vice versa. Therefore, we tried to combine both processes
implemented on database of MR brain images.
One of Petrovic et al. paper shows that adding structural information in their
registration stage improved the result significantly, compared to registration using
intensity alone. However, they only used little structural information. We
attempted to include more structural information/segmentation in our new
methods, and implemented groupwise registration to sets of images, consisting of
tissue fraction images, intensity image and images with other structural
information. The results of the registration were evaluated by using ground-truth
annotation. It was found that ensemble registration using structural information can
give a consistent improvement over registration using intensity alone of 25%-35%.
xv
PERSPEKTIF SINGKAT IKLIM DI INDONESIA:
PEMODELAN DAN STATUS PERUBAHAN IKLIM.
Dr. Ardhasena Sopaheluwakan
Kepala Bidang Litbang Klimatologi dan Kualitas Udara
Pusat Penelitian dan Pengembangan Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika
(BMKG)
Abstrak: Iklim memiliki peranan penting dalam mendukung perikehidupan di
bumi ini. Memiliki pengetahuan mengenai evolusi iklim (lampau dan kini) akan
memberikan pemahaman untuk penggunaannya pada sektor yang penting, semisal
pertanian dan ketahanan pangan. Sedangkan memiliki kemampuan untuk prediksi
iklim yang akan datang, akan memberikan keunggulan untuk perencanaan strategis
pembangunan bangsa-bangsa agar perikehidupannya dapat berkelanjutan
(sustainable development).
Untuk mendapatkan deskripsi yang lengkap atas dinamika iklim di atmosfir,
melibatkan pemodelan dengan rentang skala ruang yang sangat besar, melibatkan
ukuran dari micrometer (butiran awan) hingga ribuan kilometer (planetary scale),
yang melingkupi rentang ukuran ruang hingga 10^{14} meter. Pada saat ini
pemodelan yang tersedia baru memenuhi sebagian dari skala rentang yang besar
tersebut, sehingga tantangan untuk melengkapinya masih terbuka lebar. Presentasi
ini akan memberikan beberapa highlight mengenai pemodelan iklim, karakter iklim
di Indonesia, dan perubahan iklim yang sedang terjadi.
431
SESI PARALEL
MATEMATIKA KEUANGAN
DAN AKTUARIA
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA 2017
432
Prosiding SNM 2017 Matemat ika Keuangan dan Aktuar ia , Hal 432 -439
PERBANDINGAN VOLATILITAS KONSTAN DAN
STOKASTIK PADA NILAI OPSI PUT AMERIKA
ENDAR H. NUGRAHANI
Departemen Matematika - Institut Pertanian Bogor, [email protected]
Abstrak. Salah satu parameter finansial pada kontrak opsi yang harus
mendapatkan perhatian adalah volatilitas, yaitu nilai ukuran variasi dari harga
aset yang mendasari opsi. Opsi Amerika dapat dieksekusi pada sembarang
waktu sampai saat jatuh tempo. Menentukan harga opsi Amerika pada
prinsipnya adalah menyelesaikan suatu proses mundur dengan nilai batas
bebas tertentu. Karena opsi tipe Amerika tidak memiliki penyelesaian
analitis, maka umumnya penyelesaian harus diberikan secara numerik.
Makalah ini menyajikan beberapa formulasi nilai batas pada model penilaian
opsi put Amerika, disertai perbandingan hasil simulasi model dengan
volatilitas konstan dan stokastik.
Kata kunci: opsi put Amerika, volatilitas stokastik, masalah nilai batas.
1. Pendahuluan
Kontrak opsi adalah perjanjian antara dua pihak yang memberikan hak
kepada salah satu pihak, untuk menjual atau membeli aset pada harga yang telah
disepakati sampai waktu jatuh tempo. Pada dasarnya ada dua tipe opsi, yaitu opsi
put dan opsi call. Opsi put adalah kontrak opsi yang memberikan hak kepada
pemiliknya untuk menjual sejumlah aset. Sedangkan opsi call adalah kontrak opsi
yang memberikan hak kepada pemiliknya untuk membeli sejumlah aset yang
mendasari.
Berdasarkan waktu eksekusinya, kontrak opsi dibedakan atas opsi Amerika
dan Eropa. Opsi Amerika adalah kontrak opsi yang dapat dieksekusi kapan saja
antara tanggal pembelian sampai dengan tanggal jatuh tempo (expiration date).
Sedangkan opsi Eropa adalah opsi yang hanya dapat dieksekusi pada saat tanggal
jatuh tempo. Untuk mendapatkan kontrak opsi, investor harus mengeluarkan biaya
(premi) dan pembayarannya dilakukan pada saat kontrak dibuat, yang disebut juga
dengan nilai opsi [1,5].
Pada opsi tipe Eropa, teori penilaian opsi telah dikembangkan sejak tahun
1973 oleh Black dan Scholes dalam bentuk penyelesaian persamaan diferensial
parsial Black-Scholes. Di samping itu, Merton mempublikasikan hasil karyanya
yang merupakan perluasan dari formula Black-Scholes, yang dikenal dengan
formula Black-Scholes-Merton untuk nilai opsi Eropa [1]. Setelah itu, beberapa
peneliti lain berhasil memodelkan opsi Amerika dengan melakukan penyesuaian
433
argumentasi terhadap penurunan persamaan Black-Scholes. Dengan penyesuaian
argumentasi ini, akan diperoleh model formula Black-Scholes untuk opsi Amerika
dalam bentuk ketaksamaan [5]. Berbeda dengan opsi Eropa yang nilainya dapat
ditentukan secara analitis menggunakan persamaan Black-Scholes, maka opsi
Amerika hanya dapat diselesaikan secara numerik terhadap ketaksamaan Black-
Scholes tersebut. Aset yang mendasari opsi umumnya adalah aset yang memiliki
kecenderungan berubah nilainya seiring perubahan waktu karena diperdagangkan,
misalkan saham. Salah satu parameter finansial yang harus mendapatkan perhatian
adalah volatilitas, yaitu nilai ukuran variasi dari harga aset tersebut. Volatilitas itu
sendiri pada umumnya diasumsikan sebagai parameter konstan. Akan tetapi, dalam
rangka membuat model lebih realistis, volatilitas ini dapat pula diasumsikan
sebagai suatu peubah acak yang dapat berubah sejalan dengan perubahan waktu
sesuai kaidah peluang tertentu, yang disebut volatilitas stokastik [2].
Tahap penting dalam penilaian opsi Amerika adalah menemukan batas
eksekusi awal, yang menunjukkan keadaan kapan opsi sebaiknya dieksekusi
sebelum jatuh tempo. Akan tetapi, penyelesaian eksplisit masalah nilai awal ini
tidak diketahui karena tidak terdapat bentuk eksplisit dari syarat batasnya. Dalam
makalah ini disajikan penentuan nilai opsi put Amerika, dengan parameter
volatilitas diasumsikan konstan serta dibandingkan dengan volatilitas stokastik.
2. Pemodelan Saham dan Derivatif
Sebagai aset yang mendasari opsi, harga saham diasumsikan mengikuti
proses Itô [1] berikut
(1)
dengan dS menyatakan perubahan harga saham pada interval waktu dt, μ adalah
parameter konstan yang menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham
dan σ volatilitas harga saham. Pada model ini parameter volatilitas σ diasumsikan
bernilai konstan. Dengan model tersebut, dapat ditunjukkan bahwa harga saham
pada saat t memiliki distribusi log-normal, yaitu
melambangkan distribusi normal dengan nilai tengah dan ragam , S0
adalah harga saham awal. Apabila tingkat pertumbuhan harga saham μ dianggap
sama dengan tingkat suku bunga bebas risiko r, maka penyelesaian persamaan (1)
memberikan penduga harga saham pada saat t sebagai
(2)
Misalkan adalah suatu fungsi dari harga saham S. Lemma Itô
menunjukkan bahwa juga merupakan suatu proses stokastik yang sama
dengan aset yang mendasarinya, sehingga memenuhi proses Itô menurut model
berikut:
(3)
434
Untuk menghilangkan pengaruh stokastik pada proses Wiener dW, dipilih sebuah
portofolio yang diinvestasikan pada saham dan derivatif. Strategi yang dipilih
adalah membeli satu opsi dan menjual
saham. Misalnya π adalah nilai portfolio
yang dimaksud, maka
. (4)
Perubahan nilai portofolio pada interval waktu dt didefinisikan sebagai
. (5)
Substitusi (1) dan (3) ke (5) menghasilkan
. (6)
Tingkat pengembalian (return) dari investasi sebesar π pada saham takberisiko
akan memiliki pertumbuhan sebesar rπdt dalam interval waktu dt, dengan r adalah
suku bunga bebas risiko. Agar tidak terdapat peluang arbitrase, nilai pertumbuhan
ini harus sama dengan ruas kanan dari (6), yaitu:
. (7)
Substitusi (4) ke (7) menghasilkan
(8)
yang dikenal sebagai persamaan Black-Scholes-Merton[1]. Persamaan (8) harus
dipenuhi oleh semua produk derivatif f agar layak diperdagangkan, yang berarti
tidak menimbulkan kesempatan arbitras.
Misalkan produk derivatif yang dimaksud adalah opsi tipe Eropa, dapat
berupa opsi put ataupun call. Misalkan pula opsi tersebut memiliki masa jatuh
tempo T, dengan nilai saham sekarang S0, volatilitas saham σ dan tingkat suku
bunga r. Formula Black-Scholes untuk nilai opsi sebagai penyelesaian risiko netral
dari (8) untuk nilai opsi put p dan opsi call c adalah [1]:
(9)
dengan
dan
Formula (9) untuk penilaian opsi disebut sebagai formula Black-Scholes [1].
435
3. Model Opsi Amerika
Untuk opsi tipe Amerika, persamaan (7) tidak dipenuhi karena pendapatan portofolio tidaklah lebih banyak dari suku bunga bebas risiko portofolio itu, sehingga
Dengan demikian, hal itu menjadi alasan bagi pemegang opsi Amerika untuk
mengontrol kapan opsi yang dimiliki akan dieksekusi. Jika eksekusinya tidak
optimal, maka nilai perubahan portofolio akan kurang dari return tanpa risiko,
sehingga didapat pertidaksamaan:
. (10)
Pertidaksamaan (10) adalah dikenal sebagai pertaksamaan Black-Scholes untuk
opsi Amerika [1]. Pada kasus ini volatilitas diasumsikan konstan sebesar .
Opsi Put Amerika dengan Volatilitas Konstan
Jika opsi Amerika yang dimaksud adalah opsi put, maka kondisi batas
bawah untuk opsi put Amerika adalah
. (11)
Alasan yang mendasarinya adalah sebagai berikut: jika seseorang
dapat membeli opsi put f, dan segera mengeksekusinya, yaitu dengan membeli S
dan menjualnya sebesar K. Dengan demikian investor memperoleh pendapatan tak
berisiko sebesar .
Misalkan menyatakan harga kritis saham sedemikian sehingga opsi
akan optimal apabila dieksekusi lebih awal dan . Jika maka
opsi akan dieksekusi, namun jika opsi tidak dieksekusi. Dengan demikian
(11) dapat dinyatakan dengan:
(12a)
atau
. (12b)
Karena tidak diketahui posisinya, penyelesaian terhadap ini disebut
masalah nilai batas bebas (free buondary-value problem). Dengan demikian
masalah nilai batas bebas dari opsi put Amerika dapat diformulasikan sebagai
berikut [4].
Untuk berlaku
dan . (13)
Sedangkan untuk berlaku
dan . (14)
436
Selanjutnya dipenuhi syarat batas
dan syarat akhir
Nilai opsi didapatkan dengan menyelesaikan (13) dan (14) apabila nilai batas
diberikan. Karena tidak tersedianya bentuk eksplisit dari nilai batas tersebut,
maka umumnya nilai ditentukan secara numerik.
Opsi Put Amerika dengan Volatilitas Stokastik
Salah satu kelemahan utama model Black-Scholes adalah bahwa volatilitas
dari aset yang mendasari opsi diasumsikan konstan sepanjang waktu. Salah satu
cara untuk mengatasi kekurangan tersebut adalah dengan memodifikasi model
sehingga memiliki volatilitas stokastik [2]. Pada model tersebut, dimisalkan harga
saham sebagai aset yang mendasari opsi mengikuti model gerak Brown dengan
ragam bervariasi, yang disebut sebagai proses Cox-Ingersoll-Ross, yang berbentuk
suatu sistem persamaan diferensial stokastik
, (15)
, (16)
, (17)
dengan adalah varians pada saat t, adalah rata-rata varians jangka panjang,
adalah tingkat perubahan rataan, adalah drift dari saham, adalah volatilitas dari
varians, adalah korelasi antara imbal hasil saham dan perubahan varians.
Parameter korelasi dimasukkan dalam model karena diyakini adanya fakta korelasi
negatif antara imbal hasil saham dan perubahan varians.
Model dengan volatilitas stokastik dirumuskan dengan mengasumsikan
bahwa batas kritis harga saham untuk eksekusi opsi Amerika bergantung pada
volatilitas stokastik , dinotasikan dengan . Nilai opsi juga memenuhi
persamaan berikut:
Selanjutnya menggunakan argumentasi non-arbitras pada sistem persamaan
diferensial stokastik (15) – (17), dapat disusun model sistem persamaan diferensial
parsial untuk nilai opsi beserta syarat batasnya sebagai berikut:
(20)
437
Sedangkan persamaan diferensial untuk nilai batas adalah
Selanjutnya, menggunakan (18) – (22) didapatkan nilai batas sebagai
penyelesaian dari persamaan berikut:
Persamaan (23) dapat diselesaikan apabila nilai awal bagi diketahui. Akan tetapi
nilai awal tersebut relatif sulit untuk diperoleh, sehingga prosedur numerik
diperlukan untuk menyelesaikan nilai batas tersebut.
4. Simulasi
Sebagai ilustrasi, berikut disajikan beberapa hasil simulasi dari berbagai
sumber. Pertama, penyelesaian masalah nilai batas secara numerik untuk penentuan
nilai opsi put Amerika dengan volatilitas konstan pada berbagai nilai saham awal
diberikan pada Gambar 1, serta nilai opsi put terhadap berbagai nilai volatilitas
konstan diberikan pada Gambar 2 [3]. Sedangkan ilustrasi penyelesaian numerik
untuk model volatilitas stokastik [2] diberikan pada Gambar 3.
Nil
ai O
psi
pu
t, p
Harga awal saham, S0
Gambar 1. Hasil simulasi numerik nilai opsi put Amerika terhadap harga saham
awal dengan volatilitas konstan.
438
Nil
ai O
psi
pu
t, p
Volatilitas, σ
Gambar 2. Hasil simulasi numerik nilai opsi put Amerika terhadap berbagai nilai
volatilitas konstan.
Nil
ai B
atas
Op
si,
b
Waktu t
Gambar 3. Hasil simulasi numerik nilai batas opsi put Amerika dengan volatilitas
stokastik.
Hasil simulasi terhadap nilai opsi pada kasus volatilitas konstan pada Gambar 1
menunjukkan bahwa nilai opsi put memiliki kecenderungan nilai yang menurun
apabila harga saham awal sebagai aset yang mendasari opsi mengalami penurunan.
Sedangkan hasil simulasi terhadap nilai batas opsi put Amerika pada Gambar 2
menunjukkan bahwa dengan semakin lama waktu untuk melakukan aksekusi awal,
maka nilai batas b akan semakin menurun.
439
5. Kesimpulan
Opsi put Amerika yang memiliki keleluasaan waktu eksekusi dapat
ditentukan nilainya dengan menyelesaikan masalah nilai batas bebas secara
numerik, baik pada kasus asumsi volatilitas konstan maupun volatilitas stokastik.
Hasil simulasi numerik menunjukkan bahwa volatilitas konstan yang semakin
tinggi akan memberikan nilai opsi put yang semakin tinggi pula. Sedangkan
simulasi volatilitas stokastik menunjukkan bahwa jika waktu eksekusi awal opsi
put Amerika semakin lama, maka semakin rendah nilai batas kritis saham untuk
eksekusi awal opsi put Amerika yang optimal.
Referensi
[1] Hull, J.C., 2012, Options, Futures, and Other Derivatives 8th Ed., Prentice Hall
International Inc.
[2] Mitchell, D. and Goodman, J., 2009, An Accurate Representation of the Early Exercise
Boundary of American Options with Stochastic Volatility, Working Paper #2009-3,
Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University.
[3] Nugrahani, E.H., Syazali, M. dan Suritno, 2011, Penilaian Opsi Put Amerika dengan
Metode Monte Carlo dan Metode Beda Hingga, Prosiding Seminar Nasional Sains IV,
Fakultas MIPA IPB, Bogor.
[4] Pauly, O., 2004, Numerical Simulation of American Option [theses], Universität Ulm,
Germany.
[5] Wilmott, P., Howison, S. and Dewynne, J., 1996, The Mathematics of Financial
Derivatives, Cambridge University Press, USA.
440
Prosiding SNM 2017 Matemat ika Keuangan dan Aktuar ia , Hal 440 -445
SIMULASI MONTE CARLO UNTUK MENENTUKAN
HARGA OPSI BARRIER UP-AND-OUT CALL DENGAN
SUKU BUNGA TAKKONSTAN
ISTI KAMILA1, E H NUGRAHANI
2, DAN D C LESMANA
3
1 Mahasiswa S2 Program Studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana IPB,
2 Departemen Matematika FMIPA IPB, [email protected]
3 Departemen Matematika FMIPA IPB, [email protected]
Abstrak. Penentuan harga opsi barrier selama ini pada umumnya
menggunakan model matematika yang mengasumsikan suku bunga takkonstan.
Hal ini tidak sesuai dengan kondisi sebenarnya dalam dunia keuangan karena suku
bunga berfluktuasi terhadap waktu. Dalam tulisan ini, ditentukan harga opsi barrier
jenis up-and-out call dengan suku bunga takkonstan dengan menggunakan exit
probabity dan peubah acak berdistribusi seragam untuk mengestimasi waktu pertama
kali harga underlying asset mencapai level harga barrier. Hasil simulasi Monte Carlo
memberikan hasil yang baik karena memberikan error yang kecil yaitu sebesar
0.19%. Membesarnya harga strike menyebabkan harga opsi barrier up-and-out call
menjadi semakin kecil. Membesarnya harga barrier menyebabkan harga opsi barrier
up-and-out call menjadi semakin besar. Di sisi lain, membesarnya waktu jatuh tempo
opsi menyebabkan harga opsi barrier up-and-out call menjadi semakin kecil.
Kata kunci: Monte Carlo, opsi barrier up-and-out call, suku bunga takkonstan, exit
probability
1. Pendahuluan
Banyak investor menggunakan uangnya untuk berinvestasi pada berbagai
produk investasi. Salah satu produk investasi yang sedang populer di pasar
keuangan adalah opsi. Untuk memberikan perlindungan yang lebih kepada penjual
dan pembeli, terbentuklah opsi barrier yang memberikan batas harga penentuan
aktif atau tidaknya opsi. Hal ini mengakibatkan opsi barrier menjadi semakin
banyak diminati.
Penentuan harga opsi barrier biasanya menggunakan model matematika
yang mengasumsikan suku bunga konstan. Akan tetapi ini tidak sesuai dengan
kondisi sebenarnya dalam dunia keuangan karena suku bunga berfluktuasi terhadap
waktu. Akibatnya, dibutuhkan suatu alat untuk menentukan harga opsi barrier.
Penentuan harga opsi barrier bisa dilakukan dengan dua cara, yaitu
menyelesaikan persamaan diferensial parsial (PDP) Black-Scholes dan menghitung
nilai harapan dari payoff terdiskon (Moon 2008). Pada tulisan ini, penghitungan
harga opsi barrier dilakukan dengan cara menghitung nilai harapan dari payoff
441
terdiskon. Untuk mengaproksimasi nilai harapan payoff terdiskon, metode yang
dapat digunakan adalah metode binomial Lattice dan metode Monte Carlo. Pada
tulisan ini, digunakan metode Monte Carlo untuk menghitung harga opsi barrier.
Penghitungan harga opsi barrier telah diteliti oleh Moon (2008) dan Noury dan
Abbasi (2015) dengan menggunakan metode modifikasi Monte Carlo. Pada
modifikasi Monte Carlo tersebut, diberi exit probability dan peubah acak seragam
untuk mengaproksimasi waktu pertama kali harga underlying asset menyentuh
barrier. Solusi numerik yang dihasilkan dari penelitian mereka mendekati nilai
eksak dan memperkecil error waktu pertama kali harga aset S menyentuh barrier.
Kelemahan penelitian ini adalah menggunakan asumsi suku bunga konstan. Suku
bunga yang berfluktuasi yang terjadi di kehidupan nyata menyebabkan asumsi
tersebut tidak sesuai dengan praktik nyata, sehingga tulisan ini mengubah asumsi
tersebut menjadi suku bunga takkonstan.
Adapun langkah dalam menentukan harga opsi barrier jenis up-and-out call,
langkah pertama yang dilakukan adalah mengestimasi parameter model suku bunga
Cox-Ingersoll-Ross (CIR) menggunakan metode ordinary least square. Hasil
estimasi parameter model suku bunga CIR akan digunakan untuk menghitung suku
bunga pada setiap titik waktu. Suku bunga yang diperoleh akan digunakan untuk
menghitung harga opsi barrier up-and-out call dengan menggunakan metode
Monte Carlo yang ditambahkan dengan penggunaan exit probabity dan peubah
acak berdistribusi seragam, yang tujuannya untuk mengestimasi waktu pertama kali
harga underlying asset mencapai level harga barrier.
2. Tinjauan Pustaka
2.1 Model Cox-Ingersoll-Ross(CIR)
Model tingkat suku bunga CIR merupakan model equilibrium yang
diperkenalkan pada tahun 1985. Model CIR menjamin tingkat suku bunga bernilai
positif dan memiliki sifat mean reversion atau mempunyai kecenderungan kembali
menuju rata-rata. Persamaan model Cox-Ingersoll-Ross [1] adalah
( ) rdr t r t dt r t dz
dengan , 0 , r adalah volatilitas suku bunga, adalah rata-rata nilai suku
bunga jangka panjang, menunjukkan kecepatan dari nilai suku bunga menuju
rata-rata nilai suku bunga jangka panjang, dan dz adalah proses wiener. Drift
r t menjamin tingkat suku bunga pada waktu t kembali menuju rata-rata
suku bunga jangka panjang. Faktor r r t menghindari kemungkinan suku
bunga yang dihasilkan negatif.
Ketika tingkat suku bunga r t mendekati 0, standar deviasi r r t
menjadi sangat kecil, yang dapat memperkecil pengaruh keacakan tingkat suku
bunga. Akibatnya, ketika tingkat suku bunga mendekati 0, perubahan tingkat suku
bunga lebih didominasi oleh faktor drift, yang mendorong tingkat suku bunga
menuju ke arah kesetimbangan.
442
2.2 Metode Ordinary Least Square
Objek penelitian yang sering diteliti adalah spesifikasi dari sebuah hubungan
fungsional antara dua variabel, seperti y = f(x). Variabel y dinamakan variabel
terikat dan x adalah variabel bebas. Hubungan tersebut tidak dapat memberikan
informasi yang sempurna akibat adanya faktor-faktor dari luar yang tidak yang
tidak diteliti lebih lanjut. Hal ini menyebabkan akan adanya error dalam hubungan
tersebut. oleh karena itu, penulisan yang tepat untuk menggambarkan hubungan
fungsional pada penelitan adalah y = f(x) + ε, dengan ε adalah variabel acak yang
dinamakan error. Persamaan tersebut dinamakan persamaan regresi dari y terhadap
x. Error muncul dari error pengukuran y atau ketidaksempurnaan dalam spesifikasi
dari fungsi f(x) yang dikarenakan banyaknya variabel lain selain x yang
memengaruhi y, tetapi kita abaikan variabel-variabel tersebut [2].
Karena ε adalah variabel acak, maka y juga variabel acak. Kita asumsikan
variabel bebas x adalah variabel tak acak dan juga diasumsikan f(x) adalah fungsi
linear, yaitu ( )f x x [2]. Misalkan kita memiliki n pengamatan pada y dan
x, maka kita memiliki
dengan 1, 2, 3, ... , i i iy x i n .
Kita akan mengestimasi parameter α dan β dengan menggunakan metode ordinary
least square. Metode ordinary least square adalah metode untuk mencari estimasi
parameter yang meminimalkan kuadrat jumlah error (Q), yang didefinisikan
sebagai berikut
22
1 1
ˆˆˆ ˆ dengan n n
i i i i i
i i
Q y y y x
.
Gagasan intuitif di balik metode ini adalah garis regresi dilalui titik-titik
sedemikian sehingga titik-titik tersebut sedekat mungkin dari sebaran titik yang
sebenarnya [4].
2.3 Metode Monte Carlo untuk Harga Opsi
Pada penggunaan metode Monte Carlo, harga opsi barrier (V(s,t)) adalah
nilai harapan dari payoff harga opsi barrier. Nilai harapan dari payoff
diaproksimasikan sebagai rata-rata payoff sampel dari M simulasi.
1
1, [ ( , ) | ] , ( , ; )
M
t j
j
V s t E S S s V s t S wM
dengan adalah sebuah aproksimasi dari waktu menyentuh barrier [3].
3. Hasil Simulasi
Misalkan suatu opsi barrier up-and-out call memunyai waktu jatuh tempo T
= 1 tahun dengan harga saham saat ini S0 = 100, harga strike sebesar K = 105, suku
bunga bebas risiko takkonstan dengan nilai awal 0r = 0.065, volatilitas
0.25o . Selanjutnya akan disimulasikan harga opsinya dengan banyaknya
simulasi yang semakin meningkat dengan menggunakan alat komputasi SCILAB.
443
Tabel 1 Hasil simulasi harga opsi barrier up-and-out call dengan suku bunga
takkonstan
M Harga Opsi Barrier Up-and-Out call Error Relatif
5 0.7748793 0.635511636
25 1.0660755 0.498538527
125 1.5259186 0.28223715
625 2.0704829 0.026084545
3125 2.0780165 0.022540884
15625 2.1217106 0.001988018
78125 2.1217584 0.001965533
Tabel 1 menunjukkan harga opsi barrier up-and-out call dengan suku bunga
takkonstan berdasarkan hasil simulasi Monte Carlo disertai nilai error relatif. Oleh
karena opsi barrier up-and-out call dengan suku bunga takkonstan tidak memiliki
solusi analitik, maka nilai error relatif dihitung dari persentase selisih harga opsi
pada tiap simulasi terhadap solusi “analitik”. Solusi “analitik” dipilih dengan
mempertimbangkan simulasi yang dapat diproses pada komputer sesuai kapasitas
memory maksimum yang tersedia, yakni dengan simulasi sebesar 390625M .
Pada simulasi optimal tersebut, harga opsi barrier up-and-out call yang dihasilkan
adalah sebesar 2.125937. Berdasarkan hasil simulasi pada tabel tersebut, semakin
banyak simulasi yang dilakukan, nilai error dari harga opsi barrier up-and-out call
semakin kecil dan hasil yang dihasilkan cukup baik karena error yang dihasilkan
pada simulasi 78125M kecil yaitu sebesar 0.001965533.
Harga Opsi Barrier Up-and-Out call terhadap Harga Strike
Berdasarkan hasil simulasi Monte Carlo, perubahan harga opsi barrier up-
and-out call dengan suku bunga takkonstan seiring dengan perubahan harga strike
(K) dapat dilihat pada Gambar 1.
Gambar 1 menunjukkan bahwa semakin besar nilai K mengakibatkan
mengecilnya harga opsi barrier up-and-out call dengan suku bunga takkonstan. Ini
6.8
6.85
6.9
6.95
7
7.05
7.1
7.15
7.2
7.25
7.3
90 90.1 90.2 90.3 90.4 90.5 90.6
Har
ga
Opsi
Harga Strike
Gambar 1 Grafik perubahan harga opsi barrier up-and
out call terhadap nilai K
444
berarti, untuk memperkecil harga opsi barrier up-and-out call, investor bisa
memperbesar harga strike-nya.
3.1 Harga Opsi Barrier Up-and-Out Call terhadap Harga Barrier
Perubahan harga opsi barrier up-and-out call dengan suku bunga takkonstan
seiring dengan perubahan harga barrier(B) berdasarkan hasil simulasi Monte
Carlo, dapat dilihat pada Gambar 2.
Gambar 2 menunjukkan bahwa semakin besar nilai B mengakibatkan
membesarnya harga opsi barrier up-and-out call dengan suku bunga takkonstan.
Hal ini berarti membesarnya nilai B memiliki pengaruh yang positif terhadap
harga opsi barrier up-and-out call dengan suku bunga takkonstan.
3.2 Harga Opsi Barrier Up-and-Out Call terhadap Waktu Jatuh Tempo
Sedangkan, perubahan harga opsi barrier up-and-out call dengan suku
bunga takkonstan seiring dengan perubahan waktu jatuh tempo(T) dapat dilihat
pada Gambar 3.
-1
0
1
2
3
4
5
6
90 100 110 120 130 140 150
Har
ga
Op
si
Harga Barrier
0
0.5
1
1.5
2
2.5
1 2 3 4 5
Har
ga
Op
si
Waktu Jatuh Tempo
Gambar 2 Grafik perubahan harga opsi barrier up-and-out call
terhadap nilai B
Gambar 3 Grafik perubahan harga opsi barrier up-and-out
call terhadap lama waktu jatuh tempo
445
4. Kesimpulan
Gambar 3 menunjukkan bahwa semakin lama waktu jatuh tempo
mengakibatkan mengecilnya harga opsi barrier up-and-out call dengan suku bunga
takkonstan. Ini berarti, strategi memperkecil harga barrier up-and-out call, dapat
dilakukan dengan memperlama masa hidup opsi tersebut.
Penggunaan metode Monte Carlo dengan exit probability dalam simulasi
numerik untuk menentukan harga opsi barrier up-and-out call dengan suku bunga
takkonstan memberikan hasil yang cukup baik karena memberikan error yang kecil.
Hasil simulasi Monte Carlo menunjukkan bahwa membesarnya harga strike
menyebabkan harga opsi barrier up-and-out call menjadi semakin kecil.
Membesarnya harga barrier menyebabkan harga opsi barrier up-and-out call
menjadi semakin besar. Di lain sisi, semakin lamanya waktu jatuh tempo opsi
menyebabkan harga opsi barrier up-and-out call menjadi semakin kecil.
Pernyataan Terima Kasih
Terima kasih saya ucapkan kepada Departemen Matematika IPB sebagai sponsor
penulisan makalah ini serta kepada Ibu Dr. Ir. Endar H Nugrahani, MS dan Bapak
Dr. Donny C Lesmana, S.Si, M.Fin.Math atas bimbingan penulisan makalah ini.
Referensi
[1] Cox JC, Ingersoll JE, Ross SA. 1985. A theory of The Term Structure of Interest Rates.
Econometrica. 53(2):385-408.
[2] Maddala GS. 1979. Econometrics. Japan: McGraw-Hill, Inc.
[3] Moon K. 2008. Efficient Monte Carlo Algorithm for Pricing Barrier Options. Journal
of Communications of The Korean Mathematical Society. 23:285-294.
[4] Pindyck RS, Rubinfeld DL. 1983. Econometrics Models and Economic Forecasts.
Japan: McGraw-Hill, Inc.
446
.Prosiding SNM 2017 Matematika Keuangan dan Aktuaria, Hal 446-455
APLIKASI MODEL ADAPTIVE NEURO FUZZY
INFERENCE SYSTEM PADA PREDIKSI HARGA SAHAM
DI INDONESIA
DHEA FAIRUZ VIBRANTI, ZUHERMAN RUSTAM, DHIAN
WIDYA
Departemen Matematika FMIPA, Universitas Indonesia,
[email protected], [email protected], [email protected]
Abstrak. Prediksi harga saham memegang peranan penting dalam dunia
finansial sebab mampu memberikan gambaran kecenderungan harga saham di
masa depan. Hasil prediksi yang akurat dapat membantu investor saham untuk
memperoleh keuntungan serta memperkecil kerugian yang mungkin dialami
olehnya. Dalam makalah ini, dibahas suatu aplikasi dari model Adaptive Neuro
Fuzzy Inference System (ANFIS) pada prediksi harga saham PT. Asuransi
Multi Artha Guna (AMAG). Beberapa indikator teknikal seperti Moving
Average (MA), Bollinger Bands (BBands), dan Relative Strength Index (RSI)
digunakan untuk membangun model ANFIS tersebut. Akurasi dari hasil
prediksi diukur dengan menggunakan statistik-U Theil dan Root Mean Squared
Error (RMSE). Hasil yang didapat menunjukkan bahwa model ANFIS dapat
memberikan prediksi dengan akurasi yang cukup baik dan dapat dijadikan
acuan bagi investor dalam mengetahui prediksi harga saham di masa depan.
Kata kunci : ANFIS; prediksi saham; indikator teknikal
1. Pendahuluan
Saham merupakan salah satu instrumen investasi yang populer di kalangan
masyarakat. Hal ini disebabkan karena berinvestasi melalui transaksi jual-beli
saham seringkali mendatangkan return yang lebih baik dibandingkan dengan
berinvestasi pada beberapa instrumen pasar modal lainnya. Namun, keuntungan
dan kerugian yang mungkin diperoleh bergantung pada ketepatan investor dalam
memprediksi harga saham di kemudian hari.
Prediksi harga saham memegang peranan penting dalam dunia finansial
sebab mampu memberikan gambaran kecenderungan harga saham di masa depan.
Hasil prediksi yang akurat dapat membantu investor untuk memperoleh informasi
harga saham masa depan secara tepat sehingga dapat meraih keuntungan yang
diharapkan. Pergerakan harga saham yang dinamis, atau dengan kata lain selalu
berubah seiring berjalannya waktu, merupakan faktor yang mempersulit proses
prediksi harga saham dengan akurasi yang baik. Masalah ini memicu peneliti untuk
447
menentukan metode yang dapat menuntun investor untuk memprediksi harga
saham secara akurat. Pada makalah ini, akan dilakukan dua tahap dalam proses
prediksi harga saham, yaitu melakukan analisis teknikal kemudian menggunakan
metode ANFIS.
Investor seringkali menggunakan analisis tertentu sebelum berinvestasi
dalam bentuk saham. Terdapat dua jenis analisis yang sering digunakan oleh
investor untuk melakukan suatu prediksi, antara lain analisis teknikal dan analisis
fundamental. Investor menggunakan analisis teknikal dalam mengevaluasi saham,
yaitu dengan mempelajari statistik pasar dengan melihat pola yang dihasilkan oleh
market activity, historical price, dan volume untuk memprediksi harga di masa
depan [4].
Indikator analisis teknikal adalah perhitungan matematis yang dapat
diterapkan pada harga atau volume saham, dengan hasil berupa nilai yang
digunakan untuk mengantisipasi perubahan harga di masa depan [1]. Dalam
memprediksi harga saham, makalah ini menggunakan beberapa indikator teknikal
yang populer di kalangan investor. Indikator-indikator teknikal tersebut antara lain
Moving Average (MA), Bollinger Bands (BBands), dan Relative Strength Index
(RSI). Nilai-nilai dari setiap indikator teknikal diperoleh dari data trading harga
saham harian dengan menggunakan perhitungan dari masing-masing indikator
teknikal tersebut.
Berdasarkan Jang [2], Adaptive Neuro Fuzzy Inference System (ANFIS)
merupakan metode yang mengintegrasikan Adaptive Neural Network (ANN) dan
Fuzzy Inference System (FIS) yang menggunakan himpunan aturan fuzzy if-then
dengan fungsi keanggotaan untuk membangun pasangan input-output dengan
derajat akurasi yang cukup tinggi. Fuzzy Inference System (FIS) terdiri atas lima
layer (lapisan). Dalam arsitektur ANFIS yang ditampilkan pada Gambar 1.1,
diasumsikan bahwa FIS memiliki input berupa dan , serta output berupa suatu
fungsi . FIS terdiri atas dua aturan fuzzy if-then berdasarkan model orde-1 Takagi
dan Sugeno [5] sebagai berikut:
Aturan 1 :
Aturan 2 :
dengan adalah nilai-nilai keanggotaan berupa variabel
linguistik, adalah parameter konsekuen.
448
Node pada posisi ke- dari lapisan ke- dinotasikan sebagai . Berikut
penjelasan mengenai masing-masing lapisan pada FIS:
Lapisan 1 :
Lapisan ini merupakan lapisan input. merupakan fungsi keanggotaan
dari . Pada model Jang [3], node fuzzification menggunakan fungsi keanggotaan
Generalized Bell yang diberikan dalam perhitungan berikut:
( 1)
( 2)
dengan sebagai input dan sebagai output yang merupakan derajat
keanggotaan, serta merupakan parameter.
Lapisan 2 :
Lapisan ini merupakan lapisan aturan. Setiap node aturan menerima
input dari masing-masing node fuzzification dan melakukan perhitungan firing
strength dari aturan tersebut, yaitu:
( 3)
Gambar 1. 1 – Arsitektur ANFIS
449
Lapisan 3 :
Setiap node pada lapisan ini diberi label . Setiap node menerima input
dari masing-masing node firing strength yang telah dihitung sebelumnya. Output
dari lapisan ini disebut normalized firing strengths dengan perhitungan sebagai
berikut:
( 4)
Lapisan 4 :
Lapisan ini merupakan lapisan defuzzification. Node defuzzification
menghitung nilai konsekuen terboboti dari aturan yang telah diberikan sebelumnya.
Perhitungannya sebagai berikut:
( 5)
dengan merupakan parameter konsekuen.
Lapisan 5 :
Lapisan ini menghitung keseluruhan output dari node-node defuzzification
dan menghasilkan output ANFIS. Perhitungannya sebagai berikut:
( 6)
Tujuan utama dari penulisan makalah ini ialah untuk menerapkan metode
Adaptive Neuro Fuzzy Inference System berdasarkan analisis teknikal untuk
memperoleh prediksi harga saham PT. Asuransi Multi Artha Guna (AMAG).
Bagian lain dari paper ini terdiri atas Bagian 2 yang membahas hasil penelitian dan
Bagian 3 yang membahas kesimpulan dari penelitian yang telah dilakukan.
2. Hasil – Hasil Utama
2.1 Pengolahan Data
Data yang digunakan dalam makalah ini adalah data historis dari harga saham harian PT. Asuransi Multi Artha Guna (AMAG) tahun 2014-2016. Data historis terdiri atas opening price, high price, low price, closing price, dan stock trading volume dari saham tersebut. Data harga saham dalam satu tahun dianggap sebagai satu unit dataset, dengan data bulan Januari-November pada setiap tahunnya merupakan training data dan data bulan Desember pada setiap tahunnya merupakan testing data.
Selanjutnya akan ditentukan nilai dari masing-masing indikator teknikal. Setiap nilai dari indikator teknikal dapat ditentukan dengan menggunakan data
450
historis melalui perhitungan yang akan dibahas sebagai berikut.
Moving Average (MA)
MA merupakan suatu indikator yang menunjukkan nilai rata-rata dari harga saham pada suatu periode waktu [1]. Jenis MA yang digunakan pada makalah ini adalah simple moving average (SMA) dengan periode waktu 5 hari. Perhitungan untuk simple moving average adalah sebagai berikut:
( 7)
dengan
: Simple moving average dengan periode waktu 5 hari
: Closing price selama 5 hari
Bollinger Bands (BBands)
BBands merupakan suatu indikator teknikal yang berguna untuk membandingkan volatilitas dan tingkat harga yang bergantung pada suatu periode waktu. BBands ditampilkan dalam tiga bands (pita). Berikut penjelasan mengenai perhitungan dari masing-masing pita tersebut [1].
Middle band merupakan simple moving average dengan periode waktu hari. Perhitungan untuk middle band adalah sebagai berikut:
( 8)
dengan
: Closing price pada hari ke-j
: Periode waktu (umumnya 20 hari)
Upper band sama halnya dengan middle band, bedanya upper band digeser ke atas sejauh jumlah standar deviasi. Perhitungan untuk upper band adalah sebagai berikut:
( 9)
dengan
: jumlah standar deviasi (umumnya 2 standar deviasi)
Lower band sama saja halnya dengan middle band, bedanya lower band digeser ke bawah sejauh jumlah standar deviasi. Perhitungan untuk lower band adalah sebagai berikut:
( 10)
451
dengan
: Jumlah standar deviasi (umumnya 2 standar deviasi)
Relative Strength Index (RSI)
RSI adalah suatu indikator yang mengukur kecepatan dan perubahan dari pergerakan harga. Pada umumnya, RSI diterapkan dengan periode waktu 14 hari. RSI berosilasi pada range nilai antara 0 sampai 100. Perhitungan untuk RSI adalah sebagai berikut [1]:
( 11)
dengan
: Total kenaikan harga setiap 14 hari
: Total penurunan harga setiap 14 hari
Kemudian nilai-nilai tersebut dijadikan sebagai input pada ANFIS. Daftar variabel input pada ANFIS ditampilkan pada tabel 2.1.
Variabel Deskripsi
Input 1 SMA5
Input 2 BBands
Input 3 RSI-14
Input 4 Close price
Tabel 2. 1 – Daftar Input pada ANFIS
2.2 Membangun Model Prediksi ANFIS
Berdasarkan teori ANFIS yang telah dijelaskan pada bagian pendahuluan, akan dibangun suatu model prediksi ANFIS untuk memprediksi harga saham PT. Asuransi Multi Artha Graha (AMAG). Pertama-tama, ditetapkan jenis fungsi keanggotaan sebagai fungsi keanggotaan linear untuk variabel output. Pada fuzzification, akan digunakan fungsi keanggotaan berjenis Gaussian function. Kemudian bangun aturan fuzzy if-then sesuai dengan yang telah dijelaskan sebelumnya dan menggunakan input-ouput sesuai dengan daftar pada Tabel 2.1.
Optimisasi parameter FIS berdasarkan data training dilakukan dengan menerapkan metode least-square dan metode backpropagation untuk training model prediksi. Makalah ini menggunakan epoch sebesar 1000 sebagai kriteria henti. Ini berarti proses dilakukan berkali-kali sebanyak bilangan yang telah ditentukan, dalam hal ini iterasi sebanyak 1000 kali. Hasil yang diperoleh dari
452
proses optimisasi parameter FIS ini adalah parameter untuk fungsi keanggotaan output.
Ketika parameter FIS telah dihasilkan, aturan fuzzy if-then yang sudah disesuaikan dengan model yang diinginkan akan digunakan untuk memprediksi data testing. Aturan-aturan tersebut ditampilkan pada Gambar 2.1.
Berdasarkan eksperimen yang telah dilakukan menggunakan data harga saham PT. Asuransi Multi Artha Graha (AMAG) tahun 2014-2016, diperoleh hasil prediksi harga saham untuk periode 1 bulan, yaitu bulan Desember di setiap tahunnya. Hasil-hasil prediksi tersebut ditampilkan pada Gambar 2.2-2.4.
Gambar 2. 1 – Aturan fuzzy if-then untuk prediksi
Gambar 2. 2 – Grafik Prediksi Harga Saham PT. AMAG untuk Desember 2014
453
2.3 Evaluasi Model
Pada tahap ini akan dilakukan evaluasi model untuk mengetahui tingkat akurasi model yang telah digunakan. Beberapa metode evaluasi akurasi yang digunakan antara lain statistik-U Theil, MAPE, dan RMSE. Perhitungan masing-masing metode adalah sebagai berikut.
Gambar 2. 3 – Grafik Prediksi Harga Saham PT. AMAG untuk Desember 2015
Gambar 2. 4 – Grafik Prediksi Harga Saham PT. AMAG untuk Desember 2016
454
( 12)
( 13)
( 14)
dengan
: Harga saham pada hari ke-
: Prediksi harga saham pada hari ke-
: Jumlah data harga saham
Hasil evaluasi model dengan menggunakan statistik-U Theil, MAPE, dan RMSE ditampilkan pada Tabel 2.2. Untuk nilai statistik-U Theil, nilai yang semakin mendekati nol menunjukkan kinerja model yang baik. Sementara untuk nilai MAPE, nilai dibawah 10% menunjukkan performa model yang baik. Nilai RMSE menyatakan ukuran kesalahan yang dihasilkan oleh model prediksi, sehingga nilai RMSE yang rendah menunjukkan bahwa kesalahan yang dihasilkan oleh suatu model cenderung kecil.
Tabel 2.2 – Tabel Hasil Evaluasi Model
Sehingga dari Tabel 2.2 diperoleh bahwa model ANFIS dapat memberikan
prediksi dengan akurasi yang cukup baik. Hal ini ditunjukkan dengan hasil evaluasi
performa model yang baik dan memenuhi kriteria yang didefinisikan oleh masing-
masing metode evaluasi. Hasil prediksi paling baik adalah model prediksi harga
saham PT. Asuransi Multi Artha Graha (AMAG) untuk bulan Desember tahun
2016. Jika dibandingkan dengan dua model prediksi lainnya, model tersebut
memiliki nilai statistik-U Theil terkecil sebesar 0.007003, nilai MAPE terkecil sebesar 1.136521, dan nilai RMSE sebesar 2.06843.
3. Kesimpulan
Berdasarkan penelitian pada makalah ini didapatkan bahwa model ANFIS dapat memberikan prediksi dengan akurasi yang cukup baik dan dapat dijadikan acuan bagi investor untuk mengetahui prediksi harga saham di masa depan. Mengacu pada hasil evaluasi model untuk prediksi harga saham dari tahun 2014-
2014 2015 2016
Statistik U-Theil 0.010157 0.013786 0.007003
MAPE 1.787701 2.003923 1.136521
RMSE 0.73644 2.1233 2.06843
455
2016, hasil prediksi paling baik ialah prediksi harga saham PT. Asuransi Multi Artha Graha (AMAG) untuk bulan Desember tahun 2016, dengan nilai statistik-U Theil sebesar 0.007003 dan nilai MAPE sebesar 1.136521.
Referensi
[1] Archelis, Steven B., 2000, Technical Analysis from A to Z.
[2] Jang, J.S., 1993, ANFIS: Adaptive-Network-Based Fuzzy Inference System, IEEE
Transactions on Systems, Man, and Cybernetics 23 (1993), 665-685.
[3] Su, C.H. dan Cheng, C.H., 2016, A Hybrid Fuzzy Time Series Model Based on
ANFIS and Integrated Nonlinear Feature Selection Method for Forecasting Stock,
Journal of Neurocomputing 205 (2016), 264 – 273.
[4] Yunos, Z.M., Shamsuddin, S.M., dan Sallehuddin, R., 2008, Data Modeling for Kuala
Lumpur Composite Index with ANFIS, Second Asia International Conference on
Modelling & Simulation (2008), 609 – 614.
[5] Takagi, T. dan Sugeno, M., 1993, Derivation of fuzzy control rules from human
operator’s control actions, Proc. IFAC symp. fuzzy inform. knowledge representation
and decision analysis (1993), 55-60
456
Prosiding SNM 2017 Matematika Keuangan dan Aktuaria, Hal 456-466
PREDIKSI TREND HARGA SAHAM MENGGUNAKAN
SUPPORT VECTOR REGRESSION
DIVA ARUM PUSPITASARI, ZUHERMAN RUSTAM
Departemen Matematika FMIPA, Universitas Indonesia
[email protected], [email protected]
Abstrak. Pergerakan saham dari waktu ke waktu sangatlah cepat berubah
sehingga sulit untuk mengambil keputusan kapan harus melakukan pembelian,
tahan, maupun penjualan. Tujuan dari penelitian ini adalah akan dilakukan
prediksi pengambilan keputusan saat sedang berinvestasi saham. Dengan
menggunakan metode Support Vector Regression (SVR) dan sistem penentuan
keputusan berdasarkan prediksi trend akan diperoleh keputusan trading yang
lebih efektif. Metode ini diaplikasikan pada suatu perusahaan yang sahamnya
sudah terdaftar di Bursa Efek Indonesia (BEI). Simple Moving Average
(SMA), Moving Average Convergence Divergence (MACD), Relative Strength
Index (RSI), Williams %R, dan Stochastic Oscillator (SO) adalah teknikal
indikator yang digunakan sebagai data input. Pada makalah ini akan dibentuk
model keputusan untuk trading saham dan pengujian keakuratan model yang
terbentuk. Dari kasus saham perusahaan yang penulis gunakan, dengan
menggunakan metode SVR dihasilkan keakuratan model sebesar 78.571% dan
nilai RMSE sebesar 0.3295.
Kata kunci: Prediksi saham, Teknikal indikator, Support Vector Regression (SVR),
Trend.
1. Pendahuluan
Salah satu langkah dalam mengelola keuangan yaitu dengan menyisihkan
atau menyimpan sebagian keuangannya untuk dipakai dimasa mendatang. Investasi
dari KBBI adalah penanaman uang atau modal dalam suatu perusahaan atau proyek
untuk tujuan memperoleh keuntungan. Menurut situs Bursa Efek Indonesia (BEI),
saham merupakan instrumen investasi yang banyak dipilih para investor karena
saham mampu memberikan tingkat keuntungan yang menarik. Dalam perdagangan
saham sehari-hari, terjadi fluktuasi baik kenaikan harga maupun penurunan.
Karena ketidak pastian nilai saham tersebut maka investasi pada instrumen ini
memiliki tingkat risiko yang sangat tinggi. Ada baiknya melakukan kajian lebih
mendalam saat sedang berinvestasi di saham, salah satunya dengan mempelajari
teknikal analisis. Sederhananya, teknikal analisis adalah studi yang mempelajari
harga dengan grafik menjadi alat utamanya [1]. Dalam mempelajari teknikal
analisis terdapat perhitungan matematis yang nilainya dapat dijadikan acuan
pergerakan trend saham yaitu menggunakan teknikal indikator.
457
Suatu teknik machine learning dapat diaplikasikan pada data harian saham.
Banyak teknik machine learning yang telah digunakan untuk memprediksi harga
saham. Neural Network (NN) dan Support Vector Machine (SVM) adalah machine
learning yang umum digunakan untuk memprediksi data runtun waktu [2]. SVM
diperkenalkan pertama kali oleh Vapnik, terdapat dua kategori yaitu Support
Vector Classification (SVC) dan Support Vector Regression (SVR). Karakteristik
dari SVR adalah meminimalkan generalized error sehingga dapat diperoleh hasil
kinerja yang baik [3].
Pada [4] telah dilakukan prediksi trend harga saham menggunakan NN.
Tujuan dari makalah ini akan dilakukan prediksi trend harga saham dengan
menggunakan salah satu teknik machine learning yaitu SVR. Dari prediksi trend
harga saham dapat ditentukan keputusan untuk trading saham. Terdapat lima
bagian pada makalah ini. Bagian 2 adalah metodologi, menjelaskan konsep dasar
dari SVR dan teknikal indikator. Bagian 3 adalah analisis percobaan, menjelaskan
alur dari percobaan yang dilakukan. Bagian 4, hasil percobaan dan evaluasi model.
Bagian 5 adalah kesimpulan.
2. Metodologi
2.1 Support Vector Regression (SVR)
SVR merupakan metode yang dapat mengatasi overfitting, sehingga akan menghasilkan kinerja yang bagus (Smola dan Scholkopf, 2004). Pada [2] SVR digunakan meminimalkan generalized error untuk mendapatkan hasil yang generalized. Ide dasar SVR adalah dengan menentukan himpunan data yang dibagi menjadi data latih dan data uji, kemudian ditentukan suatu fungsi regresi yang dapat menghasilkan suatu prediksi yang mendekati nilai aktual. Asumsikan terdapat himpunan data latih sebanyak titik data dan menyatakan titik pada ruang input, dan adalah nilai target. Di SVR, masalah regresi nonlinear pada ruang input dalam dimensi rendah akan ditransformasikan ke masalah regresi linear pada ruang fitur dalam dimensi yang lebih tinggi menggunakan atau disebut fungsi kernel [5]. Lihat Gambar 1, (a) dan (b).
Gambar 1. Ilustrasi proses transformasi model SVR.
SVR digunakan untuk mengestimasi suatu fungsi dengan cara yang memiliki simpangan paling besar senilai dari nilai aktual untuk setiap . Jika , akan diperoleh suatu regresi yang sempurna [6]. Misalkan terdapat fungsi berikut sebagai garis regresi :
458
dimana menyatakan nilai prediksi, adalah vektor koefisien bobot, adalah bias konstan, dan menunjukkan pemetaan nonlinear dari ruang input ke ruang fitur. dan diestimasi dengan cara meminimalkan fungsi risiko yang didefinisikan dalam persamaan berikut :
dengan kendala (3) dan (4),
dimana loss function sebagai berikut :
Untuk mengontrol kapasitas fungsi, faktor yang dinamakan faktor
regulasi harus dibuat seminimal mungkin. Selanjutnya,
adalah empirical error yang diukur dengan -insensitive loss function. -insensitive
loss function harus meminimalkan norm dari agar mendapatkan generalisasi
yang baik untuk fungsi regresi . Sehingga perlu diselesaikan dahulu masalah
optimisasi dari
.
Asumsikan terdapat suatu fungsi yang dapat mengaproksimasikan semua titik dengan presisi . Pada kasus ini diasumsikan semua titik berada di dalam atau disebut feasible. Sedangkan untuk kasus infeasible, terdapat beberapa titik yang keluar dari . Titik infeasible tersebut dapat ditambahkan dengan variabel slack untuk mengatasi pembatas yang tidak layak (infeasible constrain) dalam masalah optimisasi [7]. Lihat juga Gambar 1, (c). Selanjutnya masalah optimisasi (2) telah dirumuskan oleh Vapnik (1995) menjadi :
dengan kendala (3) & (4) menjadi (5) & (6)
459
Konstanta menentukan trade off antara selisih fungsi dimana batas atas simpangan yang lebih dari akan ditoleransi. Pada SVR, ekuivalen dengan akurasi dari aproksimasi terhadap data latih. Nilai yang kecil mengakibatkan nilai yang tinggi pada variabel slack
sehingga menghasilkan akurasi aproksimasi yang tinggi. Untuk sebaliknya akan menghasilkan aproksimasi yang rendah. Nilai yang tinggi pada variabel slack akan membuat kesalahan empirik mempunyai pengaruh yang besar terhadap faktor regulasi. Dalam SVR, support vector adalah data latih yang terletak pada dan diluar batas dari fungsi keputusan, karena jumlah support vector menurun dengan naiknya nilai .
Kemudian untuk menyelesaikan masalah optimisasi dilakukan dengan dual problem. Pada dual problem, masalah optimisasi dari SVR adalah sebagai berikut [7] :
dengan kendala
dimana adalah dot product kernel. Fungsi kernel yang dapat digunakan adalah [8]:
1. Linear :
2. Polinomial :
3. Gaussian RBF :
dengan menggunakan lagrange multiplier dan masalah optimisasi (7) – (10), fungsi regresi dirumuskan sebagai berikut :
2.2 Teknikal Indikator
Ada banyak teknikal indikator yang dapat digunakan sesuai keinginan dan kebutuhan, namun pada penelitian ini penulis memilih menggunakan Simple
460
Moving Average (SMA), Moving Average Convergence Divergence (MACD), Relative Strenght Index (RSI), Williams %R, dan Stochastic Oscillator (SO). Berikut adalah penjelasan dari masing-masing teknikal indikator :
a. Simple Moving Average (SMA)
Dari Moving Average (MA) lainnya, SMA merupakan MA yang paling sederhana. Mean statistik sederhana dari harga penutupan hari sebelumnya [4]. SMA dirumuskan sebagai berikut :
dimana adalah harga penutupan hari ke . b. Moving Average Convergence Divergence (MACD)
MACD adalah momentum indikator yang menunjukkan hubungan antara dua Exponential Moving Average (EMA) pada harga. MACD akan memiliki nilai positif apabila MACD periode 12 hari lebih tinggi dari MACD periode 26 hari, dan sebaliknya untuk nilai negatif [1]. MACD dirumuskan sebagai berikut :
dengan rumus adalah :
dimana : Exponential Moving Average pada hari ke .
: Harga penutupan pada hari ke .
: Simple Moving Average untuk priode 12 dan periode 26.
berlaku untuk dan .
c. Relative Strenght Index (RSI)
RSI adalah indikator momentum yang memiliki nilai pada range antara 0 dan 100. RSI dapat dihitung dengan :
461
dimana adalah rata-rata kenaikan harga pada periode tertentu dengan perubahan harga naik pada saat , dan adalah rata-rata penurunan harga pada periode tertentu dengan perubahan harga turun pada saat .
d. Williams %R
Williams %R adalah stochastic oscillator yang dapat dihitung dengan :
dimana adalah harga penutupan hari ke , adalah harga terendah dari -hari terakhir, dan adalah harga tertinggi dari -hari terakhir.
e. Stochastic Oscillator (SO)
SO menampilkan dua garis, yaitu garis utama dan garis kedua adalah (MA dari ). SO dapat dihitung dengan :
dengan adalah harga penutupan hari ke , adalah harga terendah dari -hari
terakhir, dan adalah harga tertinggi dari -hari terakhir.
3. Analisis Percobaan
Pada makalah ini, penulis menggunakan data harian saham Bank Mandiri dari 01 Januari 2015 – 23 Desember 2016 sebanyak 507 data terdiri dari komponen open, high, low, dan close. Data harian tersebut akan dibagi menjadi dua bagian, yaitu data latih dan data uji. Dari data latih akan dibuat model untuk memprediksi nilai trend saham, kemudian akan dilakukan prediksi menggunakan data 14 hari terakhir. Selanjutnya akan dibahas langkah-langkah dalam merancang sistem prediksi menggunakan SVR dan aturan sistem keputusan dalam menentukan beli, tahan, atau jual.
Langkah 1 : Menghitung nilai teknikal indikator
Penulis telah menjelaskan masing-masing teknikal indikator yang akan digunakan pada penelitian ini pada bagian sebelumnya. Ke enam teknikal indikator tersebut adalah dipilih sebagai input untuk pembuatan model tujuan.
462
Langkah 2 : Analisis trend menggunakan teknikal indikator
Setelah mendapatkan nilai teknik indikator, maka dengan menggunakan five-day moving average akan didefinisikan trend saham sebagai berikut [9][10] :
- Jika pergerakan MA naik untuk 5 hari terakhir maka trend yang diperoleh adalah up trend.
- Jika pergerakan MA turun untuk 5 hari terakhir maka trend yang diperoleh adalah down trend.
Tabel 1. Analisis trend pada sampel data latih. Time Series
Closing price SMA Trend
1 11975 11930 down
2 11950 11931.25 down
3 12200 11945 down
4 12200 11951.25 up
5 12175 11966.25 up
6 12075 11976.25 up
7 12025 11982.5 up
8 12050 11991.25 up
9 11950 11988.75 down
10 12100 11993.75 down
Langkah 3 : Menghitung nilai trading signal
Pada [4] dikatakan nilai trading signal berada pada range 0 – 1 yang dibangun menggunakan momentum harga saham. Lihat Tabel 2.
- Jika up trend :
- Jika down trend :
Langkah 4 : Normalisasi data
Teknikal indikator yang digunakan sebagai input mempunyai cara perhitungannya masing-masing. Perlu dilakukan normalisasi pada nilai masing-masing teknikal indikator yang telah diperoleh sehingga data terletak dalam range yang sama yaitu 0 – 1 dengan menggunakan rumus min-max normalisasi sebagai
463
berikut :
: nilai yang dinormalisasi
: nilai yang akan dinormalisasi
: nilai minimum dari runtun yang akan dinormalisasi
: nilai maksimum dari runtun yang akan dinormalisasi
Langkah 5 : Pembentukan model dan prediksi nilai trend
Dari pembahasan SVR pada bagian sebelumnya, pembentukan model diaplikasikan pada program MATLAB. Data yang sudah dinormalisasi yang terdiri dari teknikal indikator dan nilai trading akan menjadi variabel input untuk model SVR menggunakan fungsi kernel gaussian. Fungsi kernel tersebut untuk menghitung elemen dari matriks gram. Karena ingin dilakukan pengujian 14 hari terakhir, maka data lainnya merupakan data latih pada model.
Tabel 2. Trading signal pada sampel data latih. Time Series
Closing price SMA Trend Trading signal
1 11975 11930 down 0.05
2 11950 11931.25 down 0
3 12200 11945 down 0.5
4 12200 11951.25 up 1
5 12175 11966.25 up 1
6 12075 11976.25 up 1
7 12025 11982.5 up 0.875
8 12050 11991.25 up 0.833333333
9 11950 11988.75 down 0
10 12100 11993.75 down 0
Langkah 6 : Penentuan trend terhadap output trading signal
Setelah proses latih maka dilakukan pengujian terhadap 14 data saham harian terakhir yang kita miliki. Hasilnya merupakan output trading signal yang berada pada range 0 – 1. Dalam menentukan keputusan trading, pertama harus mengetahui prediksi trend dahulu dengan :
- Jika maka up trend
- Sebaliknya, maka down trend
dimana adalah 0.5.
Langkah 7 : Penentuan keputusan trading terhadap prediksi trend
464
Dengan menggunakan aturan trading berikut ini, maka trader dapat menentukan langkah selanjutnya dari hasil prediksi trend sebelumnya (lihat Tabel 3) :
- Jika trend hari ke adalah up, maka BELI
- Jika trend hari ke adalah tetap up, maka TAHAN
- Jika trend hari ke adalah down, maka JUAL
- Jika trend hari ke adalah tetap down, maka TAHAN
Tabel 3. Penentuan trend dan decision dari Time series
OTr Trend Decision
1 0.36394 down Hold
2 0.363367 down Hold
3 0.450365 down Hold
4 0.409696 down Hold
5 0.400539 down Hold
6 0.37571 down Hold
7 0.377095 down Hold
8 0.358323 down Hold
9 0.376775 down Hold
10 0.393627 down Hold
11 0.484345 down Buy
12 0.536693 up Hold
13 0.520338 up Hold
14 0.512593 up Hold
4. Hasil Percobaan dan Evaluasi Model
Pada bagian ini akan diuji keakuratan model yang telah didapat dengan membandingkan hasil prediksi model dengan data asli yang kita miliki. Keakuratan dapat dihitung menggunakan :
Dapat terlihat pada Tabel 4. bahwa terdapat 3 kesalahan dari hasil prediksi,
sehingga akurasi dari model yang terbentuk dengan SVR pada data uji 14 hari
menghasilkan akurasi sebesar :
Terdapat perhitungan lain yang biasa digunakan untuk melihat akurasi dari
465
perhitungan prediksi sebuah model Root Mean Square Error (RMSE) :
dimana N : Jumlah data prediksi
: Nilai data trading
: Nilai prediksi data trading
Pada kasus ini diperoleh nilai RMSE sebesar 0.3295, karena nilai tidak melebihi
0.5 maka akurasi dari prediksi model SVR cukup baik hal tersebut mendukung
78.571% keakuratan.
Tabel 4. Uji keakuratan model Time series
Tr Trend OTr Trend Decision
1 0 down 0.36394 down Hold
2 0 down 0.363367 down Hold
3 0 down 0.450365 down Hold
4 0.5 down 0.409696 down Hold
5 0.5 down 0.400539 down Hold
6 0.166667 down 0.37571 down Hold
7 0.5 down 0.377095 down Hold
8 0.333333 down 0.358323 down Hold
9 0 down 0.376775 down Hold
10 0.5 down 0.393627 down Hold
11 0.5 down 0.484345 down Buy
12 0 down 0.536693 up Hold
13 0 down 0.520338 up Hold
14 0 down 0.512593 up Hold
5. Kesimpulan
Penelitian ini telah menunjukkan strategi keputusan trading yang efisien
yang dapat diterapkan oleh trader. Untuk prediksi 14 hari kedepan menghasilkan
keakuratan model sebesar 78.571%. Model tersebut terhubung antara teknikal
analisis dengan teknik machine learning. Model klasifikasi yang digunakan yaitu
support vector regression (SVR). Dari model SVR, model ditransformasi ke
strategi trading dengan signal beli, tahan, atau jual berdasarkan aturan yang
memenuhi kriteria.
466
Referensi
[1] Archelis, Steven B. (2000). Technical Analysis form A to Z. Pp 1 – 231.
[2] Meesad, P., & Rasel, R.I. (2013). Predicting Stock Market Price Using Support Vector
Regression. January 24, 2017.
https://www.researchgate.net/publication/255995594
[3] Basak, D., Pal,S., & Patranabis, D.C. (2007). Support Vector Regression. Neural
Information Processing – Letters and Review. (Vol. 11, No. 10). Pp 203 – 224.
[4] Dash, P.K., & Dash, R. (2016). A hybrid stock trading framework integrating
technical analysis with machine learning techniques. The Journal of Finance and Data
Science 2. Pp 42 – 57.
[5] Li, P.S., & Kuo, R.J. (2016). Taiwanese export trade forecasting using firefly
algorithm based K-means algorithm and SVR with wavelet transform. Computers &
Industrial Engineering 99. Pp 153 – 161.
[6] Alfredo, Jondri, & Rismala, R., Prediksi Harga Saham Menggunakan Support Vector
Regression dan Firefly Algorithm. Universitas Telkom, Bandung.
[7] Schölkopf, B., & Smola, A.J. (2004). A tutorial on support vector regression.
Statistics and computing 14. Pp 199 – 222.
[8] Paisitkriangkrai, P., (2012). Linear Regression and Support Vector Regression. The
University of Adelaide.
[9] Chang, Yi-Wei., Chen, Dar-Hsin., & Goo, Yeong-Jia. (2007). The Application of
Japanese Candlestick Trading Strategies in Taiwan. Investment Management and
Financial Innovations. (Vol. 4, Issue 4).
[10] Bao, Si., Chen, Shi., & Zhou, Yu. (2016). The predictive power of japanese
candlestick charting in Chinese stock market. Physica A 457. Pp 148 – 165.
467
Prosiding SNM 2017 Matemat ika Keuangan dan Aktuar ia , Hal 467 -473
PREDIKSI HARGA INDEKS SAHAM IHSG DENGAN
METODE ADAPTIVE NEURO-FUZZY INFERENCE
SYSTEMS
FANITA, ZUHERMAN RUSTAM
Departemen Matematika FMIPA, Universitas Indonesia, [email protected], [email protected]
Abstrak. Indeks saham merupakan harga dari sekelompok saham dengan
kategori tertentu. IHSG (Indeks Harga Saham Gabungan) merupakan salah
satu jenis indeks saham yang mewakili seluruh pergerakan harga saham yang
diperdagangkan di Bursa Efek Indonesia (BEI). IHSG sering disebut sebagai
leading economic indicator, karena dari semua indikator ekonomi seperti
inflasi, tingkat bunga, jumlah pengangguran, indeks harga saham, jumlah uang
beredar, dll, IHSG dianggap menjadi pemimpin atau yang lebih dulu
menceritakan keadaan di masa mendatang. Informasi perkembangan harga
IHSG dipergunakan para investor untuk melihat situasi ke depan dan
menyusun strategi yang baik agar mendapat keuntungan yang optimum. Oleh
karena pentingnya IHSG, akan dibuat prediksi harga IHSG dengan
menggunakan metode ANFIS (Adaptive Neuro-Fuzzy Inference Systems) yang termasuk dalam Komputasi Intelligence. Pada makalah ini, akan dicari susunan
data yang tepat sebagai input dari metode ANFIS dan banyaknya data training
yang dapat menghasilkan nilai akurasi yang baik.
Kata kunci : prediksi; saham; keuangan; IHSG; ANFIS.
1. Pendahuluan
Indeks harga saham merupakan indikator yang merefleksikan pergerakan harga
sekelompok saham. Indeks Harga Saham Gabungan yang biasa disingkat IHSG adalah
salah satu indeks pasar saham yang digunakan Bursa Efek Indonesia (BEI). Nilai IHSG
digunakan untuk mengukur kinerja gabungan seluruh saham (perusahaan/emiten) yang
tercatat dalam BEI. IHSG menggambarkan kondisi perekonomian negara. Kenaikan atau
penurunan IHSG berbanding lurus dengan sebagian besar harga saham di BEI terutama
saham kapitalis.
adalah harga saham di pasar reguler. adalah bobot atau jumlah masing-masing
saham. adalah nilai dasar, yaitu nilai yang dibentuk berdasarkan jumlah saham yang
tercatat dalam suatu waktu. Semakin besar perusahaan, maka bobotnya pun besar sehingga
kenaikan atau penurunan IHSG sangat bergantung pada pergerakan saham-saham
berkapitalisasi besar. [5]
Kegunaan yang lain dihitungnya IHSG adalah dapat digunakan sebagai patokan untuk
portofolio saham bagi investor atau manajer investasi. Apabila kenaikan IHSG lebih tinggi
daripada kenaikan portofolio investor atau manajer investasi, portofolio yang dikelola tidak
berkinerja baik. Sebaliknya, apabila kenaikan IHSG lebih rendah daripada kenaikan
468
portofolio investasi investor atau manajer investasi, portofolio dianggap berkinerja bagus.
[4]
IHSG sering disebut juga sebagai leading economic indicator. Adapun indikator
ekonomi yang banyak dibahas berbagai pihak yaitu inflasi, tingkat bunga, jumlah
pengangguran, indeks harga saham, jumlah uang beredar, indeks perdagangan besar, indeks
nilai tukar petani, ekspor, impor dan pertumbuhan ekonomi serta kredit yang disalurkan.
Dari semua indikator ekonomi tersebut IHSG dianggap menjadi pemimpin atau yang lebih
dulu menceritakan keadaan di masa mendatang. Karena itu, pertumbuhan IHSG
dipergunakan berbagai pihak untuk melihat situasi ke depan. [4]
Oleh karena pentingnya IHSG sebagai leading economic indicator, maka dalam
makalah ini akan dibuat prediksi harga IHSG menggunakan metode Adaptive Neuro-Fuzzy
Inference Systems (ANFIS).
ANFIS adalah FIS (Fuzzy Inference System) yang diimplementasikan ke dalam
kerangka adaptive networks. ANFIS dapat memberikan keakuratan yang lebih baik dari
pada ANN [3]. ANFIS dapat membangun pemetaan input-output berdasarkan
pengetahunan manusia dalam bentuk fuzzy “if-then” rules sebagai berikut [2]:
Rule 1 : if x is and y is then
Rule 2 : if x is and y is then
dan adalah parameter. Arsitektur pada ANFIS ditunjukkan pada
gambar 1.1 berikut.
Gambar 1.1 Arsitektur
Layer 1
Node berbentuk kotak dengan fungsi ke-i sbb :
4
dan merupakan input pada node , sedangkan adalah label lingustik
untuk input. Dengan kata lain adalah nilai keanggotaan dari .
Fungsi keanggotaan normal untuk (x) dan
(y) adalah generalized bell
function :
469
, , adalah parameter dari fungsi keanggotaan. Disebut juga sebagai parameter
premis.
Layer 2
Setiap node dalam layer ini berlabel berbentuk lingkaran yang outputnya
merupakan hasil semua sinyal yang masuk. Masing-masing output
menggambarkan firing strength dari semua rules
,
Layer 3
Setiap node berlabel dan berbentuk lingkaran. Node ke- menunjukkan rasio
dari aturan firing strength ke-i dan jumlah dari semua aturan firing strength
Layer 4
Setiap node ke- dalam layer ini berbentuk kotak dengan fungsi node sebagai
berikut dengan merupakan output layer 3
,
Layer 5
Hanya ada 1 node pada layer ini dengan label , yang merepresentasikan jumlah
output secara keseluruhan dari sinyal yang masuk :
Data input metode ANFIS pada makalah ini menggunakan harga close IHSG bulanan
yang terdapat pada tahun 2013, 2014, 2015, dan 2016. Harga close merupakan titik
kesepakatan terakhir perdagangan di suatu hari antara pembeli dan penjual saham. Nilai
close dianggap menjadi kondisi yang paling penting.
Data training adalah sebagian dari data (sampel) yang digunakan untuk membangun
suatu model. Data yang akan dipakai untuk training ANFIS adalah gabungan data masukan
dan keluaran. Sebaiknya data training representatif terhadap masalah yang dihadapi.
Sampel terpilih mempengaruhi tingkat akurasinya. Terdapat dua susunan data yang
akan diuji, sehingga kita mengetahui susunan data yang lebih baik digunakan dalam
memprediksi harga IHSG. Jenis dari susunan data tersebut ditunjukkan pada tabel 1.1.
Akan dicari juga banyaknya data training yang paling baik dari masing-masing susunan
data input.
470
Tabel 1.1 Jenis susunan data input
Susunan Data Input
Jenis 1 Jenis 2
Susunan data input berbentuk kumpulan
nilai close dari bulan ke-(t-2), ke-(t-1), ke-
(t) untuk memprediksi bulan ke-(t+1) pada
tahun 2013, 2014, 2015, 2016
Susunan data input berbentuk kumpulan
nilai close bulan x tahun 2013, bulan x tahun
2014, dan bulan x tahun 2015 untuk
memprediksi bulan x tahun 2016
Untuk mengevaluasi keakuratan prediksi yang dihasilkan oleh ANFIS, kita dapat
menggunakan RMSE. Nilai RMSE yang semakin kecil dan mendekati nol mengindikasikan
model ANFIS yang telah dibuat memiliki keakuratan prediksi yang baik. RMSE dapat
dicari dengan rumus :
[1].
2. Hasil – Hasil Utama
Metode ANFIS dikerjakan dengan software matlab menggunakan toolbox Neuro-Fuzzy Designer.
Data training menggunakan p% data dan data testing sebanyak (100-p)%. Sebelum melakukan proses training, dilakukan generate fis dengan memilih tipe membership function pada input yaitu gbell.
Berikut ini, akan diterapkan metode ANFIS untuk melakukan prediksi pada susunan data input jenis 1 dengan menggunakan 70% data sebagai data training. Plot antara nilai aktual dan hasil prediksi tersebut ditunjukkan pada gambar 2.1.
Gambar 2.1 Plot antara data training (o) dan hasil prediksi (*) pada susunan data input jenis 1 dengan menggunakan 70% data sebagai data training
471
Dari gambar 2.1, dapat dilihat bahwa dengan menggunakan susunan data input jenis 1 dan 70% data sebagai data training, menghasilkan RMSE sebesar 6.058. Berikut ini adalah ditunjukkan pengecekan hasil prediksi suatu datum (a*) dibandingkan dengan nilai aktualnya (a) pada gambar 2.2. Data yang diberi warna biru adalah nilai close dari bulan ke-(t-2), ke-(t-1), ke-(t) yang dipisahkan oleh simbol “ ; ” .
Gambar 2.2 Pengujian menggunakan sampel dari data testing. Hasil nilai prediksi (di kiri) mendekati nilai aktual (di kanan)
Dengan cara yang sama, akan dibandingkan kombinasi susunan data input dengan variasi banyaknya data training dari total data dan disajikan dalam tabel 2.1 dan 2.2.
Tabel 2.1 Nilai RMSE dari variasi banyaknya data training dari total data pada susunan data jenis 1
Variasi Banyaknya Sampel Sebagai Data Train RMSE
10% 57.441
20% 26.804
30% 21.8917
40% 13.7598
50% 14.1002
60% 6.4072
70% 6.058
80% 8.479
90% 7.2214
472
Tabel 2.2 nilai RMSE dari variasi banyaknya data training dari total data pada susunan data jenis 2
Variasi Banyaknya Sampel Sebagai Data Train RMSE
10% 49.574
20% 25.5711
30% 17.8391
40% 62.7912
50% 22.841
60% 22.841
70% 27.926
80% 20.1356
90% 22.357
Didapatkan nilai RMSE terkecil yaitu 6.058 dari susunan data jenis 1 ketika 70% dari total data dijadikan data training. Ini berarti untuk membentuk model dengan tingkat akurasi yang baik dalam memprediksi harga close IHSG, direkomendasikan untuk menggunakan susunan data input jenis 1 (memprediksi bulan ke-(t+1) dengan syarat memiliki data bulan ke-(t-2), ke-(t-1), dan ke-(t) ) dan menggunakan70% dari total data sebagai data training.
3. Kesimpulan
Tingkat akurasi prediksi yang dihasilkan metode ANFIS bergantung pada bentuk
data yang digunakan sebagai input dan banyaknya jumlah sampel. Didapatkan
RMSE yang paling kecil yakni 6.058 pada susunan data input jenis 1 dengan
menggunakan 70% total data sebagai data training. Ini berarti untuk memprediksi
harga close IHSG, direkomendasikan untuk menggunakan susunan input data
berbentuk kumpulan nilai close dari bulan ke-(t-2), ke-(t-1), ke-(t) untuk
memprediksi bulan ke-(t+1) dan 70% total data sebagai data training.
473
Pernyataan terima kasih. Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr.
Zuherman Rustam, D.E.A. selaku dosen pembimbing penulis yang selalu memberi
arahan dan terus memotivasi.
Referensi
[1] James, G., Witten, D., Hastie, T., & Tibshirani, R. “An Introduction to Statistical
Learning.” (2013).
[2] Jang, Jyh-Shing Roger, Chuen-Tsai Sun, and Eiji Mizutani. "Neuro-fuzzy and soft
computing, a computational approach to learning and machine intelligence." (1997).
[3] Kaur, Gurbinder, Joydip Dhar, and Rangan Kumar Guha. "Minimal variability OWA
operator combining ANFIS and fuzzy c-means for forecasting BSE index."
Mathematics and Computers in Simulation 122 (2016): 69-80.
[4] Manurung, Adler Haymans . “manfaat dan kegunaan IHSG”. 6 Februari 2017. http://bisniskeuangan.kompas.com/read/2013/04/14/02394859/manfaat.dan.kegunaan.i
hsg
[5] Wira, Desmond. “Mengenal Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG)”. 6 Februari 2017. http://www.juruscuan.com/investasi/184-mengenal-indeks-harga-saham-
gabungan-ihsg
474
Prosiding SNM 2017
Matematika Keuangan dan Aktuaria, Hal 474-484
NILAI RISIKO PADA INVESTASI MATA UANG US$-
CNY BERDASARKAN ASYMMETRIC GJR-GARCH
COPULA
LIENDA NOVIYANTI 1, ACHMAD BACHRUDIN
2, A. ZANBAR
SOLEH 3 DAN M. HUSEIN NURRAHMAT
4
1. Departemen Statistika FMIPA UNPAD, lienda @unpad.ac.id
2. Departemen Statistika FMIPA UNPAD, [email protected]
3. Departemen Statistika FMIPA UNPAD, [email protected]
Abstrak. Fenomena heteroskedastisitas pada volatilitas data keuangan merupakan
hal yang umum sebagai dampak dari return masing-masing aset yang mencerminkan
perubahan harga. Apabila asumsi normalitas berdasarkan waktu tidak dapat dipenuhi,
dan terdapat permasalahan korelasi non-linier untuk struktur model dependen antar
variabel aset maka akan menyebabkan estimasi risiko yang diukur oleh Value at Risk
(VaR) menjadi tidak akurat. Disamping itu, leverage effect juga menyebabkan efek
asimetris dari varians dinamis dan hal ini menunjukkan kelemahan dari model
GARCH yang mengasumsikan efek simetris pada varians kondisionalnya. Model
Asymmetric GJR-GARCH digunakan untuk membentuk model volatilitas distribusi
marginal return sedangkan copula digunakan untuk menggabungkan distribusi-
distribusi marginal tersebut kedalam suatu distribusi multivariat. Selanjutnya copula
digunakan untuk membangun distribusi multivariat yang fleksibel dengan distribusi
marginal dan struktur dependensi yang berbeda, yang mana menyebabkan distribusi
gabungan portofolio yang terbentuk tidak bergantung pada asumsi normalitas dan
korelasi yang linier.
Kata kunci: Volatilitas, GJR-GARCH, Copula, Portofolio Optimal, Value at Risk.
1. Pendahuluan
Dalam berinvestasi, ketidakpastian return yang akan diterima pada periode
mendatang merupakan fokus seorang investor. Faktor ketidakpastian ini dapat
mengakibatkan timbulnya suatu risiko kerugian, sehingga dibutuhkan suatu kajian
untuk memperoleh sebuah besaran yang terukur, agar investor dapat mengambil
keputusan yang tepat dalam berinvestasi. Salah satu indikator risiko yang
digunakan dalam pasar keuangan adalah volatilitas yang merupakan dampak dari
fluktuasi suatu return aset.
Risiko dapat dihindari atau dikurangi dengan melakukan diversifikasi,
yaitu proses pemilihan berbagai aset untuk diinvestasikan sehingga membentuk
sebuah portofolio [9]. Risiko portofolio pada awalnya diukur menggunakan
simpangan baku [1], [8]. Dunia ilmu pengetahuan yang berkembang pesat
menggantikan ukuran simpangan baku dengan Value at Risk (VaR) yang
475
merupakan estimasi kerugian maksimum yang dapat ditolerir yang akan didapat
selama periode waktu tertentu, dengan tingkat kepercayaan tertentu [11]. Terdapat
tiga pendekatan utama yang digunakan dalam estimasi VaR, yaitu Variance-
Covariance Approach, Historical Simulation Method, dan Monte Carlo Simulation
Method. Akan tetapi, terdapat kelemahan dalam ketiga pendekatan tersebut, yaitu
menghasilkan nilai estimasi yang kurang tepat apabila terdapat volatilitas pada data
returnnya. Adanya kecenderungan berfluktuasi secara cepat dari waktu ke waktu
yang selalu terjadi pada data finansial menyebabkan variansi residual return
menjadi tidak konstan atau bersifat heteroskedastisitas [2], [3], [5]. Untuk
mengatasi permasalahan hetero- skedastisitas ini, salah satu model yang dapat
digunakan adalah model GARCH, yang mengasumsikan bahwa error yang bernilai
positif dan yang negatif akan memberikan pengaruh yang sama terhadap
volatilitasnya atau disebut efek simetris [7], [10].
Pada data finansial, seringkali dijumpai adanya leverage effect, yang
menyebabkan adanya perbedaan efek dari informasi positif dan negatif pada
volatilitas, yang dapat diatasi dengan model asimetris yaitu model GJR-GARCH
[6]. Model ini menganalisis efek volatilitas asimetris untuk membedakan informasi
positif dan informasi negatif.
Investasi portofolio biasanya memiliki dependensi antar asetnya.
Dependensi yang kuat pada masing-masing aset dapat meningkatkan risiko yang
dihadapi investor. Oleh karena data finansial umumnya tidak berdistribusi normal,
copula digunakan sebagai ukuran struktur dependensi yang akan digunakan untuk
memodelkan distribusi gabungan aset-aset yang membentuk portofolio berdasarkan
konsep mean-variance [9]. Adapun dependensi antar aset tersebut dijelaskan
menggunakan fungsi copula [4], [12], [13].
2. Hasil – Hasil Utama
Pada bagian ini akan diuraikan proses perhitungan nilai risiko VaR untuk
portofolio nilai tukar mata uang US$ dan CNY terhadap IDR. Proses dimulai
dengan menentukan model terbaik pada data return periode 3 Januari 2013 sampai
dengan 29 Januari 2016 yang memiliki efek heteroskedastisitas dan leverage effect.
Data return tersebut kemudian akan dimodelkan dengan menggunakan
model . Selanjutnya dilakukan pengukuran
struktur dependensi antar aset return portofolio menggunakan metode copula.
Model copula terbaik yang telah diperoleh kemudian digunakan untuk menentukan
nilai VaR satu hari ke depan dimana portofolio optimal yang terbentuk didasarkan
pada konsep mean-variance, dengan memakai simulasi Monte Carlo. Langkah
terakhir, nilai VaR yang diperoleh kemudian diuji ketepatannya dalam mengukur
risiko menggunakan metode backtesting dengan tingkat kepercayaan sebesar 90%
dan 95%. Dalam penelitian ini digunakan software R 3.1.3 dengan package
CDVine, copula, fBasics, fCopulae, fExtremes, FinTS, forecast, MASS,
PerformanceAnalytics, QRM, robustbase, rugarch, scatterplot3d, tseries, dan
VineCopula sebagai alat dalam menentukan nilai VaR menggunakan model
Copula.
476
Analisis Deskriptif Data Return
Hasil analisis desktiptif data return yang dihitung berdasarkan
persamaan (1) dapat dilihat pada Tabel 1 dan Gambar 1, yang menunjukkan bahwa
masing-masing return mempunyai nilai skewness negatif, distribusinya berbentuk
leptokurtic (kurtosis > 3), dan tidak berdistribusi normal (melebihi nilai kritis uji
Jarque-Bera).
(1)
Tabel 1. Statistik Deskriptif Return Aset Mata Uang
Statistics US $ Yuan
Mean 0.000474 0.000419
Minimum -0.022288 -0.022745
Maximum 0.023610 0.023121
Skewness -0.44 -0.55
Kurtosis 3.94 4.16
Jarque-Bera 502.7901 573.5824
Gambar 1. Histogram data log-return
Pemodelan Volalitilas
Berdasarkan uji Augmented Dickey Fuller (ADF), data masing-masing
return bersifat stasioner dalam rata-rata, dan hasilnya dapat dilihat pada Tabel 2.
Tabel 2. Uji Augmented Dickey Fuller
Mata Uang Asing ADF p-value
US $ -8.2093 <0.01
Yuan -8.0592 <0.01
Uji Autokorelasi
Pengujian autokorelasi dilakukan mengggunakan uji Ljung Box, dengan
hasil dapat dilihat pada Tabel 3, yang menunjukkan banwa terdapat autokorelasi
untuk masing-masing return mata uang
Tabel 3. Uji Ljung-Box Return Aset Mata Uang
Mata Uang Asing p-value
US $ 8.1892 0.004214
Yuan 7.5781 0.005908
477
Model
Untuk menentukan nilai VaR dilakukan dengan beberapa tahapan.
Pertama mengestimasi model marginal untuk masing-masing aset dengan
menggunakan model volatilitas, kemudian tahapan selanjutnya adalah
mengestimasi fungsi bersama/gabungan antar aset mata uang dengan menggunakan
copula. Pada bagian ini dijelaskan pembentukan model marginal dalam masing-
masing aset menggunakan model volatilitas
dimana model digunakan untuk memodelkan persamaan rata-rata dari
return aset dan digunakan untuk memodelkan persamaan
varians return.
Dalam penelitian ini, model persamaan rata-rata diestimasi hanya dengan
menggunakan model , hal ini didasarkan bahwa dalam penelitian
sebelumnya, seperti [7], [10] yang menyebutkan bahwa data finansial seperti data
nilai tukar mata uang mempunyai model persamaan rata-rata terbaik yaitu .
Pernyataan ini dapat dibuktikan dengan melihat pada Tabel 4 berikut.
Tabel 4. Estimasi Model
Return Model Parameter Koefisien p-value AIC
US $
0.1040 0.0020 -5875.15
0.1002 0.0033 -5856.86
0.1965 0.3334
-5855.26 -0.0937 0.5579
Yuan
0.1000 0.0034 -5863.26
0.0974 0.0047 -5863.05
0.2310 0.2142
-5861.39 -0.1325 0.3836
Berdasarkan Tabel 4 diketahui bahwa model terbaik adalah model
untuk semua aset mata uang yang dipilih berdasarkan nilai parameter yang
signifikan dengan nilai AIC terkecil.
Diagnostic Checking Model Model
Langkah selanjutnya untuk melihat kesesuaian model maka dilakukan
pengujian terhadap model . Statistik uji yang digunakan adalah dengan
menggunakan uji Ljung-Box dan uji normalitas yang diujikan pada data residual
model . Hasil diagnostic checking ditampilkan pada Tabel 5.
Tabel 5. Diagnostic Checking
Return p-value
USD Yuan USD Yuan
Uji Ljung-Box 0.0011 0.0004 0.9733 0.9787
Uji Normalitas 407.2239 501.6859 2.2e-16 2.2e-16
Berdasarkan Tabel 5, untuk pengujian Ljung-Box diperoleh nilai yang apabila
ditransformasikan ke dalam nilai p-value didapat nilai
untuk semua residual aset sehingga diterima. Artinya bahwa residual model
untuk masing-masing return mata uang tidak mempunyai autokorelasi.
Sedangkan untuk pengujian Normalitas diperoleh nilai
untuk semua residual aset sehingga ditolak. Artinya bahwa residual model
untuk masing-masing return mata uang tidak berdistribusi normal. Hal ini
478
mengindikasikan adanya efek heteroskedastisitas pada residual dikarenakan asumsi
residual berdistribusi normal tidak terpenuhi.
Uji Lagrange Multiplier
Pengujian efek heteroskedastisitas dilakukan terhadap data residual kuadrat
dari model untuk masing-masing return. Pengujian efek heteroskedastisitas
dilakukan dengan menggunakan statistik uji Lagrange Multiplier (LM). Hasil
pengujian Lagrange Multiplier ditampilkan pada Tabel 6.
Tabel 6. Uji Lagrange Multiplier
Mata Uang Asing p-value
US $ 102.1138 2.22e-16
Yuan 89.0366 7.583e-14
Berdasarkan Tabel 6 diperoleh nilai yang apabila ditransformasikan ke dalam
nilai p-value didapat nilai sehingga ditolak. Artinya
bahwa terdapat efek heteroskedastisitas pada residual kuadrat model
masing-masing return mata uang.
Model digunakan untuk menghilangkan pengaruh
efek heteroskedastisitas pada residual model. Model dapat
mengatasi masalah leverage effect yang tidak dapat diatasi oleh model
, yaitu suatu fenomena dimana guncangan negatif pada waktu
menyebabkan dampak yang lebih kuat pada varians waktu ke- daripada
guncangan positif. Keadaan yang asimetris inilah yang disebut sebagai leverage
effect. Dalam penelitian ini dilakukan dua estimasi parameter model, yaitu model
dan dengan residual berdistribusi normal dan t-
student. hasil estimasi parameter model volatilitas return mata uang dirangkum
pada Tabel 7.
Tabel 7. Estimasi Parameter Model
US $
Parameter
Normal t-student Normal t-student
Alpha 0.131119 0.087051 0.145871 0.097072
Beta 0.834841 0.911949 0.861261 0.913661
Gamma
-0.0541 -0.02362
Log-Likelihood 3003.109 3088.985 3004.389 3089.36
AIC -7.9499 -8.147047 -7.9506 -8.1734
Yuan
Parameter
Normal t-student Normal t-student
Alpha 0.140187 0.084444 0.149760 0.090216
Beta 0.800759 0.914553 0.822199 0.914217
Gamma -0.035380 -0.010878
Log-Likelihood 3005.471 3093.492 3005.833 3093.57
AIC -7.9562 -8.150477 -7.9545 -8.1845
479
Berdasarkan Tabel 7 dapat diambil kesimpulan bahwa model AR(1) - untuk setiap marginal return merupakan model yang lebih
dapat menjelaskan fenomena volatilitas pada return nilai tukar mata uang asing
dibandingkan dengan model baik untuk residual
berdistribusi normal maupun t-student. Hal ini ditunjukkan oleh besar nilai estimasi
Log-Likelihood model yang selalu lebih besar daripada model . Selain
itu model selalu mempunyai nilai AIC yang lebih kecil daripada model
. Artinya model volatilitas merupakan model yang lebih baik
dibandingkan model apabila terdapat masalah asimetris pada volatilitas
return, yaitu ditandai dengan adanya leverage effect. Berdasarkan Tabel 7
diperoleh bahwa model volatilitas terbaik adalah model dengan residual berdistribusi t-student, pemilihan ini didasarkan pada
nilai Log-Likelihood terbesar dan nilai AIC terkecil.
Langkah selanjutnya dilakukan pengecekan pada standar residual kuadrat
model untuk melihat apakah masih terdapat efek
heteroskedastisitas pada model. Hasil pengujian yang dilakukan menggunakan uji
Ljung-Box untuk melihat korelasi pada data residual disajikan pada Tabel 8, yang
menunjukkan bahwa standar residual kuadrat model
tidak berautokorelasi. Hal ini dibuktikan dengan nilai yang
menyebabkan diterima.
Tabel 8. Uji Ljung-Box Standar Residual Kuadrat Model
Mata Uang Asing p-value
US $ 1.0285 0.3105
Yuan 0.3012 0.5832
Model marginal masing-masing return mata uang sebagai berikut.
1. Model untuk data return US $
2. Model untuk data return Yuan
dengan , dimana:
Pembentukan Struktur Dependensi Model Copula
Langkah selanjutnya setelah diperoleh parameter model marginal untuk
setiap aset maka dilakukan analisis dependensi antar aset tersebut dengan
menggunakan pendekatan copula. Dengan menggunakan residual yang diperoleh pada pemodelan marginal, maka secara visual dapat
dilihat struktur dependensi setiap residual model marginal mata uang. Gambar 2
memperlihatkan bahwa terdapat hubungan dependensi yang positif untuk USD-
CNY, sehingga struktur dependensi tersebut dapat dianalisis lebih lanjut dengan
menggunakan metode Copula. Tahapan yang pertama adalah mentransformasikan
residual model yang telah dibakukan menjadi
distribusi uniform.
480
Transformasi perlu dilakukan dikarenakan jika hanya menggunakan
visualisasi dari sebaran data residual untuk mengukur dependensi antar variabel
acak
Gambar 2. Scatterplot Residual US $ dan Yuan,
maka contournya tidak akan terbentuk. Pada bagian ini yang digunakan sebagai
distribusi marginal untuk masing-masing aset adalah residual dari model dengan distribusi t-student dikarenakan residual dari model
tersebut merupakan yang paling cocok dengan kondisi marginal masing-masing
aset mata uang.
Gambar 3. Scatterplot Transformasi Residual US $ dan Yuan
Gambar 3 menunjukkan bahwa US $ dan Yuan memiliki dependensi dan
diduga memiliki tingkat dependensi yang tinggi dimana masing-masing
variabelnya telah terlebih dahulu ditransformasikan ke dalam distribusi uniform.
Kemudian dapat dilihat pula bahwa plot dependensi antar variabel tersebut
berkumpul pada beberapa ruang interval, namun belum terlihat jelas pola
penyebaran datanya. Hal tersebut menunjukkan dengan jelas bahwa dependensi
antar dua variabel tersebut tidak memiliki tail dependency sehingga diduga
transformasi residual tersebut memiliki fungsi dari keluarga copula eliptikal.
Gambar 4 memperlihatkan bentuk-bentuk struktur dependensi dari
keluarga copula eliptikal, yaitu copula Gaussian dan t-student serta keluarga copula
Archimedean, yaitu copula Clayton, Gumbel, dan Frank. Dalam penelitian ini akan
digunakan kelima copula tersebut untuk memodelkan dependensi antara dua
variabel aset mata uang dengan distribusi marginal untuk masing-masing aset
berdistribusi t-student. Selanjutnya, parameter copula akan ditaksir dengan
menggunakan penaksiran Maximum Likelihood Estimation (MLE) untuk keluarga
copula eliptikal, dan menggunakan penaksiran built-in korelasi Kendall-tau.
481
Copula Eliptikal
Copula Archimedean
Gambar 4. Copula Gaussian, t-student, Clayton, Gumbel, dan Frank
Tabel 9 merupakan estimasi parameter copula untuk pemodelan struktur
dependensi antar aset. Pemilihan struktur keluarga copula terbaik yang
dibandingkan dengan struktur data empiris berdasarkan data residual model
marginal return menggunakan AIC.
Tabel 9. Parameter Copula
Copula Parameter Log-Likelihood AIC GoF
Gaussian 903.5 -1805.09186 0.9950
t-student 1167 -2332.0565 0.9420
Clayton 911 -1806.7278 0.9910
Gumbel 1027 -2041.3444 0.9993
Frank 966 -1883.2076 0.9990
Pada Tabel 9 dapat dilihat bahwa kelima copula tersebut merupakan
copula yang cocok untuk digunakan dalam memodelkan distribusi gabungan dua
aset mata uang US$ dan Yuan. Hal ini ditunjukkan oleh nilai p-value Goodness of
Fit yang mempunyai nilai lebih besar dari . Akan tetapi, hanya
dibutuhkan satu keluarga copula saja yang digunakan dalam menentukan nilai
VaR, sehingga diperoleh bahwa copula t-student merupakan copula terbaik yang
digunakan dalam menggabungkan distribusi marginal residual model volatilitas
untuk aset mata uang US $ dan Yuan. Pemilihan copula terbaik ini didasarkan pada
nilai Log-Likelihood terbesar dan nilai AIC terkecil. Dari Tabel 9 diketahui bahwa
copula t-student mempunyai nilai Log-Likelihood terbesar sebesar 1167 dan nilai
AIC terkecil sebesar -2332.0565.
Pembentukan Portofolio Optimal Berdasarkan Konsep Mean-Variance.
Portofolio merupakan kombinasi atau gabungan atau sekumpulan aset,
dalam hal ini adalah nilai tukar mata uang US$ dan CNY terhadapat IDR. Rate of
482
return portofolio menggambarkan laju perkembangan return dari portofolio. Rate
of return portofolio dinotasikan dengan Rp yang secara matematis dapat diartikan
sebagai penjumlahan dari perkalian bobot aset ke-i (wi) dengan rate of return aset
ke-i (Ri). Apabila terdapat 2 buah aset maka rate of return portofolio dapat dihitung
dengan rumus sebagai berikut: 2
1 1 2 2
1
p i i
i
R w R w R w R
(2)
Sedangkan nilai ekspektasi rate of return portofolio dinotasikan dengan pR , dan
dirumuskan sebagai berikut : 2
1 1 2 2
1
p i i
i
R w R w R w R
(3)
dengan
1 2 ... .n pw w w w (4)
Berdasarkan konsep mean-variance, model penyelesaian optimasinya adalah
dengan meminimumkan fungsi objektif : 2 2 2
2 2 2
1 1 1
,p i i i k ik
i i ki k
w w w
(5)
dengan fungsi kendala sebagai berikut:
1.
2
1
i i p
i
w R R
2. 2
1
1.ii
w
3. 0, 1,2.iw i
Hasil perhitungan memberikan nilai 42% untuk berinvestasi mata uang US$ dan
58% untuk berinvestasi pada mata uang CNY.
Perhitungan VaR dengan Copula Menggunakan Simulasi Monte Carlo
Setelah mendapatkan copula terbaik, yaitu copula t-student, maka copula
tersebut akan digunakan dalam proses pembangkitan data menggunakan simulasi
Monte Carlo untuk menghitung nilai VaR. merupakan return aset mata uang
US$ dan merupakan return aset mata uang Yuan, masing-masing pada waktu
ke- untuk data yang telah dibangkitkan menggunakan Copula t-student. Dari hasil
analisis diperoleh nilai VaR yang disajikan pada Tabel 10 sebagai berikut.
Tabel 10. Nilai VaR hari
Copula t-student Nilai Value at Risk
0.003276
0.002103
Sebagai contoh, apabila investor menginvestasikan dananya sebesar Rp.
1.000.000,00 pada portofolio nilai tukar mata uang US$ dan Yuan, maka investor
tersebut akan mempunyai potensi kerugian yang dapat ditolerir sebesar
Rp.3.276,00 dengan tingkat kepercayaan 95% dalam jangka waktu 1 hari setelah
tanggal sampel terakhir pada penelitian ini, yaitu 1 Februari 2016.
483
Uji Backtesting
Proses akhir penelitian adalah melakukan validasi terhadap nilai VaR
yang telah diperoleh untuk prediksi satu periode waktu ke depan dengan
menggunakan metode backtesting yakni Kupiec Test. Pengujian ini dilakukan
berdasarkan teori binomial serta menguji perbedaan antara nilai observasi dan nilai
expected return dari VaR portofolio dengan tingkat kepercayaan 90% dan 95%.
Berdasarkan statistik uji seperti pada Persamaan (6) berikut ini,
(6)
diperoleh hasil bahwa nilai VaR pada tingkat kepercayaan 95% dan 90% telah
memiliki kesesuaian seperti yang disajikan pada Tabel 11.
Tabel 11. Uji Backtesting
Nilai VaR Copula t-student Backtesting (p-value) Keterangan
US$ - CNY 0.6345 diterima
0.6543 diterima
3. Kesimpulan
Untuk menentukan nilai risiko dengan menggunakan ukuran VaR pada
investasi portofolio optimal mata uang US$ dan China Yuan, dapat digunakan
pendekatan asymmetric GJR-GARCH dengan Copula t-student. Investor yang
menginvestasikan dananya misal sebesar Rp. 1.000.000,00 pada portofolio nilai
tukar mata uang US$ dan Yuan, maka kemungkinan investor tersebut akan
mempunyai potensi kerugian yang dapat ditolerir sebesar Rp.3.276,00 dengan
tingkat kepercayaan 95% dalam jangka waktu 1 hari setelah tanggal sampel
terakhir pada penelitian ini, yaitu 1 Februari 2016.
Referensi
[1] Bodie, Z., et al. 2003. Essentials of Investments. The McGraw-Hill Companies.
[2] Bollerslev, T. 1986. Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity.
Journal of Econometrics 31, 307-327.
[3] Danielsson, J. 2011. Financial Risk Forecasting. John Wiley & Sons Ltd.
[4] Embrechts, P., et al. 2001. Modelling dependence with copulas and applications to risk
management. ETH Zurich.
[5] Engle, R. F. 1982. Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with estimates of the
variance of UK inflation. Econometrica 50(4), 987-1007.
[6] Glosten, L. R., R. Jagannathan, dan D. E. Runkle. 1993. On the relation between the
expected value and the volatility of the nominal excess return on stocks. The Journal
of Finance 48(5), 1779-1801.
[7] Hansen, P. R., dan Lunde, A. 2005. A forecast comparison of volatility models: does
anything beat a GARCH(1,1)? Journal of Applied Econometrics 20(2005), 873-889.
[8] Jorion, P. 2007. Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk.
McGraw-Hill.
[9] Markowitz, H. 1952. Portfolio selection. The Journal of Finance 7(1), 77-91.
[10] McNeil, A. J., dan Frey, R. 2000. Estimation of tail-related risk measures for
484
heteroscedastic financial time series: an extreme value approach. Journal of Empirical
Finance 7, 271-300.
[11] Noviyanti, L dan A.Z. Soleh. 2016. Penentuan risiko nilai tukar CNY dan HKD
terhadap IDR berdasarkan Value at Risk dan Conditional Value at Risk dengan
volatilitas GARCH. Prosiding Seminar Nasional Matematika Statistika Universitas
Negeri Padang.
[12] Palaro, H. P. dan Hotta, L. K. 2006. Using conditional copula to estimate Value at
Risk. Journal of Data Science 4(2006), 93-115.
[13] Shams, S. dan K.H. Fatemeh. 2013. A Copula-GARCH Model of Conditional
Dependencies: Estimating Tehran Market Stock Exchange Value-at-Risk. Journal of
Statistical and Econometric Methods, Vol.2, No.2 39-50.
.
485
Prosiding SNM 2017 Matematika Keuangan dan Aktuaria, Hal 485-492
APLIKASI ANN DALAM MENENTUKAN TRADING
SAHAM BERBASIS ANALISIS TEKNIKAL
IRMAWARDANI SARAGIH1, ZUHERMAN RUSTAM
2
1. Departemen Matematika UI, [email protected]
2. Departemen Matematika UI, [email protected]
Abstrak. Menentukan keputusan yang tepat dalam trading saham bukanlah hal yang
mudah untuk dilakukan dikarenakan pergerakan harga saham yang sangat dinamis,
apabila salah langkah maka yang didapat adalah kerugian. Untuk menentukan
tindakan yang tepat dalam trading saham, investor dapat menganalisis saham yang
akan diinvestasikan terlebih dahulu agar mendapatkan keuntungan yang besar.
Analisis yang dapat dilakukan adalah analisis teknikal saham dengan menggunakan
berbagai indikator yang ada. Pada skripsi ini, akan dibahas penggabungan enam
indikator analisisteknikal saham, yaitu Simple Moving Average, Moving Average
Convergence/Divergence (MACD), Relative Strength Index (RSI), Stochastic
Oscillator (SO) yaitu %D dan %K, dan William %R dengan menggunakan metode
artificial neural network (ANN).
Kata kunci : : Analisis Teknikal, Artificial Neural Network, Indikator analisis
teknikal.
1. Pendahuluan
Pada saat ini, mendapatkan uang sudah tidak terfokus lagi pada pekerjaan
yang dimiliki oleh seseorang. Banyak hal yang dapat dilakukan dalam mencari
pendapatan tambahan guna memenuhi kebutuhan seseorang selain dari pekerjaan
tetapnya, salah satunya adalah investasi. Dalam tataran ekonomi, investasi
mengacu pada pembelian aset fisik, seperti akuisisi perusahaan terhadap pabrik,
peralatan atau pembelian rumah baru, Mayo [1]. Sedangkan orang yang melakukan
investasi selanjutnya akan disebut investor. Investasi yang dilakukan bisa dalam
bentuk emas, tanah dan bangunan, asuransi, reksa dana, dan saham. Saat ini,
saham merupakan hal yang sangat populer pada pasar keuangan.
Saham mampu memberikan keuntungan yang menarik bagi para investor.
Namun, pergerakan harga saham yang sangat dinamis menjadi faktor penting
dalam pengambilan keputusan bagi para investor, untuk itu dibutuhkan sebuah
sistem yang digunakan untuk memprediksi pergerakan harga saham untuk
membantu investor dalam mengambil keputusan yang tepat.
Prediksi harga saham dapat dilakukan dengan dua cara yaitu analisis
fundamental atau analisis teknikal. Pada makalah ini akan digunakan analisis
teknikal yaitu SMA (Simple Moving Average), MACD (Moving Average
Convergence and Divergence), Stochastic KD, RSI (Relative Strength Index),
William %R, Achelis [2] . Setelah menganalisis saham dari sisi fundamental dan
teknis, selanjutnya langkah yang akan dilakukan oleh investor ialah membuat
486
keputusan apakah akan membeli, menjual, atau mempertahankan saham tersebut.
Sampai saat ini telah banyak cara yang dilakukan dalam prediksi harga saham,
antara lain menggunakan metode Artificial Bee Colony Algorithm (ABC) oleh
Brasileiro RC et all, metode Nearest Neighbor Classification (k-NN) oleh Teixeira
LA et all, metode Naive Bayesian, metode Decision Tree (DT), metode Artificial
Neural Network, dan masih banyak lagi. Pada makalah ini akan dibahas
menggunakan Artificial Neural Network.
2. Metode dan Bahan
a. Artificial Neural Network
Artificial Neural Network (ANN) merupakan sebuah metode pembelajaran
yang meniru karakteristik dari cara kerja sistem saraf manusia, Fausett at all [2].
Model model ANN sangat ditentukan oleh arsitektur jaringan dan algoritma
pelatihan. Arsitektur jaringan berguna untuk menjelaskan perjalanan sinyal dalam
jaringan. Sedangkan algoritma menjelaskan bagaimana perubahan bobot koneksi
yang dilakukan agar pasangan masukan-keluaran yang diinginkan dapat tercapai.
Fungsi aktivasi merupakan suatu proses untuk menentukan formulasi dari input
untuk dikonversikan mejadi nilai output. Pada penelitian ini digunakan fungsi
tangen hiperbolik dan metode backpropagation. Fungsi tangen hiperbolik
dirumuskan sebagai berikut:
(1)
dengan turunan,
(2)
b. Teknikal Analisis
Pada penelitian ini ada enam indikator teknis sebagai masukan untuk metode
ANN dalam memprediksi harga penutupan saham. Indikatornya yaitu, Irma
& Zuherman [3]:
Tabel 1. Tabel Teknikal Indikator
Dimana : : harga penutupan waktu t, : harga rendah saat waktu t, : harga
tinggi saat waktu t, : harga terbawah dalam beberapa hari t, : harga
tertinggi dalam beberapa hari t, : perubahan harga naik pada waktu t, :
perubahan harga turun pada waktu t,
No Indikator Formula
1 SMA (Simple Moving
Average)
3 RSI 100 -
4 MACD EMA(12)-EMA(26)
5 Stochastic K%
* 100
6 Stochastic D%
7 Larry William’s R%
* 100
487
Metode Penelitian
Sistem prediksi yang akan dibangun menggunakan ANN dan sejumlah
aturan berdasarkan teknikal indikator yang digunakan untuk mendapatkan
keputusan trading saham yakni beli, tahan atau jual. Adapun langkah-langkah yang
akan digunakan dalam pengambilan keputusan adalah, Dash et all [4] :
Langkah I. Menghitung nilai teknikal indikator
Input data yang digunakan pada penelitian ini adalah nilai dari keenam
teknikal indikator.
Langkah II. Menentukan trend analisis menggunakan teknikal indikator
Pada penelitian ini, indikator SMA digunakan untuk mengklasifikasikan
pergerakan harga saham berdasarkan uptrend atau downtren yang mengikuti aturan
sebagai berikut:
Jika harga penutupan saham mengikuti SMA, dan pergerakan SMA naik
untuk 5 hari terakhir maka trend yang diperoleh Uptrend.
Jika harga penutupan saham berada tidak mengikuti SMA, dan pergerakan
SMA turun untuk 5 hari terakhit maka trend yang diperoleh Downtrend.
Langkah III. Menghitung nilai trading signal dari nilai trend analisis
Neural Network merupakan supervised learning yang membutuhkan nilai
input dan output sebagai data latih. Untuk itu diperlukan suatu nilai output yang
akan dijelaskan pada tahap ini. Nilai output biasanya memiliki range dari 0-1. Nilai
output yang digunakan diperoleh dari nilai trend signal. Untuk memperoleh nilai
trend signal, yang selanjutnya akan didefinisikan dengan ,akan digunakan
persamaan berikut:
Jika tren analisis Up trend
(3)
Jika tren analisis Down trend
(4)
dengan : , dan merupakan harga penutupan pada hari ke-i.
Langkah IV. Input data
Keenam teknikal indikator yang telah diproses akan menghasilkan nilai
numerik dan nilai tersebut memiliki range yang berbeda untuk setiap indikator.
Oleh karena itu, input data untuk metode ANN akan dinormalisasi sehingga
menghasilkan range 0-1. Normalisasi data dapat dilakukan menggunakan
persamaan
, i=1,...,d, j=1,...,n (5)
dengan,
: nilai normalisasi dari data ke-j pada teknikal indikator ke-i,
: nilai data ke-j yang akan dinormalisasi pada teknikal indikator ke-i,
: nilai maximum data dari teknikal indikator ke-i,
: nilai minimum data dari teknikal indikator ke-i,
n : banyaknya data.
Langkah V. Menghitung nilai trading signal dengan metode ANN
Pada tahap ini akan dilakukan perancangan sistem ANN yang akan
digunakan untuk menghasilkan prediksi trading signal .
Langkah VI. Penentuan trend berdasarkan trading signal
488
Setelah melakukan langkah 5, maka akan diperoleh nilai trading signal yang
baru ( ) dengan nilai range 0 sampai 1. Kemudian akan ditentukan nilai trend
menggunakan mean dari nilai range Tr sebesar 0.5 dengan aturan sebagai berikut :
Tabel 2 Penetuan trend
Penentuan
Trend
Down
Up
Langkah VII. Penentuan keputusan dari prediksi trend
Setelah melakukan langkah 6 maka akan diperoleh trend yang akan
digunakan untuk menentukan keputusan trading saham dengan menggunakan
aturan sebagai berikut:
Tabel 3 Penentuan keputusan rekomendasi
Algoritma pelatihan ANN untuk satu unit tersembunyi, dengan fungsi
aktivasi tangen hiperbolik adalah sebagai berikut :
Langkah 0. Definisikan pola input dan data targetnya.
Langkah 1. Inisialisasi semua bobot dengan bilangan acak kecil.
Langkah 2. Tentukan iterasi dan error yang diinginkan.
Langkah 3. Jika kondisi iterasi dan error yang diinginkan belum terpenuhi
lakukan langkah 4-9.
Fase I : Feed forward
Langkah 4. Tiap unit input menerima sinyal dan meneruskannya ke unit
tersembunyi diatasnya.
Langkah 5. Hitung semua output disetiap unit tersembunyi .
(6)
(7)
: Unit input ke-i,
: Bias untuk hidden unit ke-j,
: Bobot antara unit input ke-j dengan hidden unit ke-i,
: Jumlah perkalian ke-k antara nilai bobot dengan sinyal masukan,
p : Jumlah simpul pada unit tersembunyi.
Langkah 6. Hitung semua output jaringan di unit .
(8)
(9)
: Bias untuk unit output ke-j,
: Bobot antara hidden unit ke-k dengan unit output ke-j,
: Jumlah perkalian ke-k antara nilai bobot dengan unit
No
IF
Kondisi Trend Saat ini
THEN
Rekomendasi
1 Up Beli
2 Down Jual
3 Sama dengan sebelumnya Tahan
489
tersembunyi,
m : Jumlah simpul pada unit keluaran.
Fase II: Backpropagation
Langkah 7. Hitung faktor unit keluaran berdasarkan kesalahan di setiap unit
keluaran . Faktor selanjutnya akan digunakan untuk dalam
perubahan bobot dibawahnya yaitu dengan laju percepatan .
(10)
= ; k = 1,2,...,m ; j = 0,1,...,p (11)
: Nilai output yang sebenarnya,
: Nilai output sistem,
: nilai percepatan [0,1]
: Perubahan bobot pada unit output.
Langkah 8. Hitung faktor unit tersembunyi berdasarkan kesalahan di setiap unit
teersembunyi . Faktor selanjutnya akan digunakan untuk dalam
perubahan bobot dibawahnya yaitu dengan laju percepatan .
(12)
(13)
= ; j = 1,2,...,p ; i = 0,1,...,n (14)
: Perubahan bobot pada unit tersembunyi
Fase III: Perubahan bobot
Langkah 9. Hitung semua perubahan bobot.
Perubahan bobot yang menuju ke unit keluaran,
k = 1,2,...,m ; j=0,1,...,p (15)
Perubahan bobot yang menuju ke unit tersembunyi
j = 1,2,...,p ; j=1,2,...,n (16)
490
Gambar 1. Flowchart Alur Penelitian
3. Hasil Penelitian
Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data historis harga saham
PT. Bank Mandiri, Tbk dengan periode Januari 2014-Desember 2015. Data historis
harga saham yang digunakan akan dibagi menjadi 2 bagian, yaitu data training dan
data testing. Data training yang digunakan adalah data historis harian harga saham
periode 01 Januari 2014- 31 Desember 2014 sebanyak 261 data, sedangkan data
testing akan digunakan data historis bulanan harga saham periode 01 Januari 2015-
31 Desember 2015.
Pada metode yang akan digunakan, input data yang digunakan merupakan
hasil perhitungan dari keenam teknikal analisis. Perhitungan dilakukan dengan
bantuan software Rstudio dengan data masukan merupakan data historis harga
saham.
Berdasarkan langkah yang diberikan pada subbab sebelumnya, dengan
491
perhitungan yang dilakukan menggunakan software Matlab, maka diperoleh bobot
w yaitu bobot yang menghubungkan input dengan hidden layer dan bobot u yaitu
bobot yang menghubungkan hidden layer dengan output.
Selanjutnya akan dibahas hasil percobaan menggunakan data testing
dengan input nilai keenam teknikal indikator dan bobot yang telah diperoleh
dengan menjalankan sistem ANN. Hasil yang diperoleh akan dibandingkan dengan
harga saham seminggu setelahnya dan saham di akhir bulan.
1 Januari 2015
Tabel 4. Hasil percobaan data pertama
SMA RSI William%R %
D
%K MAC
D Rekomenda
si
1059
0
59,5
7
0,02 0,8 0,98 0,63 0,649
0
Beli
Untuk mengetahui apakah hasil output tersebut tepat atau tidak, akan
dilakukan dua perbandingan. Perbandingan pertama ialah perbandingan harga
saham satu minggu berikutnya yaitu tanggal 8 Januari 2015 dan perbandingan
kedua ialah harga saham diakhir bulan yaitu saat 30 Januari 2015.
Pada perbandingan pertama, pada satu minggu berikutnya, pergerakan harga
saham mengalami kenaikan Rp.175,00, dari semula memiliki harga Rp10.775,00
menjadi Rp10.950,00.Sehingga hasil rekomendasi yang dikeluarkan sistem belum
492
tepat. Untuk perbandingan kedua, harga saham pada tanggal 30 Januari 2014 juga
mengalami kenaikan harga pada periode ini, yaitu sebesar Rp225,00. Karena
mengalami kenaikan harga, rekomendasi yang dihasilkan oleh sistem tidak tepat
karena kenaikan harga ini mengindikasikan para investor untuk menjual saham
selagi harga saham naik.
Setelah melakukan percobaan selama 12 bulan dan membandingkan hasilnya
seperti contoh pada bulan januari, maka diperoleh hasil sebagai berikut :
Tabel 5. Ketepatan hasil percobaan dengan periode waktu
4. Kesimpulan
Berdasarkan pengujian yang dilakukan dengan menggunakan data PT Bank
Mandiri Tbk selama periode Januari 2014 – Desember 2015, didapatkan bahwa
rekomendasi dengan menggunakan metode ANN dan keenam teknikal indikator
untuk data tersebut lebih baik digunakan untuk jangka waktu satu minggu dengan
tingkat akurasi 73,3%. Sedangkan untuk jangka waktu yang lebih lama, yaitu satu
bulan, hanya memiliki tingkat akurasi 41,67%. Rekomendasi yang diperoleh
menggunakan ANN dipengaruhi oleh teknikal indikator dan data yang digunakan.
5. Referensi
[1] Mayo, Herbert B. (2011). Investments : An Introduction 10th ed. United State of
America : South-Western Cengage Learning. Pp 3-20
[2] Achelis, Steven B. (2000). Technical Analysis from A to Z. Pp 1-35
[3] Fausett, Laurene. (1994). Fundamentals of Neural Networks: Architectures,
Algorithms and 7Applications. United State of America : Prentice-Hall.
[4] Saragih, Irmawardani., Rustam, Zuherman. (2017). Prediksi Harga Saham
Menggunakan Support Vector Regression Berbasis Teknikal Analisis. Riau :
Konferensi Nasional Matematika XVIII
[5] Dash, Rajashree., Dash, Pradipta Kishore. (2016). A hybrid stock trading framework
integrating technical analysis with machine learning techniques.India : The Journal
of Finance and Data Science 2. Pp 42-5
Tanggal Rekomendasi Ketepatan
1 minggu 1 bulan
1 Januari 2015 0,6690 Beli
2 Februari 2015 0,6638 Tahan
2 Maret 2015 0,6285 Tahan
1 April 2015 0,6474 Tahan
1 Mei 2015 0,4993 Jual
1 Juni 2015 0,4517 Jual
1 Juli 2015 0,6008 Beli
3 Agustus 2015 0,5017 Tahan
1 September 2015 0,5650 Tahan
1 Oktober 2015 0,4716 Jual
2 November 2015 0,5516 Beli
1 Desember 2015 0,6990 Tahan
493
Prosiding SNM 2017 Matemat ika Keuangan dan Aktuar ia , Hal 493 -508
SUKU BUNGA KREDIT INVESTASI IDEAL BANK
UMUM DENGAN ACUAN BI RATE (PENDEKATAN
THRESHOLD VECTOR ERROR CORRECTION MODEL)
GAMA PUTRA DANU SOHIBIEN
Sekolah Tinggi Ilmu Statistik, [email protected]
Abstrak. Peran sektor perbankan terhadap perekonomian adalah membantu usaha
debitur dengan pemberian pinjaman. Salah satu kredit yang disalurkan bank umum
adalah kredit investasi. Besarnya penyaluran kredit investasi dipengaruhi oleh suku
bunga kredit investasi. Salah satu acuan penetapan suku bunga kredit investasi adalah
BI Rate. Pendekatan yang banyak digunakan untuk menganalisis hubungan antar
variabel ekonomi adalah kointegrasi dan Vector Error Correction Model (VECM).
VECM memasukan koefisien penyesuaian ketidakseimbangan antar variabel sebagai
koreksi penyimpangan yang terjadi di jangka pendek. Pada model VECM, pola
hubungan antara penyimpangan dan dinamika jangka pendek dianggap linear. Namun
pola hubungan tersebut mungkin saja tidak linear. Model yang mengakomodir
permasalahan tersebut adalah Threshold Vector Error Correction Model (TVECM).
Suku bunga kredit investasi signifikan dalam merespon ketidakseimbangan ketika
ECTt-1 lebih dari 0.51. Suku bunga kredit investasi ideal bank umum adalah minimal
1.679 BI rate - 0.77 dan maksimum .
Kata kunci: Suku Bunga Kredit Investasi, BI rate, TVECM.
1. Pendahuluan
Pertumbuhan ekonomi merupakan terjadinya perkembangan kegiatan
dalam perekonomian yang menyebabkan barang dan jasa yang diproduksi
meningkat sehingga kemakmuran masyarakat dapat meningkat. Pencapaian
pertumbuhan ekonomi tentunya melalui proses yang melibatkan peningkatan
kegiatan-kegiatan produksi (barang dan jasa) di semua sektor ekonomi. Dalam
meningkatkan kegiatan-kegiatan ekonomi diperlukan modal untuk menambah
sarana dan prasarana yang menunjang kegiatan ekonomi tersebut, seperti: pabrik,
gedung perkantoran, mesin-mesin, dan alat-alat produksi. Kapital atau modal
merupakan sumber utama dalam pertumbuhan ekonomi [15]. Dengan kata lain
investasi menjadi salah satu penopang dalam pencapaian target pertumbuhan
ekonomi.
Pada umumnya sumber utama pembiayaan investasi di negara-negara
berkembang termasuk Indonesia adalah dari penyaluran kredit perbankan [9].
Peran sektor perbankan terhadap pertumbuhan ekonomi adalah dalam membantu
usaha para debitur yang memerlukan dana, baik dana Investasi maupun dana untuk
modal kerja yang dapat berdampak pada peningkatan pembangunan di berbagai
sektor. Oleh karena itu sektor perbankan menjadi penting untuk diperhatikan
494
karena lembaga perbankan memiliki peran intermediasi dan berpengaruh besar
terhadap pertumbuhan ekonomi suatu negara. Ketika terjadi penurunan kredit yang
disalurkan akan dapat berdampak pada perlambatan pertumbuhan ekonomi yang
disebabkan kurang atau tidak adany a modal yang dapat digunakan produsen
untuk melakukan produksi.
Salah satu jenis kredit yang diberikan oleh bank umum adalah kredit
investasi. Kredit investasi merupakan kredit jangka panjang yang biasanya
digunakan untuk keperluan perluasan usaha atau membangun proyek/pabrik baru.
Bank sebagai pemberi kredit akan mendapatkan keuntungan dari bunga yang
dibayarkan oleh perusahaan yang meminjam. Perusahaan yang melakukan
pinjaman kredit investasi dapat melakukan pengembangan usahanya. Bagi
pemerintah peningkatkan kredit investasi akan berdampak pada peningkatan pajak,
berkurangnya pengangguran sebagai dampak dari perluasan usaha perusahaan, dan
peningkatan ekspor. Semua manfaat yang didapatkan dari penyaluran kredit
investasi akan bermuara pada peningkatan pertumbuhan ekonomi negara.
Salah satu faktor yang memengaruhi besarnya kredit investasi yang
disalurkan adalah suku bunga kredit investasi yang ditetapkan oleh bank. Semakin
tinggi bank mengenakan suku bunga kredit, minat perusahaan untuk meminjam
kredit semakin berkurang sedangkan semakin rendah bank menetapkan suku bunga
kredit maka minat perusahaan untuk meminjam kredit akan semakin besar.
Berdasarkan beberapa literatur suku bunga kredit yang terlalu tinggi akan
berdampak pada turunnya hasrat untuk berinvestasi yang tentu bisa mengakibatkan
penurunan pertumbuhan ekonomi. Sedangkan suku bunga kredit yang terlalu
rendah juga akan berdampak pada rendahnya laba yang diterima oleh bank dari
balas jasa penyaluran kredit investasi.
Dalam menetapkan suku bunga termasuk suku bunga kredit investasi salah
satu acuan yang digunakan oleh bank umum adalah suku bunga acuan Bank
Indonesia (BI Rate). BI Rate merupakan instrumen kebijakan utama untuk
memengaruhi aktivitas kegiatan perekonomian. Apabila perekonomian sedang
mengalami kelesuan, BI akan menggunakan kebijakan moneter melalui penurunan
suku bunga untuk mendorong aktifitas ekonomi. Penurunan suku bunga BI rate
akan menurunkan suku bunga kredit yang akan direspon oleh dunia usaha untuk
meningkatkan permintaan kredit perbankan. Sehingga aktivitas perekonomin akan
semakin meningkat. Di sisi lain Bank sebagai lembaga yang keuntungannya paling
besar didapatkan dari bunga juga akan memerhatikan suku bunga yang tepat agar
laba yang diperoleh juga maksimal.
Penelitian terkait suku bunga kredit sudah banyak dilakukan oleh peneliti-
peneliti terdahulu, diantaranya [11], [14], [16], dan [17]. Dari banyak penelitian
belum ada yang menjelaskan pada saat bagaimana bank umum akan merespon
adanya pergerakan BI rate dan bagaimana respon yang dilakukan oleh bank umum
untuk setiap kebijakan moneter yang dilakukan oleh BI melalui penetapan tingkat
BI rate. Selain itu belum ada penelitian yang memberikan rekomendasi terkait suku
bunga kredit investasi ideal yang bisa digunakan bank umum dalam menyalurkan
kredit dengan mengacu pada BI rate.
Pendekatan yang banyak dilakukan untuk melihat hubungan antar variabel
ekonomi adalah kointegrasi dan vector error correction model (VECM). Metode
kointegrasi dipopulerkan oleh Engle dan Granger pada tahun 1987 [7]. Pendekatan
kointegrasi berkaitan erat dengan pengujian terhadap kemungkinan adanya
hubungan keseimbangan jangka panjang diantara variabel-variabel ekonomi.
Metode kointegrasi dapat dijadikan solusi dari masalah spurious regresion, yaitu
495
model regresi dengan nilai R2 tinggi namun tidak ada hubungan yang signifikan
antar variabel respon dan prediktor. Vector Error Correction
Model (VECM) merupakan model yang dikembangkan untuk mengatasi masalah
variabel-variabel yang saling berkointegrasi atau memiliki hubungan
keseimbangan jangka panjang namun dalam jangka pendek tidak ada
keseimbangan (disequilibrium). Ketidakseimbangan inilah yang sering ditemui
dalam perilaku hubungan antar variabel ekonomi. Model VECM memasukan
penyesuaian untuk melakukan koreksi bagi ketidakseimbangan yang terjadi
sehingga dinamika jangka pendek variabel-variabel di dalam sistem dipengaruhi
oleh besarnya penyimpangan yang terjadi.
Hubungan antara penyimpangan dan dinamika jangka pendek pada model
VECM diasumsikan linear. Hubungan antar variabel ekonomi biasanya tidak linear
[5]. Besarnya penyesuaian terhadap keseimbangan jangka panjang dapat berbeda di
berbagai keadaan ekonomi [2]. Dalam makroekonomi, kebijakan sering diatur
berdasarkan target, dimana intervensi dilakukan ketika penyimpangan terjadi
secara signifikan dari target sehingga penyesuaian tidak dilakukan seketika itu juga
melainkan dilakukan setelah penyimpangan melewati nilai threshold [18]. Hal ini
berlawanan dengan VECM dimana penyimpangan dikoreksi dengan cara yang
sama. Sehingga, bila pola hubungan antara penyimpangan dan dinamika jangka
pendek adalah nonlinear maka model VECM tidak tepat untuk menggambarkan
hubungan jangka pendek antar variabel. Dari semua penelitian yang sudah
dilakukan tentang hubungan antara BI rate dan suku bunga kredit di Indonesia,
belum ada penelitian yang mengkaji hubungan tersebut dengan mempertimbangkan
adanya pola penyesuaian nonlinear yang mungkin terjadi untuk mengoreksi
ketidakseimbangan yang terjadi di jangka pendek.
Threshold cointegration yang diperkenalkan oleh Balke dan Fomby pada
tahun 1997 merupakan model yang menggabungkan ke-nonlinier-an dan
kointegrasi. Model threshold didasarkan pada prinsip bahwa proses pemodelan
data time series ditandai dengan adanya rezim yang terpisah, masing-masing rezim
memiliki pola yang berbeda. Secara khusus model ini memungkinkan dilakukan
penyesuaian nonlinier terhadap keseimbangan jangka panjang. Model ini sudah
banyak diterapkan pada penelitian-penelitian terdahulu, seperti [1], [4], dan [10].
Konsep threshold kointegrasi seperti yang diperkenalkan oleh Balke dan
Fomby telah menarik perhatian para praktisi dalam mengungkap pola penyesuaian
nonlinear harga relatif dan variabel lain. Ide dasar dari model threshold kointegrasi,
adalah model dibentuk lebih dari satu rezim model time series yang dibagi
berdasarkan nilai error correction term (ECT). Dengan kata lain efek threshold
pada model VECM tergantung pada besarnya ketidakseimbangan terhadap sistem
jangka panjang. Model yang digunakan untuk melakukan penyesuaian nonlinear
terhadap ketidakseimbangan yang terjadi di jangka pendeknya disebut sebagai
Threshold Vector Error Correction Model (TVECM).
Berdasarkan pertimbangan bahwa kredit investasi memiliki peran yang
cukup penting dalam peningkatan pertumbuhan ekonomi dan suku bunga kredit
investasi juga memiliki peran yang penting dalam menentukan banyaknya kredit
yang disalurkan dan keuntungan yang diperoleh bank maka penelitian ini bertujan
melihat bagaimana hubungan antara BI rate dan suku bunga kredit investasi,
apakah BI rate sebagai alat kebijakan moneter berhasil dalam memberikan
pengaruh pada pergerakan suku bunga kredit investasi, bagaimanakah besarnya
penyesuaian BI rate dan suku bunga kredit investasi sebagai respon
ketidakseimbangan yang terjadi antara BI rate dan suku bunga kredit investasi, dan
496
berapa tingkat suku bunga kredit investasi ideal yang direkomendasikan untuk
bank umum dengan mengacu pada penetapan BI rate. Pendekatan yang digunakan
pada penelitian ini adalah Threshold Vector Error Correction Model.
2. Metodologi Penelitian
2.1 Sumber Data dan Variabel Penelitian
Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data BI rate dan suku
bunga kredit investasi dari Januari 2008- Juli 2016. Data-data tersebut merupakan
data sekunder yang bersumber dari Publikasi Statistik Perbankan Indonesia (SPI)
yang diterbitkan oleh Otoritas Jasa Keuangan. Variabel yang digunakan pada
penelitian ini adalah Y1t yang merupakan variabel BI rate dan Y2t yang merupakan
variabel suku bunga kredit investasi.
Metode analisis yang digunakan dalam penelitian ini, adalah Threshold
Vector Error Correction Model (TVECM). Adapun langkah-langkah yang akan
dilakukan untuk mencapai tujuan penelitian adalah sebagai berikut:
1. Melakukan Uji stasioneritas data.
2. Melakukan uji kausalitas granger dimana lag optimum yang digunakan
ditentukan dari kriteria Akaike’s information criterion (AIC), Schwarz
information criterion (SIC), Hannan-Quinn Criterion (HQ), dan Final
Prediction Error (FPE).
3. Melakukan pengujian kointegrasi
4. Melakukan pengujian signifikansi keberadaan threshold dengan Lagrange
Multiplier Test (LM test)
5. Membuat model TVECM
2.2 Vector Error Correction Model (VECM)
VECM merupakan model VAR yang dibuat ketika antar variabel saling
berkointegrasi [3]. Variabel-variabel dalam VECM adalah variabel-variabel turunan
pertama dalam model VAR yang dibedakan oleh error correction term atau dengan
kata lain variabel dalam VECM merupakan variabel yang terkointegrasi pada order
pertama [I(1)]. Hubungan dinamis jangka pendek dari suatu variabel di dalam
sistem dipengaruhi oleh penyimpangan dari keseimbangan jangka panjang yang
dikenal sebagai cointegration term atau error correction term. Untuk membahas
model VECM ini, misalkan kita mempunyai hubungan jangka panjang atau
keseimbangan untuk dua variabel sebagai berikut:
tt YY 210
^
1 (1)
Jika Y1t berada pada titik keseimbangan terhadap Y2t maka keseimbangan
antara variabel Y1t dan Y2t pada persamaan (1) terpenuhi. Namun dalam sistem
ekonomi pada umumnya keseimbangan jarang sekali ditemui. Bila Y1t mempunyai
nilai yang berbeda dengan nilai keseimbangannya maka perbedaan antara sisi kiri
dan sisi kanan pada persamaan (1) adalah sebesar:
tt YYECT 2101
(2)
497
Nilai ECT ini disebut sebagai kesalahan ketidakseimbangan (disequilibrium
error). Bentuk umum VECM yang memasukan variabel perubahan sampai dengan
lag ke-p, adalah sebagai berikut:
ty
p
i
iti
p
i
itittyt YaYaYYaaY ,1
1
2,12
1
1,111210111101 )(
(3)
dan
ty
p
i
iti
p
i
itittyt YaYaYYaaY ,2
1
2,22
1
1,211210112202 )(
(4)
2.3 Threshold Vector Error Correction Model (TVECM)
Keberadaan threshold dalam model membentuk model VECM menjadi
bentuk berikut:
tΔy =
dimana:
A1 dan A2 adalah matriks koefisien dalam kedua rezim
A1 =A2 ketika tidak ada threshold
γ adalah parameter threshold.
Model (5) dan (6) dapat juga dituliskan menjadi persamaan berikut:
1t1tT
1t ) β (yAΔy d ( , γ) + 2td) β (yA 1tT
2 ( , γ) + ut (7) dimana:
td1 ( , γ) = I ( )(1 tW ≤ γ)
td2 ( , γ) = I ( )(1 tW > γ)
dan I(.) menunjukan fungsi indikator.
Model (7) memiliki 2 rezim yang didefinisikan oleh nilai error-correction term.
Koefisien matriks A1 dan A2 menentukan dinamika kedua rezim tersebut. Model
(7) memungkinkan semua koefisien (kecuali vektor kointegrasi β) untuk berganti
diantara kedua rezim. Efek threshold ada jika 10 1 tWP. Besarnya nilai γ
ditentukan dengan batasan dimana , adalah
sebuah parameter trimming.
3. Hasil-Hasil Utama
Gambar 1 merupakan time series plot BI rate dan suku bunga kredit
investasi dari Januari 2008 sampai dengan Juli 2016. Gambar 1 diolah dengan
menggunakan software minitab. Dari gambar 1 dapat dilihat bahwa terdapat
kemiripan pola time series plot antara BI rate dan suku bunga kredit investasi. Hal
t1tT
1 u) β (yA , jika )(1 tW ≤ γ
t1tT
2 u) β (yA , jika )(1 tW > γ
(5)
(6)
498
ini mengindikasikan bahwa kedua variabel tersebut berhubungan. Dengan kata lain
instrumen kebijakan moneter berupa BI rate terindikasi diikuti oleh pergerakan
suku bunga kredit investasi. BI rate tertinggi terjadi pada oktober 2008 yaitu
sebesar 9,5 persen. Hal ini disebabkan karena adanya krisis global sehingga untuk
meminimalisir dampaknya terhadap melemahnya nilai tukar rupiah terhadap dollar,
BI menaikan BI rate menjadi 9.5 persen untuk mendorong investor asing
menanamkan modal dengan membeli surat-surat berharga ke dalam instrumen-
instrumen keuangan di Indonesia sehingga aliran modal asing yang masuk akan
mengapresiasi nilai tukar rupiah.
Year
Month
201620152014201320122011201020092008
JanJanJanJanJanJanJanJanJan
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
Data
BI Rate
Suku bunga kredit Inv
Variable
Gambar 1. Time Series Plot Data BI Rate dan Suku Bunga Kredit Investasi
Meski BI rate desember 2008 sudah turun ke angka 9,25 persen namun
suku bunga kredit investasi pada bulan tersebut justru merupakan suku bunga
kredit investasi tertinggi yaitu 13,98 persen. Tidak langsung diikutinya penurunan
BI rate oleh penurunan suku bunga kredit investasi bisa disebakan oleh masih
tingginya resiko gagal bayar yang mungkin timbul dari sektor riil tersebut akibat
perekonomian yang belum begitu kondusif. Selain itu perbankan membutuhkan
waktu untuk menghitung-hitung kembali kebutuhannya dan mengatur strategi
berdasarkan struktur dana, pengeluaran tidak terduga, dan lain-lain.
Sementara itu BI rate terendah adalah pada angka 5,75 persen yang terjadi
di bulan februari 2012 sampai dengan mei 2013. Penuruan BI rate menjadi 5,75
persen sebagai langkah BI untuk mendorong pertumbuhan ekonomi Indonesia di
tengah menurunnya kinerja ekonomi global. Langkah ini terlihat berhasil bila
melihat dari suku bunga kredit investasi yang ikut mengalami penurunan menjadi
11,62 persen pada februari 2012 kemudian turun kembali sampai menyentuh angka
11,14 di Juni 2013. Dengan suku bunga kredit investasi yang rendah tentunya akan
meningkatkan hasrat para produsen untuk menambah atau memperluas usahanya
sehingga perekonomian menjadi terpacu.
3.1 Uji Stasioneritas Data
Langkah awal yang dilakukan sebelum melakukan pemodelan TVECM
adalah melakukan uji stasioneritas data. Uji kointegrasi akan bermakna jika
variabel-variabel yang diteliti belum stasioner dan terintegrasi pada derajat yang
sama. Oleh karena itu sebelum melakukan pengujian kointegrasi perlu dilakukan
uji stasioneritas data pada variabel yang akan diteliti. Pada tabel 1 disajikan hasil
uji stasioneritas BI rate (Y1) dan Suku Bunga Kredit Investasi (Y2) untuk data asli
499
atau belum dilakukan differencing.
Metode yang digunakan untuk menguji stasioneritas data adalah
Augmented Dickey Fuller (ADF) dan Philips Perron (PP). Kedua pengujian ini
dilakukan dengan bantuan software evews 8.0. Dari tabel 1 dapat dilihat bahwa
nilai p-value dari uji ADF dan PP untuk variabel Y1 dan Y2 lebih kecil dari 0,05.
Hal ini memberikan keputusan bahwa hipotesis nol tidak ditolak dengan level
signifikan 5 persen, yang artinya dengan level signifikan 5 persen kedua variabel
tidak stasioner. Langkah selanjutnya adalah melakukan uji stasioneritas kedua
variabel setelah dilakukan differencing pertama. Hasil uji stasioneritas Y1 dan Y2
setelah dilakukan differencing pertama dapat dilihat di tabel 2.
Tabel 1. Uji Stasioneritas Data Asli
Variabel Jenis Uji Hipotesis Nol P-value Keputusan
Y1
ADF Y1 tidak
stasioner 0.1153 Gagal tolak Ho
PP Y1 tidak
stasioner 0.4082 Gagal tolak Ho
Y2
ADF Y2 tidak
stasioner 0.4208 Gagal tolak Ho
PP Y2 tidak
stasioner 0.4719 Gagal tolak Ho
Dari tabel 2 dapat dilihat pengujian variabel Y1 dan Y2 yang sudah
dilakukan differencing. Nilai p-value dari uji ADF dan PP lebih kecil dari 0.05. Hal
ini memberi keputusan bahwa hipotesis nol ditolak dengan level signifikan 5
persen, yang artinya dengan level signifikan 5 persen kedua variabel yang sudah
dilakukan differencing sudah stasioner. Dengan demikian bisa dikatakan bahwa
variabel Y1 dan Y2 terintegrasi pada derajat yang sama yaitu order 1 sehingga uji
kointegrasi dapat dilakukan pada kedua variabel tersebut.
500
Tabel 2. Uji Stasioneritas Data Setelah Differencing Pertama
Variabel Jenis Uji Hipotesis Nol P-value Keputusan
Y1
ADF Y1 tidak
stasioner 0.0082 Tolak Ho
PP Y1 tidak
stasioner 0.0000 Tolak Ho
Y2
ADF Y2 tidak
stasioner 0.0000 Tolak Ho
PP Y2 tidak
stasioner 0.0000 Tolak Ho
3.2 Panjang Lag Optimum
Penentuan panjang lag optimum diperlukan untuk digunakan pada uji
kausalitas granger dan pembentukan TVECM. Pada penelitian ini pengolahan uji
panjang lag optimum dilakukan dengan menggunakan software eviews 8.0. Pada
tabel 3 disajikan hasil panjang lag optimium yang diperoleh dengan menggunakan
criteria Akaike Information Criterion (AIC) , Scwarz Information Criterion (SIC),
Hannan Quinn (HQ), dan Final Prediction Error (FPE). Penentuan panjang lag
optimum dilakukan dengan bantuan software evews 8.0
Dari empat kriteria yang digunakan, tiga diantaranya (FPE, AIC, dan HQ)
memberi kesimpulan bahwa panjang lag optimum yang terpilih adalah 4. Dengan
demikian diputuskan bahwa panjang lag optimum yang digunakan pada penelitian
ini adalah 4. Penentuan ini juga didukung dengan pendapat [12] bahwa kriteria
AIC dan FPE dapat meminimalkan terjadinya underestimate dan memaksimalkan
peluang untuk mendapatkan panjang lag yang sebenarnya untuk sampel kecil (T <
120).
Tabel 3. Hasil Uji Panjang Lag Optimum
Lag FPE AIC SC HQ
1 0.000288 -2.476941 -2.369409 -2.433490
2 0.000212 -2.782568 -2.567504* -2.695666
3 0.000191 -2.889226 -2.566631 -2.758874
4 0.000174* -2.979940* -2.549813 -2.806136*
5 0.000186 -2.916771 -2.379113 -2.699517
6 0.000194 -2.874390 -2.229200 -2.613685
7 0.000207 -2.809194 -2.056472 -2.505038
8 0.000220 -2.751642 -1.891389 -2.404035
501
3.3 Uji Kausalitas Granger
Uji kausalitas granger pada penelitian ini bertujuan untuk melihat
hubungan sebab akibat yang terjadi antara BI rate dan suku bunga kredit investasi,
apakah hubungan kausalitas yang terjadi satu arah, dua arah, atau tidak terjadi
hubungan. Statistik uji yang digunakan adalah statistik uji F. Keputusan ditolak
atau tidaknya hipotesis nol dapat dilakukan dengan melihat p-value. Jika p-value
kurang dari level signifikan (α) yang digunakan, maka keputusannya tolak Ho.
Berikut adalah hasil uji kausalitas granger yang merupakan hasil olahan
dengan menggunakan software eviews 8.0.
Tabel 4. Hasil Uji Kausalitas Granger antara BI Rate dan Suku Bunga Kredit
Investasi
Hipotesis Nol F-Statistic p-value
BI rate tidak memengaruhi
Suku bunga kredit
investasi
7.41484 0.00003
Suku bunga kredit
investasi tidak
memengaruhi BI rate
7.69853 0.00002
Dari tabel 4 dapat dilihat bahwa besarnya p-value untuk hipotesis nol yang pertama
adalah 0,00003 dan yang kedua adalah 0,00002. Kedua p-value tersebut bernilai
kurang dari level signifikan (5 persen) sehingga keputusan untuk kedua hipotesis
tersebut adalah tolak Ho. Karena BI rate mempengaruhi suku bunga kredit
investasi dan begitu juga sebaliknya, maka hubungan kausalitas yang terjadi antara
BI rate dan suku bunga kredit investasi adalah hubungan kausalitas dua arah
(bilateral causality). Hal ini mengindikasikan suku bunga kredit investasi
mempengaruhi BI rate sampai empat bulan kedepan dan begitu juga sebaliknya.
Setelah disimpulkan bahwa BI rate dan suku bunga kredit investasi
terintegrasi pada order yang sama, maka langkah selanjutnya adalah menguji ada
atau tidaknya hubungan keseimbangan jangka panjang. Ada atau tidaknya
kointegrasi atau hubungan jangka panjang antara suku bunga kredit investasi
dengan BI rate dapat dilihat dari siginifikan atau tidaknya koefisien error
correction term (ECT) pada model VECM atau TVECM.
Ada atau tidaknya hubungan keseimbangan jangka panjang diperoleh
dengan cara mencari garis regresi dengan metode Ordinary Least Square (OLS)
antara Y1t sebagai variabel bebas dengan Y2t sebagai variabel terikat. Setelah itu,
hitung residual dari persamaan regresi yang terbentuk. Jika residual model sudah
stasioner pada level, artinya BI rate dan suku bunga kredit investasi memiliki
hubungan keseimbangan jangka panjang. Model regresi yang diperoleh adalah
sebagai berikut:
(8)
502
Model di atas dapat diinterpretasikan ketika BI rate naik sebesar 1 persen maka
suku bunga kredit investasi akan meningkat sebesar 1,679 persen. Jika residual dari
persamaan (8) sudah stasioner maka BI rate dan suku bunga kredit investasi
memiliki keseimbangan jangka panjang. Hasil dari pengujian stasioneritas residual
persamaan (8) dapat dilihat di tabel 5. Dari tabel dapat dilihat bahwa dengan
menggunakan uji ADF dan PP residual persamaan (8) sudah stasioner. Dengan
demikian terdapat hubungan keseimbangan jangka panjang antara BI rate dan suku
bunga kredit investasi. Analisis dapat dilakukan pada model VECM atau TVECM.
Tabel 5. Uji Stasioner Residual Model Regresi
Variabel Jenis Uji Hipotesis Nol P-value Keputusan
ADF Y1 tidak
stasioner 0.0047 Tolak Ho
PP Y1 tidak
stasioner 0.0487 Tolak Ho
Sebelum menentukan apakah model VECM atau TVECM yang tepat
digunakan untuk menggambarkan hubungan antara suku bunga kredit investasi dan
BI rate terlebih dahulu dilakukan pengujian signifikansi keberadaan threshold.
Hipotesis yang digunakan pada pengujian ini adalah:
Ho: Model adalah linear VECM
H1: Model adalah Threshold VECM
Pengujian signifikansi keberadaan threshold dilakukan dengan metode SupLM.
Berikut adalah hasil pengujian signifikansi keberadaan threshold yang diperoleh
dengan bantuan software R 3.1.0.
Tabel 6. Hasil Uji Signifikansi Keberadaan Threshold
Level Signifikan Nilai Kritis Statistik
Uji p-value Keputusan
5% 28.5222
29.3881 0.036
Tolak Ho
10% 27.1712 Tolak Ho
Hasil pengujian terhadap threshold diperoleh nilai SupLM sebesar 29,3881 dengan
p-value sebesar 0,036. Hasil pengujian ini menunjukan bahwa keberadaan
threshold pada pemodelan suku bunga kredit investasi dan BI rate Indonesia sudah
tepat yang artinya memang terdapat penyesuaiaan atau koreksi yang berbeda untuk
batas threshold tertentu. Dengan demikian pemodelah TVECM tepat untuk
dilakukan.
503
3.4 Threshold Vector Error Correction Model (TVECM)
Pada penelitian ini dilakukan pemodelan TVECM 3 rezim. Nilai
trimming yang digunakan sebagai batasan pada pencarian estimasi threshold adalah
sebesar 0,05. Berikut adalah hasil pengolahan TVECM dengan 3 rezim.
Gambar 2. Nilai Koefisien Kointegrasi yang terpilih untuk Pemodelan
TVECM 3 Rezim
Dari gambar 2 dapat dilihat bahwa residual sum of square terkecil dihasilkan
ketika parameter kointegarsinya sebesar 1.68.
Tabel 7. Hasil Estimasi Koefisien Parameter TVECM 3 Rezim
Variabel
Rezim 1 Rezim 2 Rezim 3
Δskbun
ga_invt
ΔBIrat
et
Δskb
unga_i
nvt
ΔBIra
tet
Δskb
unga_i
nvt
ΔBIr
atet
ECTt-1 -
0.0641 0.0339 0.0424 0.1072*
-
0.0650
*
-0.0068
Konstanta -
0.1836 -0.0300 0.0053 0.0137 0.0604 0.0069
1_ tinvskbunga -
0.2043 -0.6341 0.2064 0.5610
-
0.1779 -0.0545
1 tBIrate 0.5956 0.6486 0.0409 -0.1986 0.0769 0.5964
**
2_ tinvskbunga 0.2672 -0.1162 0.1733 1.4100*
**
-
0.1798
-
0.3321.
2 tBIrate -
0.1516 0.7006 0.0706 0.2555* 0.2150 -0.1585
3_ tinvskbunga -
1.0204 -1.0748 0.1702 -0.0415 0.0365
-
0.2867.
3 tBIrate 0.1934 0.1124 0.1794 0.1431 0.0441 0.3724.
4_ tinvskbunga
0.2855 0.2154 0.0170
-
0.6841*
0.3095
* 0.1258
4 tBIrate 1.8252 1.3493 0.0400 -0.1241 0.0220 0.0328
Ket: Nilai di dalam kurung merupakan p-value
504
ECTt-1 = skbunga_invt-1-1.679 1tBIraye
Nilai Threshold yang dihasilkan adalah -0,77 dan 0,51
Persentase observasi tiap rezim 10.2%, 41.8%, dan 48%
(.) signifikan dengan taraf signifikansi 10 persen
(*) signifikan dengan taraf signifikansi 5 persen
(**) signifikan dengan taraf signifikansi 1 persen
(***) signifikansi dengan taraf signifikansi 0.5 persen
Tabel 7 merupakan estimasi koefiesien parameter TVECM untuk 3 Rezim.
Estimasi ini diperoleh dengan menggunakan metode Ordinary Least Square (OLS)
dengan bantuan software R 3.0. Nilai threshold (γ1 dan γ2 ) yang membagi ketiga
rezim tersebut adalah sebesar -0.77 dan 0.51. Berdasarkan tabel 7 bentuk TVECM
dengan 3 rezim dapat dituliskan sebagai berikut:
Rezim 1
Rezim 2
Rezim 3
505
Perilaku suku bunga kredit investasi dan BI rate dalam merespon
ketidakseimbangan atau penyimpangan bebeda-beda antar rezim. Pembagian tiga
rezim pada model TVECM didasarkan pada dua buah nilai threshold, yaitu -0,77
dan 0,51. Rezim 1 menggambarkan perilaku penyesuaian dari suku bunga kredit
investasi dan BI rate ketika besarnya penyimpangan satu bulan sebelumnya kurang
dari -0.77. Rezim 2 menggambarkan perilaku penyesuaian suku bunga kredit
investasi dan BI rate ketika besarnya penyimpangan satu bulan sebelumnya adalah
lebih dari atau sama dengan -0,77 dan kurang dari 0,51. Sedangkan rezim tiga
menggambarkan perilaku penyesuaian suku bunga kredit investasi dan BI rate
ketika besarnya penyimpangan satu bulan sebelumnya lebih dari atau sama dengan
0,51.
Secara empiris dapat dilihat bagaimana perilaku BI rate dan suku bunga
kredit investasi dalam jangka pendek dalam merespon ketidakseimbanagn yang
terjadi diantara keduanya. Dari tabel 7 dapat dilihat bahwa koefisien ECTt-1
signifikan pada rezim 2 dan rezim 3. Koefisien ECTt-1 menggambarkan seberapa
besar variabel suku bunga kredit investasi dan BI rate melakukan penyesuaian bila
terjadi ketidakseimbangan dalam jangka pendeknya. Hal ini berarti ketika koefisien
ECTt-1 signifikan maka dapat dikatakan bahwa antar variabel dalam model
memiliki kointegrasi atau keseimbangan jangka panjang karena ketika terjadi
ketidakseimbangan pada jangka pendek salah satu atau kedua variabel tersebut
akan melakukan penyesuaiaan untuk menuju keseimbangan jangka panjang.
Dari tabel 7 terlihat bahwa rezim 2 dan 3 memiliki koefisien ECTt-1 yang
signifikan pada taraf signifikansi 5 persen dimana pada rezim 2 koefisien ECTt-1
signifikan pada persamaan BI rate sedangkan pada rezim 3 koefisien ECTt-1
signifikan pada persamaan suku bunga kredit investasi. Koefisien ECT pada model
TVECM dapat dimaknai bahwa bila terjadi terjadi ketidakseimbangan dengan nilai
kurang dari -0,77 maka variabel yang akan melakukan penyesuaian adalah suku
bunga kredit investasi meski tidak terlalu signifikan karena koefisien ECTt-1 pada
persamaan ini bernilai negatif dengan mengoreksi ketidakseimbangan sebesar 6,41
persen dari ketidakseimbangan yang terjadi pada 1 periode sebelumnya.
Pada rezim dua yaitu pada saat terjadi ketidakseimbangan dengan besaran
antara lebih dari atau sama dengan -0,77 dan kurang dari 0,51, respon yang
diberikan oleh kedua variabel untuk mengoreksi ketidakseimbangan tersebut agar
saling berkointegarasi di jangka panjang tidak dapat tergambarkan. Hal ini
disebabkan oleh tidak adanya koefisien ECTt-1 yang bertanda negative meskipun
506
koefisien ECTt-1 pada persamaan BI rate signifikan. Pada rezim tiga dimana
ketidakseimbangan yang terjadi adalah lebih dari atau sama dengan 0,51, respon
yang diberikan signifikan oleh suku bunga kredit investasi. Variabel ini akan
melakukan penyesuaian sebagai bentuk koreksi ketidakseimbangannya terhadap BI
rate pada bulan lalu dengan mengoreksi sebesar 6,5 persen dari besarnya
ketidakseimbangan yang terjadi.
Koefisien lag untuk dan dapat digunakan
untuk menunjukan apakah dinamika BI rate dan suku bunga kredit investasi
dipengaruhi oleh dinamika BI rate dan suku bunga kredit investasi pada periode-
periode sebelumnya. Dari tabel 7 dapat dilihat bahwa dinamika BI rate pada rezim
2 dipengaruhi signifikan oleh dinamika suku bunga kredit investasi pada 2 dan 4
bulan sebelumnya serta dipengaruhi oleh dinamika BI rate pada 2 bulan
sebelumnya. Sedangkan dinamika BI rate pada rezim 3 dipengaruhi oleh dinamika
BI rate pada 1 bulan sebelumnya. Sementara dinamika suku bunga kredit investasi
pada rezim 3 dipengaruhi signifikan oleh dinamika suku bunga kredit investasi
pada 4 bulan sebelumnya.
Dengan menggunakan nilai threshold rezim 1 dan 3 sebagai batas
penyimpangan minimum dan maksimum suku bunga kredit investasi dalam
melakukan penyesuaian maka dapat dikatakan bahwa penyesuaian suku bunga
kredit investasi terjadi saat , artinya bank umum akan melakukan
koreksi atau merespon dengan meningkatkan suku bunga kredit investasi pada
bulan ke-t jika suku bunga kredit investasi pada bulan t-1 masih kurang 0,77
dibandingkan dengan 1,679 kali BI rate pada bulan t-1. Sedangkan pada rezim tiga
penyesuaiaan suku bunga kredit investasi terjadi saat , artinya bank
umum akan mengurangi suku bunga kredit investasinya pada bulan ke-t jika suku
bunga kredit investasi pada bulan t-1 lebih 0,51 dibandingkan dengan 1,679 kali BI
rate pada bulan t-1. Dengan mengasumsikan bahwa kondisi ideal atau moderat
adalah kondisi ketika selisih suku bunga kredit investasi dengan 1,679 kali BI rate
tidak kurang dari -0.77 dan tidak lebih dari 0,51 maka suku bunga kredit investasi
ideal bank umum adalah minimal 1.679 BI rate - 0.77 dan maksimum adalah 1.679
BI rate + 0.51.
4. Kesimpulan
Berdasarkan time series plot suku bunga kredit investasi dan BI rate dan
hasil pengujian granger causality disimpulkan hubungan antara BI rate dan suku
bunga kredit investasi adalah saling mempengaruhi. Hal ini berarti BI rate sebagai
alat kebijakan moneter berhasil dalam mempengaruhi pergerakan suku bunga
kredit investasi. BI rate dan suku bunga kredit investasi juga memiliki hubungan
keseimbangan jangka panjang yang berarti ketika kedua variabel menyimpang dari
nilai keseimbangan, salah satu atau kedua variabel akan melakukan penyesuaian
agar kembali ke keseimbangan jangka panjang yang besarnya dilihat dari koefisien
ECT model TVECM.
Suku bunga kredit investasi akan signifikan melakukan penyesuaian ketika
penyimpangan yang terjadi lebih dari atau sama dengan 0,51. Penyesuaian suku
bunga kredit investasi untuk menuju keseimbangan jangka panjang dilakukan
dengan mengoreksi 6,5 persen penyimpangan yang terjadi. Suku bunga kredit
investasi ideal bank umum adalah minimal 1.679 BI rate - 0.77 dan maksimum
adalah 1.679 BI rate + 0.51.
507
Referensi
[1] Aprilia, A., Anindita, R., Syafrial, Tsai, G., dan Hsien, Li. (2014), “
Threshold Cointegration Pada Pasar Jagung di Indonesia”, AGRISE,
Vol. XIV, No. 1, Januari 2014, Hal 1-13.
[2] Balke, NS, dan Fomby TB. (1997), “Threshold Cointegration”,
International Economic Review, Vol. 38, Hal. 627-645
[3] Enders, W. (2004), Applied Econometric Time Series 2nd Edition.,
John Wiley & Sons Inc, New York.
[4] Esteve, V. dan Prats, M.A. (2010), “Threshold Cointegration and
Nonlinear Adjustment between Stock Prices and Dividens”, Applied
Economics Letters, Vol. 17, Hal. 405-410.
[5] Granger, C.W.J dan Terasvirta (1993), Modelling Nonlinear Economic
Relationships (Advanced Texts in Econometrics), Oxford: Oxford
University Press
[6] Grasso, M, (2010), “Three-Regime Threshold Error Correction
Models and the Law of One Price: The Case of European Electricity
Markets”, Working Paper n.30
[7] Gujarati, D. (2004), Basic Econometric, McGraw-Hill, New York.
[8] Hansen, BE dan Seo, B. (2002), “Testing Two-Regime Threshold
Cointegration in Vector Error Correction Models”, Journal of
Econometrics, Vol. 110, hal. 293-318.
[9] Harmanta, Ekananda M. (2005). Disintermediasi Fungsi Perbankan di
Indonesia Pasca Krisis 1997 : Faktor Permintaan atau Penawaran
Kredit, Sebuah Pendekatan dengan Model Disequilibrium, Buletin
Ekonomi Moneter dan Perbankan Juni 2005: 51-78.
[10] Ihle, R. dan Cramon, Von. (2008b), “A Comparison of Threshold
Cointegration and Markov-Switching Vector Error Correction Models
in Price Transmission Analysis”, Proceedings of the NCCC-134
Conference on Applied Commodity Price Analysis, Forecasting, and
Market Risk Management, St. Louis, Missouri.
[11] Irwan (2012). “Penetapan dan Proyeksi Tingkat Suku Bunga Bank
Indonesia (BI-Rate) Hubungannya dengan Laju Pertumbuhan
Ekonomi Indonesia”, Trikonomika, Volume 11, No.2, Desember 2012,
Hal 148-159.
[12] Kim, V. Dan Liew, S. (2004), “Which Lag Length Selection Criteria
Should We Employ?”, Economic Bulletin, Vol.3, No.33, Hal. 1-9.
508
[13] Larsen, B. (2012), A Threshold Cointegration Analysis of Norwegian
Interest Rates, Tesis, University of Tromsф, Norwegia.
[14] Listiyanto. (2013), “Analisis Kelakuan dan Faktor-Faktor uang
Mempengaruhi Tingkat Suku Bunga Perbankan di Indonesia”, Jurnal
Kebijakan Ekonomi, Vol. 8, No. 2, April 2013, Hal 26-36
[15] Mankiw (2003), Teori Makroekonomi Edisi Kelima, Jakarta: Erlangga
[16] Nugroho. (2010). Pengaruh Kebijakan BI Rate terhadap Suku Bunga
Kredit Investasi Bank Umum Periode Juli 2005-Desember 2009,
Fakultas Ekonomi, Universitas Indonesia, Jakarta
[17] Setianto. (2013). “ Faktor-Faktor yang Mempengaruhi Suku Bunga
Kredit Investasi pada Sektor Perbankan di Indonesia Periode 2006-
2012”, Jurnal MIX, Volume III, No.2, Juni 2013, Hal 133-145.
[18] Stigler, M. (2010). Threshold Cointegration: Overview and
Implementation in R, (online), (http://cran.r-
project.org/package=tsDyn, diakses 15 September 2014).
[19] Wei, W.W.S. (2006), Time Series Analysis Univariate and
Multivariate Method, Second Edition. Pearson Addison Wesley, USA
.
509
Prosiding SNM 2017 Matemat ika Keuangan dan Aktuar ia , Hal 509 -521
FAKTOR-FAKTOR YANG MEMPENGARUHI STATUS
POLIS DENGAN MODEL REGRESI LOGISTIK
MULTINOMIAL
JAMILATUZZAHRO1, REZZY EKO CARAKA
2,3, GUSTRIZA
ERDA4, FIZRY LISTIYANI MAULIDA
4
1Program Studi Aktuaria, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut
Teknologi Bandung, [email protected] 2Bioinformatics & Data Science Research Center (BDSRC), Universitas Bina Nusantara
[email protected] 3School of Mathematical Sciences, Faculty of Science and Technology, The National
University of Malaysia, Malaysia. [email protected] 4Departemen Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut
Pertanian Bogor. [email protected] , [email protected]
Abstrak. Regresi logistik multinomial merupakan regresi logistik yang digunakan
saat variabel dependen mempunyai sifat polichotomous atau multinomial. Hasil
analisis yang diperoleh menyatakan bahwa usia pemegang polis dan cara pembayaran
premi secara bersama-sama berpengaruh terhadap status polis asuransi. Usia
dikelompokan menjadi dua kelompok yaitu: usia dibawah 30 tahun dan usia antara
31-35 tahun, dengan 4 jenis cara pembayaran yaitu : sekaligus, tahunan, semesteran
dan kuartalan. Diperoleh estimasi peluang terbesar pada kelompok usia 31-35 tahun
dengan cara pembayaran sekaligus yaitu sebesar 0,630.
Kata kunci: Logistik, Multinomial, Asuransi Jiwa, Likelihood
1. Pendahuluan
Hidup penuh dengan risiko dan ketidakpastian. Sewaktu-waktu kejadian
seperti bencana alam, sakit, tindakan kriminal, dan kecelakaan dapat
mengakibatkan kerugian yang tidak sedikit. Untuk mengatasi kerugian tersebut,
maka manusia tertarik untuk mengembangkan mekanisme pemindahan
ketidakpastian risiko atas hidup dan harta benda melalui asuransi. Asuransi adalah
istilah yang merujuk pada tindakan, sistem, atau bisnis dimana perlindungan
finansial (atau ganti rugi secara finansial) untuk jiwa, properti, kesehatan, dan lain
sebagainya mendapatkan pergantian dari kejadian-kejadian tidak terduga yang
dapat terjadi seperti kematian, kehilangan, kerusakan atau sakit, dimana melibatkan
pembayaran premi secara teratur dalam jangka waktu tertentu sebagai ganti polis
yang menjamin perlindungan tersebut.
Asuransi adalah perjanjian antara dua pihak atau lebih dimana pihak
penanggung mengikatkan diri kepada tertanggung, dengan menerima premi
asuransi, untuk memberikan pergantian kepada tertanggung karena kerugian,
kerusakan atau kehilangan keuntungan yang diharapkan atau tanggung jawab
510
hukum pihak ketiga yang mungkin akan diderita tertanggung, yaitu timbul dari
suatu peristiwa yang tidak pasti, atau memberikan suatu pembayaran yang
didasarkan atas meninggal atau hidupnya seseorang yang dipertanggungkan.
Secara umum asuransi dikategorikan menjadi tiga, yaitu asuransi jiwa, asuransi
kerugian, dan asuransi sosial. Asuransi jiwa merupakan jenis asuransi yang
meminimalkan kerugian akibat risiko kematian, risiko hari tua, dan risiko
kecelakaan. Asuransi kerugian terdiri dari asuransi untuk benda (properti dan
kendaraan), kepentingan keuangan (pecuniary), dan tanggung jawab hukum
(liability). Sedangkan asuransi sosial merupakan program asuransi yang
diselenggarakan oleh pemerintah yang bertujuan untuk menyediakan jaminan
dasar bagi masyarakat dan tidak bertujuan untuk mendapatkan keuntungan
komersial.
Untuk menjadi seorang pemegang polis asuransi jiwa, data diri dari
tertanggung dan ahli warisnya menjadi sangat penting. Hal ini bertujuan agar pihak
penanggung yaitu perusahaan asuransi mengetahui secara detail data diri
tertanggungnya sehingga apabila polis sudah jatuh tempo, terjadi risiko atau
pemutusan perjanjian asuransi, pihak perusahaan asuransi dapat segera melakukan
tindakan pembayaran atau tindakan lain sesuai perjanjian asuransi kepada
pemegang polis atau ahli warisnya. Data pemegang polis atau tertanggung ini
disimpan oleh bagian pertanggungan perusahaan asuransi, dimana dimuat data diri
pemegang polis seperti usia, cara pembayaran premi asuransi dan status polis
asuransi. Status polis asuransi terdiri dari 4 macam, yaitu ekspirasi, klaim, tebus,
dan aktif. Ekspirasi adalah jenis pembayaran asuransi kepada ahli waris atau
tertanggung dikarenakan masa kontrak asuransi sudah habis atau selesai. Klaim
adalah pembayaran manfaat asuransi yang dilakukan dikarenakan tertanggung
pensiun atau meninggal dunia. Tebus adalah pembayaran asuransi apabila polis
sudah mempuntai nilai tunai namun ppemegang polis memutusakan peerjanjian
asuransinya. Sedangkan status polis aktif adalah status polis asuransi yang masih
berjalan. Berdasarkan informasi data yang diperoleh, didapatkan bahwa usia, cara
pembayaran premi, dan status polis dapat dikategorikan menjadi lebih dari dua
kategori, untuk menganalisa data tersebut digunakan metode regresi logistik
multinomial.
2. Dasar Teori
2.1 Analisis Regresi Logistik
Analisis regresi logistik merupakan salah satu alat analisis dalam statistika
yang digunakan untuk mengetahui hubungan antara variabel respon yang memiliki
dua kategori atau lebih dengan satu atau lebih variabel bebas. Nilai yang dihasilkan
persamaan regresi logistik merupakan peluang kejadian yang digunakan sebagai
ukuran untuk pengklasifikasian. Pendekatan model persamaan regresi logistik
digunakan karena dapat menjelaskan hubungan antara variabel bebas dan
peluangnya yang bersifat tidak linear, ketidaknormalan sebaran dari variabel
terikat, serta keragaman respon yang tidak konstan dan tidak dapat dijelaskan oleh
model regresi linear biasa (Agresti, 1990).
511
2.2 Regresi Logistik Multinomial
Regresi logistik multinomial merupakan regresi logistik yang digunakan
saat variabel dependen mempunyai sifat polichotomous atau multinomial.
Multinomial adalah suatu pengukuran yang dikategorikan lebih dari dua kategori.
Misal X variabel bebas berukuran (p+1) dan variabel respon Y (r kategori)
mempunyai kategori j = 0,1,2,….,r-1. Model regresi logistik nominal r kategori
mempunyai r-1 fungsi logit. Jika diambil Y = 0 sebagai kategori dasar, maka fungsi
logit (Hosmer, D.W. dan Lemeshow, S, 1989) didefiniskan sebagai berikut :
g1 (x) = ln
ln
= β10 + β11x1 + ……+ β1pxp (1)
gr-1 (x) = ln
= ln
= β(r-1)0 + β(r-1)1x1 + ……+ β(r-1)pxp
(2)
Jadi probabilitas bersyarat P(Y = j | x) = πj (x), j = 1,2,….,r-1 dapat ditulis
0 =
1 =
………………………
r-1 =
(3)
Jadi, persamaan umum untuk peluang dari model kategori yaitu :
(4)
2.3 Uji Independensi
Uji χ² (chi kuadrat) digunakan untuk mengetahui apakah ada
hubungan antara variabel prediktor (X) dan variabel respon (Y). Berikut ini adalah
langkah– langkah untuk menghitung nilai chi kuadrat ( χ² ) :
Hipotesis
H0 : tidak ada hubungan yang signifikan antara varaibel bebas dengan
variabel respon
H1 : terdapat hubungan yang signifikan antara variabel bebas dengan
variabel respon
Taraf signifikansi : α
Statistik uji :
dengan :
= nilai observasi/pengamatan baris ke-i kolom ke-j
= nilai ekspektasi baris ke-i kolom ke-j
r = banyaknya baris
c = banyaknya kolom
Kriteria uji :
512
Tolak H0 jika χ² hitung > χ² (α, df) dengan derajat bebas df = (r - 1) (c - 1)
2.4 Uji Signifikansi
Untuk menguji signifikansi koefisien β dari model yang telah diperoleh,
maka digunakan uji serentak (uji rasio Likelihood) dan uji parsial (uji Wald).
a. Uji Serentak (Uji Rasio Likelihood)
Uji yang membandingkan model yang mengandung variabel bebas dan
model yang tidak mengandung variabel bebas. Pengujian ini dilakukan untuk
mengetahui apakah model telah tepat (signifikan). Berikut ini adalah langkah –
langkahnya :
Hipotesis
H0 : β1p = β2p = ... = β(r-1)p = 0
H1 : paling sedikit ada satu βjk ≠ 0 dengan j= 1, 2, ..., r-1, k = 1, 2, ..., p
Taraf signifikansi : α
Statistik uji : G =
Kriteria uji :
Tolak H0 jika G > (α,v) dengan v = (c-1)
atau sig. < α
b. Uji Parsial (Uji Wald)
Pengujian ini dilakukan untuk mengetahui signifikansi parameter terhadap
variabel respon. Pengujian signifikansi parameter menggunakan uji Wald dengan
hipotesis seperti berikut :
Hipotesis
H0 : βjk = 0
H1 : βjk ≠ 0
Taraf signifikansi : α = 5%
Statistik uji :
Kriteria uji : Tolak H0 jika Wj > (α,1) atau sig. < α
2.5 Odds Rasio
Odds ratio didefinisikan sebagai perbandingan dari nilai variabel sukses
terhadap variabel bernilai gagal. Dengan kata lain odds rasio menjelaskan seberapa
besar pengaruh variabel sukses dibanding variabel gagal terhadap suatu eksperimen
atau observasi. Pada kasus penelitian dengan regresi logistik, nilai ini dapat dilihat
dari nilai Exp(B) pada hasil analisis data. Hasil tersebut akan menunjukkan
pengaruh setiap variabel-variabel bebas terhadap variabel terikatnya.
3. Applikasi
Data yang digunakan adalah data pemegang polis asuransi pada PT. Asuransi
XYZ. Data tersebut setelah dikelompokkan menurut usia, cara pembayaran premi,
dan status polis asuransi sebagai berikut :
513
Tabel 1. Pengelompokan Data Pemegang Polis
Usia Cara Bayar Premi Status Polis Asuransi
Ekspirasi Klaim Tebus Aktif
≤ 30 Tahun
Sekaligus 67 0 13 46
Tahunan 15 32 243 211
Semesteran 7 16 16 25
Kuartalan 0 60 33 49
Bulanan 15 65 144 122
31-50
Tahun
Sekaligus 62 1 80 262
Tahunan 42 62 434 669
Semesteran 10 45 57 70
Kuartalan 7 177 65 126
Bulanan 31 77 249 392
> 50
Tahun
Sekaligus 39 2 55 116
Tahunan 14 7 44 34
Semesteran 2 17 5 21
Kuartalan 1 3 1 1
Bulanan 3 9 29 28
Pada penelitian ini, yang menjadi obyek penelitian adalah data diri
pemegang polis asuransi, yaitu usia pemegang polis dan cara pembayaran premi
polis asuransi. Data ini merupakan data sekunder yang diperoleh dari bagian
pertanggungan PT. Asuransi XYZ terhitung tanggal 1 Januari 2002 hingga 31
Desember 2011. Dalam penelitian ini, variabel dependen yang dianalisis adalah
status polis asuransi yang dibagi menjadi 4, yaitu ekspirasi, klaim, tebus, dan aktif.
Sebagai variabel dependen ( Y ) adalah status polis asuransi, yaitu:
Y = 1, untuk status polis ekspirasi
Y = 2, untuk status polis klaim
Y = 3, untuk status polis tebus
Y = 4, untuk status polis aktif
Dalam penelitian ini, variabel independen yang diasumsikan memiliki pengaruh
terhadap status polis asuransi yaitu :
a. Usia pemegang polis, dikategorikkan menjadi tiga, yaitu :
1 : Usia ≤ 30 tahun
2 : Usia 31-50 tahun
3 : Usia > 50 tahun
b. Cara pembayaran premi, dikategorikan menjadi lima, yaitu :
1 : pembayaran premi sekaligus
2 : pembayaran premi tahunan
3 : pembayaran premi semesteran
4 : pembayaran premi kuartalan
5 : pembayaran premi bulanan
Pengujian independensi digunakan untuk mengetahui apakah terdapat
hubungan antara variabel independen yakni usia pemegang polis asuransi dan cara
pembayaran premi dengan variabel respon yaitu status polis asuransi. Untuk
514
mengetahuinya dapat digunakan uji Chi Kuadrat ( 2) seperti terdapat pada
lampiran Chi-Squares Tests.
1. Hipotesis :
H0 : Tidak ada hubungan antara variabel usia pemegang polis asuransi
dengan variabel status polis asuransi
H1 : Ada hubungan antara variabel usia pemegang polis asuransi dengan
variabel status polis asuransi
Taraf Signifikansi : α = 5%
Statistik uji : T = 104,356 dan sig 0,000
Kriteria uji :
H0 ditolak jika nilai Pearson Chi-Square > 2(6;0,05) atau nilai Sig < α .
Keputusan :
Pada taraf signifikansi 95%, diperoleh dari tabel Chi-Square Test nilai
Pearson Chi-Square > 2(6;0,05) yaitu 104,356 > 12,59 dan sig < 5% yaitu
0,000 < 0,05 sehingga menolak H0 dan menerima H1. Artinya, ada hubungan
antara variabel usia pemegang polis asuransi dengan variabel status polis
asuransi.
2. Hipotesis :
H0 : Tidak ada hubungan antara variabel cara bayar premi dengan variabel
status polis asuransi
H1 : Ada hubungan antara variabel cara bayar premi dengan variabel status
polis asuransi
Taraf Signifikansi : α = 5%
Statistik uji : T = 1129,079 dan sig 0,000
Kriteria uji :
H0 ditolak jika nilai Pearson Chi-Square > 2(12;0,05) atau nilai Sig < α .
Keputusan :
Pada taraf signifikansi 95%, diperoleh dari tabel Chi-Square Test nilai
Pearson Chi-Square > 2(12;0,05) yaitu 1129,079 > 21,03 dan sig < 5% yaitu
0,000 < 0,05 sehingga menolak H0 dan tidak menolak H1. Artinya, ada
hubungan antara variabel cara bayar premi dengan variabel status polis
asuransi.
Model awal untuk tiap variabel respon bisa dijelaskan sebagai berikut :
a. Status eskpirasi
π₁ =
b. Status klaim
π2 =
c. Status tebus
π3 =
d. Status aktif
π4 =
Dengan fungsi logit masing-masing status polis asuransi seperti pada lampiran
Parameter Estimates :
515
a. g1(x) = -2,339 + 0,537(usia1) – 0,405(usia2) + 1,525(carabayar1) –
0,134(carabayar2) + 0,644(carabayar3) – 0,634(carabayar4)
b. g2(x) = -0,869 – 0,094(usia1) – 0,587(usia2) – 3,755(carabayar1) –
0,915(carabayar2) + 0,866(carabayar3) + 1,635(carabayar4)
c. g3(x) = -0,008 + 0,089(usia1) – 0,411(usia2) – 0,834(carabayar1) +
0,023(carabayar2) – 0,142(carabayar3) – 0,288(carabayar4)
3.1 Uji Rasio Likelihood
Pengujian ini dilakukan untuk mengetahui apakah model telah tepat
(signifikan) dan untuk memeriksa kemaknaan koefisien β secara keseluruhan yang
terdapat pada lampiran Model Fitting Information dengan langkah-langkah berikut:
Hipotesis
H0 : β1 = β2 = β3 = β4 = 0 (model tidak signifikan atau secara bersama-sama
usia pemegang polis asuransi dan cara pembayaran premi tidak
berpengaruh terhadap status polis asuransi)
H1 : salah satu dari βr ≠ 0 dengan r = 1, 2, 3. (model signifikan atau secara
bersama-sama usia pemegang polis asuransi dan cara pembayaran premi
berpengaruh terhadap status polis asuransi)
Taraf signifikansi : α = 5%
Statistik uji : G =
= 1338,241 – 304,723 = 1033,518
Dan nilai sig pada lampiran Model Fitting Information = 0,000
Kriteria uji :
Tolak H0 jika G > (α,v) atau sig. < α
Keputusan :
Pada taraf signifikansi 95%, diperoleh dari tabel Model Fitting
Information nilai sig < 5% yaitu 0,000 < 0,05 sehingga menolak H0
dan menerima H1. Artinya, model signifikan atau secara bersama-
sama usia pemegang polis asuransi dan cara pembayaran premi
berpengaruh terhadap status polis asuransi.
Tabel 2. Signifikansi pemegang polis
Wald sig
Ekspirasi
0,007
Wj >
(α,1)
atau sig.
< α
usia1 (≤ 30 tahun)
berpengaruh terhadap status
ekspirasi pada polis asuransi.
= 4,98 0,026 usia2 (31-50tahun)
berpengaruh terhadap status
ekspirasi pada polis asuransi.
= 70,38 0,000 carabayar1 (sekaligus)
berpengaruh terhadap status
ekspirasi pada polis asuransi.
= 0,47 0,490 carabayar2 (tahunan) tidak
berpengaruh terhadap status
ekspirasi pada polis asuransi.
= 4,90 0,027 carabayar3 (semesteran)
berpengaruh terhadap status
ekspirasi pada polis asuransi.
516
=2,61 0,106 carabayar4 (kuartalan) tidak
berpengaruh terhadap status
ekspirasi pada polis asuransi.
Klaim
=0,18 0,672 usia1 (≤ 30 tahun) tidak
berpengaruh terhadap status
klaim pada polis asuransi.
=7,86 0,005 usia2 (31-50 tahun)
berpengaruh terhadap status
klaim pada polis asuransi.
=40,50 0,000 carabayar1 (sekaligus)
berpengaruh terhadap status
klaim pada polis asuransi.
= 42,80 0,000 carabayar2 (tahunan)
berpengaruh terhadap status
klaim pada polis asuransi
= 24,48 0,000 carabayar3 (semesteran)
berpengaruh terhadap status
klaim pada polis asuransi.
=
143,03
0,000 carabayar4 (kuartalan)
berpengaruh terhadap status
klaim pada polis asuransi.
Tebus
=0,41 0,520 usia1 (≤ 30 tahun) tidak
berpengaruh terhadap status
tebus pada polis asuransi.
=10,42 0,001 usia2 (31-50 tahun)
berpengaruh terhadap status
tebus pada polis asuransi.
= 48,03 0,000 carabayar1 (sekaligus)
berpengaruh terhadap status
tebus pada polis asuransi.
= 0,075 0,784 carabayar2 (tahunan) tidak
berpengaruh terhadap status
tebus pada polis asuransi.
= 0,778 0,378 carabayar3 (semesteran) tidak
berpengaruh terhadap status
tebus pada polis asuransi.
= 4,106 0,043 carabayar4 (kuartalan)
berpengaruh terhadap status
tebus pada polis asuransi.
Setelah dilakukan Uji Wald, diperoleh hasil bahwa koefisien carabayar2 dan
carabayar4 tidak berpengaruh terhadap status ekspirasi pada polis asuransi,
koefisien usia1 tidak berpengaruh terhadap status klaim pada polis asuransi, dan
koefisien usia1, carabayar2, dan carabayar3 tidak berpengaruh terhadap status
tebus pada polis asuransi. Karena tidak ada koefisien yang tidak berpengaruh pada
semua status polis asuransi maka dapat disimpulkan bahwa semua koefisien
berpengaruh sehingga semua koefisien tetap dimasukkan dalam model akhir.
517
3.2 Model Akhir
Berdasarkan serangkaian uji yang sudah dilakukan, maka diperoleh model
akhir sebagai berikut :
a. Status eskpirasi
π₁ =
b. Status klaim
π2 =
c. Status tebus
π3 =
d. Status aktif
π4 =
dengan fungsi logit :
a. g1(x) = -2,339 + 0,537(usia1) – 0,405(usia2) + 1,525(carabayar1) –
0,134(carabayar2) + 0,644(carabayar3) – 0,634(carabayar4)
b. g2(x) = -0,869 – 0,094(usia1) – 0,587(usia2) – 3,755(carabayar1) –
0,915(carabayar2) + 0,866(carabayar3) + 1,635(carabayar4)
c. g3(x) = -0,008 + 0,089(usia1) – 0,411(usia2) – 0,834(carabayar1) +
0,023(carabayar2) – 0,142(carabayar3) – 0,288(carabayar4)
dengan :
π1(x) = peluang status ekspirasi
π2(x) = peluang status klaim
π3(x) = peluang status tebus
π4(x) = peluang status aktif
3.3 Estimasi Peluang Status Polis Asuransi
Estimasi peluang diperoleh dari fungsi :
a. Status eskpirasi
π₁ =
b. Status klaim
π2 =
c. Status tebus
π3 =
d. Status aktif
π4 =
518
Tabel 3. Estimasi Peluang untuk Masing-Masing Variabel Respon
Status Jenis usia Jenis cara bayar premi Fungsi logit Peluang
Ekspiras
i
Usia1
(≤ 30 tahun)
Carabayar1 (sekaligus) -0,277 0,339
Carabayar2 (tahunan) -1,936 0,060
Carabayar3 (semesteran) -1,158 0,099
Carabayar4 (kuartalan) -2,436 0,023
Usia2
(31-50
tahun)
Carabayar1 (sekaligus) -1,219 0,186
Carabayar2 (tahunan) -2,878 0,031
Carabayar3 (semesteran) -2,1 0,054
Carabayar4 (kuartalan) -3,378 0,013
Klaim
Usia1
(≤ 30 tahun)
Carabayar1 (sekaligus) -4,718 0,004
Carabayar2 (tahunan) -1,878 0,047
Carabayar3 (semesteran) -0,097 0,236
Carabayar4 (kuartalan) 0,672 0,410
Usia2
(31-50
tahun)
Carabayar1 (sekaligus) -5,211 0,002
Carabayar2 (tahunan) -2,371 0,034
Carabayar3 (semesteran) -0,59 0,177
Carabayar4 (kuartalan) 0,179 0,324
Tebus
Usia1
(≤ 30 tahun)
Carabayar1 (sekaligus) -0,753 0,136
Carabayar2 (tahunan) 0,104 0,270
Carabayar3 (semesteran) -0,061 0,239
Carabayar4 (kuartalan) -0,207 0,213
Usia2
(31-50
tahun)
Carabayar1 (sekaligus) -1,253 0,087
Carabayar2 (tahunan) -0,396 0,183
Carabayar3 (semesteran) -0,561 0,160
Carabayar4 (kuartalan) -0,707 0,141
Aktif
Usia1
(≤ 30 tahun)
Carabayar1 (sekaligus) 0,522
Carabayar2 (tahunan) 0,623
Carabayar3 (semesteran) 0,426
Carabayar4 (kuartalan) 0,354
Usia2
(31-50
tahun)
Carabayar1 (sekaligus) 0,724
Carabayar2 (tahunan) 0,752
Carabayar3 (semesteran) 0,608
Carabayar4 (kuartalan) 0,522
Berdasarkan hasil dari estimasi peluang status polis asuransi diperoleh
519
beberapa hasil sebagai berikut :
Peluang terbesar untuk status ekspirasi polis asuransi adalah usia1 (≤ 30
tahun) dan carabayar1 (sekaligus) yaitu sebesar 0,339
Peluang terbesar untuk status klaim polis asuransi adalah usia1 (≤ 30 tahun)
dan carabayar4 (kuartalan) yaitu sebesar 0,410
Peluang terbesar untuk status tebus asuransi adalah usia1 (≤ 30 tahun) dan
carabayar2 (tahunan) yaitu sebesar 0,270
Peluang terbesar untuk status aktif polis asuransi adalah usia2 (31-50 tahun)
dan carabayar2 (tahunan) yaitu sebesar 0,752
3.4 Odds Ratio
Odds ratio (exp(B)) didefinisikan sebagai perbandingan dari nilai variabel
sukses terhadap variabel bernilai gagal. Dengan kata lain odds rasio menjelaskan
seberapa besar pengaruh variabel sukses dibanding variabel gagal terhadap suatu
eksperimen atau observasi. Hasil tersebut akan menunjukkan pengaruh setiap
variabel-variabel bebas terhadap variabel terikatnya. Berikut tabel nilai Exp(B)
berdasarakan lampiran Parameter Estimates :
Tabel 4. Tabel Odds Ratio
Status Variabel Bebas Exp(B)
Ekspirasi
Usia1 1,711
Usia2 0,667
Carabayar1 4,594
Carabayar2 0,875
Carabayar3 1,904
Carabayar4 0,531
Tebus
Usia1 0,910
Usia2 0,556
Carabayar1 0,023
Carabayar2 0,401
Carabayar3 2,378
Carabayar4 5,131
Klaim
Usia1 1,093
Usia2 0,663
Carabayar1 0,434
Carabayar2 1,023
Carabayar3 0,867
Carabayar4 0,750
Berdasarkan nilai Odds Ratio tersebut, didapat kesimpulan sebagai berikut :
Kecenderungan seorang usia1 (≤ 30 tahun) dengan status ekspirasi adalah
lebih besar 1.711 kali dari seorang usia selain usia1 (≤ 30 tahun)
Kecenderungan seorang usia2 (31-50 tahun) dengan status ekspirasi adalah
lebih kecil 0,667 kali dari seorang usia selain usia2 (31-50 tahun)
Kecenderungan seorang membayar premi dengan carabayar1 (sekaligus)
dengan status ekspirasi adalah lebih besar 4,594 kali dari seorang
520
membayar premi selain dengan carabayar1
Kecenderungan seorang membayar premi dengan carabayar2 (tahunan)
dengan status ekspirasi adalah lebih kecil 0,875 kali dari seorang
membayar premi selain dengan carabayar2
Kecenderungan seorang membayar premi dengan carabayar3 (semesteran)
dengan status ekspirasi adalah lebih besar 1,904 kali dari seorang
membayar premi selain dengan carabayar3
Kecenderungan seorang membayar premi dengan carabayar4 (kuartalan)
dengan status ekspirasi adalah lebih kecil 0,531 kali dari seorang
membayar premi selain dengan carabayar4
Kecenderungan seorang usia1 (≤ 30 tahun) dengan status klaim adalah
lebih kecil 0,910 kali dari seorang usia selain usia1 (≤ 30 tahun)
Kecenderungan seorang usia2 (31-50 tahun) dengan status klaim adalah
lebih kecil 0,556 kali dari seorang usia selain usia2 (31-50 tahun)
Kecenderungan seorang membayar premi dengan carabayar1 (sekaligus)
dengan status klaim adalah lebih kecil 0,023 kali dari seorang membayar
premi selain dengan carabayar1
Kecenderungan seorang membayar premi dengan carabayar2 (tahunan)
dengan status klaim adalah lebih kecil 0,401 kali dari seorang membayar
premi selain dengan carabayar2
Kecenderungan seorang membayar premi dengan carabayar3 (semesteran)
dengan status klaim adalah lebih besar 2,378 kali dari seorang membayar
premi selain dengan carabayar3
Kecenderungan seorang membayar premi dengan carabayar4 (kuartalan)
dengan status klaim adalah lebih besar 5,131 kali dari seorang membayar
premi selain dengan carabayar4
Kecenderungan seorang usia1 (≤ 30 tahun) dengan status tebus adalah
lebih besar 1,093 kali dari seorang usia selain usia1 (≤ 30 tahun)
Kecenderungan seorang usia2 (31-50 tahun) dengan status tebus adalah
lebih kecil 0,663 kali dari seorang usia selain usia2 (31-50 tahun)
Kecenderungan seorang membayar premi dengan carabayar1 (sekaligus)
dengan status tebus adalah lebih kecil 0,434 kali dari seorang membayar
premi selain dengan carabayar1
Kecenderungan seorang membayar premi dengan carabayar2 (tahunan)
dengan status tebus adalah lebih besar 1,023 kali dari seorang membayar
premi selain dengan carabayar2
Kecenderungan seorang membayar premi dengan carabayar3 (semesteran)
dengan status tebus adalah lebih kecil 0,867 kali dari seorang membayar
premi selain dengan carabayar3
Kecenderungan seorang membayar premi dengan carabayar4 (kuartalan)
dengan status tebus adalah lebih kecil 0,750 kali dari seorang membayar
premi selain dengan carabayar4
4. KESIMPULAN
Berdasarkan analisis dan pembahasan tentang bagaimana pengaruh usia pemegang
polis dan cara membayar premi asuransi terhadap terhadap status polis asuransi
tersebut, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :
521
1. Terdapat hubungan antara variabel bebas yaitu usia pemegang polis dan cara
membayar premi asuransi dengan variabel respon yaitu status polis asuransi.
2. Model signifikan atau secara bersama-sama usia pemegang polis dan cara
pembayaran premi berpengaruh terhadap status polis asuransi.
3. Semua koefisien berpengaruh sehingga semua koefisien tetap dimasukkan
dalam model akhir.
4. Berdasarkan hasil dari estimasi peluang status polis asuransi diperoleh
beberapa hasil sebagai berikut :
a. Peluang terbesar untuk status ekspirasi polis asuransi adalah usia1 (≤ 30
tahun) dan carabayar1 (sekaligus) yaitu sebesar 0,339
b. Peluang terbesar untuk status klaim polis asuransi adalah usia1 (≤ 30
tahun) dan carabayar4 (kuartalan) yaitu sebesar 0,410
c. Peluang terbesar untuk status tebus asuransi adalah usia1 (≤ 30 tahun)
dan carabayar2 (tahunan) yaitu sebesar 0,270
d. Peluang terbesar untuk status aktif polis asuransi adalah usia1 (31-50
tahun) dan carabayar1 (sekaligus) yaitu sebesar 0,630
Referensi
[1] Garson G David, 2014, Logistic Regression : Binary and Multinomial,
Statistical Association Publisher.
[2] Hogg Robert V., 2004, Craig A., McKean J.W., Introduction to Mathematical
Statistic , Pearson Education international (2005), 24-25.
[3] Bowers Newaton L., Gerber H.U., Hickman, jones D.A.,1994, Nesbitt C.J,
Actuarial Mathematics, The Society of Acturies. 167-197.
[4] Caraka, R.E., 2016. Sebuah Kajian Dan Studi Perhitungan Dana Pensiun Di
Indonesia. Jurnal Badan Pendidikan Dan Pelatihan Keuangan Kementerian
Keuangan Republik Indonesia (BPPK).9,No.2.pp.160-180
522
Prosiding SNM 2017 Matemat ika Keuangan dan Aktuar ia , Hal 522 -527
ESTIMASI PARAMETER TINGKAT MORTALITA
DENGAN MENGGUNAKAN MODEL LEE-CARTER
LUTFIANI SAFITRI1, SRI MARDIYATI
2
1Deprtemen Matematika FMIPA UI, [email protected]
2Deprtemen Matematika FMIPA UI, [email protected]
Abstrak. Dalam makalah ini akan dibahas mengenai peramalan laju mortalita
pada negara Hungaria, dengan menggunakan model Lee-Carter. Dimana data
yang digunakan adalah data tingkat kematian Hungaria pada tahun 1949-2003.
Selanjutnya akan dilakukan estimasi parameter menggunakan Least Square
dan Singular Value Decomposition (SVD). Dari hasil estimasi parameter
tersebut kemudian akan dihitung tingkat mortalita menggunakan model Lee -
carter yang kemudian akan dibandingkan dengan tingkat mortalita yang
sesungguhnya. Dan akan didapatkan hasil bahwa nilai dari estimasi parameter
tersebut cukup bagus. Kemudian akan disimulasikan dalam pemrograman
python.
Kata kunci : Mortality Rate, Least Square, Singular Value Decomposition.
1. Pendahuluan
Demografi merupakan ilmu yang mempelajari tentang ukuran, struktur,
dan distribusi penduduk, serta bagaimana jumlah penduduk berubah setiap waktu
akibat kelahiran, kematian, serta migrasi. Menurut definisinya terdapat tiga
komponen yang dapat mempengaruhi struktur penduduk, diantaranya adalah
kelahiran, migrasi dan kematian [2]. Data kematian ini sendiri juga sangat penting
bagi pemerintahan sebuah Negara, diantaranya yaitu untuk bahan evaluasi terhadap
program-program kebijakan penduduk serta proyeksi penduduk yang nantinya akan
digunakan untuk perancangan pembangunan Negara [4]. Selain penting bagi
pemerintah, data kematian juga penting bagi beberapa pihak swasta, terutama yang
berkecimpung dalam bidang ekonomi, kesehatan dan asuransi. Data kematian ini
sering kali disajikan dalam bentuk tabel yang disebut dengan tabel mortalita/ life
table. Tabel mortalita ini berisi tentang jumlah orang yang meninggal, jumlah
orang yang bertahan hidup dalam berbagai tingkat usia, rata-rata usia yang mereka
capai, dan kemungkinan seseorang akan meninggal pada suatu periode waktu.
Data kematian yang ada dalam life table digunakan dalam berbagai bidang
keilmuan, diantaranya bidang kesehatan, aktuaria, dan demografi. Dalam bidang
kesehatan, life table digunakan untuk mengetahui probabilitas seseorang dapat
bertahan hidup dalam jangka waktu tertentu. Kemudian dalam bidang aktuari, dan
demografi life table dapat digunakan untuk menunjukkan probabilitas seseorang
untuk tetap hidup pada setiap tahunnya pada tingkat usia tertentu serta harapan
hidupnya yang tersisa [7]
523
Dalam menghitung besarnya tingkat mortalita suatu wilayah, terdapat
beberapa model yang dapat digunakan, salah satunya yaitu model Lee-Carter. Pada
tahun 1992, Lee dan Carter memperkenalkan sebuah model stokastik untuk
memprediksi laju mortalita di Negara Amerika Serikat, model inilah yang
kemudian sering disebut dengan model Lee-Carter. Karena kesederhanaan model
dan hasil prediksi yang cukup baik, model Lee-carter ini telah berhasil diterapkan
untuk peramalan tingkat mortalita pada beberapa Negara dan pada periode waktu
yang berbeda, diantaranya adalah Amerika Serikat, Kanada (1993), Chili (1994),
dan Jepang (1996). Austria (2001), Belgia (2002), Hungaria (2007), Italia (2011),
dan Malaysia (2016)[1].
.
2. Lee-Carter
Pada tahun 1992 Lee dan Carter memperkenalkan sebuah model baru untuk
meramalkan tingkat mortalita. Berikut adalah modelnya
Dengan batasan parameter:
dan
(2.1)
dimana merupakan central death rate pada umur x pada tahun ke t, dengan
x=1,2,…,N, menunjukkan umur, dan t=1,2,…,T menunjukkan tahun [1]. Kemudian
dan adalah parameter yang bergantung hanya pada umur, dan adalah
proses stokastik yang bergantung hanya pada tahun observasinya dan adalah
independent error, dengan meannya 0 dan variansinya [5].
Model (2.1) menyatakan tingkat mortalita pada umur pada tahun ke- .
Untuk dapat meramalkan tingkat mortalita pada tahun berikutnya dibutuhkan
estimasi untuk seluruh parameter yang ada dalam model. Untuk estimasi parameter
akan digunakan metode least square dengan batasan parameter yang ada.
Metode Least Square digunakan dengan meminimumkan nilai error-nya, dalam hal
ini adalah akan meminimumkan nilai atau untuk nilai t tertentu.
Karena , maka
Dengan mengikuti batasan parameter dan
maka
524
Maka didapatkan estimasi nilai parameter yaitu:
Setelah estimasi parameter didapatkan selanjutnya akan mengestimasi nilai
dan dengan menggunakan Singular Value Decomposistion (SVD).
Definisi 2.1:
Suatu foktorisasi dari matrik sebagai , dimana
adalah matriks orthogonal, adalah matriks diagonal, dan adalah
matriks orthogonal, disebut SVD dari A. Nilai-nilai dari D dikenal sebagai nilai-
nilai singular, dimana [5].
Dari definisi tersebut kita mempunyai matrik A berukuran 100 x 64 dengan entri-
entrinya adalah
Kemudian akan dikonstruksikan matriks , D, dan V yang entrinya merupakan
nilai dari . Dimana D merupakan matriks diagonal yang entrinya
merupakan nilai eigen dari , dan U dan V merupakan matriks ortogonal.
Berikut adalah gambaran matriks yang didapatkan
Kemudian nilai parameter didapatkan dari entri hasil proses SVD[1].
3. Implementasi Program
Dalam Bab ini akan memperlihatkan hasil yang didapatkan dari proses
estimasi. Dari data tingkat kematian Hungaria tahun 1949-2003, yang didapatkan
dari website www.mortality.org, data dibedakan berdasarkan jenis kelaminnya yaitu
laki-laki dan perempuan, dan data yang digunakan adalah tingkat kematian dari
umur 0 sampai 100 tahun. Kemudian diimplementasikan dalam model Lee-Carter.
T x T
64 x 64
N x T
100 x 64
N x N
100 x 100
N x T
100 x 64 =
525
Kemudian akan dilakukan estimasi parameter menggunakan metode least-square
dan Singular Value Decomposition (SVD). Sehingga didapatkan nilai estimasi
parameternya sebagai berikut.
Tabel 1. Hasil Estimasi Parameter
x Male Female
1 -3.78787067 -0.28856386 -4.00152832 -0.23810371
2 -6.61406387 -0.27704499 -6.77524464 -0.25385114
3 -7.2771234 -0.2470203 -7.41967952 -0.21089043
4 -7.59030816 -0.21526454 -7.82123963 -0.211288
5 -7.79016113 -0.22941109 -7.99322273 -0.17156188
6 -7.9764533 -0.2390106 -8.18935384 -0.17695192
7 -7.98673449 -0.21411552 -8.2802307 -0.18842406
8 -8.03739516 -0.22329272 -8.37355699 -0.17418456
9 -8.07448047 -0.20389552 -8.47736374 -0.15195119
10 -8.0684463 -0.17982746 -8.52672724 -0.15222144
11 -8.05253283 -0.1857523 -8.5235413 -0.14840851
12 -8.07633988 -0.1694805 -8.54263216 -0.15359194
… … … … …
86 -1.62206278 -0.04331515 -1.81824784 -0.05197642
87 -1.53745905 -0.0440612 -1.72138935 -0.04860898
88 -1.45371062 -0.04377259 -1.62608808 -0.04666418
89 -1.37775384 -0.042753 -1.53437404 -0.04546864
90 -1.29124521 -0.04202546 -1.43871132 -0.04254696
91 -1.20924716 -0.04009155 -1.35570274 -0.04226791
92 -1.14762062 -0.03704896 -1.26851702 -0.03817501
93 -1.0444748 -0.0397356 -1.19594875 -0.03177543
94 -0.9826865 -0.03414625 -1.12080467 -0.02956252
95 -0.8992894 -0.04012576 -1.04625181 -0.02703453
96 -0.84580608 -0.02190479 -0.9344303 -0.02962131
97 -0.79776028 -0.02929747 -0.90482328 -0.0254747
98 -0.72218593 -0.01907697 -0.81808081 -0.02851238
99 -0.68382171 -0.03248874 -0.78424786 -0.01768418
100 -0.60998789 -0.05788963 -0.64955669 -0.0398895
Kemudian akan dibandingkan tingkat mortalita dari perhitungan
menggunakan estimasi parameter dengan data tingkat kematian yang sesungguhnya
dalam bentuk grafik. Berikut adalah hasil yang didapatkan:
526
Gambar 1. Perbandingan Tingkat Mortalita Perempuan Pada Tahun 1949
Gambar 2. Perbandingan Tingkat Mortalita Laki-Laki Pada Tahun 1976
Dari kedua gambar diatas terlihat bahwa tingkat mortalita dari hasil estimasi (garis
berwarna biru) nilainya mendekati tingkat mortalita yang sesungguhnya. Dengan
rata-rata nilai eror yang didapatkan adalah 0.00043513055548132792 untuk tingkat
mortlaita perempuan, sedangkan untuk laki-laki didapatkan rata-rata nilai erornya
adalah 0.00097163233227511036. Artinya niali parameter yang telah diestimasi
dapat digunakan untuk merepresentasikan tingkat mortalita di negara Hungaria.
527
4. Kesimpulan
Dari grafik yang disajikan dalam gambar 1 dan gambar 2, terlihat bahwa
nilai dari hasil estimasi trand-nya mengikuti tingkat mortalita pada nilai yang
sebenarnya. Sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa model Lee-Carter dapat
digunakan untuk merepresentasikan tingkat mortalita di Hungaria, dan metode
penaksiran leas-Square dan Singular Value decomposition menghasilkan nilai
parameter yang cukup bagus.
Referensi
[1] P. R. Cox, Demography fifth edition, New York: Cambridge University Press, 1976.
[2] G. Severine, "Forecasting mortality: when academia meets practice," European
Actuarial Journal, pp. Volume 2 (1), 49-76, 2012.
[3] R. M. Gor, "Forecasting Technique," in Industrial Statistics and Operational
Management, pp. 142-172.
[4] S. Baran, J. Gall, M. Ispany and M. Pap, "Forecasting Hungarian Mortality Rates
Using The Lee-Carter Method," Acta Oeconomica, pp. 21-34, 2007.
[5] P. M. Hauser and D. Duncon, "The Study of Population," in The Nature of
Demography, Chicago, The University of Chicago Press, 1959, pp. 29-44.
[6] R. Lee and T. Miller, "Evaluating The Performance of The Lee-Carter Method for
Forcaseting Mortality," Demography, pp. 537-549, 2001.
[7] B. Jacob, Linear Algebra, New York: W. H. Freeman and Company, 1990.
528
Prosiding SNM 2017 Matemat ika Keuangan dan Aktuar ia , Hal 528 -538
PENAKSIRAN SELISIH TINGKAT KLAIM
BERDASARKAN PROSEDUR MORRIS-VAN SLYKE
ANISA RATNASARI1, SITI NURROHMAH
2, IDA FITHRIANI
3
1 Departemen Matematika, FMIPA, Universitas Indonesia, Depok, 16424,
2 Departemen Matematika, FMIPA, Universitas Indonesia, Depok, 16424,
3 Departemen Matematika, FMIPA, Universitas Indonesia, Depok, 16424,
Abstrak. Teori kredibilitas membahas metode untuk menaksir premi dengan
menggabungkan pengalaman risiko individu dengan pengalaman risiko golongan
pemegang polis. Seiring perkembangannya, teori kredibilitas juga digunakan untuk
menaksir ukuran klaim, banyaknya klaim, tingkat klaim, dan lain-lain. Prosedur Morris-
Van Slyke adalah penerapan teori kredibilitas yang pada awalnya dikembangkan oleh Carl
Morris dan Lee Van Slyke untuk asuransi kendaraan bermotor. Pada prosedur ini,
pemegang polis digolongkan berdasarkan teritori, dan taksiran kredibilitasnya berupa
selisih tingkat klaim yakni perbedaan nilai tingkat klaim di suatu teritori dengan tingkat
klaim di keseluruhan teritori. Dalam penentuan taksiran kredibilitas untuk selisih tingkat
klaim, prosedur Morris-Van Slyke menggunakan pendekatan Empirical Bayes untuk
kredibilitas. Pada akhir dari makalah ini, diberikan aplikasi dari prosedur Morris-Van Slyke
untuk menaksir selisih tingkat klaim asuransi kendaraan bermotor pada tahun 2012 dengan
menggunakan data Auto Insurance Database Report yang diterbitkan oleh NAIC untuk
tahun 2010 dan 2011 pada sepuluh negara bagian di Amerika Serikat.
Kata kunci : Teori Kredibilitas, Empirical Bayes, Morris-Van Slyke, Selisih Tingkat Klaim.
1. Pendahuluan
Teori kredibilitas merupakan metode yang pertama kali digunakan
aktuaris untuk menentukan premi menggunakan pengalaman klaim dari
pemegang polis. Bentuk umum taksiran kredibilitas adalah
(1)
Z merupakan faktor kredibilitas dengan nilai 0 sampai 1 yang digunakan untuk
menyeimbangkan X dan M yang digunakan untuk menaksir C, dimana nilai Z
bergantung kepada pengalaman klaim pemegang polis. Seiring perkembangannya, teori kredibilitas juga digunakan untuk menaksir ukuran klaim, banyaknya klaim,
tingkat klaim, dan lain-lain.
Menurut teori kredibilitas, jika C menyatakan taksiran untuk premi bersih pada
529
persamaan (1), terdapat dua posisi ekstrem, yaitu ketika nilai dan .
Pada saat nilai , taksiran kredibilitas untuk C hanya ditaksir oleh M dan
disebut juga dengan pendekatan zero credibility. Sebaliknya, ketika nilai ,
perusahaan asuransi membebankan premi hanya didasarkan pengalaman klaim
setiap golongan, disebut juga dengan pendekatan full credibility.
Prosedur Morris-Van Slyke merupakan penerapan dari teori kredibilitas pada
asuransi kendaraan bermotor yang awalnya dikembangkan oleh Carl Morris dan
Lee Van Slyke. Pada prosedur ini, pemegang polis dibagi kepada golongan
berdasarkan teritori (daerah pemakaian kendaraan bermotor). Taksiran kredibilitas
untuk C dalam kasus ini merupakan taksiran selisih tingkat klaim pada setiap
teritori terhadap tingkat klaim keseluruhan teritori.
Pada prosedur ini, akan digunakan data tingkat klaim serta banyaknya
pemegang polis pada beberapa tahun terakhir untuk menentukan taksiran selisih
tingkat klaim di setiap teritori untuk tahun polis selanjutnya. Untuk menentukan
taksiran kredibilitasnya yaitu berupa taksiran selisih tingkat klaim, prosedur
Morris-Van Slyke menggunakan metode Empirical Bayes. Selisih tingkat klaim
pada prosedur ini menyatakan perbedaan nilai tingkat klaim di suatu teritori dengan
tingkat klaim di keseluruhan teritori.
Pada makalah ini juga akan dibandingkan melalui measure of closeness hasil
taksiran yang diperoleh melalui prosedur Morris-Van Slyke dengan taksiran yang
diperoleh melalui prosedur full dan zero credibility dengan menggunakan data
klaim pada sepuluh negara bagian di Amerika Serikat.
2. Hasil – Hasil Utama
2.1 Model Morris-Van Slyke
Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, pada prosedur Morris-Van
Slyke, pemegang polis dibagi ke dalam golongan berdasarkan teritori. Misalkan
menyatakan banyaknya pengemudi yang diasuransikan di teritori ke-i selama tahun
polis t, dimana dan .
Untuk , didefinisikan bobot untuk teritori ke-i sebagai berikut
(2)
Berdasarkan persamaan (2), pembilangnya merupakan penjumlahan pengemudi
yang diasuransikan pada teritori ke-i selama r tahun polis pertama, sedangkan
pembaginya merupakan jumlah total dari banyaknya pengemudi yang
diasuransikan untuk semua teritori selama r tahun polis pertama. Proporsi (rasio)
dari jumlah pengemudi yang diasuransikan dari tahun ke tahun diasumsikan
jumlahnya tetap (tidak berubah secara signifikan). Nilai merupakan bobot yang
jumlahnya adalah 1.
Model Morris-Van Slyke didefinisikan sebagai berikut
(3)
menyatakan tingkat klaim dari teritori ke-i pada tahun polis t, dimana dan . Diasumsikan bahwa peubah acak saling bebas,
dengan
a) menyatakan grand mean atau mean keseluruhan dari tingkat klaim
b) menyatakan efek teritori ke-i
530
c) menyatakan efek tahun polis ke-t
d) adalah sampling error yang saling bebas dan berdistribusi normal
dengan mean 0 dan variansi
atau
.
Berdasarkan model pada persamaan (3) akan diperoleh
(4)
dan
(5)
Terdapat 3 jenis parameter yang tidak diketahui dari persamaan (4), yaitu
dan , dimana parameter tersebut memiliki kendala sebagai berikut:
(6)
dan
(7)
Selanjutnya, didefinisikan sebagai rata-rata tingkat klaim pada tahun
polis ke-t sebagai
(8)
Karena tujuan dari prosedur ini adalah menaksir selisih tingkat klaim, oleh
karena itu didefinisikan peubah acak sebagai selisih antara tingkat klaim di
teritori ke-i pada tahun polis ke-t dengan rata-rata tingkat klaim di seluruh teritori
pada tahun polis ke t
(9)
dari persamaan (9) diperoleh mean atau ekspektasi peubah acak yaitu
Pada persamaan (10) dapat dilihat bahwa peubah acak selisih tingkat klaim
memiliki mean , menyatakan efek teritori dalam menentukan klaim dari
teritori ke-i, dengan . Berdasarkan persamaan (4) tinggi rendahnya
efek teritori akan menentukan besaran nilai ekspektasi dari tingkat klaim.
Selanjutnya, untuk menaksir akan dimodelkan masalahnya dengan
menggunakan teorema Bayes dengan memperhatikan pengalaman selisih tingkat
klaim pada periode sebelumnya. Sebelum menggunakan teorema Bayes untuk
menaksir terlebih dahulu didefinisikan variansi dari sebagai berikut
Karena bentuk taksiran dari tidak diketahui, oleh karena itu langkah
selanjutnya adalah menaksir . Diasumsikan bahwa , dan
merupakan peubah acak yang saling bebas, dengan mean dan variansi
yang telah diperoleh pada persamaan (10) dan (11). Dalam memperoleh taksiran
dari , pertama-tama didefinisikan rata-rata selisih tingkat klaim untuk teritori ke-
sebagai
Selanjutnya, mean serta variansinya didefinisikan sebagai berikut
531
dengan menggunakan persamaan (13) dan (14) diperoleh taksiran dari yaitu
yang merupakan penaksir tak bias dari . Lalu, apabila didefinisikan sum square
within dari peubah acak untuk teritori ke , dengan sebagai
maka penaksir tak bias untuk dapat disederhanakan menjadi
2.2 Penaksiran Selisih Tingkat Klaim Menggunakan Metode Empirical Bayes
Berdasarkan tujuan dari prosedur Morris-Van Slyke, dapat dinyatakan
kembali bahwa masalahnya adalah akan ditaksir k parameter .
Parameter-parameter ini merupakan parameter dari efek teritori ke- untuk
tahun polis selanjutnya. Parameter tersebut ( ) akan ditaksir dengan
menggunakan informasi pengalaman klaim pada tahun polis sebelumnya.
Dalam teori probabilitas dan statistik, teorema Bayes menggambarkan
probabilitas dari suatu kejadian yang didasarkan oleh pengetahuan sebelumnya dari
kondisi yang mungkin terkait dengan kejadian tersebut. Oleh karena itu, dalam
menaksir akan digunakan model Bayes dengan menggunakan kondisi
yang terkait yaitu rata-rata selisih tingkat klaim dari masing-masing teritori-i atau
. Model Bayes dibangun dengan mengasumsikan bahwa :
dimana merupakan parameter dari distribusi prior yang disebut
hyperparameter.
Karena ingin dilakukan penaksiran dari , ,…, , maka penaksir
Bayes untuk adalah ekspektasi dari distribusi bersyarat diketahui sampel acak
atau mean dari distribusi posterior . Oleh karena itu, akan dicari terlebih
dahulu distribusi posterior dari . Dengan menggunakan teorema Bayes, dapat
diperoleh bentuk pdf posterior dari adalah sebagai berikut:
dengan
,
, dan
Jika menyatakan ekspektasi dari pdf posterior dan
adalah variansi , maka
532
apabila didefinisikan
maka bentuk ekspektasi dari pdf posteriornya adalah
serta variansinya didefinisikan sebagai berikut
Bentuk pada persamaan (18) merupakan taksiran Bayes.
Perbedaan metode Empirical Bayes dan Bayes terletak pada nilai
hyperparameternya. Pada metode Empirical Bayes, hyperparameternya ditaksir
melalui data yang ada dan biasanya diperoleh dari metode maximum likelihood.
Sedangkan pada metode Bayes, telah ditentukan terlebih dahulu nilai
hyperparameternya dan tidak perlu ditaksir dari data.
dari taksiran titik Bayes dengan taksiran kredibilitas adalah teori
kredibilitas secara umum menaksir klaim di tahun polis selanjutnya menggunakan
rata-rata terboboti dari pengalaman klaim dari grup tertentu dan ekspektasi
klaim (yang pada hal ini dilambangkan oleh ) (Miller dan Hickman, 1975;
Klugman, 1992). Maka dari itu, pada prosedur ini akan digunakan taksiran titik
Bayes sebagai persamaan kredibilitas yang akan digunakan untuk menaksir Taksiran kredibilitas untuk selisih tingkat klaim didefinisikan sebagai
berikut
untuk ,
taksiran selisih tingkat klaim di teritori ke-i pada tahun polis
selanjutnya
rata-rata selisih tingkat klaim dari r tahun polis terakhir pada
teritori ke-i
menyatakan taksiran mean dari distribusi prior
menyatakan faktor kredibilitas dengan nilai , yang didefinisikan
sebagai
Bentuk persamaan (20) merupakan bentuk lain dari persamaan (1) dengan
dan digunakan untuk menaksir . Sedangkan pada kasus ini, nilai faktor
kredibilitas dilambangkan oleh yang nilainya berbeda untuk setiap teritori
.
533
Dalam menghitung nilai dari penaksir atau ini, sebelumnya, harus
ditaksir terlebih dahulu nilai dari hyperparameter dan . (Karena diberikan ,
akan diperoleh taksiran untuk pada persamaan (17) ). Karena dan tidak
diketahui, maka berdasarkan prosedur Empirical Bayes, taksiran dari dan
dapat diperoleh dari data, yaitu dengan menggunakan distribusi marjinal yang
diasumsikan berdistribusi normal dengan mean dan variansi sebagai berikut:
dan
untuk
Untuk memperoleh Maximum likelihood estimator dari dan dapat
diperoleh berdasarkan persamaan (21) dan (22) dengan mengasumsikan bahwa
berdistribusi normal dan peubah acak saling bebas. Akan tetapi,
variansi bersyarat dari yaitu , untuk nilainya berbeda untuk
setiap i (teritori), maka realisasi dari penaksir maximum likelihood dari dan
tidak dapat diperoleh secara langsung, melainkan harus diperoleh melalui
rangkaian prosedur iterasi.
Karena sebelumnya telah dibuktikan bahwa adalah penaksir tak bias
untuk parameter , selanjutnya untuk didefinisikan
sebagai penaksir dari yang merupakan variansi bersyarat dari .
2.3 Prosedur Iterasi
Prosedur iterasi digunakan sebagai tahapan untuk menaksir dan yang
disebabkan oleh nilai variansi bersyarat dari yaitu yang berbeda di setiap
teritorinya. Hal ini menyebabkan taksiran dan yang bergantung kepada
tidak dapat diperoleh secara langsung dan memerlukan rangkaian prosedur iterasi.
Prosedur iterasi untuk menaksir dan terdiri dari langkah-langkah sebagai
berikut:
Langkah pertama,
Sebelum menaksir dengan metode maximum likelihood, hitung taksiran
awal dari yaitu yang didefinisikan sebagai
Taksiran awal dari adalah dengan memberi nilai bobot teritori ke-i yakni
, dengan adalah banyaknya teritori dan nilai faktor kredibilitas .
Langkah kedua,
menggunakan nilai dari yang diperoleh dari langkah pertama, hitung taksiran
awal dari faktor kredibilitas yang didefinisikan sebagai, untuk :
534
Langkah ketiga,
dengan menggunakan nilai dari yang telah diperoleh dari langkah
sebelumnya, dapat dihitung penaksir dari yaitu
Langkah keempat,
hitung taksiran maximum likelihood dari , dengan menggunakan hasil
yang diperoleh dari langkah ke 2 dan ke-3 yaitu
Langkah kelima,
Dengan menggunakan taksiran yang telah dihitung di langkah ke-4
sebagai taksiran awal yang baru untuk , selanjutnya lakukan kembali langkah-
langkah kedua, ketiga dan keempat. Tahapan ini akan menghasilkan
taksiran/estimasi yang baru (telah direvisi) untuk , dan .
Aturan berhenti:
Prosedur iterasi di atas akan berhenti ketika nilai taksiran dari sedikit
berubah.. Ketika nilai dari sedikit berubah menandakan bahwa taksiran sudah
cukup stabil, biasanya ditandai oleh nilai yang juga tidak berubah secara
signifikan. Hal ini berarti, walaupun nilai berbeda untuk setiap teritori tidak
mempengaruhi nilai taksiran dari maupun . Nilai dan pada iterasi akhir,
selanjutnya akan digunakan untuk menghitung faktor kredibilitas yang
didefinisikan pada persamaan (17).
Penaksir akhir dari Faktor Kredibilitas
Sebelumnya, telah digunakan
sebagai taksiran dari faktor kredibilitas. merupakan taksiran likelihood untuk
dan merupakan taksiran tak bias dari . Akan tetapi, hal tersebut tidak lantas
membuat
menjadi taksiran tak bias untuk
. Oleh karena itu, pada
prosedur ini digunakan penaksir faktor kredibilitas yang baru untuk memperbaiki
nilai dari faktor kredibilitas sebelumnya yaitu (untuk )
Penaksir akhir dari adalah:
2.4 Measure of Closeness
Sebagai ukuran keakuratan penaksir yang didapatkan dari prosedur Morris-
Van Slyke yaitu dengan data observasi sebenarnya yaitu yang merupakan
535
nilai selisih tingkat klaim untuk tahun polis selanjutnya ( ), digunakan
measure of closeness:
dengan
Measure of closeness juga akan digunakan untuk mengukur seberapa
akurat penaksir yang diperoleh dari prosedur Morris Van Slyke, full credibility
( , dan zero credibility ( . Penaksir terbaik akan diperoleh ketika nilai
MoC paling kecil, karena ketika nilai MoC semakin kecil, berarti nilai penaksir
tersebut makin mendekati nilai observasi sebenarnya.
Hasil penelitian diperoleh dengan menggunakan contoh aplikasi dari
prosedur Morris-Van Slyke pada data klaim asuransi kendaraan bermotor pada
tahun 2010 sampai 2011 pada 10 negara bagian di Amerika Serikat yang diperoleh
dari Auto Insurance Database Report yang diterbitkan oleh NAIC tahun
2012/2012. Data tersebut akan digunakan untuk menaksir selisih tingkat klaim
untuk tahun 2012.
Sebelumnya, terlebih dahulu diperiksa normalitas dari data atau rata-
rata selisih tingkat klaim pada 10 negara bagian tersebut (selanjutnya disebut
sebagai teritori ke-1 sampai 10) dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov.
Hipotesis
Hipotesis yang akan digunakan untuk Tes Normalitas oleh Uji Kolmogorov-
Smirnov adalah sebagai berikut:
: Data mengikuti distribusi Normal
: Data tidak mengikuti distribusi Normal
Signifikansi :
Wilayah kritis
Statistik Uji
Tabel 1. Uji Normalitas dari dengan Uji Kolmogorov-Smirnov
No
|
1 -1.3788 -1.2605 0.1038 0.1 0.0038
2 -0.8751 -0.8435 0.2005 0.2 0.0005
3 -0.4851 -0.5207 0.3015 0.3 0.0015
4 -0.4211 -0.4678 0.3192 0.4 0.0808
5 -0.2929 -0.3616 0.3594 0.5 0.1406
6 -0.2858 -0.3558 0.3594 0.6 0.2406
7 0.18216 0.03157 0.512 0.7 0.188
8 0.81775 0.55766 0.7123 0.8 0.0877
9 1.51393 1.13389 0.8708 0.9 0.0292
10 2.66516 2.08678 0.9817 1 0.0183
0.14401
1.20815
536
Keputusan
tidak ditolak karena
Kesimpulan
Data berdistribusi normal dengan tingkat signifikansi 5%.
Dari uji hipotesis di atas dapat disimpulkan bahwa berdistribusi normal. Oleh
karena itu, taksiran parameter yang diperoleh dari dapat dipakai untuk menaksir
selisih tingkat klaim dengan prosedur Morris-Van Slyke.
Tabel 2. Hasil Taksiran Akhir untuk Faktor Kredibilitas , , , dan
Negara Bagian
1 California 0.99992 0.1408 -0.28582 -0.28579
2 Colorado 0.99917 0.1408 -0.48512 -0.48460
3 District of Columbia
(D.C.) 0.98638 0.1408 2.665160 2.63078
4 Massachusetts 0.99928 0.1408 1.513926 1.512951
5 Minnesota 0.99919 0.1408 -0.87510 -0.87428
6 New York 0.99966 0.1408 0.817748 0.817521
7 Oregon 0.99885 0.1408 -0.42113 -0.42048
8 Pennsylvania 0.99965 0.1408 0.182160 0.182146
9 Washington 0.99927 0.1408 -0.29285 -0.29254
10 Wyoming 0.99288 0.1408 -1.37881 -1.36799
Kolom berisi taksiran selisih tingkat klaim untuk tahun 2012 untuk ke-
10 negara bagian di Amerika Serikat. Nilai taksiran ini juga menggambarkan efek
teritori dalam menentukan rate premi untuk setiap teritori (dalam kasus ini
merupakan negara bagian). Nilai positif menyatakan kenaikan rate premi pada
suatu teritori, sedangkan nilai yang negatif menyatakan penurunan rate premi di
suatu teritori tersebut.
Pada Tabel 2 dapat dilihat bahwa nilai paling besar terdapat pada
District of Columbia (D.C), dapat disimpulkan bahwa dibandingkan kesembilan
teritori lainnya, rate premi yang didasari oleh pengalaman klaim di D.C paling
tinggi. Hal ini tidak lagi mengejutkan, karena D.C merupakan ibukota dari
Amerika Serikat dengan tingkat kepadatan yang tinggi serta memungkinkan
tingginya rate premi di teritori tersebut.
Pada pendekatan full credibility, untuk menaksir diberikan nilai ,
sehingga taksiran yang berbentuk adalah
Berbeda dengan full credibility, pada pendekatan zero credibility, diberikan nilai
, sehingga untuk menaksir hanya digunakan taksiran yang diperoleh dari
atau
Pada Tabel 2, kolom dan masing-masing menggambarkan taksiran dari selisih
537
tingkat klaim yang diperoleh dari pendekatan full credibility dan zero credibility.
Sedangkan pada kolom yang berisi nilai adalah nilai taksiran selisih tingkat
klaim yang diperoleh melalui prosedur Morris-Van Slyke.
Pada akhir dari makalah ini, akan dibandingkan hasil taksiran yang
diperoleh dari prosedur Morris-Van Slyke dengan taksiran yang diperoleh melalui
full dan zero credibility. Akan digunakan uji keakuratan yaitu measure of
closeness, untuk mengukur keakuratan dari ketiga penaksir yang diperoleh.
Didefinisikan MoC atau measure of closeness seperti di bawah ini
dengan
dan mendefinisikan nilai observasi dari banyaknya pengemudi yang
diasuransikan dan bobot pada setiap teritori pada tahun polis ke-3 atau tahun polis
yang akan ditaksir. Sedangkan mendefinisikan nilai obervasi dari selisih
tingkat klaim pada tahun polis ke-3 (tahun 2012). Oleh karena itu, digunakan data
observasi (sebenarnya) dari data asuransi pada tahun 2012 yang diperoleh dari Auto
Insurance Database Report yang diterbitkan oleh NAIC tahun 2012/2013. Dengan
menggunakan data tersebut, akan dihitung nilai measure of closeness dari penaksir
yang berasal dari prosedur Morris-Van Slyke, Full Credibility, dan Zero
Credibility.
Penaksir terbaik akan diperoleh ketika nilai MoC paling kecil, karena
ketika nilai MoC semakin kecil, berarti nilai penaksir tersebut makin mendekati
dengan nilai observasi sebenarnya. Maka dari itu, akan disimpulkan berdasarkan
ukuran keakuratan measure of closeness bahwa penaksir terbaik adalah penaksir
yang memiliki nilai MoC paling kecil.
Tabel 3. Perbandingan Nilai Measure of Closeness untuk Penaksir MVS, Full dan
Zero Credibility
Berdasarkan Tabel 3, penaksir yang diperoleh melalui prosedur Morris-
Van Slyke merupakan penaksir yang memiliki nilai MoC paling kecil, sedangkan
Penaksir Measure of Closeness
Morris-Van Slyke 0.031036
Full Credibility )
0.03222
Zero Credibility ( ) 0.331092
538
penaksir dari full credibility adalah penaksir yang juga memiliki nilai MoC yang
kecil, akan tetapi nilainya masih kurang baik dibanding penaksir yang diperoleh
dari prosedur Morris-Van Slyke.
3. Kesimpulan
Berdasarkan penjelasan pada makalah ini dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut.
1. Prosedur Morris Van Slyke merupakan prosedur kredibilitas berdasarkan
metode Empirical Bayes yang digunakan untuk pricing (penetapan nilai premi)
di setiap teritori pada asuransi kendaraan bermotor. Metode Empirical Bayes
digunakan untuk mencari taksiran kredibilitas dari selisih tingkat klaim pada
suatu teritori dalam asuransi kendaraan bermotor.
2. Taksiran yang diperoleh dari prosedur Morris-Van Slyke dibandingkan dengan
taksiran yang diperoleh dari full dan zero credibility. Dengan menggunakan
ukuran keakuratan yaitu measure of closeness diperoleh kesimpulan bahwa
penaksir yang diperoleh melalui prosedur Morris-Van Slyke adalah penaksir
terbaik pada kasus data tingkat klaim tahun 2012 pada 10 negara bagian di
Amerika Serikat.
Referensi
[1] Efron, F. and Morris, C., 1973, Stein’s Estimation Rule and Its Competitors- An
Empirical Bayes Approach, Journal of the American Statistical Association, 68, 117-
130.
[2] Efron, F. and Morris, C., 1975, Data Analysis Using Stein Estimator and Its
Generalizations, Journal of the American Statistical Association, 70, 311-319.
[3] Herzog, T., 2010, Introduction to Credibility Theory, 4th ed., ACTEX Publications.
[4] Hogg, R.V., McKean, J.W., and Craig, A.T., 2013, Introduction to Mathematical
Statistics 7th ed., Boston: Pearson Education, Inc.
[5] Klugman, S., 1987, Credibility for Classification Ratemaking Via the Hierarchical
Linear Model, Proceeding of the Casualty Actuarial Society, Vol. LXXIV, 272-231.
[6] Klugman, S., 1992, Bayesian Statictics in Actuarial Science with Emphasis on
Credibility, Boston: Kluwer.
[7] Klugman, S., Stuart A., Panjer, Harry, H. and Willmot, Gordon E., 2012, Loss Models
From Data to Decisions, 4th ed., New York: Wiley.
[8] Meyers, G., 1984, Empirical Bayesian Credibility for Workers’ Compensation
Classification Ratemaking, Proceedings of the Casualty Actuarial Society, Vol. LXXI,
96-121.
[9] Yu, Qiu., Yao, Z., Zhang, F. and Zhao, Y., 2012, The Study about Automobile
Insurance Based on Linear Empirical Bayesian Estimation.
539
Prosiding SNM 2017 Matemat ika Keuangan dan Aktuar ia , Hal 539 -547
PREDIKSI PREMI MURNI DENGAN GENERALIZED
LINEAR MODELS (GLM) PADA ASURANSI
KENDARAAN BERMOTOR
AGUS SUPRIATNA1, ENDANG SOERYANA, SARI, D.P.,
1Departemen Matematika FMIPA, Universitas Padjadjarn, [email protected]
Abstrak. Pada saat ini bahaya, kerusakan, dan kerugian merupakan suatu
ketidakpastian yang akan dialami siapapun, sehingga kemungkinan terjadi resiko
dalam kehidupan terutama bidang ekonomi sangat besar. Salah satu cara untuk
mengantisipasi resiko kerugian tersebut yaitu melalui asuransi Asuransi terbagi
menjadi dua macam, yaitu asuransi jiwa dan asuransi non jiwa. Asuransi non jiwa
adalah asuransi yang bertujuan untuk menanggung kerugian financial yang disebabkan
oleh kerusakan, kehilangan, dan lain-lain. Saat ini terdapat berbagai macam jenis
asuransi non jiwa. Salah satunya adalah asuransi kendaraan bermotor. Pemilik polis
membayar produk ini melalui premi. Terdapat dua jenis premi, yaitu premi murni dan
premi kotor. Premi murni adalah biaya yang ditanggungkan sebelum ditambah faktor
loading. Dalam penelitian ini akan dikaji mengenai Generalized Linear Models
(GLM) untuk prediksi premi murni pada asuransi kendaraan bermotor. Hasil
penelitian menunjukan bahwa untuk mencari premi murni dengan pada data
tahun kalender 2014 digunakan distribusi Binomial untuk mencari model peluang
untuk banyak klaim dan distibusi gamma untuk model peluang untuk besar klaim
sehingga dapat diperoleh premi murni dengan mengalikan jumlah ekspektasi distribusi
kedua model tersebut.
Kata kunci: asuransi non jiwa, Generalized Linear Models (GLM), premi murni,
asuransi kendaraan bermotor.
1. Latar Belakang Masalah
Kerusakan, kerugian, dan bahaya merupakan suatu ketidakpastian yang akan dialami setiap
mahluk hidup yang ada di bumi ini, sehingga kemungkinan terjadinya resiko dalam
kehidupan terutama bidang ekonomi sangat besar. Salah satu cara untuk mengantisipasi
resiko kerugian tersebut yaitu melalui asuransi. Menurut Buku Kesatu Bab IX Pasal 246
Kitab Undang-undang Hukum Dagang (KUHD), asuransi adalah suatu perjanjian, dimana
seorang penanggung mengikatkan diri kepada seorang tertanggung, dengan menerima suatu
premi, untuk memberikan penggantian kepada orang tersebut karena suatu kerugian,
kerusakan, atau kehilangan keuntungan yang diharapkan, yang mungkin akan dideritanya
karena suatu peristiwa yang tidak tentu
Terdapat beberapa jenis dari asuransi, salah satunya asuransi non jiwa. Asuransi non jiwa
yang populer dan banyak diminati masyarakat adalah asuransi kerugian yaitu asuransi
kendaraan bermotor. Pada asuransi kendaraan bermotor memungkinkan pemegang polis
mengajukan klaim berulang kali dalam satu periode pertanggungan, sehingga salah satu ciri
asuransi kendaraan bermotor adalah premi yang dikenakan kepada pemegang polis
bergantung pada banyaknya klaim dan besarnya klaim yang telah diajukan pada masa lalu.
Salah satu metode untuk menghitung premi adalah Generalized Linears Models (GLM).
Pada penelitian kali ini akan ditentukan prediksi besar klaim dan banyak klaim dengan
menggunakan variabel-variabel yang mempengaruhi. Karena banyaknya klaim bertipe
diskrit, maka jenis distribusi peluang cocok untuk banyak klaim tidak mungkin
540
berdistribusi normal. Oleh karena itu, Generalized Linears Models (GLM) adalah model
yang tepat untuk digunakan. Selanjutnya, berdasarkan model peluang yang diperoleh kita
dapat menentukan premi murni. Premi murni adalah biaya yang dibebankan kepada
seseorang yang mempertanggungkan kendaraannya sebelum ditambah faktor loading,
seperti biaya operasional.
Berdasarkan uraian diatas, pada jurnal ini akan dibahas bagaimana langkah-langkah dan
faktor pendukung dalam prediksi hasil dan nilai premi murni asuransi kendaraan
bermotor untuk jenis asuransi All Risk dengan Generalized Linear Models (GLM).
2. Generelized Linear Models
Generalized Linear Models (GLM) merupakan alat ukur untuk mengukur hubungan
antara variabel respon dan variabel bebas. Fungsi peluang untuk suatu variabel respon Y
dapat didefiniskan sebagai berikut.
dan
Dengan merupakan parameter kanonikal, merupakan parameter disperse dan
adalah fungsi link dan diasumsikan bahwa observasi dalam variabel respon Y saling
bebas. adalah fungsi peluang untuk variabel respon Y yang berdistribusi keluarga
eksponensial.
3. Permodelan Premi Murni dengan Generelized Linear Models
3.1. Model Peluang Untuk Banyak Klaim
Distribusi yang digunakan untuk model peluang dari banyak klaim dalam dunia
perasuransian adalah distribusi couting atau distribusi diskrit. Kita akan menggunakan
distribusi Binomial yang mungkin cocok untuk menentukan model peluang dari banyak
klaim.
Analisi regresi logistik dapat digunakan untuk pemodelan banyak klaim dengan respon
yang terdiri dari dua kemungkinan pada GLM. Misalkan Y adalah peubah acak banyak
klaim dari distribusi Binomial. Selanjutnya, definisikan sebagai peluang suatu pemegang
polis ke-i yang memiliki , maka model regresi logistik dengan p buah kovariat
adalah:
(3.1)
dengan
(3.2)
Sesuai fungsi link, maka model regresi logistik adalah model linear antara
dengan kovariat. Maka taksiran proposi peluang terjadinya klaim dapat ditulis sebagai
berikut
(3.3)
3.2.3 Uji Kolmogorov-Smirnov
Uji berikut hanya dapat dilakukan untuk menguji kecocokan model pada data individual.
Misalkan merupakan statistika terurut dari data yang akan divalidasi
jenis distribusinya, maka satitistik ujinya adalah
(3.4)
541
Dengan adalah fungsi distribusi empiris dari data, sedangkan adalah distribusi
dari data yang diasumsikan cocok untuk variabel respon. Titik kritis uji statistik dari uji
Kolmogorov-Smirnov adalah sebagai berikut
Tabel 3.1 Titik Kritis Uji Kolmogorov-Smirnov
Tingkat Signifikansi α 0.10 0.05 0.01
Titik Kritis
H0 ditolak jika nilai statistik uji D lebih besar daripada titik kritis yang ada.
3.2.4 Pemilihan Kovariat
Langkah berikutnya untuk menganalisa model dengan menggunakan GLM adalah
menentukan kovariat yang akan berpengaruh signifikansinya terhadap respon. Pada jurnal
ini kita akan menggunakan backward elimination untuk menentukan kovariat. Pada metode
ini, semua kovariat dimasukan kedalam model terlebih dahulu, kemudian kovariat yang
tidak signifikan terhadap model akan dikeluarkan sampai tidak ada lagi kovariat yang
dikeluarkan dari model.
3.2.5 Uji Kecocokan Hosmer dan Lemeshow
Uji kecocokan ini untuk menguji kecocokan model dengan data yang telah dipilih. Untuk
lebih jelasnya akan diperhatikan hipotesisnya sebagai berikut
H0: Model sudah cocok dengan data
H1: Tidak seperti yang diasumsikan H0
Dengan statistika Hosmer dan Lemeshow sebagai berikut:
(3.5)
Dengan
Diberikan tingkat signifikansi α, tolak H0 jika p-value dari uji kecocokan Hosmer dan
Lemeshow kurang dari tingkat siginifikansinya.
3.2.6 Uji ROC
Berdasarkan teori ROC, kurva ROC merupakan kurva yang dapat digunakan untuk
mengindikasi tingkat kecocokan model dengan menghitung AUC. AUC (Area Under
Curve) adalah metode yang menyatakan seberapa bagus model terhadap data. Perhitungan
AUC dengan data dapat dilakukan dengan pendekatan non-parametrik. Terdapat dua
ukuran dalam kurva ROC, yaitu: ukuran sensitivitas dan ukuran spesifititas. Kedua ukuran
ini dapat digambarkan dengan kurva ROC, dengan sumbu x menyakan sensitivitas dan
sumbu y menyatakan spetifititas data untuk setiap nilai cut-off. Kecocokan suatu model
dapat diamati melalui luas daerah dibawah kurva ROC yang dihitung melalui pendekatan
non-parametrik AUC. Nilai maksimum AUC sama dengan 1 dan semakin dekat nilai AUC
dengan 1, maka mengindikasi kecocokan model tersebut semakin besar.
3.2. Model Peluang Untuk Besar Klaim
Model peluang dari besar klaim (claim size) dapat ditentukan dengan menggunakan
distribusi kontinu. Pada kesempatan kali ini kita akan menggunakan distribusi gamma yang
mungkin cocok untuk menentukan model peluang dari besar klaim.
Suatu variabel respon yang berdistribusi Gamma, , fungsi linknya dapat
dituliskan sebagai . Sedangkan link kanonik dari distribusi Gamma adalah
fungsi inversnya, tetapi karena parameter dari model dengan link invers sulit untuk
542
dijabarkan maka penggunaan link log dianggap lebih baik dan lebih sering digunakan. (De
Jong, 1998: 120)
Bila yang digunakan adalah link log maka model untuk regresi dapat dituliskan sebagai
.
3.2.1 Uji Chi-Square Goodness of Fit
Berikut ini merupakan uji hipotesis awal yang dapat digunakan pada -square goodness of fit
test,
H0: data yang berasal dari distribusi tertentu
H1: data tidak berasal dari distribusi yang diasumsikan pada H0
Untuk menguji hipotesis kita dapat menggunakan statistik uji sebagai berikut
(3.7)
H0 akan ditolak jika nilai dengan k adalah banyaknya interval dan p adalah
banyaknya parameter yang ditaksir.
3.2.2 Menguji Kecocokan Model dan Deviansi (Assering Fits and Deviance)
Hipotesa dalam menguji kecocokan model pada metode ini adalah sebagai berikut
H0: Model sudah cocok
H1: Model tidak cocok
Dengan statistika uji yang digunakan adalah sebagai berikut:
(3.8)
Dengan:
merupakan nilai log-likelihood yang didapat dari “saturated model”.
merupakan nilai dari fungsi log-likelihood yang berasal dari y dan kovariat yang
diberikan (dari model yang telah dicocokan dengan data).
Kemudian akan diuji stastistika uji untuk yang berdistribusi Chis-Square dan memiliki
titik kritis dengan n merupakan banyaknya data observasi dan merupakan
banyaknya parameter. Tolak H0 jika nilai statistika uji melebihi titik kritis.
3.2.3 Wald Test
Wald test hanya mampu memeriksa tingkat signifikan dari satu kovariat. Hal ini tentu
berbeda dengan likelihood ratio test yang mampu menguji tingkat signifikansi dari
beberapa kovariat. Misalkan , uji hipotesis dari wald test adalah
sebagai berikut
Serta statistika uji yang digunakan adalah
(3.9)
Dengan merupakan elemen ke-j dari diagonal dan nilai r yang digunakan
untuk menguji siginifikansi kovariat sama dengan 0. Untuk tingkat signifikansinya adalah
α, serta titik kritis dari statistika uji ini adalah . Kita akan tolak jika nilai statistika
uji lebih besar dari titik kritisnya.
3.2.4 Likeliihood Ratio Test
Pada uji ini, hal utama yang harus diperhatikan adalah menguji signifikansi dari kovariat
atau variabel x yang terdapat dalam model. Berikut ini adalah uji hipotesis yang digunakan
543
Dengan C adalah matriks hipotesis dan r adalah nilai yang diberikan. Kemudian dengan
memisalkan nilai , kita dapat membuat mattriks C sehingga sejumlah kovariat nilai
. Statistik uji yang digunakan untuk uji ini adalah
(3.10)
Dengan:
merupakan fungsi log-likelihood dengan semua kovariatnya dalam model
(unrestricted model)
merupakan fungsi log-likelihood dari model dengan hanya menggunakan beberapa
kovariat (unrestricted model)
Titik kritis dari statistika uji ini adalah , sehingga jika nilai lebih besar dari titik
kritis maka kita akan tolak .
3.2.5 Uji Diagnostik
Diberikan uji hipotesis seperti berikut
H0: Model sudah cocok
H1: Model tidak cocok
Untuk menguji hipotesis diatas diberikan uji statistic sebagai berikut
(3.11)
Dengan merupakan deviance residual. Titik kritis dari uji statistik deviance residual
adalah , sehingga H0 akan ditolak bila nilai melebihi titik kritisnya.
3.3. Premi Murni dengan Compound Model
Misalkan suatu peubah acak yang menyatakan besar klaim (claim size) dengan fungsi
kepadatan peluangnya adalah . Misalkan N suatu peubah acak yang menyatakan
banyak klaim (claim number). Maka total klaim atau aggregate loss untuk collective risk
model adalah
(3.12)
Untuk menentukan premi murni (pure premium) pada model kolektif dapat diperoleh
dengan menggunakan
(3.13)
dengan
(3.14)
Dengan adalah ekspetasi dari distibusi besar klaim, dan adalah ekspetasi dari
distribusi banyak klaim.
4. Prediksi Premi Murni pada Asuransi Allrisk
4.1. Model Peluang Untuk Besar Klaim
4.1.1 Regresi Model
Pada tahap berikut, model akan dibuat dengan meregresikan seluruh kovariat yang
digunakan di dalam permodelan (full mode). Kemudian, akan diperiksa signifikansi dari
kovariat-kovariat terhadap variabel respon. Setelah diperiksa, terdapat kovariat yang
menyebabkan penaksiran parameter model peluang tersebut konvergen. Oleh karena itu,
kita hanya menggunakan kovariat tersebut pada penaksiran parameter model peluang.
4.1.2 Pemilihan Model
Kita akan mendapatkan hasil dari uji-uji dengan hanya variabel “Kode Pertanggungan yang
digunakan dengan menggunakan software SAS sebagai berikut:
544
Backward Elimination
Berdasarkan gambar, tidak ditemukan perbedaan pada hasil regresi diantara model yang
menggunakan signifkansi dan pada proses permodelan menggunakan
metode Backward Elimination. Berdasarkan hasil diatas variabel “Kode Penggunaan”
berpengaruh signifikan terhadap respon di dalam model tersebut.
4.1.3 Uji Diagnostik
4.1.3.1 Uji ROC
Nilai AUC pada jurva ROC untuk model yang kita peroleh adalah
sebesar 0.5000 yang terdapat pada gambar berikut:
Pada gambar, nilai AUC pada step 0 yang diperoleh adalah nilai
AUC model tanpa melibatkan variabel. Nilai akhir AUC untuk
model peluang banyak klaim adalah nilai AUC model, yaitu
disaat variabel “Kode Penggunaan” dimasukan ke dalam model.
Dengan AUC bernilai sebesar 0.5000, kurva ROC diatas
memperlihatkan bahwa model peluang telah cukup baik dalam
memprediksikan terjadinya klaim dan cocok dengan data yang telah digunakan.
4.1.3.2 Uji Kecocokan Hosmer dan Lemeshow
Uji diagnostik yang dapat digunakan lainnya adalah uji
kecocokan Hosmer dan Lemeshow. Uji ini dapat melihat
kecocokan suatu model peluang dengan data. Berikut
adalah output uji Hosmer dan Lameshow:
Pada gambar, terlihat bahwa nilai p-value uji kecocokan Hosmer Lemeshow sebesar 1.000,
nilai p-value diatas melebihi tingkat signifikansi . Ini artinya bahwa hipotesa H0
bahwa model cocok dengan data tidak ditolak. Berdasarkan uji-uji diatas model yang kita
peroleh sudah cocok digunakan untuk memodelkan banyak klaim.
4.1.4 Penaksiran Parameter Model
Dibawah ini adalah output penaksiran parameter model banyak klaim dengan metode
tersebut.Pada tabel diatas terdapat beberapa level pada variabel “Kode Penggunaan”, maka
kita akan menggunakan level-level tersebut untuk dimasukan ke dalam model.
Sehingga, diperoleh model akhir sebagai berikut:
(4.2)
Dengan
: variabel “Kode Penggunaan” SO : variabel “Kode Penggunaan” DO
: variabel “Kode Penggunnan” TO
4.2. Model Peluang Untuk Besar Klaim 4.2.1 Uji Distribusi Respon
Berdasarkan tabel disamping diperoleh
bahwa dengan p-value yang melibihi
0.00
0.25
0.50
0.75
1.00
Sen
sitiv
ity
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00
1 - Specificity
Model (0.5000)Step 0 (0.5355)
ROC Curve (Area)
ROC Curves for All M odel Building Steps
545
tingkat signifikansi , hipotesa H0 yang menyatakan bahwa variabel besar klaim
berasal dari distribusi Gamma untuk uji Kolmogorov-Smirnov tidak ditolak.
4.2.2 Proses Pemilihan Kovariat
Langkah 1: Penentuan Kovariat Pertama yang Signifikan
Pada tahap berikut ini akan diperoleh
hasil yang menyatakan bahwa variabel
“Harga Pertanggungan
(Premi)”.Berdasarkan hasil tabel
diatas, untuk dapat dilihat
bahwa variabel “Harga Pertanggungan (Premi)” memiliki pengaruh yang signifikan
terhadap variabel respon. Dapat dilihat dari p-value yang kurang dari untuk statistika
Wald dan statistika Likelihood Ratio. Selanjutnya, uji yang akan kita lakukan adalah kita
akan memeriksa deviance residual.
Berdasarkan gambar, tidak terdapat data-data yang mempunyai residual deviance lebih dari
0.3 atau -0.3. Artinya, observasi-observasi diatas sudah cocok untuk hasil prediksi besar
klaim oleh model terhadap data.
Langkah 2: Penentuan Kovariat Kedua yang Signifikan
Pada tahap berikut ini akan
diperoleh hasil yang
menyatakan bahwa variabel
“Kode Kendaraan” bersama
dengan variabel “Harga
Pertanggungan (Premi)”.
Berdasarkan hasil tabel diatas,
untuk dapat dilihat bahwa variabel “Kode Kendaraan” dan “Harga Pertanggungan
(Premi)” memiliki pengaruh yang signifikan terhadap variabel respon. Dapat dilihat dari p-
value yang kurang dari untuk statistika Wald dan statistika Likelihood Ratio. Selanjutnya,
uji yang akan kita lakukan adalah kita akan memeriksa deviance residual.
Berdasarkan gambar, tidak terdapat data-data yang mempunyai residual deviance lebih dari
0.3 atau -0.3. Artinya, observasi-observasi diatas sudah cocok untuk hasil prediksi besar
klaim oleh model terhadap data.
Langkah 3: Penentuan Kovariat Ketiga yang Signifikan
Pada tahap berikut ini akan
diperoleh hasil yang
menyatakan bahwa variabel
“Kode Penyebab” bersama
dengan variabel “Kode
Kendaraan” dan “Harga
Pertanggungan (Premi)”.
Berdasarkan hasil tabel, untuk
dapat dilihat bahwa variabel “Kode Penyebab”, “Kode Kendaraan” dan “Harga
Pertanggungan (Premi)” memiliki pengaruh yang signifikan terhadap variabel respon.
Dapat dilihat dari p-value yang kurang dari untuk statistika Wald dan statistika
Likelihood Ratio. Selanjutnya, uji yang akan kita lakukan adalah kita akan memeriksa
deviance residual. Berdasarkan gambar, tidak terdapat data-data yang mempunyai residual deviance lebih dari
0.3 atau -0.3. Artinya, observas-observasi diatas sudah cocok untuk hasil prediksi besar
klaim oleh model terhadap data.
0 50 100 150 200
Observation
-0.2
0.0
0.2
Dev
ianc
e R
esid
ual
Deviance Residuals for Klaim_Disetujui
0 50 100 150 200
Observation
-0.3
-0.2
-0.1
0.0
0.1
0.2
0.3
Devia
nce R
esi
dual
Deviance Residuals for Klaim_Disetujui
0 50 100 150 200
Observation
-0.2
0.0
0.2
Dev
ianc
e R
esid
ual
Deviance Residuals for Klaim_Disetujui
546
Langkah 4: Penentuan Kovariat Ke-empat yang Signifikan
Pada tahap berikut ini akan diperoleh hasil yang menyatakan bahwa variabel “Biaya
Klaim”, “Kode Wilayah” maupun “Tahun Kendaraan” bersama dengan variabel “Kode
Kendaraan” dan “Harga Pertanggungan (Premi)” tidak signifikansi terhadap model. Dapat
dilihat dari p-value yang melebihi dari untuk statistika Wald dan statistika Likelihood
Ratio pada semua uji variabel.
4.2.3 Penaksrian Parameter Berdasarkan gambar, meskipun variabel “Kode Penyebab” dan “Kode
Kendaraan” berperan signifikan terhadap variabel respon, tetapi tidak
semua level-level yang ada pada variabel tersebut berpengaruh secara
signifikan terhadap model. Hal ini dapat terlihat pada output diatas untuk
signifikan .
4.2.4 Model Akhir
Setelah kita melakukan semua proses diatas, didapatkan model akhir sebagai berikut:
(4.3)
Dengan
: variabel “Harga Pertangunggan (Premi)”
: variabel “Kode Penyebab” dengan level “benturan akibat penyebab lainnya (lain-
lain)”
: variabel “Kode Kendaraan” mobil dengan merek Honda
: variabel “Kode Kendaraan” mobil dengan merek Daihatsu
: variabel “Kode Kendaraan” mobil dengan merek Nissan
: variabel “Kode Kendaraan” mobil dengan merek Ford
: variabel “Kode Kendaraan” mobil dengan merek Mazda
: variabel “Kode Kendaraan” mobil dengan merek Suzuki
: variabel “Kode Kendaraan” mobil dengan merek Mitsubishi
547
4.3. Contoh Prediksi Premi Murni dengan Compound Model
Jenis Kendaraan Honda Jazz Kovariat Nilai
“Kode
Penggunaan” DO Honda 1
“Harga
Pertanggungan
Rp.
244.500.000,00 DO 1
“Kode
Penyebab” Lain-lain
Benturan
akibat
penyebab
lainnya
(Lain-lain)
1
Maka, dengan menggunakan model taksiran banyak klaim yang digunakan akan didapatkan
terjadinya klaim untuk All Risk dengan produk “Perisay Mobil Individual” adalah:
Dengan, menggunakan model peluang besar klaim yang telah didapat, dapat kita taksir
ekspetasi besar klaim adalah:
Dari hasil diatas, kita mendapatkan peluang terjadinya klaim sebesar .
Artinya, bila untuk 1000 kendaraan yang sama dalam satu portofolio, diprediksikan
terdapat yang akan mengajukan klaim. Dengan demikian, premi murni yang dibebankan
kepada masing-masing kendaraan dalam portofolio ini adalah
Dari perhitungan tersebut, premi murni (pure premium) yang dapat dibebankan kepada
setiap pemegang polis adalah Rp. 513.000,00.
5. Kesimpulan
Adapun hal-hal yang dapat disimpulkan dari hasil pembahasan ini adalah:
Untuk jenis asuransi All Risk dengan produk “Perisai Mobil Individual”, model
distribusi yang cocok untuk mewakili variabel respon banyak klaim adalah distribusi
Binomial dan metode yang digunakan untuk signifikansi adalah metode
backward selection. Dan fungsi link yang digunakan adalah link logit.
Distribusi yang digunakan pada model peluang untuk besar klaim yang cocok adalah
distribusi Gamma, dengan variabel “Klaim Disetujui” sebagai variabel respon.
Kemudian model akan diuji diagnostik untuk mencari kovariat apa saja yang
signifikan terhadap model. Dan fungsi link yang digunakan adalah link log.
Dari data yang digunakan prediksi premi murni (pure premium) yang dapat
dibebankan kepada setiap pemegang polis adalah Rp.513.000,00.
Bila dibandingkan dengan metode lain yaitu LM, metode GLM ini sudah sangat
cocok untuk mencari premi murni serta hasil yang lebih baik karena dengan LM,
premi murni yang didapatkan adalah sebesar Rp.302.000,00.
548
6. Daftar Pustaka
[1] De Jong, P., Heller, G. Z. 2008. Generalized Linear Models for Insurance Data.
Cambridge: Cambridge University
[2] Dey, Dipak., Ghosh, Bani K. Mallick., Sujit, K. 2000. Generalized Linear Models: A
Bayesian Perspectiv., New York: Marcel Dekker, Inc.
[3] Dobson, A. J. 2002. An Introduction To Generalized Linear Models 2nd ed. Florida:
Chapman and Hall/CRC.
[4] Faraggi, D., Benjamin, R. 2002. Estimations of Area Under the ROC Curve. Statist.
Med, 21, 3093-3106.
[5] Klugman, S. A., Panjer, H. H., Willmot, G. E. 2005. Loss Models From Data to
Decision. New Jersey: John Willey and Son Inc.
[6] Ohlsson, E., Johansson, B. 2002. Non-Life Insurance Pricing with Generalized Linear
Models. Berlin: Springer.
[7] Peraturan Menteri Keuangan (PMK) NOMOR 106/PMK.06/2013 tentang [8]
Penyelenggaraan Pertanggungan Asuransi Pada Lini Usaha Asuransi Kendaraan Bermotor
[8] Walpole, R. E., Myres, R. H. 2011, Probabilty and Statistics for Engineer and Scientist
9th Edition. Boston: Prentice Hal
549
Prosiding SNM 2017 Matematika Keuangan dan Aktuaria, Hal 549-556
PERHITUNGAN PREMI DALAM ASURANSI JIWA
KREDIT DENGAN MENGGUNAKAN PRINSIP PRESENT
VALUE OF FUTURE BENEFIT (PVFB)
RIAMAN1, F. SUKONO
2, SUDARTIANTO
3, EMAN LESMANA
4,
DAN AGUS SUPRIATNA5
1 Dep. Matematika Universitas Padjadjaran, Bandung, email: [email protected]
2 Dep. Matematika Universitas Padjadjaran, Bandung, email: [email protected]
3 Dep. Statistika Universitas Padjadjaran, Indonesia, email: [email protected] 4 Dep. Matematika Universitas Padjadjaran, Indonesia, email: [email protected]
5 Dep. Matematika Universitas Padjadjaran, Indonesia, email: [email protected]
Abstrak. Pada makalah ini akan dibahas masalah perhitungan premi tunggal
bersih dan premi kotor dalam asuransi jiwa kredit. Perhitungan dilakukan
menggunakan perhitungan nilai manfaat di masa mendatang atau Present
Value of Future Benefit (PVFB). Berdasarkan prinsip nilai kesetaraan, dengan
menghitung nilai PVFB, diperoleh premi tunggal bersih yang besarnya sama
dengan nilai PVFB tersebut. Sedangkan perhitungan premi bruto akhir
diperoleh dengan membagi premi tunggal bersih dengan rasio kerugian yang
diizinkan (permisible loss ratio). Semakin tua usia peminjam dan semakin
lama jangka waktu peminjaman, maka semakin besar pula premi yang harus
dibayarkan pemberi pinjaman.
Kata kunci: asuransi jiwa kredit, premi tunggal bersih, premi kotor, PVFB, nilai
ekivalen.
1. Pendahuluan
Dalam menjalani kehidupan, manusia selalu dihadapi dengan dua sisi yang
berjalan bersamaan, yaitu keuntungan dan risiko. Keuntungan diperoleh karena
suatu hal buruk atau risiko yang mungkin akan terjadi di masa depan dapat
diantisipasi. Sedangkan risiko selalu ada karena ketidaktahuan kita atas kondisi
yang akan terjadi di masa depan. Setiap manusia pasti akan selalu berusaha
menciptakan ketenangan dalam hidupnya dengan mengantisipasi risiko yang akan
terjadi. Dalam kondisi tersebut, perusahaan asuransi hadir untuk menjembatani hal
tersebut, di mana seseorang dapat mengalihkan risiko yang akan dihadapinya pada
perusahaan asuransi. Walaupun banyak metode untuk menangani risiko, namun
asuransi merupakan bentuk perlindungan yang paling banyak dipakai. Asuransi
menjanjikan perlindungan kepada pihak tertanggung terhadap risiko yang dihadapi
perorangan maupun risiko yang dihadapi perusahaan [1].
550
Berbagai macam produk asuransi ditawarkan pada saat ini, di antaranya
adalah asuransi jiwa kredit. Asuransi jiwa kredit merupakan proteksi yang
diberikan pihak asuransi (selaku penanggung) kepada bank (selaku tertanggung)
atas risiko kegagalan debitur dalam melunasi fasilitas kredit atau pinjaman tunai
(cash loan) seperti kredit modal kerja, kredit perdagangan dan lain-lain yang
diberikan oleh bank. Kredit merupakan usaha paling utama dalam kegiatan
perbankan karena pendapatan terbesar dari usaha bank berasal dari pendapatan
kegiatan usaha kredit yang berupa bunga dan provisi [5]. Oleh karena itu, kalangan
perbankan mendesak pemerintah untuk membentuk lembaga penjamin kredit
perbankan untuk menunjang usaha kredit tersebut. Dalam hal ini, asuransi kredit
hadir sebagai penunjang kegiatan tersebut. Perusahaan asuransi akan mengikatkan
diri pada pihak tertanggung, dengan menerima premi asuransi untuk memberikan
penggantian kepada perusahaan asuransi karena kerugian yang diderita oleh pihak
tertanggung. Premi merupakan biaya yang dibayar oleh pihak tertanggung kepada
perusahaan asuransi untuk risiko yang ditanggungnya. Pembayaran premi oleh
pihak tertanggung yang dilakukan pada setiap periode tertentu sesuai dengan
produk asuransi yang dibeli, akan menjamin tertanggung untuk mendapatkan
pertanggungan ketika mengajukan klaim atas risiko yang di alaminya. Tarif premi
yang dibayarkan setiap tertanggung akan berbeda-beda bergantung pada kasus dan
keadaan masing-masing tertanggung.
2. Hasil – Hasil Utama
Perhitungan premi bersih dalam asuransi jiwa kredit ini dilakukan dengan prinsip Present Value of Future Benefits (PVFB). Pada perhitungan ini, jumlah Premi Tunggal Bersih (PTB) yang harus dibayarkan pihak tertanggung pada pihak asuransi sama dengan nilai PVFB yang diperoleh.
(1)
Selain premi tunggal bersih dihitung juga premi kotor. Besarnya Premi Kotor (PK) dihitung dengan menggunakan persamaan berikut.
1 ( )
PTBPK
rasiobiaya
1 ( )
PTBPK
L
(2)
dengan:
qx = peluang seorang yang berusia x tahun akan meninggal sebelum mencapai x+1 tahun.
v = nilai sekarang dari Rp 1 yang dilakukan 1 tahun
L = persentase biaya-biaya
Biaya-biaya yang dimasukkan dalam perhitungan, terdiri atas biaya uji kesehatan, biaya akuisisi, dan biaya pemeliharaan yang dapat dilihat dalam Tabel 1.
551
Tabel 1. Biaya-biaya Hipotetik
Jenis Biaya Tahun Pertama Tahun berikutnya
per polis per Rp 1000 per polis per Rp 1000
Uji Kesehatan Rp22,15 0,9
Akuisisi Rp20,93 0,21
Pemeliharaan Rp22,12 0,05 Rp22,12 0,05
Jumlah Rp65,20 1,16 Rp22,12 0,05
Sumber : Diolah dari data pemegang Polis Asuransi
Berdasarkan tabel di atas, maka biaya pada tahun pertama asuransi adalah Rp 66,36
dan untuk tahun berikutnya total biaya ditambah Rp 22,17, dan seterusnya sampai
pada masa asuransi berakhir. Oleh sebab itu, dengan menggunakan biaya-biaya
tersebut, dapat dihitung rasio biaya, yaitu:
1
m
t
t
total
L
RBL
(3)
dengan:
Pada makalah ini, perhitungan premi tunggal bersih dan premi kotor dilakukan
dalam dua jenis asuransi jiwa kredit, yaitu asuransi jiwa kredit ekawaktu dan
asuransi jiwa kredit cicilan bulanan. Pada asuransi jiwa kredit ekawaktu, besar
penangguhan yang diberikan pihak asuransi kepada pihak tertanggung (kreditur)
saat terjadi kegagalan pembayaran kredit oleh debitur,sesuai dengan besar
pinjaman awal yang diberikan kreditur pada debitur. Oleh sebab itu, besar benefit
pada perhitungan premi dalam produk asuransi jiwa kredit ini sama setiap
bulannya, maka besar premi tunggal bersih (PTB) dapat dirumuskan sebagai
berikut:
1
. .n
j x
j
PTB b q v
(4)
Satuan waktu yang digunakan dalam perhitungan ini adalah dalam satuan bulan
karena periode pembayaran kredit yang dilakukan debitur setiap bulan. Oleh
karena itu, merupakan nilai diskonto bunga untuk satu tahun, maka nilai diskonto
bunga dikonversi ke dalam bulan, menjadi:
1
. .12
n
j x
j
vPTB b q
1
1. .
12
n
j x
j
PTB b q v
552
1
1
1. .
12
xnx
j xj x
d vb
l v
1
1. .
12
nx
j
j x
Cb
D
Benefit dalam perhitungan ini, besarnya sama setiap bulannya, maka dapat
dirumuskan:
1
( . . )12
x
x
CPTB n b
D (5)
Sedangkan untuk premi kotor (PK) dirumuskan:
1 ( )
PTBPK
L
1( . . )
12
1 ( )
x
x
Cn b
DPK
L
(6)
Pada perhitungan premi kotor ini, biaya-biaya dihitung sesuai tahun masa asuransi
debitur masing-masing. Satuan biaya ( adalah dalam tahun. Hal ini dikarenakan
biaya-biaya yang dihitung dibebankan pertahun masa asuransi debitur. Biaya-biaya
(uji kesehatan, komisi, dan akuisisi) dibebankan hanya di tahun pertama masa
asuransi debitur, kecuali biaya pemeliharaan yang dibebankan pada setiap tahun
selama masa asuransi debitur, dirumuskan menjadi:
1
1( . . )
12
1 ( )
x
x
m
t
t
total
Cn b
DPK
L
L
(7)
dengan:
benefit setiap bulan (sama dengan besar pinjaman awal)
= peluang seorang yang berusia tahun akan meninggal sebelum mencapai
tahun.
1x x x
x
x x
l l dq
l l
,, x
x
x
x
x dvdiC 1)1()1( , dan
x
x
x
x
x viD )1(
= nilai sekarang dari 1 yang dilakukan 1 tahun kemudian
; dengan merupakan tingkat bunga per tahun.
persentase beban/biaya–biaya pada tahun ke- masa asuransi.
Pada asuransi jiwa kredit cicilan bulanan, besar penangguhan yang diberikan pihak
asuransi kepada pihak tertanggung (kreditur) saat terjadi kegagalan pembayaran
kredit oleh debitur sesuai dengan besar sisa pinjaman yang gagal dikembalikan
oleh kreditur pada debitur. Oleh sebab itu, besar benefit pada perhitungan premi
dalam produk asuransi jiwa kredit ini semakin menurun setiap bulannya, maka
553
besar premi tunggal bersih (PTB) dapat dirumuskan:
1
. .n
j x
j
PTB b q v
(8)
dengan:
Satuan waktu yang digunakan dalam perhitungan skripsi ini adalah dalam satuan
bulan karena periode pembayaran kredit yang dilakukan debitur setiap bulan. Oleh
karena itu, dikarenakan nilai merupakan nilai diskonto bunga untuk satu tahun,
maka nilai diskonto bunga dikonversi ke dalam bulan, menjadi:
1
. .12
n
j x
j
vPTB b q
1
1. .
12
n
j x
j
PTB b q v
1
1
1. .
12
xnx
j xj x
d vb
l v
1
1.
12
nx
j
j x
Cb
D
(9)
Sedangkan untuk premi kotor (PK) dirumuskan:
1 ( )
PTBPK
L
1
1( . )
12
1 ( )
nx
j
j x
Cb
DPK
L
(10)
Perhitungan premi kotor ini pada jenis asuransi ini, sama seperti asuransi jiwa
kredit ekawaktu, biaya–biaya dihitung sesuai tahun masa asuransi debitur masing-
masing, maka satuan biaya ( dalam perhitungan ini adalah dalam tahun. Hal ini
dikarenakan biaya-biaya yang dihitung dibebankan pertahun masa asuransi debitur.
Pada makalah ini dilakukan perhitungan premi tunggal bersih dan premi kotor
dalam asuransi jiwa kredit ekawaktu dan asuransi jiwa kredit cicilan bulanan
selama periode 2011. Langkah-langkah perhitungan yang dilakukan penulis
disajikan berikut ini, dilakukan untuk perhitungan premi tunggal bersih dan premi
kotor dalam asuransi jiwa kredit. Tingkat bunga(i) diasumsikan sebagai bunga
tetap. Besarnya bunga yang digunakan dalam perhitungan ini didasarkan pada
besarnya bunga yang digunakan pada tabel CSO 1980, yaitu sebesar 7% per tahun,
. Sedangkan untuk biaya-biaya diasumsikan berdasarkan pada
Tabel 1, yaitu berdasarkan pada biaya-biaya hipotetik pada Teknik Pengelolaan
Asuransi Jiwa.
Berdasarkan data, diketahui maksimal lama peminjaman yang diajukan oleh
debitur adalah 4 tahun ( ), sehingga biaya yang dikeluarkan pada setiap
tahunnya adalah:
554
Rasio biaya (RB) untuk di tiap tahunnya adalah:
untuk : 1 66,36
398,46total
LRB
L
0,166541183RB
untuk : 2 66,36 22,17
398,46total
LRB
L
0,222180394RB
untuk : 3 66,36 22,17 22,17
398,46total
LRB
L
0,277819605RB
untuk : 4 66,36 22,17 22,17 22,17
398,46total
LRB
L
0,333458816RB
Perhitungan premi tunggal bersih dihitung menggunakan persamaan (5) dan premi
kotor menggunakan persamaan (7)
Contoh perhitungan:
Berdasarkan data, diketahui data debitur:
USIA PINJAMAN ANGSURAN T Cx Dx Cx/Dx
20 Rp6.500.000 Rp270.833 24 5.124,529 2.520.660,3 0,002033
Perhitungan premi tunggal bersih dengan menggunakan persamaan (5)
1( . . )
12
x
x
CPTB n b
D , maka:
1(24)(6.500.000)(0,002033)
12PTB
26.429PTB
Perhitungan premi kotor dengan menggunakan persamaan (7)
1
1( . . )
12
1 ( )
x
x
m
t
t
total
Cn b
DPK
L
L
26.429
1 0,222180394PK
33.978,31PK
Jadi, premi tunggal bersih dan premi kotor yang harus dibayarkan pihak
tertanggung untuk debitur berusia 20 tahun dengan besar pinjaman Rp
6.500.000,00 dan lama peminjaman 24 bulan masing-masing adalah Rp 26.426,00
dan Rp 33.978,31. Besar uang pertnggungan yang diberikan pihak asuransi kepada
pihak tertanggung saat terjadi kegagalan pelunasan kredit oleh debitur pada periode
555
berapapun saat masa asuransi adalah sebesar pinjaman awal yang diberikan pihak
bank kepada debitur.
Asuransi Jiwa Kredit Cicilan Bulanan, perhitungan premi tunggal bersih
dihitung menggunakan rumus (9) dan premi kotor menggunakan rumus (10).
Contoh perhitungan:
Berdasarkan data, diketahui data debitur:
USIA PINJAMAN ANGSURAN T Cx Dx Cx/Dx
68 Rp500.000 Rp100.000 5 2.401,64 67.626,56 0,035513
Perhitungan premi tunggal bersih dengan menggunakan persamaan (9)
1
1.
12
nx
j
j x
CPTB b
D
1(0,035513)(500.000 400.000 300.000 200.000 100.000)
12PTB
1(0,035513)(1.500.000)
12
4.439,125
Usia (x
tahun)
Bulan
Debitur (j)
Sisa
Angsuran(bj)
PTB =
68 1 500.000 0,035513
2 400.000 0,035513 1.183,767
3 300.000 0,035513 887,825
4 200.000 0,035513 591,883
5 100.000 0,035513 295,942
TOTAL 4.439,125
Perhitungan premi kotor dengan menggunakan persamaan (10)
1
1( . )
12
1 ( )
nx
j
j x
Cb
DPK
L
4.439,125
1 (0,166541183)PK
5.326,148PK
Lama pinjaman adalah 5 bulan, maka biaya yang dibebankan adalah biaya 1 tahun
karena perhitungan biaya dihitung per tahun masa asuransi debitur. Jadi, premi
tunggal bersih dan premi kotor yang harus dibayarkan pihak tertanggung untuk
debitur berusia 68 tahun dengan besar pinjaman Rp500.000, besar angsuran
Rp100.000 per bulan dan lama peminjaman 5 bulan masing-masing adalah
Rp4.439,125 dan Rp5.326,148.
Semakin besar usia debitur dan semakin lama jangka waktu peminjaman kredit
556
yang diberikan pihak bank, maka semakin besar premi yang harus dibayarkan
pihak tertanggung (bank). Selain itu, besar uang pertanggungan yang diberikan
pihak asuransi kepada pihak tertanggung saat terjadi kegagalan pelunasan kredit
oleh debitur pada suatu periode saat masa asuransi adalah sebesar sisa pinjaman
pada periode tersebut yang belum dilunasi/dibayarkan pihak debitur kepada pihak
bank.
3. Kesimpulan
Kesimpulan yang diperoleh dari hasil penelitian ini adalah :
1. Perhitungan premi tunggal bersih (net single premium) dilakukan dengan
teknik perhitungan nilai Present Value of Future Benefit (PFVB) sesuai dengan
prinsip nilai ekivalen.
2. Perhitungan premi kotor (gross single premium) dilakukan dengan membagi
premi tunggal bersih dengan rasio kerugian yang diizinkan (permisible loss
ratio). Semakin lama jangka waktu peminjaman dan semakin besar usia
debitur, maka semakin besar juga premi yang harus dibayarkan pihak
tertanggung (kreditur).
Referensi
[1] Achdijat, D. 2009. Prinsip-Prinsip Aktuaria Asuransi Jiwa (Online),
(http://elearning.gunadarma.ac.id/docmodul/prinsip_prinsip_aktuaria_asuransi_jiwa/,
diakses 21 Desember 2011).
[2] Achdijat, D. 2009. Teknik Pengelolaan Asuransi Jiwa (Online),
(http://elearning.gunadarma.ac.id/docmodul/teknik_pengolahan_asuransi_jiwa/,diakses
21 Desember 2011).
[3] Bowers, N. L., et.al. 1997. Actuarial Mathematics (2nd ed.). United States of America:
The Society of Actuaries.
[4] Futami, T. 1993. Matematika Asuransi Jiwa 1. Tokyo: Incorporated Foundation
Oriental Life Insurance Cultural Development Center.
[5] PT. Jasa Aktuaria, Pensiun, dan Asuransi. 1984. Pengantar Aktuaria, Dana Pensiun.
Jakarta: Direktur Jenderal Moneter Dalam Negeri
557
Prosiding SNM 2017 Matemat ika Keuangan dan Aktuar ia , Hal 557 -564
PREMI KOTOR SEMI CONTINUOUS ASURANSI
DWIGUNA SINGLE LIFE MULTIPLE DECREMENT
DENGAN TINGKAT BUNGA VASICEK
ACHMAD ZANBAR SOLEH1, LIENDA NOVIYANTI
2, DAN
CAHYADI RUSNANDAR3
1. Departemen Statistika FMIPA Unpad, [email protected]
2. Departemen Statistika FMIPA Unpad, [email protected]
3. Departemen Statistika FMIPA Unpad, [email protected]
Abstrak. Rumusan besaran-besaran aktuaria dari sebuah produk asuransi jiwa
melibatkan tiga elemen penting yakni tingkat bunga aktuaria, biaya-biaya, dan tabel
penyusutan populasi (decrement). Formulasi premi kotor pada penelitian ini
merupakan pengembangan dari Larson (1962) dan Bowers (1997) untuk produk
asuransi jiwa dwiguna single life multiple decrement dengan mengasumsikan tingkat
bunga stokastik melalui model Vasicek dan melibatkan biaya operasional diluar premi
bersih yang telah ditetapkan. Selain itu perumusan premi kotor menggunakan
ketentuan semi continuous premium yang mengharuskan pemegang polis membayar
premi kotor setiap awal periode (bulanan, semesteran, atau tahunan) untuk
mendapatkan manfaat proteksi dari setiap kejadian di masa depan tepat sesaat setelah
terjadinya decrement. Selain itu apabila pemengang polis tidak mengalami decrement
apapun selama periode asuransi maka perusahaan asuransi berkewajiban
mengembalikan sejumlah dana kepada pemegang polis sesuai dengan perjanjian yang
tertuang dalam polis asuransi. Simulasi perhitungan premi kotor produk asuransi
dwiguna ini ditetapkan pada seseorang berusia x tahun dengan tabel decrement diskrit.
Kata kunci: Single life multiple decrement, semi continuous premium, vasicek
1. Pendahuluan
Jenis asuransi jiwa yang banyak dikembangkan dalam penjualan produk
asuransi adalah dwiguna. Produk ini memberikan dua manfaat pada pemegang
polis yakni saat pemegang polis meninggal dan manfaat lainnya saat pemegang
polis masih hidup saat tahun ke-n [1]. Salah satu daya tarik seseorang untuk
membeli sebuah produk asuransi jiwa adalah banyaknya jenis layanan klaim yang
ditawarkan. Penelitian ini mengembangkan produk asuransi jiwa dwiguna dengan
beberapa penyebab seseorang dapat melakukan klaim yang selanjutnya dinamakan
produk Asuransi Jiwa Dwiguna Single Life Multiple Decrement (DSLMD). Produk
DSLMD bersifat individual yang artinya perusahaan asuransi hanya memberikan
proteksi kepada satu orang individu saja dengan manfaat yang diberikan dibedakan
berdasarkan penyebabnya (decrement) yang bersifat mutually exclusive (artinya
setiap decrement saling independen dan klaim dicairkan perusahaan akibat
decrement yang pertama kali diajukan). Selain itu, produk ini juga diberikan
manfaat lainnya jika tertanggung hidup sampai dengan akhir masa asuransi.
558
Besaran aktuaria yang penting diketahui untuk memasarkan produk
asuransi jiwa DSLMD adalah premi. Premi merupakan dana yang dibayarkan
pemegang polis kepada perusahaan asuransi sebagai modal untuk membayar klaim
di kemudian hari. Rumusan premi dari sebuah produk asuransi jiwa melibatkan tiga
elemen penting yakni tingkat bunga aktuaria, biaya-biaya, dan tabel penyusutan
populasi (decrement). Premi yang dibayarkan pemegang polis kepada perusahaan
asuransi (premi kotor) akan digunakan untuk membayar manfaat akibat klaim dari
pemegang polis dan juga membayar setiap biaya yang dikeluarkan perusahaan
asuransi untuk kepentingan akuisisi tahun pertama, biaya pemeliharaan polis, biaya
komisi agen dan biaya lain-lain. Dengan kata lain premi kotor merupakan
penjumlahan dari premi bersih dengan biaya.
Produk asuransi jiwa DSLMD bersifat long term (jangka panjang) n tahun
sehingga penentuan premi akan sangat dipengaruhi oleh faktor diskon yang
bergantung pada nilai tingkat bunga. Tingkat bunga konstan tidak mencerminkan
fenomena keuangan yang bersifat dinamis. Sehingga untuk menanggulangi hal
tersebut digunakan tingkat bunga stokastik yang diharapkan memberikan
pendekatan teori lebih akurat dalam menggambarkan fenomena perubahan yang
terjadi dari nilai bunga aktuaria.
Model tingkat suku bunga stokastik pada penelitian ini adalah Vasicek.
Model suku bunga Vasicek memperhitungkan fenomena mean reverting yakni
fenomena jika bunga terlalu tinggi maka dia akan bergerak turun mendekati rata-
rata tingkat bunga dan sebaliknya jika bunga terlalu rendah maka dia akan bergerak
naik ke arah rata-ratanya. Dengan kata lain, tingkat bunga hanya bergerak pada
range terbatas dan akan konvergen pada rata-ratanya untuk waktu yang semakin
lama. Hal ini penting untuk diperhatikan dalam menentukan besarnya premi kotor
yang harus dibayarkan pemegang polis pada perusahaan asuransi baik untuk
proteksi decrement maupun untuk menanggulangi setiap biaya yang harus
dikeluarkan perusahaan setiap periode waktunya.
Hal lain yang perlu diperhitungkan dalam penentuan premi adalah tata cara
pembayaran premi yang bersifat diskrit yakni dibayarkan setiap awal tahun dan tata
cara pembayaran klaim; apakah dibayarkan saat seseorang mengalami decrement
atau ditunda hingga akhir tahun. Penelitian ini memilih pembayaran manfaat klaim
tepat saat pemegang polis mengajukan klaim akibat suatu decrement dengan
pembayaran premi setiap awal tahun (sifat semi continous premium [1])
berdasarkan tabel decrement. Transformasi perhitungan premi tunggal bersih dari
bentuk diskrit ke bentuk kontinu dilakukan pada penelitian ini dikarenakan
penggunaan tabel decrement yang bersifat diskrit.
Berdasarkan informasi di atas maka tujuan dari penelitian ini adalah
merumuskan premi kotor yang dibayarkan flat oleh pemegang polis setiap
tahunnya dengan memperhitungkan biaya dan tingkat bunga stokastik yang
didasarkan pada tabel decrement.
2. Hasil – Hasil Utama
2.1 Model Vasicek
Pada tahun 1977, Oldrick Vasicek memperkenalkan model suku bunga
abrigate yaitu Vasicek. Abrigate adalah suatu transaksi dimana dua buah asset
559
yang sama dijual dengan harga yang berbeda pada waktu yang sama sehingga
memungkinkan untuk memperoleh keuntungan tanpa adanya investasi. Atau
dengan kata lain, abrigate model memungkinkan menghasilkan keuntungan tanpa
risiko. Vasicek mengusulkan model suku bunga free-risk berikut, dimana r(t)
berdasarkan Stochastic Differential Equation (SDE) (Cairns [2]).
= (1)
dengan adalah perubahan tingkat suku bunga per satuan tahun, adalah
tingkat suku bunga pada saat t, adalah drift factor, menunjukkan
rata-rata tingkat suku bunga dalam jangka panjang (mean reversion level),
merupakan kecepatan tingkat suku bunga pada saat t, adalah volatilitas dari
tingkat suku bunga jangka pendek dan adalah proses wiener dan , , > 0.
Pada Persamaan (1) terdapat ukuran laju atau kecepatan perubahan tingkat
bunga yang disebut drift yaitu . Apabila maka drift akan
bernilai negatif dan artinya tingkat bunga akan menurun menuju nilai equilibrium
nya. Begitupun sebaliknya terjadi ketika (Zeytun dan Gupta [6]).
Dengan mengintegralkan persamaan Vasicek pada Persamaan (1) dari u
hingga t diperoleh rumus sebagai berikut :
t (2)
t (3)
Jika , maka Persamaan (3) menjadi :
(4)
Dengan menghitung ekspektasi dari bentuk integral pada Persamaan (4) dan
ekspektasi dari integral Ito adalah nol, maka diperoleh :
, (5)
sehingga didapatkan rata-rata dan varians dari berturut-turut sebagai berikut :
dan (6)
(7)
Jika , maka untuk setiap t. Dan jika , maka
. Hal ini membuktikan sifat mean reversion, yaitu jika t
menunjukkan waktu jangka panjang maka rata-rata dari tingkat suku bunga akan
menuju mean reversion level.
Estimasi parameter dari persamaan [1] dengan metode MLE
dapat dilakukan dengan memaksimumkan fungsi log-likelihood terhadap
parameternya dengan cara:
, (8)
Karena penyelesaian optimal dari fungsi parameter log-likelihood tersebut tidak
560
dapat diselesaikan secara eksplisit maka digunakan suatu metode optimasi
algoritma Nelder-Mead Simplex.
Setelah dilakukan estimasi parameter model Vasicek, tahap selanjutnya ialah
menentukan tingkat suku bunga model Vasicek dengan simulasi tingkat suku
bunga secara diskrit. Metode yang digunakan dalam simulasi ini ialah Metode
Milstein yang merupakan merupakan pengembangan Lemma Ito berdasarkan deret
Taylor. Metode ini digunakan untuk memperoleh solusi numerik dari persamaan
diferensial stokastik. Simulasi ini didasarkan pada proses Wiener dengan
membangkitkan sederetan variabel acak berdistribusi normal yang menyatakan
proses Wiener di waktu t yang diskrit.
2.2 Premi Tahunan Bersih Semi Continuous Produk Asuransi DSLMD
Produk asuransi jiwa DSLMD merupakan gabungan dari asuransi jiwa
berjangka dan asuransi jiwa pure endowment. Asuransi ini akan memberikan
manfaat jika pemegang polis meninggal dunia dalam masa asuransi (n tahun) atau
memberikan manfaat pada akhir tahun ke-n jika pemegang polis masih hidup
sampai n tahun masa asuransi.
Misalkan manfaat yang akan diberikan oleh produk DSLMD berdasarkan
pada empat penyebab (multiple decrement) berikut ini:
1. yaitu pembayaran santunan keluarga diberikan jika tertanggung
meninggal dunia bukan karena kecelakaan sebesar 100% Uang
Pertanggungan (UP).
2. yaitu pembayaran santunan keluarga diberikan jika tertanggung
meninggal dunia karena kecelakaan sebesar 200% Uang Pertanggungan
(UP).
3. yaitu pembayaran santunan keluarga diberikan jika tertanggung
mengalami cacat total karena kecelakaan sebesar 100% Uang Pertanggungan
(UP).
4. yaitu pembayaran santunan keluarga berupa biaya rawat inap yang akan
diberikan jika tertanggung mengalami suatu kecelakaan sebesar 10% Uang
Pertanggungan (UP).
Selain itu akan diberikan manfaat lainnya sebesar 100% Uang Pertanggungan (UP) jika tertanggung hidup sampai dengan akhir masa asuransi. Perumusan premi tunggal bersih dari produk asuransi jiwa DSLMD adalah sebagai berikut:
(9)
dengan
dan diperoleh berdasarkan model Vasicek
561
: Peluang seseorang yang berumur tahun akan meninggal bukan
karena kecelakaan sebelum mencapai usia .
: Peluang seseorang yang berumur tahun akan meninggal karena
kecelakaan sebelum mencapai usia .
: Peluang seseorang yang berumur tahun akan mengalami cacat total
sebelum mencapai usia .
: Peluang seseorang yang berumur tahun akan mengalami rawat inal
karena kecelakaan sebelum mencapai usia .
: Peluang seseorang berusia x tidak mengalami decrement apapun sampai
dengan usia x+k
Seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya bahwa produk ini akan
memberikan manfaat decrement tepat sesaat setelah tertanggung mengalami suatu
decrement maka perumusan premi tunggal bersihnya diperoleh dari transformasi
premi tunggal bersih bentuk diskrit menjadi premi tunggal bersih bentuk kontinu
dengan menggunakan asumsi UDD (Uniform Distribution Death) berikut ini [2].
. (10)
Dalam menentukan premi tahunan maka perlu diketahui bagaimana ketentuan cicilan preminya selama masa asuransi agar dapat dihitung anuitas hidupnya. Pada produk DSLMD ini jenis anuitas hidup yang digunakan adalah anuitas awal berjangka n tahun. Jenis anuitas hidup tersebut adalah anuitas dengan pembayaran sebesar Rp 1 satuan yang dilakukan pada tiap awal periode selama jangka waktu n tahun dimana pembayaran premi bergantung kepada hidup matinya seseorang dan akan dihentikan jika sudah melewati n tahun meskipun orangnya masih hidup. Sesuai dengan tingkat bunga bergerak model Vasicek; (r(t)) yang telah dirumuskan sebelumnya maka anuitas hidup awal tahun adalah sebagai berikut:
(11)
Selanjutnya, premi tahunan bersih untuk produk DSLMD bentuk semi kontinu;
adalah sebagai berikut :
(12)
562
2.3 Premi Tahunan Kotor Semi Continuos Produk Asuransi DSLMD
Misalkan biaya-biaya yang terlibat dalam perhitungan premi kotor adalah
biaya akuisisi tahun pertama ( ) yang berlaku hanya pada tahun pertama
pembayaran premi saja, selanjutnya biaya pemeliharaan polis ( ) berlaku selama
masa pembayaran premi, biaya lain-lain ( ) yang berlaku selama masa
pembayaran premi, dan biaya komisi agen ( ) yang berlaku hanya pada tahun
pertama pembayaran premi. Adapun asumsi besaran biaya adalah sebagai berikut:
Biaya akuisisi tahun pertama ( ) : 5 ‰ UP
Biaya pemeliharaan polis ( ) : 2 ‰ UP.
Biaya lain-lain ( ) : 5 % G.
Biaya komisi agen ( ) : 14% G
dengan G menyatakan Premi kotor (G) yang dirumuskan sebagai penjumlahan
premi bersih dengan biaya. Sehingga G dapat dituliskan kembali menjadi:
G = Premi bersih tunggal + + ( . ) + ( . G . ) + 14% G (13)
Dengan melakukan perhitungan secara aljabar maka Persamaan (13) menjadi
Persamaan (14) berikut ini.
(14)
Selanjutnya dengan mengsubstitusikan persamaan (10) dan persamaan (11) ke
persamaan (14) maka diperoleh premi kotor tahunan dari produk DSLMD semi
kontinu adalah sebagai berikut.
(15)
2.4 Simulasi Perhitungan Premi Kotor Semi Continuous
Produk Asuransi DSLMD
Misalkan awal tahun 2016 seorang pemegang polis berusia 35 tahun
membeli produk Asuransi Jiwa DSLMD dengan masa proteksi 10 tahun dan uang
pertanggungan Rp50.000.000,00. Selanjutnya akan dihitung besar premi yang
harus dibayarkan tertanggung secara flat selama 10 tahun dengan
563
mempertimbangkan adanya biaya-biaya dalam polis serta tingkat suku bunga
stokastik dengan model Vasicek.
Dengan menggunakan algoritma Nelder-Mead Simplex diperoleh estimasi
parameter dari r(t) untuk model Vasicek; , dan berturut-turut adalah sebesar
0.9082, 0.0709 dan 0.0360. Berdasarkan nilai estimasi parameter tersebut diperoleh
tingkat suku bunga diskrit model Vasicek dari tahun 2016 sampai dengan tahun
2026 seperti pada Tabel 1 untuk selanjutnya digunakan dalam menghitung besar
premi kotor produk asuransi DSLMD.
Tabel 1. Hasil Simulasi tingkat bunga konstan dan Vasicek
berdasarkan Suku Bunga Bank Indonesia
Tabel 1 di atas memberikan informasi mengenai pergerakan tingkat bunga pada tahun 2016 adalah sebesar 7,79% lebih tinggi nilainya apabila menggunakan tingkat bunga konstan yakni sebesar 7,50%. Selain itu angka tingkat bunga akan digunakan dalam perhitungan faktor diskon; yang sangat mempengaruhi besaran premi kotor yang harus dibayarkan tertanggung disetiap awal tahun.
Tabel 2. Besaran Aktuaria untuk seseorang berusia 35 tahun
Dengan masa proteksi 10 tahun
Perhitungan premi bersih tahunan menggunakan Persamaan (12) menginformasikan bahwa besar premi tahunan (flat selama 10 kali pembayaran) yang akan digunakan untuk memproteksi pemegang polis dari setiap decrement adalah sebesar Rp3.402.436,07 per tahun untuk bunga stokastik model Vasicek dan Rp3.249.610,96 per tahun untuk bunga konstan. Premi bersih tahunan dengan bunga stokastik model Vasicek lebih besar dari bunga konstan. Dengan menggunakan Persamaan (15) juga diperoleh informasi bahwa premi kotor tahunan
564
yang harus dibayarkan dengan bunga Vasicek lebih besar daripada dengan menggunakan bunga konstan. Namun demikian penggunaan model Vasicek dapat membantu perusahaan asuransi dalam mengestimasi nilai uang pada masa yang akan datang dengan fenomena yang dinamis yakni berubah-ubah nilainya setiap tahun.
3. Kesimpulan
Perhitungan premi kotor tahunan semi continuous dari produk asuransi
DSLMD dengan pendekatan bunga stokastik model Vasicek memberikan kepastian
secara probabilistik kepada perusahaan asuransi jiwa atas pergerakan nilai bunga
yang berubah-ubah setiap waktunya. Model Vasicek baik digunakan dalam
mengestimasi nilai bunga untuk produk asuransi jiwa yang bersifat long term.
Dengan demikian penggunakan tingkat bunga Vasicek menjadi suatu pertimbangan
bagi perusahaan asuransi jiwa yang selama ini masih menggunakan tingkat bunga
aktuaria bernilai konstan dalam menetapkan premi yang harus dibayarkan
pemegang polis setiap tahunnya.
Referensi
[1] Bowers, Newton L., 1997, Actuarial Mathematics, The Society of Actuaries.
[2] Cairns, Andrew J. G., 2004, Interest Rate Models An Introduction, Princeston
University Press : United States of America.
[3] Futami, Takashi, 1994, Matematika Asuransi Jiwa Bagian I,
Incorporated Foundation, Jepang.
[4] Larson, Robert E., Gaumnitz, Erwin A., 1962, Life Insurance Mathematics,
New York. John Wiley & Sons, Inc. London
[5] Ross, S.M., 1983, Stochastics Processes, Berkeley : John Wiley & Sons, Inc. [6] Zeytun dan Gupta. 2007. A Comparative Study of the Vasicek and the CIR Model of
the Short Rate. Berichte des Fraunhofer ITWM, Nr. 124
565
ALJABAR-ANALISIS
SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA 2017
566
Prosiding SNM 2017
Al jabar -Anal is is , Hal 566 -585
PENYAJIAN KODE GENETIK STANDAR DALAM
RUANG BERDIMENSI ENAM BERDASARKAN BASA
KUAT NUKLEOTIDA
RIYAN ADRIYANSYAH1, ISAH AISAH
2, EDI KURNIADI
3
1 Departemen Matematika FMIPA UNPAD,[email protected]
2 Departemen Matematika FMIPA UNPAD,[email protected]
3 Departemen Matematika FMIPA UNPAD,[email protected]
Abstrak.Setiap sel organisme mengandung materi genetik yang dapat
mewariskan sifat kepada keturunannya. Materi genetik ini dikenal sebagai gen
yang terdapat dalam kromosom di dalam nukleus.Komponenpenyusunutama
gen adalah DNA (Deoxyribonucleic Acid). DNA berperandalammembentuk
RNA (Ribonuclueic Acid).
Kode genetik standar adalah bahasa pengkodean gen dalam tubuh untuk
menghasilkan asam amino. Kode genetik standar juga merupakan pasangan
triplet dari basa-basa nitrogen dalam RNA. Jika basa-basa nitrogen dalam
RNA dihimpun kedalam himpunan maka pasangan triplet dari
basa tersebut merupakan .
Selanjutnya dengan pencocokan , , , dan
maka himpunan ini merupakan ruang vektor atas ℤ dan juga
isomorfik dengan ℤ . Tiga himpunan yang memuat semua partisi
membentuk grup kuosien, dengan bantuan software …Grup Kusien ini dapat
direpresentasikan sebagai hypercube enam dimensi sehingga diperoleh 24
penyajian kode genetik standar. Dalam makalah ini hanya akan disajikan
representasinya berdasarkan klasifikasi basa kuat nukleotida.
Kata kunci: Kode Genetik Standar, Grup Euclidean, Transformasi Geometri, Grup
Ortogonal.
1. Pendahuluan
1.1 Latar Belakang Masalah
Setiap sel organisme mengandung materi genetik yang dapat mewariskan
sifat kepada keturunannya. Materi genetik ini dikenal sebagai gen yang terdapat
dalam kromosom di dalam nukleus. Dalam gen tersebut terdapat sebuah kode
genetik yang menentukan sifat suatu organisme.
Komponen penyusun utama gen adalah DNA (Deoxyribonucleic Acid).
DNA ini terdapat di dalam sebuah inti sel dalam makhluk hidup. DNA berperan
dalam membentuk RNA (Ribonuclueic Acid). RNA ini bertugas untuk membentuk
protein. Proses ini dinamakan sintesis protein. Sintesis protein berlangsung dalam
suatu sel makhluk hidup. Molekul pembentuk DNA adalah gula pentosa
(deoksiribosa), fosfat ( ), basa nitrogen yang terdiri dari purin (guanin (G) dan
567
adenine (A)) serta pirimidin (timin (T) dan sitosin (C)). Karena DNA membentuk
RNA maka molekul pembentuk RNA sama dengan DNA hanya berbeda pada jenis
basa pirimidinnya saja yaitu urasil (U) dan sitosin (C) [7].
Kode genetik standar merupakan hasil pemikiran para ilmuwan biologi
pada masanya sebagai suatu penyajian gen yang disesuaikan dengan kebutuhan
tubuh manusia akan protein. Protein ini dihasilkan dari terjemahan rantai kode
triplet yang dibawa oleh RNA. Kode triplet ini dibentuk dari basa – basa nitrogen
yang dimiliki oleh RNA yaitu G,A,U, dan C sehingga banyak dari kode triplet
adalah buah. Kode triplet ini menjadi bahasa pengkodean dalam gen dan
kode triplet ini disebut kode genetik standar.
Dalam struktur aljabar, kode genetik ini dapat disajikan dalam ruang
berdimensi tiga berdasarkan pencocokan kumpulan basa nitrogen dalam RNA.
Pertama himpunan N dalam RNA dicocokan dengan himpunan
ℤ ℤ [1]. Kedua himpunan N dapat dicocokan
dengan himpunan ℤ ℤ [5]. Setelah proses
pencocokan, himpunan N tersebut membentuk lapangan Galois empat unsur yang
dinotasikan dengan GF(4), sehingga dengan transformasi geometri yang
bersesuaian, NNN adalah himpunan semua 64 kodon yang dapat disajikan ke
dalam ruang berdimensi tiga [5].
Dalam hal lain, himpunan NNN dapat disajikan ke dalam ruang berdimensi
enam. Hal ini dapat dilakukan karena himpunan NNN membentuk struktur yang
isometrik dengan hypercube ℤ [5]. Pada penelitian ini hanya akan ditampilkan
representasi Kode Genetik Standar sebagai Hypercube dimensi enam berdasarkan
klasifikasi basa kuat nukleotida
2. Hasil – Hasil Utama
Definisi 2.1. [6] Diberikan dengan dan adalah lapangan. Grup
Ortogonal adalah
Definisi 2.2. [2]Diberikan adalah lapangan dan adalah grup ortogonal.
Grup Euclidean adalah
Definisi 2.3 [4] Misalkan bilangan bulat prima dan bilangan bulat positif,
maka lapangan yang terdiri dari unsur adalah lapangan galois dan dinotasikan
.
Definisi 2.4. [4]Misal dikatakan ruang vektor atas lapangan jika adalah
grup abelian terhadap operasi penjumlah dan untuk setiap dan
didefinisikan sebuah unsur dan memenuhi kondisi berikut:
1.
2.
568
3.
4.
Untuk setiap dan di mana 1 mewakili unsur satuan di di bawah
operasi perkalian.
Definisi 2.5.[5] Untuk setiap fungsi komposisi dengan bentuk disebut
transformasi affine dengan adalah transformasi linear dari suatu ruang vektor
dan adalah translasi yang bersesuaian dengan vektor .
.
2.1 Penyajian Enam Dimensi Kode Genetik Standar
Himpunan ℤ merupakan lapangan, sehingga himpunan yang dibentuk
oleh ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ merupakan ruang vektor atas
lapangan ℤ . Himpunan ℤ memiliki basis standar yaitu ,
, , , , dan
. Akibatnya, dimensi dari himpunan ℤ adalah enam.
Himpunan ℤ biasa disebut hypercube enam dimensi.
Seperti yang telah dijelaskan dalam Subbab 2.2.1 bahwa himpunan
dapat dicocokan dengan himpunan ℤ ℤ yaitu , , , dan . Akibatnya himpunan menjadi grup terhadap penjumlahan.
Selanjutnya juga, himpunan kode genetik standar mempunyai struktur yang
isomorfik dengan himpunan ℤ , sehingga himpunan merupakan ruang
vektor atas lapangan ℤ . Dengan demikian, basis standar dari adalah
, , , , , dan
dan dimensi dari himpunan adalah enam, sehingga
terbentuklah hypercube enam dimensi dari himpunan .
Gambar 2.1. Gambar Hypercube enam dimesi dari himpunan NNN
569
2.2 Grup Euclidean ℤ
Himpunan ℤ merupakan lapangan, sehingga dapat dibentuk himpunan
ℤ yang merupakan grup ortogonal. Selanjutnya seperti yang telah dijelaskan
pada subbab 2.4 tentang grup Euclidean, bahwa grup Euclidean memerlukan suatu
grup ortogonal, sehingga dapat dibentuk suatu himpunan baru yaitu
ℤ ℤ ℤ
Sifat 2.6. Himpunan ℤ merupakan subgrup dari grup affine ℤ . Bukti. Misalkan ℤ dan ℤ
. Grup affine ℤ adalah semua
transformasi affine ℤ ℤ
dengan , untuk setiap ℤ
. Karena ℤ merupakan subset dari ℤ , maka ℤ merupakan
subset dari ℤ . Berdasarkan Tabel 4.1. ℤ merupakan grup terhadap
perkalian. Akibatnya, ℤ merupakan subgrup dari ℤ .
Himpunan isomorfik terhadap ℤ . Akibatnya setiap unsur dari
ℤ yaitu akan memberikan transformasi affine untuk himpunan .
Transformasi affine dari didefinisikan oleh :
, untuk setiap .
Anggota dari himpunan ℤ adalah
dan
, serta anggota dari
ℤ ℤ adalah , , , dan . Sehingga anggota dari ℤ
adalah
,
,
,
,
,
,
, dan
.
Berdasarkan Tabel Cayley bahwa setiap unsur di himpunan ℤ
tertutup dan asosiatif terhadap perkalian, memiliki identitas terhadap perkalian di
ℤ yaitu
, dan setiap unsur di ℤ memiliki invers terhadap
perkalian yaitu,
570
Sehingga menurut definisi ℤ adalah grup terhadap perkalian.
2.3 Tiga Himpunan yang Memuat Semua Partisi Berdasarkan Sifat Kimia
Nukleotida
Berdasarkan sifat kimia nukleotida, tiga himpunan yang memuat semua
partisi yang digunakan adalah himpunan
dan . Untuk himpunan pertama yaitu
mempartisi himpunan berdasarkan klasifikasi basa kuat nukleotida yang
membentuk tiga ikatan hidrogen dan basa lemah nukleotida yang
membentuk dua ikatan hidrogen . Untuk himpunan kedua yaitu
mempartisi berdasarkan klasifikasi kimia nukleotida yaitu amino nukleotida
dan keto nukleotida . Himpunan ketiga yaitu mempartisi
berdasarkan jenis basa nukleotida pirimidin dan purin .
2.4 Penyajian Kode Genetik Standar Berdasarkan Basa Kuat Nukleotida
Berikut akan disajikan penyajian kode genetik standar secara aljabar
berdasarkan yang telah dipaparkan sebelumnya beserta
penyajian geometri hypercube dari himpunan .
Pencocokan awal adalah urutan yang akan dikaitkan dengan
himpunan . Dalam himpunan ini matriks yang digunakan untuk transformasi
awal adalah matriks
atau
Dengan memilih matriks
sebagai transformasi awal sehingga urutan akan tetap menjadi
. Selanjutnya dengan menggunakan unsur dari grup Euclidean ℤ
yaitu
,
,
,
,
,
, dan
pada
pengurutan awal akan dihasilkan , , ,
, , , , dan . Sehingga ada
delapan perubahan pengurutan berdasarkan .
Perubahan pertama dilakukan dengan unsur grup Euclidean yang pertama
yaitu
terhadap pengurutan awal . Sesuai dengan
pencocokan sebelumnya yaitu dan
sehingga didapat transformasi sebagai berikut,
Untuk perubahan basa
571
Untuk perubahan basa
Untuk perubahan basa
Untuk perubahan basa
Sehingga pencocokan awal tidak mengalami perubahan oleh transformasi
.
Dengan menggunakan bantuan program yang dibuat dengan visual studio
2012 dan Geogebra 5.0 dapat dilihat perubahan secara geomerti dalam ruang
berdimensi enam.
Berikut adalah gambar geometri dari perubahan oleh transformasi
dalam ruang berdimensi enam melalui dua kubus atau empat
dimensi yang dapat dipandang sebagai subset dari hypercube .
Gambar 2. 2. Perubahan menjadi
Perubahan kedua dilakukan dengan unsur grup Euclidean yang pertama
yaitu
terhadap pengurutan awal .
Untuk perubahan basa
Untuk perubahan basa
572
Untuk perubahan basa
Untuk perubahan basa
Sehingga pencocokan awal mengalami perubahan oleh transformasi
yaitu menjadi .
Berikut adalah gambar geometri dari perubahan oleh transformasi
dalam ruang berdimensi enam melalui dua kubus atau empat
dimensi yang dapat dipandang sebagai subset dari hypercube .
Gambar 2. 3. Perubahan menjadi
Selanjutnya, dengan hal yang sama maka perubahan yang dihasilkan
dengan unsur Euclidean
,
,
,
,
, dan
secara berurut menjadi
, , , , , dan .
Berikut adalah gambar geometri dari perubahan oleh transformasi
,
,
,
,
, dan
secara berurut dalam ruang berdimensi enam
melalui dua kubus atau empat dimensi yang dapat dipandang sebagai subset dari
hypercube .
573
Gambar 2.4. Perubahan menjadi
Gambar 2.5. Perubahan menjadi
Gambar 2.6. Perubahan menjadi
574
Gambar 2.7. Perubahan menjadi
Gambar 2.8. Perubahan menjadi
575
Gambar 2.9. Perubahan menjadi
Untuk lebih jelasnya berikut adalah 8 penyajian kode genetik standar
dalam bentuk tabel.
Tabel Penyajian Kode Genetik Standar dalam Aljabar
Partisi Matriks Unsur ℤ Perubahan Pengurutan
576
3. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan sebelumnya, dapat diambil kesimpulan bahwa
dengan pencocokan himpunan dengan himpunan ℤ ℤ , maka himpunan
membentuk struktur ruang vektor biner atas lapangan ℤ dan isomorfik
dengan ℤ yang bisa disebut dengan hypercube enam dimensi.
Himpunan ℤ merupakan subgrup dari grup affine ℤ . Sehingga
unsur dari ℤ dapat memberikan transformasi affine terhadap himpunan .
Selanjutnya dengan himpunan grup Euclidean ℤ beserta tiga himpunan yang
memuat semua partisi serta matriks dimana ketiga matriks tersebut
adalah anggota dari grup ℤ maka diperoleh 8 penyajian hypercube enam
dimensi yang berbeda dan dengan software Visual Studio 2012 dan
GeoGebra 5.0 dapat membantu melihat visualisasinya secara geometri.
Referensi
[1] A.Jimenez Montano, M., la, C. R., Basanez, M., & Poschel, T. (1996). On the
Hypercube Structure of the Genetic Code. World Scientific, 445. [2] Baez, J. (2008). The Euclidean Group.
[3] Birkhoff, G. (2012). The Orthogonal and Euclidean Group. In A Survey of Modern
Algebra (p. 272). New York: Macmillan Publishing Co., inc.
[4] Galian, J. A. (2010). Contemporary Abstract Algebra (7nd ed.). USA.
[5] Jose, M. V., R.Morgado, E., Sanchez, R., & Govezensky, T. (2012). The 24
Possible Algebraic Representation of the Standard Genetic Code in Six or Three
Dimensions. Advanced Studies in Biology, 119-152..
[6] Procesi, C. (2006). Orthogonal and Symplectic Groups. In S. Axler, & K. Ribet
(Eds.), Lie Groups An Approach Through Invariants and Representations (p. 117).
North America: Spinger.
[7] Rachmawati, F., Urifah, N., & Wijayati, A. (2009). Materi Genetik. In Erminawati
(Ed.), Biologi (pp. 42-53). Jakarta: Pusat Perbukuan.
577
Prosiding SNM 2017 Aljabar-Analisis, Hal 577-583
INTEGRAL MONTE CARLO
EDDY DJAUHARI
Departemen Matematika FMIPA Universitas Padjajaran
Jalan Raya Bandung-Sumedang Km 21 Tlp/Fax 022-7794696, Jatinangor, 45363
Email : [email protected]
Abstrak: Nilai eksak dari integral tentu seringkali tidak bisa diperoleh karena antiderivatif dari fungsi
yang diintegralkan seringkali tidak bisa diperoleh. Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk
mencari nilai hampiran dari integral tentu tersebut secara numerik. Dalam makalah ini penulis
membahas salah satu metode yaitu Integral Monte Carlo. Metode ini memanfaatkan distribusi
seragam U (0,1) dan menggunakan hukum bilangan besar sebagai landasan teori.
Kata kunci : Teorema Dasar Kalkulus II, Pengintegralan Numerik, Distribusi Seragam, Hukum
Bilangan Besar.
1. Pendahuluan
Menurut Teorema Dasar Kalkulus II ([I]), jika suatu fungsi f kontinu pada suatu
selang tertutup [a,b] dan F adalah suatu antiderivatif dari f pada [a,b
Tetapi terdapat banyak integral tentu yang tidak dapat dicari bila menggunakan
Teorema Dasar Kalkulus karena anti derivatif dari fungsi yang akan diintegralkan,
yaitu F(x) tidak dapat ditentukan. Contohnya, jika fungsi yang diintegralkan
adalah,
Untuk mengatasi masalah ini digunakan pengintegralan numerik. Dengan
pengintegralan numerik nilai integral yang diperoleh merupakan nilai hampiran.
Ada beberapa metode yang umum digunakan misalnya metode trapesium dan
metode Simpson. Berikut ini dibahas metode lain yang dapat dipakai untuk
mencari nilai hampiran dari integral tentu yakni metode Integral Monte Carlo.
578
2. Landasan Teori
Integral Monte Carlo memanfaatkan distribusi seragam U dan Hukum
Bilangan Besar (The Law of Large Numbers).
Distribusi Seragam U(0,1) ([3])
U
Jadi tidak
lain adalah integral dari pada interval [0,1]. Sedangkan ekspektasi
Integral tentu dari suatu fungsi dengan , tidak lain adalah nilai
ekspektasi dari fungsi tersebut.
Nilai integral tentu dari suatu fungsi g(x) untuk 0 < x < 1 dapat dihampiri dengan
nilai rata-rata dari
g( U
Dalam perhitungan integral tentu yang batas – batas pengintegralannya bukan
[0,1], dilakukan transformasi sehingga batas pengintegralannya menjadi [0,1].
Untuk itu perhatikan kasus-kasus berikut :
maka diperoleh :
Sehingga diperoleh :
579
Pertama definisikan fungsi baru yaitu
Hukum Bilangan Besar ( The Law of Large Numbers ) : ([3])
Misalkan suatu sampel acak berukuran n dari suatu distribusi yang
mempunyai mean dan variansi
dengan U
Teknik Meminimumkan Galat
Salah satu teknik untuk mengurangi galat dalam hasil perhitungan dengan
menggunakan metode ini adalah sebagai berikut :
Sampel acak yang akan digunakan sebagai acuan dalam menghitung integral tentu,
misal berasal dari X ~ U(0,1), dibagi ke dalam dua bagian, dimana setengah
bagian pertama merupakan sampel yang dibangkitkan dari U(0,1), misalkan ,
i=1,2,3,... dan setengah yang lain nilainya adalah 1 - dan ini merupakan sampel
acak dari U(0,1) juga. Dengan menggunakan teknik ini terlihat bahwa galat yang
dihasilkan dari metode ini relatif kecil. Seperti terlihat pada contoh 1.
580
3. Contoh Perhitungan
Berikut adalah contoh-contoh perhitungan integral tentu dengan menggunakan
Integral Monte Carlo. Semua perhitungan dikerjakan dengan menggunakan
MATLAB.
Hukum Bilangan Besar :
Jika diambil nilai n yang cukup besar. Prosedur perhitungannya adalah sebagai
berikut :
1. Bangkitkan nilai sampel dengan cara: bangkitkan 10.000 nilai sampel
, dimana 5.000 nilai sampel , i=1,2,..., 5000 dibangkitkan dari sampel
acak U(0,1), sedangkan 5.000 nilai sampel
dibangkitkan dari 1- .
2. Hitung nilai f( . Untuk contoh no. (1) berturut-turut diambil
3. Hitung nilai dari
.
Dipilih replikasi 1000 (percobaan dilakukan 1000 kali, kemudian diambil nilai
rata-ratanya).
Hasil perhitungan adalah sebagai berikut :
581
Tabel 1. Hampiran integral tentu menggunakan Integral Monte Carlo
Nilai Hampiran 0.3333 0.3413
Menggunakan Teorema Dasar Kalkulus II, diperoleh nilai eksak :
Prosedur perhitungan :
1. Bangkitkan 10.000 nilai sampel ( dimana 5.000 nilai sampel
dibangkitkan dari sampel acak U(0,1), sedangkan
5.000 nilai sampel
dibangkitkan dari Kemudian bangkitkan nilai sampel
dari dari sampel acak U(0,1), sedangkan 5000 nilai sampel
dibangkitkan dari .
2.
582
Dipilih replikasi 1000. Hasil perhitungan adalah sebagai berikut :
Contoh 3 : Dibuat Tabel Normal (0,1) dengan menggunakan Integral Monte Carlo.
Pada tabel tersebut akan dihitung nilai dari
untuk nilai n yang cukup besar, dengan sampel acak yang dibangkitkan dari
U(0,1).
Dengan mengambil n = 10.000 dan replikasi = 360 diperoleh hasil sebagai
berikut :
Tabel 2. Tabel normal (0,1)
Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
0.0 0 0.004 0.008 0.012 0.016 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359
0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753
0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.091 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141
0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.148 0.1517
0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.17 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879
0.5 0.1915 0.195 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.219 0.2224
0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2356 0.2389 0.2421 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549
0.7 0.258 0.2611 0.2642 0.2673 0.2703 0.2734 0.2764 0.2793 0.2823 0.2852
0.8 0.2881 0.291 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3105 0.3132
0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3314 0.3339 0.3364 0.3389
1.0 0.3413 0.3437 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621
1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3707 0.3728 0.3749 0.3769 0.379 0.381 0.3829
1.2 0.3849 0.3868 0.3887 0.3906 0.3925 0.3943 0.3961 0.3979 0.3997 0.4014
1.3 0.4032 0.4049 0.4065 0.4082 0.4098 0.4114 0.413 0.4146 0.4162 0.4177
1.4 0.4192 0.4207 0.4221 0.4236 0.425 0.4264 0.4278 0.4292 0.4305 0.4318
583
1.5 0.4331 0.4344 0.4357 0.4369 0.4382 0.4394 0.4406 0.4417 0.4429 0.444
1.6 0.4452 0.4463 0.4473 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4544
1.7 0.4554 0.4563 0.4572 0.4581 0.459 0.4599 0.4608 0.4616 0.4624 0.4632
1.8 0.464 0.4648 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4685 0.4692 0.4699 0.4706
1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.475 0.4756 0.4762 0.4767
2.0 0.4773 0.4778 0.4783 0.4789 0.4794 0.4799 0.4803 0.4808 0.4813 0.4817
2.1 0.4822 0.4826 0.4831 0.4835 0.4839 0.4843 0.4847 0.4851 0.4855 0.4858
2.2 0.4862 0.4865 0.4869 0.4872 0.4876 0.4879 0.4882 0.4885 0.4888 0.4891
2.3 0.4894 0.4897 0.49 0.4903 0.4905 0.4908 0.491 0.4913 0.4915 0.4918
2.4 0.492 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4933 0.4935 0.4937 0.4939
2.5 0.4941 0.4942 0.4944 0.4946 0.4947 0.4949 0.4951 0.4952 0.4954 0.4955
2.6 0.4957 0.4958 0.496 0.4961 0.4962 0.4964 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968
2.7 0.4669 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4978 0.4979
2.8 0.4979 0.498 0.4981 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4986 0.4987
2.9 0.4987 0.4988 0.4989 0.4989 0.499 0.4991 0.4991 0.4992 0.4992 0.4993
3.0 0.4993 0.4994 0.4994 0.4995 0.4995 0.4996 0.4996 0.4997 0.4997 0.4998
4. Simpulan
Integral Monte Carlo merupakan salah satu metode alternatif yang dapat dipilih
untuk mencari nilai hampiran dari integral tentu. Ada beberapa keuntungan dari
metode ini :
1. Perhitungan dengan metode ini relatif lebih mudah dibandingkan
dengan metode Trapesium dan metode Simpson.
2. Dapat digunakan untuk mencari hampiran dari integral tentu dari
fungsi lebih dari satu peubah. Seperti terlihat pada contoh 2 di atas.
3. Nilai hampiran yang diperoleh relatif cukup baik, asal dipilih n yang
cukup besar (bandingkan tabel normal yang diperoleh dengan tabel
normal pada [2]).
Daftar Pustaka
[1] Edwin J.Purcell, Dale.Varberg. 2012, Calculus and Analytic Geometri , ed.,Prentice
Hall
[2] George G.Judge and friends. 2008, Introduction to the Theory and Practice of
Econometrics.
[3] Hogg, R.V ., and Craig. 2011, Introduction to Mathematical Statistics, ed. .
Macmillan.
.
584
Prosiding SNM 2017 Aljabar-Analisis, Hal 584-592
KEKONVERGENAN BARISAN di
SUSILO HARTOMO, MUKTIARI, KIKI A SUGENG
Program Studi Magister Matematika,Universitas Indonesia,
[email protected], [email protected], [email protected]
Abstrak Barisan bilangan real adalah suatu fungsi yang didefinisikan di himpunan
dengan daerah hasil di himpunan berupa bilangan real. Setiap bilangan real
yang terkait dalam barisan disebut suku atau elemen dari barisan. Elemen-elemen dari
barisan dinotasikan dengan adalah bilangan asli . Jadi, jika
adalah suatu barisan, maka dapat dituliskan dengan notasi ( atau ).
Berdasarkan arah kencenderungan anggota dari barisan bilangan real, terdapat barisan
konvergen dan divergen. Barisan di dikatakan konvergen ke , atau
dikatakan limit dari , jika untuk terdapat bilangan real sehingga untuk
setiap , elemen memenuhi . Jika barisan mempunyai limit, dikatakan
barisan konvergen dan jika tidak mempunyai limit, dikatakan barisan divergen. Dalam
penelitian ini akan dibahas sifat baru dari barisan, yaitu jika dimisalkan di
mana setiap barisan adalah barisan yang konvergen ke nilai yang sama
misalkan , maka barisan atau bisa dituliskan yaitu barisan norm dari suku-
suku barisan dengan indeks yang sama dari setiap barisan maka akan konvergen
ke .
Kata kunci: Barisan, Konvergen, Norm.
1. Pendahuluan
Salah satu cabang dari analisis matematika yang paling popular adalah analisis
yang membahas himpunan bilangan real dan fungsi-fungsi dalam bilangan real.
Analisis real bagian dari ilmu kalkulus yang membahas bilangan real lebih
mendalam yang memuat konsep barisan, limit, kekontinuan, turunan, integral, dan
barisan dari fungsi-fungsi.
Pembahasan analisis real pada tingkat lanjut dimulai dengan pembuktian sederhana
mengenai teori dasar himpunan, pendefinisian konsep-konsep fungsi secara jelas
dengan memperhatikan keruntutan pola pikir, dan mengenalan konsep bilangan-
bilangan asli dan pentingnya teknik pembuktian salah satunya menggunakan
induksi matematika dengan menggunakan definisi, aksioma, lema atau teorema.
Konsep kekonvergenan, sebagai dasar analisis, diperkenalkan melalui limit dan
barisan. Beberapa konsep yang mengatur proses menghitung limit yang dapat
diturunkan, dan beberapa limit barisan yang menuju kesuatu nilai tertentu. Suatu
barisan dapt dikenali melalui jumlah anggotanya, apakah barisan tersebut berheti di
585
suatu angka tertentu atau disebut barisan berhingga dan barisan yang tidak
mempunyai anggota tak berujung atau disebut barisan tak hingga. Dalam hal ini
selain membahas barisan dibahas juga tentang deret, deret adalah penjumlahan
suku-suku dari barisan. Macam-macam dari konsep deret yang dibahas diantanya
deret tak hingga, yang merupakan barisan yang khusus, deret pangkat yang
digunakan untuk mendefinisikan dengan jelas beberapa fungsi yang penting,
seperti fungsi eksponensial dan fungsi-fungsi trigonometri. Beberapa tipe penting
dari subhimpunan bilangan real, seperi himpunan-himpunan terbuka, himpunan-
himpunan tertutup, himpunan-himpunan kompak, dan sifat-sifatnya dijelaskan
kemudian.
Konsep mengenai kekontinuan kemudian dapat dijelaskan menggunakan limit.
Hasil jumlah, kali, komposisi, dan bagi dari fungsi-fungsi yang kontinu adalah
fungsi yang kontinu juga, dan teorema nilai tengah. Kemudian, integrasi (Riemann
dan Lebesgue) dan pembuktian teorema dasar kalkulus dapat dilakukan, dengan
menggunakan teorema nilai tengah.
Konsep-konsep tersebut sangat berguna untuk menunjang dalam mempelajari ide
dari kekontinuan dan kekonvergenan dengan lebih abstrak, supaya dapat
memperhitungkan ruang dari fungsi-fungsi. Konsep-konsep tersebut untuk
menganalisi konsep seperti kekompakan, kelengkapan, ketersambungan,
kekontinuan yang seragam, keterpisahan, peta Lipschitz, peta kontraktif, dapat
didefinisikan dan diperiksa.
Pada makalah ini akan dibahas pengembangan konsep pada barisan bilangan real di
ruang dimensi . Akan dicoba mengembangkan kosep dari teori tetang barisan
konvergen dalam suatu himpunan. Dalam hal ini dibahas tentang teori Bilangan
real, Barisan, Barisan Fungsi, Konvergenan.
Suatu barisan adalah kumpulan bilangan yang disusun menurut pola tertentu. Suatu
barisan pada bilangan real adalah suatu fungsi pada himpuan bilangan asli
dengan range-nya (daerah hasilnya) dalam . Dengan kata lain barisan pada
memasangkan setiap bilangan asli ke suatu bilangan real. Bilangan
real yang diperoleh disebut nilai dari barisan. Umumnya suatu bilangan real yang
dipasangkan ke suatu bilangan dinotasikan . Sedangkan barisan
dinotasikan sebagai .
Teori Barisan Konvergen sampai saat ini terus dikembangkan baik menurut teori
ataupun dalam penerapan didunia nyata. Pengembangan konsep dari definisi,
586
teorema, aksioma, dan lema yang sudah ada dapat dikembangkan untuk
terbentuknya teorema baru yang dapat menunjang dalam ilmu Pendidikan terutama
dalam Matematikan yaitu pokok bahasan Analisis real. Dalam makalah ini dicoba
mengembangkan terbentuknya sifat baru dengan bantuan konsep-konsep yang
sudah ada dalam Barisan konvergen di ruang bilangan real.
2. Tinjauan Pustaka
Barisan konvergen
Definisi 2.1.1. [1, 4]: Barisan bilangan real (barisan di ) adalah fungsi yang
mendefinisikan himpunan bilangan asli (bilangan di yang
memetakan anggota himpunan bilangan real .
Dengan kata lain, urutan di menunjukan keanggotaan dari setiap bilangan asli
yang ditentukan secara unik (tunggal) atau dapat dinyatakan jika
adalah barisan bilangan real maka dapat dinotasikan .
Definisi 2.1.2. [1, 2, 4]: Diberikan suatu barisan , suatu bilangan
real dikatakan limit dari barisan yang dapat ditulis
, jika untuk sebarang bilangan positif terdapat suatu
bilangan asli sedemikain hingga untuk semua bilangan asli dengan
berlaku . Jika merupakan limit dari barisan maka dikatakan
konvergen ke . Jika barisan tidak mempunyai nilai limit maka dikatakan
barisan tersebut divergen.
Teorema 2.1.3. [1]: Diberikan adalah barisan bilangan real, dan
mengikuti sifat-sifat berikut secara equivalent (saling berhubungan)
barisan yang konvergen ke
Untuk seitan maka ada bilanga asli K sehingga untuk semua
memenuhi sehingga .
Untuk seitan maka ada bilanga asli K sehingga untuk semua
memenuhi sehingga .
Untuk setiap persekitaran disebut dari , maka ada bilangan asli
K sehingga untuk semua , memenuhi yang berada di
Barisan terbatas
Definisi 2.2.1. [1, 4]: Barisan dari bilangan real dikatakan terbatas
(terbatas atas dan terbatas bawah) jika ada bilangan sehingga
587
untuk setiap . Dengan kata lain, barisan terbatas jika hanya jika
himpunan terbatas pada .
Teorema 2.2.2. [1, 4]: Setiap barisan yang konvergen adalah barisan terbatas
Teorema 2.2.3. [1, 2, 4]: Jika dan dua barisan yang masing-
masing konvergen ke dan maka mengikut pernyataan:
1. barisan konvergen ke ,
2. barisan konvergen ke
3. barisan konvergen ke .
Pembuktian Teorema 2.2.3. bagian 2
Jika konvergen ke dan konvergen ke , maka
konvergen ke .
Bukti:
Karena konvergen maka ia terbatas, yaitu ada sehingga
untuk setiap . Ambil . Karena dan
maka untuk yang diberikan terdapat dan sehingga
untuk setiap dan
untuk setiap . Jadi
untuk setiap } diperoleh
Jadi .
Maka konvergen ke .
Norm
Misalkan V suatu ruang vektor atas F (real atau kompleks).
Suatu fungsi ||•||: V → R disebut norm vektor jika untuk semua x, y berlaku,
Definisi 2.3.1. [2]
a.
b. jika dan hanya jika
c. untuk semua c F
d.
588
Definisi 2.3.2. [2]:
Misalkan V suatu ruang vektor atas F (real atau kompleks).
Suatu fungsi :V ×V → F disebut perkalian dalam jika berlaku,
a.
b. = 0, jika dan hanya jika
c. = +
d. = c untuk semua
e. =
Dari sifat-sifat diatas dapat dilihat terdapat kemiripan sifat yang dipenuhi oleh
norm dan perkalian dalam yang mengakibatkan diperoleh sifat berikut.
Akibatnya [2]:
Jika menyatakan suatu perkalian dalam di ruang vektor V berdimensi atas
F maka
memenuhi sifat norm.
Ada beberapa contoh norm yang diketahui, seperti norm matrik, norm vektor dan
norm di ruang-ruang yang lain. Pada makalah ini akan membahas tentang norm
vektor.
3. Hasil dan Pembahasan
Berikuti ini dibahas sifat baru dari norm barisan, yaitu jika dimisalkan
di mana setiap barisan adalah barisan yang
konvergen ke nilai yang sama misalkan , maka barisan norm yaitu barisan
norm dari suku-suku barisan dengan indeks yang sama dari setiap barisan
akan konvergen ke . Sebelum dibahas Teorema terkait,
terlebih dahulu diberikan Lema berikut.
Teorema 3.1. Misalkan himpunan barisan-barisan di yang
konvergen ke .
Jika didefinisikan sebagai:
, maka
barisan dari , konvergen ke .
Bukti:
589
konvergen ke ,
konvergen ke ,
=
konvergen ke ,
Norm adalah
Akan ditunjukkan bahwa barisan Norm atau yang dinotasikan dengan
yaitu akan konvergen ke .
( 2+ + 2)
Karena
maka
.
Menurut Teorema 2.2.3. bagian 2.
Jika konvergen ke dan konvergen ke , maka konvergen ke
.
590
Maka Karena konvergen ke maka atau barisan konvergen ke
jadi konvergen
, maka
diperoleh:
Jadi terbukti , maka barisan .
4. Kesimpulan
Dari penelitian ini, dapat diambil kesimpulan:
Untuk himpunan barisan yang merupakan himpunan dari
barisan-barisan di ruang yang konvergen ke suatu nilai tertentu, maka ada
barisan
atau
dinotasikan akan konvergen ke .
Daftar Pustaka
1. Bartle,R. G. “The Elements of Real Analysis. Second edition. 1964”.
Department of Mathematics, University of lllionis. New York.
2. Bartle, R. G and Donald D. S. “Introduction to Real Analysis. Third edition.
2000”. University of lllionis. New York
3. Gozali, S. M. “Norm Vektor dan Norm Matriks”. Makalah. Universitas
Pendidikan Indonesia diunduh dari
http://file.upi.edu/direktori/fpmipa/jur._pend._matematika/197411242005011-
sumanang_muhtar_gozali/norm_vektor_dan_norm_matriks.pdf
4. John K. Hunter. “An introduction to Real Analysis, 2014”. Departement of
Mathematics, University of Calivornia at Davis
591
Lampiran
Akan diberikan ilustrasi penerapan sifat baru yang telah dibuktikan dalam
makalah yang telah dibahas yaitu akan diberikan sebuah himpunan yang
berisi barisan dari sebuah fungsi sebanyak buah barisan. Setiap barisan
dari barisan fungsi tersebut konvergen ke suatu nilai tertentu misal . Maka
menurut sifat baru, apabila dibentuk suatu barisan baru dengan
menggunakan sifat norm dimana
,
maka barisan tersebut akan konvergen ke
Contoh:
Diberikan suatu himpunan barisan
. Ketiga barisan
( ) tersebut masing-masing konvergen ke (
,akan ditunjukkan
bahwa barisan norm akan konvergen ke
. Untuk
ilustrasi lihat tabel berikut:
misal maka
592
1 1 -0.66667 -1.00 1.563471920 2 -0.125 -0.57143 -0.53 0.791580733 3 -0.33333 -0.54545 -0.51 0.817407325 4 -0.40625 -0.53333 -0.50 0.838710924 5 -0.44 -0.52632 -0.50 0.850070806 6 -0.45833 -0.52174 -0.50 0.856412636 7 -0.46939 -0.51852 -0.50 0.860184154 8 -0.47656 -0.51613 -0.50 0.862548545 9 -0.48148 -0.51429 -0.50 0.864093457 10 -0.485 -0.51282 -0.50 0.865135866 11 -0.4876 -0.51163 -0.50 0.865856820 12 -0.48958 -0.51064 -0.50 0.866364848 13 -0.49112 -0.5098 -0.50 0.866727701 14 -0.49235 -0.50909 -0.50 0.866989155 15 -0.49333 -0.50847 -0.50 0.867178334 16 -0.49414 -0.50794 -0.50 0.867315110 17 -0.49481 -0.50746 -0.50 0.867413338 18 -0.49537 -0.50704 -0.50 0.867482866 19 -0.49584 -0.50667 -0.50 0.867530809 20 -0.49625 -0.50633 -0.50 0.867562382
1000 -0.5 -0.50013 -0.50 0.866096731 1001 -0.5 -0.50012 -0.50 0.866096666
Konvergen
ke
Dari tabel di atas, terlihat barisan konvergen ke
.
.
593
Prosiding SNM 2017 Aljabar -Anal is is , Hal 593 -601
EMPAT METODE PEMBENTUKAN FUNGSI
LYAPUNOV
RUKMONO BUDI UTOMO
Universitas Muhammadiyah Tangerang
Email: [email protected]
Abstrak. Dalam penelitian ini dijelaskan empat metode pembentukan Fungsi Lyapunov
untuk menentukan kestabilan global dari suatu Sistem Persamaan Diferensial (SPD). Keempat
metode tersebut antara lain Metode First Integral, Metode Bentuk Kuadratik (Metode
Krasovski), Metode Zubov dan Metode Khalil. Dalam penelitian ini dijelaskan teknik
pembentukan fungsi Lyapunov berdasarkan SPD yang diketahui dengan menggunakan
keempat metode yang dikaji dalam penelitian ini.
Kata kunci: Fungsi Lyapunov, First Integral, Krasovski, Zubov, Khalil.
1. Pendahuluan
Dalam suatu Sistem Persamaan Diferensial (SPD) yang simultan, analisis
kestabilan yang biasanya dilakukan adalah analisis kestabilan lokal disekitar titik
kesetimbangan. Analisis kestabilan lokal biasanya dilakukan dengan melakukan
linearisasi disekitar titik kesetimbangan dari SPD nonlinear. Kestabilan lokal dari
sistem tersebut dapat dilihat berdasarkan nilai eigen. Nilai eigen negatif
menujukkan titik kesetimbangan stabil asimtotis sebaliknya nilai eigen positif
menunjukkan titik kesetimbangan tersebut tidak stabil. Nilai eigen imajiner
konjugat menunjukkan bahwa titik kesetimbangannya tersebut stabil asimtotis
dengan face potrait spiral sedangkan nilai eigen imajiner murni menunjukkan
bahwa titik kesetimbangan tersebut stabil dengan face potrait sentral. Nilai eigen
riil berbeda tanda menunjukkan titik kesetimbangan tersebut tidak stabil dengan
face potrait pelana.
Analisis kestabilan secara global sangat sulit ditentukan karena harus mencoba
banyak titik dalam domain D untuk diselidiki kestabilannya. Salah satu cara
menentukan kestabilan global adalah dengan Fungsi Lyapunov. Fungsi Lyapunov
ditemukan oleh matematikawan Rusia bernama Alexander Mikhailovich
Lyapunov. Kestabilan sistem menurut Lyapunov yakni apabila dapat ditemukan
suatu fungsi v x yang definit positif sedemikian hinga 0v x , maka suatu
sistem dikatakan stabil asimtotis. Apabila nilai 0v x , maka sistem stabil,
sebaliknya apabila 0v x , maka sistem tidak stabil. [1]
Untuk menentukan Fungsi Lyapunov tidaklah mudah. Apabila dilakukan
dengan cara Trial and Eror maka selain memerlukan waktu yang lama, fungsi yang
dihasilkan juga belum tentu merupakan Fungsi Lyapunov, sekalipun Fungsi
594
Lyapunov sendiri tidaklah tunggal. Dengan demikian diperlukan suatu Trick agar
dapat mengkonstruksi Fungsi Lyapunov itu sendiri. Trick ini penting agar dapat
mencermati suatu SPD dan dengan karakteristik SPD tersebut dapat dengan mudah
dikonstruksi Fungsi Lyapunov.
Makalah ini menguraikan cara membentuk Fungsi Lyapunov yang diuraikan dalam
empat metode, yakni metode First Integral, Krasovski, Zubov dan Khalil. Metode
First Integral dapat digunakan apabila SPD yang diberikan memungkinkan
dilakukan proses pengintegralan. Fungsi Lyapunov yang dicari tak lain merupakan
hasil dari pengintegralan SPD tersebut. Metode Krasovski atau Metode bentuk
kuadratik dapat dilakukan apabila SPD tidak memungkinkan untuk dilakukan
pengintegralan, karena ada kalanya meskipun memungkinkan dilakukan
pengintegralan, namun hasil pengintegralan tersebut sulit ditemukan. Berdasakan
hal tersebut diperlukan metode lain untuk mencari Fungsi Lyapunov salah satunya
dengan Metode Krasovski.
Untuk mencari Fungsi Lyapunov dengan Metode Krasovski, sistem yang diberikan
perlu dilakukan linierisasi terlebih dahulu. Tujuan dari Linierisasi tersebut adalah
mencari bentuk Linierisasi Jakobian j x . Setelah mendapatkan Linierisasi
Jakobian j x , kemudian dicari matriks q x yang didefinisikan dengan
tq x pj x j x p yang merupakan kriteria penentuan kestabilan SPD
berdasarkn Fungsi Lyapunov itu sendiri. Apabila q x merupkan suatu fungsi
yang definit negatif, maka SPD stabil asimtotis, sebaliknya tidak stabil.
Berdasarkan hal tersebut Fungsi Lyapunov itu sendiri berdasarkan metode
Krasovski tidak ditampilkan secara eksplisit[2].
Fungsi Lyapunov yang dicari dengan metode Zubov dilakukan dengan mencari
suatu Fungsi x yang definit Positif yang memenuhi persamaan
2
1
1 1n
i
i i
vf x x v x f
x
1
dengan v x merupakan Fungsi Lyapunov. Apabila ada, karena bentuk
1
n
i
i i
vf x
x
adalah negatif, maka SPD stabil asimtotis. Jika SPD tidak stabil,
maka tidak akan ada fungsi x dan v x yang memenuhi persamaan (1)[3].
Terakhir, Fungsi Lyapunov yang dicari dengan metode Khalil dicari denganTv x px dengan
ta p pa I . Jika v negatif maka SPD stabil asimtotis,
sebaliknya tidak stabil. [4]
2. Hasil – Hasil Utama
Diberikan sistem autonomus sebagai berikut
x f x
dengan 1 2, , , nx x x x dan 1 2, , , nx x x x dan titik kesetimbangan sistem
adalah ex . Berikut akan didefinisikan kestabilan dari titik kesetimbangan ex [5]
i. Titik kesetimbangan ex dikatakan stabil apabila 00, 0, 0t
595
sedemikian sehingga untuk 0 ex t x berlaku ex t x ,
0t t .[6]
ii. Titik kesetimbangan ex dikatakan stabil asimtotis apabila ex titik
kesetimbangan yang stabil dan 00, 0t sedemikian sehingga
untuk 0 ex t x berlaku lim 0et
x t x
.
iii. Titik kesetimbangan ex dikatakan stabil seragam apabila ex titik
kesetimbangan yang stabil dan 0,t [7]
Definisi [8]
sebuah fungsi v x dikatakan definit positif apabila 0, 0v x x dan
0 0v .
Lebih lanjut untuk memahami definisi tersebut diberikan sistem orde dua sebagai
berikut
1
2
xx
x
Misalkan 1 2,v x x merupakan fungsi yang definit positif . Jika 1 2,v x x memiliki
nilai yang semakin mengecil (monoton turun), maka 1 2,v x x menuju nol. Suatu
sistem dikatakan stabil apabila semua trajektori bergerak sedemikian hingga nilai
1 2,v x x semakin lama semakin berkurang. Untuk menghubungkan 1 2,v x x
dengan sistem dinamik, maka dihitung nilai 1 2,v x x sebagai berikut
1
nT
i
i i
v v vv x v f
t x t
dengan V merupakan besarnya perubahan V sepanjang vektor f
2.1. Metode First Integral [9]
Metode First Integral digunakan apabila pada sistem PD dimungkinkan dilakukan
integrasi langsung. Salah satu bentuk sistem PD yang dapat dilakukan First
Integral memiliki bentuk sebagai berikut
1 2
1 2
, , ,
, , ,
n
n
x f y y y
y f x x x
Contoh 1
Diberikan sistem PD sebagi berikut
x y
y x
2
Fungsi Lyapunov yang dapat dipilih berdasarkan sistem PD 2 di atas dapat
ditentukan dengan metode First Integral. Berdasarkan sistem 2 dapat diperoleh
dx y
dy x
dengan solusi 2 21 1
2 2x y C atau
2 2x y C yang definit positif.
596
Berdasarkan hal tersebut dapat diambil Fungsi Lyapunov 2 2,v x y x y .
Perhatikan bahwa 0v , maka berdasarkan hal demikian sistem 2 stabil.
Contoh 2
Diberikan sistem PD sebagai berikut
34 4
x y
y x x
3
Fungsi Lyapunov yang dapat dipilih berdasarkan sistem PD 3 berdasarkan
Metode First Integral adalah 2 2 41, 2
2v x y y x x . Berdasarkan hal tersebut
dapat dilihat bahwa 0v , berdasarkan hal demikian sistem 3 stabil.
Contoh 3
Diberikan sistem PD sebagi berikut
2
2
2 1
3 2
17
4
x xy x
y x y y
4
Perhatikan bahwa meskipun sistem 4 memiliki bentuk umum ,x f x y dan
,y f x y , namun sistem 4 dapat dituliskan kembali sebagai berikut
2
2
2 1
3 2
17
4
x x y
y y x
5
Dengan mengintegrasikan 1 7 2 1
4 3 2x dx y dy
x y
, maka diperoleh
2 21 1 17ln ln
8 2 3x x y y C . Fungsi Lyapunov dapat diambil
2 2, 3 168ln 12ln 8v x y x x y y dan 2 2 2, 2 56 0V x y x y y .
Berdasarkan hal tersebut sistem 5 stabil asimtotis ke titik kesetimbangan 0,0 .
2.2. Metode Bentuk Kuadratik (Metode Krasovski)[10]
Metode bentuk kuadratik atau Metode Krasovski dapat digunakan apabila terdapat
matriks konstan definit positif p sedemikian hingga matriks definit positif q x
dapat didefinisikan sebagai tq x pj x j x p dengan j x merupakan
bentuk linierisasi Jakobian. Apabila hal tersebut terjadi, maka sistem stabil
asimtotis.
Perhatikan, misal diberikan fungsi Lyapunov , tv x y f pf yang definit positif
597
pada ruang f . Karena terdapat pemetaan satu –satu antara ruang x dan ruang f ,
maka ,v x y juga definit positif pada ruang x . Derivatif dari ,v x y diperoleh
sebagai berikut
, t Tv x y f pf f pf .
Dengan aturan rantai diperolah f x j x x j x f x , berdasarkan hal
tersebut
, t t Tv x y f j x p pj x f f q x f
Dengan mengingat q x definit negatif, maka ,v x y juga definit negatif,
berdasarkan hal tersebut sistem PD stabil asimtotis.
Contoh 4
Diberikan sistem sebagai berikut
3
x ax y
y x y y
6
untuk 1a . Berdasarkan sistem 6 tersebut akan ditentukan fungsi Lyapunov
untuk menyelidiki kestabilan dari sistem 6 . Perhatikan bahwa pencarian Fungsi-
Fungsi Lyapunov pada sistem 6 tidak dapat atau mungkin sulit dilakukan dengan
metode First Integral, hal ini dikarenakan sistem 6 tidak dapat dilakukan
pengintegralan secara langsung. Atas dasar tersebut, perlu dicari metode lain yang
tepat untuk mencari fungsi Lyapunov.
Pencarian fungsi Lyapunov sistem 6 dapat dengan mudah dilakukan dengan
Metode bentuk kuadratik Atau Metode Krasovski. Berdasarkan sistem di atas dapat
ditentukan bentuk linierisasi Jakobian j x sebagai berikut
2
1
1 1 3
aj x
y
selanjutnya harus ditentukan suatu matriks definit positif p , misalkan dalam hal
ini dipilih matriks 2p I , maka berdasarkan hal tersebut diperoleh matriks q x
sebagai berikut
tq x pj x j x p
2 2
2
1 0 1 1 1 0
0 1 1 1 3 1 1 3 0 1
2 2
2 2 6
a a
y y
a
y
Perhatikan bahwa meski 24 12 4 0a ay , namun 2 0a untuk 1a ,
berdasarkan hal demikian q x definit negatif. Dengan demikian sistem 6
stabil asimtotis.
598
2.3. Metode Zubov [11,12]
Metode Zubov juga dapat digunakan untuk menentukan fungsi Lapunov. Pertama
perhatikan Teorema Zubov sebagai berikut.
Teorema
Misalkan u merupakan himpunan yang memuat daerah asal D . Syarat perlu dan
cukup agar u menjadi domain eksak dari atraksi yakni fungsi x dan v x
memenuhi ketentuan sebagai berikut
i. v x terdefinisi dan kontinu di U , dan x terdefinisi dan kontinu di
seluruh ruang state
ii. Fungsi x definit positif untuk semua nilai x
iii. Fungsi v x definit positif di U dengan 0 0v dan pertidaksamaan
0 1v x terletak di U
iv. Pada batas U , 1v x
v. Berlaku persamaan 2
1
1 1n
i
i i
vf x x v x f
x
Lebih lanjut ruas kanan persamaan diferensial di atas dapat dimodifikasi menjadi
beberapa bentuk sebagai berikut:
vi. Perhatikan bahwa karena 2
1 f adalah positif , maka dapat didefinisikan
fungsi definit positif yang lain misalnya 2
1x x f
.
Berdasarkan hal tersebut, bentuk persamaan diferensial parsial di atas
menjadi 2
1
1 1n
i
i i
vf x x v x f
x
vii. Ruas kanan persamaan diferensial di atas dapat dimodifikasi menjadi
bentuk lain, misalnya 1
2 21 1x v x f , berdasarkan hal
tersebut bentuk persamaan diferensial parsial di atas menjadi
1
2 2
1
1 1n
i
i i
vf x x v x f
x
viii. Apabila didefinisikan peruahan dari variabel 1v n v , maka
persamaan diferensial diatas menjadi 1
n
i
i i
vf x x
x
dengan v
merupakan fungsi Lyapunov. Berdasarkan hal tersebut daerah atraksi
menjadi 0 v .
Contoh 5
Diberikan Sistem Persamaan Diferensial sebagai berikut
2 2
1 1 2 1 1 2
2 2
2 1 2 2 1 2
x x x x x x
x x x x x x
599
Berdasarkan hal tersebut akan ditentukan Fungsi Lyapunov dari sistem tersebut.
Ambil fungsi definit positif 2 2
1 22x x x , berdasarkan hal tersebut
diperoleh 1 2
1 2
v vv x x
x x
. Berdasarkan Teorema Zubov,
2 2
1 2 1 2
1 2
2 1v v
x x x x v xx x
sehingga fungsi Lyapunov yang
dimaksud adalah 2 2
1 2v x x x dengan batas kestabilannya adalah 2 2
1 2 1x x .
Contoh 6
Diberikan Sistem Persamaan Diferensial sebagai berikut 2
1 1 1 2
2 2
2x x x x
x x
Dengan menggunakan Teorema Zubov, maka diperoleh persamaan diferensial
sebagai berikut
1
2 2
1 2
1 2
1 1v v
x x x v x fx x
1
2 22 2
2 1 2 11 1 2x v x x x x x
Berdasarkan hal tersebut, di ambil fungsi
2 2
1 2
22 2
2 1 2 11 2
x xx
x x x x
, dan
berdasarkan hal tersebut diperoleh Fungsi Lyapunov untuk sistem PD pada contoh
6 ini adalah
22 1
2
1 2
11 exp
2 2 1
xv x
x x
. Fungsi 1 2,v x x hilang pada
titik asal sama dengan 1 pada kurva 1 2 1x x , karenanya kestabilan di definiskan
pada daerah dalam kurva 1 2 1x x .
2.4. Metode Khalil [14]
Prosedur pembentukan fungsi Lyapunov berdasarkan metode Khalil dikenal
dengan prosedur Cookbook. Langkah-langkah pada prosedur tersebut dijelaskan
sebagai berikut:
i. Diberikan sistem PD 1x f x Ax f x
ii. Tentukan P pada persamaan ta p pa I
iii. Fungsi Lyapunov Tv x x px dengan 12t Tv x x qx x pf , dengan
q I Apabila 0v ,maka sistem stabil asimtotis, sebaliknya sistem tidak
stabil
iv. 2
minc p r
600
v. Jika c x v x c , maka 2
min
Tx px p r
Contoh 7
Diberikan sistem PD sebagai berikut
1 1 1 2
2 2 1 2
2x x x x
x x x x
Perhatikan bahwa sistem memiliki titik kesetimangan 0,0 dan 1,2 .
Linearisasi disekitar titik 0,0 menghasilkan matriks 2 0
0 1A
dengan
nilai eigen 1 2 dan 1 1 . Lebih lanjut berdasarkan persamaan
TA P PA I , diperoleh
10
4
10
2
P
. Berdasarkan hal tersebut dapat dipilih
Fungsi Lyapunov 2 2
1 2
1 1
4 2
tv x px x x dengan
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
1
2v x x x x x x
. Dengan transformasi polar 1 cosx
dan 2 sinx , maka
2 3
2 3
2 3
1cos sin sin cos
2
1 1sin 2 sin cos
2 2
5
4
0
v
dengan4
15 . Lebih lanjut
2
2
min
1 40.8
4 5c P r
dan karenanya
diperoleh
2 2
1 2
1 10.8
4 2x x
3. Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini antara lain:
1. Untuk menyelidiki kesatbilan global dari suatu Sistem Persamaan
Diferensial perlu dikonstruksi Fungsi Lyapunov v yang definit positif.
Apabila 0v , maka Sistem Persamaan Diferensial tersebut stabil
asimtotis, sebaliknya tidak stabil.
601
2. Untuk mengkonstruksi Fungsi Lyapunov dapat dilakukan dengan
empat metode antara lain Metode First Integral, Metode Krasovski,
Metode Zubov dan Metode Khalil
3. Metode First Integral dapat dilakukan apabila Sistem Persamaan
Diferensial tersebut memungkinkan untuk dilakukan integrasi.
Fungsi Lyapunov yang dicari dengan metode ini merupakan hasil
dari integrasi tersebut. 4. Metode Krasovsi, Zubov dan Khalil dapat digunakan untuk mencari Fungsi
Lyapunov apabila Metode First Integral tidak dapat dilakukan.
5.
Referensi
[1] A.M. Lyapunov, Probleme General de la Stabilite du Movement, Reprinted in
Annals of Mathematical Studies No. 17 , Princenton University Press,
Princenton, N.J., 1949 (Russian Edition 1892).
[2] V.M. Popov, Absolute Stability of Nonlinear Systems of Automatic Control,
Automation and Remote Control, Vol.22, 1962, pp.857-875
[3] W. Hahn, Theory and Aplication of Lyapunov’s Direct Method, Prentice Hall,
Eagle wood Cliffs, N.J., 1963
[4] J.P. LaSalle and S. Lefschetz, Stability by Liapunov’s Direct Method With
Applications, Academic Press, New York, 1961.
[5] J.L. Willems, Stability Theory of Dynamical Systems, Thomas Nelson & Sons,
U.K., 1970.
[6] M. Vidyasagar, Nonlinear Systems Analysis, Prentice Hall, Englewood Cliffs,
N.J., 1978.
[7] B.D.O.Anderson and S. Vongpanitlerd, Network Analysis and Synthesis-A
Modern Systems Theory Approach, Prentice Hall Englewood Cliffs, N.J.
[8] O. Gurel and L. Lapidus, A Guide to the Generation of Lyapunov Function,
Industrial and Engineering Chemistry, March 1969, pp.30-41.
[9] N.G. Chetaev, Stability of Motion, Pergamon Press, 1961 (Russian Edition,
1945-1950)
[10] N.N. Krasovskii, Stability of Motion, Pergamon Press, 1961(Russian Edition,
1959)
[11] S.G. Marqolis and W.G.Vogt, Control Engineering Applications of V . I.
Zubov’s Construction Procedure for Lyapunov Functions, IEEE Trans.
Automatic Control, Vol AC-8, No. 2, April 1963, pp 104-113.
[12] Discussion on Ref. 12 by F. Fallside and M. R. Patel and Reply, IEEE Trans.
Automatic Control, Vol. AC-10, No. 2, April 1965 , pp.220-222
[13] J.K. Hedrick and A. Girard, Control of Nonlinear Dynamic Systems: Theory
and Applications, 2005.
602
Prosiding SNM 2017 Aljabar -Anal is is , Hal 602-613
PENGARUH ELEMEN PRIMITIF DARI GRUP SIKLIK
ℤ * TERHADAP ALGORITMA KRIPTOGRAFI
ELGAMAL UNTUK ENKRIPSI PESAN
MOHAMMAD HEADING NOR ILAHI1, ANNISA DINI
HANDAYANI2
1 Jln. Raya Haji Usa, Ciseeng, Bogor 16120 INDONESIA, [email protected]
nci.ac.id
2 Jln. Raya Haji Usa, Ciseeng, Bogor 16120 INDONESIA, [email protected]
Abstrak. Algoritma Kriptografi ElGamal adalah algoritma kriptografi asimetris yang
menggunakan bilangan prima besar sehingga membentuk suatu himpunan bilangan
dari 1 sampai -1 atau seluruh elemen dari grup siklik ℤ *. Algoritma Kriptografi
ElGamal terdiri dari 3 proses, yaitu proses pembentukan kunci, proses enkripsi, dan
proses dekripsi. Untuk melakukan ketiga proses tersebut, dibutuhkan suatu bilangan
, dengan merupakan elemen primitif dari ℤ *. Hal ini dikarenakan elemen primitif
dapat memberikan kekuatan Algoritma ElGamal menjadi maksimal. Dalam makalah
ini, akan ditunjukkan pengaruh elemen primitif terhadap kekuatan Algoritma
ElGamal.
Kata kunci: elemen primitif, kriptografi, ElGamal, grup siklik.
1. Pendahuluan
Terdapat dua tipe algoritma kriptografi yang dibedakan berdasarkan
penggunaan kunci yaitu algoritma simetris dan algoritma asimetris. Algoritma
simetris menggunakan satu kunci rahasia yang sama dalam proses enkripsi dan
proses dekripsi, seperti ditunjukkan pada gambar 1.
603
Sedangkan algoritma asimetris menggunakan dua buah kunci yaitu kunci
publik dan kunci pribadi atau rahasia. Kunci publik akan dibiarkan diketahui pihak
lain. Kunci publik akan digunakan untuk mengenkripsi pesan yang akan
dikirimkan ke penerima yang mempunyai kunci publik tersebut. Sedangkan
penerima akan mendekripsi pesan tersebut menggunakan kunci pribadinya. Kunci
pribadi akan bersifat rahasia dan hanya yang memilikinya yang mengetahui.
Konsep algoritma kriptografi asimetris dapat dilihat di gambar 2.
Algoritma asimetris atau algoritma kunci publik didesain tahan terhadap
chosen-plaintext attacks. Keamanan algoritma asimetris disandarkan pada kesulitan
dalam mencari kunci rahasia dari kunci publik dan kesulitan mencari teks terang
dari teks sandi [2]. Kesulitan tersebut adalah permasalahan yang dianggap sulit
dalam matematika, misalnya permasalahan logaritma diskret, pemfaktoran
bilangan besar, dan NP-Complete. Terdapat beberapa algoritma kunci publik,
contohnya adalah RSA yang dipublikasikan oleh Rivest, Shamir, dan Adleman [6],
ElGamal yang dipublikasikan oleh Taher ElGamal [8], dan knapsack yang
dipublikasikan oleh Merkle dan Hellman [7].
ElGamal merupakan salah satu algoritma asimetris yang dipublikasikan
oleh Taher ElGamal pada tahun 1985. Algoritma ini terdiri dari tiga proses yaitu
proses pembentukan kunci, proses enkripsi, dan proses dekripsi. Kekuatan
algoritma ElGamal didasarkan pada permasalahan logaritma diskret. Permasalahan
logaritma diskret adalah permasalahan matematika yang terdapat pada beberapa
lini matematika, termasuk versi mod yang akan dijelaskan di makalah ini dan
pada versi elliptic curve. Konstruksi kunci publik pertama yang dipublikasikan
oleh Diffie dan Hellman [5] juga berdasarkan permasalahan logaritma diskret pada
lapangan berhingga yang mempunyai elemen sejumlah suatu bilangan prima
dinotasiakan .
Pada kunci publik algoritma ElGamal ( , , A), yang diambil harus
elemen primitif dari mod agar kekuatan algoritma ElGamal maksimal. Pada
makalah ini akan dijelaskan pengaruh pengambilan terhadap kekuatan algoritma
ElGamal.
604
2. Hasil – Hasil Utama
2.1 Algoritma Kriptografi ElGamal
Algoritma ElGamal dapat digunakan untuk tanda tangan digital dan untuk
enkripsi pesan. Pada makalah ini akan dijelaskan algoritma ElGamal untuk
enkripsi pesan. Keamanan algoritma ElGamal didasarkan pada kesulitan
dalam mencari logaritma diskret pada lapangan berhingga. Seperti telah
dijelaskan di atas bahwa ElGamal memiliki tiga tahapan, yaitu pembentukan
kunci, proses enkripsi, dan proses dekripsi. Berikut akan dijelaskan ketiga
tahapan tersebut [2].
2.1.1 Pembentukan Kunci
Pada proses pembentukan kunci akan dibutuhkan:
1. Bilangan prima besar untuk membentuk ℤ *.
2. Bilangan acak , ℤ *.
Diketahui persamaan A = x mod , sehingga dibentuk suatu kunci
publik (p, , A) dan kunci pribadi . Misalkan Yayuk ingin mengirim
pesan terenkripsi menggunakan algoritma ElGamal kepada Khudlori.
Proses pembentukan kunci akan dilakukan oleh Khudlori selaku penerima
pesan dari Yayuk. Kunci publik (p, , A) dipublikasikan oleh Khudlori
sehingga diketahui Yayuk. Yayuk menggunakan kunci publik milik
Khudlori untuk mengenkripsi pesan yang akan dikirim kepada Khudlori.
2.1.2 Proses Enkripsi
Pada proses enkripsi dibutuhkan pesan dan kunci publik ( , , A).
Hasil dari proses enkripsi ini adalah teks sandi (ciphertext) ( , ), dimana
={1,2,…, }. Dalam proses enkripsi langkah-langkah yang harus
dilakukan adalah:
1. Untuk dari 1 sampai kerjakan:
a. Pilih bilangan acak rahasia sementara (ephemeral key)
i {0,1,…, -2}, dengan relatif prima terhadap -1 dan
ditentukan oleh pengirim atau pihak yang mengenkripsi pesan.
Ephemeral key hanya digunakan sekali saja saat enkripsi
pesan, sehingga tidak perlu disimpan. Penggunaan atau
pengambilan yang acak akan mengakibatkan setiap karakter
yang sama dalam pesan dienkripsi menjadi teks sandi yang
berbeda. Ephemeral key hanya digunakan mengenkripsi satu
karakter saja dalam teks terang.
b. Hitung i = ki mod .
605
c. Hitung i = Aki .m mod .
2. Diperoleh teks sandi (ciphertext) ( , ), dimana ={1,2,…, }.
Lalu Yayuk mengirimkan teks sandi ini kepada Khudlori.
2.1.3 Proses Dekripsi
Setelah teks sandi diterima oleh Khudlori, pesan akan didekripsi
menggunakan kunci pribadi dan kunci publik ( , , A) milik Khudlori.
Pada proses enkripsi digunakan ephemeral key . Pada proses dekripsi
tidak akan digunakan lagi. Jika diberikan teks sandi ( , ), maka,
= ( )-1 mod
ℤ * merupakan grup siklik yang mempunyai order -1, dengan
{0,1,…, -2}, sehingga
( )-1= ( )- = -1- .
Pada proses dekripsi membutuhkan teks sandi ( , ), dimana
={1,2,…, }, kunci publik ( , , A), dan kunci pribadi . Hasil dari proses
dekripsi ini adalah teks terang (plaintext). Berikut ini adalah langkah-
langkah pada proses dekripsi:
Untuk dari 1 sampai , kerjakan:
a. Hitung -1- mod .
b. Hitung = ( )-1 mod , untuk ={1,2,…, }.
2.2 Komponen ElGamal
2.2.1 Grup siklik ℤ *
Suatu grup akan dikatakan grup siklik, jika terdapat satu atau lebih
elemen generator atau pembangun dalam himpunan tersebut [2]. Kecuali
elemen identitas, elemen identitas tidak akan bisa membangun atau bukan
generator. Suatu grup siklik dinotasikan dengan { G∣ ℤ}.
Himpunan ℤ *≡ ℤ – {[0]} merupakan grup siklik dengan himpunan
bilangan bulat modulus dengan operasi perkalian dan adalah bilangan
prima, serta merupakan grup komutatif.
Dalam perhitungan algoritma kriptografi ElGamal diambil sebuah
bilangan prima . Semua persamaan dalam pembentukan kunci, proses
enkripsi, dan proses dekripsi dimoduluskan sehingga dalam kasus ini
algoritma kriptografi ElGamal akan selalu memunculkan bilangan anggota
grup siklik tanpa nol dengan order -1 yaitu ℤ *. Dengan kata lain , , A,
606
, , dan ℤ *. Agar algoritma kriptografi ElGamal memiliki kekuatan
maksimal, pengambilan ℤ * harus memenuhi syarat bahwa adalah
elemen primitif dari ℤ *.
2.2.2 Elemen primitif pada grup siklik ℤ *
Jika terdapat bilangan prima dan ℤ *, maka lebih kecil dari
atau ℤ *. Lalu dikatakan generator atau elemen primitif dari ℤ *
jika terdapat ℤ *, dan dari 1 sampai -1 terdapat suatu dimana ≡
mod [2].
Contoh 1.
Jika =11, buktikan bahwa 2 merupakan elemen primitif dari mod p!
21=2 (mod 11)
22=4 (mod 11)
23=8 (mod 11)
24=5 (mod 11)
25=3 (mod 11)
26=9 (mod 11)
27=7 (mod 11)
28=10 (mod 11)
29=6 (mod 11)
210=1 (mod 11)
Setiap bilangan 1 sampai 10 elemen dari =11 dapat dibentuk oleh 2
mod 11. Terbukti bahwa 2 adalah elemen primitif dari mod .
Berikut ini adalah beberapa teorema mengenai elemen primitif [1].
i. ℤ * mempunyai generator atau elemen primitif jika dan hanya jika =2, 4, , atau 2 dimana adalah sebuah bilangan prima ganjil dan ≥1, jika adalah prima maka ℤ * mempunyai elemen primitif.
ii. Jika elemen primitif dari ℤ *, maka ℤ *= { mod ∣ 0≤ ≤ ϕ(n)-1}.
iii. Andaikan generator dari ℤ *, maka = mod juga generator dari ℤ * jika dan hanya jika gcd( , ϕ( ))=1, dan menunjukkan bahwa ℤ * siklik.
iv. ℤ * adalah generator dari ℤ * jika dan hanya jika ϕ( )/ ≠ 1 (mod ) untuk setiap faktor prima dari ϕ( ).
Dari teorema ke-iv didapatkan bahwa jika terdapat faktorisasi
prima dari ϕ( )= -1 dimana = 1, 2,…, , kita dapat menentukan apakah
sebuah ℤ * elemen primitif (generator) atau bukan [2].
i. Jika ( -1)/ mod ≠ 1, maka merupakan elemen primitif dari mod atau ℤ *.
607
ii. Jika ( -1)/ mod = 1, maka bukan merupakan elemen primitif dari mod atau ℤ *.
Contoh 2.
Jika =11, faktor prima -1= 11-1= 10= 2.5
1. Buktikan apakah 2 merupakan elemen primitif dari mod !
210/2 mod 11= 25 mod 11= 10
210/5 mod 11= 22 mod 11= 4
Terbukti bahwa 2 merupakan elemen primitif dari mod 11.
2. Buktikan apakah 3 merupakan elemen primitif dari mod !
310/2 mod 11= 35 mod 11= 1
310/5 mod 11= 32 mod 11= 9
Terdapat 310/2 mod 11= 35 mod 11= 1, sehingga 3 bukan merupakan
elemen primitif mod 11.
2.2.3 Permasalahan logaritma diskret
Menurut definisi pada [3], andaikan adalah elemen primitif dari ,
permasalahan logaritma diskret adalah permasalahan dalam mencari
sebuah eksponen , seperti dibawah ini,
≡ (mod ).
Nilai disebut logaritma diskret dari pada basis dan dinotasikan
log ( ).
2.3 Pengaruh ℤ * yang diambil pada enkripsi pesan algoritma
kriptografi ElGamal
Algoritma kriptografi ElGamal akan mudah dikriptanalisis karena nilai
akan beroperasi pada < > dan akan terdapat bilangan selain yang bisa
digunakan untuk mendekripsi pesan.
BUKTI :
a. Dari definisi elemen primitif didapatkan bahwa dikatakan generator atau elemen primitif dari mod atau ℤ *, jika dipangkatkan dengan 1 sampai -1 menghasilkan semua elemen ℤ * secara permutasi [3]. Dengan kata lain order dari < > merupakan ϕ( ) yaitu -1.
b. Dari Fermat’s Little Theorem bahwa -1≡ 1 mod , dimana gcd( , )= 1 dan < . Didapatkan bahwa jika merupakan elemen primitif maka
≠ 1 (mod ), untuk adalah semua bilangan bulat positif dan <ϕ( ).
c. Didapatkan bahwa jika terdapat ≡ 1 (mod ) dan < ϕ( ), maka bukan merupakan elemen primitif dari [4]. Sehingga menunjukkan bahwa dengan dipangkatkan dari 1 sampai -1 hanya dapat
608
membangun dengan order lebih kecil dari -1 yaitu . Pernyataan ini kontradiksi dengan pernyataan a. yang menyebutkan bahwa suatu dikatakan generator atau elemen primitif jika dipangkatkan dengan 1 sampai -1 menghasilkan semua elemen di ℤ * secara permutasi.
d. Dari pernyataan c. didapatkan bahwa semua elemen yang dibangun dinotasikan < > bukan elemen primitif dari ℤ *, karena semua elemen < > jika dipangkatkan dengan 1 sampai -1 tidak menghasilkan semua elemen di ℤ * secara permutasi.
e. Jika ℤ * dengan bukan elemen primitif dari ℤ * maka order < > membagi order ℤ *. Sehingga akan terjadi perulangan pada setiap elemen < > sebanyak dengan, = ϕ( )
= ϕ( )/
= -1/
Pembuktian di atas akan menunjukkan kenapa yang diambil pada kunci
publik harus elemen primitif. Pengambilan harus elemen primitif karena jika
yang diambil bukan elemen primitif, maka akan membentuk himpunan baru yaitu
< >. Sehingga operasi pada ElGamal yang seharusnya menggunakan modulus
atau ℤ * dengan order -1, digantikan oleh < > dengan order , dengan < -1
Teks sandi hasil enkripsi akan lebih mudah diserang oleh kriptanalis karena
pada proses enkripsi algoritma kriptografi ElGamal yang seharusnya beroperasi
pada order -1 berkurang menjadi berorder untuk dimana = mod , karena
jika terdapat mod dimana semua bukan elemen primitif ℤ *, maka k mod
akan selalu menghasilkan nilai elemen anggota < >. Meskipun nilai tidak selalu
elemen dari < >, tetapi karena = A . mod dimana A= mod , sehingga A =
mod akan selalu menghasilkan elemen dari < >. Diketahui = A mod ,
maka didapatkan = (A )-1 mod = ( )-1 mod sehingga kriptanalis akan
lebih mudah mencari teks terang , karena A = mod akan selalu
menghasilkan elemen dari < > dan order < > lebih kecil dari order ℤ *. Semakin
kecil order maka akan semakin mudah diserang oleh kriptanalis. Hal ini tentu akan
sangat merugikan karena tidak memaksimalkan kekuatan ElGamal dari bilangan
yang diambil. Penggunaan elemen primitif akan membangun grup siklik ℤ *
dengan order maksimal yaitu -1. Sehingga kekuatan dari algoritma ElGamal dapat
dimaksimalkan.
Diketahui juga bahwa order < > membagi order ℤ *, sehingga setiap
elemen < > akan berulang sebanyak = ( -1)/ . Jika setiap elemen < > berulang
sebanyak = ( -1)/ maka akan mempunyai nilai sama sebanyak .
609
Contoh 3.
Buktikan bahwa 3 bukan elemen primitif dari ℤ11* sehingga jika 3
dipangkatkan 1 sampai 10 akan menghasilkan himpunan semua bilangan bukan
elemen primitif ℤ11* dengan order kurang dari 10.
Faktor prima -1= 11-1= 10= 2.5,
310/2 mod 11= 35 mod 11= 1
310/5 mod 11= 32 mod 11= 9
Terdapat 310/2 mod 11= 35 mod 11= 1, sehingga 3 bukan merupakan elemen primitif
mod 11.
Jika 3 dipangkatkan dari 1 sampai 10 akan membentuk himpunan < >.
31=3 (mod 11)
32=9 (mod 11)
33=5 (mod 11)
34=4 (mod 11)
35=1 (mod 11)
36=3 (mod 11)
37=9 (mod 11)
38=5 (mod 11)
39=4 (mod 11)
310=1 (mod 11).
Maka 3 dipangkatkan dari 1 sampai 10 didapatkan {1,3,4,5,9} dengan order 5, =
( -1)/ = (11-1)/5 = 10/5 = 2. Terdapat dua nilai sama dengan pangkat
berbeda bila dimoduluskan dengan 11.
Contoh 4.
Yayuk akan mengirim pesan “AYO” kepada Khudlori. Salah satu kunci
publik yang diambil elemen primitif.
Proses:
1. Pembentukan kunci
Khudlori harus membuat kunci publik dan kunci rahasia, misalkan
dipilih bilangan prima =257 dan =3. Faktorisasi prima dari
256=2.2.2.2.2.2.2.2 maka = 2.
Langkah-langkah pembentukan kunci:
a. Buktikan bahwa = 3 elemen primitif mod 257, ( -1)/2 mod = 3(256)/2
mod 257= 256. Terbukti bahwa 2 elemen primitif mod 257.
b. Ambil {0,1,…,255}, misalkan = 3
610
Diketahui persamaan A= mod = 33 mod 257= 27, sehingga
dibentuk suatu kunci publik (257, 3, 27) dan kunci pribadi =3. Kunci
publik (257, 3, 27) dipublikasikan oleh Khudlori sehingga diketahui
Yayuk. Yayuk menggunakan kunci publik milik Khudlori untuk
mengenkripsi pesan yang akan dikirim kepada Khudlori.
2. Proses enkripsi
Langkah-langkah pada proses enkripsi adalah:
a. Pada proses enkripsi pesan yang akan dienkripsi diubah terlebih
dahulu ke dalam kode ASCII, ={A,Y,O}={65,89,79}. Pada
algoritma enkripsi dibutuhkan pesan dan kunci publik (257, 3, 27).
b. Hasil dari proses enkripsi ini adalah teks sandi (ciphertext) ( , ). Pilih
bilangan acak rahasia sementara (ephemeral key) i {0,1,…,255}, i
ditentukan oleh pengirim atau pihak yang mengenkripsi pesan yaitu
Yayuk. Ephemeral key hanya digunakan sekali saja saat enkripsi
pesan, sehingga tidak perlu disimpan.
i = ki mod 257 i = Aki .m mod 257
1 65 3 27 49
2 89 6 215 17
3 79 8 136 143
Maka didapatkan teks sandi ( , ) = {(27, 49),(215, 17),(136, 143)}.
3. Proses dekripsi
Pada proses dekripsi dibutuhkan kunci pribadi = 3 untuk
mengembalikan teks sandi ke teks terang.
( , ) i253 mod 257 i = i( i
253) mod 257
1 (27, 49) 80 65
2 (215, 17) 232 89
3 (136, 143) 227 79
Dari tabel dekripsi tersebut didapatkan teks terang adalah {65,89,79},
adalah elemen primitif sehingga order < > adalah -1. Tidak ada nilai lain
selain yang dapat mendekripsi teks sandi.
611
Contoh 5.
Yayuk akan mengirim pesan “AYO” kepada Khudlori. Salah satu kunci
publik yang diambil bukan elemen primitif.
Proses:
1. Pembentukan kunci
Khudlori harus membuat kunci publik dan kunci rahasia, misalkan
dipilih bilangan prima =257 dan =2. Faktorisasi prima dari
256=2.2.2.2.2.2.2.2 maka = 2.
Langkah-langkah pembentukan kunci:
a. Buktikan bahwa = 2 bukan elemen primitif mod 257, ( -1)/2 mod =
2(256)/2
mod 257= 1. Terbukti bahwa 2 bukan elemen primitif mod 257.
b. Ambil {0,1,…,255}, misalkan = 3
Diketahui persamaan A= mod = 23 mod 257= 8, sehingga dibentuk
suatu kunci publik (257,2,8) dan kunci pribadi =3. Kunci publik
(257,2,8) dipublikasikan oleh Khudlori sehingga diketahui Yayuk.
Yayuk menggunakan kunci publik milik Khudlori untuk mengenkripsi
pesan yang akan dikirim kepada Khudlori.
2. Proses enkripsi
Langkah-langkah pada proses enkripsi adalah:
a. Pada proses enkripsi pesan yang akan dienkripsi diubah terlebih
dahulu ke dalam kode ASCII, ={A,Y,O}={65,89,79}. Pada
algoritma enkripsi dibutuhkan pesan dan kunci publik (257,2,8).
b. Hasil dari proses enkripsi ini adalah teks sandi (ciphertext) ( , ). Pilih
bilangan acak rahasia sementara (ephemeral key) i {0,1,…,255}, i
ditentukan oleh pengirim atau pihak yang mengenkripsi pesan yaitu
Yayuk. Ephemeral key hanya digunakan sekali saja saat enkripsi
pesan, sehingga tidak perlu disimpan.
i = ki mod 257 i = Aki .m mod 257
1 65 3 8 127
2 89 6 64 99
3 79 8 256 178
612
Maka didapatkan teks sandi ( , ) = {(8, 127),(64, 99),(256, 178)}.
Semua nilai yaitu {8,64,256} bukan elemen primitif dari mod 257
sehingga < >.
3. Proses dekripsi
Pada proses dekripsi dibutuhkan kunci pribadi = 3 untuk
mengembalikan teks sandi ke teks terang.
( , ) i253 mod 257 i = i( i
253) mod 257
1 (8,127) 128 65
2 (64,99) 193 89
3 (256,178) 256 79
Dari tabel dekripsi tersebut didapatkan teks terang adalah {65,89,79}.
Tetapi terdapat nilai lain yang berbeda dengan yang bisa mendekripsi teks
terang.
Misalkan diambil = 19, maka
A= mod = 219 mod 257= 8
( , ) i253 mod 257 i = i( i
253) mod 257
1 (8,127) 128 65
2 (64,99) 193 89
3 (256,178) 256 79
Terbukti bahwa terdapat yang berbeda dengan kunci rahasia dan dapat
digunakan untuk dekripsi pesan. Hal ini akan mengakibatkan kriptanalis akan
semakin mudah membuka teks sandi.
3. Kesimpulan
Kesimpulan yang diperoleh dari pembuktian pengaruh elemen primitif dari
grup siklik ℤ * terhadap Algoritma Kriptografi ElGamal untuk enkripsi pesan,
yaitu:
a. Jika salah satu unsur kunci publik, yaitu elemen primitif dari ℤ * maka kekuatan algoritma ElGamal akan maksimal, karena dapat membangun semua elemen ℤ *. Dengan kata lain order dari < > adalah -1, sehingga kunci rahasia akan mempunyai nilai tunggal atau unik pada modulus .
613
b. Jika salah satu unsur kunci publik, yaitu bukan elemen primitif dari ℤ * maka
kekuatan algoritma ElGamal tidak akan maksimal, karena tidak dapat
membangun semua elemen ℤ *. Dengan kata lain order dari < > kurang dari -
1, sehingga kunci rahasia akan mempunyai nilai sama sebanyak =
ϕ(ℤ *)/ϕ(< >).
Referensi
[1] A.Menezes, P.Van Oorschot, and S.Vanstone, 1996, Handbook of Applied
Cryptography, CRC Press.
[2] Schneier, Bruce, 1996, Applied Cryptography 2nd, John Wiley & Sons.
[3] J.Hoffstein, Jill Pipher, and J.H.Silverman, 2008, An Introduction to
Mathematical Cryptography. Springer.
[4] Sukirman, 2006, Pengantar Teori Bilangan, Hanggar Keraton, Yogyakarta
[5] W. Diffie dan M. E. Hellman. New Directions in Cryptography. IEE
Trans.Information Theory, IT-22(6):644-654, 1976.
[6] R . L. Rivest, A. Shamir, dan L. Adleman. A Method for Obtaining Digital
Signatures and Public-Key Cryptosystems. Comm. ACM, 21(2):120-126, 1978.
[7] R. C. Merkle dan M. E. Hellman. Hiding information and signatures in
trapdoor knapsacks. Secure Communications and Asymetric Cryptosystems,
volume 69 pada AAAS Sel. Sympos. Ser., halaman 197-215. Westview,Boulder
CO, 1982.
[8] T. ElGamal, "A Public-Key Cryptosystem and a Signature Scheme Based on
Discrete Logarithms," Advances in Cryptology: Proceedings of CRYPTO 84,
Springer-Verlag, 1985, pp. 10
614