kata sambutan - math.ui.ac.id · kata sambutan seminar nasional matematika 2017 wilayah jabar-dki...

ii

KATA SAMBUTAN

SEMINAR NASIONAL

MATEMATIKA 2017

WILAYAH

JABAR-DKI JAKARTA-BANTEN

iii

Dekan FMIPA Universitas Indonesia

Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Salam sejahtera untuk kita semua.

Atas nama Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas

Indonesia, dengan bangga saya mengucapkan selamat kepada semua peserta pada

Seminar Nasional Matematika 2017 yang diselenggarakan pada tanggal 11

Februari 2017 di Universitas Indonesia, Depok. Ucapan terima kasih saya

sampaikan kepada pihak IndoMS Pusat dan IndoMS Wilayah JABAR, Banten, dan

DKI Jakarta atas kepercayaannya kepada Universitas Indonesia dalam hal ini

Departemen Matematika FMIPA sebagai tuan rumah kegiatan sarasehan dan

sosialisasi program kerja IndoMS Pusat dan IndoMS Wilayah JABAR, Banten, dan

DKI Jakarta.

Seminar Nasional ini merupakan seminar yang telah dilaksanakan secara

bergantian oleh Universitas Indonesia dan Universitas Padjadjaran sejak 20 tahun

yang lalu. Pihak Universitas Indonesia sebagai salah satu perguruan tinggi yang

menjadi pelopor perkembangan peran ilmu pengetahuan di Indonesia tidak henti-

hentinya mendorong segenap civitas akademika, termasuk di FMIPA UI untuk

menghilirkan penelitiannya agar dapat memberikan dampak nyata pada kemajuan

bangsa dan tanah air.

Saya ucapkan terima kasih kepada para pembicara utama, peserta dan tentunya

kepada panitia pelaksana SNM 2017 ini. Semoga kegiatan ini dapat memberikan

manfaat yang besar kepada kita semua dan bangsa Indonesia.

Salam hangat,

Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Dekan FMIPA Universitas Indonesia

Dr. rer. nat. Abdul Haris

iv

Gubernur IndoMS JABAR, Banten, dan DKI Jakarta

Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Salam sejahtera untuk kita semua.

Atas nama Indonesian Mathematical Society (IndoMS), sebuah kebanggaan yang

besar bagi saya untuk menyampaikan selamat kepada semua peserta Seminar

Nasional Matematika (SNM) 2017 yang diadakan pada tanggal 11 Februari 2017 di

Departemen Matematika FMIPA UI, Depok.

IndoMS pada tahun ini bekerjasama dengan pihak penyelenggara lokal,

mengadakan cukup banyak aktivitas temu ilmiah di berbagai daerah di Indonesia,

termasuk salah satunya pada tahun ini yaitu SNM 2017 yang dirangkaikan dengan

Sarasehan IndoMS Wilayah JABAR, Banten, dan DKI Jakarta serta sosialisasi

program kerja IndoMS Pusat. Penyelenggaraan SNM 2017 tidak hanya merupakan

program berkelanjutan dari pihak IndoMS, Universitas Indonesia dan Universitas

Padjadjaran, namun juga merupakan sebuah kegiatan yang akan membawa peluang

besar kepada seluruh pihak yang terlibat untuk menyeminarkan dan mendiskusikan

hasil penelitian di berbagai bidang matematika.

Kami mengucapkan terima kasih kepada para pembicara utama, peserta dari

berbagai daerah di Indonesia, dan panitia SNM 2017. Ucapan terima kasih

khususnya kami sampaikan kepada Departemen Matematika, FMIPA Universitas

Indonesia yang bersedia menjadi tuan rumah. Saya berharap agar SNM 2017 ini

dapat memberikan manfaat yang besar kepada kita semua.

Salam hangat,

Wassalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Gubernur IndoMS JABAR, Banten dan DKI Jakarta.

Alhadi Bustamam, Ph.D.

v

Ketua Panitia Seminar Nasional Matematika 2017

Salam sejahtera bagi kita semua.

Matematika sebagai salah satu bidang ilmu yang penerapannya banyak digunakan

di berbagai bidang, telah diterapkan pula pada berbagai kajian dan penelitian di

masalah lingkungan. Pentingnya masalah pelestarian dan bagaimana mengatasi

perubahan-perubahan fenomena lingkungan tersebut menjadi dasar dalam

penentuan tema utama pada Seminar Nasional Matematika (SNM) 2017 ini, yakni

“Peranan Matematika dalam Memahami Fenomena Lingkungan”.

Seminar Nasional Matematika merupakan perkembangan dari Seminar Matematika

Bersama UI-UNPAD yang telah dilaksanakan sejak lebih dari 20 tahun yang lalu.

SNM merupakan salah satu forum nasional bagi para matematikawan, peminat atau

pemerhati Matematika dan para pengguna Matematika untuk saling berbagi

pengetahuan dan pengalaman terhadap hasil penelitian dan penerapan matematika

di berbagai hal. Melalui SNM 2017 diharapkan peserta yang berasal dari berbagai

perguruan tinggi dan institusi di Indonesia dapat berpartisipasi dan berkontribusi

sesuai dengan kepakaran bidang masing-masing di dalam mengatasi dan

menyelesaikan masalah lingkungan beserta berbagai fenomenanya. Makalah yang

masuk ke pihak penyelenggara meliputi berbagai bidang, seperti Analisis dan

Geometri, Aljabar, Statistika dan aplikasinya, Matematika Keuangan dan Aktuaria,

Kombinatorika, Komputasi, Pendidikan Matematika, Optimisasi, Pemodelan

Matematika dan bidang terapan lainnya.

Penyelenggara SNM 2017 memberikan apresiasi yang setinggi-tingginya kepada

berbagai pihak, antara lain Himpunan Matematika Indonesia wilayah Jabar, DKI

Jakarta, dan Banten, Program Studi Matematika Universitas Padjadjaran, serta

FMIPA UI yang telah memberikan dukungan dan bantuan dalam penyelenggaraan

seminar nasional ini. Tidak lupa kami ucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya

kepada para sponsor yang telah berkontribusi dan kepada panitia SNM 2017

sehingga SNM 2017 dapat terselenggara.

Hormat kami,

Ketua Panitia SNM 2017

Bevina D. Handari Ph.D

vi

UCAPAN TERIMA KASIH

Panitia Seminar Nasional Matematika 2017 menyampaikan ucapan terima kasih

dan penghargaan kepada Pimpinan Universitas, Pimpinan Fakultas, Pimpinan

Departemen, dan para sponsor, atas dukungannya dalam bentuk dana, fasilitas, dan

lain-lain, untuk terselenggaranya seminar ini.

Secara khusus Panitia Seminar Nasional Matematika 2017 menyampaikan ucapan

terima kasih kepada:

1. Rektor Universitas Indonesia

2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

3. Ketua Departemen Matematika FMIPA Universitas Indonesia

4. Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran

5. Direktur Utama PT Reasuransi Indonesia Utama

6. Rektor Universitas Gunadarma

7. Direktur Utama PT Tokio Marine Life Insurance Indonesia

8. Direktur Utama PT AIA Financial Indonesia

9. Direktur Utama PT BNI Life Insurance

10. Direktur Utama BPJS Ketenagakerjaan

11. Ketua Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI)

12. Direktur Utama PT Asuransi Cigna

Panitia Seminar Nasional Matematika 2017 juga mengucapkan terima kasih kepada

pembicara utama Prof. Dr. Jatna Supriatna, M.Sc (Ketua RCCC Universitas

Indonesia), Dr. Sri Purwani (Dosen Departemen Matematika FMIPA Universitas

Padjadjaran), Dr. Ardhasena Sopaheluwakan (Kepala Bidang Litbang Klimatologi

dan Kualitas Udara BMKG), para pemakalah pada sesi paralel, setiap tamu

undangan, dan seluruh peserta Seminar Nasional Matematika 2017.

vii

DAFTAR PANITIA SNM 2017

PELINDUNG

1. Prof. Dr. Ir. Muhammad Anis, M.Met. (Rektor Universitas Indonesia)

2. Dr. rer. nat. Abdul Haris (Dekan FMIPA Universitas Indonesia)

KOMISI PENGARAH

1. Alhadi Bustamam, Ph.D. (Gubernur IndoMS JABAR, DKI Jakarta, dan

Banten, sekaligus sebagai Ketua Departemen Matematika, FMIPA Universitas

Indonesia)

2. Prof. Dr. A.K. Supriatna (Ketua Jurusan Matematika, FMIPA Universitas

Padjadjaran)

PANITIA PELAKSANA

1. Ketua : Bevina D. Handari, Ph.D.

2. Sekretaris : Dr. Dipo Aldila

3. Bendahara : Dra. Siti Aminah, M.Kom.

4. Pendanaan : Mila Novita, S.Si., M.Si.

Dr. Titin Siswantining, DEA.

5. Acara : Nora Hariadi, S.Si., M.Si.

Dra. Ida Fithriani, M.Si.

6. Makalah dan Prosiding : Dra. Siti Nurrohmah, M.Si.

Dr. rer. nat. Hendri Murfi

7. Perlengkapan : Maulana Malik, S.Si., M.Si.

Dr. Saskya Mary Soemartojo, M.Si.

Suci Fratama Sari, S.Si., M.Si.

Gianinna Ardaneswari, S.Si., M.Si.

viii

DAFTAR ISI

KATA SAMBUTAN ............................................................................................... ii

Dekan FMIPA Universitas Indonesia .............................................................. iii

Gubernur IndoMS JABAR, Banten, dan DKI Jakarta .................................. iv

Ketua Panitia Seminar Nasional Matematika 2017 ......................................... v

UCAPAN TERIMA KASIH ................................................................................. vi

DAFTAR PANITIA SNM 2017 ........................................................................... vii

DAFTAR ISI......................................................................................................... viii

PEMBICARA UTAMA ......................................................................................... xi

PERANAN MATEMATIKA DALAM MEMAHAMI FENOMENA

LINGKUNGAN ................................................................................................. xii

Prof. Dr. Jatna Supriatna, M.Sc ...................................................................... xii

UNDERSTANDING INDONESIAN ENVIRONMENTAL PHENOMENA,

AND IMPROVING HUMAN LIVES ............................................................ xiv

Dr. Sri Purwani .............................................................................................. xiv

PERSPEKTIF SINGKAT IKLIM DI INDONESIA: PEMODELAN DAN

STATUS PERUBAHAN IKLIM. .................................................................... xv

Dr. Ardhasena Sopaheluwakan ....................................................................... xv

SESI PARALEL .................................................................................................. 431

MATEMATIKA KEUANGAN DAN AKTUARIA ......................................... 431

PERBANDINGAN VOLATILITAS KONSTAN DAN STOKASTIK PADA

NILAI OPSI PUT AMERIKA ...................................................................... 432

ENDAR H. NUGRAHANI ........................................................................... 432

SIMULASI MONTE CARLO UNTUK MENENTUKAN HARGA OPSI

BARRIER UP-AND-OUT CALL DENGAN SUKU BUNGA

TAKKONSTAN .............................................................................................. 440

ISTI KAMILA1, E H NUGRAHANI2, DAN D C LESMANA3 ................... 440

APLIKASI MODEL ADAPTIVE NEURO FUZZY INFERENCE SYSTEM

PADA PREDIKSI HARGA SAHAM DI INDONESIA .............................. 446

DHEA FAIRUZ VIBRANTI, ZUHERMAN RUSTAM, DHIAN WIDYA 446

ix

PREDIKSI TREND HARGA SAHAM MENGGUNAKAN SUPPORT

VECTOR REGRESSION .............................................................................. 456

DIVA ARUM PUSPITASARI, ZUHERMAN RUSTAM ........................... 456

PREDIKSI HARGA INDEKS SAHAM IHSG DENGAN METODE

ADAPTIVE NEURO-FUZZY INFERENCE SYSTEMS ........................... 467

FANITA, ZUHERMAN RUSTAM .............................................................. 467

NILAI RISIKO PADA INVESTASI MATA UANG US$-CNY

BERDASARKAN ASYMMETRIC GJR-GARCH COPULA .................... 474

LIENDA NOVIYANTI 1, ACHMAD BACHRUDIN 2, A. ZANBAR SOLEH

3 DAN M. HUSEIN NURRAHMAT4 .......................................................... 474

APLIKASI ANN DALAM MENENTUKAN TRADING SAHAM

BERBASIS ANALISIS TEKNIKAL ............................................................ 485

IRMAWARDANI SARAGIH1, ZUHERMAN RUSTAM2 ......................... 485

SUKU BUNGA KREDIT INVESTASI IDEAL BANK UMUM DENGAN

ACUAN BI RATE (PENDEKATAN THRESHOLD VECTOR ERROR

CORRECTION MODEL) .............................................................................. 493

GAMA PUTRA DANU SOHIBIEN ............................................................ 493

FAKTOR-FAKTOR YANG MEMPENGARUHI STATUS POLIS

DENGAN MODEL REGRESI LOGISTIK MULTINOMIAL .................. 509

JAMILATUZZAHRO1, REZZY EKO CARAKA2,3, GUSTRIZA ERDA4,

FIZRY LISTIYANI MAULIDA4 ................................................................. 509

ESTIMASI PARAMETER TINGKAT MORTALITA DENGAN

MENGGUNAKAN MODEL LEE-CARTER .............................................. 522

LUTFIANI SAFITRI1, SRI MARDIYATI2 ................................................. 522

PENAKSIRAN SELISIH TINGKAT KLAIM BERDASARKAN

PROSEDUR MORRIS-VAN SLYKE ........................................................... 528

ANISA RATNASARI1, SITI NURROHMAH2, IDA FITHRIANI3 ............ 528

PREDIKSI PREMI MURNI DENGAN GENERALIZED LINEAR

MODELS (GLM) PADA ASURANSI KENDARAAN BERMOTOR ....... 539

AGUS SUPRIATNA1, ENDANG SOERYANA, SARI, D.P., .................... 539

PERHITUNGAN PREMI DALAM ASURANSI JIWA KREDIT DENGAN

MENGGUNAKAN PRINSIP PRESENT VALUE OF FUTURE BENEFIT

(PVFB) ............................................................................................................. 549

RIAMAN1, F. SUKONO2, SUDARTIANTO3, EMAN LESMANA4, DAN

AGUS SUPRIATNA5 ................................................................................... 549

x

PREMI KOTOR SEMI CONTINUOUS ASURANSI DWIGUNA SINGLE

LIFE MULTIPLE DECREMENT DENGAN TINGKAT BUNGA

VASICEK ........................................................................................................ 557

ACHMAD ZANBAR SOLEH1, LIENDA NOVIYANTI2, DAN CAHYADI

RUSNANDAR3 ............................................................................................ 557

ALJABAR-ANALISIS ....................................................................................... 565

PENYAJIAN KODE GENETIK STANDAR DALAM RUANG

BERDIMENSI ENAM BERDASARKAN BASA KUAT NUKLEOTIDA 566

RIYAN ADRIYANSYAH1, ISAH AISAH2, EDI KURNIADI3 .................. 566

INTEGRAL MONTE CARLO ...................................................................... 577

EDDY DJAUHARI ...................................................................................... 577

KEKONVERGENAN BARISAN di ................................................ 584

SUSILO HARTOMO, MUKTIARI, KIKI A SUGENG .............................. 584

EMPAT METODE PEMBENTUKAN FUNGSI LYAPUNOV ................. 593

RUKMONO BUDI UTOMO........................................................................ 593

PENGARUH ELEMEN PRIMITIF DARI GRUP SIKLIK ℤ *

TERHADAP ALGORITMA KRIPTOGRAFI ELGAMAL UNTUK

ENKRIPSI PESAN ......................................................................................... 602

MOHAMMAD HEADING NOR ILAHI1, ANNISA DINI HANDAYANI2

...................................................................................................................... 602

xi

PEMBICARA UTAMA

SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA 2017

xii

PERANAN MATEMATIKA DALAM MEMAHAMI

FENOMENA LINGKUNGAN

Prof. Dr. Jatna Supriatna, M.Sc

Ketua RCCC Universitas Indonesia

Abstrak: Pembangunan berkelanjutan (SDG-Sustainable Development Goal) yang

dicanangkan PBB untuk menggantikan Millenium Development Goal (MDG)

sudah dimulai sejak awal 2016 dan akan berakhir 2030. Dari 17 goal dari SDG, 10

goal adalah traditional development, satu goal adalah kerjasama antar pemangku

kepentingan (SDG 17) dan 6 goal adalah emerging issues dalam permasalahamn

lingkungan yaitu Energi terbarukan (SDG 7), Pembangunan kota dan masyarakat

(SDG 11), Konsumsi bertanggung jawab (12), Perubahan iklim (SDG 13), Laut

dan kehidupan bawah air (SDG 14), dan Kehidupan Flora dan Fauna di darat

(SDG 15). Ke enam permasalahan lingkungan dalam pembangunan berkelanjutan

yang baru ini tidak ada dalam target pembangunan MDG, sehingga banyak sekali

diperlukan riset untuk dapat membuat berbagai kebijakan yang berdasarkan

evidence based decision, mengadaptasikan rencana sesuai dengan kesiapan dan

ketersediaan, pembuatan berbagai computer and mathematical model

pengembangan SDG sampai 2030, mengarusutamakan SDG ke dalam rencana

pembangunan RPJM/RPJP pemerintah pusat dan daerah dan bagaimana membuat

MRV (Measuring, Reporting, Verification) dari setiap goal yang baru. Peranan

pakar matematika sangat besar dalam membantu pelaksanaan pembangunan

berkelanjutan. Sebagai contoh adalah masalah perubahan iklim. Masalah

perubahan iklim adalah masalah terbesar dunia saat ini. Hasil survey Asahi Glass

Foundation (2013) tampak bahwa masalah dunia terbesar saat ini adalah

perubahan iklim (20%) dibanding dengan masalah lingkungan lainnya yang

berkisar antara 10% (polusi) , keanekaragaman hayati (6%) dan yang lainya.

Model-model matematika dan komputer diperlukan untuk mengetahui dampak

perubahan iklim terhadap kenaikan permukaan laut, cuaca ekstrim, kesehatan,

ekonomi, pertanian, flora dan fauna, ketersediaan pakan, air dan lainnya dalam

bentuk time series. Untuk MRV, diperlukan pedoman Pelaksanaan Pengukuran,

Pelaporan, dan Verifikasi Aksi Mitigasi dan adaptasi dari setiap program di setiap

xiii

sektor pemerintah, swasta dan juga termasuk masyarakat. Capaian Aksi Mitigasi

dan adapatasi Perubahan Iklim yang akurat, transparan, dan dapat

dipertanggungjawabkan hanya dapat dilakukan apabila dilakukan oleh berbagai

pakar terintegrasi termasuk pakar matematika dan statistik. Pemerintah harus

mengatur (i) tatacara Pengukuran Aksi Mitigasi adaptasi dan Perubahan Iklim, (ii)

tatacara pelaporan aksi mitigasi dan adaptasi perubahan iklim (iii) tatacara

verifikasi capaian aksi mitigasi dan adaptasi perubahan iklim (iv) tatacara

penilaian. Semua pengaturan tersebut memerlukan perhitungan yang pasti dan

mendalam karena dampak dari perubahan iklim dapat menghancurkan

perekonomian, membahayakan keberadaan ekosistem manusia, dalam jangka

panjang dapat mempengaruhi peradaban dunia.

xiv

UNDERSTANDING INDONESIAN ENVIRONMENTAL

PHENOMENA, AND IMPROVING HUMAN LIVES

Dr. Sri Purwani

Departemen Matematika, FMIPA Universitas Padjadjaran

Abstract: The universe and the environment around us were created perfectly by

Alloh. However, we find a lot of damage and disaster everywhere (Ar-Rum 30:41).

This case, afflicting the environment and people of Indonesia, of course was

through a long process. Indonesia, the country with the largest ocean border in the

world, has experienced prosperity, well-being and peace in society. Understanding

what the cause and how the process of occurrence, can provide answers for future

improvements.

Human beings as part of the environment face the same thing. Various disease

emerges, afflicts human survival. Imaging Sciences as a branch of knowledge is

widely used in medical images analysis, range from disease detection, such as

Alzheimer's, asthma, cancer and so on, up to image-guided surgery. This field

involves many disciplines, hence providing opportunities for mathematicians to

conduct research collaboration with scientists from various disciplines.

Registration and Segmentation, two important processes in the analysis of medical

images, aims to find correspondence between two or more images, and attempts to

extract structures/tissues within images, respectively. Previously, both processes

are done separately. However, information from one process can be used to assist

the other, and vice versa. Therefore, we tried to combine both processes

implemented on database of MR brain images.

One of Petrovic et al. paper shows that adding structural information in their

registration stage improved the result significantly, compared to registration using

intensity alone. However, they only used little structural information. We

attempted to include more structural information/segmentation in our new

methods, and implemented groupwise registration to sets of images, consisting of

tissue fraction images, intensity image and images with other structural

information. The results of the registration were evaluated by using ground-truth

annotation. It was found that ensemble registration using structural information can

give a consistent improvement over registration using intensity alone of 25%-35%.

xv

PERSPEKTIF SINGKAT IKLIM DI INDONESIA:

PEMODELAN DAN STATUS PERUBAHAN IKLIM.

Dr. Ardhasena Sopaheluwakan

Kepala Bidang Litbang Klimatologi dan Kualitas Udara

Pusat Penelitian dan Pengembangan Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika

(BMKG)

Abstrak: Iklim memiliki peranan penting dalam mendukung perikehidupan di

bumi ini. Memiliki pengetahuan mengenai evolusi iklim (lampau dan kini) akan

memberikan pemahaman untuk penggunaannya pada sektor yang penting, semisal

pertanian dan ketahanan pangan. Sedangkan memiliki kemampuan untuk prediksi

iklim yang akan datang, akan memberikan keunggulan untuk perencanaan strategis

pembangunan bangsa-bangsa agar perikehidupannya dapat berkelanjutan

(sustainable development).

Untuk mendapatkan deskripsi yang lengkap atas dinamika iklim di atmosfir,

melibatkan pemodelan dengan rentang skala ruang yang sangat besar, melibatkan

ukuran dari micrometer (butiran awan) hingga ribuan kilometer (planetary scale),

yang melingkupi rentang ukuran ruang hingga 10^{14} meter. Pada saat ini

pemodelan yang tersedia baru memenuhi sebagian dari skala rentang yang besar

tersebut, sehingga tantangan untuk melengkapinya masih terbuka lebar. Presentasi

ini akan memberikan beberapa highlight mengenai pemodelan iklim, karakter iklim

di Indonesia, dan perubahan iklim yang sedang terjadi.

431

SESI PARALEL

MATEMATIKA KEUANGAN

DAN AKTUARIA


432

Prosiding SNM 2017 Matemat ika Keuangan dan Aktuar ia , Hal 432 -439

PERBANDINGAN VOLATILITAS KONSTAN DAN

STOKASTIK PADA NILAI OPSI PUT AMERIKA

ENDAR H. NUGRAHANI

Departemen Matematika - Institut Pertanian Bogor, [email protected]

Abstrak. Salah satu parameter finansial pada kontrak opsi yang harus

mendapatkan perhatian adalah volatilitas, yaitu nilai ukuran variasi dari harga

aset yang mendasari opsi. Opsi Amerika dapat dieksekusi pada sembarang

waktu sampai saat jatuh tempo. Menentukan harga opsi Amerika pada

prinsipnya adalah menyelesaikan suatu proses mundur dengan nilai batas

bebas tertentu. Karena opsi tipe Amerika tidak memiliki penyelesaian

analitis, maka umumnya penyelesaian harus diberikan secara numerik.

Makalah ini menyajikan beberapa formulasi nilai batas pada model penilaian

opsi put Amerika, disertai perbandingan hasil simulasi model dengan

volatilitas konstan dan stokastik.

Kata kunci: opsi put Amerika, volatilitas stokastik, masalah nilai batas.

1. Pendahuluan

Kontrak opsi adalah perjanjian antara dua pihak yang memberikan hak

kepada salah satu pihak, untuk menjual atau membeli aset pada harga yang telah

disepakati sampai waktu jatuh tempo. Pada dasarnya ada dua tipe opsi, yaitu opsi

put dan opsi call. Opsi put adalah kontrak opsi yang memberikan hak kepada

pemiliknya untuk menjual sejumlah aset. Sedangkan opsi call adalah kontrak opsi

yang memberikan hak kepada pemiliknya untuk membeli sejumlah aset yang

mendasari.

Berdasarkan waktu eksekusinya, kontrak opsi dibedakan atas opsi Amerika

dan Eropa. Opsi Amerika adalah kontrak opsi yang dapat dieksekusi kapan saja

antara tanggal pembelian sampai dengan tanggal jatuh tempo (expiration date).

Sedangkan opsi Eropa adalah opsi yang hanya dapat dieksekusi pada saat tanggal

jatuh tempo. Untuk mendapatkan kontrak opsi, investor harus mengeluarkan biaya

(premi) dan pembayarannya dilakukan pada saat kontrak dibuat, yang disebut juga

dengan nilai opsi [1,5].

Pada opsi tipe Eropa, teori penilaian opsi telah dikembangkan sejak tahun

1973 oleh Black dan Scholes dalam bentuk penyelesaian persamaan diferensial

parsial Black-Scholes. Di samping itu, Merton mempublikasikan hasil karyanya

yang merupakan perluasan dari formula Black-Scholes, yang dikenal dengan

formula Black-Scholes-Merton untuk nilai opsi Eropa [1]. Setelah itu, beberapa

peneliti lain berhasil memodelkan opsi Amerika dengan melakukan penyesuaian

433

argumentasi terhadap penurunan persamaan Black-Scholes. Dengan penyesuaian

argumentasi ini, akan diperoleh model formula Black-Scholes untuk opsi Amerika

dalam bentuk ketaksamaan [5]. Berbeda dengan opsi Eropa yang nilainya dapat

ditentukan secara analitis menggunakan persamaan Black-Scholes, maka opsi

Amerika hanya dapat diselesaikan secara numerik terhadap ketaksamaan Black-

Scholes tersebut. Aset yang mendasari opsi umumnya adalah aset yang memiliki

kecenderungan berubah nilainya seiring perubahan waktu karena diperdagangkan,

misalkan saham. Salah satu parameter finansial yang harus mendapatkan perhatian

adalah volatilitas, yaitu nilai ukuran variasi dari harga aset tersebut. Volatilitas itu

sendiri pada umumnya diasumsikan sebagai parameter konstan. Akan tetapi, dalam

rangka membuat model lebih realistis, volatilitas ini dapat pula diasumsikan

sebagai suatu peubah acak yang dapat berubah sejalan dengan perubahan waktu

sesuai kaidah peluang tertentu, yang disebut volatilitas stokastik [2].

Tahap penting dalam penilaian opsi Amerika adalah menemukan batas

eksekusi awal, yang menunjukkan keadaan kapan opsi sebaiknya dieksekusi

sebelum jatuh tempo. Akan tetapi, penyelesaian eksplisit masalah nilai awal ini

tidak diketahui karena tidak terdapat bentuk eksplisit dari syarat batasnya. Dalam

makalah ini disajikan penentuan nilai opsi put Amerika, dengan parameter

volatilitas diasumsikan konstan serta dibandingkan dengan volatilitas stokastik.

2. Pemodelan Saham dan Derivatif

Sebagai aset yang mendasari opsi, harga saham diasumsikan mengikuti

proses Itô [1] berikut

(1)

dengan dS menyatakan perubahan harga saham pada interval waktu dt, μ adalah

parameter konstan yang menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham

dan σ volatilitas harga saham. Pada model ini parameter volatilitas σ diasumsikan

bernilai konstan. Dengan model tersebut, dapat ditunjukkan bahwa harga saham

pada saat t memiliki distribusi log-normal, yaitu

melambangkan distribusi normal dengan nilai tengah dan ragam , S0

adalah harga saham awal. Apabila tingkat pertumbuhan harga saham μ dianggap

sama dengan tingkat suku bunga bebas risiko r, maka penyelesaian persamaan (1)

memberikan penduga harga saham pada saat t sebagai

(2)

Misalkan adalah suatu fungsi dari harga saham S. Lemma Itô

menunjukkan bahwa juga merupakan suatu proses stokastik yang sama

dengan aset yang mendasarinya, sehingga memenuhi proses Itô menurut model

berikut:

(3)

434

Untuk menghilangkan pengaruh stokastik pada proses Wiener dW, dipilih sebuah

portofolio yang diinvestasikan pada saham dan derivatif. Strategi yang dipilih

adalah membeli satu opsi dan menjual

saham. Misalnya π adalah nilai portfolio

yang dimaksud, maka

. (4)

Perubahan nilai portofolio pada interval waktu dt didefinisikan sebagai

. (5)

Substitusi (1) dan (3) ke (5) menghasilkan

. (6)

Tingkat pengembalian (return) dari investasi sebesar π pada saham takberisiko

akan memiliki pertumbuhan sebesar rπdt dalam interval waktu dt, dengan r adalah

suku bunga bebas risiko. Agar tidak terdapat peluang arbitrase, nilai pertumbuhan

ini harus sama dengan ruas kanan dari (6), yaitu:

. (7)

Substitusi (4) ke (7) menghasilkan

(8)

yang dikenal sebagai persamaan Black-Scholes-Merton[1]. Persamaan (8) harus

dipenuhi oleh semua produk derivatif f agar layak diperdagangkan, yang berarti

tidak menimbulkan kesempatan arbitras.

Misalkan produk derivatif yang dimaksud adalah opsi tipe Eropa, dapat

berupa opsi put ataupun call. Misalkan pula opsi tersebut memiliki masa jatuh

tempo T, dengan nilai saham sekarang S0, volatilitas saham σ dan tingkat suku

bunga r. Formula Black-Scholes untuk nilai opsi sebagai penyelesaian risiko netral

dari (8) untuk nilai opsi put p dan opsi call c adalah [1]:

(9)

dengan

dan

Formula (9) untuk penilaian opsi disebut sebagai formula Black-Scholes [1].

435

3. Model Opsi Amerika

Untuk opsi tipe Amerika, persamaan (7) tidak dipenuhi karena pendapatan portofolio tidaklah lebih banyak dari suku bunga bebas risiko portofolio itu, sehingga

Dengan demikian, hal itu menjadi alasan bagi pemegang opsi Amerika untuk

mengontrol kapan opsi yang dimiliki akan dieksekusi. Jika eksekusinya tidak

optimal, maka nilai perubahan portofolio akan kurang dari return tanpa risiko,

sehingga didapat pertidaksamaan:

. (10)

Pertidaksamaan (10) adalah dikenal sebagai pertaksamaan Black-Scholes untuk

opsi Amerika [1]. Pada kasus ini volatilitas diasumsikan konstan sebesar .

Opsi Put Amerika dengan Volatilitas Konstan

Jika opsi Amerika yang dimaksud adalah opsi put, maka kondisi batas

bawah untuk opsi put Amerika adalah

. (11)

Alasan yang mendasarinya adalah sebagai berikut: jika seseorang

dapat membeli opsi put f, dan segera mengeksekusinya, yaitu dengan membeli S

dan menjualnya sebesar K. Dengan demikian investor memperoleh pendapatan tak

berisiko sebesar .

Misalkan menyatakan harga kritis saham sedemikian sehingga opsi

akan optimal apabila dieksekusi lebih awal dan . Jika maka

opsi akan dieksekusi, namun jika opsi tidak dieksekusi. Dengan demikian

(11) dapat dinyatakan dengan:

(12a)

atau

. (12b)

Karena tidak diketahui posisinya, penyelesaian terhadap ini disebut

masalah nilai batas bebas (free buondary-value problem). Dengan demikian

masalah nilai batas bebas dari opsi put Amerika dapat diformulasikan sebagai

berikut [4].

Untuk berlaku

dan . (13)

Sedangkan untuk berlaku

dan . (14)

436

Selanjutnya dipenuhi syarat batas

dan syarat akhir

Nilai opsi didapatkan dengan menyelesaikan (13) dan (14) apabila nilai batas

diberikan. Karena tidak tersedianya bentuk eksplisit dari nilai batas tersebut,

maka umumnya nilai ditentukan secara numerik.

Opsi Put Amerika dengan Volatilitas Stokastik

Salah satu kelemahan utama model Black-Scholes adalah bahwa volatilitas

dari aset yang mendasari opsi diasumsikan konstan sepanjang waktu. Salah satu

cara untuk mengatasi kekurangan tersebut adalah dengan memodifikasi model

sehingga memiliki volatilitas stokastik [2]. Pada model tersebut, dimisalkan harga

saham sebagai aset yang mendasari opsi mengikuti model gerak Brown dengan

ragam bervariasi, yang disebut sebagai proses Cox-Ingersoll-Ross, yang berbentuk

suatu sistem persamaan diferensial stokastik

, (15)

, (16)

, (17)

dengan adalah varians pada saat t, adalah rata-rata varians jangka panjang,

adalah tingkat perubahan rataan, adalah drift dari saham, adalah volatilitas dari

varians, adalah korelasi antara imbal hasil saham dan perubahan varians.

Parameter korelasi dimasukkan dalam model karena diyakini adanya fakta korelasi

negatif antara imbal hasil saham dan perubahan varians.

Model dengan volatilitas stokastik dirumuskan dengan mengasumsikan

bahwa batas kritis harga saham untuk eksekusi opsi Amerika bergantung pada

volatilitas stokastik , dinotasikan dengan . Nilai opsi juga memenuhi

persamaan berikut:

Selanjutnya menggunakan argumentasi non-arbitras pada sistem persamaan

diferensial stokastik (15) – (17), dapat disusun model sistem persamaan diferensial

parsial untuk nilai opsi beserta syarat batasnya sebagai berikut:

(20)

437

Sedangkan persamaan diferensial untuk nilai batas adalah

Selanjutnya, menggunakan (18) – (22) didapatkan nilai batas sebagai

penyelesaian dari persamaan berikut:

Persamaan (23) dapat diselesaikan apabila nilai awal bagi diketahui. Akan tetapi

nilai awal tersebut relatif sulit untuk diperoleh, sehingga prosedur numerik

diperlukan untuk menyelesaikan nilai batas tersebut.

4. Simulasi

Sebagai ilustrasi, berikut disajikan beberapa hasil simulasi dari berbagai

sumber. Pertama, penyelesaian masalah nilai batas secara numerik untuk penentuan

nilai opsi put Amerika dengan volatilitas konstan pada berbagai nilai saham awal

diberikan pada Gambar 1, serta nilai opsi put terhadap berbagai nilai volatilitas

konstan diberikan pada Gambar 2 [3]. Sedangkan ilustrasi penyelesaian numerik

untuk model volatilitas stokastik [2] diberikan pada Gambar 3.

Nil

ai O

psi

pu

t, p

Harga awal saham, S0

Gambar 1. Hasil simulasi numerik nilai opsi put Amerika terhadap harga saham

awal dengan volatilitas konstan.

438

Nil

ai O

psi

pu

t, p

Volatilitas, σ

Gambar 2. Hasil simulasi numerik nilai opsi put Amerika terhadap berbagai nilai

volatilitas konstan.

Nil

ai B

atas

Op

si,

b

Waktu t

Gambar 3. Hasil simulasi numerik nilai batas opsi put Amerika dengan volatilitas

stokastik.

Hasil simulasi terhadap nilai opsi pada kasus volatilitas konstan pada Gambar 1

menunjukkan bahwa nilai opsi put memiliki kecenderungan nilai yang menurun

apabila harga saham awal sebagai aset yang mendasari opsi mengalami penurunan.

Sedangkan hasil simulasi terhadap nilai batas opsi put Amerika pada Gambar 2

menunjukkan bahwa dengan semakin lama waktu untuk melakukan aksekusi awal,

maka nilai batas b akan semakin menurun.

439

5. Kesimpulan

Opsi put Amerika yang memiliki keleluasaan waktu eksekusi dapat

ditentukan nilainya dengan menyelesaikan masalah nilai batas bebas secara

numerik, baik pada kasus asumsi volatilitas konstan maupun volatilitas stokastik.

Hasil simulasi numerik menunjukkan bahwa volatilitas konstan yang semakin

tinggi akan memberikan nilai opsi put yang semakin tinggi pula. Sedangkan

simulasi volatilitas stokastik menunjukkan bahwa jika waktu eksekusi awal opsi

put Amerika semakin lama, maka semakin rendah nilai batas kritis saham untuk

eksekusi awal opsi put Amerika yang optimal.

Referensi

[1] Hull, J.C., 2012, Options, Futures, and Other Derivatives 8th Ed., Prentice Hall

International Inc.

[2] Mitchell, D. and Goodman, J., 2009, An Accurate Representation of the Early Exercise

Boundary of American Options with Stochastic Volatility, Working Paper #2009-3,

Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University.

[3] Nugrahani, E.H., Syazali, M. dan Suritno, 2011, Penilaian Opsi Put Amerika dengan

Metode Monte Carlo dan Metode Beda Hingga, Prosiding Seminar Nasional Sains IV,

Fakultas MIPA IPB, Bogor.

[4] Pauly, O., 2004, Numerical Simulation of American Option [theses], Universität Ulm,

Germany.

[5] Wilmott, P., Howison, S. and Dewynne, J., 1996, The Mathematics of Financial

Derivatives, Cambridge University Press, USA.

440


SIMULASI MONTE CARLO UNTUK MENENTUKAN

HARGA OPSI BARRIER UP-AND-OUT CALL DENGAN

SUKU BUNGA TAKKONSTAN

ISTI KAMILA1, E H NUGRAHANI

2, DAN D C LESMANA

3

1 Mahasiswa S2 Program Studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana IPB,

[email protected]

2 Departemen Matematika FMIPA IPB, [email protected]

3 Departemen Matematika FMIPA IPB, [email protected]

Abstrak. Penentuan harga opsi barrier selama ini pada umumnya

menggunakan model matematika yang mengasumsikan suku bunga takkonstan.

Hal ini tidak sesuai dengan kondisi sebenarnya dalam dunia keuangan karena suku

bunga berfluktuasi terhadap waktu. Dalam tulisan ini, ditentukan harga opsi barrier

jenis up-and-out call dengan suku bunga takkonstan dengan menggunakan exit

probabity dan peubah acak berdistribusi seragam untuk mengestimasi waktu pertama

kali harga underlying asset mencapai level harga barrier. Hasil simulasi Monte Carlo

memberikan hasil yang baik karena memberikan error yang kecil yaitu sebesar

0.19%. Membesarnya harga strike menyebabkan harga opsi barrier up-and-out call

menjadi semakin kecil. Membesarnya harga barrier menyebabkan harga opsi barrier

up-and-out call menjadi semakin besar. Di sisi lain, membesarnya waktu jatuh tempo

opsi menyebabkan harga opsi barrier up-and-out call menjadi semakin kecil.

Kata kunci: Monte Carlo, opsi barrier up-and-out call, suku bunga takkonstan, exit

probability

1. Pendahuluan

Banyak investor menggunakan uangnya untuk berinvestasi pada berbagai

produk investasi. Salah satu produk investasi yang sedang populer di pasar

keuangan adalah opsi. Untuk memberikan perlindungan yang lebih kepada penjual

dan pembeli, terbentuklah opsi barrier yang memberikan batas harga penentuan

aktif atau tidaknya opsi. Hal ini mengakibatkan opsi barrier menjadi semakin

banyak diminati.

Penentuan harga opsi barrier biasanya menggunakan model matematika

yang mengasumsikan suku bunga konstan. Akan tetapi ini tidak sesuai dengan

kondisi sebenarnya dalam dunia keuangan karena suku bunga berfluktuasi terhadap

waktu. Akibatnya, dibutuhkan suatu alat untuk menentukan harga opsi barrier.

Penentuan harga opsi barrier bisa dilakukan dengan dua cara, yaitu

menyelesaikan persamaan diferensial parsial (PDP) Black-Scholes dan menghitung

nilai harapan dari payoff terdiskon (Moon 2008). Pada tulisan ini, penghitungan

harga opsi barrier dilakukan dengan cara menghitung nilai harapan dari payoff

mailto:[email protected]


441

terdiskon. Untuk mengaproksimasi nilai harapan payoff terdiskon, metode yang

dapat digunakan adalah metode binomial Lattice dan metode Monte Carlo. Pada

tulisan ini, digunakan metode Monte Carlo untuk menghitung harga opsi barrier.

Penghitungan harga opsi barrier telah diteliti oleh Moon (2008) dan Noury dan

Abbasi (2015) dengan menggunakan metode modifikasi Monte Carlo. Pada

modifikasi Monte Carlo tersebut, diberi exit probability dan peubah acak seragam

untuk mengaproksimasi waktu pertama kali harga underlying asset menyentuh

barrier. Solusi numerik yang dihasilkan dari penelitian mereka mendekati nilai

eksak dan memperkecil error waktu pertama kali harga aset S menyentuh barrier.

Kelemahan penelitian ini adalah menggunakan asumsi suku bunga konstan. Suku

bunga yang berfluktuasi yang terjadi di kehidupan nyata menyebabkan asumsi

tersebut tidak sesuai dengan praktik nyata, sehingga tulisan ini mengubah asumsi

tersebut menjadi suku bunga takkonstan.

Adapun langkah dalam menentukan harga opsi barrier jenis up-and-out call,

langkah pertama yang dilakukan adalah mengestimasi parameter model suku bunga

Cox-Ingersoll-Ross (CIR) menggunakan metode ordinary least square. Hasil

estimasi parameter model suku bunga CIR akan digunakan untuk menghitung suku

bunga pada setiap titik waktu. Suku bunga yang diperoleh akan digunakan untuk

menghitung harga opsi barrier up-and-out call dengan menggunakan metode

Monte Carlo yang ditambahkan dengan penggunaan exit probabity dan peubah

acak berdistribusi seragam, yang tujuannya untuk mengestimasi waktu pertama kali

harga underlying asset mencapai level harga barrier.

2. Tinjauan Pustaka

2.1 Model Cox-Ingersoll-Ross(CIR)

Model tingkat suku bunga CIR merupakan model equilibrium yang

diperkenalkan pada tahun 1985. Model CIR menjamin tingkat suku bunga bernilai

positif dan memiliki sifat mean reversion atau mempunyai kecenderungan kembali

menuju rata-rata. Persamaan model Cox-Ingersoll-Ross [1] adalah

( ) rdr t r t dt r t dz

dengan , 0 , r adalah volatilitas suku bunga, adalah rata-rata nilai suku

bunga jangka panjang, menunjukkan kecepatan dari nilai suku bunga menuju

rata-rata nilai suku bunga jangka panjang, dan dz adalah proses wiener. Drift

r t menjamin tingkat suku bunga pada waktu t kembali menuju rata-rata

suku bunga jangka panjang. Faktor r r t menghindari kemungkinan suku

bunga yang dihasilkan negatif.

Ketika tingkat suku bunga r t mendekati 0, standar deviasi r r t

menjadi sangat kecil, yang dapat memperkecil pengaruh keacakan tingkat suku

bunga. Akibatnya, ketika tingkat suku bunga mendekati 0, perubahan tingkat suku

bunga lebih didominasi oleh faktor drift, yang mendorong tingkat suku bunga

menuju ke arah kesetimbangan.

442

2.2 Metode Ordinary Least Square

Objek penelitian yang sering diteliti adalah spesifikasi dari sebuah hubungan

fungsional antara dua variabel, seperti y = f(x). Variabel y dinamakan variabel

terikat dan x adalah variabel bebas. Hubungan tersebut tidak dapat memberikan

informasi yang sempurna akibat adanya faktor-faktor dari luar yang tidak yang

tidak diteliti lebih lanjut. Hal ini menyebabkan akan adanya error dalam hubungan

tersebut. oleh karena itu, penulisan yang tepat untuk menggambarkan hubungan

fungsional pada penelitan adalah y = f(x) + ε, dengan ε adalah variabel acak yang

dinamakan error. Persamaan tersebut dinamakan persamaan regresi dari y terhadap

x. Error muncul dari error pengukuran y atau ketidaksempurnaan dalam spesifikasi

dari fungsi f(x) yang dikarenakan banyaknya variabel lain selain x yang

memengaruhi y, tetapi kita abaikan variabel-variabel tersebut [2].

Karena ε adalah variabel acak, maka y juga variabel acak. Kita asumsikan

variabel bebas x adalah variabel tak acak dan juga diasumsikan f(x) adalah fungsi

linear, yaitu ( )f x x [2]. Misalkan kita memiliki n pengamatan pada y dan

x, maka kita memiliki

dengan 1, 2, 3, ... , i i iy x i n .

Kita akan mengestimasi parameter α dan β dengan menggunakan metode ordinary

least square. Metode ordinary least square adalah metode untuk mencari estimasi

parameter yang meminimalkan kuadrat jumlah error (Q), yang didefinisikan

sebagai berikut

22

1 1

ˆˆˆ ˆ dengan n n

i i i i i

i i

Q y y y x

.

Gagasan intuitif di balik metode ini adalah garis regresi dilalui titik-titik

sedemikian sehingga titik-titik tersebut sedekat mungkin dari sebaran titik yang

sebenarnya [4].

2.3 Metode Monte Carlo untuk Harga Opsi

Pada penggunaan metode Monte Carlo, harga opsi barrier (V(s,t)) adalah

nilai harapan dari payoff harga opsi barrier. Nilai harapan dari payoff

diaproksimasikan sebagai rata-rata payoff sampel dari M simulasi.

1

1, [ ( , ) | ] , ( , ; )

M

t j

j

V s t E S S s V s t S wM

dengan adalah sebuah aproksimasi dari waktu menyentuh barrier [3].

3. Hasil Simulasi

Misalkan suatu opsi barrier up-and-out call memunyai waktu jatuh tempo T

= 1 tahun dengan harga saham saat ini S0 = 100, harga strike sebesar K = 105, suku

bunga bebas risiko takkonstan dengan nilai awal 0r = 0.065, volatilitas

0.25o . Selanjutnya akan disimulasikan harga opsinya dengan banyaknya

simulasi yang semakin meningkat dengan menggunakan alat komputasi SCILAB.

443

Tabel 1 Hasil simulasi harga opsi barrier up-and-out call dengan suku bunga

takkonstan

M Harga Opsi Barrier Up-and-Out call Error Relatif

5 0.7748793 0.635511636

25 1.0660755 0.498538527

125 1.5259186 0.28223715

625 2.0704829 0.026084545

3125 2.0780165 0.022540884

15625 2.1217106 0.001988018

78125 2.1217584 0.001965533

Tabel 1 menunjukkan harga opsi barrier up-and-out call dengan suku bunga

takkonstan berdasarkan hasil simulasi Monte Carlo disertai nilai error relatif. Oleh

karena opsi barrier up-and-out call dengan suku bunga takkonstan tidak memiliki

solusi analitik, maka nilai error relatif dihitung dari persentase selisih harga opsi

pada tiap simulasi terhadap solusi “analitik”. Solusi “analitik” dipilih dengan

mempertimbangkan simulasi yang dapat diproses pada komputer sesuai kapasitas

memory maksimum yang tersedia, yakni dengan simulasi sebesar 390625M .

Pada simulasi optimal tersebut, harga opsi barrier up-and-out call yang dihasilkan

adalah sebesar 2.125937. Berdasarkan hasil simulasi pada tabel tersebut, semakin

banyak simulasi yang dilakukan, nilai error dari harga opsi barrier up-and-out call

semakin kecil dan hasil yang dihasilkan cukup baik karena error yang dihasilkan

pada simulasi 78125M kecil yaitu sebesar 0.001965533.

Harga Opsi Barrier Up-and-Out call terhadap Harga Strike

Berdasarkan hasil simulasi Monte Carlo, perubahan harga opsi barrier up-

and-out call dengan suku bunga takkonstan seiring dengan perubahan harga strike

(K) dapat dilihat pada Gambar 1.

Gambar 1 menunjukkan bahwa semakin besar nilai K mengakibatkan

mengecilnya harga opsi barrier up-and-out call dengan suku bunga takkonstan. Ini

6.8

6.85

6.9

6.95

7

7.05

7.1

7.15

7.2

7.25

7.3

90 90.1 90.2 90.3 90.4 90.5 90.6

Har

ga

Opsi

Harga Strike

Gambar 1 Grafik perubahan harga opsi barrier up-and

out call terhadap nilai K

444

berarti, untuk memperkecil harga opsi barrier up-and-out call, investor bisa

memperbesar harga strike-nya.

3.1 Harga Opsi Barrier Up-and-Out Call terhadap Harga Barrier

Perubahan harga opsi barrier up-and-out call dengan suku bunga takkonstan

seiring dengan perubahan harga barrier(B) berdasarkan hasil simulasi Monte

Carlo, dapat dilihat pada Gambar 2.

Gambar 2 menunjukkan bahwa semakin besar nilai B mengakibatkan

membesarnya harga opsi barrier up-and-out call dengan suku bunga takkonstan.

Hal ini berarti membesarnya nilai B memiliki pengaruh yang positif terhadap

harga opsi barrier up-and-out call dengan suku bunga takkonstan.

3.2 Harga Opsi Barrier Up-and-Out Call terhadap Waktu Jatuh Tempo

Sedangkan, perubahan harga opsi barrier up-and-out call dengan suku

bunga takkonstan seiring dengan perubahan waktu jatuh tempo(T) dapat dilihat

pada Gambar 3.

-1

0

1

2

3

4

5

6

90 100 110 120 130 140 150

Har

ga

Op

si

Harga Barrier

0

0.5

1

1.5

2

2.5

1 2 3 4 5

Har

ga

Op

si

Waktu Jatuh Tempo

Gambar 2 Grafik perubahan harga opsi barrier up-and-out call

terhadap nilai B

Gambar 3 Grafik perubahan harga opsi barrier up-and-out

call terhadap lama waktu jatuh tempo

445

4. Kesimpulan

Gambar 3 menunjukkan bahwa semakin lama waktu jatuh tempo

mengakibatkan mengecilnya harga opsi barrier up-and-out call dengan suku bunga

takkonstan. Ini berarti, strategi memperkecil harga barrier up-and-out call, dapat

dilakukan dengan memperlama masa hidup opsi tersebut.

Penggunaan metode Monte Carlo dengan exit probability dalam simulasi

numerik untuk menentukan harga opsi barrier up-and-out call dengan suku bunga

takkonstan memberikan hasil yang cukup baik karena memberikan error yang kecil.

Hasil simulasi Monte Carlo menunjukkan bahwa membesarnya harga strike

menyebabkan harga opsi barrier up-and-out call menjadi semakin kecil.

Membesarnya harga barrier menyebabkan harga opsi barrier up-and-out call

menjadi semakin besar. Di lain sisi, semakin lamanya waktu jatuh tempo opsi

menyebabkan harga opsi barrier up-and-out call menjadi semakin kecil.

Pernyataan Terima Kasih

Terima kasih saya ucapkan kepada Departemen Matematika IPB sebagai sponsor

penulisan makalah ini serta kepada Ibu Dr. Ir. Endar H Nugrahani, MS dan Bapak

Dr. Donny C Lesmana, S.Si, M.Fin.Math atas bimbingan penulisan makalah ini.

Referensi

[1] Cox JC, Ingersoll JE, Ross SA. 1985. A theory of The Term Structure of Interest Rates.

Econometrica. 53(2):385-408.

[2] Maddala GS. 1979. Econometrics. Japan: McGraw-Hill, Inc.

[3] Moon K. 2008. Efficient Monte Carlo Algorithm for Pricing Barrier Options. Journal

of Communications of The Korean Mathematical Society. 23:285-294.

[4] Pindyck RS, Rubinfeld DL. 1983. Econometrics Models and Economic Forecasts.

Japan: McGraw-Hill, Inc.

446

.Prosiding SNM 2017 Matematika Keuangan dan Aktuaria, Hal 446-455

APLIKASI MODEL ADAPTIVE NEURO FUZZY

INFERENCE SYSTEM PADA PREDIKSI HARGA SAHAM

DI INDONESIA

DHEA FAIRUZ VIBRANTI, ZUHERMAN RUSTAM, DHIAN

WIDYA

Departemen Matematika FMIPA, Universitas Indonesia,

[email protected], [email protected], [email protected]

Abstrak. Prediksi harga saham memegang peranan penting dalam dunia

finansial sebab mampu memberikan gambaran kecenderungan harga saham di

masa depan. Hasil prediksi yang akurat dapat membantu investor saham untuk

memperoleh keuntungan serta memperkecil kerugian yang mungkin dialami

olehnya. Dalam makalah ini, dibahas suatu aplikasi dari model Adaptive Neuro

Fuzzy Inference System (ANFIS) pada prediksi harga saham PT. Asuransi

Multi Artha Guna (AMAG). Beberapa indikator teknikal seperti Moving

Average (MA), Bollinger Bands (BBands), dan Relative Strength Index (RSI)

digunakan untuk membangun model ANFIS tersebut. Akurasi dari hasil

prediksi diukur dengan menggunakan statistik-U Theil dan Root Mean Squared

Error (RMSE). Hasil yang didapat menunjukkan bahwa model ANFIS dapat

memberikan prediksi dengan akurasi yang cukup baik dan dapat dijadikan

acuan bagi investor dalam mengetahui prediksi harga saham di masa depan.

Kata kunci : ANFIS; prediksi saham; indikator teknikal

1. Pendahuluan

Saham merupakan salah satu instrumen investasi yang populer di kalangan

masyarakat. Hal ini disebabkan karena berinvestasi melalui transaksi jual-beli

saham seringkali mendatangkan return yang lebih baik dibandingkan dengan

berinvestasi pada beberapa instrumen pasar modal lainnya. Namun, keuntungan

dan kerugian yang mungkin diperoleh bergantung pada ketepatan investor dalam

memprediksi harga saham di kemudian hari.

Prediksi harga saham memegang peranan penting dalam dunia finansial

sebab mampu memberikan gambaran kecenderungan harga saham di masa depan.

Hasil prediksi yang akurat dapat membantu investor untuk memperoleh informasi

harga saham masa depan secara tepat sehingga dapat meraih keuntungan yang

diharapkan. Pergerakan harga saham yang dinamis, atau dengan kata lain selalu

berubah seiring berjalannya waktu, merupakan faktor yang mempersulit proses

prediksi harga saham dengan akurasi yang baik. Masalah ini memicu peneliti untuk



447

menentukan metode yang dapat menuntun investor untuk memprediksi harga

saham secara akurat. Pada makalah ini, akan dilakukan dua tahap dalam proses

prediksi harga saham, yaitu melakukan analisis teknikal kemudian menggunakan

metode ANFIS.

Investor seringkali menggunakan analisis tertentu sebelum berinvestasi

dalam bentuk saham. Terdapat dua jenis analisis yang sering digunakan oleh

investor untuk melakukan suatu prediksi, antara lain analisis teknikal dan analisis

fundamental. Investor menggunakan analisis teknikal dalam mengevaluasi saham,

yaitu dengan mempelajari statistik pasar dengan melihat pola yang dihasilkan oleh

market activity, historical price, dan volume untuk memprediksi harga di masa

depan [4].

Indikator analisis teknikal adalah perhitungan matematis yang dapat

diterapkan pada harga atau volume saham, dengan hasil berupa nilai yang

digunakan untuk mengantisipasi perubahan harga di masa depan [1]. Dalam

memprediksi harga saham, makalah ini menggunakan beberapa indikator teknikal

yang populer di kalangan investor. Indikator-indikator teknikal tersebut antara lain

Moving Average (MA), Bollinger Bands (BBands), dan Relative Strength Index

(RSI). Nilai-nilai dari setiap indikator teknikal diperoleh dari data trading harga

saham harian dengan menggunakan perhitungan dari masing-masing indikator

teknikal tersebut.

Berdasarkan Jang [2], Adaptive Neuro Fuzzy Inference System (ANFIS)

merupakan metode yang mengintegrasikan Adaptive Neural Network (ANN) dan

Fuzzy Inference System (FIS) yang menggunakan himpunan aturan fuzzy if-then

dengan fungsi keanggotaan untuk membangun pasangan input-output dengan

derajat akurasi yang cukup tinggi. Fuzzy Inference System (FIS) terdiri atas lima

layer (lapisan). Dalam arsitektur ANFIS yang ditampilkan pada Gambar 1.1,

diasumsikan bahwa FIS memiliki input berupa dan , serta output berupa suatu

fungsi . FIS terdiri atas dua aturan fuzzy if-then berdasarkan model orde-1 Takagi

dan Sugeno [5] sebagai berikut:

Aturan 1 :

Aturan 2 :

dengan adalah nilai-nilai keanggotaan berupa variabel

linguistik, adalah parameter konsekuen.

448

Node pada posisi ke- dari lapisan ke- dinotasikan sebagai . Berikut

penjelasan mengenai masing-masing lapisan pada FIS:

Lapisan 1 :

Lapisan ini merupakan lapisan input. merupakan fungsi keanggotaan

dari . Pada model Jang [3], node fuzzification menggunakan fungsi keanggotaan

Generalized Bell yang diberikan dalam perhitungan berikut:

( 1)

( 2)

dengan sebagai input dan sebagai output yang merupakan derajat

keanggotaan, serta merupakan parameter.

Lapisan 2 :

Lapisan ini merupakan lapisan aturan. Setiap node aturan menerima

input dari masing-masing node fuzzification dan melakukan perhitungan firing

strength dari aturan tersebut, yaitu:

( 3)

Gambar 1. 1 – Arsitektur ANFIS

449

Lapisan 3 :

Setiap node pada lapisan ini diberi label . Setiap node menerima input

dari masing-masing node firing strength yang telah dihitung sebelumnya. Output

dari lapisan ini disebut normalized firing strengths dengan perhitungan sebagai

berikut:

( 4)

Lapisan 4 :

Lapisan ini merupakan lapisan defuzzification. Node defuzzification

menghitung nilai konsekuen terboboti dari aturan yang telah diberikan sebelumnya.

Perhitungannya sebagai berikut:

( 5)

dengan merupakan parameter konsekuen.

Lapisan 5 :

Lapisan ini menghitung keseluruhan output dari node-node defuzzification

dan menghasilkan output ANFIS. Perhitungannya sebagai berikut:

( 6)

Tujuan utama dari penulisan makalah ini ialah untuk menerapkan metode

Adaptive Neuro Fuzzy Inference System berdasarkan analisis teknikal untuk

memperoleh prediksi harga saham PT. Asuransi Multi Artha Guna (AMAG).

Bagian lain dari paper ini terdiri atas Bagian 2 yang membahas hasil penelitian dan

Bagian 3 yang membahas kesimpulan dari penelitian yang telah dilakukan.

2. Hasil – Hasil Utama

2.1 Pengolahan Data

Data yang digunakan dalam makalah ini adalah data historis dari harga saham harian PT. Asuransi Multi Artha Guna (AMAG) tahun 2014-2016. Data historis terdiri atas opening price, high price, low price, closing price, dan stock trading volume dari saham tersebut. Data harga saham dalam satu tahun dianggap sebagai satu unit dataset, dengan data bulan Januari-November pada setiap tahunnya merupakan training data dan data bulan Desember pada setiap tahunnya merupakan testing data.

Selanjutnya akan ditentukan nilai dari masing-masing indikator teknikal. Setiap nilai dari indikator teknikal dapat ditentukan dengan menggunakan data

450

historis melalui perhitungan yang akan dibahas sebagai berikut.

Moving Average (MA)

MA merupakan suatu indikator yang menunjukkan nilai rata-rata dari harga saham pada suatu periode waktu [1]. Jenis MA yang digunakan pada makalah ini adalah simple moving average (SMA) dengan periode waktu 5 hari. Perhitungan untuk simple moving average adalah sebagai berikut:

( 7)

dengan

: Simple moving average dengan periode waktu 5 hari

: Closing price selama 5 hari

Bollinger Bands (BBands)

BBands merupakan suatu indikator teknikal yang berguna untuk membandingkan volatilitas dan tingkat harga yang bergantung pada suatu periode waktu. BBands ditampilkan dalam tiga bands (pita). Berikut penjelasan mengenai perhitungan dari masing-masing pita tersebut [1].

Middle band merupakan simple moving average dengan periode waktu hari. Perhitungan untuk middle band adalah sebagai berikut:

( 8)

dengan

: Closing price pada hari ke-j

: Periode waktu (umumnya 20 hari)

Upper band sama halnya dengan middle band, bedanya upper band digeser ke atas sejauh jumlah standar deviasi. Perhitungan untuk upper band adalah sebagai berikut:

( 9)

dengan

: jumlah standar deviasi (umumnya 2 standar deviasi)

Lower band sama saja halnya dengan middle band, bedanya lower band digeser ke bawah sejauh jumlah standar deviasi. Perhitungan untuk lower band adalah sebagai berikut:

( 10)

451

dengan

: Jumlah standar deviasi (umumnya 2 standar deviasi)

Relative Strength Index (RSI)

RSI adalah suatu indikator yang mengukur kecepatan dan perubahan dari pergerakan harga. Pada umumnya, RSI diterapkan dengan periode waktu 14 hari. RSI berosilasi pada range nilai antara 0 sampai 100. Perhitungan untuk RSI adalah sebagai berikut [1]:

( 11)

dengan

: Total kenaikan harga setiap 14 hari

: Total penurunan harga setiap 14 hari

Kemudian nilai-nilai tersebut dijadikan sebagai input pada ANFIS. Daftar variabel input pada ANFIS ditampilkan pada tabel 2.1.

Variabel Deskripsi

Input 1 SMA5

Input 2 BBands

Input 3 RSI-14

Input 4 Close price

Tabel 2. 1 – Daftar Input pada ANFIS

2.2 Membangun Model Prediksi ANFIS

Berdasarkan teori ANFIS yang telah dijelaskan pada bagian pendahuluan, akan dibangun suatu model prediksi ANFIS untuk memprediksi harga saham PT. Asuransi Multi Artha Graha (AMAG). Pertama-tama, ditetapkan jenis fungsi keanggotaan sebagai fungsi keanggotaan linear untuk variabel output. Pada fuzzification, akan digunakan fungsi keanggotaan berjenis Gaussian function. Kemudian bangun aturan fuzzy if-then sesuai dengan yang telah dijelaskan sebelumnya dan menggunakan input-ouput sesuai dengan daftar pada Tabel 2.1.

Optimisasi parameter FIS berdasarkan data training dilakukan dengan menerapkan metode least-square dan metode backpropagation untuk training model prediksi. Makalah ini menggunakan epoch sebesar 1000 sebagai kriteria henti. Ini berarti proses dilakukan berkali-kali sebanyak bilangan yang telah ditentukan, dalam hal ini iterasi sebanyak 1000 kali. Hasil yang diperoleh dari

452

proses optimisasi parameter FIS ini adalah parameter untuk fungsi keanggotaan output.

Ketika parameter FIS telah dihasilkan, aturan fuzzy if-then yang sudah disesuaikan dengan model yang diinginkan akan digunakan untuk memprediksi data testing. Aturan-aturan tersebut ditampilkan pada Gambar 2.1.

Berdasarkan eksperimen yang telah dilakukan menggunakan data harga saham PT. Asuransi Multi Artha Graha (AMAG) tahun 2014-2016, diperoleh hasil prediksi harga saham untuk periode 1 bulan, yaitu bulan Desember di setiap tahunnya. Hasil-hasil prediksi tersebut ditampilkan pada Gambar 2.2-2.4.

Gambar 2. 1 – Aturan fuzzy if-then untuk prediksi

Gambar 2. 2 – Grafik Prediksi Harga Saham PT. AMAG untuk Desember 2014

453

2.3 Evaluasi Model

Pada tahap ini akan dilakukan evaluasi model untuk mengetahui tingkat akurasi model yang telah digunakan. Beberapa metode evaluasi akurasi yang digunakan antara lain statistik-U Theil, MAPE, dan RMSE. Perhitungan masing-masing metode adalah sebagai berikut.



454

( 12)

( 13)

( 14)

dengan

: Harga saham pada hari ke-

: Prediksi harga saham pada hari ke-

: Jumlah data harga saham

Hasil evaluasi model dengan menggunakan statistik-U Theil, MAPE, dan RMSE ditampilkan pada Tabel 2.2. Untuk nilai statistik-U Theil, nilai yang semakin mendekati nol menunjukkan kinerja model yang baik. Sementara untuk nilai MAPE, nilai dibawah 10% menunjukkan performa model yang baik. Nilai RMSE menyatakan ukuran kesalahan yang dihasilkan oleh model prediksi, sehingga nilai RMSE yang rendah menunjukkan bahwa kesalahan yang dihasilkan oleh suatu model cenderung kecil.

Tabel 2.2 – Tabel Hasil Evaluasi Model

Sehingga dari Tabel 2.2 diperoleh bahwa model ANFIS dapat memberikan

prediksi dengan akurasi yang cukup baik. Hal ini ditunjukkan dengan hasil evaluasi

performa model yang baik dan memenuhi kriteria yang didefinisikan oleh masing-

masing metode evaluasi. Hasil prediksi paling baik adalah model prediksi harga

saham PT. Asuransi Multi Artha Graha (AMAG) untuk bulan Desember tahun

2016. Jika dibandingkan dengan dua model prediksi lainnya, model tersebut

memiliki nilai statistik-U Theil terkecil sebesar 0.007003, nilai MAPE terkecil sebesar 1.136521, dan nilai RMSE sebesar 2.06843.

3. Kesimpulan

Berdasarkan penelitian pada makalah ini didapatkan bahwa model ANFIS dapat memberikan prediksi dengan akurasi yang cukup baik dan dapat dijadikan acuan bagi investor untuk mengetahui prediksi harga saham di masa depan. Mengacu pada hasil evaluasi model untuk prediksi harga saham dari tahun 2014-

2014 2015 2016

Statistik U-Theil 0.010157 0.013786 0.007003

MAPE 1.787701 2.003923 1.136521

RMSE 0.73644 2.1233 2.06843

455

2016, hasil prediksi paling baik ialah prediksi harga saham PT. Asuransi Multi Artha Graha (AMAG) untuk bulan Desember tahun 2016, dengan nilai statistik-U Theil sebesar 0.007003 dan nilai MAPE sebesar 1.136521.

Referensi

[1] Archelis, Steven B., 2000, Technical Analysis from A to Z.

[2] Jang, J.S., 1993, ANFIS: Adaptive-Network-Based Fuzzy Inference System, IEEE

Transactions on Systems, Man, and Cybernetics 23 (1993), 665-685.

[3] Su, C.H. dan Cheng, C.H., 2016, A Hybrid Fuzzy Time Series Model Based on

ANFIS and Integrated Nonlinear Feature Selection Method for Forecasting Stock,

Journal of Neurocomputing 205 (2016), 264 – 273.

[4] Yunos, Z.M., Shamsuddin, S.M., dan Sallehuddin, R., 2008, Data Modeling for Kuala

Lumpur Composite Index with ANFIS, Second Asia International Conference on

Modelling & Simulation (2008), 609 – 614.

[5] Takagi, T. dan Sugeno, M., 1993, Derivation of fuzzy control rules from human

operator’s control actions, Proc. IFAC symp. fuzzy inform. knowledge representation

and decision analysis (1993), 55-60

456

Prosiding SNM 2017 Matematika Keuangan dan Aktuaria, Hal 456-466

PREDIKSI TREND HARGA SAHAM MENGGUNAKAN

SUPPORT VECTOR REGRESSION

DIVA ARUM PUSPITASARI, ZUHERMAN RUSTAM

Departemen Matematika FMIPA, Universitas Indonesia

[email protected], [email protected]

Abstrak. Pergerakan saham dari waktu ke waktu sangatlah cepat berubah

sehingga sulit untuk mengambil keputusan kapan harus melakukan pembelian,

tahan, maupun penjualan. Tujuan dari penelitian ini adalah akan dilakukan

prediksi pengambilan keputusan saat sedang berinvestasi saham. Dengan

menggunakan metode Support Vector Regression (SVR) dan sistem penentuan

keputusan berdasarkan prediksi trend akan diperoleh keputusan trading yang

lebih efektif. Metode ini diaplikasikan pada suatu perusahaan yang sahamnya

sudah terdaftar di Bursa Efek Indonesia (BEI). Simple Moving Average

(SMA), Moving Average Convergence Divergence (MACD), Relative Strength

Index (RSI), Williams %R, dan Stochastic Oscillator (SO) adalah teknikal

indikator yang digunakan sebagai data input. Pada makalah ini akan dibentuk

model keputusan untuk trading saham dan pengujian keakuratan model yang

terbentuk. Dari kasus saham perusahaan yang penulis gunakan, dengan

menggunakan metode SVR dihasilkan keakuratan model sebesar 78.571% dan

nilai RMSE sebesar 0.3295.

Kata kunci: Prediksi saham, Teknikal indikator, Support Vector Regression (SVR),

Trend.

1. Pendahuluan

Salah satu langkah dalam mengelola keuangan yaitu dengan menyisihkan

atau menyimpan sebagian keuangannya untuk dipakai dimasa mendatang. Investasi

dari KBBI adalah penanaman uang atau modal dalam suatu perusahaan atau proyek

untuk tujuan memperoleh keuntungan. Menurut situs Bursa Efek Indonesia (BEI),

saham merupakan instrumen investasi yang banyak dipilih para investor karena

saham mampu memberikan tingkat keuntungan yang menarik. Dalam perdagangan

saham sehari-hari, terjadi fluktuasi baik kenaikan harga maupun penurunan.

Karena ketidak pastian nilai saham tersebut maka investasi pada instrumen ini

memiliki tingkat risiko yang sangat tinggi. Ada baiknya melakukan kajian lebih

mendalam saat sedang berinvestasi di saham, salah satunya dengan mempelajari

teknikal analisis. Sederhananya, teknikal analisis adalah studi yang mempelajari

harga dengan grafik menjadi alat utamanya [1]. Dalam mempelajari teknikal

analisis terdapat perhitungan matematis yang nilainya dapat dijadikan acuan

pergerakan trend saham yaitu menggunakan teknikal indikator.



457

Suatu teknik machine learning dapat diaplikasikan pada data harian saham.

Banyak teknik machine learning yang telah digunakan untuk memprediksi harga

saham. Neural Network (NN) dan Support Vector Machine (SVM) adalah machine

learning yang umum digunakan untuk memprediksi data runtun waktu [2]. SVM

diperkenalkan pertama kali oleh Vapnik, terdapat dua kategori yaitu Support

Vector Classification (SVC) dan Support Vector Regression (SVR). Karakteristik

dari SVR adalah meminimalkan generalized error sehingga dapat diperoleh hasil

kinerja yang baik [3].

Pada [4] telah dilakukan prediksi trend harga saham menggunakan NN.

Tujuan dari makalah ini akan dilakukan prediksi trend harga saham dengan

menggunakan salah satu teknik machine learning yaitu SVR. Dari prediksi trend

harga saham dapat ditentukan keputusan untuk trading saham. Terdapat lima

bagian pada makalah ini. Bagian 2 adalah metodologi, menjelaskan konsep dasar

dari SVR dan teknikal indikator. Bagian 3 adalah analisis percobaan, menjelaskan

alur dari percobaan yang dilakukan. Bagian 4, hasil percobaan dan evaluasi model.

Bagian 5 adalah kesimpulan.

2. Metodologi

2.1 Support Vector Regression (SVR)

SVR merupakan metode yang dapat mengatasi overfitting, sehingga akan menghasilkan kinerja yang bagus (Smola dan Scholkopf, 2004). Pada [2] SVR digunakan meminimalkan generalized error untuk mendapatkan hasil yang generalized. Ide dasar SVR adalah dengan menentukan himpunan data yang dibagi menjadi data latih dan data uji, kemudian ditentukan suatu fungsi regresi yang dapat menghasilkan suatu prediksi yang mendekati nilai aktual. Asumsikan terdapat himpunan data latih sebanyak titik data dan menyatakan titik pada ruang input, dan adalah nilai target. Di SVR, masalah regresi nonlinear pada ruang input dalam dimensi rendah akan ditransformasikan ke masalah regresi linear pada ruang fitur dalam dimensi yang lebih tinggi menggunakan atau disebut fungsi kernel [5]. Lihat Gambar 1, (a) dan (b).

Gambar 1. Ilustrasi proses transformasi model SVR.

SVR digunakan untuk mengestimasi suatu fungsi dengan cara yang memiliki simpangan paling besar senilai dari nilai aktual untuk setiap . Jika , akan diperoleh suatu regresi yang sempurna [6]. Misalkan terdapat fungsi berikut sebagai garis regresi :

458

dimana menyatakan nilai prediksi, adalah vektor koefisien bobot, adalah bias konstan, dan menunjukkan pemetaan nonlinear dari ruang input ke ruang fitur. dan diestimasi dengan cara meminimalkan fungsi risiko yang didefinisikan dalam persamaan berikut :

dengan kendala (3) dan (4),

dimana loss function sebagai berikut :

Untuk mengontrol kapasitas fungsi, faktor yang dinamakan faktor

regulasi harus dibuat seminimal mungkin. Selanjutnya,

adalah empirical error yang diukur dengan -insensitive loss function. -insensitive

loss function harus meminimalkan norm dari agar mendapatkan generalisasi

yang baik untuk fungsi regresi . Sehingga perlu diselesaikan dahulu masalah

optimisasi dari

.

Asumsikan terdapat suatu fungsi yang dapat mengaproksimasikan semua titik dengan presisi . Pada kasus ini diasumsikan semua titik berada di dalam atau disebut feasible. Sedangkan untuk kasus infeasible, terdapat beberapa titik yang keluar dari . Titik infeasible tersebut dapat ditambahkan dengan variabel slack untuk mengatasi pembatas yang tidak layak (infeasible constrain) dalam masalah optimisasi [7]. Lihat juga Gambar 1, (c). Selanjutnya masalah optimisasi (2) telah dirumuskan oleh Vapnik (1995) menjadi :

dengan kendala (3) & (4) menjadi (5) & (6)

459

Konstanta menentukan trade off antara selisih fungsi dimana batas atas simpangan yang lebih dari akan ditoleransi. Pada SVR, ekuivalen dengan akurasi dari aproksimasi terhadap data latih. Nilai yang kecil mengakibatkan nilai yang tinggi pada variabel slack

sehingga menghasilkan akurasi aproksimasi yang tinggi. Untuk sebaliknya akan menghasilkan aproksimasi yang rendah. Nilai yang tinggi pada variabel slack akan membuat kesalahan empirik mempunyai pengaruh yang besar terhadap faktor regulasi. Dalam SVR, support vector adalah data latih yang terletak pada dan diluar batas dari fungsi keputusan, karena jumlah support vector menurun dengan naiknya nilai .

Kemudian untuk menyelesaikan masalah optimisasi dilakukan dengan dual problem. Pada dual problem, masalah optimisasi dari SVR adalah sebagai berikut [7] :

dengan kendala

dimana adalah dot product kernel. Fungsi kernel yang dapat digunakan adalah [8]:

1. Linear :

2. Polinomial :

3. Gaussian RBF :

dengan menggunakan lagrange multiplier dan masalah optimisasi (7) – (10), fungsi regresi dirumuskan sebagai berikut :

2.2 Teknikal Indikator

Ada banyak teknikal indikator yang dapat digunakan sesuai keinginan dan kebutuhan, namun pada penelitian ini penulis memilih menggunakan Simple

460

Moving Average (SMA), Moving Average Convergence Divergence (MACD), Relative Strenght Index (RSI), Williams %R, dan Stochastic Oscillator (SO). Berikut adalah penjelasan dari masing-masing teknikal indikator :

a. Simple Moving Average (SMA)

Dari Moving Average (MA) lainnya, SMA merupakan MA yang paling sederhana. Mean statistik sederhana dari harga penutupan hari sebelumnya [4]. SMA dirumuskan sebagai berikut :

dimana adalah harga penutupan hari ke . b. Moving Average Convergence Divergence (MACD)

MACD adalah momentum indikator yang menunjukkan hubungan antara dua Exponential Moving Average (EMA) pada harga. MACD akan memiliki nilai positif apabila MACD periode 12 hari lebih tinggi dari MACD periode 26 hari, dan sebaliknya untuk nilai negatif [1]. MACD dirumuskan sebagai berikut :

dengan rumus adalah :

dimana : Exponential Moving Average pada hari ke .

: Harga penutupan pada hari ke .

: Simple Moving Average untuk priode 12 dan periode 26.

berlaku untuk dan .

c. Relative Strenght Index (RSI)

RSI adalah indikator momentum yang memiliki nilai pada range antara 0 dan 100. RSI dapat dihitung dengan :

461

dimana adalah rata-rata kenaikan harga pada periode tertentu dengan perubahan harga naik pada saat , dan adalah rata-rata penurunan harga pada periode tertentu dengan perubahan harga turun pada saat .

d. Williams %R

Williams %R adalah stochastic oscillator yang dapat dihitung dengan :

dimana adalah harga penutupan hari ke , adalah harga terendah dari -hari terakhir, dan adalah harga tertinggi dari -hari terakhir.

e. Stochastic Oscillator (SO)

SO menampilkan dua garis, yaitu garis utama dan garis kedua adalah (MA dari ). SO dapat dihitung dengan :

dengan adalah harga penutupan hari ke , adalah harga terendah dari -hari

terakhir, dan adalah harga tertinggi dari -hari terakhir.

3. Analisis Percobaan

Pada makalah ini, penulis menggunakan data harian saham Bank Mandiri dari 01 Januari 2015 – 23 Desember 2016 sebanyak 507 data terdiri dari komponen open, high, low, dan close. Data harian tersebut akan dibagi menjadi dua bagian, yaitu data latih dan data uji. Dari data latih akan dibuat model untuk memprediksi nilai trend saham, kemudian akan dilakukan prediksi menggunakan data 14 hari terakhir. Selanjutnya akan dibahas langkah-langkah dalam merancang sistem prediksi menggunakan SVR dan aturan sistem keputusan dalam menentukan beli, tahan, atau jual.

Langkah 1 : Menghitung nilai teknikal indikator

Penulis telah menjelaskan masing-masing teknikal indikator yang akan digunakan pada penelitian ini pada bagian sebelumnya. Ke enam teknikal indikator tersebut adalah dipilih sebagai input untuk pembuatan model tujuan.

462

Langkah 2 : Analisis trend menggunakan teknikal indikator

Setelah mendapatkan nilai teknik indikator, maka dengan menggunakan five-day moving average akan didefinisikan trend saham sebagai berikut [9][10] :

- Jika pergerakan MA naik untuk 5 hari terakhir maka trend yang diperoleh adalah up trend.

- Jika pergerakan MA turun untuk 5 hari terakhir maka trend yang diperoleh adalah down trend.

Tabel 1. Analisis trend pada sampel data latih. Time Series

Closing price SMA Trend

1 11975 11930 down

2 11950 11931.25 down

3 12200 11945 down

4 12200 11951.25 up

5 12175 11966.25 up

6 12075 11976.25 up

7 12025 11982.5 up

8 12050 11991.25 up

9 11950 11988.75 down

10 12100 11993.75 down

Langkah 3 : Menghitung nilai trading signal

Pada [4] dikatakan nilai trading signal berada pada range 0 – 1 yang dibangun menggunakan momentum harga saham. Lihat Tabel 2.

- Jika up trend :

- Jika down trend :

Langkah 4 : Normalisasi data

Teknikal indikator yang digunakan sebagai input mempunyai cara perhitungannya masing-masing. Perlu dilakukan normalisasi pada nilai masing-masing teknikal indikator yang telah diperoleh sehingga data terletak dalam range yang sama yaitu 0 – 1 dengan menggunakan rumus min-max normalisasi sebagai

463

berikut :

: nilai yang dinormalisasi

: nilai yang akan dinormalisasi

: nilai minimum dari runtun yang akan dinormalisasi

: nilai maksimum dari runtun yang akan dinormalisasi

Langkah 5 : Pembentukan model dan prediksi nilai trend

Dari pembahasan SVR pada bagian sebelumnya, pembentukan model diaplikasikan pada program MATLAB. Data yang sudah dinormalisasi yang terdiri dari teknikal indikator dan nilai trading akan menjadi variabel input untuk model SVR menggunakan fungsi kernel gaussian. Fungsi kernel tersebut untuk menghitung elemen dari matriks gram. Karena ingin dilakukan pengujian 14 hari terakhir, maka data lainnya merupakan data latih pada model.

Tabel 2. Trading signal pada sampel data latih. Time Series

Closing price SMA Trend Trading signal

1 11975 11930 down 0.05

2 11950 11931.25 down 0

3 12200 11945 down 0.5

4 12200 11951.25 up 1

5 12175 11966.25 up 1

6 12075 11976.25 up 1

7 12025 11982.5 up 0.875

8 12050 11991.25 up 0.833333333

9 11950 11988.75 down 0

10 12100 11993.75 down 0

Langkah 6 : Penentuan trend terhadap output trading signal

Setelah proses latih maka dilakukan pengujian terhadap 14 data saham harian terakhir yang kita miliki. Hasilnya merupakan output trading signal yang berada pada range 0 – 1. Dalam menentukan keputusan trading, pertama harus mengetahui prediksi trend dahulu dengan :

- Jika maka up trend

- Sebaliknya, maka down trend

dimana adalah 0.5.

Langkah 7 : Penentuan keputusan trading terhadap prediksi trend

464

Dengan menggunakan aturan trading berikut ini, maka trader dapat menentukan langkah selanjutnya dari hasil prediksi trend sebelumnya (lihat Tabel 3) :

- Jika trend hari ke adalah up, maka BELI

- Jika trend hari ke adalah tetap up, maka TAHAN

- Jika trend hari ke adalah down, maka JUAL

- Jika trend hari ke adalah tetap down, maka TAHAN

Tabel 3. Penentuan trend dan decision dari Time series

OTr Trend Decision

1 0.36394 down Hold

2 0.363367 down Hold




6 0.37571 down Hold




10 0.393627 down Hold

11 0.484345 down Buy

12 0.536693 up Hold

13 0.520338 up Hold

14 0.512593 up Hold

4. Hasil Percobaan dan Evaluasi Model

Pada bagian ini akan diuji keakuratan model yang telah didapat dengan membandingkan hasil prediksi model dengan data asli yang kita miliki. Keakuratan dapat dihitung menggunakan :

Dapat terlihat pada Tabel 4. bahwa terdapat 3 kesalahan dari hasil prediksi,

sehingga akurasi dari model yang terbentuk dengan SVR pada data uji 14 hari

menghasilkan akurasi sebesar :

Terdapat perhitungan lain yang biasa digunakan untuk melihat akurasi dari

465

perhitungan prediksi sebuah model Root Mean Square Error (RMSE) :

dimana N : Jumlah data prediksi

: Nilai data trading

: Nilai prediksi data trading

Pada kasus ini diperoleh nilai RMSE sebesar 0.3295, karena nilai tidak melebihi

0.5 maka akurasi dari prediksi model SVR cukup baik hal tersebut mendukung

78.571% keakuratan.

Tabel 4. Uji keakuratan model Time series

Tr Trend OTr Trend Decision

1 0 down 0.36394 down Hold



4 0.5 down 0.409696 down Hold


6 0.166667 down 0.37571 down Hold


8 0.333333 down 0.358323 down Hold



11 0.5 down 0.484345 down Buy

12 0 down 0.536693 up Hold

13 0 down 0.520338 up Hold

14 0 down 0.512593 up Hold

5. Kesimpulan

Penelitian ini telah menunjukkan strategi keputusan trading yang efisien

yang dapat diterapkan oleh trader. Untuk prediksi 14 hari kedepan menghasilkan

keakuratan model sebesar 78.571%. Model tersebut terhubung antara teknikal

analisis dengan teknik machine learning. Model klasifikasi yang digunakan yaitu

support vector regression (SVR). Dari model SVR, model ditransformasi ke

strategi trading dengan signal beli, tahan, atau jual berdasarkan aturan yang

memenuhi kriteria.

466

Referensi

[1] Archelis, Steven B. (2000). Technical Analysis form A to Z. Pp 1 – 231.

[2] Meesad, P., & Rasel, R.I. (2013). Predicting Stock Market Price Using Support Vector

Regression. January 24, 2017.

https://www.researchgate.net/publication/255995594

[3] Basak, D., Pal,S., & Patranabis, D.C. (2007). Support Vector Regression. Neural

Information Processing – Letters and Review. (Vol. 11, No. 10). Pp 203 – 224.

[4] Dash, P.K., & Dash, R. (2016). A hybrid stock trading framework integrating

technical analysis with machine learning techniques. The Journal of Finance and Data

Science 2. Pp 42 – 57.

[5] Li, P.S., & Kuo, R.J. (2016). Taiwanese export trade forecasting using firefly

algorithm based K-means algorithm and SVR with wavelet transform. Computers &

Industrial Engineering 99. Pp 153 – 161.

[6] Alfredo, Jondri, & Rismala, R., Prediksi Harga Saham Menggunakan Support Vector

Regression dan Firefly Algorithm. Universitas Telkom, Bandung.

[7] Schölkopf, B., & Smola, A.J. (2004). A tutorial on support vector regression.

Statistics and computing 14. Pp 199 – 222.

[8] Paisitkriangkrai, P., (2012). Linear Regression and Support Vector Regression. The

University of Adelaide.

[9] Chang, Yi-Wei., Chen, Dar-Hsin., & Goo, Yeong-Jia. (2007). The Application of

Japanese Candlestick Trading Strategies in Taiwan. Investment Management and

Financial Innovations. (Vol. 4, Issue 4).

[10] Bao, Si., Chen, Shi., & Zhou, Yu. (2016). The predictive power of japanese

candlestick charting in Chinese stock market. Physica A 457. Pp 148 – 165.

467


PREDIKSI HARGA INDEKS SAHAM IHSG DENGAN

METODE ADAPTIVE NEURO-FUZZY INFERENCE

SYSTEMS

FANITA, ZUHERMAN RUSTAM

Departemen Matematika FMIPA, Universitas Indonesia, [email protected], [email protected]

Abstrak. Indeks saham merupakan harga dari sekelompok saham dengan

kategori tertentu. IHSG (Indeks Harga Saham Gabungan) merupakan salah

satu jenis indeks saham yang mewakili seluruh pergerakan harga saham yang

diperdagangkan di Bursa Efek Indonesia (BEI). IHSG sering disebut sebagai

leading economic indicator, karena dari semua indikator ekonomi seperti

inflasi, tingkat bunga, jumlah pengangguran, indeks harga saham, jumlah uang

beredar, dll, IHSG dianggap menjadi pemimpin atau yang lebih dulu

menceritakan keadaan di masa mendatang. Informasi perkembangan harga

IHSG dipergunakan para investor untuk melihat situasi ke depan dan

menyusun strategi yang baik agar mendapat keuntungan yang optimum. Oleh

karena pentingnya IHSG, akan dibuat prediksi harga IHSG dengan

menggunakan metode ANFIS (Adaptive Neuro-Fuzzy Inference Systems) yang termasuk dalam Komputasi Intelligence. Pada makalah ini, akan dicari susunan

data yang tepat sebagai input dari metode ANFIS dan banyaknya data training

yang dapat menghasilkan nilai akurasi yang baik.

Kata kunci : prediksi; saham; keuangan; IHSG; ANFIS.

1. Pendahuluan

Indeks harga saham merupakan indikator yang merefleksikan pergerakan harga

sekelompok saham. Indeks Harga Saham Gabungan yang biasa disingkat IHSG adalah

salah satu indeks pasar saham yang digunakan Bursa Efek Indonesia (BEI). Nilai IHSG

digunakan untuk mengukur kinerja gabungan seluruh saham (perusahaan/emiten) yang

tercatat dalam BEI. IHSG menggambarkan kondisi perekonomian negara. Kenaikan atau

penurunan IHSG berbanding lurus dengan sebagian besar harga saham di BEI terutama

saham kapitalis.

adalah harga saham di pasar reguler. adalah bobot atau jumlah masing-masing

saham. adalah nilai dasar, yaitu nilai yang dibentuk berdasarkan jumlah saham yang

tercatat dalam suatu waktu. Semakin besar perusahaan, maka bobotnya pun besar sehingga

kenaikan atau penurunan IHSG sangat bergantung pada pergerakan saham-saham

berkapitalisasi besar. [5]

Kegunaan yang lain dihitungnya IHSG adalah dapat digunakan sebagai patokan untuk

portofolio saham bagi investor atau manajer investasi. Apabila kenaikan IHSG lebih tinggi

daripada kenaikan portofolio investor atau manajer investasi, portofolio yang dikelola tidak

berkinerja baik. Sebaliknya, apabila kenaikan IHSG lebih rendah daripada kenaikan



468

portofolio investasi investor atau manajer investasi, portofolio dianggap berkinerja bagus.

[4]

IHSG sering disebut juga sebagai leading economic indicator. Adapun indikator

ekonomi yang banyak dibahas berbagai pihak yaitu inflasi, tingkat bunga, jumlah

pengangguran, indeks harga saham, jumlah uang beredar, indeks perdagangan besar, indeks

nilai tukar petani, ekspor, impor dan pertumbuhan ekonomi serta kredit yang disalurkan.

Dari semua indikator ekonomi tersebut IHSG dianggap menjadi pemimpin atau yang lebih

dulu menceritakan keadaan di masa mendatang. Karena itu, pertumbuhan IHSG

dipergunakan berbagai pihak untuk melihat situasi ke depan. [4]

Oleh karena pentingnya IHSG sebagai leading economic indicator, maka dalam

makalah ini akan dibuat prediksi harga IHSG menggunakan metode Adaptive Neuro-Fuzzy

Inference Systems (ANFIS).

ANFIS adalah FIS (Fuzzy Inference System) yang diimplementasikan ke dalam

kerangka adaptive networks. ANFIS dapat memberikan keakuratan yang lebih baik dari

pada ANN [3]. ANFIS dapat membangun pemetaan input-output berdasarkan

pengetahunan manusia dalam bentuk fuzzy “if-then” rules sebagai berikut [2]:

Rule 1 : if x is and y is then

Rule 2 : if x is and y is then

dan adalah parameter. Arsitektur pada ANFIS ditunjukkan pada

gambar 1.1 berikut.

Gambar 1.1 Arsitektur

Layer 1

Node berbentuk kotak dengan fungsi ke-i sbb :

4

dan merupakan input pada node , sedangkan adalah label lingustik

untuk input. Dengan kata lain adalah nilai keanggotaan dari .

Fungsi keanggotaan normal untuk (x) dan

(y) adalah generalized bell

function :

469

, , adalah parameter dari fungsi keanggotaan. Disebut juga sebagai parameter

premis.

Layer 2

Setiap node dalam layer ini berlabel berbentuk lingkaran yang outputnya

merupakan hasil semua sinyal yang masuk. Masing-masing output

menggambarkan firing strength dari semua rules

,

Layer 3

Setiap node berlabel dan berbentuk lingkaran. Node ke- menunjukkan rasio

dari aturan firing strength ke-i dan jumlah dari semua aturan firing strength

Layer 4

Setiap node kedalam layer ini berbentuk kotak dengan fungsi node sebagai

berikut dengan merupakan output layer 3

,

Layer 5

Hanya ada 1 node pada layer ini dengan label , yang merepresentasikan jumlah

output secara keseluruhan dari sinyal yang masuk :

Data input metode ANFIS pada makalah ini menggunakan harga close IHSG bulanan

yang terdapat pada tahun 2013, 2014, 2015, dan 2016. Harga close merupakan titik

kesepakatan terakhir perdagangan di suatu hari antara pembeli dan penjual saham. Nilai

close dianggap menjadi kondisi yang paling penting.

Data training adalah sebagian dari data (sampel) yang digunakan untuk membangun

suatu model. Data yang akan dipakai untuk training ANFIS adalah gabungan data masukan

dan keluaran. Sebaiknya data training representatif terhadap masalah yang dihadapi.

Sampel terpilih mempengaruhi tingkat akurasinya. Terdapat dua susunan data yang

akan diuji, sehingga kita mengetahui susunan data yang lebih baik digunakan dalam

memprediksi harga IHSG. Jenis dari susunan data tersebut ditunjukkan pada tabel 1.1.

Akan dicari juga banyaknya data training yang paling baik dari masing-masing susunan

data input.

470

Tabel 1.1 Jenis susunan data input

Susunan Data Input

Jenis 1 Jenis 2

Susunan data input berbentuk kumpulan

nilai close dari bulan ke-(t-2), ke-(t-1), ke-

(t) untuk memprediksi bulan ke-(t+1) pada

tahun 2013, 2014, 2015, 2016

Susunan data input berbentuk kumpulan

nilai close bulan x tahun 2013, bulan x tahun

2014, dan bulan x tahun 2015 untuk

memprediksi bulan x tahun 2016

Untuk mengevaluasi keakuratan prediksi yang dihasilkan oleh ANFIS, kita dapat

menggunakan RMSE. Nilai RMSE yang semakin kecil dan mendekati nol mengindikasikan

model ANFIS yang telah dibuat memiliki keakuratan prediksi yang baik. RMSE dapat

dicari dengan rumus :

[1].


Metode ANFIS dikerjakan dengan software matlab menggunakan toolbox Neuro-Fuzzy Designer.

Data training menggunakan p% data dan data testing sebanyak (100-p)%. Sebelum melakukan proses training, dilakukan generate fis dengan memilih tipe membership function pada input yaitu gbell.

Berikut ini, akan diterapkan metode ANFIS untuk melakukan prediksi pada susunan data input jenis 1 dengan menggunakan 70% data sebagai data training. Plot antara nilai aktual dan hasil prediksi tersebut ditunjukkan pada gambar 2.1.

Gambar 2.1 Plot antara data training (o) dan hasil prediksi (*) pada susunan data input jenis 1 dengan menggunakan 70% data sebagai data training

471

Dari gambar 2.1, dapat dilihat bahwa dengan menggunakan susunan data input jenis 1 dan 70% data sebagai data training, menghasilkan RMSE sebesar 6.058. Berikut ini adalah ditunjukkan pengecekan hasil prediksi suatu datum (a*) dibandingkan dengan nilai aktualnya (a) pada gambar 2.2. Data yang diberi warna biru adalah nilai close dari bulan ke-(t-2), ke-(t-1), ke-(t) yang dipisahkan oleh simbol “ ; ” .

Gambar 2.2 Pengujian menggunakan sampel dari data testing. Hasil nilai prediksi (di kiri) mendekati nilai aktual (di kanan)

Dengan cara yang sama, akan dibandingkan kombinasi susunan data input dengan variasi banyaknya data training dari total data dan disajikan dalam tabel 2.1 dan 2.2.

Tabel 2.1 Nilai RMSE dari variasi banyaknya data training dari total data pada susunan data jenis 1

Variasi Banyaknya Sampel Sebagai Data Train RMSE

10% 57.441

20% 26.804

30% 21.8917

40% 13.7598

50% 14.1002

60% 6.4072

70% 6.058

80% 8.479

90% 7.2214

472

Tabel 2.2 nilai RMSE dari variasi banyaknya data training dari total data pada susunan data jenis 2

Variasi Banyaknya Sampel Sebagai Data Train RMSE

10% 49.574

20% 25.5711

30% 17.8391

40% 62.7912

50% 22.841

60% 22.841

70% 27.926

80% 20.1356

90% 22.357

Didapatkan nilai RMSE terkecil yaitu 6.058 dari susunan data jenis 1 ketika 70% dari total data dijadikan data training. Ini berarti untuk membentuk model dengan tingkat akurasi yang baik dalam memprediksi harga close IHSG, direkomendasikan untuk menggunakan susunan data input jenis 1 (memprediksi bulan ke-(t+1) dengan syarat memiliki data bulan ke-(t-2), ke-(t-1), dan ke-(t) ) dan menggunakan70% dari total data sebagai data training.

3. Kesimpulan

Tingkat akurasi prediksi yang dihasilkan metode ANFIS bergantung pada bentuk

data yang digunakan sebagai input dan banyaknya jumlah sampel. Didapatkan

RMSE yang paling kecil yakni 6.058 pada susunan data input jenis 1 dengan

menggunakan 70% total data sebagai data training. Ini berarti untuk memprediksi

harga close IHSG, direkomendasikan untuk menggunakan susunan input data

berbentuk kumpulan nilai close dari bulan ke-(t-2), ke-(t-1), ke-(t) untuk

memprediksi bulan ke-(t+1) dan 70% total data sebagai data training.

473

Pernyataan terima kasih. Penulis mengucapkan terima kasih kepada Dr.

Zuherman Rustam, D.E.A. selaku dosen pembimbing penulis yang selalu memberi

arahan dan terus memotivasi.

Referensi

[1] James, G., Witten, D., Hastie, T., & Tibshirani, R. “An Introduction to Statistical

Learning.” (2013).

[2] Jang, Jyh-Shing Roger, Chuen-Tsai Sun, and Eiji Mizutani. "Neuro-fuzzy and soft

computing, a computational approach to learning and machine intelligence." (1997).

[3] Kaur, Gurbinder, Joydip Dhar, and Rangan Kumar Guha. "Minimal variability OWA

operator combining ANFIS and fuzzy c-means for forecasting BSE index."

Mathematics and Computers in Simulation 122 (2016): 69-80.

[4] Manurung, Adler Haymans . “manfaat dan kegunaan IHSG”. 6 Februari 2017. http://bisniskeuangan.kompas.com/read/2013/04/14/02394859/manfaat.dan.kegunaan.i

hsg

[5] Wira, Desmond. “Mengenal Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG)”. 6 Februari 2017. http://www.juruscuan.com/investasi/184-mengenal-indeks-harga-saham-

gabungan-ihsg

http://bisniskeuangan.kompas.com/read/2013/04/14/02394859/manfaat.dan.kegunaan.ihsg

http://bisniskeuangan.kompas.com/read/2013/04/14/02394859/manfaat.dan.kegunaan.ihsg

http://www.juruscuan.com/investasi/184-mengenal-indeks-harga-saham-gabungan-ihsg

http://www.juruscuan.com/investasi/184-mengenal-indeks-harga-saham-gabungan-ihsg

474

Prosiding SNM 2017

Matematika Keuangan dan Aktuaria, Hal 474-484

NILAI RISIKO PADA INVESTASI MATA UANG US$-

CNY BERDASARKAN ASYMMETRIC GJR-GARCH

COPULA

LIENDA NOVIYANTI 1, ACHMAD BACHRUDIN

2, A. ZANBAR

SOLEH 3 DAN M. HUSEIN NURRAHMAT

4

1. Departemen Statistika FMIPA UNPAD, lienda @unpad.ac.id

2. Departemen Statistika FMIPA UNPAD, [email protected]

3. Departemen Statistika FMIPA UNPAD, [email protected]

4. [email protected]

Abstrak. Fenomena heteroskedastisitas pada volatilitas data keuangan merupakan

hal yang umum sebagai dampak dari return masing-masing aset yang mencerminkan

perubahan harga. Apabila asumsi normalitas berdasarkan waktu tidak dapat dipenuhi,

dan terdapat permasalahan korelasi non-linier untuk struktur model dependen antar

variabel aset maka akan menyebabkan estimasi risiko yang diukur oleh Value at Risk

(VaR) menjadi tidak akurat. Disamping itu, leverage effect juga menyebabkan efek

asimetris dari varians dinamis dan hal ini menunjukkan kelemahan dari model

GARCH yang mengasumsikan efek simetris pada varians kondisionalnya. Model

Asymmetric GJR-GARCH digunakan untuk membentuk model volatilitas distribusi

marginal return sedangkan copula digunakan untuk menggabungkan distribusi-

distribusi marginal tersebut kedalam suatu distribusi multivariat. Selanjutnya copula

digunakan untuk membangun distribusi multivariat yang fleksibel dengan distribusi

marginal dan struktur dependensi yang berbeda, yang mana menyebabkan distribusi

gabungan portofolio yang terbentuk tidak bergantung pada asumsi normalitas dan

korelasi yang linier.

Kata kunci: Volatilitas, GJR-GARCH, Copula, Portofolio Optimal, Value at Risk.

1. Pendahuluan

Dalam berinvestasi, ketidakpastian return yang akan diterima pada periode

mendatang merupakan fokus seorang investor. Faktor ketidakpastian ini dapat

mengakibatkan timbulnya suatu risiko kerugian, sehingga dibutuhkan suatu kajian

untuk memperoleh sebuah besaran yang terukur, agar investor dapat mengambil

keputusan yang tepat dalam berinvestasi. Salah satu indikator risiko yang

digunakan dalam pasar keuangan adalah volatilitas yang merupakan dampak dari

fluktuasi suatu return aset.

Risiko dapat dihindari atau dikurangi dengan melakukan diversifikasi,

yaitu proses pemilihan berbagai aset untuk diinvestasikan sehingga membentuk

sebuah portofolio [9]. Risiko portofolio pada awalnya diukur menggunakan

simpangan baku [1], [8]. Dunia ilmu pengetahuan yang berkembang pesat

menggantikan ukuran simpangan baku dengan Value at Risk (VaR) yang



475

merupakan estimasi kerugian maksimum yang dapat ditolerir yang akan didapat

selama periode waktu tertentu, dengan tingkat kepercayaan tertentu [11]. Terdapat

tiga pendekatan utama yang digunakan dalam estimasi VaR, yaitu Variance-

Covariance Approach, Historical Simulation Method, dan Monte Carlo Simulation

Method. Akan tetapi, terdapat kelemahan dalam ketiga pendekatan tersebut, yaitu

menghasilkan nilai estimasi yang kurang tepat apabila terdapat volatilitas pada data

returnnya. Adanya kecenderungan berfluktuasi secara cepat dari waktu ke waktu

yang selalu terjadi pada data finansial menyebabkan variansi residual return

menjadi tidak konstan atau bersifat heteroskedastisitas [2], [3], [5]. Untuk

mengatasi permasalahan heteroskedastisitas ini, salah satu model yang dapat

digunakan adalah model GARCH, yang mengasumsikan bahwa error yang bernilai

positif dan yang negatif akan memberikan pengaruh yang sama terhadap

volatilitasnya atau disebut efek simetris [7], [10].

Pada data finansial, seringkali dijumpai adanya leverage effect, yang

menyebabkan adanya perbedaan efek dari informasi positif dan negatif pada

volatilitas, yang dapat diatasi dengan model asimetris yaitu model GJR-GARCH

[6]. Model ini menganalisis efek volatilitas asimetris untuk membedakan informasi

positif dan informasi negatif.

Investasi portofolio biasanya memiliki dependensi antar asetnya.

Dependensi yang kuat pada masing-masing aset dapat meningkatkan risiko yang

dihadapi investor. Oleh karena data finansial umumnya tidak berdistribusi normal,

copula digunakan sebagai ukuran struktur dependensi yang akan digunakan untuk

memodelkan distribusi gabungan aset-aset yang membentuk portofolio berdasarkan

konsep mean-variance [9]. Adapun dependensi antar aset tersebut dijelaskan

menggunakan fungsi copula [4], [12], [13].


Pada bagian ini akan diuraikan proses perhitungan nilai risiko VaR untuk

portofolio nilai tukar mata uang US$ dan CNY terhadap IDR. Proses dimulai

dengan menentukan model terbaik pada data return periode 3 Januari 2013 sampai

dengan 29 Januari 2016 yang memiliki efek heteroskedastisitas dan leverage effect.

Data return tersebut kemudian akan dimodelkan dengan menggunakan

model . Selanjutnya dilakukan pengukuran

struktur dependensi antar aset return portofolio menggunakan metode copula.

Model copula terbaik yang telah diperoleh kemudian digunakan untuk menentukan

nilai VaR satu hari ke depan dimana portofolio optimal yang terbentuk didasarkan

pada konsep mean-variance, dengan memakai simulasi Monte Carlo. Langkah

terakhir, nilai VaR yang diperoleh kemudian diuji ketepatannya dalam mengukur

risiko menggunakan metode backtesting dengan tingkat kepercayaan sebesar 90%

dan 95%. Dalam penelitian ini digunakan software R 3.1.3 dengan package

CDVine, copula, fBasics, fCopulae, fExtremes, FinTS, forecast, MASS,

PerformanceAnalytics, QRM, robustbase, rugarch, scatterplot3d, tseries, dan

VineCopula sebagai alat dalam menentukan nilai VaR menggunakan model

Copula.

476

Analisis Deskriptif Data Return

Hasil analisis desktiptif data return yang dihitung berdasarkan

persamaan (1) dapat dilihat pada Tabel 1 dan Gambar 1, yang menunjukkan bahwa

masing-masing return mempunyai nilai skewness negatif, distribusinya berbentuk

leptokurtic (kurtosis > 3), dan tidak berdistribusi normal (melebihi nilai kritis uji

Jarque-Bera).

(1)

Tabel 1. Statistik Deskriptif Return Aset Mata Uang

Statistics US $ Yuan

Mean 0.000474 0.000419

Minimum -0.022288 -0.022745

Maximum 0.023610 0.023121

Skewness -0.44 -0.55

Kurtosis 3.94 4.16

Jarque-Bera 502.7901 573.5824

Gambar 1. Histogram data log-return

Pemodelan Volalitilas

Berdasarkan uji Augmented Dickey Fuller (ADF), data masing-masing

return bersifat stasioner dalam rata-rata, dan hasilnya dapat dilihat pada Tabel 2.

Tabel 2. Uji Augmented Dickey Fuller

Mata Uang Asing ADF p-value

US $ -8.2093 <0.01

Yuan -8.0592 <0.01

Uji Autokorelasi

Pengujian autokorelasi dilakukan mengggunakan uji Ljung Box, dengan

hasil dapat dilihat pada Tabel 3, yang menunjukkan banwa terdapat autokorelasi

untuk masing-masing return mata uang

Tabel 3. Uji Ljung-Box Return Aset Mata Uang

Mata Uang Asing p-value

US $ 8.1892 0.004214

Yuan 7.5781 0.005908

477

Model

Untuk menentukan nilai VaR dilakukan dengan beberapa tahapan.

Pertama mengestimasi model marginal untuk masing-masing aset dengan

menggunakan model volatilitas, kemudian tahapan selanjutnya adalah

mengestimasi fungsi bersama/gabungan antar aset mata uang dengan menggunakan

copula. Pada bagian ini dijelaskan pembentukan model marginal dalam masing-

masing aset menggunakan model volatilitas

dimana model digunakan untuk memodelkan persamaan rata-rata dari

return aset dan digunakan untuk memodelkan persamaan

varians return.

Dalam penelitian ini, model persamaan rata-rata diestimasi hanya dengan

menggunakan model , hal ini didasarkan bahwa dalam penelitian

sebelumnya, seperti [7], [10] yang menyebutkan bahwa data finansial seperti data

nilai tukar mata uang mempunyai model persamaan rata-rata terbaik yaitu .

Pernyataan ini dapat dibuktikan dengan melihat pada Tabel 4 berikut.

Tabel 4. Estimasi Model

Return Model Parameter Koefisien p-value AIC

US $

0.1040 0.0020 -5875.15

0.1002 0.0033 -5856.86

0.1965 0.3334

-5855.26 -0.0937 0.5579

Yuan

0.1000 0.0034 -5863.26

0.0974 0.0047 -5863.05

0.2310 0.2142

-5861.39 -0.1325 0.3836

Berdasarkan Tabel 4 diketahui bahwa model terbaik adalah model

untuk semua aset mata uang yang dipilih berdasarkan nilai parameter yang

signifikan dengan nilai AIC terkecil.

Diagnostic Checking Model Model

Langkah selanjutnya untuk melihat kesesuaian model maka dilakukan

pengujian terhadap model . Statistik uji yang digunakan adalah dengan

menggunakan uji Ljung-Box dan uji normalitas yang diujikan pada data residual

model . Hasil diagnostic checking ditampilkan pada Tabel 5.

Tabel 5. Diagnostic Checking

Return p-value

USD Yuan USD Yuan

Uji Ljung-Box 0.0011 0.0004 0.9733 0.9787

Uji Normalitas 407.2239 501.6859 2.2e-16 2.2e-16

Berdasarkan Tabel 5, untuk pengujian Ljung-Box diperoleh nilai yang apabila

ditransformasikan ke dalam nilai p-value didapat nilai

untuk semua residual aset sehingga diterima. Artinya bahwa residual model

untuk masing-masing return mata uang tidak mempunyai autokorelasi.

Sedangkan untuk pengujian Normalitas diperoleh nilai

untuk semua residual aset sehingga ditolak. Artinya bahwa residual model

untuk masing-masing return mata uang tidak berdistribusi normal. Hal ini

478

mengindikasikan adanya efek heteroskedastisitas pada residual dikarenakan asumsi

residual berdistribusi normal tidak terpenuhi.

Uji Lagrange Multiplier

Pengujian efek heteroskedastisitas dilakukan terhadap data residual kuadrat

dari model untuk masing-masing return. Pengujian efek heteroskedastisitas

dilakukan dengan menggunakan statistik uji Lagrange Multiplier (LM). Hasil

pengujian Lagrange Multiplier ditampilkan pada Tabel 6.

Tabel 6. Uji Lagrange Multiplier


US $ 102.1138 2.22e-16

Yuan 89.0366 7.583e-14

Berdasarkan Tabel 6 diperoleh nilai yang apabila ditransformasikan ke dalam

nilai p-value didapat nilai sehingga ditolak. Artinya

bahwa terdapat efek heteroskedastisitas pada residual kuadrat model

masing-masing return mata uang.

Model digunakan untuk menghilangkan pengaruh

efek heteroskedastisitas pada residual model. Model dapat

mengatasi masalah leverage effect yang tidak dapat diatasi oleh model

, yaitu suatu fenomena dimana guncangan negatif pada waktu

menyebabkan dampak yang lebih kuat pada varians waktu ke- daripada

guncangan positif. Keadaan yang asimetris inilah yang disebut sebagai leverage

effect. Dalam penelitian ini dilakukan dua estimasi parameter model, yaitu model

dan dengan residual berdistribusi normal dan t-

student. hasil estimasi parameter model volatilitas return mata uang dirangkum

pada Tabel 7.

Tabel 7. Estimasi Parameter Model

US $

Parameter

Normal t-student Normal t-student

Alpha 0.131119 0.087051 0.145871 0.097072

Beta 0.834841 0.911949 0.861261 0.913661

Gamma

-0.0541 -0.02362

Log-Likelihood 3003.109 3088.985 3004.389 3089.36

AIC -7.9499 -8.147047 -7.9506 -8.1734

Yuan

Parameter

Normal t-student Normal t-student

Alpha 0.140187 0.084444 0.149760 0.090216

Beta 0.800759 0.914553 0.822199 0.914217

Gamma -0.035380 -0.010878

Log-Likelihood 3005.471 3093.492 3005.833 3093.57

AIC -7.9562 -8.150477 -7.9545 -8.1845

479

Berdasarkan Tabel 7 dapat diambil kesimpulan bahwa model AR(1) - untuk setiap marginal return merupakan model yang lebih

dapat menjelaskan fenomena volatilitas pada return nilai tukar mata uang asing

dibandingkan dengan model baik untuk residual

berdistribusi normal maupun t-student. Hal ini ditunjukkan oleh besar nilai estimasi

Log-Likelihood model yang selalu lebih besar daripada model . Selain

itu model selalu mempunyai nilai AIC yang lebih kecil daripada model

. Artinya model volatilitas merupakan model yang lebih baik

dibandingkan model apabila terdapat masalah asimetris pada volatilitas

return, yaitu ditandai dengan adanya leverage effect. Berdasarkan Tabel 7

diperoleh bahwa model volatilitas terbaik adalah model dengan residual berdistribusi t-student, pemilihan ini didasarkan pada

nilai Log-Likelihood terbesar dan nilai AIC terkecil.

Langkah selanjutnya dilakukan pengecekan pada standar residual kuadrat

model untuk melihat apakah masih terdapat efek

heteroskedastisitas pada model. Hasil pengujian yang dilakukan menggunakan uji

Ljung-Box untuk melihat korelasi pada data residual disajikan pada Tabel 8, yang

menunjukkan bahwa standar residual kuadrat model

tidak berautokorelasi. Hal ini dibuktikan dengan nilai yang

menyebabkan diterima.

Tabel 8. Uji Ljung-Box Standar Residual Kuadrat Model


US $ 1.0285 0.3105

Yuan 0.3012 0.5832

Model marginal masing-masing return mata uang sebagai berikut.

1. Model untuk data return US $

2. Model untuk data return Yuan

dengan , dimana:

Pembentukan Struktur Dependensi Model Copula

Langkah selanjutnya setelah diperoleh parameter model marginal untuk

setiap aset maka dilakukan analisis dependensi antar aset tersebut dengan

menggunakan pendekatan copula. Dengan menggunakan residual yang diperoleh pada pemodelan marginal, maka secara visual dapat

dilihat struktur dependensi setiap residual model marginal mata uang. Gambar 2

memperlihatkan bahwa terdapat hubungan dependensi yang positif untuk USD-

CNY, sehingga struktur dependensi tersebut dapat dianalisis lebih lanjut dengan

menggunakan metode Copula. Tahapan yang pertama adalah mentransformasikan

residual model yang telah dibakukan menjadi

distribusi uniform.

480

Transformasi perlu dilakukan dikarenakan jika hanya menggunakan

visualisasi dari sebaran data residual untuk mengukur dependensi antar variabel

acak

Gambar 2. Scatterplot Residual US $ dan Yuan,

maka contournya tidak akan terbentuk. Pada bagian ini yang digunakan sebagai

distribusi marginal untuk masing-masing aset adalah residual dari model dengan distribusi t-student dikarenakan residual dari model

tersebut merupakan yang paling cocok dengan kondisi marginal masing-masing

aset mata uang.

Gambar 3. Scatterplot Transformasi Residual US $ dan Yuan

Gambar 3 menunjukkan bahwa US $ dan Yuan memiliki dependensi dan

diduga memiliki tingkat dependensi yang tinggi dimana masing-masing

variabelnya telah terlebih dahulu ditransformasikan ke dalam distribusi uniform.

Kemudian dapat dilihat pula bahwa plot dependensi antar variabel tersebut

berkumpul pada beberapa ruang interval, namun belum terlihat jelas pola

penyebaran datanya. Hal tersebut menunjukkan dengan jelas bahwa dependensi

antar dua variabel tersebut tidak memiliki tail dependency sehingga diduga

transformasi residual tersebut memiliki fungsi dari keluarga copula eliptikal.

Gambar 4 memperlihatkan bentuk-bentuk struktur dependensi dari

keluarga copula eliptikal, yaitu copula Gaussian dan t-student serta keluarga copula

Archimedean, yaitu copula Clayton, Gumbel, dan Frank. Dalam penelitian ini akan

digunakan kelima copula tersebut untuk memodelkan dependensi antara dua

variabel aset mata uang dengan distribusi marginal untuk masing-masing aset

berdistribusi t-student. Selanjutnya, parameter copula akan ditaksir dengan

menggunakan penaksiran Maximum Likelihood Estimation (MLE) untuk keluarga

copula eliptikal, dan menggunakan penaksiran built-in korelasi Kendall-tau.

481

Copula Eliptikal

Copula Archimedean

Gambar 4. Copula Gaussian, t-student, Clayton, Gumbel, dan Frank

Tabel 9 merupakan estimasi parameter copula untuk pemodelan struktur

dependensi antar aset. Pemilihan struktur keluarga copula terbaik yang

dibandingkan dengan struktur data empiris berdasarkan data residual model

marginal return menggunakan AIC.

Tabel 9. Parameter Copula

Copula Parameter Log-Likelihood AIC GoF

Gaussian 903.5 -1805.09186 0.9950

t-student 1167 -2332.0565 0.9420

Clayton 911 -1806.7278 0.9910

Gumbel 1027 -2041.3444 0.9993

Frank 966 -1883.2076 0.9990

Pada Tabel 9 dapat dilihat bahwa kelima copula tersebut merupakan

copula yang cocok untuk digunakan dalam memodelkan distribusi gabungan dua

aset mata uang US$ dan Yuan. Hal ini ditunjukkan oleh nilai p-value Goodness of

Fit yang mempunyai nilai lebih besar dari . Akan tetapi, hanya

dibutuhkan satu keluarga copula saja yang digunakan dalam menentukan nilai

VaR, sehingga diperoleh bahwa copula t-student merupakan copula terbaik yang

digunakan dalam menggabungkan distribusi marginal residual model volatilitas

untuk aset mata uang US $ dan Yuan. Pemilihan copula terbaik ini didasarkan pada

nilai Log-Likelihood terbesar dan nilai AIC terkecil. Dari Tabel 9 diketahui bahwa

copula t-student mempunyai nilai Log-Likelihood terbesar sebesar 1167 dan nilai

AIC terkecil sebesar -2332.0565.

Pembentukan Portofolio Optimal Berdasarkan Konsep Mean-Variance.

Portofolio merupakan kombinasi atau gabungan atau sekumpulan aset,

dalam hal ini adalah nilai tukar mata uang US$ dan CNY terhadapat IDR. Rate of

482

return portofolio menggambarkan laju perkembangan return dari portofolio. Rate

of return portofolio dinotasikan dengan Rp yang secara matematis dapat diartikan

sebagai penjumlahan dari perkalian bobot aset ke-i (wi) dengan rate of return aset

ke-i (Ri). Apabila terdapat 2 buah aset maka rate of return portofolio dapat dihitung

dengan rumus sebagai berikut: 2

1 1 2 2

1

p i i

i

R w R w R w R

(2)

Sedangkan nilai ekspektasi rate of return portofolio dinotasikan dengan pR , dan

dirumuskan sebagai berikut : 2

1 1 2 2

1

p i i

i

R w R w R w R

(3)

dengan

1 2 ... .n pw w w w (4)

Berdasarkan konsep mean-variance, model penyelesaian optimasinya adalah

dengan meminimumkan fungsi objektif : 2 2 2

2 2 2

1 1 1

,p i i i k ik

i i ki k

w w w

(5)

dengan fungsi kendala sebagai berikut:

1.

2

1

i i p

i

w R R

2. 2

1

1.ii

w

3. 0, 1,2.iw i

Hasil perhitungan memberikan nilai 42% untuk berinvestasi mata uang US$ dan

58% untuk berinvestasi pada mata uang CNY.

Perhitungan VaR dengan Copula Menggunakan Simulasi Monte Carlo

Setelah mendapatkan copula terbaik, yaitu copula t-student, maka copula

tersebut akan digunakan dalam proses pembangkitan data menggunakan simulasi

Monte Carlo untuk menghitung nilai VaR. merupakan return aset mata uang

US$ dan merupakan return aset mata uang Yuan, masing-masing pada waktu

ke- untuk data yang telah dibangkitkan menggunakan Copula t-student. Dari hasil

analisis diperoleh nilai VaR yang disajikan pada Tabel 10 sebagai berikut.

Tabel 10. Nilai VaR hari

Copula t-student Nilai Value at Risk

0.003276

0.002103

Sebagai contoh, apabila investor menginvestasikan dananya sebesar Rp.

1.000.000,00 pada portofolio nilai tukar mata uang US$ dan Yuan, maka investor

tersebut akan mempunyai potensi kerugian yang dapat ditolerir sebesar

Rp.3.276,00 dengan tingkat kepercayaan 95% dalam jangka waktu 1 hari setelah

tanggal sampel terakhir pada penelitian ini, yaitu 1 Februari 2016.

483

Uji Backtesting

Proses akhir penelitian adalah melakukan validasi terhadap nilai VaR

yang telah diperoleh untuk prediksi satu periode waktu ke depan dengan

menggunakan metode backtesting yakni Kupiec Test. Pengujian ini dilakukan

berdasarkan teori binomial serta menguji perbedaan antara nilai observasi dan nilai

expected return dari VaR portofolio dengan tingkat kepercayaan 90% dan 95%.

Berdasarkan statistik uji seperti pada Persamaan (6) berikut ini,

(6)

diperoleh hasil bahwa nilai VaR pada tingkat kepercayaan 95% dan 90% telah

memiliki kesesuaian seperti yang disajikan pada Tabel 11.

Tabel 11. Uji Backtesting

Nilai VaR Copula t-student Backtesting (p-value) Keterangan

US$ - CNY 0.6345 diterima

0.6543 diterima

3. Kesimpulan

Untuk menentukan nilai risiko dengan menggunakan ukuran VaR pada

investasi portofolio optimal mata uang US$ dan China Yuan, dapat digunakan

pendekatan asymmetric GJR-GARCH dengan Copula t-student. Investor yang

menginvestasikan dananya misal sebesar Rp. 1.000.000,00 pada portofolio nilai

tukar mata uang US$ dan Yuan, maka kemungkinan investor tersebut akan

mempunyai potensi kerugian yang dapat ditolerir sebesar Rp.3.276,00 dengan

tingkat kepercayaan 95% dalam jangka waktu 1 hari setelah tanggal sampel

terakhir pada penelitian ini, yaitu 1 Februari 2016.

Referensi

[1] Bodie, Z., et al. 2003. Essentials of Investments. The McGraw-Hill Companies.

[2] Bollerslev, T. 1986. Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity.

Journal of Econometrics 31, 307-327.

[3] Danielsson, J. 2011. Financial Risk Forecasting. John Wiley & Sons Ltd.

[4] Embrechts, P., et al. 2001. Modelling dependence with copulas and applications to risk

management. ETH Zurich.

[5] Engle, R. F. 1982. Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with estimates of the

variance of UK inflation. Econometrica 50(4), 987-1007.

[6] Glosten, L. R., R. Jagannathan, dan D. E. Runkle. 1993. On the relation between the

expected value and the volatility of the nominal excess return on stocks. The Journal

of Finance 48(5), 1779-1801.

[7] Hansen, P. R., dan Lunde, A. 2005. A forecast comparison of volatility models: does

anything beat a GARCH(1,1)? Journal of Applied Econometrics 20(2005), 873-889.

[8] Jorion, P. 2007. Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk.

McGraw-Hill.

[9] Markowitz, H. 1952. Portfolio selection. The Journal of Finance 7(1), 77-91.

[10] McNeil, A. J., dan Frey, R. 2000. Estimation of tail-related risk measures for

484

heteroscedastic financial time series: an extreme value approach. Journal of Empirical

Finance 7, 271-300.

[11] Noviyanti, L dan A.Z. Soleh. 2016. Penentuan risiko nilai tukar CNY dan HKD

terhadap IDR berdasarkan Value at Risk dan Conditional Value at Risk dengan

volatilitas GARCH. Prosiding Seminar Nasional Matematika Statistika Universitas

Negeri Padang.

[12] Palaro, H. P. dan Hotta, L. K. 2006. Using conditional copula to estimate Value at

Risk. Journal of Data Science 4(2006), 93-115.

[13] Shams, S. dan K.H. Fatemeh. 2013. A Copula-GARCH Model of Conditional

Dependencies: Estimating Tehran Market Stock Exchange Value-at-Risk. Journal of

Statistical and Econometric Methods, Vol.2, No.2 39-50.

.

485


APLIKASI ANN DALAM MENENTUKAN TRADING

SAHAM BERBASIS ANALISIS TEKNIKAL

IRMAWARDANI SARAGIH1, ZUHERMAN RUSTAM

2

1. Departemen Matematika UI, [email protected]

2. Departemen Matematika UI, [email protected]

Abstrak. Menentukan keputusan yang tepat dalam trading saham bukanlah hal yang

mudah untuk dilakukan dikarenakan pergerakan harga saham yang sangat dinamis,

apabila salah langkah maka yang didapat adalah kerugian. Untuk menentukan

tindakan yang tepat dalam trading saham, investor dapat menganalisis saham yang

akan diinvestasikan terlebih dahulu agar mendapatkan keuntungan yang besar.

Analisis yang dapat dilakukan adalah analisis teknikal saham dengan menggunakan

berbagai indikator yang ada. Pada skripsi ini, akan dibahas penggabungan enam

indikator analisisteknikal saham, yaitu Simple Moving Average, Moving Average

Convergence/Divergence (MACD), Relative Strength Index (RSI), Stochastic

Oscillator (SO) yaitu %D dan %K, dan William %R dengan menggunakan metode

artificial neural network (ANN).

Kata kunci : : Analisis Teknikal, Artificial Neural Network, Indikator analisis

teknikal.

1. Pendahuluan

Pada saat ini, mendapatkan uang sudah tidak terfokus lagi pada pekerjaan

yang dimiliki oleh seseorang. Banyak hal yang dapat dilakukan dalam mencari

pendapatan tambahan guna memenuhi kebutuhan seseorang selain dari pekerjaan

tetapnya, salah satunya adalah investasi. Dalam tataran ekonomi, investasi

mengacu pada pembelian aset fisik, seperti akuisisi perusahaan terhadap pabrik,

peralatan atau pembelian rumah baru, Mayo [1]. Sedangkan orang yang melakukan

investasi selanjutnya akan disebut investor. Investasi yang dilakukan bisa dalam

bentuk emas, tanah dan bangunan, asuransi, reksa dana, dan saham. Saat ini,

saham merupakan hal yang sangat populer pada pasar keuangan.

Saham mampu memberikan keuntungan yang menarik bagi para investor.

Namun, pergerakan harga saham yang sangat dinamis menjadi faktor penting

dalam pengambilan keputusan bagi para investor, untuk itu dibutuhkan sebuah

sistem yang digunakan untuk memprediksi pergerakan harga saham untuk

membantu investor dalam mengambil keputusan yang tepat.

Prediksi harga saham dapat dilakukan dengan dua cara yaitu analisis

fundamental atau analisis teknikal. Pada makalah ini akan digunakan analisis

teknikal yaitu SMA (Simple Moving Average), MACD (Moving Average

Convergence and Divergence), Stochastic KD, RSI (Relative Strength Index),

William %R, Achelis [2] . Setelah menganalisis saham dari sisi fundamental dan

teknis, selanjutnya langkah yang akan dilakukan oleh investor ialah membuat

486

keputusan apakah akan membeli, menjual, atau mempertahankan saham tersebut.

Sampai saat ini telah banyak cara yang dilakukan dalam prediksi harga saham,

antara lain menggunakan metode Artificial Bee Colony Algorithm (ABC) oleh

Brasileiro RC et all, metode Nearest Neighbor Classification (k-NN) oleh Teixeira

LA et all, metode Naive Bayesian, metode Decision Tree (DT), metode Artificial

Neural Network, dan masih banyak lagi. Pada makalah ini akan dibahas

menggunakan Artificial Neural Network.

2. Metode dan Bahan

a. Artificial Neural Network

Artificial Neural Network (ANN) merupakan sebuah metode pembelajaran

yang meniru karakteristik dari cara kerja sistem saraf manusia, Fausett at all [2].

Model model ANN sangat ditentukan oleh arsitektur jaringan dan algoritma

pelatihan. Arsitektur jaringan berguna untuk menjelaskan perjalanan sinyal dalam

jaringan. Sedangkan algoritma menjelaskan bagaimana perubahan bobot koneksi

yang dilakukan agar pasangan masukan-keluaran yang diinginkan dapat tercapai.

Fungsi aktivasi merupakan suatu proses untuk menentukan formulasi dari input

untuk dikonversikan mejadi nilai output. Pada penelitian ini digunakan fungsi

tangen hiperbolik dan metode backpropagation. Fungsi tangen hiperbolik

dirumuskan sebagai berikut:

(1)

dengan turunan,

(2)

b. Teknikal Analisis

Pada penelitian ini ada enam indikator teknis sebagai masukan untuk metode

ANN dalam memprediksi harga penutupan saham. Indikatornya yaitu, Irma

& Zuherman [3]:

Tabel 1. Tabel Teknikal Indikator

Dimana : : harga penutupan waktu t, : harga rendah saat waktu t, : harga

tinggi saat waktu t, : harga terbawah dalam beberapa hari t, : harga

tertinggi dalam beberapa hari t, : perubahan harga naik pada waktu t, :

perubahan harga turun pada waktu t,

No Indikator Formula

1 SMA (Simple Moving

Average)

3 RSI 100 -

4 MACD EMA(12)-EMA(26)

5 Stochastic K%

* 100

6 Stochastic D%

7 Larry William’s R%

* 100

487

Metode Penelitian

Sistem prediksi yang akan dibangun menggunakan ANN dan sejumlah

aturan berdasarkan teknikal indikator yang digunakan untuk mendapatkan

keputusan trading saham yakni beli, tahan atau jual. Adapun langkah-langkah yang

akan digunakan dalam pengambilan keputusan adalah, Dash et all [4] :

Langkah I. Menghitung nilai teknikal indikator

Input data yang digunakan pada penelitian ini adalah nilai dari keenam

teknikal indikator.

Langkah II. Menentukan trend analisis menggunakan teknikal indikator

Pada penelitian ini, indikator SMA digunakan untuk mengklasifikasikan

pergerakan harga saham berdasarkan uptrend atau downtren yang mengikuti aturan

sebagai berikut:

Jika harga penutupan saham mengikuti SMA, dan pergerakan SMA naik

untuk 5 hari terakhir maka trend yang diperoleh Uptrend.

Jika harga penutupan saham berada tidak mengikuti SMA, dan pergerakan

SMA turun untuk 5 hari terakhit maka trend yang diperoleh Downtrend.

Langkah III. Menghitung nilai trading signal dari nilai trend analisis

Neural Network merupakan supervised learning yang membutuhkan nilai

input dan output sebagai data latih. Untuk itu diperlukan suatu nilai output yang

akan dijelaskan pada tahap ini. Nilai output biasanya memiliki range dari 0-1. Nilai

output yang digunakan diperoleh dari nilai trend signal. Untuk memperoleh nilai

trend signal, yang selanjutnya akan didefinisikan dengan ,akan digunakan

persamaan berikut:

Jika tren analisis Up trend

(3)

Jika tren analisis Down trend

(4)

dengan : , dan merupakan harga penutupan pada hari ke-i.

Langkah IV. Input data

Keenam teknikal indikator yang telah diproses akan menghasilkan nilai

numerik dan nilai tersebut memiliki range yang berbeda untuk setiap indikator.

Oleh karena itu, input data untuk metode ANN akan dinormalisasi sehingga

menghasilkan range 0-1. Normalisasi data dapat dilakukan menggunakan

persamaan

, i=1,...,d, j=1,...,n (5)

dengan,

: nilai normalisasi dari data ke-j pada teknikal indikator ke-i,

: nilai data ke-j yang akan dinormalisasi pada teknikal indikator ke-i,

: nilai maximum data dari teknikal indikator ke-i,

: nilai minimum data dari teknikal indikator ke-i,

n : banyaknya data.

Langkah V. Menghitung nilai trading signal dengan metode ANN

Pada tahap ini akan dilakukan perancangan sistem ANN yang akan

digunakan untuk menghasilkan prediksi trading signal .

Langkah VI. Penentuan trend berdasarkan trading signal

488

Setelah melakukan langkah 5, maka akan diperoleh nilai trading signal yang

baru ( ) dengan nilai range 0 sampai 1. Kemudian akan ditentukan nilai trend

menggunakan mean dari nilai range Tr sebesar 0.5 dengan aturan sebagai berikut :

Tabel 2 Penetuan trend

Penentuan

Trend

Down

Up

Langkah VII. Penentuan keputusan dari prediksi trend

Setelah melakukan langkah 6 maka akan diperoleh trend yang akan

digunakan untuk menentukan keputusan trading saham dengan menggunakan

aturan sebagai berikut:

Tabel 3 Penentuan keputusan rekomendasi

Algoritma pelatihan ANN untuk satu unit tersembunyi, dengan fungsi

aktivasi tangen hiperbolik adalah sebagai berikut :

Langkah 0. Definisikan pola input dan data targetnya.

Langkah 1. Inisialisasi semua bobot dengan bilangan acak kecil.

Langkah 2. Tentukan iterasi dan error yang diinginkan.

Langkah 3. Jika kondisi iterasi dan error yang diinginkan belum terpenuhi

lakukan langkah 4-9.

Fase I : Feed forward

Langkah 4. Tiap unit input menerima sinyal dan meneruskannya ke unit

tersembunyi diatasnya.

Langkah 5. Hitung semua output disetiap unit tersembunyi .

(6)

(7)

: Unit input ke-i,

: Bias untuk hidden unit ke-j,

: Bobot antara unit input ke-j dengan hidden unit ke-i,

: Jumlah perkalian ke-k antara nilai bobot dengan sinyal masukan,

p : Jumlah simpul pada unit tersembunyi.

Langkah 6. Hitung semua output jaringan di unit .

(8)

(9)

: Bias untuk unit output ke-j,

: Bobot antara hidden unit ke-k dengan unit output ke-j,

: Jumlah perkalian ke-k antara nilai bobot dengan unit

No

IF

Kondisi Trend Saat ini

THEN

Rekomendasi

1 Up Beli

2 Down Jual

3 Sama dengan sebelumnya Tahan

489

tersembunyi,

m : Jumlah simpul pada unit keluaran.

Fase II: Backpropagation

Langkah 7. Hitung faktor unit keluaran berdasarkan kesalahan di setiap unit

keluaran . Faktor selanjutnya akan digunakan untuk dalam

perubahan bobot dibawahnya yaitu dengan laju percepatan .

(10)

= ; k = 1,2,...,m ; j = 0,1,...,p (11)

: Nilai output yang sebenarnya,

: Nilai output sistem,

: nilai percepatan [0,1]

: Perubahan bobot pada unit output.

Langkah 8. Hitung faktor unit tersembunyi berdasarkan kesalahan di setiap unit

teersembunyi . Faktor selanjutnya akan digunakan untuk dalam

perubahan bobot dibawahnya yaitu dengan laju percepatan .

(12)

(13)

= ; j = 1,2,...,p ; i = 0,1,...,n (14)

: Perubahan bobot pada unit tersembunyi

Fase III: Perubahan bobot

Langkah 9. Hitung semua perubahan bobot.

Perubahan bobot yang menuju ke unit keluaran,

k = 1,2,...,m ; j=0,1,...,p (15)

Perubahan bobot yang menuju ke unit tersembunyi

j = 1,2,...,p ; j=1,2,...,n (16)

490

Gambar 1. Flowchart Alur Penelitian

3. Hasil Penelitian

Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data historis harga saham

PT. Bank Mandiri, Tbk dengan periode Januari 2014-Desember 2015. Data historis

harga saham yang digunakan akan dibagi menjadi 2 bagian, yaitu data training dan

data testing. Data training yang digunakan adalah data historis harian harga saham

periode 01 Januari 2014- 31 Desember 2014 sebanyak 261 data, sedangkan data

testing akan digunakan data historis bulanan harga saham periode 01 Januari 2015-

31 Desember 2015.

Pada metode yang akan digunakan, input data yang digunakan merupakan

hasil perhitungan dari keenam teknikal analisis. Perhitungan dilakukan dengan

bantuan software Rstudio dengan data masukan merupakan data historis harga

saham.

Berdasarkan langkah yang diberikan pada subbab sebelumnya, dengan

491

perhitungan yang dilakukan menggunakan software Matlab, maka diperoleh bobot

w yaitu bobot yang menghubungkan input dengan hidden layer dan bobot u yaitu

bobot yang menghubungkan hidden layer dengan output.

Selanjutnya akan dibahas hasil percobaan menggunakan data testing

dengan input nilai keenam teknikal indikator dan bobot yang telah diperoleh

dengan menjalankan sistem ANN. Hasil yang diperoleh akan dibandingkan dengan

harga saham seminggu setelahnya dan saham di akhir bulan.

1 Januari 2015

Tabel 4. Hasil percobaan data pertama

SMA RSI William%R %

D

%K MAC

D Rekomenda

si

1059

0

59,5

7

0,02 0,8 0,98 0,63 0,649

0

Beli

Untuk mengetahui apakah hasil output tersebut tepat atau tidak, akan

dilakukan dua perbandingan. Perbandingan pertama ialah perbandingan harga

saham satu minggu berikutnya yaitu tanggal 8 Januari 2015 dan perbandingan

kedua ialah harga saham diakhir bulan yaitu saat 30 Januari 2015.

Pada perbandingan pertama, pada satu minggu berikutnya, pergerakan harga

saham mengalami kenaikan Rp.175,00, dari semula memiliki harga Rp10.775,00

menjadi Rp10.950,00.Sehingga hasil rekomendasi yang dikeluarkan sistem belum

492

tepat. Untuk perbandingan kedua, harga saham pada tanggal 30 Januari 2014 juga

mengalami kenaikan harga pada periode ini, yaitu sebesar Rp225,00. Karena

mengalami kenaikan harga, rekomendasi yang dihasilkan oleh sistem tidak tepat

karena kenaikan harga ini mengindikasikan para investor untuk menjual saham

selagi harga saham naik.

Setelah melakukan percobaan selama 12 bulan dan membandingkan hasilnya

seperti contoh pada bulan januari, maka diperoleh hasil sebagai berikut :

Tabel 5. Ketepatan hasil percobaan dengan periode waktu

4. Kesimpulan

Berdasarkan pengujian yang dilakukan dengan menggunakan data PT Bank

Mandiri Tbk selama periode Januari 2014 – Desember 2015, didapatkan bahwa

rekomendasi dengan menggunakan metode ANN dan keenam teknikal indikator

untuk data tersebut lebih baik digunakan untuk jangka waktu satu minggu dengan

tingkat akurasi 73,3%. Sedangkan untuk jangka waktu yang lebih lama, yaitu satu

bulan, hanya memiliki tingkat akurasi 41,67%. Rekomendasi yang diperoleh

menggunakan ANN dipengaruhi oleh teknikal indikator dan data yang digunakan.

5. Referensi

[1] Mayo, Herbert B. (2011). Investments : An Introduction 10th ed. United State of

America : South-Western Cengage Learning. Pp 3-20

[2] Achelis, Steven B. (2000). Technical Analysis from A to Z. Pp 1-35

[3] Fausett, Laurene. (1994). Fundamentals of Neural Networks: Architectures,

Algorithms and 7Applications. United State of America : Prentice-Hall.

[4] Saragih, Irmawardani., Rustam, Zuherman. (2017). Prediksi Harga Saham

Menggunakan Support Vector Regression Berbasis Teknikal Analisis. Riau :

Konferensi Nasional Matematika XVIII

[5] Dash, Rajashree., Dash, Pradipta Kishore. (2016). A hybrid stock trading framework

integrating technical analysis with machine learning techniques.India : The Journal

of Finance and Data Science 2. Pp 42-5

Tanggal Rekomendasi Ketepatan

1 minggu 1 bulan

1 Januari 2015 0,6690 Beli

2 Februari 2015 0,6638 Tahan

2 Maret 2015 0,6285 Tahan

1 April 2015 0,6474 Tahan

1 Mei 2015 0,4993 Jual

1 Juni 2015 0,4517 Jual

1 Juli 2015 0,6008 Beli

3 Agustus 2015 0,5017 Tahan

1 September 2015 0,5650 Tahan

1 Oktober 2015 0,4716 Jual

2 November 2015 0,5516 Beli

1 Desember 2015 0,6990 Tahan

493


SUKU BUNGA KREDIT INVESTASI IDEAL BANK

UMUM DENGAN ACUAN BI RATE (PENDEKATAN

THRESHOLD VECTOR ERROR CORRECTION MODEL)

GAMA PUTRA DANU SOHIBIEN

Sekolah Tinggi Ilmu Statistik, [email protected]

Abstrak. Peran sektor perbankan terhadap perekonomian adalah membantu usaha

debitur dengan pemberian pinjaman. Salah satu kredit yang disalurkan bank umum

adalah kredit investasi. Besarnya penyaluran kredit investasi dipengaruhi oleh suku

bunga kredit investasi. Salah satu acuan penetapan suku bunga kredit investasi adalah

BI Rate. Pendekatan yang banyak digunakan untuk menganalisis hubungan antar

variabel ekonomi adalah kointegrasi dan Vector Error Correction Model (VECM).

VECM memasukan koefisien penyesuaian ketidakseimbangan antar variabel sebagai

koreksi penyimpangan yang terjadi di jangka pendek. Pada model VECM, pola

hubungan antara penyimpangan dan dinamika jangka pendek dianggap linear. Namun

pola hubungan tersebut mungkin saja tidak linear. Model yang mengakomodir

permasalahan tersebut adalah Threshold Vector Error Correction Model (TVECM).

Suku bunga kredit investasi signifikan dalam merespon ketidakseimbangan ketika

ECTt-1 lebih dari 0.51. Suku bunga kredit investasi ideal bank umum adalah minimal

1.679 BI rate - 0.77 dan maksimum .

Kata kunci: Suku Bunga Kredit Investasi, BI rate, TVECM.

1. Pendahuluan

Pertumbuhan ekonomi merupakan terjadinya perkembangan kegiatan

dalam perekonomian yang menyebabkan barang dan jasa yang diproduksi

meningkat sehingga kemakmuran masyarakat dapat meningkat. Pencapaian

pertumbuhan ekonomi tentunya melalui proses yang melibatkan peningkatan

kegiatan-kegiatan produksi (barang dan jasa) di semua sektor ekonomi. Dalam

meningkatkan kegiatan-kegiatan ekonomi diperlukan modal untuk menambah

sarana dan prasarana yang menunjang kegiatan ekonomi tersebut, seperti: pabrik,

gedung perkantoran, mesin-mesin, dan alat-alat produksi. Kapital atau modal

merupakan sumber utama dalam pertumbuhan ekonomi [15]. Dengan kata lain

investasi menjadi salah satu penopang dalam pencapaian target pertumbuhan

ekonomi.

Pada umumnya sumber utama pembiayaan investasi di negara-negara

berkembang termasuk Indonesia adalah dari penyaluran kredit perbankan [9].

Peran sektor perbankan terhadap pertumbuhan ekonomi adalah dalam membantu

usaha para debitur yang memerlukan dana, baik dana Investasi maupun dana untuk

modal kerja yang dapat berdampak pada peningkatan pembangunan di berbagai

sektor. Oleh karena itu sektor perbankan menjadi penting untuk diperhatikan

494

karena lembaga perbankan memiliki peran intermediasi dan berpengaruh besar

terhadap pertumbuhan ekonomi suatu negara. Ketika terjadi penurunan kredit yang

disalurkan akan dapat berdampak pada perlambatan pertumbuhan ekonomi yang

disebabkan kurang atau tidak adany a modal yang dapat digunakan produsen

untuk melakukan produksi.

Salah satu jenis kredit yang diberikan oleh bank umum adalah kredit

investasi. Kredit investasi merupakan kredit jangka panjang yang biasanya

digunakan untuk keperluan perluasan usaha atau membangun proyek/pabrik baru.

Bank sebagai pemberi kredit akan mendapatkan keuntungan dari bunga yang

dibayarkan oleh perusahaan yang meminjam. Perusahaan yang melakukan

pinjaman kredit investasi dapat melakukan pengembangan usahanya. Bagi

pemerintah peningkatkan kredit investasi akan berdampak pada peningkatan pajak,

berkurangnya pengangguran sebagai dampak dari perluasan usaha perusahaan, dan

peningkatan ekspor. Semua manfaat yang didapatkan dari penyaluran kredit

investasi akan bermuara pada peningkatan pertumbuhan ekonomi negara.

Salah satu faktor yang memengaruhi besarnya kredit investasi yang

disalurkan adalah suku bunga kredit investasi yang ditetapkan oleh bank. Semakin

tinggi bank mengenakan suku bunga kredit, minat perusahaan untuk meminjam

kredit semakin berkurang sedangkan semakin rendah bank menetapkan suku bunga

kredit maka minat perusahaan untuk meminjam kredit akan semakin besar.

Berdasarkan beberapa literatur suku bunga kredit yang terlalu tinggi akan

berdampak pada turunnya hasrat untuk berinvestasi yang tentu bisa mengakibatkan

penurunan pertumbuhan ekonomi. Sedangkan suku bunga kredit yang terlalu

rendah juga akan berdampak pada rendahnya laba yang diterima oleh bank dari

balas jasa penyaluran kredit investasi.

Dalam menetapkan suku bunga termasuk suku bunga kredit investasi salah

satu acuan yang digunakan oleh bank umum adalah suku bunga acuan Bank

Indonesia (BI Rate). BI Rate merupakan instrumen kebijakan utama untuk

memengaruhi aktivitas kegiatan perekonomian. Apabila perekonomian sedang

mengalami kelesuan, BI akan menggunakan kebijakan moneter melalui penurunan

suku bunga untuk mendorong aktifitas ekonomi. Penurunan suku bunga BI rate

akan menurunkan suku bunga kredit yang akan direspon oleh dunia usaha untuk

meningkatkan permintaan kredit perbankan. Sehingga aktivitas perekonomin akan

semakin meningkat. Di sisi lain Bank sebagai lembaga yang keuntungannya paling

besar didapatkan dari bunga juga akan memerhatikan suku bunga yang tepat agar

laba yang diperoleh juga maksimal.

Penelitian terkait suku bunga kredit sudah banyak dilakukan oleh peneliti-

peneliti terdahulu, diantaranya [11], [14], [16], dan [17]. Dari banyak penelitian

belum ada yang menjelaskan pada saat bagaimana bank umum akan merespon

adanya pergerakan BI rate dan bagaimana respon yang dilakukan oleh bank umum

untuk setiap kebijakan moneter yang dilakukan oleh BI melalui penetapan tingkat

BI rate. Selain itu belum ada penelitian yang memberikan rekomendasi terkait suku

bunga kredit investasi ideal yang bisa digunakan bank umum dalam menyalurkan

kredit dengan mengacu pada BI rate.

Pendekatan yang banyak dilakukan untuk melihat hubungan antar variabel

ekonomi adalah kointegrasi dan vector error correction model (VECM). Metode

kointegrasi dipopulerkan oleh Engle dan Granger pada tahun 1987 [7]. Pendekatan

kointegrasi berkaitan erat dengan pengujian terhadap kemungkinan adanya

hubungan keseimbangan jangka panjang diantara variabel-variabel ekonomi.

Metode kointegrasi dapat dijadikan solusi dari masalah spurious regresion, yaitu

495

model regresi dengan nilai R2 tinggi namun tidak ada hubungan yang signifikan

antar variabel respon dan prediktor. Vector Error Correction

Model (VECM) merupakan model yang dikembangkan untuk mengatasi masalah

variabel-variabel yang saling berkointegrasi atau memiliki hubungan

keseimbangan jangka panjang namun dalam jangka pendek tidak ada

keseimbangan (disequilibrium). Ketidakseimbangan inilah yang sering ditemui

dalam perilaku hubungan antar variabel ekonomi. Model VECM memasukan

penyesuaian untuk melakukan koreksi bagi ketidakseimbangan yang terjadi

sehingga dinamika jangka pendek variabel-variabel di dalam sistem dipengaruhi

oleh besarnya penyimpangan yang terjadi.

Hubungan antara penyimpangan dan dinamika jangka pendek pada model

VECM diasumsikan linear. Hubungan antar variabel ekonomi biasanya tidak linear

[5]. Besarnya penyesuaian terhadap keseimbangan jangka panjang dapat berbeda di

berbagai keadaan ekonomi [2]. Dalam makroekonomi, kebijakan sering diatur

berdasarkan target, dimana intervensi dilakukan ketika penyimpangan terjadi

secara signifikan dari target sehingga penyesuaian tidak dilakukan seketika itu juga

melainkan dilakukan setelah penyimpangan melewati nilai threshold [18]. Hal ini

berlawanan dengan VECM dimana penyimpangan dikoreksi dengan cara yang

sama. Sehingga, bila pola hubungan antara penyimpangan dan dinamika jangka

pendek adalah nonlinear maka model VECM tidak tepat untuk menggambarkan

hubungan jangka pendek antar variabel. Dari semua penelitian yang sudah

dilakukan tentang hubungan antara BI rate dan suku bunga kredit di Indonesia,

belum ada penelitian yang mengkaji hubungan tersebut dengan mempertimbangkan

adanya pola penyesuaian nonlinear yang mungkin terjadi untuk mengoreksi

ketidakseimbangan yang terjadi di jangka pendek.

Threshold cointegration yang diperkenalkan oleh Balke dan Fomby pada

tahun 1997 merupakan model yang menggabungkan ke-nonlinier-an dan

kointegrasi. Model threshold didasarkan pada prinsip bahwa proses pemodelan

data time series ditandai dengan adanya rezim yang terpisah, masing-masing rezim

memiliki pola yang berbeda. Secara khusus model ini memungkinkan dilakukan

penyesuaian nonlinier terhadap keseimbangan jangka panjang. Model ini sudah

banyak diterapkan pada penelitian-penelitian terdahulu, seperti [1], [4], dan [10].

Konsep threshold kointegrasi seperti yang diperkenalkan oleh Balke dan

Fomby telah menarik perhatian para praktisi dalam mengungkap pola penyesuaian

nonlinear harga relatif dan variabel lain. Ide dasar dari model threshold kointegrasi,

adalah model dibentuk lebih dari satu rezim model time series yang dibagi

berdasarkan nilai error correction term (ECT). Dengan kata lain efek threshold

pada model VECM tergantung pada besarnya ketidakseimbangan terhadap sistem

jangka panjang. Model yang digunakan untuk melakukan penyesuaian nonlinear

terhadap ketidakseimbangan yang terjadi di jangka pendeknya disebut sebagai

Threshold Vector Error Correction Model (TVECM).

Berdasarkan pertimbangan bahwa kredit investasi memiliki peran yang

cukup penting dalam peningkatan pertumbuhan ekonomi dan suku bunga kredit

investasi juga memiliki peran yang penting dalam menentukan banyaknya kredit

yang disalurkan dan keuntungan yang diperoleh bank maka penelitian ini bertujan

melihat bagaimana hubungan antara BI rate dan suku bunga kredit investasi,

apakah BI rate sebagai alat kebijakan moneter berhasil dalam memberikan

pengaruh pada pergerakan suku bunga kredit investasi, bagaimanakah besarnya

penyesuaian BI rate dan suku bunga kredit investasi sebagai respon

ketidakseimbangan yang terjadi antara BI rate dan suku bunga kredit investasi, dan

496

berapa tingkat suku bunga kredit investasi ideal yang direkomendasikan untuk

bank umum dengan mengacu pada penetapan BI rate. Pendekatan yang digunakan

pada penelitian ini adalah Threshold Vector Error Correction Model.

2. Metodologi Penelitian

2.1 Sumber Data dan Variabel Penelitian

Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data BI rate dan suku

bunga kredit investasi dari Januari 2008- Juli 2016. Data-data tersebut merupakan

data sekunder yang bersumber dari Publikasi Statistik Perbankan Indonesia (SPI)

yang diterbitkan oleh Otoritas Jasa Keuangan. Variabel yang digunakan pada

penelitian ini adalah Y1t yang merupakan variabel BI rate dan Y2t yang merupakan

variabel suku bunga kredit investasi.

Metode analisis yang digunakan dalam penelitian ini, adalah Threshold

Vector Error Correction Model (TVECM). Adapun langkah-langkah yang akan

dilakukan untuk mencapai tujuan penelitian adalah sebagai berikut:

1. Melakukan Uji stasioneritas data.

2. Melakukan uji kausalitas granger dimana lag optimum yang digunakan

ditentukan dari kriteria Akaike’s information criterion (AIC), Schwarz

information criterion (SIC), Hannan-Quinn Criterion (HQ), dan Final

Prediction Error (FPE).

3. Melakukan pengujian kointegrasi

4. Melakukan pengujian signifikansi keberadaan threshold dengan Lagrange

Multiplier Test (LM test)

5. Membuat model TVECM

2.2 Vector Error Correction Model (VECM)

VECM merupakan model VAR yang dibuat ketika antar variabel saling

berkointegrasi [3]. Variabel-variabel dalam VECM adalah variabel-variabel turunan

pertama dalam model VAR yang dibedakan oleh error correction term atau dengan

kata lain variabel dalam VECM merupakan variabel yang terkointegrasi pada order

pertama [I(1)]. Hubungan dinamis jangka pendek dari suatu variabel di dalam

sistem dipengaruhi oleh penyimpangan dari keseimbangan jangka panjang yang

dikenal sebagai cointegration term atau error correction term. Untuk membahas

model VECM ini, misalkan kita mempunyai hubungan jangka panjang atau

keseimbangan untuk dua variabel sebagai berikut:

tt YY 210

^

1 (1)

Jika Y1t berada pada titik keseimbangan terhadap Y2t maka keseimbangan

antara variabel Y1t dan Y2t pada persamaan (1) terpenuhi. Namun dalam sistem

ekonomi pada umumnya keseimbangan jarang sekali ditemui. Bila Y1t mempunyai

nilai yang berbeda dengan nilai keseimbangannya maka perbedaan antara sisi kiri

dan sisi kanan pada persamaan (1) adalah sebesar:

tt YYECT 2101

(2)

497

Nilai ECT ini disebut sebagai kesalahan ketidakseimbangan (disequilibrium

error). Bentuk umum VECM yang memasukan variabel perubahan sampai dengan

lag ke-p, adalah sebagai berikut:

ty

p

i

iti

p

i

itittyt YaYaYYaaY ,1

1

2,12

1

1,111210111101 )(

(3)

dan

ty

p

i

iti

p

i

itittyt YaYaYYaaY ,2

1

2,22

1

1,211210112202 )(

(4)

2.3 Threshold Vector Error Correction Model (TVECM)

Keberadaan threshold dalam model membentuk model VECM menjadi

bentuk berikut:

tΔy =

dimana:

A1 dan A2 adalah matriks koefisien dalam kedua rezim

A1 =A2 ketika tidak ada threshold

γ adalah parameter threshold.

Model (5) dan (6) dapat juga dituliskan menjadi persamaan berikut:

1t1tT

1t ) β (yAΔy d ( , γ) + 2td) β (yA 1tT

2 ( , γ) + ut (7) dimana:

td1 ( , γ) = I ( )(1 tW ≤ γ)

td2 ( , γ) = I ( )(1 tW > γ)

dan I(.) menunjukan fungsi indikator.

Model (7) memiliki 2 rezim yang didefinisikan oleh nilai error-correction term.

Koefisien matriks A1 dan A2 menentukan dinamika kedua rezim tersebut. Model

(7) memungkinkan semua koefisien (kecuali vektor kointegrasi β) untuk berganti

diantara kedua rezim. Efek threshold ada jika 10 1 tWP. Besarnya nilai γ

ditentukan dengan batasan dimana , adalah

sebuah parameter trimming.

3. Hasil-Hasil Utama

Gambar 1 merupakan time series plot BI rate dan suku bunga kredit

investasi dari Januari 2008 sampai dengan Juli 2016. Gambar 1 diolah dengan

menggunakan software minitab. Dari gambar 1 dapat dilihat bahwa terdapat

kemiripan pola time series plot antara BI rate dan suku bunga kredit investasi. Hal

t1tT

1 u) β (yA , jika )(1 tW ≤ γ

t1tT

2 u) β (yA , jika )(1 tW > γ

(5)

(6)

498

ini mengindikasikan bahwa kedua variabel tersebut berhubungan. Dengan kata lain

instrumen kebijakan moneter berupa BI rate terindikasi diikuti oleh pergerakan

suku bunga kredit investasi. BI rate tertinggi terjadi pada oktober 2008 yaitu

sebesar 9,5 persen. Hal ini disebabkan karena adanya krisis global sehingga untuk

meminimalisir dampaknya terhadap melemahnya nilai tukar rupiah terhadap dollar,

BI menaikan BI rate menjadi 9.5 persen untuk mendorong investor asing

menanamkan modal dengan membeli surat-surat berharga ke dalam instrumen-

instrumen keuangan di Indonesia sehingga aliran modal asing yang masuk akan

mengapresiasi nilai tukar rupiah.

Year

Month

201620152014201320122011201020092008

JanJanJanJanJanJanJanJanJan

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

Data

BI Rate

Suku bunga kredit Inv

Variable

Gambar 1. Time Series Plot Data BI Rate dan Suku Bunga Kredit Investasi

Meski BI rate desember 2008 sudah turun ke angka 9,25 persen namun

suku bunga kredit investasi pada bulan tersebut justru merupakan suku bunga

kredit investasi tertinggi yaitu 13,98 persen. Tidak langsung diikutinya penurunan

BI rate oleh penurunan suku bunga kredit investasi bisa disebakan oleh masih

tingginya resiko gagal bayar yang mungkin timbul dari sektor riil tersebut akibat

perekonomian yang belum begitu kondusif. Selain itu perbankan membutuhkan

waktu untuk menghitung-hitung kembali kebutuhannya dan mengatur strategi

berdasarkan struktur dana, pengeluaran tidak terduga, dan lain-lain.

Sementara itu BI rate terendah adalah pada angka 5,75 persen yang terjadi

di bulan februari 2012 sampai dengan mei 2013. Penuruan BI rate menjadi 5,75

persen sebagai langkah BI untuk mendorong pertumbuhan ekonomi Indonesia di

tengah menurunnya kinerja ekonomi global. Langkah ini terlihat berhasil bila

melihat dari suku bunga kredit investasi yang ikut mengalami penurunan menjadi

11,62 persen pada februari 2012 kemudian turun kembali sampai menyentuh angka

11,14 di Juni 2013. Dengan suku bunga kredit investasi yang rendah tentunya akan

meningkatkan hasrat para produsen untuk menambah atau memperluas usahanya

sehingga perekonomian menjadi terpacu.

3.1 Uji Stasioneritas Data

Langkah awal yang dilakukan sebelum melakukan pemodelan TVECM

adalah melakukan uji stasioneritas data. Uji kointegrasi akan bermakna jika

variabel-variabel yang diteliti belum stasioner dan terintegrasi pada derajat yang

sama. Oleh karena itu sebelum melakukan pengujian kointegrasi perlu dilakukan

uji stasioneritas data pada variabel yang akan diteliti. Pada tabel 1 disajikan hasil

uji stasioneritas BI rate (Y1) dan Suku Bunga Kredit Investasi (Y2) untuk data asli

499

atau belum dilakukan differencing.

Metode yang digunakan untuk menguji stasioneritas data adalah

Augmented Dickey Fuller (ADF) dan Philips Perron (PP). Kedua pengujian ini

dilakukan dengan bantuan software evews 8.0. Dari tabel 1 dapat dilihat bahwa

nilai p-value dari uji ADF dan PP untuk variabel Y1 dan Y2 lebih kecil dari 0,05.

Hal ini memberikan keputusan bahwa hipotesis nol tidak ditolak dengan level

signifikan 5 persen, yang artinya dengan level signifikan 5 persen kedua variabel

tidak stasioner. Langkah selanjutnya adalah melakukan uji stasioneritas kedua

variabel setelah dilakukan differencing pertama. Hasil uji stasioneritas Y1 dan Y2

setelah dilakukan differencing pertama dapat dilihat di tabel 2.

Tabel 1. Uji Stasioneritas Data Asli

Variabel Jenis Uji Hipotesis Nol P-value Keputusan

Y1

ADF Y1 tidak

stasioner 0.1153 Gagal tolak Ho

PP Y1 tidak


Y2

ADF Y2 tidak


PP Y2 tidak


Dari tabel 2 dapat dilihat pengujian variabel Y1 dan Y2 yang sudah

dilakukan differencing. Nilai p-value dari uji ADF dan PP lebih kecil dari 0.05. Hal

ini memberi keputusan bahwa hipotesis nol ditolak dengan level signifikan 5

persen, yang artinya dengan level signifikan 5 persen kedua variabel yang sudah

dilakukan differencing sudah stasioner. Dengan demikian bisa dikatakan bahwa

variabel Y1 dan Y2 terintegrasi pada derajat yang sama yaitu order 1 sehingga uji

kointegrasi dapat dilakukan pada kedua variabel tersebut.

500

Tabel 2. Uji Stasioneritas Data Setelah Differencing Pertama


Y1

ADF Y1 tidak

stasioner 0.0082 Tolak Ho

PP Y1 tidak


Y2

ADF Y2 tidak


PP Y2 tidak


3.2 Panjang Lag Optimum

Penentuan panjang lag optimum diperlukan untuk digunakan pada uji

kausalitas granger dan pembentukan TVECM. Pada penelitian ini pengolahan uji

panjang lag optimum dilakukan dengan menggunakan software eviews 8.0. Pada

tabel 3 disajikan hasil panjang lag optimium yang diperoleh dengan menggunakan

criteria Akaike Information Criterion (AIC) , Scwarz Information Criterion (SIC),

Hannan Quinn (HQ), dan Final Prediction Error (FPE). Penentuan panjang lag

optimum dilakukan dengan bantuan software evews 8.0

Dari empat kriteria yang digunakan, tiga diantaranya (FPE, AIC, dan HQ)

memberi kesimpulan bahwa panjang lag optimum yang terpilih adalah 4. Dengan

demikian diputuskan bahwa panjang lag optimum yang digunakan pada penelitian

ini adalah 4. Penentuan ini juga didukung dengan pendapat [12] bahwa kriteria

AIC dan FPE dapat meminimalkan terjadinya underestimate dan memaksimalkan

peluang untuk mendapatkan panjang lag yang sebenarnya untuk sampel kecil (T <

120).

Tabel 3. Hasil Uji Panjang Lag Optimum

Lag FPE AIC SC HQ

1 0.000288 -2.476941 -2.369409 -2.433490

2 0.000212 -2.782568 -2.567504* -2.695666

3 0.000191 -2.889226 -2.566631 -2.758874

4 0.000174* -2.979940* -2.549813 -2.806136*

5 0.000186 -2.916771 -2.379113 -2.699517

6 0.000194 -2.874390 -2.229200 -2.613685

7 0.000207 -2.809194 -2.056472 -2.505038

8 0.000220 -2.751642 -1.891389 -2.404035

501

3.3 Uji Kausalitas Granger

Uji kausalitas granger pada penelitian ini bertujuan untuk melihat

hubungan sebab akibat yang terjadi antara BI rate dan suku bunga kredit investasi,

apakah hubungan kausalitas yang terjadi satu arah, dua arah, atau tidak terjadi

hubungan. Statistik uji yang digunakan adalah statistik uji F. Keputusan ditolak

atau tidaknya hipotesis nol dapat dilakukan dengan melihat p-value. Jika p-value

kurang dari level signifikan (α) yang digunakan, maka keputusannya tolak Ho.

Berikut adalah hasil uji kausalitas granger yang merupakan hasil olahan

dengan menggunakan software eviews 8.0.

Tabel 4. Hasil Uji Kausalitas Granger antara BI Rate dan Suku Bunga Kredit

Investasi

Hipotesis Nol F-Statistic p-value

BI rate tidak memengaruhi

Suku bunga kredit

investasi

7.41484 0.00003

Suku bunga kredit

investasi tidak

memengaruhi BI rate

7.69853 0.00002

Dari tabel 4 dapat dilihat bahwa besarnya p-value untuk hipotesis nol yang pertama

adalah 0,00003 dan yang kedua adalah 0,00002. Kedua p-value tersebut bernilai

kurang dari level signifikan (5 persen) sehingga keputusan untuk kedua hipotesis

tersebut adalah tolak Ho. Karena BI rate mempengaruhi suku bunga kredit

investasi dan begitu juga sebaliknya, maka hubungan kausalitas yang terjadi antara

BI rate dan suku bunga kredit investasi adalah hubungan kausalitas dua arah

(bilateral causality). Hal ini mengindikasikan suku bunga kredit investasi

mempengaruhi BI rate sampai empat bulan kedepan dan begitu juga sebaliknya.

Setelah disimpulkan bahwa BI rate dan suku bunga kredit investasi

terintegrasi pada order yang sama, maka langkah selanjutnya adalah menguji ada

atau tidaknya hubungan keseimbangan jangka panjang. Ada atau tidaknya

kointegrasi atau hubungan jangka panjang antara suku bunga kredit investasi

dengan BI rate dapat dilihat dari siginifikan atau tidaknya koefisien error

correction term (ECT) pada model VECM atau TVECM.

Ada atau tidaknya hubungan keseimbangan jangka panjang diperoleh

dengan cara mencari garis regresi dengan metode Ordinary Least Square (OLS)

antara Y1t sebagai variabel bebas dengan Y2t sebagai variabel terikat. Setelah itu,

hitung residual dari persamaan regresi yang terbentuk. Jika residual model sudah

stasioner pada level, artinya BI rate dan suku bunga kredit investasi memiliki

hubungan keseimbangan jangka panjang. Model regresi yang diperoleh adalah

sebagai berikut:

(8)

502

Model di atas dapat diinterpretasikan ketika BI rate naik sebesar 1 persen maka

suku bunga kredit investasi akan meningkat sebesar 1,679 persen. Jika residual dari

persamaan (8) sudah stasioner maka BI rate dan suku bunga kredit investasi

memiliki keseimbangan jangka panjang. Hasil dari pengujian stasioneritas residual

persamaan (8) dapat dilihat di tabel 5. Dari tabel dapat dilihat bahwa dengan

menggunakan uji ADF dan PP residual persamaan (8) sudah stasioner. Dengan

demikian terdapat hubungan keseimbangan jangka panjang antara BI rate dan suku

bunga kredit investasi. Analisis dapat dilakukan pada model VECM atau TVECM.

Tabel 5. Uji Stasioner Residual Model Regresi


ADF Y1 tidak


PP Y1 tidak


Sebelum menentukan apakah model VECM atau TVECM yang tepat

digunakan untuk menggambarkan hubungan antara suku bunga kredit investasi dan

BI rate terlebih dahulu dilakukan pengujian signifikansi keberadaan threshold.

Hipotesis yang digunakan pada pengujian ini adalah:

Ho: Model adalah linear VECM

H1: Model adalah Threshold VECM

Pengujian signifikansi keberadaan threshold dilakukan dengan metode SupLM.

Berikut adalah hasil pengujian signifikansi keberadaan threshold yang diperoleh

dengan bantuan software R 3.1.0.

Tabel 6. Hasil Uji Signifikansi Keberadaan Threshold

Level Signifikan Nilai Kritis Statistik

Uji p-value Keputusan

5% 28.5222

29.3881 0.036

Tolak Ho

10% 27.1712 Tolak Ho

Hasil pengujian terhadap threshold diperoleh nilai SupLM sebesar 29,3881 dengan

p-value sebesar 0,036. Hasil pengujian ini menunjukan bahwa keberadaan

threshold pada pemodelan suku bunga kredit investasi dan BI rate Indonesia sudah

tepat yang artinya memang terdapat penyesuaiaan atau koreksi yang berbeda untuk

batas threshold tertentu. Dengan demikian pemodelah TVECM tepat untuk

dilakukan.

503

3.4 Threshold Vector Error Correction Model (TVECM)

Pada penelitian ini dilakukan pemodelan TVECM 3 rezim. Nilai

trimming yang digunakan sebagai batasan pada pencarian estimasi threshold adalah

sebesar 0,05. Berikut adalah hasil pengolahan TVECM dengan 3 rezim.

Gambar 2. Nilai Koefisien Kointegrasi yang terpilih untuk Pemodelan

TVECM 3 Rezim

Dari gambar 2 dapat dilihat bahwa residual sum of square terkecil dihasilkan

ketika parameter kointegarsinya sebesar 1.68.

Tabel 7. Hasil Estimasi Koefisien Parameter TVECM 3 Rezim

Variabel

Rezim 1 Rezim 2 Rezim 3

Δskbun

ga_invt

ΔBIrat

et

Δskb

unga_i

nvt

ΔBIra

tet

Δskb

unga_i

nvt

ΔBIr

atet

ECTt-1 -

0.0641 0.0339 0.0424 0.1072*

-

0.0650

*

-0.0068

Konstanta -

0.1836 -0.0300 0.0053 0.0137 0.0604 0.0069

1_ tinvskbunga -

0.2043 -0.6341 0.2064 0.5610

-

0.1779 -0.0545

1 tBIrate 0.5956 0.6486 0.0409 -0.1986 0.0769 0.5964

**

2_ tinvskbunga 0.2672 -0.1162 0.1733 1.4100*

**

-

0.1798

-

0.3321.

2 tBIrate -

0.1516 0.7006 0.0706 0.2555* 0.2150 -0.1585

3_ tinvskbunga -

1.0204 -1.0748 0.1702 -0.0415 0.0365

-

0.2867.

3 tBIrate 0.1934 0.1124 0.1794 0.1431 0.0441 0.3724.

4_ tinvskbunga

0.2855 0.2154 0.0170

-

0.6841*

0.3095

* 0.1258

4 tBIrate 1.8252 1.3493 0.0400 -0.1241 0.0220 0.0328

Ket: Nilai di dalam kurung merupakan p-value

504

ECTt-1 = skbunga_invt-1-1.679 1tBIraye

Nilai Threshold yang dihasilkan adalah -0,77 dan 0,51

Persentase observasi tiap rezim 10.2%, 41.8%, dan 48%

(.) signifikan dengan taraf signifikansi 10 persen

(*) signifikan dengan taraf signifikansi 5 persen

(**) signifikan dengan taraf signifikansi 1 persen

(***) signifikansi dengan taraf signifikansi 0.5 persen

Tabel 7 merupakan estimasi koefiesien parameter TVECM untuk 3 Rezim.

Estimasi ini diperoleh dengan menggunakan metode Ordinary Least Square (OLS)

dengan bantuan software R 3.0. Nilai threshold (γ1 dan γ2 ) yang membagi ketiga

rezim tersebut adalah sebesar -0.77 dan 0.51. Berdasarkan tabel 7 bentuk TVECM

dengan 3 rezim dapat dituliskan sebagai berikut:

Rezim 1

Rezim 2

Rezim 3

505

Perilaku suku bunga kredit investasi dan BI rate dalam merespon

ketidakseimbangan atau penyimpangan bebeda-beda antar rezim. Pembagian tiga

rezim pada model TVECM didasarkan pada dua buah nilai threshold, yaitu -0,77

dan 0,51. Rezim 1 menggambarkan perilaku penyesuaian dari suku bunga kredit

investasi dan BI rate ketika besarnya penyimpangan satu bulan sebelumnya kurang

dari -0.77. Rezim 2 menggambarkan perilaku penyesuaian suku bunga kredit

investasi dan BI rate ketika besarnya penyimpangan satu bulan sebelumnya adalah

lebih dari atau sama dengan -0,77 dan kurang dari 0,51. Sedangkan rezim tiga

menggambarkan perilaku penyesuaian suku bunga kredit investasi dan BI rate

ketika besarnya penyimpangan satu bulan sebelumnya lebih dari atau sama dengan

0,51.

Secara empiris dapat dilihat bagaimana perilaku BI rate dan suku bunga

kredit investasi dalam jangka pendek dalam merespon ketidakseimbanagn yang

terjadi diantara keduanya. Dari tabel 7 dapat dilihat bahwa koefisien ECTt-1

signifikan pada rezim 2 dan rezim 3. Koefisien ECTt-1 menggambarkan seberapa

besar variabel suku bunga kredit investasi dan BI rate melakukan penyesuaian bila

terjadi ketidakseimbangan dalam jangka pendeknya. Hal ini berarti ketika koefisien

ECTt-1 signifikan maka dapat dikatakan bahwa antar variabel dalam model

memiliki kointegrasi atau keseimbangan jangka panjang karena ketika terjadi

ketidakseimbangan pada jangka pendek salah satu atau kedua variabel tersebut

akan melakukan penyesuaiaan untuk menuju keseimbangan jangka panjang.

Dari tabel 7 terlihat bahwa rezim 2 dan 3 memiliki koefisien ECTt-1 yang

signifikan pada taraf signifikansi 5 persen dimana pada rezim 2 koefisien ECTt-1

signifikan pada persamaan BI rate sedangkan pada rezim 3 koefisien ECTt-1

signifikan pada persamaan suku bunga kredit investasi. Koefisien ECT pada model

TVECM dapat dimaknai bahwa bila terjadi terjadi ketidakseimbangan dengan nilai

kurang dari -0,77 maka variabel yang akan melakukan penyesuaian adalah suku

bunga kredit investasi meski tidak terlalu signifikan karena koefisien ECTt-1 pada

persamaan ini bernilai negatif dengan mengoreksi ketidakseimbangan sebesar 6,41

persen dari ketidakseimbangan yang terjadi pada 1 periode sebelumnya.

Pada rezim dua yaitu pada saat terjadi ketidakseimbangan dengan besaran

antara lebih dari atau sama dengan -0,77 dan kurang dari 0,51, respon yang

diberikan oleh kedua variabel untuk mengoreksi ketidakseimbangan tersebut agar

saling berkointegarasi di jangka panjang tidak dapat tergambarkan. Hal ini

disebabkan oleh tidak adanya koefisien ECTt-1 yang bertanda negative meskipun

506

koefisien ECTt-1 pada persamaan BI rate signifikan. Pada rezim tiga dimana

ketidakseimbangan yang terjadi adalah lebih dari atau sama dengan 0,51, respon

yang diberikan signifikan oleh suku bunga kredit investasi. Variabel ini akan

melakukan penyesuaian sebagai bentuk koreksi ketidakseimbangannya terhadap BI

rate pada bulan lalu dengan mengoreksi sebesar 6,5 persen dari besarnya

ketidakseimbangan yang terjadi.

Koefisien lag untuk dan dapat digunakan

untuk menunjukan apakah dinamika BI rate dan suku bunga kredit investasi

dipengaruhi oleh dinamika BI rate dan suku bunga kredit investasi pada periode-

periode sebelumnya. Dari tabel 7 dapat dilihat bahwa dinamika BI rate pada rezim

2 dipengaruhi signifikan oleh dinamika suku bunga kredit investasi pada 2 dan 4

bulan sebelumnya serta dipengaruhi oleh dinamika BI rate pada 2 bulan

sebelumnya. Sedangkan dinamika BI rate pada rezim 3 dipengaruhi oleh dinamika

BI rate pada 1 bulan sebelumnya. Sementara dinamika suku bunga kredit investasi

pada rezim 3 dipengaruhi signifikan oleh dinamika suku bunga kredit investasi

pada 4 bulan sebelumnya.

Dengan menggunakan nilai threshold rezim 1 dan 3 sebagai batas

penyimpangan minimum dan maksimum suku bunga kredit investasi dalam

melakukan penyesuaian maka dapat dikatakan bahwa penyesuaian suku bunga

kredit investasi terjadi saat , artinya bank umum akan melakukan

koreksi atau merespon dengan meningkatkan suku bunga kredit investasi pada

bulan ke-t jika suku bunga kredit investasi pada bulan t-1 masih kurang 0,77

dibandingkan dengan 1,679 kali BI rate pada bulan t-1. Sedangkan pada rezim tiga

penyesuaiaan suku bunga kredit investasi terjadi saat , artinya bank

umum akan mengurangi suku bunga kredit investasinya pada bulan ke-t jika suku

bunga kredit investasi pada bulan t-1 lebih 0,51 dibandingkan dengan 1,679 kali BI

rate pada bulan t-1. Dengan mengasumsikan bahwa kondisi ideal atau moderat

adalah kondisi ketika selisih suku bunga kredit investasi dengan 1,679 kali BI rate

tidak kurang dari -0.77 dan tidak lebih dari 0,51 maka suku bunga kredit investasi

ideal bank umum adalah minimal 1.679 BI rate - 0.77 dan maksimum adalah 1.679

BI rate + 0.51.

4. Kesimpulan

Berdasarkan time series plot suku bunga kredit investasi dan BI rate dan

hasil pengujian granger causality disimpulkan hubungan antara BI rate dan suku

bunga kredit investasi adalah saling mempengaruhi. Hal ini berarti BI rate sebagai

alat kebijakan moneter berhasil dalam mempengaruhi pergerakan suku bunga

kredit investasi. BI rate dan suku bunga kredit investasi juga memiliki hubungan

keseimbangan jangka panjang yang berarti ketika kedua variabel menyimpang dari

nilai keseimbangan, salah satu atau kedua variabel akan melakukan penyesuaian

agar kembali ke keseimbangan jangka panjang yang besarnya dilihat dari koefisien

ECT model TVECM.

Suku bunga kredit investasi akan signifikan melakukan penyesuaian ketika

penyimpangan yang terjadi lebih dari atau sama dengan 0,51. Penyesuaian suku

bunga kredit investasi untuk menuju keseimbangan jangka panjang dilakukan

dengan mengoreksi 6,5 persen penyimpangan yang terjadi. Suku bunga kredit

investasi ideal bank umum adalah minimal 1.679 BI rate - 0.77 dan maksimum

adalah 1.679 BI rate + 0.51.

507

Referensi

[1] Aprilia, A., Anindita, R., Syafrial, Tsai, G., dan Hsien, Li. (2014), “

Threshold Cointegration Pada Pasar Jagung di Indonesia”, AGRISE,

Vol. XIV, No. 1, Januari 2014, Hal 1-13.

[2] Balke, NS, dan Fomby TB. (1997), “Threshold Cointegration”,

International Economic Review, Vol. 38, Hal. 627-645

[3] Enders, W. (2004), Applied Econometric Time Series 2nd Edition.,

John Wiley & Sons Inc, New York.

[4] Esteve, V. dan Prats, M.A. (2010), “Threshold Cointegration and

Nonlinear Adjustment between Stock Prices and Dividens”, Applied

Economics Letters, Vol. 17, Hal. 405-410.

[5] Granger, C.W.J dan Terasvirta (1993), Modelling Nonlinear Economic

Relationships (Advanced Texts in Econometrics), Oxford: Oxford

University Press

[6] Grasso, M, (2010), “Three-Regime Threshold Error Correction

Models and the Law of One Price: The Case of European Electricity

Markets”, Working Paper n.30

[7] Gujarati, D. (2004), Basic Econometric, McGraw-Hill, New York.

[8] Hansen, BE dan Seo, B. (2002), “Testing Two-Regime Threshold

Cointegration in Vector Error Correction Models”, Journal of

Econometrics, Vol. 110, hal. 293-318.

[9] Harmanta, Ekananda M. (2005). Disintermediasi Fungsi Perbankan di

Indonesia Pasca Krisis 1997 : Faktor Permintaan atau Penawaran

Kredit, Sebuah Pendekatan dengan Model Disequilibrium, Buletin

Ekonomi Moneter dan Perbankan Juni 2005: 51-78.

[10] Ihle, R. dan Cramon, Von. (2008b), “A Comparison of Threshold

Cointegration and Markov-Switching Vector Error Correction Models

in Price Transmission Analysis”, Proceedings of the NCCC-134

Conference on Applied Commodity Price Analysis, Forecasting, and

Market Risk Management, St. Louis, Missouri.

[11] Irwan (2012). “Penetapan dan Proyeksi Tingkat Suku Bunga Bank

Indonesia (BI-Rate) Hubungannya dengan Laju Pertumbuhan

Ekonomi Indonesia”, Trikonomika, Volume 11, No.2, Desember 2012,

Hal 148-159.

[12] Kim, V. Dan Liew, S. (2004), “Which Lag Length Selection Criteria

Should We Employ?”, Economic Bulletin, Vol.3, No.33, Hal. 1-9.

508

[13] Larsen, B. (2012), A Threshold Cointegration Analysis of Norwegian

Interest Rates, Tesis, University of Tromsф, Norwegia.

[14] Listiyanto. (2013), “Analisis Kelakuan dan Faktor-Faktor uang

Mempengaruhi Tingkat Suku Bunga Perbankan di Indonesia”, Jurnal

Kebijakan Ekonomi, Vol. 8, No. 2, April 2013, Hal 26-36

[15] Mankiw (2003), Teori Makroekonomi Edisi Kelima, Jakarta: Erlangga

[16] Nugroho. (2010). Pengaruh Kebijakan BI Rate terhadap Suku Bunga

Kredit Investasi Bank Umum Periode Juli 2005-Desember 2009,

Fakultas Ekonomi, Universitas Indonesia, Jakarta

[17] Setianto. (2013). “ Faktor-Faktor yang Mempengaruhi Suku Bunga

Kredit Investasi pada Sektor Perbankan di Indonesia Periode 2006-

2012”, Jurnal MIX, Volume III, No.2, Juni 2013, Hal 133-145.

[18] Stigler, M. (2010). Threshold Cointegration: Overview and

Implementation in R, (online), (http://cran.r-

project.org/package=tsDyn, diakses 15 September 2014).

[19] Wei, W.W.S. (2006), Time Series Analysis Univariate and

Multivariate Method, Second Edition. Pearson Addison Wesley, USA

.

http://cran.r-project.org/package=tsDyn

http://cran.r-project.org/package=tsDyn

509


FAKTOR-FAKTOR YANG MEMPENGARUHI STATUS

POLIS DENGAN MODEL REGRESI LOGISTIK

MULTINOMIAL

JAMILATUZZAHRO1, REZZY EKO CARAKA

2,3, GUSTRIZA

ERDA4, FIZRY LISTIYANI MAULIDA

4

1Program Studi Aktuaria, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut

Teknologi Bandung, [email protected] 2Bioinformatics & Data Science Research Center (BDSRC), Universitas Bina Nusantara

[email protected] 3School of Mathematical Sciences, Faculty of Science and Technology, The National

University of Malaysia, Malaysia. [email protected] 4Departemen Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut

Pertanian Bogor. [email protected] , [email protected]

Abstrak. Regresi logistik multinomial merupakan regresi logistik yang digunakan

saat variabel dependen mempunyai sifat polichotomous atau multinomial. Hasil

analisis yang diperoleh menyatakan bahwa usia pemegang polis dan cara pembayaran

premi secara bersama-sama berpengaruh terhadap status polis asuransi. Usia

dikelompokan menjadi dua kelompok yaitu: usia dibawah 30 tahun dan usia antara

31-35 tahun, dengan 4 jenis cara pembayaran yaitu : sekaligus, tahunan, semesteran

dan kuartalan. Diperoleh estimasi peluang terbesar pada kelompok usia 31-35 tahun

dengan cara pembayaran sekaligus yaitu sebesar 0,630.

Kata kunci: Logistik, Multinomial, Asuransi Jiwa, Likelihood

1. Pendahuluan

Hidup penuh dengan risiko dan ketidakpastian. Sewaktu-waktu kejadian

seperti bencana alam, sakit, tindakan kriminal, dan kecelakaan dapat

mengakibatkan kerugian yang tidak sedikit. Untuk mengatasi kerugian tersebut,

maka manusia tertarik untuk mengembangkan mekanisme pemindahan

ketidakpastian risiko atas hidup dan harta benda melalui asuransi. Asuransi adalah

istilah yang merujuk pada tindakan, sistem, atau bisnis dimana perlindungan

finansial (atau ganti rugi secara finansial) untuk jiwa, properti, kesehatan, dan lain

sebagainya mendapatkan pergantian dari kejadian-kejadian tidak terduga yang

dapat terjadi seperti kematian, kehilangan, kerusakan atau sakit, dimana melibatkan

pembayaran premi secara teratur dalam jangka waktu tertentu sebagai ganti polis

yang menjamin perlindungan tersebut.

Asuransi adalah perjanjian antara dua pihak atau lebih dimana pihak

penanggung mengikatkan diri kepada tertanggung, dengan menerima premi

asuransi, untuk memberikan pergantian kepada tertanggung karena kerugian,

kerusakan atau kehilangan keuntungan yang diharapkan atau tanggung jawab






510

hukum pihak ketiga yang mungkin akan diderita tertanggung, yaitu timbul dari

suatu peristiwa yang tidak pasti, atau memberikan suatu pembayaran yang

didasarkan atas meninggal atau hidupnya seseorang yang dipertanggungkan.

Secara umum asuransi dikategorikan menjadi tiga, yaitu asuransi jiwa, asuransi

kerugian, dan asuransi sosial. Asuransi jiwa merupakan jenis asuransi yang

meminimalkan kerugian akibat risiko kematian, risiko hari tua, dan risiko

kecelakaan. Asuransi kerugian terdiri dari asuransi untuk benda (properti dan

kendaraan), kepentingan keuangan (pecuniary), dan tanggung jawab hukum

(liability). Sedangkan asuransi sosial merupakan program asuransi yang

diselenggarakan oleh pemerintah yang bertujuan untuk menyediakan jaminan

dasar bagi masyarakat dan tidak bertujuan untuk mendapatkan keuntungan

komersial.

Untuk menjadi seorang pemegang polis asuransi jiwa, data diri dari

tertanggung dan ahli warisnya menjadi sangat penting. Hal ini bertujuan agar pihak

penanggung yaitu perusahaan asuransi mengetahui secara detail data diri

tertanggungnya sehingga apabila polis sudah jatuh tempo, terjadi risiko atau

pemutusan perjanjian asuransi, pihak perusahaan asuransi dapat segera melakukan

tindakan pembayaran atau tindakan lain sesuai perjanjian asuransi kepada

pemegang polis atau ahli warisnya. Data pemegang polis atau tertanggung ini

disimpan oleh bagian pertanggungan perusahaan asuransi, dimana dimuat data diri

pemegang polis seperti usia, cara pembayaran premi asuransi dan status polis

asuransi. Status polis asuransi terdiri dari 4 macam, yaitu ekspirasi, klaim, tebus,

dan aktif. Ekspirasi adalah jenis pembayaran asuransi kepada ahli waris atau

tertanggung dikarenakan masa kontrak asuransi sudah habis atau selesai. Klaim

adalah pembayaran manfaat asuransi yang dilakukan dikarenakan tertanggung

pensiun atau meninggal dunia. Tebus adalah pembayaran asuransi apabila polis

sudah mempuntai nilai tunai namun ppemegang polis memutusakan peerjanjian

asuransinya. Sedangkan status polis aktif adalah status polis asuransi yang masih

berjalan. Berdasarkan informasi data yang diperoleh, didapatkan bahwa usia, cara

pembayaran premi, dan status polis dapat dikategorikan menjadi lebih dari dua

kategori, untuk menganalisa data tersebut digunakan metode regresi logistik

multinomial.

2. Dasar Teori

2.1 Analisis Regresi Logistik

Analisis regresi logistik merupakan salah satu alat analisis dalam statistika

yang digunakan untuk mengetahui hubungan antara variabel respon yang memiliki

dua kategori atau lebih dengan satu atau lebih variabel bebas. Nilai yang dihasilkan

persamaan regresi logistik merupakan peluang kejadian yang digunakan sebagai

ukuran untuk pengklasifikasian. Pendekatan model persamaan regresi logistik

digunakan karena dapat menjelaskan hubungan antara variabel bebas dan

peluangnya yang bersifat tidak linear, ketidaknormalan sebaran dari variabel

terikat, serta keragaman respon yang tidak konstan dan tidak dapat dijelaskan oleh

model regresi linear biasa (Agresti, 1990).

511

2.2 Regresi Logistik Multinomial

Regresi logistik multinomial merupakan regresi logistik yang digunakan

saat variabel dependen mempunyai sifat polichotomous atau multinomial.

Multinomial adalah suatu pengukuran yang dikategorikan lebih dari dua kategori.

Misal X variabel bebas berukuran (p+1) dan variabel respon Y (r kategori)

mempunyai kategori j = 0,1,2,….,r-1. Model regresi logistik nominal r kategori

mempunyai r-1 fungsi logit. Jika diambil Y = 0 sebagai kategori dasar, maka fungsi

logit (Hosmer, D.W. dan Lemeshow, S, 1989) didefiniskan sebagai berikut :

g1 (x) = ln

ln

= β10 + β11x1 + ……+ β1pxp (1)

gr-1 (x) = ln

= ln

= β(r-1)0 + β(r-1)1x1 + ……+ β(r-1)pxp

(2)

Jadi probabilitas bersyarat P(Y = j | x) = πj (x), j = 1,2,….,r-1 dapat ditulis

0 =

1 =

………………………

r-1 =

(3)

Jadi, persamaan umum untuk peluang dari model kategori yaitu :

(4)

2.3 Uji Independensi

Uji χ² (chi kuadrat) digunakan untuk mengetahui apakah ada

hubungan antara variabel prediktor (X) dan variabel respon (Y). Berikut ini adalah

langkah– langkah untuk menghitung nilai chi kuadrat ( χ² ) :

Hipotesis

H0 : tidak ada hubungan yang signifikan antara varaibel bebas dengan

variabel respon

H1 : terdapat hubungan yang signifikan antara variabel bebas dengan

variabel respon

Taraf signifikansi : α

Statistik uji :

dengan :

= nilai observasi/pengamatan baris ke-i kolom ke-j

= nilai ekspektasi baris ke-i kolom ke-j

r = banyaknya baris

c = banyaknya kolom

Kriteria uji :

512

Tolak H0 jika χ² hitung > χ² (α, df) dengan derajat bebas df = (r - 1) (c - 1)

2.4 Uji Signifikansi

Untuk menguji signifikansi koefisien β dari model yang telah diperoleh,

maka digunakan uji serentak (uji rasio Likelihood) dan uji parsial (uji Wald).

a. Uji Serentak (Uji Rasio Likelihood)

Uji yang membandingkan model yang mengandung variabel bebas dan

model yang tidak mengandung variabel bebas. Pengujian ini dilakukan untuk

mengetahui apakah model telah tepat (signifikan). Berikut ini adalah langkah –

langkahnya :

Hipotesis

H0 : β1p = β2p = ... = β(r-1)p = 0

H1 : paling sedikit ada satu βjk ≠ 0 dengan j= 1, 2, ..., r-1, k = 1, 2, ..., p

Taraf signifikansi : α

Statistik uji : G =

Kriteria uji :

Tolak H0 jika G > (α,v) dengan v = (c-1)

atau sig. < α

b. Uji Parsial (Uji Wald)

Pengujian ini dilakukan untuk mengetahui signifikansi parameter terhadap

variabel respon. Pengujian signifikansi parameter menggunakan uji Wald dengan

hipotesis seperti berikut :

Hipotesis

H0 : βjk = 0

H1 : βjk ≠ 0

Taraf signifikansi : α = 5%

Statistik uji :

Kriteria uji : Tolak H0 jika Wj > (α,1) atau sig. < α

2.5 Odds Rasio

Odds ratio didefinisikan sebagai perbandingan dari nilai variabel sukses

terhadap variabel bernilai gagal. Dengan kata lain odds rasio menjelaskan seberapa

besar pengaruh variabel sukses dibanding variabel gagal terhadap suatu eksperimen

atau observasi. Pada kasus penelitian dengan regresi logistik, nilai ini dapat dilihat

dari nilai Exp(B) pada hasil analisis data. Hasil tersebut akan menunjukkan

pengaruh setiap variabel-variabel bebas terhadap variabel terikatnya.

3. Applikasi

Data yang digunakan adalah data pemegang polis asuransi pada PT. Asuransi

XYZ. Data tersebut setelah dikelompokkan menurut usia, cara pembayaran premi,

dan status polis asuransi sebagai berikut :

513

Tabel 1. Pengelompokan Data Pemegang Polis

Usia Cara Bayar Premi Status Polis Asuransi

Ekspirasi Klaim Tebus Aktif

≤ 30 Tahun

Sekaligus 67 0 13 46

Tahunan 15 32 243 211

Semesteran 7 16 16 25

Kuartalan 0 60 33 49

Bulanan 15 65 144 122

31-50

Tahun


Tahunan 42 62 434 669


Kuartalan 7 177 65 126

Bulanan 31 77 249 392

> 50

Tahun


Tahunan 14 7 44 34


Kuartalan 1 3 1 1

Bulanan 3 9 29 28

Pada penelitian ini, yang menjadi obyek penelitian adalah data diri

pemegang polis asuransi, yaitu usia pemegang polis dan cara pembayaran premi

polis asuransi. Data ini merupakan data sekunder yang diperoleh dari bagian

pertanggungan PT. Asuransi XYZ terhitung tanggal 1 Januari 2002 hingga 31

Desember 2011. Dalam penelitian ini, variabel dependen yang dianalisis adalah

status polis asuransi yang dibagi menjadi 4, yaitu ekspirasi, klaim, tebus, dan aktif.

Sebagai variabel dependen ( Y ) adalah status polis asuransi, yaitu:

Y = 1, untuk status polis ekspirasi

Y = 2, untuk status polis klaim

Y = 3, untuk status polis tebus

Y = 4, untuk status polis aktif

Dalam penelitian ini, variabel independen yang diasumsikan memiliki pengaruh

terhadap status polis asuransi yaitu :

a. Usia pemegang polis, dikategorikkan menjadi tiga, yaitu :

1 : Usia ≤ 30 tahun

2 : Usia 31-50 tahun

3 : Usia > 50 tahun

b. Cara pembayaran premi, dikategorikan menjadi lima, yaitu :

1 : pembayaran premi sekaligus

2 : pembayaran premi tahunan

3 : pembayaran premi semesteran

4 : pembayaran premi kuartalan

5 : pembayaran premi bulanan

Pengujian independensi digunakan untuk mengetahui apakah terdapat

hubungan antara variabel independen yakni usia pemegang polis asuransi dan cara

pembayaran premi dengan variabel respon yaitu status polis asuransi. Untuk

514

mengetahuinya dapat digunakan uji Chi Kuadrat ( 2) seperti terdapat pada

lampiran Chi-Squares Tests.

1. Hipotesis :

H0 : Tidak ada hubungan antara variabel usia pemegang polis asuransi

dengan variabel status polis asuransi

H1 : Ada hubungan antara variabel usia pemegang polis asuransi dengan

variabel status polis asuransi

Taraf Signifikansi : α = 5%

Statistik uji : T = 104,356 dan sig 0,000

Kriteria uji :

H0 ditolak jika nilai Pearson Chi-Square > 2(6;0,05) atau nilai Sig < α .

Keputusan :

Pada taraf signifikansi 95%, diperoleh dari tabel Chi-Square Test nilai

Pearson Chi-Square > 2(6;0,05) yaitu 104,356 > 12,59 dan sig < 5% yaitu

0,000 < 0,05 sehingga menolak H0 dan menerima H1. Artinya, ada hubungan

antara variabel usia pemegang polis asuransi dengan variabel status polis

asuransi.

2. Hipotesis :

H0 : Tidak ada hubungan antara variabel cara bayar premi dengan variabel

status polis asuransi

H1 : Ada hubungan antara variabel cara bayar premi dengan variabel status

polis asuransi

Taraf Signifikansi : α = 5%

Statistik uji : T = 1129,079 dan sig 0,000

Kriteria uji :

H0 ditolak jika nilai Pearson Chi-Square > 2(12;0,05) atau nilai Sig < α .

Keputusan :

Pada taraf signifikansi 95%, diperoleh dari tabel Chi-Square Test nilai

Pearson Chi-Square > 2(12;0,05) yaitu 1129,079 > 21,03 dan sig < 5% yaitu

0,000 < 0,05 sehingga menolak H0 dan tidak menolak H1. Artinya, ada

hubungan antara variabel cara bayar premi dengan variabel status polis

asuransi.

Model awal untuk tiap variabel respon bisa dijelaskan sebagai berikut :

a. Status eskpirasi

π₁ =

b. Status klaim

π2 =

c. Status tebus

π3 =

d. Status aktif

π4 =

Dengan fungsi logit masing-masing status polis asuransi seperti pada lampiran

Parameter Estimates :

515

a. g1(x) = -2,339 + 0,537(usia1) – 0,405(usia2) + 1,525(carabayar1) –

0,134(carabayar2) + 0,644(carabayar3) – 0,634(carabayar4)

b. g2(x) = -0,869 – 0,094(usia1) – 0,587(usia2) – 3,755(carabayar1) –

0,915(carabayar2) + 0,866(carabayar3) + 1,635(carabayar4)

c. g3(x) = -0,008 + 0,089(usia1) – 0,411(usia2) – 0,834(carabayar1) +

0,023(carabayar2) – 0,142(carabayar3) – 0,288(carabayar4)

3.1 Uji Rasio Likelihood

Pengujian ini dilakukan untuk mengetahui apakah model telah tepat

(signifikan) dan untuk memeriksa kemaknaan koefisien β secara keseluruhan yang

terdapat pada lampiran Model Fitting Information dengan langkah-langkah berikut:

Hipotesis

H0 : β1 = β2 = β3 = β4 = 0 (model tidak signifikan atau secara bersama-sama

usia pemegang polis asuransi dan cara pembayaran premi tidak

berpengaruh terhadap status polis asuransi)

H1 : salah satu dari βr ≠ 0 dengan r = 1, 2, 3. (model signifikan atau secara

bersama-sama usia pemegang polis asuransi dan cara pembayaran premi

berpengaruh terhadap status polis asuransi)

Taraf signifikansi : α = 5%

Statistik uji : G =

= 1338,241 – 304,723 = 1033,518

Dan nilai sig pada lampiran Model Fitting Information = 0,000

Kriteria uji :

Tolak H0 jika G > (α,v) atau sig. < α

Keputusan :

Pada taraf signifikansi 95%, diperoleh dari tabel Model Fitting

Information nilai sig < 5% yaitu 0,000 < 0,05 sehingga menolak H0

dan menerima H1. Artinya, model signifikan atau secara bersama-

sama usia pemegang polis asuransi dan cara pembayaran premi

berpengaruh terhadap status polis asuransi.

Tabel 2. Signifikansi pemegang polis

Wald sig

Ekspirasi

0,007

Wj >

(α,1)

atau sig.

< α

usia1 (≤ 30 tahun)

berpengaruh terhadap status

ekspirasi pada polis asuransi.

= 4,98 0,026 usia2 (31-50tahun)



= 70,38 0,000 carabayar1 (sekaligus)



= 0,47 0,490 carabayar2 (tahunan) tidak



= 4,90 0,027 carabayar3 (semesteran)



516

=2,61 0,106 carabayar4 (kuartalan) tidak



Klaim

=0,18 0,672 usia1 (≤ 30 tahun) tidak


klaim pada polis asuransi.

=7,86 0,005 usia2 (31-50 tahun)



=40,50 0,000 carabayar1 (sekaligus)



= 42,80 0,000 carabayar2 (tahunan)


klaim pada polis asuransi

= 24,48 0,000 carabayar3 (semesteran)



=

143,03

0,000 carabayar4 (kuartalan)



Tebus

=0,41 0,520 usia1 (≤ 30 tahun) tidak


tebus pada polis asuransi.

=10,42 0,001 usia2 (31-50 tahun)



= 48,03 0,000 carabayar1 (sekaligus)



= 0,075 0,784 carabayar2 (tahunan) tidak



= 0,778 0,378 carabayar3 (semesteran) tidak



= 4,106 0,043 carabayar4 (kuartalan)



Setelah dilakukan Uji Wald, diperoleh hasil bahwa koefisien carabayar2 dan

carabayar4 tidak berpengaruh terhadap status ekspirasi pada polis asuransi,

koefisien usia1 tidak berpengaruh terhadap status klaim pada polis asuransi, dan

koefisien usia1, carabayar2, dan carabayar3 tidak berpengaruh terhadap status

tebus pada polis asuransi. Karena tidak ada koefisien yang tidak berpengaruh pada

semua status polis asuransi maka dapat disimpulkan bahwa semua koefisien

berpengaruh sehingga semua koefisien tetap dimasukkan dalam model akhir.

517

3.2 Model Akhir

Berdasarkan serangkaian uji yang sudah dilakukan, maka diperoleh model

akhir sebagai berikut :

a. Status eskpirasi

π₁ =

b. Status klaim

π2 =

c. Status tebus

π3 =

d. Status aktif

π4 =

dengan fungsi logit :

a. g1(x) = -2,339 + 0,537(usia1) – 0,405(usia2) + 1,525(carabayar1) –

0,134(carabayar2) + 0,644(carabayar3) – 0,634(carabayar4)

b. g2(x) = -0,869 – 0,094(usia1) – 0,587(usia2) – 3,755(carabayar1) –

0,915(carabayar2) + 0,866(carabayar3) + 1,635(carabayar4)

c. g3(x) = -0,008 + 0,089(usia1) – 0,411(usia2) – 0,834(carabayar1) +

0,023(carabayar2) – 0,142(carabayar3) – 0,288(carabayar4)

dengan :

π1(x) = peluang status ekspirasi

π2(x) = peluang status klaim

π3(x) = peluang status tebus

π4(x) = peluang status aktif

3.3 Estimasi Peluang Status Polis Asuransi

Estimasi peluang diperoleh dari fungsi :

a. Status eskpirasi

π₁ =

b. Status klaim

π2 =

c. Status tebus

π3 =

d. Status aktif

π4 =

518

Tabel 3. Estimasi Peluang untuk Masing-Masing Variabel Respon

Status Jenis usia Jenis cara bayar premi Fungsi logit Peluang

Ekspiras

i

Usia1

(≤ 30 tahun)

Carabayar1 (sekaligus) -0,277 0,339

Carabayar2 (tahunan) -1,936 0,060

Carabayar3 (semesteran) -1,158 0,099

Carabayar4 (kuartalan) -2,436 0,023

Usia2

(31-50

tahun)





Klaim

Usia1

(≤ 30 tahun)




Carabayar4 (kuartalan) 0,672 0,410

Usia2

(31-50

tahun)




Carabayar4 (kuartalan) 0,179 0,324

Tebus

Usia1

(≤ 30 tahun)


Carabayar2 (tahunan) 0,104 0,270



Usia2

(31-50

tahun)





Aktif

Usia1

(≤ 30 tahun)

Carabayar1 (sekaligus) 0,522

Carabayar2 (tahunan) 0,623

Carabayar3 (semesteran) 0,426

Carabayar4 (kuartalan) 0,354

Usia2

(31-50

tahun)

Carabayar1 (sekaligus) 0,724

Carabayar2 (tahunan) 0,752

Carabayar3 (semesteran) 0,608

Carabayar4 (kuartalan) 0,522

Berdasarkan hasil dari estimasi peluang status polis asuransi diperoleh

519

beberapa hasil sebagai berikut :

Peluang terbesar untuk status ekspirasi polis asuransi adalah usia1 (≤ 30

tahun) dan carabayar1 (sekaligus) yaitu sebesar 0,339

Peluang terbesar untuk status klaim polis asuransi adalah usia1 (≤ 30 tahun)

dan carabayar4 (kuartalan) yaitu sebesar 0,410

Peluang terbesar untuk status tebus asuransi adalah usia1 (≤ 30 tahun) dan

carabayar2 (tahunan) yaitu sebesar 0,270

Peluang terbesar untuk status aktif polis asuransi adalah usia2 (31-50 tahun)

dan carabayar2 (tahunan) yaitu sebesar 0,752

3.4 Odds Ratio

Odds ratio (exp(B)) didefinisikan sebagai perbandingan dari nilai variabel

sukses terhadap variabel bernilai gagal. Dengan kata lain odds rasio menjelaskan

seberapa besar pengaruh variabel sukses dibanding variabel gagal terhadap suatu

eksperimen atau observasi. Hasil tersebut akan menunjukkan pengaruh setiap

variabel-variabel bebas terhadap variabel terikatnya. Berikut tabel nilai Exp(B)

berdasarakan lampiran Parameter Estimates :

Tabel 4. Tabel Odds Ratio

Status Variabel Bebas Exp(B)

Ekspirasi

Usia1 1,711

Usia2 0,667

Carabayar1 4,594

Carabayar2 0,875

Carabayar3 1,904

Carabayar4 0,531

Tebus

Usia1 0,910

Usia2 0,556

Carabayar1 0,023

Carabayar2 0,401

Carabayar3 2,378

Carabayar4 5,131

Klaim

Usia1 1,093

Usia2 0,663

Carabayar1 0,434

Carabayar2 1,023

Carabayar3 0,867

Carabayar4 0,750

Berdasarkan nilai Odds Ratio tersebut, didapat kesimpulan sebagai berikut :

Kecenderungan seorang usia1 (≤ 30 tahun) dengan status ekspirasi adalah

lebih besar 1.711 kali dari seorang usia selain usia1 (≤ 30 tahun)

Kecenderungan seorang usia2 (31-50 tahun) dengan status ekspirasi adalah

lebih kecil 0,667 kali dari seorang usia selain usia2 (31-50 tahun)

Kecenderungan seorang membayar premi dengan carabayar1 (sekaligus)

dengan status ekspirasi adalah lebih besar 4,594 kali dari seorang

520

membayar premi selain dengan carabayar1

Kecenderungan seorang membayar premi dengan carabayar2 (tahunan)

dengan status ekspirasi adalah lebih kecil 0,875 kali dari seorang


Kecenderungan seorang membayar premi dengan carabayar3 (semesteran)

dengan status ekspirasi adalah lebih besar 1,904 kali dari seorang


Kecenderungan seorang membayar premi dengan carabayar4 (kuartalan)

dengan status ekspirasi adalah lebih kecil 0,531 kali dari seorang


Kecenderungan seorang usia1 (≤ 30 tahun) dengan status klaim adalah

lebih kecil 0,910 kali dari seorang usia selain usia1 (≤ 30 tahun)

Kecenderungan seorang usia2 (31-50 tahun) dengan status klaim adalah



dengan status klaim adalah lebih kecil 0,023 kali dari seorang membayar

premi selain dengan carabayar1


dengan status klaim adalah lebih kecil 0,401 kali dari seorang membayar



dengan status klaim adalah lebih besar 2,378 kali dari seorang membayar



dengan status klaim adalah lebih besar 5,131 kali dari seorang membayar


Kecenderungan seorang usia1 (≤ 30 tahun) dengan status tebus adalah

lebih besar 1,093 kali dari seorang usia selain usia1 (≤ 30 tahun)

Kecenderungan seorang usia2 (31-50 tahun) dengan status tebus adalah



dengan status tebus adalah lebih kecil 0,434 kali dari seorang membayar



dengan status tebus adalah lebih besar 1,023 kali dari seorang membayar








4. KESIMPULAN

Berdasarkan analisis dan pembahasan tentang bagaimana pengaruh usia pemegang

polis dan cara membayar premi asuransi terhadap terhadap status polis asuransi

tersebut, maka dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :

521

1. Terdapat hubungan antara variabel bebas yaitu usia pemegang polis dan cara

membayar premi asuransi dengan variabel respon yaitu status polis asuransi.

2. Model signifikan atau secara bersama-sama usia pemegang polis dan cara

pembayaran premi berpengaruh terhadap status polis asuransi.

3. Semua koefisien berpengaruh sehingga semua koefisien tetap dimasukkan

dalam model akhir.

4. Berdasarkan hasil dari estimasi peluang status polis asuransi diperoleh

beberapa hasil sebagai berikut :

a. Peluang terbesar untuk status ekspirasi polis asuransi adalah usia1 (≤ 30


b. Peluang terbesar untuk status klaim polis asuransi adalah usia1 (≤ 30

tahun) dan carabayar4 (kuartalan) yaitu sebesar 0,410

c. Peluang terbesar untuk status tebus asuransi adalah usia1 (≤ 30 tahun)

dan carabayar2 (tahunan) yaitu sebesar 0,270

d. Peluang terbesar untuk status aktif polis asuransi adalah usia1 (31-50


Referensi

[1] Garson G David, 2014, Logistic Regression : Binary and Multinomial,

Statistical Association Publisher.

[2] Hogg Robert V., 2004, Craig A., McKean J.W., Introduction to Mathematical

Statistic , Pearson Education international (2005), 24-25.

[3] Bowers Newaton L., Gerber H.U., Hickman, jones D.A.,1994, Nesbitt C.J,

Actuarial Mathematics, The Society of Acturies. 167-197.

[4] Caraka, R.E., 2016. Sebuah Kajian Dan Studi Perhitungan Dana Pensiun Di

Indonesia. Jurnal Badan Pendidikan Dan Pelatihan Keuangan Kementerian

Keuangan Republik Indonesia (BPPK).9,No.2.pp.160-180

522


ESTIMASI PARAMETER TINGKAT MORTALITA

DENGAN MENGGUNAKAN MODEL LEE-CARTER

LUTFIANI SAFITRI1, SRI MARDIYATI

2

1Deprtemen Matematika FMIPA UI, [email protected]

2Deprtemen Matematika FMIPA UI, [email protected]

Abstrak. Dalam makalah ini akan dibahas mengenai peramalan laju mortalita

pada negara Hungaria, dengan menggunakan model Lee-Carter. Dimana data

yang digunakan adalah data tingkat kematian Hungaria pada tahun 1949-2003.

Selanjutnya akan dilakukan estimasi parameter menggunakan Least Square

dan Singular Value Decomposition (SVD). Dari hasil estimasi parameter

tersebut kemudian akan dihitung tingkat mortalita menggunakan model Lee -

carter yang kemudian akan dibandingkan dengan tingkat mortalita yang

sesungguhnya. Dan akan didapatkan hasil bahwa nilai dari estimasi parameter

tersebut cukup bagus. Kemudian akan disimulasikan dalam pemrograman

python.

Kata kunci : Mortality Rate, Least Square, Singular Value Decomposition.

1. Pendahuluan

Demografi merupakan ilmu yang mempelajari tentang ukuran, struktur,

dan distribusi penduduk, serta bagaimana jumlah penduduk berubah setiap waktu

akibat kelahiran, kematian, serta migrasi. Menurut definisinya terdapat tiga

komponen yang dapat mempengaruhi struktur penduduk, diantaranya adalah

kelahiran, migrasi dan kematian [2]. Data kematian ini sendiri juga sangat penting

bagi pemerintahan sebuah Negara, diantaranya yaitu untuk bahan evaluasi terhadap

program-program kebijakan penduduk serta proyeksi penduduk yang nantinya akan

digunakan untuk perancangan pembangunan Negara [4]. Selain penting bagi

pemerintah, data kematian juga penting bagi beberapa pihak swasta, terutama yang

berkecimpung dalam bidang ekonomi, kesehatan dan asuransi. Data kematian ini

sering kali disajikan dalam bentuk tabel yang disebut dengan tabel mortalita/ life

table. Tabel mortalita ini berisi tentang jumlah orang yang meninggal, jumlah

orang yang bertahan hidup dalam berbagai tingkat usia, rata-rata usia yang mereka

capai, dan kemungkinan seseorang akan meninggal pada suatu periode waktu.

Data kematian yang ada dalam life table digunakan dalam berbagai bidang

keilmuan, diantaranya bidang kesehatan, aktuaria, dan demografi. Dalam bidang

kesehatan, life table digunakan untuk mengetahui probabilitas seseorang dapat

bertahan hidup dalam jangka waktu tertentu. Kemudian dalam bidang aktuari, dan

demografi life table dapat digunakan untuk menunjukkan probabilitas seseorang

untuk tetap hidup pada setiap tahunnya pada tingkat usia tertentu serta harapan

hidupnya yang tersisa [7]

523

Dalam menghitung besarnya tingkat mortalita suatu wilayah, terdapat

beberapa model yang dapat digunakan, salah satunya yaitu model Lee-Carter. Pada

tahun 1992, Lee dan Carter memperkenalkan sebuah model stokastik untuk

memprediksi laju mortalita di Negara Amerika Serikat, model inilah yang

kemudian sering disebut dengan model Lee-Carter. Karena kesederhanaan model

dan hasil prediksi yang cukup baik, model Lee-carter ini telah berhasil diterapkan

untuk peramalan tingkat mortalita pada beberapa Negara dan pada periode waktu

yang berbeda, diantaranya adalah Amerika Serikat, Kanada (1993), Chili (1994),

dan Jepang (1996). Austria (2001), Belgia (2002), Hungaria (2007), Italia (2011),

dan Malaysia (2016)[1].

.

2. Lee-Carter

Pada tahun 1992 Lee dan Carter memperkenalkan sebuah model baru untuk

meramalkan tingkat mortalita. Berikut adalah modelnya

Dengan batasan parameter:

dan

(2.1)

dimana merupakan central death rate pada umur x pada tahun ke t, dengan

x=1,2,…,N, menunjukkan umur, dan t=1,2,…,T menunjukkan tahun [1]. Kemudian

dan adalah parameter yang bergantung hanya pada umur, dan adalah

proses stokastik yang bergantung hanya pada tahun observasinya dan adalah

independent error, dengan meannya 0 dan variansinya [5].

Model (2.1) menyatakan tingkat mortalita pada umur pada tahun ke- .

Untuk dapat meramalkan tingkat mortalita pada tahun berikutnya dibutuhkan

estimasi untuk seluruh parameter yang ada dalam model. Untuk estimasi parameter

akan digunakan metode least square dengan batasan parameter yang ada.

Metode Least Square digunakan dengan meminimumkan nilai error-nya, dalam hal

ini adalah akan meminimumkan nilai atau untuk nilai t tertentu.

Karena , maka

Dengan mengikuti batasan parameter dan

maka

524

Maka didapatkan estimasi nilai parameter yaitu:

Setelah estimasi parameter didapatkan selanjutnya akan mengestimasi nilai

dan dengan menggunakan Singular Value Decomposistion (SVD).

Definisi 2.1:

Suatu foktorisasi dari matrik sebagai , dimana

adalah matriks orthogonal, adalah matriks diagonal, dan adalah

matriks orthogonal, disebut SVD dari A. Nilai-nilai dari D dikenal sebagai nilai-

nilai singular, dimana [5].

Dari definisi tersebut kita mempunyai matrik A berukuran 100 x 64 dengan entri-

entrinya adalah

Kemudian akan dikonstruksikan matriks , D, dan V yang entrinya merupakan

nilai dari . Dimana D merupakan matriks diagonal yang entrinya

merupakan nilai eigen dari , dan U dan V merupakan matriks ortogonal.

Berikut adalah gambaran matriks yang didapatkan

Kemudian nilai parameter didapatkan dari entri hasil proses SVD[1].

3. Implementasi Program

Dalam Bab ini akan memperlihatkan hasil yang didapatkan dari proses

estimasi. Dari data tingkat kematian Hungaria tahun 1949-2003, yang didapatkan

dari website www.mortality.org, data dibedakan berdasarkan jenis kelaminnya yaitu

laki-laki dan perempuan, dan data yang digunakan adalah tingkat kematian dari

umur 0 sampai 100 tahun. Kemudian diimplementasikan dalam model Lee-Carter.

T x T

64 x 64

N x T

100 x 64

N x N

100 x 100

N x T

100 x 64 =

http://www.mortality.org/

525

Kemudian akan dilakukan estimasi parameter menggunakan metode least-square

dan Singular Value Decomposition (SVD). Sehingga didapatkan nilai estimasi

parameternya sebagai berikut.

Tabel 1. Hasil Estimasi Parameter

x Male Female

1 -3.78787067 -0.28856386 -4.00152832 -0.23810371

2 -6.61406387 -0.27704499 -6.77524464 -0.25385114

3 -7.2771234 -0.2470203 -7.41967952 -0.21089043

4 -7.59030816 -0.21526454 -7.82123963 -0.211288

5 -7.79016113 -0.22941109 -7.99322273 -0.17156188

6 -7.9764533 -0.2390106 -8.18935384 -0.17695192

7 -7.98673449 -0.21411552 -8.2802307 -0.18842406

8 -8.03739516 -0.22329272 -8.37355699 -0.17418456

9 -8.07448047 -0.20389552 -8.47736374 -0.15195119

10 -8.0684463 -0.17982746 -8.52672724 -0.15222144

11 -8.05253283 -0.1857523 -8.5235413 -0.14840851

12 -8.07633988 -0.1694805 -8.54263216 -0.15359194

… … … … …

86 -1.62206278 -0.04331515 -1.81824784 -0.05197642

87 -1.53745905 -0.0440612 -1.72138935 -0.04860898

88 -1.45371062 -0.04377259 -1.62608808 -0.04666418

89 -1.37775384 -0.042753 -1.53437404 -0.04546864

90 -1.29124521 -0.04202546 -1.43871132 -0.04254696

91 -1.20924716 -0.04009155 -1.35570274 -0.04226791

92 -1.14762062 -0.03704896 -1.26851702 -0.03817501

93 -1.0444748 -0.0397356 -1.19594875 -0.03177543

94 -0.9826865 -0.03414625 -1.12080467 -0.02956252

95 -0.8992894 -0.04012576 -1.04625181 -0.02703453

96 -0.84580608 -0.02190479 -0.9344303 -0.02962131

97 -0.79776028 -0.02929747 -0.90482328 -0.0254747

98 -0.72218593 -0.01907697 -0.81808081 -0.02851238

99 -0.68382171 -0.03248874 -0.78424786 -0.01768418

100 -0.60998789 -0.05788963 -0.64955669 -0.0398895

Kemudian akan dibandingkan tingkat mortalita dari perhitungan

menggunakan estimasi parameter dengan data tingkat kematian yang sesungguhnya

dalam bentuk grafik. Berikut adalah hasil yang didapatkan:

526

Gambar 1. Perbandingan Tingkat Mortalita Perempuan Pada Tahun 1949

Gambar 2. Perbandingan Tingkat Mortalita Laki-Laki Pada Tahun 1976

Dari kedua gambar diatas terlihat bahwa tingkat mortalita dari hasil estimasi (garis

berwarna biru) nilainya mendekati tingkat mortalita yang sesungguhnya. Dengan

rata-rata nilai eror yang didapatkan adalah 0.00043513055548132792 untuk tingkat

mortlaita perempuan, sedangkan untuk laki-laki didapatkan rata-rata nilai erornya

adalah 0.00097163233227511036. Artinya niali parameter yang telah diestimasi

dapat digunakan untuk merepresentasikan tingkat mortalita di negara Hungaria.

527

4. Kesimpulan

Dari grafik yang disajikan dalam gambar 1 dan gambar 2, terlihat bahwa

nilai dari hasil estimasi trand-nya mengikuti tingkat mortalita pada nilai yang

sebenarnya. Sehingga dapat diambil kesimpulan bahwa model Lee-Carter dapat

digunakan untuk merepresentasikan tingkat mortalita di Hungaria, dan metode

penaksiran leas-Square dan Singular Value decomposition menghasilkan nilai

parameter yang cukup bagus.

Referensi

[1] P. R. Cox, Demography fifth edition, New York: Cambridge University Press, 1976.

[2] G. Severine, "Forecasting mortality: when academia meets practice," European

Actuarial Journal, pp. Volume 2 (1), 49-76, 2012.

[3] R. M. Gor, "Forecasting Technique," in Industrial Statistics and Operational

Management, pp. 142-172.

[4] S. Baran, J. Gall, M. Ispany and M. Pap, "Forecasting Hungarian Mortality Rates

Using The Lee-Carter Method," Acta Oeconomica, pp. 21-34, 2007.

[5] P. M. Hauser and D. Duncon, "The Study of Population," in The Nature of

Demography, Chicago, The University of Chicago Press, 1959, pp. 29-44.

[6] R. Lee and T. Miller, "Evaluating The Performance of The Lee-Carter Method for

Forcaseting Mortality," Demography, pp. 537-549, 2001.

[7] B. Jacob, Linear Algebra, New York: W. H. Freeman and Company, 1990.

528


PENAKSIRAN SELISIH TINGKAT KLAIM

BERDASARKAN PROSEDUR MORRIS-VAN SLYKE

ANISA RATNASARI1, SITI NURROHMAH

2, IDA FITHRIANI

3

1 Departemen Matematika, FMIPA, Universitas Indonesia, Depok, 16424,

[email protected]


[email protected]


[email protected]

Abstrak. Teori kredibilitas membahas metode untuk menaksir premi dengan

menggabungkan pengalaman risiko individu dengan pengalaman risiko golongan

pemegang polis. Seiring perkembangannya, teori kredibilitas juga digunakan untuk

menaksir ukuran klaim, banyaknya klaim, tingkat klaim, dan lain-lain. Prosedur Morris-

Van Slyke adalah penerapan teori kredibilitas yang pada awalnya dikembangkan oleh Carl

Morris dan Lee Van Slyke untuk asuransi kendaraan bermotor. Pada prosedur ini,

pemegang polis digolongkan berdasarkan teritori, dan taksiran kredibilitasnya berupa

selisih tingkat klaim yakni perbedaan nilai tingkat klaim di suatu teritori dengan tingkat

klaim di keseluruhan teritori. Dalam penentuan taksiran kredibilitas untuk selisih tingkat

klaim, prosedur Morris-Van Slyke menggunakan pendekatan Empirical Bayes untuk

kredibilitas. Pada akhir dari makalah ini, diberikan aplikasi dari prosedur Morris-Van Slyke

untuk menaksir selisih tingkat klaim asuransi kendaraan bermotor pada tahun 2012 dengan

menggunakan data Auto Insurance Database Report yang diterbitkan oleh NAIC untuk

tahun 2010 dan 2011 pada sepuluh negara bagian di Amerika Serikat.

Kata kunci : Teori Kredibilitas, Empirical Bayes, Morris-Van Slyke, Selisih Tingkat Klaim.

1. Pendahuluan

Teori kredibilitas merupakan metode yang pertama kali digunakan

aktuaris untuk menentukan premi menggunakan pengalaman klaim dari

pemegang polis. Bentuk umum taksiran kredibilitas adalah

(1)

Z merupakan faktor kredibilitas dengan nilai 0 sampai 1 yang digunakan untuk

menyeimbangkan X dan M yang digunakan untuk menaksir C, dimana nilai Z

bergantung kepada pengalaman klaim pemegang polis. Seiring perkembangannya, teori kredibilitas juga digunakan untuk menaksir ukuran klaim, banyaknya klaim,

tingkat klaim, dan lain-lain.

Menurut teori kredibilitas, jika C menyatakan taksiran untuk premi bersih pada




529

persamaan (1), terdapat dua posisi ekstrem, yaitu ketika nilai dan .

Pada saat nilai , taksiran kredibilitas untuk C hanya ditaksir oleh M dan

disebut juga dengan pendekatan zero credibility. Sebaliknya, ketika nilai ,

perusahaan asuransi membebankan premi hanya didasarkan pengalaman klaim

setiap golongan, disebut juga dengan pendekatan full credibility.

Prosedur Morris-Van Slyke merupakan penerapan dari teori kredibilitas pada

asuransi kendaraan bermotor yang awalnya dikembangkan oleh Carl Morris dan

Lee Van Slyke. Pada prosedur ini, pemegang polis dibagi kepada golongan

berdasarkan teritori (daerah pemakaian kendaraan bermotor). Taksiran kredibilitas

untuk C dalam kasus ini merupakan taksiran selisih tingkat klaim pada setiap

teritori terhadap tingkat klaim keseluruhan teritori.

Pada prosedur ini, akan digunakan data tingkat klaim serta banyaknya

pemegang polis pada beberapa tahun terakhir untuk menentukan taksiran selisih

tingkat klaim di setiap teritori untuk tahun polis selanjutnya. Untuk menentukan

taksiran kredibilitasnya yaitu berupa taksiran selisih tingkat klaim, prosedur

Morris-Van Slyke menggunakan metode Empirical Bayes. Selisih tingkat klaim

pada prosedur ini menyatakan perbedaan nilai tingkat klaim di suatu teritori dengan

tingkat klaim di keseluruhan teritori.

Pada makalah ini juga akan dibandingkan melalui measure of closeness hasil

taksiran yang diperoleh melalui prosedur Morris-Van Slyke dengan taksiran yang

diperoleh melalui prosedur full dan zero credibility dengan menggunakan data

klaim pada sepuluh negara bagian di Amerika Serikat.


2.1 Model Morris-Van Slyke

Seperti yang telah dijelaskan sebelumnya, pada prosedur Morris-Van

Slyke, pemegang polis dibagi ke dalam golongan berdasarkan teritori. Misalkan

menyatakan banyaknya pengemudi yang diasuransikan di teritori ke-i selama tahun

polis t, dimana dan .

Untuk , didefinisikan bobot untuk teritori ke-i sebagai berikut

(2)

Berdasarkan persamaan (2), pembilangnya merupakan penjumlahan pengemudi

yang diasuransikan pada teritori ke-i selama r tahun polis pertama, sedangkan

pembaginya merupakan jumlah total dari banyaknya pengemudi yang

diasuransikan untuk semua teritori selama r tahun polis pertama. Proporsi (rasio)

dari jumlah pengemudi yang diasuransikan dari tahun ke tahun diasumsikan

jumlahnya tetap (tidak berubah secara signifikan). Nilai merupakan bobot yang

jumlahnya adalah 1.

Model Morris-Van Slyke didefinisikan sebagai berikut

(3)

menyatakan tingkat klaim dari teritori ke-i pada tahun polis t, dimana dan . Diasumsikan bahwa peubah acak saling bebas,

dengan

a) menyatakan grand mean atau mean keseluruhan dari tingkat klaim

b) menyatakan efek teritori ke-i

530

c) menyatakan efek tahun polis ke-t

d) adalah sampling error yang saling bebas dan berdistribusi normal

dengan mean 0 dan variansi

atau

.

Berdasarkan model pada persamaan (3) akan diperoleh

(4)

dan

(5)

Terdapat 3 jenis parameter yang tidak diketahui dari persamaan (4), yaitu

dan , dimana parameter tersebut memiliki kendala sebagai berikut:

(6)

dan

(7)

Selanjutnya, didefinisikan sebagai rata-rata tingkat klaim pada tahun

polis ke-t sebagai

(8)

Karena tujuan dari prosedur ini adalah menaksir selisih tingkat klaim, oleh

karena itu didefinisikan peubah acak sebagai selisih antara tingkat klaim di

teritori ke-i pada tahun polis ke-t dengan rata-rata tingkat klaim di seluruh teritori

pada tahun polis ke t

(9)

dari persamaan (9) diperoleh mean atau ekspektasi peubah acak yaitu

Pada persamaan (10) dapat dilihat bahwa peubah acak selisih tingkat klaim

memiliki mean , menyatakan efek teritori dalam menentukan klaim dari

teritori ke-i, dengan . Berdasarkan persamaan (4) tinggi rendahnya

efek teritori akan menentukan besaran nilai ekspektasi dari tingkat klaim.

Selanjutnya, untuk menaksir akan dimodelkan masalahnya dengan

menggunakan teorema Bayes dengan memperhatikan pengalaman selisih tingkat

klaim pada periode sebelumnya. Sebelum menggunakan teorema Bayes untuk

menaksir terlebih dahulu didefinisikan variansi dari sebagai berikut

Karena bentuk taksiran dari tidak diketahui, oleh karena itu langkah

selanjutnya adalah menaksir . Diasumsikan bahwa , dan

merupakan peubah acak yang saling bebas, dengan mean dan variansi

yang telah diperoleh pada persamaan (10) dan (11). Dalam memperoleh taksiran

dari , pertama-tama didefinisikan rata-rata selisih tingkat klaim untuk teritori ke-

sebagai

Selanjutnya, mean serta variansinya didefinisikan sebagai berikut

531

dengan menggunakan persamaan (13) dan (14) diperoleh taksiran dari yaitu

yang merupakan penaksir tak bias dari . Lalu, apabila didefinisikan sum square

within dari peubah acak untuk teritori ke , dengan sebagai

maka penaksir tak bias untuk dapat disederhanakan menjadi

2.2 Penaksiran Selisih Tingkat Klaim Menggunakan Metode Empirical Bayes

Berdasarkan tujuan dari prosedur Morris-Van Slyke, dapat dinyatakan

kembali bahwa masalahnya adalah akan ditaksir k parameter .

Parameter-parameter ini merupakan parameter dari efek teritori ke- untuk

tahun polis selanjutnya. Parameter tersebut ( ) akan ditaksir dengan

menggunakan informasi pengalaman klaim pada tahun polis sebelumnya.

Dalam teori probabilitas dan statistik, teorema Bayes menggambarkan

probabilitas dari suatu kejadian yang didasarkan oleh pengetahuan sebelumnya dari

kondisi yang mungkin terkait dengan kejadian tersebut. Oleh karena itu, dalam

menaksir akan digunakan model Bayes dengan menggunakan kondisi

yang terkait yaitu rata-rata selisih tingkat klaim dari masing-masing teritori-i atau

. Model Bayes dibangun dengan mengasumsikan bahwa :

dimana merupakan parameter dari distribusi prior yang disebut

hyperparameter.

Karena ingin dilakukan penaksiran dari , ,…, , maka penaksir

Bayes untuk adalah ekspektasi dari distribusi bersyarat diketahui sampel acak

atau mean dari distribusi posterior . Oleh karena itu, akan dicari terlebih

dahulu distribusi posterior dari . Dengan menggunakan teorema Bayes, dapat

diperoleh bentuk pdf posterior dari adalah sebagai berikut:

dengan

,

, dan

Jika menyatakan ekspektasi dari pdf posterior dan

adalah variansi , maka

532

apabila didefinisikan

maka bentuk ekspektasi dari pdf posteriornya adalah

serta variansinya didefinisikan sebagai berikut

Bentuk pada persamaan (18) merupakan taksiran Bayes.

Perbedaan metode Empirical Bayes dan Bayes terletak pada nilai

hyperparameternya. Pada metode Empirical Bayes, hyperparameternya ditaksir

melalui data yang ada dan biasanya diperoleh dari metode maximum likelihood.

Sedangkan pada metode Bayes, telah ditentukan terlebih dahulu nilai

hyperparameternya dan tidak perlu ditaksir dari data.

dari taksiran titik Bayes dengan taksiran kredibilitas adalah teori

kredibilitas secara umum menaksir klaim di tahun polis selanjutnya menggunakan

rata-rata terboboti dari pengalaman klaim dari grup tertentu dan ekspektasi

klaim (yang pada hal ini dilambangkan oleh ) (Miller dan Hickman, 1975;

Klugman, 1992). Maka dari itu, pada prosedur ini akan digunakan taksiran titik

Bayes sebagai persamaan kredibilitas yang akan digunakan untuk menaksir Taksiran kredibilitas untuk selisih tingkat klaim didefinisikan sebagai

berikut

untuk ,

taksiran selisih tingkat klaim di teritori ke-i pada tahun polis

selanjutnya

rata-rata selisih tingkat klaim dari r tahun polis terakhir pada

teritori ke-i

menyatakan taksiran mean dari distribusi prior

menyatakan faktor kredibilitas dengan nilai , yang didefinisikan

sebagai

Bentuk persamaan (20) merupakan bentuk lain dari persamaan (1) dengan

dan digunakan untuk menaksir . Sedangkan pada kasus ini, nilai faktor

kredibilitas dilambangkan oleh yang nilainya berbeda untuk setiap teritori

.

533

Dalam menghitung nilai dari penaksir atau ini, sebelumnya, harus

ditaksir terlebih dahulu nilai dari hyperparameter dan . (Karena diberikan ,

akan diperoleh taksiran untuk pada persamaan (17) ). Karena dan tidak

diketahui, maka berdasarkan prosedur Empirical Bayes, taksiran dari dan

dapat diperoleh dari data, yaitu dengan menggunakan distribusi marjinal yang

diasumsikan berdistribusi normal dengan mean dan variansi sebagai berikut:

dan

untuk

Untuk memperoleh Maximum likelihood estimator dari dan dapat

diperoleh berdasarkan persamaan (21) dan (22) dengan mengasumsikan bahwa

berdistribusi normal dan peubah acak saling bebas. Akan tetapi,

variansi bersyarat dari yaitu , untuk nilainya berbeda untuk

setiap i (teritori), maka realisasi dari penaksir maximum likelihood dari dan

tidak dapat diperoleh secara langsung, melainkan harus diperoleh melalui

rangkaian prosedur iterasi.

Karena sebelumnya telah dibuktikan bahwa adalah penaksir tak bias

untuk parameter , selanjutnya untuk didefinisikan

sebagai penaksir dari yang merupakan variansi bersyarat dari .

2.3 Prosedur Iterasi

Prosedur iterasi digunakan sebagai tahapan untuk menaksir dan yang

disebabkan oleh nilai variansi bersyarat dari yaitu yang berbeda di setiap

teritorinya. Hal ini menyebabkan taksiran dan yang bergantung kepada

tidak dapat diperoleh secara langsung dan memerlukan rangkaian prosedur iterasi.

Prosedur iterasi untuk menaksir dan terdiri dari langkah-langkah sebagai

berikut:

Langkah pertama,

Sebelum menaksir dengan metode maximum likelihood, hitung taksiran

awal dari yaitu yang didefinisikan sebagai

Taksiran awal dari adalah dengan memberi nilai bobot teritori ke-i yakni

, dengan adalah banyaknya teritori dan nilai faktor kredibilitas .

Langkah kedua,

menggunakan nilai dari yang diperoleh dari langkah pertama, hitung taksiran

awal dari faktor kredibilitas yang didefinisikan sebagai, untuk :

534

Langkah ketiga,

dengan menggunakan nilai dari yang telah diperoleh dari langkah

sebelumnya, dapat dihitung penaksir dari yaitu

Langkah keempat,

hitung taksiran maximum likelihood dari , dengan menggunakan hasil

yang diperoleh dari langkah ke 2 dan ke-3 yaitu

Langkah kelima,

Dengan menggunakan taksiran yang telah dihitung di langkah ke-4

sebagai taksiran awal yang baru untuk , selanjutnya lakukan kembali langkah-

langkah kedua, ketiga dan keempat. Tahapan ini akan menghasilkan

taksiran/estimasi yang baru (telah direvisi) untuk , dan .

Aturan berhenti:

Prosedur iterasi di atas akan berhenti ketika nilai taksiran dari sedikit

berubah.. Ketika nilai dari sedikit berubah menandakan bahwa taksiran sudah

cukup stabil, biasanya ditandai oleh nilai yang juga tidak berubah secara

signifikan. Hal ini berarti, walaupun nilai berbeda untuk setiap teritori tidak

mempengaruhi nilai taksiran dari maupun . Nilai dan pada iterasi akhir,

selanjutnya akan digunakan untuk menghitung faktor kredibilitas yang

didefinisikan pada persamaan (17).

Penaksir akhir dari Faktor Kredibilitas

Sebelumnya, telah digunakan

sebagai taksiran dari faktor kredibilitas. merupakan taksiran likelihood untuk

dan merupakan taksiran tak bias dari . Akan tetapi, hal tersebut tidak lantas

membuat

menjadi taksiran tak bias untuk

. Oleh karena itu, pada

prosedur ini digunakan penaksir faktor kredibilitas yang baru untuk memperbaiki

nilai dari faktor kredibilitas sebelumnya yaitu (untuk )

Penaksir akhir dari adalah:

2.4 Measure of Closeness

Sebagai ukuran keakuratan penaksir yang didapatkan dari prosedur Morris-

Van Slyke yaitu dengan data observasi sebenarnya yaitu yang merupakan

535

nilai selisih tingkat klaim untuk tahun polis selanjutnya ( ), digunakan

measure of closeness:

dengan

Measure of closeness juga akan digunakan untuk mengukur seberapa

akurat penaksir yang diperoleh dari prosedur Morris Van Slyke, full credibility

( , dan zero credibility ( . Penaksir terbaik akan diperoleh ketika nilai

MoC paling kecil, karena ketika nilai MoC semakin kecil, berarti nilai penaksir

tersebut makin mendekati nilai observasi sebenarnya.

Hasil penelitian diperoleh dengan menggunakan contoh aplikasi dari

prosedur Morris-Van Slyke pada data klaim asuransi kendaraan bermotor pada

tahun 2010 sampai 2011 pada 10 negara bagian di Amerika Serikat yang diperoleh

dari Auto Insurance Database Report yang diterbitkan oleh NAIC tahun

2012/2012. Data tersebut akan digunakan untuk menaksir selisih tingkat klaim

untuk tahun 2012.

Sebelumnya, terlebih dahulu diperiksa normalitas dari data atau rata-

rata selisih tingkat klaim pada 10 negara bagian tersebut (selanjutnya disebut

sebagai teritori ke-1 sampai 10) dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov.

Hipotesis

Hipotesis yang akan digunakan untuk Tes Normalitas oleh Uji Kolmogorov-

Smirnov adalah sebagai berikut:

: Data mengikuti distribusi Normal

: Data tidak mengikuti distribusi Normal

Signifikansi :

Wilayah kritis

Statistik Uji

Tabel 1. Uji Normalitas dari dengan Uji Kolmogorov-Smirnov

No

|

1 -1.3788 -1.2605 0.1038 0.1 0.0038

2 -0.8751 -0.8435 0.2005 0.2 0.0005

3 -0.4851 -0.5207 0.3015 0.3 0.0015

4 -0.4211 -0.4678 0.3192 0.4 0.0808

5 -0.2929 -0.3616 0.3594 0.5 0.1406

6 -0.2858 -0.3558 0.3594 0.6 0.2406

7 0.18216 0.03157 0.512 0.7 0.188

8 0.81775 0.55766 0.7123 0.8 0.0877

9 1.51393 1.13389 0.8708 0.9 0.0292

10 2.66516 2.08678 0.9817 1 0.0183

0.14401

1.20815

536

Keputusan

tidak ditolak karena

Kesimpulan

Data berdistribusi normal dengan tingkat signifikansi 5%.

Dari uji hipotesis di atas dapat disimpulkan bahwa berdistribusi normal. Oleh

karena itu, taksiran parameter yang diperoleh dari dapat dipakai untuk menaksir

selisih tingkat klaim dengan prosedur Morris-Van Slyke.

Tabel 2. Hasil Taksiran Akhir untuk Faktor Kredibilitas , , , dan

Negara Bagian

1 California 0.99992 0.1408 -0.28582 -0.28579

2 Colorado 0.99917 0.1408 -0.48512 -0.48460

3 District of Columbia

(D.C.) 0.98638 0.1408 2.665160 2.63078

4 Massachusetts 0.99928 0.1408 1.513926 1.512951

5 Minnesota 0.99919 0.1408 -0.87510 -0.87428

6 New York 0.99966 0.1408 0.817748 0.817521

7 Oregon 0.99885 0.1408 -0.42113 -0.42048

8 Pennsylvania 0.99965 0.1408 0.182160 0.182146

9 Washington 0.99927 0.1408 -0.29285 -0.29254

10 Wyoming 0.99288 0.1408 -1.37881 -1.36799

Kolom berisi taksiran selisih tingkat klaim untuk tahun 2012 untuk ke-

10 negara bagian di Amerika Serikat. Nilai taksiran ini juga menggambarkan efek

teritori dalam menentukan rate premi untuk setiap teritori (dalam kasus ini

merupakan negara bagian). Nilai positif menyatakan kenaikan rate premi pada

suatu teritori, sedangkan nilai yang negatif menyatakan penurunan rate premi di

suatu teritori tersebut.

Pada Tabel 2 dapat dilihat bahwa nilai paling besar terdapat pada

District of Columbia (D.C), dapat disimpulkan bahwa dibandingkan kesembilan

teritori lainnya, rate premi yang didasari oleh pengalaman klaim di D.C paling

tinggi. Hal ini tidak lagi mengejutkan, karena D.C merupakan ibukota dari

Amerika Serikat dengan tingkat kepadatan yang tinggi serta memungkinkan

tingginya rate premi di teritori tersebut.

Pada pendekatan full credibility, untuk menaksir diberikan nilai ,

sehingga taksiran yang berbentuk adalah

Berbeda dengan full credibility, pada pendekatan zero credibility, diberikan nilai

, sehingga untuk menaksir hanya digunakan taksiran yang diperoleh dari

atau

Pada Tabel 2, kolom dan masing-masing menggambarkan taksiran dari selisih

537

tingkat klaim yang diperoleh dari pendekatan full credibility dan zero credibility.

Sedangkan pada kolom yang berisi nilai adalah nilai taksiran selisih tingkat

klaim yang diperoleh melalui prosedur Morris-Van Slyke.

Pada akhir dari makalah ini, akan dibandingkan hasil taksiran yang

diperoleh dari prosedur Morris-Van Slyke dengan taksiran yang diperoleh melalui

full dan zero credibility. Akan digunakan uji keakuratan yaitu measure of

closeness, untuk mengukur keakuratan dari ketiga penaksir yang diperoleh.

Didefinisikan MoC atau measure of closeness seperti di bawah ini

dengan

dan mendefinisikan nilai observasi dari banyaknya pengemudi yang

diasuransikan dan bobot pada setiap teritori pada tahun polis ke-3 atau tahun polis

yang akan ditaksir. Sedangkan mendefinisikan nilai obervasi dari selisih

tingkat klaim pada tahun polis ke-3 (tahun 2012). Oleh karena itu, digunakan data

observasi (sebenarnya) dari data asuransi pada tahun 2012 yang diperoleh dari Auto

Insurance Database Report yang diterbitkan oleh NAIC tahun 2012/2013. Dengan

menggunakan data tersebut, akan dihitung nilai measure of closeness dari penaksir

yang berasal dari prosedur Morris-Van Slyke, Full Credibility, dan Zero

Credibility.

Penaksir terbaik akan diperoleh ketika nilai MoC paling kecil, karena

ketika nilai MoC semakin kecil, berarti nilai penaksir tersebut makin mendekati

dengan nilai observasi sebenarnya. Maka dari itu, akan disimpulkan berdasarkan

ukuran keakuratan measure of closeness bahwa penaksir terbaik adalah penaksir

yang memiliki nilai MoC paling kecil.

Tabel 3. Perbandingan Nilai Measure of Closeness untuk Penaksir MVS, Full dan

Zero Credibility

Berdasarkan Tabel 3, penaksir yang diperoleh melalui prosedur Morris-

Van Slyke merupakan penaksir yang memiliki nilai MoC paling kecil, sedangkan

Penaksir Measure of Closeness

Morris-Van Slyke 0.031036

Full Credibility )

0.03222

Zero Credibility ( ) 0.331092

538

penaksir dari full credibility adalah penaksir yang juga memiliki nilai MoC yang

kecil, akan tetapi nilainya masih kurang baik dibanding penaksir yang diperoleh

dari prosedur Morris-Van Slyke.

3. Kesimpulan

Berdasarkan penjelasan pada makalah ini dapat ditarik kesimpulan sebagai berikut.

1. Prosedur Morris Van Slyke merupakan prosedur kredibilitas berdasarkan

metode Empirical Bayes yang digunakan untuk pricing (penetapan nilai premi)

di setiap teritori pada asuransi kendaraan bermotor. Metode Empirical Bayes

digunakan untuk mencari taksiran kredibilitas dari selisih tingkat klaim pada

suatu teritori dalam asuransi kendaraan bermotor.

2. Taksiran yang diperoleh dari prosedur Morris-Van Slyke dibandingkan dengan

taksiran yang diperoleh dari full dan zero credibility. Dengan menggunakan

ukuran keakuratan yaitu measure of closeness diperoleh kesimpulan bahwa

penaksir yang diperoleh melalui prosedur Morris-Van Slyke adalah penaksir

terbaik pada kasus data tingkat klaim tahun 2012 pada 10 negara bagian di

Amerika Serikat.

Referensi

[1] Efron, F. and Morris, C., 1973, Stein’s Estimation Rule and Its Competitors- An

Empirical Bayes Approach, Journal of the American Statistical Association, 68, 117-

130.

[2] Efron, F. and Morris, C., 1975, Data Analysis Using Stein Estimator and Its

Generalizations, Journal of the American Statistical Association, 70, 311-319.

[3] Herzog, T., 2010, Introduction to Credibility Theory, 4th ed., ACTEX Publications.

[4] Hogg, R.V., McKean, J.W., and Craig, A.T., 2013, Introduction to Mathematical

Statistics 7th ed., Boston: Pearson Education, Inc.

[5] Klugman, S., 1987, Credibility for Classification Ratemaking Via the Hierarchical

Linear Model, Proceeding of the Casualty Actuarial Society, Vol. LXXIV, 272-231.

[6] Klugman, S., 1992, Bayesian Statictics in Actuarial Science with Emphasis on

Credibility, Boston: Kluwer.

[7] Klugman, S., Stuart A., Panjer, Harry, H. and Willmot, Gordon E., 2012, Loss Models

From Data to Decisions, 4th ed., New York: Wiley.

[8] Meyers, G., 1984, Empirical Bayesian Credibility for Workers’ Compensation

Classification Ratemaking, Proceedings of the Casualty Actuarial Society, Vol. LXXI,

96-121.

[9] Yu, Qiu., Yao, Z., Zhang, F. and Zhao, Y., 2012, The Study about Automobile

Insurance Based on Linear Empirical Bayesian Estimation.

539


PREDIKSI PREMI MURNI DENGAN GENERALIZED

LINEAR MODELS (GLM) PADA ASURANSI

KENDARAAN BERMOTOR

AGUS SUPRIATNA1, ENDANG SOERYANA, SARI, D.P.,

1Departemen Matematika FMIPA, Universitas Padjadjarn, [email protected]

Abstrak. Pada saat ini bahaya, kerusakan, dan kerugian merupakan suatu

ketidakpastian yang akan dialami siapapun, sehingga kemungkinan terjadi resiko

dalam kehidupan terutama bidang ekonomi sangat besar. Salah satu cara untuk

mengantisipasi resiko kerugian tersebut yaitu melalui asuransi Asuransi terbagi

menjadi dua macam, yaitu asuransi jiwa dan asuransi non jiwa. Asuransi non jiwa

adalah asuransi yang bertujuan untuk menanggung kerugian financial yang disebabkan

oleh kerusakan, kehilangan, dan lain-lain. Saat ini terdapat berbagai macam jenis

asuransi non jiwa. Salah satunya adalah asuransi kendaraan bermotor. Pemilik polis

membayar produk ini melalui premi. Terdapat dua jenis premi, yaitu premi murni dan

premi kotor. Premi murni adalah biaya yang ditanggungkan sebelum ditambah faktor

loading. Dalam penelitian ini akan dikaji mengenai Generalized Linear Models

(GLM) untuk prediksi premi murni pada asuransi kendaraan bermotor. Hasil

penelitian menunjukan bahwa untuk mencari premi murni dengan pada data

tahun kalender 2014 digunakan distribusi Binomial untuk mencari model peluang

untuk banyak klaim dan distibusi gamma untuk model peluang untuk besar klaim

sehingga dapat diperoleh premi murni dengan mengalikan jumlah ekspektasi distribusi

kedua model tersebut.

Kata kunci: asuransi non jiwa, Generalized Linear Models (GLM), premi murni,

asuransi kendaraan bermotor.

1. Latar Belakang Masalah

Kerusakan, kerugian, dan bahaya merupakan suatu ketidakpastian yang akan dialami setiap

mahluk hidup yang ada di bumi ini, sehingga kemungkinan terjadinya resiko dalam

kehidupan terutama bidang ekonomi sangat besar. Salah satu cara untuk mengantisipasi

resiko kerugian tersebut yaitu melalui asuransi. Menurut Buku Kesatu Bab IX Pasal 246

Kitab Undang-undang Hukum Dagang (KUHD), asuransi adalah suatu perjanjian, dimana

seorang penanggung mengikatkan diri kepada seorang tertanggung, dengan menerima suatu

premi, untuk memberikan penggantian kepada orang tersebut karena suatu kerugian,

kerusakan, atau kehilangan keuntungan yang diharapkan, yang mungkin akan dideritanya

karena suatu peristiwa yang tidak tentu

Terdapat beberapa jenis dari asuransi, salah satunya asuransi non jiwa. Asuransi non jiwa

yang populer dan banyak diminati masyarakat adalah asuransi kerugian yaitu asuransi

kendaraan bermotor. Pada asuransi kendaraan bermotor memungkinkan pemegang polis

mengajukan klaim berulang kali dalam satu periode pertanggungan, sehingga salah satu ciri

asuransi kendaraan bermotor adalah premi yang dikenakan kepada pemegang polis

bergantung pada banyaknya klaim dan besarnya klaim yang telah diajukan pada masa lalu.

Salah satu metode untuk menghitung premi adalah Generalized Linears Models (GLM).

Pada penelitian kali ini akan ditentukan prediksi besar klaim dan banyak klaim dengan

menggunakan variabel-variabel yang mempengaruhi. Karena banyaknya klaim bertipe

diskrit, maka jenis distribusi peluang cocok untuk banyak klaim tidak mungkin

540

berdistribusi normal. Oleh karena itu, Generalized Linears Models (GLM) adalah model

yang tepat untuk digunakan. Selanjutnya, berdasarkan model peluang yang diperoleh kita

dapat menentukan premi murni. Premi murni adalah biaya yang dibebankan kepada

seseorang yang mempertanggungkan kendaraannya sebelum ditambah faktor loading,

seperti biaya operasional.

Berdasarkan uraian diatas, pada jurnal ini akan dibahas bagaimana langkah-langkah dan

faktor pendukung dalam prediksi hasil dan nilai premi murni asuransi kendaraan

bermotor untuk jenis asuransi All Risk dengan Generalized Linear Models (GLM).

2. Generelized Linear Models

Generalized Linear Models (GLM) merupakan alat ukur untuk mengukur hubungan

antara variabel respon dan variabel bebas. Fungsi peluang untuk suatu variabel respon Y

dapat didefiniskan sebagai berikut.

dan

Dengan merupakan parameter kanonikal, merupakan parameter disperse dan

adalah fungsi link dan diasumsikan bahwa observasi dalam variabel respon Y saling

bebas. adalah fungsi peluang untuk variabel respon Y yang berdistribusi keluarga

eksponensial.

3. Permodelan Premi Murni dengan Generelized Linear Models

3.1. Model Peluang Untuk Banyak Klaim

Distribusi yang digunakan untuk model peluang dari banyak klaim dalam dunia

perasuransian adalah distribusi couting atau distribusi diskrit. Kita akan menggunakan

distribusi Binomial yang mungkin cocok untuk menentukan model peluang dari banyak

klaim.

Analisi regresi logistik dapat digunakan untuk pemodelan banyak klaim dengan respon

yang terdiri dari dua kemungkinan pada GLM. Misalkan Y adalah peubah acak banyak

klaim dari distribusi Binomial. Selanjutnya, definisikan sebagai peluang suatu pemegang

polis ke-i yang memiliki , maka model regresi logistik dengan p buah kovariat

adalah:

(3.1)

dengan

(3.2)

Sesuai fungsi link, maka model regresi logistik adalah model linear antara

dengan kovariat. Maka taksiran proposi peluang terjadinya klaim dapat ditulis sebagai

berikut

(3.3)

3.2.3 Uji Kolmogorov-Smirnov

Uji berikut hanya dapat dilakukan untuk menguji kecocokan model pada data individual.

Misalkan merupakan statistika terurut dari data yang akan divalidasi

jenis distribusinya, maka satitistik ujinya adalah

(3.4)

541

Dengan adalah fungsi distribusi empiris dari data, sedangkan adalah distribusi

dari data yang diasumsikan cocok untuk variabel respon. Titik kritis uji statistik dari uji

Kolmogorov-Smirnov adalah sebagai berikut

Tabel 3.1 Titik Kritis Uji Kolmogorov-Smirnov

Tingkat Signifikansi α 0.10 0.05 0.01

Titik Kritis

H0 ditolak jika nilai statistik uji D lebih besar daripada titik kritis yang ada.

3.2.4 Pemilihan Kovariat

Langkah berikutnya untuk menganalisa model dengan menggunakan GLM adalah

menentukan kovariat yang akan berpengaruh signifikansinya terhadap respon. Pada jurnal

ini kita akan menggunakan backward elimination untuk menentukan kovariat. Pada metode

ini, semua kovariat dimasukan kedalam model terlebih dahulu, kemudian kovariat yang

tidak signifikan terhadap model akan dikeluarkan sampai tidak ada lagi kovariat yang

dikeluarkan dari model.

3.2.5 Uji Kecocokan Hosmer dan Lemeshow

Uji kecocokan ini untuk menguji kecocokan model dengan data yang telah dipilih. Untuk

lebih jelasnya akan diperhatikan hipotesisnya sebagai berikut

H0: Model sudah cocok dengan data

H1: Tidak seperti yang diasumsikan H0

Dengan statistika Hosmer dan Lemeshow sebagai berikut:

(3.5)

Dengan

Diberikan tingkat signifikansi α, tolak H0 jika p-value dari uji kecocokan Hosmer dan

Lemeshow kurang dari tingkat siginifikansinya.

3.2.6 Uji ROC

Berdasarkan teori ROC, kurva ROC merupakan kurva yang dapat digunakan untuk

mengindikasi tingkat kecocokan model dengan menghitung AUC. AUC (Area Under

Curve) adalah metode yang menyatakan seberapa bagus model terhadap data. Perhitungan

AUC dengan data dapat dilakukan dengan pendekatan non-parametrik. Terdapat dua

ukuran dalam kurva ROC, yaitu: ukuran sensitivitas dan ukuran spesifititas. Kedua ukuran

ini dapat digambarkan dengan kurva ROC, dengan sumbu x menyakan sensitivitas dan

sumbu y menyatakan spetifititas data untuk setiap nilai cut-off. Kecocokan suatu model

dapat diamati melalui luas daerah dibawah kurva ROC yang dihitung melalui pendekatan

non-parametrik AUC. Nilai maksimum AUC sama dengan 1 dan semakin dekat nilai AUC

dengan 1, maka mengindikasi kecocokan model tersebut semakin besar.

3.2. Model Peluang Untuk Besar Klaim

Model peluang dari besar klaim (claim size) dapat ditentukan dengan menggunakan

distribusi kontinu. Pada kesempatan kali ini kita akan menggunakan distribusi gamma yang

mungkin cocok untuk menentukan model peluang dari besar klaim.

Suatu variabel respon yang berdistribusi Gamma, , fungsi linknya dapat

dituliskan sebagai . Sedangkan link kanonik dari distribusi Gamma adalah

fungsi inversnya, tetapi karena parameter dari model dengan link invers sulit untuk

542

dijabarkan maka penggunaan link log dianggap lebih baik dan lebih sering digunakan. (De

Jong, 1998: 120)

Bila yang digunakan adalah link log maka model untuk regresi dapat dituliskan sebagai

.

3.2.1 Uji Chi-Square Goodness of Fit

Berikut ini merupakan uji hipotesis awal yang dapat digunakan pada -square goodness of fit

test,

H0: data yang berasal dari distribusi tertentu

H1: data tidak berasal dari distribusi yang diasumsikan pada H0

Untuk menguji hipotesis kita dapat menggunakan statistik uji sebagai berikut

(3.7)

H0 akan ditolak jika nilai dengan k adalah banyaknya interval dan p adalah

banyaknya parameter yang ditaksir.

3.2.2 Menguji Kecocokan Model dan Deviansi (Assering Fits and Deviance)

Hipotesa dalam menguji kecocokan model pada metode ini adalah sebagai berikut

H0: Model sudah cocok

H1: Model tidak cocok

Dengan statistika uji yang digunakan adalah sebagai berikut:

(3.8)

Dengan:

merupakan nilai log-likelihood yang didapat dari “saturated model”.

merupakan nilai dari fungsi log-likelihood yang berasal dari y dan kovariat yang

diberikan (dari model yang telah dicocokan dengan data).

Kemudian akan diuji stastistika uji untuk yang berdistribusi Chis-Square dan memiliki

titik kritis dengan n merupakan banyaknya data observasi dan merupakan

banyaknya parameter. Tolak H0 jika nilai statistika uji melebihi titik kritis.

3.2.3 Wald Test

Wald test hanya mampu memeriksa tingkat signifikan dari satu kovariat. Hal ini tentu

berbeda dengan likelihood ratio test yang mampu menguji tingkat signifikansi dari

beberapa kovariat. Misalkan , uji hipotesis dari wald test adalah

sebagai berikut

Serta statistika uji yang digunakan adalah

(3.9)

Dengan merupakan elemen ke-j dari diagonal dan nilai r yang digunakan

untuk menguji siginifikansi kovariat sama dengan 0. Untuk tingkat signifikansinya adalah

α, serta titik kritis dari statistika uji ini adalah . Kita akan tolak jika nilai statistika

uji lebih besar dari titik kritisnya.

3.2.4 Likeliihood Ratio Test

Pada uji ini, hal utama yang harus diperhatikan adalah menguji signifikansi dari kovariat

atau variabel x yang terdapat dalam model. Berikut ini adalah uji hipotesis yang digunakan

543

Dengan C adalah matriks hipotesis dan r adalah nilai yang diberikan. Kemudian dengan

memisalkan nilai , kita dapat membuat mattriks C sehingga sejumlah kovariat nilai

. Statistik uji yang digunakan untuk uji ini adalah

(3.10)

Dengan:

merupakan fungsi log-likelihood dengan semua kovariatnya dalam model

(unrestricted model)

merupakan fungsi log-likelihood dari model dengan hanya menggunakan beberapa

kovariat (unrestricted model)

Titik kritis dari statistika uji ini adalah , sehingga jika nilai lebih besar dari titik

kritis maka kita akan tolak .

3.2.5 Uji Diagnostik

Diberikan uji hipotesis seperti berikut

H0: Model sudah cocok

H1: Model tidak cocok

Untuk menguji hipotesis diatas diberikan uji statistic sebagai berikut

(3.11)

Dengan merupakan deviance residual. Titik kritis dari uji statistik deviance residual

adalah , sehingga H0 akan ditolak bila nilai melebihi titik kritisnya.

3.3. Premi Murni dengan Compound Model

Misalkan suatu peubah acak yang menyatakan besar klaim (claim size) dengan fungsi

kepadatan peluangnya adalah . Misalkan N suatu peubah acak yang menyatakan

banyak klaim (claim number). Maka total klaim atau aggregate loss untuk collective risk

model adalah

(3.12)

Untuk menentukan premi murni (pure premium) pada model kolektif dapat diperoleh

dengan menggunakan

(3.13)

dengan

(3.14)

Dengan adalah ekspetasi dari distibusi besar klaim, dan adalah ekspetasi dari

distribusi banyak klaim.

4. Prediksi Premi Murni pada Asuransi Allrisk

4.1. Model Peluang Untuk Besar Klaim

4.1.1 Regresi Model

Pada tahap berikut, model akan dibuat dengan meregresikan seluruh kovariat yang

digunakan di dalam permodelan (full mode). Kemudian, akan diperiksa signifikansi dari

kovariat-kovariat terhadap variabel respon. Setelah diperiksa, terdapat kovariat yang

menyebabkan penaksiran parameter model peluang tersebut konvergen. Oleh karena itu,

kita hanya menggunakan kovariat tersebut pada penaksiran parameter model peluang.

4.1.2 Pemilihan Model

Kita akan mendapatkan hasil dari uji-uji dengan hanya variabel “Kode Pertanggungan yang

digunakan dengan menggunakan software SAS sebagai berikut:

544

Backward Elimination

Berdasarkan gambar, tidak ditemukan perbedaan pada hasil regresi diantara model yang

menggunakan signifkansi dan pada proses permodelan menggunakan

metode Backward Elimination. Berdasarkan hasil diatas variabel “Kode Penggunaan”

berpengaruh signifikan terhadap respon di dalam model tersebut.

4.1.3 Uji Diagnostik

4.1.3.1 Uji ROC

Nilai AUC pada jurva ROC untuk model yang kita peroleh adalah

sebesar 0.5000 yang terdapat pada gambar berikut:

Pada gambar, nilai AUC pada step 0 yang diperoleh adalah nilai

AUC model tanpa melibatkan variabel. Nilai akhir AUC untuk

model peluang banyak klaim adalah nilai AUC model, yaitu

disaat variabel “Kode Penggunaan” dimasukan ke dalam model.

Dengan AUC bernilai sebesar 0.5000, kurva ROC diatas

memperlihatkan bahwa model peluang telah cukup baik dalam

memprediksikan terjadinya klaim dan cocok dengan data yang telah digunakan.

4.1.3.2 Uji Kecocokan Hosmer dan Lemeshow

Uji diagnostik yang dapat digunakan lainnya adalah uji

kecocokan Hosmer dan Lemeshow. Uji ini dapat melihat

kecocokan suatu model peluang dengan data. Berikut

adalah output uji Hosmer dan Lameshow:

Pada gambar, terlihat bahwa nilai p-value uji kecocokan Hosmer Lemeshow sebesar 1.000,

nilai p-value diatas melebihi tingkat signifikansi . Ini artinya bahwa hipotesa H0

bahwa model cocok dengan data tidak ditolak. Berdasarkan uji-uji diatas model yang kita

peroleh sudah cocok digunakan untuk memodelkan banyak klaim.

4.1.4 Penaksiran Parameter Model

Dibawah ini adalah output penaksiran parameter model banyak klaim dengan metode

tersebut.Pada tabel diatas terdapat beberapa level pada variabel “Kode Penggunaan”, maka

kita akan menggunakan level-level tersebut untuk dimasukan ke dalam model.

Sehingga, diperoleh model akhir sebagai berikut:

(4.2)

Dengan

: variabel “Kode Penggunaan” SO : variabel “Kode Penggunaan” DO

: variabel “Kode Penggunnan” TO

4.2. Model Peluang Untuk Besar Klaim 4.2.1 Uji Distribusi Respon

Berdasarkan tabel disamping diperoleh

bahwa dengan p-value yang melibihi

0.00

0.25

0.50

0.75

1.00

Sen

sitiv

ity

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

1 - Specificity

Model (0.5000)Step 0 (0.5355)

ROC Curve (Area)

ROC Curves for All M odel Building Steps

545

tingkat signifikansi , hipotesa H0 yang menyatakan bahwa variabel besar klaim

berasal dari distribusi Gamma untuk uji Kolmogorov-Smirnov tidak ditolak.

4.2.2 Proses Pemilihan Kovariat

Langkah 1: Penentuan Kovariat Pertama yang Signifikan

Pada tahap berikut ini akan diperoleh

hasil yang menyatakan bahwa variabel

“Harga Pertanggungan

(Premi)”.Berdasarkan hasil tabel

diatas, untuk dapat dilihat

bahwa variabel “Harga Pertanggungan (Premi)” memiliki pengaruh yang signifikan

terhadap variabel respon. Dapat dilihat dari p-value yang kurang dari untuk statistika

Wald dan statistika Likelihood Ratio. Selanjutnya, uji yang akan kita lakukan adalah kita

akan memeriksa deviance residual.

Berdasarkan gambar, tidak terdapat data-data yang mempunyai residual deviance lebih dari

0.3 atau -0.3. Artinya, observasi-observasi diatas sudah cocok untuk hasil prediksi besar

klaim oleh model terhadap data.

Langkah 2: Penentuan Kovariat Kedua yang Signifikan

Pada tahap berikut ini akan

diperoleh hasil yang

menyatakan bahwa variabel

“Kode Kendaraan” bersama

dengan variabel “Harga

Pertanggungan (Premi)”.

Berdasarkan hasil tabel diatas,

untuk dapat dilihat bahwa variabel “Kode Kendaraan” dan “Harga Pertanggungan

(Premi)” memiliki pengaruh yang signifikan terhadap variabel respon. Dapat dilihat dari p-

value yang kurang dari untuk statistika Wald dan statistika Likelihood Ratio. Selanjutnya,

uji yang akan kita lakukan adalah kita akan memeriksa deviance residual.

Berdasarkan gambar, tidak terdapat data-data yang mempunyai residual deviance lebih dari

0.3 atau -0.3. Artinya, observasi-observasi diatas sudah cocok untuk hasil prediksi besar


Langkah 3: Penentuan Kovariat Ketiga yang Signifikan

Pada tahap berikut ini akan

diperoleh hasil yang

menyatakan bahwa variabel

“Kode Penyebab” bersama

dengan variabel “Kode

Kendaraan” dan “Harga

Pertanggungan (Premi)”.

Berdasarkan hasil tabel, untuk

dapat dilihat bahwa variabel “Kode Penyebab”, “Kode Kendaraan” dan “Harga

Pertanggungan (Premi)” memiliki pengaruh yang signifikan terhadap variabel respon.

Dapat dilihat dari p-value yang kurang dari untuk statistika Wald dan statistika

Likelihood Ratio. Selanjutnya, uji yang akan kita lakukan adalah kita akan memeriksa

deviance residual. Berdasarkan gambar, tidak terdapat data-data yang mempunyai residual deviance lebih dari

0.3 atau -0.3. Artinya, observas-observasi diatas sudah cocok untuk hasil prediksi besar


0 50 100 150 200

Observation

-0.2

0.0

0.2

Dev

ianc

e R

esid

ual

Deviance Residuals for Klaim_Disetujui

0 50 100 150 200

Observation

-0.3

-0.2

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

Devia

nce R

esi

dual


0 50 100 150 200

Observation

-0.2

0.0

0.2

Dev

ianc

e R

esid

ual


546

Langkah 4: Penentuan Kovariat Ke-empat yang Signifikan

Pada tahap berikut ini akan diperoleh hasil yang menyatakan bahwa variabel “Biaya

Klaim”, “Kode Wilayah” maupun “Tahun Kendaraan” bersama dengan variabel “Kode

Kendaraan” dan “Harga Pertanggungan (Premi)” tidak signifikansi terhadap model. Dapat

dilihat dari p-value yang melebihi dari untuk statistika Wald dan statistika Likelihood

Ratio pada semua uji variabel.

4.2.3 Penaksrian Parameter Berdasarkan gambar, meskipun variabel “Kode Penyebab” dan “Kode

Kendaraan” berperan signifikan terhadap variabel respon, tetapi tidak

semua level-level yang ada pada variabel tersebut berpengaruh secara

signifikan terhadap model. Hal ini dapat terlihat pada output diatas untuk

signifikan .

4.2.4 Model Akhir

Setelah kita melakukan semua proses diatas, didapatkan model akhir sebagai berikut:

(4.3)

Dengan

: variabel “Harga Pertangunggan (Premi)”

: variabel “Kode Penyebab” dengan level “benturan akibat penyebab lainnya (lain-

lain)”

: variabel “Kode Kendaraan” mobil dengan merek Honda

: variabel “Kode Kendaraan” mobil dengan merek Daihatsu

: variabel “Kode Kendaraan” mobil dengan merek Nissan

: variabel “Kode Kendaraan” mobil dengan merek Ford

: variabel “Kode Kendaraan” mobil dengan merek Mazda

: variabel “Kode Kendaraan” mobil dengan merek Suzuki

: variabel “Kode Kendaraan” mobil dengan merek Mitsubishi

547

4.3. Contoh Prediksi Premi Murni dengan Compound Model

Jenis Kendaraan Honda Jazz Kovariat Nilai

“Kode

Penggunaan” DO Honda 1

“Harga

Pertanggungan

Rp.

244.500.000,00 DO 1

“Kode

Penyebab” Lain-lain

Benturan

akibat

penyebab

lainnya

(Lain-lain)

1

Maka, dengan menggunakan model taksiran banyak klaim yang digunakan akan didapatkan

terjadinya klaim untuk All Risk dengan produk “Perisay Mobil Individual” adalah:

Dengan, menggunakan model peluang besar klaim yang telah didapat, dapat kita taksir

ekspetasi besar klaim adalah:

Dari hasil diatas, kita mendapatkan peluang terjadinya klaim sebesar .

Artinya, bila untuk 1000 kendaraan yang sama dalam satu portofolio, diprediksikan

terdapat yang akan mengajukan klaim. Dengan demikian, premi murni yang dibebankan

kepada masing-masing kendaraan dalam portofolio ini adalah

Dari perhitungan tersebut, premi murni (pure premium) yang dapat dibebankan kepada

setiap pemegang polis adalah Rp. 513.000,00.

5. Kesimpulan

Adapun hal-hal yang dapat disimpulkan dari hasil pembahasan ini adalah:

Untuk jenis asuransi All Risk dengan produk “Perisai Mobil Individual”, model

distribusi yang cocok untuk mewakili variabel respon banyak klaim adalah distribusi

Binomial dan metode yang digunakan untuk signifikansi adalah metode

backward selection. Dan fungsi link yang digunakan adalah link logit.

Distribusi yang digunakan pada model peluang untuk besar klaim yang cocok adalah

distribusi Gamma, dengan variabel “Klaim Disetujui” sebagai variabel respon.

Kemudian model akan diuji diagnostik untuk mencari kovariat apa saja yang

signifikan terhadap model. Dan fungsi link yang digunakan adalah link log.

Dari data yang digunakan prediksi premi murni (pure premium) yang dapat

dibebankan kepada setiap pemegang polis adalah Rp.513.000,00.

Bila dibandingkan dengan metode lain yaitu LM, metode GLM ini sudah sangat

cocok untuk mencari premi murni serta hasil yang lebih baik karena dengan LM,

premi murni yang didapatkan adalah sebesar Rp.302.000,00.

548

6. Daftar Pustaka

[1] De Jong, P., Heller, G. Z. 2008. Generalized Linear Models for Insurance Data.

Cambridge: Cambridge University

[2] Dey, Dipak., Ghosh, Bani K. Mallick., Sujit, K. 2000. Generalized Linear Models: A

Bayesian Perspectiv., New York: Marcel Dekker, Inc.

[3] Dobson, A. J. 2002. An Introduction To Generalized Linear Models 2nd ed. Florida:

Chapman and Hall/CRC.

[4] Faraggi, D., Benjamin, R. 2002. Estimations of Area Under the ROC Curve. Statist.

Med, 21, 3093-3106.

[5] Klugman, S. A., Panjer, H. H., Willmot, G. E. 2005. Loss Models From Data to

Decision. New Jersey: John Willey and Son Inc.

[6] Ohlsson, E., Johansson, B. 2002. Non-Life Insurance Pricing with Generalized Linear

Models. Berlin: Springer.

[7] Peraturan Menteri Keuangan (PMK) NOMOR 106/PMK.06/2013 tentang [8]

Penyelenggaraan Pertanggungan Asuransi Pada Lini Usaha Asuransi Kendaraan Bermotor

[8] Walpole, R. E., Myres, R. H. 2011, Probabilty and Statistics for Engineer and Scientist

9th Edition. Boston: Prentice Hal

549


PERHITUNGAN PREMI DALAM ASURANSI JIWA

KREDIT DENGAN MENGGUNAKAN PRINSIP PRESENT

VALUE OF FUTURE BENEFIT (PVFB)

RIAMAN1, F. SUKONO

2, SUDARTIANTO

3, EMAN LESMANA

4,

DAN AGUS SUPRIATNA5

1 Dep. Matematika Universitas Padjadjaran, Bandung, email: [email protected]

2 Dep. Matematika Universitas Padjadjaran, Bandung, email: [email protected]

3 Dep. Statistika Universitas Padjadjaran, Indonesia, email: [email protected] 4 Dep. Matematika Universitas Padjadjaran, Indonesia, email: [email protected]

5 Dep. Matematika Universitas Padjadjaran, Indonesia, email: [email protected]

Abstrak. Pada makalah ini akan dibahas masalah perhitungan premi tunggal

bersih dan premi kotor dalam asuransi jiwa kredit. Perhitungan dilakukan

menggunakan perhitungan nilai manfaat di masa mendatang atau Present

Value of Future Benefit (PVFB). Berdasarkan prinsip nilai kesetaraan, dengan

menghitung nilai PVFB, diperoleh premi tunggal bersih yang besarnya sama

dengan nilai PVFB tersebut. Sedangkan perhitungan premi bruto akhir

diperoleh dengan membagi premi tunggal bersih dengan rasio kerugian yang

diizinkan (permisible loss ratio). Semakin tua usia peminjam dan semakin

lama jangka waktu peminjaman, maka semakin besar pula premi yang harus

dibayarkan pemberi pinjaman.

Kata kunci: asuransi jiwa kredit, premi tunggal bersih, premi kotor, PVFB, nilai

ekivalen.

1. Pendahuluan

Dalam menjalani kehidupan, manusia selalu dihadapi dengan dua sisi yang

berjalan bersamaan, yaitu keuntungan dan risiko. Keuntungan diperoleh karena

suatu hal buruk atau risiko yang mungkin akan terjadi di masa depan dapat

diantisipasi. Sedangkan risiko selalu ada karena ketidaktahuan kita atas kondisi

yang akan terjadi di masa depan. Setiap manusia pasti akan selalu berusaha

menciptakan ketenangan dalam hidupnya dengan mengantisipasi risiko yang akan

terjadi. Dalam kondisi tersebut, perusahaan asuransi hadir untuk menjembatani hal

tersebut, di mana seseorang dapat mengalihkan risiko yang akan dihadapinya pada

perusahaan asuransi. Walaupun banyak metode untuk menangani risiko, namun

asuransi merupakan bentuk perlindungan yang paling banyak dipakai. Asuransi

menjanjikan perlindungan kepada pihak tertanggung terhadap risiko yang dihadapi

perorangan maupun risiko yang dihadapi perusahaan [1].

550

Berbagai macam produk asuransi ditawarkan pada saat ini, di antaranya

adalah asuransi jiwa kredit. Asuransi jiwa kredit merupakan proteksi yang

diberikan pihak asuransi (selaku penanggung) kepada bank (selaku tertanggung)

atas risiko kegagalan debitur dalam melunasi fasilitas kredit atau pinjaman tunai

(cash loan) seperti kredit modal kerja, kredit perdagangan dan lain-lain yang

diberikan oleh bank. Kredit merupakan usaha paling utama dalam kegiatan

perbankan karena pendapatan terbesar dari usaha bank berasal dari pendapatan

kegiatan usaha kredit yang berupa bunga dan provisi [5]. Oleh karena itu, kalangan

perbankan mendesak pemerintah untuk membentuk lembaga penjamin kredit

perbankan untuk menunjang usaha kredit tersebut. Dalam hal ini, asuransi kredit

hadir sebagai penunjang kegiatan tersebut. Perusahaan asuransi akan mengikatkan

diri pada pihak tertanggung, dengan menerima premi asuransi untuk memberikan

penggantian kepada perusahaan asuransi karena kerugian yang diderita oleh pihak

tertanggung. Premi merupakan biaya yang dibayar oleh pihak tertanggung kepada

perusahaan asuransi untuk risiko yang ditanggungnya. Pembayaran premi oleh

pihak tertanggung yang dilakukan pada setiap periode tertentu sesuai dengan

produk asuransi yang dibeli, akan menjamin tertanggung untuk mendapatkan

pertanggungan ketika mengajukan klaim atas risiko yang di alaminya. Tarif premi

yang dibayarkan setiap tertanggung akan berbeda-beda bergantung pada kasus dan

keadaan masing-masing tertanggung.


Perhitungan premi bersih dalam asuransi jiwa kredit ini dilakukan dengan prinsip Present Value of Future Benefits (PVFB). Pada perhitungan ini, jumlah Premi Tunggal Bersih (PTB) yang harus dibayarkan pihak tertanggung pada pihak asuransi sama dengan nilai PVFB yang diperoleh.

(1)

Selain premi tunggal bersih dihitung juga premi kotor. Besarnya Premi Kotor (PK) dihitung dengan menggunakan persamaan berikut.

1 ( )

PTBPK

rasiobiaya

1 ( )

PTBPK

L

(2)

dengan:

qx = peluang seorang yang berusia x tahun akan meninggal sebelum mencapai x+1 tahun.

v = nilai sekarang dari Rp 1 yang dilakukan 1 tahun

L = persentase biaya-biaya

Biaya-biaya yang dimasukkan dalam perhitungan, terdiri atas biaya uji kesehatan, biaya akuisisi, dan biaya pemeliharaan yang dapat dilihat dalam Tabel 1.

551

Tabel 1. Biaya-biaya Hipotetik

Jenis Biaya Tahun Pertama Tahun berikutnya

per polis per Rp 1000 per polis per Rp 1000

Uji Kesehatan Rp22,15 0,9

Akuisisi Rp20,93 0,21

Pemeliharaan Rp22,12 0,05 Rp22,12 0,05

Jumlah Rp65,20 1,16 Rp22,12 0,05

Sumber : Diolah dari data pemegang Polis Asuransi

Berdasarkan tabel di atas, maka biaya pada tahun pertama asuransi adalah Rp 66,36

dan untuk tahun berikutnya total biaya ditambah Rp 22,17, dan seterusnya sampai

pada masa asuransi berakhir. Oleh sebab itu, dengan menggunakan biaya-biaya

tersebut, dapat dihitung rasio biaya, yaitu:

1

m

t

t

total

L

RBL

(3)

dengan:

Pada makalah ini, perhitungan premi tunggal bersih dan premi kotor dilakukan

dalam dua jenis asuransi jiwa kredit, yaitu asuransi jiwa kredit ekawaktu dan

asuransi jiwa kredit cicilan bulanan. Pada asuransi jiwa kredit ekawaktu, besar

penangguhan yang diberikan pihak asuransi kepada pihak tertanggung (kreditur)

saat terjadi kegagalan pembayaran kredit oleh debitur,sesuai dengan besar

pinjaman awal yang diberikan kreditur pada debitur. Oleh sebab itu, besar benefit

pada perhitungan premi dalam produk asuransi jiwa kredit ini sama setiap

bulannya, maka besar premi tunggal bersih (PTB) dapat dirumuskan sebagai

berikut:

1

. .n

j x

j

PTB b q v

(4)

Satuan waktu yang digunakan dalam perhitungan ini adalah dalam satuan bulan

karena periode pembayaran kredit yang dilakukan debitur setiap bulan. Oleh

karena itu, merupakan nilai diskonto bunga untuk satu tahun, maka nilai diskonto

bunga dikonversi ke dalam bulan, menjadi:

1

. .12

n

j x

j

vPTB b q

1

1. .

12

n

j x

j

PTB b q v

552

1

1

1. .

12

xnx

j xj x

d vb

l v

1

1. .

12

nx

j

j x

Cb

D

Benefit dalam perhitungan ini, besarnya sama setiap bulannya, maka dapat

dirumuskan:

1

( . . )12

x

x

CPTB n b

D (5)

Sedangkan untuk premi kotor (PK) dirumuskan:

1 ( )

PTBPK

L

1( . . )

12

1 ( )

x

x

Cn b

DPK

L

(6)

Pada perhitungan premi kotor ini, biaya-biaya dihitung sesuai tahun masa asuransi

debitur masing-masing. Satuan biaya ( adalah dalam tahun. Hal ini dikarenakan

biaya-biaya yang dihitung dibebankan pertahun masa asuransi debitur. Biaya-biaya

(uji kesehatan, komisi, dan akuisisi) dibebankan hanya di tahun pertama masa

asuransi debitur, kecuali biaya pemeliharaan yang dibebankan pada setiap tahun

selama masa asuransi debitur, dirumuskan menjadi:

1

1( . . )

12

1 ( )

x

x

m

t

t

total

Cn b

DPK

L

L

(7)

dengan:

benefit setiap bulan (sama dengan besar pinjaman awal)

= peluang seorang yang berusia tahun akan meninggal sebelum mencapai

tahun.

1x x x

x

x x

l l dq

l l

,, x

x

x

x

x dvdiC 1)1()1( , dan

x

x

x

x

x viD )1(

= nilai sekarang dari 1 yang dilakukan 1 tahun kemudian

; dengan merupakan tingkat bunga per tahun.

persentase beban/biaya–biaya pada tahun ke- masa asuransi.

Pada asuransi jiwa kredit cicilan bulanan, besar penangguhan yang diberikan pihak

asuransi kepada pihak tertanggung (kreditur) saat terjadi kegagalan pembayaran

kredit oleh debitur sesuai dengan besar sisa pinjaman yang gagal dikembalikan

oleh kreditur pada debitur. Oleh sebab itu, besar benefit pada perhitungan premi

dalam produk asuransi jiwa kredit ini semakin menurun setiap bulannya, maka

553

besar premi tunggal bersih (PTB) dapat dirumuskan:

1

. .n

j x

j

PTB b q v

(8)

dengan:

Satuan waktu yang digunakan dalam perhitungan skripsi ini adalah dalam satuan

bulan karena periode pembayaran kredit yang dilakukan debitur setiap bulan. Oleh

karena itu, dikarenakan nilai merupakan nilai diskonto bunga untuk satu tahun,

maka nilai diskonto bunga dikonversi ke dalam bulan, menjadi:

1

. .12

n

j x

j

vPTB b q

1

1. .

12

n

j x

j

PTB b q v

1

1

1. .

12

xnx

j xj x

d vb

l v

1

1.

12

nx

j

j x

Cb

D

(9)

Sedangkan untuk premi kotor (PK) dirumuskan:

1 ( )

PTBPK

L

1

1( . )

12

1 ( )

nx

j

j x

Cb

DPK

L

(10)

Perhitungan premi kotor ini pada jenis asuransi ini, sama seperti asuransi jiwa

kredit ekawaktu, biaya–biaya dihitung sesuai tahun masa asuransi debitur masing-

masing, maka satuan biaya ( dalam perhitungan ini adalah dalam tahun. Hal ini

dikarenakan biaya-biaya yang dihitung dibebankan pertahun masa asuransi debitur.

Pada makalah ini dilakukan perhitungan premi tunggal bersih dan premi kotor

dalam asuransi jiwa kredit ekawaktu dan asuransi jiwa kredit cicilan bulanan

selama periode 2011. Langkah-langkah perhitungan yang dilakukan penulis

disajikan berikut ini, dilakukan untuk perhitungan premi tunggal bersih dan premi

kotor dalam asuransi jiwa kredit. Tingkat bunga(i) diasumsikan sebagai bunga

tetap. Besarnya bunga yang digunakan dalam perhitungan ini didasarkan pada

besarnya bunga yang digunakan pada tabel CSO 1980, yaitu sebesar 7% per tahun,

. Sedangkan untuk biaya-biaya diasumsikan berdasarkan pada

Tabel 1, yaitu berdasarkan pada biaya-biaya hipotetik pada Teknik Pengelolaan

Asuransi Jiwa.

Berdasarkan data, diketahui maksimal lama peminjaman yang diajukan oleh

debitur adalah 4 tahun ( ), sehingga biaya yang dikeluarkan pada setiap

tahunnya adalah:

554

Rasio biaya (RB) untuk di tiap tahunnya adalah:

untuk : 1 66,36

398,46total

LRB

L

0,166541183RB

untuk : 2 66,36 22,17

398,46total

LRB

L

0,222180394RB

untuk : 3 66,36 22,17 22,17

398,46total

LRB

L

0,277819605RB

untuk : 4 66,36 22,17 22,17 22,17

398,46total

LRB

L

0,333458816RB

Perhitungan premi tunggal bersih dihitung menggunakan persamaan (5) dan premi

kotor menggunakan persamaan (7)

Contoh perhitungan:

Berdasarkan data, diketahui data debitur:

USIA PINJAMAN ANGSURAN T Cx Dx Cx/Dx

20 Rp6.500.000 Rp270.833 24 5.124,529 2.520.660,3 0,002033

Perhitungan premi tunggal bersih dengan menggunakan persamaan (5)

1( . . )

12

x

x

CPTB n b

D , maka:

1(24)(6.500.000)(0,002033)

12PTB

26.429PTB

Perhitungan premi kotor dengan menggunakan persamaan (7)

1

1( . . )

12

1 ( )

x

x

m

t

t

total

Cn b

DPK

L

L

26.429

1 0,222180394PK

33.978,31PK

Jadi, premi tunggal bersih dan premi kotor yang harus dibayarkan pihak

tertanggung untuk debitur berusia 20 tahun dengan besar pinjaman Rp

6.500.000,00 dan lama peminjaman 24 bulan masing-masing adalah Rp 26.426,00

dan Rp 33.978,31. Besar uang pertnggungan yang diberikan pihak asuransi kepada

pihak tertanggung saat terjadi kegagalan pelunasan kredit oleh debitur pada periode

555

berapapun saat masa asuransi adalah sebesar pinjaman awal yang diberikan pihak

bank kepada debitur.

Asuransi Jiwa Kredit Cicilan Bulanan, perhitungan premi tunggal bersih

dihitung menggunakan rumus (9) dan premi kotor menggunakan rumus (10).

Contoh perhitungan:

Berdasarkan data, diketahui data debitur:

USIA PINJAMAN ANGSURAN T Cx Dx Cx/Dx

68 Rp500.000 Rp100.000 5 2.401,64 67.626,56 0,035513

Perhitungan premi tunggal bersih dengan menggunakan persamaan (9)

1

1.

12

nx

j

j x

CPTB b

D

1(0,035513)(500.000 400.000 300.000 200.000 100.000)

12PTB

1(0,035513)(1.500.000)

12

4.439,125

Usia (x

tahun)

Bulan

Debitur (j)

Sisa

Angsuran(bj)

PTB =

68 1 500.000 0,035513

2 400.000 0,035513 1.183,767

3 300.000 0,035513 887,825

4 200.000 0,035513 591,883

5 100.000 0,035513 295,942

TOTAL 4.439,125

Perhitungan premi kotor dengan menggunakan persamaan (10)

1

1( . )

12

1 ( )

nx

j

j x

Cb

DPK

L

4.439,125

1 (0,166541183)PK

5.326,148PK

Lama pinjaman adalah 5 bulan, maka biaya yang dibebankan adalah biaya 1 tahun

karena perhitungan biaya dihitung per tahun masa asuransi debitur. Jadi, premi

tunggal bersih dan premi kotor yang harus dibayarkan pihak tertanggung untuk

debitur berusia 68 tahun dengan besar pinjaman Rp500.000, besar angsuran

Rp100.000 per bulan dan lama peminjaman 5 bulan masing-masing adalah

Rp4.439,125 dan Rp5.326,148.

Semakin besar usia debitur dan semakin lama jangka waktu peminjaman kredit

556

yang diberikan pihak bank, maka semakin besar premi yang harus dibayarkan

pihak tertanggung (bank). Selain itu, besar uang pertanggungan yang diberikan

pihak asuransi kepada pihak tertanggung saat terjadi kegagalan pelunasan kredit

oleh debitur pada suatu periode saat masa asuransi adalah sebesar sisa pinjaman

pada periode tersebut yang belum dilunasi/dibayarkan pihak debitur kepada pihak

bank.

3. Kesimpulan

Kesimpulan yang diperoleh dari hasil penelitian ini adalah :

1. Perhitungan premi tunggal bersih (net single premium) dilakukan dengan

teknik perhitungan nilai Present Value of Future Benefit (PFVB) sesuai dengan

prinsip nilai ekivalen.

2. Perhitungan premi kotor (gross single premium) dilakukan dengan membagi

premi tunggal bersih dengan rasio kerugian yang diizinkan (permisible loss

ratio). Semakin lama jangka waktu peminjaman dan semakin besar usia

debitur, maka semakin besar juga premi yang harus dibayarkan pihak

tertanggung (kreditur).

Referensi

[1] Achdijat, D. 2009. Prinsip-Prinsip Aktuaria Asuransi Jiwa (Online),

(http://elearning.gunadarma.ac.id/docmodul/prinsip_prinsip_aktuaria_asuransi_jiwa/,

diakses 21 Desember 2011).

[2] Achdijat, D. 2009. Teknik Pengelolaan Asuransi Jiwa (Online),

(http://elearning.gunadarma.ac.id/docmodul/teknik_pengolahan_asuransi_jiwa/,diakses

21 Desember 2011).

[3] Bowers, N. L., et.al. 1997. Actuarial Mathematics (2nd ed.). United States of America:

The Society of Actuaries.

[4] Futami, T. 1993. Matematika Asuransi Jiwa 1. Tokyo: Incorporated Foundation

Oriental Life Insurance Cultural Development Center.

[5] PT. Jasa Aktuaria, Pensiun, dan Asuransi. 1984. Pengantar Aktuaria, Dana Pensiun.

Jakarta: Direktur Jenderal Moneter Dalam Negeri

557


PREMI KOTOR SEMI CONTINUOUS ASURANSI

DWIGUNA SINGLE LIFE MULTIPLE DECREMENT

DENGAN TINGKAT BUNGA VASICEK

ACHMAD ZANBAR SOLEH1, LIENDA NOVIYANTI

2, DAN

CAHYADI RUSNANDAR3

1. Departemen Statistika FMIPA Unpad, [email protected]



Abstrak. Rumusan besaran-besaran aktuaria dari sebuah produk asuransi jiwa

melibatkan tiga elemen penting yakni tingkat bunga aktuaria, biaya-biaya, dan tabel

penyusutan populasi (decrement). Formulasi premi kotor pada penelitian ini

merupakan pengembangan dari Larson (1962) dan Bowers (1997) untuk produk

asuransi jiwa dwiguna single life multiple decrement dengan mengasumsikan tingkat

bunga stokastik melalui model Vasicek dan melibatkan biaya operasional diluar premi

bersih yang telah ditetapkan. Selain itu perumusan premi kotor menggunakan

ketentuan semi continuous premium yang mengharuskan pemegang polis membayar

premi kotor setiap awal periode (bulanan, semesteran, atau tahunan) untuk

mendapatkan manfaat proteksi dari setiap kejadian di masa depan tepat sesaat setelah

terjadinya decrement. Selain itu apabila pemengang polis tidak mengalami decrement

apapun selama periode asuransi maka perusahaan asuransi berkewajiban

mengembalikan sejumlah dana kepada pemegang polis sesuai dengan perjanjian yang

tertuang dalam polis asuransi. Simulasi perhitungan premi kotor produk asuransi

dwiguna ini ditetapkan pada seseorang berusia x tahun dengan tabel decrement diskrit.

Kata kunci: Single life multiple decrement, semi continuous premium, vasicek

1. Pendahuluan

Jenis asuransi jiwa yang banyak dikembangkan dalam penjualan produk

asuransi adalah dwiguna. Produk ini memberikan dua manfaat pada pemegang

polis yakni saat pemegang polis meninggal dan manfaat lainnya saat pemegang

polis masih hidup saat tahun ke-n [1]. Salah satu daya tarik seseorang untuk

membeli sebuah produk asuransi jiwa adalah banyaknya jenis layanan klaim yang

ditawarkan. Penelitian ini mengembangkan produk asuransi jiwa dwiguna dengan

beberapa penyebab seseorang dapat melakukan klaim yang selanjutnya dinamakan

produk Asuransi Jiwa Dwiguna Single Life Multiple Decrement (DSLMD). Produk

DSLMD bersifat individual yang artinya perusahaan asuransi hanya memberikan

proteksi kepada satu orang individu saja dengan manfaat yang diberikan dibedakan

berdasarkan penyebabnya (decrement) yang bersifat mutually exclusive (artinya

setiap decrement saling independen dan klaim dicairkan perusahaan akibat

decrement yang pertama kali diajukan). Selain itu, produk ini juga diberikan

manfaat lainnya jika tertanggung hidup sampai dengan akhir masa asuransi.

558

Besaran aktuaria yang penting diketahui untuk memasarkan produk

asuransi jiwa DSLMD adalah premi. Premi merupakan dana yang dibayarkan

pemegang polis kepada perusahaan asuransi sebagai modal untuk membayar klaim

di kemudian hari. Rumusan premi dari sebuah produk asuransi jiwa melibatkan tiga

elemen penting yakni tingkat bunga aktuaria, biaya-biaya, dan tabel penyusutan

populasi (decrement). Premi yang dibayarkan pemegang polis kepada perusahaan

asuransi (premi kotor) akan digunakan untuk membayar manfaat akibat klaim dari

pemegang polis dan juga membayar setiap biaya yang dikeluarkan perusahaan

asuransi untuk kepentingan akuisisi tahun pertama, biaya pemeliharaan polis, biaya

komisi agen dan biaya lain-lain. Dengan kata lain premi kotor merupakan

penjumlahan dari premi bersih dengan biaya.

Produk asuransi jiwa DSLMD bersifat long term (jangka panjang) n tahun

sehingga penentuan premi akan sangat dipengaruhi oleh faktor diskon yang

bergantung pada nilai tingkat bunga. Tingkat bunga konstan tidak mencerminkan

fenomena keuangan yang bersifat dinamis. Sehingga untuk menanggulangi hal

tersebut digunakan tingkat bunga stokastik yang diharapkan memberikan

pendekatan teori lebih akurat dalam menggambarkan fenomena perubahan yang

terjadi dari nilai bunga aktuaria.

Model tingkat suku bunga stokastik pada penelitian ini adalah Vasicek.

Model suku bunga Vasicek memperhitungkan fenomena mean reverting yakni

fenomena jika bunga terlalu tinggi maka dia akan bergerak turun mendekati rata-

rata tingkat bunga dan sebaliknya jika bunga terlalu rendah maka dia akan bergerak

naik ke arah rata-ratanya. Dengan kata lain, tingkat bunga hanya bergerak pada

range terbatas dan akan konvergen pada rata-ratanya untuk waktu yang semakin

lama. Hal ini penting untuk diperhatikan dalam menentukan besarnya premi kotor

yang harus dibayarkan pemegang polis pada perusahaan asuransi baik untuk

proteksi decrement maupun untuk menanggulangi setiap biaya yang harus

dikeluarkan perusahaan setiap periode waktunya.

Hal lain yang perlu diperhitungkan dalam penentuan premi adalah tata cara

pembayaran premi yang bersifat diskrit yakni dibayarkan setiap awal tahun dan tata

cara pembayaran klaim; apakah dibayarkan saat seseorang mengalami decrement

atau ditunda hingga akhir tahun. Penelitian ini memilih pembayaran manfaat klaim

tepat saat pemegang polis mengajukan klaim akibat suatu decrement dengan

pembayaran premi setiap awal tahun (sifat semi continous premium [1])

berdasarkan tabel decrement. Transformasi perhitungan premi tunggal bersih dari

bentuk diskrit ke bentuk kontinu dilakukan pada penelitian ini dikarenakan

penggunaan tabel decrement yang bersifat diskrit.

Berdasarkan informasi di atas maka tujuan dari penelitian ini adalah

merumuskan premi kotor yang dibayarkan flat oleh pemegang polis setiap

tahunnya dengan memperhitungkan biaya dan tingkat bunga stokastik yang

didasarkan pada tabel decrement.


2.1 Model Vasicek

Pada tahun 1977, Oldrick Vasicek memperkenalkan model suku bunga

abrigate yaitu Vasicek. Abrigate adalah suatu transaksi dimana dua buah asset

559

yang sama dijual dengan harga yang berbeda pada waktu yang sama sehingga

memungkinkan untuk memperoleh keuntungan tanpa adanya investasi. Atau

dengan kata lain, abrigate model memungkinkan menghasilkan keuntungan tanpa

risiko. Vasicek mengusulkan model suku bunga free-risk berikut, dimana r(t)

berdasarkan Stochastic Differential Equation (SDE) (Cairns [2]).

= (1)

dengan adalah perubahan tingkat suku bunga per satuan tahun, adalah

tingkat suku bunga pada saat t, adalah drift factor, menunjukkan

rata-rata tingkat suku bunga dalam jangka panjang (mean reversion level),

merupakan kecepatan tingkat suku bunga pada saat t, adalah volatilitas dari

tingkat suku bunga jangka pendek dan adalah proses wiener dan , , > 0.

Pada Persamaan (1) terdapat ukuran laju atau kecepatan perubahan tingkat

bunga yang disebut drift yaitu . Apabila maka drift akan

bernilai negatif dan artinya tingkat bunga akan menurun menuju nilai equilibrium

nya. Begitupun sebaliknya terjadi ketika (Zeytun dan Gupta [6]).

Dengan mengintegralkan persamaan Vasicek pada Persamaan (1) dari u

hingga t diperoleh rumus sebagai berikut :

t (2)

t (3)

Jika , maka Persamaan (3) menjadi :

(4)

Dengan menghitung ekspektasi dari bentuk integral pada Persamaan (4) dan

ekspektasi dari integral Ito adalah nol, maka diperoleh :

, (5)

sehingga didapatkan rata-rata dan varians dari berturut-turut sebagai berikut :

dan (6)

(7)

Jika , maka untuk setiap t. Dan jika , maka

. Hal ini membuktikan sifat mean reversion, yaitu jika t

menunjukkan waktu jangka panjang maka rata-rata dari tingkat suku bunga akan

menuju mean reversion level.

Estimasi parameter dari persamaan [1] dengan metode MLE

dapat dilakukan dengan memaksimumkan fungsi log-likelihood terhadap

parameternya dengan cara:

, (8)

Karena penyelesaian optimal dari fungsi parameter log-likelihood tersebut tidak

560

dapat diselesaikan secara eksplisit maka digunakan suatu metode optimasi

algoritma Nelder-Mead Simplex.

Setelah dilakukan estimasi parameter model Vasicek, tahap selanjutnya ialah

menentukan tingkat suku bunga model Vasicek dengan simulasi tingkat suku

bunga secara diskrit. Metode yang digunakan dalam simulasi ini ialah Metode

Milstein yang merupakan merupakan pengembangan Lemma Ito berdasarkan deret

Taylor. Metode ini digunakan untuk memperoleh solusi numerik dari persamaan

diferensial stokastik. Simulasi ini didasarkan pada proses Wiener dengan

membangkitkan sederetan variabel acak berdistribusi normal yang menyatakan

proses Wiener di waktu t yang diskrit.

2.2 Premi Tahunan Bersih Semi Continuous Produk Asuransi DSLMD

Produk asuransi jiwa DSLMD merupakan gabungan dari asuransi jiwa

berjangka dan asuransi jiwa pure endowment. Asuransi ini akan memberikan

manfaat jika pemegang polis meninggal dunia dalam masa asuransi (n tahun) atau

memberikan manfaat pada akhir tahun ke-n jika pemegang polis masih hidup

sampai n tahun masa asuransi.

Misalkan manfaat yang akan diberikan oleh produk DSLMD berdasarkan

pada empat penyebab (multiple decrement) berikut ini:

1. yaitu pembayaran santunan keluarga diberikan jika tertanggung

meninggal dunia bukan karena kecelakaan sebesar 100% Uang

Pertanggungan (UP).


meninggal dunia karena kecelakaan sebesar 200% Uang Pertanggungan

(UP).


mengalami cacat total karena kecelakaan sebesar 100% Uang Pertanggungan

(UP).

4. yaitu pembayaran santunan keluarga berupa biaya rawat inap yang akan

diberikan jika tertanggung mengalami suatu kecelakaan sebesar 10% Uang

Pertanggungan (UP).

Selain itu akan diberikan manfaat lainnya sebesar 100% Uang Pertanggungan (UP) jika tertanggung hidup sampai dengan akhir masa asuransi. Perumusan premi tunggal bersih dari produk asuransi jiwa DSLMD adalah sebagai berikut:

(9)

dengan

dan diperoleh berdasarkan model Vasicek

561

: Peluang seseorang yang berumur tahun akan meninggal bukan

karena kecelakaan sebelum mencapai usia .

: Peluang seseorang yang berumur tahun akan meninggal karena

kecelakaan sebelum mencapai usia .

: Peluang seseorang yang berumur tahun akan mengalami cacat total

sebelum mencapai usia .

: Peluang seseorang yang berumur tahun akan mengalami rawat inal

karena kecelakaan sebelum mencapai usia .

: Peluang seseorang berusia x tidak mengalami decrement apapun sampai

dengan usia x+k

Seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya bahwa produk ini akan

memberikan manfaat decrement tepat sesaat setelah tertanggung mengalami suatu

decrement maka perumusan premi tunggal bersihnya diperoleh dari transformasi

premi tunggal bersih bentuk diskrit menjadi premi tunggal bersih bentuk kontinu

dengan menggunakan asumsi UDD (Uniform Distribution Death) berikut ini [2].

. (10)

Dalam menentukan premi tahunan maka perlu diketahui bagaimana ketentuan cicilan preminya selama masa asuransi agar dapat dihitung anuitas hidupnya. Pada produk DSLMD ini jenis anuitas hidup yang digunakan adalah anuitas awal berjangka n tahun. Jenis anuitas hidup tersebut adalah anuitas dengan pembayaran sebesar Rp 1 satuan yang dilakukan pada tiap awal periode selama jangka waktu n tahun dimana pembayaran premi bergantung kepada hidup matinya seseorang dan akan dihentikan jika sudah melewati n tahun meskipun orangnya masih hidup. Sesuai dengan tingkat bunga bergerak model Vasicek; (r(t)) yang telah dirumuskan sebelumnya maka anuitas hidup awal tahun adalah sebagai berikut:

(11)

Selanjutnya, premi tahunan bersih untuk produk DSLMD bentuk semi kontinu;

adalah sebagai berikut :

(12)

562

2.3 Premi Tahunan Kotor Semi Continuos Produk Asuransi DSLMD

Misalkan biaya-biaya yang terlibat dalam perhitungan premi kotor adalah

biaya akuisisi tahun pertama ( ) yang berlaku hanya pada tahun pertama

pembayaran premi saja, selanjutnya biaya pemeliharaan polis ( ) berlaku selama

masa pembayaran premi, biaya lain-lain ( ) yang berlaku selama masa

pembayaran premi, dan biaya komisi agen ( ) yang berlaku hanya pada tahun

pertama pembayaran premi. Adapun asumsi besaran biaya adalah sebagai berikut:

Biaya akuisisi tahun pertama ( ) : 5 ‰ UP

Biaya pemeliharaan polis ( ) : 2 ‰ UP.

Biaya lain-lain ( ) : 5 % G.

Biaya komisi agen ( ) : 14% G

dengan G menyatakan Premi kotor (G) yang dirumuskan sebagai penjumlahan

premi bersih dengan biaya. Sehingga G dapat dituliskan kembali menjadi:

G = Premi bersih tunggal + + ( . ) + ( . G . ) + 14% G (13)

Dengan melakukan perhitungan secara aljabar maka Persamaan (13) menjadi

Persamaan (14) berikut ini.

(14)

Selanjutnya dengan mengsubstitusikan persamaan (10) dan persamaan (11) ke

persamaan (14) maka diperoleh premi kotor tahunan dari produk DSLMD semi

kontinu adalah sebagai berikut.

(15)

2.4 Simulasi Perhitungan Premi Kotor Semi Continuous

Produk Asuransi DSLMD

Misalkan awal tahun 2016 seorang pemegang polis berusia 35 tahun

membeli produk Asuransi Jiwa DSLMD dengan masa proteksi 10 tahun dan uang

pertanggungan Rp50.000.000,00. Selanjutnya akan dihitung besar premi yang

harus dibayarkan tertanggung secara flat selama 10 tahun dengan

563

mempertimbangkan adanya biaya-biaya dalam polis serta tingkat suku bunga

stokastik dengan model Vasicek.

Dengan menggunakan algoritma Nelder-Mead Simplex diperoleh estimasi

parameter dari r(t) untuk model Vasicek; , dan berturut-turut adalah sebesar

0.9082, 0.0709 dan 0.0360. Berdasarkan nilai estimasi parameter tersebut diperoleh

tingkat suku bunga diskrit model Vasicek dari tahun 2016 sampai dengan tahun

2026 seperti pada Tabel 1 untuk selanjutnya digunakan dalam menghitung besar

premi kotor produk asuransi DSLMD.

Tabel 1. Hasil Simulasi tingkat bunga konstan dan Vasicek

berdasarkan Suku Bunga Bank Indonesia

Tabel 1 di atas memberikan informasi mengenai pergerakan tingkat bunga pada tahun 2016 adalah sebesar 7,79% lebih tinggi nilainya apabila menggunakan tingkat bunga konstan yakni sebesar 7,50%. Selain itu angka tingkat bunga akan digunakan dalam perhitungan faktor diskon; yang sangat mempengaruhi besaran premi kotor yang harus dibayarkan tertanggung disetiap awal tahun.

Tabel 2. Besaran Aktuaria untuk seseorang berusia 35 tahun

Dengan masa proteksi 10 tahun

Perhitungan premi bersih tahunan menggunakan Persamaan (12) menginformasikan bahwa besar premi tahunan (flat selama 10 kali pembayaran) yang akan digunakan untuk memproteksi pemegang polis dari setiap decrement adalah sebesar Rp3.402.436,07 per tahun untuk bunga stokastik model Vasicek dan Rp3.249.610,96 per tahun untuk bunga konstan. Premi bersih tahunan dengan bunga stokastik model Vasicek lebih besar dari bunga konstan. Dengan menggunakan Persamaan (15) juga diperoleh informasi bahwa premi kotor tahunan

564

yang harus dibayarkan dengan bunga Vasicek lebih besar daripada dengan menggunakan bunga konstan. Namun demikian penggunaan model Vasicek dapat membantu perusahaan asuransi dalam mengestimasi nilai uang pada masa yang akan datang dengan fenomena yang dinamis yakni berubah-ubah nilainya setiap tahun.

3. Kesimpulan

Perhitungan premi kotor tahunan semi continuous dari produk asuransi

DSLMD dengan pendekatan bunga stokastik model Vasicek memberikan kepastian

secara probabilistik kepada perusahaan asuransi jiwa atas pergerakan nilai bunga

yang berubah-ubah setiap waktunya. Model Vasicek baik digunakan dalam

mengestimasi nilai bunga untuk produk asuransi jiwa yang bersifat long term.

Dengan demikian penggunakan tingkat bunga Vasicek menjadi suatu pertimbangan

bagi perusahaan asuransi jiwa yang selama ini masih menggunakan tingkat bunga

aktuaria bernilai konstan dalam menetapkan premi yang harus dibayarkan

pemegang polis setiap tahunnya.

Referensi

[1] Bowers, Newton L., 1997, Actuarial Mathematics, The Society of Actuaries.

[2] Cairns, Andrew J. G., 2004, Interest Rate Models An Introduction, Princeston

University Press : United States of America.

[3] Futami, Takashi, 1994, Matematika Asuransi Jiwa Bagian I,

Incorporated Foundation, Jepang.

[4] Larson, Robert E., Gaumnitz, Erwin A., 1962, Life Insurance Mathematics,

New York. John Wiley & Sons, Inc. London

[5] Ross, S.M., 1983, Stochastics Processes, Berkeley : John Wiley & Sons, Inc. [6] Zeytun dan Gupta. 2007. A Comparative Study of the Vasicek and the CIR Model of

the Short Rate. Berichte des Fraunhofer ITWM, Nr. 124

565

ALJABAR-ANALISIS


566

Prosiding SNM 2017

Al jabar -Anal is is , Hal 566 -585

PENYAJIAN KODE GENETIK STANDAR DALAM

RUANG BERDIMENSI ENAM BERDASARKAN BASA

KUAT NUKLEOTIDA

RIYAN ADRIYANSYAH1, ISAH AISAH

2, EDI KURNIADI

3

1 Departemen Matematika FMIPA UNPAD,[email protected]



Abstrak.Setiap sel organisme mengandung materi genetik yang dapat

mewariskan sifat kepada keturunannya. Materi genetik ini dikenal sebagai gen

yang terdapat dalam kromosom di dalam nukleus.Komponenpenyusunutama

gen adalah DNA (Deoxyribonucleic Acid). DNA berperandalammembentuk

RNA (Ribonuclueic Acid).

Kode genetik standar adalah bahasa pengkodean gen dalam tubuh untuk

menghasilkan asam amino. Kode genetik standar juga merupakan pasangan

triplet dari basa-basa nitrogen dalam RNA. Jika basa-basa nitrogen dalam

RNA dihimpun kedalam himpunan maka pasangan triplet dari

basa tersebut merupakan .

Selanjutnya dengan pencocokan , , , dan

maka himpunan ini merupakan ruang vektor atas ℤ dan juga

isomorfik dengan ℤ . Tiga himpunan yang memuat semua partisi

membentuk grup kuosien, dengan bantuan software …Grup Kusien ini dapat

direpresentasikan sebagai hypercube enam dimensi sehingga diperoleh 24

penyajian kode genetik standar. Dalam makalah ini hanya akan disajikan

representasinya berdasarkan klasifikasi basa kuat nukleotida.

Kata kunci: Kode Genetik Standar, Grup Euclidean, Transformasi Geometri, Grup

Ortogonal.

1. Pendahuluan

1.1 Latar Belakang Masalah

Setiap sel organisme mengandung materi genetik yang dapat mewariskan

sifat kepada keturunannya. Materi genetik ini dikenal sebagai gen yang terdapat

dalam kromosom di dalam nukleus. Dalam gen tersebut terdapat sebuah kode

genetik yang menentukan sifat suatu organisme.

Komponen penyusun utama gen adalah DNA (Deoxyribonucleic Acid).

DNA ini terdapat di dalam sebuah inti sel dalam makhluk hidup. DNA berperan

dalam membentuk RNA (Ribonuclueic Acid). RNA ini bertugas untuk membentuk

protein. Proses ini dinamakan sintesis protein. Sintesis protein berlangsung dalam

suatu sel makhluk hidup. Molekul pembentuk DNA adalah gula pentosa

(deoksiribosa), fosfat ( ), basa nitrogen yang terdiri dari purin (guanin (G) dan

567

adenine (A)) serta pirimidin (timin (T) dan sitosin (C)). Karena DNA membentuk

RNA maka molekul pembentuk RNA sama dengan DNA hanya berbeda pada jenis

basa pirimidinnya saja yaitu urasil (U) dan sitosin (C) [7].

Kode genetik standar merupakan hasil pemikiran para ilmuwan biologi

pada masanya sebagai suatu penyajian gen yang disesuaikan dengan kebutuhan

tubuh manusia akan protein. Protein ini dihasilkan dari terjemahan rantai kode

triplet yang dibawa oleh RNA. Kode triplet ini dibentuk dari basa – basa nitrogen

yang dimiliki oleh RNA yaitu G,A,U, dan C sehingga banyak dari kode triplet

adalah buah. Kode triplet ini menjadi bahasa pengkodean dalam gen dan

kode triplet ini disebut kode genetik standar.

Dalam struktur aljabar, kode genetik ini dapat disajikan dalam ruang

berdimensi tiga berdasarkan pencocokan kumpulan basa nitrogen dalam RNA.

Pertama himpunan N dalam RNA dicocokan dengan himpunan

ℤ ℤ [1]. Kedua himpunan N dapat dicocokan

dengan himpunan ℤ ℤ [5]. Setelah proses

pencocokan, himpunan N tersebut membentuk lapangan Galois empat unsur yang

dinotasikan dengan GF(4), sehingga dengan transformasi geometri yang

bersesuaian, NNN adalah himpunan semua 64 kodon yang dapat disajikan ke

dalam ruang berdimensi tiga [5].

Dalam hal lain, himpunan NNN dapat disajikan ke dalam ruang berdimensi

enam. Hal ini dapat dilakukan karena himpunan NNN membentuk struktur yang

isometrik dengan hypercube ℤ [5]. Pada penelitian ini hanya akan ditampilkan

representasi Kode Genetik Standar sebagai Hypercube dimensi enam berdasarkan

klasifikasi basa kuat nukleotida


Definisi 2.1. [6] Diberikan dengan dan adalah lapangan. Grup

Ortogonal adalah

Definisi 2.2. [2]Diberikan adalah lapangan dan adalah grup ortogonal.

Grup Euclidean adalah

Definisi 2.3 [4] Misalkan bilangan bulat prima dan bilangan bulat positif,

maka lapangan yang terdiri dari unsur adalah lapangan galois dan dinotasikan

.

Definisi 2.4. [4]Misal dikatakan ruang vektor atas lapangan jika adalah

grup abelian terhadap operasi penjumlah dan untuk setiap dan

didefinisikan sebuah unsur dan memenuhi kondisi berikut:

1.

2.

568

3.

4.

Untuk setiap dan di mana 1 mewakili unsur satuan di di bawah

operasi perkalian.

Definisi 2.5.[5] Untuk setiap fungsi komposisi dengan bentuk disebut

transformasi affine dengan adalah transformasi linear dari suatu ruang vektor

dan adalah translasi yang bersesuaian dengan vektor .

.

2.1 Penyajian Enam Dimensi Kode Genetik Standar

Himpunan ℤ merupakan lapangan, sehingga himpunan yang dibentuk

oleh ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ ℤ merupakan ruang vektor atas

lapangan ℤ . Himpunan ℤ memiliki basis standar yaitu ,

, , , , dan

. Akibatnya, dimensi dari himpunan ℤ adalah enam.

Himpunan ℤ biasa disebut hypercube enam dimensi.

Seperti yang telah dijelaskan dalam Subbab 2.2.1 bahwa himpunan

dapat dicocokan dengan himpunan ℤ ℤ yaitu , , , dan . Akibatnya himpunan menjadi grup terhadap penjumlahan.

Selanjutnya juga, himpunan kode genetik standar mempunyai struktur yang

isomorfik dengan himpunan ℤ , sehingga himpunan merupakan ruang

vektor atas lapangan ℤ . Dengan demikian, basis standar dari adalah

, , , , , dan

dan dimensi dari himpunan adalah enam, sehingga

terbentuklah hypercube enam dimensi dari himpunan .

Gambar 2.1. Gambar Hypercube enam dimesi dari himpunan NNN

569

2.2 Grup Euclidean ℤ

Himpunan ℤ merupakan lapangan, sehingga dapat dibentuk himpunan

ℤ yang merupakan grup ortogonal. Selanjutnya seperti yang telah dijelaskan

pada subbab 2.4 tentang grup Euclidean, bahwa grup Euclidean memerlukan suatu

grup ortogonal, sehingga dapat dibentuk suatu himpunan baru yaitu

ℤ ℤ ℤ

Sifat 2.6. Himpunan ℤ merupakan subgrup dari grup affine ℤ . Bukti. Misalkan ℤ dan ℤ

. Grup affine ℤ adalah semua

transformasi affine ℤ ℤ

dengan , untuk setiap ℤ

. Karena ℤ merupakan subset dari ℤ , maka ℤ merupakan

subset dari ℤ . Berdasarkan Tabel 4.1. ℤ merupakan grup terhadap

perkalian. Akibatnya, ℤ merupakan subgrup dari ℤ .

Himpunan isomorfik terhadap ℤ . Akibatnya setiap unsur dari

ℤ yaitu akan memberikan transformasi affine untuk himpunan .

Transformasi affine dari didefinisikan oleh :

, untuk setiap .

Anggota dari himpunan ℤ adalah

dan

, serta anggota dari

ℤ ℤ adalah , , , dan . Sehingga anggota dari ℤ

adalah

,

,

,

,

,

,

, dan

.

Berdasarkan Tabel Cayley bahwa setiap unsur di himpunan ℤ

tertutup dan asosiatif terhadap perkalian, memiliki identitas terhadap perkalian di

ℤ yaitu

, dan setiap unsur di ℤ memiliki invers terhadap

perkalian yaitu,

570

Sehingga menurut definisi ℤ adalah grup terhadap perkalian.

2.3 Tiga Himpunan yang Memuat Semua Partisi Berdasarkan Sifat Kimia

Nukleotida

Berdasarkan sifat kimia nukleotida, tiga himpunan yang memuat semua

partisi yang digunakan adalah himpunan

dan . Untuk himpunan pertama yaitu

mempartisi himpunan berdasarkan klasifikasi basa kuat nukleotida yang

membentuk tiga ikatan hidrogen dan basa lemah nukleotida yang

membentuk dua ikatan hidrogen . Untuk himpunan kedua yaitu

mempartisi berdasarkan klasifikasi kimia nukleotida yaitu amino nukleotida

dan keto nukleotida . Himpunan ketiga yaitu mempartisi

berdasarkan jenis basa nukleotida pirimidin dan purin .

2.4 Penyajian Kode Genetik Standar Berdasarkan Basa Kuat Nukleotida

Berikut akan disajikan penyajian kode genetik standar secara aljabar

berdasarkan yang telah dipaparkan sebelumnya beserta

penyajian geometri hypercube dari himpunan .

Pencocokan awal adalah urutan yang akan dikaitkan dengan

himpunan . Dalam himpunan ini matriks yang digunakan untuk transformasi

awal adalah matriks

atau

Dengan memilih matriks

sebagai transformasi awal sehingga urutan akan tetap menjadi

. Selanjutnya dengan menggunakan unsur dari grup Euclidean ℤ

yaitu

,

,

,

,

,

, dan

pada

pengurutan awal akan dihasilkan , , ,

, , , , dan . Sehingga ada

delapan perubahan pengurutan berdasarkan .

Perubahan pertama dilakukan dengan unsur grup Euclidean yang pertama

yaitu

terhadap pengurutan awal . Sesuai dengan

pencocokan sebelumnya yaitu dan

sehingga didapat transformasi sebagai berikut,

Untuk perubahan basa

571




Sehingga pencocokan awal tidak mengalami perubahan oleh transformasi

.

Dengan menggunakan bantuan program yang dibuat dengan visual studio

2012 dan Geogebra 5.0 dapat dilihat perubahan secara geomerti dalam ruang

berdimensi enam.

Berikut adalah gambar geometri dari perubahan oleh transformasi

dalam ruang berdimensi enam melalui dua kubus atau empat

dimensi yang dapat dipandang sebagai subset dari hypercube .

Gambar 2. 2. Perubahan menjadi

Perubahan kedua dilakukan dengan unsur grup Euclidean yang pertama

yaitu

terhadap pengurutan awal .



572



Sehingga pencocokan awal mengalami perubahan oleh transformasi

yaitu menjadi .


dalam ruang berdimensi enam melalui dua kubus atau empat

dimensi yang dapat dipandang sebagai subset dari hypercube .

Gambar 2. 3. Perubahan menjadi

Selanjutnya, dengan hal yang sama maka perubahan yang dihasilkan

dengan unsur Euclidean

,

,

,

,

, dan

secara berurut menjadi

, , , , , dan .


,

,

,

,

, dan

secara berurut dalam ruang berdimensi enam

melalui dua kubus atau empat dimensi yang dapat dipandang sebagai subset dari

hypercube .

573

Gambar 2.4. Perubahan menjadi



574



575


Untuk lebih jelasnya berikut adalah 8 penyajian kode genetik standar

dalam bentuk tabel.

Tabel Penyajian Kode Genetik Standar dalam Aljabar

Partisi Matriks Unsur ℤ Perubahan Pengurutan

576

3. Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan sebelumnya, dapat diambil kesimpulan bahwa

dengan pencocokan himpunan dengan himpunan ℤ ℤ , maka himpunan

membentuk struktur ruang vektor biner atas lapangan ℤ dan isomorfik

dengan ℤ yang bisa disebut dengan hypercube enam dimensi.

Himpunan ℤ merupakan subgrup dari grup affine ℤ . Sehingga

unsur dari ℤ dapat memberikan transformasi affine terhadap himpunan .

Selanjutnya dengan himpunan grup Euclidean ℤ beserta tiga himpunan yang

memuat semua partisi serta matriks dimana ketiga matriks tersebut

adalah anggota dari grup ℤ maka diperoleh 8 penyajian hypercube enam

dimensi yang berbeda dan dengan software Visual Studio 2012 dan

GeoGebra 5.0 dapat membantu melihat visualisasinya secara geometri.

Referensi

[1] A.Jimenez Montano, M., la, C. R., Basanez, M., & Poschel, T. (1996). On the

Hypercube Structure of the Genetic Code. World Scientific, 445. [2] Baez, J. (2008). The Euclidean Group.

[3] Birkhoff, G. (2012). The Orthogonal and Euclidean Group. In A Survey of Modern

Algebra (p. 272). New York: Macmillan Publishing Co., inc.

[4] Galian, J. A. (2010). Contemporary Abstract Algebra (7nd ed.). USA.

[5] Jose, M. V., R.Morgado, E., Sanchez, R., & Govezensky, T. (2012). The 24

Possible Algebraic Representation of the Standard Genetic Code in Six or Three

Dimensions. Advanced Studies in Biology, 119-152..

[6] Procesi, C. (2006). Orthogonal and Symplectic Groups. In S. Axler, & K. Ribet

(Eds.), Lie Groups An Approach Through Invariants and Representations (p. 117).

North America: Spinger.

[7] Rachmawati, F., Urifah, N., & Wijayati, A. (2009). Materi Genetik. In Erminawati

(Ed.), Biologi (pp. 42-53). Jakarta: Pusat Perbukuan.

577

Prosiding SNM 2017 Aljabar-Analisis, Hal 577-583

INTEGRAL MONTE CARLO

EDDY DJAUHARI

Departemen Matematika FMIPA Universitas Padjajaran

Jalan Raya Bandung-Sumedang Km 21 Tlp/Fax 022-7794696, Jatinangor, 45363

Email : [email protected]

Abstrak: Nilai eksak dari integral tentu seringkali tidak bisa diperoleh karena antiderivatif dari fungsi

yang diintegralkan seringkali tidak bisa diperoleh. Ada beberapa metode yang dapat digunakan untuk

mencari nilai hampiran dari integral tentu tersebut secara numerik. Dalam makalah ini penulis

membahas salah satu metode yaitu Integral Monte Carlo. Metode ini memanfaatkan distribusi

seragam U (0,1) dan menggunakan hukum bilangan besar sebagai landasan teori.

Kata kunci : Teorema Dasar Kalkulus II, Pengintegralan Numerik, Distribusi Seragam, Hukum

Bilangan Besar.

1. Pendahuluan

Menurut Teorema Dasar Kalkulus II ([I]), jika suatu fungsi f kontinu pada suatu

selang tertutup [a,b] dan F adalah suatu antiderivatif dari f pada [a,b

Tetapi terdapat banyak integral tentu yang tidak dapat dicari bila menggunakan

Teorema Dasar Kalkulus karena anti derivatif dari fungsi yang akan diintegralkan,

yaitu F(x) tidak dapat ditentukan. Contohnya, jika fungsi yang diintegralkan

adalah,

Untuk mengatasi masalah ini digunakan pengintegralan numerik. Dengan

pengintegralan numerik nilai integral yang diperoleh merupakan nilai hampiran.

Ada beberapa metode yang umum digunakan misalnya metode trapesium dan

metode Simpson. Berikut ini dibahas metode lain yang dapat dipakai untuk

mencari nilai hampiran dari integral tentu yakni metode Integral Monte Carlo.

578

2. Landasan Teori

Integral Monte Carlo memanfaatkan distribusi seragam U dan Hukum

Bilangan Besar (The Law of Large Numbers).

Distribusi Seragam U(0,1) ([3])

U

Jadi tidak

lain adalah integral dari pada interval [0,1]. Sedangkan ekspektasi

Integral tentu dari suatu fungsi dengan , tidak lain adalah nilai

ekspektasi dari fungsi tersebut.

Nilai integral tentu dari suatu fungsi g(x) untuk 0 < x < 1 dapat dihampiri dengan

nilai rata-rata dari

g( U

Dalam perhitungan integral tentu yang batas – batas pengintegralannya bukan

[0,1], dilakukan transformasi sehingga batas pengintegralannya menjadi [0,1].

Untuk itu perhatikan kasus-kasus berikut :

maka diperoleh :

Sehingga diperoleh :

579

Pertama definisikan fungsi baru yaitu

Hukum Bilangan Besar ( The Law of Large Numbers ) : ([3])

Misalkan suatu sampel acak berukuran n dari suatu distribusi yang

mempunyai mean dan variansi

dengan U

Teknik Meminimumkan Galat

Salah satu teknik untuk mengurangi galat dalam hasil perhitungan dengan

menggunakan metode ini adalah sebagai berikut :

Sampel acak yang akan digunakan sebagai acuan dalam menghitung integral tentu,

misal berasal dari X ~ U(0,1), dibagi ke dalam dua bagian, dimana setengah

bagian pertama merupakan sampel yang dibangkitkan dari U(0,1), misalkan ,

i=1,2,3,... dan setengah yang lain nilainya adalah 1 - dan ini merupakan sampel

acak dari U(0,1) juga. Dengan menggunakan teknik ini terlihat bahwa galat yang

dihasilkan dari metode ini relatif kecil. Seperti terlihat pada contoh 1.

580

3. Contoh Perhitungan

Berikut adalah contoh-contoh perhitungan integral tentu dengan menggunakan

Integral Monte Carlo. Semua perhitungan dikerjakan dengan menggunakan

MATLAB.

Hukum Bilangan Besar :

Jika diambil nilai n yang cukup besar. Prosedur perhitungannya adalah sebagai

berikut :

1. Bangkitkan nilai sampel dengan cara: bangkitkan 10.000 nilai sampel

, dimana 5.000 nilai sampel , i=1,2,..., 5000 dibangkitkan dari sampel

acak U(0,1), sedangkan 5.000 nilai sampel

dibangkitkan dari 1- .

2. Hitung nilai f( . Untuk contoh no. (1) berturut-turut diambil

3. Hitung nilai dari

.

Dipilih replikasi 1000 (percobaan dilakukan 1000 kali, kemudian diambil nilai

rata-ratanya).

Hasil perhitungan adalah sebagai berikut :

581

Tabel 1. Hampiran integral tentu menggunakan Integral Monte Carlo

Nilai Hampiran 0.3333 0.3413

Menggunakan Teorema Dasar Kalkulus II, diperoleh nilai eksak :

Prosedur perhitungan :

1. Bangkitkan 10.000 nilai sampel ( dimana 5.000 nilai sampel

dibangkitkan dari sampel acak U(0,1), sedangkan

5.000 nilai sampel

dibangkitkan dari Kemudian bangkitkan nilai sampel

dari dari sampel acak U(0,1), sedangkan 5000 nilai sampel

dibangkitkan dari .

2.

582

Dipilih replikasi 1000. Hasil perhitungan adalah sebagai berikut :

Contoh 3 : Dibuat Tabel Normal (0,1) dengan menggunakan Integral Monte Carlo.

Pada tabel tersebut akan dihitung nilai dari

untuk nilai n yang cukup besar, dengan sampel acak yang dibangkitkan dari

U(0,1).

Dengan mengambil n = 10.000 dan replikasi = 360 diperoleh hasil sebagai

berikut :

Tabel 2. Tabel normal (0,1)

Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0 0.004 0.008 0.012 0.016 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359

0.1 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753

0.2 0.0793 0.0832 0.0871 0.091 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141

0.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.148 0.1517

0.4 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.17 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879

0.5 0.1915 0.195 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.219 0.2224

0.6 0.2257 0.2291 0.2324 0.2356 0.2389 0.2421 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549

0.7 0.258 0.2611 0.2642 0.2673 0.2703 0.2734 0.2764 0.2793 0.2823 0.2852

0.8 0.2881 0.291 0.2939 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3105 0.3132

0.9 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3314 0.3339 0.3364 0.3389

1.0 0.3413 0.3437 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.3621

1.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3707 0.3728 0.3749 0.3769 0.379 0.381 0.3829

1.2 0.3849 0.3868 0.3887 0.3906 0.3925 0.3943 0.3961 0.3979 0.3997 0.4014

1.3 0.4032 0.4049 0.4065 0.4082 0.4098 0.4114 0.413 0.4146 0.4162 0.4177

1.4 0.4192 0.4207 0.4221 0.4236 0.425 0.4264 0.4278 0.4292 0.4305 0.4318

583

1.5 0.4331 0.4344 0.4357 0.4369 0.4382 0.4394 0.4406 0.4417 0.4429 0.444

1.6 0.4452 0.4463 0.4473 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4544

1.7 0.4554 0.4563 0.4572 0.4581 0.459 0.4599 0.4608 0.4616 0.4624 0.4632

1.8 0.464 0.4648 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4685 0.4692 0.4699 0.4706

1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.475 0.4756 0.4762 0.4767

2.0 0.4773 0.4778 0.4783 0.4789 0.4794 0.4799 0.4803 0.4808 0.4813 0.4817

2.1 0.4822 0.4826 0.4831 0.4835 0.4839 0.4843 0.4847 0.4851 0.4855 0.4858

2.2 0.4862 0.4865 0.4869 0.4872 0.4876 0.4879 0.4882 0.4885 0.4888 0.4891

2.3 0.4894 0.4897 0.49 0.4903 0.4905 0.4908 0.491 0.4913 0.4915 0.4918

2.4 0.492 0.4922 0.4925 0.4927 0.4929 0.4931 0.4933 0.4935 0.4937 0.4939

2.5 0.4941 0.4942 0.4944 0.4946 0.4947 0.4949 0.4951 0.4952 0.4954 0.4955

2.6 0.4957 0.4958 0.496 0.4961 0.4962 0.4964 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968

2.7 0.4669 0.4971 0.4972 0.4973 0.4974 0.4975 0.4976 0.4977 0.4978 0.4979

2.8 0.4979 0.498 0.4981 0.4982 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4986 0.4987

2.9 0.4987 0.4988 0.4989 0.4989 0.499 0.4991 0.4991 0.4992 0.4992 0.4993

3.0 0.4993 0.4994 0.4994 0.4995 0.4995 0.4996 0.4996 0.4997 0.4997 0.4998

4. Simpulan

Integral Monte Carlo merupakan salah satu metode alternatif yang dapat dipilih

untuk mencari nilai hampiran dari integral tentu. Ada beberapa keuntungan dari

metode ini :

1. Perhitungan dengan metode ini relatif lebih mudah dibandingkan

dengan metode Trapesium dan metode Simpson.

2. Dapat digunakan untuk mencari hampiran dari integral tentu dari

fungsi lebih dari satu peubah. Seperti terlihat pada contoh 2 di atas.

3. Nilai hampiran yang diperoleh relatif cukup baik, asal dipilih n yang

cukup besar (bandingkan tabel normal yang diperoleh dengan tabel

normal pada [2]).

Daftar Pustaka

[1] Edwin J.Purcell, Dale.Varberg. 2012, Calculus and Analytic Geometri , ed.,Prentice

Hall

[2] George G.Judge and friends. 2008, Introduction to the Theory and Practice of

Econometrics.

[3] Hogg, R.V ., and Craig. 2011, Introduction to Mathematical Statistics, ed. .

Macmillan.

.

584

Prosiding SNM 2017 Aljabar-Analisis, Hal 584-592

KEKONVERGENAN BARISAN di

SUSILO HARTOMO, MUKTIARI, KIKI A SUGENG

Program Studi Magister Matematika,Universitas Indonesia,

[email protected], [email protected], [email protected]

Abstrak Barisan bilangan real adalah suatu fungsi yang didefinisikan di himpunan

dengan daerah hasil di himpunan berupa bilangan real. Setiap bilangan real

yang terkait dalam barisan disebut suku atau elemen dari barisan. Elemen-elemen dari

barisan dinotasikan dengan adalah bilangan asli . Jadi, jika

adalah suatu barisan, maka dapat dituliskan dengan notasi ( atau ).

Berdasarkan arah kencenderungan anggota dari barisan bilangan real, terdapat barisan

konvergen dan divergen. Barisan di dikatakan konvergen ke , atau

dikatakan limit dari , jika untuk terdapat bilangan real sehingga untuk

setiap , elemen memenuhi . Jika barisan mempunyai limit, dikatakan

barisan konvergen dan jika tidak mempunyai limit, dikatakan barisan divergen. Dalam

penelitian ini akan dibahas sifat baru dari barisan, yaitu jika dimisalkan di

mana setiap barisan adalah barisan yang konvergen ke nilai yang sama

misalkan , maka barisan atau bisa dituliskan yaitu barisan norm dari suku-

suku barisan dengan indeks yang sama dari setiap barisan maka akan konvergen

ke .

Kata kunci: Barisan, Konvergen, Norm.

1. Pendahuluan

Salah satu cabang dari analisis matematika yang paling popular adalah analisis

yang membahas himpunan bilangan real dan fungsi-fungsi dalam bilangan real.

Analisis real bagian dari ilmu kalkulus yang membahas bilangan real lebih

mendalam yang memuat konsep barisan, limit, kekontinuan, turunan, integral, dan

barisan dari fungsi-fungsi.

Pembahasan analisis real pada tingkat lanjut dimulai dengan pembuktian sederhana

mengenai teori dasar himpunan, pendefinisian konsep-konsep fungsi secara jelas

dengan memperhatikan keruntutan pola pikir, dan mengenalan konsep bilangan-

bilangan asli dan pentingnya teknik pembuktian salah satunya menggunakan

induksi matematika dengan menggunakan definisi, aksioma, lema atau teorema.

Konsep kekonvergenan, sebagai dasar analisis, diperkenalkan melalui limit dan

barisan. Beberapa konsep yang mengatur proses menghitung limit yang dapat

diturunkan, dan beberapa limit barisan yang menuju kesuatu nilai tertentu. Suatu

barisan dapt dikenali melalui jumlah anggotanya, apakah barisan tersebut berheti di

https://id.wikipedia.org/wiki/Analisis_matematika

https://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_riil

https://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus

https://id.wikipedia.org/wiki/Barisan

https://id.wikipedia.org/wiki/Limit

https://id.wikipedia.org/wiki/Fungsi_kontinu

https://id.wikipedia.org/wiki/Turunan

https://id.wikipedia.org/wiki/Integral

https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teori_dasar_himpunan&action=edit&redlink=1

https://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_asli

https://id.wikipedia.org/wiki/Bilangan_asli

https://id.wikipedia.org/wiki/Matematika

585

suatu angka tertentu atau disebut barisan berhingga dan barisan yang tidak

mempunyai anggota tak berujung atau disebut barisan tak hingga. Dalam hal ini

selain membahas barisan dibahas juga tentang deret, deret adalah penjumlahan

suku-suku dari barisan. Macam-macam dari konsep deret yang dibahas diantanya

deret tak hingga, yang merupakan barisan yang khusus, deret pangkat yang

digunakan untuk mendefinisikan dengan jelas beberapa fungsi yang penting,

seperti fungsi eksponensial dan fungsi-fungsi trigonometri. Beberapa tipe penting

dari subhimpunan bilangan real, seperi himpunan-himpunan terbuka, himpunan-

himpunan tertutup, himpunan-himpunan kompak, dan sifat-sifatnya dijelaskan

kemudian.

Konsep mengenai kekontinuan kemudian dapat dijelaskan menggunakan limit.

Hasil jumlah, kali, komposisi, dan bagi dari fungsi-fungsi yang kontinu adalah

fungsi yang kontinu juga, dan teorema nilai tengah. Kemudian, integrasi (Riemann

dan Lebesgue) dan pembuktian teorema dasar kalkulus dapat dilakukan, dengan

menggunakan teorema nilai tengah.

Konsep-konsep tersebut sangat berguna untuk menunjang dalam mempelajari ide

dari kekontinuan dan kekonvergenan dengan lebih abstrak, supaya dapat

memperhitungkan ruang dari fungsi-fungsi. Konsep-konsep tersebut untuk

menganalisi konsep seperti kekompakan, kelengkapan, ketersambungan,

kekontinuan yang seragam, keterpisahan, peta Lipschitz, peta kontraktif, dapat

didefinisikan dan diperiksa.

Pada makalah ini akan dibahas pengembangan konsep pada barisan bilangan real di

ruang dimensi . Akan dicoba mengembangkan kosep dari teori tetang barisan

konvergen dalam suatu himpunan. Dalam hal ini dibahas tentang teori Bilangan

real, Barisan, Barisan Fungsi, Konvergenan.

Suatu barisan adalah kumpulan bilangan yang disusun menurut pola tertentu. Suatu

barisan pada bilangan real adalah suatu fungsi pada himpuan bilangan asli

dengan range-nya (daerah hasilnya) dalam . Dengan kata lain barisan pada

memasangkan setiap bilangan asli ke suatu bilangan real. Bilangan

real yang diperoleh disebut nilai dari barisan. Umumnya suatu bilangan real yang

dipasangkan ke suatu bilangan dinotasikan . Sedangkan barisan

dinotasikan sebagai .

Teori Barisan Konvergen sampai saat ini terus dikembangkan baik menurut teori

ataupun dalam penerapan didunia nyata. Pengembangan konsep dari definisi,

https://id.wikipedia.org/wiki/Trigonometri

https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema_nilai_tengah&action=edit&redlink=1

586

teorema, aksioma, dan lema yang sudah ada dapat dikembangkan untuk

terbentuknya teorema baru yang dapat menunjang dalam ilmu Pendidikan terutama

dalam Matematikan yaitu pokok bahasan Analisis real. Dalam makalah ini dicoba

mengembangkan terbentuknya sifat baru dengan bantuan konsep-konsep yang

sudah ada dalam Barisan konvergen di ruang bilangan real.

2. Tinjauan Pustaka

Barisan konvergen

Definisi 2.1.1. [1, 4]: Barisan bilangan real (barisan di ) adalah fungsi yang

mendefinisikan himpunan bilangan asli (bilangan di yang

memetakan anggota himpunan bilangan real .

Dengan kata lain, urutan di menunjukan keanggotaan dari setiap bilangan asli

yang ditentukan secara unik (tunggal) atau dapat dinyatakan jika

adalah barisan bilangan real maka dapat dinotasikan .

Definisi 2.1.2. [1, 2, 4]: Diberikan suatu barisan , suatu bilangan

real dikatakan limit dari barisan yang dapat ditulis

, jika untuk sebarang bilangan positif terdapat suatu

bilangan asli sedemikain hingga untuk semua bilangan asli dengan

berlaku . Jika merupakan limit dari barisan maka dikatakan

konvergen ke . Jika barisan tidak mempunyai nilai limit maka dikatakan

barisan tersebut divergen.

Teorema 2.1.3. [1]: Diberikan adalah barisan bilangan real, dan

mengikuti sifat-sifat berikut secara equivalent (saling berhubungan)

barisan yang konvergen ke

Untuk seitan maka ada bilanga asli K sehingga untuk semua

memenuhi sehingga .

Untuk seitan maka ada bilanga asli K sehingga untuk semua

memenuhi sehingga .

Untuk setiap persekitaran disebut dari , maka ada bilangan asli

K sehingga untuk semua , memenuhi yang berada di

Barisan terbatas

Definisi 2.2.1. [1, 4]: Barisan dari bilangan real dikatakan terbatas

(terbatas atas dan terbatas bawah) jika ada bilangan sehingga

587

untuk setiap . Dengan kata lain, barisan terbatas jika hanya jika

himpunan terbatas pada .

Teorema 2.2.2. [1, 4]: Setiap barisan yang konvergen adalah barisan terbatas

Teorema 2.2.3. [1, 2, 4]: Jika dan dua barisan yang masing-

masing konvergen ke dan maka mengikut pernyataan:

1. barisan konvergen ke ,

2. barisan konvergen ke

3. barisan konvergen ke .

Pembuktian Teorema 2.2.3. bagian 2

Jika konvergen ke dan konvergen ke , maka

konvergen ke .

Bukti:

Karena konvergen maka ia terbatas, yaitu ada sehingga

untuk setiap . Ambil . Karena dan

maka untuk yang diberikan terdapat dan sehingga

untuk setiap dan

untuk setiap . Jadi

untuk setiap } diperoleh

Jadi .

Maka konvergen ke .

Norm

Misalkan V suatu ruang vektor atas F (real atau kompleks).

Suatu fungsi ||•||: V → R disebut norm vektor jika untuk semua x, y berlaku,

Definisi 2.3.1. [2]

a.

b. jika dan hanya jika

c. untuk semua c F

d.

588

Definisi 2.3.2. [2]:

Misalkan V suatu ruang vektor atas F (real atau kompleks).

Suatu fungsi :V ×V → F disebut perkalian dalam jika berlaku,

a.

b. = 0, jika dan hanya jika

c. = +

d. = c untuk semua

e. =

Dari sifat-sifat diatas dapat dilihat terdapat kemiripan sifat yang dipenuhi oleh

norm dan perkalian dalam yang mengakibatkan diperoleh sifat berikut.

Akibatnya [2]:

Jika menyatakan suatu perkalian dalam di ruang vektor V berdimensi atas

F maka

memenuhi sifat norm.

Ada beberapa contoh norm yang diketahui, seperti norm matrik, norm vektor dan

norm di ruang-ruang yang lain. Pada makalah ini akan membahas tentang norm

vektor.

3. Hasil dan Pembahasan

Berikuti ini dibahas sifat baru dari norm barisan, yaitu jika dimisalkan

di mana setiap barisan adalah barisan yang

konvergen ke nilai yang sama misalkan , maka barisan norm yaitu barisan

norm dari suku-suku barisan dengan indeks yang sama dari setiap barisan

akan konvergen ke . Sebelum dibahas Teorema terkait,

terlebih dahulu diberikan Lema berikut.

Teorema 3.1. Misalkan himpunan barisan-barisan di yang

konvergen ke .

Jika didefinisikan sebagai:

, maka

barisan dari , konvergen ke .

Bukti:

589

konvergen ke ,

konvergen ke ,

=

konvergen ke ,

Norm adalah

Akan ditunjukkan bahwa barisan Norm atau yang dinotasikan dengan

yaitu akan konvergen ke .

( 2+ + 2)

Karena

maka

.

Menurut Teorema 2.2.3. bagian 2.

Jika konvergen ke dan konvergen ke , maka konvergen ke

.

590

Maka Karena konvergen ke maka atau barisan konvergen ke

jadi konvergen

, maka

diperoleh:

Jadi terbukti , maka barisan .

4. Kesimpulan

Dari penelitian ini, dapat diambil kesimpulan:

Untuk himpunan barisan yang merupakan himpunan dari

barisan-barisan di ruang yang konvergen ke suatu nilai tertentu, maka ada

barisan

atau

dinotasikan akan konvergen ke .

Daftar Pustaka

1. Bartle,R. G. “The Elements of Real Analysis. Second edition. 1964”.

Department of Mathematics, University of lllionis. New York.

2. Bartle, R. G and Donald D. S. “Introduction to Real Analysis. Third edition.

2000”. University of lllionis. New York

3. Gozali, S. M. “Norm Vektor dan Norm Matriks”. Makalah. Universitas

Pendidikan Indonesia diunduh dari

http://file.upi.edu/direktori/fpmipa/jur._pend._matematika/197411242005011-

sumanang_muhtar_gozali/norm_vektor_dan_norm_matriks.pdf

4. John K. Hunter. “An introduction to Real Analysis, 2014”. Departement of

Mathematics, University of Calivornia at Davis

591

Lampiran

Akan diberikan ilustrasi penerapan sifat baru yang telah dibuktikan dalam

makalah yang telah dibahas yaitu akan diberikan sebuah himpunan yang

berisi barisan dari sebuah fungsi sebanyak buah barisan. Setiap barisan

dari barisan fungsi tersebut konvergen ke suatu nilai tertentu misal . Maka

menurut sifat baru, apabila dibentuk suatu barisan baru dengan

menggunakan sifat norm dimana

,

maka barisan tersebut akan konvergen ke

Contoh:

Diberikan suatu himpunan barisan

. Ketiga barisan

( ) tersebut masing-masing konvergen ke (

,akan ditunjukkan

bahwa barisan norm akan konvergen ke

. Untuk

ilustrasi lihat tabel berikut:

misal maka

592

1 1 -0.66667 -1.00 1.563471920 2 -0.125 -0.57143 -0.53 0.791580733 3 -0.33333 -0.54545 -0.51 0.817407325 4 -0.40625 -0.53333 -0.50 0.838710924 5 -0.44 -0.52632 -0.50 0.850070806 6 -0.45833 -0.52174 -0.50 0.856412636 7 -0.46939 -0.51852 -0.50 0.860184154 8 -0.47656 -0.51613 -0.50 0.862548545 9 -0.48148 -0.51429 -0.50 0.864093457 10 -0.485 -0.51282 -0.50 0.865135866 11 -0.4876 -0.51163 -0.50 0.865856820 12 -0.48958 -0.51064 -0.50 0.866364848 13 -0.49112 -0.5098 -0.50 0.866727701 14 -0.49235 -0.50909 -0.50 0.866989155 15 -0.49333 -0.50847 -0.50 0.867178334 16 -0.49414 -0.50794 -0.50 0.867315110 17 -0.49481 -0.50746 -0.50 0.867413338 18 -0.49537 -0.50704 -0.50 0.867482866 19 -0.49584 -0.50667 -0.50 0.867530809 20 -0.49625 -0.50633 -0.50 0.867562382

1000 -0.5 -0.50013 -0.50 0.866096731 1001 -0.5 -0.50012 -0.50 0.866096666

Konvergen

ke

Dari tabel di atas, terlihat barisan konvergen ke

.

.

593

Prosiding SNM 2017 Aljabar -Anal is is , Hal 593 -601

EMPAT METODE PEMBENTUKAN FUNGSI

LYAPUNOV

RUKMONO BUDI UTOMO

Universitas Muhammadiyah Tangerang

Email: [email protected]

Abstrak. Dalam penelitian ini dijelaskan empat metode pembentukan Fungsi Lyapunov

untuk menentukan kestabilan global dari suatu Sistem Persamaan Diferensial (SPD). Keempat

metode tersebut antara lain Metode First Integral, Metode Bentuk Kuadratik (Metode

Krasovski), Metode Zubov dan Metode Khalil. Dalam penelitian ini dijelaskan teknik

pembentukan fungsi Lyapunov berdasarkan SPD yang diketahui dengan menggunakan

keempat metode yang dikaji dalam penelitian ini.

Kata kunci: Fungsi Lyapunov, First Integral, Krasovski, Zubov, Khalil.

1. Pendahuluan

Dalam suatu Sistem Persamaan Diferensial (SPD) yang simultan, analisis

kestabilan yang biasanya dilakukan adalah analisis kestabilan lokal disekitar titik

kesetimbangan. Analisis kestabilan lokal biasanya dilakukan dengan melakukan

linearisasi disekitar titik kesetimbangan dari SPD nonlinear. Kestabilan lokal dari

sistem tersebut dapat dilihat berdasarkan nilai eigen. Nilai eigen negatif

menujukkan titik kesetimbangan stabil asimtotis sebaliknya nilai eigen positif

menunjukkan titik kesetimbangan tersebut tidak stabil. Nilai eigen imajiner

konjugat menunjukkan bahwa titik kesetimbangannya tersebut stabil asimtotis

dengan face potrait spiral sedangkan nilai eigen imajiner murni menunjukkan

bahwa titik kesetimbangan tersebut stabil dengan face potrait sentral. Nilai eigen

riil berbeda tanda menunjukkan titik kesetimbangan tersebut tidak stabil dengan

face potrait pelana.

Analisis kestabilan secara global sangat sulit ditentukan karena harus mencoba

banyak titik dalam domain D untuk diselidiki kestabilannya. Salah satu cara

menentukan kestabilan global adalah dengan Fungsi Lyapunov. Fungsi Lyapunov

ditemukan oleh matematikawan Rusia bernama Alexander Mikhailovich

Lyapunov. Kestabilan sistem menurut Lyapunov yakni apabila dapat ditemukan

suatu fungsi v x yang definit positif sedemikian hinga 0v x , maka suatu

sistem dikatakan stabil asimtotis. Apabila nilai 0v x , maka sistem stabil,

sebaliknya apabila 0v x , maka sistem tidak stabil. [1]

Untuk menentukan Fungsi Lyapunov tidaklah mudah. Apabila dilakukan

dengan cara Trial and Eror maka selain memerlukan waktu yang lama, fungsi yang

dihasilkan juga belum tentu merupakan Fungsi Lyapunov, sekalipun Fungsi

594

Lyapunov sendiri tidaklah tunggal. Dengan demikian diperlukan suatu Trick agar

dapat mengkonstruksi Fungsi Lyapunov itu sendiri. Trick ini penting agar dapat

mencermati suatu SPD dan dengan karakteristik SPD tersebut dapat dengan mudah

dikonstruksi Fungsi Lyapunov.

Makalah ini menguraikan cara membentuk Fungsi Lyapunov yang diuraikan dalam

empat metode, yakni metode First Integral, Krasovski, Zubov dan Khalil. Metode

First Integral dapat digunakan apabila SPD yang diberikan memungkinkan

dilakukan proses pengintegralan. Fungsi Lyapunov yang dicari tak lain merupakan

hasil dari pengintegralan SPD tersebut. Metode Krasovski atau Metode bentuk

kuadratik dapat dilakukan apabila SPD tidak memungkinkan untuk dilakukan

pengintegralan, karena ada kalanya meskipun memungkinkan dilakukan

pengintegralan, namun hasil pengintegralan tersebut sulit ditemukan. Berdasakan

hal tersebut diperlukan metode lain untuk mencari Fungsi Lyapunov salah satunya

dengan Metode Krasovski.

Untuk mencari Fungsi Lyapunov dengan Metode Krasovski, sistem yang diberikan

perlu dilakukan linierisasi terlebih dahulu. Tujuan dari Linierisasi tersebut adalah

mencari bentuk Linierisasi Jakobian j x . Setelah mendapatkan Linierisasi

Jakobian j x , kemudian dicari matriks q x yang didefinisikan dengan

tq x pj x j x p yang merupakan kriteria penentuan kestabilan SPD

berdasarkn Fungsi Lyapunov itu sendiri. Apabila q x merupkan suatu fungsi

yang definit negatif, maka SPD stabil asimtotis, sebaliknya tidak stabil.

Berdasarkan hal tersebut Fungsi Lyapunov itu sendiri berdasarkan metode

Krasovski tidak ditampilkan secara eksplisit[2].

Fungsi Lyapunov yang dicari dengan metode Zubov dilakukan dengan mencari

suatu Fungsi x yang definit Positif yang memenuhi persamaan

2

1

1 1n

i

i i

vf x x v x f

x

1

dengan v x merupakan Fungsi Lyapunov. Apabila ada, karena bentuk

1

n

i

i i

vf x

x

adalah negatif, maka SPD stabil asimtotis. Jika SPD tidak stabil,

maka tidak akan ada fungsi x dan v x yang memenuhi persamaan (1)[3].

Terakhir, Fungsi Lyapunov yang dicari dengan metode Khalil dicari denganTv x px dengan

ta p pa I . Jika v negatif maka SPD stabil asimtotis,

sebaliknya tidak stabil. [4]


Diberikan sistem autonomus sebagai berikut

x f x

dengan 1 2, , , nx x x x dan 1 2, , , nx x x x dan titik kesetimbangan sistem

adalah ex . Berikut akan didefinisikan kestabilan dari titik kesetimbangan ex [5]

i. Titik kesetimbangan ex dikatakan stabil apabila 00, 0, 0t

595

sedemikian sehingga untuk 0 ex t x berlaku ex t x ,

0t t .[6]

ii. Titik kesetimbangan ex dikatakan stabil asimtotis apabila ex titik

kesetimbangan yang stabil dan 00, 0t sedemikian sehingga

untuk 0 ex t x berlaku lim 0et

x t x

.

iii. Titik kesetimbangan ex dikatakan stabil seragam apabila ex titik

kesetimbangan yang stabil dan 0,t [7]

Definisi [8]

sebuah fungsi v x dikatakan definit positif apabila 0, 0v x x dan

0 0v .

Lebih lanjut untuk memahami definisi tersebut diberikan sistem orde dua sebagai

berikut

1

2

xx

x

Misalkan 1 2,v x x merupakan fungsi yang definit positif . Jika 1 2,v x x memiliki

nilai yang semakin mengecil (monoton turun), maka 1 2,v x x menuju nol. Suatu

sistem dikatakan stabil apabila semua trajektori bergerak sedemikian hingga nilai

1 2,v x x semakin lama semakin berkurang. Untuk menghubungkan 1 2,v x x

dengan sistem dinamik, maka dihitung nilai 1 2,v x x sebagai berikut

1

nT

i

i i

v v vv x v f

t x t

dengan V merupakan besarnya perubahan V sepanjang vektor f

2.1. Metode First Integral [9]

Metode First Integral digunakan apabila pada sistem PD dimungkinkan dilakukan

integrasi langsung. Salah satu bentuk sistem PD yang dapat dilakukan First

Integral memiliki bentuk sebagai berikut

1 2

1 2

, , ,

, , ,

n

n

x f y y y

y f x x x

Contoh 1

Diberikan sistem PD sebagi berikut

x y

y x

2

Fungsi Lyapunov yang dapat dipilih berdasarkan sistem PD 2 di atas dapat

ditentukan dengan metode First Integral. Berdasarkan sistem 2 dapat diperoleh

dx y

dy x

dengan solusi 2 21 1

2 2x y C atau

2 2x y C yang definit positif.

596

Berdasarkan hal tersebut dapat diambil Fungsi Lyapunov 2 2,v x y x y .

Perhatikan bahwa 0v , maka berdasarkan hal demikian sistem 2 stabil.

Contoh 2

Diberikan sistem PD sebagai berikut

34 4

x y

y x x

3

Fungsi Lyapunov yang dapat dipilih berdasarkan sistem PD 3 berdasarkan

Metode First Integral adalah 2 2 41, 2

2v x y y x x . Berdasarkan hal tersebut

dapat dilihat bahwa 0v , berdasarkan hal demikian sistem 3 stabil.

Contoh 3

Diberikan sistem PD sebagi berikut

2

2

2 1

3 2

17

4

x xy x

y x y y

4

Perhatikan bahwa meskipun sistem 4 memiliki bentuk umum ,x f x y dan

,y f x y , namun sistem 4 dapat dituliskan kembali sebagai berikut

2

2

2 1

3 2

17

4

x x y

y y x

5

Dengan mengintegrasikan 1 7 2 1

4 3 2x dx y dy

x y

, maka diperoleh

2 21 1 17ln ln

8 2 3x x y y C . Fungsi Lyapunov dapat diambil

2 2, 3 168ln 12ln 8v x y x x y y dan 2 2 2, 2 56 0V x y x y y .

Berdasarkan hal tersebut sistem 5 stabil asimtotis ke titik kesetimbangan 0,0 .

2.2. Metode Bentuk Kuadratik (Metode Krasovski)[10]

Metode bentuk kuadratik atau Metode Krasovski dapat digunakan apabila terdapat

matriks konstan definit positif p sedemikian hingga matriks definit positif q x

dapat didefinisikan sebagai tq x pj x j x p dengan j x merupakan

bentuk linierisasi Jakobian. Apabila hal tersebut terjadi, maka sistem stabil

asimtotis.

Perhatikan, misal diberikan fungsi Lyapunov , tv x y f pf yang definit positif

597

pada ruang f . Karena terdapat pemetaan satu –satu antara ruang x dan ruang f ,

maka ,v x y juga definit positif pada ruang x . Derivatif dari ,v x y diperoleh

sebagai berikut

, t Tv x y f pf f pf .

Dengan aturan rantai diperolah f x j x x j x f x , berdasarkan hal

tersebut

, t t Tv x y f j x p pj x f f q x f

Dengan mengingat q x definit negatif, maka ,v x y juga definit negatif,

berdasarkan hal tersebut sistem PD stabil asimtotis.

Contoh 4

Diberikan sistem sebagai berikut

3

x ax y

y x y y

6

untuk 1a . Berdasarkan sistem 6 tersebut akan ditentukan fungsi Lyapunov

untuk menyelidiki kestabilan dari sistem 6 . Perhatikan bahwa pencarian Fungsi-

Fungsi Lyapunov pada sistem 6 tidak dapat atau mungkin sulit dilakukan dengan

metode First Integral, hal ini dikarenakan sistem 6 tidak dapat dilakukan

pengintegralan secara langsung. Atas dasar tersebut, perlu dicari metode lain yang

tepat untuk mencari fungsi Lyapunov.

Pencarian fungsi Lyapunov sistem 6 dapat dengan mudah dilakukan dengan

Metode bentuk kuadratik Atau Metode Krasovski. Berdasarkan sistem di atas dapat

ditentukan bentuk linierisasi Jakobian j x sebagai berikut

2

1

1 1 3

aj x

y

selanjutnya harus ditentukan suatu matriks definit positif p , misalkan dalam hal

ini dipilih matriks 2p I , maka berdasarkan hal tersebut diperoleh matriks q x

sebagai berikut

tq x pj x j x p

2 2

2

1 0 1 1 1 0

0 1 1 1 3 1 1 3 0 1

2 2

2 2 6

a a

y y

a

y

Perhatikan bahwa meski 24 12 4 0a ay , namun 2 0a untuk 1a ,

berdasarkan hal demikian q x definit negatif. Dengan demikian sistem 6

stabil asimtotis.

598

2.3. Metode Zubov [11,12]

Metode Zubov juga dapat digunakan untuk menentukan fungsi Lapunov. Pertama

perhatikan Teorema Zubov sebagai berikut.

Teorema

Misalkan u merupakan himpunan yang memuat daerah asal D . Syarat perlu dan

cukup agar u menjadi domain eksak dari atraksi yakni fungsi x dan v x

memenuhi ketentuan sebagai berikut

i. v x terdefinisi dan kontinu di U , dan x terdefinisi dan kontinu di

seluruh ruang state

ii. Fungsi x definit positif untuk semua nilai x

iii. Fungsi v x definit positif di U dengan 0 0v dan pertidaksamaan

0 1v x terletak di U

iv. Pada batas U , 1v x

v. Berlaku persamaan 2

1

1 1n

i

i i

vf x x v x f

x

Lebih lanjut ruas kanan persamaan diferensial di atas dapat dimodifikasi menjadi

beberapa bentuk sebagai berikut:

vi. Perhatikan bahwa karena 2

1 f adalah positif , maka dapat didefinisikan

fungsi definit positif yang lain misalnya 2

1x x f

.

Berdasarkan hal tersebut, bentuk persamaan diferensial parsial di atas

menjadi 2

1

1 1n

i

i i

vf x x v x f

x

vii. Ruas kanan persamaan diferensial di atas dapat dimodifikasi menjadi

bentuk lain, misalnya 1

2 21 1x v x f , berdasarkan hal

tersebut bentuk persamaan diferensial parsial di atas menjadi

1

2 2

1

1 1n

i

i i

vf x x v x f

x

viii. Apabila didefinisikan peruahan dari variabel 1v n v , maka

persamaan diferensial diatas menjadi 1

n

i

i i

vf x x

x

dengan v

merupakan fungsi Lyapunov. Berdasarkan hal tersebut daerah atraksi

menjadi 0 v .

Contoh 5

Diberikan Sistem Persamaan Diferensial sebagai berikut

2 2

1 1 2 1 1 2

2 2

2 1 2 2 1 2

x x x x x x

x x x x x x

599

Berdasarkan hal tersebut akan ditentukan Fungsi Lyapunov dari sistem tersebut.

Ambil fungsi definit positif 2 2

1 22x x x , berdasarkan hal tersebut

diperoleh 1 2

1 2

v vv x x

x x

. Berdasarkan Teorema Zubov,

2 2

1 2 1 2

1 2

2 1v v

x x x x v xx x

sehingga fungsi Lyapunov yang

dimaksud adalah 2 2

1 2v x x x dengan batas kestabilannya adalah 2 2

1 2 1x x .

Contoh 6

Diberikan Sistem Persamaan Diferensial sebagai berikut 2

1 1 1 2

2 2

2x x x x

x x

Dengan menggunakan Teorema Zubov, maka diperoleh persamaan diferensial

sebagai berikut

1

2 2

1 2

1 2

1 1v v

x x x v x fx x

1

2 22 2

2 1 2 11 1 2x v x x x x x

Berdasarkan hal tersebut, di ambil fungsi

2 2

1 2

22 2

2 1 2 11 2

x xx

x x x x

, dan

berdasarkan hal tersebut diperoleh Fungsi Lyapunov untuk sistem PD pada contoh

6 ini adalah

22 1

2

1 2

11 exp

2 2 1

xv x

x x

. Fungsi 1 2,v x x hilang pada

titik asal sama dengan 1 pada kurva 1 2 1x x , karenanya kestabilan di definiskan

pada daerah dalam kurva 1 2 1x x .

2.4. Metode Khalil [14]

Prosedur pembentukan fungsi Lyapunov berdasarkan metode Khalil dikenal

dengan prosedur Cookbook. Langkah-langkah pada prosedur tersebut dijelaskan

sebagai berikut:

i. Diberikan sistem PD 1x f x Ax f x

ii. Tentukan P pada persamaan ta p pa I

iii. Fungsi Lyapunov Tv x x px dengan 12t Tv x x qx x pf , dengan

q I Apabila 0v ,maka sistem stabil asimtotis, sebaliknya sistem tidak

stabil

iv. 2

minc p r

600

v. Jika c x v x c , maka 2

min

Tx px p r

Contoh 7

Diberikan sistem PD sebagai berikut

1 1 1 2

2 2 1 2

2x x x x

x x x x

Perhatikan bahwa sistem memiliki titik kesetimangan 0,0 dan 1,2 .

Linearisasi disekitar titik 0,0 menghasilkan matriks 2 0

0 1A

dengan

nilai eigen 1 2 dan 1 1 . Lebih lanjut berdasarkan persamaan

TA P PA I , diperoleh

10

4

10

2

P

. Berdasarkan hal tersebut dapat dipilih

Fungsi Lyapunov 2 2

1 2

1 1

4 2

tv x px x x dengan

2 2 2 2

1 2 1 2 1 2

1

2v x x x x x x

. Dengan transformasi polar 1 cosx

dan 2 sinx , maka

2 3

2 3

2 3

1cos sin sin cos

2

1 1sin 2 sin cos

2 2

5

4

0

v

dengan4

15 . Lebih lanjut

2

2

min

1 40.8

4 5c P r

dan karenanya

diperoleh

2 2

1 2

1 10.8

4 2x x

3. Kesimpulan

Kesimpulan yang dapat diambil dari penelitian ini antara lain:

1. Untuk menyelidiki kesatbilan global dari suatu Sistem Persamaan

Diferensial perlu dikonstruksi Fungsi Lyapunov v yang definit positif.

Apabila 0v , maka Sistem Persamaan Diferensial tersebut stabil

asimtotis, sebaliknya tidak stabil.

601

2. Untuk mengkonstruksi Fungsi Lyapunov dapat dilakukan dengan

empat metode antara lain Metode First Integral, Metode Krasovski,

Metode Zubov dan Metode Khalil

3. Metode First Integral dapat dilakukan apabila Sistem Persamaan

Diferensial tersebut memungkinkan untuk dilakukan integrasi.

Fungsi Lyapunov yang dicari dengan metode ini merupakan hasil

dari integrasi tersebut. 4. Metode Krasovsi, Zubov dan Khalil dapat digunakan untuk mencari Fungsi

Lyapunov apabila Metode First Integral tidak dapat dilakukan.

5.

Referensi

[1] A.M. Lyapunov, Probleme General de la Stabilite du Movement, Reprinted in

Annals of Mathematical Studies No. 17 , Princenton University Press,

Princenton, N.J., 1949 (Russian Edition 1892).

[2] V.M. Popov, Absolute Stability of Nonlinear Systems of Automatic Control,

Automation and Remote Control, Vol.22, 1962, pp.857-875

[3] W. Hahn, Theory and Aplication of Lyapunov’s Direct Method, Prentice Hall,

Eagle wood Cliffs, N.J., 1963

[4] J.P. LaSalle and S. Lefschetz, Stability by Liapunov’s Direct Method With

Applications, Academic Press, New York, 1961.

[5] J.L. Willems, Stability Theory of Dynamical Systems, Thomas Nelson & Sons,

U.K., 1970.

[6] M. Vidyasagar, Nonlinear Systems Analysis, Prentice Hall, Englewood Cliffs,

N.J., 1978.

[7] B.D.O.Anderson and S. Vongpanitlerd, Network Analysis and Synthesis-A

Modern Systems Theory Approach, Prentice Hall Englewood Cliffs, N.J.

[8] O. Gurel and L. Lapidus, A Guide to the Generation of Lyapunov Function,

Industrial and Engineering Chemistry, March 1969, pp.30-41.

[9] N.G. Chetaev, Stability of Motion, Pergamon Press, 1961 (Russian Edition,

1945-1950)

[10] N.N. Krasovskii, Stability of Motion, Pergamon Press, 1961(Russian Edition,

1959)

[11] S.G. Marqolis and W.G.Vogt, Control Engineering Applications of V . I.

Zubov’s Construction Procedure for Lyapunov Functions, IEEE Trans.

Automatic Control, Vol AC-8, No. 2, April 1963, pp 104-113.

[12] Discussion on Ref. 12 by F. Fallside and M. R. Patel and Reply, IEEE Trans.

Automatic Control, Vol. AC-10, No. 2, April 1965 , pp.220-222

[13] J.K. Hedrick and A. Girard, Control of Nonlinear Dynamic Systems: Theory

and Applications, 2005.

602

Prosiding SNM 2017 Aljabar -Anal is is , Hal 602-613

PENGARUH ELEMEN PRIMITIF DARI GRUP SIKLIK

ℤ * TERHADAP ALGORITMA KRIPTOGRAFI

ELGAMAL UNTUK ENKRIPSI PESAN

MOHAMMAD HEADING NOR ILAHI1, ANNISA DINI

HANDAYANI2

1 Jln. Raya Haji Usa, Ciseeng, Bogor 16120 INDONESIA, [email protected]

nci.ac.id

2 Jln. Raya Haji Usa, Ciseeng, Bogor 16120 INDONESIA, [email protected]

Abstrak. Algoritma Kriptografi ElGamal adalah algoritma kriptografi asimetris yang

menggunakan bilangan prima besar sehingga membentuk suatu himpunan bilangan

dari 1 sampai -1 atau seluruh elemen dari grup siklik ℤ *. Algoritma Kriptografi

ElGamal terdiri dari 3 proses, yaitu proses pembentukan kunci, proses enkripsi, dan

proses dekripsi. Untuk melakukan ketiga proses tersebut, dibutuhkan suatu bilangan

, dengan merupakan elemen primitif dari ℤ *. Hal ini dikarenakan elemen primitif

dapat memberikan kekuatan Algoritma ElGamal menjadi maksimal. Dalam makalah

ini, akan ditunjukkan pengaruh elemen primitif terhadap kekuatan Algoritma

ElGamal.

Kata kunci: elemen primitif, kriptografi, ElGamal, grup siklik.

1. Pendahuluan

Terdapat dua tipe algoritma kriptografi yang dibedakan berdasarkan

penggunaan kunci yaitu algoritma simetris dan algoritma asimetris. Algoritma

simetris menggunakan satu kunci rahasia yang sama dalam proses enkripsi dan

proses dekripsi, seperti ditunjukkan pada gambar 1.

603

Sedangkan algoritma asimetris menggunakan dua buah kunci yaitu kunci

publik dan kunci pribadi atau rahasia. Kunci publik akan dibiarkan diketahui pihak

lain. Kunci publik akan digunakan untuk mengenkripsi pesan yang akan

dikirimkan ke penerima yang mempunyai kunci publik tersebut. Sedangkan

penerima akan mendekripsi pesan tersebut menggunakan kunci pribadinya. Kunci

pribadi akan bersifat rahasia dan hanya yang memilikinya yang mengetahui.

Konsep algoritma kriptografi asimetris dapat dilihat di gambar 2.

Algoritma asimetris atau algoritma kunci publik didesain tahan terhadap

chosen-plaintext attacks. Keamanan algoritma asimetris disandarkan pada kesulitan

dalam mencari kunci rahasia dari kunci publik dan kesulitan mencari teks terang

dari teks sandi [2]. Kesulitan tersebut adalah permasalahan yang dianggap sulit

dalam matematika, misalnya permasalahan logaritma diskret, pemfaktoran

bilangan besar, dan NP-Complete. Terdapat beberapa algoritma kunci publik,

contohnya adalah RSA yang dipublikasikan oleh Rivest, Shamir, dan Adleman [6],

ElGamal yang dipublikasikan oleh Taher ElGamal [8], dan knapsack yang

dipublikasikan oleh Merkle dan Hellman [7].

ElGamal merupakan salah satu algoritma asimetris yang dipublikasikan

oleh Taher ElGamal pada tahun 1985. Algoritma ini terdiri dari tiga proses yaitu

proses pembentukan kunci, proses enkripsi, dan proses dekripsi. Kekuatan

algoritma ElGamal didasarkan pada permasalahan logaritma diskret. Permasalahan

logaritma diskret adalah permasalahan matematika yang terdapat pada beberapa

lini matematika, termasuk versi mod yang akan dijelaskan di makalah ini dan

pada versi elliptic curve. Konstruksi kunci publik pertama yang dipublikasikan

oleh Diffie dan Hellman [5] juga berdasarkan permasalahan logaritma diskret pada

lapangan berhingga yang mempunyai elemen sejumlah suatu bilangan prima

dinotasiakan .

Pada kunci publik algoritma ElGamal ( , , A), yang diambil harus

elemen primitif dari mod agar kekuatan algoritma ElGamal maksimal. Pada

makalah ini akan dijelaskan pengaruh pengambilan terhadap kekuatan algoritma

ElGamal.

604


2.1 Algoritma Kriptografi ElGamal

Algoritma ElGamal dapat digunakan untuk tanda tangan digital dan untuk

enkripsi pesan. Pada makalah ini akan dijelaskan algoritma ElGamal untuk

enkripsi pesan. Keamanan algoritma ElGamal didasarkan pada kesulitan

dalam mencari logaritma diskret pada lapangan berhingga. Seperti telah

dijelaskan di atas bahwa ElGamal memiliki tiga tahapan, yaitu pembentukan

kunci, proses enkripsi, dan proses dekripsi. Berikut akan dijelaskan ketiga

tahapan tersebut [2].

2.1.1 Pembentukan Kunci

Pada proses pembentukan kunci akan dibutuhkan:

1. Bilangan prima besar untuk membentuk ℤ *.

2. Bilangan acak , ℤ *.

Diketahui persamaan A = x mod , sehingga dibentuk suatu kunci

publik (p, , A) dan kunci pribadi . Misalkan Yayuk ingin mengirim

pesan terenkripsi menggunakan algoritma ElGamal kepada Khudlori.

Proses pembentukan kunci akan dilakukan oleh Khudlori selaku penerima

pesan dari Yayuk. Kunci publik (p, , A) dipublikasikan oleh Khudlori

sehingga diketahui Yayuk. Yayuk menggunakan kunci publik milik

Khudlori untuk mengenkripsi pesan yang akan dikirim kepada Khudlori.

2.1.2 Proses Enkripsi

Pada proses enkripsi dibutuhkan pesan dan kunci publik ( , , A).

Hasil dari proses enkripsi ini adalah teks sandi (ciphertext) ( , ), dimana

={1,2,…, }. Dalam proses enkripsi langkah-langkah yang harus

dilakukan adalah:

1. Untuk dari 1 sampai kerjakan:

a. Pilih bilangan acak rahasia sementara (ephemeral key)

i {0,1,…, -2}, dengan relatif prima terhadap -1 dan

ditentukan oleh pengirim atau pihak yang mengenkripsi pesan.

Ephemeral key hanya digunakan sekali saja saat enkripsi

pesan, sehingga tidak perlu disimpan. Penggunaan atau

pengambilan yang acak akan mengakibatkan setiap karakter

yang sama dalam pesan dienkripsi menjadi teks sandi yang

berbeda. Ephemeral key hanya digunakan mengenkripsi satu

karakter saja dalam teks terang.

b. Hitung i = ki mod .

605

c. Hitung i = Aki .m mod .

2. Diperoleh teks sandi (ciphertext) ( , ), dimana ={1,2,…, }.

Lalu Yayuk mengirimkan teks sandi ini kepada Khudlori.

2.1.3 Proses Dekripsi

Setelah teks sandi diterima oleh Khudlori, pesan akan didekripsi

menggunakan kunci pribadi dan kunci publik ( , , A) milik Khudlori.

Pada proses enkripsi digunakan ephemeral key . Pada proses dekripsi

tidak akan digunakan lagi. Jika diberikan teks sandi ( , ), maka,

= ( )-1 mod

ℤ * merupakan grup siklik yang mempunyai order -1, dengan

{0,1,…, -2}, sehingga

( )-1= ( )- = -1- .

Pada proses dekripsi membutuhkan teks sandi ( , ), dimana

={1,2,…, }, kunci publik ( , , A), dan kunci pribadi . Hasil dari proses

dekripsi ini adalah teks terang (plaintext). Berikut ini adalah langkah-

langkah pada proses dekripsi:

Untuk dari 1 sampai , kerjakan:

a. Hitung -1- mod .

b. Hitung = ( )-1 mod , untuk ={1,2,…, }.

2.2 Komponen ElGamal

2.2.1 Grup siklik ℤ *

Suatu grup akan dikatakan grup siklik, jika terdapat satu atau lebih

elemen generator atau pembangun dalam himpunan tersebut [2]. Kecuali

elemen identitas, elemen identitas tidak akan bisa membangun atau bukan

generator. Suatu grup siklik dinotasikan dengan { G∣ ℤ}.

Himpunan ℤ *≡ ℤ – {[0]} merupakan grup siklik dengan himpunan

bilangan bulat modulus dengan operasi perkalian dan adalah bilangan

prima, serta merupakan grup komutatif.

Dalam perhitungan algoritma kriptografi ElGamal diambil sebuah

bilangan prima . Semua persamaan dalam pembentukan kunci, proses

enkripsi, dan proses dekripsi dimoduluskan sehingga dalam kasus ini

algoritma kriptografi ElGamal akan selalu memunculkan bilangan anggota

grup siklik tanpa nol dengan order -1 yaitu ℤ *. Dengan kata lain , , A,

606

, , dan ℤ *. Agar algoritma kriptografi ElGamal memiliki kekuatan

maksimal, pengambilan ℤ * harus memenuhi syarat bahwa adalah

elemen primitif dari ℤ *.

2.2.2 Elemen primitif pada grup siklik ℤ *

Jika terdapat bilangan prima dan ℤ *, maka lebih kecil dari

atau ℤ *. Lalu dikatakan generator atau elemen primitif dari ℤ *

jika terdapat ℤ *, dan dari 1 sampai -1 terdapat suatu dimana ≡

mod [2].

Contoh 1.

Jika =11, buktikan bahwa 2 merupakan elemen primitif dari mod p!

21=2 (mod 11)

22=4 (mod 11)

23=8 (mod 11)

24=5 (mod 11)

25=3 (mod 11)

26=9 (mod 11)

27=7 (mod 11)

28=10 (mod 11)

29=6 (mod 11)

210=1 (mod 11)

Setiap bilangan 1 sampai 10 elemen dari =11 dapat dibentuk oleh 2

mod 11. Terbukti bahwa 2 adalah elemen primitif dari mod .

Berikut ini adalah beberapa teorema mengenai elemen primitif [1].

i. ℤ * mempunyai generator atau elemen primitif jika dan hanya jika =2, 4, , atau 2 dimana adalah sebuah bilangan prima ganjil dan ≥1, jika adalah prima maka ℤ * mempunyai elemen primitif.

ii. Jika elemen primitif dari ℤ *, maka ℤ *= { mod ∣ 0≤ ≤ ϕ(n)-1}.

iii. Andaikan generator dari ℤ *, maka = mod juga generator dari ℤ * jika dan hanya jika gcd( , ϕ( ))=1, dan menunjukkan bahwa ℤ * siklik.

iv. ℤ * adalah generator dari ℤ * jika dan hanya jika ϕ( )/ ≠ 1 (mod ) untuk setiap faktor prima dari ϕ( ).

Dari teorema ke-iv didapatkan bahwa jika terdapat faktorisasi

prima dari ϕ( )= -1 dimana = 1, 2,…, , kita dapat menentukan apakah

sebuah ℤ * elemen primitif (generator) atau bukan [2].

i. Jika ( -1)/ mod ≠ 1, maka merupakan elemen primitif dari mod atau ℤ *.

607

ii. Jika ( -1)/ mod = 1, maka bukan merupakan elemen primitif dari mod atau ℤ *.

Contoh 2.

Jika =11, faktor prima -1= 11-1= 10= 2.5

1. Buktikan apakah 2 merupakan elemen primitif dari mod !

210/2 mod 11= 25 mod 11= 10

210/5 mod 11= 22 mod 11= 4

Terbukti bahwa 2 merupakan elemen primitif dari mod 11.

2. Buktikan apakah 3 merupakan elemen primitif dari mod !

310/2 mod 11= 35 mod 11= 1

310/5 mod 11= 32 mod 11= 9

Terdapat 310/2 mod 11= 35 mod 11= 1, sehingga 3 bukan merupakan

elemen primitif mod 11.

2.2.3 Permasalahan logaritma diskret

Menurut definisi pada [3], andaikan adalah elemen primitif dari ,

permasalahan logaritma diskret adalah permasalahan dalam mencari

sebuah eksponen , seperti dibawah ini,

≡ (mod ).

Nilai disebut logaritma diskret dari pada basis dan dinotasikan

log ( ).

2.3 Pengaruh ℤ * yang diambil pada enkripsi pesan algoritma

kriptografi ElGamal

Algoritma kriptografi ElGamal akan mudah dikriptanalisis karena nilai

akan beroperasi pada < > dan akan terdapat bilangan selain yang bisa

digunakan untuk mendekripsi pesan.

BUKTI :

a. Dari definisi elemen primitif didapatkan bahwa dikatakan generator atau elemen primitif dari mod atau ℤ *, jika dipangkatkan dengan 1 sampai -1 menghasilkan semua elemen ℤ * secara permutasi [3]. Dengan kata lain order dari < > merupakan ϕ( ) yaitu -1.

b. Dari Fermat’s Little Theorem bahwa -1≡ 1 mod , dimana gcd( , )= 1 dan < . Didapatkan bahwa jika merupakan elemen primitif maka

≠ 1 (mod ), untuk adalah semua bilangan bulat positif dan <ϕ( ).

c. Didapatkan bahwa jika terdapat ≡ 1 (mod ) dan < ϕ( ), maka bukan merupakan elemen primitif dari [4]. Sehingga menunjukkan bahwa dengan dipangkatkan dari 1 sampai -1 hanya dapat

608

membangun dengan order lebih kecil dari -1 yaitu . Pernyataan ini kontradiksi dengan pernyataan a. yang menyebutkan bahwa suatu dikatakan generator atau elemen primitif jika dipangkatkan dengan 1 sampai -1 menghasilkan semua elemen di ℤ * secara permutasi.

d. Dari pernyataan c. didapatkan bahwa semua elemen yang dibangun dinotasikan < > bukan elemen primitif dari ℤ *, karena semua elemen < > jika dipangkatkan dengan 1 sampai -1 tidak menghasilkan semua elemen di ℤ * secara permutasi.

e. Jika ℤ * dengan bukan elemen primitif dari ℤ * maka order < > membagi order ℤ *. Sehingga akan terjadi perulangan pada setiap elemen < > sebanyak dengan, = ϕ( )

= ϕ( )/

= -1/

Pembuktian di atas akan menunjukkan kenapa yang diambil pada kunci

publik harus elemen primitif. Pengambilan harus elemen primitif karena jika

yang diambil bukan elemen primitif, maka akan membentuk himpunan baru yaitu

< >. Sehingga operasi pada ElGamal yang seharusnya menggunakan modulus

atau ℤ * dengan order -1, digantikan oleh < > dengan order , dengan < -1

Teks sandi hasil enkripsi akan lebih mudah diserang oleh kriptanalis karena

pada proses enkripsi algoritma kriptografi ElGamal yang seharusnya beroperasi

pada order -1 berkurang menjadi berorder untuk dimana = mod , karena

jika terdapat mod dimana semua bukan elemen primitif ℤ *, maka k mod

akan selalu menghasilkan nilai elemen anggota < >. Meskipun nilai tidak selalu

elemen dari < >, tetapi karena = A . mod dimana A= mod , sehingga A =

mod akan selalu menghasilkan elemen dari < >. Diketahui = A mod ,

maka didapatkan = (A )-1 mod = ( )-1 mod sehingga kriptanalis akan

lebih mudah mencari teks terang , karena A = mod akan selalu

menghasilkan elemen dari < > dan order < > lebih kecil dari order ℤ *. Semakin

kecil order maka akan semakin mudah diserang oleh kriptanalis. Hal ini tentu akan

sangat merugikan karena tidak memaksimalkan kekuatan ElGamal dari bilangan

yang diambil. Penggunaan elemen primitif akan membangun grup siklik ℤ *

dengan order maksimal yaitu -1. Sehingga kekuatan dari algoritma ElGamal dapat

dimaksimalkan.

Diketahui juga bahwa order < > membagi order ℤ *, sehingga setiap

elemen < > akan berulang sebanyak = ( -1)/ . Jika setiap elemen < > berulang

sebanyak = ( -1)/ maka akan mempunyai nilai sama sebanyak .

609

Contoh 3.

Buktikan bahwa 3 bukan elemen primitif dari ℤ11* sehingga jika 3

dipangkatkan 1 sampai 10 akan menghasilkan himpunan semua bilangan bukan

elemen primitif ℤ11* dengan order kurang dari 10.

Faktor prima -1= 11-1= 10= 2.5,

310/2 mod 11= 35 mod 11= 1

310/5 mod 11= 32 mod 11= 9

Terdapat 310/2 mod 11= 35 mod 11= 1, sehingga 3 bukan merupakan elemen primitif

mod 11.

Jika 3 dipangkatkan dari 1 sampai 10 akan membentuk himpunan < >.

31=3 (mod 11)

32=9 (mod 11)

33=5 (mod 11)

34=4 (mod 11)

35=1 (mod 11)

36=3 (mod 11)

37=9 (mod 11)

38=5 (mod 11)

39=4 (mod 11)

310=1 (mod 11).

Maka 3 dipangkatkan dari 1 sampai 10 didapatkan {1,3,4,5,9} dengan order 5, =

( -1)/ = (11-1)/5 = 10/5 = 2. Terdapat dua nilai sama dengan pangkat

berbeda bila dimoduluskan dengan 11.

Contoh 4.

Yayuk akan mengirim pesan “AYO” kepada Khudlori. Salah satu kunci

publik yang diambil elemen primitif.

Proses:

1. Pembentukan kunci

Khudlori harus membuat kunci publik dan kunci rahasia, misalkan

dipilih bilangan prima =257 dan =3. Faktorisasi prima dari

256=2.2.2.2.2.2.2.2 maka = 2.

Langkah-langkah pembentukan kunci:

a. Buktikan bahwa = 3 elemen primitif mod 257, ( -1)/2 mod = 3(256)/2

mod 257= 256. Terbukti bahwa 2 elemen primitif mod 257.

b. Ambil {0,1,…,255}, misalkan = 3

610

Diketahui persamaan A= mod = 33 mod 257= 27, sehingga

dibentuk suatu kunci publik (257, 3, 27) dan kunci pribadi =3. Kunci

publik (257, 3, 27) dipublikasikan oleh Khudlori sehingga diketahui

Yayuk. Yayuk menggunakan kunci publik milik Khudlori untuk

mengenkripsi pesan yang akan dikirim kepada Khudlori.

2. Proses enkripsi

Langkah-langkah pada proses enkripsi adalah:

a. Pada proses enkripsi pesan yang akan dienkripsi diubah terlebih

dahulu ke dalam kode ASCII, ={A,Y,O}={65,89,79}. Pada

algoritma enkripsi dibutuhkan pesan dan kunci publik (257, 3, 27).

b. Hasil dari proses enkripsi ini adalah teks sandi (ciphertext) ( , ). Pilih

bilangan acak rahasia sementara (ephemeral key) i {0,1,…,255}, i

ditentukan oleh pengirim atau pihak yang mengenkripsi pesan yaitu

Yayuk. Ephemeral key hanya digunakan sekali saja saat enkripsi

pesan, sehingga tidak perlu disimpan.

i = ki mod 257 i = Aki .m mod 257

1 65 3 27 49

2 89 6 215 17

3 79 8 136 143

Maka didapatkan teks sandi ( , ) = {(27, 49),(215, 17),(136, 143)}.

3. Proses dekripsi

Pada proses dekripsi dibutuhkan kunci pribadi = 3 untuk

mengembalikan teks sandi ke teks terang.

( , ) i253 mod 257 i = i( i

253) mod 257

1 (27, 49) 80 65

2 (215, 17) 232 89

3 (136, 143) 227 79

Dari tabel dekripsi tersebut didapatkan teks terang adalah {65,89,79},

adalah elemen primitif sehingga order < > adalah -1. Tidak ada nilai lain

selain yang dapat mendekripsi teks sandi.

611

Contoh 5.

Yayuk akan mengirim pesan “AYO” kepada Khudlori. Salah satu kunci

publik yang diambil bukan elemen primitif.

Proses:

1. Pembentukan kunci

Khudlori harus membuat kunci publik dan kunci rahasia, misalkan

dipilih bilangan prima =257 dan =2. Faktorisasi prima dari

256=2.2.2.2.2.2.2.2 maka = 2.

Langkah-langkah pembentukan kunci:

a. Buktikan bahwa = 2 bukan elemen primitif mod 257, ( -1)/2 mod =

2(256)/2

mod 257= 1. Terbukti bahwa 2 bukan elemen primitif mod 257.

b. Ambil {0,1,…,255}, misalkan = 3

Diketahui persamaan A= mod = 23 mod 257= 8, sehingga dibentuk

suatu kunci publik (257,2,8) dan kunci pribadi =3. Kunci publik

(257,2,8) dipublikasikan oleh Khudlori sehingga diketahui Yayuk.

Yayuk menggunakan kunci publik milik Khudlori untuk mengenkripsi

pesan yang akan dikirim kepada Khudlori.

2. Proses enkripsi

Langkah-langkah pada proses enkripsi adalah:

a. Pada proses enkripsi pesan yang akan dienkripsi diubah terlebih

dahulu ke dalam kode ASCII, ={A,Y,O}={65,89,79}. Pada

algoritma enkripsi dibutuhkan pesan dan kunci publik (257,2,8).

b. Hasil dari proses enkripsi ini adalah teks sandi (ciphertext) ( , ). Pilih

bilangan acak rahasia sementara (ephemeral key) i {0,1,…,255}, i

ditentukan oleh pengirim atau pihak yang mengenkripsi pesan yaitu

Yayuk. Ephemeral key hanya digunakan sekali saja saat enkripsi

pesan, sehingga tidak perlu disimpan.

i = ki mod 257 i = Aki .m mod 257

1 65 3 8 127

2 89 6 64 99

3 79 8 256 178

612

Maka didapatkan teks sandi ( , ) = {(8, 127),(64, 99),(256, 178)}.

Semua nilai yaitu {8,64,256} bukan elemen primitif dari mod 257

sehingga < >.

3. Proses dekripsi

Pada proses dekripsi dibutuhkan kunci pribadi = 3 untuk

mengembalikan teks sandi ke teks terang.

( , ) i253 mod 257 i = i( i

253) mod 257

1 (8,127) 128 65

2 (64,99) 193 89

3 (256,178) 256 79

Dari tabel dekripsi tersebut didapatkan teks terang adalah {65,89,79}.

Tetapi terdapat nilai lain yang berbeda dengan yang bisa mendekripsi teks

terang.

Misalkan diambil = 19, maka

A= mod = 219 mod 257= 8

( , ) i253 mod 257 i = i( i

253) mod 257

1 (8,127) 128 65

2 (64,99) 193 89

3 (256,178) 256 79

Terbukti bahwa terdapat yang berbeda dengan kunci rahasia dan dapat

digunakan untuk dekripsi pesan. Hal ini akan mengakibatkan kriptanalis akan

semakin mudah membuka teks sandi.

3. Kesimpulan

Kesimpulan yang diperoleh dari pembuktian pengaruh elemen primitif dari

grup siklik ℤ * terhadap Algoritma Kriptografi ElGamal untuk enkripsi pesan,

yaitu:

a. Jika salah satu unsur kunci publik, yaitu elemen primitif dari ℤ * maka kekuatan algoritma ElGamal akan maksimal, karena dapat membangun semua elemen ℤ *. Dengan kata lain order dari < > adalah -1, sehingga kunci rahasia akan mempunyai nilai tunggal atau unik pada modulus .

613

b. Jika salah satu unsur kunci publik, yaitu bukan elemen primitif dari ℤ * maka

kekuatan algoritma ElGamal tidak akan maksimal, karena tidak dapat

membangun semua elemen ℤ *. Dengan kata lain order dari < > kurang dari -

1, sehingga kunci rahasia akan mempunyai nilai sama sebanyak =

ϕ(ℤ *)/ϕ(< >).

Referensi

[1] A.Menezes, P.Van Oorschot, and S.Vanstone, 1996, Handbook of Applied

Cryptography, CRC Press.

[2] Schneier, Bruce, 1996, Applied Cryptography 2nd, John Wiley & Sons.

[3] J.Hoffstein, Jill Pipher, and J.H.Silverman, 2008, An Introduction to

Mathematical Cryptography. Springer.

[4] Sukirman, 2006, Pengantar Teori Bilangan, Hanggar Keraton, Yogyakarta

[5] W. Diffie dan M. E. Hellman. New Directions in Cryptography. IEE

Trans.Information Theory, IT-22(6):644-654, 1976.

[6] R . L. Rivest, A. Shamir, dan L. Adleman. A Method for Obtaining Digital

Signatures and Public-Key Cryptosystems. Comm. ACM, 21(2):120-126, 1978.

[7] R. C. Merkle dan M. E. Hellman. Hiding information and signatures in

trapdoor knapsacks. Secure Communications and Asymetric Cryptosystems,

volume 69 pada AAAS Sel. Sympos. Ser., halaman 197-215. Westview,Boulder

CO, 1982.

[8] T. ElGamal, "A Public-Key Cryptosystem and a Signature Scheme Based on

Discrete Logarithms," Advances in Cryptology: Proceedings of CRYPTO 84,

Springer-Verlag, 1985, pp. 10

kata sambutan - math.ui.ac.id · kata sambutan seminar nasional matematika 2017 wilayah jabar-dki...

Documents