karya tulis ilmiah - unud

KARYA TULIS ILMIAH

SKEMA KLASIFIKASI KEADAAN TERBELIT KUANTUM EMPAT PARTIT

DALAM EKUIVALENSI SLOCC

Oleh:

Ni Luh Putu Trisnawati, S.Si., M.Si. [Divisi Biofisika Teoritik]

I Ketut Sukarasa, S.Si., M.Si. [Divisi Fisika Bumi]

JURUSAN FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS UDAYANA

2017

ii

HALAMAN PENGESAHAN

1 Judul Karya Tulis Ilmiah : Skema Klasifikasi Keadaan Terbelit Kuantum Empat

Partit Dalam Ekuivalensi SLOCC

2 Ketua Peneliti

a. Nama lengkap dengan gelar : Ni Luh Putu Trisnawati, S.Si., M.Si.

b. Jenis Kelamin : Perempuan

c. Pangkat/Gol./NIP : Penata Muda Tk-I/III-b/19720212 200003 2 001

d. Jabatan Fungsional : Lektor

E. Fakultas/Jurusan : MIPA/Fisika

f. Universitas : Udayana

g. Bidang Ilmu yang diteliti : Biofisika Teoritik: Keterbelitan Kuantum Multipartit

3 Anggota Peneliti

a. Nama Lengkap : I Ketut Sukarasa, S.Si., M.Si.

b. NIP : 19690601 199802 1 001

c. Perguruan Tinggi : Udayana

4 Jumlah Peneliti :

5 Lokasi : Divisi Biofisika Teoritik, Fisika/FMIPA Unud

6 Kerjasama

a. Nama Instansi : -

7 Jangka Waktu Penelitian : 6(enam) bulan

Bukit Jimbaran, 21 Juli 2017

Mengetahui Ketua Peneliti

Dekan FMIPA Unud

Drs. Ida Bagus Suaskara, M.Si. Ni Luh Putu Trisnawati, S.Si., M.Si.

NIP. 19660611 199702 1 001 NIP. 19720212 200003 2 001

iii

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadapan Hyang Widhi Wasa atas asung waranugraha-Nya, penulis bisa

menyelesaikan karya tulis ilmiah yang berjudul” Skema Klasifikasi Keadaan Terbelit Kuantum

Empat Partit Dalam Ekuivalensi SLOCC”. Yang merupakan karya tulis dalam pendekatan teoritis

terhadap fenomena keterbelitan pada kawasan fisika kuantum terutama kuantum biofisika. Yang mana

penerapan teoritiknya meluas pada bidang informasi kuantum. Demikian juga dalam kawasan biologi

terutama fenomena alih informasi dalam DNA melalui pendekatan proses keterbelitan kuantum.

Semoga karya tulis yang sederhana ini mampu memberikan celah kecil untuk mengungkapkan

fenomena kuantum dalam mahluk hidup. Besaran harapan penulis pada masukan berupa saran atau

kritik dari pembaca dan para pakar kuantum untuk dikemudian hari memberikan perbaikan dari segi

tinjauan fiiska dan penggunaan metode aljabar lanjut yang bersesuaian.

Terimakasih penulis ucapkan pada kolega I N Artawan yang memberikan banyak masukan pada

kasus penjabaran aljabar lanjut terutama vektorisasi hasil tripartit dari Single Value Decomposition.

Bukit Jimbaran, Juli 2017

Penyusun

iv

ABSTRAK

Telah diturunkan skema klasifikasi keadaan terbelit empat partite dibawah ekuivalensi SLOCC

metode dekomposisi keadaan keterbelitan kuantum empat partit terurai menjadi keadaan kerterbelitan

kuantum tripartit melalui mekanisme vektorisasi, matrik unfolding, dan SVD (singular value

decomposition) dan memberikan tiga representasi matrik tripartit dan sejumlah vektor bebas linier.

Dimana dalam jumlah vektornya dibatasi oleh rank matrik nilai tunggal SVD. Dari hasil uraian kedua

kelompok vektor-vektor ini disusun kembali dalam bentuk representasi matrik (matrices realignment)

yang akhirnya menjadi dasar klasifikasi keterbelitan kuantum untuk kasus multipartit yaitu melaui

ekivalensi rank matrik bersangkutan dalam kelas yang sama. Telah juga ditunjukkan uraian metode

klasifikasi ini melalui contoh kasus keterbelitan empat partit yaitu pada kelas: Four Qubits can be

entangled in nine different ways, yang memberikan beragam ekuivalensi keterbelitan.

v

DAFTAR ISI

LEMBAR PENGESAHAN

………………………………………………………………….. ii

KATA PENGANTAR

………………………………………………………………….. iii

ABSTRAK

………………………………………………………………….. iv

DAFTAR ISI ………………………………………………………………….. v

BAB I PENDAHULUAN ………………………………………………………………….. 1

BAB II DASAR TEORI A Representasi Keadaan Kuantum ……………………….. 3

B Ekuivalensi SLOCC Keadaan Empat-Partite …………. 7

BAB III PEMBAHASAN A Uraian Keadaan Tripartit ………………………………. 12

B Contoh Kasus Pertama ………………………………….. 13

C Penjelasan Ekuivalensi SLOCC ………………………… 15

D Contoh Kasus Kedua …………………………………….. 21

E Contoh Perhitungan ekivalen SLOCC …………………. 26

BAB IV KESIMPULAN ………………………………………………………………….. 28

DAFTAR PUSTAKA ………………………………………………………………….. 29

Skema Klasifikasi Keadaan Terbelit Kuantum Empat Partit Dalam Ekuivalensi SLOCC Hal. 1

BAB I

PENDAHULUAN

Penelitian tentang kalsifikasi keterbelitan kuantum multipartit saat ini masih berkutat

pada kasus tripartit antara lain adalah penentuan ekivalensi LOCC (Local Quantum

Operation and Classical Comunication ) untuk kasus keterbelitan tripartite yang proses

ekivalensinya diturunkan melalui operasi lokal uniter, ekivalensi SLOCC (Stochastic Local

Quantum Operatin and Classical Comunication) juga pada kasus keterbelitan tripartite yang

melibatkan operasi ILO (Invertible Local Operator) [1,2,3]. Kedua, mekanisme pendeteksian

keterbelitan yang melibatkan karakter rank matrik tereduksi dari matrik kerapatan keadaan

keterbelitan tripartite dan fourpartite untuk varian partisi elemen pembentuk keterbelitannya

[4,5,6,7]. Ketiga, adalah penerapan keterbelitan multipartite sebagai kanal kuantum dalam

protokol teleportasi kuantum yang sampai saat ini hanya sampai keterbelitan fourpartit

[8,9,10,11,12].

Dari uraian di atas tergambarkan bahwa masih terhampar luas area penelitian dan

pengembangan metode klasifikasi keterbelitan kuantum multipartit. Untuk itu dalam

penelitian ini berkonsentrasi pada masalah berikut:

Metode ekivalensi SLOCC pada keterbelitan multipartit melalui ekivalensi HOSVD

(High Order Single Value Decomposition) yang berbasis pada kesamaan matrik nilai

tunggalnya.

Formalisma pendeteksian keterbelitan multipartit melalui karakter pengaturan

(realignment matrices) matrik kerapatannya dalam varian partisi pembentuknya.

Dengan memanfaatkan hasil kedua penelitian diatas selanjutnya akan dibangun

formalisma klasifikasi keterbelitan multipartit.

Tujuan utama yang ingin dicapai dari ketiga hasil penelitian di atas adalah menyediakan

kerangka teoritis klasifikasi keterbelitan multipartit yang berupa metode ekivalensi SLOCC,

formalisma pendeteksian keterbelitan dan formalisma seleksi kanal multipartite dalam

protokol teleportasi kuantum. Disamping tujuan utama di atas ada sejumlah tujuan khusus

ingin dicapai dalam penelitian ini yaitu:

Menyediakan skema klasifikasi keadaan terbelit empat partite dibawah ekuivalensi

SLOCC.

Mentransformasikan empat-partite menjadi 2 (dua) keadaan tripartite 1 (satu)

bipartite.


Meredefinisikan metode matematis: vektorisasi, matrik unfolding, dan SVD (singular

value decomposition.

Mendemonstrasikan bahwa dua keterbelitan 4-partite adalah satu kelas, jika dan

hanya jika setiap bentuk partisi keadan triple ( ) dari masing-masing

keterbelitan adalah ekuivalensi SLOCC: disimpulkan kedua keterbelitan masuk dalam

satu kelas yang sama

Hal yang membedakan antara sistem informasi kuantum dibandingkan dengan informasi

klasik adalah mengenai keamanan datanya. Karena dalam informasi kuantum dikenal adanya

teorema non-clonning dan non-delete sehingga data sangat aman dari serangan peretas dan

sifat ini tidak dimiliki oleh informasi klasik, [11,12]. Hal ini ditunjukkan oleh peristiwa akhir-

akhir ini yang mengebohkan dunia maya dari serangan peretas informasi atau data (klasik)

dalam jumlah besar dan masif, untuk itu kedepan dengan ditunjang oleh perkembangan

teknologi material kuantum sekiranya sistem informasi kuantum yang berbasis pada keadaan

keterbelitan multipartit ini mampu diimplementasikan untuk menggantikan sistem informasi

klasik.

Sejalan dengan peran penting keterbelitan multipartite dalam informasi kuantum, yang

pertama adalah mekanisne kuantifikasi keterbelitannya yang melibatkan metode aljabar lanjut

guna menurunkan ekivalensi LOCC/SLOCC yang mampu saling menggantikan peran media

kanal dalam lalu lintas informasi kuantum. Kedua, melalui mekanisme karakter rank matrik

kerapatan tereduksi sebagai formalisma pendeteksi keterbelitannya, dan terakhir adalah

tingkat kesuksesan keterbelitan multipartite sebagai kanal pembawa informasi kuantum

dalam protokol teleportasi kuantum. Dari tiga hal utama ini sekiranya mampu menyediakan

tonggak baru informasi masa depan yang cepat, praktis, murah dan aman. Dan akhirnya

mampu mendorong pengembangan teleportasi kuantum, komputasi kuantum, terjemahan

cepat kuantum, kriptografi kuantum, distribusi kunci kuantum dan penyebaran informasi

kuantum.


BAB II

DASAR TEORI

A. Representasi Keadaan Kuantum

Tinjau representasi keadaan kuantum bipartite | ⟩ ∑

| ⟩| ⟩ dalam bentuk

matrik, yaitu:

(

) (2.1)

Dua | ⟩ dan | ⟩ adalah ekuivalen SLOCC jika dan hanya jika dihubungkan

melalui operator lokal invertibel, artinya, | ⟩ ⨂ ⨂ | ⟩. Misalnya untuk keadaan

bipartite bentuk ekuivalensi SLOCC dituliskan [4,8],

(2.2)

dimana, dan yang merupakan matrik invertibel. Untuk tripartite

diungkapkan sebagai matrik tuple,

( ) (2.3)

dimana untuk * +. Ekuivalensi SLOCC, | ⟩ ⨂ ⨂ | ⟩,

yang dapat diungkapkan sebagai:

.

/ ( ) (2.4)

Disini keadaan tripartite berperilaku sebagai vektor baris yang komponen-komponennya dalah matrik.

Tinjau operasi berkaitan dengan matrik, yaitu: vektorisasi dan folding [6,9],

Vektorisasi:

( ) [( ) ( ) ( ) ]

(2.5)

Operasi folding merupakan operasi kebalikan dari operasi vektorisasi yaitu melalui pengkemasan

elemen vektor ke dalam matrik, misalnya kasus bipartite:


| ⟩ | ⟩

| ⟩

| ⟩

| ⟩

| ⟩

| ⟩

| ⟩ | ⟩}

[

]

( ) 0.

/ .

/ .

/ 1

( ) ( )

( )

[

]

[

( )

( )

] (2.6)

Tinjau bipartisi keadaan empat partikel ( )( ) , dimana tensor

kompleks empat partikel ini direpresentasikan menjadi matrik berindeks bipartisi berikut,

( )( )

[ ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )

( )( )

( )( ) ( )( )

( )( )]

[

]

( )

Tinjau ilustrasi berikut,

( )( ) , ( ) *( ) ( ) ( ) ( )+ demikian juga

untuk, ( ) *( ) ( ) ( ) ( )+ dalam ungkapan vektor:

( )( ) ( ( )( ))

[( ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )) ( ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ))

( ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )) ( ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ))]

yang dalam representasi matrik dituliskan,


( ( )( )) ( )( )

[ ( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )]

[

]

( )

Dekomposisi nilai tunggal (SVD) persamaan (2.7) adalah, [12,14,16]:

( )( ) (2.8)

dimana adalah matrik diagonal rank , matrik uniter dan yang dibentuk oleh vektor

tunggal kiri dan kanan dari ( )( ), artinya ( ) ( ) dan

dimensi vektor-vektor dan adalah masing-masing, dan dan ( ) .

Dalam penelitian ini akan diperkenalkan formulasi keadaan empat-partikel berdasarkan pada

partisi ( )( ),

( )( ) ( ) (2.9)

dimana ( ( ) ( )) dengan ( ) ( ), ( ( ) ( ))

dengan ( ) ( ) dan ( ) dengan * + yang

berbentuk nilai tunggal taknol dalam . Di dalam representasi ini, dan dipandang

sebagai keadaan tripartite berdimensi .

Juga ditetapkan keadaan komplementer keadan tripartite. Jika keadaan

( ), dimana merupakan keadaan terbelit asli berdimensi

Gambar.1 Keadaan empat partite Ψ𝐼 𝐼 𝐼 𝐼 difaktorisasi kedalam

bipartisi (𝐼 𝐼 )(𝐼 𝐼 ) yang melibatkan dua keadaan tripartite

murni Ψ𝑢 dan Ψ𝑣 dan satu keadaan bipartite murni Ψ𝜆.


selanjutnya ( ) * + merupakan vektor-vektor bebas linier. Keadaan

komplementer adalah,

( ). (2.10)

Disini ( ) { } adalah vektor-vektor bebas linier. Berdasarkan

definisi ini , keadaan komplementer dapat dituliskan,

( ( ) ) ( ), (2.11)

dimana ( ) . Vektor tunggal kiri dibagi menjadi dua bagian ( ) dengan

( ) dan ( ). Keadaan kuantum diperoleh dengan

mengkemaskan vektor tunggal kiri berhubungan dengan nilai tunggal nol dari ( )( ).

Hal yang sama juga diterapkan pada . Untuk keadaan komplementer tinjau Lemma berikut

yang tidak pernah lepas dari pembicaraan [14,15,16].

Lemma 1. Keadaan tripartite (

) dan ( ) adalah

ekuivalen SLOCC jika dan hanya jika terdapat .

/, sehingga memenuhi

hububungan,

( ⨂ ) (2.12)

Disini (

) dengan ( (

) ( )),

. ( ) (

)/;

( ) dengan ( ( ) ( )), . ( ) ( )/;

, dan ( ) ( ) adalah matrik-matrik invertible dan

adalah sembarang.

Bukti:Jika adalah ekuivalen SLOCC dengan , maka

( ⨂

)( ( ) (

) ( )) ( ( ) ( ) ( )) (2.13)

dimana , , dan adalah matrik-matrik invertibel.

Karena vektor kolom ( ⨂

) ( ) * + adalah bebas linier dan


termasuk juga ruang vektor dari vektor kolom ( ( ) ( ) ( )) . Oleh karena

itu terdapat matrik invertibel sehingga,

( ⨂

)(

) ( ) .

/ (2.14)

disini ( (

) ( ) (

)), . (

) ( )/, dan juga untuk

( ( ) ( ) ( )), . ( ) ( )/.

B. Ekuivalensi SLOCC Keadaan Empat-Partite.

Untuk dua keadaan kuantum dan dengan bentuk keadan triple: (

) dan

( ), serta teorema berikut.

Teorema 1. Dua keadaan kuantum quadripartite dan adalah ekuivalen jika dan

jika himpunan keadaan-keadaan triple-nya adalah ekuivalen SLOCC dalam bentuk

berikut,

| ⟩ ⨂ ⨂ | ⟩, |

⟩ ⨂ ⨂

| ⟩, | ⟩ ⨂ | ⟩ (2.15)

dimana , , ,

, , dan adalah matrik-matrik invertibel.

Bukti: Pertama, tinjau dua keadaan empat-partite dan adalah ekuivalen SLOCC,

maka

( ⨂ ) ( ⨂ ) dan

( ⨂ ) ( ⨂ ) . (2.16)

Faktorisasi QR dari ( ⨂ ) dan ( ⨂

) adalah,

( ⨂ ) , ( ⨂

) . (2.17)

dan adalah matrik uniter, dan adalah matrik segitiga atas. Ambil

persamaan (2.17) dan (16), diperoleh,

(2.18)


dimana merupakan SVD dari

. Ini memberikan relasi berikut,

( ), ( ) (2.19)

disini adalah matrik-matrik uniter dengan dimensi yang bersesuian dengan

degenerasi nilai tunggal dalam . Tinjau persamaan (17) dan (19), diperoleh,

( ⨂ ) ( ⨂ ) dan (

⨂ )

( ⨂ ) ( ) ( ⨂ )

(20)

( ⨂ )

( ) ( ⨂ ) (2.21)

Tinjau persamaan (2.16), (2.20), dan (2.21).

( ⨂ ) ( ⨂ )

( ⨂ ) ( ( ))

( ( )) (

) ( ⨂ ) ( ⨂ ) ( ⨂ )

( ( ))

( ( )) (

)

. ( ( ))/

( ( ) (

) )

( ( ))

( )( ) (

) ( )( ( ) )

( ( ))

( ( ) )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

(2.22)

dimana ( ) dan

( ), dan mempunyai bentuk berikut,

0

1 0

1. (2.23)

Disini dan memuat nilai-nilai tunggal tidak nol dari dan . Oleh karena itu matrik-

matrik invertibel dan dalam persamaan (2.22), mengambil bentuk,

[

] [

] (2.24)

dimana dan adalah invertibel; adalah submatrik yang tidak perlu

diidentifikasi sebelumya. Berdasarkan representasi persamaan (2.9), persamaan (2.20) –

(2.22) dan juga persamaan (2.15).


Kedua, jika (

) dan ( ) adalah SLOCC yang bersesuian, maka menurut

lemma 1 dan persamaan (12) serta (15), diperoleh

( ⨂ ) , ( ⨂ ) , (2.25)

dimana dan mempunyai bentuk seperti pada persamaan (2.24). Dengan demikian,

( ⨂ ) (( ⨂ ) )

( ⨂ ) (( ⨂ ) )

( ⨂ ) ( ) ( ⨂ )

( ⨂ )( )( ⨂ )

( ⨂ ) ( ⨂ ) ( )

Artinya dan adalah ekuivalen SLOCC.

Teorema 1 merubah ekuivalen SLOCC keadaan empat-partite dalam tripartite dan bipartite.

Ini tidak hanya mereduksi kerumitan klasifikasi keterbelitan keadaan multipartite, tetapi juga

menyediakan cara untuk mempelajari keterbelitan multipartite seluruh sistem melaui

subsistemnya. Dalam praktiknya, jika kita ingin memverifikasi ekuivalensi SLOCC dua

keadaan empat-partite, lebih awal yang harus dibuktikan adalah ekuivalensi SLOCC dua

keadaan tri-partite-nya. Berikut akan ditunjukkan, hanya diperlukan persamaan linier dan

matrik-matrik dan dalam pembuktiannya.

Jika matrik , tanpa kehilangan generalitasnya (sifat matrik invertibel)

yang dapat dituliskan sebagai bentuk blok,

[

]

. (2.27)

Disini adalah sub matrik . Pengaturan kembali matrik menurut blok-blok

yang didefinisikan menjadi,

( ) . ( ) ( ) ( ) ( ) ( )/

dimana ( ) .


Contoh: Misalkan , dimana

[ 0

1

0

1

0

1

0

1

]

Pengaturan kembali matrik :

( ) .( ( ) ( )) ( ( ) ( ))/

[( ( ) ( ))

( ( ) ( )) ]

[ ( ( ))

( ( ))

( ( ))

( ( )) ]

[ ,( )

-

,( ) -

,( ) -

,( ) - ]

[ ( )

( )

( )

( )]

( ) <

=

Selanjutnya gunakan Corollary berikut.

Corollary 1. Untuk dua keadaan tripartite dan , tiga pernyataan beikut

adalah ekuivalen:

1. dan adalah ekuivalen SLOCC;

2. matrik invertibel , sehingga rank [ ( )]

3. Terdapat matrik invertibel , sehingga untuk sembarang

vektor-vektor , mempunyai rank 0 .( ) /1 , ( )-.

Bukti:

Pertama:

Ekuivalensi 1 dan 2. Ekuivalensi 1 dan 2 langsung dapat diperoleh dari persamaan

(12). Artinya pengaturan kembali dan memberikan rank-1 yang selanjutnya

merupakan direct product dari dua matrik invertibel.

Ekuivalensi 1 dan 3. Jika dan adalah ekuivalen SLOCC, mak

dan

adalah ekuivalen SLOCC, maka menurut persamaan (12) diperoleh

( ⨂

) dan,

.( ) / ,(

⨂ ) -

( ) (2.28)

Disini rank .( ) / dan ( ) adalah sama untuk sembarang .


Kedua: Matrik invertibel bekerja pada vektor-vektor yang mempengaruhi

pemetaan linier untuk operasi pengkemasan berikut,

( ) , ( )- (2.29)

Karena kita punya , ( )- [ , ( )-] , ( )- untuk semua ,

pemetaan linier pada matrik ( ( )) ( ) , dimana dan matrik-matrik

invertibel menurut teorema 3.1 pada pustaka [18]. ( Perhatikan, ketika dimensi

pemetaan linier kemungkinan menjadi ( ) , dimana dua keadaan adalah

ekuivalen SLOCC).

Corollary 1 menyediakan cara efektif untuk pembuktian ekuivalensi SLOCC

untuk keadaan tripartite. Kombinasikan dengan Teorema 1 dan Corollary 1, dan jelas bahwa

informasi matrik penghubung tidak perlu dalam pembuktian ekuivalensi

SLOCC dua keadaan terbelit empat-partite yang sembarang [13,16].


BAB III

PEMBAHASAN

A. Uraian Keadaan Tripartit.

Untuk mendapatkan gambaran yang jelas dan tuntas dalam pembahsan ini akan

ditinjau persamaan (9), sebagai pintu masuk pemahaman keadaan tripartit dari empat

keadaan kuantum yaitu, misalkan SVD yang diperoleh dari persamaan (7.a) adalah:

<

=

<

=

[

]

* +

( ( ) ( ))

( )

( )

* ( ) ( )+

( ) 0

1

( ) 0

1

( ( ) ( ))

.0

1 0

1/

( ( ) ( ))

( )

( )

* ( ) ( )+

( ) 0

1

( ) 0

1

( ( ) ( ))

.0

1 0

1/

* + * +

( )

( )

( )( ) ( ) ( )

Dari uraian diatas tergambarkan bahwa keadaan empat partit dapat dikomposisikan menjadi keadaan

tripartit berbentuk representasi matrik yaitu; . Selanjutnya akan didemonstrasikan

untuk persamaan (10), keadaan komplementer dari kedaan tripartite dalam matrik tensor

kompleks 4-partite. Tinjau persamaan (7.a):

( )( )

[[

] [

]

[

] [

]]


( )( )

[[

] [

]

[

] [

]]

* +

* +

* +

[

] [

] [

] [

]

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

* ( ) ( ) ( ) ( )+ ( )

( )

<

=

<

= [

] * + * +

( ) ( )

( ) 0

1 ( ) 0

1 ( ( ) ( )) .0

1 0

1/

( ) 0

1 ( ) 0

1 ( ( ) ( )) .0

1 0

1/

B. Contoh Kasus Pertama

Tinjau keadaan empat-kubit GHZ dan W: | ⟩

√ ( | ⟩ | ⟩) dan | ⟩

( | ⟩ | ⟩ | ⟩ | ⟩). Masing-masing tensor keadaan kuantum ini

direpresentasikan sebagai berikut dalam bentuk matrik ,

√ <

= (3.3)


<

= (3.4)

Uraian: Keadaan triple ( )

1. SVD dan keadaan triple GHZ.

<

= |

|

( )( )( )( ) * +

[ 6√

√ 7

]

6√

√ 7

(| ⟩ | ⟩ | ⟩ | ⟩)

[

] <

=

{

}

| ⟩ ( )

| ⟩ ( )

| ⟩ ( )

| ⟩ ( )

<

= >

( ) 0

1

( ) 0

1?

( ( ) ( )) .0

1 0

1/


( ) ( )

√ | ⟩

√ | ⟩

√

√ <

= ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

<

= >

( ) 0

1

( ) 0

1?

( ( ) ( )) .0

1 0

1/

( )

6 .0

1 0

1/ 6√

√ 7 .0

1 0

1/7 ( )

2. SVD dan keadaan triple W.

Dengan cara yang sama pada kasus GHZ diatas dapat hitung matrik SVD dan keadaan triple

untuk W:

[

√

√

√

√

]

[ √ ⁄

√ ⁄

]

[

√

√

√

]

<

40

1 6 √

√ 75

<

√

√

= 46

√

√ 7 0

15=

( )

C. Penjelasan ekuivalensi SLOCC:

Menurut Teorema 1 dan Corollary 1, bahwa dan adalah ekuivalen SLOCC jika hanya

memenuhi hubungan berkut:

Terdapat matrik invertibel , sehingga rank [ ( )]

0

1 0

1 ( ) 2 0 0

1 ( ) 13

Terdapat matrik invertibel , sehingga rank [ ( )]

[

]

[

] ( ) { [ [

] ( ) ]}

dan dari persamaan (2.22), (2.23) , dan (2.24)


[

] [

] [

] 0

1

0

1 [

] [

] [

]

[

] [

] [

]

[

] [

] [

]

0

1 [

]

, misalkan [

] dan [

] adalah matrik invertibel, maka

[

] 6√

√ 7 [

]

[

√

√ ]

8

9

√

√ ( )

( )

Berarti berapapun nilai memberikan rank matrik dalam uraian berikut.

Tinjau Corrolary 1:

0

1 ( ) <0

1 0

1

0

1 0

1= [

[

]

[

]] [

[

√ ] [

√ ]

[ √

] [ √

]

]

[

] [

√

√

√

√

]

[ √

√

√

√

]

[ 6 √

√ 7 6

√

√ 7

0

1 [

]]

[ 6 √

√ 7 0

1 6 √

√ 7 [

]]

[

√

√

√ √

]

Demikian juga pengujian , dengan cara yang sama diperoleh juga [ ( )] .

Paling mudah kita ambil dan adalah matrik nul maka juga tidak memenuhi,

{ ( )} dan { ( )} (3.7)


Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa jika: { ( )} dan { ( )} ,

maka keterbelitan empat-partite keadaan GHZ dan W adalah tidak ekuivalen SLOCC.

Selanjutnya tinjau kasus pada pustaka [2]. Tinjau kedaan kuantum empat-partite yang dituliskan

berikut,

(| ⟩ | ⟩)

(| ⟩ | ⟩)

(| ⟩ | ⟩)

(| ⟩ | ⟩)

Dalam representasi matrik , tensor kompleksnya dapat dituliskan sebagai berikut:

[

]

<

= <

=

[

]

|

|

|

|

|

|

6

7 84

5 64

54

57

4

54

54

579

6

7 8( ) 4

5 6( ) 4

54

5

4

5 ( ) 4

54

579


6

7

6

7

6

7

6

7

6

7

6

7

6

7

6

7

{6

7

6

7

⏟

}{6

7

6

7

⏟

}

6

7 6

7 * +

6

7 6

7 * +

* +

Matrrik, dituliskan sebagai,

[ √

√

√

√ ]

[ √

√

√

√ ]

<

=

Perhitungan matrik (| ⟩ | ⟩ | ⟩ | ⟩)

Contoh perhitungan: ambil

[

] <

=

( )

( ) ( )

( ) ( )

{

}

( )

| ⟩ [

√

√

] | ⟩ [

√

√

] | ⟩ [

√

√

] | ⟩ [

√

√

]

(| ⟩ | ⟩ | ⟩ | ⟩)

[

√

√

√

√

√

√

√

√

]


Perhitungan matrik (| ⟩ | ⟩ | ⟩ | ⟩)

Contoh perhitungan: ambil

√

<

= [

√

√

]

[ ( )

√

( )

√

( )

√

( )

√ ]

[

√ ⁄

√ ⁄

] [

√ ⁄

√ ⁄

]

| ⟩ [

√ ⁄

√ ⁄

] | ⟩ [

√ ⁄

√ ⁄

] | ⟩ [

√ ⁄

√ ⁄

] | ⟩ [

√ ⁄

√ ⁄

]

[

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

]

[

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

] <

= [

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

]

...(3.3)

Disini diperoleh matrik . Tinjau keadaan kuantum lainnya, misalkan

adalah ekuivalen SLOCC dengan keadaan pada contoh ini, jika dan hanya jika

memenuhi,

( ) ( ) (3.8)

Uraian: Ambil dan , serta , ,maka diperoleh hubungan

berikut:

[

] 0

1 6

7 6

7

[

] 0

1 [

] [

] [

]


misalkan maka kedua syarat keadaan keterbelitan empat-partite tersebut dikatakan

ekuivalensi SLOCC adalah:

[ ] {[

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

] <

= [

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

]

{[

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

] [

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

]} <0

1 0

1

0

1 0

1=

6 0

1 0

1 0

1 0

17

<

= <

=

[ ] {[

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

] [

] <

=

<

= [

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

]}

[ ]

{

[

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄ ]

[ √ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄ ]

}

{

[ [

⁄

⁄] 0

1

0

1 [

⁄

⁄]]

}

< [

⁄

⁄] 0

1 0

1 [

⁄

⁄]=

[

⁄

⁄

⁄

⁄ ]


* +

{

{

}

{

}

<

= <

=

D. Contoh Kasus Kedua

Kasus yang diuraikan dalam tinjauna kedua adalah Four Qubits can be entangled in nine

different ways [7,17,18,19], yaitu:

Kelas II:

(| ⟩ | ⟩)

(| ⟩ | ⟩) (| ⟩ | ⟩ | ⟩)

<

=

[

] <

=

[

( )

( )

( )

( )]

Nilai Eigen: ||

( )

( )

( )

( )

||


.

( ) / 2( )( ) .

( ) / ( )( ) .

( ) /3

( ) 2( )( ) (

( )* ( )( ) (

( )*3

.

( ) /

*( )( ) ( )( )+

(

( )*

*( )( ) ( )( )+

8.

( ) /

(

( )*

9 ( )

>

( )

( )

( ) √

( √ )

( √ )

( √ )

?

[ . ( √ )

/ ⁄

. ( √ )

/ ⁄ ]

Kelas III:

(| ⟩ | ⟩) (| ⟩ | ⟩ | ⟩ | ⟩)

<

=

<

= <

= [

]

|

( )

|

Kelas IV:

(| ⟩ | ⟩)

(| ⟩ | ⟩)

(| ⟩ | ⟩)

√ (| ⟩ | ⟩ | ⟩ | ⟩)


[ √

√

√

√ ]

[

√

√

√

√ ]

[ √

√

√

√ ]

[ √

√ ( )

√

( ) √

√ ( )

√

( ) √

√ ]

|

|

|

√

√

( )

√

( )

√

√

( )

√

( )

√

√

|

|

|

( ) 84 ( )

5 64

( )

5 ( ) 4

57

4 ( )

5 64

( )

5 ( ) 4

57

4 √

5 64

( )

5 4

√

5 4

( )

54

√

579

4 √

5 84

√

5 64

( )

5 ( ) 4

57

4 ( )

5 64

√

5 ( )7 4

√

5 6

79

4 √

5 84

√

5 64

( )

5 ( ) 4

57

4 ( )

5 64

√

5 ( )7 4

√

5 6

79


Kelas V:

(| ⟩ | ⟩ | ⟩ | ⟩) (| ⟩ | ⟩) | ⟩

<

=

<

= <

=

[

]

||

( )

( )

( )

||

Kelas VI:

(| ⟩ | ⟩) (| ⟩ | ⟩ | ⟩)

<

=

<

= <

= [

]

|

( )

| ( ){( )( )(( ) ) ( ) }

*( ) ( ) +

{( )(( ) ) }*( ) +

* +

[√

]

Kelas VII:

| ⟩ | ⟩ | ⟩ | ⟩

<

=


[

√

√

√

√

]

[

√

] [

]

:<

√

√

= 0

1 <

√

√

=; [√

]

.0

1 0

1 0

1/

Kelas VIII:

| ⟩ | ⟩ | ⟩ | ⟩

<

=

[

] [

√

]

[

√

√

√

√

]

.0

1 0

1 0

1/ [√

] :0

1 6 √ ⁄

√ ⁄7 <

√

√

=;

Kelas IX:

| ⟩ | ⟩

<

=

[

] [

] [

]

.0

1 0

1/ 0

1 .0

1 0

1/


E. Contoh perhitungan ekivalen SLOCC:

Kasus kelas VII dan VIII untuk teorema 1, corollary 1.

a. 0 . 0

1 ( ) /1

[ [

√

] [

√

]

[

√ ] [

√ ]

]

[[

]

[

]] <

0

1 0

1

0

1 0

1=

[ [

√

] [

√

]

[

√ ] [

√ ]

]

[[

]

[

]] <

0

1 0

1

0

1 0

1=

[

[

√

] <

√

=

<

√

= [

√ ]

]

<0

1 0

1

0

1 0

1=

[ <

√

= [

√

]

[

√ ] [

]]

Pengaturan matrik :

. 0

1 ( ) /

: <

√

= [

√ ] [

√

] [

];

. 0

1 ( ) /

[

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

]

[

√ ⁄

√ ⁄

√ ⁄

]

,

2 . 0

1 ( ) /3 , tidak terpenuhi.

b. 0 .( ) /1 , ( )-, ambil salah satu vektor,

(

√

√ *


.( ) /

[ <

√

= [

√

]

[

√ ] [

]]

[

√

√ ]

[

√ ⁄

√ ⁄

]

.( ) / [

√ ⁄

√ ⁄

] 6 √ ⁄

√ ⁄ 7 6

√ ⁄

√ ⁄ 7

( ) ( ) ( √ ⁄ √ ⁄ ) 6

√ ⁄

√ ⁄7 6

√ ⁄

√ ⁄7

0 (.

/ *1 , ( )-, terpenuhi.

Kesimpulan: kelas keterbelitan VII dan VIII tidak ekivalen SLOCC, karena ada salah satu

kriteria ekivalen SLOCC tidak terpenuhi, yaitu 2 . 0

1 ( ) /3 .


BAB IV

KESIMPULAN

Dari uraian dalam bab pembahasan terlihat bahwa metode dekomposisi keadaan

keterbelitan kuantum empat partit terurai menjadi keadaan kerterbelitan kuantum tripartit

melalui mekanisme SVD (single value decomposition) memberikan tiga representasi matrik

berbentuk: . Untuk matrik dan memberikan sejumlah rank- vektor * +

dan * + dimana, ( ). Dari hasil uraian kedua kelompok vektor-

vektor ini disusun kembali dalam bentuk representasi matrik (matrices realignment) yang

akhirnya menjadi dasar klasifikasi keterbelitan kuantum untuk kasus multipartit yaitu melaui

ekivalensi rank matrik bersangkutan dalam kelas yang sama.

Dalam penelitian selanjutnya disarankan memperluas formalisma klasifikasi

keterbelitan multipartit untuk kasus keterbelitan diatas empat keadaan melalui metode aljabar

lanjut. Metode lain yang berangkat dari aljabar lanjut adalah perluasan rank matrik

representasi tensor kompleks keterbelitan kuantum. Juga sifat aditivitas, koherensi dan vektor

bebas linier.


DAFTAR PUSTAKA

[1]. C. H. Bennett, G. Brassard, C. Cr´epeau, R. Jozsa, A. Peres, and W. K. Wootters,

Teleporting an unknown quantum state via dual classical and Einstein-Podolsky-

Rosen channels, Phys. Rev. Lett. 70, 1895-1899 (1993).

[2]. F. Verstraete, J. Dehaene, B. De Moor, and H. Verschelde, Four qubits can be entangled

in nine different ways, Phys. Rev. A 65, 052112 (2002).

[3]. K. Mattle, H. Weinfurter, P. G. Kwiat, and A. Zeilinger, Dense coding in experimental

quantum communication, Phys. Rev. Lett. 76, 4656-4659 (1996).

[4]. T. Bastin, S. Krins, P. Mathonet, M. Godefroid, L. Lamata, and E. Solano, Operational

families of entanglement classes for symmetric N-qubit states,

Phys. Rev. Lett.103, 070503 (2009).

[5]. A. K. Ekert, Quantum cryptography based on Bell’s theorem, Phys. Rev. Lett. 67,

661-663 (1991).

[6]. W. D¨ur, G. Vidal, and J. I. Cirac, Three qubits can be entangled in two inequivalent

ways, Phys. Rev. A 62, 062314 (2000).

[7]. M. Walter, B. Doran, D. Gross, and M. Christandl, Entanglement polytopes: multiparticle

entanglement from single-particle information, Science, 340, 1205-1208 (2013).

[8]. C. H. Bennett and S. J. Wiesner, Communication via one- and two-particle operators

on Einstein-Podolsky-Rosen states, Phys. Rev. Lett. 69, 2881-2884 (1992).

[9]. Xiangrong Li and Dafa Li, Classification of general n-qubit states under stochastic

local operations and classical communication in terms of the rank of coefficient

Matrix, Phys. Rev. Lett. 108, 180502 (2012).

[10]. Shuo Cheng, Junli Li, and Cong-Feng Qiao, Classification of the entangled states of

2 × N × N, J. Phys. A 43, 055303 (2010).

[11]. Liang-Liang Sun, Jun-Li Li, and Cong-Feng Qiao, Classification of the entangled

states of 2 × L ×M × N, Quant. Inf. Process. 14 229-245 (2015).

[12]. G. Gour and N. R. Wallach, Classification of multipartite entanglement of all finite

dimensionality, Phys. Rev. Lett. 111, 060502 (2013).

[13]. Jun-Li Li, Shi-Yuan Li, and Cong-Feng Qiao, Classification of the entangled states

L × N × N, Phys. Rev. A 85, 012301 (2012).

[14]. R. A. Horn and C. R. Johnson, Matrix analysis (Cambridge University Press, 2013).


[15]. C. F. Van Loan, The ubiquitous Kronecker product, J. Comp. Appl. Math. 123,

85-100 (2000).

[16]. Bin Liu, Jun-Li Li, Xikun Li, Cong-Feng Qiao, Local unitary classification of arbitrary

dimensional multipartite pure states, Phys. Rev. Lett. 108, 050501 (2012).

[17]. M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum computation and quantum information

(Cambridge University Press, 2000).

[18]. Chi-Kwong Li and S. Pierce, Linear preserver problems, Am. Math. Mon. 108, 591-

605 (2001).

[19]. Tinggui Zhang, Ming-Jing Zhao, and Xiaofen Huang, Criterion for SLOCC equivalence

of multipartite quantum states, J. Phys. A: Math. Theor. 49, 405301 (2016).

karya tulis ilmiah - unud

Documents