kartika afriyeni 50 soal program linear

TUGAS 50 SOAL PROGRAM LINIER SMA

DISUSUN OLEH:

KARTIKA AFRIYENI1205135845

PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN PENDIDIKANUNIVERSITAS RIAU

2013

1. Sebuah butik memiliki bahan 4meter kain satin dan 5meter kain prada. Dari bahan tersebut akan dibuat dua baju pesta. Baju pesta I memerlukan 2meter kain satin dan 1meter prada. Sedangkan baju pesta II memerlukan 1 meter kain satin dan 2meter kain prada. Harga jual baju pesta I sebesar Rp.400.000,00 dan baju pesta II sebesar Rp.300.000,00. Berapa banyak baju pesta yang akan dibuat agar diperoleh harga jual yang setinggi-tingginya.

Tabel bahan baju pesta:

Baju I Baju II MaksimalSatin (m) 2 1 4Prada (m) 1 2 5

Harga (Rp) 500.000 400.000

Model matematika:

Fungsi diketahui :

2 x+ y ≤ 4

x+2 y ≤ 5

x≥ 0y ≥0

Fungsi tujuan :f (x , y ) = 400.000 x+400.000 y

Ditanya:Jumlah kain satin yang diperlukan = x meterJumlah kain prada yang diperlukan = y meter

Penyelesaian :

1)2 x+ y ≤ 4 → 2 x+ y=4

Titik potong sbx y=02 x+ y=4

2 x=4x=2 (2,0)

Titik potong sb y x=02 x+ y=42(0)+ y=4

y=4 (0,4)

2)x+2 y ≤ 5x+2 y=5

Titik potong sbx y=0x+2 y=5x+2(0)=5x=5 (5,0)

Titik potong sby x=0x+2 y=52 y=5y=2,5 (0 ,2,5)

Titik potong garis 2 x+ y=4 dan x+2 y=5

2 x+ y=4 × 24 x+2 y=8

x+2 y=5 ×1 x+2 y=5−¿

3 x=3

x=1

2(1)+ y=4

y=2titik potong (1,2)

Uji Titik Pojok F(x,y) = 400.000 x + 300.000 y

(0 , 2,5 ) Rp 750.000(2,0) Rp. 800.000(1,2) Rp. 1.000.000

Jadi harga jual maksimum yang dapat di peroleh sebesar Rp. 1.000.000,00 dengan menjual Baju jenis I sebanyak 1 pasang dan Baju jenis II sebanyak 2 pasang.

2. Suatu rombongan wisatawan di Pulau Bali terdiri dari 240 orang akan menyewa kamar hotel. Kamar yang tersedia adalah kamar A untuk 2 orang dan B untuk 3 orang. Romboongan itu akan menyewa kamar sekurang-kurangnya 100 kamar. Tarif kamar untuk 2 orang adalah Rp80.000,00 dan untuk 3 orang adalah Rp100.000,00. Rombongan itu ingin mengeluarkan uang sewa yang seminimal mungkin. Tentukan model matematikanya !

Kamar A Kamar B MaksimalKapasitas (org) 2 3 240

Harga (Rp) 80.000 100.000 Z

Misalkan banyaknya Kamar A : x

Banyaknya Kamar B : y

Model Matematika :1. 2 x+3 y≥ 2402. x+ y ≥ 100

3. x≥ 04. y ≥ 0

Fungsi tujuan mengeluarkan uang sewa kamar minimum adalah :

Z=80.000 x+100.000 y(minimum)

Penyelesaian : 1. Koordinat titik potong 2 x+3 y ≥ 2402 x+3 y=240

Titik potong x y = 0

2x = 240

x = 120 (120,0)

Titik potong y x = 0 3y = 240

y = 20 (0,80)

2. Koordinat titik potong x + y = 100


x = 100 (100,0)

Titik potong y x = 0 y = 100 (0,100)

Titik potong garis 2x + 3y = 240 dan x + y = 1002x + 3y = 240 × 1 2x + 3y = 240 x + y = 100 × 3 3x + 3y = 300

-x = -60 x = 60

(60) + y = 100 y = 40 titik potong (60,40)

Uji titik pojok Z = 80.000 x+100.000 ya. (0,100) Rp .10.000 .000,00b. (60,40) Rp .8.800 .000,00c. (120,0) Rp .12.000 .000,00

Jadi biaya penyewaan minimum tapi dapat menampung untuk semua rombongan yaitu Rp.8.800.000,00 dengan menyewa Kamar A sbanyak 60 kamar dan Kamar B sebanyak 40 kamar.

3. Sebuah industri ban sepeda mengahasilkan dua macam ban yang bertipe x dan y dengan ukuran ban yang sama. Dalam industri itu terdapat tiga macam mesin pembuat ban. Adapun waktu dalam menit yang digunakan untuk membuat sebuah ban oleh masing-masing mesin seperti tabel di bawah.

TipeBan

Hasil Tiap Menit

Mesin

1 2 3X 4 4 0Y 8 12 15

Jika setiap mesin dapat bekerja maksimum 6 jam sehari dan keuntungan yang diperoleh tiap ban yang bertipe x adalah Rp4.000,00 dan tiap ban bertipe y adalah Rp6.000,00. Berapa banyak ban yang harus dibuat untuk tiap tipe ban sehari, jika mengharapkan keuntungan yang maksimum?

Model Matematika : 1. 4x + 8y ≤ 360 x + 2y ≤ 90 2. 4x + 12y ≤ 360 x + 3y ≤ 90 3. 15y ≤ 360 4. x ≥ 0 5. y ≥ 0

Fungsi tujuan memperoleh keuntungn maksimum :Z = 4.000x + 6.000y

Penyelesaian : 1. Koordinat titik potong 4x + 8y ≤ 360 x + 2y = 90Titik potong x y = 0

x = 90 (90,0)Titik potong y x = 0

2y = 90 y = 45 (0,45)

2. Koordinat titik potong 4x +12y ≤ 360 x + 3y = 90Titik potong x y = 0


3y = 90 y = 30 (0,30)

3. Garis 15y ≤ 360 y = 24

Titik potong garis x + 3y = 90 dan y = 24x + 3 (24) = 90

x = 90 – 72

x = 18

titik potong (18,24)Uji titik pojok Z= 4.000x + 6.000 ya. (0,24 ) Rp. 144.000,00b. (18,24) Rp. 216.000,00c. (90,0) Rp. 540.000,00

Jadi keuntungan maksimum yang di peroleh perusahaan adalah Rp. 540.000,00 dengan memproduksi tipe ban x sebanyak 90 buah tanpa tipe y.

4. Di atas tanah seluas 40.000m2 akan dibangun dua tipe rumah, yaitu tipe C dan tipe D. Tiap unit tipe C luasnya 200m2 dan tipe D luasnya 100m2. Jumlah rumah yang akan dibangun paling banyak 250 unit. Harga jual tipe C Rp 80.000.000,00 per unit dan tipe D Rp60.000.000,00 per unit. Berapa harga jual maksimum seluruh rumah yang dibang un? Buatlah model matematikanya !

Tipe C Tipe D MaksimalLuas (m2) 200 100 40.000

Harga Jual (Rp) 80.000.000 60.000.000 ZMisalkan Rumah Tipe C : x

Rumah Tipe D : y

Model Matematika : 1. 200x + 100y ≤ 40000 2x + y ≤ 400 2. x + y ≤ 250 3. x ≥ 0 4. y ≥ 0

Fungsi tujuan memperoleh harga jual maksimum :Z = 80.000.000x + 60.000.000y (maksimum)

HP

Penyelesaian : 1. Koordinat titik potong 2x + y ≤ 400 2x + y = 400


2x = 400


y = 400 (0,400)2. Koordinat titik potong x+ y ≤ 250 x + y = 250


x = 250 (250,0)

Titik potong y x = 0 y = 250 (0,250)

Titik potong garis 2x + y = 400 dan x + y = 2502x + y = 400 x + y = 250 x = 150

(150) + y = 250 y = 100 titik potong (150,100)

Uji titik pojok Z = 80.000.000 x + 60.000.000 y

a. (0,250) Rp.15.000.000.000,00b. (150,100) Rp.18.000.000.000,00c. (200,00) Rp.16.000.000.000,00

Jadi harga jual maksimum yang dapat di peroleh adalah Rp. 18.000.000.000,00Dengan menjual Rumah Tipe C sebanyak 150 Unit dan Rumah Tipe D sebanyak 100 Unit.

5. Sebuah perusahaan furnitur akan membuat dua jenis meja makan, yaitu meja makan bundar dan meja makan oval. Meja makan bundar memerlukan bahan seharga Rp60.000,00 dan waktu pembuatan 1 hari, sedangkan meja makan oval memerlukan bahan seharga Rp80.000,00 dan waktu pembuatan 3 hari. Modal yang tersedia adalah Rp1.200.000,00 dan waktu yang tersedia hanya 30 hari. Jika harga sebuah meja bundar adalah Rp300.000,00 dan harga sebuah meja oval Rp400.000,00. Berapa banyaknya masing-masing jenis meja yang harus dibuat agar memperoleh hasil penjualan maksimal ?

Meja Bundar Meja Oval Maksimal Bahan (Rp) 60.000 80.000 1.200.000Hari 1 3 30Harga jual (Rp) 300.000 400.000 Z

Misalkan banyaknya Meja Bundar : x

Banyaknya Meja Oval : y

Model Matematika : 1. 60.000x + 80.000y ≤ 1.200.000 3x + 4y ≤ 60 2. x + 3y ≤ 30 3. x ≥ 0 4. y ≥ 0

Fungsi tujuan memperoleh hasil penjualan maksimum Z = 300.000x + 400.000y (maksimal)

Penyelesaian : 1. Koordinat titik potong 3x + 4y = 60Titik potong x y = 0

3x = 60 x = 20 (20,0)

Titik potong y x = 0 4y = 60 y = 15 (0,15)

2. Koordinat titik potong x + 3y = 30Titik potong x y = 0


3y = 30 y = 10 (0,10)

Titik potong garis 3x + 4y = 60 dan x + 3y = 303x + 4y = 60 × 1 3x + 4y = 60 x + 3y = 30 × 3 3x + 9y = 90

-5y = -30 y = 6

x + 3(6) = 30 x = 30 - 18 x = 12 titik potong (12,6)

Uji titik pojok Z = 300.000 x + 400.000 ya. (20,0) Rp. 6.000.000,00b. (0,10) Rp. 4.000.000,00c. (12,6) Rp. 6.000.000,00

Jadi hasil penjualan maksimum adalah Rp. 6.000.000,00 dengan menjual Meja bundar sebanyak 12 buah dan meja oval sebanyak 6 buah atau hanya membuat meja bundar sebanyak 20 buah.

6. Sebuah pabrik akan mengirim barang-barang produksinya dengan menggunakan 18 kotak A berukuran sedang dan 24 kotak B yang berukuran besar. Pengusaha pabrik itu menyewa kendaraan truk yang dapat memuat 3 kotak A dan 12 kotak B serta kendaraan pick-up yang dapat memuat 9 kotak A dan 6 kotak B untuk mengangkut barang-barangnya kepada para langganan. Ongkos angkutan sekali jalan untuk truk Rp90.000,00 dan pick-up Rp60.000,00. Berapa banyak truk dan pick-up yang harus disewa agar biayanya sedikit mungkin ?

Truck Pick up MaksimalKotak A (buah) 3 9 18Kotak B (buah) 12 6 24

Harga sewa (Rp) 90.000 60.000 Z

Misalkan Truk yang akan disewa : x

Pick up yang akan disewa : y

Model Matematika : 1. 3x + 9y ≥ 18 x + 3y ≥ 6 2. 12x + 6y ≥ 24 2x + y ≥ 4 3. x ≥ 0 4. y ≥ 0

Fungsi tujuan mengeluarkan biaya yang minimum :Z = 90.000x + 60.000y

Penyelesaian : 1. Koordinat titik potong x + 3y = 6Titik potong x y = 0


3y = 6 y = 2 (0,2)

2. Koordinat titik potong 2x + y = 4Titik potong x y = 0

2x = 4 x = 2 (2,0)

Titik potong y x = 0 y = 4 (0,4)

Titik potong garis x + 3y = 6 dan 2x + y = 4 x + 3y = 6 × 2 2x + 6y = 12 2 x + y = 4 × 1 2x + 1y = 4

5y = 8 y = 8/5

2x + (8/5) = 4 2x = 4 – 8/5

x = 6/5 titik potong (6/5,8/5)

Uji coba titik pojok Z = 90.000 x + 60.000 ya. (0,4) Rp. 240.000,00b. (6,0) Rp. 540.000,00c. ( 6/5 , 8/5 ) Rp. 204.000,00

Jadi biaya sewa minimum adalah Rp. 240.000,00 dengan menyewa 4 unit Pick Up , meskipun ada biaya yang lebih murah yaitu Rp. 204.000,00 tapi tidak memungkinkan untuk menyewa truk sebanyak 6/5 dan pick up 8/5 unit.

7. Suatu pabrik mengahasilkan barang dengan dua model. Model I dikerjakan dengan mesin A selama 2 jam dan mesin B satu jam. Model II dengan mesin A selama 1 jam dan mesin B selama 3 jam. Waktu kerja untuk mesin A dan B berturut-turut 10 jam per hari dan 15 jam per hari. Keuntungan penjualan model I sebesar Rp10.000,00 per unit barang dan model II Rp15.000,00 per unit barang. Berapa keuntungan maksimum yang dapat diperoleh pabrik ?

Mesin A (jam) Mesin B (jam) Keuntungan (Rp)

Model I 2 1 10.000Model II 1 3 15.000Maksimal 10 15 KMisalkan Model I : x

Model II : y

Model Matematika : 1. 2x + y ≤ 10 2. x + 3y ≤ 15 3. x ≥ 0 4. y ≥ 0

Fungsi tujuan memperoleh keuntungan maksimum :Z = 10.000x + 15.000y

Penyelesaian : 1. Koordinat titik potong 2x + y = 10 Titik potong x y = 0

2x = 10 x = 5 (5,0)


2. Koordinat titik potong x + 3y = 15 Titik potong x y = 0

x = 15 (15,0) Titik potong y x = 0

3y = 15

y = 5 (0,5)

Titik potong garis 2x + y = 10 dan x + 3y = 15 x + 3y = 15 × 2 2x + 6y = 30 2 x + y = 10 × 1 2x + y = 10

5y = 20 y = 4

2x + (4) = 10 2x = 10 - 4 x = 3 titik potong (3,4)

Uji titik pojok Z = 10.000 x + 15.000 ya. (0,5) Rp. 75.000,00b. (5,0) Rp. 50.000,00c. (3,4) Rp. 90.000,00

Jadi keuntungan maksimum pabrik yang dapat di peroleh sebesar Rp. 90.000,00 dengan menjual Model I sebanyak 3 buah dan Model II sebanyak 4 buah.

8. Suatu industri obat mengahasilkan dua jenis obat, yaitu A dan B. Setiap obat terdiri dari dua bahan baku. Kedua bahan baku itu untuk A dengan perbandingan 5 : 3 dan untuk B dengan perbandingan 1 : 2. Keuntungan untuk A adalah Rp900,00 tiap gram dan untuk Badalah Rp600,00 tiap gram. Persediaan dua bahan baku itu hanya ada 25 gram dan 36 gram. Carilah banyaknya masing-masing obat yang harus dibuat, agar mendapat keuntungan yang sebesar-besarnya! Carilah besar keuntungan tersebut!

Obat A Obat B MaksimalBahan I (gr) 5 1 25Bahan II (gr) 3 2 36

Keuntungan (Rp) 900 600 ZMisalkan banyaknya Obat A : x

Banyaknya Obat B : y

Model Matematika : 1. 5x + y ≤ 25 2. 3x + 2y ≤ 36 3. x ≥ 0 4. y ≥ 0

Fungsi tujuan memperoleh keuntungan maksimum :Z = 900x + 600y


5x = 25 x = 5 (5,0)


2. Koordinat titik potong 3x + 2y = 36 Titik potong x y = 0

3x = 36 x = 12 (12,0)


Titik potong garis 5x + y = 25 dan 3x + 2y = 36 5x + y = 25 × 2 10x + 2y = 50 3x + 2y = 36 × 1 3x + 2y = 36

7x = 14 x = 2

3(2) + 2y = 36 2y = 36 - 6 y = 15 titik potong (2,15)

HP

Uji titik pojok Z = 900 x + 600 ya. (0,18) Rp. 10.800,00b. (5,0) Rp. 4.500,00c. (2,15) Rp. 10.800,00

Jadi keuntungan maksimum yang dapat di peroleh sebesar Rp. 10.800,00 dengan menjual Obat A sebanyak 2 buah dan Obat B sebanyak 15 buah atau hanya memproduksi Obat B sebanyak 18 buah.

9. Suatu pesawat udara mempunyai tempat duduk untuk tidak lebih dari 48 penumpang. Setiap penumpang kelas utama boleh membawa bagasi 60 kg, untuk kelas ekonomi 20 kg. Pesawat itu dapat membawa bagasi 1.440 kg. Bila tiket untuk setiap penumpang kelas utama Rp400.000,00 dan untuk jelas ekonomi Rp250.000,00, berapa banyaknya penumpang masing-masing kelas agar diperoleh laba maksimum ?

Kelas Utama Kelas Ekonomi Maksimal Bagasi (Kg) 60 20 1.440Harga (Rp) 400.000 250.000 Z Misalkan banyaknya tiket Kelas Utama : x

Banyaknya tiket Kelas Ekonomi : y

Model Matematika : 1. 60x + 20y ≤ 1.440 3x + y = 72 2. x + y ≤ 48 3. x ≥ 0 4. y ≥ 0

Fungsi tujuan memperoleh keuntungan maksimum : Z = 400.000x + 250.000y


3x = 72 x = 24 (24,0)


2. Koordinat titik potong x + y = 48 Titik potong x y = 0


y = 48 (0,48)

Titik potong garis 3x + y = 72 dan x + y = 48 x + y = 48 3x + y = 72 - 2x = -24 x = 12

12 + y = 48 y = 48 - 12 y = 36 titik potong (12,36)

Uji titik pojok Z = 400.000 x + 250.000 ya. (0,48) Rp. 12.000.000,00b. (24,0) Rp. 9.600.000,00c. (12,36) Rp. 13.800.000,00

Jadi keuntungan maksimum yang dapat diperoleh sebesar Rp. 13.800.000,00 dengan menjual Tiket kelas Utama sebanyak 12 buah dan Tiket kelas Ekonomi sebanyak 36 buah.

10. Seorang pedagang mempunyai persediaan kopi Brasil 18 kg dan kopi Lampung 12 kg. Kedua jenis kopi tersebut akan dicampur dan dibuat kemasan. Kemasan kopi enak memerlukan 2 kg kopi Brasil dan 2 kg kopi Lampung, sedangkan kemasan kopi sedap memerlukan 3 kg kopi Brasil dan 1 kg kopi Lampung. Harga 1 kemasan kopi enak Rp60.000,00 dan kopi sedap Rp40.000,00. Berapa banyak masing-masing jenis kemasan harus dibuat agar mendapatkan hasil penjualan yang sebanyak-banyaknya ?

Kopi Enak Kopi Sedap MaksimalKopi Brasil (Kg) 2 3 18

Kopi lampung (Kg) 2 1 12Harga (Rp) 60.000 40.000 Z

Misalkan Kopi Enak : x

Kopi Sedap : y

Model Matematika : 1. 2x + 3y ≤ 18 2. 2x + y ≤ 12 3. x ≥ 0 4. y ≥ 0

Fungsi tujuan memperoleh keuntungan maksimum :Z = 60.000x + 40.000y

Penyelesaian : 1. Koordinat titik potong 2x + 3y = 18 Titik potong x y = 0

2x = 18 x = 9 (9,0)


2. Koordinat titik potong 2x + y = 12 Titik potong x y = 0

2x = 12 x = 6 (6,0)


Titik potong garis 2x + 3y = 18 dan 2x + y = 12 2x + 3y = 18 2x + y = 12 2y = 6 y = 3

2x + (3) = 12 2x = 12 - 3 x = 4,5 titik potong (4,5 , 3 )

Uji titik pojok Z = 60.000 x + 40.000 y

a. (0,6) Rp. 240.000,00b. (6,0) Rp. 360.000,00c. (4,5 , 3) Rp. 390.000,00Jadi keuntungan maksimum yang dapat di peroleh sebesar Rp. 390.000,00 dengan menjual Kopi Enak sebanyak 4,5 bungkus dan Kopi Sedap sebanyak 3 bungkus.

11. Seorang pengusaha akan mendirikan beberapa rumah untuk disewakan yang terdiri dari dua tipe, yaitu tipe A dan tipe B. Tiap rumah tipe A menggunakan tanah seluas 100m2, sedangkan tipe B 200m2. Rumah tipe A bertingkat dan biaya pembangunan tiap rumah adalah Rp30.000.000,00. Rumah tipe B tidak bertingkat dengan biaya pembangunan tiap rumah adalah Rp20.000.000,00. Tanah yang disediakan untuk pembangunan rumah-rumah tersebut adalah 2.000m2 dan biaya yang disediakan adalah Rp360.000.000,00. Tarif sewa rumah itu akan dibuat sama yaitu Rp150.000,00 tiap rumah per bulan. Apabila kita anggap semua rumah laku disewakan, berapa sebaiknya rumah tipe A dan tipe B masing-masing harus dibangun supaya uang sewa yang didapat sebanyak-banyaknya ?

Tipe A Tipe B MaksimalLuas Tanah (m2) 100 200 2000Biaya (Rp) 30.000.000 20.000.000 360.000.000Tarif sewa (Rp) 150.000 150.000 ZMisalkan banyaknya Tipe A : x

Banyaknya Tipe B : y

Model Matematika : 1. 100x + 200y ≤ 2000 x + 2y ≤ 20 2. 30.000.000x + 20.000.000y ≤ 360.000.000 3x + 2y ≤ 36 3. x ≥ 0 4. y ≥ 0

Fungsi tujuan memperoleh sewa maksimum : Z = 150.000x + 150.000y

Penyelesaian : 1. Koordinat titik potong x + 2y = 20 Titik potong x y = 0


2y = 20 (0,10)

2. Koordinat titik potong 3x + 2y = 36 Titik potong x y = 0

3x = 36


2y = 36 y = 18 (0,18)

Titik potong garis x + 2y = 20 dan 3x + 2y = 36 x + 2y = 20 3x + 2y = 36 -2x = -16 x = 8

8+ 2y = 20 2y = 20 - 8 y = 6 titik potong (8,3)

Uji titik pojok Z = 150.000 x + 150.000 y

a. (0,10) Rp. 1.500.000,00b. (12,0) Rp. 1.800.000,00c. (8,6) Rp. 2.100.000,00

Jadi keuntungan sewa maksimum sebesar Rp. 2.100.000,00 dengan menyewakan Tipe A sebanyak 8 rumah dan Tipe B sebanyak 3 rumah.

12. Pada acara bazar seseorang akan berjualan tempat pensil dan tempat topi. Modal yang tersedia Rp600.000,00. Harga pembelian tempat pensil Rp2.000,00 per buah dan tempat topi Rp4.000,00 per buah. Karena katerbatasan tempat, barang yang dijual tidak boleh melebihi 200 buah. Apabila tempat pensil dan tempat topi memberikan keuntungan berturut-turut sebesar Rp300,00 dan Rp500,00 per buah, berapa besar keuntungan maksimum yang diperoleh ?

Tempat Pensil Tempat Topi Maksimal Modal (Rp) 2000 4000 600.000Keuntungan (Rp) 300 500 Z

Misalkan banyaknya Tempat pensil : x

Banyaknya Tempat topi : y

Model Matematika : 1. 2000x + 4000y ≤ 600.000 x + 2y ≤ 300 2. x + y ≤ 200 3. x ≥ 0 4. y ≥ 0

Fungsi tujuan memperoleh keuntungan maksimum :Z = 300x + 500y

Penyelesaian : 1. Koordinat titik potong x + 2y = 300 Titik potong x y = 0

x = 300 (300,0) Titik potong y x = 0

2y = 300 y = 150 (0,150)

2. Koordinat titik potong x + y = 200 Titik potong x y = 0

x = 200 (200,0) Titik potong y x = 0

y = 200 (0,200)

Titik potong garis x + 2y = 300 dan x + y = 200 x + 2y = 300 x + y = 200 y = 100

x+ (100) = 200 x = 100 titik potong (100,100 )

Uji titik pojok Z = 300x + 500y

a. (0,150) Rp. 75.000,00b. (200,0) Rp. 60.000,00c. (100,100) Rp. 80.000,00

Jadi keuntungan penjualan maksimum yang dapat di peroleh sebesar Rp. 80.000,00 dengan menjual Tempat pensil sebanyak 100 buah dan Tempat topi sebanyak 100 buah.

13. Seorang pedagang membeli dua jenis barang kotak A dan kotak B. Harga pembelian barang kotak Rp.25.000,per kotak dan kotak B Rp. 12.500 per kotak. Jika pembelian tidak lebih dari 500 kotak dan modal pedagang hanya Rp. 10.000.000,00 maka tentukan model matematikanya untuk permasalahan ini. Serta keuntungan maksimum jika setiap kotak memiliki untung A Rp.2.500 dan B Rp. 1.200.

Kotak A Kotak B Maksimal Modal (Rp) 25.000 12.500 10.000.000Laba (Rp) 2.500 1.200 ZMisalkan banyaknya Kotak A : x

Banyaknya Kotak B : y

Model Matematika : 1. 25.000x + 12.500y ≤ 10.000.000 2x + y ≤ 800 2. x + y ≤ 500 3. x ≥ 0 4. y ≥ 0

Fungsi tujuan memperoleh hasil laba yang maksimum : Z = 2.500x + 1.200 yPenyelesaian : 1. Koordinat titik potong 2x + y = 800

Titik potong x y = 0 2x = 800

x = 400 (400,0) Titik potong y x = 0

y = 800 (0,800)

2. Koordinat titik potong x + y = 500 Titik potong x y = 0 x = 500 (500,0) Titik potong y x = 0

y = 500 (0,500)

Titik potong garis 2x + y = 800 dan x + y = 500 2x + y = 800 x + y = 500 x = 300

300+ y = 500 y = 200 titik potong (300,200)

Uji titik pojok Z = 2.500 x + 1.200 y(0,500) Rp. 600.000,00

(300,200) Rp. 990.000,00(400,0) Rp. 1.000 .000

Jadi laba maksimum yang dapat di peroleh sebesar Rp. 1.000.000,00 dengan menjual Kotak A sebanyak 300 kotak dan Kotak B sebanyak 200 kotak.

14. Luas sebuah tempat parkir 360m2. Luas rata-rata sebuah mobil 6m2 dan untuk sebuah bis 24m2. Tempat parkir tersebut tidak bisa memuat lebih dari 30 kendaraan. Jika banyaknya mobil = x dan banyaknya bis = y , tulislah sistem pertidaksamaan dalam x dan y dari keterangan tersebut.

Mobil Bis MaksimalLuas (m2) 6 24 360

Misalkan banyaknya Mobil : x

Banyak Bis : y

Model Matematika : 1.6x + 24y ≤ 360 x + 4y ≤ 60

2. x + y ≤ 30

3. x ≥ 0

4. y ≥ 0Fungsi tujuan memperoleh hasil laba yang maksimum : Z = x + y

Penyelesaian : 1. Koordinat titik potong x + 4y = 60 Titik potong x y = 0 x = 60 (60,0) Titik potong y x = 0

4y = 60 y = 15 (0,15)

2. Koordinat titik potong x + y = 30 Titik potong x y = 0 x = 30 (30,0 ) Titik potong y x = 0

y = 30 (0,30)

Titik potong garis x + 4y = 60 dan x + y = 30 x + 4y = 60 x + y = 30 3y = 30

y = 10

x + 10 = 30 x = 20 titik potong (20,10)

Uji titik pojok Z = x + ya. (0,15) 15b. (20,10) 30c. (30,0) 30

Jadi banyak mobil dan bis maksimum yang dapat parkir sebanyak 30 buah dengan alternatif semuanya mobil atau 20 mobil dan 10 bis .

15. Sebuah butik memiliki bahan 4meter kain satin dan 5meter kain prada. Dari bahan tersebut akan dibuat dua baju pesta. Baju pesta I memerlukan 2meter kain satin dan 1meter prada. Sedangkan baju pesta II memerlukan 1 meter kain satin dan 2meter kain prada. Harga jual baju pesta I sebesar Rp.500.000,00 dan baju pesta II sebesar Rp.400.000,00. Berapa banyak baju pesta yang akan dibuat agar diperoleh harga jual yang setinggi-tingginya.

Baju I Baju II MaksimalSatin (m) 2 1 4Prada (m) 1 2 5

Harga (Rp) 500.000 400.000 Z

Misalkan banyaknya Baju I : x

Banyak Baju II : y

Model Matematika : 1. 2x + y ≤ 4

2. x + 2y ≤ 5

3. x ≥ 0 4. y ≥ 0

Fungsi tujuan memperoleh hasil laba yang maksimum : Z = 500.000 x + 400.000 y

Penyelesaian : 1. Koordinat titik potong 2x + y = 4 Titik potong x y = 0 2x = 4


y = 4 (0,4)

2. Koordinat titik potong x + 2y = 5 Titik potong x y = 0 x = 5 (5,0) Titik potong y x = 0

2y = 5 y = 2,5 (0, 2,5)

Titik potong garis 2x + y = 4 dan x + 2y = 5 2x + y = 4 × 2 4x + 2y = 8 x + 2y = 5 × 1 x + 2y = 5

3x = 3 x = 1

2(1) + y = 4 y = 2 titik potong (1,2)

Uji titik pojok Z = 500.000 x + 400.000 ya. (0 , 2,5 ) Rp. 600.000,00b. (2,0) Rp.1.000.000,00c. (1,2) Rp. 1.300.000,00

Jadi harga jual maksimum yang dapat di peroleh sebesar Rp. 1.300.000,00 dengan menjual Baju jenis I sebanyak 1 pasang dan Baju jenis II sebanyak 2 pasang.

16. Seorang tukang kayu dan seorang tukang cat bekerja bersama-sama untuk menghasilkan dua jenis perabot rumah. Tukang kayu dan tukang cat masing-masing membutuhkan waktu 3 jam dan 1 jam untuk membuat sebuah A serta 1 jam dan 2 jam untuk membuat perabot B. Tukang kayu bekerja selama 12 jam sehari, sedangkan tukang cat bekerja 14 jam sehari. Jika keuntungan bagi sebuah perabot jenis A dan sebuah perabot jenis B masing-masing ialah Rp300.000,00 dan Rp200.000,00, berapa banyaknya tiap perabot itu harus dibuat untuk mendapatkan keuntungan yang maksimum? Berapakah keuntungan maksimumnya?

Perabot A Perabot B MaksimalTukang Kayu (jam) 3 1 12Tukang Cat (jam) 1 2 14

Harga (Rp) 300.000 200.000 ZMisalkan banyaknya Perabot A : x

Banyak Perabot B : y

Model Matematika : 1. 3x + y ≤ 12

2. x + 2y ≤ 14

3. x ≥ 0 4. y ≥ 0

Fungsi tujuan memperoleh hasil laba yang maksimum : Z = 300.000 x + 200.000 y

Penyelesaian : 1. Koordinat titik potong 3x + y = 12 Titik potong x y = 0 3x = 12


y = 12 (0,12)

2. Koordinat titik potong x + 2y = 14 Titik potong x y = 0 x = 14 (14,0) Titik potong y x = 0

2y = 14 y = 7 (0,7)

Titik potong garis 3x + y = 12 dan x + 2y = 14 3x + y = 12 × 2 6x + 2y = 24 x + 2y = 14 × 1 x + 2y = 14

5x = 10 x = 2

3(2) + y = 12 y = 6 titik potong (2,6)

Uji titik pojok Z = 300.000 x + 200.000 ya. (0,7) Rp. 1.400.000,00b. (4,0) Rp.1.200.000,00c. (2,6) Rp. 1.800.000,00

Jadi harga jual maksimum yang dapat di peroleh sebesar Rp. 1.800.000,00 dengan menjual hasil produksi Perabot A sebanyak 2 buah dan Perabot B sebanyak 6 buah.

17. Dengan modal Rp450.000, pak Jeri membeli pepaya seharga Rp1.000,00 dan jeruk seharga Rp3.500,00 per kilogram. Buah-buahan ini dijualnya kembali dengan menggunakan gerobak yang dapat memuat maksimum 300kg. Jika keuntungan dari penjualan pepaya Rp500,00 per kilogram dan dari penjualan jeruk Rp1.000,00 per kilogram, tentukanlah keuntungan maksimum yang diperoleh pak Jeri!

Penyelesaian:

Harga Banyaknya buah KeuntunganPepaya 1.000 x 500Jeruk 3.500 y 1.000

Jumlah 450.000 300

Dari tabel tersebut misalkan:Banyaknya pepaya adalah x kg dan banyaknya jeruk y kg.Dapat kita buat model matematikanya sebagai berikut:x + y ≤ 300 1.000x + 3.500 y ≤ 450.000 ⟺ 2x + 7y≤ 900

Fungsi tujuan atau bentuk maksimumnya yaitu 500x + 1.000yFungsi batasannya yaitu:x + y ≤ 300 2x + 7y≤ 900

x ≥0, y ≥0

x, y ∈ C

dapat kita buat grafik himpunan penyelesaiannya sebagai berikut:

dari grafik diatas, didapatkan titik-titik pojoknya yaitu titik A (300, 0), titik B dan titik C (0, 128,6)

HP

titik B adalah titik perpotongan antara garis x + y ≤ 300 dan garis 2x + 7y≤ 900dari x + y ¿ 300, didapat x = 300 – y subsitusikan nilai x kepersamaan 2x + 7y¿ 9002x + 7y¿ 9002(300 – y) + 7y¿ 900600 – 2y + 7y¿ 9005y = 300y = 60subsitusikan nilai y = 60 ke persamaan x = 300 – yx = 300 – yx = 300 – 60x = 240jadi titik potong B (240,60)

kemudian dilakukan pengujian titik pojok

Titik pojok (x,y) f(x,y) = 500x + 1.000yA (300, 0) 150.000B (240,60) 180.000C (0, 128,6) 128.600

Jadi, keuntungan maksimum yang didperoleh pak Jeri yaitu pada saat penjualan pepaya sebanyak 240 kg dan jeruk sebanyak 60 kg sehingga memperoleh keuntungan maksimum sebesar Rp180.000,00

18. Jika x ≥ 0, y ≥ 0, 2x + y ≤ 6, dan x + 2y ≤ 6, maka fungsi Q = x + y mempunyai nilai maksimum . . . . .

Jawab:

Fungsi batasannya:2x + y ≤ 6x + 2y ≤ 6x ≥ 0y ≥ 0

fungsi objektifnya yaitu Q = x + y

himpunan penyelesaianny dapat ditentukan dari grafik berikut

berdasarkan grafik, himpunan penyelesaiannya terletak pada bagian yang tidak terkena arsiran(bagian bersih)

didapatkan titik pojoknya yaitu titik A (3,0), titik B dan titik C (0,3)dengan titik B sebagai titik potong antara garis 2x + y = 6 dengan garis x + 2y = 6dari x + 2y = 6 didapat x = 6 – 2ysubsitusikan nilai x kepersamaan 2x + y = 62x + y = 62 (6 – 2y) + y = 612 – 4y + y = 63y = 6y = 2

subsitusikan nilai y kepersamaan x = 6 – 2yx = 6 – 2yx = 6 – 2 ∙ 2x = 2

jadi titik potong B (2,2)

uji titik pojokTitik pojok (x,y) Q = x + y

A (3,0) 3B (2,2) 4C (0,3) 3

Jadi, fungsi Q = x + y mempunyai nilai maksimum yaitu 4

19. Tentukan nilai maksimum dari f(x,y) = 50x + 45y yang memenuhi system pertidaksamaan x + y ≤18, 15x + 12y≤ 120, x ≥0, y ≥0, x,y ∈R!

Penyelesaian:

Dari permasalaan diatas, dapat kita buat model matematikanya sebagai berikut:

HP

x + y ≤1815x + 12y≤ 120

x≥ 0, y≥ 0, x,y∈R

fungsi tujuan atau bentuk maksimumnya adalah 50x + 45y

himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan diatas dapat dilihat pada grafik

daerah mpunan penyelesaiannya adalah bagian yang tidak terkena arsir.

Dengan titik pojoknya yaitu titik A (8,0) dan titik B (0,10)

Kemudian dilakukan uj titik pojok sebagai berikut:

Titik pojok (x,y) f(x,y) = 50x + 45yA (8,0) 400B (0,10) 450

Jadi, nilai maksimum dari f(x,y) = 50x + 45y adalah 450.

20. Pak Badu hendak mengangkat 60 ton barang dari gudang ke tokonya. Untuk keperluan itu, ia menyewa dua jenis truk yaitu jenis I dengan kapasitas 3 ton dan jenis II dengan kapasitas 2 ton. Sewa tiap truk jenis I adalah Rp5.000,00 sekali jalan dan sewa tiap truk jenis II adalah Rp4.000,00 sekali jalan. Dengan cara demikian ia harus menyewa truk sekurang-kurangnya 24 buah.

a. Berapakah banyaknya jenis truk I dan jenis truk II yang harus disewa agar biaya yang dikeluarkan serendah-rendahnya?

b. Tentukanlah biaya minimum yang akan dikeluarkan oleh Pak Badu!

Penyelesaian:

Misalkan: jenis truk I = xJenis truk II= y

Jenis truk Banyak Kapasitas Biaya sewaTruk I x 3 ton Rp5.000,00Truk II y 2 ton Rp4.000,00

HP

Jumlah 24 60 tonModel matematikanya:Syarat: x + y ≥ 24

3x + 2y ≤ 60x ≥ 0, y ≥ 0

fungsi objektifnya: f(x,y) = 5.000x + 4.000y

himpunan penyelesaiannya dapat ditentukan dengan grafik berikut..

dari grafik tersebut didapatkan titik pojok A (0,24), titik C(0,39) dan titik B sebagai titik potong antara garis x + y ¿ 24 dengan garis 3x + 2y ¿ 60

dari x + y ¿ 24 di dapat x = 24 – ysubsitusi nilai x kepersamaan 3x + 2y ¿ 603x + 2y ¿ 603 (24 – y) + 2y ¿ 6072 – 3y + 2y ¿ 60y = 12subsitusi nilai y kepersamaan x = 24 – yx = 24 – yx = 24 – 12x = 12jadi kordinat titik B (12,12)nilai fungsi objektif f(x,y) = 5.000x + 4.000y untuk tiap titik pojok

Titik pojok (x,y) f(x,y) = 5.000x + 4.000yA (0,24) 96.000B (12,12) 108.000C(0,39) 120.000

a. Jadi, banyaknya jenis truk yang mengakibatkan biaya sewa minimal terjadi di titik A. Oleh karena itu, Pak Badu harus menyewa jenis II saja 24 buah dan tidak perlu menyewa truk jenis I.

HP

b. Biaya sewa minimal yang harus dikeluarkan Pak Badu adalah Rp96.000,00

21. Barang jenis A seharga Rp20.000,00 diperlukan 20 kg bahan baku dan 2 jam waktu kerja mesin. Barang jenis B seharga Rp30.000,00 diperlukan 30 kg bahan baku dan 1 jam waktu kerja mesin. Bahan baku yang tersedia adalah 270 kg dan 17 jam waktu kerja mesin. Hasil penjualan maksimum adalah........

Jawab:

Jenis barang Harga Bahan yang diperlukan Waktu kerjaA Rp20.000,00 20 kg 2 jamB Rp30.000,00 30 kg 1 jam

Jumlah 270 kg 17 jam

Misalkan: banyaknya barang A = x Banyaknya barang B = y

Model matematikanya:Syarat: 20x + 30y ≤ 270 ⟺ 2x + 3y ≤ 27

2x + y ≤ 17x ≥ 0y ≥ 0

fungsi objektif: f(x,y) = 20.000x + 30.000yhimpunan penyelesaiannya dapat ditentukan dari grafik berikut

berdasarkan grafik, didapatkan titik pojoknya yaitu titik A ( 172

,0), titik B dan titik C

(0,9)titik B adalah titik perpotongan garis 2x + 3y = 27 dengan garis 2x + y ¿ 17dari 2x + y ¿ 17 di dapatkan y = 17 – 2xsubsitusikan nilai y kepersamaan 2x + 3y = 272x + 3y = 272x + 3 (17 – 2x) = 272x + 51 – 6x = 274x = 24x = 6

HP

subsitusikan nilai x = 6 kepersamaan y = 17 – 2xy = 17 – 2xy = 17 – 2 ∙ 6y = 5jadi, koordinat titik B (6,5)nilai fungsi objektif f(x,y) = 20.000x + 30.000y untuk setiap titik pojok

Titik pojok (x,y) f(x,y) = 20.000x + 30.000y

A ( 172

,0) 170.000

B (6,5) 270.000C (0,9) 270.000

Jadi, hasil penjualan maksimumnya yaitu sebesar Rp270.000,00

22. Seorang pengusaha mebel mempunyai modal Rp 1.600.000,00 dan 360 lembar papan kayu untuk membuat lemari dan meja. Bahan yang diperlukan untuk membuat sebuah lemari dan sebuah meja masing-masing adalah 20 lembar papan dan 81 lembar papan. Ongkos yang dikeluarkan untuk membuat sebuah lemari dan sebuah meja masing-masing adalah Rp 80.000,00 dan Rp 40.000,00. Keuntungan bersih untuk setisp lemari dan meja yang terjual adalah Rp 17.500,00 dan Rp 8.000,00. Buatlah model matematika untuk masalah tersebut, dan hitunglah keuntungan terbesar yang diperoleh.

Jawab:

Dari masalah diatas dapat dirangkum dalam tabel sebagai berikut:

Lemari Meja PersediaanBiaya Rp 80.000,00 Rp 40.000,00 Rp 1.600.000,00Bahan 20 8 360

Keuntungan Rp 17.500,00 Rp 8.000,00

Misalkan : Jumlah lemari yang diproduksi = x buah

Maka harus dipenuhi pertidaksamaan:

80.000x + 40.000y ≤ 1.600.000 ⟹ 2x + y ≤ 40

20x + 8y ≤ 360 ⟹ 5x + 2y ≤ 90

Dengan demikian x dan y memenuhi persamaan x≥ 0, y≥ 0.

Jadi, model matematika untuk persoalan diatas adalah

2x + y ≤ 40

5x + 2y ≤ 90 fungsi batasannya

x ≥0

y ≥0

fungsi tujuan : Z = 17.500x + 8.000y maks

langkah penyelesaian:

2x + y ≤ 40Titik potong sumbu x jika y = 0 ⟶ 2x + y = 40

2x + 0 = 402x = 40x = 20 , jadi titik koordinatnya (20,0)

Titik potong sumbu y jika x = 0 ⟶ 2x + y = 402 ∙ 0 + y = 40y = 40 , jadi titik koordinatnya (0,40)

5x + 2y ≤ 90Titik potong sumbu x jika y = 0 ⟶ 5x + 2y = 90

5x+ 2 ∙0 = 905x = 90x = 18 , jadi titik koordinatnya (18,0)

titik potong sumbu y jika x = 0 ⟶ 5x + 2y = 905∙ 0 + 2y = 902y = 90y = 45 , jadi titik koordinatnya (0,45)

grafik

dari grafik tersebut didapatkan daerah himpunan penyelesaiaannya yaitu bagian yang tidak terkena arsiran.

Koordinat titik potongnya

Dan diperoleh titik-titik pojoknya adalah : titik A(18,0), B(10,20), dan C(0,40).

Titik B adalah titik potong antar garis 5x + 2y = 90 dengan 2x + y = 40.

Nilai fungsi tujuannya 17.500x + 8.000y

selanjutnya dilakukan uji titik pojok:

Titik pojok Z = 17.500x + 8.000y

A (18,0) 315.000B (10,20) 335.000C (0,40) 320.000

Dari tabel, tampak bahwa keuntungan maksimal yang diperolah setiap hari sebesar-besarnya adalah Rp 335.000,00 jika setiap diproduksi lemari sebanyak 10 buah dan meja sebanyak 20 buah.

23. Seorang pengusaha mempunyai pabrik sepatu di dua kota, yaitu di Pekanbaru dan Medan. Untuk memenuhi pesanan sebanyak 300 sepatu pria, 180 sepatu wanita dan 240 sepatu anak-anak, maka pengusaha tersebut mengoperasikan kedua pabrik tersebut. pabrik di Pekanbaru setiap hari menghasilkan sepatu pria, sepatu wanita, sepatu anak-anak masing-masing 30, 12, dan 12 dengan ongkos pekerja Rp 30.000,00 tiap hari. Pabrik di Medan tiap hari menghasilkan sepatu pria, sepatu wanita, sepatu anak-anak masing-masing 15, 12, 24 dengan ongkos pekerja Rp 25.000,00 setiap hari.

HP

Hitunglah biaya total minimum untuk ongkos pekerja!

Penyelesaian:

Dari masalah diatas dapat dirangkum dalam tabel sebagai berikut

Jumlah sepatu yang dihasilkan

Pabrik di Pekanbaru Pabrik di MedanJumlah pesanan

Sepatu pria 30 15 300Sepatu wanita 12 12 180Sepatu anak-anak 12 24 240Ongkos pekerja Rp 30.000,00 Rp 25.000,00

Pemisalan:

Misalkan jumlah hari yang digunakan untuk menyelesaikan pesanan tersebut untuk pabrik Pekanbaru = x hari dan di Medan = y hari.

Maka dipenuhi pertidaksamaan berikut:

30x + 15 y ≥300 ⟺ 2x + y≥ 20

12x + 12y≥ 180 ⟺x + y ≥15

12x + 24y≥ 240 ⟺x + 2y≥ 20

Sehingga dapat ditentukan fungsi batasannya yaitu:

2x + y≥ 20

x + y ≥15

x + 2y≥ 20

x ≥0

y ≥0

x, y ∈ C

dengan fungsi objektif (30.000x +25.000y).

selanjutnya dapat kita buat grafik untuk menentukan himpunan penyelesaiannya

daerah himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang tidak di kenai arsir.

maka diperoleh titik-titik pojok yang memenuhi daerah himpunan penyelesaian yaitu titik A (20,0), B (10,5), C (5,10) dan D (0,20).

Perhatikan bahwa titik B adalah titik potong antara garis x + 2y≥ 20 dan garis x + y ≥15. Dan titik C adalah perpotongan antara garis x + y ≥15 dan garis 2x + y≥ 20.

Nilai fungsi objektif atau fungsi tujuan (30.000x +25.000y) untuk tiap koordinat titik pojok diperlihatkan pada tabel pembuktian titik pojok berikut:

Titik pojok (x,y) f (x,y) = 30.000x +25.000yA (20,0) 600.000B (10,5) 425.000C (5,10) 400.000D (0,20) 500.000

Dari tabel, tampak bahwa biaya total minimum untuk ongkos pekerja adalah Rp400.000,00 dan tercapai jika pabrik di Pekanbaru menyelesaikan pesanan selama 5 hari dan pabrik di Medan selama 10 hari.

24. PT. Angin Ribut memproduksi ban motor dan ban sepeda. Proses pembuatan ban motor melalui tiga mesin, yaitu 2 menit pada mesin I, 8 menit pada mesin II, dan 10 menit pada mesin III. Adapun ban sepeda diprosesnya melalui dua mesin yaitu 5 menit pada mesin I dan 4 menit pada mesin II. Tiap mesin ini dapat dioperasikan 800 menit perhari. Untuk memperoleh keuntungan maksimum, rencananya perusahaan ini akan mengambil keuntungan Rp40.000,00 dari setiap penjualan ban motor dan Rp30.000,00 dari setiap penjualan ban sepeda. Berdasarkan keuntungan yang ingin dicapai ini, maka berapakah banyaknya bann motor dan ban sepeda yang harus diproduksi dan hitunglah keuntunan maksimalnya.

Penyelesaian:

Mesin I Mesin II Mesin III Keuntungan

HP

Ban motor 2 8 10 Rp40.000,00Ban sepeda 5 4 0 Rp30.000,00

Jumlah 800 800 800Pemisalan:

Misalkan banyak ban motor yang diproduksi sebagai x dan banyak ban sepeda yang diproduksi sebagai y. Dapat di tentukan fungsi batasannya yaitu:

2x + 5y ≤ 800

8x + 4y ≤ 800

10x ≤ 800

x ≥0

y ≥0

x, y ∈ C

fungsi tujuannya adalah f(x,y) = 40.000x + 30.000y

grafik

perhatikan daerah penyelesaian dari grafik pada gambar diatas.

Titik pojoknya adalah titik O, A, B, C, dan D.

Titik O adalah titik pusat koordinat. Jadi titi O(0,0) Titik A adalah titik potong antara garis x = 80 dan sumbu-x. Jadi titik A(80,0) Titik B adalah titik potong antara garis x = 80 dan garis 8x +4 y = 800

Subsitusikan x = 80 ke persamaan 8x +4 y = 8008 ∙ 80 + 4 y = 800

y = 40jadi, titik B(80,40)

Titik C adalah titik potong antara garis 8x +4 y = 800 dan 2x + 5y = 800Dari 8x +4 y = 800 di dapat y = 200 – 2xSubsitusikan nilai y ke persamaan 2x + 5y = 800

HP

2x + 5(200 – 2x) = 8002x + 1000 – 10x = 800

-8x = -200x = 25

subsitusikan x = 25 ke persamaan y = 200 – 2xy = 200 – 2 ∙ 25y = 150

jadi titik C(25,150)

Titik D adalah titik potong antara garis 2x + 5y = 800 dan sumbu-ySubsitusikan x = 0 kepersamaan 2x + 5y = 800

2 ∙ 0 + 5y = 8005y = 800y = 160

jadi titik D(0,160)

selanjutnya uji titik pojok ke fungsi objektif atau fungsi tujuan f(x,y) = 40.000x + 30.000y, sehingga fungsi objektif ini maksimum

Titik pojok (x,y) f(x,y) = 40.000x + 30.000yA(80,0) 3.200.000B(80,40) 4.400.000C(25,150) 5.500.000D(0,160) 4.800.000

Dari tabel tersebut dapat diperoleh nilai maksimum fungsi objektif f(x,y) = 40.000x + 30.000y adalah f(25,150) = 5.500.000

Jadi, PT Angin Ribut harus memproduksi 25 ban motor dan 150 ban sepeda untuk memperoleh keuntungan maksimum sebesar Rp5.500.000,00.

25. Tentukanlah nilai minimum fungsi objektif f(x,y) = 2x + 10y yang memenuhi x + 2y ≥10, 3x + y ≥15, x ≥ 0, y ≥0.

Penyelesaian:

GrafikTitik-titik pojoknya adalah titik A, B, dan C.

Titik A adalah titik potong garis x + 2y = 10dengan sumbu-xSubsitusikan y = 0 kepersamaan x + 2y = 10

HP

x + 2∙ 0 = 10x = 10

jadi titik A(10,0) Titik B adalah titik potong garis x + 2y = 10dengan garis 3x + y ¿15

Dari x + 2y = 10diperoleh x = 10 – 2ySubsitusikan nilai x kepersamaan 3x + y = 15

3(10 – 2y) + y = 1530 – 6y + y = 15

30 – 5 y = 155 y = 15

y = 3subsitusikan nilai y = 3 kepersamaan x = 10 – 2y

x = 10 – 2∙3x = 4

jadi, titik B(4,3) Titik C adalah titik potong garis 3x + y = 15 dengan sumbu-y

Subsitusikan x = 0 kepersamaan 3x + y = 153 ∙ 0 + y = 15

y = 15jadi titik C(0,15)

Uji titik-titik pojok

Titik pojok (x,y) f(x,y) = 2x + 10yA(10,0) 20B(4,3) 38C(0,15) 150

Dari tabel diperoleh nilai minimum fungsi objektif f(x,y) = 2x + 10y adaah f(10,0)=20

26. Nilai maksimum dari x + y – 6 yang memenuhi x ≥ 0, y ≥ 0, 3x + 8y ≤ 340, dan 7x + 4y ≤ 280 adalah . . . .

Jawab:

Fungsi batasannya : 3x + 8y ≤ 3407x + 4y ≤ 280x ≥ 0y ≥ 0

fungsi objektif : f(x,y) = x + y – 6

himpunan penyelesaiannya dapat dilihat dari grafik berikut

berdasarkan grafik tersebut, diperoleh titik pojok nya yaitu titik A (40,0), titik B, dan titik C (0, 42,5).

Titik B adalah titik potong antara garis 3x + 8y ¿ 340 dengan garis 7x + 4y ¿ 280

Dari 3x + 8y ¿ 340 di dapat x = 340−8 y

3Subsitusikan nilai x kepersamaan 7x + 4y ¿ 2807x + 4y ¿ 280

7 ( 340−8 y3 ) + 4y ¿ 280

2380−56 y3 + 4y ¿ 280

793,3 – 18,74y + 4y ¿ 28014,7 y = 513,3y = 35

subsitusikan nilai y ke persamaan x = 340−8 y

3

x = 340−8 y

3

x = 340−8 ∙ 35

3

x = 340−280

3

x = 603

x = 20

jadi, titik potong B (20,35)

uji titik pojok Titik pojok (x,y) f(x,y) = x + y – 6

A (40,0) 34B (20,35) 49

HP

C (0, 42,5) 48,5

Jadi, nilai maksimum dari x + y – 6 adalah 49

27. Nilai maksimum dari z = 3x + 6y yang memenuhi 4x + y ≥ 20, , x + y ≤ 20, x + y ≥ 10, x ≥ 0, y ≥ 0 adalah . . . . .

Jawab:

Fungsi batasannya yaitu: 4x + y ≥ 20x + y ≤ 20x + y ≥ 10x ≥ 0y ≥ 0

fungsi objektifnya adalah z = 3x + 6y

dari soal tersebut dapat kita buat grafik himpunan penyelesaiannya sebagai berikut

berdasarkan grafik tersebut di peroleh himpunan ppenyelesaiannya yaitu daerah yang tidak terkena arsiran.

Diperoleh titik pojok yaitu titik A (10,0), titik B (20,0), titik C dan titik D ( 0,20).

Titik C adalah titik perpotongan dari garis x + y ¿ 10 dan garis 4x + y ¿ 20Dari x + y ¿ 10 diperoleh x = 10 – y Subsitusikan nilai x kepersamaan 4x + y ¿ 204x + y ¿ 204 (10 – y) + y ¿ 2040 – 4y + y = 203y = 20

y = 203

subsitusikan nilai y kepersamaan x = 10 – yx = 10 – y

x = 10 – 203

HP

x = 103

jadi titik potong C ( 103

, 203 )

selanjutnya dilakukan pengujian titik pojokTitik pojok z = 3x + 6y

A (10,0) 30B (20, 0) 60

C ( 103

, 203 ) 50

D (0,20) 120

Jadi, nilai maksimum dari z = 3x + 6y adalah 120

28. Nilai minimum fungsi objektif f(x,y) = 20.000x + 10.000y yang memenuhix + 2y ≥ 103x + y ≥ 15x,y ≥ 0adalah. . . . . .

jawab:

fungsi batasannya yaitu : x + 2y ≥ 103x + y ≥ 15x,y ≥ 0

fungsi objektif : f(x,y) = 20.000x + 10.000y

dapat kita lihat himpunan penyelesaian dari permasalahan tersebut pada grafik berikut

berdasarkan grafik, himpunan penyelesaian pertidaksamaan tersebut terletak pada bagian yang tidak terkena arsiran.

HP

Diperoleh titik pojoknya yaitu titik A (10,0), titik B dan titik C (0,15)

Titik B adalah titik potong dari garis x + 2y = 10 dan garis 3x + y = 15Dari x + 2y = 10 di dapat x = 10 – 2ySubsitusikan nilai x kepersamaan 3x + y = 153x + y = 153 (10 – 2y) + y = 1530 – 6y + y = 155y = 15y = 3



selanjutnya dilakukan pengujian titik pojokTitik pojok (x,y) f(x,y) = 20.000x + 10.000y

A (10,0) 200.000B (4,3) 110.000C (0,15) 150.000

Jadi, nilai nimimun dari f(x,y) = 20.000x + 10.000y adalah 110.000.

29. Untuk (x,y) yang memenuhi 4x + y ≥ 4, 2x + 3y ≥ 6 dan 4x + 3y ≤ 12, nilai minimum untuk f = x + y adalah . . . . . .

Jawab:

Fungsi batasannya adalah : 4x + y ≥ 4 2x + 3y ≥ 6 4x + 3y ≤ 12 x ≥ 0 y ≥ 0

fungsi objektifnya yaitu f(x,y) = x + y

himpunan penyelesaiannya dapat kita lihat dari tabel berikut

berdasarkan tabel, himpunan penyelesaiannya yaitu bagian yang tidak terkena arsiran.

Di dapatkan titik pojoknya yaitu titik A (3,0) , titik B dan titik C (0,4)

Titik B adalah titik potong dari garis 4x + y = 4 dan garis 2x + 3y = 6Dari 4x + y = 4 di dapat y = 4 – 4xSubsitusikan nilai y kepersamaan 2x + 3y = 62x + 3y = 62x+ 3 (4 – 4x) = 62x + 12 – 12x = 610x = 6

x = 6

10 = 35

subsitusikan nilai x kepersamaan y = 4 – 4xy = 4 – 4x

y = 4 – 4 ∙35

y = 4 - 125

y = 85

jadi, titik potong B ( 35

, 85 )

selanjutnya dilakukan pengujian titik pojokTitik pojok (x,y) f(x,y) = x + y

A (3,0) 3

HP

B ( 35

, 85 ) 2 1

5C (0,4) 4

Jadi, nilai minimum untuk f(x,y) = x + y adalah 215

30. Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang menggukan gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp8.000,00/kg dan pisang Rp6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp1.200.000,00 dan gerobaknya hanya dapat memuat mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp9.200,00/kg dan pisang Rp7.000,00/kg maka laba maksimum yang diperoleh adalah .........

Penyelesaian:

Misalkan: banyaknya mangga : x kgBanyaknya pisang : y kg

Harga beli Kapasitas gerobak Harga jualMangga Rp8.000,00/kg x Rp9.200,00/kgPisang Rp6.000,00/kg y Rp7.000,00/kgModal Rp1.200.000,00 180

Dari tabel tersebut,

Model matematikaSyarat : 8.000x + 6.000y ≤ 1.200.000 ⟺ 4x + 3y ≤ 600

x + y ≤ 180x ≥ 0y ≥ 0

fungsi objektifnya yaitu : f(x,y) = 9.200x + 7.000y

selanjutnya himpunan penyelesaian dari permasalahan tersebut dapat dilihat dari grafik berikut

berdasarkan grafik, himpunan penyelesaiannya adalah bagian yang tidak terkena arsir.

Diperoleh titik pojok yaitu titik A (150.0), titik B dan titik C (0,180)

Titik B adalah titik potong antara garis 4x + 3y = 600 dengan garis x + y = 180Dari x + y = 180 di dapat x = 180 – ySubsitusikan nilai x kepersamaan 4x + 3y = 6004x + 3y = 6004 (180 – y) + 3y = 600720 – 4y + 3y = 600y = 120

subsitusikan nilai y kepersamaan x = 180 – yx = 180 – yx = 180 – 120x = 60


selanjutnya dilakukan pengujian titik pojok untuk menentukan laba maksimumnyaTitik pojok (x,y) f(x,y) = 9.200x + 7.000y

A (150,0) 1.380.000B (60,120) 1.392.000C (0,180) 1.260.000

Jadi, laba maksimumnya yaitu pada saat penjualan mangga sebanyak 60 kg dan pisang sebanyak 120 kg dan laba maksimumnya yaitu Rp1.392.000,00

31. Suatu kapal dapat mengangkut penumpang sebanyak – banyaknya 240 orang. Penumpang kelas utama dapat membawa bagasi seberat 60 kg dan kelas ekonomi seberat 20 kg. Kapal tersebut hanya dapat memuat bagasi paling banyak 7.200 kg. Harga sebuah tiket kelas utama Rp200.000,00 dan tiket kelas ekonomi Rp100.000,00.

Harapan pengelola kapal memperoleh harga jual tiket yang setinggi-tingginya. Buatlah model matematikanya .

Tiket Utama Tiket Ekonomi Maksimal Bagasi (Kg) 60 20 7.200

Harga Tiket (Rp) 200.000 100.000 zMisalkan banyaknya Tiket Utama yang akan di jual : x

banyaknya Tiket Ekonomi yang akan di jual : y

Model Matematika : 1. 60x + 20y ≤ 7.200 3x + y ≤ 360 2. x + y ≤ 240 3. x ≥ 0 4. y ≥ 0

Fungsi tujuan memperoleh harga jual tiket yang setinggi-tingginya adalah :Z = 200.000x + 100.000y (maksimal)

Penyelesaian 1. Koordinat titik potong 3x + y ≤ 360 3x y = 360

Titik potong x y = 0 3x =360


y = 360 (0,360)2. Koordinat titik potong x + y ≤ 240 x + y = 240

Titik potong x y = 0 x = 240 (240,0)

Titik potong y x = 0 y = 240 (0,240)

Titik potong garis 3x + y = 360 dan x + y = 2403x + y = 360 × 1 3x + y = 360 x + y = 240 × 3 3x + 3y = 720

-2y = -360 y = 180

x + (180) = 240

x = 60 titik potong (60,180)

Uji titik pojok z = 200.000x + 100.000y a. (120,0) Rp. 24.000.000,00b. (0,240) Rp. 24.000.000,00c. (60,80) Rp. 30.000.000,00

Jadi agar penjualan tiket dapat menghasilkan pendapatan yang setinggi-tingginya tapi memenuhi syarat,maka di jual Tiket kelas Utama 60 buah dan Tiket kelas Ekonomi 180 lembar,dengan total penjualan Rp. 30.000.000,00 .

32. Seorang pemborong mendapat borongan dua jenis pagar Pagar jenis I harganya Rp30.000/m Pagar jenis II harganya Rp45.000/m

Tiap m2 pagar jenis I memerlukan 4m besi pipa dan dan 6m besi beton. Tiap m2 pagar jenis II memerlukan 8m besi pipa dan 4m besi beton. Persediaan yang ada adalah 640 m besi pipa dan 480 m besi beton. Jika semua pesanan terpenuhi, maka tentukanlah hasil penjualan maksimum kedua jenis pagar.

Penyelesaian:

Besi pipa Besi beton HargaJenis I 4 6 30.000Jenis II 8 4 45.000

Persediaan 640 480

Dari tabel tersebut, misalkan:Pagar jenis I adalah x, dan pagar jenis II adalah yMaka, dapat kita buat model matematikanya yaitu:4x + 8y ≤ 640 ⟺x + 2y ≤ 1606x + 4y ≤ 480 ⟺ 3x + 2y ≤ 240

Fungsi batasannya yaitu:x + 2y ≤ 1603x + 2y ≤ 240

x ≥0, y ≥0

x, y ∈ C

fungsi tujuannya atau bentuk maksimum yaitu 30.000x + 45.000y

dapat kita buat grafik himpunan penyelesaiannya sebagai berikut.

Dari grafik, di dapatkan titik-titik pojoknya yaitu titik A (80,0), B, C (0,80)

Dengan B sebagai titik potong antara garis x + 2y ≤ 160 dengan garis 3x + 2y ≤ 240.Dari x + 2y = 160 di dapat x = 160 – 2ySubsitusikan nilai x ke persamaan 3x + 2y = 2403x + 2y = 2403 (160 – 2y) + 2y = 240480 – 6y + 2y = 2404y = 240y = 60subsitusikan nilai y ke persamaan x = 160 – 2yx = 160 – 2yx = 160 – 2 ⋅ 60x = 40jadi, titik potong B (40,60)

selanjutnya dilakukan uji titik pojok.

Titik pojok (x,y) f(x,y) = 2.000x + 1.500yA (80,0) 160.000B (40,60) 170.000C (0,80) 120.000

Jadi, seorang pemborong tersebut akan mendapatkan hasil penjualan maksimum jika pesanam pagar I sebanyak 40 dan pagar II sebanyak 60 yaitu sebesar Rp 170.000,00/m

33. `untuk membuat satu cetak roti A dipergunakan 50 gram mentega dan 60 gram tepung. Untuk membuat satu cetak roti B diperlukan 100 gram mentega dan 20 gram tepung. Jika tersedia 3,5 kg mentega dan 2,2 kg tepung, tentukanlah jumlah kedua roti terbanyak yang dapat dibuat!

Penyelesaian:

HP

Mentega TepungA 50 gr 60B 100 gr 20

Persediaan 3500 gr 2200

Dari tabel diatas, misalkan:Roti A sebanyak x dan roti B sebanyak yMaka, dapat di buat model matematikannya yaitu:50x + 100y ≤3500 ⟺x + 2y≤ 7060x + 20y≤2200 ⟺ 3x + y ≤110

Fungsi batasannya adalah :x + 2y≤ 703x + y ≤110

x ≥0, y ≥0

x, y ∈ C

himpunan penyelesaiannya dapat kita lihat pada grafik berikut.

Dari grafik, kita dapatkan 3 titik-titik pojok yaitu titik A (36,6,0), titik B, dan titik C (0,35)Titik B adalah titik potong antara garis x + 2y≤ 70 dengan garis 3x + y ≤110Dari x + 2y¿ 70 di dapat x = 70 – 2ySubsitusikan nilai x kepersamaan 3x + y ¿1103x + y ¿1103(70 – 2y) + y ¿110210 – 6y + y ¿1105y = 100y = 200

subsitusikan nilai y = 200 ke persamaan x = 70 – 2yx = 70 – 2yx = 70 – 2⋅ 200

HP

x = 300

jadi titik B (300,200)

dengan demikian jumlah kedua roti terbanyak yaitu 500 roti.

34. Nilai maksimum dari f(x,y) = 2x + 3y pada daerah 3x + y 9, 3x + 2y 12, x 0, y 0 adalah ………

Jawab:

Fungsi batasannya :3x + y 9 3x + 2y 12x 0y 0

fungsi objektifnya yaitu: f(x,y) = 2x + 3y

daerah himpunan penyelesaiannya dapat kita lihat dari grafik berikut

berdasarkan grafik, diperoleh titik pojoknya yaitu titik A(3,0), titik C dan titik B (4,0)titik C adalah titik potong garis 3x + y= 9 dan garis 3x + 2y = 12

dari 3x + y = 9 di dapat x = 9− y

3subsitusikan nilai x kepersamaan 3x + 2y = 123x + 2y = 12

3 ( 9− y3 ) + 2y = 12

9 – y + 2y = 12

HP

y = 3

subsitusikan nilai y kepersamaan x = 9− y

3

x = 9− y

3

x = 9−3

3x = 2

jadi, titik potong C (2,3)

nilai fungsi objektif f(x,y) = 2x + 3y untuk setiap titik pojokTitik pojok (x,y) f(x,y) = 2x + 3y

A(3,0) 6B (4,0) 8C (2,3) 13

35. Nilai Maksimum dari z = 4x + 9y dengan syarat x + 2y 12, 2x + y 12, x 0,y 0 adalah .......

Jawab:

Fungsi batasannya:x + 2y 122x + y 12x 0y 0

fungsi objektifnya yaitu: z = 4x + 9y

daerah himpunan penyelesaiannya dapat dilihat pada grafik dibawah ini

berdasarkan grafik, diperoleh titik pojok yaitu titik A (6,0), titik B dan titik C (0,6)

HP

titik B adalah titik potong dari garis x + 2y = 12 dan garis 2x + y = 12dari x + 2y = 12 di dapat x = 12 – 2ysubsitusikan nilai x kepersamaan 2x + y = 122x + y = 122(12 – 2y) + y = 1224 – 4y + y = 123y = 12y = 4

subsitusikan nilai y kepersamaan x = 12 – 2yx = 12 – 2yx = 12 – 2 ⋅ 4x = 4

jadi, titik potong B (4,4)

untuk mencari nilai maksimum, dilakukan pengujian titik pojok:Titik pojok (x,y) z = 4x + 9y

A (6,0) 24B (4,4) 52C (0,6) 54

Jadi, nilai maksimum dari z = 4x + 9y adalah 54.

36. Pedagang teh mempunyai lemari yang hanya cukup ditempati 40 boks teh. Lemari itu akan diisi dengan dua jenis teh, yaitu teh A dan teh B. Teh A dibeli dengan harga Rp 60.000,00 setiap boks dan teh B dibeli dengan harga Rp 80.000,00 setiap boks. Bila pedagang itu mempunyai modal Rp 3.000.000,00 untuk membeli x boks teh A dan y boks teh B, dan keuntungan penjualan teh A Rp 5.000,00 per boks dan teh B Rp 10.000,00 per boks. Tentukanlah keuntungan maksimum yang dapat dicapai oleh pedagang tersebut …

Jawab :

Teh A Teh B ModalHarga beli per boks (Rp)

60.000 80.000 Rp 3.000.000

Keuntungan (Rp ) 5.000 10.000Jumlah boks maksimum

40 boks

Misal : Jumlah teh jenis A = x boks

Jumlah teh jenis B = y boks

Model matematika :

60.000x + 80.000y ≤ 3.000.000

x + y ≤ 40 fungsi batasan

x ≥ 0 y ≥ 0 , x , y ∈ R

Fungsi objektif = z = 5000x + 10000y maksimum

Langkah penyelesaian :

60.000x + 80.000y ≤ 3.000.000 60.000x + 80.000y = 3.000.000

Titik potong terhadap sumbu x y = 0

60.000x = 3.000.000

x = 50 ( 50,0 )

Titik potong terhadap sumbu y x = 0

80.000y = 3.000.000

y = 37,5 ( 0 , 37,5 )

x + y ≤ 40 x + y = 40

titik potong terhadap sumbu x y = 0

x = 40 ( 40,0 )

titik potong terhadapsumbu y x = 0

y = 40 ( 0,40 )

60.000x + 80.000y = 3.000.000 x 1

x + y = 40 x60.000

60.000x + 80.000y = 3.000.000

60.000x + 60.000y = 2.400.000 _

20.000y = 600.000

y = 30

x = 10 ( 10,30 )

Titik pojok Z = 5.000x + 10.000yA ( 40,0 ) Rp 200.000B ( 10,30 ) Rp 350.000C ( 0 ; 37 ) Rp 370.000

jadi, keuntungan maksimum yang dapat dicapai pedagang itu adalah Rp 370.000

37. Panitia demo masakan menyediakan dua jenis makanan bergizi berbentuk bubuk untuk peserta. Tiap 400 gram, kedua jenis makanan tersebut mengandung nutrisi yaitu : makanan jenis A mengandung 15 gram protein, 2 gram lemak, dan 25 gram karbohidrat. Sedangkan makanan jenis B mengandung 10 gram protein, 4 gram lemak dan 30 gram karbohidrat. Para peserta setiap hari paling sedikit memerlukan 15 gram protein, 4 gram lemak, dan 30 gram karbohidrat. Apabila harga makanan A Rp 15.000 per 400 setiap 400 gram dan makanan B Rp 20.000 setiap 400 gram, tentukan harga minimum dari makanan yang telah dihabiskan peserta setiap harinya.

Jawab :

Unsur Makanan A

Makanan B Kebutuhan minimum

Protein ( gram ) 15 10 15Lemak ( gram ) 2 4 4Karbohidrat ( gram ) 25 30 30Harga (Rp )setiap 400 gram 15.000 20.000

Misal : Banyaknya makanan A = x gram

Banyaknya makanan B = y gram

Model matematika dari tabel diatas :

15x + 10y ≥ 152x + 4y ≥ 425x + 30y ≥ 30 fungsi batasan

x ≥ 0 y ≥ 0 , x , y ∈ R

Fungsi objektif = z = 15.000x + 20.000y minimum


15x + 10y ≥ 15 15x + 10y = 15

Titik potong teradap sumbu x y = 0

15x = 15

x = 1 ( 1,0 )

titik potong terhadap sumbu y x= 0

10y = 15

y = 1,5 ( 0 ;1,5 )

2x + 4y ≥ 4 2x + 4y = 4


2x = 4

x = 2 ( 2,0 )

Titik potong terhadapsumbu y x = 0

4y = 4

y = 1 ( 0,1 )

25x + 30y ≥ 30 25x + 30y = 30


25x = 30

x = 1,2 ( 1,2 ; 0 )

titik potong terhadap sumbu y x = 0

30y = 30

y = 1 ( 0,1 )

1,5

1

1 1,2 2 2x + 4y = 4

15x + 10y = 1525x + 30y = 30

Titik potong garis 1 dan 2

15x + 10y = 15 x 4

2x + 4y = 4 x 10

60x + 40y = 60

20x + 40y = 40 _

40x = 20

x = 0,5

y = 0,75 ( 0,5 ; 0,75 )

Titik pojok z = 15.000x + 20.000yA ( 2,0 ) Rp 30.000B ( 0,5 ; 0,75 ) Rp 22.500C ( 0 ; 1,5 ) Rp 30.000

Jadi, harga minimum dari makanan yang telah dihabiskan oleh para peserta adalah Rp22.500,00 . Dengan jumlah makanan, 0,5 gram makanan A dan 0,75 gram makanan B.

38. Suatu perusahaan tas dan sepatu memerlukan empat unsur a dan enam unsur b per minggu untuk masing-masing hasil produksinya. Setiap tas memerlukan satu unsur a dan dua unsur b, sedangkan setiap sepatu memerlukan dua unsur a dan dua unsur b. Apabila keuntungan setiap tas Rp 3.000,00 dan setiap sepatu Rp 2.000,00, maka keuntungan maksimum yang dapat dicapai perminggu adalah ….

Jawab :

Bahan Hasil produksi JumlahTas Sepatu

Unsur a 1 2 4Unsur b 2 2 6Keuntungan (Rp) 3.000 2.000

Misal : Jumlah tas = x pasang

Jumlah sepatu = y pasang


x +2y ≤ 4

2x +2y ≤ 6 fungsi batasan

x ≥ 0 y ≥ 0 , x , y ∈ R

Fungsi tujuan : z = 3.000x + 2.000y maksimum


x + 2y ≤ 4 x + 2y = 4


x = 4 ( 4,0 )


2y = 4

y = 2 ( 0,2 )

2x + 2y ≤ 6 2x + 2y = 6


2x = 6

x = 3 ( 3,0 )


2y = 6

y = 3 ( 0,3 )

3

2

3 4 x + 2y = 4

2x + 2y = 6

x + 2y = 4

2x + 2y = 6 _

-x = -2

x = 2 y = 1 koordinat ( 2,1 )

Uji titik pojok Z = 3.000x + 2.000yA ( 3,0 ) Rp 9.000B ( 2,1 ) Rp 8.000C ( 0,2 ) Rp 4.000

Jadi, keuntungan maksimum yang dapat dicapai oleh perusahaan tersebut adalah Rp 9.000 per minggu dengan memproduksi tiga buah tas dan tidak memproduksi sepatu.

39. Seorang anak diharuskan mengkonsumsi dua jenis tablet setiap hari. Tablet pertama mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B, sedangkan tablet kedua

mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari anak memerlukan 20 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet pertama Rp 400,00/butir dan tablet kedua Rp 800,00/butir, maka pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah….

Jawab :

Kandungan Jenis tablet Kebutuhan per hariTablet I Tablet II

Vitamin A ( unit ) 5 10 20Vitamin B ( unit ) 3 1 5Harga ( Rp ) 400 800

Misal : Jumlah tablet jenis pertama = x butir

Jumlah tablet jenis kedua = y butir


5x + 10y ≥ 20

3x + y ≥ 5 fungsi batasan

x ≥ 0 y ≥ 0 , x , y ∈ R

Fungsi objektif = z = 400x + 800y minimum


5x + 10y ≥ 20 5x + 10y = 20


5x = 20

x = 4 ( 4,0 )


10y = 20

y = 2 ( 0,2 )

3x + y ≥ 5 3x + y = 5


3x = 5

x = 1,6 ( 1,6 ; 0 )


y = 5 ( 0,5 )

5

2

1,6 4 5x + 10y = 20

3x + y = 5

5x + 10y = 20 x 1

3x + y = 5 x 10

5x + 10y = 20

30x + 10y = 50 _

-25x = - 30

x = 1,2

y = 1,4 ( 1,2 ; 1,4 )

Uji titik pojok Z = 400x + 800yA ( 4,0 ) Rp 1600B ( 1,2 ; 1,4 ) Rp 1600C ( 0,5 ) Rp 4000

Jadi, pengeluaran minimum untuk pembelian tablet per hari adalah Rp 1.600,00 .

40. Rokok A dengan harga beli Rp 5.000,00 dijual dengan harga Rp 5.500,00 per bungkus, sedangkan rokok B dengan harga belinya Rp 7.500,00 dijual dengan harga Rp 8.500,00 per bungkus. Seorang pedangang rokok yang mempunyai modal sebesar

Rp 1.500.000,00 dan kiosnya hanya dapat menampung paling banyak 250 bungkus rokok akan mendapatkan keuntungan maksimal jika ia membeli …..

Jawab :

Rokok A Rokok B Modal (Rp )Harga beli ( Rp ) 5.000 7.500 1.500.000Harga jual (Rp ) 5.500 8.500Keuntungan ( Rp ) 500 1000Daya tampung 250 bungkus

Misal : Jumlah rokok A = x bungkus

Jumlah rokok B = y bungkus


5.000x + 7.500y ≤ 1.500.000

x + y ≤ 250 fungsi batasan

x ≥ 0 y ≥ 0 , x , y ∈ R

Fungsi objektif = z = 500x + 1000y maksimum


5.000x + 7.500y ≤ 1.500.000 5.000x + 7.500y = 1.500.000


5.000x = 1.500.000

x = 300 ( 300,0 )


7.500y = 1.500.000

y = 200 ( 0,200 )

x + y ≤ 250 x + y = 250


x = 250 ( 250,0 )


y = 250 ( 0,250 )

250

200

250 300 5.000x + 7.500y = 1.500.000

x + y = 250

5.000x + 7.500y = 1.500.000 x 1

x + y = 250 x 5 000

5.000x + 7.500y = 1.500.000

5.000x + 5.000y = 1.250.000

2.500y = 250.000

y = 100

x = 150 ( 150,100 )

Uji titik pojok Z = 500x + 1000yA ( 250,0 ) Rp 125.000B ( 150,100 ) Rp 175.000C ( 0,200 ) Rp 200.000

Jadi, untuk memperoleh keuntungan yang maksimum pedagang harus membeli 200 bungkus rokok B dan tidak membeli rokok A . Dengan keuntungan maksimum sebesar Rp 200.000,00 .

41. Suatu gedung pertunjukan mempunyai tempat duduk tidak lebih dari 200 orang. Setiap penonton kelas utama mendapat kembang gula 20 buah, sedangkan untuk penonton kelas dua mendapat kembang gula 10 buah. Gedung itu hanya menyediakan 3.240 buah kembang gula. Apabila karcis untuk menonton kelas utama Rp10.000,00

dan karcis untuk kelas dua Rp7.500,00. Berapa banyaknya tempat duduk untuk masing-masing kelas agar pendapatannya maksimum? Berapa pula pendapatan maksimum tersebut ?

Kelas Utama Kelas Dua MaksimalKembang Gula 20 10 3.240

Harga Tiket(Rp) 10.000 7.500 ZMisalkan banyaknya Tiket Kelas Utama : x

Banyaknya Tiket Kelas dua : y


Fungsi tujuan memperoleh pendapatan maksimum :Z = 10.000x + 7.500y

Penyelesaian : 1. Koordinat titik potong 20x + y = 324Titik potong x y = 0

20x = 324 (16,2 ,0) Titik potong y x = 0

y = 324 (0,324)

2. Koordinat titik potong x + y = 200Titik potong x y = 0

x = 200 (200,0) Titik potong y x = 0

y = 200 (0,200)

Titik potong garis 20x + y = 324 dan x + y = 200

20x + y = 300 x + y = 200 19x = 100 x = 5,26(5,26) + y = 200 y = 194,74 titik potong (194,74 , 5,26 )

Uji titik pojok Z = 10.000x + 7.500 ya. (0,200) Rp. 1.500.000,00b. (16,2 , 0) Rp. 162.000,00c. (5,26 , 194,74 ) Rp. 1.986.850,00

Jadi pendapatan maksimum yang dapat diperoleh sebesar Rp. 1.500.000,00 dengan menjual Tiket Kelas Dua sebanyak 200 buah. Meskipun ada pendapatan yang lebih yaitu Rp. 1.986.850,00 tapi tidak mungkin dapat menjual tiket 194,74 atau 5,26.

42. Seorang petani modern menghadapi masalah sebagai berikut. Agar sehat, setiap sapi harus diberi makanan yang mengandung paling sedikit 27,21 dan 30 satuan unsur nutrisi jenis A, dan B, dan C setiap harinya. Dua jenis makanan M dan N diberikan kepada sapi tersebut. Satu kg makanan jenis M mengandung unsur nutrisi A, B, dan C masing-masing 1, 1, dan 2 satuan, sedangkan satu kg makanan jenis N mengandung unsur nutrisi A, B, dann C masing-masing 3, 1, dan 1 satuan. Perlu juga diketahui bahwa harga 1 kg makanan jenis M dan N masing-masing adalah Rp2.000,00 dan Rp4.000,00. Petani tersebut harus memutuuskan apakah akan membeli satu jenis makanan saja atau kedua-duanya, kemudian mencampurnya agar petani itu mengeluarkan uang serendah mungkin. Berapa besarnya pengeluaran petani tersebut ?

Nutrisi A Nutrisi B Nutrisi C Harga (Kg)Jenis M 1 1 2 2.000Jenis N 3 1 1 4.000Maksimal 27 21 30 K

Misalkan Jenis M : xJenis N : y

Model Matematika : 1. x + 3y ≥ 27 2. x + y ≥ 21 3. 2x + y ≥ 30 4. x ≥ 0 5. y ≥ 0

Fungsi tujuan mengeluarkan uang seminimum mungkin :Z = 2000x + 4000y

Penyelesaian : 1. Koordinat titik potong x + 3y = 27Titik potong x y = 0 x = 27 (27,0) Titik potong y x = 0

3y = 27 y = 9 (0,9)

2. Koordinat titik potong x + y = 21Titik potong x y = 0


y = 21 (0,21)

3. Koordinat titik potong 2x + y = 30Titik potong x y = 0

2x = 30x = 15 (15,0)


I. Titik potong garis 2x + y = 30 dan x + y = 21 2x + y = 30 x + y = 21 x = 9

(9)+ y = 21 y = 12 titik potong (9,12)

II. Titik potong garis x + 3y = 27 dan x + y = 21 x + 3y = 27 x + y = 21 2y = 6

y = 3

x + (3) = 21 x = 18 titik potong (18,3)

Uji titik pojok Z = 2000x + 4000ya. (0,30) Rp. 120.000,00b. (9,12) Rp. 66.000,00c. (18,3) Rp. 44.000,00d. (27,0) Rp. 54.000,00

Jadi pengeluaran uang minimum sebesar Rp. 44.000,00 dengan membeli makanan Jenis M sebanyak 18 Kg dan Jenis N sebanyak 3 Kg.

43. Seorang pedagang mainan anak-anak akan membeli dua jenis boneka tidak lebih dari 25 buah. Harga 1 buah boneka jenis A dan 1 buah boneka jenis B masing-masing Rp6.000,00 dan Rp8.000,00. Modal yang dimilikinya hanya Rp168.000,00. Jika laba penjualan 1 buah boneka jenis A dan 1 buah boneka jenis B masing- masing Rp2.000,00 dan Rp3.000,00, laba maksimumnya apabila terjual semua adalah ?

Jenis A Jenis B MaksimalModal (m2) 6.000 8.000 168.000Laba (Rp) 2.000 3.000 ZMisalkan banyaknya Jenis A : x

Banyaknya Jenis B : y

Model Matematika : 1. 6.000x + 8.000y ≤ 168.000 3x + 4y ≤ 84 2. x + y ≤ 25 3. x ≥ 0 4. y ≥ 0

Fungsi tujuan memperoleh sewa maksimum : Z = 2.000x + 3.000y

Penyelesaian : 1. Koordinat titik potong 3x + 4y = 84Titik potong x y = 0 3x = 84


4y = 84 y = 21 (0,21)

2. Koordinat titik potong x + y = 25Titik potong x y = 0 x = 25 (25,0) Titik potong y x = 0

y = 25 (0,25)

I. Titik potong garis 3x + 4y = 84 dan x + y = 25 3x + 4y = 84 × 1 3x + 4y = 84

x + y = 25 × 3 3x + 3y= 75 y = 9

x + (9) = 25 x = 16 titik potong (16,9 )

Uji titik pojok Z = 2000x + 3000ya. (0,20) Rp. 60.000,00b. (25,0) Rp. 50.000,00c. (16,9) Rp. 59.000,00

Jadi laba maksimum yang dapat diperoleh sebesar Rp. 60.000,00 yang hanya menjual boneka Jenis B sebanyak 20 buah.

44. Seorang pedagang sepeda mempunyai modal Rp800.000,00. Dia membeli sepeda jengki dengan harga Rp75.000,00 per buah dan sepeda mini dengan harga Rp50.000,00 per buah. Kios tempat berjualan sepeda mampu menampung 12 sepeda. Laba sepeda jengki Rp12.500,00 dan sepeda mini Rp10.000,00. Berapa sepeda harus dibeli agar pedagang memperoleh laba maksimum ?

Sepeda Jengki Sepeda Mini MaksimalModal (Rp) 75.000 50.000 800.000

Laba (Rp) 12.500 10.000 ZMisalkan Sepeda Jengki : x

Sepeda Mini : y

Model Matematika : 1. 75.000x + 50.000y ≤ 800.000 3x + 2y ≤ 32 2. x + y ≤ 12 3. x ≥ 0 4. y ≥ 0

Fungsi tujuan memperoleh laba maksimum : Z = 12.500x + 10.000y

Penyelesaian : 1. Koordinat titik potong 3x + 2y = 32Titik potong x y = 0 3x = 32

x = 10,6 (10,6 ,0) Titik potong y x = 0

2y = 32 y = 16 (0,16)


y = 12 (0,12)

I. Titik potong garis 3x + 2y = 32 dan x + y = 12 3x + 2y = 32 × 1 3x + 2y = 32 x + y = 12 × 2 2x + 2y= 24

x = 8(8) + y = 12

y = 4 titik potong (8,4)

Uji titik pojok Z= 12.500 x + 10.000 ya. (0,12) Rp. 120.000,00b. (8,4) Rp. 140.000,00c. ( 10,6 , 0) Rp. 132.500,00

Jadi laba maksimum yang dapat diperoleh sebesar Rp. 140.000,00 dengan menjual Sepeda Jengki sebanyak 8 buah dan Sepeda Mini sebanyak 4 buah.

45. Pada tanah seluas 10.000m2 akan dibangun tidak lebih dari 150 unit rumah tipe RS dan RSS. Tipe RS memerluka tanah 100m2 dan tipe RSS memerlukan tanah 50m2. Rumah-rumah tersebut akan dijual dengan harga per unit Rp10.000.000,00 untuk RS dan Rp7.000.000,00 untuk RSS. Berapa pendapatan maksimal yang akan di peroleh ?

Tipe RS Tipe RSS MaksimalLuas Tanah (m2) 100 50 10.000Harga Jual (Rp) 10 7 Z

Misalkan Tipe RS : xTipe RSS : y


Fungsi tujuan memperoleh hasil maksimum :Z = 10.000.000 x + 7.000.000 y

Penyelesaian : 1. Koordinat titik potong 2x + y = 200Titik potong x y = 0 2x = 200

x = 100 (100,0) Titik potong y x = 0

y = 200 (0,200)


y = 150 (0,150)

Titik potong garis 2x + y = 200 dan x + y = 150 2x + y = 200 x + y= 150 x = 5050+ y = 150 y = 100 titik potong (50,100)

Uji titik pojok Z = 10.000.000x + 7.000.000ya. (0,150) Rp.1.050.000.000,00b. (100,0) Rp. 1.000.000.000,00c. (50,100) Rp. 1.200.000.000,00

Jadi keuntungan maksimum dari harga jual sebesar Rp. 1.200.000.000,00 dengan menjual rumah Tipe RS sebanyak 50 rumah dan rumah Tipe RSS sebanyak 100 rumah.

46. Seorang pedagang buah membeli apel dan jeruk menggunakan sepeda motor. Harga apel Rp8.000,00 per kg dan harga jeruk Rp4.000,00 per kg. Ia merencanakan tidak akan mengeluarkan uang lebih dari Rp200.000,00 dan ia hanya dapat membawa buah tidak lebih dari 40 kg. Apabila apel dan jeruk yang ia beli berturut-turut x kg dan y kg, sedangkan laba yang ia peroleh sebesar RRp2.500,00 per kg apel dan Rp1.200,00 per kg jeruk, berapa berat apel dan jeruk yang harus dibeli agar diperoleh laba yang sebesar-besarnya? Hitunglah laba maksimum tersebut !

Apel Jeruk MaksimalModal (Rp) 8.000 4.000 200.000Laba (Rp) 2.500 1.200 Z

Misalkan banyaknya Apel : x

Banyaknya Jeruk : y

HP

Model Matematika : 1. 8.000x + 4000y ≤ 200.000 2x + y ≤ 50 2. x + y ≤ 40 3. x ≥ 0 4. y ≥ 0

Fungsi tujuan memperoleh hasil maksimum : Z = 2.500x + 1.200 y

Penyelesaian : 1. Koordinat titik potong 2x + y = 50Titik potong x y = 0 2x = 50


y = 50 (0,50)


y = 40 (0,40)

Titik potong garis 2x + y = 50 dan x + y = 40 2x + y = 50 x + y= 40 x = 10

10+ y = 40 y = 30 titik potong (10,30)

Uji titik pojok Z = 2.500x + 1.200 ya. (0,40) Rp. 48.000,00b. (10,30) Rp. 61.000,00c. (25,0) Rp. 62.500,00

HP

Jadi laba maksimum yang dapat diperoleh oleh pedagang sebesar Rp. 62.500,00 , pedagang hanya menjual Apel sebanyak 25 Kg.

47. Seorang pembuat roti mempunyai 2Kg gula, 6kg coklat bubuk dan 6,2Kg tepung putih. Untuk membuat roti jenis A ia membutuhkan 40gram gula,60gram coklat bubuk dan 160 tepung putih. Untuk membuat roti jenis B ia membutuhkan 50gram gula, 200 gram coklat bubuk dan100 gram. Berapa roti yang dapat di buat ?

Roti A Roti B MaksimalGula (kg) 40 50 2.000

Coklat bubuk (kg) 60 200 6.000Tepung putih (kg) 160 100 6.200

Misalkan banyaknya Roti A : x

Banyaknya Roti B : y

Model Matematika : 1. 40x + 50y ≤ 2.000 4x + 5y ≤ 200 2. 60x + 200y ≤ 6.000 3x + 10y ≤ 300 3. 160x + 200y ≤ 6.200 4x + 5y ≤ 155 4. x ≥ 0 5. y ≥ 0

Fungsi tujuan memperoleh produksi maksimum : Z = x + yPenyelesaian : 1. Koordinat titik potong 4x + 5y = 200



5y = 40 (0,40)

2. Koordinat titik potong 3x + 10y = 300


x = 100 (100,0) Titik potong y x = 0

10y = 300 (0,30)3. Koordinat titik potong 4x + 5y = 155Titik potong x y = 0 4x = 155

x = 25 (38,7 ,0) Titik potong y x = 0

5y = 155 (0,31)

Titik potong garis 4x + 5y = 155 dan 3x + 10y = 300 4x + 5y = 155 × 2 8x + 10y = 310 3x + 10y = 300 × 1 3x + 10y= 300

5x = 10 x = 2

3(2) + 10y = 300 y = 29,4 titik potong (2, 29,4)

Uji titik pojok Z = x + ya. (0,30) = 30b. (38,7 , 0) = 38,7c. (2 , 29,4 ) = 31,4

Jadi produksi maksimum yang dapat diperoleh sebanyak 38 buah dengan membuat Roti B tampa Roti A.

48. Nilai maksimum fungsi objektif z = 8x + 6y, dengan syarat :4x + 2y ≤ 602x + 4y ≤ 48x ≥ 0y ≥ 0adalah . . .

jawab:

syarat:4x + 2y ≤ 60 ⟺ 2x + y ≤ 302x + 4y ≤ 48 ⟺x + 2y ≤ 24x ≥ 0y ≥ 0

fungsi batasannya: 2x + y ≤ 30x + 2y ≤ 24x ≥ 0y ≥ 0

HP

fungsi objektifnya: z = 8x + 6y

himpunan penyelesaiannya dapat kita lihat melalui grafik berikut:

dari grafik tersebut, himpunan penyelesaiannya terletak pada bagian yang bersih.

Diperoleh tiga titik pojok yaitu titik A (15,0), titik B, dan titik C (0,12)

Titik B adalah titik potong antara garis 2x + y = 30 dan garis x + 2y ¿ 24Dari x + 2y ¿ 24 didapat x = 24 – 2ySubsitusikan x kepersamaan 2x + y = 302x + y = 302 (24 – 2y) + y = 3048 – 4y + y = 303y = 18y = 6



uji titik pojok Titik pojok (x,y) z = 8x + 6yA (15,0) 120B (12,6) 132C (0,12) 72

Jadi nilai maksimum dari fungsi objektif z = 8x + 6y adalah 132.

HP

49. Setiap orang membutuhkan tidak kurang dari 20 unit protein dan 16 unit lemak tiap minggunya. Untuk memenuhi kebutuhan tersebut terdapat dua macam makanan, yaitu makanan A dan makanan B. setiap kg makanan A mengandung 4 unit protein dan 2 unit lemak. Setiap 1 kg makanan B mengandung 2 unit protein dan 4 unit lemak. Jika harga makanan A adalah Rp2.000,00 per kg dan makanan B adalah Rp1.500,00 per kg, tentukan biaya minimum yang harus dikeluarkan orang tersebut agar kebutuhan protein dan lemaknya terpenuhi!

Penyelesaian:

Makanan A Makanan B JumlahProtein 4 2 20Lemak 2 4 16Harga 2.000 1.500

Pemisalan:Dari tabel tersebut, misalkan banyaknya makanan A adalah x dan banyaknya makanan B adalah y. Maka dipenuhi persamaan berikut:4x + 2y≥ 20 ⟺ 2x + y≥ 102x + 4y≥ 16 ⟺x + y ≥8

Sehingga dapat di tentukan fungsi batasannya adalah:2x + y≥ 10x + y ≥8x ≥0, y ≥0dengan fungsi objektif atau bentuk minimumnya yaitu 2.000x + 1.500ydengan demikian dapat dibuat grafik himpunan penyelesaiannya sebagai berikut

dari grafik tersebut didapatkan titik-titik pojoknya yaitu titik A (8,0), B, C (0,10). Dengan titik B sebagai titik perpotongan antara garis 2x + y≥ 10 dengan garisx + y ≥8.Dari x + y ¿8 didapat x = 8 – 2ySubsitusikan nilai x kepersamaan 2x + y¿ 102x + y¿ 102 (8 – 2y) + y¿ 1016 - 4y + y = 10y¿2subsitusikan nilai y ke x = 8 – 2y

HP

x = 8 – 2yx = 8 – 2∙2x = 4

jadi, titik B (4,2)

selanjutnya dilakukan uji titik pojok

Titik pojok (x,y)f(x,y) = 2.000x + 1.500y

A (8,0) 16.000B (4,2) 11.000C (0,10) 15.000

Jadi, biaya minimum yang harus di keluarkan orang tersebut agar kebutuhan protein dan lemaknya terpenuhi yaitu Rp11.000,00

50. Untuk membuat satu bungkus Roti A diperlukan 50 gram mentega dan 60 gram tepung,

sedangkan satu bungkus roti B diperlukan 100 gram mentega dan 20 gram tepung. Saat ini

tersedia 3.500 gram mentega dan 2.200 gram tepung. Jika keuntungan roti A adalah Rp2.000

perbuah dan roti B Rp. 2.800 perbuah, berapakah keuntungan maksimum yang dapat

diperoleh?

Tabel mentega dan tepung untuk roti

Bahan Roti A Roti B Persediaan

Mentega 50 100 3500

Tepung 60 20 2200

Keuntungan 2000 2800

Model matematika:

Fungsi diketahui:

50 x+100 y 3500

60 x+20 y2200

x≥ 0

y ≥0

Fungsi Tujuan :

f (x , y )=2.000 x+2.500 y

Ditanya :

Banyak roti A yang di buat = x buah

Banyak roti B yang di buat = y buah

Penyelesaian :

1) 50 x+100 y 3500 → 50 x+100 y=3500

Titik potong sb x , y=0(70,0)

Titik potong sb y , x=0(0,35)

2) 60 x+20 y2200 → 60 x+20 y=2200

Titik potong sb x , y=0(36,7 , 0)

Titik potong sb y , x=0(0,110)

Titik potong garis 50 x+100 y=3500 dan 60 x+20 y=2200 :

50 x+100 y=3500 x 1

60 x+20 y=2200 x 5 −¿

50 x+100 y=3500

300 x+100 y=11000 −¿

−250 x=−7500

x=−7500−250

x=30

60(30)+20 y=2200

1800+20 y=2200

20 y=400

y=20

Titik potong (30,20)

Uji Titik Pojok F(x,y) = 2.000x + 2.800y

(0,35) 98.000,00

(30 , 20) 116.000,00

(36,7 , 0) 73.400,00

Jadi keuntungan maksimum diperoleh pada ( 30, 20) dengan keuntungan Rp 116.000,00

kartika afriyeni 50 soal program linear

Documents