kalvar for oc

7/25/2019 Kalvar for OC

1/59

0

KONTROL OPTIMAL BERDASARKAN PADA

KALKULUS VARIASI

Tugas Akhir

Diajukan untuk memenuhi persyaratan

Sidang Sarjana Matematika

Oleh:

VANESSA SARAH GRISELDA

10104017

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG

2010


2/59

1

PRAKATA

Puji syukur penulis haturkan sedalam-dalamnya ke hadirat Allah SWT yang telah

memberikan limpahan anugerah, bimbingan, dan kekuatan sehingga penulis dapat

menyelesaikan tugas akhir ini sejak Maret 2009 hingga Februari 2010. Tanpa

masukan berharga, kepercayaan, dan dukungan yang diberikan oleh Dr. Janson

Naiborhu selaku pembimbing, maka penulis tidak akan dapat menyelesaikan tugas

akhir ini dengan hasil memuaskan. Penulis berterima kasih sebesar-besarnya kepadakedua orang tua penulis yang telah memberikan endless supportdan courageselama

penulis berkuliah di ITB. Terima kasih penulis sampaikan Dr. Agus Yodi selaku

dosen penguji atas segala pelajaran dan bimbingan dalam tugas akhir ini, serta Dr.

Hanni Garminia selaku dosen penguji tugas akhir dan juga dosen wali selama 5 tahun

terakhir. Tidak lupa penulis berterima kasih kepada Heru Tjahjana atas bantuan

dalam menyelesaikan fundamental codes Matlab untuk hampiran numerik. Pada

akhirnya, penulis ingin mengucapkan terima kasih setulusnya kepada Hutama G.

Soediredja atas seluruh dukungannya setiap hari, setiap saat.

Penulis menyadari bahwa tugas akhir ini masih memiliki beberapa kekurangan. Oleh

karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca

untuk perbaikan selanjutnya. Semoga tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi kemajuan

ilmu pengetahuan dan bagi siapapun yang membacanya.

Bandung, Februari 2010

Penulis


3/59

2

ABSTRAK

Kontrol Optimal berhubungan dengan permasalahan dalam menentukan hukum

kontrol untuk suatu sistem sehingga kriteria keoptimalan tertentu dapat terpenuhi.

Permasalahan kontrol optimal melibatkan fungsi biaya yang merupakan fungsional

atas state dan variabel kontrol. Kontrol optimal adalah himpunan dari persamaan

diferensial yang merupakan lintasan dari variabel kontrol yang meminimalkan fungsi

biaya. Dalam tugas akhir ini, Pontryagins Maximum Principle digunakan untuk

menurunkan hukum kontrol dan solusi umum diperoleh dengan menerapkanpendekatan Kalkulus Variasi. Lebih jauh lagi, beberapa permasalahan kontrol optimal

sederhana serta solusi analitik telah ditampilkan. Selain itu, algoritma Steepest

Descentdigunakan sebagai hampiran numerik bagi solusi optimal.


4/59

3

ABSTRACT

Optimal Control deals with the problem of finding a control law for a given system

such that a certain optimality criterion is achieved. A control problem includes a cost

functional that is a function of state and control variables. An optimal control is a set

of differential equations describing the paths of the control variables that minimize

the cost functional. In this final project, Pontryagins Maximum Principle is used for

deriving control policies and general solutions are obtained by using Calculus of

Variations approach. Furthermore, several simple optimal control problems and their

analytical solutions are presented. In addition, Steepest Descent algorithm is being

used as numerical approach to optimal solutions.


5/59

4

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Sebagian besar sistem dalam bidang fisika, kimia, biologi, dan ekonomi dapat

dimodelkan dengan persamaan matematika, salah satu bentuknya adalah model

persamaan diferensial stokastik atau deterministik. Keadaan dari sistem-sistem ini

kemudian mengalami perubahan nilai terhadap waktu atau variabel bebas lainnya,

tergantung pada persamaan dinamik tertentu. Lebih jauh lagi, sistem-sistem ini akan

membawa satu state ke state yang lainnya dengan cara menerapkan beberapa input

dari luar sistem, atau disebut juga kontrol input. Jika hal ini dapat dilakukan, maka

ada beberapa cara yang berbeda untuk mencapai nilai tertentu. Dan jika demikian,

maka ada cara yang terbaik di antara seluruh cara yang memungkinkan. Input yang

menghasilkan cara terbaik ini disebut kontrol optimal. Untuk mengukur seberapa baik

cara tersebut, digunakan indeks performa atau fungsi biaya sebagai parameter.

1.2. Rumusan Masalah

Bentuk umum dari permasalahan kontrol optimal diberikan sebagai berikut. Sistem

dinamik nonlinear dideskripsikan dalam bentuk persamaan diferensial

() = ,, (1.2.1)denganstate() , kontrol input () , dan indeks performa


6/59

5

() = , + ,, 0 (1.2.2)dimana :

0adalah waktu awal (tetap),adalah waktu akhir (bebas),,, adalah fungsi biaya pada selang waktu antara [0,],,adalah fungsi biaya pada waktu akhir yang bergantung hanya pada dan().Permasalahan kontrol optimal adalah untuk mencari input pada selang waktu[0,]yang membawa persamaan (1.2.1) sepanjang lintasan sehingga nilai dariindeks performa (1.2.2) menjadi minimal, dan

, = 0 (1.2.3)dimana

,

merupakan fungsi pembatas pada state akhir dengan

diberikan.

1.3. Tujuan

Tujuan dari tugas akhir ini adalah menurunkan kondisi keoptimalan bagi

permasalahan kontrol optimal dengan menggunakan pendekatan kalkulus variasi.

Kondisi keoptimalan yang diperoleh bersifat umum, oleh karena itu penulis akan

menerapkannya pada beberapa sistem kontrol optimal sederhana sebagai gambaran

khusus. Lebih jauh lagi, dengan menggunakan kondisi keoptimalan tersebut akan

ditentukan solusi analitik dan numerik bagi beberapa permasalahan.


7/59

6

1.4. Batasan Masalah

Dalam tugas akhir ini, penulis memfokuskan permasalahan pada sistem kontrol yang

kontinu. Lebih jauh lagi, pembahasan hanya terfokus pada sistem deterministik,

bukan pada sistem stokastik.

1.5. Sistematika Penulisan

Tugas akhir ini dibagi menjadi beberapa bab. Bab I menjelaskan tentang latar

belakang, rumusan masalah, tujuan, batasan masalah, dan sistematika penulisan dari

tugas akhir. Pada bab II dijelaskan pemaparan mengenai kontrol optimal dan kalkulus

variasi, serta bagaimana menentukan kondisi keoptimalan bagi sistem kontinu. Bab

III menyajikan tentang penerapan teori kontrol optimal dalam sistem nonlinear

sederhana dan penentuan solusi analitik serta numerik atas beberapa permasalahan.

Pada Bab IV, penulis memberikan kesimpulan atas tugas akhir ini.


8/59

7

BAB 2

KONTROL OPTIMAL BERDASARKAN PADA

KALKULUS VARIASI

Titik berat dari kontrol optimal adalah menentukan kontrol input (tanda (*)menandakan kondisi optimal) yang akan membawa suatu proses (plant) ()daristate awal ke state akhir yang memenuhi kondisi batas dan mengekstrimkan

(memaksimumkan atau meminimumkan) indeks performa .

Gambar 2.1 Permasalahan Kontrol Optimal


9/59

8

Terdapat dua metode yang umum digunakan untuk mencari kontrol input. Metode

pertama adalah metode dynamic programming yang dikembangkan oleh R.E.

Bellman, sedangkan metode kedua menggunakan Maximum Principle yang

dikemukakan oleh L.S. Pontryagin. Pontryagin Maximum Principle menyatakan

bahwa lintasan state yang optimal , kontrol optimal , dan faktor pengaliLagrange yang bersesuaian harus meminimumkan Hamiltonian. Pada tugas akhirini, pendekatan kalkulus variasi berdasarkan Pontryagin Maximum Principle akan

digunakan untuk menurunkan kondisi keoptimalan.

Dalam penurunan kondisi keoptimalan akan disinggung mengenai permasalahan

meminimalkan indeks performa dengan cara mencari variasi pertama dari fungsional

tertentu. Oleh karena itu, penulis merasa perlu untuk memaparkan beberapa konsep

dasar dari kalkulus variasi yang berguna untuk mencari kondisi keoptimalan.

2.1. Kalkulus Variasi

Definisi 1 : Suatu variabel

dikatakan fungsi atas

, dituliskan

(

) , jika peta

(range) dari setiap nilai berkorespondensi dengan suatu nilai .

Definisi 2 : Suatu variabel dikatakan fungsional atas fungsi , dituliskan = , jika untuk setiap fungsi ()berkorespondensi suatu nilai .

Definisi 3 : Jika dan + adalah elemen-elemen dimana fungsi terdefinisi,maka incrementdari fungsi, dinotasikan dengan , adalah + ()

bergantung pada dan , untuk lebih eksplisit, notasikan (,).


10/59

9

Definisi 4 : Jika dan + adalah fungsi-fungsi dimana fungsional terdefinisi,maka incrementdari fungsional, dinotasikan , adalah + ()

Untuk lebih eksplisit, notasikan (, ), sedangan disebut variasi dari fungsi .

Definisi 5: Misalkan incrementpada fungsi

saat

dideskripsikan sebagai

+ ()Dengan mengekspansi + dengan deret Taylor di sekitar , diperoleh

= + + 12!2 2 2 + ()

dimana

= = disebut diferensial atas fungsi pada titik , sedangkan adalah turunanatau slope dari pada titik . Dengan kata lain, diferensial adalah aproksimasiorde pertama (linear) terhadap increment.


11/59

10

Gambar 2.1.1 Increment , Diferensial , dan Turunan dari Fungsi ()

Definisi 6: Misalkan incrementpada fungsional dideskripsikan sebagai + (()

dengan mengekspansi

+

menggunakan deret Taylor, diperoleh

= + + 12! 22 2 + = + 12! 22 2 +

= + 2 + dimana,

= dan 2 = 12! 22 2


12/59

11

disebut variasi pertama dan variasi kedua dari fungsional . Variasi adalahaproksimasi orde pertama (linear) dari increment

.

Gambar 2.1.2 Incrementdan Variasi Pertama dari Fungsional

Lema 1 : Hubungan antara variasi dan diferensial

Misalkan () adalah fungsi kontinu dalam waktu , dan diferensial ()dan tidak independen. Namun dapat didefinisikan perubahan kecil dalam () yangindependen terhadap . Definisikan variasi dalam () , yaitu () , sebagaiperubahan (increment) dalam ()saat dibuat tetap.Untuk mengilustrasikan hubungan antara , , dan , dapat diperhatikan gambarberikut.


13/59

12

Gambar 2.1.2 Hubungan antara Variasi dan Diferensial

Pada gambar ditunjukkan fungsi asal ()dan fungsi yang bertetangga + ()dalam selang [0,].Hubungan antara variasi dan diferensial dinyatakan dalam persamaan berikut

=

+

(2.1.1)

Lema 2 : Aturan Leibniz untuk fungsional

Jika () adalah fungsi dari dan = , 0 maka

=

,

0

,

0

0 +

(

,

)

(

)

0

dengan notasi


14/59

13

Definisi 7 : Suatu fungsional dikatakan memiliki nilai optimum relatifdi jikaterdapat suatu sehingga untuk setiap fungsi dalam domain memenuhi < . Dengan kata lain, jika = () 0

maka ()adalah nilai minimum relatif. Dan sebaliknya, jika

=

(

)

0

maka () adalah nilai maksimum relatif. Jika hubungan di atas terpenuhi untuk yang cukup besar, maka ()adalah nilai optimum global.

Teorema 1 : Teorema Dasar Kalkulus Variasi

Supaya suatu nilai () menjadi suatu nilai yang optimum, variasi pertama dari harus bernilai 0 pada saat (), dalam hal ini (,) = 0, untuk semuanilai yang memungkinkan dari .

2.2. Kontrol Optimal Berdasarkan pada Kalkulus Variasi

Tinjau sistem dinamik nonlinear (1.2.1)() = ,, dengan indeks performa (1.2.2)

(0) = , + ,, 0 serta fungsi pembatas padastateakhir (1.2.3), = 0


15/59

14

Berikut akan diturunkan kondisi yang diperlukan untuk keoptimalan dengan

menerapkan kalkulus variasi terhadap indeks performa yang merupakan subjek bagi

fungsi pembatas (1.2.1) dan (1.2.3).

Untuk mendekatkan fungsi pembatas (1.2.1) dan (1.2.3) dengan indeks performa

maka persamaan (1.2.2) dimodifikasi dengan faktor pengali Lagrange. Karena() = ,, berlaku untuk setiap [0,] maka dibutuhkan faktorpengali Lagrange yang bersesuaian, yaitu () yang merupakan fungsi dalam .Sedangkan untuk , yang hanya berlaku saat , faktor pengali Lagrangeyang bersesuaian adalah

.

Modifikasi indeks performa (1.2.2) dengan menggunakan faktor pengali Lagrange

tersebut dan diperoleh

= , + ,+ [,, +(),, ()]0 (2.2.1)

Definisikan Hamiltonian

(

,

,

) untuk mendekatkan fungsi biaya dengan

fungsi pembatas

,, = ,, + (,, ) (2.2.2)Indeks performa (2.2.1) dapat dituliskan ulang sebagai

= , + , + [,, ()]0 (2.2.3)Untuk menerapkan kondisi yang diperlukan bagi keoptimalan, dalam hal ini

= 0,

terlebih dahulu perlu dihitung variasi . Dengan menggunakan aturan Leibniz padaLema 2 dan dengan mengasumsikan variasi independen dalam ( ),,, ,dan diperoleh variasi pertama dari persamaan (2.2.3), yaitu


16/59

15

= , + ,() + , + ,+, + () 0(0)0+ + + ( () 0

Disusun ulang menjadi

= , + ,+

,

+

,

+

+

,

000+ + + ( () 0 (2.2.4)

Dengan menggunakan pengintegralan parsial untuk 0 ,penyederhanaan pada variasi dapat dilakukan.

0=

+

0

0

+

0 (2.2.5)

Berdasarkan persamaan (2.1.1), hubungan antara variasi dan diferensial adalah =

dimana () fungsi kontinu atas , serta turunan () dan salingbergantung. () adalah variasi dari () , increment kecil dalam () saat dianggap tetap, yang saling bebas dengan

. Term dalam

=

bergantung pada

()dan .didefinisikan dalam dan , begitu pula dengan 0didefinisikandalam 0dan 0, menjadi

= + (2.2.6)


17/59

16

00 = 00 000 (2.2.7)Substitusikan persamaan (2.2.6) dan (2.2.7) ke persamaan (2.2.5), maka akan

diperoleh

0 = + + 00000 + 0 (2.2.8)

Kemudian substitusikan penyederhanaan pada persamaan (2.2.8) ke persamaan

(2.2.4).

= , + , +, + , + + +, 00 + 000 + 00+

(

+

)

+

+ (

)

(

)

0

Disederhanakan kembali menjadi

= , + , + ,+, + , + 0 + 00+

(

+

)

+

+ (

)

(

)

0

Berdasarkan teori Lagrange, nilai minimum (ekstremum) dari dicapai pada keadaanyang sama dengan nilai minimum dari , yaitu saat = 0. Untuk memenuhi keadaanini, nilai-nilai dari semua koefisien pada incrementbebas , ,, , ,()dijadikan 0.


18/59

17

= 0 , = 0 = 0 = 0 = = = 0 + = 0

=

= 0

0 =

=

= 0 , + , = 0, = ,

= 0 , + , + = 0 + , = ,


19/59

18

Tabel 1 Syarat keoptimalan bagi fungsi kontinu

Persamaan Variasi

Model

Pertumbuhan

Sistem

() = ,, 0, 0Indeks Performa (0) = , + ,,

0

Fungsi pembatas

bagistateakhir , = 0 Persamaan State = Persamaan

Costate

=

Kondisi

Kestasioneran

Input

= 0

Kondisi Pembatas

pada waktu akhir

, + , +

,

+

,

+

= 0

()


20/59

19

BAB 3

APLIKASI KONTROL OPTIMAL

DALAM SISTEM KONTINU

3.1. Prinsip Hamilton dalam Dinamika Klasik

Dinamika klasik adalah salah satu cabang ilmu Mekanika klasik, yang mempelajari

ilmu fisika tentang gaya yang bekerja pada benda. Dinamika partikel dideskripsikan

oleh hukum-hukum Newton tentang gerak, terutama oleh hukum kedua Newton.

Hukum ini menyatakan, "Sebuah benda yang memperoleh pengaruh gaya atau

interaksi akan bergerak sedemikian rupa sehingga laju perubahan waktu dari

momentum sama dengan gaya tersebut".

Jika ditinjau gerak partikel pada suatu permukaan bidang, dapat diperhatikan bahwa

diperlukan adanya gaya tertentu yakni gaya konstrain yang berperan mempertahankan

kontak antara partikel dengan permukaan bidang. Namun tak selamanya gaya

konstrain yang beraksi terhadap partikel dapat diketahui. Pendekatan Newtonian

memerlukan informasi gaya total yang bekerja pada partikel. Gaya total ini

merupakan total dari keseluruhan gaya yang beraksi pada partikel, termasuk juga

gaya konstrain. Oleh karena itu, jika dalam kondisi khusus terdapat gaya yang tidakdapat diketahui, maka pendekatan Newtonian tidak berlaku, sehingga diperlukan

pendekatan baru dengan meninjau kuantitas fisis lain yang merupakan karakteristik

partikel, misal energi totalnya. Pendekatan ini dilakukan dengan menggunakan

prinsip Hamilton, dimana persamaan Lagrange dapat diturunkan dari prinsip tersebut.


21/59

20

Prinsip Hamilton untuk sistem konservatif yang seringkali ditemukan dalam fisika

klasik menyatakan bahwa Dari seluruh lintasan yang mungkin bagi sistem dinamik

untuk berpindah dari satu titik ke titik lain dalam interval waktu spesifik (konsisten

dengan sembarang konstrain), lintasan nyata yang diikuti sistem dinamis adalah

lintasan yang meminimumkan integral waktu selisih antara energi kinetik dengan

energi potensial. (Marion 1965).

Sesuai dengan prinsip Hamiltonian, persamaan gerak partikel yang dinyatakan oleh

persamaan Lagrange dapat diperoleh dengan meninjau energi kinetik dan energi

potensial partikel tanpa perlu meninjau gaya yang beraksi pada partikel. Energikinetik partikel dalam koordinat kartesian adalah fungsi dari kecepatan, energi

potensial partikel yang bergerak dalam medan gaya konservatif adalah fungsi dari

posisi.

Lebih jauh lagi, Lagrangian didefinisikan sebagai selisih antara energi kinetik dan

energi potensial. Dari prinsip Hamilton, dapat diturunkan persamaan Lagrange

dengan menggunakan kondisi kestasioneran. Persamaan Lagrange merupakan

persamaan gerak partikel sebagai fungsi dari koordinat, kecepatan, dan waktu.

Fungsi Lagrangian terhadap waktu merupakan konsekuensi dari fungsi konstrain

terhadap waktu atau dikarenakan persamaan transformasi yang menghubungkan

koordinat kartesian dan koordinat umum memuat fungsi atas waktu.

a. Persamaan Gerak Lagrange

Persamaan Lagrange untuk pergerakan dapat diturunkan dari Prinsip Hamilton

dengan mendefinisikan

vektor koordinat,


22/59

21

= vektor kecepatan,() energi potensial,(,) energi kinetik,

, , (), Lagrangian dari sistem.Model pertumbuhan dideskripsikan dengan

= (,) (3.1.1)dimana fungsi diberikan oleh bagian fisika dari permasalahan. Untuk mencarilintasan gerak, prinsip Hamilton mengatakan bahwa indeks performa berikutharus diminimalkan

0 = ,0

(3.1.2)

dengan Hamiltonian

=

+

(3.1.3)

Berdasarkan tabel keoptimalan, untuk meminimalkan indeks performa maka

kondisi-kondisi berikut harus dipenuhi

= = (3.1.4)0 =

=

+ (3.1.5)

Setelah mengkombinasikan kedua persamaan di atas diperoleh Persamaan Gerak

Lagrange

= 0 (3.1.6)


23/59

22

Perlu ditekankan bahwa dalam konteks ini, persamaan costate dan kondisi

kestasioneran ekivalen dengan Persamaan Lagrange. Dalam konteks yang lebih

umum dari permasalahan variasi, persamaan di atas disebut Persamaan Euler.

Persamaan costate dan kondisi kestasioneran pada tabel keoptimalan adalah

formulasi alternatif dari persamaan Euler.

b. Persamaan Gerak Hamilton

Jika vektor momentum didefinisikan dengan

= (3.1.7)maka persamaan gerak dapat dituliskan dalam bentuk Hamiltonian dengan

= (3.1.8)

= (3.1.9)Jadi, dalam permasalahan kontrol optimal, persamaan state dan costate adalah

generalisasi dari Persamaan Gerak Hamilton.


24/59

23

3.2. Jarak Terdekat antara Dua Titik

Persamaan panjang kurva ()yang bergantung pada parameter dengan diberikan oleh = 1 + 2() (3.2.1)

Untuk menyatakan bahwa kurva ()menghubungkan dua titik di bidang, , dan(,), maka perlu ditetapkan kondisi-kondisi batas berikut

=

(3.2.2)

= (3.2.3)Berikutnya, akan dicari kurva () yang menghubungkan , dan (,) sertameminimalkan .Model pertumbuhan didefinisikan dengan

=

(3.2.4)

dan jika dituliskan dalam akan menjadi = 1 + 2 (3.2.5)

dengan Hamiltonian

= 1 + 2 + (3.2.6)Tabel keoptimalan memberikan kondisi

= = (3.2.7) = = 0 (3.2.8)


25/59

24

0 = = +

1 +

2

(3.2.9)

Untuk mencari yang optimal, dari persamaan terakhir diperoleh = 1 + 2 (3.2.10)

namun dari persamaan (3.2.8) diketahui bahwa konstan, dengan demikian maka yang bernilai konstan merupakan solusi optimal.

Kurva

(

)yang optimal memiliki persamaan

= 1 + 2 (3.2.11)Untuk mencari nilai 1dan 2 dapat digunakan kondisi batas yang telah ditetapkansebelumnya, dan diperoleh

= + (3.2.12)yang merupakan persamaan garis lurus sebagai lintasan optimal antara dua titik.

3.3. Kontrol Temperatur dalam Ruangan

Misalkan suatu keadaan dimana dibutuhkan energi seminimal mungkin untuk

memanaskan ruangan. Jika () adalah temperatur ruangan pada saat , adalahtemperatur udara di luar ruangan (konstan), dan () adalah laju perubahantemperatur ke dalam ruangan, maka model dinamiknya adalah

= + (3.3.1)untuk suatu konstanta dan , yang bergantung pada redaman panas di ruangan, dansebagainya. Dengan menuliskanstatesebagai


26/59

25

(3.3.2)persamaanstatedapat pula dinyatakan dengan

= + (3.3.3)Untuk mengontrol temperatur ruangan pada suatu interval waktu tetap [0, ]denganenergi seminimal mungkin, definisikan indeks performa sebagai berikut

0 = 12 2

0 (3.3.4)

Hamiltonian yang digunakan adalah

= 22

+ + (3.3.5)Berdasarkan tabel keoptimalan, kontrol optimal () dapat ditentukan denganmenyelesaikan

= = + (3.3.6) = = (3.3.7)

0 = = + (3.3.8)Kondisi kestasioneran mengatakan bahwa kontrol optimal diberikan oleh

= () (3.3.9)sehingga untuk menetukan () diperlukan untuk mencari costate yang optimal()terlebih dahulu.Substitusikan (3.3.9) ke (3.3.6) dan diperoleh persamaanstatedan costate

= 2 (3.3.10a)


27/59

26

= (3.3.10b)yang harus diselesaikan untuk ()dan lintasanstateyang optimal ().Walaupun final costate () belum diketahui, namun persamaan di atas dapatdiselesaikan dengan mengasumsikan () telah diketahui. Solusi untuk (3.3.10b)adalah

= () (3.3.11)dan dengan menggunakan hasil ini untuk (3.3.10a), diperoleh

= 2()() (3.3.12)Terapkan transformasi Laplace pada persamaan ini, dan dihasilkan

= (0) + 2() + ( )

=

(0)

+ 2

12

+ +

12

(3.3.13)

sehingga

= 0 2 sinh (3.3.14)Persamaan (3.3.11) dan (3.3.14) memberikan costate yang optimal ()dan stateyang optimal

(

)dengan catatan bahwa final costate

(

)belum diketahui. State

awal 0diberikan.Lebih jauh lagi, objektif dari permasalahan kontrol perlu diklasifikasikan menjadi dua

kasus, yang masing-masing akan memberikan nilai ().


28/59

27

a. State Akhir Tetap

Misalkan temperatur awal ruangan sama dengan = 60. Kemudian0 = 0 (3.3.15)Diasumsikan bahwa objektif dari permasalahan kontrol adalah untuk membawa

temperatur akhir ()tepat ke 70selama detik, sehingga state akhir bernilaitetap yaitu

= 10 (3.3.16)

Karena waktu akhir dan stateakhir keduanya bernilai tetap, maka dan ()keduanya bernilai 0, dan kondisi batas (pada tabel keoptimalan) terpenuhi.

Dengan menggunakan persamaan (3.3.15) dan (3.3.16) akan ditentukan ();kemudian akan dicari ()dengan menggunakan persamaan (3.3.11) dan mencarikontrol optimal dengan memakai persamaan (3.3.9). Untuk mencari () ,gunakan persamaan (3.3.14) untuk mendapatkan

= 0 22 1 2 (3.3.17)Substitusikan persamaan (3.3.15) dan (3.3.16) dan diperolehfinal costate

= 2021 2 (3.3.18)maka lintasan costateyang optimal adalah

= 102 sinh (3.3.19)


29/59

28

dan akhirnya laju perubahan temperatur yang optimal diberikan oleh (3.3.9) atau

= 10 sinh 0 (3.3.20)Untuk memeriksa solusi, terapkan ke dalam sistem (3.3.3). Kemudianselesaikan untuk lintasanstate, diperoleh

= 10 sinhsinh (3.3.21)

= 10

sesuai dengan hasil yang diharapkan.

b. State Akhir Bebas

Misalkan state akhir tidak ditetapkan bernilai 10 seperti kasus sebelumnya.Yang diharapkan adalah fungsi kontrol

(

)meminimalkan

0 = 12( 10)2 + 1

2 2

0

(3.3.22)

untuk suatu bobot (misal ) yang dipilih kemudian. Jika nilai cukupbesar, maka solusi optimal akan memiliki nilai () mendekati 10 , karenaberikutnya termpertama akan berkontribusi kecil terhadap biaya.

Berdasarkan tabel keoptimalan, persamaan state dan costate diberikan oleh

(3.3.10), dan kontrol optimal oleh (3.3.9). Dengan demikian, (3.3.11) dan (3.3.14)

tetap valid.

Kondisi awal tetap diberikan oleh (3.3.15), namun kondisi akhir harus ditentukan

dengan menggunakan kondisi batas. Waktu akhir bernilai tetap, sehingga


30/59

29

= 0 dan term ke dua dari kondisi batas (pada tabel) otomatis bernilai 0.Karena

(

)tidak tetap,

(

) tidak nol (sama seperti pada kasus state akhir

tetap).

Dengan memandang kondisi di atas, dibutuhkan bahwa

= = 10 (3.3.23)Dari (3.3.15) dan (3.3.23) akan ditentukan ().Untuk itu, perhatikan bahwa

= + 10 (3.3.24)Kombinasikan (3.3.24), (3.3.15), dan (3.3.17) kemudian selesaikan untuk final

costatediperoleh

=

202

+

2

1

2

(3.3.25)

Dengan menggunakan (3.3.11) didapatkan lintasan costateyang optimal

= 10 + 2 sinh (3.3.26)Akhirnya diperoleh kontrol optimal

=

10

+

2 sinh

(3.3.27)

Untuk memeriksa kebenaran solusi, simulasikan fungsi kontrol dengan

menggunakan dalam model pertumbuhan (3.3.3). Dengan menyelesaikanuntuk lintasanstateyang optimal diperoleh


31/59

30

= 102 sinh

+

2 sinh

(3.3.28)

Pada waktu akhir,

= 102 sinh + 2 sinh (3.3.29)

3.4. Permasalahan Titik Potong dan Titik Temu

a.

Formulasi Masalah

Geometri dari permasalahan ditunjukkan pada gambar, dimana () dan ()masing-masing adalah posisi vertikal dan kecepatan dari pesawat pengejar relatif terhadap pesawat target , yang diasumsikan sedang beristirahat. Jarakhorisontal awal pesawat pengejar terhadap pesawat target adalah . Kecepatanhorisontal pengejar relatif terhadap target adalah ; sehingga waktu akhir ,dimana kedua pesawat akan memiliki jarak horisontal yang sama, adalah tetap

dan diketahui bernilai

= 0 + (3.4.1)dengan sudut penglihatan ().Dalam permasalahan titik temu, diinginkan agar posisi akhir ()dan kecepatanakhir

(

) keduanya bernilai 0. Namun dalam permasalahan titik potong,

kecepatan akhir tidak dipentingkan, meskipun diharapkan bahwa posisi akhir()adalah 0.


32/59

31

Gambar 3.4.1 Geometri dari Permasalahan Titik Potong dan Titik Temu

Persamaan dinamik dari pergerakan vertikal dinyatakan oleh persamaanstate

= (3.4.2) = (3.4.3)

dimana () adalah percepatan vertikal. Kemudian indeks performa yangdigunakan adalah

0 = 2()2 + 2()2 + 12 20 (3.4.4)Untuk titik potong, = 0dan dibuat bernilai cukup besar sehingga kontroloptimal akan menghasilkan 2() yang kecil. Untuk titik temu, dan keduanya dipilih bernilai besar.

b. Solusi Permasalahan

Kontrol optimal akan dipilih sedemikian rupa sehingga meminimalkan (3.4.4).


33/59

32

Setiap komponen pada state harus memiliki faktor pengali Lagrange yang

bersesuaian; oleh karena itu ambil

[

,

]

dan Hamiltonian

= 122 + + (3.4.5)

maka persamaan costateadalah

= = 0 (3.4.6)

= = (3.4.7)Kondisi kestasioneran adalah

0 = = + (3.4.8)

sehingga kontrol optimal adalah negatif dari faktor pengali kecepatan

=

(

) (3.4.9)

Kondisi awal adalah

0,0 diberikan. (3.4.10)Kondisi akhir ditentukan oleh kondisi batas pada tabel keoptimalan. Karena

waktu akhir tetap, = 0, maka hanya termpertama yang memberikan kondisimengikat.

= = (3.4.11) = = (3.4.12)


34/59

33

Berikutnya akan diselesaikan permasalahan nilai batas yang didefinisikan oleh

persamaan state dan costate dengan

seperti pada (3.4.9) dan kondisi batas

(3.4.10) (3.4.12). Seperti pada 3.3, dan diasumsikan telahdiketahui. Persamaan costate diselesaikan secara mundur terhadap waktu, dan

persamaan state kemudian diselesaikan secara maju terhadap waktu.

Dengan mengintegralkan kedua ruas pada (3.4.6) dari hingga diperolehkonstanta komponen costate, yaitu

=

(3.4.13)

Integralkan (3.4.7), memberikan

= ( ) atau

= + ( ) (3.4.14)Selanjutnya, untuk menyederhanakan diasumsikan bahwa

0 = 0 . Kemudian

substitusikan kontrol (3.4.9) ke (3.4.3) dan dihasilkan

= (3.4.15)Dengan menggunakan (3.4.14) dan mengintegralkan kedua ruas untuk [0, ]diperoleh persamaan kuadrat

=

0

+

+22

(3.4.16)

Substitusikan hasil ini ke dalam perhitungan dan integralkan (3.4.2) lalu diperoleh

persamaan kubik

= 0 + 0 22 + + 3

6 (3.4.17)


35/59

34

Persamaan state dan costate telah diselesaikan dalam term()dan 0,(0)yang diberikan. Namun, final costatebelum diketahui. Untuk mencarinya, dapat

digunakan hubungan (3.4.11) dan (3.4.12) antara final state dan final costate.

Setelah menggabungkan hubungan ini dengan (3.4.16) dan (3.4.17) didapat

= 0 + 0 22 + + 36 (3.4.18)dan

= 0 + + 2

2 (3.4.19)Kedua persamaan ini dapat dituliskan ulang sebagai

1 +3

3

222

21 +

= 0 00 (3.4.20)Menyelesaikan persamaan ini dan diperolehfinal costate

= 1 + +

2

22

36

00 (3.4.21)dimana

=

+33

+

44

(3.4.22)

bobot akhir diperoleh

1 (3.4.23)


36/59

35

1

(3.4.23)Pada faktanya, waktu awal 0tidak bernilai 0. Karena persamaanstatedan costatelinear, untuk mengoreksi dibutuhkan untuk mensubstitusi ( 0)ke dalam pada ruas kanan persamaan (3.4.21). Sebelumnya, perlu diingat bahwa pada saat nilai dan ()telah diketahui, sehingga dapat diambil sebagai waktuawal. Hal ini berkorespondensi dengan meminimalkan (), yaitu remaining costpada selang [,].Dengan mensubstitusikan ( )untuk dalam persamaan (3.4.21) diperolehpersamaan untukfinal costatedalam variabelstatesaat ini :

= 1 + +

2

22

36 (3.4.24)

Pada akhirnya, kontrol optimal dapat dihitung dengan mendasarkan perhitungan

pada (9) dan (14)

= 1 (3.4.25)Dengan turut memperhitungkan (24) diperoleh kontrol optimal

= + 2

2

+ 2 + 33 (3.4.26)Hasil ini merupakan hukum kontrol feedbackkarena kontrol yang sesungguhnya

hanya diberikan dalamstatesaat ini.


37/59

36

c. Navigasi Proporsional

Untuk permasalahan titik potong, pilih = 0dan . Dengan mengambillimit dari (26) diperoleh = 3 2 3 (3.4.27)

sebagai kontrol optimal titik potong.

Perlu diperhatikan bahwa untuk sudut penglihatan yang kecil

= tan = (3.4.28)sehingga

= () + 2 (3.4.29)maka kontrol optimalnya adalah

= 3 (3.4.30)Persamaan ini adalah hukum kontrol untuk navigasi proporsional. Setiap pilot

mengetahui bahwa untuk melakukan perpotongan hanya diperlukan untuk

menjaga sudut terhadap target tetap konsan sehingga tidak akan ada pergerakan

terhadap posisi relatif.

3.5. Keoptimalan Sudut Gaya Dorong

Contoh ini bertujuan untuk menekankan bahwa kondisi keoptimalan pada tabel dapat

diterapkan pada sistem tak linear umumnya.


38/59

37

a. Hukum Tangent Bilinear

Sebuah partikel dengan massa digerakkan oleh gaya dorong konstan dandikenakan pada variabel sudut () . Posisi partikel adalah (,) dankecepatan pada sumbu dan masing-masing adalah ()dan (). Perhatikangambar. Persamaanstatetak linear untuk = (, , )adalah

= (3.5.1) = (3.5.2)

= cos (3.5.3) = sin (3.5.4)dimana vektor untuk state adalah = , dan / adalahpercepatan gaya dorong yang telah diketahui. Sudut gaya dorong ()merupakankontrol input.

Indeks performa yang digunakan berupa fungsi atas waktu akhir

danstate

= (,) (3.5.5)Misalkan suatu fungsi atasstateakhir harus bernilai 0, sehingga

, = 0 (3.5.6)Akan dicari bentuk dari () yang meminimalkan dan memenuhi (3.5.6).Hamiltonian adalah

= + = + + cos + sin (3.5.7)dimana faktor pengali Lagrange = memiliki komponenyang berasosiasi dengan komponen setiapstate.


39/59

38

Gambar 3.5.1 Keoptimalan Sudut Gaya Dorong

Berdasarkan tabel keoptimalan, persamaan costateadalah = atau = = 0 (3.5.8) = = 0 (3.5.9)

= = (3.5.10) = = (3.5.11)(Perhatikan bahwa subskrip pada menotasikan turunan parsial, sedangkansubskrip pada menotasikan komponen dari persamaan costate.)Kondisi kestasioneran adalah

0 =

=

sin

+

cos

(3.5.12)

atau

tan () = (3.5.13)


40/59

39

Dengan mengintegralkan persamaan costate secara mundur dari waktu akhir diperoleh

= () (3.5.14) = () (3.5.15)

= + 1 (3.5.16) = + 2 (3.5.17)

Kemudian substitusikan ke persamaan (3.5.13) dan diperoleh hukum kontroloptimal

tan = 2 1 (3.5.18)Persamaan ini disebut hukum tangent bilinear untuk arah gaya dorong optimal.Untuk menentukan konstanta

,

,

1, dan

2, dapat dilakukan dengan cara

mensubstitusikan persamaan (3.5.18) ke persamaan state, menyelesaikannya, dan

menerapkan kondisi batas. Untuk menentukan kondisi batas, diperlukan untuk

mengetahui dan , yang bergantung pada objektif kontrol tertentu. Ada banyakobjektif permasalahan kontrol yang memungkinkan mengingat bahwa seluruhnya

bergantung pada sifat dari partikel . Salah satu contoh yang memiliki solusisederhana dan menarik akan dibahas berikut ini.

b. Titik Potong dengan Waktu Minimum

Misalkan merepresentasikan sebuah pesawat yang diharapkan berpotongandengan target dalam waktu yang minimum. memiliki posisi awal 1 dan


41/59

40

kecepatan konstan terhadap sumbu , yaitu 1 , sehingga persamaan posisipesawat terhadap sumbu

pada saat

adalah

1 +

1

. Sedangkan posisi

terhadap sumbu bernilai konstan.Karena objektif permasalahan ini adalah meminimalkan waktu, maka diharapkan

bahwa kontrol optimal dapat meminimalkan

= = 1 0

(3.5.19)

dan karena = 1, maka Hamiltonian menjadi = 1 + + + cos + sin (3.5.20)

Bagaimanapun, karena nilai konstan, hasil yang diperolah pada bagian a tetapvalid.

Jika mulai bergerak saat 0 = 0dan dimulai dari titik awal, kondisi awal dariadalah

0

= 0,

0

= 0,

0

= 0,

0

= 0 (3.5.21)

Fungsi untukfinal stateadalah

, = (1 + 1) = 0 (3.5.22)sehingga

= 1 + 1 (3.5.23) = (3.5.24)

Untuk mencari kondisi akhir yang tersisa diperlukan untuk menggunakan syarat

kondisi batas pada tabel keoptimalan.


42/59

41

Stateakhir dan waktu akhir keduanya bernilai bebas. Oleh karena itu 0dan

0 . Bagaimanapun, dalam permasalahan ini

dan

saling

independen sehingga syarat kondisi batas pada tabel keoptimalan menghasilkan

dua kondisi batas yang terpisah yaitu

( + ) = 0 (3.5.25)( + + ) = 0 (3.5.26)

dimana = adalah faktor pengali Lagrange yang baru.Dengan memperhitungkan (3.5.22) dan memperhatikan bahwa , = 0,maka persamaan (3.5.25) menjadi

= 1 00 10 00 0

atau

= (3.5.27) = (3.5.28) = 0 (3.5.29) = 0 (3.5.30)

Perlu diperhatikan bahwa komponen-komponen dari yang berkorespondensidengan komponen final state yang tetap, yaitu

()dan

(), adalah variabel-

variabel yang belum diketahui, sedangkan komponen-komponen dari yangberkorespondensi dengan komponenfinal stateyang bebas, yaitu ()dan (),memiliki nilai tetap pada 0.


43/59

42

Dengan menggunakan kondisi (3.5.20) dan (3.5.22), kondisi akhir (3.5.26)

menjadi

= = 1 0 atau dengan menggunakan (3.5.27)(3.5.30)

1 + + = 1 (3.5.31)Kemudian persamaan state (3.5.1) (3.5.4) akan diselesaikan dengan

memperhitungkan (3.5.18) dan solusi costate (3.5.14) (3.5.17) serta kondisi

batas (3.5.21), (3.5.23), (3.5.24), (3.5.27) (3.5.30). Kondisi (3.5.31) juga

diperlukan untuk menyelesaikan waktu akhir optimal yang belum diketahui.Dari persamaan (3.5.27)(3.5.30) solusi costateadalah

= (3.5.32) = (3.5.33)

= ( ) (3.5.34) = ( ) (3.5.35)Dimana faktor pengali terakhir , perlu ditentukan. Dengan demikian, hukumtangent bilinear (3.5.18) dapat dibuat dalam bentuk yang lebih sederhana

tan =

(3.5.36)

Untuk permasalahan titik potong dengan waktu minimum ini, sudut gaya dorong

yang optimal bernilai konstan.


44/59

43

Untuk mencari kontrol optimal atas sudut gaya dorong (), yang tersisa adalahuntuk mencari

dan

.

Karena bernilai konstan, sangat mudah untuk melakukan proses integrasi secaramaju dari 0 = 0hingga diperoleh

= sin (3.5.37)

=

cos

(3.5.38)

= 22

sin (3.5.39) = 2

2cos (3.5.40)

dimana kondisi awal (3.5.21) telah dimasukkan dalam perhitungan.

Dengan menyelesaikan persamaan (3.5.39) dan (3.5.40) pada saat

=

tan = (3.5.41)dan kondisi akhir (3.5.23) dan (3.5.24) kemudian memberikan persamaan untuk

kontrol dalam kondisi akhir :

tan = 1 + 1 (3.5.42)Bagaimanapun, masih perlu ditentukan waktu akhir yang optimal untukdigunakan dalam (3.5.42). Peran dari persamaan (3.5.31) adalah untuk

menyelesaikan , namun untuk menggunakannya dibutuhkan untuk mencari


45/59

44

dan . Khusus dalam permasalahan ini dapat digunakan cara singkat dimana ,

tidak diperlukan.

Dapat diperhatikan bahwa (3.5.39), (3.5.40), (3.5.23), dan (3.5.24) menghasilkan

sin = 2()2 = 22 (3.5.43)cos = 22 = 21 + 12 (3.5.44)

Kemudian, sin2

+cos2

= 1, atau

42 + 4(1 + 1)2 = 24 (3.5.45)yang mana

244

+ 122 + 211 + 12 + 2 = 0 (3.5.46)Persamaan kuadrat ini dapat diselesaikan untuk dengan kondisi awal di sekitartarget 1,1, diberikan. Hanya ada satu solusi untuk persamaan (3.5.46) yangmasuk akal secara fisis.Kontrol optimal ditentukan dengan menyelesaikan persamaan (3.5.46) untuk dan kemudian menyelesaikan persamaan (3.5.42) untuk sudut gaya dorong

optimal .Gambar di bawah ini merepreentasikan bahwa sisi miring dari segitiga

digambarkan dalam persamaan gerak target, sebagai

2 = 2 + (1 + 1)2 (3.5.47)atau dalam persamaan gerak pesawat pengejar sebagai


46/59

45

2 =

1

2

2

2

(3.5.48)

Gambar 3.5.2 Kontrol Input bagi Permasalahan Titik Potong dengan Waktu Minimum

Persamaan (3.5.45) hanyalah sebuah persamaan yang harus dipenuhi agar kedua

pesawat berada pada titik yang sama pada waktu akhir.

Tanpa melalui penurunan yang detail dari (3.5.45) maka tidak dapat disimpulkan

dari gambar apakah solusinya merupakan waktu akhir yang optimal.


47/59

46

3.6. Solusi Numerik Sistem Hamiltonian untuk Hukum Newton

Misalkan model pertumbuhan yang mengikuti Hukum Newton, dimana

= = (3.6.1)

dengan adalah vektor posisi, adalah vektor kecepatan, dan adalah inputpercepatan. Vektorstateadalah = [ ] .Kemudian pilih indeks performa :

=1

2 20 (3.6.2)Model pertumbuhan akan dibawa mendekati final state () = [ ]tanpamenggunakan terlalu banyak energi. Nilai sesungguhnya dari final state tidaklah

tetap, meskipun waktu akhir tetap.Dalam 3.2. telah dibangun controlleruntuk model pertumbuhan ini, dan dalam 3.4.

telah dicari ekspresi analitik untuk controller feedbackyang kontinu. Pada bagian ini

akan dicari kontrol optimal dengan menggunakan solusi numerik atas persamaan

statecostate.

Hamiltonian dan persamaan Euler sama seperti yang diberikan pada 3.4. yaitu

= 122 + +

=

= 0

= =


48/59

47

Kontrol optimal adalah

= () (3.6.3)Dengan menggunakan kontrol optimal di atas dalam persamaan state, diperoleh

Hamiltonian dari sistem, yaitu

= =

= 0

= (3.6.4)Dengan menggunakan persamaan terakhir, diperoleh

= = exp

untuk suatu konstanta dan .Kondisi batas yang digunakan adalah

0 = diberikan,0 = diberikan,

= 0 = 0 (3.6.5)

dengan dan merupakan tebakan untukstate awal, atau notasikan 0 = [ ]sedangkan untukstateakhir, diinginkan agar = [0 0] .


49/59

48

Karena kondisi awal dari persamaan costate tidak diketahui, maka akan dibangun

suatu metode aproksimasi terhadap kondisi awal costateyang sesuai.

Misalkan = [ ] = [0 0] adalah vektor tebakan untuk costateawaluntuk suatu , didapatkan

= = exp (3.6.6)

Jika kita mengkhususkan perhatian pada final state

(

) dengan

0

=

,

diperoleh

; = exp()0

Tentu saja, lintasan dari () secara umum tidak berakhir pada = [0 0] .Dengan kata lain, secara umum () ().Untuk menebak

yang sesuai yang membuat

dimulai tepat pada

0

= [

]

dan berakhir di = [0 0] tidaklah mudah. Oleh karena itu, akan digunakanalgoritma berikut untuk menghampiri nilai yang sesuai. Algoritma tidak bertujuanuntuk mencari nilai yang presisi, namun diharapkan algoritma dapat menemukan yang meminimalkan fungsional berikut

= ()2 (3.6.7)dimana

(

) adalah evaluasi atas

saat

dan (

,

) adalah solusi atas sistem

persamaan diferensial (3.6.4) dengan kondisi awal 0,0 = 0,0 .Fungsional akan diminimalkan dengan menggunakan metode Steepest Descent.Program yang digunakan adalah MATLAB. Kemudian akan diperoleh lintasan state


50/59

49

dan costate () dan () , sehingga kontrol input dapat ditentukan denganmenggunakan persamaan (3.6.3).

Algoritma untuk metode Steepest Descent dapat dideskripsikan sebagai berikut.

Pertama, pilih sebarang bilangan positif dan , serta sebarang vektor0 = [ ]

Dengan menggunakan nilai-nilai ini dan kondisi awal 0 = [ ] permasalahannilai awal berikut dapat diselesaikan

= = = 0 =

dimana (0,0) = (0,0). Kemudian, dapat dihitung final state()untuk

0tersebut. Lebih jauh lagi, dengan menggunakan nilai

(

) ini, nilai skalar dari

(0) dapat dihitung dengan persamaan (3.6.7). Berikutnya, akan dicari nilai 1yang baru yang akan membuat nilai (1) < (0).Turunan parsial dari terhadap masing-masing dan di 0 diaproksimasidengan

0

1

0 + (1,0) (0)

0 2 0 + (0,1) (0)

Sehingga, gradient dari di 0diaproksimasi dengan


51/59

50

0

=

0

,

0

(

1 ,

2)

Berikutnya, bentuk

1 = 0 1 ,22 = 0

21 ,2

Jika

1 toleransi

L10_lama = L10(i);

L20_lama = L20(i);

% Initial condition partial

L10partial = L10_lama + epsilon;

ic = [a b L10partial L20_lama];

[T,Y] = ode45(@hamiltonian, time, ic, options);

ujung = length(T);

partialL1 = ((Y(ujung,1))^2+(Y(ujung,2))^2 - F(i)) / epsilon;

% Initial condition partial

L20partial = L20_lama + epsilon;

ic = [a b L10_lama L20partial];

[T,Y] = ode45(@hamiltonian, time, ic, options);

ujung = length(T);

partialL2 = ((Y(ujung,1))^2+(Y(ujung,2))^2 - F(i)) / epsilon;


54/59

53

normF = sqrt(partialL1^2 + partialL2^2);

% Initial condition

L10_baru = L10_lama - alpha * partialL1 / normF;

L20_baru = L20_lama - alpha * partialL2 / normF;

ic = [a b L10_baru L20_baru];

[T,Y] = ode45(@hamiltonian, time, ic, options);ujung = length(T);

i=i+1;

F(i)= (Y(ujung,1))^2+(Y(ujung,2))^2;

if F(i)>=F(i-1)

alpha = alpha2;

epsilon = epsilon2;

else

alpha = alpha1;

epsilon = epsilon2;end

L10 = [L10; L10_baru];

L20 = [L20; L20_baru];

end

figure(1)

plot(T, Y(:,1))

xlabel('t (s)')

ylabel('y (m)')

axis([0 10 0 10])

figure(2)

plot(T,Y(:,2))

xlabel('t (s)')

ylabel('v (m/s)')


55/59

54

figure (3)

plot(T,Y(:,1:2))

xlabel('t (s)')ylabel('y (m) dan v (m/s)')

% Transpose

F = F.';

Hasil =[F L10 L20];

*********************************************************


56/59

55

Dengan menjalankan program di atas, diperoleh hasil plot lintasanstateyang optimal

sebagai berikut

Gambar 3.6.1 Plot Lintasan terhadap t

Gambar 3.6.2 Plot Lintasan terhadap t


57/59

56

Gambar 3.6.3 Plot Lintasan dan terhadap t

Nilai costateyang optimal adalah

= 0.0738

= 0.4662

0.0738

Sehingga diperoleh kontrol input = 0.4662 + 0.0738


58/59

57

BAB 4

KESIMPULAN

Dalam tugas akhir ini, beberapa konsep dasar dari kalkulus variasi telah dipaparkan

dan kondisi keoptimalan telah diturunkan dengan menggunakan Pontryagin

Maximum Principle. Variasi pertama dari indeks performa telah dicari, dan nilai dari

setiap increment bebas pada saat nol adalah syarat perlu bagi persamaan state dan

costateuntuk mencapai keoptimalan. Tabel 1 merangkum syarat perlu bagi kondisi

keoptimalan tersebut.

Beberapa contoh permasalahan sistemn kontinu nonlinear yang diselesaikan dengan

menggunakan kontrol optimal telah diselesaikan dengan cara mencari solusi analitik

dan solusi numerik. Pendekatan solusi numerik yang digunakan adalah metode

Steepest Descent.


59/59

DAFTAR PUSTAKA

1. Athans, M and P. Falb, Optimal Control, New York : McGraw-Hill, 1966

2. Bryson, A. E. and Ho, Y-C., Applied Optimal Control, Blaisdell Publishing

Company, Waltham, 1969

3. Kirk, D., Optimal Control Theory : An Introduction, Prentice Hall, 1970

4. Lewis, F. L., Optimal Control, New York : Wiley, 1995

5. Tjahjana, H., Pranoto, I., Muhammad, H., Naiborhu, J., On The Optimal

Control Computation of Linear Systems, J. Indonesian Math. Society Vol. 15,

No. 1 (2009), pp. 1320

6. Tomlin, C. J.,Lecture Notes 8 : Optimal Control and Dynamic Games, (2005)

kalvar for oc

Documents