kalkulus repaired)

Download Kalkulus Repaired)

Post on 13-Jul-2015

235 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

Metode Numeric secara umumPage 1 METODE NUMERIK SECARA UMUM Diajukan Untuk Memenuhi Salah Satu Tugas Mata Kuliah Kalkulus 2 Disusun oleh Febby N. Livandia 1209207024 Pend. Fisika/A/II FAKULTAS TARBIYAH DAN KEGURUAN UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG 2010 Metode Numeric secara umumPage 2 DAFTAR ISI DAFTAR ISI ................................................................................................................. 1 BAB 1 PENDAHULUAN ............................................................................................ 2 BAB 2 ISI ...................................................................................................................... 4 A.APROKSIMASI TAYLOR TERHADAP FUNGSI ....................................... 4 a.Aproksimasi Taylor .............................................................................................. 4 b.Polinom ............................................................................................................... 4 B.SISTEM BILANGAN DAN KESALAHAN (ERROR) ................................. 5 a.Penyajian Bilangan Bulat .................................................................................... 5 b.Penyajian Bilangan pecahan ................................................................................ 5 c.Nilai Signifikan, Akurasi dan Presisi .................................................................. 6 d.Penaksiran Kesalahan .......................................................................................... 6 1.Kesalahan dalam Metode ................................................................................ 6 2.Kesalahan Perhitungan ................................................................................... 7 C.DIFERENSIAL NUMERIK ............................................................................. 7 a.Permasalahan Differensial Numeric .................................................................... 7 b.Metode Selisih Maju ........................................................................................... 8 c.Metode Selisih Tengahan .................................................................................... 8 d.Differnsiasi Tingkat Tinggi ................................................................................. 9 e.Pemakaian Differensiasi untuk Menentukan Titik Puncak Kurva ...................... 9 f.Metode Penyelesaian Metode Taylor .................................................................. 10 D.INTEGRASI NUMERIK .................................................................................. 10 a.Aturan Trapezium ................................................................................................ 12 b.Aturan Simpson ................................................................................................... 14 1.Aturan Simpson 1/3 ........................................................................................ 14 2.Aturan Simpson 3/8....................................................................................... 16 E.Menyelesaikan Persamaan Secara Numerik .................................................. 17 a.Metode Bagi Dua ................................................................................................. 17 b.Metode Newton ................................................................................................... 19 F.Metode Titik Tetap ............................................................................................ 20 BAB 3 PENUTUP ......................................................................................................... 22 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................... 23 Metode Numeric secara umumPage 3 BAB 1 PENDAHULUAN Persoalanyangmelibatkanmodelmatematikabanyakmunculdalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, seperti dalam bidang fisika, kimia, ekonomi, ataupadapersoalanrekayasa(engineering),sepertiTeknikSipil,Teknik Mesin,Elektro,dansebagainya.Seringkalimodelmatematikatersebutmuncul dalam bentukyangtidakidealaliasrumit.Modelmatematika yang rumitiniadakalanyatidakdapatdiselesaikandenganmetodeanalitikyang sudah umum untuk mendapatkansolusi sejatinya(exact solution). Maka dari itu digunakan metode analitik untuk dapat menyelesaikannya. Metodeanalitikadalahmetodeanalitikadalahmetodepenyelesaian modelmatematikadenganrumus-rumusaljabaryangsudahbaku(lazim). Sedangkan,MetodeNumerikadalahTeknikmenyelesaikanmasalahmatematika dengan pengoperasian hitungan.Metodeartinyacara,sedangkannumerikartinyaangka.Jadimetode numeriksecaraharafiahberarticaraberhitungdenganmenggunakanangka-angka. Pada umumnya mencakup sejumlah besar kalkulasi aritmetika yang sangat banyakdanmenjenuhkan.Karenaitudiperlukanbantuankomputeruntuk melaksanakannya.Ada 2 Perbedaan utama antara metode numerik dengan metode analitik yaitu: 1.Solusidenganmenggunakanmetodenumerikselaluberbentukangka. Bandingkandenganmetodeanalitikyangbiasanyamenghasilkansolusi dalambentukfungsimatematikyangselanjutnyafungsimateamtiktersebut dapat dievaluasiuntuk menghasilkannilaidalambentukangka. 2.Denganmetode numerik, kita hanyamemperolehsolusiyangmenghampiriataumendekatisolusisejatisehinggasolusinumerikdinamakanjuga solusihampiran(approxomation)atausolusipendekatan,namunsolusi hampiran dapat dibuat seteliti yang kita inginkan. Solusi hampiran tidak Metode Numeric secara umumPage 4 sama dengan solusi sejati, sehingga ada selisih antara keduanya. Selisih inilah yang disebut dengan galat (error). Galat (kesalahan) terdiri dari tiga bagian : Galat Mutlak Kesalahan mutlak dari suatu angka, pengukuran atau perhitungan. Kesalahan = Nilai eksak Nilai perkiraan Contoh:x=3,141592danx*=3,14,makagalatmutlaknyaadalah,E= 3,141592 3,14 = 0,001592 Galat relatif e dari a

Sehingga galat relatifnya adalah

Prosentase Galat Prosentase galat adalah 100 kali galat relatif e * 100%Padaumumnyapermasalahandalamsainsdanteknologidigambarkan dalampersamaanmatematika.Persamaaninisulitdiselesaikandengantangan analitis sehingga diperlukan penyelesaian pendekatan numeric. Metode Numeric secara umumPage 5 BAB 2 ISI A.APROKSIMASI TAYLOR TERHADAP FUNGSI Metodeaproksimasidiberikanolehduafactor.Pertama,Tidaksemua Perhitunganmatematikdapatmenggunakanmetodeeksak.Keduapenemuan computerdankalkulatorelektronikyangberkecepatantinggitelahmembuat metode numeric lebih praktis. a.Aproksimasi Taylor Aproksimasitaylorinidilihatdaripersamaangarissinggungpadakurva y=f(x)dai(a,f(a))adalahy=f(a)+f(a)(x-a),yangsecaralangsungmenunjuk kepada f(x)f (a) + f(a)(x-a). y= f(a) y= f(a) +f (a)(x-a) (a, f(a)) GAMBAR a.1 b.Polinom Polinom linear P1 (x) =f(a) +f (a)(x-a) disebut polinom taylor orde 1 pada auntukf(x).P1 (x)merupakansuatuaproksimasiyangbaikterhadapf(x)hanya dekat x=a. Polinomtaylororde2adalah:P2 (x)=f(a)+f(a)(x-a)+

(x-a). sedangkan Aproksimasi kuadrat yang berpadanan adalah :f(a) +f (a)(x-a) +

(x-a)2 Metode Numeric secara umumPage 6 Polinomtaylorordenpadaayaitupolimonordeke-nPn,yangbersama-samadengannturunannyayangpertama,bersesuaiandenganfdanturunan-turunannya pada x=a, yakniPn(x)= f(a) +f (a)(x-a) +

(x-a)2++

(x-a)n Aproksimasi yang berpadanan adalah : f(a) +f (a)(x-a) +

(x-a)2++

(x-a)n Polinomtaylorperingkatndisederhanakanmenjadipolinommaclaurin orde n yang memberikan aproksimasi yang benar dekat x=0, yaknif0a) +f (0)x +

x2++

xn B.SISTEM BILANGAN DAN KESALAHAN (ERROR) a.Penyajian Bilangan Bulat Definisi bilangan bulat dalam system bilangan decimal:

Definisi Bilangan bulat dengan bilangan dasar c :

c

Bilanganbinerataubilangandasar2,didefinisikansepertiformulasi diatas dengan mengganti c dengan 2, sehingga diperoleh :

2

b.Penyajian Bilangan pecahan Bilanganpecahanxantara0s/ddalamsystembilangandecimal didefinisikan sebagai : X=(a1a2a3an)

Definisi bilangan dasar k : (a1a2a3an)k =

Metode Numeric secara umumPage 7 c.Nilai Signifikan, Akurasi dan Presisi Nilai signifikan adalah suatu nilai dimana jumlah angka ditentukan sebagai batas nilai tersebut diterima atau tidak. Nilai akurasi atau akurat mengacu kepada dekatnya nilai pendekatan yang dihasilkan dengan nilai acuan atau nialai eksak. Nilaipresisimengacupadajumlahangkasignifikanyangdigunakandan sebaranbacaanberulangpadaalatukur.Pemakaianalatukurpenggarisdan jangkasorongakanmemilikiperbedaannilaipresisi.Pemakaianjangkasorong mempunyai presisi yang lebih tinggi. Darikeadaanakuratdanpresisiini,akanmunculapayangdinamakan kesalahan(error).Dalamanalisanumeric,dimanapenyelesaiandihitung menggunakannilai-nilaipendekatan,errormenjadihalyangsangatpentingdan diperhatikan. d.Penaksiran Kesalahan 1.Kesalahan dalam Metode Pengaproksimasian suatu fungsi oleh polinom taylornya, secara actual kita dapat memberikan suatu rumus untuk kesalahan. Teorema ARumus taylor dengan sisa. f adalah suatu fungsi dengan turunan ke (n+1), f(n+1) (x), ada untuk setiap x pada suatu selang bukaIyang mengandunga. maka untuk setiapdi I : f(a) +f (a)(x-a) +

(x-a)2++

(x-a)n+ Rn(x) Dimana sisa (kesalahan) Rn(x) diberikan oleh rumusRn(x)=

(x-a)n+1 Dan c suatu titik antara x dan a. Kasusa=0,npalingseringmunculdalampraktek,danselanjutnyarumus taylor disebut rumus Maklaurin. Metode Numeric secara umumPage 8 Membatasi|

|,nilai Rnyangtepathampirtidakpernahdapatdiperoleh, karenakitamengetahuic,terkecualibahwacterletakpadasuatuselangtertentu. Untuk mencari nilai maksimum yang mungkin dari |

| untuk c pada selang yang diberikanjikasecaraeksakseringsukar,sehinggabiasanyamemusatkandiri denganmemperolehsuatubatasatasyangbaikuntuk|

|.Ketidaksamaan segitiga| ||| ||dankenyataanbahwasuatupecahansemakin membesar apabila pembilangnya semakin besar atau penyebutnya semakin kecil. Bukti dari rumus taylor, definisi Rn (x) pada I : Rn (x) = f(a) +f (a)(x-a) +