kalkulus multivariabel i - · pdf filekalkulus multivariabel i kalkulus vektor: medan vektor...

12
Kalkulus Multivariabel I Kalkulus Vektor: Medan Vektor Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel I Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 11

Upload: vandat

Post on 05-Feb-2018

253 views

Category:

Documents


4 download

TRANSCRIPT

Page 1: Kalkulus Multivariabel I - · PDF fileKalkulus Multivariabel I Kalkulus Vektor: Medan Vektor Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 Atina Ahdika,

Kalkulus Multivariabel IKalkulus Vektor:Medan Vektor

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

Statistika FMIPAUniversitas Islam Indonesia

2014

Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 1

/ 11

Page 2: Kalkulus Multivariabel I - · PDF fileKalkulus Multivariabel I Kalkulus Vektor: Medan Vektor Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 Atina Ahdika,

Medan Vektor Medan Vektor

Medan Vektor

Perhatikan sebuah fungsi F yang menghubungkan sebuah vektor F(p)dengan setiap titik p dalam ruang berdimensi-n. Contoh yang khas dalamruang berdimensi dua adalah

F(p) = F(x , y) = −1

2y i+

1

2x j

Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 2

/ 11

Page 3: Kalkulus Multivariabel I - · PDF fileKalkulus Multivariabel I Kalkulus Vektor: Medan Vektor Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 Atina Ahdika,

Medan Vektor Medan Vektor

Berdasarkan sejarahnya, kita menyebut fungsi seperti ini sebagai medanvektor. Bayangkan setiap titik p pada sebuah daerah ruang dikenai sebuahvektor F(p) yang memancar dari p. Kita tidak dapat menggambar seluruhvektor ini, tetapi sebuah contoh yang cukup mewakili dapat memberikangambaran pemahaman yang baik tentang medan vektor. Gambar 3.1merupakan gambaran untuk medan vektor F(x , y) = −1

2y i+12x j.

Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 3

/ 11

Page 4: Kalkulus Multivariabel I - · PDF fileKalkulus Multivariabel I Kalkulus Vektor: Medan Vektor Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 Atina Ahdika,

Medan Vektor Medan Vektor

Medan vektor ini merupakan medan kecepatan dari putaran roda pada lajukonstan sebesar 1

2 radian per satuan waktu (lihat Contoh).

Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 4

/ 11

Page 5: Kalkulus Multivariabel I - · PDF fileKalkulus Multivariabel I Kalkulus Vektor: Medan Vektor Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 Atina Ahdika,

Medan Vektor Medan Vektor

Contoh:Tunjukkan bahwa setiap vektor dari medan vektor

F (x , y) = −1

2y i+

1

2x j

menyinggung sebuah lingkaran yang berpusat di titik asal dan mempunyaipanjang setengah jari-jari lingkaran tersebut.

Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 5

/ 11

Page 6: Kalkulus Multivariabel I - · PDF fileKalkulus Multivariabel I Kalkulus Vektor: Medan Vektor Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 Atina Ahdika,

Medan Vektor Medan Vektor

Penyelesaian:Jika r = x i+ y j adalah vektor posisi dari titik (x , y), maka

r.F(x , y) = −1

2xy +

1

2xy = 0

Jadi, F(x , y) tegak lurus terhadap r, dan dengan demikian menyinggunglingkaran yang berjari-jari |r| tersebut. Maka

|F(x , y)| =

√(−1

2y

)2

+

(1

2x

)2

=1

2|r| �

Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 6

/ 11

Page 7: Kalkulus Multivariabel I - · PDF fileKalkulus Multivariabel I Kalkulus Vektor: Medan Vektor Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 Atina Ahdika,

Medan Vektor Gradien dari Medan Skalar

Gradien dari Medan Skalar

Misalkan f (x , y , z) menentukan sebuah medan skalar dan andaikan fdapat didiferensialkan. Maka gradien dari f , dilambangkan dengan ∇f ,adalah medan vektor yang dinyatakan dengan

F(x , y , z) = ∇f (x , y , z) = ∂f

∂xi+

∂f

∂yj+

∂f

∂zk

Sebuah medan vektor F yang merupakan gradien dari medan skalar fdisebut medan vektor konservatif, dan f adalah fungsi potensial-nya.

Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 7

/ 11

Page 8: Kalkulus Multivariabel I - · PDF fileKalkulus Multivariabel I Kalkulus Vektor: Medan Vektor Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 Atina Ahdika,

Medan Vektor Gradien dari Medan Skalar

Contoh:Misalkan F adalah gaya yang dihasilkan dari hukum kuadrat invers, yakni,misalkan

F(x , y , z) = −c r

|r|3= −c x i+ y j+ zk

(x2 + y2 + z2)3/2

di mana c adalah konstanta. Tunjukkan bahwa

f (x , y , z) =c

(x2 + y2 + z2)1/2= c(x2 + y2 + z2)−1/2

adalah fungsi potensial untuk F, dan oleh karenanya F bersifat konservatif(untuk r 6= 0).

Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 8

/ 11

Page 9: Kalkulus Multivariabel I - · PDF fileKalkulus Multivariabel I Kalkulus Vektor: Medan Vektor Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 Atina Ahdika,

Medan Vektor Gradien dari Medan Skalar

Penyelesaian:

∇f (x , y , z) = ∂f

∂xi+

∂f

∂yj+

∂f

∂zk

= −c

2(x2 + y2 + z2)−3/2(2x i+ 2y j+ 2zk)

= F(x , y , z) �

Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 9

/ 11

Page 10: Kalkulus Multivariabel I - · PDF fileKalkulus Multivariabel I Kalkulus Vektor: Medan Vektor Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 Atina Ahdika,

Medan Vektor Latihan

Latihan

1. Tentukan ∇fa. f (x , y , z) = x2 − 3xy + 2zb. f (x , y , z) = sin(xyz)c. f (x , y , z) = y2e−2z

Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 10

/ 11

Page 11: Kalkulus Multivariabel I - · PDF fileKalkulus Multivariabel I Kalkulus Vektor: Medan Vektor Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 Atina Ahdika,

Medan Vektor Latihan

2. Sebuah benda dengan massa m, yang berputar dalam orbit melingkardengan kecepatan sudut yang konstan ω, dikenai gaya sentrifugalyang dinyatakan dengan

F(x , y , z) = mω2r = mω2(x i+ y j+ zk)

Tunjukkan bahwa

f (x , y , z) =1

2mω2(x2 + y2 + z2)

adalah sebuah fungsi potensial untuk F.

Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 11

/ 11

Page 12: Kalkulus Multivariabel I - · PDF fileKalkulus Multivariabel I Kalkulus Vektor: Medan Vektor Atina Ahdika, S.Si, M.Si Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 Atina Ahdika,

Medan Vektor Pustaka

Pustaka

Purcell, E. J & D. Vanberg, 1999. Terjemahan, Kalkulus danGeometri Analitis, Jilid 1 dan 2. Jakarta : Erlangga.

Spiegel. M. & Wrede R.C. 2002. Theory and Problem of AdvancedCalculus. Schaum Outline Series. New York: Mc Graw-Hill.

Purcell, E. J & D. Vanberg, 2003. Terjemahan, Kalkulus , Jilid 2.Jakarta : Erlangga.

Mendelson, Elliot, 1988. Schaum’s Outlines, 3000 Solved Problems inCalculus. New York: Mc Graw-Hill.

Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 12

/ 11