kalkulus multivariabel i - · pdf filekalkulus multivariabel i kalkulus vektor: medan vektor...
TRANSCRIPT
Kalkulus Multivariabel IKalkulus Vektor:Medan Vektor
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Statistika FMIPAUniversitas Islam Indonesia
2014
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 1
/ 11
Medan Vektor Medan Vektor
Medan Vektor
Perhatikan sebuah fungsi F yang menghubungkan sebuah vektor F(p)dengan setiap titik p dalam ruang berdimensi-n. Contoh yang khas dalamruang berdimensi dua adalah
F(p) = F(x , y) = −1
2y i+
1
2x j
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 2
/ 11
Medan Vektor Medan Vektor
Berdasarkan sejarahnya, kita menyebut fungsi seperti ini sebagai medanvektor. Bayangkan setiap titik p pada sebuah daerah ruang dikenai sebuahvektor F(p) yang memancar dari p. Kita tidak dapat menggambar seluruhvektor ini, tetapi sebuah contoh yang cukup mewakili dapat memberikangambaran pemahaman yang baik tentang medan vektor. Gambar 3.1merupakan gambaran untuk medan vektor F(x , y) = −1
2y i+12x j.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 3
/ 11
Medan Vektor Medan Vektor
Medan vektor ini merupakan medan kecepatan dari putaran roda pada lajukonstan sebesar 1
2 radian per satuan waktu (lihat Contoh).
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 4
/ 11
Medan Vektor Medan Vektor
Contoh:Tunjukkan bahwa setiap vektor dari medan vektor
F (x , y) = −1
2y i+
1
2x j
menyinggung sebuah lingkaran yang berpusat di titik asal dan mempunyaipanjang setengah jari-jari lingkaran tersebut.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 5
/ 11
Medan Vektor Medan Vektor
Penyelesaian:Jika r = x i+ y j adalah vektor posisi dari titik (x , y), maka
r.F(x , y) = −1
2xy +
1
2xy = 0
Jadi, F(x , y) tegak lurus terhadap r, dan dengan demikian menyinggunglingkaran yang berjari-jari |r| tersebut. Maka
|F(x , y)| =
√(−1
2y
)2
+
(1
2x
)2
=1
2|r| �
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 6
/ 11
Medan Vektor Gradien dari Medan Skalar
Gradien dari Medan Skalar
Misalkan f (x , y , z) menentukan sebuah medan skalar dan andaikan fdapat didiferensialkan. Maka gradien dari f , dilambangkan dengan ∇f ,adalah medan vektor yang dinyatakan dengan
F(x , y , z) = ∇f (x , y , z) = ∂f
∂xi+
∂f
∂yj+
∂f
∂zk
Sebuah medan vektor F yang merupakan gradien dari medan skalar fdisebut medan vektor konservatif, dan f adalah fungsi potensial-nya.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 7
/ 11
Medan Vektor Gradien dari Medan Skalar
Contoh:Misalkan F adalah gaya yang dihasilkan dari hukum kuadrat invers, yakni,misalkan
F(x , y , z) = −c r
|r|3= −c x i+ y j+ zk
(x2 + y2 + z2)3/2
di mana c adalah konstanta. Tunjukkan bahwa
f (x , y , z) =c
(x2 + y2 + z2)1/2= c(x2 + y2 + z2)−1/2
adalah fungsi potensial untuk F, dan oleh karenanya F bersifat konservatif(untuk r 6= 0).
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 8
/ 11
Medan Vektor Gradien dari Medan Skalar
Penyelesaian:
∇f (x , y , z) = ∂f
∂xi+
∂f
∂yj+
∂f
∂zk
= −c
2(x2 + y2 + z2)−3/2(2x i+ 2y j+ 2zk)
= F(x , y , z) �
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 9
/ 11
Medan Vektor Latihan
Latihan
1. Tentukan ∇fa. f (x , y , z) = x2 − 3xy + 2zb. f (x , y , z) = sin(xyz)c. f (x , y , z) = y2e−2z
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 10
/ 11
Medan Vektor Latihan
2. Sebuah benda dengan massa m, yang berputar dalam orbit melingkardengan kecepatan sudut yang konstan ω, dikenai gaya sentrifugalyang dinyatakan dengan
F(x , y , z) = mω2r = mω2(x i+ y j+ zk)
Tunjukkan bahwa
f (x , y , z) =1
2mω2(x2 + y2 + z2)
adalah sebuah fungsi potensial untuk F.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 11
/ 11
Medan Vektor Pustaka
Pustaka
Purcell, E. J & D. Vanberg, 1999. Terjemahan, Kalkulus danGeometri Analitis, Jilid 1 dan 2. Jakarta : Erlangga.
Spiegel. M. & Wrede R.C. 2002. Theory and Problem of AdvancedCalculus. Schaum Outline Series. New York: Mc Graw-Hill.
Purcell, E. J & D. Vanberg, 2003. Terjemahan, Kalkulus , Jilid 2.Jakarta : Erlangga.
Mendelson, Elliot, 1988. Schaum’s Outlines, 3000 Solved Problems inCalculus. New York: Mc Graw-Hill.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si () Kalkulus Multivariabel IStatistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014 12
/ 11