kalkulus ii

89

Click here to load reader

Upload: nita-harwedi

Post on 02-Feb-2016

557 views

Category:

Documents


48 download

DESCRIPTION

kalkulus

TRANSCRIPT

Page 1: Kalkulus II

KALKULUS II

Prof.Dr.Ir.SRI REDJEKI MT

Page 2: Kalkulus II

MATERI YANG AKAN DIBERIKAN

1. FUNGSI TRANSENDEN A. LOGARITMIK DAN EKSPONENSIAL B. FUNGSI LOGARITMIK DAN FUNGSI EKSPONENSIAL C. FUNGSI INVERS D. FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI E. TURUNAN DAN INTEGRAL FUNGSI INVERS/TRIGONOMETRIK

2. TEKNIK INTEGRASI A. INTEGRASI PARSIAL DAN INTEGRASI FUNGSI TRIGONOMETRI B. INTEGRASI FUNGSI RASIONAL PECAHAN PARSIAL C. TEKNIK-TEKNIK INTEGRASI YANG LAIN

2. APLIKASI-APLIKASI INTEGRAL TERTENTU A. MENGHITUNG LUAS BIDANG DATAR B. MENGHITUNG ISI BENDA C. PANJANG SUATU KURVA PADA BIDANG

Page 3: Kalkulus II

LogaritmikLogaritmik LogaritmaLogaritma adalah operasi adalah operasi matematika

yang merupakan kebalikan dari eksponen yang merupakan kebalikan dari eksponen atau atau pemangkatan..

Rumus dasar logaritma:Rumus dasar logaritma: bbcc= a ditulis sebagai = a ditulis sebagai bblog a = c (b disebut log a = c (b disebut

basis)basis) Beberapa orang menuliskan Beberapa orang menuliskan bblog a = c log a = c

sebagai logsebagai logbba = ca = c Dalam aljabar, logaritma didefinisikan Dalam aljabar, logaritma didefinisikan

sebagai pangkat. Lebih tepatnya jika b > 0 sebagai pangkat. Lebih tepatnya jika b > 0 dan b ≠ 1, maka untuk x positif dan b ≠ 1, maka untuk x positif didefinisikan didefinisikan ““loglogbbxx ””

(baca, logaritma berbasis b dari x) sebagai (baca, logaritma berbasis b dari x) sebagai pangkat untuk b yang menghasilkan x. pangkat untuk b yang menghasilkan x.

Page 4: Kalkulus II

Kegunaan logaritmaKegunaan logaritma

Logaritma sering digunakan untuk Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari sebagai solusi dari integral. Dalam . Dalam persamaan persamaan bbnn = = xx, , bb dapat dicari dapat dicari dengan dengan pengakaran, , nn dengan dengan logaritma, dan logaritma, dan xx dengan dengan fungsi eksponensial..

Page 5: Kalkulus II

Contoh:Contoh:

LogLog1010 100 = 2 100 = 2Sebab 10 harus berpangkat 2 untuk Sebab 10 harus berpangkat 2 untuk

menghasilkan 100. menghasilkan 100. Dengan cara Dengan cara sama,sama,

LogLog22 8 = 3, 8 = 3, karena 2karena 233 = 8 = 8

LogLog1010 1/1000 = -3,karena 10 1/1000 = -3,karena 10-3-3 = = 1/10001/1000

LogLog1010 1 = 0, 1 = 0, karena 10karena 1000 = 1 = 1

LogLog33 81 = 4, 81 = 4, karena 3karena 344 = 81 = 81

Page 6: Kalkulus II

Umumnya jika y = logb x, maka y merupakan pangkat untuk b yang harus menghasilkan x, jadi x = by. Kebalikannya, jika x = by, maka y = logb x, sehingga pernyataan :Y = logb x dan x = by adalah ekivalen. Dengan mensubsitusikan setiap persamaan diperoleh :

logb by = y dan blogb x = x (1.1) Logaritma yang pertama kali dipelajari adalah

logaritma dengan basis 10, yang disebut logaritma umum (common logarithmsi). Untuk logaritma seperti itu biasanya basis tidak secara eksplisit dirujuk dan ditulis “log” tidak “log10”. Jadi, (1.1) menjadi:

Log 10x = x dan 10log x = x

logba= x dan logb c = y (1.2)

Page 7: Kalkulus II

TEOREMA

a). Logb 1 = 0 b) logb b = 1

c). Logb ac = Logb a + Logb c d) logb a/c = logb a – logb c

e). Logb ar = r Logb a f) logb 1/c = -logb c

Page 8: Kalkulus II

Akan dibuktikan (a) dan (c),

Bukti (a). karena b0 = 1, maka logb 1 = 0

Bukti (c). Misalkan

x = logb a dan y = logb c

Jadi, bx = a dan by = cOleh karena itu,ac = bxby = bx+y atau ekivalen dengan

logb ac = x+y

selanjutnya, dari (1.2)logb ac = Logb a + Logb c

Page 9: Kalkulus II

Bilangan e logaritma naturalLogaritma yang paling penting dalam

aplikasi adalah yang disebut logaritma natural; ini mempunyai basis irrasional tertentu yang ditunjukkan dengan e.

e ~ 2,718282

dan

Diturunkan menjadi :

Page 10: Kalkulus II

Tabel 1.1.2

x

1 2 2,000000

10 1,1 2,593742

100 1,01 2,704814

1.000 1,001 2,716924

10.000 1,0001 2,718146

100.000 1,00001 2,718268

1.000.000 1,000001 2,718280

Standar untuk mengartikan logaritma natural dari x adalah ln x

dan tidak log e x. jadi ln x itu merupakan pangkat untuk e yang harus menghasilkan x, contoh :

ln 1 = 0 (karena e0 = 1) Secara umum: a. y = ln x dan x = ey ekivalen ln e = 1 (karena e1 = e) b. ln ex = x dan e ln x = x ln 1/e = -1 (karena e-1 = 1/e) ln (e2) = 2 (karena e2 = e2)

Page 11: Kalkulus II

Teorema : 1.1.2

Bukti ;Misalkan y = logb x. Jadi

by = xLoga by = Loga x

y Loga b = Loga x

Page 12: Kalkulus II

Contoh soal:1. Nyatakan :Kedalam penjumlahan, pengurangan dan

perkalian:

=

=

Page 13: Kalkulus II

Contoh Soal 2:Tulis dalam bentuk logaritma tunggal:a. 2 log 5 + log 8 – log 2 = Log 52 + log 8 – log 2 = Log 25 + log 8 – log 2 = Log 25.8 – log 2 = Log 200/2 = log 100 = 2b.1/3 ln x – ln(x2 +1)+5 ln(x-2)= ln x1/3 – ln(x2+1) + ln(x-2)5 = Ln

1

)2(2

53

x

xx

Page 14: Kalkulus II

Contoh 3;a. log x = -3, x = 10-3 = 0,001b. ln(2x-3) = 7, 2x-3 = e7, x = ½(e7+3)c. 2x = 3, log 2x = log 3 x log 2 = log 3 x = log3/log2 = 1,585d. e2x = 81, ln e2x = ln 81 2x = ln 92

2x = 2 ln 9 x = ln 9 = 2,197225

Page 15: Kalkulus II

TIPE LAIN DARI PERSAMAAN LOGARITMIK DAN EKSPONENSIAL.Metode – metode yang digunakan dalam contoh – contoh sebelumnya dapat

dimodifikasi untuk menyelesaikan tipe – tipe lain logaritmik dan eksponensial. Contoh 1.1.5 Selesaikan untuk x.

Penyelesaian. Kalikan kedua sisi dengan 2 pada persamaan yang diberikan, diperoleh

Kalikan kedua sisi dengan ex diperoleh :

atau

Ini jelas persamaan kuadrat yang samar; ini dapat diliat dengan menulis ulang persamaan

menjadi :

Dan misalkan u = ex, maka

u2 – 2u – 3 = 0

penyelesaian untuk u adalah

(u – 3) (u + 1) = 0, yang menghasilkan u = 3 dan u = -1

Jadi,

ex = 3 atau ex = -1

tetapi ex tidak dapat negative,sehingga nilai ex = -1 diabaikan; jadi

ex = 3

ln ex = ln 3

x = ln (3) ~ 1,098612

Page 16: Kalkulus II

Fungsi logaritmik dan fungsi eksponensialPERAN LOGARITMA NATURAL DALAM

KALKULUSPada sub bab ini akan diperlihatkan logaritma

dan pangkat dari sudut pandang fungsi. Untuk b > 0, bx disebut fungsi eksponensial berbasis b dan logb x disebut fungsi logaritma berbasis b. dalam kasus dimana b = e, ex

disebut fungsi eksponensial natural dan ln x = logb x disebut logaritma natural.

Fungsi logaritma natural mempunyai peran khusus dalam kalkulus yang dapat memotivasi pendiferensialan f (x) = logb x, dimana b sembarang basis. Dengan mengasumsikan bahwa fungsi logb x dapat didiferensialkan, oleh karena itu kontinu untuk x > 0.

0,1

)(ln xx

xdx

d

Page 17: Kalkulus II

TURUNAN DAN INTEGRAL YANG BERKAITAN DENGAN Ln X

Jika u(x)>0, dan fungsi u dapat dideferensilkan di x, maka diperoleh :

dan

Diferensiasi LogaritmikContoh : Turunan dari ; Turunan Pangkat Irrasional x: y=xr

buu

dx

db ln

1)(log

dx

du

uu

dx

d 1)(ln

42

32

)1(

147

x

xxy

irr

r

rxxx

ryx

r

dx

dy

x

r

dx

dy

y

xrdx

dy

dx

d

xrxy

1

)ln()(ln

lnlnln

Page 18: Kalkulus II

Turunan dan Integral yang berkaitan dengan bx

Untuk memperoleh turunan dari bx, andaikan y = bx, gunakan diferensiasi logaritmik :

Ln y = ln bx = x ln b1/y dy/dx = ln b, dy/dx = y ln b = bx ln bJadi : dlm kasus khusus b=eLn e= 1, shg ;

Jika u fungsi x yg terdiferensial, maka diperoleh :

dan

bbbdx

d xx ln)( xx ee

dx

d )(

dx

dubbb

dx

d uu ln)( dx

duee

dx

d uu )(

Page 19: Kalkulus II

Integral Fungsi EksponensialRumus Integral yg terkait dgn turunan-turunan

dan

Contoh :1.

2.Tentukan nilai :

3. Tentukan nilai :

Cb

bdub

uu

ln edueu

Cdxx

x

5ln

55

dxe x2

3ln

0

2/1)1( dxee xx

Page 20: Kalkulus II

Untuk menyajikan persoalan-persoalan yang lebih rumit, kita memerlukan perluasan fungsi-fungsi yang dapat dipakai.

Fungsi Logaritma NaturalFungsi Logaritma Natural (disingkat ln), ditulis f(x)=ln

x, didefinisikan sebagai,

Daerah definisi (Df) dan Daerah nilai (Rf) fungsi iniadalah Df = (0,+∞) dan Rf = R.Fungsi ini ada hubungannya dengan fungsi logaritmayang telah dipelajari pada sekolah lanjutan.

x

xdtt

x1

0.,1

ln

Page 21: Kalkulus II

Grafik dari fungsi f(x)=ln x adalah,

Teorema 1 (Turunan Fungsi Logaritma Natural)

1. d

dx (ln x ) = 1

, x

x > 0 ;

2. d (lnu) = 1 . du = u ′

, u ( x ) > 0, u ′ ada .

u u udx

Page 22: Kalkulus II

Teorema 2 (Sifat Logaritma Natural). Jika a, b > 0 dan r є Q dan r ≠ -1, maka

1. ln 1 = 0; 2. ln a.b = ln a + ln b; 3. ln a/b = ln a – ln b; 4. ln ar = r.ln a.

Contoh 1.

d (ln

1 − x ) = ln(1 − x ) − ln(1 + x ) = − 1 − 1 = 2

dx 1 + x 1 − x 1 + x x 2 − 1

Page 23: Kalkulus II

10

∫ − ∫ 2

= − du

⎢ x 3 ⎥

Setiap bentuk turunan itu ada rumus integralnya. Akibatnya dari teorema 1, diperoleh

1 du

u = ln u

3

+ C ,

x

u ≠ 0.

Contoh 2. Hitung dx . −1 x

Jawab. Misalkan u=10-x2, du=-2x dx, maka

x dx

= − 1

1 1 ln u

+ C = − 1 ln 10 − x 2 + C ∫ 10 − x 2 2 ∫ u 2 2

Menurut Teorema dasar kalkukus diperoleh,

3 x ∫ 2 dx = ⎡ 1 ln 10 − 2 ⎤ = 1

ln 9. −1 10 − x ⎣ 2 ⎦ −1 2

Page 24: Kalkulus II

Fungsi Balikan (Invers).Misalkan fungsi y=f(x), dengan x є Df dan y є Rf. Bila f

dapat dibalik, maka diperoleh fungsi x= f -1(y). Fungsi f -1 disebut balikan (invers) dari fungsi f.

Sebagai contoh, jika y=f(x)=x3-1, maka x=f-1(y)=

Tidak semua fungsi mempunyai balikan. Sebagai contoh, jika y=f(x)=x2 tidak mempunyai balikan, kecuali kalau daerah definisinya dibatasi.

Teorema 3. Eksistensi Fungsi Balikan.Jika fungsi f monoton murni pada daerah

definisinya, maka f mempunyai balikan.

3 1y

Page 25: Kalkulus II

Langkah-langkah mencari inver fungsi y=f(x),1. Nyatakan x dengan y dari persamaan y=f(x);2. Nyatakan bentuk dalam y sebagai f-1(y)→x= f -1(y);3. Ganti y dengan x dan x dengan y dari x= f -1(y),

diperoleh y= f -1(x).

Contoh 3. Tentukan rumus untuk f -1(x) bila y=f(x)=x/(1-x).

Jawab.Langkah1: y = x/(1-x)↔(1-x).y=x

↔x(1+y)=y↔x=y/(1+y); Langkah2: f -1(y) = y/(1+y);Langkah3: f -1(x) = x/(1+x);

Page 26: Kalkulus II

Bila f mempunyai balikan f -1 maka f -1 juga memiliki balikan f sehingga diperoleh,

f -1(f(x)) = x dan f(f -1(y)) = y.

Jika f mempunyai balikan, maka

x = f-1(y) ↔ y = f(x). Catatan. Lambang f-1 bukan berari 1/f.

Grafik fungsi y=f-1(x) adalah pencerminan grafik y=f(x) terhadap garis y=x. Sebagai

y = 3 x + 1

y = x

contoh, grafik fungsi y=f-1(x)= 3

adalah pencerminan grafik x + 1

y = x 3 − 1

Page 27: Kalkulus II

Jika fungsi f dan g memenuhi dua kondisi:f(g(x)) = x, untuk setiap x dalam domain gg(f(x)) = x, untuk setiap x dalam domain fmaka dapat dikatakan bahwa, f invers dari g dan g invers dari f, atau dengan kata lain, f dan g adalah merupakan fungsi-fungsi invers.

Contoh ; fungsi f(x) = 2x dan g(x) = 1/2 x adalah fungsi invers sebab : f(g(x)) = f(1/2x) = 2(1/2x) = xg(f(x)) = g(2x) = ½.2x = xjadi : untuk f(x) = 1/2x, f-1(x) = 2x dan, g(x) = 2x, g-1(x) = 1/2xdapat dikatakan bahwa suatu fungsi hanya mempunyai satu invers (tunggal)

Page 28: Kalkulus II

Turunan Fungsi Invers.(Halaman pembetulan)

Karena grafik f dan f-1 merupakan pencerminan satu dengan lainnya pada garis y=x, secara intuitif jelas bahwa jika grafik f-1 tidak mempunyai sudut, maka grafik f juga demikian. Hubungan antara turunan-turunan dari f dan f-1 dapat diperoleh sebagai berikut:

Misalkan (x0,y0) titik pada grafik f-1 dan andaikan f dapat diturunkan pada y0 dan f’(y0) tidak nol.

Hubungan ini bila dinyatakan dalam turunan-turunan, akan diperoleh;

(f -1)’(x0) = 1/f’(y0) dan (f -1)’(x0) = 1/f’(f -1(x0)), untuk lebih mudah, y = f -1(x) sedemikian hingga x = f(y)Jadi : dy/dx = (f-1)’(x) dan dx/dy = f’(y)= f’(f -1(x))Atau :

dydxdx

dy

/

1

Page 29: Kalkulus II

Contoh soal:Fungsi f(x) = x5 + 7x3 + 4x + 1 mempunyai invers:a. dapatkan turunan dari f -1 dengan menggunakan

rumus turunan fungsi inversb. dapatkan turunan dari f -1 dengan differensial

implisitPenyelesaian :a. jika dimisalkan y = f -1(x), maka: x = f(y)=y5 + 7y3 + 4y +1 , diperoleh:

4215 24 yy

dy

dx

4215

1

/

124

yydydxdx

dy

Page 30: Kalkulus II

b. pendiferensialan secara implisit terhadap x, menghasilkan :

Yang sama dengan jawaban (b)

4215

1

)4215(1

42151

147()(

24

24

24

35

yydx

dydx

dyyy

dx

dy

dx

dyy

dx

dyy

yyydx

dx

dx

d

Page 31: Kalkulus II

Fungsi Eksponen Natural.Bilangan e adalah suatu bilangan real yang

merupakan jawaban tunggal dari persamaan ln x = 1. Nilai hampirannya adalah e = 2,71828……….

Fungsi eksponen natural adalah suatu fungsi yang didefinisikan oleh persamaan f(x) = ex.

Teorema 5. (Hubungan Fungsi ln dengan exp). Fungsi f : R → (0,+∞), f(x) = ex adalah invers dari

fungsi g : (0,+∞) → R, g(x) = ln x.Bentuk lain dapat ditulisy = ex↔ x = ln y.

Page 32: Kalkulus II

Karena antara exp dan ln adalah fungsi-fungsi yang saling invers, maka grafik y = ex adalah grafik y = ln x yang dicerminkan terhadap garis y = x. (Seperti gambar di samping).

Teorema 6 (Sifat Exponen Natural). Jika a, b є R, maka

1. e0 = 1; 2. ea.eb = ea+b; 3. ea/eb = ea-b; 4. (ea)b = ea.b.

Page 33: Kalkulus II

2

2.

Teorema 7 (Turunan Fungsi Eksponen Natural)

1. d

dx (e x ) = e x ;

2. d

dx (eu ) = eu du

dx

= eu u';

u' ada.

Contoh 5.

1. d

dx (e x 2 ln x ) = e x 2 ln x

d (x 2 ln x ) = e x 2 ln x ⎜ x 2 dx ⎝ 1 ⎞ + 2 x ln x ⎟ = x ⎠ xe x ln x (1 + ln x 2 )

d (e x cos x ) = e x (− sin x ) + (cos x )e x

dx = e x (cos x − sin x )

Akibatnya, rumus integral fungsi eksponen natural,

Cedue uu

Page 34: Kalkulus II

e 3

e

x

Contoh 6. ∫ x 2e

− x 3

dx = − 1 ∫ e − x 3

(−3x

2dx ) = 1 − x 3

3 + C.

(Misalkan u = -x3, sehingga du = -3x2)

Latihan.

A. Tentukan turunan fungsi berikut.

1. y = x2 esin x; 2. y = ln (1 - ex)/(1 + ex).

B. Hitung nilai integral berikut. 3

2 x

1. ∫ 2 dx

1

; 2. dx ∫ e x −1

Page 35: Kalkulus II

Fungsi Eksponen UmumFungsi eksponen dengan bilangan dasar a>0 dan

peubah bebas real x didefinisikan sebagai,f(x) = ax = ex ln a.

Akibatnya, ln ax = x ln a.

Teorema 8. (Sifat-sifat eksponen umum).1. a0 = 1, a>0; 5. a-x = 1/ax, a>0,

x,yЄR;2. a1 = a, a>0; 6. (ax)y = axy, a>0,

x,yЄR;3. ax.ay = ax+y, a>0, x,yЄR; 7. (ab)x= ax.bx,a,b>0,

yЄR;4. ax/ay = ax-y, a>0, x,yЄR; 8. (a/b)x= ax/bx,a,b>0,

yЄR

Page 36: Kalkulus II

Teorema 9.(Turunan fungsi eksponen Umum).

d 1. dx

(a x ) = a x ln a, a > 0;

d 2. dx

(au ) = (au

ln a)u';

u' ada.

Akibatnya diperoleh,

au ∫ audu = ln a

+ C, a > 0, a

≠ 1.

axxfungsifdenganBedakanCata )(:tan

Page 37: Kalkulus II

Fungsi Logaritma Umum

Jika a>0 dan a ≠ 1, maka fungsi logaritma dengan bilangan dasar a, ditulis

y = f(x) = a log x.

Didefinisikan sebagai invers dari fungsi eksponen dengan bilangan dasar a, ax.

Hubungan kedua fungsi ini ditentukan oleh relasi

y = a log x ↔ x = ax.

Teorema 10.(Hubungan logaritma dengan log. Natural)

1. a log x = ln x / ln a, a>0, a ≠ 1;

2. a log e = 1/ln a; ln a = 1/a log e, a>0, a ≠ 1.

Page 38: Kalkulus II

a

Teorema 11.(Sifat-sifat Logaritma).

Jika a>0 dan a ≠ 1 dan x,y>0, maka

1. alog x.y = alog x + alog y; 4. alog 1 = 0;

2. alog (x/y) = alog x - alog y; 5. alog a = 1.

3. alog xy = y alog x;

Teorema 12.(Turunan fungsi Logaritma Umum).

1. d

dx (a log x ) = a log e

, x

a > 0, a ≠ 1, x > 0;

2. d

dx (a logu) = ( log e).u'

, u

a > 0, a ≠ 1,u > 0, u'

ada;

Page 39: Kalkulus II

3 3

3

Contoh 7.

1. d

dx (2 x ln x ) = (2 x ln x

ln 2).⎜ x . 1

⎝ x

3

⎞ + ln x ⎟ = ⎠ (1 + ln x ).(ln 2).2 x ln x

3

2. d

dx

(3 log(cos x ) = log e .

d cos x dx

(cos x ) = log e . (− sin x ) =

cos x − 3 log e . tan x

3. ∫ 4 x

x 2dx = 1 ∫ 4 x (3 x 2dx ) = 1 ∫ 4 u du = 4u 4 x

1 + C = + C 3 3 3 ln 4 3.ln 4

Latihan. A. Hitung turunan berikut.

1. 2xy = xy2; 2. 2log xy = xy2.

B. Hitung Integral berikut.

e

1. ∫ 3ln x

dx ; e 2

2. ∫ 3 log

x dx

Page 40: Kalkulus II

Masalah Laju Perubahan Sederhana

Misalkan suatu populasi yang besarnya setiap saat berubah bergantung pada waktu t. Bila laju perubahan populasinya setiap saat sebanding dengan besarnya populasi saat itu, maka masalah yang muncul dinamakan Masalah Laju Perubahan Sederhana. Untuk menyelesaikan masalah ini, misalkan P(t)

= besarnya populasi pada saat t, maka dP/dt = laju perubahan populasi pada saat t.

Karena diketahui dP/dt sebanding P, terdapat konstanta k ≠ 0, sehingga

P’ = dP/dt = kP, k ≠ 0. (*) Jika k > 0, maka populasi bertambah, k < 0 berkurang.

Page 41: Kalkulus II

Selanjutnya akan diselesaikan persamaan (*). dP/P = k dt, k ≠ 0 dan P > 0 ∫ dP/P = ∫ k dt ln P = kt + C1, C1 konstanta sebarang. P = e kt + C1 = C e kt , C > 0.

Ini berarti, populasinya berubah secara eksponen terhadap t.

Contoh 8. Laju pertumbuhan penduduk suatu kota pada setiap saat berbanding lurus dengan jumlah penduduknya pada saat itu. Bila jumlah penduduk kota itu bertambah dari 1,2 juta jmenjadi 1,8 juta jiwa dalam kurun waktu 20 tahun, tentukan lamanya waktu yang diperlukan sehingga penduduk kota itu bertambah dari 1,2 juta menjadi 2,7 juta jiwa.

Page 42: Kalkulus II

Fungsi Trigonometri Balikan.

Balikan dari Sinus diperoleh dengan membatasi daerah definisinya pada selang [-π/2, π/2], sehingga

x = sin-1 y ↔ y = sin x dan -π/2 ≤ x ≤ π/2.

y = sin x y = sin −1 x

Grafik y = sin x dan grafik y = sin-1 x.Fungsi y = f(x) = sin-1x mempunyai Df = [-1, 1]danRf = [-π/2, π/2].

Page 43: Kalkulus II

Teorema : y = sin-1x ekivalen dgn sin y=x

Jika : -1≤ x ≤ 1 dan -π/2 ≤ y ≤ π/2 Contoh Dapatkan :a. sin-1(1/2) b. sin-1(-1/√2) c. sin-1(-1) Penyelesaian:a. misalkan y = sin-1(1/2), persamaan ini

ekivalen dengan, sin y = ½, -π/2 ≤ y ≤ π/2 Jadi dicari sudut yg mempunyai sinus ½, yaitu

sudut y = π/6.Jadi : sin-1(1/2) = π/6.b.y = sin-1(-1/√2) ekivalen dgn sin y = (-1/ √2),

diperoleh sudutnya = - π/4c. y = sin-1 (-1) ekivalen dengan sin y = -1,Diperoleh sudutnya = - π/2

Page 44: Kalkulus II

Balikan dari Cosinus diperoleh dengan membatasi daerah definisinya pada selang [0, π], sehingga

x = cos-1 y ↔ y = cos x dan 0 ≤ x ≤ π.

y = cos x

y = cos −1 x

Grafik y = cos x dan grafik y = cos-1 x.

Fungsi y = f(x) = cos-1x mempunyai Df = [-1, 1] dan Rf = [0, π].

Page 45: Kalkulus II

Balikan dari Tangen diperoleh dengan membatasi daerah definisinya pada selang (-π/2, π/2), sehingga

x = tan-1 y ↔ y = tan x dan -π/2 < x < π/2.

y = tan x

y = tan −1 x

Grafik y = tan x dan grafik y = tan-1 x.

Fungsi y = f(x) = tan-1x mempunyai Df = R dan Rf = (- π /2, π/2).

Page 46: Kalkulus II

Balikan dari Secan diperoleh dengan membatasi dae- rah definisinya pada selang [0,π/2)U (π/2,π], sehingga

x = sec-1 y ↔ y = sec x dan 0 ≤ x ≤ π, x ≠ π/2.

y = sec x y = sec −1 x

Grafik y = sec x dan grafik y = sec-1 x.Fungsi y = f(x) = sec-1x mempunyai Df = R – [-

1,1]dan Rf = [0, π] –{π/2}.

Page 47: Kalkulus II

Teorema 13. (Turunan Balikan fungsi Trigonometri)

1. d (sin −1 x ) = 1

, − 1 < x < 1; 3. d (tan −1 x ) 1

dx 1 − x 2 =

dx 1 + x 2

2. d (cos −1 x ) = − 1

, − 1 < x < 1; 4. d (sec −1 x ) = 1

, x > 1 dx 1 − x 2 dx x x 2 − 1

Akibatnya, diperoleh integral berikut, 1

1. ∫ 1 − x 2

1

dx = sin −1 x + C

−1

2. ∫ 1 + x 2 dx = tan x + C

3. ∫ x

1 dx

x 2−1 = sec −1 x + C

Page 48: Kalkulus II

Contoh-contoh soal;1.Dapatkan dy/dx jika,a. y = sin-1 (x3) b. y =sec-1 (ex)Penyelesaian :a.

b.

2. Hitung Misalkan ;u=√3x, du = √3 dx, menghasilkan :

6

2

2.3 1

3)3(

)(1

1

xx

xdx

dy

1

1)(

1)(

122

x

x

xx ee

eedx

dy

231 x

dx

CxCuu

du

x

dx

3tan3

1tan

3

1

13

1

3111

22

Page 49: Kalkulus II

Fungsi Hiperbolik dan Balikannya.

Fungsi Hiperbolik diperoleh dari campuran fungsi ex

dan fungsi e-x. Fungsi sinus hiperbolik, cosinus hiperbolik dan empat fungsi hiperbolik lainnya, didefinisikan sebagai berikut.

sinh x = 1 (e x

2 − e − x )

cosh x = 1 (e x

2 + e − x )

tanh x = sinh x

cosh x

coth x = cosh x

sinh x

sec h x = 1

cosh x csc h x = 1

sinh x

Berlaku hubungan : cosh2 x – sinh2 x = 1

Page 50: Kalkulus II

y = sinh( x )

y = cosh( x )

Teorema 14. (Turunan fungsi hiperbolik)

d (sinh x ) =

dx d

(tanh x ) = dx

cosh x

sec h2 x

d (cosh x ) =

dx d

(coth x ) = dx

sinh x

− csc h2 x

d (sec h x ) =

dx − sec h x. tanh x

d (csc h x ) =

dx − csc h x.coth x

Page 51: Kalkulus II

Balikan Fungsi Hiperbolik.

Dengan cara membatasi daerah definisi fungsi hiper- bolik pada suatu himpunan tertentu agar fungsinya satu-kesatu, maka dapat didefinisikan balikan fungsi hiperbolik sebagai berikut.

x = sinh-1y ↔ y = sinh x

x = cosh-1y ↔ y = cosh x, x ≥ 0

x = tanh-1y ↔ y = tanh x

x = coth-1y ↔ y = coth x, x ≠ 0

x = sech-1y ↔ y = sech x, x ≥ 0

x = csch-1y ↔ y = csch x

Page 52: Kalkulus II

Karena fungsi hiperbolik dapat dinyatakan sebagai fungsi eksponen, maka balikannya dapat dinyatakan sebagai fungsi logaritma natural.

Teorema 14. (Balikan fungsi hiperbolik dalam logaritma)

sinh−1 x = ln ( x + x 2 + 1.

cosh −1 x = ln ( x + x 2 − 1, x > 1.

tanh −1 x = ln 1 + x

1 − x

, − 1 < x < 1.

coth −1 x = ln x + 1

, x ∉ [−1, 1]. x − 1

sec −1 h x = ln (1 + 1 − x 2

, x

2

0 < x

≤ 1.

Page 53: Kalkulus II

Pembuktian rumus sinh-1xx = sinh y = atau ey -2x –e-y = 0

Kalikan persamaan dengan ey, diperoleh:e2y -2xey – 1 = 0ey =

Karena ey >0, maka yang minus diabaikaney = x + √x2 + 1

Dengan mengambil nilai ln nya :ln ey = ln (x + √x2 + 1, y = ln (x + √x2 + 1sinh-1x = ln (x + √x2 + 1

2

yy ee

12

442 22

xxxx

Page 54: Kalkulus II

Rumus-rumus turunan:

a. b.

c. d.

e. f.

2

1

1

1)(sinh

xx

dx

d

1

1)(cosh

2

1

xx

dx

d

21

1

1)(tanh

xx

dx

d

21

1

1)(coth

xx

dx

d

2

1

1

1)(sec

xxxh

dx

d

2

1

1

1)(csc

xxxh

dx

d

Page 55: Kalkulus II

Bentuk Integralnya:

tanh-1u + C, jika |u| <1 coth-1u + C, jika |u| >1

Cuu

du 1

2sinh

1

)1(,cosh1

1

2

uCuu

du

21 u

du

Cuhuu

du

1

2sec

1

Cuchuu

du 1

2cos

1

Page 56: Kalkulus II

PEMAKAIAN INTEGRAL TERTENTU

1. MENGHITUNG LUAS BIDANG DATAR A. LUAS DAERAH ANTARA GRAFIK Y=f(X) DAN

SUMBU X DARI X=a HINGGA X=b

S = | |dxxfb

a

)(S

a b

y

x

)(xfy

Page 57: Kalkulus II

B. LUAS DAERAH DIANTARA DUA GRAFIK, y1=f1(X) dan y2=f2(x)

S = b

a

b

a

dxxfdxxf )()( 21

)(11 xfy

)(22 xfy

)0,(aA )0,(bB

S

y

x

Page 58: Kalkulus II

C. Luas daerah diantara dua C. Luas daerah diantara dua kurva yang berpotongankurva yang berpotongan

S = S = b

a

b

a

dxxfdxxf )()( 21

)0,(aA )0,(bB

)(11 xfy

)(22 xfy

S

y

x

Page 59: Kalkulus II

D. Luas daerah yang dibatasi oleh 3 buah grafik

• S = c

b

b

a

dxxfxfdxxfxf )()()()( 2321

)(11 xfy

)(22 xfy

)(33 xfy S

)0,(aA )0,(bB )0,(cC

y

x

Page 60: Kalkulus II

E. Luas antara grafik x=v(y) dan grafik x=w(y)

d

c

dyyvyws )()(

c

d

)(yvx

)(ywx

y

x

Page 61: Kalkulus II

Beberapa Contoh Soal 1. Hitung luas daerah antara grafik y = x2+1 Terhadap sumbu x dari x=-1 dan x=2 2. Hitung luas daerah antara grafik y1 =x+6 dan y2

=x2 3. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh grafik y =

sinx dengan sumbu x dari x=0 s/d x=2π 4. Hitung luas daerah antara grafik y1=2-x2 dan

grafik 23

2 xy

Page 62: Kalkulus II

2. Menghitung luas benda dari 2 2. Menghitung luas benda dari 2 buah grafik y1=f(x) dan y2=f(x) buah grafik y1=f(x) dan y2=f(x)

dengan sumbu xdengan sumbu x Contoh ;Contoh ; Dapatkan luas daerah yang dibatasi oleh Dapatkan luas daerah yang dibatasi oleh

x=yx=y22 dan y=x-2 terhadap sumbu x. dan y=x-2 terhadap sumbu x.

2

1

2,4

1,1 1A

2A0

Page 63: Kalkulus II

Menghitung luas benda dari grafik x=f(y) dengan sumbu y

Contoh ; Dapatkan luas daerah yang dibatasi oleh x=y2

dan y=x-2 terhadap sumbu y.

12

2

2

0

4

2,4

1,1

Page 64: Kalkulus II

3. MENGHITUNG VOLUME BENDAMENDAPATKAN VOLUME DENGAN

IRISAN; CAKRAM DAN CINCIN

1. IRISAN CINCIN

2. IRISAN CAKRAM

Page 65: Kalkulus II

A. Menghitung VOLUME BIDANG PERPOTONGAN YG TEGAK LURUS SUMBU -X

Perhatikan gambar benda dibawah ini yang dibatasi oleh dua bidang datar tegak lurus sumbu x di titik x=a dan x=b

1s2s

x

b

a

b

ax

b

a

dxxSV

xxSV

xuntukxxSV

xxSV

xSVxS

)(

)(lim

0,)(

)(

0

21y

x

a b

Page 66: Kalkulus II

B. Volume Benda Putardengan metode cakram

Misalkan y=f(x) tak negatif dan kontinyu pada (a,b) dan R adalah luas yg batas atasnya adalah grafik y=f(x), batas bawahnya sb x, sisi2nya dibatasi x=a s/d x =b. Bila diputar thdp sb x, terjadi suatu benda padat berupa lingkaran. S= A(x)=πr2 = πy2=π[f(x)]2

V=

)(xfy

a b

)(xfy

ba

yy

xx

b

a

dxxf 2)]([

Page 67: Kalkulus II

Menentukan volume benda Menentukan volume benda dengan metode cakramdengan metode cakram

► Contoh ; dapatkan volume benda padat yg Contoh ; dapatkan volume benda padat yg didapat dari daerah dibawah kurva y= didapat dari daerah dibawah kurva y= pada selang (1,4) diputar terhadap sb xpada selang (1,4) diputar terhadap sb x

► V = V = ► ► = y= = y=

x

b

a

dxxf 2)]([

28

2][][

4

1

24

1

4

1

2

x

dxxdxxxy

x

y

1 4

Page 68: Kalkulus II

C. Menentukan volume benda dengan metode C. Menentukan volume benda dengan metode cincincincin

Misalkan akan dihitung volume benda antara grafik Misalkan akan dihitung volume benda antara grafik y=f(x) dan g=f(x) terhadap sumbu-x.y=f(x) dan g=f(x) terhadap sumbu-x.

Karena bidang perpotongan pada x mempunyai jari-Karena bidang perpotongan pada x mempunyai jari-jari dalam g(x) dan jari2 luar f(x) maka luasnya jari dalam g(x) dan jari2 luar f(x) maka luasnya adalah ;adalah ;

A(x)= A(x)= ππ[f(x)][f(x)]22 –– ππ[g(x)][g(x)]22==ππ{[f(x)]{[f(x)]22-[g(x)]-[g(x)]22}} Sehingga Volume benda putarnya ;Sehingga Volume benda putarnya ; V = V =

b

a

dxxgxf })]([)]({[ 22

a b baxx

yy

)(xfy )(xfy

)(xgy )(xgy

Page 69: Kalkulus II

Contoh: menentukan volume benda Contoh: menentukan volume benda padat dengan metode cincinpadat dengan metode cincin

Dapatkan volume dari benda padat yang Dapatkan volume dari benda padat yang dibentuk bila daerah antara grafik f(x)=1/2+xdibentuk bila daerah antara grafik f(x)=1/2+x22 dan g(x)=x yang terletak antara selang (0,2) dan g(x)=x yang terletak antara selang (0,2) terhadap sumbu-xterhadap sumbu-x

V= = V= =

V=V=

b

a

dxxgxf })]([)]({[ 22 2

0

222 }]2

1{[ dxxx

20

54

2

0

2

0

242 ]54

[]4

1[}]

4

1{[

xxdxxdxxxx

xx

yy2

2

1xy 2

2

1xy

xy xy

0 0

Page 70: Kalkulus II

Menentukan volumen benda padat dengan Menentukan volumen benda padat dengan irisan cakram dan cincin terhadap sumbu yirisan cakram dan cincin terhadap sumbu y

y y

xx

dd

c c

)(yfu )(yfu

d

c

dyyuV 2)]([

Page 71: Kalkulus II

Volume benda padat dengan Volume benda padat dengan irisan cincin terhadap sumbu yirisan cincin terhadap sumbu y

y y

x x

)(yux )(yux )(yvx )(yvx

dyyvyuxV })]([)]([{ 22

Page 72: Kalkulus II

Contoh soal : Contoh soal : volume benda diputar terhadap volume benda diputar terhadap

sb ysb y Dapatkan volume benda yang diputar Dapatkan volume benda yang diputar

terhadap sb-y dari grafik; y= dan y=2, terhadap sb-y dari grafik; y= dan y=2, x=0x=0

x

20

5222

5])([)]([

ydyyxyvV

b

a

Page 73: Kalkulus II

Panjang suatu kurva pada bidang Menghitung panjang busur dari suatu kurva

bidang dengan integral tertentu Hanya memperhatikan kurva2 yang

merupakan grafik suatu fungsi Panjang Busur jika f’ kontinyu pada suatu selang dimana Y=f(x) adalah kurva mulus

Page 74: Kalkulus II

Masalah panjang busur Andaikan f adalah fungsi mulus pada selang (a,b). Dapatkan panjang busur L dari kurva y=f(x) pada

selang (a,b)

)(xfy y

xba

Page 75: Kalkulus II

Bagilah lintasan fungsi f=y(x) menjadi n bagian seperti gambar dibawah ini, dari selang (a,b) Misalkan P0,P1,………Pnadalah titik-titik pada kurva yang koordinat-x nya adalah a, x1,x2…..xn-1,b dan hubungkan titik tsb dengan segmen garis lurus.Bentuk segmen tersebut adalah lintasan polygonal atau sebagai pendekatan dari kurva y=f(x)

0P1P 2P nP

x

y

a b

nx

1x 2x nx

Page 76: Kalkulus II

Diambil satu segmen bagian dari lintasan polygonal tsb yaitu : selang-k = Lk

dengan teorema nilai tengah, ada titik antara dan

atauxfxx

xfxfk

kk

kk )(')()(

1

1

kkkk xxfxfxf )(')()( 1

1kx kx)(

y

x

)( kxf

)( 1kxf 1kP

kP

kL )()( 1 hhk xfxfy

kx

1kx

1kx

kx

:)( ditulisdapatjadi

k

n

k

n

kkk xxfL

1 1

2)]('[1

kkk xxfL 2)]('[1

k

n

kkx xxfL

k

1

2max )]('[1lim

0

dxxfLb

a 2)]('[1

Berarti panjang dari seluruh lintasan polygonal adalah ;

0 kx

21

222 )]()([)()()(( kkkkkk xfxfxyxL

Page 77: Kalkulus II

Rumus Panjang Busur

Jika f adalah fungsi mulus pada (a,b) maka panjang busur L dari kurva y = (x) dari x=a, x=b didefinisikan ;

Untuk kurva dlm bentuk x=g(y) dengan g’ kontinyu pada (c,d) panjang busur L dari y=c ke y=d adalah:

b

adx

dx

dy 2)(1dxxfLb

a 2)]('[1

d

c

d

cdy

dy

dxdyygL 22 )(1)]('[1

Page 78: Kalkulus II

Contoh SoalContoh Soal1. Dapatkan panjang busur dari kurva 1. Dapatkan panjang busur dari kurva

y=xy=x3/23/2

Dari (1,1) ke (2,2Dari (1,1) ke (2,2√2), terhadap sumbu-x √2), terhadap sumbu-x dan terhadap sumbu-ydan terhadap sumbu-y

2. Dapatkan panjang busur dari kurva 2. Dapatkan panjang busur dari kurva y=2x dari (1,2) ke (2,4) terhadap sumbu-y=2x dari (1,2) ke (2,4) terhadap sumbu-x dan sumbu-yx dan sumbu-y

Page 79: Kalkulus II

Integral tak WajarAturan ‘Hopital

Yang disebut Integral tak wajar:1. Integral yang Integrannya menjadi tak hingga

dalam selang integral a≤x≤b

Menjadi tak terhingga pada x=1 (tak kontinyu)

2. Integral pada selang –selang tak terhingga Sebab b=∞

2

2 21

1dx

x

a

b

ab

dxxfdxxf )()( lim

Page 80: Kalkulus II

Cara menyelesaikan Integral tak wajar

• A1)Fungsi f(x) diskontinyu di x=a

• Dgn Integral tertentu =luas daerah • yg dibatasi oleh garis x=a, x=b, grafik y=f(x)

dan sumbu x

integral tak wajar• Dibuat substitusi x=a+є, menjadi wajar

dxxfb

a

)(

y

x x

y

ax ax bx bx

)(xfy

ax

b

a

dxxfL )(

b

a

dxxfL

)(lim0

Page 81: Kalkulus II

A2)Fungsi f(x) diskontinyu di x=b

Dgn Integral tertentu =luas daerah yg • dibatasi oleh garis x=a, x=b, grafik y=f(x) dan sumbu x

• integral tak wajar

• Dibuat substitusi x=b-є, menjadi wajar

dxxfb

a

)(

y

x

x

y

ax ax bx

)(xfy

b

a

dxxfL )(

b

a

dxxfL

)(lim0

bx

Page 82: Kalkulus II

A3)Fungsi f(x) diskontinyu di x=c, (a<c<b)

Dgn Integral tertentu =luas daerah yg • dibatasi oleh garis x=a, x=b, grafik y=f(x) dan sumbu x

• integral tak wajar

• Dibuat substitusi x=c+ , dan x=c- menjadi wajar

dxxfb

a

)(

y

x x

y

ax ax bx

)(xfy

b

a

dxxfL )(

bx

1cx2cx

cx

2 1

b

c

c

a

dxxfdxxfL2

1

)(lim)(0

0lim

Page 83: Kalkulus II

B1)Fungsi f(x) diskontinyu di x=a=∞

• Dgn Integral tertentu =luas daerah • yg dibatasi oleh garis x=a, x=b, grafik y=f(x) dan

sumbu x

integral tak wajar• Dibuat substitusi a=∞, menjadi wajar

dxxfb

a

)(

y

x x

y

ax bx bx

)(xfy

x

b

dxxfL )(

b

aa

dxxfL )(lim

Page 84: Kalkulus II

B2)Fungsi f(x) diskontinyu di x=b=∞

• Dgn Integral tertentu =luas daerah • yg dibatasi oleh garis x=a, x=b, grafik y=f(x) dan

sumbu x

integral tak wajar• Dibuat substitusi b=∞, menjadi wajar

dxxfb

a

)(

y

x x

y

ax bx

)(xfy

xax

a

dxxfL )(

b

ab

dxxfL )(lim

Page 85: Kalkulus II

B3)Fungsi f(x) diskontinyu di x=a=∞ dan x=b=∞

Dgn Integral tertentu =luas daerah yg • dibatasi oleh garis x=a, x=b, grafik y=f(x) dan sumbu x

• integral tak wajar

• Dibuat substitusi x=a=∞, dan x=b=∞ menjadi wajar

dxxfb

a

)(

y

x x

y

ax bx

)(xfy

cx

dxxfL )(

bxax

b

cb

c

aa

dxxfdxxfL )(lim)(lim

Page 86: Kalkulus II

Bentuk tak Tentu Tipe Bentuk tak Tentu Tipe 0/00/0

Aturan LAturan L’’HopitalHopital Untuk setiap limit ;Untuk setiap limit ;

dandan

Penyebut dan pembilangnya keduanya Penyebut dan pembilangnya keduanya mendekati nol, limit seperti ini sebagai mendekati nol, limit seperti ini sebagai bentuk tak tentu tipe 0/0.bentuk tak tentu tipe 0/0.

Limit ini dapat mempunyai harga bilangan Limit ini dapat mempunyai harga bilangan riil atau divergen.riil atau divergen.

Istilah tak tentu adalah bahwa limit tidak Istilah tak tentu adalah bahwa limit tidak dapat ditentukan tanpa beberapa kerja dapat ditentukan tanpa beberapa kerja tambahantambahan

x

x

x

sinlim

02

42

2lim

x

x

x

Page 87: Kalkulus II

Teorema Aturan LTeorema Aturan L’’Hopital bentuk 0/0Hopital bentuk 0/0

Misalkan limit menyatakan salah satu limitMisalkan limit menyatakan salah satu limit

Dan anggap bahwa lim f(x)=0 dan lim g(x)=0 Dan anggap bahwa lim f(x)=0 dan lim g(x)=0

Jika lim mempunyai niai berhingga Jika lim mempunyai niai berhingga L, L,

atau jika limit ini +atau jika limit ini +∞ atau -∞ maka lim∞ atau -∞ maka lim

==

limlimlimlimlim ,,,, xxaxaxax

)('

)('lim

xg

xf

)('

)('lim

xg

xf)(

)(lim

xg

xf

Page 88: Kalkulus II

Langkah-langkah Aturan L’Hopital

• Langkah 1;periksa bahwa berbentuk tak

• tentu, jika tidak, tidak dpt digunakan• Langkah 2;diferensialkan f dan g secara

terpisah• Langkah 3;tentukan .Jika limit ini berhingga, +∞, atau -∞, maka itu =

Contoh : dan

)(

)(lim

xg

xf

)('

)('lim

xg

xf

)(

)(lim

xg

xf

2

42

2lim

x

x

xx

x

x

2sinlim

0

Page 89: Kalkulus II

SOAL UJIAN QUIS

• 1. Hitung luas bidang datar dr fungsi ;• F(x)=x2 + 2 dengan g(x)=x+4• 2.Hitung volume benda yg diputar terhadap sb x

dari: y=x+1, x=3, y=0• 3.Hitung panjang busur dari y=x3/2 thdp sbx, dr titik

(1,2) dan (2,4)• 4.Apakah Integral2 dibawah ini termasuk integral

tak wajar?selesaikan!

• A. dx • B.

1

0 22

1

x

0

2 ln xdxx