kalkulus ii
DESCRIPTION
kalkulusTRANSCRIPT
KALKULUS II
Prof.Dr.Ir.SRI REDJEKI MT
MATERI YANG AKAN DIBERIKAN
1. FUNGSI TRANSENDEN A. LOGARITMIK DAN EKSPONENSIAL B. FUNGSI LOGARITMIK DAN FUNGSI EKSPONENSIAL C. FUNGSI INVERS D. FUNGSI INVERS TRIGONOMETRI E. TURUNAN DAN INTEGRAL FUNGSI INVERS/TRIGONOMETRIK
2. TEKNIK INTEGRASI A. INTEGRASI PARSIAL DAN INTEGRASI FUNGSI TRIGONOMETRI B. INTEGRASI FUNGSI RASIONAL PECAHAN PARSIAL C. TEKNIK-TEKNIK INTEGRASI YANG LAIN
2. APLIKASI-APLIKASI INTEGRAL TERTENTU A. MENGHITUNG LUAS BIDANG DATAR B. MENGHITUNG ISI BENDA C. PANJANG SUATU KURVA PADA BIDANG
LogaritmikLogaritmik LogaritmaLogaritma adalah operasi adalah operasi matematika
yang merupakan kebalikan dari eksponen yang merupakan kebalikan dari eksponen atau atau pemangkatan..
Rumus dasar logaritma:Rumus dasar logaritma: bbcc= a ditulis sebagai = a ditulis sebagai bblog a = c (b disebut log a = c (b disebut
basis)basis) Beberapa orang menuliskan Beberapa orang menuliskan bblog a = c log a = c
sebagai logsebagai logbba = ca = c Dalam aljabar, logaritma didefinisikan Dalam aljabar, logaritma didefinisikan
sebagai pangkat. Lebih tepatnya jika b > 0 sebagai pangkat. Lebih tepatnya jika b > 0 dan b ≠ 1, maka untuk x positif dan b ≠ 1, maka untuk x positif didefinisikan didefinisikan ““loglogbbxx ””
(baca, logaritma berbasis b dari x) sebagai (baca, logaritma berbasis b dari x) sebagai pangkat untuk b yang menghasilkan x. pangkat untuk b yang menghasilkan x.
Kegunaan logaritmaKegunaan logaritma
Logaritma sering digunakan untuk Logaritma sering digunakan untuk memecahkan persamaan yang memecahkan persamaan yang pangkatnya tidak diketahui. pangkatnya tidak diketahui. Turunannya mudah dicari dan karena Turunannya mudah dicari dan karena itu logaritma sering digunakan itu logaritma sering digunakan sebagai solusi dari sebagai solusi dari integral. Dalam . Dalam persamaan persamaan bbnn = = xx, , bb dapat dicari dapat dicari dengan dengan pengakaran, , nn dengan dengan logaritma, dan logaritma, dan xx dengan dengan fungsi eksponensial..
Contoh:Contoh:
LogLog1010 100 = 2 100 = 2Sebab 10 harus berpangkat 2 untuk Sebab 10 harus berpangkat 2 untuk
menghasilkan 100. menghasilkan 100. Dengan cara Dengan cara sama,sama,
LogLog22 8 = 3, 8 = 3, karena 2karena 233 = 8 = 8
LogLog1010 1/1000 = -3,karena 10 1/1000 = -3,karena 10-3-3 = = 1/10001/1000
LogLog1010 1 = 0, 1 = 0, karena 10karena 1000 = 1 = 1
LogLog33 81 = 4, 81 = 4, karena 3karena 344 = 81 = 81
Umumnya jika y = logb x, maka y merupakan pangkat untuk b yang harus menghasilkan x, jadi x = by. Kebalikannya, jika x = by, maka y = logb x, sehingga pernyataan :Y = logb x dan x = by adalah ekivalen. Dengan mensubsitusikan setiap persamaan diperoleh :
logb by = y dan blogb x = x (1.1) Logaritma yang pertama kali dipelajari adalah
logaritma dengan basis 10, yang disebut logaritma umum (common logarithmsi). Untuk logaritma seperti itu biasanya basis tidak secara eksplisit dirujuk dan ditulis “log” tidak “log10”. Jadi, (1.1) menjadi:
Log 10x = x dan 10log x = x
logba= x dan logb c = y (1.2)
TEOREMA
a). Logb 1 = 0 b) logb b = 1
c). Logb ac = Logb a + Logb c d) logb a/c = logb a – logb c
e). Logb ar = r Logb a f) logb 1/c = -logb c
Akan dibuktikan (a) dan (c),
Bukti (a). karena b0 = 1, maka logb 1 = 0
Bukti (c). Misalkan
x = logb a dan y = logb c
Jadi, bx = a dan by = cOleh karena itu,ac = bxby = bx+y atau ekivalen dengan
logb ac = x+y
selanjutnya, dari (1.2)logb ac = Logb a + Logb c
Bilangan e logaritma naturalLogaritma yang paling penting dalam
aplikasi adalah yang disebut logaritma natural; ini mempunyai basis irrasional tertentu yang ditunjukkan dengan e.
e ~ 2,718282
dan
Diturunkan menjadi :
Tabel 1.1.2
x
1 2 2,000000
10 1,1 2,593742
100 1,01 2,704814
1.000 1,001 2,716924
10.000 1,0001 2,718146
100.000 1,00001 2,718268
1.000.000 1,000001 2,718280
Standar untuk mengartikan logaritma natural dari x adalah ln x
dan tidak log e x. jadi ln x itu merupakan pangkat untuk e yang harus menghasilkan x, contoh :
ln 1 = 0 (karena e0 = 1) Secara umum: a. y = ln x dan x = ey ekivalen ln e = 1 (karena e1 = e) b. ln ex = x dan e ln x = x ln 1/e = -1 (karena e-1 = 1/e) ln (e2) = 2 (karena e2 = e2)
Teorema : 1.1.2
Bukti ;Misalkan y = logb x. Jadi
by = xLoga by = Loga x
y Loga b = Loga x
Contoh soal:1. Nyatakan :Kedalam penjumlahan, pengurangan dan
perkalian:
=
=
Contoh Soal 2:Tulis dalam bentuk logaritma tunggal:a. 2 log 5 + log 8 – log 2 = Log 52 + log 8 – log 2 = Log 25 + log 8 – log 2 = Log 25.8 – log 2 = Log 200/2 = log 100 = 2b.1/3 ln x – ln(x2 +1)+5 ln(x-2)= ln x1/3 – ln(x2+1) + ln(x-2)5 = Ln
1
)2(2
53
x
xx
Contoh 3;a. log x = -3, x = 10-3 = 0,001b. ln(2x-3) = 7, 2x-3 = e7, x = ½(e7+3)c. 2x = 3, log 2x = log 3 x log 2 = log 3 x = log3/log2 = 1,585d. e2x = 81, ln e2x = ln 81 2x = ln 92
2x = 2 ln 9 x = ln 9 = 2,197225
TIPE LAIN DARI PERSAMAAN LOGARITMIK DAN EKSPONENSIAL.Metode – metode yang digunakan dalam contoh – contoh sebelumnya dapat
dimodifikasi untuk menyelesaikan tipe – tipe lain logaritmik dan eksponensial. Contoh 1.1.5 Selesaikan untuk x.
Penyelesaian. Kalikan kedua sisi dengan 2 pada persamaan yang diberikan, diperoleh
Kalikan kedua sisi dengan ex diperoleh :
atau
Ini jelas persamaan kuadrat yang samar; ini dapat diliat dengan menulis ulang persamaan
menjadi :
Dan misalkan u = ex, maka
u2 – 2u – 3 = 0
penyelesaian untuk u adalah
(u – 3) (u + 1) = 0, yang menghasilkan u = 3 dan u = -1
Jadi,
ex = 3 atau ex = -1
tetapi ex tidak dapat negative,sehingga nilai ex = -1 diabaikan; jadi
ex = 3
ln ex = ln 3
x = ln (3) ~ 1,098612
Fungsi logaritmik dan fungsi eksponensialPERAN LOGARITMA NATURAL DALAM
KALKULUSPada sub bab ini akan diperlihatkan logaritma
dan pangkat dari sudut pandang fungsi. Untuk b > 0, bx disebut fungsi eksponensial berbasis b dan logb x disebut fungsi logaritma berbasis b. dalam kasus dimana b = e, ex
disebut fungsi eksponensial natural dan ln x = logb x disebut logaritma natural.
Fungsi logaritma natural mempunyai peran khusus dalam kalkulus yang dapat memotivasi pendiferensialan f (x) = logb x, dimana b sembarang basis. Dengan mengasumsikan bahwa fungsi logb x dapat didiferensialkan, oleh karena itu kontinu untuk x > 0.
0,1
)(ln xx
xdx
d
TURUNAN DAN INTEGRAL YANG BERKAITAN DENGAN Ln X
Jika u(x)>0, dan fungsi u dapat dideferensilkan di x, maka diperoleh :
dan
Diferensiasi LogaritmikContoh : Turunan dari ; Turunan Pangkat Irrasional x: y=xr
buu
dx
db ln
1)(log
dx
du
uu
dx
d 1)(ln
42
32
)1(
147
x
xxy
irr
r
rxxx
ryx
r
dx
dy
x
r
dx
dy
y
xrdx
dy
dx
d
xrxy
1
)ln()(ln
lnlnln
Turunan dan Integral yang berkaitan dengan bx
Untuk memperoleh turunan dari bx, andaikan y = bx, gunakan diferensiasi logaritmik :
Ln y = ln bx = x ln b1/y dy/dx = ln b, dy/dx = y ln b = bx ln bJadi : dlm kasus khusus b=eLn e= 1, shg ;
Jika u fungsi x yg terdiferensial, maka diperoleh :
dan
bbbdx
d xx ln)( xx ee
dx
d )(
dx
dubbb
dx
d uu ln)( dx
duee
dx
d uu )(
Integral Fungsi EksponensialRumus Integral yg terkait dgn turunan-turunan
dan
Contoh :1.
2.Tentukan nilai :
3. Tentukan nilai :
Cb
bdub
uu
ln edueu
Cdxx
x
5ln
55
dxe x2
3ln
0
2/1)1( dxee xx
Untuk menyajikan persoalan-persoalan yang lebih rumit, kita memerlukan perluasan fungsi-fungsi yang dapat dipakai.
Fungsi Logaritma NaturalFungsi Logaritma Natural (disingkat ln), ditulis f(x)=ln
x, didefinisikan sebagai,
Daerah definisi (Df) dan Daerah nilai (Rf) fungsi iniadalah Df = (0,+∞) dan Rf = R.Fungsi ini ada hubungannya dengan fungsi logaritmayang telah dipelajari pada sekolah lanjutan.
x
xdtt
x1
0.,1
ln
Grafik dari fungsi f(x)=ln x adalah,
Teorema 1 (Turunan Fungsi Logaritma Natural)
1. d
dx (ln x ) = 1
, x
x > 0 ;
2. d (lnu) = 1 . du = u ′
, u ( x ) > 0, u ′ ada .
u u udx
Teorema 2 (Sifat Logaritma Natural). Jika a, b > 0 dan r є Q dan r ≠ -1, maka
1. ln 1 = 0; 2. ln a.b = ln a + ln b; 3. ln a/b = ln a – ln b; 4. ln ar = r.ln a.
Contoh 1.
d (ln
1 − x ) = ln(1 − x ) − ln(1 + x ) = − 1 − 1 = 2
dx 1 + x 1 − x 1 + x x 2 − 1
10
−
∫ − ∫ 2
= − du
⎢ x 3 ⎥
Setiap bentuk turunan itu ada rumus integralnya. Akibatnya dari teorema 1, diperoleh
1 du
u = ln u
3
+ C ,
x
u ≠ 0.
Contoh 2. Hitung dx . −1 x
Jawab. Misalkan u=10-x2, du=-2x dx, maka
x dx
= − 1
1 1 ln u
+ C = − 1 ln 10 − x 2 + C ∫ 10 − x 2 2 ∫ u 2 2
Menurut Teorema dasar kalkukus diperoleh,
3 x ∫ 2 dx = ⎡ 1 ln 10 − 2 ⎤ = 1
ln 9. −1 10 − x ⎣ 2 ⎦ −1 2
Fungsi Balikan (Invers).Misalkan fungsi y=f(x), dengan x є Df dan y є Rf. Bila f
dapat dibalik, maka diperoleh fungsi x= f -1(y). Fungsi f -1 disebut balikan (invers) dari fungsi f.
Sebagai contoh, jika y=f(x)=x3-1, maka x=f-1(y)=
Tidak semua fungsi mempunyai balikan. Sebagai contoh, jika y=f(x)=x2 tidak mempunyai balikan, kecuali kalau daerah definisinya dibatasi.
Teorema 3. Eksistensi Fungsi Balikan.Jika fungsi f monoton murni pada daerah
definisinya, maka f mempunyai balikan.
3 1y
Langkah-langkah mencari inver fungsi y=f(x),1. Nyatakan x dengan y dari persamaan y=f(x);2. Nyatakan bentuk dalam y sebagai f-1(y)→x= f -1(y);3. Ganti y dengan x dan x dengan y dari x= f -1(y),
diperoleh y= f -1(x).
Contoh 3. Tentukan rumus untuk f -1(x) bila y=f(x)=x/(1-x).
Jawab.Langkah1: y = x/(1-x)↔(1-x).y=x
↔x(1+y)=y↔x=y/(1+y); Langkah2: f -1(y) = y/(1+y);Langkah3: f -1(x) = x/(1+x);
Bila f mempunyai balikan f -1 maka f -1 juga memiliki balikan f sehingga diperoleh,
f -1(f(x)) = x dan f(f -1(y)) = y.
Jika f mempunyai balikan, maka
x = f-1(y) ↔ y = f(x). Catatan. Lambang f-1 bukan berari 1/f.
Grafik fungsi y=f-1(x) adalah pencerminan grafik y=f(x) terhadap garis y=x. Sebagai
y = 3 x + 1
y = x
contoh, grafik fungsi y=f-1(x)= 3
adalah pencerminan grafik x + 1
y = x 3 − 1
Jika fungsi f dan g memenuhi dua kondisi:f(g(x)) = x, untuk setiap x dalam domain gg(f(x)) = x, untuk setiap x dalam domain fmaka dapat dikatakan bahwa, f invers dari g dan g invers dari f, atau dengan kata lain, f dan g adalah merupakan fungsi-fungsi invers.
Contoh ; fungsi f(x) = 2x dan g(x) = 1/2 x adalah fungsi invers sebab : f(g(x)) = f(1/2x) = 2(1/2x) = xg(f(x)) = g(2x) = ½.2x = xjadi : untuk f(x) = 1/2x, f-1(x) = 2x dan, g(x) = 2x, g-1(x) = 1/2xdapat dikatakan bahwa suatu fungsi hanya mempunyai satu invers (tunggal)
Turunan Fungsi Invers.(Halaman pembetulan)
Karena grafik f dan f-1 merupakan pencerminan satu dengan lainnya pada garis y=x, secara intuitif jelas bahwa jika grafik f-1 tidak mempunyai sudut, maka grafik f juga demikian. Hubungan antara turunan-turunan dari f dan f-1 dapat diperoleh sebagai berikut:
Misalkan (x0,y0) titik pada grafik f-1 dan andaikan f dapat diturunkan pada y0 dan f’(y0) tidak nol.
Hubungan ini bila dinyatakan dalam turunan-turunan, akan diperoleh;
(f -1)’(x0) = 1/f’(y0) dan (f -1)’(x0) = 1/f’(f -1(x0)), untuk lebih mudah, y = f -1(x) sedemikian hingga x = f(y)Jadi : dy/dx = (f-1)’(x) dan dx/dy = f’(y)= f’(f -1(x))Atau :
dydxdx
dy
/
1
Contoh soal:Fungsi f(x) = x5 + 7x3 + 4x + 1 mempunyai invers:a. dapatkan turunan dari f -1 dengan menggunakan
rumus turunan fungsi inversb. dapatkan turunan dari f -1 dengan differensial
implisitPenyelesaian :a. jika dimisalkan y = f -1(x), maka: x = f(y)=y5 + 7y3 + 4y +1 , diperoleh:
4215 24 yy
dy
dx
4215
1
/
124
yydydxdx
dy
b. pendiferensialan secara implisit terhadap x, menghasilkan :
Yang sama dengan jawaban (b)
4215
1
)4215(1
42151
147()(
24
24
24
35
yydx
dydx
dyyy
dx
dy
dx
dyy
dx
dyy
yyydx
dx
dx
d
Fungsi Eksponen Natural.Bilangan e adalah suatu bilangan real yang
merupakan jawaban tunggal dari persamaan ln x = 1. Nilai hampirannya adalah e = 2,71828……….
Fungsi eksponen natural adalah suatu fungsi yang didefinisikan oleh persamaan f(x) = ex.
Teorema 5. (Hubungan Fungsi ln dengan exp). Fungsi f : R → (0,+∞), f(x) = ex adalah invers dari
fungsi g : (0,+∞) → R, g(x) = ln x.Bentuk lain dapat ditulisy = ex↔ x = ln y.
Karena antara exp dan ln adalah fungsi-fungsi yang saling invers, maka grafik y = ex adalah grafik y = ln x yang dicerminkan terhadap garis y = x. (Seperti gambar di samping).
Teorema 6 (Sifat Exponen Natural). Jika a, b є R, maka
1. e0 = 1; 2. ea.eb = ea+b; 3. ea/eb = ea-b; 4. (ea)b = ea.b.
2
2.
Teorema 7 (Turunan Fungsi Eksponen Natural)
1. d
dx (e x ) = e x ;
2. d
dx (eu ) = eu du
dx
= eu u';
u' ada.
Contoh 5.
1. d
dx (e x 2 ln x ) = e x 2 ln x
d (x 2 ln x ) = e x 2 ln x ⎜ x 2 dx ⎝ 1 ⎞ + 2 x ln x ⎟ = x ⎠ xe x ln x (1 + ln x 2 )
d (e x cos x ) = e x (− sin x ) + (cos x )e x
dx = e x (cos x − sin x )
Akibatnya, rumus integral fungsi eksponen natural,
Cedue uu
e 3
e
x
Contoh 6. ∫ x 2e
− x 3
dx = − 1 ∫ e − x 3
(−3x
2dx ) = 1 − x 3
3 + C.
(Misalkan u = -x3, sehingga du = -3x2)
Latihan.
A. Tentukan turunan fungsi berikut.
1. y = x2 esin x; 2. y = ln (1 - ex)/(1 + ex).
B. Hitung nilai integral berikut. 3
2 x
1. ∫ 2 dx
1
; 2. dx ∫ e x −1
Fungsi Eksponen UmumFungsi eksponen dengan bilangan dasar a>0 dan
peubah bebas real x didefinisikan sebagai,f(x) = ax = ex ln a.
Akibatnya, ln ax = x ln a.
Teorema 8. (Sifat-sifat eksponen umum).1. a0 = 1, a>0; 5. a-x = 1/ax, a>0,
x,yЄR;2. a1 = a, a>0; 6. (ax)y = axy, a>0,
x,yЄR;3. ax.ay = ax+y, a>0, x,yЄR; 7. (ab)x= ax.bx,a,b>0,
yЄR;4. ax/ay = ax-y, a>0, x,yЄR; 8. (a/b)x= ax/bx,a,b>0,
yЄR
Teorema 9.(Turunan fungsi eksponen Umum).
d 1. dx
(a x ) = a x ln a, a > 0;
d 2. dx
(au ) = (au
ln a)u';
u' ada.
Akibatnya diperoleh,
au ∫ audu = ln a
+ C, a > 0, a
≠ 1.
axxfungsifdenganBedakanCata )(:tan
Fungsi Logaritma Umum
Jika a>0 dan a ≠ 1, maka fungsi logaritma dengan bilangan dasar a, ditulis
y = f(x) = a log x.
Didefinisikan sebagai invers dari fungsi eksponen dengan bilangan dasar a, ax.
Hubungan kedua fungsi ini ditentukan oleh relasi
y = a log x ↔ x = ax.
Teorema 10.(Hubungan logaritma dengan log. Natural)
1. a log x = ln x / ln a, a>0, a ≠ 1;
2. a log e = 1/ln a; ln a = 1/a log e, a>0, a ≠ 1.
a
Teorema 11.(Sifat-sifat Logaritma).
Jika a>0 dan a ≠ 1 dan x,y>0, maka
1. alog x.y = alog x + alog y; 4. alog 1 = 0;
2. alog (x/y) = alog x - alog y; 5. alog a = 1.
3. alog xy = y alog x;
Teorema 12.(Turunan fungsi Logaritma Umum).
1. d
dx (a log x ) = a log e
, x
a > 0, a ≠ 1, x > 0;
2. d
dx (a logu) = ( log e).u'
, u
a > 0, a ≠ 1,u > 0, u'
ada;
3 3
3
Contoh 7.
1. d
dx (2 x ln x ) = (2 x ln x
ln 2).⎜ x . 1
⎝ x
3
⎞ + ln x ⎟ = ⎠ (1 + ln x ).(ln 2).2 x ln x
3
2. d
dx
(3 log(cos x ) = log e .
d cos x dx
(cos x ) = log e . (− sin x ) =
cos x − 3 log e . tan x
3. ∫ 4 x
x 2dx = 1 ∫ 4 x (3 x 2dx ) = 1 ∫ 4 u du = 4u 4 x
1 + C = + C 3 3 3 ln 4 3.ln 4
Latihan. A. Hitung turunan berikut.
1. 2xy = xy2; 2. 2log xy = xy2.
B. Hitung Integral berikut.
e
1. ∫ 3ln x
dx ; e 2
2. ∫ 3 log
x dx
Masalah Laju Perubahan Sederhana
Misalkan suatu populasi yang besarnya setiap saat berubah bergantung pada waktu t. Bila laju perubahan populasinya setiap saat sebanding dengan besarnya populasi saat itu, maka masalah yang muncul dinamakan Masalah Laju Perubahan Sederhana. Untuk menyelesaikan masalah ini, misalkan P(t)
= besarnya populasi pada saat t, maka dP/dt = laju perubahan populasi pada saat t.
Karena diketahui dP/dt sebanding P, terdapat konstanta k ≠ 0, sehingga
P’ = dP/dt = kP, k ≠ 0. (*) Jika k > 0, maka populasi bertambah, k < 0 berkurang.
Selanjutnya akan diselesaikan persamaan (*). dP/P = k dt, k ≠ 0 dan P > 0 ∫ dP/P = ∫ k dt ln P = kt + C1, C1 konstanta sebarang. P = e kt + C1 = C e kt , C > 0.
Ini berarti, populasinya berubah secara eksponen terhadap t.
Contoh 8. Laju pertumbuhan penduduk suatu kota pada setiap saat berbanding lurus dengan jumlah penduduknya pada saat itu. Bila jumlah penduduk kota itu bertambah dari 1,2 juta jmenjadi 1,8 juta jiwa dalam kurun waktu 20 tahun, tentukan lamanya waktu yang diperlukan sehingga penduduk kota itu bertambah dari 1,2 juta menjadi 2,7 juta jiwa.
Fungsi Trigonometri Balikan.
Balikan dari Sinus diperoleh dengan membatasi daerah definisinya pada selang [-π/2, π/2], sehingga
x = sin-1 y ↔ y = sin x dan -π/2 ≤ x ≤ π/2.
y = sin x y = sin −1 x
Grafik y = sin x dan grafik y = sin-1 x.Fungsi y = f(x) = sin-1x mempunyai Df = [-1, 1]danRf = [-π/2, π/2].
Teorema : y = sin-1x ekivalen dgn sin y=x
Jika : -1≤ x ≤ 1 dan -π/2 ≤ y ≤ π/2 Contoh Dapatkan :a. sin-1(1/2) b. sin-1(-1/√2) c. sin-1(-1) Penyelesaian:a. misalkan y = sin-1(1/2), persamaan ini
ekivalen dengan, sin y = ½, -π/2 ≤ y ≤ π/2 Jadi dicari sudut yg mempunyai sinus ½, yaitu
sudut y = π/6.Jadi : sin-1(1/2) = π/6.b.y = sin-1(-1/√2) ekivalen dgn sin y = (-1/ √2),
diperoleh sudutnya = - π/4c. y = sin-1 (-1) ekivalen dengan sin y = -1,Diperoleh sudutnya = - π/2
Balikan dari Cosinus diperoleh dengan membatasi daerah definisinya pada selang [0, π], sehingga
x = cos-1 y ↔ y = cos x dan 0 ≤ x ≤ π.
y = cos x
y = cos −1 x
Grafik y = cos x dan grafik y = cos-1 x.
Fungsi y = f(x) = cos-1x mempunyai Df = [-1, 1] dan Rf = [0, π].
Balikan dari Tangen diperoleh dengan membatasi daerah definisinya pada selang (-π/2, π/2), sehingga
x = tan-1 y ↔ y = tan x dan -π/2 < x < π/2.
y = tan x
y = tan −1 x
Grafik y = tan x dan grafik y = tan-1 x.
Fungsi y = f(x) = tan-1x mempunyai Df = R dan Rf = (- π /2, π/2).
Balikan dari Secan diperoleh dengan membatasi dae- rah definisinya pada selang [0,π/2)U (π/2,π], sehingga
x = sec-1 y ↔ y = sec x dan 0 ≤ x ≤ π, x ≠ π/2.
y = sec x y = sec −1 x
Grafik y = sec x dan grafik y = sec-1 x.Fungsi y = f(x) = sec-1x mempunyai Df = R – [-
1,1]dan Rf = [0, π] –{π/2}.
Teorema 13. (Turunan Balikan fungsi Trigonometri)
1. d (sin −1 x ) = 1
, − 1 < x < 1; 3. d (tan −1 x ) 1
dx 1 − x 2 =
dx 1 + x 2
2. d (cos −1 x ) = − 1
, − 1 < x < 1; 4. d (sec −1 x ) = 1
, x > 1 dx 1 − x 2 dx x x 2 − 1
Akibatnya, diperoleh integral berikut, 1
1. ∫ 1 − x 2
1
dx = sin −1 x + C
−1
2. ∫ 1 + x 2 dx = tan x + C
3. ∫ x
1 dx
x 2−1 = sec −1 x + C
Contoh-contoh soal;1.Dapatkan dy/dx jika,a. y = sin-1 (x3) b. y =sec-1 (ex)Penyelesaian :a.
b.
2. Hitung Misalkan ;u=√3x, du = √3 dx, menghasilkan :
6
2
2.3 1
3)3(
)(1
1
xx
xdx
dy
1
1)(
1)(
122
x
x
xx ee
eedx
dy
231 x
dx
CxCuu
du
x
dx
3tan3
1tan
3
1
13
1
3111
22
Fungsi Hiperbolik dan Balikannya.
Fungsi Hiperbolik diperoleh dari campuran fungsi ex
dan fungsi e-x. Fungsi sinus hiperbolik, cosinus hiperbolik dan empat fungsi hiperbolik lainnya, didefinisikan sebagai berikut.
sinh x = 1 (e x
2 − e − x )
cosh x = 1 (e x
2 + e − x )
tanh x = sinh x
cosh x
coth x = cosh x
sinh x
sec h x = 1
cosh x csc h x = 1
sinh x
Berlaku hubungan : cosh2 x – sinh2 x = 1
y = sinh( x )
y = cosh( x )
Teorema 14. (Turunan fungsi hiperbolik)
d (sinh x ) =
dx d
(tanh x ) = dx
cosh x
sec h2 x
d (cosh x ) =
dx d
(coth x ) = dx
sinh x
− csc h2 x
d (sec h x ) =
dx − sec h x. tanh x
d (csc h x ) =
dx − csc h x.coth x
Balikan Fungsi Hiperbolik.
Dengan cara membatasi daerah definisi fungsi hiper- bolik pada suatu himpunan tertentu agar fungsinya satu-kesatu, maka dapat didefinisikan balikan fungsi hiperbolik sebagai berikut.
x = sinh-1y ↔ y = sinh x
x = cosh-1y ↔ y = cosh x, x ≥ 0
x = tanh-1y ↔ y = tanh x
x = coth-1y ↔ y = coth x, x ≠ 0
x = sech-1y ↔ y = sech x, x ≥ 0
x = csch-1y ↔ y = csch x
Karena fungsi hiperbolik dapat dinyatakan sebagai fungsi eksponen, maka balikannya dapat dinyatakan sebagai fungsi logaritma natural.
Teorema 14. (Balikan fungsi hiperbolik dalam logaritma)
sinh−1 x = ln ( x + x 2 + 1.
cosh −1 x = ln ( x + x 2 − 1, x > 1.
tanh −1 x = ln 1 + x
1 − x
, − 1 < x < 1.
coth −1 x = ln x + 1
, x ∉ [−1, 1]. x − 1
sec −1 h x = ln (1 + 1 − x 2
, x
2
0 < x
≤ 1.
Pembuktian rumus sinh-1xx = sinh y = atau ey -2x –e-y = 0
Kalikan persamaan dengan ey, diperoleh:e2y -2xey – 1 = 0ey =
Karena ey >0, maka yang minus diabaikaney = x + √x2 + 1
Dengan mengambil nilai ln nya :ln ey = ln (x + √x2 + 1, y = ln (x + √x2 + 1sinh-1x = ln (x + √x2 + 1
2
yy ee
12
442 22
xxxx
Rumus-rumus turunan:
a. b.
c. d.
e. f.
2
1
1
1)(sinh
xx
dx
d
1
1)(cosh
2
1
xx
dx
d
21
1
1)(tanh
xx
dx
d
21
1
1)(coth
xx
dx
d
2
1
1
1)(sec
xxxh
dx
d
2
1
1
1)(csc
xxxh
dx
d
Bentuk Integralnya:
tanh-1u + C, jika |u| <1 coth-1u + C, jika |u| >1
Cuu
du 1
2sinh
1
)1(,cosh1
1
2
uCuu
du
21 u
du
Cuhuu
du
1
2sec
1
Cuchuu
du 1
2cos
1
PEMAKAIAN INTEGRAL TERTENTU
1. MENGHITUNG LUAS BIDANG DATAR A. LUAS DAERAH ANTARA GRAFIK Y=f(X) DAN
SUMBU X DARI X=a HINGGA X=b
S = | |dxxfb
a
)(S
a b
y
x
)(xfy
B. LUAS DAERAH DIANTARA DUA GRAFIK, y1=f1(X) dan y2=f2(x)
S = b
a
b
a
dxxfdxxf )()( 21
)(11 xfy
)(22 xfy
)0,(aA )0,(bB
S
y
x
C. Luas daerah diantara dua C. Luas daerah diantara dua kurva yang berpotongankurva yang berpotongan
S = S = b
a
b
a
dxxfdxxf )()( 21
)0,(aA )0,(bB
)(11 xfy
)(22 xfy
S
y
x
D. Luas daerah yang dibatasi oleh 3 buah grafik
• S = c
b
b
a
dxxfxfdxxfxf )()()()( 2321
)(11 xfy
)(22 xfy
)(33 xfy S
)0,(aA )0,(bB )0,(cC
y
x
E. Luas antara grafik x=v(y) dan grafik x=w(y)
d
c
dyyvyws )()(
c
d
)(yvx
)(ywx
y
x
Beberapa Contoh Soal 1. Hitung luas daerah antara grafik y = x2+1 Terhadap sumbu x dari x=-1 dan x=2 2. Hitung luas daerah antara grafik y1 =x+6 dan y2
=x2 3. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh grafik y =
sinx dengan sumbu x dari x=0 s/d x=2π 4. Hitung luas daerah antara grafik y1=2-x2 dan
grafik 23
2 xy
2. Menghitung luas benda dari 2 2. Menghitung luas benda dari 2 buah grafik y1=f(x) dan y2=f(x) buah grafik y1=f(x) dan y2=f(x)
dengan sumbu xdengan sumbu x Contoh ;Contoh ; Dapatkan luas daerah yang dibatasi oleh Dapatkan luas daerah yang dibatasi oleh
x=yx=y22 dan y=x-2 terhadap sumbu x. dan y=x-2 terhadap sumbu x.
2
1
2,4
1,1 1A
2A0
Menghitung luas benda dari grafik x=f(y) dengan sumbu y
Contoh ; Dapatkan luas daerah yang dibatasi oleh x=y2
dan y=x-2 terhadap sumbu y.
12
2
2
0
4
2,4
1,1
3. MENGHITUNG VOLUME BENDAMENDAPATKAN VOLUME DENGAN
IRISAN; CAKRAM DAN CINCIN
1. IRISAN CINCIN
2. IRISAN CAKRAM
A. Menghitung VOLUME BIDANG PERPOTONGAN YG TEGAK LURUS SUMBU -X
Perhatikan gambar benda dibawah ini yang dibatasi oleh dua bidang datar tegak lurus sumbu x di titik x=a dan x=b
1s2s
x
b
a
b
ax
b
a
dxxSV
xxSV
xuntukxxSV
xxSV
xSVxS
)(
)(lim
0,)(
)(
0
21y
x
a b
B. Volume Benda Putardengan metode cakram
Misalkan y=f(x) tak negatif dan kontinyu pada (a,b) dan R adalah luas yg batas atasnya adalah grafik y=f(x), batas bawahnya sb x, sisi2nya dibatasi x=a s/d x =b. Bila diputar thdp sb x, terjadi suatu benda padat berupa lingkaran. S= A(x)=πr2 = πy2=π[f(x)]2
V=
)(xfy
a b
)(xfy
ba
yy
xx
b
a
dxxf 2)]([
Menentukan volume benda Menentukan volume benda dengan metode cakramdengan metode cakram
► Contoh ; dapatkan volume benda padat yg Contoh ; dapatkan volume benda padat yg didapat dari daerah dibawah kurva y= didapat dari daerah dibawah kurva y= pada selang (1,4) diputar terhadap sb xpada selang (1,4) diputar terhadap sb x
► V = V = ► ► = y= = y=
x
b
a
dxxf 2)]([
28
2][][
4
1
24
1
4
1
2
x
dxxdxxxy
x
y
1 4
C. Menentukan volume benda dengan metode C. Menentukan volume benda dengan metode cincincincin
Misalkan akan dihitung volume benda antara grafik Misalkan akan dihitung volume benda antara grafik y=f(x) dan g=f(x) terhadap sumbu-x.y=f(x) dan g=f(x) terhadap sumbu-x.
Karena bidang perpotongan pada x mempunyai jari-Karena bidang perpotongan pada x mempunyai jari-jari dalam g(x) dan jari2 luar f(x) maka luasnya jari dalam g(x) dan jari2 luar f(x) maka luasnya adalah ;adalah ;
A(x)= A(x)= ππ[f(x)][f(x)]22 –– ππ[g(x)][g(x)]22==ππ{[f(x)]{[f(x)]22-[g(x)]-[g(x)]22}} Sehingga Volume benda putarnya ;Sehingga Volume benda putarnya ; V = V =
b
a
dxxgxf })]([)]({[ 22
a b baxx
yy
)(xfy )(xfy
)(xgy )(xgy
Contoh: menentukan volume benda Contoh: menentukan volume benda padat dengan metode cincinpadat dengan metode cincin
Dapatkan volume dari benda padat yang Dapatkan volume dari benda padat yang dibentuk bila daerah antara grafik f(x)=1/2+xdibentuk bila daerah antara grafik f(x)=1/2+x22 dan g(x)=x yang terletak antara selang (0,2) dan g(x)=x yang terletak antara selang (0,2) terhadap sumbu-xterhadap sumbu-x
V= = V= =
V=V=
b
a
dxxgxf })]([)]({[ 22 2
0
222 }]2
1{[ dxxx
20
54
2
0
2
0
242 ]54
[]4
1[}]
4
1{[
xxdxxdxxxx
xx
yy2
2
1xy 2
2
1xy
xy xy
0 0
Menentukan volumen benda padat dengan Menentukan volumen benda padat dengan irisan cakram dan cincin terhadap sumbu yirisan cakram dan cincin terhadap sumbu y
y y
xx
dd
c c
)(yfu )(yfu
d
c
dyyuV 2)]([
Volume benda padat dengan Volume benda padat dengan irisan cincin terhadap sumbu yirisan cincin terhadap sumbu y
y y
x x
)(yux )(yux )(yvx )(yvx
dyyvyuxV })]([)]([{ 22
Contoh soal : Contoh soal : volume benda diputar terhadap volume benda diputar terhadap
sb ysb y Dapatkan volume benda yang diputar Dapatkan volume benda yang diputar
terhadap sb-y dari grafik; y= dan y=2, terhadap sb-y dari grafik; y= dan y=2, x=0x=0
x
20
5222
5])([)]([
ydyyxyvV
b
a
Panjang suatu kurva pada bidang Menghitung panjang busur dari suatu kurva
bidang dengan integral tertentu Hanya memperhatikan kurva2 yang
merupakan grafik suatu fungsi Panjang Busur jika f’ kontinyu pada suatu selang dimana Y=f(x) adalah kurva mulus
Masalah panjang busur Andaikan f adalah fungsi mulus pada selang (a,b). Dapatkan panjang busur L dari kurva y=f(x) pada
selang (a,b)
)(xfy y
xba
Bagilah lintasan fungsi f=y(x) menjadi n bagian seperti gambar dibawah ini, dari selang (a,b) Misalkan P0,P1,………Pnadalah titik-titik pada kurva yang koordinat-x nya adalah a, x1,x2…..xn-1,b dan hubungkan titik tsb dengan segmen garis lurus.Bentuk segmen tersebut adalah lintasan polygonal atau sebagai pendekatan dari kurva y=f(x)
0P1P 2P nP
x
y
a b
nx
1x 2x nx
Diambil satu segmen bagian dari lintasan polygonal tsb yaitu : selang-k = Lk
dengan teorema nilai tengah, ada titik antara dan
atauxfxx
xfxfk
kk
kk )(')()(
1
1
kkkk xxfxfxf )(')()( 1
1kx kx)(
y
x
)( kxf
)( 1kxf 1kP
kP
kL )()( 1 hhk xfxfy
kx
1kx
1kx
kx
:)( ditulisdapatjadi
k
n
k
n
kkk xxfL
1 1
2)]('[1
kkk xxfL 2)]('[1
k
n
kkx xxfL
k
1
2max )]('[1lim
0
dxxfLb
a 2)]('[1
Berarti panjang dari seluruh lintasan polygonal adalah ;
0 kx
21
222 )]()([)()()(( kkkkkk xfxfxyxL
Rumus Panjang Busur
Jika f adalah fungsi mulus pada (a,b) maka panjang busur L dari kurva y = (x) dari x=a, x=b didefinisikan ;
Untuk kurva dlm bentuk x=g(y) dengan g’ kontinyu pada (c,d) panjang busur L dari y=c ke y=d adalah:
b
adx
dx
dy 2)(1dxxfLb
a 2)]('[1
d
c
d
cdy
dy
dxdyygL 22 )(1)]('[1
Contoh SoalContoh Soal1. Dapatkan panjang busur dari kurva 1. Dapatkan panjang busur dari kurva
y=xy=x3/23/2
Dari (1,1) ke (2,2Dari (1,1) ke (2,2√2), terhadap sumbu-x √2), terhadap sumbu-x dan terhadap sumbu-ydan terhadap sumbu-y
2. Dapatkan panjang busur dari kurva 2. Dapatkan panjang busur dari kurva y=2x dari (1,2) ke (2,4) terhadap sumbu-y=2x dari (1,2) ke (2,4) terhadap sumbu-x dan sumbu-yx dan sumbu-y
Integral tak WajarAturan ‘Hopital
Yang disebut Integral tak wajar:1. Integral yang Integrannya menjadi tak hingga
dalam selang integral a≤x≤b
Menjadi tak terhingga pada x=1 (tak kontinyu)
2. Integral pada selang –selang tak terhingga Sebab b=∞
2
2 21
1dx
x
a
b
ab
dxxfdxxf )()( lim
Cara menyelesaikan Integral tak wajar
• A1)Fungsi f(x) diskontinyu di x=a
• Dgn Integral tertentu =luas daerah • yg dibatasi oleh garis x=a, x=b, grafik y=f(x)
dan sumbu x
integral tak wajar• Dibuat substitusi x=a+є, menjadi wajar
dxxfb
a
)(
y
x x
y
ax ax bx bx
)(xfy
ax
b
a
dxxfL )(
b
a
dxxfL
)(lim0
A2)Fungsi f(x) diskontinyu di x=b
Dgn Integral tertentu =luas daerah yg • dibatasi oleh garis x=a, x=b, grafik y=f(x) dan sumbu x
• integral tak wajar
• Dibuat substitusi x=b-є, menjadi wajar
dxxfb
a
)(
y
x
x
y
ax ax bx
)(xfy
b
a
dxxfL )(
b
a
dxxfL
)(lim0
bx
A3)Fungsi f(x) diskontinyu di x=c, (a<c<b)
Dgn Integral tertentu =luas daerah yg • dibatasi oleh garis x=a, x=b, grafik y=f(x) dan sumbu x
• integral tak wajar
• Dibuat substitusi x=c+ , dan x=c- menjadi wajar
dxxfb
a
)(
y
x x
y
ax ax bx
)(xfy
b
a
dxxfL )(
bx
1cx2cx
cx
2 1
b
c
c
a
dxxfdxxfL2
1
)(lim)(0
0lim
B1)Fungsi f(x) diskontinyu di x=a=∞
• Dgn Integral tertentu =luas daerah • yg dibatasi oleh garis x=a, x=b, grafik y=f(x) dan
sumbu x
integral tak wajar• Dibuat substitusi a=∞, menjadi wajar
dxxfb
a
)(
y
x x
y
ax bx bx
)(xfy
x
b
dxxfL )(
b
aa
dxxfL )(lim
B2)Fungsi f(x) diskontinyu di x=b=∞
• Dgn Integral tertentu =luas daerah • yg dibatasi oleh garis x=a, x=b, grafik y=f(x) dan
sumbu x
integral tak wajar• Dibuat substitusi b=∞, menjadi wajar
dxxfb
a
)(
y
x x
y
ax bx
)(xfy
xax
a
dxxfL )(
b
ab
dxxfL )(lim
B3)Fungsi f(x) diskontinyu di x=a=∞ dan x=b=∞
Dgn Integral tertentu =luas daerah yg • dibatasi oleh garis x=a, x=b, grafik y=f(x) dan sumbu x
• integral tak wajar
• Dibuat substitusi x=a=∞, dan x=b=∞ menjadi wajar
dxxfb
a
)(
y
x x
y
ax bx
)(xfy
cx
dxxfL )(
bxax
b
cb
c
aa
dxxfdxxfL )(lim)(lim
Bentuk tak Tentu Tipe Bentuk tak Tentu Tipe 0/00/0
Aturan LAturan L’’HopitalHopital Untuk setiap limit ;Untuk setiap limit ;
dandan
Penyebut dan pembilangnya keduanya Penyebut dan pembilangnya keduanya mendekati nol, limit seperti ini sebagai mendekati nol, limit seperti ini sebagai bentuk tak tentu tipe 0/0.bentuk tak tentu tipe 0/0.
Limit ini dapat mempunyai harga bilangan Limit ini dapat mempunyai harga bilangan riil atau divergen.riil atau divergen.
Istilah tak tentu adalah bahwa limit tidak Istilah tak tentu adalah bahwa limit tidak dapat ditentukan tanpa beberapa kerja dapat ditentukan tanpa beberapa kerja tambahantambahan
x
x
x
sinlim
02
42
2lim
x
x
x
Teorema Aturan LTeorema Aturan L’’Hopital bentuk 0/0Hopital bentuk 0/0
Misalkan limit menyatakan salah satu limitMisalkan limit menyatakan salah satu limit
Dan anggap bahwa lim f(x)=0 dan lim g(x)=0 Dan anggap bahwa lim f(x)=0 dan lim g(x)=0
Jika lim mempunyai niai berhingga Jika lim mempunyai niai berhingga L, L,
atau jika limit ini +atau jika limit ini +∞ atau -∞ maka lim∞ atau -∞ maka lim
==
limlimlimlimlim ,,,, xxaxaxax
)('
)('lim
xg
xf
)('
)('lim
xg
xf)(
)(lim
xg
xf
Langkah-langkah Aturan L’Hopital
• Langkah 1;periksa bahwa berbentuk tak
• tentu, jika tidak, tidak dpt digunakan• Langkah 2;diferensialkan f dan g secara
terpisah• Langkah 3;tentukan .Jika limit ini berhingga, +∞, atau -∞, maka itu =
Contoh : dan
)(
)(lim
xg
xf
)('
)('lim
xg
xf
)(
)(lim
xg
xf
2
42
2lim
x
x
xx
x
x
2sinlim
0
SOAL UJIAN QUIS
• 1. Hitung luas bidang datar dr fungsi ;• F(x)=x2 + 2 dengan g(x)=x+4• 2.Hitung volume benda yg diputar terhadap sb x
dari: y=x+1, x=3, y=0• 3.Hitung panjang busur dari y=x3/2 thdp sbx, dr titik
(1,2) dan (2,4)• 4.Apakah Integral2 dibawah ini termasuk integral
tak wajar?selesaikan!
• A. dx • B.
1
0 22
1
x
0
2 ln xdxx