kalkulus dferensial2

Download kalkulus dferensial2

Post on 21-Oct-2015

33 views

Category:

Documents

2 download

Embed Size (px)

DESCRIPTION

kalkulus

TRANSCRIPT

  • Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

    Derivatif fungsi ImplisitTugas

    DERIVATIVE (continued)(TURUNAN)

    Kus Prihantoso Krisnawan

    November 25rd , 2011

    Yogyakarta

    Krisnawan Pertemuan 2

  • Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

    Derivatif fungsi ImplisitTugas

    Aturan Turunan TrigonometriContohLatihan

    Aturan Turunan Trigonometri

    ddx (sin x) = cos x

    ddx (cos x) = sin x

    ddx (tan x) = sec

    2 x

    ddx (cot x) = csc2 xddx (sec x) = sec x tan x

    ddx (csc x) = csc x cot x

    Krisnawan Pertemuan 2

  • Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

    Derivatif fungsi ImplisitTugas

    Aturan Turunan TrigonometriContohLatihan

    Aturan Turunan Trigonometri

    ddx (sin x) = cos x

    ddx (cos x) = sin xddx (tan x) = sec

    2 x

    ddx (cot x) = csc2 x

    ddx (sec x) = sec x tan x

    ddx (csc x) = csc x cot x

    Krisnawan Pertemuan 2

  • Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

    Derivatif fungsi ImplisitTugas

    Aturan Turunan TrigonometriContohLatihan

    Aturan Turunan Trigonometri

    ddx (sin x) = cos x

    ddx (cos x) = sin xddx (tan x) = sec

    2 x

    ddx (cot x) = csc2 xddx (sec x) = sec x tan x

    ddx (csc x) = csc x cot x

    Krisnawan Pertemuan 2

  • Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

    Derivatif fungsi ImplisitTugas

    Aturan Turunan TrigonometriContohLatihan

    Contoh

    Contoh

    Diketahui f (x) = x2 + 6x, g(x) = tan x, dan h(x) = cos x.Tentukan: a) (f (x) + g(x)), b) (f (x)h(x)), dan c) ddx

    g(x)h(x)

    Jawab:

    Karena f (x) = 2x + 6 dan g(x) = sec2 x , dan h(x) = sin x , makaa) (f (x) + g(x)) = f (x) + g(x) = 2x + 6 + sec2 x

    b) (fh)(x) = f (x)h(x) + f (x)h(x) = (2x + 6) cos x (x2 + 6x) sin xc) ddx

    g(x)h(x) =

    g(x)h(x)g(x)h(x)h2(x) =

    sec2 x cos x+tan x sin xcos2 x

    Krisnawan Pertemuan 2

  • Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

    Derivatif fungsi ImplisitTugas

    Aturan Turunan TrigonometriContohLatihan

    Contoh

    Contoh

    Diketahui f (x) = x2 + 6x, g(x) = tan x, dan h(x) = cos x.Tentukan: a) (f (x) + g(x)), b) (f (x)h(x)), dan c) ddx

    g(x)h(x)

    Jawab:

    Karena f (x) = 2x + 6 dan g(x) = sec2 x , dan h(x) = sin x , maka

    a) (f (x) + g(x)) = f (x) + g(x) = 2x + 6 + sec2 x

    b) (fh)(x) = f (x)h(x) + f (x)h(x) = (2x + 6) cos x (x2 + 6x) sin xc) ddx

    g(x)h(x) =

    g(x)h(x)g(x)h(x)h2(x) =

    sec2 x cos x+tan x sin xcos2 x

    Krisnawan Pertemuan 2

  • Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

    Derivatif fungsi ImplisitTugas

    Aturan Turunan TrigonometriContohLatihan

    Contoh

    Contoh

    Diketahui f (x) = x2 + 6x, g(x) = tan x, dan h(x) = cos x.Tentukan: a) (f (x) + g(x)), b) (f (x)h(x)), dan c) ddx

    g(x)h(x)

    Jawab:

    Karena f (x) = 2x + 6 dan g(x) = sec2 x , dan h(x) = sin x , makaa) (f (x) + g(x)) = f (x) + g(x) = 2x + 6 + sec2 x

    b) (fh)(x) = f (x)h(x) + f (x)h(x) = (2x + 6) cos x (x2 + 6x) sin xc) ddx

    g(x)h(x) =

    g(x)h(x)g(x)h(x)h2(x) =

    sec2 x cos x+tan x sin xcos2 x

    Krisnawan Pertemuan 2

  • Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

    Derivatif fungsi ImplisitTugas

    Aturan Turunan TrigonometriContohLatihan

    Contoh

    Contoh

    Diketahui f (x) = x2 + 6x, g(x) = tan x, dan h(x) = cos x.Tentukan: a) (f (x) + g(x)), b) (f (x)h(x)), dan c) ddx

    g(x)h(x)

    Jawab:

    Karena f (x) = 2x + 6 dan g(x) = sec2 x , dan h(x) = sin x , makaa) (f (x) + g(x)) = f (x) + g(x) = 2x + 6 + sec2 x

    b) (fh)(x) = f (x)h(x) + f (x)h(x) = (2x + 6) cos x (x2 + 6x) sin x

    c) ddxg(x)h(x) =

    g(x)h(x)g(x)h(x)h2(x) =

    sec2 x cos x+tan x sin xcos2 x

    Krisnawan Pertemuan 2

  • Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

    Derivatif fungsi ImplisitTugas

    Aturan Turunan TrigonometriContohLatihan

    Contoh

    Contoh

    Diketahui f (x) = x2 + 6x, g(x) = tan x, dan h(x) = cos x.Tentukan: a) (f (x) + g(x)), b) (f (x)h(x)), dan c) ddx

    g(x)h(x)

    Jawab:

    Karena f (x) = 2x + 6 dan g(x) = sec2 x , dan h(x) = sin x , makaa) (f (x) + g(x)) = f (x) + g(x) = 2x + 6 + sec2 x

    b) (fh)(x) = f (x)h(x) + f (x)h(x) = (2x + 6) cos x (x2 + 6x) sin xc) ddx

    g(x)h(x) =

    g(x)h(x)g(x)h(x)h2(x) =

    sec2 x cos x+tan x sin xcos2 x

    Krisnawan Pertemuan 2

  • Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

    Derivatif fungsi ImplisitTugas

    Aturan Turunan TrigonometriContohLatihan

    Latihan

    Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikuta. f (x) = x2 sin x

    b. g(x) = sin2 x + cos2 x

    c. h(x) = sin x+cos xcos xd. f (x) = sin x cos x

    e. g(x) = cot xsin xf. h(x) = sin xx

    g. f (s) = 1+sec scsc sh. g(t) = sin t+cos tcot ti. h(s) = s

    2 cos stan s

    j. f (t) = t cos t+cot tsec tKrisnawan Pertemuan 2

  • Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

    Derivatif fungsi ImplisitTugas

    TeoremaContohLatihan

    Aturan Rantai (chain rule)

    Bagaimana menurunkan fungsi f (x) = (x2 + 5x 8)75?Apakah kita hitung hasil perpangkatannya dulu?

    Cara yang lebih mudah adalah menggunakan aturan rantai

    TeoremaJika u = g(x) dan y = f (u) masing-masing terdiferensial padax dan g(x) maka fungsi komposisi f g, didefinisikan sebagai(f g)(x) = f (g(x)) terdiferensial di x dan

    (f g)(x) = f (g(x))g(x) (1)

    ataudydx

    =dydu

    dudx

    (2)

    Krisnawan Pertemuan 2

  • Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

    Derivatif fungsi ImplisitTugas

    TeoremaContohLatihan

    Aturan Rantai (chain rule)

    Bagaimana menurunkan fungsi f (x) = (x2 + 5x 8)75?Apakah kita hitung hasil perpangkatannya dulu?Cara yang lebih mudah adalah menggunakan aturan rantai

    TeoremaJika u = g(x) dan y = f (u) masing-masing terdiferensial padax dan g(x) maka fungsi komposisi f g, didefinisikan sebagai(f g)(x) = f (g(x)) terdiferensial di x dan

    (f g)(x) = f (g(x))g(x) (1)

    ataudydx

    =dydu

    dudx

    (2)

    Krisnawan Pertemuan 2

  • Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

    Derivatif fungsi ImplisitTugas

    TeoremaContohLatihan

    Aturan Rantai (chain rule)

    Bagaimana menurunkan fungsi f (x) = (x2 + 5x 8)75?Apakah kita hitung hasil perpangkatannya dulu?Cara yang lebih mudah adalah menggunakan aturan rantai

    TeoremaJika u = g(x) dan y = f (u) masing-masing terdiferensial padax dan g(x) maka fungsi komposisi f g, didefinisikan sebagai(f g)(x) = f (g(x)) terdiferensial di x dan

    (f g)(x) = f (g(x))g(x) (1)

    ataudydx

    =dydu

    dudx

    (2)

    Krisnawan Pertemuan 2

  • Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

    Derivatif fungsi ImplisitTugas

    TeoremaContohLatihan

    Contoh

    Contoh

    Tentukan turunan dari fungsi f (x) = (x2 + 5x 8)75.

    Jawab:Misalkan y = u75 dan u = x2 + 5x 8 maka dydu = 75u74 dandudx = 2x + 5,

    f (x) =dydx

    =dydu

    dudx

    = 75u74(2x + 5)= 75(x2 + 5x 8)74(2x + 5)

    Krisnawan Pertemuan 2

  • Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

    Derivatif fungsi ImplisitTugas

    TeoremaContohLatihan

    Contoh

    Contoh

    Tentukan turunan dari fungsi f (x) = (x2 + 5x 8)75.Jawab:Misalkan y = u75 dan u = x2 + 5x 8 maka dydu = 75u74 dandudx = 2x + 5,

    f (x) =dydx

    =dydu

    dudx

    = 75u74(2x + 5)= 75(x2 + 5x 8)74(2x + 5)

    Krisnawan Pertemuan 2

  • Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

    Derivatif fungsi ImplisitTugas

    TeoremaContohLatihan

    Contoh

    Contoh

    Tentukan turunan dari fungsi f (t) = sin (cos t + 2t)7.

    Jawab:Misalkan y = sin u, u = v7, dan v = cos t + 2t makay = cos u, u = 7v6, dan v = sin t + 2 sehingga

    f (t) = cos (cos t + 2t)7.7(cos t + 2t)6.( sin t + 2)

    Krisnawan Pertemuan 2

  • Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

    Derivatif fungsi ImplisitTugas

    TeoremaContohLatihan

    Contoh

    Contoh

    Tentukan turunan dari fungsi f (t) = sin (cos t + 2t)7.

    Jawab:Misalkan y = sin u, u = v7, dan v = cos t + 2t makay = cos u, u = 7v6, dan v = sin t + 2 sehingga

    f (t) = cos (cos t + 2t)7.7(cos t + 2t)6.( sin t + 2)

    Krisnawan Pertemuan 2

  • Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

    Derivatif fungsi ImplisitTugas

    TeoremaContohLatihan

    Latihan

    Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikuta. f (x) = (7x2 + 5x 2)8b. g(x) = 1

    (x23x+2)9

    c. h(x) = cos (3x2 2x + 1)d. f (x) = sin8 (x3 + 5x)e. g(x) = sec3 (x 2)5f. h(x) = (x+1x1)

    5

    g. f (x) = tan3 (1+xx2 )

    h. g(x) = csc3 ( x1x2+2)2

    i. h(x) = (2 3x2)4(x7 + 3)5j. f (x) = (2x

    23)3(4x+7)5

    Krisnawan Pertemuan 2

  • Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

    Derivatif fungsi ImplisitTugas

    ContohLatihan

    Contoh

    Bagaimana menentukan dydx dari x 3x3 = x2 + y4 2y?

    Kita tidak dapat mengubah persamaan ini menjadi y = f (x).Perhatikan bahwa

    d(x 3x3)dx

    =d(x2 + y4 2y)

    dx

    1 9x2 = 2x + d(y4)

    dx d(2y)

    dx

    1 9x2 = 2x + 4y3 dydx 2dy

    dx

    1 2x 9x2 = (4y3 2)dydx

    dydx

    =1 2x 9x2

    4y3 2

    Krisnawan Pertemuan 2

  • Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

    Derivatif fungsi ImplisitTugas

    ContohLatihan

    Contoh

    Bagaimana menentukan dydx dari x 3x3 = x2 + y4 2y?Kita tidak dapat mengubah persamaan ini menjadi y = f (x).

    Perhatikan bahwa

    d(x 3x3)dx

    =d(x2 + y4 2y)

    dx

    1 9x2 = 2x + d(y4)

    dx d(2y)

    dx

    1 9x2 = 2x + 4y3 dydx 2dy

    dx

    1 2x 9x2 = (4y3 2)dydx

    dydx

    =1 2x 9x2

    4y3 2

    Krisnawan Pertemuan 2

  • Aturan (lanjutan)Aturan Rantai

    Derivatif fungsi ImplisitTugas

    ContohLatihan

    Contoh

    Bagaimana menentukan dydx dari x 3x3 = x2 + y4 2y?Kita tidak dapat mengubah persamaan ini menjadi y = f (x).Perhatikan bahwa

    d(