kalkulus bab iv differensiasi

5/20/2018 Kalkulus Bab IV Differensiasi

1/34

88

BAB IV

DIFFERENSIASI

4.1 Garis singgungGaris singgung adalah garis yang menyinggung suatu titik tertentu pada suatukurva. Pengertian garis singgung tersebut dapat dilihat pada Gambar 4.1. Akantetapi jika terdapat dua buah titik pada suatu kurva maka berkemungkinan garissinggung yang menyinggung salah satu titik akan memotong kurva pada titiklainnya. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 4.2.

Untuk mendapatkan pengertian yang lebih jelas mengenai garis singgung kita

perlu mendefinisikan kemiringan garis singgung l pada titik A(x1,f(x1)) yangterletak pada grafik fungsi. Selanjutnya pada grafik fungsi tersebut kita pilih

A

l

Gambar 4.1

Gambar 4.2

A

B

l


2/34

89

suatu titik B(x,f(x)). Jika kita hubungkan titik A dan B maka akan terbentuk

garis l1 yang mempunyai kemiringan :

m1=x-xf(x)-)x(f

11 ( 4.1 )

Jika f(x) kontinu pada selang [A,B] maka kita dapat mendekatkan titik B ke titikA dengan jalan memperkecil jarak antara x dan x1. Dalam bentuk limit hal

tersebut dapat ditulis dalam bentuk :

xx

f(x)-)x(flimmlim

1

1

xx1

xx 11 -=

( 4.2 )

Persaman (4.2) adalah kemiringan garis l1jika x mendekati x1. Jika kitaperhatikan Gambar 4.3 maka kita dapat melihat bahwa kemiringan garis l1jika x

mendekati x1 adalah mendekati kemiringan garis l. Dalam bentuk limit dapat

ditulis :

mxx

f(x)-)x(flimmlim

1

1

xx1

xx 11

=-

=

l1

A l

B

x x1

h

x0

y

Gambar 4.3

Kemiringan garisl1= m1

Kemiringan garis l= m


3/34

90

Jadi :

xx

f(x)-)x(flimm

1

1

xx 1 -=

( 4.3 )

Karena x1x = h, makah

f(x)-)hx(flimm0h

+=

( 4.4 )

Jika dimisalkan h = Dx, makax

f(x)-)xx(flimm

0x D

D+=

D ( 4.5 )

Persamaan 4.3 s/d 4.5 adalah kemiringan garis lpada titik (x, f(x))

Contoh 4.1Diketahui f(x) = 3x2+ 5Tentukan kemiringan dan persamaan garis singgung yang melalui titik (a,a2)Penyelesaian :

x

f(x)-)xx(flimm0x D

D+=

D

x

5x35x)3(xx6x3lim

x

53x-5)xx(3lim

222

0x

22

0x D

--+D+D+=

D

-+D+=

DD

x6x3x6lim0x

=D+=

D

Jadi m = 6x (*)Persamaan garis singgung : y = mx + n (**)Karena garis singgung melalui titik (a,a2) maka :persamaan (*) menjadi :m = 6apersamaan (**) menjadi : a2= 6a2+ n. Sehingga n = -5a2Persamaan garis singgung menjadi : y = 6ax 5a2

4.2 TurunanTurunan adalah hasil dari proses differensiasi suatu fungsi. Untuk mendapatkanpengertian yang jelas dari turunan dan differensiasi perhatikan Gambar 4.4berikut. Differensiasi dapat dimisalkan sebagai suatu mesin yang memprosesmasukan f(x) menjadi turunan f(x) atau f(x).

Selanjutnya turunan didefinisikan sebagai kemiringan garis yang menyinggungkurva f(x) di titik (x,f(x)). Berdasarkan persamaan 4.3 dan Gambar 4.3 makadefinisi turunan dapat ditulis dalam bentuk :

xx

)x(f)x(flim)x('f

1

1

xx 1 -

-=

, jika nilai limitnya ada ( 4.6 )

Jika persamaan 4.6 dapat dipenuhi berarti f(x) dapat didifferensiasikan(differensiable) pada x. Maka dikatakan f(x) mempunyai turunan pada x.

Differensiasif(x) f(x)

Gambar 4.4


4/34

91

Contoh 4.2Jika f(x) = 2x2+ 5x 7, tentukan f(x), f(c) dan f(3)Penyelesaian :f(x) = 2x2+ 5x 7f(x+Dx) = 2(x+Dx)2+ 5(x+Dx) 7 = 2x2+ 4xDx +2(Dx)2+ 5x + 5Dx 7

f(x+Dx) f(x) = 4xDx + 2(Dx)2 + 5Dx

5x45x2x4limx

x5)x(2xx4lim

x

)x(f)xx(flim)x('f

0x

2

0x0x+=+D+=

D

D+D+D=

D

-D+=

DDD

Jadi : 5x4)x('f +=

5c4)c('f +=

175)3(4)3('f =+=

4.3 Notasi turunanPada pasal terdahulu kita telah menggunakan notasi turunan dengan lambang fyaitu lambang turunan dari suatu fungsi f yang diperkenalkan pertama kali olehmatematikawan Perancis Louis Lagrange (1646 1716). Selain notasi tersebutmasih terdapat notasi lain yang sering digunakan yaitu notasi double d. Jadikita juga dapat menulis lambang turunan sebagai dy/dx, dy/dz, dimana x danz adalah peubah-peubah bebas dan y sebagai peubah tak bebas. Hubunganantara notasi-notasi turunan yang disebut diatas adalah sebagai berikut :Jika terdapat suatu persamaan y = f(x), maka : dy/dx = f(x).

4.4 Differensiabilitas dan kontinuitasJika f adalah fungsi yang differensiabel pada x maka f dikatakan kontinu pada x.Bukti :Pada uraian terdahulu telah dijelaskan bahwa suatu fungsi f dikatakandifferensiable jika memenuhi persamaan 4.6, yaitu :

Jika :x

)x(f)xx(flim0x D

-D+

Dada, maka

x

)x(f)xx(flim)x('f0x D

-D+=

D

f(x+Dx)-f(x)= xx

)x(f)xx(fD

D

-D+

xlim.x

)x(f)xx(flim))x(f)xx(f(lim

0x0x0xD

D

-D+=-D+

DDD=f(x) . 0 = 0

Sehingga : )x(flim)xx(flim 0x0x DD =+D )x(f)x(flim0x =D (terbukti)

Sebaliknya jika f adalah fungsi yang kontinu pada x, maka tidak secara otomatisf differensiable pada x.

4.5 Teorema-teorema4.5.1 Turunan bilangan konstan

Jika c suatu bilangan konstan dan y didefinisikan sebagai :


5/34

92

y = f(x) = c maka 0)x('fdx

dy== ( 4.7 )

Bukti :f(x) = c ; f(x+Dx) = c

x

)x(f)xx(flim)x('f

0xdx

dy

D

-D+==

D= 0

x

cclim

0x=

D

-

D(terbukti)

4.5.2 Jika n adalah sembarang bilangan bulat, k adalah sembarangbilangan ril dan jika y didefinisikan sebagai :

y = f(x) = kxn maka 1nknx)x('f

dx

dy -== ( 4.8 )

Bukti :

f(x) = kxnf(x+Dx) = k(x+Dx)

n

Dengan mengunakan teorema binomial didapat :

k(x+Dx)n=

!n

x!kn

!)1n(

x!1)-k(n

!2

)x(x)1n(kn

!1

xknx

!0

kx n1-n22n1nn D+

-

D++

D-+

D+

--

L

1n

0xknx

x

)x(f)xx(flim)x('f

dx

dy -

D=

D

-D+== (terbukti)

Contoh 4.3

Tentukan turunan pertama dari f(x) = 5x7

Penyelesaian :

617 x35x)7)(5()x('fdx

dy===

-

4.5.3 Aturan penjumlahanJika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikansebagai :

y = h(x) = f(x) + g(x) maka )x('g)x('fdx

dy+= ( 4. 9 )

Bukti :h(x) = f(x) + g(x)h(x+Dx) = f(x+Dx) + g(x+Dx)

h(x) =x

)x(g)x(f)xx(g)xx(flim

x

)x(h)xx(hlim

0x0x D

--D++D+=

D

-D+

DD

= )x('g)x('fx

)xx(glim

x

)x(f)xx(flim

0x0x+=

D

D++

D

-D+

DD (terbukti)

Contoh 4.4

Diketahui y = 5x6+ 2x

-3


6/34

93

Tentukandx

dy

Penyelesaian :

f(x) = 5x6 g(x) = 2x-3

f(x) = 30x5 g(x) = -6x

-4

=dx

dyf(x) + g(x) = 30x

56x

-4

4.5.4 Aturan perkalianJika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikansebagai :

y = h(x) = f(x).g(x) maka )x('g)x(f)x(g)x('f

dx

dy+= (4.10)

Bukti :

h(x) =x

)x(g).x(f)xx(g).xx(flim

0x D

-D+D+

D

=x

)x(g).x(f)x(g).xx(f)x(g).xx(f)xx(g).xx(flim

0x D

-D++D+-D+D+

D

=x

)x(g)xx(g)xx(flim

0x D

-D+D+

D+

x

)x(f)xx(f)x(glim

0x D

-D+

D

= f(x).g(x) + g(x).f(x) (terbukti)

Contoh 4.5Diketahui y = (3x

5+ 2x

-2)(7x+3)

Tentukandx

dy

Penyelesaian :

f(x) = 3x5+ 2x

-2 g(x) = 7x+3

f(x) = 15x44x

-3 g(x) = 7

dx

dy= f(x).g(x) + g(x).f(x) = (15x

4-4x

-3)(7x+3) + (3x5+ 2x-2)(7)

= 105x5-28x

-2+45x412x-3+21x

5+ 14x

-2

= 126x5+ 45x

4- 14x

-212x

-3

4.5.5 Aturan pembagianJika f dan g adalah dua buah fungsi dan h adalah fungsi yang didefinisikansebagai :

y = h(x) =)x(g

)x(f maka

[ ]2)x(g

)x('g)x(f)x(g)x('f

dx

dy -= (4.11)

Bukti :


7/34

94

h(x) =)x(g

)x(f ; h(x+Dx) =

)xx(g

)xx(f

D+

D+

h(x) =x

)x(g

)x(f

)xx(g

)xx(f

limx

)x(h)xx(hlim

0x0x D

-D+

D+

=D

-D+

DD

=)x(g).xx(g.x

)x(f).xx(g)xx(f).x(glim

0x D+D

D+-D+

D

=)x(g).xx(g.x

)x(g).x(f)x(f).xx(g)x(g).x(f)xx(f).x(glim0x D+D

+D+--D+

D

=)x(g).xx(g.x

)x(f)xx(f)x(glim

0x D+D

-D+

D-

)x(g).xx(g.x

)x(g)xx(g)x(flim

0x D+D

-D+

D

=

D+

D

-D+

D )x(g).xx(g

x

)x(f)xx(f

)x(glim

0x

-

D+

D

-D+

D )x(g).xx(g

x

)x(g)xx(g

)x(flim

0x

=[ ]2)x(g

)x(f).x('g)x('f).x(g -(terbukti)

Contoh 4.6

Tentukan h(x) jika h(x) =3

24

x4

x3x2 -

Penyelesaian :f(x) = 2x43x2 f(x) = 8x36x

g(x) = 4x3 g(x) = 12x2

h(x) =23

22433

2 )x4(

)x12)(x3x2()x4)(x6x8(

)]x(g[

)x('g).x(f)x(g).x('f ---=

-

=6

46

6

4646

16

128

16

36242432

x

xx

x

xxxx +=

+--=

2

2

4

32

x

x +

4.5.6 Turunan fungsi komposisi

Jika y = f(u) dan u = g(x) maka dx

du

du

dy

dx

dy= (4.12)

Bukti :Jika y = f(u) dan u = g(x) maka y = f(g(x)). Fungsi tersebut mempunyaibentuk komposisi dan dapat ditulis sebagai (fog)(x).

u = g(x)Du= g(x+Dx) g(x) g(x+Dx) = g(x) + Du = u + DuJadi Du 0 maka Dx 0

y = f(g(x))Dy = f(g(x+Dx)) f(g(x))


8/34

95

x

))x(g(f))xx(g(f

x

y

D

-D+=

D

D

u

u

x

))x(g(f))xx(g(f

D

D

D

-D+=

=D

D

x

y

x

u

u

)u(f)uu(f

D

D

D

-D+ =

D

D

D x

ylim

0x dx

dy

x

u

u

)u(f)uu(flim

0x=

D

D

D

-D+

D

dx

du

du

dy

x

ulim.

u

)u(f)uu(flim

dx

dy

0x0x=

D

D

D

-D+=

DD(terbukti)

Persamaan 4.12 disebut aturan rantaiContoh 4.7

Tentukandx

dyjika y = (4x3+ 5x2x + 4)

3

Penyelesaian :

Misal u = 4x3

+ 5x2

x + 4 y = u3

1x10x12dx

du 2-+= 2u3

du

dy=

)1x10x12(u3dx

du

du

dy

dx

dy 22-+==

2232 )4xx5x4)(1x10x12(3 +-+-+=

Soal-soalTentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut !

1. f(t) = at2

bt + 7 6. f(x) =

+

x

1

5

x43x-x4

5

2. f(x) = 3x-5

+3 2x5 7. g(t) = (at2+bt+c)2(3at7)5

3. g(x) =

+2

x

x

2 8. h(w) =

cw

2awb

+

-

4. h(x) =2

x

1

5

x4

+ 9. v(t) =

3)dct(

2)bt2at(

-

-

5. w(x) =3

32x-x4

7

+ 10. g(t) =

3-t

)3(2tt

2+

4.6 Turunan fungsi-fungsi trigonometri

Jika y = f(x) = sin x maka xcos)x('fdx

dy== (4.13)

Bukti :

x

xsin)xxsin(lim

x

)x(f)xx(flim)x('f

dx

dy

0x0x D

-D+=

D

-D+==

DD


9/34

96

x

xsinxsinxcosxcosxsinlim

0x D

-D+D=

D

x

xsinxcos)1x(cosxsinlim

0x D

D+-D=

D

D

D+

D

-D

D=

x

xsinxcos

x

)1x(cosxsin

0xlim

x

xsinlimxcos

x

1xcoslimxsin

0x0x D

D+

D

-D=

DD

= (sinx)(0) + (cosx)(1) = cosx (terbukti)

Jika y = sin u dan u = f(x) makadx

duucos

dx

dy= (4.14)

Bukti :

y = sin u ucosdu

dy=

u = f(x) )x('fdx

du=

dx

duucos

dx

du

du

dy

dx

dy== (terbukti)

Jika y = f(x) = cos x maka xsin)x('fdx

dy-== (4.15)

Bukti :

x

xcos)xxcos(

0xlimx

)x(f)xx(f

0xlim)x('fdx

dy

D

-D+

D=

D

-D+

D==

x

xcosxsinxsinxcosxcos

0xlim

D

-D-D

D=

x

xsinxsin)1x(cosxcos

0xlim

D

D--D

D=

D

D-

D

-D

D=

x

xsinxsin

x

)1x(cosxcos

0xlim

x

xsin

0xlimxsin

x

1xcos

0xlimxcos

D

D

D-

D

-D

D=

= (cosx)(0) - (sinx)(1) = -sinx (terbukti)

Jika y = cos u dan u = f(x) makadx

duusin

dx

dy-= (4.16)

Bukti :

y = cos u usindu

dy-=

u = f(x) )x('fdx

du=


10/34

97

dx

duusin

dx

du

du

dy

dx

dy-== (terbukti)

Contoh 4.8

Jika y = sin(p-2x), tentukandx

dy

Penyelesaian :Misal u = p- 2x y = sin u

2dx

du-= ucos

du

dy=

)x2cos(2)2)(u(cosdx

du

du

dy

dx

dy-p-=-==

Contoh 4.9

Jika y =2xcos tentukan

dxdy

Penyelesaian :

Misal u =2

x y = cos u

2/1dx

du= usin

du

dy-=

2

xsin

2

1-)

2

1)(usin(

dx

du

du

dy

dx

dy=-==

Contoh 4.10

Jika y = sin2x cos3x, tentukandxdy

Penyelesaian :Misal u = sin 2x v = cos 3x

x2cos2dx

du= 3xsin3

dx

dv-=

)x3sin3)(x2(sin)x3)(cosx2cos2(dx

dvuv.

dx

du

dx

dy-+=+=

x3sin.x2sin3x3cos.x2cos2 -=

Contoh 4.11

Jika y =x4cosx3sin , tentukan

dxdy

Penyelesaian :Misal u = sin 3x v = cos 4x

x3cos3dx

du= 4xsin4

dx

dv-=

2)x4(cos

)x4sin4)(x3(sin)x4)(cosx3cos3(

2v

dx

dv.uv.

dx

du

dx

dy --=

-

=

x4cos

x4sin.x3sin4x4cos.x3cos3

2

+=


11/34

98

Jika y = f(x) = tan x maka xsec)x('fdx

dy 2== (4.16)

Bukti :

y = tan x =xcos

xsin

u = sin x v = cos x

xcosdx

du= xsin

dx

dv-=

2v

dx

dv.uv.

dx

du

dx

dy -

= =2)x(cos

)xsin)(x(sin)x)(cosx(cos --=

xcos

xsinxcos

2

22+

= xsec

xcos

1 22

= (terbukti)

Jika y = tan u makadx

duu)(sec

dx

dy 2= (4.17)

Bukti :

y = tan u usecdu

dy 2=

u = f(x) )x('fdx

du=

dx

du)u(sec

dx

du

du

dy

dx

dy 2== (terbukti)

Contoh 4.12

Jika y = 5 tan 3x, tentukandx

dy

Penyelesaian :Misal u = 3x y = 5 tan u

3dx

du= usec5

du

dy 2=

x3sec15usec15)3)(usec5(dx

du

du

dy

dx

dy 222====

Jika y = f(x) = cot x maka xcsc)x('fdx

dy 2-== (4.18)

Bukti :

y = cot x =xsin

xcos

u = cos x v = sin x

xsindx

du-= xcos

dx

dv=


12/34

99

2v

dx

dv.uv.

dx

du

dx

dy -

= =2)x(sin

)x)(cosx(cos)x)(sinxsin( --=

xsin

)xcosx(sin

2

22+-

= xcscxsin

1 22

-=- (terbukti)

Jika y = cot u makadx

duu)csc(

dx

dy 2-= (4.19)

Bukti :

y = cot u ucscdu

dy 2-=

u = f(x) )x('fdx

du=

dx

du)ucsc(

dx

du

du

dy

dx

dy 2-== (terbukti)

Contoh 4.13

Jika y = x3

1cot2

1, tentukan

dx

dy

Penyelesaian :

Misal u = x3

1 y = ucot

2

1

31

dxdu = ucsc

21

dudy 2-=

x3

1csc6

1ucsc

6

1)3

1)(ucsc

2

1(

dx

du

du

dy

dx

dy 222-=-=-==

Jika y = f(x) = sec x maka tanxxsec)x('fdx

dy== (4.20)

Bukti :

y = sec x =xcos

1

u = 1 v = cos x

0dx

du= xsin

dx

dv-=

2v

dx

dv.uv.

dx

du

dx

dy -

= =2)x(cos

)xsin)(1()x)(cos0( --

= tanxxsecx2cos

xsin= (terbukti)


13/34

100

Jika y = sec u makadx

dutanu)u(sec

dx

dy= (4.21)

Bukti :

y = sec u tanuusecdu

dy=

u = f(x) )x('fdx

du=

dx

duu)tanu(sec

dx

du

du

dy

dx

dy== (terbukti)

Jika y = f(x) = csc x maka cotxxcsc)x('fdx

dy-== (4.22)

Bukti :

y = csc x =xsin

1

u = 1 v = sin x

0dx

du= xcos

dx

dv=

2v

dx

dv.uv.

dx

du

dx

dy -

= =2)x(sin

)x)(cos1()x)(sin0( -= cotxxcsc

x2sin

xcos-=

-(terbukti)

Jika y = csc u makadx

ducotu)ucsc(

dx

dy-= (4.23)

Bukti :

y = csc u cotuucscdu

dy-=

u = f(x) )x('fdx

du=

dx

duu)cotucsc(

dx

du

du

dy

dx

dy-== (terbukti)

Contoh 4.15

Jika y = )xcsc(3

1-p , tentukan

dx

dy

Penyelesaian :

Misal u = p-x y = ucsc3

1

1dx

du-= cotuucsc

3

1

du

dy-=

x)-cot()xcsc(3

1cotuucsc

3

1)1)(cotuucsc

3

1(

dx

du

du

dy

dx

dyp-p==--==

Soal-soalTentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut ! PR : 2, 5, 6 & 9

1. f(x) = )32

xsin(

p- 6. f(x) = )x

3(csc4 -p


14/34

101

2. f(x) = cos )3

x

2( -p

7. g(t) = tcost2sin2

1p

3. g(x) = tan3

x 8. h(w) = )bwcos(

)awsin(

-p

p-

4. h(x) = cot3x 9. v(t) =)tbcos(

t2sinat2

-

-

5. w(x) = )32

x(sec5

p- 10. g(t) =

t3sin

cos2ttsin

4.7 Turunan fungsi-fungsi trigonometri invers

Jika y = f(x) = arcsin x maka 2x1

1

)x('fdx

dy

-== (4.24)

Bukti :

y = arcsinx sin y = x 1dx

dx

dx

dyycos ==

ycos

1

dx

dy=

Selanjutnya perhatikan segitiga berikut ini !

sin y = x

cos y = 2x1 -

2x1

1

dx

dy

-

= (terbukti)

2x1 -

Jika y = arcsin u dan u = f(x) makadx

du

u1

1

dx

dy

2-

= (4.25)

Bukti :

y = arcsin u 2u1

1

du

dy

-

=

dx

du

u1

1

dx

du.

du

dy

dx

dy

2-

== (terbukti)

Contoh 4.16

Jika y = )x3

1arcsin(8

3- , tentukan

dx

dy

Penyelesaian :

Misal u = x3

1- y = uarcsin

8

3

1 x

y


15/34

102

3

1

dx

du-=

2u1

1

8

3

du

dy

-

=

22 x9

118

1

3

1

u1

1

8

3

dx

du

du

dy

dx

dy

-

-=

-

-==

Jika y = f(x) = arccos x maka2x1

1)x('f

dx

dy

-

-== (4.26)

Bukti :

y = arccosx cos y = x 1dx

dx

dx

dyysin ==-

ysin

1

dx

dy-=


cos y = x

sin y = 2x1 -

2x1

1

dx

dy

-

-= (terbukti) 2x1 -

x

Jika y = arccos u dan u = f(x) makadx

du

u1

1

dx

dy

2

-

-= (4.27)

Bukti :

y = arccos u 2u1

1

du

dy

-

-=

dx

du

u1

1

dx

du.

du

dy

dx

dy

2-

-== (terbukti)

Contoh 4.17

Jika y = 2xarccos3- , tentukandx

dy

Penyelesaian :

Misal u = 2x y = uarccos3- 2

dx

du=

2u1

13

du

dy

-

=

22 x41

6)2(

u1

13

dx

du

du

dy

dx

dy

-

=

-

==

1

y


16/34

103

Jika y = f(x) = arctan x maka2x1

1)x('f

dx

dy

+

== (4.28)

Bukti :

y = arctanx tan y = x sec2y 1dx

dx

dx

dy==

ysec

1

dx

dy2

=


tan y = x

sec2y = 2x1 -

2x1 + x

2x1

1

dx

dy

-

= (terbukti)

1

Jika y = arctan u dan u = f(x) makadx

du

u1

1

dx

dy2

+

= (4.29)

Bukti : y = arctan u 2u1

1

du

dy

+

=

dx

du

u1

1

dx

du.

du

dy

dx

dy2

+

== (terbukti)

Contoh 4.18

Jika y = x3

1

arctan5

3

, tentukan dx

dy

Penyelesaian :

Misal u = x3

1 y = uarctan

5

3

3

1

dx

du=

2u1

1

5

3

du

dy

+

=

)x9

11(5

1

3

1

u1

1

5

3

dx

du

du

dy

dx

dy

22

+

=

+

==

Jika y = f(x) = arccot x maka2x1

1)x('f

dx

dy

+

-== (4.30)

Bukti : y = arccotx cot y = x -csc2y 1dx

dx

dx

dy==

ycsc

1

dx

dy2

-=


cot y = x

csc2y = 2x1 +

2x1 + 1

y


17/34

104

2x1

1

dx

dy

+

-= (terbukti)

x

Jika y = arccot u dan u = f(x) makadx

du

u1

1

dx

dy2

+

-= (4.31)

Bukti : y = arccot u 2u1

1

du

dy

+

-=

dx

du

u1

1

dx

du.

du

dy

dx

dy2

+

-== (terbukti)

Contoh 4.19

Jika y = 2 arccot 3x, tentukandx

dy

Penyelesaian :Misal u = 3x y = 2 arccot u

3dx

du=

2u1

12

du

dy

+

-=

22 x91

6)3(

u1

12

dx

du

du

dy

dx

dy

+

-=

+

-==

Jika y = f(x) = arcsec x maka1xx

1)x('fdxdy

2-

== (4.32)

Bukti : y = arcsecx sec y = x secy tany 1dx

dx

dx

dy==

ytanysec

1

dx

dy-=


sec y = x

sec y tan y = 1xx 2 -

x 1x2 -

1xx

1

dx

dy

2 -

-= (terbukti)

1

Jika y = arcsec u dan u = f(x) makadx

du

1uu

1

dx

dy

2-

= (4.33)

Bukti : y = arcsec u 1uu

1

du

dy

2-

=

dx

du

1uu

1

dx

du.

du

dy

dx

dy

2-

== (terbukti)

y

y


18/34

105

Contoh 4.20

Jika y = arcsec )x2( -p , tentukan

dxdy

Penyelesaian :

Misal u = x2

-p

y = arcsec u

1dx

du-=

1uu

1

du

dy

2-

=

1)x2()x

2(

1)1(

1uu

1

dx

du

du

dy

dx

dy

22--

p-

p

-=-

-

==

Jika y = f(x) = arccsc x maka1xx

1)x('f

dx

dy

2-

-== (4.34)

Bukti :

y = arccscx csc y = x -csc y cot y 1dx

dx

dx

dy==

ycotycsc

1

dx

dy-=


csc y = x

csc y cot y = 1xx 2 -

x 1

1xx

1

dx

dy

2-

-= (terbukti)

1x2 -

Jika y = arcsec u dan u = f(x) makadx

du

1uu

1

dx

dy

2-

-= (4.35)

Bukti : y = arccsc u 1uu

1

du

dy

2-

-=

dxdu

1uu1

dxdu.

dudy

dxdy

2-

-== (terbukti)

Contoh 4.21

Jika y = arccsc )2

x( p- , tentukan

dx

dy

Penyelesaian :

Misal u =2

x p- y = arccsc u

1dx

du=

1uu

1

du

dy

2-

-=

y


19/34

106

1)2

x()2

x(

1)1(

1uu

1

dx

du

du

dy

dx

dy

22-

p-

p-

-=

-

-==

Soal-soalCarilah turunan pertama dari soal-soal berikut !

1. y = arcsin(p-x) 3.xarccos

x2cosy =

2. y = -3 arccos 4x 4. y = arctan x sin 3x

4.8 Turunan fungsi Eksponen

Jika y = f(x) = ex maka == )x('f

dx

dye

x (4.36)

Bukti :

exdidefinisikan sebagai

n

n

x1

nlim

+

Dengan menggunakan teorema binomial didapat :n

n

x1

+ = L

n

x

3!

1).2n)(1n(n

n

x

!2

1).1n(n

n

x

!1

1n1.n

n

x

!0

n1 33n22n10

+

--+

-+

-+

--

n

n

x1

+ = Lx

3!

)n/21)(n/11(x

!2

)n/11(x1 32 +

--+

-++

n

n

x1

nlim

+

=

+

--+

-++

Lx

3!

)n/21)(n/11(x

!2

)n/11(x1

nlim 32

ex= L

3

x

!2

xx1

32++++ (4.37)

Sehingga : e = LL ++++=++++!3

1

!2

111

3

1

!2

111

32 (4.38)

Jika y = f(x) = ex

Makax

)1e(elim

x

eelim

x

)x(f)xx(flim)x('f

dx

dy xx

0x

xxx

0x0x D

-=

D

-=

D

-D+==

D

D

D+

DD

Karena e

x

=L

3

x

!2

x

x1

32++++

, maka e

Dx

1 =L

3

x

!2

x

x

32+

D+

D+D

Sehinggax

)1e(elim

xx

0x D

-D

D= x

2x

0xe

3

x

!2

x1elim =

+

D+

D+

DL (terbukti)

Jika y = eu dan u = f(x) maka

dx

due

dx

dy u= (4.39)

Bukti : y = eu ue

du

dy=

u = f(x) )x('fdx

du=


20/34

107

dx

due

dx

du

du

dy

dx

dy u== (terbukti)

Contoh 4.22

Jika y = bxae2 -- , tentukandx

dy

Penyelesaian :Misal : u = a bx

dx

du= -b

bxabxa be)b)(e(dx

dy ---=-=

4.9 Turunan fungsi logaritma

Jika y = f(x) = ln x maka == )x('fdx

dy

x

1 (4.40)

Bukti :y = f(x) = ln x

x

x

x1ln

limx

xln)xxln(lim

x

)x(f)xx(flim)x('f

dx

dy

0x0x0x D

D+

=D

-D+=

D

-D+==

DDD

=

D+

D=

D x

x1ln

x

1lim0x

=

D+

D=

D x

x1ln

x

xlim

x

1

0x

x

x

0x x

x1lnlim

x

1 D

D

D+=

Berdasarkan teorema binomial maka :

L+

D

-

D

D+

D

D+=

D+

-D

-D

DD

!2

x

x11

x

x

x

x

!1

x

x1

x

x

!0

1

x

x1

22x

x1

x

x

x

x

x

x

Jadi :

+

D

-D

D

+

D

D

+=

D+

-

D

-

DD

D

D

DL

!2

xx11

xx

xx

!1

xx1

xx

!0

1lnlim

x

1

x

x1lnlim

x

1

22x

x1

x

x

xx

0x

xx

0x

+

D-

D-

+

D-

++=

D+

D

D

DL

!3

x

x21

x

x1

!2

x

x1

11lnlimx

1

x

x1lnlim

x

1

0x

x

x

0x

( )x

11

x

1eln

x

1

!3

1

!2

111ln

x

1===

++++= L (terbukti)


21/34

108

Jika y = ln u dan u = f(x) makadx

du

u

1

dx

dy= (4.41)

Bukti : y = ln uu

1

du

dy=

u = f(x) )x('fdx

du=

dx

du

u

1

dx

du

du

dy

dx

dy== (terbukti)

Contoh 4.23

Jika y = e2x

ln x3

1tentukan

dx

dy

Penyelesaian :Misal : u = e2x v = ln x31

x2e2dx

du=

x

1

dx

dv=

+=+=+=x

1x3

1ln2e

x

1ex

3

1lne2

dx

dv.uv.

dx

du

dx

dy x2x2x2

Jika y = f(x) =alog x maka == )x('f

dx

dy

x)a(ln

1 (4.42)

Bukti :

y =alog x a

y= x

y ln a = ln x y = xlnaln

1

x)a(ln

1

dx

dy= (terbukti)

Jika y =alog u dan u = f(x) maka

dx

du

u)a(ln

1

dx

dy= (4.43)

Bukti :

y =alog u

u)a(ln

1

du

dy=

dx

du.u)a(ln

1

dx

du.du

dy

dx

dy== (terbukti)

Contoh 4.24

Jika y = 7log(3-5x) tentukandx

dy

Penyelesaian :Misal : u = 3 5x 5dx

du-=

)x53)(7(ln

5

dx

du

u)a(ln

1

dx

dy

-

-==


22/34

109


1. y = xe3x

4. y =x4

2

e

x3lnx 7. y =

x4ln

ex

3

1

10. y =xlne

ex5lnxx

x-

2. y =x3e2

2x3-

5. y =x2

x

e

)ex4(lnx + 8. y =

x23

5

e

)x1log(3

-

-

3. y = x3 ln2x 6. y =x65

x3ln2

- 9. y =

x4log

ex3

bxa3 -

4.10 Turunan fungsi hiperbolik

Jika y = f(x) = sinhx maka == )x('fdx

dycoshx (4.44)

Bukti :

y = f(x) = sinhx = )ee(21 xx --

)x('fdx

dy= = )ee(

2

1 xx -+ = coshx (terbukti)

Jika y = sinh u dan u = f(x) maka =dx

dycosh u

dx

du (4.45)

Bukti :

y = sinh u ucoshdu

dy=

dx

duucosh

dx

du.

du

dy

dx

dy== (terbukti)

Contoh 4.25

Jika y = 3 sinh x5

1, tentukan

dx

dy

Penyelesaian :

Misal : u = x5

1 y = 3 sinh u

5

1

dx

du= ucosh3

du

dy=


23/34

110

x3

1cosh5

3)5

1u)(cosh3(

dx

du

du

dy

dx

dy===

Jika y = f(x) = coshx maka == )x('fdx

dysinhx (4.46)

Bukti :

y = f(x) = coshx = )ee(2

1 xx -+

)x('fdx

dy= = )ee(

2

1 xx -- = sinhx (terbukti)

Jika y = cosh u dan u = f(x) maka =dx

dysinh u

dx

du (4.47)

Bukti :

y = cosh u usinhdu

dy=

dx

duusinh

dx

du.

du

dy

dx

dy== (terbukti)

Contoh 4.26

Jika y = cosh (1-2x), tentukandx

dy

Penyelesaian :

Misal : u = 1-2x y = cosh u

2dx

du-= usinh=

d u

d y

)21sinh(2)u)(-2(sinh xd x

du

du

dy

d x

d y--===

Jika y = f(x) = tanhx maka == )x('fdx

dysech2x (4.48)

Bukti :

y = f(x) = tanhx = xcosh

xsinh

)x('fdx

dy= =

xcosh

xsinhxcosh

)x(cosh

)x)(sinhx(sinh)x)(coshx(cosh2

22

2

-=

-

= xhsecxcosh

1 22

= (terbukti)

Jika y = tanh u dan u = f(x) maka =dx

dysech2u

dx

du (4.49)

Bukti :


24/34

111

y = tanh u uhsecdu

dy 2=

dx

duuhsec

dx

du.

du

dy

dx

dy 2== (terbukti)

Contoh 4.27

Jika y = tanh (a+bx), tentukandx

dy

Penyelesaian :Misal : u = a+bx y = tanh u

bdx

du= uhsec

du

dy 2=

)bxa(hsecb)u)(bh(secdx

du

du

dy

dx

dy 22+===

Jika y = f(x) = cothx maka == )x('fdx

dy-csch2x (4.50)

Bukti :

y = f(x) = cothx =xsinh

xcosh

)x('fdx

dy= =

xsinh

xcoshxsinh

)x(sinh

)x)(coshx(cosh)x)(sinhx(sinh2

22

2

-=

-

= xhcscxsinh

1 2

2 -=

-

(terbukti)

Jika y = coth u dan u = f(x) maka =dx

dy- csch2u

dx

du (4.51)

Bukti : y = tanh u uhcscdu

dy 2-=

dx

duuhcsc

dx

du.

du

dy

dx

dy 2-== (terbukti)

Contoh 4.28

Jika y = coth (a+bt), tentukandt

dy

Penyelesaian :Misal : u = a+bt y = coth u

bdt

du= uhcsc

du

dy 2-=

)bta(hcscb)u)(bhcsc(dt

du

du

dy

dt

dy 22+-=-==

Jika y = f(x) = sechx maka == )x('fdx

dy-csch2x (4.52)

Bukti : y = f(x) = sechx =xcosh

1


25/34

112

Misal u = 1 0dx

du=

V = coshx xsinhdx

dv=

2v

dx

dv.uv.

dx

du

dx

dy -

= =2)x(cosh

)x)(sinh1()x)(cosh0( -=

xcosh

xsinh2

-

= - tanhx sechx (terbukti)

Jika y = sech u dan u = f(x) maka =dx

dy- tanhu sechu

dx

du (4.53)

Bukti : y = sech u uhsecutanhdu

dy-=

dx

du

usechutanhdx

du

.du

dy

dx

dy-== (terbukti)

Contoh 4.29

Jika y = 2sech )x5

1

3

1( - , tentukan

dt

dy

Penyelesaian :

Misal : u = x5

1

3

1- y = 2 sech u

5

1

dx

du-= sechuutanh

du

dy-=

)x5

1

3

1sech()x

5

1

3

1tanh(

5

2)

5

1sechu)(-utanh2(

dt

du

du

dy

dt

dy--=-==

y = f(x) = cschx maka == )x('fdx

dy-csch x cothx (4.54)

Bukti :

y = f(x) = sechx =xsinh

1

Misal u = 1 0dx

du=

V = sinhx xcoshdx

dv=

2v

dx

dv.uv.

dx

du

dx

dy -

= =2)x(sinh

)x)(cosh1()x)(sinh0( -=

xsinh

xcosh

2

-

= - cothx cschx (terbukti)

Jika y = csch u dan u = f(x) maka =dx

dy- cothu cschu

dx

du (4.55)

Bukti :

y = csch u uhcscucothdu

dy-=


26/34

113

dx

duucschucoth

dx

du.

du

dy

dx

dy-== (terbukti)

Contoh 4.30

Jika y = -3csch )x2

1

5

1( + , tentukan

dt

dy

Penyelesaian :

Misal : u = x2

1

5

1+ y = -3 csch u

2

1

dx

du= cschuucoth3

du

dy=

)x2

1

5

1sech()x

2

1

5

1coth(

2

3)

2

1cschu)(ucoth3(

dt

du

du

dy

dt

dy++===


1. y = sinh(2-3x) 6. y =)x21coth(

cbxax2

+

++

2. y = cosh(a2x b) 7. y =x2hsec

e ax-

3. y = x2sinh5x 8. y =)x54ln(

x3hsec

-

4. y = emxcosh2x 9. y = 1)-csch(xx5

1 3

5. y = ln(2-x) tanh3x 10. y = bx)-csch(aex

3

1

4.11 Turunan fungsi hiperbolik invers

Jika y = f(x) = sinh-1x maka == )x('fdx

dy

1x

1

2+

(4.56)

Bukti : y = f(x) = sinh-1x = )1xxln( 2 ++

1x1

1xx1.

1xx1x

1xx1x

x1

dxdy

222

2

2

2

+

=

+++

++=

++

+

+

= (terbukti)

Jika y = sinh-1u dan u = f(x) maka =dx

dy

dx

du

1u

1

2+

(4.57)

Bukti : y = sinh-1u 1u

1

du

dy

2+

=

dx

du

1u

1

dx

du.

du

dy

dx

dy

2+

== (terbukti)


27/34

114

Contoh 4.31

Jika y = -3sinh-1 x2

1, tentukan

dt

dy

Penyelesaian :

Misal : u = x2

1 y = -3 sinh-1u

2

1

dx

du=

1

13

2+

-=

udu

dy

14

12

3)

2

1)(

1

13(

22

+

-=

+

-==

xud t

du

du

d y

d t

d y

Jika y = f(x) = cosh-1x maka == )x('fdx

dy

1x

1

2-

, x > 1 (4.58)

Bukti : y = f(x) = cosh-1x = )1xxln( 2 -+

1x

1

1xx

1.

1x

x1x

1xx

1x

x1

dx

dy

222

2

2

2

-

=

-+-

+-=

-+

-

+

= , x > 1 (terbukti)

Jika y = cosh-1u dan u = f(x) maka =dx

dy

dx

du

1u

1

2-

, u > 1 (4.59)

Bukti : y = cosh-1u 1u

1

du

dy

2-

=

dx

du

1u

1

dx

du.

du

dy

dx

dy

2-

== , u > 1 (terbukti)

Contoh 4.32

Jika y = cosh-1 x4

3, tentukan

dx

dy

Penyelesaian :

Misal : u = x4

3 y = cosh-1u

4

3

dx

du=

1u

1

du

dy

2-

=

1x16

94

3)4

3)(

1u

1(

dt

du

du

dy

dt

dy

22+

=

-

==

Jika y = f(x) = tanh-1x maka == )x('fdx

dy

2x1

1

-

, 1x < (4.60)

Bukti : y = f(x) = tanh-1x = 1x,x1

x1ln

2

1

kalkulus bab iv differensiasi

Documents