10/10/2014

1

Aplikasi turunan

Maksimum dan minimum suatu fungsi

2

10/10/2014

2

Maksimum dan minimum suatu fungsi

Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi disebut nilai ekstrim Fungsi yang dimaksimumkan atau diminimumkan disebut fungsi

obyektif 3

Dimana terjadinya nilai ekstrim?

Titik ujung Titik stasioner

Titik singular

titik dimana ' tidak adaf

Dalam masalah praktis, nilai ekstrem di titik singular jarang terjadi, yang sering adalah nilai ekstrim di titik stasioner

Titik tempat terjadinyanilai ekstrim disebuttitik kritis

4

10/10/2014

3

Teori keberadaan nilai maks/nilai min

Jika f kontinu pada interval tertutup [a,b] maka f mencapai nilai maks dan nilai min di interval tersebut

Contoh:

Pada [0, ) tanpa maks atau min1Pada [1,3] maks=1, min= 3

1Pada (1,3] tanpa maks, min= 3

5

Contoh

3 2

Carilah titik-titik kritis dan nilai ekstrim dari fungsi 1( ) 2 3 pada interval , 22

f x x x

2

Jawab:- Tidak terdapat titik singular krn fungsi polinomial- Titik stasioner terjadi jika '( ) 0 -6 6 0 0 atau 1

1Jadi titik kritisnya adalah di ,2,0,121Nilai maks 1 12

Nilai min 2 4

f xx x x x

f f

f

6

10/10/2014

4

Latihan

7

Kemonotonan dan Kecekungan

8

10/10/2014

5

Kemonotonan (fungsi)

9

Kemonotonan (grafik)

Monoton naik

Monoton turun

Monoton tak turun

Monoton tak naik

10

10/10/2014

6

Contoh

3 2

2

Tentukan dimana naik dan dimana turun jika ( ) 2 3 12 7 Jawab:

'( ) 6 6 12 6 1 2

maks ketika 1 2 0

min ketika 1 2 0

f f f x x x x

f x x x x x

x x

x x

-1 2

2

2

titik ekstrim membagi garis bilangan menjadi 3 interval (diuji pada titik berikut):

'( 2) 24 0'(0

naiktur) 12 0

'(3) 6 0un

naik

x

fff

11

Latihan

2

2

Tentukan daerah kemonotonan dari fungsi berikut:

a) ( )1

2 4b) ( )2

xf xx

x xf xx

12

10/10/2014

7

Teorema kecekungan

Misalkan terdeferensiasi pada interval terbuka :(i) Jika untuk semua dalam I maka dalam (ii) Jika untuk semua dalam I mak

"( ) 0cekung keatas

"( a

) 0cekung keb da ah al w ma

f xf I

xf I

xf

f xI

13

Contoh

2

3 21Tentukan dimana ( ) - -3 4 naik, 3

turun, cekung ke atas dan cekung ke bawah?

'( ) 2 3 ( 1)( 3)

"( ) 2 2

Jawab

(

:

2 1)

f x x

f x x

x x x

f x x x

x x

-1 3+++ - - - +++

1- - - +++

Naik NaikTurun

Cekung ke bawah Cekung ke atas

14

10/10/2014

8

Latihan

2

2

Tentukan daerah cekung ke dari fungsi berikut:

a) ( )1

2 4b) (

atasbawa

2

h

)

xf xx

x xf xx

15

Kecekungan dan titik belok/balik

16

10/10/2014

9

Definisi formal titik belok/balik

Misalkan kontinu di . Kita sebut , ( ) suatu pada grafik jika sisi kiri dan sisi

kanan memiliki kecekunti

gan yang berbedatik bel

.ok

f c c f cf

c

Titik belok terjadi di titik-titik dimana "( ) 0 atau di titik-titik "( ) tidak ada.

f xf x

17

Ilustrasi titik belok/balik

Cekung ke bawahCekung

ke atas

Cekung ke atas

Cekung ke bawah

Cekung ke atas

Cekung ke bawah

Titik belok

Titik belok

18

10/10/2014

10

Contoh

3

Carilah titik belok (bila ada) pada fungsi berikut:( ) 2 1

Jawab:"( ) 12 "( ) 0 12 0 0

Jadi (0, -1) merupakan calon titik bcekung ke bawahcekung ke ata

elok.Untuk 0 "( ) 0Untuk 0 " 0 s( )

f x x

f x x f x x x

x f xx f x

Karena sebelah kiri titik (0,-1) cekung ke bawah dan sebelah kanannya cekung ke atas maka titik (0,-1) merupakan titik belok 19

Latihan

4

1 3

Carilah titik belok (bila ada) pada fungsi berikut:(a) ( )(b) ( ) 1

f x xf x x

20