TUGAS PORTOFOLIO MATEMATIKA DASAR

Dosen Pengampu : Riza Arifudin S.Pd ,M.Cs

Nama :Emas Agus Prastyo WibowoNIM :4311413013Prodi:Kimia

UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG2013

BAB IISISTEM BILANGAN REAL

A. Kompetensi dan IndikatorA.1 Standar KompetensiMenggunakan konsep bilangan real dalam soal dan permasalahan yang relevan.A.2 Kompetensi DasarMemahami matematika pada materi sistem bilangan real, ketaksamaan, nilai mutlak, akarkuadrat dan kuadrat, koordinat kartesius dan kutub, grafik, serta sistem persamaan linearA.3 Indikator PembelajaranMahasiswa mampu mengerjakan soal-soal

Kalkulus-1 : Sistem Bilangan RealA. Sistem BilanganB. PertidaksamaanC. Nilai Mutlak

A. Sistem BilanganBILANGAN REALHimpunan bilangan real adalah himpunan bilangan yang merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasionalBilangan RasionalAdalah suatu bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk di mana p, q Z, dengan q 0. Notasinya: Q = {x|x = , p dan qZ, dengan q 0}.

Bilangan Irrasional (Tak Rasional)

Adalah suatu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk .Notasinya: iR = {x|x tidak dapat dinyatakan dalam bentuk }contoh : , e, log 5 Sistem Bilangan / Himpunan BilanganHimpunan Bilangan Asli: N = {1, 2, 3, 4, 5, }Himpunan Bilangan Bulat: Z = { ,2,1, 0, 1, 2, 3, }Himpunan Bilangan Rasional: Q = { | p, q Z, q_= 0}

Perhatikan gambar segitiga di samping. Panjang sisi miringnyaadalah 2. Apakah bilangan tersebut merupakanbilangan rasional .Gabungan himpunan bilangan rasional dan irrasional disebut himpunan bilanganreal, disimbolkan R. Jelas N Z Q R.

1) Sifat-sifat Bilangan Real Komutatif (pertukaran), hanya untuk penjumlahan dan perkalianx+y= y + x dan xy =yx

Asosiatif (pengelompokan), hanya untuk penjumlahan dan perkalian(x+y)+z = x +(y +z) dan (xy)z = x(yz)

Distributif, perkalian terhadap penjumlahan(x+y) = xz+yz Unsur identitasTerhadap operasi jumlah yaitu 0 sehingga x + 0 = xTerhadap operasi kali yaitu 1 sehingga x.1 = x

InversTerhadap penjumlahan yaitu x sehingga x +(-x) = 0Terhadap perkalian yaitu sehingga x . = 1

2) Sifat-sifat Urutan Bilangan Real

Trikotomi Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y Ketransitifan Jika x < y dan y < z maka x < z

Perkalian Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz

Garis bilangan

Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut dengan garis bilangan(real)

-30 1

Sistem Bilangan Real

Himpunan bilangan real dengan semua operasi dan sifat-sifat yang berlaku di dalamnya dinamakan sistem bilangan real

INTERVAL BILANGAN REAL

Interval adalah suatu himpunan bagian dari garis bilangan real yang mengandung paling sedikit 2bilangan real yang berbeda dan semua bilangan real yang terletak diantara keduanya.

Penulisan himpunan dalam bentuk interval/selang:{ x|a xb,xR} =[a,b ] disebut selang tutup{x|a =(a,b ) disebut selang buka{ x|a= [ a,b) keduanya disebut selang setengah buka / setengah tutup{ x|a =(a,b ]{x |x=[ b, ) keduanya disebut selang tak terbatas{x |x=(-,a]

B. Pertidaksamaan

Notasi Interval: Misalkan a, b R,1. (a, b) = { x |a < x < b} 2. [a, b] = { x | a x b } 3. [a, b) = { x | a x < b}

4. (a,) = { x |x > a}5. [a,) = { x | x a }6. (, b) = { x |x < b} b7. (, b] = { x | x b }b8. (,) = R

B. Pertidaksamaan

Pertidaksamaan tidak boleh dikalikan atau dibagi oleh suatu variabel karena variabel tersebut bisa bernilai positif atau negatif.Pertidaksamaan akan berubah tanda apabila variabel pengali/pembagi bernilai negatif.

Bentuk umum:

A(x),B(x), C(x), dan D(x) masing-masing polinom.

Catatan: Tanda < dapat juga berupa , > atau

Contoh:

Himpunan dari semua titik x R yang memenuhi pertaksamaan tersebut disebut solusi.

Langkah-Langkah menentukan solusi pertaksamaan rasional:(dijelaskan seiring dengan pencarian solusi dari ) Tentukan daerah definisi dari pertaksamaan tersebut Tambahkan kedua ruas dengan sehingga diperoleh bentuk Faktorkan P(x) dan Q(x) atas faktor-faktor linier & kuadrat definit. Gambarkan garis bil. real dan tandai akar-akar dari P(x) dan Q(x). Pada setiap subinterval yang terbentuk, ambil satu buah titik dan periksa tanda dari

+--+

Simpulkan solusi dari pertaksamaan tersebut.

Diskusi: Perhatikan langkah kelima di atas. Untuk menentukan tanda dari sepanjang suatu subinterval, mengapa cukup kita uji pada satu titik saja ? Jelaskan !

Latihan Tentukan solusi dari:a) 2 x2 x < 6b) (x 1)2 c) 5x 3 7 - 3x

Hati-Hati:Jangan mengalikan pertaksamaan dengan bilangan yang tidak diketahui tandanyailustrasi: Sebaiknya, hindari mencoret faktor yang sama, ilustrasi:

C. Nilai Mutlak

Definisi nilai mutlak

Nilai mutlak x dengan notasi |x | didefinisikan sebagai:

Contoh: | 6 | = 6 ,karena 60 | -4| = - ( - 4) = 4,karena 4 | 0 | =0

Akibat definisi nilai mutlak x

Sifat-sifat Nilai Mutlaka. |x.y | = |x | .|y |b. c. | x+y| |x |+ | y|d. |x | |y |e. |x y| | |x| |y| |

Contoh:

|x+5| < 6

Latihan a) |x 3| = x 3b) |x 1| = 2.c) |x 5 ||2 x 6|d) |2x 7| < 3e) |x 2| + |x + 2| > 7f) |x 2| < 3 |x + 7|

Sistem Koordinat Kartesius / Persegi PanjangPelopor: Pierre de Fermat (1629) & Rene Descartes (1637)

Sistem koordinat adalah suatu metode untuk menentukan letak suatu titik dalam grafik. Adabeberapa macam system koordinat yaitu: Sistem Koordinat Cartesius; Sistem Koordinat Kutub; Sistem Koordinat Tabung, dan Sistem Koordinat Bola.

Sistem Koordinat CartesiusKoordinat ini terdiri dari 2 garis saling tegak lurus, yaitu satu mendatar (horizontal) dan yang lain tegak (vertikal). Garis mendatar ini disebut sumbu-x sedangkan garisyang tegak disebut sumbu-y. Perpotongan kedua sumbu tersebut dinamakan titik asal (origin) dan diberi tanda O. Seperti biasanya, titik-titik di sebelah kanan O nilainya adalah positif (bilangan-bilangan real positif) sedangkan titik-titik di sebelah kiri O dengan bilangan-bilangan real negatif. Demikian pula dengan titik-titik di sebelah atas O dan di sebelah bawah O masing-masing dikaitkan denganbilangan-bilangan real positif dan negatif. Oleh ke dua sumbu, bidang datar (bidang koordinat) terbagi menjadi 4 daerah (kwadran), yaitu kwadran I, kwadran II, kwadran III, dan kwadran IV

Gambar Koordinat Katesius dan kwadrannyaLetak sembarang titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan variable berurutan (x,y). Titik P(x,y) berarti bahwa jarak titik P ke sumbu-x dan sumbu-y masing masing adalah |y| dan |x|. Apabila x < 0 (atau y < 0) maka titik P berada di sebelah kiri (atau sebelah bawah) titik asal O dan apabila x > 0 (atau y > 0) maka titik P terletak di sebelah kanan (atau sebelah atas) titik asal O dalam hal ini, x disebut absis titik P sedangkan y disebut ordinat titik P.

Jarak dua titik di bidangMisalkan P(x1, y1) dan Q(x2, y2) dua buah titik pada bidang, jaraknya adalah d(P,Q) =

Garis LurusBentuk umum: Ax + By + C = 0 dengan A,B, dan C konstanta.Nilai A dan B tidak boleh nol secara bersamaan.Grafik garis lurus ditentukan oleh dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) yangmemenuhi persamaan tersebut.Hal-hal khusus: Bila A = 0, persamaan berbentuk y = , grafiknya sejajar sumbu-x. Bila B = 0, persamaan berbentuk x =, grafiknya sejajar sumbu-y. Bila A,B tak nol, Ax + By + C = 0 y =

Misalkan (x1, y1) dan (x2, y2) dua titik pada garis tersebut. Kemiringan garis didefinisikan sebagai m =

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) :

Persamaan garis lurus dengan kemiringan m dan melalui titik (x1, y1) :y y1 = m(x x1)

Misalkan garis _1 dan _2 dua buah garis dengan kemiringan m1 dan m2. Kedua garis tersebut sejajar m1 = m2

Kedua garis tersebut saling tegak lurus m1 m2 = 1 (mengapa?)

Lingkaran

Lingkaran adalah himpunan titik-titik yang jaraknya sama terhadap titiktertentu (disebut pusat lingkaran). Persamaan lingkaran yang berpusatdi (0, 0) dan jari-jari r adalah: Bila pusat lingkaran berada di titik (p, q) maka persamaannya menjadi + =

Contoh 1:Tulislah persamaan lingkaran yang berjari-jari 5 satuan dan pusatnya O(0,0).Jawab:Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berjarijari 5 adalahatau.

Contoh 2.Tulislah pusat dan jari-jari lingkaran yang persamaannya = = 27.Jawab:Pusat lingkaran = 27 adalah O(0,0), jari-jarinya adalah r = = 3 satuan.

Contoh 3:Tulislah persamaan lingkaran yang berjari-jari 5 satuan dan berpusat di titik (2,4).Jawab:Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2,4) dan berjari-jari 5 adalah+ atau +

Persamaan Lingkaran + A x + B y + C = 0.Ini adalah persamaan lingkaran denganPusat : P(

Jari-jari : r =

Contoh:Carilah pusat dan jari-jari lingkaran yang persamaannya - 6 x + 4 y - 12 = 0.Jawab:Pada persamaan - 6 x + 4 y - 12 = 0, nilai A = -6, B = 4 dan C = -12.Misalkan pusat lingkarannya P dan jari-jarinya r.Pusat : P( = (3,-2)

Jari-jari : r = r = = 5 satuan

Latihan

a. Tentukan persamaan lingkaran di kuadran I yang menyinggung garis y = dan sumbu X di titik (4,0).b. Hitung jarak terdekat antara titik P(-7,2) ke lingkaran -10x 14y -151 = 0.c. Diketahui titik P(1,7) dan lingkaran + = 16. Hitung jarak terdekat P kelingkaran.

KOORDINAT KUTUBDalam beberapa hal, lebih mudah mencari lokasi/posisi suatu titik dengan menggunakan koordinat kutub. Koordinat kutub menunjukkan posisi relatif terhadap titik kutub O dan sumbu polar (ray) yang diberikan dan berpangkal pada O.

A(r,)r0

Suatu titik A dapat dinyatakan sebagai pasangan berurut A(r,) r : jarak titik A terhadap titik asal O (0,0) : besar sudut antara sb-X (x positif) terhadap garis OA

Cos = Sin = Jika diketahui Koordinat Kutub ( r , ) :Maka :x = r. cos y = r. sin Jika diketahui Koordinat Kartesius ( x , y ) :Maka :r = tan =Contoh Soal :Diketahui Koordinat Kutub :

A(10,3010

300

Ubahlah ke Koordinat Kartesius : A(10,30Maka :x = r. cos y = r. sin Penyelesaian :Titik A(10,30 x = r. cos =10 .cos 30 =10.=5 y= r. sin =10. sin30 =10.= 5 `Jadi .A(10, 30) (5 , 5)

Diketahui Koordinat Kartesius :

A(x,y)

Ubahlah ke Koordinat Kutub :Titik A ( 4, 4)Maka : r = tan =

Penyelesaian :Titik A (4, 4 ) r = = = = 8 tan = = = = 60Jadi A( 4, 4 ) A ( 8,600)

Grafik Persamaan KutubCardioid:r a(1sin) dan r a(1cos)Contoh : r = sin + 1

Limaon:r = a + b cos , r = a + b sin contoh : r = 3 5 sin

Mawar (Rose)Persamaan berbentuk r = cos (n ) atau r = sin(n )mempunyai grafik berbentuk mawar (rose);dengan jumlah kelopak = n jika n ganjil,2n jika n genapContoh : r = cos

Lemniscate:Contoh: untukr 2 a cos(2) atau r 2 asin(2)r 2 4sin(2)

Spiral:Persamaan berbentuk r = nContoh : r =

Grafik dari butterfly curver() = exp(cos())- 2*cos(4* ) + sin(/4)^3

KOORDINAT POLARTitik P dengan koordinat polar (r, ) berarti berada diposisi: - derajat dari sumbu-x (sb. polar) ( diukur berlawanan arah jarum-jam)- berjarak sejauh r dari titik asal kutub O. Perhatian: jika r < 0, maka P berada di posisi yang berlawanan arah. r: koordinat radial : koordinat sudut

Setiap titik mempunyai lebih dari satu representasi dalam koordinat polar (r, ) = (- r, + n ), untuk n bil. bulat ganjil = ( r, + n ) , untuk n bil. bulat genap

Persamaan dalam Koordinat Polar Pers. polar dari lingkaran berjari-jari a: r = a Untuk lingkaran berjari a - berpusat di (0,a): r = 2a sin - berpusat di (a,0): r = 2a cos

r = 2 sin r =cosr

00

2/2

0

r

20

0 /2

-2

Konversikan persamaan polar r = 2 sin kedalam sistem koordinat tegak: Kalikan kedua sisi dengan r: r2 = 2r sin x2 + y2 = 2y x2 + y2 - 2y = 0 Jadi persamaan tsb. dalam koordinat tegak adalah x2 + (y -1)2 = 1

Cari titik potong antara 2 persamaan polar berikut: r = 1 + sin and r2 = 4 sin . Solusi: (1 + sin )2 = 4 sin 1 + 2 sin + sin2 - 4 sin = 0 sin2 - 2 sin + 1 = 0 (sin - 1)2 = 0 sin = 1 Jadi sudut = /2 + 2n, dimana n = 0,1, Jadi salah satu titik potong: (2, /2)

Grafik Persamaan PolarCardioid:

Limaon: r = a + b cos , r = a + b sin Limaon: r()= 3 2 cos()

Persamaan berbentuk r = cos (n ) atau r = sin(n ) mempunyai grafik berbentuk mawar (rose); dengan jumlah kelopak = n jika n ganjil,2n jika n genap Rose: r() = a b sin (n) contoh: r() = 5 sin(2)

Grafik persamaan polar

Lemniscate:

Spiral: r =

Menghitung Luas dalam Koordinat Polar Definisi: Luas daerah R yang dibatas oleh dua garis radial = dan = dan kurva r = f( ), , adalah = r = f()

BAB III FUNGSI DAN LIMIT

MATERI YANG DI BAHASA. DEFINISI FUNGSIB. NOTASI FUNGSIC. DAERAH ASAL DAN AERAH HASILD. GRAFIK FUNGSIE. FUNGSI GENAP DAN GANJILF. OPERASI FUNGSIG. KOMPOSISI FUNGSIH. FUNGSI TRIGONOMETRI

A.DEFINISI FUNGSI

Ada dua buah definisi1.Sebuah fungsi adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap objek x dalam satu himpunan yang disebut daerah asal ,dengan sebuah nilai unik dari himpunan kedua .Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil fungsi tersebut2.Suatu fungsi adalah suatu himpunan pasangan terurut(x,y) dimana tidak terdapat dua pasangan berbeda yang bilangan pertamanya sama.Himpunan semua nilai x yang mungkin dinamakan daerah asal (domain)fungsi,dan himpunan semua nilai y yang di hasilkan dinamakan daerah nilai fungsi

Dari kedua definisi di atas diambil garis besarnya adalahSuatu himpunan pasangan terurut bilangan (x,y) dimana tidak terdapat dua pasangan berbeda yang bilangan pertamanya sama .Tiap objek x dalam satu himpunan pertama,yang disebut daerah asal (domain) dihubungkan dengan sebuah titik unik dari himpunan kedua yang dinamakan daerah nilai (range/jelajah/hasil)

B.NOTASI FUNGSI

Di pakai sebuah huruf tunggal seperti dibaca dari x atau pada x menunjukkan nilai yang diperoleh oleh kepadaContoh .Jika hitunglah Penyelesaian :

Contoh 2 .Jikahitunglah Penyelesaian :

Latihan Selesaikanlah1. Untuk hitunglah 2. Untuk ,hitunglah

C.DAERAH ASAL DAN DAERAH HASIL

Definisi Daerah AsalDaerah asal adalah himpunan himpunan elemen elemen pada mana fungsi itu mendapat nilaiDefinisi Daerah HasilHimpunan nilai- nilai yang diperoleh secara demikian

Contoh 1. F adalah fungsi dengan aturan Daerah asalnya .Carilah daerah hasilnya.Penyelesaian :Daerah hasilnya {1,2,5,10}Bilamana daerah asalnya tidak dirinci kita selalu menganggap bahwa daerah asalnya adalah himpunan bilangan riil yang terbesar sehingga aturan fungsi ada maknanyadan memberikan nilai bilangan riil,daerah asal ini disebut daerah asal mula(domain natural)

Contoh.2 Carilah daerah asal mula(natural) untuk:1. 2.

Penyelesaian :1.Daerah hasil untuk adalah {x dibaca Himpunan x dan R (Bilangan riil) sedemikian rupa sehingga x tidak sama dengan 32.Harus membatasi t sedemikian rupa sehingga dengan tujuan menghindari bilangan imajiner sehingga { t

LatihanTentukan daerah asalnya1. 2. 3. 4.

D.GRAFIK FUNGSI Bilamana daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan bilangan riil,kita dapat membayangkan fungsi itu dengan menggambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat.Dan grafik fungsi adalah grafik dari persamaan Contoh .Buatlah sketsa grafik dari :

1. 2. 3. Penyelesaian: 1. Daerah asal x Daerah hasil {y

2. 2.Daerah asal { Daerah hasil { Grafiknya :

3.Daerah asal { Daerah hasil { Grafiknya :

Tentukan daerah asal ,daerah hasil ,dan buat grafiknya1. 2. 3. E.FUNGSI GENAP DAN FUNGSI GANJILDefinisi Fungsi Genap Suatu fungsi dikatakan fungsi genap jika setiap x di daerah asalDefinisi Fungsi GanjilSuatu fungsi dikatakan fungsi ganjil jika setiap x di daerah asalDari kedua definisi ini dapat dipahami bilamana terletak pada daerah asal ,maka jugaContoh.Tentukan apakah fungsi- fungsi dibawah ini genap,ganjil,atau bukan keduanya

Penyelesaian: . (Fungsi Genap) (Fungsi Ganjil) (Fungsi bukan keduanya)

F.OPERASI FUNGSIOperasi pada FungsiSeperti halnya pada bilangan, kita definisikan operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian, danpembagian pada fungsi, sebagai berikut:(f + g)(x) = f(x) + g(x)(f g)(x) = f(x) g(x)(f.g)(x) = f(x).g(x)(f/g)(x) = f(x)/g(x)

asalkan bentuk di ruas kanan terdefinisi. Daerah asal f + g adalah irisan dari daerah asal f dandaerah asal g, yakni {x R | x 0 }.Contohjika f(x) = dan g(x) = , maka f + gadalah fungsi yang memetakan x ke +, yakni (f + g)(x) = +Selain keempat operasi tadi, kita dapat pula mendefinisikan pangkat p dari fungsi f, yaknif p(x) = [f(x)]p, asalkan bentuk di ruas kanan terdefinisi.

G.KOMPOSISI FUNGSIAturan fungsi komposisi Fungsi g : A B dan h : B C dua fungsi dengan Dh = Rf. Pada gambar berikutmengilustrasikan fungsi g bekerja lebih dulu baru dilanjutkan fungsi h. Fungsi g memetakan xke y dan h memetakan y ke z. Fungsi f memetakan x langsung ke z. Fungsi f : A C adalahkomposisi dari fungsi g dan h, yakni f = h g.Perhatikan ilustrasi di atas, y = g(x) dan z = h(y). Fungsi f : A C ditentukan oleh rumus f(x) = h(g(x)) untuk semua x anggota A. adalah fungsi komposisi g dan h, dan dinotasikan dengan f = h g.f(x) = (h g)(x) = h(g(x)) untuk semua x anggota A.Perhatikan bahwa h g g h.(h g)(x) = h(g(x)) g(h(x)) (g h)(x).h g merupakan fungsi komposisi dengan g bekerja lebih dulu baru kemudian h, tetapi g h merupakan fungsi komposisi dengan h bekerja lebih dulu baru g.Contoh :Misalkan dua fungsi g : R R dan h : RR, keduanya berturut-turut ditentukan oleh rumus:g(x) = 2x + 1 dan h(x) =

a. Carilah (i) (h g)(3); (ii) (h g)(-5); dan (iii) daerah hasil f = h g.b. Carilah x R, sehingga f(x) = 100, jika f = h g.Jawab:a. (i) (h g)(3) = h(g(3)) = h(2.3 + 1) = h(7) = 7 2 = 49.(ii) (h g)(-5) = h(g(-5)) = h(2(-5) + 1) = h(-9) = = 81.(iii) Misalkan f = h g.f(x) = (h g)(x) = h(g(x)) = h(2x + 1) = untuk semua x R.Jadi Rf = {x R/ x 1}.b. f(x) = 100, jika f = h g. Berarti f(x) = (h g)(x) = 100.Berdarkan a(iii);= 1002x + 1 = 10 atau 2x + 1 = -10atau

H.FUNGSI TRIGONOMETRI Definisi Fungsi Trigonometri Fungsi ini didefinisikan dalam ukuran radian

Misalkan AOB adalah suatu sudut dalam posisi baku dan OA = 1.Jika s satuan adalah panjang busur lingkaran yang ditempuh titik A bila sisi awal OA diputar ke sisi terminal OB maka ukuran radien t dari sudut AOB ditentukan oleh:a.t=s ,bila putarannnya berlawanan dengan arah putaran jarum jamb.t=-s ,bila putarannya searah dengan arah putaran jarum jam.Ukuran panjang keliling suatu lingkaran .Beberapa contoh ukuran-ukuran sudutnya

2.Ukura derajat dan radian dan hubungannya dengan trigonometri sudut.Sudut sama dengan radianSudut sama dengan radian radian Contoh 1.Rubahlah 162 dalam bentuk radianPenyelesaian :

Contoh.2 Rubahlah dalam bentuk derajatPenyelesaian :

Pembagian suatu putaran menjadi 360 bagian dilakukan oleh suatu bangsa Babylon kuno ,yang menyenangi kelipatan 60.Pembagian ke dalam bagian lebih mendasar dan berlatar belakang pada pemakaian ukuran radian yang umum dalam kalkulus.Panjang busur dari potongan busur sebuah lingkaran radius Dengan sudut pusat radian adalah :

Sehingga

dengan :

Bila =1 ,ini memberikan .Dengan kalimat ,panjang busur pada potongan lingkaran satuan dengan sudut pusat radian adalah

Latihan

Konversikan ke dalam bentuk 1.2.3. Konversikan ke dalam bentuk derajat 4.5.6 .

FUNGSI TRIGONOMETRIRumus Jumlah dan Selisish Dua Sudut1. Menentukan Rumus untuk cos ( )Titik A dan B pada lingkaran. OA = OB = 1 satuan. OA dengan sumbu x positif membentuksudut . OB dengan sumbu x positif membentuk sudut .AOC = dan BOC = .Dengan demikian koordiant titik A (cos , sin ) dan (cos , sin ).Rumus

Dengan mengubah diperoleh:

Jadi ,

Ingat

2.Menentukan rumus sin

Rumus sinus jumlah dua sudut dapat ditentukan sebagai berikut ini.

Jadi,

Setelah kita memperoleh sinus jumlah, yaitu sin (a +b ) kita dapat menentukan rumus selisih dua sudut sebagi berikut:

= =

Jadi,=

Ingat !!sin 90 = coscos 90 = sin 3.Menentukan rumus untuk tan ( )

Dari rumus sinus dan cosinus jumlah dua sudut dapat digunakan untuk menentukan rumus tan () sebagai berikut :

+ =

Rumus Trigonometri Sudut Rangkap1. Menentukan Sudut Rangkapa. Menentukan rumus sin 2

Dengan rumus dan dengan mengubah didapat

Jadi ,b. Menentukan rumus cos 2Dengan rumus dan dengan mengubah didapat

Jadi,

Rumus dapat dinyatakan dalam bentuk lain Jadi .

Ingat!=1

2. Identitas TrigonometriRumus rumus penjumlahan dan pengurangan sinus dan cosinus bersama-sama dengan rumus- rumus yang terdahulu dapat digunakan untuk menunjukkan kebenaran dari suatu identitas trigonometriBuktikan identitas berikut!.a.b.

Bukti:

a. (terbukti)b. dapat dinyatakan ,sehingga (terbukti)

Latihan a. Jika sudut lancip yang memenuhi 2 cos2 = 1 + 2 sin 2, tentukan nilai tan .b. , , dan adalah sudut-sudut sebuah segitiga. Tentukan nilai tan .tan jika tan .+ tan =2 tan

Empat Fungsi Trigonometri LainnyaEmpat fungsi trigonometri tambahan yaitu tangent ,kotangen,sekan,kosekan

Contoh 1.Buktikan bahwa tangent t adalah fungsi ganjilPenyelesaian :

Contoh 2 .Buktikan bahwa Penyelesaian (terbukti)

Ringkasan fungsi trigonometri yang pentingKesamaan ganjil-genap

Kesamaan Pythagorasx =1

Kesamaan penambahan

Kesamaan sudut ganda

Kesamaan setengah sudut

Kesamaan jumlah

Latihan Buktikanlah1. 2. 3.

LIMITA.GRAFIK FUNGSIGambarkan sketsa grafiknya dan tentukan daerah asal dan daerah nilainya

Daerah asalnya {x x intervalnya (Daerah hasilnya{ intervalnya (-3,1,4)

Pendahuluan LimitPerkataan limit dipergunakan dalam bahasa sehari-hariSaya mendekati batas kesabaran sayaPemahaman secara intuisiSuatu fungsi

x-1 Fungsi tersebut tidak terdefinisi pada dimana = tak terdefinisi.Secara lebih tepat apakah mendekati beberapa bilangan tertentu bilamana mendekati 1 ?Tiga hal yang dapat dilakukan :1.Menghitung beberapa nilai x dekat 1 dalam bentuk tabel2.Menunjukkan nilai nilai tersebt dalam sebuah diagram skematis3,Membuat sketsa grafik

Semua hal di atas menunjukkan ke kesimpulan yang sama mendekati 3 bilamana x mendekati 1Dalam lambing matematisnya

Konsep LimitMisalkan I = (a,b) suatu interval buka di R dan c I. Fungsi f(x) dikatakan terdefinisi di I kecuali mungkin di c, artinya f(x) terdefinisi di semua titik pada I/{c} dan di c boleh terdefinisi boleh juga tidakLimit fungsi di satu titikJika nilai x cukup dekat dengan nilai tetap a, menghasilkan nilai f(x) cukup dekat kenilai tetap L, dan juga jika nilai f(x) dapat dibuat sekecil mungkin dekat dengan L dengan caramemilih nilai x yang cukup dekat dengan a, dan ini benar untuk semua nilai x dalam daerah asalfungsi f kecuali mungkin untuk x = a, maka kita katakan bahwa limit fungsi f(x) untuk xmendekati a sama dengan L, ditulis xalim f(x) = L.Dengan ungkapan lain:xalim f(x) = L jika dan hanya jika > 0, > 0, 0 < |x a| < maka | f(x) - L| < .Nilai bergantung pada pada sebarang x sehingga f(x) terdefinisi. Namun pada nilaix = a tidak dipersoalkan.Misalnya pada fungsi f(x) = 3x 4, = 0,1 untuk = 0,3; dan = 0,001 untuk = 0,003.Karena |(3x 4) 5| = |3x 9| = 3|x 3|, maka relasi antara dan pada kasus ini adalah = 3untuk nilai fungsi di sekitar x = 3.Jika tidak ada nilai L yang memenuhi definisi limit, maka kita katakanxalim f(x) = L tidak ada.

Limit kiri dan kanan (sepihak)

KEKONTINUAN FUNGSI

Kekontinuan SepihakFungsi f dikatakan kontinu kiri di x = c bilaFungsi f dikatakan kontinu kanan di x = c bilaKekontinuan Pada IntervalFungsi f dikatakan kontinu pada interval buka (a,b) jika f kontinu pada setiap titik di (a,b)Fungsi f dikatakan kontinu pada selang tutp [a,b] jika f kontinu pada (a,b) kontinu kanan di a dan kontinu kiri di b

TURUNAN Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis Singgung Aturan Dasar Turunan Notasi Leibniz dan Turunan Tingkat Tinggi Penurunan Implisit Laju yang Berkaitan Diferensial dan Aproksimasi

Kecepatan Sesaat dan Gradien Garis SinggungMisalkan sebuah benda bergerak sepanjang garislurus menurut persamaan x = x(t),dengan x menyatakan posisi benda tersebut dan t menyatakanwaktu. Kecepatan rata-ratanya dari t = a s/dt = b adalahv[a,b] = [x(b) x(a)]/(b a).Kecepatan sesaat pada t = a adalahv(a) =lim baSekarang misalkan kita mempunyaifungsi y = f(x) yang grafiknya cukup mulus, khususnyadi sekitar x = a, sehingga mempunyai garissinggung di aGradien garis lurus yang melalui titik P(a,f(a)) danQ(b,f(b)) adalah [f(b) f(a)]/(b a). Gradien garissinggung pada grafik y = f(x) di P(a,f(a)) adalah b aHubungan antara Turunan dan KekontinuanJika f mempunyai turunan di a, maka f kontinu di a(lihat Purcell hal. 118). Namun sebaliknya tidakberlaku: kekontinuan di a tidak menjamin adanyaturunan di a. Sebagai contoh, fungsi f(x) = | x |kontinu di 0 tetapi tidak mempunyai turunan di 0.TurunanFungsi y = f(x) dikatakan mempunyai turunan di a jika ada. Turunan f di a didefinisikan sama dengan limitdi atas,Aturan Dasar Turunan1. Jika f(x) = k, maka f (x) = 0.2. Jika f(x) = x, maka f (x) = 1.3. Aturan Pangkat: Jika f(x) = xn (n N), makaf (x) = n.xn-1.4. Aturan Kelipatan Konstanta: (kf )(x) = k.f (x).5. Aturan Jumlah: (f + g)(x) = f (x) + g(x).6. Aturan Hasilkali: (f.g)(x) = f (x).g(x) + f(x).g(x).7.Aturan Hasilbagi:

8. Aturan Rantai: (f g)(x) = f (g(x)).g(x).

Latihan. Dengan menggunakan Aturan DasarTurunan, tentukan turunan fungsi berikut:1. f(x) = x().2. g(x) =

3. h(x) = ()10.4. k(x) =

Notasi Leibnizpertambahan sebesar x pada x menyebabkan pertambahan sebesar y pada y, dengan y = f(x + x) f(x). Bagi kedua ruas dengan x,kita peroleh =Jika x 0, maka =

G. Leibniz menggunakan lambang dy/dx untuk menyatakan=

Contoh 1 Jika y =, maka = Dengan notasi Leibniz, Aturan Rantai berbunyi:Jika y = f(u) dan u = g(x), maka=.

Contoh 2 Misalkan y = dengan maka (Latihan. Diketahui y = (2x). Tentukan dy/dx.

Turunan Tingkat TinggiDiberikan sebuah fungsi f, kita turunkan f , yangjuga merupakan fungsi. Dari f dapat kita turunkanf = (f ), yang disebut turunan kedua f , dan darif kita dapat memperoleh turunan ketiga f , yaknif = (f ), dst.

Turunan ke-n dari y = f(x) dilambangkan denganf (n) atau dny/dxnContoh.Jika = dan seterusnya

Latihan. Tentukan rumus umum turunan ke-n darif(x) = 1/x.

Penurunan ImplisitMisalkan kita mempunyai persamaan

dan ingin menentukan persamaan garis singgungpada grafik persamaan tersebut di (2,1). Masalahnya adalah bagaimana menghitung dy/dx, padahal kita tidak mempunyai rumus eksplisit untuk y dalam x. Secara implisit, kita dapat menurunkan kedua ruas terhadap x dengan menggunakan Aturan Rantai (dengan mengingat bahwa y adalah fungsi dari x):

Di (2,1) ,kita lihat

Dengan penurunan implisit, kita dapat membuktikanAturan Pangkat berikut: Jika y = xr (r Q), makady/dx = r.xr-1 (lihat Purcell hal. 163-164).

Latihan. Diberikan persamaan , tentukan

Laju yang BerkaitanJika x dan y merupakan dua peubah yang berkaitan dan masing-masing berubah terhadap waktu (t), maka dx/dt dan dy/dt merupakan laju yang berkaitan.

Air

hContoh.

Air dituangkan ke dalam tangki berbentuk kerucutterbalik dengan laju 8 dm3/menit.Jika tinggi tangki tersebut adalah24 dm dan jari-jari permukaan atasnya 12 dm, seberapa cepatkahpermukaan air naik pada saat tingginya 4 dm?

Jawab:Misalkan V menyatakan volume, r jari-jaripermukaan, dan h tinggi air. MakaV = (/3).Di sini r = h/2, sehinggaV = (/12).Turunkan kedua ruas terhadap t, kita perolehdV/dt = (/4).dh/dt. Diketahui dV/dt = 8 dm3/menit. Jadi, pada saath = 4 dm, kita mempunyai 8 = 4.dh/dt sehingga dh/dt = 2/ dm/menit

Diferensial dan AproksimasiMisalkan y = f(x) mempunyai turunan di x dan dx =x menyatakan diferensial peubah bebas x. Maka, diferensial peubah tak bebas y didefinisikan sebagaidy = f (x)dx.Di sini dy merupakan hampiran untuk y [ingat: y= f(x + x) f(x)], sehingga f(x + x) = f(x) + y f(x) + dy = f(x) + f (x)dx,asalkan x 0

PENGGUNAAN TURUNANMaksimum dan MinimumMisalkan f : D R dan c D. Nilai f(c) disebut nilaimaksimum apabila f(c) f(x) untuk setiap x D. Nilai f(c) disebut nilai minimum apabila f(c) f(x) ntuk setiap x D. Nilai maksimum atau minimum disebut nilai ekstrim.

Teorema Eksistensi Nilai Ekstrim. Jika f kontinu pada [a,b], maka f akan mencapai nilai maksimum dan minimum pada [a,b]. Teorema ini mengatakan bahwa kekontinuan merupakan syarat cukup bagi eksistensi nilai ekstrim. Fungsi pada Contoh 1, misalnya, merupakan fungsi yang kontinu pada [-1,2] dan fungsi ini mempunyai nilai maksimum dan minimum pada [-1,2].Fungsi yang tidak kontinu mungkin saja mempunyai nilai ekstrim. Sebagai contoh, fungsi yang didefinisikansebagai berikut:f(x) = -1, jika x = 0,= x, jika 0 < x < 1,= 2, jika x = 1,mempunyai nilai maksimum 2 [= f(1)] dan nilai minimum-1 [= f(0)].Namun demikian, ketakkontinuan tidak menjamineksistensi nilai ekstrim. Sebagai contoh, fungsig(x) = , jika x = 0 atau 1,= x, jika 0 < x < 1,tidak mempunyai nilai ekstrim, baik maksimum maupun minimum.

Teorema Lokasi Titik Ekstrim. Misalkan daerah asal f adalah selang I yang memuat titik c. Jika f(c)adalah nilai ekstrim, maka c haruslah merupakan titik kritis, yakni c merupakan(i) titik ujung selang I, atau (ii) titik stasioner f, yakni f (c) = 0,atau (iii) titik singular f, yakni f (c) tidak ada. Teorema ini mengatakan bahwa nilai ekstrim hanya mungkin tercapai di titik kritis, karena itu teorema ini dikenal pula sebagai Teorema Titik Kritis. Untuk menentukan nilai ekstrimsuatu fungsi, teorema ini menganjurkan kita mencari titik-titik kritisnya dulu.Contoh.Tentukan nilai maksimum dan minimumfungsi f(x) = pada [-1,2].

Jawab: Turunan f adalah f (x) = = 6x(1 x).Jadi titik stasionernya adalah 0 dan 1, sedangkan titik singularnya tidak ada. Dengan demikian terdapat 4 titik kritis, yakni -1, 0, 1, dan 2 (dua titik ujung selang dan dua titik stasioner).Sekarang bandingkan nilai f di titik-titik kritis tersebut:f(-1) = 6, f(0) = 1, f(1) = 2, f(2) = -3.Menurut Teorema Lokasi Titik Ekstrim, f mesti mencapai nilai maksimum 6 (di -1) dan minimum -3 (di 2).Latihan. Tentukan titik-titik kritis fungsi f(x) = 50x , jika 0 x 20, = 60x , jika20 < x 60.Tentukan nilai maksimum dan minimumnya.

Kemonotonan dan Kecekungan

Fungsi f dikatakan naik pada I apabila untuk setiapx, y I dengan x < y berlaku f(x) < f(y). Fungsi fdikatakan turun pada I apabila untuk setiap x, y Idengan x < y berlaku f(x) > f(y).

Fungsi f dikatakan monoton pada I apabila f naikatau turun pada I. Catatan. I dapat berupa selang buka atau tutup.Teorema 3. Misalkan f kontinu dan mempunyai turunanpada I. Jika f (x) > 0 untuk setiap x I, makaf naik pada I. Jika f (x) < 0 untuk setiap x I, makaf turun pada I.

Contoh.Diketahui .Kita hitung turunannya

Periksa tanda f (x) pada garis bilangan real:

+++++++-------++++ -2 2