kalkulus 1

Download kalkulus 1

Post on 06-Nov-2015

23 views

Category:

Documents

7 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

  • FUNGSI

    oleh:Wahyuni Suryaningtyas, S.Si., M.Si.

  • FUNGSIREF : 1. Rosen, Kenneth H., 2003, Discrete mathematics and its application, fifth-ed.2. Keith Devlin, Set, function and logic, 2004.

  • Konsep FungsiPengertian fungsi pertama kali dig. Olh Leibniz thn 1963 utk menyatakan ketergantungan/hubungan suatu besaran pd besaran yg lainnya. contoh:Luas lingkaran bergantung pd jari2 r, dgn persamaan A=r2 sehingga dikatakan A fungsi dr r Tingkat penjualan suatu produk bergantung pd biaya iklan (promosi), shg dikatakanTingkat penjualan produk adl fungsi dari biaya iklan/promosi

  • Konsep FungsiSecara umum, jk besaran y bergantung pd besaran x sedemikian hinga stp nilai x menentukan tepat satu nilai y, maka dapat dikatan bhw y adl fungsi dr x. contoh:Utk menyatakan fungsi dituliskan dalm bentuk persamaan:y=f(x) Lonhard Euler (1707-1783)(dibaca y sama dengan f dari x )

  • PENGERTIAN FUNGSIDefinisi : Misalkan A dan B dua himpunan takkosong. Fungsi dari A ke B adalah aturan yang mengaitkan setiap anggota A dengan tepat satu anggota B.

    ATURAN :setiap anggota A harus habis terpasang dengan anggota B.tidak boleh membentuk cabang seperti ini. AB

  • ILUSTRASI FUNGSIAfBInputKotak hitamOutputDitulis f : A B, dibaca f adalah fungsi dari A ke B. A disebut domain,B disebut kodomain. Elemen a A disebut argumen dan f(a) B dise-but bayangan(image) dari a.

    Himpunan Rf:= { y B : y = f(x) untuk suatu x A } disebut daerahjelajah (range) fungsi f dalam B. Bila S A maka himpunanf(S) := { f(s) : s S } disebut bayangan (image) himp S oleh fungsi f.

  • ILUSTRASI FUNGSI FungsiBukan fungsi, sebab ada elemen A yangmempunyai 2 kawan.Bukan fungsi, sebab ada elemen A yangtidak mempunyai kawan.AB

  • GRAFIK FUNGSIMisalkan f: A B. Grafik fungsi f adalah himpunan pasangan terurut {(a,f(a)) | a A}Contoh: Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {1, 2}, fungsi f didef sbg f(1)=1, f(2)=2, f(3)=1. Maka grafik fungsi f dapat digambarkan sbb:

    AB

  • CONTOH FUNGSI1. Fungsi kuadrat f : R R, dimana f(x) := x2+x+1.2. Fungsi nilai mutlak f : R R+ , dimana fungsi ini ditulis juga f(x) := |x|.3. Misalkan A = himpunan semua negara di dunia dan B = himpunan semua kota di dunia, f : A B dimana f(x) := ibukota negara x. Bila x = Malaysia maka f(x) = Kuala Lumpur, f(Inggris) = London.4. Misalkan A = himpunan semua buku di perpustakaan dan diberikan perintah diberikan buku b dan hitung banyak tanda koma pada buku b tsb. Ini mendef. fungsi f : A Z+ dimana f(x) = banyak koma yang ada pada buku x.5. Misalkan A = himpunan semua string bit dan B = himpunan bil bulat positif Fungsi f : A B dimana f(S) = banyaknya bit 1 pada string S. Bila S = (1001101) maka f(S) = 4.6. Bila f(S) = posisi bit 1 pada string S, apakah f merupakan fungsi ?

  • OPERASI ALJABAR FUNGSIMisalkan f, g : A B maka fungsi f + g , cf dan f g didefinisikan oleh : (f+g)(x):= f(x)+g(x), (cf)(x):=cf(x), (fg)(x):=f(x) g(x). Contoh: misalkan f, g : R R dimana f(x) = x2 dan g(x) := x x2. Diperoleh (f+g)(x) = x, (fg)(x) = x3-x4.Fungsi f dan g dikatakan sama jika domain dan kodomainnya sama dan f(x) = g(x) untuk setiap x dalam domainnya.Apakah fungsi f(x):=x-2 dan g(x):=(x2-4)/(x+2) sama ?

  • FUNGSI SATU-SATU (INJEKTIF)Fungsi f dikatakan satu-satu atau injektif bila hanya bila [f(x) = f(y) x = y ], atau [x y f(x) f(y)].Bila kita dapat menunjukkan bahwa kuantor berikut TRUE:x y [f(x) = f(y) x = y] atau x y [x y f(x) f(y)]maka fungsi f disimpulkan satu-satu.Namun, bila ada x dan y dengan x y tetapi f(x) = f(y) maka f tidak satu-satu. ABABsatu-satutidak satu-satu

  • CONTOH: Diberikan fungsi f dari {a, b, c, d} ke {1, 2, 3, 4, 5} dengan f(a)=4, f(b)=5, f(c)=1 dan f(d) = 3 merupakan fungsi injektif ?PENYELESAIAN: karena tidak ada anggota B yang mempunyai pasangan ganda pada A mk fungsi ini injektif.

    CONTOH: Apakah fungsi f: R R dengan f(x) = x2 satu-satu ?

    PENYELESAIAN: Ambil x = 1 dan y = -1, diperoleh f(x) = f(y) = 1. Jadi ada x, y dengan x y tetapi f(x) = f(y). Disimpulkan fungsi ini tidak satu-satu.

    CONTOH: Apakah fungsi dari R ke R ini g(x) = x+5 injektif?

    PENYELESAIAN: ambil sebarang x, y dengan x y , diperolehx + 5 y + 5 g(x) g(y). Jadi g injektif.

  • FUNGSI KEPADA (SURJEKTIF) Fungsi f : A B dikatakan kepada atau surjektif jika setiap y B terdapat x A sehingga y = f(x), yaitu semua anggota B habis terpasang dengan anggota A. Jadi bila kita dapat membuktikan kebenaran kuantor berikut:y B x A sehingga y = f(x)maka f surjektif. Namun, bila ada y B sehingga setiap xA, f(x) ymaka f tidak surjektif.ABABkepadatidak kepada

  • CONTOH: Apakah fungsi f(x) = x2 dari R ke R surjektif ?PENYELESAIAN: Ambil y = -1 suatu bilangan real. Maka untuk setiap bilangan real x, berlaku x2 = f(x) y. Jadi, f tidak surjektif.CONTOH: Apakah fungsi linier h(x)= x-3 dari R ke R surjektif?PENYELESAIAN: Ambil seb bil real y, makay = x-3 x = y+3 memenuhi h(x) = y. Jadi h surjektif.

  • FUNGSI BIJEKTIFFungsi f : A B dikatakan bijektif bila ia injektif dan surjektif. Pada fungsi bijektif, setiap anggota B mempuyai tepat satu pra-bayangan di A.

    CONTOH: Apakah fungsi f:{a,b,c,d} {1,2,3,4} dengan f(a)=4, f(b)=2, f(c)=1 dan f(d)=3 bijektif.PENYELESAIAN: karena semua nilainya berbeda mk fungsi ini satu-satu. Karena semua anggota B habis terpasang maka ia surjektif. Jadi fungsi ini bijektif.ABfungsi bijektif

  • INVERS FUNGSIMisalkan f : A B fungsi bijektif. Invers fungsi f adalah fungsi yang mengawankan setiap elemen pada B dengan tepat satu elemen pada A. Invers fungsi f dinyatakan dengan f -1 dimana f -1 : B A. DKL,y = f(x) x = f -1 (y)

    Fungsi yang mempunyai invers disebut invertibel.

    ABb=f(a)f(a)f -1(b)f -1(b)=a

  • CONTOH: Misalkan f fungsi dari {a, b, c} ke {1, 2, 3} dengan aturan f(a)=2, f(b)=3 dan f(c)=1. Apakah f invertibel. Jika ya, tentukan inversnya.PENYELESAIAN: fungsi f bijeksi sehingga ia invertibeldengan f -1(1)=c, f -1(3)=b dan f -1(2)=a.

    CONTOH: Misalkan f fungsi dari Z ke Z dengan f(x) = x2. Apakah f invertibel.PENYELESAIAN: Karena fungsi tidak injektif maupun bijektifmaka ia tidak invertibel. Jadi invresnya tidak ada.

  • KOMPOSISI FUNGSIMisalkan g: A B dan f: B C. Komposisi fungsi f dan g, dinotasikan f g adalah fungsi f g: A C dengan (f g)(x):= f(g(x)). Bila f: A B dan g: D E maka fungsi komposisi f g terdefinisi hanya bila f(A) D.ABCgffg

  • Operasi-operasi pada FungsiDefinisi:Diberikan fungsi f dan g, maka rumus-rumus utk jumlah (f+g), selisih (f-g), hasil kali (f.g), hasil bagi (f/g) disefinisikan dgn:(f+g) (x) = f(x) + g(x)(f-g) (x) = f(x) - g(x)(f.g) (x) = f(x) . g(x)(f/g) (x) = f(x) / g(x)

  • Operasi-operasi pada FungsiContoh:Dimisalkan:f(x) =dan g(x)= x-1tentukan:(f+g)(x), (f-g)(x), (f.g)(x), dan (f/g)(x)

  • Komposisi FungsiDefinisi:Diketahui fungsi-fungsi f dan g, maka komposisi f dgn g ditulis dgn f o g adl fungsi yg didef. dgn (f o g )(x) = f(g(x))Contoh:diberikan f(x)=x2+3 dan g(x)=tentukan: a. (f o g )(x) b. (g o f )(x)

  • Tugas! Macam-macam Fungsi:Fungsi EksplisitFungsi ImplisitFungsi RasionalFungsi PolinomialFungsi AljabarFungsi TransendenFungsi Genap dan Fungsi GanjilFungsi Periodik, dllBuatlah makalah dari delapan macam fungsi tersebut!

    *******