jawaban listrik magnet bab 8

Electromagnetic Fields-Roald K. Wangsness (Professor of Physics, University of Arizona)

Written and finished by Parman & S. Priyono (Fisika UGM’05)

- 1 -

ELECTROMAGNETIC FIELDS

Roald K. Wangsness Exercises 8-1

1. Lakukan ekspansi iR

1 untuk mendapatkan suku monopol, dipol, kuadropol dan oktapol

potensial listrik, dimana 2/1

2

.cos2

1

11

ir

r

r

rr

Rii

i

Jawab:

Persamaan iR

1 dapat ditulis sbb:

2/11

11

trRi dengan i

r

r

r

rt ii .cos

22

kita ekspansikan dulu persamaan

ir

ri

r

ri

r

ri

r

r

ir

r

r

ri

r

ri

r

r

r

ri

r

r

r

r

rR

ir

ri

r

ri

r

ri

r

ri

r

r

r

r

r

ir

ri

r

r

r

ri

r

r

r

r

r

ir

ri

r

r

r

ri

r

r

r

r

r

ir

ri

r

r

r

r

ri

r

r

rr

r

rr

ir

r

r

ri

r

r

r

ri

r

r

r

r

r

tttr

trR

ttttt

iiii

iiiiiii

i

iiiiii

iiiii

iiiii

iiiii

iiiiii

i

.cos2

5.cos

2

5.cos

8

5.cos

4

5

.cos4

5

16

5.cos

2

3.cos

2

3

8

3.cos

2

11

.cos8

.cos8

.cos2

.cos4

.cos4

16

5

.cos2

3.cos

2

3

8

3.cos

2

1

.cos4

.cos4

.cos2

16

5

.cos4

.cos4

8

3.cos

2

2

1

2

11

.cos2

16

5.cos

2

8

3.cos

2

2

11

1

16

5

8

3

2

11

11

11

...16

5

8

3

2

111

1

1

2

4

3

2

5

4

6

5

2

5

4

6

5

7

6

2

3

2

4

3

5

4

23

2

2

3

3

2

4

4

5

5

2

4

4

5

5

6

6

2

3

2

4

3

5

4

23

2

2

2

2

3

3

4

4

2

2

2

2

2

3

3

4

4

2

2

32

2

2

2

2

2

322/1

322/1

2/1

Jika yang ditinjau adalah suku-suku yang berpangkat 3 dari3

3

r

ri maka persamaannya

menjadi:



- 2 -

3.cos5.cos2

1.cos32

.cos1

.cos3.cos52

1.cos32

.cos1

.cos2

3.cos

2

5

2.cos

2

3.cos

1

.cos2

5.cos

2

3.cos

2

3.cos

2

11

4

3

2

3

2

2

2

4

3

2

3

2

2

4

3

2

4

3

3

2

2

3

2

2

2

4

3

2

3

2

4

3

23

2

iir

ri

r

ri

r

r

r

iir

ri

r

ri

r

r

r

ir

ri

r

r

r

ri

r

ri

r

r

r

ir

ri

r

ri

r

ri

r

r

r

r

rR

iii

iii

iiiii

iiiii

i

Jika dimasukkan ke persamaan:

N

i i

i

rR

q

1 04

i

i

i i

ii

ii

i

ir

iiq

r

irq

rirq

rq

r

3.cos52

.cos

4

1

1.cos324

1.cos

4

1

4

1

2

4

0

2

2

3

0

2

00

Keterangan:

N

i i

i

rR

q

1 04 Monopol

i

i

i i

ii

ii

i

ir

iiq

r

irq

rirq

rq

r

3.cos52

.cos

4

1

1.cos324

1.cos

4

1

4

1

2

4

0

2

2

3

0

2

00

Dipol Kuadropol Oktapol Roald K. Wangsness Exercises 8-2

2. Sebuah partikel titik bermuatan q diletakan di titik (a,b,c). Carilah Q, P dan seluruh

komponen Qj,k untuk sistem ini. Bagaimana keadaannya jika muatan –q diletakan di titik asal pada sistem ini?

Jawab: z

(a,b,c) ckbjair Q (muatan) = q

r 2222 cbar p = momen dipol

-q y x

N

ii ckbjaiqrqP1

jkiiiijk rkjqQ 23 j,k = x, y, z



- 3 -

Delta kronecker jk bernilai 1 jika j = k, bernilai 0 jika kj

yzyzzyyz

xzxzzxxz

xyyxxy

zzzzzz

yyyyyy

xxxxxx

qcbayzqQQ

qcbaxzqQQ

qxyqQQ

cbazqcbaqQ

cbayqcbaqQ

cbaxqcbaqQ

33

33

303

33

33

33

222

222

2222222

2222222

2222222

Jika di titik asal terdapat muatan –q maka

ckbjair 2222 cbar

Q (muatan) = q + (-q) = 0

jkiiiijk

N

i

ii

rkjqQ

ckbjaiqkjiqckbjaiqrqP

23

000

033;033;033

33033

33033

33

33033

222222222222

222222222222

22222222

222222222

yzqyzqQQxzqxzqQQxyqxyqQQ

cbaqqzcbaqqzzqcbaqQ

cbaqqycbaqqyyqcbaqQ

cbaqqxcbaqxq

xqcbaxqxxqcbaxqQ

yzyzzxxzyxxy

zzzzzzzz

yyyyyyyy

xxxxxx

Roald K. Wangsness Exercises 8-5 3. Muatan titik ditempatkan di sudut sebuah kubus dengan sisi a. Muatan-muatan dan

posisi-posisinya berturut-turut adalah -3q pada (0,0,0) ; -2q pada (a,0,0) ; -q pada (a,a,0) ; q pada (0,a,0) ; 2q pada (0,a,a) ; 3q pada (a,a,a) ; 4q (a,0a) ; 5q pada (0,0,a)untuk distribusi ini carilah momen monopol, momen dipol, dan seluruk komponen tensor

momen kuadropol, tunjukan bahwa hasilnya memenuhi persamaan Qxx+Qyy+Qzz = 0. Jika mungkin ditemukan titik asal koordinat yang berbeda agar momen dipol lenyap, dimanakah letak titik asal agar momen dipole sama dengan nol Jawab:

z

5q 2q

4q 3q

a

-3q q y

-2q -q a

x a



- 4 -

Momen Monopol: qqqqqqqqqqQN

i

i 95234231

Momen Dipol:

zyxqaP

zqayqaxqazqazqayqazqa

yqaxqazqaxqayqayqaxqaxqazaqzayaq

zayaxaqzaxaqyqayaxaqxqaqrqPN

i

ii

ˆ14ˆ5ˆ4

ˆ14ˆ5ˆ4ˆ5ˆ2ˆ2ˆ3

ˆ3ˆ3ˆ4ˆ4ˆˆˆˆ2ˆ5ˆˆ2

ˆˆˆ3ˆˆ4ˆˆˆˆ2031

Momen Kuadropol :

N

i

jkiiiijk rkjqQ1

23

222

1 1

2

222

1 1

2

222

1 1

2

2222222

22222222

22

1

22

2222222

222222

22222

1

2

2222222

222222

22222

1

2

21912.0.35.0..32.0.33..34

0.0.30..30..320.0.3333

1569.0.35..32..33.0.34

0..30..30.0.320.0.3333

6930.0.35.0.32..330..34.0.3

..30..320.0.3333

19102422

35232333234

0.0.320.0.30.32000.333

852822

0.3523233320.34

3230.0.3200.0.333

115444

0.0.3520.0.32333234

0.0.3233200.0.333

qaqaqaaqaaqaqaaq

qaqaqqzxqrzxqQ

qaqaqaaqaaqaaqaq

aqaqqqzyqrzyqQ

qaqaqaqaqaaqaqaq

aaqaqqyxqryxqQ

qaqaqaqaqaqaqa

aaqaaqaaqaaq

aqaqaqqrzzqQ

qaqaqaqaqaqaqa

aqaaqaaqaq

aaqaaqaqqryyqQ

qaqaqaqaqaqaqa

aqaqaaqaaq

aqaaqaaqqrxxqQ

N

i

N

i

iiixziiiizx

N

i

N

i

iiiyziiiiyz

N

i

N

i

iiixyiiiixy

N

i

iiiizz

N

i

iiiiyy

N

i

iiiixx

019811 222 qaqaqaQQQ zzyyxx

Letak titik pusat agar momen dipol nol

rqzyxqa

rqP ii

9ˆ14ˆ5ˆ4

zyx

ar ˆ14ˆ5ˆ4

9



- 5 -

Roald K. Wangsness Exercises 8-7

4. Muatan didistribusikan dengan muatan volum konstan seperti gambar. Carilah ,Q

dan seluruh komponen jkQ , kemudian anggaplah kasus-kasus dimana volumenya adalah

kubus dengan sisi a dan ekspansikan potensial medan listrik yang terletak di luar kubus koordinat bola.

Jawab:

abcdzdydxdrQ

a

x

b

y

c

zv

i

''''000

'

Momen asal:

zcybxaQzcybxaabcabc

Qzcybxaabc

zcybxaabczdzzabydyyacxdxxbc

zdzdydxzydzdydxyxdzdydxx

dzdydxzzyyxxdrrP

b

y

c

z

a

x

a

x

b

y

c

z

a

x

b

y

c

z

a

x

b

y

c

z

a

x

b

y

c

zv

ii

ˆˆˆ2

1ˆˆˆ.

2

1ˆˆˆ

2

1

ˆ2

1ˆ

2

1ˆ

2

1ˆ''ˆ''ˆ''

ˆ''''ˆ''''ˆ''''

'''''''

0' 0'0'

000000000

000'

Momen Kuadropol:

222

222333

0

333233

0

0

233

0

223

00

0

223

00

222

000

2222

000

'

222

'

2

23

1

23

1

3

1

3

1

3

2

3

1

3

1

3

2

3

1

3

2

33

2

3

2

3

22

3

'3''''3

''''3

cbaQQ

cbaabcabccabbca

abzzabbzadzabzabba

dzyazya

yadydzazaya

dydzxzxyxdxdydzzyx

dxdydzzyxx

drxdrxxQ

drkjrQ

xx

c

z

c

z

b

y

c

z

b

y

c

z

ab

y

c

z

a

x

b

y

c

z

a

x

b

y

c

z

vvxx

vjkijk



- 6 -

222

222333

0

333233

0

0

233

0

223

00

0

223

00

222

000

'

2222

23

1

23

1

3

1

3

2

3

1

3

1

3

2

3

1

3

2

3

1

3

2

3

12

3

1

23

1

2

'3'''3

cbaQQ

cbaabcabccabbca

abzzabbzadzabzabba

dzyazya

yadydzazaya

dydzxzxyx

dxdydzzyx

dzyxydryyQ

yy

c

z

c

z

b

y

c

z

b

y

c

z

ab

y

c

z

a

x

b

y

c

z

vvyy

222

222333

0

333233

0

0

233

0

223

00

0

223

00

222

000

'

2222

'

2

23

1

23

1

3

2

3

1

3

1

3

2

3

1

3

12

3

1

3

1

233

12

3

1

23

1

2

'3

''''3

cbaQQ

cbaabcabccabbca

abzzabbzadzabzabba

dzyazya

yadydzazaya

dydzxzxyx

dxdydzzyx

dzyxzQ

drzzrQ

zz

c

z

c

z

b

y

c

z

b

y

c

z

ab

y

c

z

a

x

b

y

c

z

vzz

vizz



- 7 -

QabQ

ababccba

zbadzba

dzyadydzya

dydzyx

dxdydzxydxyQ

drkjrQ

xy

c

z

c

z

b

y

c

z

b

y

c

z

ab

y

c

z

a

x

b

y

c

zv

xy

vjkijk

4

3

4

3

4

3

4

3

4

3

4

3

2

3

2

3

3'3

''''3

22

0

2222

0

0

22

0

2

00

0

2

00

000

'

2

QbcQ

bcabccab

zabdzzab

dzzaydydzayz

dxdydzyzdyzQ

xy

c

z

c

z

b

y

c

z

b

y

c

z

a

x

b

y

c

zv

yz

4

3

4

3

4

3

4

3

2

3

2

33

3'3

22

0

222

0

0

2

000

000

QacQ

acabcbca

bzadzbza

dydzzadydzzx

dxdydzxzdxzQ

xz

c

z

c

z

b

y

c

z

a

x

b

y

c

z

a

x

b

y

c

zv

xz

4

3

4

3

4

3

4

3

2

3

2

3

2

3

3'3

22

0

222

0

2

000

2

00

000



- 8 -

Jika bendanya berupa kubus bersisi a maka komponen Momen Kuadropolnya adalah

22

2222

222222

4

3;

4

3

4

3

4

3;02

3

1

023

1;02

3

1

QaQQaQ

QaQabQaaaQQ

aaaQQcaaQQ

xzyz

xyzz

yyxx

Mencari Potensial

yzxzxyr

Qa

QayzQaxzQaxyr

QazyQazxQayzQayxQaxzQaxyr

zzQzyQzxQyzQyyQyxQxzQxyQxxQr

jkQr

rQ

zzzyzxyzyyyxxzxyxx

jk

zyxkzyxjrQ

5

0

2

222

5

0

222222

5

0

5

0

,,,,5

0

16

3

2

3

2

3

2

3

8

1

04

3

4

3

4

30

4

3

4

3

4

30

8

1

8

1

2

1

4

1

Gunakan Rumus Tranformasi ke koordinat bola

cos;sinsin;cossin rzryrx

sincoscoscossinsinsin16

3

sincoscoscossinsinsin16

3

cossinsincoscossinsinsincossin16

3

3

0

2

2

5

0

2

5

0

2

r

Qa

rr

Qa

rrrrrrr

Qa

rQ

rQ

jawaban listrik magnet bab 8

Documents