Endomorfisma adalah Homomorfisma Q: G -> G (dari grup ke dalam dirinya sendiri).

Kelompok 5Isomorfisma1. Aulia Nandarema H. (121810101066) 10. Desi Febriani P. (121810101077)2. Lambang Dwi C.(121810101067) 11. Komariyah (121810101079)3. Yuni Wahyuningsih (121810101069) 12. Reyka Bella D. (121810101080)4. Rafika Ratnasari(121810101070) 13. Hanuf Maya N. (121810101081)5. Fajar Rizky H.(121810101072) 14. Ilham Agung N. (121810101082)6. Yuni Wardatus Z.(121810101073) 15. Asri Rizki D.V. (121810101084)7. Ida Ariska (121810101074) 16. Annash Z.M. (121810101085)8. Mellisa Piwinta S.(121810101075) 17. Ratna Savitri (121810101086)9. Masrifan Dwi Y.(121810101076) 18. Evi Aulia K.W. (121810101087)IsomorfismaHomomorfisme : G Gdisebut isomorfisme jika sekaligus epimorfisme dan monomorfisme yaitu suatu homomorfisme satu-satu dan onto (bijektif).

IsomorfismaSifat-sifat IsomorfismaBeberapa teorema:Jika f: G G suatu isomorfisma, e dan e masing-masing adalah unsur kesatuan G dan G, maka f(e)=e.Jika f: G G suatu isomorfisma, dan f(a)=a, a G, a G, maka f(a-1)=[f(a)]-1.Jika f: G G suatu isomorfisma dan order elemen a adalah n, maka order f(a) juga adalah n.Relasi isomorfisma dalam himpunan grup adalah relasi ekuivalen.

IsomorfismaIsomorfisma Grup SiklisBeberapa teorema:Grup siklis yang berorder sama adalah isomorfis.Suatu grup siklis yang tak berhingga isomorfis dengan grup aditif bilangan bulat.Suatu grup siklis berorder n isomorfis dengangrup aditif kelas residu modulo n.Suatu subgrup dari grup siklis tak berhingga isomorfis dengan grup aditif kelipatan bulat suatu bilangan bulat.IsomorfismaPertanyaan :Apakah pemetaan berikut ini adalah isomorfisma dari grup yang diberikan ?(G,+), (x) = -x

IsomorfismaJawaban :Ambil dan misalkan ( x ) = ( y ), sehingga:( x ) = ( y ) -x= - y x= ySyarat Injektif, (1-1)

Isomorfisma pilih x = - y( x ) = y( x ) = - x = - ( -y )= ySyarat Surjektif, ontoJadi, (x) = -x adalah isomorfisma

EndomorfismaEndomorfisma adalah Homomorfisma : G G (dari grup ke dalam dirinya sendiri).

8EndomorfismaContoh 1Ambil grup bilangan bulat (Z,+). Buat pemetaan : Z Z sebagai berikut:(x) = 2xMaka (x + y) = 2(x + y) = 2 x + 2 y(x + y) = (x) + (y)

untuk setiap x,y Z. Bentuk merupakan suatu endomorfisma.

EndomorfismaEndomorfismaPenyelesaian :(Z,+),(Z,+). (x) = -xAmbil ( x + y) = - ( x + y ) = - x + ( - y ) = (x) + (y) Jadi, endomorfisma

EndomorfismaAutomorfismaAutomorfisma adalah isomorfisma dari grup G ke dirinya sendiri.AutomorfismaApakah pemetaan berikut ini adalah automorfisma dari grup yang diberikan?(G,+), (x) = -x

Automorfisma

Penyelesaian :Ambil( x ) = - x ( x + y ) = - ( x + y ) = - x + (- y) ( x + y ) = (x) + (y)Jadi, endomorfisma

Automorfisma

Ambil dan misalkan (x) = (y)( x ) = ( y ) - x = - y x = ySyarat Injektif, (1-1)

Automorfisma

pilih x = - y( x ) = y ( x ) = - x = - ( -y ) ( x ) = ySyarat Surjektif, ontoJadi, (x) = -x adalah automorfisma

Teorema CayleyTeorema Cayley :Setiap grup isomorfis ke grup permutasi

Teorema Cayley menempatkan semua grup pada konsep yang sama, yaitu sebagai himpunan fungsi-fungsi bijektif.

Teorema CayleyBukti:Cara membuktikannya adalah dengan menunjukan sebarang grup G dapat dikontruksikan grup permutasi dari G kemudian menujukan G isomorfis ke grup permutasi tersebut.

Diberikan G grup ,Untuk sebarangg G didefinsikan fungsig : G Gsebagai berikut: g= gx, untuk semuax G.Teorema CayleyJadi kita mengaggap perkalian kiri elemen-elemen dari G oleh g sebagai fungsi. Jelasgmempunyai invers yaitu g-1. Untuk semuay Gjelas terdapatx G sedemiakian hingga y=g(x)=gx, terbuktigsurjektif. Selanjutnya (x)=(y)makagx = gyjika hanya jikax=y. Terbuktiginjektif. Telah kita buktikan gmerupakan permutasi.

Teorema CayleyDidefinsikan H = {g|g G }. NahHinilah yang merupakan grup permutasi dariG. Selanjutnya akan ditunjukanGdanHisomorfis.

Didefinsikan : G Hsebagai berikut (g)=guntuk semuag G. Untuk membuktikan isomorfisma, kita harus membuktikan 3 hal berikut :Homomorfisma untuk sebarangg, h GberlakuTeorema CayleySurjektifJelas untuk sebaranggakan selalu terdapat g G sedemikian hingga(g)=g.

Injektif(g)=(h)makagx=hx, Itu berartig=h.

Terbukti Isomorfisma.