ISOMETRI

Pengertian IsometriIsometri merupakan suatu transformasi atas Refleksi (pencerminan), Translasi (pergeseran), dan Rotasi (perputaran) pada sebuah garis yang mempertahankan jarak (panjang suatu ruas garis).Secara matematis, Isometri didefinisikan sebagai berikut :misalkan T suatu transformasi, transfo hanya jika untuk setiap pasangan titik P dan Q anggota dari bidang Euclid berlakubahwa == ( ) = ( ).

Sifat-sifat IsometriSuatu isometri memiliki sifat-sifat sebagai berikut :1) Memetakan garis menjadi garis 2) Mengawetkan ukuran besarnya sudut antara dua garis 3) Mengawetkan kesejajaran dua garis Bukti :Memetakan garis menjadi garis Andaikan g sebuah garis dan suatu isometri. Kita akan membuktikan bahwaT(g) = adalah suatu garis juga.

BB

AAg h

Ambil A g dan B g. maka A=T (A) , B= T(B) melaluiA dan B ada satu garis. Misalnya . hUntuk ini akan dibuktikan

Bukti Ambil X . oleh karena bidang kita adalah bidang Euclides, maka kita andaikan ( AXB), artinya AX+ XB= A B.oleh karena T suatu isometri. Jadi suatu transformasi maka ada X sehingga T(X) =X dan oleh karena T suatu isometric maka AX = AX; begitu pula XB= XB.Maka AX + XB = ABIni berarti bahwa A, X, B segaris pada gIni berarti lagi bahwa X= T(X) .Sehingga sebab bukti serupa berlaku untuk posisi X dengan ( X A B) atau ( A B X).

Bukti Misalkan Y Maka ada Y g sehingga T(Y) = Y dengan Y misalnya ( A Y B ), artinyaY g dan AY + AB = AB . Oleh karena T sebuah isometri.maka AY= AY , Y B= Y B, A B . Sehingga A Y + Y B= A B.Ini berarti bahwaA, Y, B segaris, yaitu garis yang melalui A dan B.Oleh karena satu satunya garis yang melalui A dan B maka Y Jadi terbukti .

Bukti serupa berlaku untuk keadan (Y A B) atau (A B Y) sehingga = . Jadi, kalau g sebuah garis maka h = T(g) adalah sebuah garis juga, maka terbuktilah bahwa sifat isometri memetakan garis menjadi garis.

Mempertahankan ukuran besarnya sudut antara dua garis Ambil sebuah ABC

Andaikan A = T(A), B= T(B), C= T(C)Menurut (a), dan adalah garis lurusOleh karena ABC = maka, A B C = Sedangkan AB= AB , BC = BC , CA = CASehingga ABC ABC. Jadi ABC= ABCSehingga terbuktilah suatu isometri mempertahankan besarnya sebuahsudut.

ab ab

Kita harus memperlihatkan bahwa a b

Andaikan a memotong b disebuah titik P jadi P a dan P b. oleh karena T sebuah transformasi, maka ada P sehingga T(P) = P dengan P a dan P a.Ini berarti bahwa a memotong b di P; jadi bertentangan dengan yang diketahui bahwa a bMaka Pengandaian bahwa a memotong b salahJadi haruslah a b.Sehingga terbuktilah suatu isometri mempertahankan kesejajaran dua garis.