INTERPOLASI

Untuk menaksir nilai antara (intermediate values) diantara

titik-titik data yang tepat, umumnya yang dipakai adalah

interpolasi Polinum

n

nxaxaxaxaaxf ....)( 3

3

2

210

Interpolasi polinum yang paling populer adalah Interpolasi

polinum beda-terbagi Newton. Interpolasi ini terbagi menjadi

bebeeapa metode sesuai dengan versi orde yang dipakai yaitu :

orde pertama : Interpolasi linier

orde kedua : Interpolasi kwadrat

orde ketiga : Interpolasi kubik

Interpolasi Linier Interpolasi kuadrat

Interpolasi kubik

Bentuk Interpolasi yang paling sederhana dengan

menghubungkan dua titik data dengan garis lurus.

)()()(

)()( 0

01

0101 xx

xx

xfxfxfxf

f(x1)

f1 (x)

f(x0)

x x1x0

Taksirlah ln2 dengan memakai Interpolasi Linier jika digunakan

data ln 1 = 0 , ln 6 = 1,7917595, dan ulangi dengan

ln 4 = 1,3862944

%3,3346209813,0)12(14

03862944,10)2( )(

%3,483583190,0)12(16

07917595,10)2( )(

1

1

r

r

fb

fa

0 21 54 63

f(y)

x

nilai sejati

nilai taksiran

f(x) = ln x

Pendekatan yang digunakan untuk Interpolasi linier di atas

kurang tepat karena kurva lengkung dihampiri oleh kurva lurus.

Yang lebih tepat adalah dengan menggunakan 3 titik data

sehingga bisa didekati dengan kurva. Bentuk umum Polinum yang

lebih cocok untuk masalah ini adalah sebagai berikut :

))(()()( 1020102 xxxxbxxbbxf

Atau dengan mengumpulkan suku-sukunya :

2

21102 )( xaxaaaxf

Dengan : a0 = b0 – b1x0 + b2x0x1

a1 = b1 – b2x0 – b2x1

a2 = b2

Untuk x = x0 maka persamaan (1) menjadi :

b0 = f(x0)

Subtitusi persamaan (2) ke dalam 1 untuk x = x1, maka :

01

011

)()(

xx

xfxfb

Dengan cara yang sama subtitusi (2) dan (3) ke dalam pers (1)

untuk x = x2 , maka

12

01

01

12

2

2

)()()()(

xx

xx

xfxf

xx

xfxf

b

Hitung ln 2 pada contoh di atas dengan Interpolasi Kuadrat

x0 = 1 f(x0) = 0

x1 = 4 f(x1) = 1,3862944

x2 = 6 f(x2) = 1,7917595

b0 = f(x0) = 0

051873116,016

46209813,046

3862944,17917595,1

2b

46209813,014

3862944,11b

subtitusikan nilai tersebut pada persamaan 1 , maka :

f2(x) = 0 + 0,46209813(x-1) – 0,051873116 (x-1)(x-4)

untuk x = 2, maka

f2(2) = 0,56584436εr = 18,4%

0 21 54 63

f(y)

x

nilai taksiran kuadrat

nilai sejati

analisis di atas bisa ditulis dalam bentuk umum untuk

menyatakan polinum orde n sampai n+1

fn(x) = b0 + b1(x-x0) + ...........+ bn (x – x0)(x – x1)........(x – xn)

dengan :

b0 = f (x0)

b1 = f (x1,x0)

b2 = f(x2,x1,x0)

bn = f (xn,xn-1, ……., x1, x0)

dengan catatan bahwa perhitungan fungsi dalam kurung adalah

beda terbagi hingga.

Beda terbagi hingga pertama

ji

j

jixx

xfxfxxf

)()(,

1

Beda terbagi hingga kedua

ki

kjji

kjixx

xxfxxfxxxf

)(,,

Beda terbagi hingga ke n

0

02111011

,....,,,.....,,,,.......,,

xx

xxxfxxxfxxxxf

n

nnnnnn

i xi f(xi) Pertama kedua Ketiga

0 x0 f(x0) f[x1,x0] f[x2,x1,x0] f[x3,x2,

x1,x0]

1 x1 f(x1) f[x2,x1] f[x3,x2,x1]

2 x2 f(x2) f[x3,x2]

3 x3 f(x3)

Jika dimasukkan dalam pers. umum maka :

),...,[)).....()((.......

.......],,[))((],[)()()(

01110

012100100

xxxfxxxxxx

xxxfxxxxxxfxxxfxf

nnn

n

Polinom Interpolasi beda terhingga Newton

x0 = 1

x1 = 4

x2 = 6

x3 = 5

f(x5) = 1,6094379

Bentuk polinum orde 3

f3 (x) = b0 + b1(x – x0 ) + b2 ( x – x0 )(x – x1)

+ b3 (x – x0)(x – x1)(x – x2)

beda-beda terbagi pertama :

18232160,065

7917595,16094375,1],[

20273255,046

3862944,17917595,1],[

46204813,014

03862944,1],[

23

12

01

xxf

xxf

xxf

Beda-beda terbagi kedua :

020410950,045

20273255,018732160,0],,[

051873116,016

46209813,020273255,0],,[

123

012

xxxf

xxxf

Beda-beda terbagi ketiga:

0078655415,0

15

)0518731116,0(020410950,0],,,[ 0123 xxxxf

subtitusikan ke dalam persamaan umum orde 3

f3(x) = 0 + 0,4620981(x – 1) – 0,051873116 (x – 1)(x – 4)

+ 0,0078655415 (x – 1)(x – 4)(x – 6)

f3 (2) = 0,62876869 ε1 = 9,3%