integrasi numerik

18
Metode Numerik Adree Octova, S.Si., M.T.

Upload: ersyad-fikriansyah

Post on 17-Nov-2015

53 views

Category:

Documents


6 download

DESCRIPTION

Numerical

TRANSCRIPT

  • Metode Numerik Adree Octova, S.Si., M.T.

  • Integrasi Numerik Satu Dimensi Kasus-kasus yang melibatkan integrasi numerik lebih banyak dari pada kasus diferensiasi

    numerik.

    Diferensiasi biasanya dipakai secara analitik untuk mendeskripsikan fenomena alam (govern equation) dalam medium yang tidak terbatas (infinite).

    lingkup terapan dalam bidang rekayasa menyangkut solusi persamaan diferensial dalam medium yang terbatas (finite), sehingga pendekatan yang dilakukan bersifat lokal atau kecil.

    Untuk memperoleh hasil global dalam medium tertentu, hasil lokal tersebut diintegrasi dalam keseluruhan medium yang ditinjau.

    Secara analitik :

    I = y = f(x) dx

    , I y(b) untuk pers.

    dydx

    = f(x) dengan syarat batas y(a) = 0

    M E T O D E N U M E R I K

  • Formula Klasik Tertutup Interval Konstan Aturan Trapesium :

    I = f(x) dx = b a

    2 f(a) + f(b) + E

    ba

    I = f(x) dx = h2

    f(a) + f(b) + E ba

    E = f(x) g(x)

    I = f(x) dx = h2

    f(a) + 2 f (a + jh)N1j=1 + f(b) + E b

    a

    I = f(x) dx b

    a = f(x) dx x1

    x0+ f(x) dx

    x2x1

    ++ f(x) dx xi+1

    xi++ f(x) dx

    xNxN1

    I =h2 f0 + 2f1 +2f2 + 2fN1 + fN + E

    h =b a

    N , N = jumlah iterasi ke N

    M E T O D E N U M E R I K

    y

    x

    y = f(x)

    a b

    f(a)

    f(b) g(x)

    h h h

    f0

    f2 f1

    fi

    fn

    x0 x1 x2 xi xn

  • Formula Klasik Tertutup Interval Konstan Aturan Simpson :

    Interpolasi polinomial kuadrat :

    I = f(x) dx = h3 f(a) + 4f(x ) + f(b) + E

    ba

    I = h3 f0 + 4f + f2 + E

    Aturan Simpson 1/3 :

    I = f(x) dx = h3 f(a) + 4

    f(a+ih)N1i=1(ganjil) + 2 f(a+ih)N2i=2(genap) + f(b) + E

    ba

    I =h3 f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + 2f4 + + 2fN2 + 4fN1 + fN + E

    M E T O D E N U M E R I K

    y

    x

    y = f(x)

    h h

    f0

    f1

    f2

    x0 = a x1 = x x2 = b

    h =b a

    N, x =

    b + aN

  • Soal Diketahui :

    persamaan jari-jari (r) = 1 + (

    2)2, 0 x 2

    Nilai exact : i = 11,7286

    Tentukan kesalahan untuk N = 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 dengan menggunakan aturan trapesium dan Simpson

    Persamaan luas = r2

    Dimana = 3,14

    Sehingga f(x) = (1 + (

    2)2)2

    M E T O D E N U M E R I K

    y

    x

    x=0 x=2

  • Formula dengan Interval tidak Konsatan

    Perbedaan formula klasik dengan formula quadratur Gauss :

    M E T O D E N U M E R I K

    Formula Klasik Formula Quadratur Gauss

    Batas-batas integrasi a dan b bersifat sembarang

    Batas-batas integrasi sudah ditentukan, misalnya a = -1 dan b = 1

    Interval absis konstan Interval absis yang tidak konstan

    Koefisien f1, f2, ... fn bersifat tetap Koefisien dapat ditentukan secara bebas

    Merupakan perhitungan integrasi biasa

    Menggunakan sistem pembobotan (wi)

  • Quadratur Gauss

    I = f(x) dxb

    a = F(z) dz1

    1

    M E T O D E N U M E R I K

    a b x

    f(x)

    Transformasi

    -1 1 z

    F(z)

    Terjadi transformasi sistem koordinat a x b -1 z 1

  • Quadratur Gauss

    Transformasi variabel x z

    x = a0 + a1 z

    x = a z = -1 ; a = a0 a1

    x = b z = 1 ; b = a0 + a1

    M E T O D E N U M E R I K

    a b x

    f(x)

    Transformasi

    -1 1 z

    F(z)

    a0 = b + a

    2

    a1 = b a

    2

    x = b + a

    2 + b a

    2 z

    dx = b a

    2 dz

  • Quadratur Gauss

    I = f(x) dxb

    a = F(z) dz1

    1

    F(z) = b a

    2f

    b + a2

    + b a

    2 z

    M E T O D E N U M E R I K

    a b x

    f(x)

    Transformasi

    -1 1 z

    F(z)

  • Quadratur Gauss Contoh transformasi koordinat :

    I = (x2 4x +5) dx3

    1 =83

    M E T O D E N U M E R I K

    1 3 x

    f(x) = x2 4x +5

    -1 1 z

    Transformasi

    x = b + a

    2 + b a

    2 z

    x = 3 + 1

    2 + 3 1

    2 z

    x = 2 + z

    dx = b a

    2 dz

    dx = 3 1

    2 dz

    dx = dz

    F(z) = z2 +1

    f(x) = x2 4x +5 F(z) = f (2 + z) = z2 +1

    I = (z2 + 1) dz1

    1=

    8

    3

  • Quadratur Gauss

    I = f(x) dxb

    a = F(z) dz1

    1

    I wi F(zi) ni=0 Formula Gauss-Legendre

    I w1 F(z1) + w2 F(z2)

    M E T O D E N U M E R I K

    -1 1 z u

    F(u)

    z1 z2

    F(z)

    Pembobotan agar terjadi keseimbangan antara kesalah

    positif dengan kesalahan negatif

  • Quadratur Gauss 4 bilangan yang belum diketahui (z1, z2, w1, w2) dicari dengan :

    M E T O D E N U M E R I K

    -1 1

    F(z) = 1

    -1 1

    F(z) = z

    -1 1

    F(z) = z2

    -1 1

    F(z) = z3

    w1 F(z1) + w2 F(z2) =

    w1 + w2 = dz11

    = 2 (1)

    w1 F(z1) + w2 F(z2) =

    w1z1 + w2z2 = zdz11

    = 0 (2)

    w1 F(z1) + w2 F(z2) =

    w1z12 + w2z2

    2 = z2 dz

    11

    = 2

    3 (3)

    w1 F(z1) + w2 F(z2) =

    w1z13 + w2z2

    3 = z3 dz

    11

    = 0 (4)

  • Quadratur Gauss

    w1 + w2 = 2 (1)

    w1z1 + w2z2 = 0 (2)

    w1z12 + w2z2

    2 = 2

    3 (3)

    w1z13 + w2z2

    3 = 0 (4)

    M E T O D E N U M E R I K

    w1 = w2 =1

    z1 =

    = - 0,577350269

    z2 =

    = 0,577350269

    I = F(z) dz1

    1 wi F(zi)

    n

    i=0

    w1 F(z1) + w2 F(z2)

    F(

    ) + F(

    )

    Gauss-Legendre 2 titik

  • M E T O D E N U M E R I K

  • Contoh Soal

    Diketahui

    I = ex2 x dx

    20 = 26,79908

    Hitung integral dengan pendekatan Quadratur Gauss dengan 2 titik, 3 titik dan 4 titik.

    M E T O D E N U M E R I K

  • +

    Solusi f(x) = ex

    2 x

    F(z) = (z + 1) e(z + 1)2

    I = F(z) dz1

    1 wi F(zi) ni=0

    F(

    ) = (

    + 1) e

    ( +1)2

    = 0,50531

    F(

    ) = (

    + 1) e

    ( +1)2

    = 18,98747

    I F(

    ) + F(

    ) = 19,49278

    2 titik :

    I = ex2 x dx

    20 = 26,79908

    x = b + a

    2 +

    b a2

    z

    x = z + 1

    dx = b a

    2 dz

    dx = dz

    M E T O D E N U M E R I K

  • 3 titik :

    Dari tabel : w1 = 0,55556 w2 = 0,88889 w3 = w1 z1 = - 0,7746 z2 = 0 z3 = -z1

    w1 F(z1) = 0,55556 (- 0,7746 + 1 ) e( 0,7746 + 1 )2 = 0,13175

    w2 F(z2) = 0,88889 (0 + 1) e(0 + 1 )2 = 2,41625

    w3 F(z3) = 0,55556 (0,7746 + 1 ) e(0,7746 + 1 )2 = 22,98867

    I w1 F(z1) + w2 F(z2) + w3 F(z3) = 25,53667

    Solusi

    +

    M E T O D E N U M E R I K

  • 4 titik :

    Dari tabel : w1 = 0,34785 w2 = 0,65214 w3 = w2 w4 = w1 z1 = - 0,86114 z2 = - 0,33998 z3 = -z2 z4 = -z1

    w1 F(z1) = 0,34785 (- 0,86114 + 1) e( 0,86114 + 1)2 = 0,04924

    w2 F(z2) = 0,65214 (- 0,33998 + 1) e( 0,33998 + 1)2 = 0,66541

    w3 F(z3) = 0,65214 (0,33998 + 1) e(0,33998 + 1)2 = 5,26301

    w4 F(z4) = 0,34785 (0,86114 + 1) e(0,86114 + 1)2 = 20,67753

    I w1 F(z1) + w2 F(z2) + w3 F(z3) + w4 F(z4) = 26,65520

    Solusi

    +

    M E T O D E N U M E R I K