INTEGRASI NUMERIK Ari Fadli Faculty of Sains and Technic Jenderal Soedirman University, Indonesia fadli_te.unsoed@yahoo.com Metoda Numeris (TKE 072204) INTEGRASI NUMERIK Di dalam kalkulus, terdapat dua hal penting yaitu integral dan turunan(derivative) Pengintegralan numerik merupakan alat atau cara yang digunakan oleh ilmuwan untuk memperoleh jawaban hampiran (aproksimasi) dari pengintegralan yang tidak dapat diselesaikan secara analitik. INTEGRASI NUMERIK Fungsi yang dapat dihitung integralnya : Fungsi yang rumit misal : C x x x dx xC x dxxC b aadx b axC b aadx b axCaedx eCnaxdx axaxaxnn+ =+ =+ + = ++ + = ++ =++=}}}}}}+| | ln | | ln| | ln1) sin(1) cos() cos(1) sin(11dx exxx 5 . 02023sin 5 . 0 1) 1 cos( 2}++ +INTEGRASI NUMERIK Perhitungan integral adalah perhitungan dasar yang digunakan dalam kalkulus, dalam banyak keperluan. digunakan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh fungsi y = f(x) dan sumbu x. Penerapan integral : menghitung luas dan volume-volume benda putarDasar Pengintegralan Numerik Penjumlahan berbobot dari nilai fungsi) ( ... ) ( ) () ( ) (1 1 0 00n niniibax f c x f c x f cx f c dx x f+ + + =~}=x0x1xnxn-1 x f(x) 0246810123 5 7 9 11 13 15Dasar Pengintegralan Numerik Melakukan penginteralan pada bagian-bagian kecil, seperti saat awal belajar integral penjumlahan bagian-bagian. Metode Numerik hanya mencoba untuk lebih cepat dan lebih mendekati jawaban eksak. Formula Newton-Cotes - Berdasarkan padadx x f dx x f Ibanba~ = ) ( ) ( Nilai hampiran f(x) dengan polinomial nn1 n1 n 1 0 nx a x a x a a x f + + + + = ) (Dasar Pengintegralan Numerik fn (x) bisa fungsi linear fn (x) bisa fungsi kuadrat fn (x) bisa juga fungsi kubik ataupolinomial yang lebih tinggi Polinomial dapat didasarkan pada data INTEGRASI NUMERIK Luas daerah yang diarsir L dapat dihitung dengan : L =( )}badx x fMetode Integral Reimann0.20.250.30.350.40.450.50 0.5 1 1.5 2 2.5 3x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35x*cos(3*x)*exp(-2*x)+0.35Metode Integral Reimann Luasan yang dibatasi y = f(x) dan sumbu x Luasan dibagi menjadi N bagian pada range x = [a,b] Kemudian dihitung Li : luas setiap persegi panjang dimana Li=f(xi). ix AMetode Integral Reimann Luas keseluruhan adalah jumlah Li dan dituliskan : Dimana Didapat ( ) ( ) ( ) ( )( )iniinnx x fx x f x x f x x f x x fL L L L LA =A + + A + A + A =+ + + + ==03 2 2 1 1 0 02 1 0.....( ) ( )}==niibax f h dx x f0h x x x xn = A = = A = A = A ...2 1 0Contoh Hitung luas yang dibatasi y = x2 dan sumbu x untuk range x = [0,1] 00.20.40.60.810 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1x**2}102dx x L = Contoh Dengan mengambil h=0.1 maka diperoleh tabel : Secarakalkulus : Terdapat kesalahan e = 0,385-0,333 = 0,052 ( )( )( ) 385 , 0 85 , 3 1 . 000 . 1 81 . 0 64 . 0 49 . 0 36 . 0 25 . 0 16 . 0 09 . 0 04 . 0 01 . 0 0 1 . 0) ( .100= =+ + + + + + + + + + == = iix f h L..... 3333 , 0 |31103102= = = }x dx x LAlgoritma Metode Integral Reimann: Definisikan fungsi f(x) Tentukan batas bawah dan batas ata integrasi Tentukan jumlah pembagi area N Hitung h=(b-a)/N Hitung==Niix f h L0) ( .Metode Integrasi Trapezoida Aproksimasi garis lurus (linier) | | ) ( ) () ( ) ( ) ( ) (1 01 1 0 0 i10 iibax f x f2hx f c x f c x f c dx x f+ =+ = ~ }=x0x1 x f(x) L(x) Aturan Komposisi Trapesium | | | | | || | ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) (n 1 n i 1 0n 1 n 2 1 1 0xxxxxxbax f x f 2 x 2f x f 2 x f2hx f x f2hx f x f2hx f x f2hdx x f dx x f dx x f dx x fn1 n2110+ + + + + + =+ + + + + + =+ + + =} } } } x0x1 x f(x) x2hhx3hhx4 na bh=Metode Integrasi Trapezoida ||.|

\|+ + ==nniif f fhL11022( ) ( ) ( )( )i i i ii i i ix f f Lataux x f x f LA + =A + =++.21.2111==10qiiL L( ) ( )n nnii if f f f fhf f h L + + + + + = + ==+1 2 1 01012 ... 2 22 21Algoritma Metode Integrasi Trapezoida Definisikan y=f(x) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b) Tentukan jumlah pembagi n Hitung h=(b-a)/n Hitung||.|

\|+ + ==nniif f fhL11022Aturan Simpson 1/3 Aproksimasi dengan fungsi parabola | | ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) (2 1 02 2 1 1 0 0 i20 iibax f x f 4 x f3hx f c x f c x f c x f c dx x f+ + =+ + = ~ }=x0x1 x f(x) x2hh L(x) = == = = ====+= = = + + =1 x x0 x x1 x xhdxdhx x 2a bh2b ax b x a x letx fx x x xx x x x x fx x x xx x x xx fx x x xx x x xx L21011 2 021 2 0 21 012 1 0 12 002 0 1 02 1 , ,, ,) () )( () )( () () )( () )( () () )( () )( () () () () ( ) ( ) () () (2 120x f21x f 1 x f21L++ += Aturan Simpson 1/3 ) () () ( ) ( ) () () (2 120x f21x f 1 x f21L++ += 112 321131112 30112102111011)2 3(2) ()3( ) ( )2 3(2) () 1 (2) ( ) 1 ) () 1 (2) ( ) ( ) ( + + + =+ + + = ~} }} } } hx f h x f hx fd hx f d ( h x fd hx f d L h dx x fba) ( ) ( ) ( ) (2 1 0bax f x f 4 x f3hdx x f + + =Aturan Simpson 1/3 Aturan Komposisi Simpson x0x2 x f(x) x4hhxn-2hxn na bh=... hx3x1xn-1 Metode Integrasi Simpson Dengan menggunakan aturan simpson, luas dari daerah yang dibatasi fungsi y=f(x) dan sumbu X dapat dihitung sebagai berikut: atau dapat dituliskan dengan: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n n nf fhf fhf fhf fhf fhf fhL + + + + + + + + + + + + = 1 1 2 4 3 3 2 2 1 1 02323... 23232323||.|

\|+ + + = ngenap iiganjil iif f f fhL 02 43N = 0 n L = L1 + L3 + L5 + . . . + Ln Cara II(Buku Rinaldi Munir) Polinom interpolasi Newton-Gregory derajat 2 yang melalui ketiga titik tsb 0220 0 0220 0 2! 2) () (! 2) () ( ) ( fhh x xfhxf x fhh x xx fhxx f x p A+ + = A+ A + =Cara II(Buku Rinaldi Munir) Integrasikan p2(x) pd selang [0,2h] 020 0020 00222302020 022223020200220 02022032 2342 24468242|4 6 2! 2) () (fhf h x hf Lf hhf h x hf Lfhhhhfhhx hf Lfhxhxfhxx f Ldx fhh x xfhxf Lxdx p dx x f Lh xxhh hA + A + =A|.|

\| + A + =A||.|

\| + A + =A||.|

\| + A + =|.|

\|A+ A + == ===}} }Cara II(Buku Rinaldi Munir) Mengingat Maka selanjutnya 0 1 0f f f = A) 4 (33 3433 3232 2 2) 2 (3) ( 2 22 1 02 1 00 1 2 0 1 00 1 2 0 1 0f f fhLfhfhfhLfhfhfhhf hf x hf Lf f fhf f h x hf L+ + =+ + =+ + + =+ + + =0 1 2 0 1 1 2 0 1 022 ) ( ) ( f f f f f f f f f f + = = A A = AAturan Simpson 3/8 Aproksimasi dengan fungsi kubik | | ) ( ) ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (3 2 1 03 3 2 2 1 1 0 0 i30 iibax f x f 3 x f 3 x f8h 3x f c x f c x f c x f c x f c dx x f+ + + =+ + + = ~ }=x0x1 x f(x) x2hh L(x) x3h ) () )( )( () )( )( () () )( )( () )( )( () () )( )( () )( )( () () )( )( () )( )( () (32 3 1 3 0 32 1 023 2 1 2 0 23 1 013 1 2 1 0 13 2 003 0 2 0 1 03 2 1x fx x x x x xx x x x x xx fx x x x x xx x x x x xx fx x x x x xx x x x x xx fx x x x x xx x x x x xx L + + + =| | ) ( ) ( ) ( ) (3 2 1 0babax f x f 3 x f 3 x f8h 33a bh; L(x)dx f(x)dx+ + + == ~ } }Error Pemenggalan 3a bh ; f6480a bf h803E454 5t= = = ) () () () ( ) ( Aturan Simpson 3/8 Metode Integrasi Gauss Metode Newton Code (Trapezoida, Simpson) berdasarkan titik2 data diskrit. Dengan batasan : H sama Luas dihitung dari a sampai b Mengakibatkan error yang dihasilkan cukup besar. Metode Integrasi Gauss Misal menghitung Luas dengan metode trapezoida dengan selang[-1,1] Persamaan ini dapat ditulis (disebut pers Kuadratur Gauss) Misal x1=-1, x2=1 dan c1=c2=1 menjadi m. trapezoida Karena x1, x2,,c1 dan c2 sembarang maka kita harus memilih nilai tersebut sehingga error integrasinya min ( )2) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (2) (11= + ~ + ~ = }hf f f fhdx x f I) ( ) ( ) (2 2 1 111x f c x f c dx x f I + ~ = }Metode Integrasi Gauss Bagaimana mencari x1, x2,,c1 dan c2 Persamaan dibawah ini dianggap memenuhi secara tepat bila empat polinom berikut dijadikan fungsi integral pada interval integrasi [-1, 1] f(x) = 1 ; f(x) = x ; f(x) = x2 ; f(x) = x3 ) ( ) ( ) (2 2 1 111x f c x f c dx x f I + ~ = }03202 1113 32 231 1112 22 221 1112 2 1 1112 1= = += = += = += = +}}}}dx x x c x cdx x x c x cdx x x c x cdx c cDidapat 313112 12 1= == =x xc cMetode Integrasi Gauss Persamaan dibawah ini dinamakan metode Gauss Legendre 2 titik )31( )31( ) (11+ =}f f dx x fTransformasi Range [a,b] [-1,1] X u f(x) g(u)dx du }=baidx x f L ) (}=11) ( du u g LiTransformasi dua bdxu a b b axau bu b axa a b u xa b u a xua ba x|.|

\|= + += + +=+ + + =+ + = +=22) ( ) (22 ) )( 1 ( 2) )( 1 ( 2 221a b x -1 1 u Transformasi duu a b b af a b du u g} } |.|

\| + + =11112) ( ) () (21) (( ) ) ( ) ( ) (21) (2121a b u a b f a b u g + + =}=11) ( du u g LiAnalisa Dibandingkan dengan metode Newton-Cotes (Trapezoida, Simpson 1/3, 3/8) metode Gauss-Legendre 2 titik lebih sederhana dan efisien dalam operasi aritmatika, karena hanya membutuhkan dua buah evaluasi fungsi. Lebih teliti dibandingkan dengan metode Newton-Cotes. Namun kaidah ini harus mentransformasi terlebih dahulu menjadi}11) ( du u gAlgoritma Integrasi Kuadratur Gauss dengan Pendekatan 2 titik Definisikan fungsi f(x) Tentukan batas bawah (a) dan batas atas integrasi (b) Hitung nilai konversi variabel : Tentukan fungsi g(u) dengan: Hitung ( ) ) (2121a b u a b x + + =( ) ) ( ) ( ) (21) (2121a b u a b f a b u g + + =||.|

\|+||.|

\| =3131g g LContoh Soal Metode Gauss Legendre 3 Titik Parameter x1, x2 , x3 ,c1 ,c2 dan c3 dapat dicari dengan membuat penalaran bahwa kuadratur Gauss bernilai tepat untuk 6 buah fungsi berikut : Dengan cara yang sama didapat ) ( ) ( ) ( ) (3 3 2 2 1 111x f c x f c x f c dx x f I + + ~ = }5 4 32) ( ; ) ( ; ) () ( ; ) ( ; 1 ) (x x f x x f x x fx x f x x f x f= = == = =5 3 ; 0 ; 5 395;98;953 2 13 2 1= = == = =x x xc c cMetode Gauss Legendre 3 Titik ( )||.|

\|+ +||.|

\| =}53950985395) (11g g g du u gAlgoritma Metode Integrasi Gauss Dengan Pendekatan 3 TitikMetode Gauss n-Titik Beberapa Penerapan Integrasi Numerik Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar Menghitung Luas dan Volume Benda PutarMenghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar Untuk menghitung luas integral di peta di atas, yang perlu dilakukan adalah menandai atau membuat garis grid pada setiap step satuan h yang dinyatakan dalam satu kotak. Bila satu kotak mewakili 1 mm, dengan skala yang tertera maka berarti panjangnya adalah 100.000 mm atau 100 m. Pada gambar di atas, mulai sisi kiri dengan grid ke 0 dan sisi kanan grid ke n (dalam hal ini n=22). Tinggi pada setiap grid adalah sebagai berikut: Skala 1:100000 0 10 5 6 3 15 9 Menghitung Luas Daerah Berdasarkan Gambar Dari tabel di atas, luas area dapat dihitung dengan menggunakan 3 macam metode: Dengan menggunakan metode integrasi Reimann Dengan menggunakan metode integrasi trapezoida Dengan menggunakan metode integrasi Simpson 5 . 73 2215116 0=||.|

\|+ + == iiy y yhL5 . 73160= = = iiy h L74 2 4316 0=||.|

\|+ + + = = = genap iiganjil iiy y y yhLMenghitung Luas dan Volume Benda Putar Luas benda putar: Volume benda putar: }=bapdx x f L ) ( 2t| |}=bapdx x f V2) ( tContoh : Ruang benda putar dapat dibedakan menjadi 4 bagian bagian I dan III merupakan bentuk silinder yang tidak perlu dihitung dengan membagi-bagi kembali ruangnya, bagian II dan IV perlu diperhitungkan kembali. Bagian I: Bagian II: 4 cm 6 cm 7 cm 12 cm 7 cm 5 cm IIIIIIIV satuan dalam cm t t 56 ) 7 )( 4 ( 2 = =ILt t 196 ) 7 )( 4 (2= =IV( ) t t 288 ) 12 ( 12 2 = =IIL( )( ) t t 3456 12 12 22= =IIVContoh : Sedangkan untuk menghitung bagian II dan IV diperlukan pembagian area , misalkan dengan mengambil h=1 diperoleh: Pada bagian II dan IV: dan Dengan menggunakan integrasi trapezoida dapat diperoleh: t t 108 222 ) (415 0=((

+ + == ii IV IIy y yhL L( ) t t 5 . 1187 22412 2520=((

+ + = == ii IV IIy y yhV VIV IIL L =IV IIV V =Contoh : Luas permukaan dari botol adalah: Luas = 1758.4 cm2 Volume botol adalah: Volume = 18924.78 cm34 . 1758560108 288 108 56==+ + + =+ + + =tt t t tIV III II IL L L L Ltt t t t60245 . 1187 3456 5 . 1187 196=+ + + =+ + + =IV III II IV V V V V