INTEGRAL PERMUKAAN

KALKULUS LANJUT

KALKULUS LANJUT

PENDAHULUAN1.Latar Belakang

2.Tujuan

Untuk memenuhi kebutuhan dengan memperkaya teori integral melalui pengenalan bagian permukaan sebagai domain, dimana permukaan-permukaan tersebut dianggap melekat dalam ruang

tiga dimensi.

Untuk mengkaji materi mengenai integral permukaan, mengetahui bagaimana aplikasi dari integral permukaan, serta untuk memenuhi tugas matakuliah kalkulus lanjut

KALKULUS LANJUT

PENDAHULUAN3.Ruang Lingkup

4.Manfaat

Mengenai integral permukaan, contoh penyelesaian masalah-masalah yang berkaitan dengan integral permukaan, dan aplikasi integral permukaan dalam kehidupan sehari-hari.

1. Dapat memahami materi mengenai integral permukaan 2. Dapat mengetahui bahwa integral permukaan memiliki

peran penting dalam kehidupan sehari-hari.

KALKULUS LANJUT

TINJAUAN PUSTAKA

Definisi

Pembahasan

Contoh soal dan penyelesaian

Aplikasi yang berkaitan dengan integral permukaan

KALKULUS LANJUT

Definisi

Perhatikan Gambar

KALKULUS LANJUT

F(x,y) atau g (x,y,z) = 0

Definisi

KALKULUS LANJUT

Satuan n di sebarang titik dari S disebut satuan normal positif jika arahnya ke atas

Pembahasan

KALKULUS LANJUT

Pembahasan

Berkaitan dengan permukaan kecil dS dari permukaan S dapat dibayangkan adanya vector dS yang besarnya sama dengan dS dan arahnya sama dengan n.

Maka :

dS = n dS

KALKULUS LANJUT

Pembahasan

Integral Permukaan yang disebut flux dari A terhadap S. :

s

dsA.n A.ds

Integral permukaan lainnya adalah :

dS dSn dSA x , ,

φ = Skalar fungsi

KALKULUS LANJUT

Pembahasan

jika adalah tegak lurus ( normal ) terhadap bidang singgung ( dan karenanya terhadap S )

F

persamaan vektor satuan berlaku

21F

F

v

r

v

r

y

r

x

r Sehingga

kFjFiFF zyx

KALKULUS LANJUT

Pembahasan

Menghitung integral permukaan akan lebih sederhana dengan memproyeksi-proyeksikannya.

Misal :

S mempunyai proyeksi R pada bidang xy,

Maka

ss

dx dyd

k .n n .A S n . A

KALKULUS LANJUT

Pembahasan

Diproyeksikan pada bidang xz

ss

dx dzd

j .n n .A Sn .A

Diproyeksikan pada bidang yz

ss

dy dzd

i .n n .A Sn .A

KALKULUS LANJUT

Contoh Soal

Hitunglah dengan

dan S adalah bagian dari bidang 2x + 2y + z = 6 yang terletak dikuadran pertama dan n unit vektor tegak lurus S

s

dSn .A k z)(xj xixy A 2

KALKULUS LANJUT

Penyelesaian

Jawab

Normal pada S mempunyai persamaan :

kj 2i 2) 6z2y2x (

222 122

kj 2i 2n= = k

3

1j

3

2i

3

2

}k z)(xj xi xy { 2

3

k 1j 2i 2A.n= =

] ) z x(2x2xy [ 3

1 2

] 62yx2x2xy [3

1 2

KALKULUS LANJUT

Penyelesaian

ss

dk .n

dydx n .A S n . A

ss

dk .n

dydx ) 62y-x-2x-2xy (

3

1S n . A 2

Rs

d

3

1

dydx ) 62y-x-2x-2xy (

3

1S n . A 2

dydx ) 62yx2x2xy (

3

0

x3

0y

2

dx )6y yxyy2x(xyx-3

0

2

3

0

22

75,64

27

KALKULUS LANJUT

Soal

Hitunglah dengan

dan S adalah bagian dari bidang 2x + 3y + 6z =12 yang terletak di kuadran pertama.

Bagaimana dengan yang ini ??

s

dSn .A k3y j 12i 18zA

KALKULUS LANJUT

Aplikasi Integral Permukaan

1. Massa shell (massa suatu permukaan)

massa total shell diungkapkan melalui integral permukaan fungsi skalar dengan rumus :

dSzyxm ),,(

KALKULUS LANJUT

2.pusat massa dan momen inersia dari shell

fungsi kepadatan kontinu µ(x,y,z) Koordinat pusat massa dari shell yang didefinisikan oleh rumus

Aplikasi Integral Permukaan

,,,m

Mz

m

My

m

MX

xy

c

xz

c

yz

c

Momen inersia dari cangkang tentang xy-, yz, dan xz-pesawat didefinisikan oleh rumus

dSzyxyIdSzyxxIdSzyxzI zy

s

x ),,(,),,((,),,( 222

KALKULUS LANJUT

Aplikasi Integral Permukaan

3.Gaya gravitasi dan Gaya tekanan

Misal m menjadi massa di titik (x 0, y 0, z 0) luar permukaan S Kemudian gaya tarik-menarik antara permukaan S dan massa m diberikan oleh

dSr

rzyxGmF

s

3),,(

dimana ),,( 000 zzyyxxr

G =konstanta gravitasi , ),,( zyx =fungsi kepadatan

KALKULUS LANJUT

Aplikasi Integral Permukaan

4. Aliran fluida dan aliran massa seluruh permukaan

Menurut definisi, tekanan diarahkan ke arah yang normal S di setiap titik. Oleh karena itu, dapat ditulis

ss

dSnpSdrpF )(

KALKULUS LANJUT

Aplikasi Integral Permukaan

5. Muatan listrik didistribusikan melalui permukaan

•Cairan Flux dan Flux Massa

s

dSrv )(

•Permukaan Mengisi

s

dSyxQ ),(

KALKULUS LANJUT

Aplikasi Integral Permukaan

6.Hukum Gauss

Dimana adalah besarnya kekuatanmedan listrik

iQSdDs i

.

EED

,0

m

F12

0 1085,8 adalah permitivitas ruang bebas.

KALKULUS LANJUT

Contoh Soal Aplikasi

Mengevaluasi kekuatan tekanan yang bekerjapada bendungan sketsa pada Gambar, yangmempertahankan reservoir air lebar W dankedalaman H.

KALKULUS LANJUT

Penyelesaian Soal Aplikasi

Jawab :

Di bawah kondisi kesetimbangan hidrostatik,tekanan pengukur pada permukaan bendungantergantung pada z diberikan oleh rumus

)()( zHgzp

igWHz

HzWigdydzizHgdSnpF

H

H

s

W

22.).()).((

22

000

i

F

2

2gWHF

Vektor menunjukkan arah gaya ,nilai absolut gaya :

KALKULUS LANJUT

Daftar Pustaka

Danang-Mursita. 2007. Matematika Dasar.Bandung : Rekayasa BandungSpiegel Phd,MR, Wrede Phd,R.2006.Kalkulus Lanjut.Jakarta : Erlangga

Wikipedia. 2012. http://www.integral-garis-dan-permukaan.ac.idTanggal Akses : 5 Desember pukul 16.51

Wikipedia. 2013. http://www.math24.net/physical-application-of-surfuce-integrals.html Tanggal Akses : 1Januari pukul 14.16

Wikipedia. 2012. http://www.Sub_sub_17-5_Integral_Permukaan.ac.idTanggal Akses : 5 Desember pukul 16.38