inferensi statistis: rentang keyakinan

Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik Departemen Teknik Sipil dan Lingkungan

INFERENSI STATISTIS: RENTANG KEYAKINAN Statistika dan Probabilitas

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Rentang Keyakinan

18-Oct-16 Inferensi Statistis: Rentang Keyakinan

2

q  Estimasi Parameter q  Distribusi probabilitas memiliki sejumlah parameter.

q  Nilai parameter-parameter tsb umumnya tidak diketahui.

q  Nilai parameter tersebut diperkirakan (di-estimasi-kan) berdasarkan nilai yang diperoleh dari pengolahan data.

q  Estimasi n  Estimasi tunggal (point estimates)

n  Rentang keyakinan (confidence intervals)


Rentang Keyakinan


3

q  Estimasi tunggal q  Contoh

n  Nilai rata-rata sampel sebagai estimasi nilai rata-rata populasi

n  Nilai simpangan baku sampel sebagai estimasi nilai simpangan baku populasi

X → µ

sX → σX

http://istiarto.staff.ugm.ac.id Inferensi Statistis: Rentang Keyakinan

4

Rentang Keyakinan

q  Estimasi parameter θ

θ̂

estimasi! → θ

parameter!

Dicari suatu rentang [L,U] yang memiliki probabilitas (1 – α) bahwa rentang tsb mengandung θ.

prob(L < θ < U) = (1 – α)

L = batas bawah rentang keyakinan U = batas atas rentang keyakinan

(1 – α) = tingkat keyakinan (confidence level, confidence coefficient) L dan U = variabel random

à Pers (1)

18-Oct-16


Rentang Keyakinan


5

q  Contoh q  Data pengukuran temperatur udara di Yogyakarta pada periode 1991 s.d.

2014 menunjukkan bahwa temperatur udara rata-rata di Yogyakarta adalah 30°C n  Kita dapat memperkirakan bahwa temperatur udara rata-rata di Yogyakarta adalah

30°C.

n  Kita menyadari bahwa perkiraan tsb dapat salah; bahkan dari sisi pengertian probabilitas, kita tahu bahwa temperatur udara rata-rata sama dengan 30°C adalah hampir tidak mungkin terjadi:

prob T = 30°C( ) = 0


Batas Bawah dan Batas Atas


6

q  Metode Ostle: method of pivotal quantities q  Dicari variabel random V yang merupakan fungsi parameter θ (θ = unknown),

tetapi distribusi V ini tidak bergantung pada parameter yang tidak diketahui. q  Ditentukan v1 dan v2 sedemikian hingga:

prob v1 <V < v2( ) =1−α à Pers (2)


Batas Bawah dan Batas Atas


7

q  Metode Ostle: method of pivotal quantities

q  Persamaan di atas diubah kedalam bentuk prob(L < θ < U) = 1− α

q  L dan U adalah variabel random dan fungsi V, tetapi bukan fungsi θ

prob v1 <V < v2( ) =1−α


Rentang Keyakinan μsuatu distribusi normal


8

q  Mencari interval [L,U] yang mengandung µ, prob(L < µ < U) = 1 – α

q  Misal variabel random V:

q  V berdistribusi t dengan (n – 1) degrees of freedom

q  n adalah jumlah sampel yang dipakai untuk menghitung nilai rata-rata sampel

V =

X −µsX

http://istiarto.staff.ugm.ac.id 18-Oct-16 Inferensi Statistis: Rentang Keyakinan 9

V =

X −µsX

à berdistribusi t?

q  Bukti

Distribusi t:

X =Y

ν

U, ν = degree of freedom

V =X −µ

sX

=X −µ

sX

2 n=

X −µ( ) σs

X

2 σ n=

X −µ( )σ n

⋅1

sX2 σ2

=X −µ( )σ n

⋅n−1

Xi −X( )2∑ σ2=Y ⋅

ν

U

⇒Y =

X −µ

ν n, U =

Xi −X( )2∑σ2

, ν = n−1

http://istiarto.staff.ugm.ac.id Inferensi Statistis: Rentang Keyakinan 10

q  Pers (2)

prob v1 <V < v2( ) =1−α ⇒ prob v1 <

X −µsX

< v2

$

%&

'

() =1−α

luas = (1 – α)luas = αa luas = αb

atα b

t α−1

αa + αb = α

prob(t < v1) = αa

prob(t > v2) = αb

dengan (n – 1) degrees of freedom

18-Oct-16

tαa ,n−1

t1−αb ,n−1


!!

prob v1 <X −µsX

<v2"

#$$

%

&''=1−α

prob tαa ,n−1

<X −µsX

< t1−αb ,n−1

"

#$$

%

&''=1−α

prob X +tαa ,n−1

⋅ sX <µ < X +t1−αb ,n−1⋅ sX( ) =1−α

ℓ u

!!

ℓ= X +tαa ,n−1

⋅ sXu= X +t1−αb ,n−1

⋅ sX

Jadi, batas rentang keyakinan:

sX = sX n

tαa ,n−1→ tabel distribusi t

18-Oct-16


q  Jika dikehendaki probabilitas rentang keyakinan adalah simetris, maka v1 dan v2 dipilih sedemikian hingga prob(t < v1) = prob(t > v2).

q  Karena simetris, maka αa = αb = α/2q  Yang dicari adalah (1 – α) = 100(1 – α)% rentang keyakinan q  maka: prob(t < v1) = α/2 = prob(t > v2)

luas = (1 – α)/2 luas = (1 – α)/2

luas = α/2 luas = α/2

tα 2 = −t1−α 2

t1−α 2

18-Oct-16


luas = 1 – α/2luas = 1 – α/2

luas = α/2 luas = α/2

tα 2

t1−α 2

luas = 1 – α luas = α/2luas = α/2

Distribusi t

18-Oct-16

t1−α 2

tα 2 = −t1−α 2


ℓ = X − t1−α 2,n−1 ⋅ sX

u = X + t1−α 2,n−1 ⋅ sX

q  Dengan demikian, confidence limits jika probabilitas confidence interval simetri adalah:

18-Oct-16


luas = 1 – αluas = 1 – αluas = α luas = α

n  Kadang dikehendaki probabilitas rentang keyakinan satu sisi q  batas bawah à prob(t < v1) = α q  batas atas à prob(t > v2) = α

prob V > v1( ) =1−α ⇒ probX −µ

sX

> v1

$

%&

'

() =1−α

prob V < v2( ) =1−α ⇒ probX −µ

sX

< v2

$

%&

'

() =1−α

tα18-Oct-16

t1−α


Distribusi t


16

q  Notasi q  tα,n adalah nilai t sedemikian hingga probabilitas variabel random t yang

memiliki n degrees of freedom adalah lebih kecil daripada α q  Misalnya:

n  t0.95,50 adalah nilai t sedemikian hingga prob(t < t0.95,50) = 0.95 untuk t yang memiliki 50 degrees of freedom

q  Tabel distribusi t q  Tabel untuk membaca nilai t sebagai fungsi nilai probabilitas dan nilai degrees

of freedom n  Tabel ada di buku-buku statistika, ada di http://istiarto.staff.ugm.ac.id, dapat pula

dibuat sendiri dengan memakai MSExcel


Distribusi t


17

q  Dapat dihitung dengan perintah/fungsi MSExcel q  TDIST(t,ν,tails)

n  menghitung nilai prob(T > t) n  untuk menghitung nilai prob(T < t) à 1 – TDIST(t,ν,tails) n  t = nilai yang diinginkan untuk dicari distribusinya n  ν = degree of freedom n  tails = 1 (one-tailed distribution) atau 2 (two-tailed distribution)

q  TINV(p,ν) n  mencari nilai t jika nilai p = prob(T > t) diketahui n  two-tailed distribution n  jika ingin mencari nilai t untuk one-tailed distribution, p diganti dengan 2p

MSExcel 2007


t = 1.6

prob(T < 1.6) = 1 – TDIST(1.6,50,1) = 0.942

t = 1.6

prob(–1.6 < T < 1.6) = 1 – TDIST(1.6,50,2) = 0.884

t = –1.6

t

0.95

prob(T < t ) = 0.95

t = TINV(2*(1-0.95),50) = 1.68

t –t

0.95

prob(-t < T < t ) = 0.95

t = TINV(1-0.95,50) = 2

distribusi t, 50 degrees of freedom MSExcel 2007


t = 1.6

t = 1.6 t = –1.6

t

0.95

t –t

0.95

distribusi t, 50 degrees of freedom MSExcel 2010

prob(T < 1.6) = T.DIST(1.6,50,TRUE) = 0.942

prob(T < 1.6) = 1 – T.DIST.RT(1.6,50) = 0.942

prob(–1.6 < T < 1.6) = 1 – T.DIST.2T(1.6,50) = 0.884

prob(T < t ) = 0.95

t = T.INV(0.95,50) = 1.68

prob(-t < T < t ) = 0.95

t = T.INV.2T(1-0.95,50) = 2


Rentang Keyakinan μsuatu distribusi normal, σ2 diketahui


20

q  Apabila varian populasi diketahui, maka variabel random V didefinisikan sbb.

à V berdistribusi normal V =

X −µσX

, σX = σX n


Rentang Keyakinan μsuatu distribusi normal, σ2 diketahui


21

q  Rentang keyakinan

ℓ = X + za ⋅ σX = X + za ⋅ σX n

u = X + zb ⋅ σX = X + zb ⋅ σX n

ℓ = X − z1−α 2 ⋅ σX = X − z1−α 2 ⋅ σX n

u = X + z1−α 2 ⋅ σX = X + z1−α 2 ⋅ σX n

q  Rentang keyakinan simetris

zαa

1−α αa αb

z1−αb

zα 2 = −z1−α 2

1−α α 2

z1−α 2

α 2


Rentang Keyakinan σ2 suatu distribusi normal


22

q  Mencari interval [L,U] yang mengandung σ2 dengan probabilitas prob(L < σ2 < U) = 1 – α

q  Didefinisikan variabel random V:

V =

n−1( ) sX2

σX2

à V berdistribusi chi-kuadrat dengan (n – 1) degrees of freedom


prob v1 <V < v2( ) =1−α

prob v1 <n−1( ) sX

2

σX2

< v2

$

%&&

'

()) =1−α

Pilih:

v1 = χα 2,n−12

v2 = χ1−α 2,n−12

prob χα 2,n−12 <

n−1( ) sX2

σX2

< χ1−α 2,n−12

%

&''

(

)** =1−αsehingga:

atau:

probn−1( ) sX

2

χ1−α 2,n−12

< σX2 <

n−1( ) sX2

χα 2,n−12

%

&''

(

)** =1−α

18-Oct-16


q  Jadi batas bawah dan batas atas rentang yang mengandung σX2

dengan tingkat keyakinan (1 – α) adalah:

ℓ =n−1( ) sX

2

χ1−α 2,n−12

u =n−1( ) sX

2

χα 2,n−12

§  batas bawah:

§  batas atas:

§  catatan: X berdistribusi normal

χ2 berdistribusi chi-kuadrat

18-Oct-16

probn−1( ) sX

2

χ1−α 2,n−12

< σ2 <n−1( ) sX

2

χα 2,n−12

%

&''

(

)** =1−α


q  Distribusi chi-kuadrat tidak simetris:

sX2 − ℓ ≠ u − sX

2

n » → (n – 1) » → distribusi mendekati distribusi simetris,

sX2 berada kira-kira di tengah-tengah rentang [L,U].

χα 2

2

χ1−α 2

2

1−α α 2

α 2

18-Oct-16


Rentang Keyakinan Satu Sisi


26

q  One-sided confidence intervals

q  Hanya diinginkan satu sisi rentang keyakinan q  Batas bawah saja untuk rentang keyakinan µ

q  Batas atas saja untuk rentang keyakinan µ

prob L < θ( ) =1−α ⇒ ℓ = X − t1−α ,n−1

prob θ <U( ) =1−α ⇒ u = X + t1−α ,n−1

inferensi statistis: rentang keyakinan

Documents